Sổ Tay Hình Học 10-11-12

Mục lục

1 Vec tơ 7
1.1 Khái niệm vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Vec tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Các phép toán với vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phép cộng hai vec tơ . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Phép trừ hai vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Phép nhân vec tơ với một số thực . . . . . . 10
2 Hệ thức lượng trong tam giác 13
2.1 Tích vô hướng của 2 vec tơ . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Góc giữa hai vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Tích vô hướng của 2 vec tơ . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Tích vô hướng và công thức chiếu . . . . . . 14
2.2 Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Định lý cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Độ dài đường trung tuyến của tam giác . . . 16
2.2.4 Các công thức về diện tích tam giác . . . . . 16
2.2.5 Một số công thức khác cho 4ABC . . . . . . 17
2.3 Hệ thức lượng trong đường tròn . . . . . . . . . . . . 17
3 Tọa độ trong không gian 2 chiều 19
3.1 Tọa độ của điểm trên trục . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Độ dài đại số của vec tơ trên trục . . . . . . 19
3.1.2 Hệ thức Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.3 Tọa độ của điểm trên trục . . . . . . . . . . . 20
3.2 Phương pháp tọa độ trong không gian 2 chiều . . . . 20
3.2.1 Tọa độ của vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Tọa độ của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Đường thẳng trong không gian 2 chiều . . . . . . . . 22
3.3.1 Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . 22
3.3.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . 23
3.3.3 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . 24
3.3.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 24
3.3.5 Đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng 25
3.4 Đường tròn trong không gian 2 chiều . . . . . . . . . 25
3.4.1 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . 25
3.4.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . . 26
3.4.3 Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 26
3.4.5 Vị trí tương đối của 2 đường tròn . . . . . . . 27
3.5 Elip trong không gian 2 chiều . . . . . . . . . . . . . 27
3.5.1 Định nghĩa Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5.2 Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . 28
3.5.3 Hình dạng của Elip . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.4 Tâm sai của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.5 Phương trình tiếp tuyến của Elip . . . . . . . 28
3.5.6 Đường chuẩn của Elip . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Hyperbol trong không gian 2 chiều . . . . . . . . . . 29
3.6.1 Định nghĩa Hyperbol . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6.2 Phương trình chính tắc của Hyperbol . . . . 30
3.6.3 Hình dạng của Hyperbol . . . . . . . . . . . . 30
3.6.4 Đường tiệm cận của Hyperbol . . . . . . . . . 31
3.6.5 Tâm sai của Hyperbol . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.6 Đường chuẩn của Hyperbol . . . . . . . . . . 31
3.7 Parabol trong không gian 2 chiều . . . . . . . . . . . 31
3.7.1 Định nghĩa Parabol . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7.2 Phương trình chính tắc của Parabol . . . . . 32
3.7.3 Hình dạng của Parabol . . . . . . . . . . . . 32
3.8 Giới thiệu về 3 đường Cô nic . . . . . . . . . . . . . 33
4 Hình học không gian cổ điển 35
4.1 Đại cương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Các tiên đề liên thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . 37
4.4 Sự song song trong không gian . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.2 Đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . 39
4.4.3 Mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.4 Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . 41
4.4.5 Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Sự trực giao trong không gian . . . . . . . . . . . . . 43
4.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5.2 Sự trực giao của đường thẳng và mặt phẳng . 44
4.5.3 Sự trực giao của hai đường thẳng trong không
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.4 Mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.5 Phép chiếu vuông góc . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Một số cách tìm khoảng cách . . . . . . . . . . . . . 47
4.6.1 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng . . 47
4.6.2 Khoảng cách giữa đường thẳng đến mặt phẳng
song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.3 Cách dựng đoạn vuông góc chung của 2 đường
thẳng chéo nhau d và d’
. . . . . . . . . . . . 48
4.6.4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau . 50
4.7 Các bài toán xác định góc . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.1 Góc giữa 2 đường thẳng . . . . . . . . . . . . 50
4.7.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . 50
4.7.3 Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 51
4.8 Các vấn đề về tính thể tích và diện tích . . . . . . . 53
4.8.1 Thể tích hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . 53
4.8.2 Thể tích hình lập phương . . . . . . . . . . . 53
4.8.3 Thể tích khối hình chóp . . . . . . . . . . . . 53
4.8.4 Thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . 54
4.8.5 Hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8.6 Hình nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8.7 Hình nón cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8.8 Hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Tọa độ trong không gian 3 chiều 61
5.1 Vec tơ trong không gian 3 chiều . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Hệ trục tọa độ trong không gian 3 chiều . . . . . . . 63
5.2.1 Hệ trục tọa độ Oxyz . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Tọa độ của một điểm . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.3 Tọa độ của một vec tơ . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.4 Biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ . . 64
5.2.5 Tích vô hướng và các ứng dụng . . . . . . . . 64
5.3 Tích có hướng của 2 vec tơ và ứng dụng . . . . . . . 65
5.3.1 Tích có hướng của 2 vec tơ . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Ứng dụng của tích có hướng . . . . . . . . . . 66
5.4 Mặt phẳng trong không gian 3 chiều . . . . . . . . . 67
5.4.1 Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng . . . . . . 67
5.4.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . 67
5.4.3 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng . . . . . . . 68
5.4.4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 68
5.4.5 Chùm mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.1 Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.2 Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng . 69
5.5.3 Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng 70
5.6 Đường thẳng trong không gian 3 chiều . . . . . . . . 70
5.6.1 Các dạng phương trình của đường thẳng . . . 70
5.6.2 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng . . . . . . 71
5.6.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 72
5.6.4 Một số cách tính khoảng cách . . . . . . . . . 72
5.6.5 Một số công thức tính khoảng cách . . . . . . 73
5.6.6 Một số công thức tính góc . . . . . . . . . . . 74
Tài liệu tham khảo 76