Đường Cao Tam Giác Đều: Công Thức h = a√3/2

Đường cao tam giác đều cạnh a được tính bằng công thức h = a√3/2, trong đó a là độ dài cạnh của tam giác đều. Ví dụ: tam giác đều cạnh 10cm có đường cao h = 10√3/2 = 5√3 ≈ 8,66cm. Vì tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân ở cả ba đỉnh, đường cao này đồng thời cũng là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực — bài dưới đây trình bày cách chứng minh công thức, các tính chất cần nhớ, và cách tính đường cao cho các loại tam giác khác (cân, vuông, vuông cân).

Đường cao tam giác đều là gì?

Đường cao của tam giác đều là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện (cạnh đáy). Điểm mà đường cao cắt cạnh đáy gọi là chân đường cao. Vì tam giác đều có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau (đều bằng 60°), đường cao kẻ từ bất kỳ đỉnh nào cũng rơi đúng vào trung điểm của cạnh đối diện — đây là tính chất riêng chỉ có ở tam giác cân và tam giác đều, không đúng với tam giác thường.

Do tính đối xứng đó, mỗi đường cao trong tam giác đều đồng thời đóng 4 vai trò: đường cao, đường trung tuyến (nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện), đường phân giác (chia góc ở đỉnh thành hai góc 30°) và đường trung trực của cạnh đáy. Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm (xem trực tâm là gì), và ở riêng tam giác đều, trực tâm này trùng luôn với trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp — bốn điểm đặc biệt chỉ còn là một.

Công thức tính đường cao tam giác đều

h = (a√3) / 2

Trong đó: h là độ dài đường cao; a là độ dài cạnh của tam giác đều (cả ba cạnh bằng nhau nên dùng chung một ký hiệu a).

Chứng minh công thức bằng định lý Pythagore

Xét tam giác đều ABC cạnh a, kẻ đường cao AH (H là trung điểm BC). Vì H là trung điểm nên HB = HC = a/2. Xét tam giác vuông ABH (vuông tại H), áp dụng định lý Pythagore:

AB² = AH² + HB²  ⇒  AH² = AB² − HB² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4

Do đó: AH = √(3a²/4) = a√3/2. Vậy h = a√3/2 (điều phải chứng minh).

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tam giác đều ABC có cạnh a = 10cm. Đường cao: h = (10 × √3) / 2 = 5√3 ≈ 8,66cm.

Tính chất đường cao tam giác đều cần nhớ

• Ba đường cao bằng nhau: vì ba cạnh của tam giác đều bằng nhau nên ba đường cao kẻ từ ba đỉnh cũng có độ dài bằng nhau, đều bằng a√3/2.
• Chia tam giác thành hai tam giác vuông có góc 30°-60°-90° — KHÔNG phải tam giác vuông cân. Khi hạ đường cao AH, tam giác ABH có cạnh AH = a√3/2 và cạnh HB = a/2 là hai cạnh góc vuông khác độ dài nhau (một tam giác vuông cân đòi hỏi hai cạnh góc vuông bằng nhau và hai góc nhọn cùng 45°, còn ở đây góc B = 60°, góc BAH = 30°).
• Chia góc ở đỉnh thành hai góc 30°: vì đường cao đồng thời là đường phân giác của góc 60° ở đỉnh, nên mỗi nửa góc còn lại đúng 30°.
• Trực tâm trùng trọng tâm, tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp: đây là tính chất riêng chỉ có ở tam giác đều — bốn điểm đặc biệt của mọi tam giác (trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp) trùng làm một.
• Trùng với đường trung tuyến: đường cao kẻ từ một đỉnh trùng hoàn toàn với đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện (xem đường trung tuyến).

Đường cao trong các loại tam giác khác

Ngoài tam giác đều, đường cao còn được tính theo những cách khác nhau tùy loại tam giác. Công thức gốc áp dụng cho MỌI tam giác (kể cả tam giác tù, khi chân đường cao có thể nằm ngoài cạnh đáy) là: nếu biết diện tích S và cạnh đáy a thì h = 2S/a — xem cách tính diện tích từng loại tam giác tại diện tích tam giác. Dưới đây là công thức riêng cho ba loại thường gặp khi so sánh với tam giác đều.

Tam giác cân

Nếu biết cạnh bên b và cạnh đáy a: h = √(b² − (a/2)²)

Ví dụ: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, cạnh đáy 12cm. Đường cao: h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8cm.

Tam giác vuông

Đường cao ứng với cạnh huyền: h = (b × c) / a   (a: cạnh huyền; b, c: hai cạnh góc vuông)

Cách khác: nếu đã biết hai đoạn chiếu p, q mà chân đường cao chia cạnh huyền thành, có thể dùng h = √(p × q).

Ví dụ: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6cm và 8cm, cạnh huyền 10cm (theo định lý Pythagore). Đường cao: h = (6 × 8) / 10 = 4,8cm.

Tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là trường hợp riêng của tam giác vuông khi hai cạnh góc vuông bằng nhau. Ở mục này gọi cạnh góc vuông là a (cạnh huyền khi đó là a√2). Đường cao ứng với cạnh huyền: h = (a√2) / 2

Ví dụ: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 4cm (cạnh huyền khi đó là 4√2cm). Đường cao: h = (4 × √2) / 2 = 2√2 ≈ 2,83cm.

Bảng tóm tắt công thức đường cao theo từng loại tam giác

Lỗi hay gặp khi tính đường cao tam giác đều

• Tưởng nhầm là tam giác vuông cân: khi hạ đường cao chia tam giác đều thành hai tam giác vuông, hai tam giác đó có góc 30°-60°-90°, KHÔNG phải vuông cân — hai cạnh góc vuông (a/2 và a√3/2) không bằng nhau nên hai góc nhọn cũng không cùng 45°.
• Lấy cạnh bên làm đường cao ở tam giác cân: cạnh bên luôn dài hơn đường cao ứng với đáy — phải tính h = √(b² − (a/2)²), không lấy luôn độ dài cạnh bên.
• Áp dụng nhầm công thức a√3/2 cho tam giác không đều: công thức này chỉ đúng khi cả ba cạnh bằng nhau; tam giác cân (chỉ 2 cạnh bằng nhau) phải dùng công thức riêng h = √(b² − (a/2)²).
• Quên nhân 2 khi dùng công thức chung h = 2S/a: nhớ nhân diện tích với 2 trước khi chia cho cạnh đáy, không phải chia S trực tiếp cho a.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước khi xem đáp án để kiểm tra mức hiểu công thức.

Bài 1. Tính đường cao của tam giác đều có cạnh 8cm.

Bài 2. Một tam giác đều có đường cao h = 6√3cm. Tính độ dài cạnh a.

Bài 3. Tính đường cao của tam giác cân có cạnh bên 17cm, cạnh đáy 16cm.

Bài 4. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 9cm và 12cm. Tính cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền.

Bài 5. Một tam giác có diện tích 30cm² và cạnh đáy 10cm. Tính đường cao ứng với cạnh đáy đó.

Xem thêm

• diện tích tam giác
• trực tâm là gì