Hình Bình Hành: Tính Chất, Diện Tích, Chu Vi, Bài Tập

Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. Diện tích hình bình hành bằng cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng: S = a × h; chu vi bằng hai lần tổng hai cạnh kề: P = 2 × (a + b). Ví dụ hình bình hành có cạnh đáy 13cm, cạnh bên 8cm, chiều cao 6cm thì S = 13 × 6 = 78cm² và P = 2 × (13 + 8) = 42cm. Bên dưới có tính chất, dấu hiệu nhận biết, cách chọn đúng chiều cao (kể cả khi chân đường cao nằm ngoài cạnh đáy), bảng tóm tắt công thức và bài tập có đáp án.

Hình bình hành là gì?

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Với tứ giác ABCD (các đỉnh ghi theo thứ tự đi quanh hình), nếu AB // CD và AD // BC thì ABCD là hình bình hành. Khi đó AB và CD là một cặp cạnh đối, AD và BC là cặp cạnh đối còn lại; A và C là hai đỉnh đối, B và D cũng là hai đỉnh đối.

Để vẽ hình bình hành ABCD: vẽ hai cạnh kề AB và AD, rồi qua B kẻ đường thẳng song song với AD, qua D kẻ đường thẳng song song với AB. Hai đường này cắt nhau tại C. Trên giấy kẻ ô, chỉ cần dịch đoạn AD sang B theo đúng số ô ngang và số ô dọc là tìm được C.

Theo SGK Toán 8, hình bình hành là một hình thang đặc biệt: hình thang có hai cạnh bên song song. Ngược lại, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông là những hình bình hành đặc biệt (xem mục bên dưới).

Tính chất hình bình hành

Trong hình bình hành ABCD, với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD:

• Các cạnh đối bằng nhau: AB = CD, AD = BC.
• Các góc đối bằng nhau: góc A = góc C, góc B = góc D.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA = OC, OB = OD.

Ngoài ra, hai góc kề nhau (chung một cạnh) bù nhau, tức tổng bằng 180°, nên chỉ cần biết một góc là tính được cả ba góc còn lại. Mỗi đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau. Giao điểm O của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.

Ví dụ: hình bình hành ABCD có góc A = 65°. Khi đó góc C = 65° (góc đối), còn góc B = góc D = 180° − 65° = 115° (góc kề với A).

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Tính chất dùng khi đã biết tứ giác là hình bình hành. Còn dấu hiệu nhận biết dùng ngược lại: đề chưa cho biết hình gì, bạn dựa vào các dữ kiện để chứng minh nó là hình bình hành. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu thoả một trong năm điều kiện dưới đây. Cột bên phải ghi những điều kiện còn thiếu, dễ làm kết luận sai.

Ví dụ chứng minh: cho hình bình hành ABCD, E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành. Vì AB // CD nên EB // FD. Vì AB = CD và E, F là trung điểm nên EB = AB/2 = CD/2 = FD. Tứ giác EBFD có cặp cạnh đối EB và FD vừa song song vừa bằng nhau, nên EBFD là hình bình hành. Suy ra thêm DE = BF (hai cạnh đối còn lại).

Khi trình bày, chỉ cần chọn đúng một dấu hiệu rồi kiểm tra đủ điều kiện của dấu hiệu đó; không cần chứng minh thêm các dấu hiệu khác. Không kết luận chỉ vì hình vẽ trông giống hình bình hành: phải dựa vào dữ kiện đề bài cho.

Các hình bình hành đặc biệt

• Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông (khi đó cả bốn góc đều vuông). Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau cũng là hình chữ nhật.
• Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (khi đó cả bốn cạnh bằng nhau). Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc cũng là hình thoi.
• Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, nên có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Quan hệ chỉ đi một chiều: mọi hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông đều là hình bình hành, nên có đủ tính chất và công thức của hình bình hành; ngược lại, hình bình hành bất kỳ không nhất thiết là hình chữ nhật hay hình thoi. Với hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với đáy nên chiều cao chính là cạnh bên và công thức S = a × h trở thành "dài nhân rộng"; với hình vuông là S = a × a (xem diện tích hình vuông).

Chu vi hình bình hành

Chu vi là tổng độ dài bốn cạnh. Vì các cạnh đối bằng nhau nên chỉ cần biết hai cạnh kề a và b:

P = 2 × (a + b)

Ví dụ: hình bình hành có hai cạnh kề 13cm và 8cm thì P = 2 × (13 + 8) = 42cm.

Biết chu vi và một cạnh thì tìm cạnh kia bằng cách lấy nửa chu vi trừ đi cạnh đã biết: b = P/2 − a. Ví dụ chu vi 60cm, một cạnh 19cm thì cạnh còn lại là 60/2 − 19 = 11cm. Chu vi không cần đến chiều cao, nên đừng đưa chiều cao vào phép tính này.

Công thức tính diện tích hình bình hành

Công thức cơ bản: S = a × h

S = a × h, trong đó S là diện tích, a là độ dài cạnh đáy và h là chiều cao ứng với cạnh đáy đó — khoảng cách giữa đường thẳng chứa cạnh đáy và đường thẳng chứa cạnh đối diện, đo theo phương vuông góc. Diện tích tính bằng đơn vị vuông: cm², m²…

Ví dụ: hình bình hành ABCD có cạnh đáy CD = 13cm, cạnh bên AD = 8cm, đường cao AH = 6cm. Diện tích là S = 13 × 6 = 78cm². Số 8cm của cạnh bên không dùng trong phép tính diện tích này.

Vì sao diện tích bằng đáy nhân chiều cao?

Hạ đường cao AH xuống đáy CD, ta cắt ra tam giác vuông ADH. Dời tam giác này sang bên phải theo phương của đáy một đoạn bằng a thì nó khớp đúng vào vị trí tam giác BCH′ và ghép với phần còn lại thành hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng h. Diện tích không đổi sau khi cắt ghép, nên diện tích hình bình hành bằng a × h, giống diện tích hình chữ nhật cùng đáy, cùng chiều cao.

Chiều cao hình bình hành: mỗi cạnh đáy có một chiều cao riêng

Hình bình hành có hai cặp cạnh đối nên có hai chiều cao khác nhau: h_a ứng với cạnh a và h_b ứng với cạnh b. Dù chọn cạnh nào làm đáy thì diện tích vẫn như nhau:

S = a × h_a = b × h_b

Với hình bình hành ở ví dụ trên, a = 13cm, h_a = 6cm nên S = 78cm². Nếu lấy cạnh b = 8cm làm đáy thì chiều cao tương ứng là h_b = 78 / 8 = 9,75cm; kiểm tra lại 8 × 9,75 = 78cm². Cạnh ngắn hơn thì chiều cao ứng với nó dài hơn. Chân đường cao hạ xuống một cạnh có thể rơi vào phần kéo dài của cạnh đó (điểm K ở hình trên); khi ấy ta kéo dài cạnh bằng nét đứt rồi hạ đường cao xuống đường kéo dài.

Từ công thức diện tích suy ra cách tìm chiều cao và cạnh đáy:

• Chiều cao: h = S / a
• Cạnh đáy: a = S / h

Khi chân đường cao nằm ngoài cạnh đáy

Chân đường cao hạ từ A xuống CD rơi ra ngoài đoạn CD khi góc D là góc tù: ở hình trên, góc D = 120° nên H nằm trên phần kéo dài của CD về phía D. H cũng có thể nằm ngoài khi góc D nhọn nhưng hình rất xiên: lúc đó đoạn DH dài hơn cạnh đáy CD và H nằm trên phần kéo dài về phía C. Công thức S = a × h vẫn đúng, vì chiều cao là khoảng cách giữa đường thẳng chứa cạnh đáy và đường thẳng chứa cạnh đối diện, không phụ thuộc chân đường cao nằm ở đâu. Cũng ở hình trên, nếu hạ đường cao từ B (kề góc C = 60°) thì chân đường cao nằm trong đoạn CD.

Trong ví dụ này, tam giác AHD vuông tại H có góc ADH = 180° − 120° = 60°, nên h = AD × sin 60° (xem công thức theo góc ngay bên dưới).

Diện tích khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Gọi a, b là hai cạnh kề và α là góc xen giữa hai cạnh đó:

S = a × b × sin α

Công thức này là S = a × h với h = b × sin α. Vì sin α = sin (180° − α) nên góc nhọn hay góc tù của hình đều cho cùng một kết quả.

Ví dụ 1: hai cạnh kề 8cm và 5cm, góc xen giữa 30°. S = 8 × 5 × sin 30° = 8 × 5 × 0,5 = 20cm².

Ví dụ 2: hình trên có a = 10cm, b = 6cm, góc D = 120°. S = 10 × 6 × sin 120° = 60 × (√3/2) = 30√3 ≈ 51,96cm². Cùng kết quả khi tính qua chiều cao: h = 6 × sin 60° = 3√3 ≈ 5,196cm và S = 10 × 3√3 = 30√3cm².

Diện tích khi biết hai đường chéo và góc giữa chúng

Gọi d₁, d₂ là độ dài hai đường chéo và φ là góc giữa chúng:

S = ½ × d₁ × d₂ × sin φ

Ví dụ: hai đường chéo 14cm và 10cm, góc giữa chúng 30°. S = ½ × 14 × 10 × sin 30° = ½ × 14 × 10 × 0,5 = 35cm².

Bảng tóm tắt công thức hình bình hành

Hình bình hành trong không gian và dưới dạng vectơ

Hình bình hành luôn là hình phẳng: khi đề hình học không gian cho hình bình hành ABCD thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng. Hình hộp có sáu mặt đều là hình bình hành.

Với vectơ (Toán 10): khi A, B, C không thẳng hàng, ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi vectơ AB = vectơ DC. Từ đó có quy tắc hình bình hành: vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC.

Lỗi hay gặp khi làm bài hình bình hành

1. Lấy cạnh bên làm chiều cao. Với đáy 13cm, cạnh bên 8cm, chiều cao 6cm, tính 13 × 8 = 104cm² là sai; đúng là 13 × 6 = 78cm². Chiều cao ứng với một đáy không bao giờ dài hơn cạnh kề với đáy đó, và chỉ bằng cạnh kề khi hình là hình chữ nhật.
2. Ghép chiều cao với sai cạnh đáy. Chiều cao 9,75cm ứng với cạnh 8cm, không ứng với cạnh 13cm; phải tính 8 × 9,75 chứ không phải 13 × 9,75.
3. Quên nhân đôi khi tính chu vi. Cộng hai cạnh kề chỉ ra nửa chu vi; chu vi là 2 × (a + b).
4. Nhầm góc kề với góc đối. Góc đối bằng nhau, góc kề bù nhau. Nếu đề cho góc A = 2 lần góc B (hai góc kề) thì A + B = 180° nên 3B = 180°, B = 60°, A = 120°; không được cho A = B.
5. Quên đổi đơn vị. Đổi các cạnh về cùng một đơn vị trước khi nhân, và ghi kết quả diện tích với đơn vị vuông (cm², m²).

Bài tập hình bình hành có đáp án

Tự làm trước khi xem đáp án để kiểm tra mức hiểu công thức.

Bài 1. Hình bình hành có chu vi 46cm, một cạnh dài 14cm. Tính cạnh còn lại.

Bài 2. Hình bình hành có diện tích 119cm², cạnh đáy 17cm. Tính chiều cao ứng với đáy đó.

Bài 3. Hình bình hành ABCD có góc A lớn hơn góc B là 40°. Tính số đo bốn góc của hình bình hành.

Bài 4. Hình bình hành ABCD có AB = 9cm, AD = 6cm, góc A = 150°. Tính diện tích.

Bài 5. Hình bình hành có hai đường chéo dài 16cm và 9cm, góc giữa chúng là 150°. Tính diện tích.

Bài 6. Tứ giác ABCD có AB // CD và AD = BC. Có chắc chắn ABCD là hình bình hành không?

Bài 7. Một mảnh vườn hình bình hành có cạnh đáy 24m và chiều cao 15m. (a) Tính diện tích mảnh vườn. (b) Nếu giữ nguyên diện tích nhưng đổi sang hình bình hành có cạnh đáy 18m thì chiều cao là bao nhiêu?

Bạn có thể xem thêm cách tính diện tích các hình phẳng gần với hình bình hành: diện tích hình thang, diện tích tam giác.