Đường Trung Bình Của Hình Thang: Công Thức, Bài Tập

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên. Đoạn này song song với hai đáy và dài bằng nửa tổng hai đáy. Với hình thang ABCD có AB // CD, E là trung điểm AD, F là trung điểm BC thì EF // AB // CD và EF = (AB + CD)/2. Ví dụ hai đáy dài 5cm và 13cm thì đường trung bình dài (5 + 13) : 2 = 9cm.

Các phần trong bài:

• Định nghĩa đường trung bình của hình thang
• Hai định lí và công thức
• Chứng minh hai định lí
• Trung điểm hai đường chéo nằm trên đường trung bình
• Hình thang vuông, hình thang cân, hình bình hành
• Bảng tóm tắt
• Các dạng bài và cách làm
• So sánh với đường trung bình của tam giác
• Lỗi hay gặp
• Bài tập tự luyện có đáp án

Đường trung bình của hình thang là gì?

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên. Trong cả bài, hình thang ABCD có AB // CD. AB là đáy nhỏ ở trên, CD là đáy lớn ở dưới, AD và BC là hai cạnh bên.

Định nghĩa. Gọi E là trung điểm cạnh bên AD và F là trung điểm cạnh bên BC. Đoạn thẳng EF gọi là đường trung bình của hình thang ABCD.

Khi đã xác định hai đáy, hình thang chỉ có một đường trung bình, vì nó chỉ có một cặp cạnh bên. Đoạn nối trung điểm của hai đáy AB và CD không phải đường trung bình. Hai đầu đoạn này nằm ngay trên hai đáy, nên nó không song song với đáy.

Tính chất và công thức đường trung bình của hình thang

Có hai định lí về đường trung bình của hình thang. Bài này gọi chúng là Định lí 1 và Định lí 2.

Định lí 1. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lí 2. Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Viết thành công thức, với E, F lần lượt là trung điểm AD, BC:

EF // AB // CD và EF = (AB + CD)/2

Từ công thức trên suy ra:

• Tổng hai đáy: AB + CD = 2 × EF.
• Đáy lớn: CD = 2 × EF − AB.
• Đáy nhỏ: AB = 2 × EF − CD.

Độ dài đường trung bình là trung bình cộng của hai đáy. Vì vậy khi AB < CD thì luôn có AB < EF < CD. Bạn có thể dùng điều này để kiểm nhanh một đáp số.

Ví dụ 1. Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 5cm, CD = 13cm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. Tính EF.

1. E, F là trung điểm hai cạnh bên nên EF là đường trung bình của hình thang.
2. Theo Định lí 2: EF = (AB + CD)/2 = (5 + 13)/2 = 18/2 = 9cm.
3. Kiểm lại: 5 < 9 < 13, đáp số nằm giữa hai đáy.

Chứng minh hai định lí

Cả hai chứng minh đều dựa vào hai kết quả về tam giác:

• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
• Đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Chứng minh Định lí 1

Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm AD. Kẻ đường thẳng qua E song song với AB. Đường thẳng này cắt đường chéo BD tại I và cắt cạnh BC tại F.

• Trong tam giác ABD: E là trung điểm AD và EI // AB, nên I là trung điểm BD.
• Trong tam giác DBC: I là trung điểm BD và IF // DC (đường thẳng EF song song với AB, mà AB // CD), nên F là trung điểm BC.

Vậy đường thẳng đó đi qua trung điểm F của cạnh bên BC.

Chứng minh Định lí 2

Cho E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AF với đường thẳng DC. Điểm G nằm trên phần kéo dài của DC về phía C.

1. Xét tam giác ABF và tam giác GCF. Ta có FB = FC vì F là trung điểm BC. Góc AFB bằng góc GFC vì đối đỉnh. Góc ABF bằng góc GCF vì so le trong, do AB // DG. Do đó tam giác ABF bằng tam giác GCF (g.c.g).
2. Suy ra AF = FG và AB = CG.
3. Trong tam giác ADG: E là trung điểm AD, F là trung điểm AG. Vậy EF là đường trung bình của tam giác ADG, nên EF // DG (tức EF // CD // AB) và EF = DG/2.
4. Mà DG = DC + CG = CD + AB. Vậy EF = (AB + CD)/2.

Đường trung bình đi qua trung điểm hai đường chéo

Đây là hệ quả của hai định lí trên. Đường trung bình EF cắt đường chéo BD tại trung điểm I của BD, và cắt đường chéo AC tại trung điểm K của AC. Đoạn IK bằng nửa hiệu của đáy lớn trừ đáy nhỏ:

IK = (CD − AB)/2, với CD là đáy lớn.

Chứng minh. Theo Định lí 2, ta có EF // AB // CD.

• Tam giác ABD có E là trung điểm AD và EI // AB, nên I là trung điểm BD. Khi đó EI là đường trung bình của tam giác ABD, nên EI = AB/2.
• Tam giác ADC có E là trung điểm AD và EK // DC, nên K là trung điểm AC và EK = CD/2.
• Khi AB < CD thì EI < EK, nên I nằm giữa E và K. Do đó IK = EK − EI = CD/2 − AB/2 = (CD − AB)/2.

Tương tự, trong tam giác ABC, KF là đường trung bình nên KF = AB/2 = EI. Các điểm trên đường trung bình nằm theo thứ tự E, I, K, F.

Ví dụ 2. Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm và đáy lớn CD = 10cm. Đường trung bình EF cắt BD, AC lần lượt tại I, K. Tính EI, EK, IK và EF.

• EI = AB/2 = 4/2 = 2cm.
• EK = CD/2 = 10/2 = 5cm.
• IK = (10 − 4)/2 = 3cm.
• EF = (4 + 10)/2 = 7cm.

Kiểm lại: KF = EI = 2cm, nên EI + IK + KF = 2 + 3 + 2 = 7cm, khớp với EF.

Hình thang vuông, hình thang cân, hình bình hành

Đường trung bình của hình thang vuông

Hình thang ABCD vuông tại A và D có cạnh bên AD vuông góc với hai đáy, nên AD cũng là chiều cao. Đường trung bình EF vẫn song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Ngoài ra nó có thêm hai tính chất:

• EF ⊥ AD, vì EF // AB mà AB ⊥ AD.
• FA = FD. EF vuông góc với AD tại trung điểm E, nên đường thẳng EF là đường trung trực của đoạn AD. F nằm trên đường đó nên cách đều A và D, và tam giác AFD cân tại F.

Muốn ôn cách tính chiều cao khi đề cho các cạnh, xem bài tìm chiều cao hình thang.

Hình thang cân

Hình thang cân dùng đúng công thức chung EF = (AB + CD)/2. Hai cạnh bên bằng nhau (AD = BC) nên bốn đoạn AE, ED, BF, FC bằng nhau. Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng nối trung điểm hai đáy. Trục này vuông góc với EF và đi qua trung điểm của EF. Hai đường chéo bằng nhau và hai góc kề một đáy bằng nhau là tính chất của chính hình thang cân, không phụ thuộc đường trung bình.

Hình bình hành

Hình bình hành là trường hợp đặc biệt của hình thang, có hai cạnh bên song song. Xét hình bình hành ABCD (AB // CD, AB = CD). Đoạn nối trung điểm của AD và BC song song với AB, CD và dài (AB + CD)/2 = AB. Nói cách khác, đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của hình bình hành song song và bằng hai cạnh còn lại. Phần tính chất riêng của hình này có ở bài về hình bình hành.

Bảng tóm tắt

Bảng dưới đây áp dụng cho hình thang ABCD có AB // CD, E và F là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.

Các dạng bài và cách làm

Dạng 1: Tính độ dài đường trung bình

Trước hết chỉ ra đoạn cần tính nối trung điểm hai cạnh bên. Sau đó lấy tổng hai đáy chia 2, như Ví dụ 1. Nếu đề chỉ cho một đầu là trung điểm và đoạn đó song song với đáy, hãy dùng Định lí 1 để chứng minh đầu kia cũng là trung điểm, rồi mới áp dụng công thức.

Dạng 2: Biết đường trung bình và một đáy, tìm đáy còn lại

Dùng công thức: đáy còn lại = 2 × đường trung bình − đáy đã biết. Kết quả phải là số dương, và đường trung bình phải nằm giữa hai đáy. Nếu không thỏa, đề đã cho nhầm hoặc phép tính bị sai.

Ví dụ 3. Hình thang ABCD (AB // CD) có đường trung bình EF = 12cm và đáy AB = 7cm. Tính CD.

CD = 2 × EF − AB = 2 × 12 − 7 = 24 − 7 = 17cm. Kiểm lại: (7 + 17)/2 = 12cm, và 7 < 12 < 17.

Dạng 3: Tính diện tích qua đường trung bình

Vì (AB + CD)/2 = EF nên công thức diện tích S = (AB + CD) × h/2 viết gọn thành S = EF × h, với h là chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy). Khi đề cho đường trung bình và chiều cao, bạn không cần biết từng đáy. Cách tính theo hai đáy có ở bài diện tích hình thang.

Ví dụ 4. Hình thang có hai đáy 26cm và 40cm, chiều cao 15cm.

• Đường trung bình: EF = (26 + 40)/2 = 33cm.
• Diện tích: S = 33 × 15 = 495cm².
• Tính theo hai đáy cho cùng kết quả: (26 + 40) × 15 : 2 = 495cm².

Dạng 4: Chứng minh trung điểm, song song, thẳng hàng

• Chứng minh một đoạn là đường trung bình: chỉ ra hai đầu mút lần lượt là trung điểm hai cạnh bên.
• Chứng minh một điểm là trung điểm cạnh bên: chỉ ra điểm đó nằm trên đường thẳng song song với đáy và đi qua trung điểm cạnh bên kia (Định lí 1).
• Chứng minh song song hoặc tính đoạn thẳng bên trong hình thang: kẻ thêm đường chéo để chia hình thang thành hai tam giác, rồi dùng đường trung bình của từng tam giác như ở phần trung điểm hai đường chéo.
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng: chỉ ra hai đoạn cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đáy. Theo tiên đề Ơ-clit, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với nó, nên hai đoạn nằm trên cùng một đường thẳng.

So sánh với đường trung bình của tam giác

Một cách nhớ: cho đáy nhỏ AB ngắn dần về một điểm thì hình thang trở thành tam giác. Khi đó công thức (AB + CD)/2 trở thành CD/2, đúng bằng công thức đường trung bình của tam giác.

Lỗi hay gặp

• Cộng hai đáy mà quên chia 2. Ở Ví dụ 1, 5 + 13 = 18cm chỉ là tổng hai đáy, gấp đôi đáp số đúng 9cm. Nếu đáp số lớn hơn đáy lớn, gần như chắc chắn bạn đã quên chia.
• Dùng công thức của tam giác. Có người lấy nửa đáy lớn, 13 : 2 = 6,5cm. Công thức “nửa một cạnh” chỉ dùng cho tam giác; với hình thang phải lấy nửa tổng hai đáy.
• Nối trung điểm hai đáy rồi gọi là đường trung bình. Đường trung bình nối trung điểm hai cạnh bên, không phải hai đáy.
• Áp công thức khi chưa biết F là trung điểm. Nếu đề chỉ cho E là trung điểm AD và EF // AB, phải dùng Định lí 1 chứng minh F là trung điểm BC trước, rồi mới viết EF = (AB + CD)/2.
• Bài hai đường chéo: cộng thay vì trừ. Ở Ví dụ 2, (4 + 10)/2 = 7cm là EF, còn IK = (10 − 4)/2 = 3cm. Luôn lấy đáy lớn trừ đáy nhỏ để IK là số dương.

Bài tập tự luyện có đáp án

Mọi hình thang dưới đây là hình thang ABCD có AB // CD. E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. Hãy tự làm trước rồi mở đáp án để đối chiếu.

Bài 1. Cho AB = 3,5cm, CD = 8,5cm. Tính EF.

Bài 2. Cho EF = 19cm, CD = 30cm. Tính AB.

Bài 3. AB là đáy nhỏ, AB = 14cm. EF cắt BD tại I và cắt AC tại K, biết IK = 4,5cm. Tính CD và EF.

Bài 4. Một hình thang có đường trung bình 7,5cm và diện tích 165cm². Tính chiều cao.

Bài 5. Cho CD = 2AB. EF cắt BD tại I và cắt AC tại K. Chứng minh EI = IK = KF.

Bài 6. Hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 9,5cm, CD = 22,5cm, AD = 24cm. Tính EF, FA và FD.

Xem thêm

• diện tích hình thang
• chu vi hình thang
• tìm chiều cao hình thang
• hình bình hành