Diện Tích Hình Thoi: Công Thức, Chu Vi, Bài Tập

Diện tích hình thoi bằng một nửa tích hai đường chéo: S = d₁ × d₂ / 2. Nếu đề cho cạnh a và chiều cao h thì S = a × h; nếu đề cho cạnh a và một góc α thì S = a² × sin α. Chu vi hình thoi là P = 4 × a. Ví dụ: hình thoi có hai đường chéo 10cm và 24cm có diện tích S = 10 × 24 / 2 = 120cm², độ dài mỗi cạnh là 13cm và chu vi là 52cm.

Hình thoi là gì?

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Mọi hình thoi đều là hình bình hành hình bình hành, nên hai cặp cạnh đối song song và hai cặp góc đối bằng nhau. Hai góc kề một cạnh có tổng bằng 180°.

Điểm làm hình thoi khác một hình bình hành bất kỳ nằm ở hai đường chéo:

• Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Mỗi đường chéo là đường phân giác của hai góc mà nó đi qua.
• Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi; giao điểm của chúng là tâm đối xứng.

Để nhận ra một hình thoi, dùng một trong các dấu hiệu sau:

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Hình vuông là một hình thoi đặc biệt. Hình thoi là hình vuông khi có một góc vuông, hoặc khi hai đường chéo bằng nhau; không có điều kiện đó thì hình thoi không phải hình vuông.

Công thức tính diện tích hình thoi

Biết hai đường chéo

S = d₁ × d₂ / 2

Trong đó S là diện tích, d₁ và d₂ là độ dài hai đường chéo, đo cùng đơn vị.

Vì sao chia 2: vẽ hình chữ nhật có hai cạnh d₁ và d₂ bao ngoài hình thoi, bốn đỉnh của hình thoi nằm đúng trung điểm bốn cạnh của hình chữ nhật. Bốn tam giác vuông ở bốn góc hình chữ nhật ghép lại vừa khít bằng hình thoi, nên diện tích hình thoi bằng một nửa diện tích hình chữ nhật d₁ × d₂.

Cũng có thể chia hình thoi bằng hai đường chéo thành 4 tam giác vuông bằng nhau diện tích tam giác. Mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông d₁/2 và d₂/2, diện tích d₁ × d₂ / 8; bốn tam giác cho d₁ × d₂ / 2.

Ví dụ 1: Hình thoi có hai đường chéo 10cm và 24cm. Diện tích: S = 10 × 24 / 2 = 120cm².

Biết cạnh và chiều cao

S = a × h

Hình thoi là hình bình hành nên diện tích bằng cạnh đáy nhân chiều cao tương ứng. Chiều cao h là khoảng cách giữa cạnh đáy và cạnh song song với nó, ví dụ đoạn DH kẻ từ D vuông góc với AB như hình trên. Bốn cạnh bằng nhau nên chọn cạnh nào làm đáy cũng được.

Chiều cao luôn không lớn hơn cạnh (h ≤ a), và chỉ bằng cạnh khi hình thoi là hình vuông. Nếu đề cho h lớn hơn a thì số liệu đã sai.

Ví dụ 2: Hình thoi có cạnh 9cm, chiều cao 5cm. Diện tích: S = 9 × 5 = 45cm².

Biết cạnh và một góc

S = a² × sin α

Trong đó a là cạnh, α là số đo một góc bất kỳ của hình thoi. Công thức đến từ S = a × h: trong tam giác vuông AHD ở hình trên, h = a × sin α, nên S = a × a × sin α. Hai góc kề nhau của hình thoi bù nhau (α và 180° − α) và sin của chúng bằng nhau, nên dùng góc nhọn hay góc tù đều cho cùng một kết quả.

Ví dụ 3: Hình thoi cạnh 8cm, một góc 30°. Diện tích: S = 8² × sin 30° = 64 × 0,5 = 32cm². Nếu đề cho góc tù 150° thì sin 150° = 0,5, kết quả vẫn là 32cm².

Mở rộng (cho học sinh đã học công thức góc nhân đôi): ba công thức khớp nhau. Gọi α là góc ở đỉnh mà một đường chéo đi qua; đường chéo đó bị chia đôi thành hai đoạn dài a × cos(α/2), còn đường chéo kia có nửa độ dài a × sin(α/2). Thay vào công thức hai đường chéo: S = ½ × 2a·cos(α/2) × 2a·sin(α/2) = a² × 2·sin(α/2)·cos(α/2) = a² × sin α.

Hình thoi có góc 60°: hai tam giác đều

Với góc 60° (đồng thời góc đối cũng 60°), đường chéo nối hai đỉnh còn lại chia hình thoi thành hai tam giác cân có góc ở đỉnh 60°, tức hai tam giác đều. Đường chéo ngắn bằng đúng cạnh a, đường chéo dài bằng a√3, và diện tích gọn thành S = a² × √3 / 2.

Ví dụ 4: Hình thoi cạnh 4cm, một góc 60°. Đường chéo ngắn bằng 4cm. Nửa đường chéo dài là √(4² − 2²) = √12 = 2√3, nên đường chéo dài bằng 4√3 ≈ 6,93cm. Diện tích: S = 4 × 4√3 / 2 = 8√3 ≈ 13,86cm². Kiểm lại bằng công thức góc: 4² × sin 60° = 16 × √3/2 = 8√3, khớp.

Chu vi hình thoi

Bốn cạnh bằng nhau nên chu vi bằng bốn lần một cạnh:

P = 4 × a

Khi đề chỉ cho hai đường chéo, tìm cạnh bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi hai nửa đường chéo. Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O, nên tam giác AOB vuông tại O với hai cạnh góc vuông d₁/2, d₂/2 và cạnh huyền là cạnh a của hình thoi.

a = √[(d₁/2)² + (d₂/2)²] = ½ × √(d₁² + d₂²)    suy ra    P = 2 × √(d₁² + d₂²)

Ví dụ 5: Hình thoi ở Ví dụ 1 có hai đường chéo 10cm và 24cm. Nửa đường chéo là 5cm và 12cm. Cạnh: a = √(5² + 12²) = √169 = 13cm. Chu vi: P = 4 × 13 = 52cm.

Khi đề không cho đủ hai đường chéo

Đề có thể cho một đường chéo cùng với cạnh hoặc chu vi. Khi đó tìm nửa đường chéo còn lại bằng Pythagoras, nhân đôi, rồi dùng công thức hai đường chéo. Nếu đề cho tổng và hiệu hai đường chéo thì tìm từng đường chéo như bài toán tổng – hiệu.

Ví dụ 6 (biết cạnh và một đường chéo): Hình thoi cạnh 17cm, một đường chéo 16cm. Nửa đường chéo đã biết là 8cm, nên nửa đường chéo còn lại là √(17² − 8²) = √225 = 15cm. Đường chéo còn lại: 30cm. Diện tích: S = 16 × 30 / 2 = 240cm².

Ví dụ 7 (biết chu vi và một đường chéo): Hình thoi có chu vi 40cm, một đường chéo 12cm. Cạnh: a = 40 / 4 = 10cm. Nửa đường chéo đã biết là 6cm, nên nửa đường chéo còn lại là √(10² − 6²) = √64 = 8cm, đường chéo còn lại là 16cm. Diện tích: S = 12 × 16 / 2 = 96cm².

Ví dụ 8 (biết tổng và hiệu hai đường chéo): Hai đường chéo của hình thoi có tổng 66cm, đường chéo dài hơn đường chéo ngắn 10cm. Đường chéo dài: (66 + 10) / 2 = 38cm; đường chéo ngắn: (66 − 10) / 2 = 28cm. Diện tích: S = 38 × 28 / 2 = 532cm².

Chỉ biết độ dài cạnh thì chưa tính được diện tích: cùng cạnh 12cm, hình thoi có thể có diện tích 72cm², 124,71cm² hay 144cm² tùy góc (xem mục dưới). Luôn cần thêm một dữ kiện nữa: một đường chéo, chiều cao hoặc một góc.

Bài toán ngược: biết diện tích, tìm đường chéo hoặc chiều cao

Từ S = d₁ × d₂ / 2 và S = a × h, suy ra:

• Đường chéo còn lại: d₂ = 2 × S / d₁
• Chiều cao: h = S / a
• Cạnh: a = S / h

Ví dụ 9: Hình thoi có diện tích 135cm², một đường chéo dài 18cm. Đường chéo còn lại: d₂ = 2 × 135 / 18 = 15cm.

Ví dụ 10: Hình thoi có diện tích 133cm², cạnh 19cm. Chiều cao: h = 133 / 19 = 7cm.

Đơn vị khi tính diện tích hình thoi

Hai đường chéo (hoặc cạnh và chiều cao) phải cùng đơn vị đo trước khi nhân. Kết quả ghi bằng đơn vị diện tích tương ứng: cm², dm², m². Khi đổi đơn vị diện tích, nhớ 1m² = 10.000cm².

Ví dụ 11: Hình thoi có một đường chéo 2,4m, đường chéo kia 90cm. Đổi 2,4m = 240cm. S = 240 × 90 / 2 = 10.800cm² = 1,08m² (vì 10.800 / 10.000 = 1,08). Cũng có thể đổi 90cm = 0,9m rồi tính S = 2,4 × 0,9 / 2 = 1,08m².

Cùng cạnh, khác góc: diện tích thay đổi thế nào?

Với cạnh a cố định, chu vi 4a không đổi nhưng diện tích a² × sin α thay đổi theo góc α. Vì sin α lớn nhất bằng 1 khi α = 90°, trong các hình thoi có cùng cạnh, hình vuông có diện tích lớn nhất: S = a² diện tích hình vuông.

Công thức hai đường chéo vẫn đúng cho hình vuông, khi hai đường chéo bằng nhau (d₁ = d₂ = d): S = d² / 2.

Ví dụ 12: Hình vuông cạnh 6cm có đường chéo d = 6√2 cm. Theo công thức hai đường chéo: S = d² / 2 = 72 / 2 = 36cm², đúng bằng 6².

Bảng tóm tắt công thức hình thoi

Lỗi hay gặp khi tính diện tích hình thoi

• Quên chia 2: với hình thoi hai đường chéo 10cm và 24cm, tích 10 × 24 = 240 mới chỉ là diện tích hình chữ nhật bao ngoài; diện tích hình thoi là một nửa của nó.
• Thay cạnh vào chỗ đường chéo: trong hình thoi ABCD, đường chéo là AC và BD, còn AB, BC, CD, DA là cạnh. Đề cho cạnh 13cm thì không được lấy 13 thay cho d₁ hay d₂; phải tìm đường chéo bằng Pythagoras như Ví dụ 6 rồi mới dùng d₁ × d₂ / 2.
• Coi chiều cao bằng nửa đường chéo: chiều cao là khoảng cách giữa hai cạnh đối, không phải d₁/2 hay d₂/2. Từ S = a × h suy ra h = d₁ × d₂ / (2a); với hình thoi ở Ví dụ 1, h = 120 / 13 ≈ 9,23cm, không phải 5cm hay 12cm.
• Nhập sai chế độ góc trên máy tính: nếu máy đang tính theo đơn vị khác với độ, sin 30° sẽ không ra 0,5 và mọi kết quả sau đều lệch. Kiểm tra sin 30° trước khi tính.
• Sai đơn vị: nhân 2,4m với 90cm khi chưa đổi về cùng đơn vị, hoặc ghi đáp số diện tích là cm thay vì cm². Diện tích dùng đơn vị bình phương (cm², m²), chu vi dùng cm, m.
• Dùng S = d² / 2 khi đề chỉ cho một đường chéo: công thức này chỉ đúng cho hình vuông, vì trong các hình thoi, chỉ hình vuông có hai đường chéo bằng nhau. Với hình thoi khác phải tìm đủ cả hai đường chéo.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước khi xem đáp án.

Bài 1. Tính diện tích hình thoi có hai đường chéo 14cm và 30cm.

Bài 2. Hình thoi có cạnh 15cm và chiều cao 11cm. Tính diện tích.

Bài 3. Hình thoi có cạnh 14cm và một góc 120°. Tính diện tích.

Bài 4. Hình thoi có cạnh 29cm và một đường chéo 42cm. Tính đường chéo còn lại và diện tích.

Bài 5. Hình thoi có diện tích 231cm², một đường chéo 21cm. Tính đường chéo còn lại.

Bài 6. Một mảnh đất hình thoi có hai đường chéo 40m và 30m. Tính diện tích mảnh đất và độ dài hàng rào bao quanh.

Xem thêm

• hình bình hành
• diện tích hình vuông
• diện tích tam giác