Hình Lập Phương: Công Thức Diện Tích, Thể Tích, Bài Tập

Hình lập phương cạnh a có diện tích xung quanh S_xq = 4 × a², diện tích toàn phần S_tp = 6 × a² và thể tích V = a × a × a = a³. Ví dụ với cạnh 5cm: S_xq = 100cm², S_tp = 150cm², V = 125cm³. Phần dưới giải thích từng công thức, thêm tổng độ dài các cạnh, đường chéo mặt và đường chéo khối, cách tìm cạnh khi biết thể tích, diện tích hoặc đường chéo, kèm bảng tóm tắt, lỗi hay gặp và bài tập có đáp án.

Hình lập phương là gì?

Hình lập phương là hình khối có 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau. Hình có 12 cạnh bằng nhau và 8 đỉnh; tại mỗi đỉnh có 3 cạnh gặp nhau, đôi một vuông góc. Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau, đồng thời là một trong 5 loại khối đa diện đều. Hình lập phương cùng phần không gian bên trong nó gọi là khối lập phương; khi nói thể tích hình lập phương là nói thể tích của khối này.

Các tính chất cần nhớ khi làm bài:

• Hai mặt đối diện song song với nhau; mọi mặt đều có diện tích a².
• Mỗi mặt có 2 đường chéo, tổng cộng 12 đường chéo mặt, đều dài bằng nhau.
• Có 4 đường chéo khối (nối hai đỉnh đối nhau qua tâm, như AG); 4 đường này bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, đó là tâm của hình lập phương.
• Có 9 mặt phẳng đối xứng: 3 mặt phẳng song song với một cặp mặt đối diện và cách đều hai mặt đó, cùng 6 mặt phẳng chứa hai cạnh đối diện qua tâm (như mặt phẳng ACGE chứa hai cạnh AE và CG).

Trong bài, a là độ dài một cạnh. Đỉnh được đặt tên theo kiểu ABCD.EFGH: ABCD là một mặt đáy, EFGH là mặt đáy đối diện, các cạnh AE, BF, CG, DH nối hai đáy.

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình lập phương

Mỗi mặt là một hình vuông cạnh a nên diện tích một mặt là a × a = a². Chọn một cặp mặt đối diện làm hai mặt đáy, bốn mặt còn lại là các mặt bên:

• Diện tích xung quanh là diện tích 4 mặt bên: S_xq = 4 × a²
• Diện tích toàn phần là diện tích cả 6 mặt: S_tp = 6 × a² (hay S_tp = S_xq + 2 × a²)

Ở lớp 5, quy tắc được phát biểu bằng lời: diện tích xung quanh bằng diện tích một mặt nhân với 4, diện tích toàn phần bằng diện tích một mặt nhân với 6.

Ví dụ 1: Hình lập phương có cạnh a = 5cm. Diện tích một mặt: 5 × 5 = 25cm². Diện tích xung quanh: S_xq = 4 × 25 = 100cm². Diện tích toàn phần: S_tp = 6 × 25 = 150cm².

Ví dụ 2: Một hộp bìa hình lập phương cạnh 20cm, không có nắp. Hộp chỉ có 5 mặt nên diện tích bìa là 5 × 20 × 20 = 5 × 400 = 2.000cm² (chưa tính phần mép dán). Đề bài loại này không dùng nguyên công thức S_xq hay S_tp, mà cần xác định hộp có mấy mặt.

Thể tích hình lập phương

Thể tích hình lập phương bằng cạnh nhân cạnh nhân cạnh:

V = a × a × a = a³

Lý do: hình lập phương là hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng a, mà thể tích hình hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân chiều cao, tức a² × a = a³. Đơn vị thể tích là đơn vị độ dài nâng lên số mũ 3: cm³ (xăng-ti-mét khối), dm³, m³.

Ví dụ 3: Cạnh a = 5cm thì V = 5 × 5 × 5 = 125cm³.

Ví dụ 4: Một bể nước hình lập phương có cạnh trong lòng 2,5m. Thể tích: V = 2,5 × 2,5 × 2,5 = 15,625m³. Vì 1m³ = 1.000dm³ = 1.000 lít nên bể chứa được 15.625 lít.

Các quan hệ đổi đơn vị thường dùng khi tính thể tích:

• 1m³ = 1.000dm³ = 1.000.000cm³
• 1dm³ = 1 lít

Tổng độ dài các cạnh hình lập phương

Hình lập phương có 12 cạnh bằng nhau nên tổng độ dài các cạnh là:

P = 12 × a

Một số tài liệu gọi đại lượng này là “chu vi hình lập phương”. Nó dùng khi tính độ dài que, thanh hay dây cần để dựng khung của khối.

Ví dụ 5: Khung dây thép hình lập phương cạnh 15cm cần P = 12 × 15 = 180cm dây (chưa tính chỗ nối).

Đường chéo hình lập phương

Có hai loại đường chéo cần phân biệt:

• Đường chéo mặt (nối hai đỉnh đối nhau của cùng một mặt, ví dụ AC): d = a√2
• Đường chéo khối (nối hai đỉnh đối nhau của cả khối, ví dụ AG): D = a√3

Cách suy ra: AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh a, nên theo định lí Pythagore AC² = a² + a² = 2a², suy ra AC = a√2. Cạnh CG vuông góc với mặt đáy ABCD nên tam giác ACG vuông tại C, có hai cạnh góc vuông AC = a√2 và CG = a. Vậy AG² = AC² + CG² = 2a² + a² = 3a², suy ra AG = a√3.

Cách nhớ: đường chéo của hình vuông (hai chiều) có √2, đường chéo của khối (ba chiều) có √3.

Ví dụ 6: Với a = 5cm: đường chéo mặt d = 5√2 ≈ 7,07cm; đường chéo khối D = 5√3 ≈ 8,66cm (lấy √2 ≈ 1,414 và √3 ≈ 1,732, làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Tính cạnh hình lập phương khi biết thể tích, diện tích hoặc đường chéo

Khi đề bài cho thể tích, diện tích hoặc đường chéo rồi hỏi cạnh, đi ngược các công thức ở trên:

• Biết thể tích V: a là số mà a × a × a = V (căn bậc ba của V).
• Biết diện tích toàn phần S_tp: chia cho 6 để được a², rồi tìm a (căn bậc hai).
• Biết diện tích xung quanh S_xq: chia cho 4 để được a², rồi tìm a.
• Biết đường chéo khối D: a² = D² : 3, hay a = D : √3.
• Biết đường chéo mặt d: a² = d² : 2, hay a = d : √2.

Với số nguyên nhỏ, nhớ sẵn các số lập phương sẽ tìm cạnh nhanh hơn: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000 (lần lượt là 1³ đến 10³).

Ví dụ 7: Hình lập phương có thể tích 343cm³. Vì 7 × 7 × 7 = 343 nên cạnh a = 7cm.

Ví dụ 8: Hình lập phương có diện tích toàn phần 864cm². Diện tích một mặt: 864 : 6 = 144cm². Vì 12 × 12 = 144 nên cạnh a = 12cm, từ đó thể tích V = 12 × 12 × 12 = 1.728cm³.

Cạnh tăng k lần thì diện tích và thể tích thay đổi thế nào?

Khi cạnh hình lập phương tăng lên k lần, diện tích (xung quanh hoặc toàn phần) tăng k² lần, còn thể tích tăng k³ lần.

Ví dụ 9: Hình lập phương cạnh 5cm ở ví dụ 1 và 3 có S_tp = 150cm², V = 125cm³. Gấp đôi cạnh thành 10cm thì S_tp = 6 × 10 × 10 = 600cm², gấp 600 : 150 = 4 = 2² lần; V = 10 × 10 × 10 = 1.000cm³, gấp 1.000 : 125 = 8 = 2³ lần.

Bảng tóm tắt công thức hình lập phương

Bảng 1: tính từ cạnh a (cột ví dụ lấy a = 5cm).

Bảng 2: tìm cạnh a khi biết đại lượng khác.

Lỗi hay gặp khi tính toán với hình lập phương

• Nhầm diện tích xung quanh với diện tích toàn phần: S_xq = 4a² chỉ gồm 4 mặt bên, S_tp = 6a² gồm cả 6 mặt. Hộp không nắp có 5 mặt nên lấy 5a² (ví dụ 2).
• Viết a³ thành 3 × a: a³ là a × a × a. Với a = 11: a³ = 1.331, còn 3 × a = 33. Tương tự 6a² là 6 × (a × a) chứ không phải (6a)²: với a = 11, 6a² = 726 còn (6a)² = 4.356.
• Sai đơn vị: diện tích ghi cm², m² (số mũ 2), thể tích ghi cm³, m³ (số mũ 3), còn tổng độ dài cạnh và đường chéo chỉ ghi cm, m. Ghi thể tích bằng cm² là sai về đơn vị.
• Không đổi cùng đơn vị trước khi tính: cạnh 50cm mà đề hỏi thể tích theo m³ thì phải đổi 50cm = 0,5m rồi tính 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125m³. Nếu tính 50 × 50 × 50 = 125.000 thì đó là 125.000cm³, không thể ghi là 125.000m³.
• Tìm cạnh sai cách: thể tích cần căn bậc ba, diện tích mới dùng căn bậc hai. Với V = 343cm³ (ví dụ 7), cạnh không phải 343 : 3 ≈ 114,3cm hay √343 ≈ 18,5cm mà là 7cm, vì 7 × 7 × 7 = 343. Với S_tp = 864cm² (ví dụ 8), phải chia 6 trước được a² = 144 rồi mới tìm a = 12cm; lấy thẳng √864 ≈ 29,4cm là sai.
• Nhầm đường chéo mặt với đường chéo khối: mặt (hình vuông) là a√2, khối là a√3. Đường chéo khối luôn dài hơn đường chéo mặt.
• Nghĩ rằng cạnh gấp k lần thì thể tích cũng gấp k lần: thể tích gấp k³ lần, diện tích gấp k² lần. Cạnh gấp đôi thì thể tích gấp 8 lần, không phải gấp 2.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước, sau đó mở đáp án để đối chiếu.

Bài 1. Một hình lập phương có cạnh 8cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

Bài 2. Một hộp bìa hình lập phương có nắp, cạnh 30cm. Tính diện tích bìa để làm hộp (không tính phần mép dán).

Bài 3. Một hình lập phương có thể tích 64cm³. Tính độ dài cạnh và diện tích toàn phần.

Bài 4. Một hình lập phương có diện tích xung quanh 324cm². Tính cạnh, thể tích và diện tích toàn phần.

Bài 5. Một bể nước hình lập phương có cạnh trong lòng 1,5m. Bể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

Bài 6. Một hình lập phương có đường chéo khối dài 6cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích (làm tròn thể tích đến hai chữ số thập phân).

Bài 7. Một hình lập phương có đường chéo của một mặt dài 14cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Bài 8. Hình lập phương A có thể tích 27cm³. Hình lập phương B có cạnh gấp 6 lần cạnh hình A. Tính thể tích hình B và cho biết thể tích gấp mấy lần, diện tích toàn phần gấp mấy lần so với hình A.

Xem thêm

• diện tích hình vuông
• Hình trụ