Đường Chéo Hình Thoi: Tính Chất, Công Thức Tính, Bài Tập

Đường chéo hình thoi là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện, nên mỗi hình thoi có đúng hai đường chéo. Hai đường chéo này vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và là đường phân giác các góc của hình thoi. Cách tính độ dài một đường chéo tùy dữ kiện đề cho. Biết diện tích S và đường chéo kia thì d₁ = 2 × S : d₂. Biết cạnh a và đường chéo kia thì d₁ = 2 × √(a² − (d₂ : 2)²). Biết cạnh a và góc α tại đỉnh A thì BD = 2a·sin(α/2) và AC = 2a·cos(α/2).

Đường chéo hình thoi là gì?

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Trong hình thoi ABCD, đỉnh A đối diện đỉnh C và đỉnh B đối diện đỉnh D. Vì vậy hai đường chéo là AC và BD. Các đoạn AB, BC, CD, DA nối hai đỉnh kề nhau nên là cạnh, không phải đường chéo.

Quy ước dùng trong cả bài: d₁ = AC, d₂ = BD, a là độ dài cạnh, O là giao điểm của hai đường chéo, S là diện tích, P là chu vi.

Hình thoi có hai cặp cạnh đối song song nên là một hình bình hành đặc biệt. Vì thế mọi tính chất về đường chéo của hình bình hành đều đúng với hình thoi. Hình thoi còn có thêm những tính chất riêng, nêu ở mục dưới.

Tính chất hai đường chéo của hình thoi

Trong hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD có bốn tính chất sau:

1. Vuông góc với nhau: AC ⊥ BD tại O.
2. Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA = OC = d₁/2 và OB = OD = d₂/2.
3. Là đường phân giác các góc: AC chia đôi góc A và góc C, BD chia đôi góc B và góc D.
4. Là trục đối xứng: gấp hình thoi theo AC hoặc theo BD thì hai nửa trùng khít nhau.

Từ bốn tính chất trên, hai đường chéo chia hình thoi thành bốn tam giác vuông bằng nhau: AOB, BOC, COD, DOA. Mỗi tam giác có cạnh huyền là một cạnh a của hình thoi. Mỗi đường chéo lại chia hình thoi thành hai tam giác cân bằng nhau. Chẳng hạn AC tạo ra tam giác ABC cân tại B và tam giác ADC cân tại D.

Vì sao hai đường chéo vuông góc và là phân giác?

Bước 1. Hình thoi là hình bình hành, nên O là trung điểm của cả AC và BD.

Bước 2. Tam giác ABC có BA = BC nên cân tại B. BO là đường trung tuyến ứng với đáy AC. Trong tam giác cân, đường trung tuyến này đồng thời là đường cao và đường phân giác. Vậy BO ⊥ AC và BO chia đôi góc ABC.

Bước 3. Lập luận tương tự với tam giác ABD cân tại A: AO chia đôi góc BAD.

Hai đường chéo của hình thoi có bằng nhau không?

Nói chung là không. Giả sử thêm điều kiện AC = BD. Khi đó hình thoi (cũng là hình bình hành) có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật. Tứ giác vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật thì là hình vuông.

Vậy hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi hình thoi là hình vuông. Lúc đó mỗi đường chéo bằng a√2. Nếu hình thoi có góc nhọn thì đường chéo đi qua đỉnh góc nhọn dài hơn đường chéo còn lại.

Nhận biết hình thoi qua đường chéo

• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Một tứ giác bất kỳ có hai đường chéo vuông góc chưa chắc là hình thoi, ví dụ hình cánh diều. Tứ giác chỉ là hình thoi khi hai đường chéo vừa vuông góc, vừa cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Bảng tóm tắt: biết gì thì tính đường chéo thế nào

Công thức tính đường chéo hình thoi

Biết diện tích và một đường chéo

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: S = d₁ × d₂ : 2. Ở tiểu học, công thức này thường viết là S = (m × n) : 2, với m, n là độ dài hai đường chéo.

Lý do: hình thoi nằm vừa trong một hình chữ nhật có hai cạnh dài d₁ và d₂, và chiếm đúng một nửa diện tích hình chữ nhật đó. Từ công thức diện tích suy ra:

d₁ = 2 × S : d₂

Ví dụ 1. Hình thoi có diện tích 150 cm² và đường chéo BD = 12 cm. Tính AC.

Giải: AC = 2 × 150 : 12 = 300 : 12 = 25 cm.

Thử lại: 25 × 12 : 2 = 150 cm², khớp với đề.

Biết cạnh và một đường chéo

Tam giác AOB vuông tại O. Cạnh huyền của nó là AB = a, hai cạnh góc vuông là OA = d₁/2 và OB = d₂/2. Theo định lí Pythagore:

(d₁/2)² + (d₂/2)² = a², suy ra d₁ = 2 × √(a² − (d₂/2)²).

Điều kiện để có hình thoi: đường chéo đã biết phải ngắn hơn 2a.

Ví dụ 2. Hình thoi có cạnh 17 cm và đường chéo BD = 16 cm. Tính AC.

Giải: OB = 16 : 2 = 8 cm. Ta có OA² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, nên OA = 15 cm. Vậy AC = 2 × 15 = 30 cm.

Biết cạnh và một góc

Gọi α là góc BAD (góc tại đỉnh A). Vì AC là phân giác nên góc OAB = α/2. Trong tam giác AOB vuông tại O:

• OB = a·sin(α/2);
• OA = a·cos(α/2).

Nhân đôi hai đoạn này được hai đường chéo:

BD = 2a·sin(α/2) và AC = 2a·cos(α/2)

Cách nhớ: đường chéo đi qua đỉnh góc α dùng cos, đường chéo nối hai đỉnh còn lại dùng sin. Góc B bằng 180° − α, nên tính theo góc B vẫn ra cùng kết quả.

Nếu chưa học sin, cos thì vẫn giải được bài có góc 60° hoặc 120° bằng tam giác đều. Ví dụ góc A = 60°: tam giác ABD cân tại A có góc ở đỉnh 60° nên là tam giác đều, suy ra BD = a. Sau đó dùng định lí Pythagore để tìm AC.

Ví dụ 3. Hình thoi ABCD có cạnh 8 cm, góc A = 60°. Tính hai đường chéo.

Cách 1 (tam giác đều).

• Tam giác ABD đều nên BD = 8 cm, suy ra OB = 4 cm.
• OA² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48, nên OA = 4√3 cm.
• Vậy AC = 8√3 ≈ 13,86 cm.

Cách 2 (công thức). BD = 2 × 8 × sin 30° = 2 × 8 × 1/2 = 8 cm. AC = 2 × 8 × cos 30° = 2 × 8 × √3/2 = 8√3 cm.

Hai cách cho cùng kết quả. Đường chéo dài là AC, đi qua đỉnh A của góc 60°.

Biết cạnh và chiều cao

Hình thoi là hình bình hành nên S = a × h, với h là chiều cao ứng với cạnh a. Mọi cạnh của hình thoi có chiều cao bằng nhau.

Ghép hai công thức diện tích S = a × h và S = d₁ × d₂ : 2 với định lí Pythagore, ta được hệ:

• d₁ × d₂ = 2ah
• d₁² + d₂² = 4a²

Từ đó suy ra:

• (d₁ + d₂)² = 4a² + 4ah
• (d₁ − d₂)² = 4a² − 4ah

Lấy căn hai vế sẽ được tổng và hiệu của hai đường chéo. Điều kiện: h ≤ a. Khi h = a, hình thoi là hình vuông.

Ví dụ 4. Hình thoi có cạnh 10 cm, chiều cao 9,6 cm. Tính hai đường chéo.

Giải:

• S = 10 × 9,6 = 96 cm², nên d₁ × d₂ = 192.
• d₁² + d₂² = 4 × 10² = 400.
• (d₁ + d₂)² = 400 + 384 = 784, nên d₁ + d₂ = 28.
• (d₁ − d₂)² = 400 − 384 = 16, nên d₁ − d₂ = 4.
• Vậy hai đường chéo dài 16 cm và 12 cm.

Thử lại: hai nửa đường chéo là 8 cm và 6 cm, có 8² + 6² = 100 = 10². Diện tích 16 × 12 : 2 = 96 cm², khớp với đề.

Biết hiệu (hoặc tổng) và tỉ số hai đường chéo

Ví dụ 5. Đường chéo dài hơn đường chéo ngắn 14 cm và dài gấp 3 lần đường chéo ngắn. Tính hai đường chéo và diện tích hình thoi.

Giải: coi đường chéo ngắn là 1 phần thì đường chéo dài là 3 phần, hiệu số phần là 3 − 1 = 2.

• Đường chéo ngắn: 14 : 2 = 7 cm.
• Đường chéo dài: 7 × 3 = 21 cm.
• Diện tích: 7 × 21 : 2 = 73,5 cm².

Nếu đề cho tổng thay cho hiệu thì làm tương tự: lấy tổng chia cho tổng số phần để được giá trị một phần.

Tính cạnh và chu vi hình thoi từ hai đường chéo

Làm ngược lại với định lí Pythagore trong tam giác AOB:

• a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²) = ½√(d₁² + d₂²)
• P = 4a = 2√(d₁² + d₂²)

Ví dụ 6. Hình thoi có hai đường chéo 18 cm và 24 cm. Tính cạnh, chu vi và diện tích.

Giải: hai nửa đường chéo là 9 cm và 12 cm.

• Cạnh: a = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
• Chu vi: P = 4 × 15 = 60 cm.
• Diện tích: S = 18 × 24 : 2 = 216 cm².

Chiều ngược lại thì không làm được: chỉ biết cạnh (hoặc chu vi) thì không tính được đường chéo. Cùng một cạnh a có vô số hình thoi, từ rất dẹt đến gần như hình vuông. Đề cần cho thêm một dữ kiện nữa: một đường chéo, một góc, chiều cao hoặc diện tích.

Lỗi hay mắc khi tính đường chéo hình thoi

• Cho rằng hai đường chéo bằng nhau ở bài có góc 60°. Ở Ví dụ 3, hình thoi cạnh 8 cm, góc A = 60° có BD = 8 cm nhưng AC = 8√3 ≈ 13,86 cm. Kết luận “AC = BD = a” là sai. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì là hình vuông, mà hình vuông không có góc 60°.
• Dùng cả đường chéo thay cho nửa đường chéo trong định lí Pythagore. Hai cạnh góc vuông của tam giác AOB là d₁/2 và d₂/2. Ở Ví dụ 2 phải tính 17² − 8², không phải 17² − 16². Tìm được OA rồi còn phải nhân 2 mới ra đường chéo.
• Quên nhân 2 khi tính từ diện tích. Phép tính S : d₂ chỉ cho một nửa đáp số. Công thức đúng là d₁ = 2 × S : d₂.
• Đổi chỗ sin và cos. Đường chéo đi qua đỉnh góc α dùng cos(α/2), đường chéo nối hai đỉnh còn lại dùng sin(α/2). Cách thử nhanh: với góc nhọn, đường chéo đi qua đỉnh góc nhọn phải là đường dài hơn.
• Nói đường chéo chia hình thoi thành hai tam giác đều. Thực ra mỗi đường chéo chia hình thoi thành hai tam giác cân bằng nhau. Hai tam giác đó chỉ là tam giác đều khi góc tại hai đỉnh không nằm trên đường chéo ấy bằng 60°.
• Áp dụng công thức hình thoi thường cho hình thoi có một góc vuông. Hình thoi có một góc vuông chính là hình vuông. Khi đó hai đường chéo bằng nhau và cùng bằng a√2.
• Sai đơn vị. Cạnh, đường chéo, chu vi đo bằng cm, m. Diện tích đo bằng cm², m². Đề trộn dm với cm thì đổi về cùng một đơn vị trước khi tính.

Bài tập tự luyện

Bạn tự làm trước, sau đó mở đáp án để đối chiếu. Kết quả không chẵn được làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Bài 1. Hình thoi có diện tích 342 cm² và một đường chéo dài 36 cm. Tính đường chéo còn lại.

Bài 2. Hình thoi có cạnh 53 cm và một đường chéo dài 56 cm. Tính đường chéo còn lại.

Bài 3. Hình thoi ABCD có cạnh 9 cm, góc A = 120°. Tính AC và BD.

Bài 4. Hình thoi có cạnh 55 cm và chiều cao 52,8 cm. Tính hai đường chéo.

Xem thêm

• Diện tích hình thoi
• Hình bình hành