Diện Tích Hình Thang: Công Thức, Chu Vi, Bài Tập

Diện tích hình thang được tính bằng công thức S = (a + b) × h / 2, trong đó a, b là độ dài hai cạnh đáy (đáy lớn và đáy nhỏ) và h là chiều cao — khoảng cách vuông góc giữa hai đáy. Ví dụ: hình thang có đáy lớn 12cm, đáy nhỏ 8cm, chiều cao 5cm thì diện tích là S = (12 + 8) × 5 / 2 = 50cm². Công thức này áp dụng cho mọi loại hình thang (thường, vuông, cân); bài dưới đây trình bày cách xác định chiều cao cho từng trường hợp, kèm ví dụ số, chu vi hình thang, bảng tóm tắt và bài tập có đáp án.

Hình thang là gì, có mấy loại?

Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song, gọi là hai cạnh đáy (đáy lớn và đáy nhỏ); hai cạnh còn lại gọi là cạnh bên. Đoạn thẳng vuông góc nối hai đáy gọi là đường cao, độ dài của nó chính là chiều cao h dùng trong công thức diện tích.

Dựa vào cạnh bên và góc, hình thang chia thành ba loại thường gặp: hình thang thường (không có yếu tố đặc biệt), hình thang vuông (có một cạnh bên vuông góc với hai đáy) và hình thang cân (hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau). Theo góc thì hình thang còn được gọi là nhọn hoặc tù tùy góc kề đáy lớn nhỏ hơn hay lớn hơn 90°, nhưng cách xác định chiều cao và công thức diện tích không đổi vì hai đáy luôn song song với nhau — khác với tam giác tù, hình thang tù không cần cách tính riêng.

Công thức tính diện tích hình thang

Công thức chung

S = (a + b) × h / 2

Trong đó: S là diện tích; a, b là độ dài hai cạnh đáy; h là chiều cao. Công thức có thể hiểu đơn giản: lấy trung bình cộng hai đáy rồi nhân với chiều cao — cách hiểu này chính là cơ sở của công thức đường trung bình ở mục sau. Công thức được suy ra bằng cách kẻ đường chéo chia hình thang thành hai tam giác chung chiều cao h, hoặc kẻ hai đường cao để chia thành một hình chữ nhật và hai tam giác vuông diện tích tam giác rồi cộng diện tích lại.

Ví dụ: Hình thang có đáy lớn a = 12cm, đáy nhỏ b = 8cm, chiều cao h = 5cm. Diện tích: S = (12 + 8) × 5 / 2 = 50cm².

Diện tích hình thang vuông

S = (a + b) × h / 2   (vẫn là công thức chung, chỉ khác cách xác định h)

Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với cả hai đáy, nên cạnh bên đó chính là chiều cao h — không cần dựng thêm đường cao phụ. Chỉ cần đo đúng cạnh bên vuông góc, không nhầm với cạnh bên còn lại (cạnh xiên).

Ví dụ: Hình thang vuông có đáy lớn a = 10cm, đáy nhỏ b = 6cm, cạnh bên vuông góc (chiều cao) h = 4cm. Diện tích: S = (10 + 6) × 4 / 2 = 32cm².

Diện tích hình thang cân

S = (a + b) × h / 2   (vẫn là công thức chung)

Nếu đề bài đã cho sẵn chiều cao, áp dụng trực tiếp công thức chung. Nếu chỉ biết hai đáy và cạnh bên c (chưa biết chiều cao), hạ đường cao từ đỉnh đáy nhỏ xuống đáy lớn sẽ tạo ra một tam giác vuông có cạnh huyền là c và một cạnh góc vuông bằng (a − b)/2 (khoảng cách lệch giữa hai đáy, chia đều hai bên vì hình thang cân đối xứng). Áp dụng định lý Pythagoras để tìm chiều cao trước:

h = √[c² − ((a − b)/2)²]

Ví dụ: Hình thang cân có đáy lớn a = 14cm, đáy nhỏ b = 8cm, cạnh bên c = 5cm. Nửa hiệu hai đáy: (14 − 8)/2 = 3cm. Chiều cao: h = √(5² − 3²) = √16 = 4cm. Diện tích: S = (14 + 8) × 4 / 2 = 44cm².

Diện tích hình thang khi biết đủ 4 cạnh (không cân)

Khi hình thang không cân (hai cạnh bên khác độ dài) nhưng đề bài cho biết đủ cả 4 cạnh — đáy lớn a, đáy nhỏ b, cạnh bên trái d, cạnh bên phải c — vẫn xác định được duy nhất chiều cao bằng cách hạ hai đường cao từ hai đỉnh đáy nhỏ xuống đáy lớn, tạo ra hai tam giác vuông chung chiều cao h với hai đoạn chiếu p và p2 (p + p2 = a − b). Giải hệ hai phương trình Pythagoras d² = p² + h² và c² = p2² + h², rút gọn còn:

p = [d² − c² + (a − b)²] / [2 × (a − b)]     h = √(d² − p²)

Ví dụ: Hình thang có đáy lớn a = 20cm, đáy nhỏ b = 6cm, cạnh bên trái d = 13cm, cạnh bên phải c = 15cm. Ta có a − b = 14. Tính p = (13² − 15² + 14²) / (2 × 14) = (169 − 225 + 196) / 28 = 140 / 28 = 5cm. Chiều cao: h = √(13² − 5²) = √144 = 12cm. Diện tích: S = (20 + 6) × 12 / 2 = 156cm². (Có thể kiểm lại: đoạn chiếu còn lại p2 = 14 − 5 = 9cm, và √(9² + 12²) = √225 = 15cm — đúng bằng cạnh bên phải c, khớp dữ kiện đề bài.)

Cách tính khác: qua đường trung bình hình thang

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên. Đoạn này luôn song song với hai đáy và có độ dài đúng bằng trung bình cộng hai đáy: m = (a + b) / 2. Vì vậy diện tích hình thang còn có thể viết gọn thành:

S = m × h

Ví dụ (đối chiếu với ví dụ công thức chung ở trên): Hình thang có đáy lớn 12cm, đáy nhỏ 8cm, chiều cao 5cm. Đường trung bình: m = (12 + 8) / 2 = 10cm. Diện tích: S = 10 × 5 = 50cm² — khớp với cách tính trực tiếp bằng công thức chung.

Chu vi hình thang

Khác với diện tích, chu vi hình thang không liên quan đến chiều cao — chỉ cần cộng độ dài cả 4 cạnh:

P = a + b + c + d

Trong đó a, b là hai cạnh đáy; c, d là hai cạnh bên (với hình thang cân thì c = d).

Ví dụ: Hình thang có đáy lớn 12cm, đáy nhỏ 8cm, hai cạnh bên lần lượt 5cm và 6cm. Chu vi: P = 12 + 8 + 5 + 6 = 31cm.

Bài toán ngược: tìm chiều cao hoặc tổng hai đáy khi biết diện tích

Từ công thức S = (a + b) × h / 2, suy ra hai công thức ngược thường gặp trong đề bài:

Tìm chiều cao khi biết diện tích và hai đáy: h = 2 × S / (a + b)

Tìm tổng hai đáy khi biết diện tích và chiều cao: a + b = 2 × S / h

Ví dụ: Hình thang có diện tích S = 90cm², đáy lớn a = 14cm, đáy nhỏ b = 10cm. Chiều cao: h = 2 × 90 / (14 + 10) = 180 / 24 = 7,5cm.

Lưu ý khi tỉ lệ hai đáy cho theo phân số: nếu đề bài cho “đáy nhỏ bằng 3/4 đáy lớn” thay vì cho số cụ thể, phải giải đúng phương trình a + (3/4)a = tổng đã tìm được rồi mới suy ra từng đáy. Ví dụ: hình thang có diện tích 84cm², chiều cao 6cm, đáy nhỏ bằng 3/4 đáy lớn. Tổng hai đáy: a + b = 2 × 84 / 6 = 28cm. Vì b = (3/4)a nên a + (3/4)a = (7/4)a = 28, suy ra đáy lớn a = 28 × 4 / 7 = 16cm, đáy nhỏ b = 28 − 16 = 12cm. Thế ngược để kiểm tra: (16 + 12) × 6 / 2 = 84cm² — đúng bằng diện tích đề bài cho.

Bảng tóm tắt công thức hình thang

Lỗi hay gặp khi tính diện tích hình thang

• Quên chia 2: nhớ nhân tổng hai đáy với chiều cao rồi mới chia 2, không phải để nguyên tích (a+b)×h.
• Nhầm cạnh bên với chiều cao: chỉ ở hình thang vuông thì cạnh bên vuông góc mới đúng bằng chiều cao; ở hình thang thường và hình thang cân, cạnh bên luôn dài hơn chiều cao (trừ khi hình thang suy biến thành hình chữ nhật) và phải tính riêng.
• Quên quy đổi cùng đơn vị đo: nếu hai đáy tính bằng mét mà chiều cao tính bằng centimet, phải đổi về cùng đơn vị trước khi nhân; nhớ 1m² = 100dm² = 10.000cm².
• Nhầm diện tích với thể tích: hình thang là hình phẳng nên chỉ có diện tích, không có “thể tích hình thang” — nếu đề nói đến thể tích, đó phải là khối lăng trụ có đáy hình thang (xem thêm phần Câu hỏi thường gặp).
• Giải sai khi tỉ lệ hai đáy cho bằng phân số: như lưu ý ở mục bài toán ngược, dễ nhầm biến khi lập phương trình a + k×a = tổng — luôn thế ngược đáp số vào công thức diện tích để kiểm tra lại.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước khi xem đáp án để kiểm tra mức hiểu công thức.

Bài 1. Tính diện tích hình thang có đáy lớn 15cm, đáy nhỏ 9cm, chiều cao 6cm.

Bài 2. Một hình thang vuông có đáy lớn 11cm, đáy nhỏ 7cm, cạnh bên vuông góc với hai đáy dài 4cm. Tính diện tích.

Bài 3. Một hình thang cân có đáy lớn 16cm, đáy nhỏ 10cm, cạnh bên 5cm. Tính chiều cao và diện tích.

Bài 4. Một hình thang có diện tích 120cm², đáy lớn 18cm, đáy nhỏ 12cm. Tính chiều cao.

Bài 5. Một hình thang có đáy lớn 13cm, đáy nhỏ 9cm, hai cạnh bên lần lượt 6cm và 7cm. Tính chu vi.

Xem thêm

• diện tích tam giác
• diện tích hình tròn