Thể Tích Hình Cầu, Diện Tích Mặt Cầu: Công Thức, Bài Tập

Thể tích hình cầu (khối cầu) bằng V = 4/3 × π × r³, trong đó r là bán kính và π ≈ 3,14. Diện tích mặt cầu (bề mặt hình cầu) là S = 4 × π × r². Ví dụ hình cầu có r = 6cm thì V = 4/3 × 3,14 × 6³ = 904,32cm³ và S = 4 × 3,14 × 6² = 452,16cm². Biết đường kính d thì có thể dùng V = π × d³ / 6 và S = π × d².

Hình cầu, khối cầu và mặt cầu khác nhau thế nào?

Hình cầu là hình tạo ra khi quay một nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định của nó. Nửa đường tròn trong phép quay đó vạch ra mặt cầu; điểm O là tâm, khoảng cách r từ tâm tới mọi điểm trên mặt cầu là bán kính. Mặt phẳng đi qua tâm cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn (đường xích đạo trên hình dưới), có cùng bán kính r với hình cầu.

Ba tên gọi cần phân biệt:

Vì mặt cầu chỉ là lớp vỏ nên nói chặt chẽ nó không có thể tích. Gặp cụm “thể tích mặt cầu” thì hiểu là thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu đó, tính bằng cùng công thức ở mục dưới.

“Chu vi hình cầu” là gì?

Hình cầu không có chu vi riêng, vì chu vi là độ dài đường bao của một hình phẳng. Khi gặp cụm “chu vi hình cầu” hoặc “chu vi mặt cầu”, có thể hiểu là chu vi đường tròn lớn C = 2 × π × r, tức độ dài một vòng quanh đường xích đạo của hình cầu. Đọc kỹ đề cho số đo nào rồi đổi về r trước khi tính tiếp.

Công thức tính thể tích hình cầu

V = 4/3 × π × r³ (thể tích bằng 4/3 nhân π nhân lập phương bán kính)

Trong đó V là thể tích (đơn vị cm³, m³…), r là bán kính (cm, m…) và π ≈ 3,14. Nếu đề bài cho đường kính d thì r = d : 2, hoặc dùng luôn V = π × d³ / 6 (hai cách cho kết quả như nhau). Trong bài này π lấy bằng 3,14 và kết quả không chẵn được làm tròn đến hai chữ số thập phân; nếu đề yêu cầu để đáp số theo π (ví dụ 121,5π) thì giữ nguyên π, không thay bằng 3,14.

Cách tính từng bước

1. Xác định bán kính r (nếu đề cho đường kính thì chia đôi).
2. Tính r³ = r × r × r.
3. Nhân với π (3,14), rồi nhân với 4 và chia cho 3.
4. Ghi đơn vị thể tích: cm³, m³… (1 lít = 1000cm³ = 1dm³).

Ví dụ 1. Hình cầu có bán kính 9cm. V = 4/3 × 3,14 × 9³ = 4/3 × 3,14 × 729 = 3052,08cm³.

Ví dụ 2. Một quả địa cầu mô hình có đường kính 24cm. Bán kính r = 24 : 2 = 12cm. V = 4/3 × 3,14 × 12³ = 4/3 × 3,14 × 1728 = 7234,56cm³, tức khoảng 7,23 lít (đổi bằng cách chia cho 1000).

Ví dụ 3. Một bể chứa hình cầu có đường kính trong 3m, tức r = 1,5m. V = 4/3 × 3,14 × 1,5³ = 4/3 × 3,14 × 3,375 = 14,13m³ = 14.130 lít (1m³ = 1000 lít).

Vì sao có hệ số 4/3?

Có hai cách nhìn giúp nhớ công thức. Cách thứ nhất: chia hình cầu thành vô số hình chóp nhỏ có chung đỉnh là tâm O, đáy nằm trên mặt cầu, chiều cao đều xấp xỉ r. Thể tích hình chóp bằng 1/3 × diện tích đáy × chiều cao, cộng tất cả lại được V = 1/3 × S × r. Thay S = 4πr² vào sẽ ra V = 4/3 × π × r³.

Cách thứ hai là so với hình trụ ngoại tiếp: hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao 2r ôm sát hình cầu (hình cầu chạm hai đáy và mặt xung quanh của trụ). Thể tích hình cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ này: 2/3 × (π × r² × 2r) = 4/3 × π × r³; còn diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của nó: 2 × π × r × 2r = 4πr². Quan hệ này gắn với tên nhà toán học Archimedes.

Công thức tính diện tích mặt cầu

S = 4 × π × r² (bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn πr²), hoặc S = π × d² khi biết đường kính d.

Hình cầu chỉ có một bề mặt nên “diện tích bề mặt hình cầu”, “diện tích xung quanh hình cầu” và “diện tích mặt cầu” đều là S = 4πr²; không có diện tích toàn phần riêng như hình trụ hay hình nón.

Ví dụ 4. Coi vỏ bể ở Ví dụ 3 rất mỏng (đường kính ngoài cũng khoảng 3m). Diện tích mặt bể S = π × d² = 3,14 × 3² = 28,26m². Tính theo bán kính cho cùng kết quả: 4 × 3,14 × 1,5² = 28,26m².

Các dạng bài về hình cầu

Biết thể tích, diện tích hoặc chu vi, tìm bán kính

• Biết thể tích: từ V = 4/3 × π × r³ suy ra r³ = 3V : (4π), rồi lấy căn bậc ba.
• Biết diện tích mặt cầu: từ S = 4πr² suy ra r² = S : (4π), rồi lấy căn bậc hai.
• Biết chu vi đường tròn lớn: r = C : (2π).

Ví dụ 5. Khối cầu đặc có thể tích 121,5π cm³. Tìm bán kính và diện tích mặt cầu. Ta có r³ = 3 × 121,5π : (4π) = 91,125, suy ra r = ∛91,125 = 4,5cm. Diện tích mặt cầu S = 4π × 4,5² = 81π ≈ 254,34cm².

Ví dụ 6. Mặt cầu có diện tích 706,5cm². Tìm bán kính và thể tích khối cầu. Ta có r² = 706,5 : (4 × 3,14) = 706,5 : 12,56 = 56,25, suy ra r = 7,5cm. Thể tích V = 4/3 × 3,14 × 7,5³ = 4/3 × 3,14 × 421,875 = 1766,25cm³.

Ví dụ 7. Đường tròn lớn của một hình cầu có chu vi 43,96cm. Bán kính r = 43,96 : (2 × 3,14) = 43,96 : 6,28 = 7cm. Khi đó S = 4 × 3,14 × 7² = 615,44cm² và V = 4/3 × 3,14 × 7³ = 4/3 × 3,14 × 343 ≈ 1436,03cm³.

Bán kính gấp k lần thì thể tích và diện tích đổi thế nào?

Diện tích tỉ lệ với r², thể tích tỉ lệ với r³. Bán kính gấp k lần thì diện tích mặt cầu gấp k² lần và thể tích gấp k³ lần.

Ví dụ 8. Bán kính tăng từ 5cm lên 10cm (gấp 2). Thể tích tăng từ 4/3 × 3,14 × 5³ ≈ 523,33cm³ lên 4/3 × 3,14 × 10³ ≈ 4186,67cm³, đúng gấp 8 lần. Diện tích tăng từ 4 × 3,14 × 5² = 314cm² lên 4 × 3,14 × 10² = 1256cm², đúng gấp 4 lần.

Hình cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình khác

Đề cho một hình khối khác; tìm bán kính hình cầu từ quan hệ hình học rồi áp dụng công thức ở trên.

Ví dụ 9. Một hộp lập phương cạnh 8cm chứa vừa khít một khối cầu. Bán kính r = 8 : 2 = 4cm. Thể tích khối cầu V = 4/3 × 3,14 × 4³ ≈ 267,95cm³, còn thể tích hộp là 8³ = 512cm³. Khối cầu chiếm 267,95 : 512 ≈ 0,523, tức khoảng 52% thể tích hộp. Hình cầu ngoại tiếp cùng hộp đó (đi qua 8 đỉnh) có r = 8√3 : 2 = 4√3 ≈ 6,93cm.

Thể tích chỏm cầu (phần mở rộng)

Phần này là mở rộng, ngoài chương trình cơ bản. Một mặt phẳng cắt hình cầu chia nó thành hai phần, mỗi phần là một chỏm cầu. Gọi r là bán kính hình cầu, h là chiều cao chỏm (đo vuông góc từ mặt phẳng cắt tới đỉnh chỏm, 0 < h ≤ 2r) và r’ là bán kính hình tròn mặt cắt.

• Thể tích: V = π × h² × (r − h/3). Nếu biết r’ thay cho r: V = π × h × (3r’² + h²) / 6.
• Diện tích phần mặt cong: S = 2 × π × r × h (chưa tính hình tròn mặt cắt).
• Liên hệ: r’² = h × (2r − h), theo định lí Pythagore trong tam giác vuông tại O’ trên hình.

Kiểm nhanh: h = r cho nửa hình cầu, V = π × r² × (r − r/3) = 2πr³/3, đúng một nửa của 4πr³/3; h = 2r (mặt phẳng chỉ chạm hình cầu) cho cả hình cầu, V = π × 4r² × (r − 2r/3) = 4πr³/3.

Ví dụ 10. Chỏm cầu cắt từ hình cầu bán kính 15cm, cao 6cm. V = 3,14 × 6² × (15 − 6/3) = 3,14 × 36 × 13 = 1469,52cm³. Diện tích mặt cong S = 2 × 3,14 × 15 × 6 = 565,2cm².

Bảng tóm tắt công thức hình cầu

Lỗi hay gặp khi tính hình cầu

• Lấy đường kính làm bán kính: ở Ví dụ 2, đường kính 24cm nên r = 12cm và V = 7234,56cm³. Đem 24 vào công thức như bán kính sẽ ra 4/3 × 3,14 × 24³ = 57.876,48cm³, gấp 8 lần. Luôn đổi r = d : 2 trước.
• Sai số mũ hoặc hệ số: thể tích đo ba chiều nên có r³, diện tích đo hai chiều nên có r². Vẫn với r = 12cm: dùng r² thay r³ trong công thức thể tích ra 602,88 (sai hẳn); bỏ phần chia 3, tức tính 4 × π × r³, ra 21.703,68cm³, gấp 3 lần đáp số đúng.
• Nhầm diện tích mặt cầu với diện tích hình tròn lớn: πr² chỉ bằng một phần tư diện tích mặt cầu 4πr².
• Sai đơn vị: thể tích ghi cm³, m³ (không phải cm², m²). Khi đổi ra lít: 1m³ = 1000 lít, 1 lít = 1000cm³. Đề trộn nhiều đơn vị (đường kính tính bằng cm, đáp số hỏi lít) phải đổi cùng một đơn vị trước khi tính.
• Trộn hai giá trị π: đã chọn π = 3,14 thì dùng đến hết bài; trộn 3,14 với 3,14159 trong cùng một bài sẽ cho các kết quả không khớp nhau.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước, rồi mở đáp án để đối chiếu. Mọi bài lấy π = 3,14 trừ khi đề ghi khác.

Bài 1. Một quả cầu thép đặc có bán kính 2,5cm. Tính thể tích và diện tích mặt cầu.

Bài 2. Một bình chứa hình cầu có đường kính trong 60cm. Bình chứa được tối đa bao nhiêu lít?

Bài 3. Mặt cầu có diện tích 153,86cm². Tính bán kính và thể tích khối cầu.

Bài 4. Khối cầu có thể tích 32π/3 dm³ (để nguyên π). Tính bán kính và diện tích mặt cầu.

Bài 5. Bán kính một hình cầu tăng 20%. Thể tích và diện tích mặt cầu tăng bao nhiêu phần trăm?

Bài 6. Một hộp lập phương cạnh 22cm chứa vừa khít một khối cầu. Tính thể tích khối cầu và thể tích phần hộp không bị khối cầu chiếm chỗ.

Bài 7. Chỏm cầu cắt từ hình cầu bán kính 9cm, cao 3cm. Tính thể tích chỏm và diện tích phần mặt cong.

Xem thêm

• diện tích hình tròn
• diện tích xung quanh hình trụ
• hình lập phương