Thể Tích Khối Tròn Xoay: Công Thức Quanh Ox, Oy và Ví Dụ

Thể tích khối tròn xoay được tính bằng tích phân. Ta cắt khối thành các lát mỏng vuông góc với trục quay, mỗi lát là một hình tròn, rồi cộng diện tích các lát lại. Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường x = a, x = b quanh Ox thì V = π∫_a^b f²(x)dx. Hình nằm giữa hai đồ thị y = f(x), y = g(x) và nằm cùng một phía Ox thì V = π∫_a^b |f²(x) − g²(x)|dx. Khi quay quanh Oy, viết đường cong dưới dạng x = g(y) rồi tính V = π∫_c^d g²(y)dy.

Ví dụ: quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 9 quanh Ox, ta được V = π∫₀⁹ x dx = 81π/2. Trong bài, đáp số để ở dạng chứa π. Giá trị gần đúng lấy π ≈ 3,14159 và làm tròn đến hai chữ số thập phân. Như ví dụ trên, 81π/2 ≈ 127,23 đơn vị thể tích.

Khối tròn xoay là gì?

Khối tròn xoay là khối tạo ra khi quay một hình phẳng một vòng quanh một đường thẳng cố định. Đường thẳng này nằm trong cùng mặt phẳng với hình và được gọi là trục quay. Ba ví dụ quen thuộc:

• Quay hình chữ nhật quanh một cạnh được khối trụ.
• Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông được khối nón.
• Quay nửa hình tròn quanh đường kính được khối cầu.

Cần phân biệt khối tròn xoay với mặt tròn xoay. Quay một đường (đoạn thẳng hay đường cong) quanh trục chỉ được một mặt, giống một lớp vỏ, không có phần bên trong. Mặt tròn xoay chỉ có diện tích, còn thể tích là đại lượng của khối. Vì vậy, khi đề hỏi thể tích “vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng…”, đó là thể tích của khối.

Nhiều đồ vật có dạng tròn xoay: bình gốm, thùng chứa, quả bóng. Dáng cong của một chiếc bình gốm không có công thức sẵn như khối trụ hay khối nón. Thể tích của nó phải tính bằng tích phân như các mục dưới đây.

Công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b một vòng quanh Ox, ta được khối tròn xoay có thể tích:

V = π∫_a^b f²(x)dx

Đọc là: V bằng π nhân tích phân từ a đến b của f bình phương. Hàm f không cần dương. Khi f(x) âm, bình phương vẫn cho đúng bình phương của bán kính |f(x)|.

Vì sao công thức có π và bình phương?

Cắt khối bằng một mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Mặt cắt là một hình tròn có tâm nằm trên Ox. Bán kính của nó bằng khoảng cách từ trục tới đồ thị, tức |f(x)|. Theo công thức diện tích hình tròn πr² với r = |f(x)|, diện tích lát cắt là S(x) = π·f²(x).

Coi khối như một chồng vô số đĩa rất mỏng. Mỗi đĩa có thể tích xấp xỉ S(x)·dx. Cộng tất cả từ a đến b, ta được V = ∫_a^b S(x)dx = π∫_a^b f²(x)dx. Thừa số π đến từ diện tích hình tròn, còn bình phương đến từ bán kính.

Các bước làm

1. Xác định trục quay và các đường giới hạn hình phẳng.
2. Tìm cận. Nếu đề không cho sẵn x = a, x = b thì giải phương trình hoành độ giao điểm của các đường.
3. Xác định bán kính lát cắt, tức khoảng cách từ trục quay tới đường biên.
4. Lập tích phân, tìm nguyên hàm rồi thay cận. Giữ π trong đáp số, trừ khi đề yêu cầu số gần đúng.

Ví dụ 1: quay đồ thị y = √x quanh Ox

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 9 quanh trục Ox.

Giải. Đồ thị y = √x cắt Ox tại x = 0, nên cận là 0 và 9. Bán kính lát cắt tại x là √x, bình phương bằng x. Ta có V = π∫₀⁹ (√x)²dx = π∫₀⁹ x dx = π·[x²/2]₀⁹ = π·(81/2 − 0) = 81π/2 ≈ 127,23.

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị quay quanh Ox

Cho f, g liên tục trên [a; b] và hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b. Nếu hình này nằm về một phía của trục Ox, tức f và g không trái dấu trên [a; b], thì:

V = π∫_a^b |f²(x) − g²(x)|dx

Lúc này lát cắt tại x không còn là hình tròn đặc mà là một vành khuyên, phần nằm giữa đường tròn lớn bán kính R và đường tròn nhỏ bán kính r. Với f(x) ≥ g(x) ≥ 0 thì R = f(x), r = g(x). Diện tích vành khuyên là πR² − πr² = π(f² − g²). Đây là hiệu của hai bình phương, không phải bình phương của hiệu.

Nếu hình phẳng vắt qua trục, một phần nằm trên và một phần nằm dưới Ox, thì không áp dụng thẳng công thức trên được. Cách xử lý như sau:

• Trên đoạn mà f(x) ≥ 0 ≥ g(x), lát cắt chứa tâm nằm trên trục. Lát cắt khi đó là hình tròn đặc, bán kính bằng số lớn hơn trong hai số |f(x)| và |g(x)|.
• Trên đoạn mà hình nằm một phía trục, vẫn dùng công thức vành khuyên.
• Vì thế phải chia miền tại các điểm mà f hoặc g đổi dấu. Mục lỗi ở cuối bài có ví dụ bằng số.

Ví dụ 2: hình giữa y = x và y = x²

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = x² quanh trục Ox.

Giải. Phương trình hoành độ giao điểm là x = x² ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. Hai đồ thị cắt nhau tại (0; 0) và (1; 1). Trên [0; 1] có x ≥ x² ≥ 0; thử x = 0,5 thấy 0,5 > 0,25. Vậy hình nằm phía trên Ox, đường y = x ở ngoài và y = x² ở trong.

V = π∫₀¹ (x² − x⁴)dx = π·[x³/3 − x⁵/5]₀¹ = π·(1/3 − 1/5) = 2π/15 ≈ 0,42.

Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Khi trục quay là Oy, các lát cắt vuông góc với Oy là những hình tròn nằm ngang. Đường biên phải được viết dưới dạng x = g(y), với g liên tục trên [c; d]. Quay hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục Oy, y = c và y = d quanh Oy, ta có:

V = π∫_c^d g²(y)dy

Bán kính lát cắt tại độ cao y là |g(y)|. Công thức giống hệt trường hợp Ox, chỉ đổi vai trò của x và y. Nếu đề cho dạng y = f(x), bạn phải giải ra x theo y và đổi cận sang trục tung.

Với hình nằm giữa hai đường x = g₁(y), x = g₂(y) và cùng một phía Oy: V = π∫_c^d |g₁²(y) − g₂²(y)|dy.

Ví dụ 3: quay quanh Oy

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Oy và đường thẳng y = 3 quanh trục Oy.

Giải. Với y ≥ 0, ta có y = √x ⇔ x = y². Hình phẳng gồm các điểm có 0 ≤ y ≤ 3 và 0 ≤ x ≤ y², tức nằm giữa trục Oy và đường x = y². Cận theo y là 0 và 3, không phải 0 và 9 như khi tính theo x. Lát cắt ngang tại độ cao y là hình tròn bán kính y².

V = π∫₀³ (y²)²dy = π∫₀³ y⁴dy = π·[y⁵/5]₀³ = π·243/5 = 243π/5 ≈ 152,68.

Thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện

Mọi trường hợp ở trên đều xuất phát từ một công thức chung. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b), ta được thiết diện có diện tích S(x) liên tục. Khi đó V = ∫_a^b S(x)dx.

Vật thể trong công thức này không cần là khối tròn xoay. Khối tròn xoay chỉ là trường hợp riêng với S(x) = πf²(x). Nếu S(x) không đổi và bằng S thì V = (b − a)·S, tức diện tích đáy nhân chiều cao, giống công thức thể tích lăng trụ.

Ví dụ 4. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = 3. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc Ox tại x bất kỳ (1 ≤ x ≤ 3), ta được thiết diện là hình vuông cạnh x. Khi đó S(x) = x² và V = ∫₁³ x²dx = (3³ − 1³)/3 = 26/3 ≈ 8,67. Đáp số không có π vì thiết diện là hình vuông.

Bảng tóm tắt công thức thể tích khối tròn xoay

Tự kiểm công thức với khối trụ, nón, cầu

Ví dụ 5. Dùng công thức tích phân tính lại ba khối đã biết. Đây cũng là cách tự kiểm công thức.

• Khối trụ bán kính r, chiều cao h: quay hình chữ nhật giới hạn bởi y = r, trục Ox, x = 0, x = h quanh Ox. Ta có V = π∫₀^h r²dx = πr²h.
• Khối nón: quay tam giác vuông giới hạn bởi y = (r/h)x, trục Ox và x = h quanh Ox. Đỉnh nón ở gốc toạ độ, đáy có bán kính r tại x = h. Ta có V = π∫₀^h (r²/h²)x²dx = π·(r²/h²)·(h³/3) = πr²h/3.
• Khối cầu bán kính R: quay nửa hình tròn giới hạn bởi y = √(R² − x²) và trục Ox quanh Ox, với −R ≤ x ≤ R. Ta có V = π∫_−R^R (R² − x²)dx = π·[R²x − x³/3]_−R^R = π·[(R³ − R³/3) − (−R³ + R³/3)] = 4πR³/3. Kết quả khớp với công thức thể tích hình cầu.

Cả ba kết quả đều trùng với công thức của hình học không gian. Nên khi quên công thức tích phân, bạn có thể dựng lại nó từ một khối quen. Còn khối có biên cong bất kỳ thì không có công thức riêng như ba khối trên và phải tính bằng tích phân.

Phương pháp vỏ trụ (phần mở rộng)

Phần này là mở rộng, không thuộc nhóm công thức trong sách giáo khoa Toán 12. Khi làm bài theo chương trình phổ thông, bạn nên trình bày bằng các công thức ở trên. Vỏ trụ có ích khi quay quanh Oy mà khó giải x theo y.

Cho hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b với 0 ≤ a < b. Quay hình này quanh Oy:

V = 2π∫_a^b x·|f(x) − g(x)|dx

Ý tưởng như sau. Một dải đứng mỏng tại x, cao |f(x) − g(x)|, khi quay quanh Oy tạo thành một vỏ trụ mỏng bán kính x. Trải vỏ này ra, ta được gần đúng một tấm chữ nhật dài 2πx, cao |f − g|, dày dx. Cộng các vỏ lại sẽ ra công thức trên.

Ví dụ 6. Quay hình phẳng giới hạn bởi y = 3x − x² và trục Ox quanh Oy.

Giải. Giao điểm với Ox: 3x − x² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3. Ta có V = 2π∫₀³ x(3x − x²)dx = 2π·[x³ − x⁴/4]₀³ = 2π·(27 − 81/4) = 27π/2 ≈ 42,41.

Cách lát cắt ngang cũng ra cùng đáp số nhưng dài hơn:

• Phải giải ra x = (3 ± √(9 − 4y))/2 với 0 ≤ y ≤ 9/4 (đỉnh parabol cao 9/4).
• Lát cắt là vành khuyên có R = (3 + √(9 − 4y))/2 và r = (3 − √(9 − 4y))/2, nên R² − r² = (R + r)(R − r) = 3√(9 − 4y).
• Từ đó V = π∫₀^9/4 3√(9 − 4y)dy = 27π/2.

Lỗi dễ sai khi tính thể tích khối tròn xoay

• Dùng (f − g)² thay cho f² − g². Ở Ví dụ 2, tính π∫₀¹ (x − x²)²dx sẽ ra π/30 ≈ 0,10, chỉ bằng một phần tư đáp số đúng 2π/15. Phải bình phương riêng bán kính ngoài và bán kính trong rồi mới trừ.
• Quên π. Ví dụ 1 sẽ ra 81/2 thay vì 81π/2. Công thức khối tròn xoay luôn có thừa số π đứng trước tích phân, vì mọi lát cắt đều là hình tròn hoặc vành khuyên.
• Quay quanh Oy mà vẫn tích phân theo x. Ở Ví dụ 3, tính π∫₀⁹ (√x)²dx sẽ ra 81π/2. Đó là thể tích khi quay hình ở Ví dụ 1 quanh Ox, một khối khác hẳn. Quay quanh Oy phải dùng x = g(y) và dy, hoặc dùng vỏ trụ.
• Lấy cận sai vì không giải giao điểm. Khi đề chỉ cho các đường giới hạn (như y = x và y = x²), cận là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, không được tự đặt. Khi chuyển sang tích phân theo y, cận cũng đổi theo. Ở Ví dụ 3, cận là 0 và 3.
• Quên điều kiện cùng phía trục. Hình phẳng giới hạn bởi y = 1, y = −2, x = 0, x = 1 vắt qua Ox. Áp dụng máy móc π∫₀¹ |1² − (−2)²|dx sẽ được 3π, là kết quả sai. Khi quay, phần dưới trục có bán kính 2 và trùm lên phần trên có bán kính 1. Khối thật là khối trụ bán kính 2, cao 1, nên V = π∫₀¹ 2²dx = 4π.
• Nhầm đường ngoài với đường trong. Với hai đồ thị cùng phía trục, hàm có trị tuyệt đối lớn hơn cho bán kính ngoài. Nếu không chắc, hãy thử một điểm ở giữa đoạn, hoặc giữ dấu giá trị tuyệt đối như trong công thức.

Bài tập tự luyện

Bạn tự làm trước rồi mở đáp án để đối chiếu. Đáp số để theo π, kèm giá trị gần đúng làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Bài 1. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x³, trục Ox và đường thẳng x = 1 quanh trục Ox.

Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = 1/x, trục Ox, x = 1 và x = 2 quanh trục Ox.

Bài 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = 2x và y = x² quanh trục Ox.

Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi x = y² + 1, trục Oy, y = 0 và y = 1 quanh trục Oy.

Xem thêm

• thể tích hình cầu
• diện tích hình tròn
• diện tích xung quanh hình trụ
• thể tích lăng trụ