Trọng Tâm Tam Giác: Tính Chất 2/3, Cách Vẽ, Tọa Độ, Bài Tập

Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến, thường ký hiệu là G. Trọng tâm nằm trên mỗi trung tuyến và cách đỉnh một đoạn bằng 2/3 độ dài trung tuyến đó. Với trung tuyến AM thì AG = 2/3 AM và GM = 1/3 AM, tức AG = 2GM. Trong mặt phẳng tọa độ, tọa độ của G là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: x_G = (x_A + x_B + x_C)/3 và y_G = (y_A + y_B + y_C)/3.

Tóm tắt nhanh:

• G luôn nằm bên trong tam giác, kể cả khi tam giác tù.
• Nối G với ba đỉnh được ba tam giác có diện tích bằng nhau. Mỗi tam giác bằng 1/3 diện tích tam giác ban đầu.
• G chỉ cách đều ba đỉnh khi tam giác đều. Ở tam giác vuông, G không phải trung điểm cạnh huyền.

Trọng tâm tam giác là gì?

Trước hết cần biết đường trung tuyến. Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. Trong tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó AM, BN, CP là ba trung tuyến.

Ba đường trung tuyến của một tam giác luôn cùng đi qua một điểm, tức là đồng quy. Điểm chung đó gọi là trọng tâm của tam giác, ký hiệu G.

G nằm trên đoạn trung tuyến AM. Đoạn AM nối đỉnh A với một điểm trên cạnh BC nên nằm trọn trong tam giác. Vì vậy trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác, dù tam giác nhọn, vuông hay tù.

Tên gọi “trọng tâm” có ý nghĩa vật lý. Cắt một tam giác từ tấm bìa phẳng, dày đều và cùng một chất liệu. Đặt điểm G lên đầu một chiếc bút chì thì tấm bìa có thể nằm thăng bằng.

Tính chất: trọng tâm cách đỉnh 2/3 trung tuyến

Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ lệ 2 : 1. Đoạn dài hơn nằm ở phía đỉnh:

• AG = 2/3 AM, BG = 2/3 BN, CG = 2/3 CP.
• GM = 1/3 AM, GN = 1/3 BN, GP = 1/3 CP.
• AG = 2GM, BG = 2GN, CG = 2GP.

Biết một trong ba đoạn AM, AG, GM thì tính được hai đoạn còn lại:

Chứng minh tỉ lệ 2 : 1

Cách chứng minh dưới đây chỉ dùng tính chất đường trung bình của tam giác. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GB và GC.

1. PN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó PN song song với BC và PN = BC/2.
2. IK là đường trung bình của tam giác GBC. Do đó IK song song với BC và IK = BC/2.
3. Suy ra PN song song và bằng IK, nên tứ giác PNKI là hình bình hành. Hai đường chéo PK và NI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. PK nằm trên CP và NI nằm trên BN, nên giao điểm đó chính là G. Vậy GN = GI và GP = GK.
4. Vì I là trung điểm GB nên GI = IB. Suy ra BG = 2GN, tức BG = 2/3 BN. Tương tự GK = KC nên CG = 2GP, tức CG = 2/3 CP.

Áp dụng cùng lập luận cho cặp trung tuyến AM và BN. Giao điểm của chúng là điểm trên BN cách B một đoạn 2/3 BN, tức trùng với G. Vậy cả ba trung tuyến cùng đi qua G và AG = 2/3 AM.

Tính chất diện tích và vectơ của trọng tâm

Ba phần bằng 1/3, sáu phần bằng 1/6 diện tích

Gọi S là diện tích tam giác ABC. Khi đó:

• S_GBC = S_GCA = S_GAB = S/3.
• Ba trung tuyến chia tam giác ABC thành 6 tam giác nhỏ GAP, GPB, GBM, GMC, GCN, GNA. Sáu tam giác này có diện tích bằng nhau, mỗi tam giác bằng S/6.

Lý do như sau. Tam giác GBC và tam giác ABC có chung đáy BC. G nằm trên AM với GM = 1/3 AM. Theo định lí Ta-lét, khoảng cách từ G đến BC bằng 1/3 khoảng cách từ A đến BC. Chung đáy, chiều cao bằng 1/3, nên S_GBC = S/3. Hai tam giác GCA và GAB tính tương tự.

Tiếp theo, tam giác GBM và GMC có đáy BM = MC và chung chiều cao kẻ từ G. Vậy mỗi tam giác bằng nửa S_GBC, tức S/6. Cách tính S cho từng loại tam giác có ở bài diện tích tam giác.

Hai đẳng thức vectơ

Phần này thuộc kiến thức lớp 10. Ký hiệu GA→ là vectơ GA, 0→ là vectơ không.

• GA→ + GB→ + GC→ = 0→. Vì M là trung điểm BC nên GB→ + GC→ = 2GM→. G nằm giữa A và M với AG = 2GM, nên GA→ = −2GM→. Cộng hai kết quả được tổng bằng 0→. Ngược lại, chỉ có đúng một điểm thỏa đẳng thức này, nên điểm nào thỏa nó thì điểm đó là trọng tâm.
• Với mọi điểm O: OA→ + OB→ + OC→ = 3OG→. Viết OA→ = OG→ + GA→, làm tương tự với B và C. Cộng ba đẳng thức rồi dùng đẳng thức thứ nhất.

Hai đẳng thức này dễ lẫn. Đẳng thức thứ nhất chỉ đúng với chính điểm G. Với điểm O bất kỳ, tổng OA→ + OB→ + OC→ bằng 3OG→, và tổng đó chỉ bằng 0→ khi O trùng G.

Cách vẽ trọng tâm tam giác

Ba trung tuyến luôn đồng quy, nên chỉ cần vẽ hai trung tuyến là có G. Trung tuyến thứ ba dùng để kiểm tra hình vẽ.

Cách 1: dùng thước thẳng và compa

1. Dựng trung điểm M của BC. Mở compa với bán kính lớn hơn nửa BC. Lần lượt đặt mũi nhọn tại B và tại C, vẽ hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm ở hai phía của BC. Đường thẳng nối hai điểm đó là đường trung trực của BC, cắt BC tại trung điểm M.
2. Nối A với M, được trung tuyến AM.
3. Làm tương tự với cạnh CA để có trung điểm N, rồi nối B với N.
4. Giao điểm của AM và BN là trọng tâm G.
5. Kiểm tra: dựng trung điểm P của AB rồi nối C với P. Nếu vẽ chính xác, CP đi qua G.

Cách 2: dùng thước có vạch chia

Đo cạnh BC, đánh dấu trung điểm M, nối AM rồi đo độ dài AM. Lấy điểm G trên AM sao cho AG = 2/3 AM. Ví dụ đo được AM = 6,3 cm thì AG = 2/3 × 6,3 = 4,2 cm. Cách này nhanh nhưng phụ thuộc độ chính xác của phép đo, nên kẻ thêm một trung tuyến nữa để kiểm tra.

Trọng tâm trong các tam giác đặc biệt

Tính chất AG = 2/3 AM đúng với mọi tam giác. Ở mỗi loại tam giác đặc biệt, độ dài trung tuyến có công thức riêng nên tính G nhanh hơn:

Tam giác vuông: G không phải trung điểm cạnh huyền

Trong tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: AM = BC/2. Điểm M cách đều A, B, C nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp. Áp dụng tỉ lệ 2/3 được AG = 2/3 × BC/2 = BC/3 và GM = BC/6. Vậy G nằm trên đoạn AM, cách trung điểm M của cạnh huyền một đoạn BC/6, không trùng M.

Tam giác vuông cân

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, đặt AB = AC = c. Khi đó BC = c√2 và AG = BC/3 = c√2/3. Hai trung tuyến kẻ từ B và C bằng nhau: BN = CP = √(c² + c²/4) = c√5/2. Suy ra BG = CG = 2/3 × c√5/2 = c√5/3. Một số tài liệu ghi BN = AN = CP = AP cho tam giác vuông cân. Đẳng thức đó sai: AN = AP = c/2, còn BN = c√5/2, dài hơn AN.

Tam giác cân và tam giác đều

Ở tam giác cân tại A, trung tuyến AM đồng thời là đường cao và đường phân giác. Vì vậy trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp cùng nằm trên đường thẳng AM. Nếu tam giác không đều, đó là bốn điểm khác nhau. Tam giác cân có thể có góc ở đỉnh tù; khi đó G vẫn nằm trong tam giác.

Ở tam giác đều cạnh a, mỗi trung tuyến cũng là đường cao, dài a√3/2 (cách tính có ở bài đường cao tam giác đều). Do đó AG = BG = CG = a√3/3 và bốn tâm trùng nhau.

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

Trong mặt phẳng Oxy

Với A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C), trọng tâm G có tọa độ:

x_G = (x_A + x_B + x_C)/3 ; y_G = (y_A + y_B + y_C)/3

Công thức này rút ra từ đẳng thức vectơ ở trên. Chọn O là gốc tọa độ thì OG→ = (OA→ + OB→ + OC→)/3. Tọa độ của vectơ OG→ chính là tọa độ của điểm G.

Ví dụ 1. Cho A(−1; 5), B(6; 2), C(1; −1). Ta có x_G = (−1 + 6 + 1)/3 = 6/3 = 2 và y_G = (5 + 2 + (−1))/3 = 6/3 = 2. Vậy G(2; 2).

Biết trọng tâm, tìm đỉnh còn lại

Từ công thức trên suy ra x_C = 3x_G − x_A − x_B và y_C = 3y_G − y_A − y_B. Phải nhân tọa độ của G với 3 trước khi trừ.

Trong không gian Oxyz

Thêm cao độ z theo cùng cách: z_G = (z_A + z_B + z_C)/3. Hoành độ và tung độ tính như trong mặt phẳng.

Phân biệt trọng tâm với trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp

Bốn điểm này đều là giao điểm của ba đường trong tam giác nên dễ nhầm. Chúng khác nhau ở loại đường và vị trí khi tam giác tù:

Trừ tam giác đều, ba điểm O, G, H cùng nằm trên một đường thẳng, gọi là đường thẳng Euler, và GH = 2GO. Ở tam giác đều, ba điểm này trùng nhau. Cách xác định điểm H và các tính chất của nó có ở bài trực tâm tam giác.

Bài tập có lời giải

Ví dụ 2. Tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM = 42 cm. Tính AG và GM.

AG = 2/3 × 42 = 28 cm. GM = 42 − 28 = 14 cm. Kiểm lại: GM = 1/3 × 42 = 14 cm và AG = 2GM.

Ví dụ 3. Tam giác ABC có trung tuyến BN và trọng tâm G, biết BG = 22 cm. Tính GN và BN.

GN = BG/2 = 22/2 = 11 cm. BN = BG + GN = 22 + 11 = 33 cm, hay BN = 3/2 × 22 = 33 cm.

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 20 cm, AC = 21 cm, trọng tâm G. Tính AG.

BC = √(20² + 21²) = √(400 + 441) = √841 = 29 cm. Trung tuyến ứng với cạnh huyền là AM = BC/2 = 14,5 cm. Do đó AG = 2/3 × 14,5 = 29/3 cm ≈ 9,67 cm. G không trùng trung điểm M vì GM = 14,5 − 29/3 = 29/6 ≈ 4,83 cm.

Ví dụ 5. Tam giác đều ABC cạnh 6 cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G đến mỗi đỉnh và đến cạnh BC.

Trung tuyến AM cũng là đường cao, nên AM = 6√3/2 = 3√3 ≈ 5,20 cm. Suy ra AG = 2/3 × 3√3 = 2√3 cm ≈ 3,46 cm. Vì tam giác đều nên GA = GB = GC = 2√3 cm. AM vuông góc với BC tại M, nên khoảng cách từ G đến BC là GM = 3√3 − 2√3 = √3 cm ≈ 1,73 cm.

Ví dụ 6. Tam giác ABC có diện tích 96 cm², trọng tâm G, M là trung điểm BC. Tính S_GBC và S_GBM.

S_GBC = 96/3 = 32 cm². Tam giác GBM là một trong sáu phần bằng nhau, nên S_GBM = 96/6 = 16 cm².

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, tam giác ABC có A(2; −3), B(−4; 1) và trọng tâm G(1; 2). Tìm tọa độ C.

x_C = 3 × 1 − 2 − (−4) = 3 − 2 + 4 = 5. y_C = 3 × 2 − (−3) − 1 = 6 + 3 − 1 = 8. Vậy C(5; 8). Kiểm lại: (2 − 4 + 5)/3 = 1 và (−3 + 1 + 8)/3 = 2, đúng tọa độ của G.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 3), B(−1; 7; 1), C(5; 2; 5). Tìm trọng tâm G.

x_G = (2 − 1 + 5)/3 = 2, y_G = (0 + 7 + 2)/3 = 3, z_G = (3 + 1 + 5)/3 = 3. Vậy G(2; 3; 3).

Cách chứng minh một điểm là trọng tâm

• Chỉ ra điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến.
• Chỉ ra điểm đó nằm trên một trung tuyến AM, giữa A và M, và AG = 2/3 AM (hoặc AG = 2GM).
• Chứng minh GA→ + GB→ + GC→ = 0→.

Ví dụ 9. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh tam giác MNP và tam giác ABC có cùng trọng tâm.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì M là trung điểm BC nên GM→ = (GB→ + GC→)/2. Tương tự, GN→ = (GC→ + GA→)/2 và GP→ = (GA→ + GB→)/2. Cộng ba đẳng thức được GM→ + GN→ + GP→ = GA→ + GB→ + GC→ = 0→. Vậy G thỏa đẳng thức trọng tâm đối với ba đỉnh M, N, P, nên G cũng là trọng tâm tam giác MNP.

Lỗi hay gặp khi làm bài về trọng tâm

• Viết ngược tỉ lệ 2/3: AG ngắn hơn AM, nên đúng là AG = 2/3 AM. Với AM = 42 cm như Ví dụ 2, viết ngược thành AM = 2/3 AG sẽ ra AG = 63 cm, dài hơn cả trung tuyến.
• Coi G là trung điểm một cạnh: G luôn nằm trong tam giác, không nằm trên cạnh nào. Ở tam giác vuông, trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp chứ không phải trọng tâm.
• Nhầm trọng tâm với trực tâm: trung tuyến đi qua trung điểm cạnh đối diện, còn đường cao vuông góc với cạnh đối diện. Hai điểm chỉ trùng nhau ở tam giác đều. Trực tâm có thể nằm ngoài tam giác, trọng tâm thì không.
• Coi G là tâm đối xứng: tam giác không có tâm đối xứng. Điểm đối xứng với A qua G nằm trên tia AM, vượt quá M thêm 1/3 AM, tức là ở ngoài tam giác.
• Quên chia 3 hoặc chia 2 ở công thức tọa độ: ở Ví dụ 1, chỉ cộng mà quên chia sẽ ra (6; 6). Chia 2 là công thức trung điểm của một đoạn thẳng, không phải trọng tâm. Khi tìm đỉnh, phải lấy 3 lần tọa độ G rồi mới trừ hai đỉnh kia.
• Làm tròn quá sớm: ở Ví dụ 4, AG = 29/3 cm. Nếu ghi gọn 9,7 cm rồi dùng tiếp để tính GM = 14,5 − 9,7 = 4,8 cm, kết quả sẽ lệch so với giá trị đúng 29/6 ≈ 4,83 cm. Nên giữ phân số đến bước cuối, nếu cần thì mới ghi số gần đúng kèm dấu ≈.

Bài tập tự luyện

Bạn tự làm trước, rồi mở đáp án để đối chiếu.

Bài 1. Tam giác ABC có trung tuyến BN = 4,5 cm và trọng tâm G. Tính BG và GN.

Bài 2. G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC và GM = 19 mm. Tính AG và AM.

Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 7 cm, AC = 24 cm. Tính trung tuyến AM và khoảng cách AG từ A đến trọng tâm.

Bài 4. Trọng tâm của một tam giác đều cách mỗi đỉnh 4 cm. Tính cạnh tam giác.

Bài 5. Tìm trọng tâm tam giác ABC với A(4; −2), B(−1; 6), C(6; 8).

Bài 6. Tam giác ABC có A(3; −2), B(−5; 4) và trọng tâm G(0; 2). Tìm tọa độ C.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm tam giác có các đỉnh A(4; −2; 1), B(0; 5; 3), C(−1; 3; 8).

Bài 8. G là trọng tâm tam giác ABC, N là trung điểm CA. Biết S_GNC = 8,5 cm². Tính diện tích tam giác ABC và S_GAB.

Bài 9. Hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh AA’→ + BB’→ + CC’→ = 3GG’→. Từ đó nêu điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Xem thêm

• đường trung tuyến
• trực tâm là gì
• đường trung trực là gì
• diện tích tam giác
• đường cao tam giác đều