Trực Tâm Là Gì? Tính Chất, Cách Xác Định, Tìm Toạ Độ

Trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao trong tam giác đó, thường ký hiệu là điểm H. Đường cao là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện (hoặc phần kéo dài của cạnh đó). Mọi tam giác đều có đúng một trực tâm, nhưng vị trí của nó khác nhau tuỳ tam giác nhọn, vuông hay tù — chi tiết và cách tìm toạ độ trực tâm bằng số được trình bày đầy đủ dưới đây.

Trực tâm là gì?

Trong một tam giác, ba đường cao (kẻ từ ba đỉnh, mỗi đường vuông góc với cạnh đối diện) luôn cắt nhau tại đúng một điểm duy nhất. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. Đây là một trong bốn điểm đặc biệt của tam giác, bên cạnh trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

Vì mỗi tam giác chỉ có ba đường cao và ba đường cao này luôn đồng quy (cắt nhau tại một điểm), nên trực tâm luôn tồn tại và là duy nhất — không phụ thuộc tam giác đó thuộc loại nào.

Tính chất của trực tâm

Vị trí trực tâm theo từng loại tam giác

Vị trí của trực tâm so với tam giác thay đổi theo số đo góc:

• Tam giác nhọn (cả ba góc đều nhỏ hơn 90°): trực tâm nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông (có một góc bằng 90°): trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
• Tam giác tù (có một góc lớn hơn 90°): trực tâm nằm bên ngoài tam giác.

Với tam giác nhọn (kể cả tam giác đều), chỉ cần kẻ hai đường cao bất kỳ, giao điểm của chúng chính là trực tâm — cả ba đường cao đều nằm trọn trong tam giác.

Với tam giác vuông tại A, hai cạnh góc vuông AB và AC đã vuông góc với nhau sẵn — chúng chính là hai trong ba đường cao (đường cao từ B xuống AC chính là cạnh AB, đường cao từ C xuống AB chính là cạnh AC). Vì vậy trực tâm trùng thẳng với đỉnh góc vuông, không cần dựng thêm gì.

Với tam giác tù tại một đỉnh (ví dụ đỉnh C), hai đường cao kẻ từ hai đỉnh còn lại (A và B) sẽ có chân đường cao rơi ra ngoài cạnh đối diện, nên phải kéo dài cạnh đó ra ngoài tam giác mới hạ được đường vuông góc. Chỉ riêng đường cao kẻ từ đỉnh góc tù (từ C xuống AB) là vẫn nằm trong đoạn cạnh đáy. Giao điểm của ba đường cao (sau khi kéo dài) nằm hẳn bên ngoài tam giác.

Tam giác cân và tam giác đều

Trong tam giác cân, đường cao kẻ từ đỉnh cân xuống cạnh đáy đồng thời cũng là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của cạnh đáy đó — do đó trực tâm luôn nằm trên đường cao (cũng là trục đối xứng) này.

Trong tam giác đều, cả ba đường cao đều là trục đối xứng, nên bốn điểm đặc biệt trùng làm một: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp cùng nằm tại một điểm duy nhất (tâm của tam giác đều).

Đường thẳng Euler

Với tam giác thường (không đều), ba điểm trực tâm (H), trọng tâm (G) và tâm đường tròn ngoại tiếp (O) không trùng nhau, nhưng luôn thẳng hàng — đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Euler. Với ví dụ toạ độ ở phần dưới, có thể tự kiểm: trực tâm H, trọng tâm G và tâm ngoại tiếp O đều nằm trên cùng một đường thẳng.

Cách xác định trực tâm của tam giác

Về mặt dựng hình (dùng thước và êke), cách làm chung cho mọi tam giác là:

1. Chọn một đỉnh, đặt êke sao cho một cạnh góc vuông trùng với cạnh đối diện đỉnh đó, kẻ đường thẳng đi qua đỉnh theo cạnh góc vuông còn lại — đó là đường cao thứ nhất.
2. Lặp lại với một đỉnh khác để có đường cao thứ hai.
3. Giao điểm của hai đường cao vừa kẻ chính là trực tâm. Không cần vẽ đường cao thứ ba vì cả ba luôn đồng quy.

Lưu ý theo từng loại tam giác:

• Tam giác nhọn (kể cả tam giác đều): kẻ hai đường cao bình thường, giao điểm nằm trong tam giác. Tam giác cân thì xét góc ở đỉnh: nhọn thì trực tâm nằm trong, vuông thì trùng đỉnh, tù thì nằm ngoài.
• Tam giác vuông: không cần kẻ — trực tâm chính là đỉnh góc vuông.
• Tam giác tù: phải kéo dài cạnh đối diện đỉnh nhọn ra ngoài mới hạ được đường cao, giao điểm nằm ngoài tam giác.

Tìm toạ độ trực tâm trong mặt phẳng Oxy

Khi biết toạ độ ba đỉnh A, B, C, không có một công thức “trung bình cộng” đơn giản như trọng tâm — trực tâm phải tính bằng cách giải hệ hai phương trình đường cao. Cách làm:

1. Đường cao từ đỉnh A vuông góc với cạnh BC, nên nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. Phương trình: (x_C−x_B)(x−x_A) + (y_C−y_B)(y−y_A) = 0.
2. Đường cao từ đỉnh B vuông góc với cạnh AC, nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến. Phương trình: (x_C−x_A)(x−x_B) + (y_C−y_A)(y−y_B) = 0.
3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y) ở trên — nghiệm chính là toạ độ trực tâm H.

Ví dụ: Tam giác ABC có A(1, 1), B(7, 1), C(3, 6).

Vectơ BC = (3−7, 6−1) = (−4, 5) → đường cao từ A: −4(x−1) + 5(y−1) = 0, hay y = (4x+1)/5.

Vectơ AC = (3−1, 6−1) = (2, 5) → đường cao từ B: 2(x−7) + 5(y−1) = 0, hay y = (−2x+19)/5.

Giải hệ: (4x+1)/5 = (−2x+19)/5 → 4x+1 = −2x+19 → 6x = 18 → x = 3, thay vào được y = 2,6.

Vậy trực tâm H(3; 2,6). Kiểm lại: thế toạ độ H vào cả hai phương trình đường cao, cả hai đều ra 0.

Lưu ý: một cách viết công thức toạ độ trực tâm theo kiểu “lấy trung bình cộng ba đỉnh” — x_H = (x_A+x_B+x_C)/3 — là sai, vì đó chính là công thức tính toạ độ trọng tâm, không phải trực tâm. Với ví dụ trên, trung bình cộng ba đỉnh cho điểm (3,667; 2,667), khác hẳn trực tâm thật (3; 2,6).

Phân biệt trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp

Bốn điểm đặc biệt của tam giác rất dễ nhầm lẫn vì đều là “giao điểm của ba đường” nào đó trong tam giác. Bảng dưới đây tóm tắt điểm khác nhau:

Điểm cần nhớ: trực tâm và tâm ngoại tiếp là hai điểm khác nhau trong mọi tam giác không đều — trực tâm gắn với đường cao (vuông góc với cạnh), còn tâm ngoại tiếp gắn với đường trung trực (đi qua trung điểm cạnh). Chúng chỉ trùng nhau khi tam giác đều.

Lỗi hay gặp khi học về trực tâm

• Nhầm trực tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp: hai điểm này chỉ trùng nhau ở tam giác đều; với tam giác thường, trực tâm (giao 3 đường cao) và tâm ngoại tiếp (giao 3 đường trung trực) là hai điểm khác nhau.
• Dùng nhầm công thức toạ độ trọng tâm cho trực tâm: công thức trung bình cộng ba đỉnh (x_A+x_B+x_C)/3 chỉ ra toạ độ trọng tâm, không phải trực tâm. Muốn tìm trực tâm phải giải hệ phương trình hai đường cao như hướng dẫn ở trên.
• Nhầm vị trí trực tâm giữa tam giác nhọn và tam giác tù: chỉ tam giác tù mới có trực tâm nằm ngoài; tam giác nhọn luôn có trực tâm ở bên trong.
• Quên trường hợp tam giác vuông: nhiều bạn vẫn cố kẻ đường cao để tìm trực tâm tam giác vuông, trong khi trực tâm đã có sẵn — chính là đỉnh góc vuông.
• Nhầm cạnh đáy khi tam giác tù: khi kéo dài cạnh để hạ đường cao, chỉ cần kéo dài đúng cạnh đối diện với đỉnh có góc nhọn đang xét (không phải cạnh đối diện góc tù).

Bài tập tự luyện

Tự làm trước khi xem đáp án.

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại B. Trực tâm của tam giác nằm ở đâu?

Bài 2. Tam giác ABC có góc A = 40°, góc B = 35°, góc C = 105°. Trực tâm của tam giác nằm trong hay ngoài tam giác? Vì sao?

Bài 3. Tam giác ABC có A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4). Tìm toạ độ trực tâm H.

Bài 4. Vì sao trong tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp lại trùng nhau tại một điểm?

Xem thêm

• diện tích tam giác