Phương Trình Tương Đương: Định Nghĩa, Biến Đổi, Bài Tập

Hai phương trình là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Khi đó viết f(x) = g(x) ⇔ p(x) = q(x). Mỗi phép biến đổi giữ nguyên tập nghiệm gọi là phép biến đổi tương đương, và giải một phương trình thực chất là biến đổi liên tiếp nó thành những phương trình tương đương đơn giản hơn cho tới khi đọc được nghiệm.

Phương trình tương đương là gì?

Hai phương trình ẩn x được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau, trên cùng một tập số đang xét (thường là tập số thực). Chỉ cần so tập nghiệm, hình thức của hai phương trình có thể khác hẳn nhau.

• 2x − 6 = 0 và x = 3 cùng có tập nghiệm {3}, nên 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3.
• x² − 3x + 2 = 0 có tập nghiệm {1; 2}. Phương trình (x − 1)(x − 2)(x² + x + 1) = 0 cũng có tập nghiệm {1; 2}, vì x² + x + 1 có biệt thức Δ = 1 − 4 = −3 < 0 nên thừa số này không bao giờ bằng 0. Hai phương trình tương đương.
• x² = 4 có tập nghiệm {−2; 2}, còn x = 2 chỉ có {2}. Hai phương trình không tương đương.
• x² + 1 = 0 và |x| = −3 đều vô nghiệm, cùng có tập nghiệm rỗng, nên chúng tương đương.

Hai phương trình vô nghiệm đều có tập nghiệm rỗng, nên tương đương với nhau.

Các phép biến đổi tương đương

Muốn giải phương trình mà không đánh mất hay thêm nghiệm, chỉ nên dùng những phép biến đổi dưới đây, và luôn xem điều kiện ở cột cuối. Cụm “điều kiện xác định” là tập các giá trị của x làm cho cả hai vế của phương trình có nghĩa.

Phương trình hệ quả khác gì phương trình tương đương?

Gọi S1 là tập nghiệm của phương trình thứ nhất và S2 là tập nghiệm của phương trình thứ hai. Nếu S1 nằm trong S2 thì phương trình thứ hai là phương trình hệ quả của phương trình thứ nhất, viết là ⇒. Mọi nghiệm của phương trình đầu đều là nghiệm của phương trình sau, nhưng phương trình sau có thể có thêm nghiệm khác.

Ví dụ x = 3 có tập nghiệm {3}, còn x² = 9 có {−3; 3}. Vì {3} nằm trong {−3; 3} nên x = 3 ⇒ x² = 9, nhưng không có chiều ngược lại.

Hai phương trình tương đương thì mỗi phương trình là hệ quả của phương trình kia. Vì vậy chuỗi biến đổi chỉ gồm các phép tương đương thì không cần thử lại, còn chỉ cần một bước là hệ quả thì bắt buộc phải thử.

Cách kiểm tra hai phương trình có tương đương không

1. So tập nghiệm. Giải từng phương trình rồi so hai tập nghiệm. Đây là cách chắc nhất.
2. Biến đổi tương đương. Dùng các phép trong bảng để đưa phương trình này về phương trình kia.
3. Tìm phản ví dụ. Muốn chứng tỏ hai phương trình không tương đương, chỉ cần chỉ ra một số là nghiệm của phương trình này mà không phải nghiệm của phương trình kia. Với x² = 4 và x = 2, số −2 là phản ví dụ.

Với bài “tìm m để hai phương trình tương đương”, làm theo thứ tự: giả sử hai phương trình tương đương, nghiệm của phương trình này phải là nghiệm của phương trình kia để tìm m; sau đó thay m vừa tìm vào và so lại tập nghiệm, vì điều kiện “có nghiệm chung” chỉ là điều kiện cần. Ví dụ 6 bên dưới làm đủ các bước.

Ba chỗ dễ làm mất hoặc thêm nghiệm

1. Chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn

Giải x² = 2x. Nếu chia hai vế cho x thì được x = 2 và quên mất nghiệm x = 0, vì x có thể bằng 0 và phép chia không còn là phép biến đổi tương đương. Cách đúng là chuyển vế rồi đưa về tích: x² − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Tập nghiệm là {0; 2}.

2. Bình phương hai vế khi chưa biết dấu

Giải √(x + 2) = x (cách tính căn bậc 2 nếu cần ôn lại về căn). Bình phương hai vế được x + 2 = x², tức là x² − x − 2 = 0 và x = −1 hoặc x = 2. Thay lại: x = 2 cho √4 = 2, đúng; x = −1 cho √1 = 1 nhưng vế phải là −1, sai. Nghiệm x = −1 là nghiệm thừa, do vế phải âm thì vế trái (một căn bậc hai) không thể bằng nó.

Cách viết gọn không cần thử lại là dạng sau: √A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B². Ở đây B = x, nên phải có x ≥ 0 và x + 2 = x², cho đúng một nghiệm x = 2.

Nhìn bằng đồ thị cũng thấy rõ: parabol y = x² cắt đường thẳng y = x + 2 tại hai điểm, hoành độ −1 và 2; còn đồ thị y = √(x + 2) chỉ cắt đường thẳng y = x tại điểm có hoành độ 2.

3. Làm đổi điều kiện xác định

Xét x + 1/(x − 2) = 2 + 1/(x − 2). Điều kiện xác định là x ≠ 2. Trừ cả hai vế cho 1/(x − 2) thì được x = 2, nhưng giá trị này bị chính điều kiện ban đầu loại, nên phương trình đã cho vô nghiệm. Hai phương trình x + 1/(x − 2) = 2 + 1/(x − 2) và x = 2 không tương đương: tập nghiệm của phương trình đầu là rỗng, của phương trình sau là {2}. Lý do là phép trừ đã bỏ đi điều kiện x ≠ 2.

Tóm lại: khi cần chia thì chuyển vế rồi phân tích thành tích; khi bình phương thì thử lại từng nghiệm; và luôn viết điều kiện xác định trước khi biến đổi, đối chiếu nghiệm với nó ở cuối.

Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Các phép biến đổi quen thuộc (nhân một phương trình với số khác 0, thế, cộng đại số) đều giữ được tính tương đương, với điều kiện thay phương trình cũ bằng phương trình mới và vẫn giữ lại ít nhất một phương trình ban đầu.

Ví dụ: hệ x + y = 5 và x − y = 1. Thay phương trình thứ hai bằng tổng hai phương trình thì được hệ x + y = 5 và 2x = 6. Hai hệ tương đương vì phương trình thứ hai cũ lấy lại được bằng cách lấy 2x = 6 cùng với x + y = 5 để trừ nhau. Từ 2x = 6 có x = 3, thay vào x + y = 5 được y = 2, nghiệm (3; 2).

Nếu thay cả hai phương trình bằng tổng của chúng thì hệ mới là 2x = 6 và 2x = 6, thực chất chỉ còn một phương trình, nghiệm (3; 7) cũng thỏa trong khi không thỏa x − y = 1. Hệ mới này không tương đương với hệ cũ.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chứng tỏ x² − 5x = 0 và x(x − 5)(x² + 1) = 0 tương đương.

Phương trình thứ nhất: x(x − 5) = 0, tập nghiệm {0; 5}. Phương trình thứ hai: x² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x, nên có thể bỏ thừa số này, còn x(x − 5) = 0 với tập nghiệm {0; 5}. Hai tập nghiệm bằng nhau nên hai phương trình tương đương.

Ví dụ 2. Giải 3(x − 1) + 2 = 2x + 4 bằng biến đổi tương đương.

3(x − 1) + 2 = 2x + 4 ⇔ 3x − 3 + 2 = 2x + 4 ⇔ 3x − 1 = 2x + 4 ⇔ 3x − 2x = 4 + 1 ⇔ x = 5. Kiểm lại: vế trái 3 × 4 + 2 = 14, vế phải 2 × 5 + 4 = 14. Tập nghiệm {5}.

Ví dụ 3. Giải (x² − 4)/(x − 2) = 0.

Điều kiện: x ≠ 2. Với điều kiện đó, phương trình tương đương x² − 4 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −2. Loại x = 2 vì không thỏa điều kiện. Tập nghiệm {−2}.

Ví dụ 4. x² = 9 và |x| = 3 có tương đương không? x − 3 = 0 và x² − 9 = 0 thì sao?

x² = 9 có {−3; 3}, |x| = 3 cũng có {−3; 3}, nên tương đương. x − 3 = 0 có {3}, x² − 9 = 0 có {−3; 3}, nên không tương đương (x² − 9 = 0 chỉ là hệ quả của x − 3 = 0).

Ví dụ 5. Giải √(2x + 3) = x.

Phương trình tương đương: x ≥ 0 và 2x + 3 = x². Giải x² − 2x − 3 = 0 được x = 3 hoặc x = −1. Chỉ x = 3 thỏa x ≥ 0. Kiểm lại √9 = 3. Tập nghiệm {3}.

Ví dụ 6. Tìm m để 2x − 4 = 0 và x² + mx − 6 = 0 tương đương.

2x − 4 = 0 có nghiệm duy nhất x = 2. Nếu hai phương trình tương đương thì x = 2 phải là nghiệm của phương trình thứ hai: 4 + 2m − 6 = 0, suy ra m = 1. Thử lại với m = 1: x² + x − 6 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 3) = 0, có thêm nghiệm x = −3. Tập nghiệm {2; −3} khác {2}. Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn.

Ví dụ 7. Giải hệ 2x + y = 7 và x − y = 2.

Thay phương trình thứ nhất bằng tổng hai phương trình (giữ nguyên phương trình thứ hai): 3x = 9 và x − y = 2. Suy ra x = 3, rồi y = x − 2 = 1. Kiểm lại: 2 × 3 + 1 = 7 và 3 − 1 = 2. Nghiệm (3; 1).

Bài tập có đáp án

1. Các cặp phương trình sau có tương đương không? (a) 3x − 6 = 0 và x = 2; (b) x² = 9 và x = 3; (c) x² + 4 = 0 và √x = −1; (d) x² − x = 0 và x − 1 = 0.
2. Giải 5x − 7 = 2x + 8 bằng biến đổi tương đương.
3. Giải (x² + 9)(x − 4) = 0.
4. Giải x(x − 4) = 3(x − 4). Nếu chia hai vế cho x − 4 thì mất nghiệm nào?
5. Giải √(2x − 1) = x − 2.
6. Tìm m để m(x − 3) = 0 tương đương với x − 3 = 0.
7. Giải hệ x + 2y = 7 và 3x − 2y = 5.
8. x² = 1 và x⁴ = 1 có tương đương không?