Diện Tích Xung Quanh Hình Nón: Công Thức, Ví Dụ, Bài Tập

Diện tích xung quanh hình nón là diện tích mặt cong của hình nón, không tính mặt đáy. Công thức: Sxq = π × r × l, trong đó r là bán kính đáy và l là độ dài đường sinh. Ví dụ hình nón có r = 4 cm, l = 5 cm thì Sxq = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62,83 cm².

Nếu đề không cho đường sinh mà cho chiều cao h, bạn tính l = √(r² + h²) trước rồi mới thay vào công thức.

Công thức diện tích xung quanh hình nón

Hình nón được tạo ra khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông. Cạnh góc vuông kia quét thành hình tròn đáy, còn cạnh huyền quét thành mặt xung quanh.

• Sxq = π × r × l
• Viết cách khác: Sxq = ½ × C × l, với C = 2πr là chu vi đáy. Nghĩa là diện tích xung quanh bằng nửa tích của chu vi đáy và đường sinh.
• Tam giác SOB vuông tại O có cạnh huyền là l nên l² = r² + h². Từ đó l = √(r² + h²), r = √(l² − h²), h = √(l² − r²).

Vì l là cạnh huyền, đường sinh luôn dài hơn cả bán kính lẫn chiều cao. Đề cho π ≈ 3,14 thì tính theo 3,14; đề không nói gì thì giữ nguyên π đến bước cuối. Các đáp số trong bài làm tròn từ giá trị π đầy đủ (3,14159…), nên thay bằng 3,14 có thể lệch ở chữ số thập phân cuối.

Vì sao Sxq = πrl?

Cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được một hình quạt tròn. Bán kính hình quạt chính là đường sinh l. Độ dài cung của hình quạt bằng chu vi đáy 2πr, vì cung này khi cuộn lại khép kín thành đường tròn đáy.

Diện tích hình quạt bằng ½ × bán kính × độ dài cung (công thức này có ở bài diện tích hình quạt). Thay số: Sxq = ½ × l × 2πr = πrl. Với hình trụ, diện tích xung quanh bằng chu vi đáy nhân chiều cao (diện tích xung quanh hình trụ); hình nón chỉ lấy một nửa tích của chu vi đáy và đường sinh.

Từ hình quạt còn rút ra hai điều dùng được khi giải bài:

• Số đo cung của hình quạt là n°, thì n/360 × 2πl = 2πr, suy ra n = 360 × r / l. Với r = 4, l = 5 ta được n = 360 × 4 / 5 = 288°.
• Mặt xung quanh chiếm r/l phần hình tròn bán kính l. Với r = 4, l = 5, đó là 4/5 hình tròn, và 288/360 cũng bằng 4/5.

Đề cho gì thì làm gì?

Bài toán về diện tích xung quanh quy về việc tìm r và l.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình nón có bán kính đáy 8 cm, đường sinh 10 cm. Tính diện tích xung quanh.

Sxq = π × 8 × 10 = 80π ≈ 251,33 cm². (Nếu cần chiều cao: h = √(10² − 8²) = 6 cm.)

Ví dụ 2. Hình nón có bán kính đáy 9 cm, chiều cao 12 cm. Tính diện tích xung quanh.

Đường sinh: l = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm. Diện tích xung quanh: Sxq = π × 9 × 15 = 135π ≈ 424,12 cm².

Ví dụ 3. Hình nón có bán kính đáy 4 cm, chiều cao 6 cm. Tính diện tích xung quanh.

l = √(4² + 6²) = √52 = 2√13 ≈ 7,21 cm. Sxq = π × 4 × 2√13 = 8√13 × π ≈ 90,62 cm². Khi đường sinh là một căn không đẹp, bạn giữ nguyên căn đến bước cuối rồi mới làm tròn. Cách khai căn có ở bài cách tính căn bậc 2.

Ví dụ 4. Một chiếc nón lá coi như hình nón có đường kính miệng 40 cm, đường sinh 25 cm. Tính diện tích mặt ngoài (không tính đáy).

Bán kính r = 40 : 2 = 20 cm. Sxq = π × 20 × 25 = 500π ≈ 1.570,80 cm², khoảng 0,157 m².

Ví dụ 5. Hình nón có diện tích xung quanh 120π cm² và đường sinh 15 cm. Tìm bán kính đáy và chiều cao.

Từ Sxq = πrl suy ra r = 120π : (π × 15) = 8 cm. Chiều cao h = √(15² − 8²) = √161 ≈ 12,69 cm.

Ví dụ 6. Cắt một hình quạt bán kính 15 cm, góc ở tâm 240°, rồi gập hai mép lại cho khít để được mặt xung quanh của một hình nón. Tính diện tích xung quanh.

Đường sinh bằng bán kính hình quạt: l = 15 cm. Độ dài cung là 240/360 × 2π × 15 = 20π, bằng chu vi đáy nên 2πr = 20π, tức r = 10 cm. Sxq = π × 10 × 15 = 150π ≈ 471,24 cm². Kết quả này cũng là diện tích của chính hình quạt: 240/360 × π × 15² = 2/3 × 225π = 150π. Chiều cao hình nón là h = √(15² − 10²) = 5√5 ≈ 11,18 cm.

Diện tích toàn phần và thể tích hình nón

Diện tích xung quanh không tính mặt đáy. Nếu đề hỏi diện tích toàn phần thì cộng thêm diện tích hình tròn đáy πr² (xem diện tích hình tròn). Thể tích hình nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao. Bảng dưới tính cho hình nón ở Ví dụ 2 (r = 9, h = 12, l = 15).

Hình trụ cùng bán kính 9 và chiều cao 12 có thể tích π × 9² × 12 = 972π, gấp đúng 3 lần hình nón (324π). Thể tích của các hình khác sinh ra khi quay quanh một trục có ở bài thể tích khối tròn xoay.

Diện tích xung quanh hình nón cụt

Hình nón cụt là phần còn lại khi cắt hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy rồi bỏ phần chứa đỉnh. Nó có hai đáy tròn, bán kính r₁ (đáy nhỏ) và r₂ (đáy lớn), đường sinh l là đoạn nối hai đường tròn đáy trên cùng một đường sinh của hình nón ban đầu, chiều cao h là khoảng cách giữa hai mặt đáy.

• Sxq = π × (r₁ + r₂) × l
• Chiều cao: h = √(l² − (r₂ − r₁)²)
• Thể tích: V = ⅓ × π × h × (r₁² + r₂² + r₁r₂)

Công thức diện tích có được bằng cách lấy diện tích xung quanh của hình nón lớn trừ diện tích xung quanh của hình nón nhỏ bị cắt. Hai hình nón đồng dạng nên khi rút gọn chỉ còn π(r₁ + r₂)l. Cho r₁ = 0, đáy nhỏ co lại thành một điểm, công thức trở về Sxq = πr₂l của hình nón.

Ví dụ 7. Hình nón cụt có r₁ = 4 cm, r₂ = 10 cm, l = 10 cm. Tính diện tích xung quanh, chiều cao và thể tích.

Sxq = π × (4 + 10) × 10 = 140π ≈ 439,82 cm². Chiều cao: h = √(10² − (10 − 4)²) = √64 = 8 cm. Thể tích: V = ⅓ × π × 8 × (16 + 100 + 40) = 416π ≈ 1.306,90 cm³.

Tính diện tích xung quanh hình nón trong thực tế

Mũ giấy hình nón. Một chiếc mũ không đáy có bán kính miệng 8 cm, đường sinh 20 cm. Diện tích giấy là Sxq = π × 8 × 20 = 160π ≈ 502,65 cm², tức cần ít nhất 503 cm² chưa tính mép dán. Muốn cắt từ giấy phẳng, vẽ hình quạt bán kính 20 cm và góc ở tâm n = 360 × 8 / 20 = 144°.

Mái hình nón. Mái có đáy tròn bán kính 3 m, đường sinh 4 m. Diện tích cần lợp là Sxq = π × 3 × 4 = 12π ≈ 37,70 m². Nếu tấm lợp được cắt phẳng thành hình quạt thì góc ở tâm là 360 × 3 / 4 = 270°. Nếu dự tính hao 10% khi cắt và chồng mép thì cần mua khoảng 37,70 × 1,1 ≈ 41,47 m².

Những chỗ dễ nhầm khi tính

Nếu r tăng 3 lần mà l giữ nguyên thì Sxq tăng 3 lần. Nếu r và h cùng tăng 3 lần thì đường sinh cũng tăng 3 lần (vì l = √(r² + h²)), nên Sxq tăng 3 × 3 = 9 lần.

Bài tập có đáp án

1. Hình nón có bán kính đáy 3 cm, đường sinh 7 cm. Tính diện tích xung quanh.
2. Hình nón có bán kính đáy 12 cm, chiều cao 35 cm. Tính đường sinh và diện tích xung quanh.
3. Hình nón có đường kính đáy 14 cm, đường sinh 24 cm. Tính diện tích xung quanh.
4. Hình nón có diện tích xung quanh 90π cm² và bán kính đáy 6 cm. Tính đường sinh.
5. Hình nón có diện tích xung quanh 105π cm² và đường sinh 15 cm. Tính bán kính đáy và chiều cao (làm tròn đến 0,01 cm).
6. Một hình quạt bán kính 12 cm, góc ở tâm 150°, được gập lại thành mặt xung quanh hình nón. Tính bán kính đáy, diện tích xung quanh và chiều cao (làm tròn đến 0,01).
7. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh 10 cm. Tính diện tích xung quanh.
8. Hình nón thứ nhất có r = 4, h = 3. Hình nón thứ hai có r = 12, h = 9. Diện tích xung quanh của hình thứ hai gấp mấy lần hình thứ nhất?
9. Hình nón cụt có hai bán kính đáy 5 cm và 8 cm, đường sinh 6 cm. Tính diện tích xung quanh.

Xem thêm

• thể tích hình cầu