Đường Chéo Hình Vuông: Công Thức a√2, Ví Dụ, Bài Tập

Đường chéo của hình vuông cạnh a dài d = a√2, tức khoảng 1,414 lần cạnh. Ví dụ hình vuông cạnh 5 cm có đường chéo 5√2 ≈ 7,07 cm.

Công thức tính đường chéo hình vuông

Đường chéo là đoạn nối hai đỉnh đối nhau, nên hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD. Xét tam giác ABC: góc B vuông, AB = BC = a, nên đây là tam giác vuông cân và đường chéo AC là cạnh huyền của nó. Theo định lí Pythagore:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a², suy ra AC = a√2.

• d = a√2, trong đó a là cạnh hình vuông.
• Từ đường chéo tìm cạnh: a = d / √2 = d√2 / 2.
• Vì √2 ≈ 1,414 nên d ≈ 1,414 × a. Đường chéo luôn dài hơn cạnh, nhưng ngắn hơn tổng hai cạnh liên tiếp (a√2 < 2a).

Cách chứng minh thứ hai dùng diện tích. Vẽ một hình vuông lớn có cạnh bằng d, đặt sao cho bốn đỉnh A, B, C, D của hình vuông ban đầu nằm ở trung điểm bốn cạnh của nó. Bốn góc của hình vuông lớn bị cắt đi là bốn tam giác vuông cân bằng nhau, mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông dài d/2 nên diện tích ½ × (d/2)² = d²/8. Bốn tam giác cộng lại là d²/2, vậy ABCD có diện tích d² − d²/2 = d²/2.

Mà diện tích hình vuông ABCD là a², nên a² = d²/2, tức d² = 2a² và d = a√2. Cùng kết quả như cách dùng Pythagore, và cho thấy diện tích hình vuông dựng trên đường chéo gấp đôi diện tích hình vuông ban đầu.

Biết chu vi, diện tích hoặc đường chéo thì tính thế nào?

Đề không phải lúc nào cũng cho cạnh. Bảng dưới đây gom các trường hợp trong bài tập; công thức S = a² của hình vuông có ở bài diện tích hình vuông.

Ví dụ hình vuông có diện tích 98 cm². Không cần tìm cạnh: d = √(2 × 98) = √196 = 14 cm. Dùng công thức S = d²/2 theo chiều ngược lại cũng được: 14²/2 = 98.

Tính chất hai đường chéo hình vuông

Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, nên hai đường chéo mang tính chất của cả hai hình. Gọi O là giao điểm của AC và BD:

• Hai đường chéo bằng nhau: AC = BD = a√2.
• Hai đường chéo vuông góc với nhau: AC ⊥ BD.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA = OB = OC = OD = d/2.
• Mỗi đường chéo là tia phân giác của các góc ở hai đỉnh nó đi qua, nên tạo với hai cạnh kề góc 45°.
• Mỗi đường chéo chia hình vuông thành hai tam giác vuông cân bằng nhau, diện tích mỗi tam giác là S/2. Hai đường chéo chia hình vuông thành bốn tam giác vuông cân nhỏ bằng nhau, diện tích mỗi tam giác là S/4 = d²/8.

Điểm O cách đều bốn đỉnh (OA = d/2) nên là tâm đường tròn ngoại tiếp, và cách đều bốn cạnh một khoảng a/2 nên là tâm đường tròn nội tiếp.

So sánh với đường chéo hình chữ nhật và hình thoi

Hình chữ nhật 9 cm × 12 cm có đường chéo √(9² + 12²) = √225 = 15 cm. Hai đường chéo của nó không vuông góc: nếu vuông góc thì hình chữ nhật này cũng là hình thoi, tức bốn cạnh bằng nhau, mà 9 ≠ 12. Cho a = b vào công thức √(a² + b²) ta được √(2a²) = a√2, đúng công thức của hình vuông. Cách tính đường chéo hình thoi xem ở bài đường chéo hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông qua đường chéo:

• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình vuông.

Hình lập phương cạnh a có đường chéo mặt dài a√2 và đường chéo khối dài a√3 (xem hình lập phương).

Bảng đổi nhanh từ cạnh sang đường chéo

Vì √2 là số vô tỉ nên hình vuông có cạnh là số nguyên thì đường chéo không bao giờ là số nguyên. Cách tìm giá trị gần đúng của √2 và các căn khác có ở bài cách tính căn bậc 2.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình vuông có cạnh 8 cm. Tính độ dài đường chéo.

d = 8√2 ≈ 11,31 cm.

Ví dụ 2. Hình vuông có chu vi 36 cm. Tính độ dài đường chéo.

Cạnh a = 36 : 4 = 9 cm. Đường chéo d = 9√2 ≈ 12,73 cm.

Ví dụ 3. Hình vuông có diện tích 98 cm². Tính độ dài đường chéo.

d = √(2 × 98) = √196 = 14 cm. Kiểm lại bằng cạnh: a² = 98 nên a = 7√2, và d = a√2 = 7√2 × √2 = 7 × 2 = 14.

Ví dụ 4. Hình vuông có đường chéo 12 cm. Tính cạnh, diện tích và chu vi.

Cạnh a = 12 / √2 = 12√2 / 2 = 6√2 ≈ 8,49 cm. Diện tích S = 12² / 2 = 72 cm² (cũng bằng (6√2)² = 72). Chu vi P = 4 × 6√2 = 24√2 ≈ 33,94 cm.

Ví dụ 5. Thợ xây căng dây kiểm tra nền nhà hình vuông có bốn cạnh đều 4 m. Hai dây chéo phải dài bao nhiêu thì nền đúng là hình vuông?

Bốn cạnh bằng nhau thì nền là hình thoi; hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì là hình vuông. Với cạnh 4 m, mỗi dây chéo phải dài 4√2 ≈ 5,66 m. Nếu một dây dài 5,70 m còn dây kia 5,62 m thì nền chưa vuông.

Ví dụ 6. Hình vuông có cạnh 10 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Đường chéo d = 10√2 ≈ 14,14 cm. Đường tròn ngoại tiếp đi qua bốn đỉnh, tâm O, nên R = d/2 = 5√2 ≈ 7,07 cm. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc bốn cạnh nên r = a/2 = 5 cm.

Ví dụ 7. Một sân hình vuông cạnh 20 m. Đi từ một góc sân sang góc đối diện theo hai cạnh dài 40 m. Đi thẳng theo đường chéo thì ngắn hơn bao nhiêu mét?

Đường chéo dài 20√2 ≈ 28,28 m. Đi chéo ngắn hơn 40 − 28,28 = 11,72 m.

Những chỗ dễ nhầm khi tính

Bài tập có đáp án

1. Hình vuông có cạnh 6 cm. Tính độ dài đường chéo (làm tròn đến 0,01).
2. Hình vuông có chu vi 28 cm. Tính độ dài đường chéo (làm tròn đến 0,01).
3. Hình vuông có diện tích 200 cm². Tính độ dài đường chéo.
4. Hình vuông có đường chéo 10 cm. Tính cạnh, diện tích và chu vi (làm tròn đến 0,01 nếu cần).
5. Hình vuông có đường chéo 18√2 cm. Tính cạnh và diện tích.
6. Hình vuông ABCD cạnh 12 cm, O là giao điểm của hai đường chéo. Tính độ dài OA và diện tích tam giác OAB.
7. Một sân hình vuông cạnh 30 m. Đi từ một góc sang góc đối diện theo đường chéo thì ngắn hơn đi theo hai cạnh bao nhiêu mét (làm tròn đến 0,01)?
8. Hình vuông thứ nhất có cạnh 5 cm. Hình vuông thứ hai có cạnh bằng đường chéo của hình vuông thứ nhất. Tính diện tích hình vuông thứ hai.
9. Hình chữ nhật có hai cạnh 9 cm và 12 cm. Tính độ dài đường chéo và cho biết hai đường chéo có vuông góc không.

Xem thêm

• đường chéo hình thoi
• hình lập phương