Thể Tích Lăng Trụ: Công Thức, Cách Tính Chiều Cao, Bài Tập

Thể tích lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S × h. S là diện tích một mặt đáy. h là chiều cao, tức khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy, đo theo phương vuông góc với đáy. Công thức này đúng cho mọi lăng trụ. Với lăng trụ đứng, h bằng độ dài cạnh bên. Với lăng trụ xiên, h ngắn hơn cạnh bên và bằng L × sin α, trong đó L là độ dài cạnh bên, α là góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Hình lăng trụ là gì?

Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song. Các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song và bằng nhau.

Lăng trụ được gọi tên theo đa giác đáy: đáy tam giác là lăng trụ tam giác, đáy tứ giác là lăng trụ tứ giác, đáy lục giác là lăng trụ lục giác. Ký hiệu ABC.A’B’C’ chỉ lăng trụ có đáy dưới ABC, đáy trên A’B’C’ và ba cạnh bên AA’, BB’, CC’.

Các loại lăng trụ và cách lấy chiều cao của từng loại:

Có hai chỗ dễ hiểu sai:

• “Lăng trụ tam giác đều” là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, nên chiều cao của nó luôn bằng cạnh bên. Lăng trụ xiên có đáy tam giác đều thì không gọi là lăng trụ tam giác đều.
• Hình hộp đứng có mọi cạnh bằng nhau chưa chắc là hình lập phương, vì đáy của nó có thể là hình thoi không có góc vuông. Hình lập phương phải là hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau.

Công thức tính thể tích lăng trụ

V = S × h (thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao)

Trong công thức:

• V là thể tích.
• S là diện tích một mặt đáy. Hai đáy bằng nhau nên lấy đáy nào cũng được.
• h là chiều cao lăng trụ.

Cạnh đo bằng cm thì S tính bằng cm² và V tính bằng cm³.

Cách tính từng bước

1. Xác định đa giác đáy, tính diện tích S theo công thức của hình đó (xem bảng ở mục dưới).
2. Xác định chiều cao h. Lăng trụ đứng thì lấy luôn cạnh bên. Lăng trụ xiên thì phải tính khoảng cách giữa hai đáy.
3. Đổi mọi số đo về cùng một đơn vị, nhân S × h, rồi ghi đơn vị thể tích (cm³, dm³, m³).

Ví dụ 1. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm, cạnh bên 11 cm.

• Diện tích đáy: S = 6 × 8 / 2 = 24 cm².
• Lăng trụ đứng nên h = 11 cm.
• Thể tích: V = 24 × 11 = 264 cm³.

Ví dụ 2. Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy 10 cm, cạnh bên 8 cm.

• Diện tích đáy: S = 10² × √3 / 4 = 25√3 ≈ 43,30 cm².
• Đây là lăng trụ đứng nên h = 8 cm.
• Thể tích: V = 25√3 × 8 = 200√3 ≈ 346,41 cm³.

Biết thể tích, tìm chiều cao hoặc diện tích đáy

Từ V = S × h suy ra hai công thức ngược:

• Chiều cao: h = V : S.
• Diện tích đáy: S = V : h.

Ví dụ. Một khối lăng trụ đứng có thể tích 195 cm³, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 5 cm và 6 cm. Diện tích đáy S = 5 × 6 / 2 = 15 cm², nên chiều cao h = 195 : 15 = 13 cm. Vì là lăng trụ đứng, cạnh bên cũng dài 13 cm. Thử lại: 15 × 13 = 195 cm³.

Vì sao thể tích lăng trụ bằng S × h?

Bắt đầu từ hình hộp chữ nhật kích thước a × b × c. Mỗi lớp dày 1 đơn vị chứa a × b khối lập phương đơn vị. Xếp c lớp như vậy được a × b × c khối, tức diện tích đáy nhân chiều cao.

Lăng trụ bất kỳ cũng có thể hình dung là một chồng rất nhiều lát mỏng song song với đáy. Lát nào cũng là đa giác bằng đáy, có diện tích S. Chồng lát cao h thì thể tích là S × h.

Nếu đẩy nghiêng chồng lát này, giống như đẩy nghiêng một xấp giấy, từng lát vẫn giữ nguyên diện tích và xấp giấy vẫn cao h, nên thể tích không đổi. Ý này được phát biểu thành nguyên lý Cavalieri: hai khối nằm giữa hai mặt phẳng song song, nếu mọi mặt phẳng song song với hai mặt đó cắt hai khối theo hai thiết diện có diện tích bằng nhau, thì hai khối có thể tích bằng nhau.

Vì vậy lăng trụ xiên dùng chung công thức với lăng trụ đứng. Điều kiện là h phải là khoảng cách giữa hai đáy, không phải cạnh bên.

Một lăng trụ tam giác chia được thành ba khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau. Từ đó (cộng thêm nguyên lý Cavalieri cho đáy đa giác bất kỳ) suy ra khối chóp có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao với lăng trụ thì có thể tích bằng một phần ba: V chóp = 1/3 × S × h.

Bảng công thức thể tích lăng trụ theo hình đáy

Các loại lăng trụ chỉ khác nhau ở cách tính diện tích đáy S, còn bước nhân với chiều cao h thì giữ nguyên. Ví dụ trong bảng dùng đơn vị cm, kết quả có căn được làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Cách tính chi tiết từng hình phẳng có trong các bài diện tích tam giác, diện tích hình thang và diện tích hình thoi. Hai công thức có căn trong bảng thì tự suy ra được:

• Tam giác đều: đường cao của tam giác đều cạnh a dài a√3/2, nên S = 1/2 × a × a√3/2 = a²√3/4.
• Lục giác đều: nối tâm với 6 đỉnh, lục giác chia thành 6 tam giác đều cạnh a. Mỗi tam giác có diện tích a²√3/4, nên S = 6 × a²√3/4 = 3a²√3/2.

Đơn vị và cách đổi

• Cạnh tính bằng cm thì diện tích đáy là cm², thể tích là cm³. Cạnh tính bằng m thì dùng m² và m³.
• 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 lít; 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 lít.
• Nếu đề cho các số đo khác đơn vị (ví dụ cạnh đáy tính bằng cm, chiều cao tính bằng dm), hãy đổi về một đơn vị trước khi nhân.

Cách xác định chiều cao h của lăng trụ

Diện tích đáy chỉ là một phép tính hình phẳng. Phần cần cẩn thận là chiều cao, nhất là với lăng trụ xiên. Hình dưới đặt cạnh nhau hai lăng trụ cùng đáy, cùng chiều cao h. Cạnh bên của chúng dài khác nhau nhưng thể tích bằng nhau.

Lăng trụ đứng: h bằng cạnh bên

Cạnh bên vuông góc với mặt đáy nên chiều cao chính là cạnh bên: h = AA’ = BB’ = CC’. Lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều là lăng trụ đứng, nên cũng lấy h theo cách này.

Có dạng đề không cho sẵn cạnh bên mà cho góc giữa một mặt phẳng và mặt đáy. Khi đó phải dựng đúng góc rồi dùng tam giác vuông để tìm cạnh bên.

Ví dụ 3. Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 8 cm, mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy góc 60°. Tính thể tích.

1. Gọi M là trung điểm BC. Tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC. BC vuông góc với cả AM và AA’ (vì AA’ vuông góc với đáy), nên BC vuông góc với mặt phẳng (A’AM), suy ra A’M ⊥ BC. Vậy góc giữa (A’BC) và đáy là góc A’MA = 60°.
2. AM là đường cao tam giác đều cạnh 8: AM = 8√3/2 = 4√3 ≈ 6,93 cm.
3. Tam giác A’AM vuông tại A: AA’ = AM × tan 60° = 4√3 × √3 = 12 cm. Đây là chiều cao h.
4. Diện tích đáy: S = 8² × √3/4 = 16√3 ≈ 27,71 cm².
5. Thể tích: V = 16√3 × 12 = 192√3 ≈ 332,55 cm³.

Chỗ dễ sai ở đây là lấy góc A’BA hay A’CA làm góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng phải đo bằng hai đường cùng vuông góc với giao tuyến BC, tức AM và A’M.

Lăng trụ xiên: h ngắn hơn cạnh bên

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng chứa đáy ABC. Chiều cao là đoạn h = A’H. Điểm H nằm trên mặt phẳng đáy, có thể ở trong hoặc ở ngoài đa giác đáy tuỳ hình. Tam giác A’HA vuông tại H, nên có hai cách tính:

• Biết góc α giữa cạnh bên và mặt đáy (chính là góc A’AH): h = L × sin α, với L = AA’.
• Biết vị trí của H (ví dụ H là trọng tâm, trung điểm một cạnh hoặc một điểm khác do đề cho): tính AH, rồi dùng định lý Pythagore A’H² = AA’² − AH².

Một số giá trị sin cần nhớ: sin 30° = 0,5; sin 45° = √2/2 ≈ 0,71; sin 60° = √3/2 ≈ 0,87. Khi α = 90° thì sin α = 1 và h = L, đúng là trường hợp lăng trụ đứng. Khi α nhỏ hơn 90° thì sin α nhỏ hơn 1, nên h ngắn hơn cạnh bên.

Ví dụ 4. Lăng trụ xiên có đáy là hình chữ nhật 7 cm × 4 cm, cạnh bên dài 10 cm và tạo với mặt đáy góc 30°.

• Chiều cao: h = 10 × sin 30° = 10 × 0,5 = 5 cm.
• Diện tích đáy: S = 7 × 4 = 28 cm².
• Thể tích: V = 28 × 5 = 140 cm³.

Nếu lấy nhầm cạnh bên 10 cm làm chiều cao, kết quả sẽ là 280 cm³, gấp đôi đáp số đúng.

Ví dụ 5. Lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 9 cm, cạnh bên AA’ = 6 cm. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Tính thể tích lăng trụ.

1. Trong tam giác đều, đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao, dài 9√3/2 ≈ 7,79 cm.
2. Trọng tâm G cách đỉnh A một đoạn bằng 2/3 trung tuyến: AG = 2/3 × 9√3/2 = 3√3 ≈ 5,20 cm.
3. Tam giác A’GA vuông tại G nên A’G² = AA’² − AG² = 36 − 27 = 9. Suy ra h = A’G = 3 cm. Góc giữa cạnh bên và đáy là 30°, vì sin α = 3/6 = 0,5.
4. Diện tích đáy: S = 9² × √3/4 = 81√3/4 ≈ 35,07 cm².
5. Thể tích: V = 81√3/4 × 3 = 243√3/4 ≈ 105,22 cm³.

Lăng trụ khác hình trụ thế nào?

Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau và mặt xung quanh là mặt cong. Vì vậy hình trụ không phải khối đa diện và không phải lăng trụ.

Thể tích hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là V = π × r² × h. Công thức này cùng dạng “diện tích đáy × chiều cao” với lăng trụ, chỉ khác ở diện tích đáy: hình trụ dùng πr², còn lăng trụ dùng diện tích một đa giác. Đề hỏi “thể tích khối trụ” thì dùng πr²; đề hỏi “khối lăng trụ” thì tính diện tích đa giác đáy.

Lỗi hay gặp khi tính thể tích lăng trụ

• Lấy cạnh bên của lăng trụ xiên làm chiều cao. Ở Ví dụ 4, dùng cạnh bên 10 cm thay cho h = 5 cm sẽ ra 280 cm³, gấp đôi đáp số đúng. Chỉ lăng trụ đứng mới có h bằng cạnh bên.
• Lẫn đường cao của tam giác đáy với chiều cao lăng trụ. Đường cao của tam giác nằm trong mặt đáy và chỉ dùng để tính S. Chiều cao h của lăng trụ đo giữa hai mặt đáy, nhân vào sau cùng.
• Quên chia 2. Diện tích tam giác, hình thoi, hình thang đều có phép chia 2. Với lục giác đều cạnh 3 cm, quên chia 2 sẽ ra S = 27√3 thay vì 27√3/2 cm², và thể tích cũng bị gấp đôi.
• Ghi sai đơn vị. Diện tích đáy tính bằng cm², không phải cm³. Thể tích tính bằng cm³. Cạnh đáy và chiều cao khác đơn vị thì phải đổi trước khi nhân.
• Nhầm lăng trụ với hình trụ. Đáy là đa giác thì không dùng πr²; πr² chỉ dùng cho đáy hình tròn.

Bài tập tự luyện

Bạn tự làm trước rồi mở đáp án để đối chiếu. Kết quả có căn được làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Bài 1. Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với hai đường chéo 10 cm và 6 cm, cạnh bên 7 cm. Tính thể tích.

Bài 2. Một thùng chứa có lòng thùng dạng lăng trụ lục giác đều, cạnh đáy 2 dm, chiều cao 5 dm. Thùng chứa được bao nhiêu lít?

Bài 3. Lăng trụ xiên có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 4 cm và 7 cm. Cạnh bên dài 6 cm và tạo với mặt đáy góc 45°. Tính thể tích.

Bài 4. Một máng nước dạng lăng trụ đứng đặt nằm ngang. Hai đầu máng là hai hình thang có hai đáy 1,2 m và 0,8 m, chiều cao hình thang 0,5 m. Máng dài 3 m. Máng chứa đầy được bao nhiêu lít nước?

Bài 5. Một khối lăng trụ và một khối chóp có cùng diện tích đáy 22 cm² và cùng chiều cao 6 cm. Tính thể tích mỗi khối.

Xem thêm

• thể tích hình hộp chữ nhật
• hình lập phương
• diện tích tam giác
• đường cao tam giác đều
• diện tích hình thang
• diện tích hình thoi