Đường Trung Tuyến Là Gì? Tính Chất Và Công Thức Tính

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có đúng 3 đường trung tuyến, và cả 3 đường này luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất gọi là trọng tâm. Ví dụ: nếu M là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC thì đoạn thẳng AM chính là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. Bài viết dưới đây trình bày đầy đủ tính chất, công thức tính độ dài, các trường hợp đặc biệt (tam giác vuông, cân, đều) kèm ví dụ số có lời giải.

Đường trung tuyến là gì?

Một đoạn thẳng chỉ được gọi là đường trung tuyến của tam giác khi thỏa đủ 2 điều kiện: (1) một đầu là đỉnh của tam giác, (2) đầu còn lại là trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó. Thiếu 1 trong 2 điều kiện thì đoạn thẳng đó KHÔNG phải là đường trung tuyến — ví dụ nếu điểm N nằm trên cạnh BC nhưng BN ≠ NC thì AN chỉ là một đoạn thẳng bình thường, không phải trung tuyến. Với tam giác ABC, 3 đường trung tuyến là AM (M là trung điểm BC), BN (N là trung điểm AC) và CP (P là trung điểm AB).

Tính chất của đường trung tuyến

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm 3 đường trung tuyến). Trên đường trung tuyến AM, trọng tâm G luôn chia đoạn AM thành 2 phần theo đúng tỉ lệ:

AG = (2/3) × AM    và    GM = (1/3) × AM    (tức AG = 2 × GM)

Ví dụ: Đường trung tuyến AM dài 21cm. Áp dụng tỉ lệ trên: AG = (2/3) × 21 = 14cm, GM = (1/3) × 21 = 7cm (14 + 7 = 21, đúng bằng AM). Tỉ lệ này áp dụng như nhau cho cả 3 đường trung tuyến BN, CP.

Đường trung tuyến chia đôi diện tích tam giác

Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Khi vẽ đủ 3 đường trung tuyến, tam giác bị chia thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau, và 3 tam giác lớn hơn tạo bởi trọng tâm với từng cạnh (GAB, GBC, GCA) cũng có diện tích bằng nhau, mỗi tam giác bằng 1/3 diện tích tam giác gốc.

Ví dụ: Tam giác ABC có diện tích 48cm², AM là đường trung tuyến. Khi đó: S(ABM) = S(ACM) = 48/2 = 24cm². Nếu vẽ đủ 3 đường trung tuyến: mỗi tam giác nhỏ trong 6 phần = 48/6 = 8cm²; mỗi tam giác trong 3 phần lớn (GAB, GBC, GCA) = 48/3 = 16cm².

Phân biệt đường trung tuyến với đường cao, đường phân giác, đường trung trực

Đây là 4 đoạn/đường đặc biệt khác nhau của tam giác, rất dễ nhầm với nhau vì đều gắn với 1 đỉnh hoặc 1 cạnh:

• Đường trung tuyến: nối 1 đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.
• Đường cao (xem thêm đường cao tam giác đều): đi qua 1 đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó).
• Đường phân giác: đi qua 1 đỉnh, chia góc ở đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau.
• Đường trung trực: vuông góc với 1 cạnh ngay tại trung điểm của cạnh đó — không bắt buộc phải đi qua đỉnh đối diện.

Trong tam giác thường, 4 đường này là 4 đường hoàn toàn khác nhau. Chúng chỉ trùng nhau trong 2 trường hợp đặc biệt: tam giác cân (đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác của góc ở đỉnh cân và đường trung trực của cạnh đáy) và tam giác đều (cả 3 đường trung tuyến đều có tính chất này; điểm đồng quy chung vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm — xem trực tâm là gì — vừa là tâm đường tròn nội tiếp, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp).

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Khi biết độ dài cả 3 cạnh của tam giác, có thể tính chính xác độ dài đường trung tuyến bằng công thức rút ra từ định lý Apollonius, không cần đo trực tiếp:

m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4   →   m_a = ½ × √(2b² + 2c² − a²)

Trong đó: a là cạnh BC (cạnh đối diện đỉnh A), b là cạnh CA, c là cạnh AB, và m_a là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A xuống trung điểm cạnh a. Lưu ý: chỉ số của trung tuyến (a, b hay c) luôn tương ứng với cạnh ĐỐI DIỆN đỉnh xuất phát, không phải cạnh đi qua đỉnh đó. Tương tự có m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4 và m_c² = (2a² + 2b² − c²)/4.

Ví dụ: Tam giác ABC có a = BC = 8cm, b = CA = 7cm, c = AB = 9cm. Tính đường trung tuyến m_a kẻ từ đỉnh A: m_a = ½ × √(2×7² + 2×9² − 8²) = ½ × √(98 + 162 − 64) = ½ × √196 = ½ × 14 = 7cm.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có một tính chất đặc biệt: độ dài bằng đúng một nửa cạnh huyền. Nếu M là trung điểm cạnh huyền thì khoảng cách từ M đến cả 3 đỉnh đều bằng nhau (M cách đều 3 đỉnh vì M chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó).

Ví dụ: Tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông 6cm và 8cm. Cạnh huyền tính theo Pythagoras: √(6² + 8²) = √100 = 10cm. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = 10/2 = 5cm.

Mệnh đề đảo cũng đúng: nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng đúng một nửa cạnh đó, thì tam giác này là tam giác vuông, với cạnh đó là cạnh huyền. Lưu ý tính chất “bằng nửa cạnh” CHỈ áp dụng cho trung tuyến ứng với cạnh huyền — 2 đường trung tuyến còn lại (ứng với 2 cạnh góc vuông) vẫn phải tính theo công thức chung ở mục trên.

Đường trung tuyến trong tam giác cân

Trong tam giác cân tại đỉnh A (AB = AC), đường trung tuyến AM ứng với cạnh đáy BC đồng thời là đường cao (vuông góc với BC tại M), đường phân giác của góc A, và đường trung trực của cạnh BC. Nhờ đó có thể tính độ dài AM bằng định lý Pythagoras thay vì công thức Apollonius.

Ví dụ (đối chiếu 2 cách tính, cùng 1 tam giác): Tam giác cân có 2 cạnh bên 13cm, cạnh đáy 10cm. Cách 1 (Pythagoras, vì AM cũng là đường cao): AM = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12cm. Cách 2 (công thức Apollonius với a = đáy = 10, b = c = cạnh bên = 13): AM = ½ × √(2×13² + 2×13² − 10²) = ½ × √(338 + 338 − 100) = ½ × √576 = ½ × 24 = 12cm — khớp với cách 1.

Đường trung tuyến trong tam giác đều

Trong tam giác đều, cả 3 cạnh bằng nhau nên cả 3 đường trung tuyến cũng bằng nhau, và mỗi đường vừa là trung tuyến, vừa là đường cao — xem thêm đường cao tam giác đều — vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực của cạnh tương ứng. Với cạnh a, độ dài mỗi đường trung tuyến là:

m = (a × √3) / 2

Điểm đồng quy của 3 đường trung tuyến trong tam giác đều đặc biệt ở chỗ nó trùng làm 4 vai trò cùng lúc: vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm (xem trực tâm là gì), vừa là tâm đường tròn nội tiếp, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Ví dụ: Tam giác đều cạnh 8cm. Độ dài mỗi đường trung tuyến: m = (8 × √3)/2 = 4√3 ≈ 6,93cm. Tính chất chia diện tích ở mục trên cũng áp dụng: nếu biết diện tích tam giác đều này, vẫn có thể suy ra diện tích 6 phần nhỏ bằng cách chia đều cho 6 — xem thêm diện tích tam giác.

Cách vẽ đường trung tuyến

Để vẽ đường trung tuyến từ 1 đỉnh của tam giác bằng thước có vạch chia:

1. Đo độ dài cạnh đối diện đỉnh cần vẽ trung tuyến.
2. Chia đôi số đo vừa đo được để xác định trung điểm, đánh dấu điểm đó lên cạnh.
3. Dùng thước thẳng nối đỉnh với trung điểm vừa đánh dấu — đoạn thẳng vừa vẽ chính là đường trung tuyến.

Lặp lại 3 bước trên với 2 đỉnh còn lại để vẽ đủ 3 đường trung tuyến. Nếu vẽ chính xác, cả 3 đường sẽ cắt nhau tại đúng 1 điểm (trọng tâm) — đây cũng là cách tự kiểm hình vẽ có đúng hay không.

Bảng tóm tắt tính chất và công thức đường trung tuyến

Lỗi hay gặp khi học đường trung tuyến

• Nhầm trung tuyến với đường cao: đường trung tuyến luôn đi qua trung điểm cạnh đối diện nhưng KHÔNG bắt buộc vuông góc với cạnh đó — chỉ vuông góc trong tam giác cân (ứng với cạnh đáy) hoặc tam giác đều.
• Nhầm chỉ số trong công thức: m_a là trung tuyến kẻ từ đỉnh A, nhưng trong công thức lại dùng cạnh a = BC (cạnh ĐỐI DIỆN đỉnh A), không phải một cạnh đi qua A.
• Nhầm tỉ lệ trọng tâm: đoạn từ đỉnh đến trọng tâm (AG) dài gấp đôi đoạn từ trọng tâm đến trung điểm cạnh (GM), tức AG = ⅔ cả đường trung tuyến — không phải AG = ½.
• Áp dụng sai tính chất tam giác vuông: chỉ đường trung tuyến ứng với cạnh HUYỀN mới bằng nửa cạnh đó; 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh góc vuông vẫn phải tính bằng công thức Apollonius như bình thường.
• Quên kiểm tra tam giác hợp lệ: trước khi áp dụng công thức tính độ dài, cần chắc chắn 3 cạnh a, b, c tạo thành một tam giác thật (mỗi cạnh phải nhỏ hơn tổng 2 cạnh còn lại), nếu không giá trị dưới dấu căn có thể ra số âm.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước khi xem đáp án để kiểm tra mức hiểu bài.

Bài 1. Đường trung tuyến AM của một tam giác dài 24cm. G là trọng tâm. Tính AG và GM.

Bài 2. Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 26cm. M là trung điểm BC. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Bài 3. Tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 17cm, BC = 16cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM ứng với cạnh đáy BC.

Bài 4. Tính độ dài mỗi đường trung tuyến của một tam giác đều cạnh 10cm.

Bài 5. Tam giác ABC có a = BC = 9cm, b = CA = 10cm, c = AB = 11cm. Tính độ dài đường trung tuyến m_a kẻ từ đỉnh A.

Bài 6. Tam giác ABC có diện tích 54cm². AM là đường trung tuyến. Tính diện tích tam giác ABM và diện tích mỗi phần khi chia tam giác ABC bằng đủ 3 đường trung tuyến.

Xem thêm

• trực tâm là gì
• đường cao tam giác đều
• diện tích tam giác