Diện Tích Xung Quanh Hình Trụ: Công Thức, Ví Dụ, Bài Tập

Diện tích xung quanh hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao: S_xq = 2 × π × r × h, trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao và π lấy xấp xỉ 3,14. Cộng thêm diện tích hai đáy sẽ được diện tích toàn phần S_tp = 2πrh + 2πr², còn thể tích là V = π × r² × h. Ví dụ hình trụ có r = 6cm và h = 10cm thì S_xq = 2 × 3,14 × 6 × 10 = 376,8cm². Bài này giải thích vì sao có công thức đó, hướng dẫn tính ba đại lượng (diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích), cách tìm ngược r và h, kèm bảng tóm tắt và bài tập có đáp án.

Hình trụ là gì?

Hình trụ là hình được tạo ra khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định của nó. Đường thẳng chứa cạnh cố định đó là trục của hình trụ; hai cạnh vuông góc với trục quét nên hai đáy là hai hình tròn bằng nhau; cạnh đối diện với cạnh cố định quét nên mặt xung quanh. Hình trụ cùng phần không gian bên trong nó gọi là khối trụ.

Các yếu tố cần nhớ khi tính toán:

• Hai đáy: hai hình tròn bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song. Bán kính của đáy gọi là bán kính đáy r.
• Chiều cao h: khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy, đo dọc theo trục.
• Đường sinh: đoạn thẳng nằm trên mặt xung quanh, nối hai điểm tương ứng trên hai đường tròn đáy và song song với trục. Mọi đường sinh có độ dài bằng chiều cao h.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Diện tích xung quanh là diện tích của mặt cong bao quanh hình trụ, không tính hai đáy. Hãy hình dung cắt mặt xung quanh dọc theo một đường sinh rồi trải phẳng ra: ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đường tròn đáy (2πr), cạnh kia bằng chiều cao h. Vì vậy:

S_xq = 2πr × h  (chu vi đáy × chiều cao)

Trong đó S_xq là diện tích xung quanh (đơn vị cm², m²…), r là bán kính đáy, h là chiều cao (cùng đơn vị độ dài như cm, m) và π ≈ 3,14. Trong bài này π lấy bằng 3,14 và không làm tròn thêm kết quả; nếu đề bài yêu cầu để đáp số theo π (ví dụ 60π) thì giữ nguyên π, không thay bằng 3,14.

Biết bán kính và chiều cao

Ví dụ 1: Hình trụ có bán kính đáy r = 6cm, chiều cao h = 10cm. Chu vi đáy: 2 × 3,14 × 6 = 37,68cm. Diện tích xung quanh: S_xq = 37,68 × 10 = 376,8cm².

Biết đường kính đáy

Khi đề bài cho đường kính d thay vì bán kính, đổi trước bằng r = d : 2 rồi dùng công thức như trên.

Ví dụ 2: Một ống hình trụ có đường kính đáy d = 14cm, dài h = 20cm. Bán kính r = 14 : 2 = 7cm. Diện tích mặt ngoài của ống (không tính hai đầu): S_xq = 2 × 3,14 × 7 × 20 = 879,2cm².

Biết chu vi đáy

Khi đã biết chu vi đáy C thì không cần tìm r: S_xq = C × h. Chu vi hình tròn tính theo C = 2πr, xem thêm bài diện tích hình tròn.

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ

Diện tích toàn phần là tổng diện tích mặt xung quanh và hai đáy. Mỗi đáy là một hình tròn có diện tích π × r², nên:

S_tp = S_xq + 2 × S_đáy = 2πrh + 2πr² = 2πr × (h + r)

Ví dụ 3 (tiếp ví dụ 1, r = 6cm, h = 10cm): diện tích một đáy: 3,14 × 6 × 6 = 113,04cm²; hai đáy: 2 × 113,04 = 226,08cm². Diện tích toàn phần: S_tp = 376,8 + 226,08 = 602,88cm². Kiểm lại theo dạng rút gọn: 2 × 3,14 × 6 × (10 + 6) = 602,88cm², khớp.

Lưu ý theo đề bài: nếu vật là hộp bỏ nắp (chỉ có một đáy) thì diện tích cần tính là S_xq + πr², còn ống hở hai đầu thì chỉ tính S_xq. Đọc kỹ đề trước khi chọn công thức.

Công thức tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V = π × r² × h. Đơn vị là đơn vị khối (cm³, m³…).

Ví dụ 4 (tiếp r = 6cm, h = 10cm): V = 3,14 × 6 × 6 × 10 = 1130,4cm³.

Thể tích hình trụ “không đáy” hay ống rỗng: V = πr²h đo phần không gian nằm giữa hai mặt phẳng đáy, không phụ thuộc hai đáy có được bịt kín hay không. Vì vậy lòng một cái ống hở hai đầu vẫn có thể tích V = πr²h, với r là bán kính trong của ống. Nếu cần thể tích vật liệu làm thành ống có bán kính ngoài R, bán kính trong r và dài h thì lấy thể tích hình trụ ngoài trừ thể tích hình trụ trong: V = π × (R² − r²) × h.

Ví dụ 5: Ống có R = 5cm, r = 4cm, dài h = 10cm. V = 3,14 × (25 − 16) × 10 = 282,6cm³. Kiểm lại: trụ ngoài 3,14 × 25 × 10 = 785cm³, trụ trong 3,14 × 16 × 10 = 502,4cm³, hiệu 785 − 502,4 = 282,6cm³.

Tính ngược: biết diện tích hoặc thể tích, tìm r và h

Từ các công thức trên suy ra:

• Tìm chiều cao khi biết S_xq và r: h = S_xq : (2πr)
• Tìm bán kính khi biết S_xq và h: r = S_xq : (2πh)
• Tìm bán kính khi biết chu vi đáy: r = C : (2π)
• Tìm chiều cao khi biết thể tích và r: h = V : (π × r²)

Ví dụ 6: Hình trụ có S_xq = 326,56cm² và r = 4cm. Chiều cao: h = 326,56 : (2 × 3,14 × 4) = 326,56 : 25,12 = 13cm.

Ví dụ 7: Hình trụ có S_xq = 439,6cm² và h = 14cm. Bán kính: r = 439,6 : (2 × 3,14 × 14) = 439,6 : 87,92 = 5cm.

Ví dụ 8: Hình trụ có V = 1017,36cm³ và r = 6cm. Diện tích đáy: 3,14 × 6 × 6 = 113,04cm². Chiều cao: h = 1017,36 : 113,04 = 9cm.

Hai dạng bài: quay hình chữ nhật và thiết diện qua trục

Quay hình chữ nhật quanh một cạnh

Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh, cạnh làm trục là chiều cao h, cạnh kề với nó là bán kính đáy r. Cùng một hình chữ nhật 3cm × 5cm có thể quay theo hai cách:

• Trục là cạnh 5cm: r = 3cm, h = 5cm → S_xq = 2 × 3,14 × 3 × 5 = 94,2cm², V = 3,14 × 3 × 3 × 5 = 141,3cm³.
• Trục là cạnh 3cm: r = 5cm, h = 3cm → S_xq = 2 × 3,14 × 5 × 3 = 94,2cm², V = 3,14 × 5 × 5 × 3 = 235,5cm³.

Diện tích xung quanh của hai hình trụ bằng nhau (cùng bằng 2π × 3 × 5) nhưng thể tích khác nhau, vì S_xq chỉ phụ thuộc tích r × h còn V phụ thuộc r² × h.

Thiết diện qua trục là hình vuông

Cắt hình trụ bằng mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước 2r × h. Khi thiết diện là hình vuông thì h = 2r; thay h = 2r vào các công thức trên được: S_xq = 2πr × 2r = 4πr², S_tp = 2πr × (2r + r) = 6πr², V = πr² × 2r = 2πr³.

Ví dụ 9: Thiết diện qua trục là hình vuông, bán kính đáy r = 4cm nên h = 8cm. S_xq = 2 × 3,14 × 4 × 8 = 200,96cm² (cũng bằng 4 × 3,14 × 16); S_tp = 200,96 + 2 × 3,14 × 16 = 301,44cm².

Phân biệt hình trụ và hình lăng trụ đứng

Hình trụ có đáy là hình tròn và mặt xung quanh cong; hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác (tam giác, hình vuông…) và các mặt bên là hình chữ nhật. Hai hình tính theo cùng một cách: diện tích xung quanh = chu vi đáy × chiều cao, thể tích = diện tích đáy × chiều cao.

Ví dụ 10: Lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 4cm, chiều cao 10cm. Chu vi đáy 4 × 4 = 16cm nên S_xq = 16 × 10 = 160cm²; diện tích đáy 4 × 4 = 16cm² nên S_tp = 160 + 2 × 16 = 192cm². Hình lập phương cạnh a là lăng trụ đứng đặc biệt: S_xq = 4a², S_tp = 6a².

Bảng tóm tắt công thức hình trụ

Lỗi hay gặp khi tính hình trụ

• Dùng đường kính thay cho bán kính: đề cho đường kính d = 6cm, chiều cao h = 7cm thì r = 3cm và S_xq = 2 × 3,14 × 3 × 7 = 131,88cm², V = 3,14 × 3 × 3 × 7 = 197,82cm³. Đem 6 vào công thức như bán kính sẽ ra S_xq = 263,76cm² (gấp 2 lần) và V = 791,28cm³ (gấp 4 lần). Luôn đổi r = d : 2 trước.
• Quên hệ số 2 trong 2πrh: 2πr là chu vi đáy. Thiếu số 2 thì được kết quả chỉ bằng một nửa.
• Nhầm diện tích xung quanh với diện tích toàn phần: cùng một hình trụ r = 5cm, h = 8cm cho ba đáp số khác nhau tùy đề hỏi phần nào: chỉ mặt xung quanh (ống hở hai đầu) 251,2cm²; hộp bỏ nắp 251,2 + 78,5 = 329,7cm²; hộp kín hai đáy 251,2 + 2 × 78,5 = 408,2cm² (một đáy 3,14 × 5 × 5 = 78,5cm²).
• Sai đơn vị: diện tích ghi cm², m²; thể tích ghi cm³, m³. Khi đề trộn nhiều đơn vị (ví dụ đường kính tính bằng cm, chiều cao tính bằng m) phải đổi về cùng một đơn vị trước khi tính.
• Trộn hai giá trị π: đã chọn π = 3,14 thì dùng đến hết bài; trộn 3,14 với 3,14159 trong cùng một bài sẽ cho các kết quả không khớp nhau.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước, rồi mở đáp án để đối chiếu. Mọi bài lấy π = 3,14.

Bài 1. Hình trụ có bán kính đáy r = 9cm, chiều cao h = 6cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Bài 2. Hình trụ có đường kính đáy 12cm, chiều cao 25cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích.

Bài 3. Hình trụ có chu vi đáy 50,24cm và chiều cao 7cm. Tính diện tích xung quanh, bán kính đáy và thể tích.

Bài 4. Hình trụ có diện tích xung quanh 1256cm² và chiều cao 20cm. Tính bán kính đáy và thể tích.

Bài 5. Một thùng chứa hình trụ có đường kính đáy 1m, cao 1,5m (kích thước lòng thùng). Thùng chứa được bao nhiêu lít nước khi đầy? (1m³ = 1000 lít)

Bài 6. Một cột hình trụ có đường kính 40cm, cao 3m. Tính diện tích mặt xung quanh của cột theo mét vuông (không tính hai đầu).

Bài 7. Quay hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 7cm một vòng quanh cạnh AB. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ tạo thành.

Bài 8. Giữ nguyên chiều cao, tăng bán kính đáy hình trụ lên 3 lần. Diện tích xung quanh và thể tích thay đổi thế nào?

Xem thêm

• diện tích hình tròn
• diện tích hình vuông