Cách tìm chiều cao hình thang: công thức, ví dụ, bài tập

Muốn tìm chiều cao hình thang khi biết diện tích, lấy diện tích nhân 2 rồi chia cho tổng độ dài hai đáy: h = S × 2 : (a + b). Trong công thức, S là diện tích, a là đáy lớn, b là đáy bé và h là chiều cao. a, b, h dùng cùng một đơn vị độ dài, còn S dùng đơn vị diện tích tương ứng: cm đi với cm², m đi với m². Ví dụ hình thang có diện tích 112cm², hai đáy 19cm và 13cm thì h = 112 × 2 : (19 + 13) = 224 : 32 = 7cm.

Đề không cho diện tích vẫn có thể tìm được chiều cao trong bốn trường hợp: hình thang vuông, hình thang cân, biết một cạnh bên và góc ở đáy, hoặc biết đủ bốn cạnh.

Cách tìm chiều cao hình thang khi biết diện tích và hai đáy

Công thức diện tích hình thang là S = (a + b) × h : 2. Nhân hai vế với 2 được S × 2 = (a + b) × h, tức là tổng hai đáy nhân chiều cao bằng hai lần diện tích. Chia hai vế cho (a + b), ta có công thức tìm chiều cao:

h = S × 2 : (a + b) (viết gọn: h = 2S/(a + b))

1. Đổi diện tích và hai đáy về cùng hệ đơn vị.
2. Nhân diện tích với 2.
3. Cộng độ dài hai đáy.
4. Lấy kết quả bước 2 chia cho kết quả bước 3, rồi ghi đơn vị độ dài (cm, dm, m).

Ví dụ 1. Hình thang có diện tích 112cm², đáy lớn 19cm, đáy bé 13cm.

• Tổng hai đáy: 19 + 13 = 32cm.
• Hai lần diện tích: 112 × 2 = 224cm².
• Chiều cao: h = 224 : 32 = 7cm.

Ví dụ 2 (có đổi đơn vị). Một tấm kính hình thang có diện tích 1,8m², hai đáy dài 14dm và 10dm. Tính chiều cao theo mét.

• Đổi đơn vị: 14dm = 1,4m và 10dm = 1m.
• Tổng hai đáy: 1,4 + 1 = 2,4m.
• Chiều cao: h = 1,8 × 2 : 2,4 = 3,6 : 2,4 = 1,5m.

Công thức ngược: tìm diện tích, tìm tổng hai đáy

Từ đẳng thức S × 2 = (a + b) × h suy ra cả ba công thức:

• Biết hai đáy và chiều cao: S = (a + b) × h : 2.
• Biết diện tích và chiều cao: a + b = S × 2 : h. Nếu biết thêm một đáy thì đáy còn lại bằng tổng trừ đi đáy đã biết.
• Biết diện tích và hai đáy: h = S × 2 : (a + b).

Thử với số của Ví dụ 1: S = 112cm² và h = 7cm thì a + b = 224 : 7 = 32cm. Đáy lớn là 19cm nên đáy bé là 32 − 19 = 13cm, khớp với đề.

Chiều cao hình thang là gì?

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là cạnh bên. Chiều cao hình thang là khoảng cách giữa hai đường thẳng chứa hai đáy, tức là độ dài đoạn thẳng nối hai đường thẳng đó và vuông góc với chúng. Hai đáy song song nên từ bất kỳ điểm nào trên đáy này, hạ vuông góc xuống đường thẳng chứa đáy kia cũng được cùng một độ dài h.

Đường cao thường được hạ từ đỉnh A hoặc B của đáy bé. Nếu hai góc ở đáy lớn đều nhọn, chân đường cao hạ từ A và từ B nằm trên đoạn DC. Nếu hình thang có một góc tù ở đáy lớn, chẳng hạn góc D, thì chân đường cao hạ từ A (đỉnh kề góc tù đó) rơi trên đường kéo dài của DC, ở ngoài đoạn DC. Độ dài AH lúc này vẫn là chiều cao.

Cạnh bên chỉ bằng chiều cao khi cạnh bên đó vuông góc với hai đáy, tức là trong hình thang vuông. Trong mọi trường hợp khác, cạnh bên dài hơn chiều cao.

Biết diện tích và đường trung bình

Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên. Độ dài của nó là m = (a + b) : 2. Thay vào công thức diện tích được S = m × h, nên h = S : m.

Ví dụ 3. Hình thang có diện tích 99cm², đường trung bình dài 11cm. Chiều cao h = 99 : 11 = 9cm.

Nếu đề cho “trung bình cộng hai đáy” thì đó chính là m. Đừng nhầm m với chiều cao: m là đoạn song song với hai đáy, còn h đo theo phương vuông góc với hai đáy.

Tìm chiều cao hình thang vuông

Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với cả hai đáy, nên chiều cao chính là cạnh bên vuông góc đó. Chẳng hạn hình thang ABCD vuông tại A và D thì h = AD. Nếu đề chỉ cho cạnh bên còn lại (cạnh xiên), không cho AD, thì hạ thêm một đường cao từ đỉnh của đáy bé rồi dùng định lí Pytago.

Ví dụ 4. Hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy bé AB = 10cm, đáy lớn CD = 30cm, cạnh bên BC = 29cm. Tính chiều cao.

• Hạ BK vuông góc với CD. Tứ giác ABKD có ba góc vuông (tại A, D, K) nên là hình chữ nhật. Do đó DK = AB = 10cm và BK = AD.
• Suy ra KC = 30 − 10 = 20cm.
• Tam giác BKC vuông tại K nên BK² = BC² − KC² = 29² − 20² = 841 − 400 = 441, suy ra BK = 21cm.
• Vậy chiều cao h = AD = BK = 21cm.

Viết gọn thành công thức: h = √(BC² − (a − b)²). Công thức chỉ dùng được khi cạnh xiên BC dài hơn hiệu hai đáy a − b.

Tìm chiều cao hình thang cân

Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, cùng dài c. Hạ hai đường cao AH và BK từ hai đỉnh của đáy bé xuống đáy lớn. Hai tam giác vuông ADH và BCK bằng nhau (cạnh huyền AD = BC, cạnh góc vuông AH = BK) và HK = AB = b. Vì vậy phần dư ở mỗi bên là DH = KC = (a − b) : 2. Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ADH:

h = √(c² − ((a − b) : 2)²), với điều kiện c > (a − b) : 2.

Ví dụ 5. Hình thang cân ABCD có đáy lớn DC = 20cm, đáy bé AB = 8cm, cạnh bên 10cm.

• DH = (20 − 8) : 2 = 6cm.
• Chiều cao h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8cm.

Nếu số dưới dấu căn không phải số chính phương, chiều cao là số vô tỉ; khi đó xem cách tính căn bậc 2 để lấy giá trị gần đúng.

Với hình thang cân có a > b, ta luôn có DH = (a − b) : 2 > 0, nên H và K nằm trên đoạn DC và hai góc ở đáy lớn đều nhọn.

Biết cạnh bên và góc ở đáy

Cách này cần tỉ số lượng giác của góc nhọn, học ở lớp 9. Giả sử cạnh bên AD dài c và tạo với đáy DC một góc α. Trong tam giác vuông ADH, chiều cao AH là cạnh đối diện với góc α, nên h = c × sin α.

Ví dụ 6. Hình thang ABCD có cạnh bên AD = 10cm và góc ADC = 30°. Vì sin 30° = 0,5 nên h = 10 × 0,5 = 5cm.

Công thức vẫn đúng khi góc ADC tù, vì sin α = sin(180° − α). Khi đó chân đường cao nằm trên đường kéo dài của DC, giống hình góc tù ở trên. Bạn cần dùng đúng góc tạo bởi chính cạnh bên đã biết độ dài với đáy. Nếu lấy góc ở đầu cạnh bên kia, kết quả sẽ sai.

Chỉ biết bốn cạnh (nâng cao)

Xét hình thang ABCD có đáy lớn DC = a, đáy bé AB = b (a > b), hai cạnh bên AD = c và BC = d. Từ B kẻ BE song song với AD (E nằm trên DC). Tứ giác ABED có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, suy ra DE = b và BE = c. Tam giác BEC có ba cạnh là c, d và EC = a − b. Đường cao của tam giác này hạ từ B cũng chính là chiều cao của hình thang.

Ví dụ 7. Hình thang ABCD có DC = 20cm, AB = 6cm, AD = 13cm, BC = 15cm. Kẻ BE ∥ AD thì BE = 13cm và EC = 20 − 6 = 14cm. Vậy tam giác BEC có ba cạnh 13cm, 14cm, 15cm.

• Cách 1 (định lí Pytago). Gọi F là chân đường cao hạ từ B xuống EC. Đặt EF = x thì FC = 14 − x. Hai tam giác vuông BFE và BFC có chung cạnh BF, nên 13² − x² = 15² − (14 − x)². Khai triển được 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², suy ra 28x = 140, x = 5cm. Khi đó h = BF = √(13² − 5²) = √144 = 12cm.
• Cách 2 (công thức Heron). Nửa chu vi tam giác BEC là p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21cm. Theo Heron, diện tích tam giác BEC bằng √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84cm². Chiều cao hạ từ B: h = 84 × 2 : 14 = 12cm.

Điều kiện để dùng cách này:

• Hai đáy phải khác nhau (a ≠ b). Nếu a = b thì tứ giác là hình bình hành, biết bốn cạnh vẫn chưa xác định được chiều cao.
• Ba độ dài c, d, a − b phải thoả bất đẳng thức tam giác: mỗi độ dài nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại.

Phương trình ở Cách 1 vẫn dùng được khi chân F nằm ngoài đoạn EC. Khi đó x tính ra một số âm hoặc lớn hơn EC.

Bảng chọn công thức tìm chiều cao

Dạng bài lớp 5: tìm đáy trước, rồi tìm chiều cao

Nhiều đề lớp 5 không cho sẵn độ dài hai đáy mà chỉ cho quan hệ giữa chúng (tổng, hiệu, tỉ số). Cách làm:

1. Tìm hai đáy bằng cách giải bài toán tổng – tỉ hoặc hiệu – tỉ.
2. Cộng hai đáy.
3. Dùng h = S × 2 : (a + b).

Ví dụ 8. Một thửa ruộng hình thang có diện tích 325m². Đáy lớn hơn đáy bé 10m, đáy bé bằng 2/3 đáy lớn. Tính chiều cao thửa ruộng.

• Coi đáy bé là 2 phần thì đáy lớn là 3 phần. Hiệu số phần là 3 − 2 = 1 phần, ứng với 10m.
• Đáy bé: 10 × 2 = 20m. Đáy lớn: 10 × 3 = 30m.
• Tổng hai đáy: 20 + 30 = 50m.
• Chiều cao: 325 × 2 : 50 = 650 : 50 = 13m.

Ví dụ 9. Một mảnh đất hình thang, nếu kéo dài đáy lớn thêm 6m thì diện tích tăng thêm 57m². Tính chiều cao mảnh đất.

Phần diện tích tăng thêm là một hình tam giác có đáy 6m, đỉnh nằm trên đường thẳng chứa đáy bé. Hai đáy song song nên chiều cao của tam giác này bằng chiều cao hình thang. Do đó h = 57 × 2 : 6 = 19m.

Lỗi hay gặp và cách kiểm đáp số

• Quên nhân 2: với số của Ví dụ 1, lấy 112 : 32 = 3,5cm là sai. Đáp số đúng là 224 : 32 = 7cm.
• Chia cho một đáy: 224 : 19 ≈ 11,79cm là sai. Phải chia cho tổng hai đáy là 32cm.
• Lấy trung bình cộng hai đáy làm chiều cao: (19 + 13) : 2 = 16cm là độ dài đường trung bình, không phải chiều cao.
• Hình thang cân quên chia đôi a − b: ở Ví dụ 5, dùng 12 thay cho 6 sẽ ra 10² − 12² = −44. Số âm thì không lấy được căn bậc hai. Gặp số âm dưới dấu căn tức là đã tính sai hoặc đề cho dữ kiện không hợp lệ.
• Nhầm cạnh xiên với chiều cao: lấy BC = 29cm ở Ví dụ 4, hay lấy cạnh bên 10cm ở Ví dụ 5 làm h, đều sai. Cạnh bên xiên luôn dài hơn chiều cao.
• Lệch đơn vị: ở Ví dụ 2, nếu giữ hai đáy theo dm rồi lấy 3,6m² chia cho 24dm thì ra 0,15, một con số không mang ý nghĩa. Phải đổi hết về m (hoặc hết về dm) rồi mới tính.

Cách kiểm đáp số: thay h vừa tìm vào S = (a + b) × h : 2 rồi so với diện tích đề cho.

• Ví dụ 1: (19 + 13) × 7 : 2 = 112cm², đúng.
• Ví dụ 2: (1,4 + 1) × 1,5 : 2 = 1,8m², đúng.

Có thể thử thêm một bước nhanh: chiều cao không thể dài hơn bất kỳ cạnh bên nào của hình thang.

Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy làm hết năm bài rồi mới đối chiếu với đáp án ở cuối mục.

Bài 1. Hình thang có diện tích 150cm², hai đáy dài 17cm và 13cm. Tính chiều cao.

Bài 2. Một tấm bìa hình thang có diện tích 54dm², đáy lớn 1,2m, đáy bé 60cm. Tính chiều cao theo đề-xi-mét.

Bài 3. Hình thang cân có hai đáy 34cm và 10cm, cạnh bên 37cm. Tính chiều cao.

Bài 4. Hình thang có đường trung bình 14cm và diện tích 238cm². Tính chiều cao.

Bài 5. Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 44m, đáy bé bằng 3/4 đáy lớn, diện tích 1001m². Tính chiều cao thửa ruộng.

Đáp án

1. Tổng hai đáy: 17 + 13 = 30cm. Chiều cao: h = 150 × 2 : 30 = 300 : 30 = 10cm.
2. Đổi 1,2m = 12dm và 60cm = 6dm. Tổng hai đáy: 12 + 6 = 18dm. Chiều cao: h = 54 × 2 : 18 = 108 : 18 = 6dm.
3. (34 − 10) : 2 = 12cm. Chiều cao: h = √(37² − 12²) = √(1369 − 144) = √1225 = 35cm.
4. h = S : m = 238 : 14 = 17cm.
5. Đáy bé: 44 × 3 : 4 = 33m. Tổng hai đáy: 44 + 33 = 77m. Chiều cao: h = 1001 × 2 : 77 = 2002 : 77 = 26m.

Xem thêm

• diện tích hình thang
• chu vi hình thang
• diện tích tam giác