Thể Tích Hình Hộp Chữ Nhật: Công Thức, Ví Dụ, Bài Tập

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao: V = a × b × c. Cách viết khác là diện tích đáy nhân chiều cao: V = S đáy × c. Trước khi nhân, bạn phải đổi ba kích thước về cùng một đơn vị. Kết quả mang đơn vị có mũ 3 như cm³, dm³, m³, trong đó 1 dm³ = 1 lít. Ví dụ hộp dài 8 cm, rộng 5 cm, cao 3 cm có thể tích V = 8 × 5 × 3 = 120 cm³.

Hình hộp chữ nhật là gì?

Hình hộp chữ nhật là hình khối có 6 mặt đều là hình chữ nhật, 12 cạnh và 8 đỉnh. Các mặt đối diện thì song song và bằng nhau. Mặt nằm dưới và mặt nằm trên gọi là hai mặt đáy, bốn mặt còn lại là các mặt bên (mặt xung quanh). Viên gạch, hộp sữa giấy, thùng carton hay bể cá kính đều có dạng này. Trong hình học không gian, hình hộp chữ nhật là một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật, nên cách tính “diện tích đáy nhân chiều cao” ở dưới cũng dùng được cho mọi lăng trụ.

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước: chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao c. Mười hai cạnh chia thành ba nhóm, mỗi nhóm gồm 4 cạnh song song và bằng nhau: 4 cạnh dài a, 4 cạnh dài b, 4 cạnh dài c. Bài này dùng thống nhất ba chữ a, b, c. Có tài liệu viết l (dài), w (rộng), h (cao), nhưng ý nghĩa không đổi.

Hình lập phương là trường hợp đặc biệt khi a = b = c. Lúc đó cả 6 mặt là hình vuông bằng nhau và thể tích V = a × a × a = a³. Ví dụ hình lập phương cạnh 5 cm có V = 5³ = 125 cm³. Các công thức riêng của hình này có trong bài hình lập phương.

Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật

V = a × b × c

• V: thể tích, đơn vị cm³, dm³, m³…
• a, b, c: lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao, cùng một đơn vị độ dài (cm, dm, m…).

Vì a × b là diện tích hình chữ nhật ở mặt đáy, công thức còn viết là V = S đáy × c, tức thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Cách viết này tiện khi đề cho sẵn diện tích đáy thay vì chiều dài và chiều rộng.

Các bước tính

1. Đọc ba kích thước và đổi về cùng một đơn vị độ dài.
2. Tính diện tích đáy: S đáy = a × b.
3. Nhân diện tích đáy với chiều cao c.
4. Ghi đơn vị thể tích tương ứng: cạnh đo bằng cm thì kết quả là cm³, đo bằng m thì kết quả là m³.

Ví dụ 1. Một hộp quà dài 12 cm, rộng 9 cm, cao 6,5 cm.

• Diện tích đáy: S đáy = 12 × 9 = 108 cm².
• Thể tích: V = 108 × 6,5 = 702 cm³.

Phép nhân có tính giao hoán nên thứ tự nhân không làm đổi kết quả. Đặt mặt nào làm đáy thì thể tích vẫn là 702 cm³. Điều cần giữ đúng là ba số phải là ba kích thước khác nhau của hộp (dài, rộng, cao), không lấy một cạnh hai lần.

Vì sao lại nhân 3 kích thước?

Thể tích cho biết một hình chiếm bao nhiêu khối lập phương đơn vị. Khối lập phương cạnh 1 cm có thể tích 1 cm³. Lấy ví dụ một hộp dài 4 cm, rộng 3 cm, cao 2 cm:

• Lớp dưới cùng xếp được 4 khối theo chiều dài và 3 hàng theo chiều rộng, tức 4 × 3 = 12 khối. Con số này đúng bằng diện tích đáy 12 cm².
• Chiều cao 2 cm nên xếp được 2 lớp như thế. Tổng cộng có 12 × 2 = 24 khối, tức thể tích 24 cm³.

Tổng quát, một lớp có a × b khối và có c lớp, nên V = a × b × c = S đáy × c. Khi kích thước không phải số nguyên (như 6,5 cm ở Ví dụ 1), các khối không còn xếp vừa khít nhưng công thức vẫn đúng. Hình xếp khối chỉ giúp bạn thấy vì sao thể tích được tính bằng phép nhân.

Đơn vị thể tích và cách đổi

Mỗi đơn vị thể tích là một khối lập phương có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Vì 1 m = 10 dm nên 1 m³ = 10 × 10 × 10 = 1.000 dm³. Tương tự, 1 dm³ = 1.000 cm³.

Như vậy, hai đơn vị thể tích liền nhau hơn kém nhau 1.000 lần. Để so sánh: hai đơn vị độ dài liền nhau hơn kém 10 lần, hai đơn vị diện tích liền nhau hơn kém 100 lần.

Ví dụ 2 (ba kích thước khác đơn vị). Một thùng gỗ dài 1,2 m, rộng 45 cm, cao 5 dm. Tính thể tích của thùng ra lít.

Đề hỏi lít nên đổi cả ba kích thước về dm, vì 1 dm³ = 1 lít:

• 1,2 m = 12 dm.
• 45 cm = 4,5 dm.
• Chiều cao giữ nguyên 5 dm.

Thể tích: V = 12 × 4,5 × 5 = 270 dm³ = 270 lít.

Làm lại theo cm để đối chiếu: 120 × 45 × 50 = 270.000 cm³. Chia cho 1.000 được 270 dm³, khớp với cách trên. Nếu cần ra m³ thì chia tiếp cho 1.000: 270 : 1.000 = 0,27 m³.

Biết thể tích, tìm chiều cao, chiều dài hoặc diện tích đáy

Từ V = a × b × c, khi biết thể tích và hai kích thước, bạn tìm kích thước còn lại bằng phép chia:

• Chiều cao: c = V : (a × b) = V : S đáy.
• Diện tích đáy: S đáy = a × b = V : c.
• Chiều dài: a = V : (b × c).
• Chiều rộng: b = V : (a × c).

Thể tích và các kích thước phải cùng hệ đơn vị. Nếu V tính bằng cm³ thì kích thước đem chia phải tính bằng cm (diện tích tính bằng cm²), và kết quả ra cm.

Ví dụ 3. Một hộp có thể tích 1.155 cm³, đáy dài 15 cm, rộng 7 cm. Tính chiều cao của hộp.

• Diện tích đáy: S đáy = 15 × 7 = 105 cm².
• Chiều cao: c = 1.155 : 105 = 11 cm.
• Thử lại: 15 × 7 × 11 = 1.155 cm³.

Kích thước thay đổi thì thể tích thay đổi thế nào?

Thể tích là tích của ba kích thước, nên mỗi kích thước tác động lên thể tích theo đúng tỉ lệ của nó:

• Chỉ gấp một kích thước lên k lần (giữ nguyên hai kích thước kia) thì thể tích gấp k lần.
• Gấp cả ba kích thước lên k lần thì thể tích gấp k × k × k = k³ lần. Gấp đôi mọi cạnh, thể tích gấp 8 chứ không phải gấp 2.

Ví dụ. Hộp 7 cm × 4 cm × 3 cm có V = 84 cm³.

• Giữ đáy, tăng chiều cao lên 3 lần (9 cm): V = 7 × 4 × 9 = 252 cm³, đúng bằng 3 × 84.
• Gấp đôi cả ba cạnh (14 cm × 8 cm × 6 cm): V = 14 × 8 × 6 = 672 cm³, đúng bằng 8 × 84.

Diện tích toàn phần thì chỉ gấp k² lần. Hộp 7 × 4 × 3 có Stp = 2 × (28 + 12 + 21) = 122 cm², hộp gấp đôi có Stp = 488 cm², tức gấp 4. Nói cách khác, làm hộp to gấp đôi mỗi chiều thì tốn bìa gấp 4 nhưng chứa được gấp 8. Muốn ước lượng nhanh, bạn chỉ cần nhớ: độ dài gấp k, diện tích gấp k², thể tích gấp k³.

Các dạng bài thực tế có lời giải

Công thức này dùng để tính sức chứa của bể nước, thể tích thùng hàng hay lượng đất cần đào cho một hố hình hộp. Hai dạng dưới đây đều xoay quanh bể nước.

Tính sức chứa của bể ra lít

Ví dụ 4. Lòng một bể nước dài 2,5 m, rộng 1,6 m, cao 1,2 m. Bể chứa được tối đa bao nhiêu lít? Nếu nước mới đầy tới 3/4 chiều cao bể thì trong bể có bao nhiêu lít?

Sức chứa: V = 2,5 × 1,6 × 1,2 = 4,8 m³. Vì 1 m³ = 1.000 lít nên bể chứa tối đa 4.800 lít.

Lượng nước hiện có: mực nước cao 1,2 × 3/4 = 0,9 m. Lượng nước là 2,5 × 1,6 × 0,9 = 3,6 m³ = 3.600 lít. Con số này cũng bằng 3/4 của 4.800 lít.

Để tính sức chứa, bạn phải dùng kích thước lòng bể (phía trong). Nếu đề cho kích thước bên ngoài và độ dày thành bể thì đổi về kích thước lòng bể trước khi nhân:

• Chiều dài và chiều rộng lòng bể bằng kích thước ngoài trừ 2 lần độ dày thành.
• Với bể không nắp, chiều cao lòng bể bằng chiều cao ngoài trừ độ dày đáy.

Mực nước dâng khi thả vật vào bể

Thả một vật chìm hẳn vào bể thì lượng nước không đổi, nhưng vật chiếm chỗ dưới mặt nước nên mặt nước dâng lên. Phần thể tích tăng thêm dưới mặt nước là S đáy bể × Δh, và phần này đúng bằng thể tích của vật. Từ đó:

• Δh = V vật : S đáy bể.
• Ngược lại, V vật = S đáy bể × Δh.

Hai công thức trên chỉ đúng khi vật chìm hẳn và nước không tràn ra ngoài.

Ví dụ 5. Một bể kính có lòng dài 50 cm, rộng 30 cm, cao 35 cm, đang chứa nước cao 20 cm. Người ta đặt vào bể một khối sắt hình hộp dài 15 cm, rộng 12 cm, cao 10 cm. Khối sắt nằm dưới đáy, mặt 15 cm × 12 cm áp xuống đáy bể. Hỏi lúc sau mực nước cao bao nhiêu?

1. Thể tích khối sắt: 15 × 12 × 10 = 1.800 cm³.
2. Diện tích đáy bể: 50 × 30 = 1.500 cm².
3. Mực nước dâng thêm: Δh = 1.800 : 1.500 = 1,2 cm.
4. Mực nước lúc sau: 20 + 1,2 = 21,2 cm.

Kiểm lại hai điều kiện:

• Khối sắt cao 10 cm, thấp hơn mặt nước, nên chìm hẳn.
• Mực nước 21,2 cm nhỏ hơn chiều cao bể 35 cm, nên nước không tràn.

Nếu vật nổi, chỉ phần chìm trong nước mới làm nước dâng. Khi đó bạn không được lấy toàn bộ thể tích vật chia cho diện tích đáy bể.

Bảng tóm tắt công thức hình hộp chữ nhật

Sxq và Stp là diện tích, đơn vị cm² hoặc m². Chúng dùng khi tính giấy bọc hộp, sơn mặt ngoài hay kính làm bể, và không phải thể tích.

Đường chéo (phần mở rộng, dành cho bạn đã học định lí Pythagore) nối hai đỉnh đối nhau xuyên qua lòng hộp:

• Theo định lí Pythagore, đường chéo mặt đáy dài √(a² + b²).
• Cạnh c vuông góc với mặt đáy, nên đường chéo hộp là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là √(a² + b²) và c.
• Suy ra d² = a² + b² + c².

Ví dụ hộp 12 cm × 4 cm × 3 cm: đường chéo đáy dài √(12² + 4²) = √160, nên d = √(160 + 3²) = √169 = 13 cm.

Lỗi cần tránh khi tính thể tích hình hộp chữ nhật

• Nhân khi chưa đổi đơn vị. Ví dụ bể dài 2 m, rộng 80 cm, cao 50 cm. Nhân thẳng 2 × 80 × 50 = 8.000 rồi ghi 8.000 cm³ là sai, vì số 2 đang tính bằng mét. Cách đúng: đổi 2 m = 200 cm, rồi tính V = 200 × 80 × 50 = 800.000 cm³ = 0,8 m³ = 800 lít.
• Ghi sai đơn vị. Kích thước đo bằng m thì kết quả là m³, không phải cm³. Thể tích luôn có mũ 3; mũ 2 là đơn vị diện tích.
• Nhầm diện tích toàn phần với thể tích. 2 × (ab + bc + ca) là tổng diện tích 6 mặt, đơn vị cm². Hộp ở Ví dụ 1 có Stp = 2 × (108 + 58,5 + 78) = 489 cm², còn thể tích là 702 cm³. Thử với hình lập phương cạnh 1 cm: Stp = 6 cm² nhưng thể tích chỉ là 1 cm³, nên hai công thức không thay cho nhau được.
• Đổi sai bậc. 1 m³ = 1.000 dm³, không phải 10 hay 100 dm³. Tương tự, 1 dm³ = 1.000 cm³.
• Bài nước dâng làm thiếu bước. Quên kiểm tra vật có chìm hẳn không, nước có tràn không. Hoặc chia thể tích vật cho diện tích đáy của vật, trong khi phải chia cho diện tích đáy lòng bể.
• Gọi “chu vi” hình hộp. Hình khối không có chu vi. Đề hỏi tổng độ dài các cạnh thì tính 4 × (a + b + c).

Bài tập tự luyện

Bạn hãy tự làm trước, rồi mới mở đáp án để đối chiếu.

Bài 1. Một hộp bút dài 20 cm, rộng 8 cm, cao 4,5 cm. Tính thể tích hộp.

Bài 2. Một thùng xốp có lòng dài 7 dm, rộng 40 cm, cao 0,35 m. Thùng chứa được bao nhiêu lít?

Bài 3. Một bể nước có lòng dài 3 m, rộng 2 m, sâu 1,5 m. a) Bể chứa được tối đa bao nhiêu lít? b) Trong bể đang có 6.300 lít nước. Mực nước cao bao nhiêu mét?

Bài 4. Một hộp có thể tích 2.016 cm³, chiều dài 16 cm, chiều cao 9 cm. Tìm chiều rộng của hộp.

Bài 5. Một bể kính có lòng dài 60 cm, rộng 40 cm, đang chứa nước cao 25 cm. Thả vào bể một hòn đá thì đá chìm hẳn, mực nước dâng lên 27,5 cm và không tràn. Tính thể tích hòn đá.

Bài 6. Một hộp dài 15 cm, rộng 10 cm, cao 6 cm. Tính thể tích và độ dài đường chéo của hộp.

Xem thêm

• hình lập phương