Diện Tích Hình Quạt: Công Thức, Ví Dụ, Bài Tập
Diện tích hình quạt bằng S = π × R² × n / 360, trong đó R là bán kính hình tròn và n là số đo góc ở tâm tính bằng độ. Nếu biết độ dài cung l của hình quạt thì dùng S = l × R / 2. Ví dụ quạt có R = 6cm, góc ở tâm 120° thì S = 3,14 × 6² × 120 / 360 = 37,68cm².
Trong bài này π lấy bằng 3,14 và kết quả lẻ được làm tròn đến hai chữ số thập phân. Trước khi thay số, bạn đổi mọi số đo về cùng một đơn vị.
Hình quạt tròn là gì?
Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung AB nằm giữa chúng. Điểm O là tâm, R = OA = OB là bán kính, góc AOB có số đo n° là góc ở tâm, còn độ dài cung AB là l.
Cách nhận ra hình quạt:
- Có một đỉnh nằm đúng tại tâm hình tròn.
- Hai cạnh thẳng dài bằng nhau và bằng bán kính.
- Cạnh còn lại là một cung tròn, không phải đoạn thẳng.
Khi góc ở tâm n = 360° thì quạt chính là cả hình tròn; n = 180° là nửa hình tròn; n = 90° là một phần tư hình tròn. Công thức diện tích hình tròn S = π × R² là trường hợp riêng của công thức hình quạt khi n = 360°.
Công thức diện tích hình quạt
Quạt chiếm n/360 của cả hình tròn nên diện tích của nó cũng bằng n/360 diện tích hình tròn. Đó là công thức thứ nhất. Thay độ dài cung l = π × R × n / 180 vào sẽ được công thức thứ hai.
| Biết gì | Công thức | Khi nào dùng |
|---|---|---|
| Bán kính R và góc n° (độ) | S = π × R² × n / 360 | Đề cho góc ở tâm bằng độ |
| Bán kính R và độ dài cung l | S = l × R / 2 | Đề cho độ dài cung, không cần tính góc |
| Bán kính R và góc θ (radian) | S = R² × θ / 2 | Đề cho góc bằng radian |
Công thức S = l × R / 2 dễ nhớ nếu bạn hình dung nó giống diện tích một tam giác có đáy bằng độ dài cung l và chiều cao bằng bán kính R.
Để dùng dòng thứ ba, bạn đổi giữa độ và radian như sau: θ (radian) = n × π / 180. Ngược lại, n (độ) = θ × 180 / π. Ví dụ 180° = π radian, 90° = π/2 radian, 60° = π/3 radian, 120° = 2π/3 radian.
Chu vi hình quạt (độ dài đường bao quanh nó) là C = 2 × R + l, tức hai bán kính cộng thêm cung. Đại lượng này khác diện tích, nên bạn đọc kỹ đề hỏi gì.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1 (biết R và góc n°). Hình quạt có bán kính 6cm, góc ở tâm 120°. Tính diện tích.
S = 3,14 × 6² × 120 / 360 = 3,14 × 36 × 120 / 360 = 3,14 × 12 = 37,68cm². Cách nhẩm nhanh: 120/360 = 1/3 nên quạt bằng một phần ba hình tròn bán kính 6cm.
Ví dụ 2 (biết R và độ dài cung). Hình quạt có bán kính 10cm, cung dài 9,42cm. Tính diện tích.
S = l × R / 2 = 9,42 × 10 / 2 = 47,10cm². Không cần tìm góc ở tâm. Nếu muốn đối chiếu, góc n = l × 180 / (π × R) = 9,42 × 180 / (3,14 × 10) = 54°, thay vào công thức thứ nhất cũng ra 47,10cm².
Ví dụ 3 (tính ngược bán kính). Hình quạt có diện tích 94,20cm², cung dài 12,56cm. Tìm bán kính.
Từ S = l × R / 2 suy ra R = 2 × S / l = 2 × 94,20 / 12,56 = 188,40 / 12,56 = 15cm. Thử lại: 12,56 × 15 / 2 = 94,20cm².
Bảng tóm tắt công thức liên quan
| Đại lượng | Công thức | Đơn vị |
|---|---|---|
| Diện tích hình quạt (góc n°) | S = π × R² × n / 360 | cm², m² |
| Diện tích hình quạt (cung l) | S = l × R / 2 | cm², m² |
| Diện tích hình quạt (radian θ) | S = R² × θ / 2 | cm², m² |
| Độ dài cung | l = π × R × n / 180 = R × θ | cm, m |
| Chu vi hình quạt | C = 2 × R + l | cm, m |
| Bán kính (biết S và l) | R = 2 × S / l | cm, m |
| Bán kính (biết S và n°) | R = √(S × 360 / (π × n)) | cm, m |
Diện tích hình viên phân
Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó. Cách tính: lấy diện tích hình quạt OAB trừ diện tích tam giác OAB.
Ví dụ 4. Đường tròn bán kính 10cm, góc ở tâm AOB = 90°. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB.
Diện tích hình quạt: 3,14 × 10² × 90 / 360 = 78,50cm². Tam giác OAB vuông cân tại O nên có diện tích 10 × 10 / 2 = 50cm². Diện tích hình viên phân: 78,50 − 50 = 28,50cm².
Với góc ở tâm 60°, tam giác OAB là tam giác đều cạnh R, nên diện tích tam giác bằng R² × √3 / 4.
Hình quạt khác hình vành khuyên thế nào?
Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính R và r (R lớn hơn r), có diện tích S = π × (R² − r²). Nó là một vòng khép kín, còn hình quạt là một “miếng” cắt ra từ tâm.
Chiếc vòng đệm (long đền) phẳng là một vật có dạng vành khuyên. Khi đề cho hai bán kính đồng tâm thì dùng S = π × (R² − r²). Nếu đề chỉ lấy một phần của vành khuyên, giới hạn bởi góc n°, thì lấy diện tích quạt lớn trừ diện tích quạt nhỏ cùng góc (xem bài tập 5).
Lỗi cần tránh khi tính diện tích hình quạt
| Lỗi | Ví dụ sai | Làm đúng |
|---|---|---|
| Lấy đường kính làm bán kính | Đề cho đường kính 12cm, đem R = 12 vào công thức | Đổi R = 12 / 2 = 6cm trước khi tính |
| Quên đổi đơn vị | R = 2dm, l = 15cm, nhân trực tiếp 15 × 2 / 2 | Đổi 2dm = 20cm rồi tính 15 × 20 / 2 = 150cm² |
| Nhầm góc n với độ dài cung l | Đề cho l = 9,42cm, đem thay vào chỗ n trong công thức πR²n/360 | Có l thì dùng S = l × R / 2; có n thì dùng S = πR²n/360 |
| Trộn hai cách ghi π | Một bước dùng π = 3,14, bước sau giữ nguyên π nên hai dòng không khớp | Đề yêu cầu số thập phân thì thay π = 3,14 từ đầu đến cuối; đề yêu cầu đáp số theo π thì giữ nguyên π |
Cách kiểm tra nhanh: độ dài cung l không dài hơn chu vi hình tròn 2 × π × R, và diện tích quạt không lớn hơn diện tích cả hình tròn π × R². Nếu l tính ra lớn hơn chu vi hoặc S lớn hơn cả hình tròn thì bạn đã thay nhầm số.
Bài tập tự luyện
Bạn tự làm trước rồi mở đáp án để đối chiếu. Mọi bài lấy π = 3,14.
Bài 1. Hình quạt có bán kính 9cm, góc ở tâm 80°. Tính diện tích.
Xem đáp án
S = 3,14 × 9² × 80 / 360 = 3,14 × 81 × 80 / 360 = 56,52cm².
Bài 2. Hình quạt có bán kính 8cm, góc ở tâm π/2 radian (tức 90°). Tính diện tích.
Xem đáp án
S = R² × θ / 2 = 8² × (π/2) / 2 = 16π ≈ 16 × 3,14 = 50,24cm².
Bài 3. Hình quạt có bán kính 7cm, cung dài 11cm. Tính diện tích.
Xem đáp án
S = l × R / 2 = 11 × 7 / 2 = 38,50cm².
Bài 4. Hình quạt có diện tích 42,39cm², góc ở tâm 60°. Tìm bán kính.
Xem đáp án
R² = S × 360 / (π × n) = 42,39 × 360 / (3,14 × 60) = 15.260,40 / 188,40 = 81, suy ra R = 9cm.
Bài 5. Một chiếc quạt giấy có nan dài 25cm, phần giấy dán từ chỗ cách đinh quạt 10cm ra tới mép ngoài. Khi mở hết, quạt tạo góc 120°. Tính diện tích phần giấy của một mặt quạt.
Xem đáp án
Phần giấy là quạt lớn (R = 25cm) trừ quạt nhỏ (r = 10cm) cùng góc 120°: S = 3,14 × (25² − 10²) × 120 / 360 = 3,14 × 525 / 3 = 549,50cm².
Xem thêm
Câu hỏi thường gặp
Diện tích hình quạt tròn lớp 9 dùng công thức nào?
Sách Toán 9 dùng hai công thức: S = πR²n/360 khi biết bán kính R và số đo cung n độ, hoặc S = lR/2 khi biết bán kính R và độ dài cung l. Hai công thức cho cùng một kết quả vì l = πRn/180.
Đề cho đường kính thì tính diện tích hình quạt thế nào?
Chia đường kính cho 2 để được bán kính rồi mới thay vào công thức. Ví dụ đường kính 20cm, góc ở tâm 45° thì R = 10cm và S = 3,14 × 10² × 45 / 360 = 39,25cm².
Hình quạt có góc 90 độ bằng bao nhiêu phần hình tròn?
Bằng một phần tư hình tròn, vì 90/360 = 1/4. Tương tự, góc 180° là nửa hình tròn, góc 120° là một phần ba, góc 60° là một phần sáu.
Chu vi hình quạt tính như thế nào?
Chu vi hình quạt bằng hai bán kính cộng độ dài cung: C = 2R + l. Ví dụ R = 5cm, cung dài 7cm thì C = 2 × 5 + 7 = 17cm. Đây là độ dài đường bao, khác với diện tích.
Hình viên phân là gì và tính diện tích ra sao?
Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó. Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt chứa nó trừ diện tích tam giác tạo bởi tâm và hai đầu dây.
Hình quạt và hình vành khuyên khác nhau thế nào?
Hình quạt là một miếng cắt ra từ tâm, giới hạn bởi hai bán kính và một cung. Hình vành khuyên là vòng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính R và r, có diện tích S = π(R² − r²).