🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Phân tích triết học bản chất của tri thức toán học Ebooks Nhóm Zalo E. v ũ VĂN VIÊN p'tyAĩl TÍCIị TR3ỂT ĨỊ0C BẢN CHẤT Củ a TRI THỨC TOÁN HỌC WmNHÀ XUẤT BẢN CHÍNH TRỊ Qưốc GIA PlịâR T3Clị TR3ỂT lịỌC BẢN CHẤT CỦA TRI THỨC TOÁN HỌC Ma số: 51(09) CTQG-2011 PGS, TS. V Ũ VĂN V IÊN P ĩịrâ T3CT) TR3ÉT lịỌC BẢN CHẤT CỦA TRI THỨC TOÁN HỌC NHÀ XUẤT BẢN CHÍNH TRỊ QUốC GIA - sự THẬT Hà Nội-2011 LỜI NHÀ XUẤT BẢN Trong lịch sử phát triển của nhân loại đã có không ít nhà triết học nổi tiếng cũng chính là nhà toán học như Arixtốt, G.V.Lépníc, R. Đểcáctơ... Điểu đó một phần nói lên rằng, giữa triết học và toán học có mối quan hệ mật thiết, tác động qua lại lẫn nhau. Vối đặc thù là những tri thức về các quy luật chung nhất của thế giói (tự nhiên, xã hội, tư duy), triết học đã xây dựng thế giối quan và phương pháp luận làm nền tảng định hướng cho sự phát triển của các ngành khoa học, trong đó có toán học. Còn toán học - nghiên cứu về các sô', cấu trúc, không gian và các phép biến đổi - đã góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cô', hoàn thiện cho các quy luật, nguyên lý, các phạm trù và các khái quát triết học. Trong sự phát triển đa dạng và phức tạp của thế giối, các lý thuyết toán học không ngừng được bổ sung. Đặc biệt ngày nay, sự phát triển mạnh mẽ của khoa học - công nghệ càng khẳng định vị trí, vai trò quan trọng của toán học. Tính chất chính xác, nghiêm ngặt và thuần lý của toán học đã đưa nó lên vị trí cao trong cái nhìn của các nhà giáo dục mọi thời đại. Tuy nhiên, với bản chất là một môn khoa học hết sức trừu tượng, toán học không chỉ là cơ sở cho những quan điểm triết học duy vật biện chứng mà còn là chỗ dựa cho không ít quan điểm duy tâm siêu hình. Bởi vậy, việc đứng trên quan điểm 5 triết học duy vật biện chứng để luận giai bản chất cùa các tri thức toán học là điêu rát cần thiết cho sự vận dụng nhũng tri thức toán học vào thực tiễn cuộc sông cũng như việc đâu tranh chông lại những quan điểm sai trái của chủ nghĩa duy tâm siêu hình. Xuất phát từ những yêu cầu đó, Nhà xuất bản Chính trị quốc gia - Sự thật xuất bản cucm sách P hản tích triết học bản chất của tri thức toán hoc của PGS, TS. Vũ Văn Viên. Cuốn sách đi sâu phân tích sự phát triển về đối tượng và phương pháp của toán học, cũng như quan hệ giữa toán học với hiện thực khách quan; làm rõ hơri về sự phát triển đối tượng cũng như khả năng của toán học khi nghiên cứu những đại lượng ngẫu nhiên; phân tích con đường phát triển nội tại của toán học; vấn đê chân lý của tri thức toán học; các khuynh hướng khác nhau trong lập luận toán học. Cuốn sách là tài liệu cần thiết và bổ ích, đáp ứng nhu cầu nghiên cứu, giảng dạy và học tập triết học, toán học nói chung, cũng như những vấn để triết học trong toán học nói riêng ở nước ta hiện nay. Xin giới thiệu cuốn sách với bạn đọc Tháng 7 năm 2011 NHÀ XUẤT BẢN CHÍNH TRỊ QUỐC GIA - s ự THẬT 6 LỜI MỞ ĐẨU Trong lịch sử văn minh nhân loại, triết học và toán học là những lĩnh vực tri thức ra đời rất sớm - ngay từ thời cổ đại chúng ta đã có những học thuyết, lý thuyết được xây dựng một cách hoàn chỉnh. Từ điều đó có thể khẳng định rằng, triết học và toán học đều là những lĩnh vực tri thức tham gia vào việc giải quyết những vấn đề cơ bản nhất liên quan đến đòi sống của con người và tham gia vào những nấc thang đầu tiên trong sự phát triển của nhận thức nhân loại. Đồng thời, trong quá trình hình thành và phát triển, triết học và toán học luôn có quan hệ mật thiết, tác động qua lại lẫn nhau. Triết học giữ vai trò là thế giối quan và phương pháp luận cho sự phát triển toán học, ngược lại toán học cung cấp cho triết học những tài liệu khoa học làm cơ sở cho những khái quát triết học, cho việc hình thành các quan niệm thê giới quan, phương pháp luận triết học. Trong xã hội hiện đại, mối quan hệ qua lại giữa triết học và toán học lại càng có ý nghĩa quan trọng trong sự phát triển của văn minh nhân loại. Xét từ một góc độ khác, nếu triết học cung cấp cho các khoa học cụ thể những tri thức thế giới quan, 7 phương pháp luận định hướng cho việc tìm tòi, nghiên cứu, thì toán học lại cung cấp cho chúng ta những công cụ đ ể nhận thức. Chúng ta có cơ sở để khảng định rằng toán học là công cụ của các khoa học. Cũng từ đó. toán học đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực nhận thức của con người, tri thức toán học tham gia vào mọi lĩnh V"ực và dường như trỏ thành một bộ phận của các lý thuyêt khoa học hiện đại. Xét vê bản chất của toán học, chúng ta có thê nói toán học là khoa học hết sức trừu tượng. Chính sự trừu tượng này (sự trừu tượng đúng đắn) một mặt, làm cho toán học có giá trị ứng dụng ngày càng lớn, phạm vi ứng dụng rộng; mặt khác, cũng là tiêu điểm cho sự đấu tranh giữa các quan điểm triết học duy vật và duy tâm, đặc biệt là vê những vấn đê nhận thức và xác định tính chân lý. Điều đó cũng đòi hỏi phải xây dựng nên tảng logic cho toán học (lập luận toán học, đặt cơ sở cho toán học). Với những lý do nêu trên, việc tìm hiểu vê bản chất của toán học, những vấn đê triết học của toán học là hêt sức cần thiết. Đặc biệt trong thời đại ngày nav, khi nhân loại bước vào nền văn minh trí tuệ, tri thức toán học đã thâm nhập vào hầu khắp những lĩnh vực khoa học, công nghệ hiện đại thì việc tìm hiểu những vấn đế trên lại càng có ý nghĩa cấp thiết. Cùng vói điều đó là việc đáp ứng nhu cầu nghiên cứu, giảng dạy, học tập triêt học, toán học nói chung, những vấn để triết học của toán học nói riêng. Với ý nghĩa như vậy, chúng tỏi 8 cô gắng thực hiện công trình này nhằm góp phần tìm hiểu một lĩnh vực đầy khó khăn, nhưng còn ít được khai phá này. Để thuận lợi hơn cho việc tìm hiểu vấn đề, trưốc hết, chúng ta phải tìm hiểu một cách khái quát vị trí của toán học trong hệ thống tri thức của nhân loại. Để làm rõ vị trí của toán học trong hệ thống khoa học, chúng tôi xuất phát từ việc phân loại các khoa học. Trong lịch sử phát triển khoa học, tồn tại rất nhiều quan điểm khác nhau về phân loại khoa học. ở đây, chúng tôi xin đề cập khái quát một sô" cách phân loại cơ bản nhất. 1. Xanh Ximông và Côngtơ đã phân loại khoa học dựa trên nguyên tắc về sự phối hợp các khoa học lại với nhau. Từ đó, họ xếp khoa học này cạnh khoa học khác thành một dãy có tính chất hình thức: Toán học/ cơ học/ vật lýI hóa học/ sinh vật học / xã hội học. (Các gạch dọc tượng trưng cho sự cô lập (gián đoạn) giữa các khoa học). Tuy cách phân loại này có một sô" yếu tố hợp lý với trình độ lúc đó, song đó là một sự phân loại giả tạo. Nó thực hiện theo một nguyên tắc trái với sự thật - nguyên tắc thừa nhận ranh giới nghiêm ngặt giữa các khoa học. Hêghen đã phê phán gay gắt cách phân loại như vậy. 2. Hêghen dựa theo nguyên tắc về sự chuyển hóa biện chứng đã sắp xếp các khoa học theo sự biến đổi từ 9 đơn giản đến phức tạp. Từ đó, ông đã chia khoa học thành các lĩnh vực: Cơ..., Hóa..., Thê hữu cơ... Ph.Ăngghen đã nhận xét: Đối với thời kỳ của Hêghen, sự phân loại này đã là hoàn bị nhưng cũng là giả tạo. Bởi lẽ sự chuyển hóa mà ông coi là một nguyên tắc để phân loại là sự chuyển hóa của tư duy, của ý niệm áp đặt vào chứ không phải là sự chuyển hóa tự thân thực hiện, không phải do sự chuyển hoá của bản thân các sự vật, hiện tượng khách quan. 3. Ph.Ảngghen phê phán cả sự phân loại của Xanh Ximông và của Hêghen. Ông đã dựa trên hai nguyên tắc để phân loại khoa học: nguyên tắc về tính khách quan và nguyên tắc về sự phát triển. Xuất phát từ sự thống nhất hữu cơ của hai nguyên tắc trên, Ph.Ảngghen đã phân loại khoa học theo các hình thức vận động của vật chất cũng như sự liên hệ giữa các hình thức vận động ấy. Theo Ph.Ảngghen, mỗi ngành khoa học nghiên cứu một hình thức vận động riêng biệt (khoa học cơ bản), hoặc một sô" hình thức vận động liên hệ với nhau và chuyển hóa lẫn nhau (các khoa học liên ngành). Điều quan trọng của sự phân loại các ngành khoa học là phải dựa trên sự phân loại bản thân các hình thức vận động đó. Ỏng đã đưa ra lược đồ phân loại các khoa học như sau: Cơ học... Vật lý học... Hoá học... Sinh học... Xã hội học. (Các dấu thể hiện giữa các khoa học có sự tương tác, chuyển hoá lẫn nhau). 10 Dựa vào các nguyên tắc của Ph.Ăngghen, B.M.Kedrốp đã xây dựng một bảng phân loại các khoa học một cách chi tiết hơn. Theo sơ đồ của B.M.Kedrốp, các khoa học được chia thành 5 nhóm1: 1/ Khoa học triết học 2/ Khoa học toán học 3/ Khoa học tự nhiên và khoa học kỹ thuật 4/ Khoa học xã hội 5/ Khoa học về hạ tầng cơ sở và thượng tầng kiên trúc Trong từng nhóm, Kedrốp lại tiếp tục phân chia các khoa học theo các nguyên tắc của Ph.Ảngghen. Theo sự phân loại này, các khoa học khác như: cơ, lý, hóa, sinh, xã hội học được ông phân chia theo các hình thức vận động khác nhau của thê giới vật chất. Lược đồ phân loại của Kedrôp như sau: K hoa học triế t học Biện chứng pháp Logic học (truyền thống) K hoa học toán học Logic toán (logic hiện đại) Toán học thực hành Toán học (các bộ môn toán học) Bao gồm điều khiển học 1. Xem: Bách khoa toàn thư triết học, Nxb. Bách khoa toàn thư Liên Xô, 1964, t. 3, tr. 583. 11 K hoa học tự nhiên và khoa học kỹ th u ậ t Cơ hoc Cơ thực nghiệm Thiên văn hoc Du hành vũ trụ Vật lý thiên văn Vật lý học Hoá lý Lý hoá Vật lý kỹ thuật Hoá học Khoa học quy trình hóa kỹ Hóa đia chất Thuật luyện kim Đia chất hoc Công nghiệp mỏ Địa lý học Hóa sinh hoc Sinh học Khoa học nông nghiệp và y học Sinh lý học người Nhân loại học Khoa học x ã hội Lịch sử Khảo cổ học Nhân chủng học Địa lý kinh tế Thông kê kinh tế - xã hội Khoa học về hạ tần g cơ sở và thượng tần g kiến trú c Kinh tê chính tri hoc 12 Khoa học vê' nhà nưốc và pháp quyền, lịch sử nghệ thuật và giảng dạy nghệ thuật, V.V.. Ngôn ngữ học Khoa học sư phạm Tâm lý học Các khoa hoc khác Từ cách phân loại trên, chúng ta có thể sơ bộ hình dung về vị trí của toán học trong hệ thống khoa học. 1. Đối tượng của toán học không phải là một hay một số hình thức vận động cụ thể nào. Toán học nghiên cứu những khía cạnh liên quan đến mọi hình thức vận động khác nhau của hiện thực khách quan - đó là quan hệ sô" lượng và các hình thức không gian. 2. Về mặt nhận thức, toán học là công cụ làm nền tảng cho nhận thức duy lý, cho những phương pháp của tư duy trừu tượng. Cũng từ đó, có thể nói toán học cung cấp cho các khoa học cụ thể các phương tiện nhận thức duy lý; toán học là công cụ của các ngành khoa học khác. Để đánh giá trình độ phát triển của các khoa học khác không thể không căn cứ vào mức độ sử dụng toán học trong đó. 3. Quan hệ giữa triết học và toán học được thể hiện theo hai chiều: toán học tác động đến quá trình hình thành và phát triển thê giói quan duy vật và phương pháp luận biện chứng duy vật; ngược lại, triết học duy vật biện chứng là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn cho sự phát triển của toán học. Từ cách nhìn sơ bộ đó, để có cách nhìn khái quát vê 13 bản chất của tri thức toán học, nội dung cuốn sách này được trình bày theo bô cục như sau: Chương I: Vấn để đối tượng của toán học. Chương II: Về phương pháp của toán học. Hai chương I và II mô tả toàn cảnh vể sự hình thành và phát triển của toán học (sự phát triẽn về đối tượng và phương pháp của toán học), cũng như quan hệ giữa toán học với hiện thực khách quan. Chương III: Toán học với những hiện tượng ngẫu nhiên nhằm làm rõ hơn về sự phát triển của đỏi tượng cũng như khả năng của toán học khi nghiên cứu các đại lượng ngẫu nhiên, nó là sự bổ sung cần thiết (phân tích về một lĩnh vực đối tượng đặc thù của toán học) cho chương I. Chương IV: v ề con đường phát triển nội tại của toán học. Chương này chủ yếu luận bàn về sự phát triển toán học do nhu cầu nội tại của nó - đó là sự xuất hiện mâu thuẫn và giải quyết mâu thuẫn cũng như từ sự lập luận các công cụ của bản thân toán học. v ề sự phát triển của toán học do nhu cầu của thực tiễn cũng được để cập đến ở những chương khác, đặc biệt là ở chương I. Chương V: Vân đề chân lý của tri thức toán học. Bàn về tính đặc thù của việc xác nhận chân lý toán học do đặc điểm trừu tượng rất cao về đối tượng và phương pháp tư duy chặt chẽ của nó. Chương VI: Các khuynh hướng khác nhau trong lập luận toán học (đặt cơ sở cho toán học). Chương này 14 phân tích những khó khăn mà toán học hiện đại đang gặp phải và việc xây dựng cơ sở logic (lập lũận) cho toán học. Vì đây là một vấn đề phức tạp, ở Việt Nam lại ít được đê cập đến nên chắc chắn sẽ còn nhiều hạn chê và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự thông cảm và sự góp ý của bạn đọc. 15 Chương I VẤN Đ Ể ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC Trong toán học, vấn đề về mối quan hệ giữa tư duy và tồn tại được thể hiện thành vấn đề vê mối quan hệ giữa tri thức toán học và hiện thực khách quan. Việc giải quyết vấn đề này cũng chia thành hai trường phái đối lập nhau. Những người duy vật khẳng định những khái niệm và lý thuyết toán học là sự phản ánh những thuộc tính và những quan hệ của thê giới bên ngoài. Trái lại, những người duy tăm thì cho rằng những tri thức toán học hoặc là những tư tưởng được sáng tạo thuần tuý của tư duy con người, hoặc là những tư tưởng tiên nghiệm, có trưốc kinh nghiệm, tức là tri thức toán học biểu thị như cái có trước, cái thứ nhất, còn tự nhiên là cái thứ hai. Cách tiêp cận một cách khoa học đối vói đói tượng của toán học thông qua lịch sử phát triển của nó. trong đó có các trừu tượng toán học sẽ không chì cho chúng ta lời giải duy vật vê bản chất của các tri thức toán học 16 mà cả đặc trưng biện chứng vê quá trình phát triển của toán học. X % % Trong việc tìm hiểu đôi tượng của toán học, vấn đê quan tâm hàng đầu là khách thế nào trong hiện thực là đối tượng của toán học và toán học phản ánh đôi tượng ấy như thê nào? Đế giải đáp được điều đó, chúng ta hãy tìm hiểu hai vấn đề cơ bản sau đây: 1. Toán học phản ánh khía cạnh nào của hiện thực khách quan. 2. Những đặc điểm cơ bản của các trừu tượng toán học. Như đã biết, các khoa học khác nghiên cứu các hình thức vận động riêng biệt của vật chất (ví dụ: cơ học, hoá học,...) hay một số các hình thức vận động quan hệ qua lại với nhau (như lý hoá, hoá sinh,...). Toán học không nghiên cứu một hình thức riêng biệt nào về vận động của vật chất. Nó nghiên cứu các khía cạnh nhất định vôh tồn tại khách quan trong tất cả các hình thức vận động của vật chất. Đúng như Ph.Ăngghen đã nhận xét: Toán học thuần tuý có đốỉ tượng của mình là các hình thức không gian và các quan hệ số lượng của thê giới hiện thực. Như vậy, đặc trưng của toán học với tư cách một khoa học là ở chỗ nó phân tích những quan hệ số lượng và những hình thức không gian tồn tại ở tất cả các hình thức vận động, tức là tồn tại ở mọi khách thê của hiện thực khách quan. Đó chính là đôi tượng hiện thực của toán hoc. _ 17 Quan niệm toán học như là khoa học vế các quan hệ sô" lượng và các hình thức không gian của thẻ giới hiện thực "cho ta khả năng hiểu biết một cách đúng đắn nội dung khách quan của tri thức toán học củng như khuynh hưống chung trong sự phát triển của toán học. Cũng cần lưu ý rằng, các quan hệ số lượng và các hình thức không gian phải được hiểu theo nghĩa rộng. Cho đến giữa thế kỷ XIX, quan hệ sô" lượng được hiểu một cách hết sức hẹp. Người ta hiểu số lượng là một đại lượng. Vì mỗi đại lượng thông qua đơn vị được lựa chọn đểu có thể được biểu thị bằng sô", cho nên quan niệm vê sô" lượng được liên tưởng vối khái niệm số. Tương ứng với điều đó, toán học được xem như là khoa học nghiên cứu các tính phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hay giữa các biểu thị bằng sô" của chúng. Lịch sử của toán học đã chỉ ra rằng, cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn xã hội, phạm vi các quan hệ sô' lượng và các hình thức không gian được toán học nghiên cứu đã được mở rộng không ngừng. Chăng hạn, trong toán học hiện đại, các quan hệ sô lượng và các hình thức không gian được hiểu chung là các câu trúc toán học trừu tượng. Tuy nhiên, từ các khách thể hiện thực ấy (các quan hệ sô lượng và các hình thức không gian) toán học đã xây dựng nên các đôi tượng hết sức trừu tượng của mình. Các trừu tượng này mới chính là đoi tương 18 trực tiếp của cá c lý thuyết toán học (ngoại trừ ở giai đoạn đầu tiên khi toán học còn là khoa học kinh nghiệm, chưa trở thành khoa học lý thuyết trừu tượng). Những đối tượng trực tiếp này được xây dựng thông qua sự trừu tượng hoá vối việc sử dụng các khách thể lý tưởng. Như vậy, có thể xem các quan hệ sô' lượng và các hình thức không gian của các khách thê hiện thực là đôi tượng hiện thực của toán học, còn các trừu tượng toán học về các quan hệ số lượng và các hình thức không gian ấy là đôi tượng trực tiếp của toán học. Để thấy rõ hơn vấn đề đối tượng của toán học, chúng ta tìm hiểu các đặc trưng cơ bản của trừu tượng toán học qua các giai đoạn cơ bản trong sự phát triển của toán học. Các phương pháp trừu tượng hoá trong khoa học phụ thuộc trực tiếp vào bản chất của đốì tượng được nghiên cứu và những mục đích đặt ra trước các nhà khoa học. Chúng ta có thể phân ra ba phương thức khác nhau của sự trừu tượng hoá: trong các khoa học vô sinh, trong sinh học và khoa học xã hội, trong toán học và logic học. Tương ứng vối các lĩnh vực này, phương pháp trừu tượng hoá có những biểu hiện khác nhau. Trong toán học, các phương pháp trừu tượng hoá được sử dụng rộng rãi là: - S ự trừu tượng đồng nhất (phép đồng nhất); 19 - S ự trừu tượng phân tích (cô lập); - S ự trừu tượng uể tính thực hiện được (vể cái vỏ hạn). Sự trừu tượng đồng nhất là cơ bàn nhất. Khò đó, chúng ta tách ra được các thuộc tính hay quan hệ (ỏ đây là các quan hệ sô lượng và các hình thức không gian) chung của các khách thể nghiên cứu. Đặc trưng của toán học được quy định bời một loạt những đặc điểm quan trọng của trừu tượng hoá toán học. Những đặc điểm này phân biệt trừu tượng toán học với sự trừu tượng trong các khoa học khác. Dưới đây là các đặc điểm của sự trừu tượng toán học. 1. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất. Chúng ta biết rằng, các khái niệm toán học chỉ phản ánh quan hệ sô' lượng và các hình thức không gian của khách thể và quá trình trong hiện thực, cho nên những khái niệm này là hình ảnh phiến diện nhất của hiện thực. Để tách ra những quan hệ sô lượng và các hình thức không gian dưởi dạng thuần tuý, nhà toán học phải sử dụng sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất. Bởi vì trong sự trừu tượng ấy, chúng ta phải vứt bỏ tất cả những đặc điểm chất lượng, những thuộc tính riêng biệt của đôi tượng mà chỉ giữ lại các quan hệ số lượng hoặc các hình thức không gian. Trong khi các khoa học khác, sự trừu tượng hóa vẫn giữ lại những đặc điểm chất lượng nào đó của khách thể. 2 0 Thực tiễn phát triển của khoa học nhìn từ phương diện trừu tượng hoá cho thấy, ở chỗ nào mà khoa học kinh nghiệm (các khoa học nghiên cứu một hay một sô hình thức vận động cụ thể) dừng lại thì ở đó các nghiên cứu toán học mới chỉ bắt đầu. So vói khoa học kinh nghiệm thì trong toán học, quá trình trừu tượng hoá đi xa hơn. Ví dụ, trong hình học chúng ta thấy rằng, các thuộc tính không gian của vật thể vật chất không tồn tại biệt lập với bản thân vật thể. Chúng được xác định một cách hoàn toàn bởi những mối liên hệ bên trong và bên ngoài của vật thể. Nhưng để hiểu tốt hơn các thuộc tính không gian, chúng ta phải tách bỏ nó khỏi tất cả những thuộc tính khác, trừ thuộc tính hình học. 2. Đặc điểm quan trọng thứ hai của trừu tượng toán học là sự trừu tượng ở đây được thực hiện qua một loạt những mức độ kê tiếp nhau. Vì vậy, trong toán học có sự trừu tượng của trừu tượng. Chẳng hạn: Ví dụ 1: Khái niệm sô, lúc đầu, nó chưa được tách khỏi những tập hợp đế đếm, vì vậy nó biểu hiện như một danh sô. Sau đó, nó tách khỏi các tập hợp cụ thê và biểu hiện như một khái niệm trừu tượng, như là những con sô" cụ thể. Hai mức này ít phân biệt với sự trừu tượng tương ứng trong khoa học kinh nghiệm. Nhưng toán học đi xa hơn, nếu ỏ giai đoạn hai, khái niệm số còn gắn liến 21 với những sô trừu tượng cụ thể như 1, 2,.... lõ ..... 100.... thì sau đó nó được trừu tượng khỏi giá trị cụ thẻ cua chúng, từ đó xuất hiện khái niệm sô tự nhiên bát kỳ. Khái niệm này có ý nghĩa đặc biệt đôi với toán học, vì nó cho ta khả năng trừu tượng khỏi các sõ cụ thê và bảo đảm có thể chứng minh các định lý dưới dạng tổng quát. Tuy nhiên, sự trừu tượng hoá toán học cũng chưa dừng lại ở đây, chẳng hạn từ sô" tự nhiên người ta lại tiếp tục trừu tượng hoá để xây dựng các hệ thông sô mói như: số thực, sô phức,... Ví dụ 2: Vê khái niệm hàm sô": at2 Từ các công thức vật \ý s = (quy luật rơi tự do) ou2 w = —2 Trong đó: w: năng lượng o: dung tích vật dẫn u: thê hiệu cần nạp Toán học đã tách khỏi nội dung cụ thê của chúng và nghiên cứu tổng quát - hàm số: ax2 22 Ví dụ 3: v ề các lý thuyết của sự trứu tượng hóa: Trong lịch sử toán học nói chung, có ba giai đoạn lốn vê sự phát triển của trừu tượng toán học. - Giai đoạn đầu gắn liền với sự xuất hiện của số học và hình học. Các trừu tượng toán học (sô" và hình hình học) đã tách khỏi nội dung chất lượng cụ thể của khách thể trong hiện thực. - Giai đoạn thứ hai, khi đưa ra các ký hiệu chữ cái, gắn liền vói sự xuất hiện của đại số hiện đại, các trừu tượng toán học đã tách khỏi nội dung của các trừu tượng cụ th ể {ban đầu). - Giai đoạn thứ ba, toán học hiện đại không chỉ tách khỏi bản chất cụ thể của khách thể mà còn tách khỏi cả những sự phụ thuộc cụ thể giữa chúng. Chẳng hạn, về phép nhân: nhân các sô', các véctơ, các tập hợp (phép giao), các mệnh đề (phép hội). 3. Đặc điểm quan trọng thứ ba là sự trừu tượng toán học phần lốn được thực hiện với việc sử dụng các khách thể lý tưởng. Ngay các khái niệm như “điểm”, “đường”, “mặt phẳng” - đối tượng của hình học ơclít - đã là những khách thể lý tưởng. Chúng được tạo ra thông qua sự lý tưởng hoá chứ trong thực tê không có điểm, đường, mặt phẳng nào giống hệt như các đối tượng được hình học này nghiên cứu. Nếu sự lý tưởng hoá được hiểu rộng đến mức như là quá trình tạo ra những khái niệm biểu thị các thuộc tính 23 của hiện thực, bởi một sự biên dạng, hoặc là sự mỏ ta các thuộc tính không có ớ thẻ giới hiện thực, thì có thẻ khẳng định rằng, những khách thể toán học lý tướng, trừu tượng ấy là những khách thê xuất hiện trực tiẽp do nhu cầu nội tại của các nghiên cứu toán học. 4. Đặc điểm quan trọng thứ tư của sự trừu tượng hoá toán học là việc sử dụng sự trừu tượng về tinh thực hiện được. Đây là sự trừu tượng vê tính thực hiện được của cái vô hạn. Sự trừu tượng này hêt sức quan trọng. Nó cho phép chúng ta xây dựng các quy luật toán học mang tính phổ quát và sử dụng các kết quả toán học một cách thuận tiện. Ví dụ: Các khái niệm vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng chính là kết quả của sự trừu tượng cái vô hạn hiện thực theo những cách thức khác nhau. 5. Đặc điểm thứ năm là nhiêu hệ thông trừu tượng toán học, khi xuất hiện trên cơ sỏ kinh nghiệm và thực tiễn hay trong quá trình phát triển logic thuần tuý của toán học không đòi hỏi phải hướng tới kinh nghiệm. Ví dụ, các trừu tượng vê số vô tỉ V ĩ , về số ảo i = v = ĩ , về không gian phi ơclít,... không nhất thiết phải kiểm tra chúng bàng kinh nghiệm, vì trong hiện thực không có các khách thê tương ứng. Từ sự phân tích trên có thê rút ra những kết luận sau- - ở giai đoạn hình thành các khái niệm toán hoc đầu tiên, đối tượng của toán học là các quan hệ sô lượng 24 các hình thức không gian gắn liền vối các khách thể hiện thực. Thời kỳ này, toán học chưa được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng mà vẫn còn là một khoa học kinh nghiệm. - ở các giai đoạn sau, đối tượng trực tiếp của toán học là các trừu tượng toán học. ở những mức độ khác nhau, các trừu tượng này cũng phản ánh các quan hệ sô" lượng, các hình thức không gian của các khách thể hiện thực, song đã được mở rộng rất lớn do sự trừu tượng'hoá, lý tưởng hoá ở trình độ cao. Vì vậy, chúng đã tách khỏi các sự vật, hiện tượng cụ thể của hiện thực, ở đây, toán học đã được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng. Một vấn đề đặt ra là, phải chăng do sự trừu tượng quá cao như vậy mà các khái niệm, lý thuyết toán học sẽ xa rời hiện thực, không phản ánh được những quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thê giới hiện thực? Câu trả lời là hoàn toàn không phải như vậy. Trái lại, sự trừu tượng toán học giúp cho con người nhận thức vê thê giói hiện thực một cách đúng đắn hơn, sâu sắc hơn, đầy đủ hơn. Đúng như Lênin đã khẳng định: “Tư duy, khi tiến lên từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không xa - nếu nó đúng... - rời chân lý mà đên gần chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị, V.V., tóm lại, tát cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, 25 không tuỳ tiện) phản ánh giới tự nhiên sáu sắc hơn. chính xác hơn, đầy đủ hơn”\ Để thấy rõ hơn bản chất của phản ánh toán học, quan hệ giữa khách thể hiện thực mà toán học nghiên cứu với các đôi tượng trực tiếp của các lý thuyêt toán học, chúng ta có thể xem xét cụ thể hơn trong quá trình phát triển của toán học. * * * Cũng giông như mọi khoa học khác, toán học cũng có quá trình hình thành, phát triển của mình, ở mỗi giai đoạn phát triển, toán học cũng có những nét riêng. Chúng ta chỉ có thể hiểu được thực chất đối tượng của toán học, bản chất của tri thức toán học nếu chúng ta có cái nhìn khái quát về toàn bộ quá trình phát triển của toán học. Chính vì vậy, dưối đây, chúng tôi sẽ tìm hiểu đôi nét về lịch sử phát triển của toán học. 1. Giai đoạn hình th àn h củ a toán học Thời kỳ này bắt đầu từ thời cổ đại cho đến thê kỷ thứ VII - VI trưóc Công nguyên. Những trung tâm lớn của thời kỳ này là Babilon, Ai Cập. Những tri thức toán học thời kỳ này xuất phát trực tiếp từ nhu cầu đếm , nhu cầu đo đạc của con người, tức là từ những 1. V. I. Lênin: Toàn tập. Nxb. Tiến bộ, Mátxcơva. 19«1 t 29 tr. 179. 26 nhu cầu thực tiễn. Từ đó, người ta đã đi đến khái niệm về sô" lượng, về hình thức không gian của sự vật, hiện tượng của thê giới khách quan. Như vậy, đối tượng của toán học ngay từ đầu là các quan hệ số lượng và các hỉnh thức không gian gắn liền với các khách thể trong thê giới hiện thực. Cách xác định như vậy có từ thời của văn hoá Babilon, của Ai Cập và có thể xa hơn nữa. Trong nền văn hoá cổ đại Trung Hoa và Ấn Độ, người ta cũng nhận thấy những nghiên cứu về các phương pháp đo đạc, ví dụ: đo cạnh huyền của một hình vuông; đo diện tích của một hình vuông, một hình chữ nhật... ở đây cũng xuất hiện các phép đếm, rồi đến sự ra đòi hệ thống đếm, cách đếm và làm toán, các phép tính cộng, trừ. Những phép tính đó từ đầu được thực hiện trên các đôi tượng hiện thực từ nhu cầu đếm và đo, tức là từ nhu cầu nắm bắt về số lượng và hình thức của các sự vật trong thê giới hiện thực. Cũng do đặc điểm trên - sự đo, đếm gắn liền với các khách thể hiện thực, toán học thời kỳ này chưa được xem là khoa học lý thuyết trừu tượng mà vẫn chỉ là khoa học kinh nghiệm. 2. Giai đoạn thứ hai - từ th ế kỷ VI trư ớc Công nguyên đến đầu thê kỷ XVII Đây là thòi kỳ phát triển của toán học về các đại lượng bất biến. Từ thê kỷ thứ VI đến thê kỷ thứ III trước Công nguyên (thời kỳ Hy Lạp cổ đại), toán học đã được xem như một khoa học lý thuyết trừu tượng. 27 Vào đầu thời kỳ này, toán học của Talét. Á c s i m é t vẫn chủ yếu xuất phát từ nhu cầu ứng dụng, nhưng dần dần đến giai đoạn sau đó - toán học của Pit ago. Platông, Arixtốt, ơclít thì đã chuyển dần từ việc găn liền với khách thể hiện thực đến việc tách ra khỏi chúng và hình thành những đôi tượng trừu tượng, những phương pháp trừu tượng. Việc chuyển này được thể hiện ở hai khía cạnh quan trọng của phương pháp tư duy trừu tượng mà sau này không chỉ được phát triển trong toán học mà trong tất cả các lĩnh vực khoa học khác. Một là, việc xây dựng bản thản các khái niệm toán học và hai là, phương pháp lập luận, chứng minh. ở đây, chúng tôi tập trung làm rõ hơn quá trình hình thành các khái niệm toán học trừu tượng. Trong thực tế khách quan, không có đám ruộng hình vuông nào có bôn cạnh hoàn toàn bằng nhau và bốn góc đêu là góc vuông cả. Nhưng để có một phương pháp chung cho việc đo diện tích các hình tương tự như hình vuông thì ngưòi ta phải hình thành khái niệm hình vuông. Với khái niệm hình vuông là một hình có bôn cạnh bằng nhau, vói bôn góc đều là góc vuông, thì đó là một khái niệm trừu tượng. Tương tự, đê khái quát hoá quy luật về đo đạc không phải cho một hình cụ thể mà cho nhiểu hình khác nhau, rõ ràng phải hình thành nên những khái niệm có tính chất khái quát như các khái niệm điểrn 28 đường, đoạn thẳng, mặt phẳng, góc. Mặt khác, cũng phái hình thành khái niệm về con sô. Nhũng khái niệm này trở thành đôi tượng trực tiếp của toán học. Toán học trở thành một khoa học lý thuyết trừu tượng. Trong thực tê chỉ có những đoạn, đường nào đó thôi chứ không có một đường thẳng nào mà dài bao nhiêu cũng được. Nhưng để có những quy luật phổ biến, để các quy luật đo đạc, tính diện tích có thể áp dụng được mọi nơi, người ta đã trừu tượng hoá và xây dựng khái niệm đường thẳng. Đây là đường thẳng lý tưởng không bề dày, không bề rộng, kéo dài vô hạn cả về hai phía (đường thẳng ơclít). Như vậy, nghĩa là người ta đã đưa ra một định nghĩa trừu tượng vê đường thẳng. Ý thức về sự trừu tượng xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn là để có được những phát hiện về các quy luật phổ biến bao quát nhiều trường hợp cụ thể. Nhưng khi nó đã trở thành cái trừu tượng thì nó lập tức trở thành đối tượng của tư duy cũng là đối tượng trực tiếp của toán học. Chính vì vậy những khái niệm cơ bản như “điểm”, “đường”, “mặt phẳng”,... đã trở thành đối tượng của tư duy toán học. Cũng cần chú ý rằng khi nghiên cứu những vấn đê triế t học của n h ận thức thì phương pháp trừu tượng hoá trong nhận thức toán học chính là điểm xuất phát. Tuy nhiên trong thực tế, người ta rất ít rèn cho học sinh điểu này. Người ta xem việc định nghĩa về điểm, đường thẳng, mặt phang như thê là đã xong rồi và chỉ việc 29 thực hiện các phép toán nhờ các định lý, định đẻ cua điểm, của đường thẳng, của mặt phẳng,... là đủ mà không cần quan tâm đến việc những khái niệm đó được hình thành như thê nào. Nhiệm vụ đó là cua tn êt học. Cũng như vậy, sô 1 là gì cũng không được giai thích trong toán học. Bởi vì, sô 1 là gì không còn là vân đề của toán học mà là vấn đề của triết học. Số 1 là gì? Vấn đề thực ra không phải dễ, vì số 1 là khái niệm trừu tượng được hình thành nhờ quá trình nhận thức của con người đối với thế giới khách quan. Trong thực tế, chúng ta thấy có vô sô" các tập hợp chỉ có phần tử đơn độc tồn tại. Giữa chúng có một quan hệ sô lượng đặc trưng cho cái gọi là 1. Số 1 là kêt quả của quá trình nhận thức của con người từ hiện thực khách quan. Từ trực quan sinh động, bằng tư duy trừu tượng hình thành được khái niệm sô" 1. Khái niệm đó không định nghĩa được trong nội bộ toán học. Có thể nói, toán học thời cổ Hy Lạp đã đạt được thành tựu rất lớn, từ việc nghiên cứu các đối tượng khách quan, bằng phương pháp khái quát hóa, trừu tượng hóa, người ta đã xây dựng nên những khái niệm toán học đáu tiên như khái niệm sô", khái niệm hình hình học. Một điều rõ ràng là sô" không phải là một thực thể khách quan, sô' là một khái niệm trong tư duy cùa con ngưòi như ng p h ản án h môi q u an hệ số lượng củ a nhữ ng đối tư ợng n ào đó giông n h au , cù n g đơn độc tồn tại trong thực tế khách quan. 30 Trên thực tế, không có đối tượng vật chất nào là sô" 1 Đó là khái niệm trừu tượng trong nhận thức của chúng ta. Từ sô 1, chúng ta khái quát hoá để được các sô" 2, 3, 4,... Những khái niệm như điểm, đường thẳng, sô" 1,... là những khái niệm trừu tượng (hay đối tượng trừu tượng) xuất hiện như là một thứ kết quả của sự trừu tượng hoá trực tiếp. Nghĩa là, từ các quan hệ có thực ở trong thế giối khách quan, chúng ta trừu tượng hoá trực tiếp để hình thành các khái niệm toán học cơ bản đầu tiên. Đây là chỗ giông nhau giữa toán học và các ngành khoa học khác. Vê phần mình, toán học không dừng lại ở đó. Trong khi các khoa học khác làm việc trên các khái niệm ở mức là sản phẩm của sự trừu tượng hoá trực tiếp thì toán học trên nền tảng của sự trừu tượng hoá trực tiếp đã tiến hành các bước trừu tượng hoá cao hơn - điều mà khoa học khác ít làm. Có thể nói, theo một nghĩa nào đó, các khoa học như sinh học, vật lý, hoá học... có tính chất vừa là khoa học duy lý, vừa là thực nghiệm. Tức là, một mặt, hệ thống tri thức hay những quy luật của chúng được rút ra một phần bằng kết quả của duy lý trên đối tượng trừu tượng, nhưng mặt khác, các kết luận ấy bao giờ cũng được kiểm nghiệm trên thực tế; hoặc chính là những kết luận rút ra từ việc khái quát hoá những hiện tượng trong thực tế. Cho nên, những khoa học có tính chất thực nghiệm như vậy, tính chân lý của 31 ch ú n g bao giờ cũng được trực tiếp kiếm n g h iệ m qu a thực tế. Nhưng toán học thì khác. Do sử dụng các khái niệm trừu tượng mà những trừu tượng đó gắn với những thuộc tính có tính chất là những quan hệ, có tính chất là những cấu trúc chứ không gắn chặt với những thuộc tính chất liệu cụ thể của sự vật, hiện tượng của thê giới. Chính vì vậy, những khái niệm trong toán học khi đã được hình thành thì chúng gần như tồn tại độc lập tương đôi vói thực nghiệm và chúng lại có thể tự trở thành chất liệu cho những bước trừu tượng hoá tiếp theo. Đây chính là cách thức mà từ thòi Arixtốt và ơclít, người ta đã sử dụng đê xây dựng các lý thuyêt toán học. Phương pháp lập luận trên các đôi tượng trừu tượng của các lý thuyết toán học chính là logic học hinh thức cổ điên. Các quy luật logic là những quy luật lập luận trên những khái niệm trừu tượng cũng được hình thành nhờ sự trừu tượng hoá. Logic hình thức không phải là cái logic của vận động của thê giới hiện thực mà nó là logic của tư duy trừu tượng, được trừu tượng hóa từ những thao tác khách quan của hoạt động tư duy. Như vậy, chúng ta đã hình thành nên một bộ khung logic cho hoạt động tương đôl độc lập của tư duy. Trong đó đôi tượng của tư duy là các khái niệm trừu tượng, phương pháp của tư duy là phương pháp logic hmh thứ c cô điển. 32 Lịch sử phát triển của toán học đã chỉ ra rằng, bản thân những sáng tạo toán học cũng được thực hiện từ những khái niệm trừu tượng, bàng những phương pháp của logic hình thức (cũng là trừu tượng). Chính vì vậy, những người duy tâm đã xem chúng như những phạm trù hoàn toàn của ý niệm, không có liên quan gì với thê giối bên ngoài. Đó là một sai lầm. Những khái niệm gọi là trừu tượng như: điểm, đường thẳng, con số... không phải là sản phẩm sáng tạo thuần tuý của tư duy, của ý niệm mà là kết quả của sự phản ánh các quan hệ sô" lượng, các hình thức không gian của thê giới hiện thực. Những quy luật logic của Arixtổt dù rằng nó rất trừu tượng, nhưng tuyệt nhiên không phải là việc sáng tạo tuỳ tiện của tư duy hay là của thê giới ý niệm. Những quy luật đó chính là sự phản ánh những quy luật hoạt động khách quan của tư duy đang nhận thức, được rút ra từ lịch sử lâu dài của sự phát triển nhân loại, qua kinh nghiệm hàng nghìn năm của con người. Như vậy, sự hình thành các đối tượng trừu tượng và các quy luật logic rất trừu tượng là có nguồn gốc khách quan, có cơ sở trong thế giới hiện thực (tự nhiên, xã hội và tư duy). Rõ ràng là, với cách trừu tượng như vậy, đối tượng của toán học có tính chất độc lập tương đổi của nó. Một trong những tính chất độc lập tương đối của nó là bản thân những đối tượng trừu tượng vốn đươc rút ra từ thế giỏi hiện thực nhưng đến lượt mình 33 nó lại trở thành chính những vật liệu cho những quá trình trừu tượng hoá tiếp theo. - Ví dụ: S ố lần đầu xuất hiện là do nhu cẩu đêm. chẳng hạn số 1, 2, 3,... là đối tượng trừu tượng thu được nhò kết quả của sự trừu tượng trực tiếp từ hiện thực. Nhưng đến khi vấp phải vấn đề, chẳng hạn như cần đo cạnh huyền của một hình vuông với mỗi chiểu là một đơn vị độ dài. Theo quy tắc của hình học thì cạnh huyền sẽ là yỊĨ . Nhưng yíĩ là số như thê nào? Điều này không đơn giản. Những đối tượng trừu tượng hóa từ hiện thực chỉ cho ta những sô" nguyên như 1, 2, 3... và nêu hơn nữa (tức là giống như chia cái bánh ra nhiều phần) ta cũng chỉ có được các phân số. Sô" nguyên và phân số là những khái niệm được trừu tượng hoá trực tiếp từ hiện thực. Nhưng ~ỊĨ là độ dài không tìm được sự lý giải thoả đáng trong lý thuyết đã có (sô" hữu tỷ). Bời vì, nếu xem đó là khái niệm trừu tượng hoá từ hiện thực thì có nghĩa là nó phải đo được. Nhưng ở đây (trong lý thuyết sô" hữu tỷ), chúng ta không thể đo được vì không có đơn vị nào thoả mãn. Từ đó xuất hiện nhu cầu mỏ rộng khái niệm cái gọi là con sô'. Lúc đầu, người ta sử dụng cách hiểu cũ để biểu diễn thành một phân sô thập phân. Nếu biểu diễn 4Ĩ. = 1,4 thì hơi bé, nếu biểu diễn yfĩ = 1,5 thì hơi lớn; nếu tiệm tiến lấy bằng 1,41 thì cũng hơi bé, lấy bàng 34 1,42 thì lại hơi lốn; bằng 1,414 thì hơi bé, bằng 1,415 thì hơi lớn,.,. Rõ ràng ta có một dãy ngày càng tăng lên và một dãy ngày càng đi xuống, nếu ta làm mãi thì hy vọng đên một lúc nào đó ta có thể có được sô" X mà X2 = yfĩ . Điều này hêt sức phức tạp vì rõ ràng nó là một quá trình không bao giờ kết thúc. Như v ậ y , ta xem như con số X này phải là cái gì đó nằm giữa hai dãy, nó là giói hạn chung của hai dãy: một dãy tăng lên, một dãy giảm xuống mà hai dãy đó là vô hạn. Như vậy, số V2 về bản chất là phức tạp hơn nhiều so vối số nguyên, phân sô' (số hữu tỷ). Vậy phải xác định số \fĩ như thế nào? Xét về mặt logic, để định nghĩa một khái niệm mới, người ta phải dùng khái niệm cũ, dựa vào những khái niệm đã có. Nên để định nghĩa yíĩ., người ta phải sử dụng số nguyên, phân sô', xem chúng như là chất liệu để định nghĩa số V2 . ở đây có hai thái độ trong việc sử dụng phép trừu tượng hoá liên quan đến sự mở rộng các sô' như thế. Cách thứ nhất, nếu ta luôn phải tuân thủ một cách nghiêm ngặt rằng việc định nghĩa khái niệm mới phải dựa vào định nghĩa khái niệm cũ, thì để định nghĩa V2 chúng ta phải sử dụng hai dãy vô hạn các số hữu tỷ. Dãy này hay dãy kia đều là dãy vô hạn của những số hữu tỷ... Như vậy là phải có vô hạn cái có trước mới định nghĩa được cái mới. Nhưng như vậy là 35 chúng ta đã đụng đến một vấn để triết học hết sức phức tạp. Thế nào là vô hạn? Con người có khả nảng nhận thức được cái vô hạn không? và có thể xảy dựng trong tư duy trừu tượng những quan niệm về vô hạn hay không? Chính vấn đê rất phức tạp này đã gây nhiều tranh cãi trong lịch sử và đến nay vẫn chưa đến tận cùng - quan niệm về vô hạn. Đây là vấn đề nằm trong phạm vi nghiên cứu triết học của khoa học. Có thê nói, cái vô hạn trong tư duy phản ánh cái vô hạn trong thê giới h iện thực bằng con đường trừu tượng hóa. Trong toán học và trong logic học hình thức thì cái vô hạn ấy là vô hạn phi mâu thuẫn, còn vô hạn trong thê giới hiện thực (vật chất) là vô hạn tồn tại trong màu thuẫn. Vậy có khả năng tiến hành sự trừu tượng hoá vê cái vô hạn hiện thực để có được cái vô hạn toán học, đảm bảo giữ được tính chất phi mâu thuẫn phù hợp với logic hình thức không? Câu trả lời là có. Và người ta đã đưa ra những khái niệm vê vô hạn khác nhau đê giải quyết vấn đề này. Cũng cần nói thêm rằng, việc lập luận một cách chặt chẽ về vấn đề này thì mãi cho đến thê kỷ XIX mới giải quyết được. Với 4 Ĩ , rõ ràng chúng ta đã đụng chạm đến một loại đối tượng mà ta không thể trừu tượng hoá trực tiêp từ hiện thực khách quan mà phải sử dụng sự trừu tượng hoá ờ mức cao hơn. Bởi vì, để có được một sô vô tỷ 36 như vậy ta phải dựa vào chất liệu là số hữu tỷ đã có trưốc và lại phải dựa vào một quan niệm nào đó vê cái vô hạn trong toán học. Cách thứ hai để giải quyết vấn đề trên, người ta tự cho phép tạo ra những quy ưốc hoàn toàn hình thức trong việc xây dựng những đốì tượng mới. Đây là điều được cho phép trong các lý thuyết trừu tượng và cũng là đặc trưng cho sự phát triển của toán học sau này. Theo cách này, chúng ta không cần biết X là cái gì cả, ta không cần biết số V2 là scí 1,41 hay là bao nhiêu cả mà chỉ cần quy ưóc. Với cách làm đó, chúng ta có một định nghĩa V2 = X mà X2 = 2. Tuy nhiên, định nghĩa này, xét trong phạm vi lý thuyết sô đã có (sô hữu tỷ) thì không có đôi tượng nào như thê cả. Để khắc phục khó khăn trên, người ta bổ sung vào tập hợp sô hữu tỷ những sô mới. Sô mới này là cái chưa hề có. Để nhận thức về nó, người ta chỉ căn cứ vào sự mô tả các thuộc tính của nó mà thôi, chẳng hạn người ta mô tả: Đó là một sô mà bình phương của nó thì băng 2. Bằng cách đó người ta đã đi tới xây dựng một hệ thống sô" mới có những tính chất sô học nhất định - sô vô tỷ. Các sô" đó không trùng với các SC) cũ nhưng vẫn có thể làm toán trên chúng một cách bình thường. Cho nên việc mở rộng tập hợp sô như vậy vẫn có thể thực hiện được trong toán học. Như vậy, đối tượng mới này hoàn toàn là do sự tưởng tượng của chúng ta. Chúng ta bổ sung cái tưởng tượng 37 đó vào tập hợp đã có trước để được đối tượng rộng hơn mà chúng ta vẫn có thể xử lý và thao tác trên chúng như là đôi với các đối tượng đã có trưốc. Từ lặp trường duy vật biện chứng, chúng ta nhận thấy những cái “tưởng tượng” này không phải là một sự tùy tiện mà chúng phản ánh tính chất liên tục về các quan hệ sô lượng của các khách thể hiện thực. Cách thứ hai là đơn giản nếu sử dụng trong nhủng lĩnh vực hoàn toàn trừu tượng, nhưng không đơn giản nếu như chúng ta muốn cho những đối tượng mới đó một vị trí nào đó trong việc mô tả các quan hệ của thê giới hiện thực. Cho nên trong chừng mực nào có thể được, thì chúng ta cố gắng tuân theo nguyên tắc định nghĩa một khái niệm mới với những vật liệu là những khái niệm đã có trước. Vì vậy, với sô" V2 , sau này người ta vẫn cố gắng định nghĩa nó là giới hạn của một dãy vô hạn các số hữu tỷ. Tương tự, đối vói tập hợp các số thực nói chung, người ta cũng làm như vậy: xem một sô' thực là giới hạn của một tập hợp vô hạn các sô' hữu tỷ. Cũng vì lẽ đó, sau này người ta không dùng định nghĩa số thực theo cách quy ước. Cách làm như vậy là “cực chảng đã”. Điều này đặc biệt rõ nét từ giai đoạn thế kỷ XV - XVI, tức là bắt đầu thời kỳ Phục hưng, do khoa học phát triển mạnh mẽ trở lại, khi bắt đầu phát triển lý thuyết về các phương trình đại số. 38 Một ví dụ khác vê việc tạo ra các đối tượng trừu tượng. Như ta biết, việc giải các phương trình là hết sức quan trọng và người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình đều có thể giải được bằng phương pháp khai căn. Tuy nhiên, khi gặp phương trình dạng X 2 = - 1 thì không thê giải được vì bình phương của một sô" bao giờ cũng dương, vậy phương trình trên là vô nghiệm. Tương tự, vối phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 thì ta có công thức tính nghiệm: b ± ylb2 - 4ac X = ----------------------------- a Nếu A = b2 -4 a c mà < 0 thì phương trình cũng vô nghiệm. Chẳng hạn, ta xét phương trình: X 2 + X + 1 = 0 Phương trình này là vô nghiệm, vì A = b2 - 4ac = 1- 4 = -3 mà V -3 không tồn tại. Quả thực, phương trình này không có số thực nào là nghiệm đúng của nó. Để thấy rõ hơn, ta lấy một phương trình bậc 3 có dạng: X3 + px + q = 0. Một số nhà toán học đã đưa ra công thức tính nghiệm bằng phương pháp khai căn cho phương trình bậc 3, bậc 4... Nếu theo các công thức tính nghiệm mà họ đưa ra và trong phương trình trên nếu cho p = -7, q = 6, ta sẽ 39 thấy nó vô nghiệm vì trong công thức tính nghiệm xuất hiện một phép khai căn bậc 2 của một số ám. Tuy nhiên, bằng cách thử trực tiếp, người ta lại thấy phương trình trên có nghiệm và lại có tới 3 nghiệm là 1, 2, 3. Từ đó xuất hiện vấn đề: chúng ta có cách nào để khai căn bậc hai của một số âm? Để giải quyết vấn đẻ này, ta chỉ cần xử lý với V-T . Nếu quy ưỏc yf-\ = i nào đấy và thay i vào công thức tính nghiệm, ta sẽ tìm thấy nghiệm của phương trình trên là 2. Cũng từ điều đó, người ta tính đến một con đường hợp pháp đê vận dụng công thức tông quát vào việc tìm nghiệm phương trình khi nó có chứa căn của một sô" âm. Do đó, người ta cho phép quy ước là có số i nào đấy mà i2 = -1. Mặc dù i là không có thực, song bang cách đó, ngưòi ta đã tạo nên một đối tượng mới, và người ta cứ làm toán như bình thường theo công thức. Chỉ có vấn đê cần lưu ý là ở đâu có i2 thì ta xem i2 = -1, ở đâu không có i2 mà chỉ có i thì cứ việc để nguyên, và vẫn làm toán bình thường như trên các con số khác. Như vậy vói quy ước này, chúng ta đã mỏ rộng phạm vi tác động của các phép toán cho cả các số 1 với i là một cái gì đó bình phương lên bằng -1. Người ta gọi i là sô ảo và cùng với nó là sự xuất hiện của s ố phức. Đây là con đưòng khá lắt léo và khá thú vị của trừu tượng hóa trong toán học. Rõ ràng một số nào đó 40 mà bình phương lên bằng -1 là không có thực, và đôi tượng như vậy không thể tìm đâu ra trong thực tế. Đôi tượng đó hoàn toàn là sản phẩm của tư duy trừu tượng. Nó nảy sinh ra do đòi hỏi nội tại của tư duy trừu tượng toán học và việc mở rộng như vậy hoàn toàn thuận lợi cho toàn bộ lý thuyết toán học. Có thê nói, số ảo chính là công cụ để nhận thức cái thực một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn và suy cho cùng sự ra đời của sô" ảo hoàn toàn có nguồn gốc khách quan. Điểu này trong cuốn Chống Đuyrinh, Ph.Ảngghen đã có bài phê phán những người đi theo chủ nghĩa duy tâm cho rằng sô" ảo là sản phẩm thuần túy tư duy. Như vậy, cái ảo là sản phẩm của tư duy trừu tượng nhưng nó đã làm sắc nhọn, sắc bén thêm tư duy của chúng ta. Trong trường hợp này, cái ảo lại là cái cầu bắc đường cho ta đi từ cái thực đến cái thực. Ví dụ này tuy đơn giản nhưng phản ánh một điều có tính chất bản chất của nhận thức con người, tức là đi từ thực đến thực nhờ cái ảo thông qua tư duy trừu tượng. Con đường này không đơn giản mà rất phức tạp và rắc rôi nhưng cũng thề hiện đầy tính tích cực và tính sáng tạo của tư duy con người. Theo quan điểm của Lênin thì quá trình tư duv trừu tượng là hết sức phong phú và phức tạp. Vì vậy đôi khi ch ú n g ta phải chấp n h ận tro n g tư duv trừ u tượng có những cái không liên quan gì với hiện thực. 41 Điểu đó thể hiện tính tồn tại độc lặp tương đối cua tư duy trừu tượng. Nhiều nhà triết học và toán học do quan niệm máy móc, siêu hình đã cho rằng, mỗi khái niệm toán học đều phải phản ánh một quan hệ nào đó của hiện thực. Điều đó sẽ làm nghèo nàn, sơ lược bức tranh của nhận thức. Bởi vì, nếu đứng về toàn thể thì chân lý bao giờ cũng được kiểm nghiệm trong thực tiễn, nhưng nó không phải tiêu chuẩn để xét đoán từng khâu trong quá trình tư duy trừu tượng - vốn có tính độc lập tương đôi của nó. Do đó có những kết luận toán học không nhất thiết phải là cái phản ánh trực tiẽp vê hiện thực. 3. Giai đoạn th ứ ba - từ th ế kỷ XVII đến giữa th ế kỷ XIX Đây là giai đoạn phát triển của toán học vê các đại lượng biến thiên, tức là giai đoạn của giải tích toán học, cũng là giai đoạn toán học nghiên cứu vê vận động và cái biện chứng khách quan. Đứng về mặt nhận thức mà nói thì toán học từ thời cô Hy Lạp cho đến khi xuất hiện đại sô" như trên vừa trình bày là thời kỳ chủ yêu của toán học về đại lượng bất biên: con sô là con sô, hình là hình... Nhưng đến giai đoạn phát triển của công nghiệp, kỹ thuật bát đầu từ kỹ thuật máy hơi nước, rồi kỹ thuật điểu khién các con tàu, tình hình đã thay đổi. Ở đây, chúng ta cần 42 phải nghiên cứu vê các quá trình vận động, các quá trình chuyển động. Toán học muốn nghiên cứu quá trình chuyển động thì chỉ với sô học và hình học sơ cấp là không đủ nữa. Để nghiên cứu chuyển động thì người ta phải nghiên cứu quan hệ giữa vị trí và thời gian - tức là giữa không gian và thời gian. Cùng với quan hệ giữa không gian và thời gian thì chuyển động còn nhiều đặc trưng khác nữa. Ví dự'. Vật thể vận động nhanh hay chậm, tốc độ, vận tốc của nó như thế nào, tăng tốc độ và giảm tốc độ có liên quan vối bên ngoài ra làm sao? Việc trả lời những vấn đề này là cực kỳ quan trọng. Như đã biết, giai đoạn này là giai đoạn phát triển mạnh của cơ học với các nguyên lý của cơ học Niutơn về lực hấp dẫn, về các gia tốc của trọng trường, về lý thuyết động lực học... Để đáp ứng các yêu cầu đó, chúng ta cần phải tạo ra các công cụ của toán học nghiên cứu các quan hệ được biểu diễn dưới dạng phương trình của chuyển động. Một vấn đề hết sức quan trọng là nếu vận động là liên tục thì làm thê nào để toán học diễn tả được những biến đổi liên tục đó khi mà các phương pháp toán học thì hết sức chặt chẽ, chính xác và dưòng như cho ta những kết quả ròi rạc. Những vấn đê đó đã được đặt ra và toán học đã có những cách giải quyết khác nhau bắt đầu từ Niutơn, Lépníc... Những cách giải quyết 43 của các ông và của nhiêu nhà toán học khác sau này đã đưa đến những kết quả ứng dụng rất hiệu quá, nhưng đồng thời cũng gặp một mâu thuẫn (giữa đôi tượng vận động - có tính liên tục và phương pháp chặt chẽ - vói những kết quả rời rạc). Trong một thời gian dài, người ta không biện minh được, không xây dựng được những cơ sở lý thuyết nghiêm ngặt vể mặt logic hình thức cho việc giải quyết mâu thuẫn trên. Điều này chỉ có thê làm được nhờ sự phát triển sau đó của toán học. Trưóc hết, để mô tả chuyển động của một vật thể, người ta có thê mô tả nó bằng một phương trình. Chẳng hạn, đôi với một vật thể đang rơi, nếu gọi s là khoảng cách thì s = 5t2 + 2t, trong đó t là thời gian chuyển động diễn ra. Một cách khái quát, chẳng hạn, ta có một vật đang vận động được biểu diễn bởi phương trình s = f(t) = at2 + bt. Ta thấy, nếu t = 0 thì s = 0, nhưng khi thời gian vận động tăng lên thì khoảng cách vật thế đi được cũng tăng lên theo công thức s = at2 + bt. Trong toán học, từ thời Hy Lạp đến nay, người ta luôn xem trong một chuyển động thì đoạn đường đi được bao giò cũng tỷ lệ thuận với vận tốc, tức là bằng vận tôc nhân với thời gian đi được. Nhưng rõ ràng đáy là một thứ chuyển động cực kỳ lý tưởng - đó là chuyên động đểu, nó luôn luôn giữ vận tốc không đối. Tuv nhién 44 trong thực tế, không có vật thể nào chuyển động đều cả, ngay cả khi ta đi xe ngoài đường lúc ta đi chậm, lúc ta đi nhanh, chuyển động bao giờ cũng có vận tốc khác nhau. Vậy làm thê nào để đo được vận tốc tức thời ở từng thời điểm nào đó? Toán học đã đưa ra lòi giải cho câu hỏi này như sau: Đế đo vận tốc tức thời ở từng thòi điểm, người ta lấy một thời điểm nào đó làm điểm xuất phát gọi là t, quãng đưòng đi được sẽ là St. Sau đó, người ta cộng vào thời gian vận động một gia số nhỏ At, đoạn đường s đi được sẽ là: s = s, + As. Khi lấy tỷ số — (đô dài của đường đi chia cho thời gian đi), ta sẽ được vận tốc trung bình trong khoảng A, đó. Ngưòi ta thấy ngay rằng: At càng bé thì tốc độ trung bình của đoạn bé ấy càng gần với tốc độ tức thời tại t. Nói cách khác, tốc độ trung bình ở trong một khoảng càng bé thì càng xem nó gần vối tốc độ tức thời. Từ đó, người ta đi đến kết luận rằng muốn tính được tốc độ tức thời, ngưòi ta phải sử dụng khái niệm giới hạn, đó là: A lim _L = v(t) = f ' (t) (đao hàm của hàm sô f(t)) Aj - > 0 At V (t) chính là vận tốc tức thòi tại điểm t. Với cách 45 làm trên, chúng ta có thể tính được vận tốc tức thời tại bất cứ thời điểm t nào. Có thể ở thời điểm này nó là thê này, ở thời điểm khác nó là thê khác. Trong toán học, khái niệm \ — > 0 được gọi là đại lượng vô cùng bé. Khái niệm vô cùng bé là khái niệm gây tranh cãi rất nhiều. Vô cùng bé có phải là rất bé hay không? Rất bé cũng không phải là vô cùng bé. Vì vô cùng bé thì có lúc phải xem nó bằng 0, thê thì vô cùng bé phải xem là một quá trình, một đại lượng biến thiên chứ không phải là một con sô, không phải một đại lượng tĩnh tại. Đại lượng biến thiên lần đầu được Đềcáctơ sử dụng trong toán học và đã đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học hiện đại. Có thể nói không có đại lượng biến thiên sẽ không có toán học hiện đại. Ph.Angghen đánh giá rất cao phát hiện này. Ồng viết: “Đại lượng khả biến của Đềcáctơ đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Vói đại lượng đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân đã lập tức trở thành cần thiết”1. Tuy nhiên, sự ra đòi của toán học giải tích vấp phải mâu thuẫn rất lớn trong cơ sở của nó. Đây là một giai đoạn đặt ra những vấn đề khá lý thú trong lý luận toán học và trong chừng mực nào đó là trong triết học, 1. C.Mác và Ph.Ảngghen: Toàn tập, Nxb. Chính trị quốc gia Hà Nội, 1994. t. 20, tr. 756. 46 đặc biệt là triết học của toán học. Trở lại những bài viêt của Ph.Ăngghen trong Biện chứng của tự nhiên, Chống Đuyrinh, chúng ta thấy rằng, ông cũng rất quan tâm tói vấn đề này. Điều đó cũng dễ hiểu, bởi vì giai đoạn này có thể xem như là giai đoạn khủng hoảng của toán học, khủng hoảng của cơ sở toán học. Mặt khác, toán học, như ta đã nói là một bộ phận, hay nói chính xác hơn toán học là một ngành nghiên cứu trong phạm vi của tư duy trừu tượng. Mà đã là lĩnh vực của tư duy trừu tượng thì logic của nó là logic hình thức. Trong toán học không thể chấp nhận có mâu thuẫn logic, bởi vì trong tư duy chính xác, trong tư duy trừu tượng mà chấp nhận mâu thuẫn logic thì chúng ta không thể tiến hành bất kỳ một lập luận nào cả, tức là cũng không có bất cứ một nhận thức nào cả. Nếu như trong một lý thuyết, lúc ta khẳng định có A, lúc khác ta nói có Ả (không A), nếu ta chấp nhận cả A và Ã thì từ đó có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào. Nếu trong logic hình thức, ta chấp nhận mâu thuẫn, tức vừa là A và đồng thời lại vừa là Ã thì từ đó cái gì cũng trở thành chân lý cả. Mọi lập luận trở thành vô nghĩa. Cho nên, trong logic hình thức yêu cầu phi mâu thuẫn (logic) là yêu cầu tuyệt đối. Tất nhiên, yêu cầu đó không phải là yêu cầu của hiện thực khách quan, không phải yêu cầu củ a vận động kh ách quan m à chỉ là yêu cầu của tư duy trừu tượng. Điều đó tạo nên cái mạnh và 47 tất nhiên cũng tạo nên cái yêu cùa logic hình thức. Cái mạnh của nó là ở chỗ khi tiến hành nhùng lập luận, chúng ta có thể có được những kết quả chính xác. chặt chẽ nhờ tư duy trừu tượng, nhưng cái yếu của nó là với tư duy trừu tượng của logic hình thức, chúng ta chỉ nhận thức được một mặt nào đó, những mặt tĩnh tại nào đó mà thôi. Chúng ta biết cái mạnh và đặc biệt là biết cái yếu của nó nhưng không phải vì thê mà ta phủ nhận nó. cần lưu ý rằng với tổng sô kết quá nhận thức về các mặt khác nhau, tư duy trừu tượng sẽ đem lại cho chúng ta hình ảnh tổng thể về đối tượng. Đã là vận động thì bao giờ cũng là vận động trong máu thuẫn (khách quan). Nhưng logic hình thức lại là phi mâu thuẫn (logic). Vậy với cái phi mâu thuẫn (logic) này (logic hình thức, toán học), con người có thể nhận thức được cái vận động đầy mâu thuẫn (khách quan) hay không? Có cơ sở để khẳng định rằng, giữa mâu thuẫn của vận động (khách quan) và phi mâu thuẫn (logic) không loại trừ nhau. Vấn đề là phải xây dựng được “khung pháp lý” cho việc vận dụng vào các loại bài toán nêu trên, tức là sử dụng cái phi mâu thuẫn (logic) để nhận thức cái mâu thuẫn (khách quan). Sau nhiều sự tìm tòi, cuối cùng người ta cũng tìm được một khung hình thức chấp nhận được c á c lặp luận đã có. Tức là người ta đưa được những cái dường như là các yếu tô của biện chứng này vào khuón khó 48 của cái khung hình thức đó. Chỉ có như vậy, toán học mói nhận thức được cái biện chứng khách quan bàng công cụ của mình (logic hình thức). Có thể nói, suốt từ thế kỷ XVII - XVIII cho đến thế kỷ XIX, người ta mới đưa ra được một khung hình thức như thê - đó là sự ra đời của lý thuyết tập hợp của Cantor. Cantor là nhà toán học lón cuối thế kỷ XIX - đầu thê kỷ XX đã xây dựng lý thuyết tập hợp làm cơ sở logic cho vấn đề nan giải nêu trên, cầ n phải nhận xét thêm rằng, tất cả các khái niệm về các đại lượng biến thiên được nói trên đêu liên quan đến nhau và liên quan đến quan niệm liên tục và vô hạn. Bởi vì, đã là liên tục là dính tới cái vô hạn, cho nên vấn đê then chôt là phải xây dựng được một quan niệm hình thức nào đó vê cái vô tận trong tư duy của toán học. Lý thuyết tập hợp của Cantor đã thực sự khẳng định được một quan niệm về vô hạn mà ta gọi là vô hạn thực tại. Đây không phải là cái vô hạn hiện thực mà là kết quả của sự trừu tượng hóa cái vô hạn hiện thực. Vô hạn trong thê giới như thê nào đó là vấn đê phức tạp đã được các nhà vật lý, các nhà triết học bàn luận nhiều. Nhưng trong toán học, lý thuyết tập hợp của Cantor đã chính thức hoá trong tư duy trừu tượng của các nhà toán học, khái niệm vô hạn thực tại. Với khái niệm này, chúng ta có thê xem tập hợp vô hạn là những tập hợp vô hạn các phần tử và tất cả các phần tử 49 của nó đều tồn tại trong tư duy của ta một cách độc lập, bình đẳng và cùng một lúc. Như vậy, trong tư duy, ta có'thể sử dụng những tập hợp vô hạn thoà mãn cho những đối tượng hay những thuộc tính nào đó mà các phần tử của nó là bình đẳng và tồn tại một cách đồng thời. Với sự xuất hiện của lý thuyết tập hợp, toán học đã tạo ra được các công cụ có hiệu quả để phản ánh các quá trình vận động có tính biện chứng bàng ngôn ngữ của toán học, của logic hình thức. Vì lẽ đó, lý thuyết tập hợp được xem là nền tảng của toán học hiện đại, và nó được sử dụng để lập luận (đặt cơ sở) cho tất cả lý thuyết toán học hiện có. 4. Giai đoạn thứ tư - từ cuôi th ế kỷ XIX đến nay Vào thời kỳ này, cả hình học và đại số đều tìm thấy tiếng nói chung trong việc xây dựng đối tượng nghiên cứu của mình, toán học đã đi sâu nghiên cứu các cấu trúc toán học trừu tượng (gọi tắt là các cấu trúc trừu tượng). Thành tựu nổi bật là trường phái toán học Burbaki đã trình bày tất cả các lý thuyết toán học bằng các cấu trúc trừu tượng nhờ các phương tiện của lý thuyết tập hợp và phương pháp tiên đề. Để xây dựng cấu trúc (lý thuyết) trên một tập hợp nào đó, người ta xây dựng trên nó một hay một sô quan hệ giữa các phần tử của tập hợp Người ta 50 đòi hỏi các quan hệ này phải thoả mãn một sô điêu kiện nào đó. Người ta liệt kê chúng ra và gọi chúng là hệ tiên đề của cấu trúc (hay của lý thuyết). Việc xây dựng phần còn lại (phần hệ quả) của lý thuyết chỉ là rút ra các hệ quả từ hệ tiên đề nhờ các phương tiện của logic hình thức. Khi tiến hành phân loại toán học về mặt cấu trúc, người ta thấy có ba loại cấu trúc cơ bản đó là: cấu trúc đại sô' cấu trúc thứ tự và cấu trúc Tôpô (còn gọi là các cấu trúc mẹ). 1. Cấu trúc đại sô: - Cho tập E các phần tử X, y, z - Quan hệ R giữa các phần tử của E là quan hệ hợp thành: z = xRy - Tiên đề: 1. xR (yRz) = (xRy)Rz 2. 3 e, Vx : xRe = eRx = X 3. Vx, 3 x ' : xRx' = x’Rx = e 2. Cấu trúc thứ tự: - E là tập hợp các phần tử - Quan hệ hai ngôi: R e G (E X E) - Tiên đề: 1. xRy và yRz = > xRz 2. xRy và yRx = > X = y 3. Cấu trúc Tôpô: - E là tập hợp các điểm; X e E gọi là điểm 51 - Quan hệ lân cận: gọi V(x) là tập hợp cac lán cặn của X - Tiên đê: 1. Một phần tử bất kỳ của E chứa một tập hợp của V(x) cũng thuộc V(x) 2. Tuyển hữu hạn bất kỳ các tập của V(x) cũng thuộc V(x) 3. X thuộc tập bất kỳ của V(x) 4. V lân cận của X cũng là lân cận của điểm bất kỳ gần X. Từ ba cấu trúc cơ bản này, chúng ta có thê đi đến những cấu trúc dẫn xuất (cấu trúc con) khác bằng cách thêm vào hệ tiên đê của một cấu trúc cơ bản một hay một sô tiên đê khác, hoặc kết hợp một cấu trúc cơ bản với một quan hệ của cấu trúc khác. Chẳng hạn, từ cấu trúc nhóm (cấu trúc đại số) cơ bản, chúng ta thêm vào tiên đê giao hoán, chúng ta sẽ có cấu trúc nhóm Aben (nhóm giao hoán); từ cấu trúc đại số, thêm vào quan hệ Tôpô, chúng ta sẽ có cấu trúc đại sô" Tôpô; từ cấu trúc Tôpô, thêm vào quan hệ đại sô" chúng ta sẽ có cấu trúc Tôpô đại số. Cũng từ đó, người ta tiến hành phán loại toàn bộ toán học theo quan điểm cấu trúc. Ngoài ra, ở giai đoạn này, việc đưa vào toán học khái niệm không gian nhiều chiểu (thậm chí khóng gian vô hạn chiêu) nhờ những khái quát hoá vé những cấu trúc rất trừu tượng. Những loại không gian này lại được 52 vận dụng rất có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chẳng hạn, người ta dùng không gian n chiểu để đánh giá sự tăng trưởng của một nền kinh tê (khi đó, mỗi tiêu chí được xem là một chiều). Điều đó chứng tỏ không có gì mâu thuẫn giữa đặc trưng trừu tượng của toán học vỏi ý nghĩa thực tiễn của nó. Tuy nhiên, do sự xuất hiện các nghịch lý có liên quan đến việc sử dụng vô hạn thực tại trong lý thuyết tập hợp, người ta buộc phải xem xét lại lý thuyết này. Một mặt, người ta đưa ra yêu cầu phải hạn chê việc sử dụng tuỳ tiện một sô" khái niệm trong lý thuyết tập hợp, ví dụ như khái niệm tập hợp của mọi tập hợp và thực hiện việc tiên đề hoá lý thuyết tập hợp. Mặt khác, người ta hướng tới việc xây dựng các thuật toán với việc sử dụng vô hạn tiềm năng để xây dựng các phần tử của các tập hợp. Theo quan niệm của vô hạn tiềm năng thì người ta xem các phần tử của một tập hợp vô hạn không phải tồn tại một cách đồng thòi và bình đẳng mà được xây dựng theo một cách thức (một thuật toán) nào đấy sao cho việc xây dựng xong phần tử thứ n sẽ tạo điều kiện để xây dựng phần tử tiếp theo thứ n + 1 và quá trình đó cứ tiêp tục đên vô hạn. Từ đó, các thuật toán được sử dụng để xây dựng các phần tử của các tập hợp làm nên đối tượng của toán học. Lý thuyết thuật toán ra đời và nó được sử dụng rộng rãi trong toán học. Với sự giúp đỡ của thuật toán, 53 người ta có cách hiểu chặt chẽ hơn về đối tượng của toán học. Theo đó, đối tượng của toán học không thê được xác định ở chỗ là chỉ ra sự tồn tại của nó. mà điểu quan trọng là phải chỉ ra được cách thức xày dựng nó. Khi các phần tử là đối tượng của toán học được xây dựng thì chúng ta có thể loại bỏ được các nghịch lý. Như vậy, thuật toán theo nghĩa rộng là lý thuyết toán học về xây dựng các đối tượng và thực hiện các quá trình nhận thức. Cũng từ đây, người ta đã tiến thêm một bước trong việc chính xác hoá khái niệm tập hợp với việc tiên đê hoá lý thuyết tập hợp và sử dụng các thuật toán để xây dựng các phần tử của tập hợp. Điểu đó cho phép đưa ra cách thức đ ể xây dựng tập hợp, chỉ những gì xây dựng được trong quá trình nào đó mới được xem là đối tượng của toán học. Có thể dễ dàng nhận thấy rằng, cách tiếp cận cấu trúc và cách tiếp cận thuật toán có những điếm khác nhau. Cách tiếp cận cấu trúc được sử dụng để nghiên cứu những thuộc tính của các đối tượng, vạch ra các quy luật của chúng, ngược lại, cách tiếp cận thuật toán được sử dụng chủ yếu để xây dựng các đối tượng nghiên cứu, hai khuynh hướng này bổ sung cho nhau tạo nên sự phát triển mạnh mẽ của toán học hiện đại. * * * Việc tìm hiểu đôi tượng của toán học là một trong những vấn để quan trọng nhất để hiểu bản chất của tri thức toán học cũng như những đặc trưng cơ bản của nó. Từ sự phân tích trên đây, chúng ta có thể khẳng định: Toán học hình thành và phát triển trước hết là do nhu cầu của đời sống xã hội, của thực tiễn, do sự phản ánh những khía cạnh khác nhau của thê giới khách quan, là do nhu cầu của khoa học, kỹ thuật. Từ buổi đầu của văn minh nhân loại, do những nhu cầu của thực tiễn đã dẫn đến sự hình thành những khái niệm toán học đầu tiên và từ đó toán học cũng ngày càng phát triển, góp phần giải quyết những vấn đề đặt ra trong cuộc sống, trong khoa học và kỹ thuật. Cũng chính từ những nhu cầu của thực tiễn mà toán học càng ngày càng tạo ra những công cụ sắc bén hơn để nhận thức được từ những hiện tượng đơn giản đến những hiện tượng phức tạp. Toán học, từ khoa học kinh nghiệm trở thành khoa học lý thuyết trừu tượng, từ lý thuyết ít trừu tượng đến các lý thuyết trừu tượng hơn. Toán học phân biệt với các khoa học cụ thể ở chỗ, nó không phản ánh một hình thức vận động cụ thể nào của thế giới khách quan, mà phản ánh những khía cạnh nhất định - các quan hệ sô lượng và các hình thức không gian - vốn tồn tại khách quan trong tất cả các hình thức vận động. Từ việc nhận thức các quan hệ sô lượng và các hình thức không gian của thê giới hiện thực, toán học đã thâm nhập vào tất cả các lĩnh vực tri thức 55 khác nhau của con người và trở thành công cu nhận thức của các khoa học khác. Tuy nhiên, toán học không phản ánh hiện thực một cách thụ động mà phản ánh nó một cách tích cực và sáng tạo. Từ những khách thể hiện thực bằng sự trừu tượng hóa, toán học xây dựng nên những đối tượng trừu tượng và đấy mới chính là đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học. Với sức trừu tượng hóa rất cao. toán học ngày càng đưa ra các trừu tượng cao hơn. Tuy nhiên, cho dù trừu tượng đến mức nào đi chăng nữa thì các trừu tượng toán học luôn có nguồn gốc từ hiện thực khách quan. Chúng ta cũng có đủ cơ sở để khẳng định, với toán học, sự trừu tượng càng cao thì sự phản ánh hiện thực càng sâu sắc hơn, đầy đủ hơn, ý nghĩa và phạm vi ứng dụng của toán học càng rộng hơn. Thực tê phát triển của toán học đã bác bỏ các quan niệm sai lầm của chủ nghĩa duy tâm cho rằng: các khái niệm và lý thuyết toán học là sản phẩm của tư duy thuần tuý, của phương pháp tư duy siêu hình cho rằng toán học chỉ có khả năng rất hạn chế, chỉ nhận thức được những hiện tượng đơn giản. Để hiểu đúng đắn bản chất của tri thức toán học, chúng ta cần đứng vững trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng trong việc xem xét với các vấn đề nảy sinh trong toán học. phát triển nó và vận dụng nó vào trong cuộc sông. 56 Chương II V Ề PHƯƠNG PH Á P CỦA TOÁN HỌC Toán học với tư cách là khoa học về các quan hệ sô lượng và các hình thức không gian đã thâm nhập vào tất cả các lĩnh vực tri thức khoa học. sở dĩ có tình hình đó, theo chúng tôi, là do: 1. Toán học không nghiên cứu một hay một sô hình thức vận động cụ thể nào mà nó nghiên cứu các khía cạnh hiện thực (quan hệ sô lượng và các hình thức không gian) có trong tất cả các hình thức vận động. 2. Xét về mặt nhận thức, toán học là công cụ của tư duy duy lý. Điều này thế hiện một cách cụ thể trong phương pháp của toán học. Trong phạm vi chương này, chúng tôi cố gắng phân tích về phương pháp của toán học, quan hệ giữa logic hình thức và phương pháp toán học, từ đó làm rõ bản chất của phương pháp toán học với tư cách là công cụ của tư duy duy lý. * * * Để nghiên cứu phương pháp của toán học, trước hết chúng ta phải tìm hiểu phương pháp lập luận, 57 chứng minh của nó. Đặc điểm quan trọng của toán học phân biệt nó với khoa học tự nhiên và khoa học kinh nghiệm nói chung là đặc trưng vế phương pháp chứng minh của nó. Trong các khoa học kinh nghiệm, thậm chí ỏ các khoa học phát triển nhất, chúng ta phải thường xuyên hướng tới quan sát hoặc thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn của những luận điểm nào đó. Trong toán học thì hoàn toàn khác. Chẳng hạn, chúng ta cần chứng minh định lý: Tổng các góc trong một tam giác bằng 180°. Chúng ta có thể đo tổng các góc của một tam giác 1.000 lần và khẳng định nó bằng 180°. Nhưng chúng ta không chứng minh định lý hình học trên bằng phương pháp như thế. Định lý này chỉ được xem là đã được chứng minh nếu nó được rút ra bằng con đường logic từ một sô" những khẳng định chân thực (hoặc đã được chứng minh) đã biết khác. Theo cách chứng minh như trên, trong một lý thuyết toán học, chúng ta thấy rằng, phần lớn những mệnh để của nó - các định lý của nó - được chứng minh bằng con đường kết luận logic (hay diễn dịch) từ một sô' không lớn các mệnh đê cơ sở - hệ tiên đề của lý thuyết. Cho nên có thể nói, phương pháp mà toán học sử dụng trong lập luận và chứng minh là phương pháp logic hình thức cô điển. Chính vì vậy mà từ thòi kỳ văn minh Hy Lạp đến nay, việc phát triển các phương pháp chứng minh bằng logic hình thức, bằng tư duy 58 trừu tượng luôn được đặt lên hàng đầu trong nghiên cứu toán học. Thành tựu lớn nhất mà cho đến nay chúng ta vẫn sử dụng là logic học của Arixtôt. Rõ ràng logic học của Arixtốt (sau đó được bổ sung, phát triển) cho ta khả năng: chứng minh sự đúng đắn của một phán đoán bằng cách rút ra từ tính đúng đắn của những phán đoán khác theo những phép suy luận logic. Cách làm trên cũng được mở rộng đến cả logic toán cổ điển - là những hệ thống logic học chỉ có hai giá trị chân lý và các giá trị ấy được xác định một cách tất yếu logic. Điều này hết sức quan trọng bởi vì nhờ logic học hình thức cổ điển mà toán học sau này đã chứng minh những định lý của mình hoàn toàn bằng lập luận logic mà không cần bất cứ dữ kiện thực tê nào cả. Đấy cũng chính là điều mà toán học phân biệt với các ngành khoa học khác. Tuy nhiên, logic hình thức cổ điển dựa vào những giả thiết nhất định. Chính những giả thiết này vừa là sức mạnh, vừa là những hạn chế của nó: 1. Chẳng hạn, thứ nhất, nó giả thiết rằng, một phán đoán chỉ nhận một trong hai giá trị chân lý xác định, tức là hoặc đúng hoặc sai, chứ không có trung dung, không có trường hợp thứ ba. Đấy là một quy luật cơ bản của logic học Arixtốt (và quy luật này cũng tác động trong toàn bộ lĩnh vực logic cô điển nói chung). 59 2. Thứ hai, giả định những phán đoán phức tạp bao giờ cũng được tạo nên từ những phán đoán đơn bằng một sô liên kêt logic cả trong phạm vi logic học truyền thông và cả trong logic toán cổ điển (gọi chung là logic hình thức cổ điển). Chẳng hạn, ta có các liên kết: Ã, A V B, A A B, A ~ B, A -> B. Trong các liên kết đó thì liên kết A B (nếu A thì B) là phức tạp nhất. Tuy nhiên, trong logic hình thức và trong toán học đó lại là một quy tắc phổ biến và được sử dụng thường xuyên. Từ hai phán đoán (mệnh đề) A, B, bằng liên kết trên, chúng ta có được phán đoán mối A -> B (đọc là A kéo theo B) với bảng giá trị chân lý của phán đoán mới A -> B như sau: A B A -> B Đ Đ Đ s Đ Đ Đ s s s s Đ Khi xuất phát từ quy luật nhân quả để xác lập quan hệ này, chúng ta thấy nó rất dễ hiểu, chảng hạn Nếu có lửa thi có khói". Song khi khái quát thành một liên kết phổ biến “nếu A thì B” (A -> B) với bảng chán lý như trên thì chúng ta gặp nhiều phán đoán phức trái vói lẽ phải thông thường. 60 Chẳng hạn, trong một phán đoán phức, từ một cái sai mà suy ra một cái đúng thì bản thân phán đoán đó là đúng (dòng thứ hai trong bảng giá trị chân lý). Ví dụ ta có phán đoán (mệnh đề): "Nếu mặt trời mọc ở hướng tây thi Hà Nội là Thủ đô của Việt N am ” - phán đoán phức này đúng. Tương tự như vậy, trong một phán đoán phức, từ một cái sai mà suy ra một cái sai khác thì bản thân phán đoán đó cũng là phán đoán đúng (dòng cuối cùng trong bảng giá trị chân lý). Ví dụ: “Nếu mặt trời mọc ở hướng tây thì Pari là Thủ đô của Việt N am ” (phán đoán phức này đúng). Rõ ràng trong bảng giá trị chân lý này có thể thấy nhiều điều không phù hợp vói lẽ phải thông thường, song trong những trường hợp lập luận bình thường thì không vấp phải những tình huống như vậy. Hình thức hoá đòi hỏi tính đầy đủ của nó cho nên chúng ta phải xây dựng những quy tắc vối tính phố quát, đầy đủ. Trong mọi trường hợp, tính đúng đắn của những phán đoán như vậy chỉ là quy ước, song có thể khẳng định rằng cái quy ước ấy là vô hại với tất cả các biểu nghiệm thực tê mà cho đến nay chúng ta thường gặp. Như vậy, bằng các phương pháp của logic hình thức cổ điển, chúng ta chứng minh được tính đúng đắn của một phán đoán dẫn xuât từ tính đúng đắn của những phán đoán đã có trước mà không cần kiểm nghiệm tính 61 đúng đắn của phán đoán cần chứng minh trong thực tế. Điều đó giúp cho việc xây dựng những lý thuyết toán học trừu tượng một cách hết sức rộng rãi, thuận lợi và tạo ra một khả năng xây dựng những lý thuyết mà từng định lý của nó không nhất thiết phải kiểm nghiệm trong thực té. Điểu đó tạo ra cho toán học một khả năng trừu tượng xa hơn nhiều so vối các ngành khoa học khác. Với cách trừu tượng như vậy, toán học có đối tượng là các khái niệm trừu tượng, có phương pháp chứng minh lập luận là các phương pháp logic hình thức cổ điển. Tuy nhiên, phương pháp toán học không đồng nhất với phương pháp lập luận, chứng minh của nó, nghĩa là phương pháp toán học không đồng nhất với logic hình thức cổ điển. Vậy thực sự phương pháp của toán học là gì? Để thấy rõ hơn bản chất của phương pháp toán học, chúng ta cần chú ý đến hai điều sau đây: Thứ nhất, đối tượng của toán học là những khái niệm trừu tượng. Những khái niệm trừu tượng đó, mặc dù có nguồn gốc sâu xa từ thực tiễn, nhưng khi nó được trừ xuất khỏi thực tiễn thì nó có đời sống nội tại của nó, có sự phát triển nội tại của nó. Trong toán học hiện đại thì đối tượng trực tiếp của nó là các cấu trúc toán học trừu tượng. Thứ hai, như trên đã nói, phương pháp lập luận, chứng minh toán học là những phương pháp logic hình thức cổ điển. 62 Bởi vậy, theo chúng tôi, phần lập luận là phần của phương pháp logic hình thức cổ điển. Tuy nhiên, toán học khác logic hình thức, vì logic hình thức là phương pháp suy luận trên những phán đoán nói chung (tức là những phán đoán xác định được tính chân lý hoặc đúng hoặc sai mà thôi); còn toán học lại phải suy luận trên những đối tượng trừu tượng, cho nên phương pháp toán học nói một cách đầy đủ, phải là phương pháp suy luận logic hình thức cổ điển trên những mô hình toán học trừu tượng (trên những quan hệ được mô tả bằng ngôn ngữ toán học). Từ đó có thể thấy rằng, logic hình thức cổ điển chỉ là cái cốt lõi, là “bộ xương” của phương pháp toán học, ngoài ra, toán học cũng có “da”, có “thịt” của nó - tức là phần đối tượng của toán học. Từ sự phân tích trên, có thể kết luận rằng, phương pháp toán học là phương pháp logic hình thức cổ điển trên các cấu trúc toán học trừu tượng (trên các quan hệ được mô tả bằng ngôn ngữ toán học). Một vấn đê' đặt ra là: logic hình thức phi cổ điển có vai trò như thê nào đối với toán học? Theo quan điểm của chúng tôi thì ngoài hoạt động tư duy trừu tượng, để nhận thức được các quy luật toán học, con ngưòi còn có các hoạt động nhận thức khác như xử lý, mô tả đôi vối các tri thức không chắc chắn, không chính xác. Nhưng cách mô tả và xử lý những quá trình như vậy 63 lại là đôi tượng của tư duy trừu tượng hay bàn thán nó là tư duy trừu tượng, đây là vấn để còn cẩn phai được làm rõ. Theo chúng tôi, dù có phải xử lý, mô tả như thê nào thì khi tư duy (tư duy trừu tượng) để phát hiện quy luật toán học, chúng ta vẫn phải tư duy theo luật của logic hình thức cổ điển, vẫn phải tuân theo quy luật phi mâu thuẫn, vẫn phải tuân theo quy luật bài trung, vẫn thực sự nằm trong khuôn khô của logic lưỡng trị (cổ điển). Vì vậy, những lý thuyết logic đa trị chỉ là đối tượng nghiên cứu của tư duy chứ không phài là cách mà chúng ta tư duy. Nhiêu thứ logic phi cô điên xuất hiện hiện nay, theo chúng tôi, cũng giông như những mô hình toán học của các đôi tượng khác nhau mà thôi. Do đó, nó là đối tượng nghiên cứu, nói cách khác, nó là đối tượng của tư duy trừu tượng, chứ không phải chính nó là phương pháp tư duy trừu tượng. Cho nên phương pháp tư duy trừu tượng toán học của chúng ta hiện nay chủ yếu vẫn tuân theo các quy luật của logic hình thức cổ điển, theo tinh thần của logic hình thức cố điển. Những môn logic học xuất hiện trong nhiểu thập niên gần đây, đó là những lý thuyết toán học nhàm mô tả những cách xử lý của con người đôi với những tri thức không chắc chắn. Điều đó cho phép chúng ta hiểu biêt về cái không chắc chắn đó bàng ngôn ngữ cua toán 64 học - tức là bằng ngôn ngữ của cái chắc chắn. Và sau khi đã mô tả bằng ngôn ngữ của cái chắc chắn rồi thì chúng ta lại tư duy trên nó bằng công cụ của logic hình thức cố điển. Chẳng hạn, kinh tế, xã hội, sự sống và những sự vật, những hiện tượng khác hoàn toàn không có gì chắc chắn, hoàn toàn không có gì là “tất định” cả, nhưng bằng nghiên cứu của mình, chúng ta muôn hướng tới nhận thức các quy luật - tức vạch ra cái tất định. Để làm được việc đó, chúng ta phải tìm ra các yếu tô chắc chắn, yếu tô ôn định, những quan hệ gọi là tất định trong cái vốn không tất định đó rồi trên cơ sở các quan hệ tất định đó tư duy trừu tượng nhờ các phương tiện của logic hình thức cổ điển mà phát hiện các quy luật. Từ sự phân tích trên, có thể khẳng định con đường của nhận thức toán học diễn ra như sau: trước hết là mô tả hiểu biết của chúng ta về hiện tượng được nghiên cứu bằng những mô hình và xây dựng những mô hình đó trên những khái niệm, trên những quan hệ nhất định bằng logic cổ điển (nếu hiện tượng đơn giản) hoặc logic phi cổ điển (nếu là hiện tượng phức tạp), sau đó trên mô hình (những quan hệ hình thức đó), chúng ta tư duy bằng logic hình thức cổ điển để đi đến phát hiện các quy luật toán học có tính phố biến. Chúng ta có thể tóm lược quá trình nhận thức toán học theo sơ đồ sau: 65 Như vậy từ khách thể hiện thực, để xây dựng mô hình toán học, người ta sử dụng các công cụ logic khác nhau. Nếu khách thể đơn giản (mang tính xác định chặt chẽ), người ta sử dụng logic hình thức cổ điển. Nếu khách thể hiện thực phức tạp (mang tính xác định không chặt chẽ, không chắc chắn), người ta sử dụng logic hình thức phi cổ điển. Còn từ mô hình toán học đến việc phát hiện các quy luật toán học thì trong mọi trường hợp người ta đều sử dụng logic hình thức cổ điển. Cho nên, có thể khẳng định rằng: logic hình thức phi cổ điển chính là một trong những công cụ đ ể xảy dựng nên các mô hình toán học trừu tượng vế các đôi tượng hiện thực phức tạp đ ể có thể nhận thức chúng bằng ngôn ngữ toán học. * * * Trong sô các phương pháp logic cổ điển được sử dụng trong nghiên cứu toán học, thì phương pháp tiên để có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó là phương tiện quan trọng trong quá trình xây dựng các tri thức toán học, xảy dựng các lý thuyết toán học. Sau đây chúng ta tìm hiểu 66 thực chất, vai trò của phương pháp tiên đê trong toán học nói riêng, trong tư duy trừu tượng nói chung. Thực chất của phương pháp tiên đê là trên cơ sở vạch ra các mối quan hệ logic giữa các tri thức (mệnh đề, khẳng định, phán đoán) về một lĩnh vực được nghiên cứu nào đó, người ta sắp xếp tất cả các mệnh đê (tri thức) ấy vào một hệ thống phân tầng xác định để sao cho phần lớn các mệnh đề này được rút ra từ một sô" ít các mệnh đề còn lại bằng con đường logic. Ý nghĩa quyết định ở đây là chọn ra được một số ít những mệnh đề khái quát nhất làm tiền đề cho những kết luận logic những mệnh đề còn lại. Một số ít các mệnh đê được lựa chọn như vậy tạo thành hệ tiên đề của lý thuyết tương ứng. Xét về mặt logic, hệ tiên đề phải thoả mãn các điều kiện sau đây: - Tính phi mâu thuẫn của các tiên đề - Tính độc lập của các tiên đề - Tính đầy đủ của hệ tiên đề - Tính rõ ràng, chính xác của các tiên đề. Từ khi ra đời, phương pháp tiên đề đã trải qua các giai đoạn phát triển khác nhau dẫn đến sự hình thành các loại hình khác nhau. Phương pháp này lần đầu tiên được ơclít sử dụng trong việc xây dựng hình học sơ cấp. Nó được trình bày rõ ràng trong tác phẩm Những cơ sở của ông. Từ thời gian đó, phương pháp này có những tiến hoá đáng kể 67 và được vận dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhién như: cơ học, quang học, điện từ học, lý thuyết tương đói. vũ trụ học... Để thấy rõ sự tiến hoá này, chúng ta trỏ lại xem xét hệ tiên đề đầu tiên của ơclít. ơclít bắt đầu trình bày học thuyết của ông bàng việc liệt kê một số những khẳng định xuất phát mà ông gọi là tiên đê hay định đê (gồm 21 tiên đề và định đề). Ví dụ các tiên đề: 1. Hai hình bằng hình thứ ba thi bằng nhau. 2. T ừ một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có thê có một đường thẳng song song với đường thắng đả cho. Nhờ các tiên đề và định đề này, ơclít đã rút ra một cách logic 465 khẳng định khác, là các định lý của hình học sơ cấp (ngày nay, con số này lốn hơn nhiêu). Đặc trưng cơ bản trong hệ tiên đê ơclít là đặc điểm nội dung cụ thể của nó. ở đây, các khái niệm cơ bàn, các tiên đề chỉ cho ta một sự giải thích duy nhất và có tính trực giác. Chính vì vậy có thể xem đây là loại hệ tiên đề nội dung. Trong việc rút ra (hay chứng minh) các định lý hình học, ơclít cũng đặt tính chân lý của chúng phụ thuộc vào tính chân lý của hệ tiên đề. Nếu các tién để này chưa được chứng minh thì chỉ vì rằng tính chán lý của chúng đã là hiển nhiên một cách trực giác. Sự phát triển và hoàn thiện phương pháp tién đề được thực hiện theo hai hướng: một là, khái quát hoá 68 bản thân phương pháp; hai là, nghiên cứu những phương tiện logic được sử dụng trong quá trình rút ra các định lý từ các tiên đề. Loại hình thứ hai của phương pháp tiên đề gắn liền với việc phát minh ra hình học phi ơclít. Nếu trưóc đây, hệ tiên đề chỉ cho một sự giải thích duy nhất thì giò đây hệ tiên đề có thể cho ta nhiều sự giải thích khác nhau. Tuy nhiên, nội dung các tiên đề vẫn được diễn đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ tự nhiên. Việc xây dựng các hệ tiên đề như vậy gắn liền với tên tuổi của N.I.Lôbasépxki, K.Ph.Gau, B.Rieman, Himbe. Những hệ tiên đề như vậy được gọi là hệ tiên đề trừu tượng hay hệ tiên đề bán hình thức. Loại hình thứ ba của phương pháp tiên đê ra đời gắn liền với khuynh hướng hình thức hoá toán học. Việc xây dựng các hệ này gắn liền với tên tuổi của Himbe và những nhà logic hiện đại như Phrege, Pianô, Rátsen... Trong hệ tiên đê loại này, các tiên đê được trừu tượng khỏi nội dung của chúng (kể cả nội dung trừu tượng) thay chúng bằng những công thức. Điều đó được thực hiện gắn liền vối việc tạo ra các quan niệm ký hiệu dưới dạng các công thức và những quy tắc kết luận chính xác, để từ một sô công thức, ta nhận được các công thức khác. Một hệ tiên đề loại này cũng cho ta nhiều cách giải thích khác nhau. Hệ tiên đề loại này gọi là hệ tiên đề hình thức và nó gắn liền vói khuynh hướng hình thức hoá các lý thuyết toán học. 69 Tất cả ba dạng trên của hệ tiên để đểu được sử dụng trong khoa học hiện đại. Hệ tiên để hình thức có vị trí quan trọng trong việc nghiên cứu các cơ 5Ở logic của khoa học - hệ hình thức đã làm giảm một cách tôi đa tính không chính xác của ngôn ngữ tự nhiên. Himbe mong muốn sau khi hình thức hoá một lý thuyết toán học nào đó thì bản thân tính phi mâu thuẫn của nó cũng có thể được biểu diễn bàng một phán đoán dưối dạng hình thức (tức một công thức). Tuy nhiên, sau đó Gođen đã chứng minh thành công định lý: Nếu một hệ phi mâu thuẫn thì tính phi mâu thuẫn không được chứng minh trong nội bộ hệ đó. Từ định lý này suy ra hai hệ quả: 1. Nếu một hệ phi mâu thuẫn thì nó không đầy đủ. 2. Nếu một hệ phi mâu thuẫn thì nó không tự chứng minh được tính phi mâu thuẫn ấy. Như vậy, tính đầy đủ và tính phi mâu thuẫn của mỗi hệ phải được tìm kiếm ở bên ngoài hệ. Hơn nữa nếu một lý thuyết toán học là phi mâu thuẫn thì nó không đầy đủ, từ đó có thể thấy không có lý thuyết nào phản ánh được đầy đủ một lĩnh vực nào đó mà nó nghiên cứu. Đây cũng là vấn đề có ý nghĩ nhận thức luận hết sức quan trọng: Mọi nhận thức đều không đầy đủ, nhận thức của chúng ta ngày càng đầy đủ hơn mà thôi. * % * Từ sự phân tích trên có thể rút ra một số kết luận sau đâv: 70 1. Logic hình thức là khoa học nghiên cứu về tư duy trừu tượng. Giữa logic hình thức và phương pháp toán học có môi quan hệ đặc biệt. Các phương pháp của logic hình thức là các phương tiện lập luận, chứng minh dựa trên những phán đoán nói chung, vì vậy nó cũng là phương tiện lập luận, chứng minh của toán học. Tuy nhiên đối tượng trực tiếp của toán học là các trừu tượng toán học, nên phương pháp của toán học là phương pháp lập luận logic (hình thức cổ điển) trên những mô hình toán học trừu tượng. Do đó, phương pháp logic trở thành cốt lõi của phương pháp toán học. Ngoài ra, phương pháp logic (cả cổ điển và phi cổ điển) cũng là phương tiện quan trọng của việc xây dựng các mô hình lý thuyết toán học trừu tượng cho những lĩnh vực đối tượng khác nhau của hiện thực khách quan. Từ đó có thể thấy, nếu toán học cung cấp các phương tiện cho nhận thức duy lý thì logic hình thức tạo nên các công cụ cốt lõi cho nhận thức duy lý, cho sự phát triển của tư duy trừu tượng. Trong sự phát triển này, logic hình thức và toán học thống nhất với nhau, bổ sung cho nhau tạo ra sức mạnh tổng hợp cho nhận thức khoa học. 2. Ngoài ý nghĩa trong nhận thức duy lý nói chung, các phương tiện của logic hình thức mà tiêu biểu là phương pháp tiên đề còn có những ý nghĩa khác hết sức quan trọng đối với toán học nói riêng, khoa học nói chung. Điều này được thể hiện ở những điểm sau đây: 71 Trước hết, nó là công cụ cho sự hệ thông hoá các tri thức, các tài liệu khoa học. Trong thực tế có nhiều cách hệ thông hoá khác nhau. Cách thức hệ thống hoá nhờ các phương tiện của logic hình thức, trong đó có phương pháp tiên đề là hệ thống hoá phát triển nhất. Chẳng hạn, hệ thống hoá nhò logic hình thức truyền thông đã cho phép chúng ta phân loại và sấp xếp các phán đoán, vạch ra được quan hệ logic giữa các phán đoán, giữa cái chung và cái riêng. Hệ thống hoá nhờ phương pháp tiên đề còn đi xa hơn. Nó cho phép chúng ta sắp xếp các tri thức vào một hệ thống phán tầng theo sức mạnh logic. Theo chúng tôi thì đây là cách thức hệ thống hoá tri thức cao nhất. Thứ hai, các phương pháp logic hình thức, đặc biệt là phương pháp tiên đê đảm bảo tính chặt chẽ cho suy luận, chứng minh khoa học. Trong cách tiếp cận tiên đề, các tri thức toán học được sắp xếp vào hệ thống phân tầng. Hệ thông này có đặc điểm những tri thức có sức mạnh logic lỏn hơn sẽ nằm ở tầng cao hơn. Các tiên đề là những tri thức có sức mạnh lón nhất. Vì vậy, để chứng minh một tri thức (định lý) nào đấy, người ta xuất phát từ những tiên đê' để rút ra các tri thức ỏ mức thấp hơn cho đến khi rút ra được tri thức cần chứng minh. Cách làm như vậv hết sức chặt chẽ. Hơn thê nữa, người ta có thể sủ dụng các 72 tri thức ở tầng kê tiếp cao hơn để chứng minh cho tri thức ở tầng thấp hơn. Việc làm này vừa tiện lợi lại cũng đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác trong lập luận, chứng minh. Cách tiếp cận như vậy cũng được vận dụng vào các lĩnh vực tri thức khác, ở các khoa học kinh nghiệm, các quy luật cơ bán của mỗi lý thuyết biểu hiện với tư cách là hệ tiên đề của nó. Từ các quy luật cơ bản, bằng con đường logic, người ta rút ra các quy luật dẫn suất (còn lại) của lý thuyết. Từ đây, việc lập luận và chứng minh (về mặt lý thuyết) cũng tương tự như trong toán học. Thứ ba, phương pháp logic, trong đó có phương pháp tiên đề, là công cụ có giá trị cho nghiên cứu toán học nhằm phát hiện quy luật toán học mới. Đương nhiên, trong trường hợp này, người ta không sử dụng phương pháp tiên đề một cách cô lập mà gắn với những phương tiện khác, chẳng hạn với phương pháp giả thuyết. Ví dụ, người ta có thể đưa ra các giả thuyết toán học mới, sau đó xem giả thuyết này như là tiên đề và sử dụng nó đê rút ra các hệ quả. Khi so sánh các hệ quả này với các định lý đã biết hoặc với các tài liệu kinh nghiệm (trong các khoa học khác), người ta có thế chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết ấy. Nếu giả thuyết được chứng minh thì có nghĩa là chúng ta đã phát hiện được tư tương toán học mới. Thứ tư, đối với các khoa học khác, phương pháp logic, đặc biệt là phương pháp tiên đề cũng là một tronẹ 73 những phương tiện để phát hiện những quy luật khoa học mới. Tuy nhiên, trong các lĩnh vực này, nó phai kẽt hợp với sự khái quát hoá kinh nghiệm và việc kiêm tra bằng kinh nghiệm. 3. Phương pháp tiên đề là công cụ để xây dựng các lý thuyết toán học một cách có hiệu quả nhất. Ngoài ra phương pháp này còn được sử dụng để xây dựng các lý thuyết khoa học khác, đặc biệt là phần diễn dịch của chúng. Như trên đã chỉ rõ, lúc đầu phương pháp này được sử dụng để xây dựng hình học ơclít, sau đó nó được sử dụng để xây dựng các hình học khác. Có thể nói, hiện nay tất cả các lý thuyết hình học đều được xây dựng nhờ phương pháp tiên đề. Không chỉ dừng lại ở đó, các nhà khoa học đã sử dụng các công cụ logic để xây dựng các lý thuyết toán học và một sô" lĩnh vực khoa học khác. Tiên để hoá toán học đã đem lại những kết quả mỹ mãn. Tất cả các lý thuyết toán học phát triển đều có thể tiên đê hoá. Phương pháp tiên đề cũng được sử dụng để xây dựng các lý thuyết khoa học trong các lĩnh vực khác. Tuy nhiên, ở đây tiên đề hoá chỉ có kết quả đối vói các lý thuyêt đã phát triển ở trình độ cao và đã sử dụng nhiều công cụ toán học để diễn đạt các tư tưởng khoa học. Trong các lĩnh vực này, người ta thường sử dụng một dạng biến thể của phương pháp tiên để là 74 phương pháp giả thuyết - diễn dịch để xây dựng các lý thuyết khoa học. Từ việc tìm hiểu về phương pháp của toán học, quan hệ giữa logic hình thức và phương pháp toán học, cũng như vai trò của các phương pháp ấy, chúng ta nhận thấy các phương pháp này là nền tảng cho hoạt động tư duy trừu tượng. Do đó, các phương pháp này có sức mạnh phổ quát và thâm nhập mạnh mẽ vào các ngành khoa học khác nhau. Việc vận dụng các công cụ logic và toán học vào các ngành sẽ góp phần nâng cao hiệu quả nhận thức khoa học, vì vậy cần phải được quan tâm đúng mức. Trong khi vận dụng chúng, một yêu cầu quan trọng phải lưu ý là tuân thủ quy luật phi mâu thuẫn, bởi vì toán học luôn phản ánh một cách phi mâu thuẫn (logic) về cái mâu thuẫn (khách quan) - về hiện thực khách quan. 75 Chương III TOÁN HỌC VỚI NHỮNG HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN Trong triết học, ngẫu nhiên và tất nhiên là một cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật. Đây là một cặp phạm trù có ý nghĩa phương pháp luận và thực tiễn rất lớn. Trên thực tế, các hiện tượng xảy ra trong thè giới xung quanh ta thật muôn hình muôn vẻ, nhưng đại thể có thể phân làm hai loại. Loại thứ nhất là các hiện tượng xảy ra có tính chất xác định như nhật thực, nguyệt thực, sự lên xuống của thủy triều, V.V.. Những hiện tượng trén có thê biết trước được và người ta gọi chúng là những hiện tượng tất nhiên. Loại thứ hai bao gồm những hiện tượng xảy ra một cách không chắc chắn như sô' người sinh ra trong một ngày trên hành tinh của chúng ta, số ngày nắng, mưa trong một nám, V.V.. Đó là những hiện tượng mà chúng ta không thể đoán trước một cách chính xác được và chúng được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên. 76 Trong chương này, chúng tôi sẽ làm rõ vai trò của toán học trong việc nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. * * * Việc nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên là một vắn đề rất phức tạp. Trong thực tế đã có nhiều quan ẫiểm trái ngược nhau. Song theo quan điểm duy vật biện chứng, tất cả những hiện tượng ngẫu nhiên và tất nhiên đêu là kết quả của những nguyên nhân nào đó. Sự khác nhau giữa chúng chỉ là ở chỗ, cái tất nhiên gắn liền với nguyên nhân cơ bản, nội tại của tất yếu sự vật, còn cái ngẫu nhiên là kết quả tác động của một sô" nguyên nhân bên ngoài. Trong thực tế đã có những quan điểm cho rằng, những hiện tượng tất nhiên là xảy ra theo quy luật, còn những hiện tượng ngẫu nhiên là xảy ra không tuân theo quy luật. Đó là một quan điểm sai lầm. Theo quan điểm duy vật biện chứng thì về thực chất cả những cái tất nhiên và ngẫu nhiên đều tuân theo quy luật, ở đây, sự khác nhau giữa chúng chỉ là ở chỗ cái tất nhiên tuân theo một loại quy luật được gọi là quy luật động lực, mang tính quyết định luận chặt chẽ, còn cái ngẫu nhiên tuân theo một loại quy luật khác được gọi là các quy luật thống kê mang tính quy định xác suất. Quy luật động lực chính là quy luật mà trong đó mối quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả là mối quan hệ 77 được xác định một cách đơn trị chặt chẽ, nghĩa là ứng với một nguyên nhân chỉ có một kết quà xác định. Chính vì vậy, nếu biết trạng thái ban đầu cùa một hệ thông nào đó, chúng ta có thể tiên đoán chính xác trạng thái tương lai của nó. Quy luật thống kê là quy luật mà trong đó mối quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả là mối quan hệ đa trị, nghĩa là ứng với một nguyên nhân thì có thê có những kết quả khác nhau. Vì vậy, theo quy luật thông kê, nếu biết trạng thái ban đầu của một hệ thống nào đó, ta không thể tiên đoán chính xác được trạng thái của nó trong tương lai mà chỉ có thể tiên đoán được với một xác suất nhất định. Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì giữa cái tất nhiên và cái ngẫu nhiên luôn luôn có mối quan hệ biện chứng sâu sắc: Mối quan hệ đó được biểu hiện ở chỗ, cái tất nhiên bao giờ củng vạch đường đi cho mình xuyên qua vô sô cái ngẫu nhiên, còn cái ngẫu nhiên là hình thức thê hiện của cái tát nhiên, đồng thời là cái bô sung cho cái tất nhiên. Từ lập trường đó, chúng ta nhận thấy rằng, tất cả những gì diễn ra trong hiện thực và cho là ngẫu nhiên thì đểu không phải là ngẫu nhiên thuần túy, mà là ngẫu nhiên đã bao hàm cái tất nhiên, có nghĩa là đầng sau chúng bao giờ cũng ẩn nấp cái tất nhiên nào đó. về điều này, Ph.Ảngghen đã nhấn mạnh rằng, cái mà 78