Tính Chất Hình Thang Cân: Dấu Hiệu, Công Thức, Bài Tập
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau và có một trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy. Ngược lại, một hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, hoặc có hai đường chéo bằng nhau, thì là hình thang cân.
Hình thang cân là gì?
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau. Với hình thang ABCD có đáy AB và CD (AB // CD), hình thang đó là hình thang cân khi ∠C = ∠D, hoặc ∠A = ∠B. Trong bài, AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn, AD và BC là hai cạnh bên.
Các tính chất của hình thang cân
Với hình thang cân ABCD (AB // CD), O là giao điểm của hai đường chéo, M và N là trung điểm của AB và CD:
| Tính chất | Viết bằng ký hiệu | Ghi chú |
|---|---|---|
| Hai cạnh bên bằng nhau | AD = BC | Hai cạnh bên là hai cạnh không song song |
| Hai góc kề một đáy bằng nhau | ∠C = ∠D và ∠A = ∠B | Hai góc ở đáy lớn là góc nhọn, hai góc ở đáy nhỏ là góc tù |
| Hai góc kề một cạnh bên bù nhau | ∠A + ∠D = 180°, ∠B + ∠C = 180° | Vì AB // CD (hai góc trong cùng phía) |
| Hai đường chéo bằng nhau | AC = BD | Dùng được làm dấu hiệu nhận biết |
| Giao điểm O cách đều hai đầu mỗi đáy | OA = OB và OC = OD | Tam giác OAB và tam giác OCD đều cân tại O |
| Có một trục đối xứng | Đường thẳng MN | MN đi qua trung điểm hai đáy, vuông góc với hai đáy, là đường trung trực của cả AB và CD (đường trung trực là gì) |
| Nội tiếp được đường tròn | ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180° | Tâm đường tròn nằm trên trục đối xứng MN |
Hình thang cân thông thường có đúng một trục đối xứng. Hình chữ nhật cũng là hình thang cân đặc biệt nên có tới hai trục.
Chứng minh các tính chất
Giả sử AB < CD. Kẻ AH và BK vuông góc với CD (H, K thuộc CD).
- Hai cạnh bên bằng nhau. AH = BK vì cùng là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AB và CD. Hai tam giác vuông AHD và BKC có AH = BK và ∠D = ∠C nên bằng nhau (cạnh góc vuông, góc nhọn). Suy ra AD = BC và DH = KC. Vì ABKH là hình chữ nhật nên HK = AB, từ đó DH = KC = (CD − AB) / 2.
- Hai đường chéo bằng nhau. Hai tam giác ADC và BCD có AD = BC, ∠D = ∠C, cạnh DC chung nên bằng nhau (cạnh, góc, cạnh). Suy ra AC = BD.
- OA = OB, OC = OD. Từ hai tam giác ADC và BCD bằng nhau có ∠ACD = ∠BDC, nên tam giác OCD cân tại O, OC = OD. Khi đó OA = AC − OC = BD − OD = OB.
- Trục đối xứng. Phép đối xứng qua đường trung trực của CD biến D thành C, biến H thành K (vì DH = KC), nên biến A thành B (cùng độ cao, cùng vuông góc với CD). Vậy hình thang được biến thành chính nó. Trục này đi qua trung điểm N của CD và trung điểm M của AB.
- Nội tiếp được. ∠A = 180° − ∠D và ∠C = ∠D nên ∠A + ∠C = 180°. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° thì nội tiếp được đường tròn.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân.
Phải biết ABCD là hình thang (AB // CD) trước khi áp dụng dấu hiệu nào ở trên: hai đường chéo bằng nhau chỉ là dấu hiệu khi đã có hai đáy song song.
Chứng minh dấu hiệu thứ hai: hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng CD tại E. Tứ giác ACEB có AB // CE và AC // BE nên là hình bình hành, suy ra BE = AC. Mà AC = BD nên BE = BD, tam giác BDE cân tại B và ∠BDC = ∠E. Lại có ∠ACD = ∠E (hai góc đồng vị, AC // BE), nên ∠ACD = ∠BDC. Hai tam giác ACD và BDC có AC = BD, ∠ACD = ∠BDC, cạnh DC chung nên bằng nhau (cạnh, góc, cạnh), suy ra ∠ADC = ∠BCD. Vậy ABCD là hình thang cân.
Hình bình hành cũng có hai cạnh bên bằng nhau. Hình bình hành ABCD cũng là một hình thang (AB // CD) và có AD = BC, nhưng nếu ∠D = 70° thì ∠C = 110°, hai góc kề đáy không bằng nhau, nên không phải hình thang cân. Về hình bình hành xem bài hình bình hành.
Công thức tính trong hình thang cân
Gọi a là đáy nhỏ, b là đáy lớn, c là cạnh bên, h là chiều cao. Từ chứng minh ở trên, hình chiếu của mỗi cạnh bên lên đáy lớn dài x = (b − a)/2, nên cạnh bên c, chiều cao h và x tạo thành tam giác vuông. Ví dụ chạy suốt dưới đây lấy a = 6, b = 12, c = 5.
| Cần tính | Công thức | Với a = 6, b = 12, c = 5 |
|---|---|---|
| Hình chiếu cạnh bên lên đáy lớn | x = (b − a) / 2 | 3 |
| Chiều cao h | h = √(c² − x²) | √(25 − 9) = 4 |
| Chu vi P | P = a + b + 2c | 6 + 12 + 10 = 28 |
| Diện tích S | S = (a + b) / 2 × h | 9 × 4 = 36 |
| Hình chiếu đường chéo lên đáy lớn | (a + b) / 2 | 9 |
| Đường chéo d | d = √(c² + a × b) | √(25 + 72) = √97 ≈ 9,85 |
Công thức đường chéo suy ra từ tam giác vuông AHC, vì HC = HK + KC = a + x = (a + b)/2: AC² = h² + ((a + b)/2)² = c² − ((b − a)/2)² + ((a + b)/2)² = c² + ab. Đoạn (a + b)/2 cũng là độ dài đường trung bình của hình thang (đường trung bình của hình thang), nên diện tích hình thang cân bằng đường trung bình nhân chiều cao. Biết đường chéo d và chiều cao h thì (a + b)/2 = √(d² − h²), từ đó S = h × √(d² − h²).
Công thức diện tích hình thang tổng quát có ở bài diện tích hình thang, chu vi ở bài chu vi hình thang, còn cách tìm chiều cao khi biết diện tích ở bài tìm chiều cao hình thang. Chiều cao h luôn nhỏ hơn cạnh bên c, vì c là cạnh huyền của tam giác vuông AHD.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có ∠C = 65°. Tính các góc còn lại.
Hai góc kề đáy CD bằng nhau nên ∠D = 65°. Hai góc kề cạnh bên bù nhau: ∠B = 180° − 65° = 115°, và ∠A = ∠B = 115°. Kiểm lại: 65° + 65° + 115° + 115° = 360°.
Ví dụ 2. Hình thang ABCD (AB // CD) có ∠A = ∠B = 110°. Hình thang đó có phải hình thang cân không? Tính ∠C và ∠D.
Hai góc kề đáy AB bằng nhau nên ABCD là hình thang cân. Khi đó ∠C = ∠D = 180° − 110° = 70°.
Ví dụ 3. Tấm ván hình thang cân có hai đáy 30 cm và 50 cm, cạnh bên 26 cm. Tính chiều cao, diện tích, chu vi và đường chéo.
Hình chiếu cạnh bên: x = (50 − 30)/2 = 10 cm. Chiều cao h = √(26² − 10²) = √576 = 24 cm. Diện tích S = (30 + 50)/2 × 24 = 960 cm². Chu vi P = 30 + 50 + 2 × 26 = 132 cm. Đường chéo d = √(26² + 30 × 50) = √2.176 = 8√34 ≈ 46,65 cm (kiểm lại: 24² + 40² = 2.176).
Ví dụ 4. Hình thang cân có đường chéo 13 cm và chiều cao 5 cm. Tính diện tích.
Hình chiếu của đường chéo lên đáy lớn bằng (a + b)/2 = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm. Diện tích S = 12 × 5 = 60 cm². Không cần biết riêng từng đáy.
Ví dụ 5. Tam giác ABC cân tại A. Lấy D trên AB, E trên AC sao cho AD = AE. Chứng minh BDEC là hình thang cân.
Tam giác ADE cân tại A nên ∠ADE = (180° − ∠A)/2. Tam giác ABC cân tại A nên ∠ABC = (180° − ∠A)/2. Suy ra ∠ADE = ∠ABC; hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC, tức BDEC là hình thang. Hình thang này có ∠B = ∠C (tam giác ABC cân) nên là hình thang cân.
Ví dụ 6. Mặt cắt ngang của một con kênh là hình thang cân, rộng miệng 8 m, rộng đáy 4 m, sâu 3 m. Tính chiều dài mỗi bờ dốc và diện tích mặt cắt.
Hình chiếu của bờ dốc lên mặt nước: x = (8 − 4)/2 = 2 m. Bờ dốc dài c = √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,61 m. Diện tích mặt cắt S = (8 + 4)/2 × 3 = 18 m².
Ví dụ 7. Hình thang ABCD (AB // CD) có AD = BC, ∠D = 70° và ∠C = 110°. Có phải hình thang cân không?
Hai cạnh bên bằng nhau nhưng ∠C ≠ ∠D, nên không phải hình thang cân. Vì ∠C + ∠D = 180° nên AD // BC; ABCD có hai cặp cạnh đối song song, là hình bình hành.
Những chỗ dễ nhầm
| Điều dễ nhầm | Thử bằng ví dụ | Điều đúng |
|---|---|---|
| Hai cạnh bên bằng nhau thì là hình thang cân | Hình bình hành có AD = BC, ∠D = 70°, ∠C = 110° | Cần hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau |
| Hai góc kề một cạnh bên bằng nhau | ∠A = 115° và ∠D = 65° | Bằng nhau là hai góc kề một đáy; hai góc kề một cạnh bên bù nhau |
| Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường | Đáy 6 và 12, cạnh bên 5: OA : OC = 1 : 2 | Hai đường chéo bằng nhau, giao điểm chia mỗi đường theo tỉ số hai đáy (OA : OC = AB : CD) |
| Chiều cao bằng cạnh bên | Cạnh bên 5 nhưng chiều cao 4 | h = √(c² − ((b − a)/2)²) |
| Hai đường chéo của hình thang cân vuông góc | Đáy 6 và 12, cạnh bên 5: hai đường chéo không vuông góc | Chỉ vuông góc khi chiều cao bằng (a + b)/2 |
| Hình thang cân nào cũng có hai trục đối xứng | Hình có đáy 6 và 12 chỉ gấp đôi lại được qua MN | Có một trục; hai trục chỉ ở hình chữ nhật |
Bài tập có đáp án
- Hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có ∠P = 72°. Tính ba góc còn lại.
- Hình thang ABCD (AB // CD) có ∠A = ∠B = 95°. Hình thang có phải hình thang cân không? Tính ∠C và ∠D.
- Hình thang cân có hai đáy 8 cm và 14 cm, cạnh bên 5 cm. Tính chiều cao, diện tích và chu vi.
- Hình thang cân có diện tích 90 cm², chiều cao 6 cm, đáy lớn hơn đáy nhỏ 4 cm. Tính hai đáy và cạnh bên (làm tròn đến 0,01 nếu cần).
- Hình thang cân có đường chéo 17 cm và chiều cao 8 cm. Tính diện tích.
- Hình thang cân có hai đáy 6 cm và 14 cm, chiều cao 3 cm. Tính cạnh bên và đường chéo (làm tròn đến 0,01).
- Hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = 10 cm, cạnh bên AD = BC = 8 cm và ∠D = ∠C = 60°. Tính CD và diện tích (làm tròn đến 0,01).
- Hình thang cân có chu vi 52 cm, cạnh bên 13 cm, đáy lớn hơn đáy nhỏ 10 cm. Tính diện tích.
- Các câu sau đúng hay sai? (a) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân. (b) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. (c) Hình thang cân nào cũng có hai đường chéo vuông góc. (d) Hình thang cân thông thường có một trục đối xứng.
Xem đáp án
- ∠Q = ∠P = 72°; ∠M = ∠N = 180° − 72° = 108°.
- ∠A = ∠B nên ABCD là hình thang cân; ∠C = ∠D = 180° − 95° = 85°.
- x = (14 − 8)/2 = 3 cm; h = √(5² − 3²) = 4 cm; S = (8 + 14)/2 × 4 = 44 cm²; P = 8 + 14 + 2 × 5 = 32 cm.
- a + b = 2S/h = 180/6 = 30 cm và b − a = 4 cm, nên b = 17 cm, a = 13 cm. x = 2 cm; cạnh bên c = √(6² + 2²) = √40 = 2√10 ≈ 6,32 cm.
- (a + b)/2 = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm; S = 15 × 8 = 120 cm².
- x = (14 − 6)/2 = 4 cm; cạnh bên c = √(3² + 4²) = 5 cm. Đường chéo d = √(c² + ab) = √(25 + 84) = √109 ≈ 10,44 cm (kiểm lại: √(3² + 10²) = √109).
- Kẻ AH ⊥ CD. Tam giác AHD vuông tại H có ∠D = 60° nên ∠DAH = 30° và DH = AD/2 = 4 cm. Do đó CD = AB + 2 × DH = 10 + 8 = 18 cm. Chiều cao AH = √(8² − 4²) = 4√3 ≈ 6,93 cm. S = (10 + 18)/2 × 4√3 = 56√3 ≈ 96,99 cm².
- Tổng hai đáy = 52 − 2 × 13 = 26 cm; b − a = 10 cm nên b = 18 cm, a = 8 cm. x = 5 cm; h = √(13² − 5²) = 12 cm. S = 26/2 × 12 = 156 cm².
- (a) Sai: hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình thang cân. (b) Đúng: đây là dấu hiệu nhận biết. (c) Sai: hình thang cân đáy 6 cm, 12 cm, cạnh bên 5 cm có hai đường chéo không vuông góc. (d) Đúng: trục đối xứng là đường thẳng qua trung điểm hai đáy.
Xem thêm
Câu hỏi thường gặp
Hình thang cân có mấy trục đối xứng?
Hình thang cân thông thường có đúng một trục đối xứng, là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy và vuông góc với hai đáy. Riêng hình chữ nhật có hai trục.
Đường chéo của hình thang cân có bằng nhau không?
Có: AC = BD. Ngược lại, hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì là hình thang cân, nên đây vừa là tính chất vừa là dấu hiệu nhận biết.
Chỉ cần hai cạnh bên bằng nhau thì hình thang có là hình thang cân không?
Chưa chắc. Hình bình hành cũng là hình thang và có hai cạnh bên bằng nhau, nhưng hai góc kề đáy của nó bù nhau, nên không đủ để kết luận hình thang cân.
Hai góc kề một đáy và hai góc kề một cạnh bên của hình thang cân thế nào?
Hai góc kề một đáy bằng nhau, hai góc kề một cạnh bên bù nhau (tổng 180°). Ví dụ góc ở đáy lớn 70° thì góc ở đáy nhỏ 110°.
Hình thang cân có nội tiếp được đường tròn không?
Có. Hai góc kề cạnh bên bù nhau và hai góc kề một đáy bằng nhau nên tổng hai góc đối luôn bằng 180°. Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên trục đối xứng của hình thang.
Hình thang cân có hai đáy 6 và 12, cạnh bên 5 thì chiều cao bao nhiêu?
Phần chênh của hai đáy chia đều hai bên: (12 − 6) : 2 = 3. Chiều cao h = √(5² − 3²) = 4.