Đường Trung Trực Là Gì? Tính Chất, Cách Vẽ Và Bài Tập
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực đều cách đều hai mút của đoạn thẳng. Ngược lại, điểm nào cách đều hai mút thì nằm trên đường trung trực. Trong một tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh cùng đi qua một điểm O cách đều ba đỉnh, và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đây là kiến thức hình học lớp 7.
Đường trung trực là gì?
Cho đoạn thẳng AB, gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với AB được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Như vậy, một đường thẳng là trung trực của AB khi thoả cả hai điều kiện:
- đi qua trung điểm M của AB, tức là MA = MB = AB/2;
- vuông góc với AB.
Thiếu một trong hai điều kiện thì không phải trung trực. Một đường thẳng qua M nhưng không vuông góc với AB chỉ là một đường đi qua trung điểm. Một đường thẳng vuông góc với AB tại một điểm khác M chỉ là một đường vuông góc.
Vài điều cần nhớ:
- Trung trực là một đường thẳng, kéo dài vô hạn về hai phía. Nó không phải đoạn thẳng hay tia; trên hình chỉ vẽ được một phần của nó.
- Trong mặt phẳng, mỗi đoạn thẳng có đúng một đường trung trực. Lý do: đoạn thẳng chỉ có một trung điểm, và qua một điểm chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với AB.
- Đường trung trực là trục đối xứng của đoạn thẳng. Gấp tờ giấy theo d thì A trùng khít với B.
- Cách ghi thường dùng: d ⊥ AB tại M, MA = MB.
Tính chất của đường trung trực
Tính chất thuận
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nói cách khác, nếu N nằm trên trung trực d của AB thì NA = NB.
Chứng minh: nếu N trùng M thì NA = NB vì M là trung điểm. Nếu N khác M, xét hai tam giác NMA và NMB. Hai tam giác này có MA = MB, góc NMA bằng góc NMB (cùng bằng 90°) và cạnh NM chung. Vậy ΔNMA = ΔNMB (c.g.c), suy ra NA = NB.
Tính chất đảo
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Chứng minh: giả sử NA = NB. Nếu N nằm trên đoạn AB thì N chính là trung điểm M, nên N thuộc trung trực. Nếu N không nằm trên AB, gọi M là trung điểm AB. Hai tam giác NMA và NMB có NA = NB, MA = MB và NM chung, nên ΔNMA = ΔNMB (c.c.c). Suy ra góc NMA bằng góc NMB. Hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 90°. Vậy NM vuông góc với AB tại trung điểm M, tức là N nằm trên trung trực của AB.
Gộp lại: tập hợp các điểm cách đều hai mút
Ghép hai tính chất trên, ta có: tập hợp các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng AB chính là đường trung trực của AB. Ý này giúp giải nhiều bài toán. Muốn chứng minh một điểm nằm trên trung trực, chỉ cần chứng minh điểm đó cách đều A và B. Ngược lại, biết một điểm nằm trên trung trực thì suy ra ngay hai đoạn thẳng bằng nhau.
Cách vẽ đường trung trực bằng thước và compa
- Mở compa một khoảng r lớn hơn nửa độ dài AB. Đặt mũi nhọn tại A rồi quay một cung, sao cho cung đi qua cả phía trên lẫn phía dưới đoạn AB.
- Giữ nguyên độ mở compa, đặt mũi nhọn tại B và quay cung thứ hai. Hai cung cắt nhau tại hai điểm, gọi là C (phía trên) và D (phía dưới).
- Dùng thước kẻ đường thẳng đi qua C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của AB, và giao điểm của CD với AB là trung điểm M.
Vì sao cách vẽ này đúng? C nằm trên cả hai cung có cùng bán kính r, nên CA = CB = r. Tương tự, DA = DB = r. Theo tính chất đảo, cả C và D đều nằm trên trung trực của AB. Qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng, nên đường thẳng CD chính là trung trực.
Những lỗi khi vẽ bằng compa
| Lỗi | Điều xảy ra | Cách sửa |
|---|---|---|
| Mở compa đúng bằng AB/2 | Hai đường tròn chỉ chạm nhau tại một điểm (chính là M), nên không có hai giao điểm để kẻ đường thẳng | Mở compa rộng hơn nửa AB |
| Mở compa nhỏ hơn AB/2 | Hai cung không cắt nhau | Mở compa rộng hơn nửa AB |
| Đổi độ mở compa giữa hai lần quay | Đường nối hai giao điểm vẫn vuông góc với AB nhưng không đi qua trung điểm; nó lệch về phía đầu mút có bán kính nhỏ hơn | Giữ nguyên độ mở compa cho cả hai cung |
| Quay cung quá ngắn | Hai cung chưa gặp nhau, dù bán kính đã đủ lớn | Quay cung dài hơn, ở cả phía trên và phía dưới AB |
| Hai giao điểm quá gần nhau | Thước dễ bị lệch, đường kẻ ra thiếu chính xác | Chọn r lớn hơn để C và D cách xa nhau |
Nếu giấy chỉ đủ chỗ ở một phía của AB, bạn vẫn có thể lấy hai giao điểm ở cùng một phía. Quay một cặp cung với bán kính r1, rồi quay thêm một cặp cung với bán kính r2 khác r1. Cả hai bán kính đều phải lớn hơn AB/2, và mỗi cặp cung phải dùng cùng một bán kính. Nối hai giao điểm thu được, ta có đường trung trực.
Vẽ bằng thước có chia khoảng và êke
Đo độ dài AB rồi đánh dấu trung điểm M sao cho MA = MB = AB/2. Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với AB, đỉnh góc vuông đặt đúng tại M, rồi kẻ theo cạnh góc vuông còn lại. Đường vừa kẻ là trung trực của AB. Cách này nhanh nhưng phụ thuộc vào độ chính xác của phép đo. Cách dùng compa thì không cần đo độ dài.
Cách chứng minh một đường thẳng là đường trung trực
Có hai cách. Chọn cách nào tuỳ vào dữ kiện đề bài cho.
Cách 1: vuông góc tại trung điểm
Chứng minh đường thẳng d vuông góc với AB và đi qua trung điểm của AB. Phải có đủ cả hai ý. Chỉ có “d ⊥ AB”, hoặc chỉ có “d đi qua trung điểm”, thì chưa đủ để kết luận.
Cách 2: hai điểm cùng cách đều hai mút
Chỉ ra trên d có hai điểm phân biệt P và Q cùng cách đều A và B, tức là PA = PB và QA = QB. Theo tính chất đảo, P và Q đều nằm trên trung trực của AB. Qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng, nên d (chính là đường thẳng PQ) là trung trực của AB. Nếu chỉ có một điểm thì chưa đủ, vì qua một điểm có vô số đường thẳng.
Cách 2 hợp với các bài có tam giác cân. Nếu hai tam giác cân có chung đáy AB, thì đường thẳng nối hai đỉnh của chúng là trung trực của AB. Cách vẽ bằng compa ở trên thực chất cũng là cách 2.
Ba đường trung trực của tam giác
Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là một đường trung trực của tam giác. Vì vậy mỗi tam giác có ba đường trung trực.
Định lí: ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này, thường kí hiệu là O, cách đều ba đỉnh: OA = OB = OC.
Chứng minh: trung trực của AB và trung trực của AC cắt nhau, vì AB và AC không song song. Gọi giao điểm đó là O. O nằm trên trung trực của AB nên OA = OB. O nằm trên trung trực của AC nên OA = OC. Suy ra OB = OC, nghĩa là O cũng nằm trên trung trực của BC.
Vì OA = OB = OC, đường tròn tâm O bán kính OA đi qua cả ba đỉnh. Đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, còn O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Giao điểm ba đường trung trực nằm ở đâu?
| Loại tam giác | Vị trí của O | Ghi chú |
|---|---|---|
| Tam giác nhọn | Bên trong tam giác | Ba góc đều nhọn |
| Tam giác vuông | Trung điểm của cạnh huyền | OA = OB = OC = cạnh huyền : 2 |
| Tam giác tù | Bên ngoài tam giác | O và đỉnh góc tù nằm ở hai phía của cạnh đối diện góc tù (cạnh lớn nhất) |
| Tam giác cân tại A | Trên trung trực của đáy BC; đường này đi qua A và là trục đối xứng của tam giác | Hai góc ở đáy luôn nhọn, nên O nằm trong tam giác, trên cạnh BC hay ngoài tam giác là tuỳ góc A nhọn, vuông hay tù |
| Tam giác đều cạnh a | Trùng với trọng tâm, trực tâm và giao điểm ba đường phân giác | OA = a√3/3 |
O nằm ngoài tam giác khi và chỉ khi tam giác có một góc tù. O nằm trên một cạnh khi và chỉ khi tam giác vuông, và cạnh đó là cạnh huyền.
Tam giác cân, tam giác vuông và tam giác đều
Tam giác cân: nếu tam giác ABC cân tại A (AB = AC) thì A cách đều B và C, nên A nằm trên trung trực của đáy BC. Khi đó trung trực của BC đi qua A và chứa luôn đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh A. Điều này chỉ đúng với các đường đi ra từ đỉnh A. Trung tuyến kẻ từ B hay từ C nói chung không trùng với phân giác hay đường cao kẻ từ cùng đỉnh đó. Riêng tam giác đều thì điều trên đúng ở cả ba đỉnh.
Ngược lại, trung trực của BC đi qua A khi và chỉ khi AB = AC. Vì vậy, trung trực của một cạnh chỉ đi qua đỉnh đối diện khi hai cạnh kề đỉnh đó bằng nhau.
Tam giác vuông: nếu tam giác ABC vuông tại A thì giao điểm ba trung trực là trung điểm O của cạnh huyền BC, và OA = OB = OC = BC/2. Từ đây có hệ quả: trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Tam giác đều cạnh a: O trùng với trọng tâm, nằm trên đường cao và cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 đường cao. Đường cao của tam giác đều cạnh a dài a√3/2 (xem đường cao tam giác đều), nên OA = 2/3 · a√3/2 = a√3/3.
Phân biệt đường trung trực với trung tuyến, phân giác, đường cao
Bốn đường này dễ bị nhầm vì cùng gắn với tam giác. Khác biệt chính là: trung trực gắn với một cạnh và không bắt buộc đi qua đỉnh nào, còn ba đường kia đều xuất phát từ một đỉnh. Bảng dưới xét tam giác ABC, với các đường liên quan tới cạnh BC.
| Đường | Định nghĩa | Vuông góc với cạnh? | Qua trung điểm cạnh? | Bắt buộc qua đỉnh? | Ba đường cắt nhau tại |
|---|---|---|---|---|---|
| Trung trực của BC | Đường thẳng vuông góc với BC tại trung điểm của BC | Có | Có | Không; chỉ đi qua A khi AB = AC | Tâm đường tròn ngoại tiếp, cách đều ba đỉnh |
| Trung tuyến từ A | Đoạn thẳng nối A với trung điểm của BC | Không nhất thiết | Có | Có, xuất phát từ A | Trọng tâm, cách mỗi đỉnh 2/3 độ dài trung tuyến đi qua đỉnh đó |
| Phân giác từ A | Đoạn thẳng từ A, chia góc A thành hai góc bằng nhau, kết thúc trên BC | Không nhất thiết | Không nhất thiết | Có | Điểm cách đều ba cạnh (tâm đường tròn nội tiếp) |
| Đường cao từ A | Đoạn thẳng từ A vuông góc với đường thẳng BC | Có (vuông góc với đường thẳng chứa BC) | Không nhất thiết | Có | Trực tâm |
Cách nhớ: tên “trung trực” ghép từ trung điểm và vuông góc (như trong “trực giao”), nên trung trực có đủ hai ý. Trung tuyến chỉ có ý trung điểm, đường cao chỉ có ý vuông góc, và cả hai đều đi ra từ đỉnh. Mỗi đường được trình bày kỹ hơn ở bài đường trung tuyến và bài trực tâm.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: tính độ dài nhờ tính chất trung trực
Đề: cho đoạn thẳng AB = 7 cm. Đường trung trực d của AB cắt AB tại M. Lấy điểm N trên d sao cho NA = 6,5 cm. Tính AM, NB và NM (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Giải:
- M là trung điểm của AB nên AM = 7 : 2 = 3,5 (cm).
- N nằm trên trung trực của AB nên NB = NA = 6,5 cm.
- d ⊥ AB tại M nên tam giác NMA vuông tại M. Theo định lí Pythagore: NM² = NA² − AM² = 42,25 − 12,25 = 30. Suy ra NM = √30 ≈ 5,48 (cm).
Ví dụ 2: tam giác vuông
Đề: tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 15 cm. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác. Tính BC và OA.
Giải: theo định lí Pythagore, BC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, nên BC = 17 cm. Tam giác ABC vuông tại A nên O là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó OA = OB = OC = 17 : 2 = 8,5 (cm).
Ví dụ 3: tam giác đều
Đề: cho tam giác đều ABC cạnh 6 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Giải: trong tam giác đều cạnh a, tâm O cách mỗi đỉnh một khoảng a√3/3. Với a = 6 thì OA = 6√3/3 = 2√3 ≈ 3,46 (cm).
Ví dụ 4: chứng minh một đường là trung trực
Đề: cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là đường trung trực của BC.
Giải (cách 2): AB = AC nên A cách đều B và C. MB = MC nên M cũng cách đều B và C. A không nằm trên BC nên A khác M. Như vậy A và M là hai điểm phân biệt cùng cách đều hai mút của BC, nên đường thẳng AM là trung trực của BC.
Giải (cách 1): hai tam giác ABM và ACM có AB = AC, BM = CM và AM chung, nên bằng nhau (c.c.c). Suy ra góc AMB bằng góc AMC. Hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 90°. Vậy AM vuông góc với BC tại trung điểm M.
Bài tự luyện có đáp án
- Cho đoạn thẳng CD = 11 cm, I là trung điểm của CD. Điểm E nằm trên đường trung trực của CD, với EC = 9,5 cm. Tính CI, ED và EI (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
- Tam giác DEF vuông tại D có DE = 20 cm, DF = 21 cm. Tính cạnh huyền EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
- Cho tam giác đều cạnh 9 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (làm tròn đến hai chữ số thập phân).
- Một tam giác có ba góc là 30°, 40° và 110°. Giao điểm ba đường trung trực của nó nằm trong tam giác, trên một cạnh hay ngoài tam giác?
| Bài | Đáp án | Cách tính |
|---|---|---|
| 1 | CI = 5,5 cm; ED = 9,5 cm; EI ≈ 7,75 cm | CI = 11 : 2. E nằm trên trung trực nên ED = EC. Tam giác EIC vuông tại I: EI² = 9,5² − 5,5² = 90,25 − 30,25 = 60 |
| 2 | EF = 29 cm; bán kính 14,5 cm | EF² = 400 + 441 = 841. Tâm là trung điểm cạnh huyền EF nên bán kính = 29 : 2 |
| 3 | 3√3 ≈ 5,20 cm | Bán kính = 9√3/3 = 3√3 |
| 4 | Nằm ngoài tam giác | Góc 110° lớn hơn 90° nên đây là tam giác tù. Giao điểm và đỉnh góc 110° nằm ở hai phía của cạnh đối diện góc đó |
Xem thêm
Câu hỏi thường gặp
Muốn chọn một vị trí cách đều hai địa điểm thì dùng đường trung trực thế nào?
Đánh dấu hai địa điểm là A và B, nối thành đoạn AB rồi vẽ trung trực của AB. Bất kỳ điểm nào trên đường này cũng cách đều A và B, nên có thể chọn điểm thuận tiện nhất trên đó. Nếu cần cách đều ba địa điểm không thẳng hàng, lấy giao điểm hai đường trung trực; khi ba địa điểm thẳng hàng thì không có điểm nào như vậy.
Làm sao tìm tâm của một vật hình tròn như cái đĩa?
Đặt đĩa lên giấy, đồ theo mép để được đường tròn. Chọn hai dây cung không song song, mỗi dây nối hai điểm trên đường tròn, rồi vẽ trung trực của từng dây. Tâm đường tròn cách đều hai đầu mỗi dây nên nằm trên cả hai trung trực; giao điểm của chúng chính là tâm.
Viết phương trình đường trung trực trong hệ toạ độ thế nào?
Với A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂), trung trực đi qua trung điểm M của AB và nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ A(1; 2), B(5; 6): M(3; 4), vectơ AB = (4; 4), nên phương trình là 4(x − 3) + 4(y − 4) = 0, rút gọn x + y − 7 = 0. Đây là kiến thức lớp 10.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường tính bằng công thức nào?
Dùng R = abc : (4S), với a, b, c là ba cạnh và S là diện tích tam giác. Ví dụ tam giác có ba cạnh 13 cm, 14 cm, 15 cm: theo Heron S = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 cm², nên R = 13 × 14 × 15 : (4 × 84) = 2730 : 336 = 8,125 cm.
Hai đường trung trực của hai cạnh chung đỉnh A tạo với nhau góc bao nhiêu?
Mỗi trung trực vuông góc với một cạnh, nên góc giữa hai trung trực bằng góc giữa hai cạnh AB và AC. Cụ thể, góc nhọn tạo bởi hai trung trực bằng góc A nếu A nhọn, và bằng 180° − A nếu A tù; A vuông thì hai trung trực vuông góc với nhau. Ví dụ góc A = 70° hoặc 110° thì góc nhọn giữa hai trung trực đều là 70°.