🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình đại số hiện đại - Phần 1: Đại số trừu tượng Ebooks Nhóm Zalo \ 0 Á/ị, ^ o 2* I o --------------------------------------------------------------------------------------------- I o y í i r i a i B ộ S Á C H C A O H Ọ C V I Ệ N T O Á N H Ọ C NGUYỄN T ự CƯỜNG GIÁO TRÌNH Ạ l S Ổ ' H I Ệ N Đ Ạ C õ;iĩ Hà Nội NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC N G U Y Ễ N T ự CƯỜNG Viện Toán học Trung tủm Khoa học Tự nhiên và Cônạ lìíỊlìệ Qitổc íỊÍư GIÁO TRÌNH ĐẠI SÔ HIỆN ĐẠI • • • Phần I: Đại sô trừu tượng NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP GS TRẦN ĐỨC VÂN {Chú tịch) PGS PHAN HUY KHẢI {Thư ký) GS HÀ HUY KHOÁI GS PHẠM HỮU SÁCH GS NGÔ VIỆT TRƯNG GS HOÀNG TỤY GS ĐỖ LONG VÂN MỤC LỤC Trang M Ờ Đ A U ....................................................................................................................... 5 C h ư ơ n g I. S ơ L Ư Ợ C V Ê LÝ T H U Y Ế T T Ậ P H Ợ P ................................9 §1. T ập hợp và các phép toán trên tập hợp ................................................ 9 §2 . Ánh xạ ............................................................................................................. 11 §3. Quan hệ .......................................................................................................... 12 §4. T ập hợp tương đương .............................................................................. 15 §5. Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương ...................................... 17 Bài tập .....................................................................................................................20 C h ư ơ n g II. N H Ó M 22 §1. Định nghĩa và ví dụ về nhóm ..................................................................22 §2. Nhóm con, Định lý Lagrange ..................................................................25 §3. Nhóm con chuẩn tắc ....................................................................................29 §4. Đồng cấu n h ó m ..............................................................................................31 §5. Phạm trù và hàm t ừ ....................................................................................36 §6 . Nhóm Abel hữu hạn sinh ..........................................................................47 Bài tập ..................................................................................................................... 58 C h ư ơ n g III. V À N H , T R Ư Ờ N G V À V À N H Đ A T H Ứ C 63 §1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 63 §2. Iđêan và đồng cấu vành ............................................................................ 67 §3. Vành giao h o á n .............................................................................................. 72 §4. Vành các phân thức .................................................................................... 78 §5. Vành đa thức ................................................................................................. 83 §6. Vành G a u ß .........................................................................................................87 Bài tập ......................................................................................................................92 i Giáo trình đại s ố hiện đại I * * C h ư ơ n g IV . M Ô Đ U N 97 §1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................. 97 §2. Đồng c ấ u ......................................................................................................... 102 §3. Tổng và tích trực tiếp .......... .................................................................. 105 §4. Dãy hợp thành, Định lý Jordan-H ölder-Schneider.......................... I l l §5. Tích ten x ơ ..................................................................................................... 116 §6 . Dãy khớp ....................................................................................................... 122 Bài tập .................................................................................................................... 129 C h ư ơ n g V . M Ô Đ U N T R Ê N V À N H G IA O H O Á N 133 §1. M ôđun nội xạ ................................................................................................ 133 §2. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ............................ ................................. 140 §3. Môđun xạ ảnh ............................................................................................. 146 §4. Môđun N o e t h e r ............................................................................................. 153 §5. Môđun A r t i n .................................................................................................. 159 §6. Phân tích m ôđun nội xạ ...........................................................................165 Bài tập .................................................................................................................... 169 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O ................................................................................ 173 C H Ỉ D Ẫ N T R A C Ứ U T Ừ K H Ó A .............................................................. 175 MỜ ĐẦU Có thể nói lằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc này. Điều nàv củng dễ hiểu, vì ta biết lằng hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Đã có rất nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài đưực xuất bàn ờ Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đã trở thành kinh điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học toán trên khắp thế giới. Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là một việc làm rất khó khàn, nhất là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại từng phần các giáo trình đ ã có. Cuốn sách này được viết dựa trên các bài giảng về đại số cùa tác giả trong vòng 10 năm trờ lại đâv cho học viên cao học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và một số trường đại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các lớp cử nhân tài năng thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Nó được viết hướng tới hai mục tiêu: Mục tiêu đầu tiên, giống như mọi giáo trình về đại số, là nhằm cung cấp các cấu trúc đại số cơ bản nhất mà không đòi hỏi người đọc phải có bất cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó. ngoại trừ một chút yêu thích toán học. Mục tiêu thứ hai cùa cuốn sách là trình bày các khái niệm, cấu trúc đại số dưới một ngôn ngữ tông quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơn các' tính phô dụng của các khái niệm. Nói cách khác, tác giả muốn người đọc nhận thấy các mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm, cấu trúc đại số khác nhau và khuyến khích cho những tư duy tổng quát, trừu tượng hơn nữa. Do đó, giáo trình này được viết theo phương pháp đi từ trừu tượng đến cụ thè, là một việc làm trái với hầu hết các cuốn sách đại số trước đây. Bù lại, phương pháp này cho phép ta có một cách nhìn tổng thể hơn, rút ngắn đáng kế cách trình bày vì dễ đàng đưa các cấu trúc khác nhau vào trong một khái niệm và giúp người đọc làm quen với phương pháp tư duy hình thức 6 Giáo trình đai sổ hiên đai là phương pháp quan trọng nhất trong đại số. Tuy nhiên đẽ giảm hớt tính hình thức, sau mỗi khái niệm trừu tượng chúng tôi cố gắng đưa ra nhióu ví dụ khác nhau nhằm giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp nhận ill rực khái niệm này. Sách bao gồm 5 chương. Chương I trình bày vắn tắ t ve lý rhuyết tậ p hợp, ánh xạ, các quan hê nhằm thống nhất các ký hiệu tiện cho các chirưng tiếp theo. Trong chương II vé lý thuyết nhóm, chúng tòi bỏ qua như ng cấu trúc nửa nhóm, tiền nhóm mà đi ngay vào định nghĩa nhóm. Chúng tỏi củng bỏ qua phần lý thu vết nhóm hữu hạn mà (lành trình bày kỹ liưn vê cấu trúc nhóm Abel hữu han sinh. Khái niêm phạm trù và hàrn tư cũn» đưưc đưa vào chương này nhằm phục vụ ngay cho cho việc định nghĩa các khái niệm quan trọng mang tính phố dụng của đại số trong suốt, giáo trinh một cách nhất quán. Trong chương III về lý thuyết vành, có một chú ý là trono định nghĩa một vành ta đòi hỏi sự tồn tại phần tử đơn vị. đây cũng là điều mà nhiều giáo trình đại số khác không (lòi hổi. Lý do giải thích cho việc này là vì giáo trình đươc viết thiên nhiều hơn về vành giao hoán. Chương IV trình bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bàn của lý thuyết môđun. cấu trúc quan trọng nhất của đại số. Hai hàm từ quan trọng nhất của lý thuyết moduli là hàm từ Hom và ten xơ cũng như tính chất đơn giản đầu tiên của chúng cũng được xét đến trong chương này. Chương cuối cùng dành cho việc trình bày cấu trúc một số lớp môđun đặc biệt quan trọng như môđun nội xạ. móđun xạ ảnh, mỏđun Noether và Artin trên vành giao hoán. Như vậy. hai chương cuối của giáo trình cỏ thể xom nliư là một sir chuấn bị kiến thức khời (Táu cho những đọc giả có Ý định tiếp tục đi sâu vào nghiên cứu các ngành quan trọng cùa đại số như Lý thuyết môđun trên vành kết hợp. Đại số đồng điều hay Đại số giao hoán. Cuối mỏi chương cùa cuốn sách đều có phần bài tập được chọn lọc. Các bài tập này không chỉ đò’ người đọc giải nhằm tự kiêm tra sự tiếp thu những điều đã học, mà nhiên bài tập là những bô sung hay mờ lộng kiến thức chưa có trong sách. Vì vậy. sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải được nhiều bài tập. Cuốn sách này được viết ra với mục đích có thè dùng làm giáo trình đại số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách tham khảo cho những sinh viên học về các ngành toán lý thuyết và nghiên cứu sinh. Tuy Ìiliiõn. vì các Mờ đầu 7 khái niệm đều được định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có thể bô ích cho những ai muốn học thêm vồ đại số. Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến thức về đại số đại cương bằng một ngón ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là một việc làm khó tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Vì vậy, tác già mong muốn nhận được những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những thiếu sót của cuốn sách này. Tác giả xin chân thành cảm ƠI1 PGS. TSKH. Lê Tuấn Hoa đã đọc kỹ toàn bộ bản thảo và đóng góp nhi'éu V kiến quý báu để cuốn sách được tốt hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. vs Nguyễn Văn Đạo đã quan tâm đến hộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học T ự nhién và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ đê' cuốn sách được xuất bản. T ác giả Chương I s ơ LƯỢC v'Ẻ l ý t h u y ế t t ậ p h ợ p • • • Troiif> cliinnif* 111Ữ (lầu này. (húng ta sò trình bày một cách sơ lưực về tập hợp. ánh xạ và quan hẹ. nhàm mục đích llumg nliất các ký liiộu và thuật ngữ (lược (lùm; troiifi, suốt hài J>iãii}ỉ, này. Phần cuối cua chương hàn về các dạng tira n t (hrưii" khác nhau n ia t it'll đe chọn. Vì chưa tìm thấy tài liệu tiens Yii'l nào có rliứiiu, minh đầy dù cho các tương (lương này. nôn chúng ta sẽ dưa ra mọt clnrnti, minh đè bạn đọc tham kliào thêm. (¡1. Tâp hơp và các phép toán trên tâp hơp 1 .1 . Đ in h n g h ĩa . Tập hợp là một khái niệm cơ bản cùa toán học. nhưng lại là một khái niệm khỏng được (lịnh nghĩa. Một cách trực quail, ta có t lie liiru một tạp hợp như là sự tụ tập những vật. những đối tượng hay những kliiíi Ìiiẹm toán học ... được xác định bùi một hay nhiều tính chất chung. Ta thườn» sư (lụng các chữ cái La tinh .4. 13. c ........V. Y. z hoặc chữ cái Hy Lạp co nlnr I . n . A .... đè chi một tập liựp. Các vạt cùa một tạp hợp X gọi là các phần tư của tập hợp đó. Một phần từ ./• cùa tạp lìcrp A' (linrc ký hiệu là .(• G A’. Nốu tất cà các Ị)hần tư cùa một tập hơp X đéu là phần tư cùa mọt tập litrp V t 111 ta nói tạp lu/Ị) A’ là một tạp hợp con của tập hạp y và ký hiệu là A ç V hay V D -V. Tnrờng hạp X ç V và )' ç X thì ta nói rầiiíị tập hợp X hàn» tập lurp V và ký hiệu là -V = V. Nếu X ç V và X Ỷ till -V được gọi là tập hợp coil thực sự cua )' và ký hiệu là A' c V. Xác định một tạp hạp là xác clịnh tất cà các phần từ cùa 11Ó. Có nhiêu cách đổ xác (lịnh một tạp hợp. Đơn giàn nhất là liệt kè tất cà các phần tứ cùi» tạp hợp đó và (le trong liai (làu 111ÓC Cách thõng dụng thứ liai là mo là một tập hạp qua các tính chất (lặc tnrug của các phần tử của tập hợp đó. Chảng hạn ta viết À' = {.;■ I P{.v)} dể nói rằng X là tập hợp gồm tấ t cả các phần từ .r tlioà màn mệnh (Tó P(.r). 10 Giáo trình đại sổ hiện đại T ập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp ròng và ký hiẽu là 0 . 1.2. C ác p h ép to á n trê n tâ p hơ p 1) Hợp. Hợp của hai tập hợp X và Y. ký hiệu A' u 1 . là tậ p h ạ p đuực xác định bởi X u y = {x I X € X hoặc X € Y ). 2) Giao. Giao của hai tập hợp X và Y. ký hiệu X n Y. là tập hợp được xác định bời X n Y = {x \ X e X và xeY }. 3) Tích Descartes. Tích Descartes của hai tập hợp X và Y. ký hiệu X X là tập hợp được xác định bời X x Y = {z = (x,y)\xeX,yeY}. 4) Hiệu. Hiệu của hai tập hựp X và Y. ký hiệu X \ Y. là tập hợp dược xác định bời X \ Y = {x \ X £ X và X ị Y } . 1 .3 ệ C h ú ý. Các phép toán hợp, giao, tích Descartes hoàn toàn có thố 111Ờ rộng cho một họ tùy ý các tập hợp {(X ,) I i £ /}. ờ đây I là một tập chi số nào đó. Khi đó ta xác định: Ị J X i = {.r I 3 i e L x e Xi}. iei f ] x t = {x I X e Xi. Vi € /}. ieĩ = {c = {Xi)i£i I ẽ X i. Vi € /}. i€7 Đặc biệt, ta hay viết x n để ký hiệu cho tích Descartes của n - lần tập hợp X . Chư (nụì I. Sơ lược về lý thuyết tập hợp 11§2. Á nh xa Cùng với khái niệm tập hợp. ánh xạ thuộc vào mòt trong Iihửng khái niệm vơ bán nhất của toán học. 2.1. Đ in h n g h ĩa , (i) Một ánh xạ I' : X ----- ) ’ từ tạp hạp X đến tập hợp V là một phép tinrng ứng mỗi một phần từ X G X duy nhất một phan tư /'(.;•) G } ■ Tập hợp X được gọi là tập nguồn cua ánh xạ /’ và tập hợp Y gọi là tập đích cua ánh xạ /’. (ii) /’ : X — • Y được gọi là đơn ánh liến với hai phần từ x ,x ' G X tùy ý m à /'(./■) = f ( x ') , suy ra X = x ' . Đặc biệt khi X c Y t h ì đ ơ n á n h /' : X — * Y x á c đ ị n h h ờ i /'(.;■) = v.r 6 À" đ ư ợ c gọi là phép n h ú ng tự n h iê n và ký hiệu là À' — ) (iii) /’ : X — * V dược gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần từ tùy ý ụ G Y luôn tồn tại ít nhất mọt Ịihần từ X £ X sao cho f(.r) = Ị/. (iv) /’ : X ----- V đươc gọi là song ánh nếu /’ vừa là (l z đưực xác định hởi, h(x) = g(f (x)). \ / x G X là ánh xạ hợp thành cùa hai ánh xạ f. g và ký hiệu là lì = q o f. 2.2. C h ú ý. (a) Cho ánh xạ f : X — > Y và A là một tập hợp con của X. Ta gọi tập hợp /(.4) c Y xác định bời f{A) = ịf(x) € y I X e A) là ảnh của /1 qua ánh xạ /. Vây ánh xạ /’ là toàn ánh khi và chi khi f { X ) — Y. (1)) Cho B là một tập con tùy ý của y. ta gọi tập hợp c X. đ ư ợ c x á c đ ị n h b ờ i = {.?• E X Ị /(.;■) G B } . là nghịch ảnh cùa D qua ánh xạ [. Bây giừ. già sử f là một song ánh. Khi đó, vì f ( X ) = Y. ta luôn có thè xay dựna, được một ánh xạ. / nlnr sau: với y G Y tùy ý. tồn tại ./• e -V s a o c h o /(.;■) = ỵ . ta xác địnli f ~ x{ ỵ ) = X. Dựa \'ào tính đơn ánh cùa [ la dỗ clnrn” minh dưực rằng /’ 1 được xác định như trên là một ánh x ạ . g ọ i là á n h x ạ n i Ị i r ợ c c u a f. K h i đ ó ta th ấ y ngay rằng f ~ l o f = 1 Y v à / o /■ 1 = l v . (V đày 1 V dược ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất trên tậ p hợp X. I ứ c 1 V (.;■) = .(■. v.c E -V. 12 Giáo trình đại sổ hiện dại 2.3. BỔ đề. Cho f : X — > Y và q : X — » z là ¡lai ánh xạ giữ:ì các tập hợp. Khi đó các đicu kiện sau đây là tương đương: (i) Tồn tại m ột ánh xạ h : Y — ♦ z sao cho g = h o Ị .. (ii) Với các phần từ XI,X2 G X tùy ý. neu f ( x i) = ™ y(-r i) = 9{x 2)- Chứng minh. (/) = > (li) : Già sừ /(./■ 1) = T ừ g — h o f til M1V ra g(d-1) = /ỉ o /(.(•]) = / ỉ ( / U i ) ) = h{f(.r->)) = h o /(.!■>) = f/(■'■-') • (Ü) = > (i): Xét tương ứng h : Y I— > z được xác định ülur Sein: - Nếu y 6 f{X). tức tồn tại X G X sao cho f(x) — ỊJ. khi (ló ta đạt h{y) = g(x). - Nến y ị f( X) . ta chọn một phần tử : e Z cố định rồi d ặt /?(H() cho f o h = ly . (iii) f là song ánh khi và chi khi tòn tại hai ánh xạ q : y — - X và h : Y — > X sao cho g o f = l ỵ và f o h = ly. Chứng minh của định lý dễ dàng được suy ra từ Bô đề (2.3). chúng tôi xem như là một bài tập đơn giản cho người đọc. §3. Q uan hê Trong tiết này ta sẽ xét hai loại quan hệ hai ngòi quan trọng Iihất. đó là quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. 3 ẵl . Đ in h n g h ĩa . Cho X là một tập hợp. Ta nói rằng o là mọt quan hộ n-ngôi trên X Iiếu Í2 là một tập con của tích Descartes .V". Đặc biẹt. khi n là một quail hệ 2-ngôi trên X . thay vì viết (ci.b) e n người ta viết là HÍV>. Chương I. Sơ lược ve lý thuyết tập hợp 13 3.2. Ví du. Trên tập hợp N tất cà các số tự nhiên ta xác định quail hệ 2-iißöi O Iiliir sau: 1) O — ị{r)ị.n>) G N “ I đcu là những số chẵn}. Ta nhận thấy raus, từ Iiịíhh) suy ru riìíhiị. nhưng lúhi là không điíng với mọi số lè n. Trong trường h) G N 2 I ri] chia hết cho 7?2}- Ta dễ nhận thấy rằng nQĩi vtVi moi II G N. nhưng từ ĩ)ịíìiì'2 nói chung không suy ra v¿íiri\. Vậy trong tnràng lurp này quan hộ 2-ngói íì là phán xạ nlnrng không là đối xứng. ■i) ỉ ì = {(il \ . n>) € N " I ưức số clnuig 1Ứ11 nhất (/í 1. /ỉ 2 ) / 1} u {(1. 1)}. Rõ làng quan họ liai ngôi mới này là phàn xạ và đối xứng, nhưng từ lìịÍÌ7>2 và nói filling kliỏng suy ra ri.ịíhiiị (2fì(j và 603 nhưng ta không có 2Í23). Ta nới (jua.il hệ liai ngòi trong ví clụ này là Ị)hàn xạ. đối xứng nhưng không là hắc call. Dẻ thấy rang các quan hệ liai ngôi trong các ví dụ (1) và (2) đồu là hac cầu. Ví dụ 3.2 cho ta thấy có rất nhiều quan hệ hai ngôi thú vị trên một tập hợp cho tnrức. Sau đày chúng ta sẽ đưa ra hai loại quan hệ đặc biệt quan trọng trong dại số. 3 .3 Ỗ Đ in h n g h ĩa . Một quan hệ 2-ngỏi ũ trẽn tập hợp X được gọi là quan Ilf lirtnụ/ dưi/iụ/. nếu 11Ó tlioà mãn các tính chất sau. (i) Phàn .rạ: .tíì.r. v.r G X . (ii) Dối TỨ my. .VÍÌỊ/ = > fjQ.r. V./-,// G X. (iii) Bắc rầu: -I'íifj. fjílz ==> ẳríìz. v .r .y .z G X . Khi quail hộ tmrnji, đ m n i” íì đã dược xác định trên À”, thay vì viết xíìụ Iigưừi t a th in ni e, viết ./• ~ Ị/. 3.4. C h ú ý. Cho rỉ là một quan hộ tương đưưng trên tập hợp X và X Ễ X . l a gọi tập hợp íì(.r) = {ị/ e X I y ~ X} là lớ]') tương đmniíỉ, cùa X theo quan hộ tương đương ÇI. Dỗ thấy rằng- - íì(.v) Ỷ V1 Ễ í?(.r). - l ù . Y «(■*•) = -Ỹ. - V.r. í/ G À\ hoặc íìự) = íì(y) hoặc íì(x) n fl(y) = 0. T h ật vậy, nếu c e íì(.r) n V.(Ị/). ta suy la c ~ X và z ~ y. Do quan hệ f) có tính dối 14 Cilio Il ình đai so hiên đai xứng và bắc cầu, nên X ~ Ị). Điều này chứng tỏ hoặc íì(.r) = H(y) hoặc Í2(.r) n Í2(y) = 0. v.ỉ.ắ. y € X. Vậy ta nhận đưựC' một phân hoạch của A' qua các lcVp tương đ irang í ?(./•). Tập hợp tấ t cà các lớp tưưng đương này được ký hiệu là x / í ì và gọi là tập hợp thương của X qua qua.il hệ tương đương Í2. Hơn n ữ a ta có the xác định một ánh xạ 7T : X — * X/Q. 7r(.r) = Q(.r)ếV.r e X và gọi 11Ó là ánh xạ chính tắc sinh ìxri quan hệ tương đương Q. 3 .5 . Đ in h n g h ĩa . Một quail hệ ã2-njỉ;ói Q trên một tập hựp X (lược «ọi là quan hệ thú tụ bộ phận nếu quan hệ đó là phàn xạ. l)ắ(ề cầu và ph(in đói rứiiỊi (nghĩa là, từ x i l y . y í ì x = > X = y, v.r. y € X). Khi trên tập hợp X có một quail hệ thứ tự hộ phận Q thì ta nói X là một tập hợp được sắp thú tự bời íì. Thông thường người ta dùng ký hiệu < dể chì một (ịuan hệ thứ tự bộ pliận. Hai phần tử x. y e X đirợc »,ọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự bộ phận < nếu hoặc .V < ỊJ hoặc y < r. Clio A là một tậ p hợp COI1 cùa tập hợp X và X e X . Ta nói rằng là một cận dưới (cận trên) của tậ p .4 trong tậ p X nếu .r < a (« < x).\/a G .1. Đạc biệt, một ])hần từ X e X được gọi là phần từ cực đại (cực tiêu) <ếiểia tập hợp X . liến là cận trôn (cận dưới) duy nhất cùa tậ p {.(•} trong X . Quan hệ thứ tự 1)0 phạn < trẽn tạp li X là một song' ánh. - Đối xứng: X ~ Y = > Y ~ X , vì / -1 : Y — > X cũng là một song ánh. - Bắc cầu: X ~ Y, Y ~ z = > X ~ z , vì, từ / : X — Y và g : Y — > z là song ánh, suy ra h = g o f : X — » z cũng là một song ánh. Vậy. nếu cho một họ các tập hợp E nào đó thì quan hệ ~ xác định trên E là một quan hệ tương đương theo nghĩa của (3.3). 4.3. BỔ đề. Phép lấv tích Descartes và hợp là bào toàn tính tương đương. Nghĩa là, neu X ~ X \ và Y ~ Y\ thì các m ệnh đề sau là đúng. (i) X X Y ~ X i X Yi. (ii) Girl thiết, them rằng X n Y = X \ n Y] — 0 thì X u Y ~ X \ u Fj. Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại các song ánh / : X — » X i và g : Y — > yị. Ta xây dựng những ánh xạ mới như sau: ộ ; X X y — * X i X Y ị , ộ{x.y) = (f(x),g(y)),Vx 6 X ,V y e Y. X u y X i u Yi, ip(z) = f(z), nếu 2 G X, g{z). nếu 2 e Y. Dỗ kiểm tra th ấ y rằng 0, ọ là những song ánh, bố đề được chứng minh. □ 4.4. C h ú ý. Một cách tương tự ta có thể chứng minh mệnh đề tổng quát của Bô đề 4.3 cho nhiều tập hợp như sau: Cho (Xi)iç'j và (>'),£/. là hai họ các tập hợp với I là một tập chì số nào đó (có thể có vô hạn phần tử). Giả sư rằng Xị ~ y ị. V/ € /. Khi đó IIa !Ị' ¿6 / i£l IG ^ẽni() in n fl dại so bien dại i€l i€í 4.5. Đ inh lý C aiito r-B ern ste in . Cho X.Y lả hai tập hạp. s ế u X tưưng đương vói một rập hợp con cûa Y và Y rương dương với m ột tập Ììơp con cùa X Thì X rương đương với y. Chứnq minh. Theo giã thiết, tồn tại A’i ç A’ và )'i ç V sao cho A"i ~ Y. V] — X . Giã sử f : V ---- -V] là một soiiq ánh. Đật A’. = 1 ). \~1 A' ~~ Vi. y 1 — X-2 - suy ra A" — A’_>. Vậy. tồn tại một sons failli g : X — - A ). Đặt A'o = -V và qua còng tlil'rc truy chứng -Y„+ 1 = , - D 2. Bảy giờ ta dẻ th ấy các tậ p họp A". A l có thẻẽ biểu dien đ ư ợ c như sau X — D L D \ u [|A 1 A ọ ) L (A 3 \ A 4) u (Ar, \ A o )...]. A 1 — D ^ D 2 w ! (A ] A 2 ) o ( A :ị A 4 ) u ( A 5 \ A ())...]. Lai đãt Dị — ( - \ 1 A 2 ì w I A'-i A j í J ( A . i \ A ( j ) u... . Chương I. Sơ tược ve. tý thuyct tập hợp 17 ta nhặn được À' = Dị u {D u £>:()• A'| = D-2 u { D u D :i). Một lầ.11 nữa. áp dụng Chú ý (4.4) và (**) ta suy ra. X ~ A 1. Theo giã thiết bail đầu thì A'l ~ Y. Vậy A” ~ Y và định lý được chứng minh hoàn toàn. □ §5. T iên đ ề ch on và các m ênh đ ề tư ơ n g đ ư ơ n g Tiên đề sau đây giữ một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tập hợp. đặc biệt là cho việc nghiên cứu cẻác tập hạp vó hạn. 5.1. T iên đ ề chon. Clio X là m ột tập ìiợp tùy ý. KÌ1Ĩ dó luôn tồ 11 tụi một chill xạ ự} : 2a — ' À' stio cho ự>(A) e A .\/A ç X. A ^ 0. Ảnh xạ ọ được gọi là ánh xụ cìiọn trôn tập h ạp X . Trong một thời gian dài trước (lảy. rất nhiều nhà toán li(ểic muốn xem tiên đề chọn như là một định lý và cố gắng chứng minh 11Ỏ. Việc này đã đư a đến những tranh cãi lâu (lài, đặc biệt đã đặt ra cho logic toán và lý thuyết tập hợp những vấn đề lất khó khăn và qua.11 trọng. Mãi đến khi người ta nhận ra làng, có nliiồu định lý cơ bàn của toán học chỉ có thê chứng minh dược chặt chõ nếu người ta cõng nhận tiên đề chọn như là mọt tien đồ. Và h(rn nữa. chúng CÒ11 tương đưang với tiên đề chọn. Phát hiện sau cùng này đã chấm dứt mọi tranh cãi xung quanh việc công nhộn tiên đồ chọn hay không. Sau đây ta sẽ đưa ra m ột số định lý quan trọng trong lý thuyết tậ p lic/p tương đương với tiên đề chọn. ——------- ------— Clio .V là một tậ p hợp được sắp thư M M Q Ç M k p m v A H a X (lược gọi là một xích của X . nếu A với quan ĨRIÍNG TẲMỌGiiIỆU 1ỢỊ) X lập thành mót tập hự]) (hrợc sắp tiivến till 1. Một xích .1 cùa một t ậ p licrỊ) được sTtp HrtT-Ht V rìir (i)= > (ii) = > ( iii) = > ( iv ) = 4> tiên đề chọn. Tiên đê chọn = > (i): Trước hết ta định nghĩa một vài thuật ngữ mới. can thiết cho chứng minh. Một tập hợp con B của một tập hợp được sắp hoàn toàn A được gọi là một đoạn của A. nếu với b G B tùy Ý. thì {x € A I X < b} C B. Bây giờ. giã sử B là một đoạn của A và B Ỷ A. Vì A \ B ^ 0. tồn tại phần tử cực tiểu b trong tập hợp này. Ta dễ dàng suy ra B = {x E A \ X < b và X ^ b}. Khi đó ta nói đoạn B được sinh bời b trong tập hợp A và ký hiệu B = [.4.6]. Trớ lại chứng minh định lý. Clio X là một tập hợp tùy ý. Theo tiên đề chọn ta có một ánh xạ *p xác định trên tập hợp tất cả các bộ phận của X . sao cho với mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X xác định một phần tử >p{Y) G V. Ta gọi một tập hợp coil A của X là tốt. nếu nó là một tập hợp được sắp thứ tự tốt và với mọi phần tử a G Ả luôn có a = ¿(X\[A.a}). Rõ ràng luôn tồn tại tập hợp coil tốt trong X . vì là một tập hợp con tốt của À'. Hưn nửa. ta nhận thấy rằng mọi tậ p hợp con tốt đêu có phần tử cực tiểu là ^p(X). Vậy. nếu A. D là hai tập hạp tốt của X thì chúng có ít nhất một đoạn chung là {^(X )}. Đặt c là hợp của tất cà các đoạn chung của hai tập hợp này. Dễ thấy rằng c là một đoạn chung của cả hai tập hợp A và D. Giả sử rằng c không trùng với cả A và D. Vì c là tạp hợp tốt của hai tập hợp A và B. nên theo nhận xét ờ phần đầu chứng minh c — [A. ip{X \ C)] = [B. ifi(X \ C)\. Vậy C' = c u {-p(X \ C)} là một đoạn chung cùa A và B chứa thực sự đoạn c . Điều này mâu thuẫn vói tính cực đại cua c . Vậy. trong hai tậ p hựp tốt --1 và B phải có một tập h ạ p là đoạn cùa táp hợp kia. Bây giừ với ký hiệu D là hợp cua tất ca các tạp hạp coil tốt của À', ta.sẽ chứng m inh D cũng là một tập hợp con tốt cùa X. Tliạt vậy. nếu a.b là hai Ị)hần tử tùy ý cùa D. thì a.b phải nằm trong hai tậ p h ạ p COI1 tốt A. B cùa -V. suy ra chúng thuộc vào tập h ạ p lớn hơn. chẳng hạn là A. Khi Chĩcơng I. Sơ lược về lý thuyết tập hợp 19 đó ta xác định (I < b trên D khi và chi khi a < b theo quan hệ thứ tự toàn phần trên .4. Rõ làng cách xác định này làm D trờ thành một tập hợp được sắp tuyến tính. Giả sữ D không phải được sắp tốt. tức tồn tại một tập hợp con không rỗng E c D sao cho trong E không có phần tử cực tiếu. Từ đây SUY ra [E.x] củng là một tập hợp không có phần từ cực tiểu với mỗi X e E cho trước. Điều này mâu thuẫn, vì [E..r] luôn nằm trong một tập hợp con tốt cùa X . Vậy D là một tập hợp được sắp thứ tự tốt. Hơn nữa. nếu » 6 0 thì u phái nằm trong một tập hợp con tốt .4 nào đó. Do đó ta nhận đ ư ạc a = ự{X \ [-4.a]) = ^(-Y \ [D.a]). Điồu này chứng minh rằng D là một tập hợp con tốt của X. Già sư D Ỷ X. Khi đó tập hợp D' = D u {^(A '\ D)} sẽ là một tập hợp con tốt chứa thực sự D. Kết luận này mâu thuẫn với cácli xảy dựng của D. Vậy D — X. tức tập hợp A’ đ ã được sắp th ứ tự tốt. (ị) = > (//): Cho A là một xích của tập hợp được sắp thứ tự bộ phận X. Nếu .4 = X ta không CÒ11 gì đê chứng minh nữa. Trái lại. nếu B = X \ A ^ 0. dựa vào (i) ta có thể giả thiết trên B có một th ứ tự được sắp tốt. C hú Ý rằng thứ tự Iiày hoàn toàn độc lập với thứ tự bộ phận của X hạn chế trên B. Ta sẽ phân hoạch B thành hai tập hợp con C.D như sau: Phần tư cực tiểu b E B sẽ thuộc c neu b so sánh được với mọi phần từ của .4. CÒ11 ngược lại ta cho b G D. Cho .ỉ’ là một phần tử tùy ý cùa D và già sử rang mọi phần từ của [#../■] đã biết tlniộc c hay D rồi. Khi đó. ta chơ .V E c nếu ./■ so sánh được với mọi phan từ cùa .4 và với mọi phần tir của (theo quan hệ th ứ tự bộ phận cùa À'), ngược lại thì ta cho X G D. Xót tập hợp .4' = .4 u c . Rõ ràn» .4' là một xích của X và là một xích cực đại chứa A. vì mỗi phần tử cùa D khòng so sánh được ít nhất với một phần từ của c. (//) = > (Hi): Clio .V là một phần từ tùy Ý của tập hợp được sáp bộ phận A'. Nếu .r là cực đại thì mệnh đề được chứng minh xong. Già sư .V không phải là phần từ cực đại. Khi đó. theo (ii). xích gồm một phần tư {.;■} phải nằm trong một xích cực đại Ả nào đó cùa .v. Theo già thiết tồn tại một t ận trên I) cùa .4. tức tì < b.Va G -4. Nếu b không phải là phần từ cực đại. tồn tại một phần từ c Ỷ b sao c-lio b < c. Từ đây suy ra a < c.Va 6 .4. Vậy A u {c} là một xích mới thực sự d u ra .1. Điều này màu thuần với tính cực đại của .4. do đó I) là một phần tư cực dại cua A\ 20 Guio trình đại số hiện dại (i.ii) = > (ir): Clio À' là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và ì ' một tập hợp các tập hợp coil của X thoà mãn giả thiết cùa (iv). Chú ý lằng. với quail hệ bao hàm C trờ thành một tập hợp được sắp th ứ tự hộ phận. Đé chứng minh trong X có một phần t ư cực đại ta chỉ call cluing minh rail", mọi xích trong X đ'óu có cận trên trong X. Bây giờ gọi V là hạ]) của tất cá các tập hự]) trong một xích cua X. Rõ làng V là một cận tròn của xích này trong tạp liap 2a . Việc CÒ11 lại cùa ta là ( 111 ra V E X. Gia sư {/•]....../•„ } 1Ì1 mót tạp hợp con. hữu hạn nào đó ( lia V. Do mỗi r, thuộc vào một tạ]) hạp .1, nào dó trong xích ta đang xét. liên tồn tại một tập hợp. chằng hạn A\. dura tất cà những tập CÒ11 lại. Suy ra {<’1......i’„ } ẽ X. Theo giả thiết cùa (iv) ta đi đến V e X. (ir) = > Tiên đ f chọn: Clio A” là một tập hợp tùy ý. Xét tập hợp .1' mà tất cà các phần tư của nỏ là những tập hựp con cùa, X thoả mãn tiỏii de chọn. Rõ ràng tập hợp này là. không rỗng, vì mọi tập hợp coil, hữu hạn phần tứ của X đều thuộc X. hơn nửa X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận theo quan hộ hao hàm. v ấ n đề CÒ11 lại là chứng minh X G X. Thật vậy. cho r = (As) một xích tùy ý (ệùa X. Đặt Ả = u.s-4.s. Vì A s thoã mãn t it'll (Té chọn nên trên I1Ó tồn tại ánh xạ chọn ly0H. Khi đó ta xác định trên A một ánh xạ -p sao cho trên mỏi A s 11Ó trùng với Rõ làng là một ánh xạ chọn của A . Vậy A E Ằ' là mọt cận trên của xích r trong X. Sừ (lụng tính chất này với chứng minh hoàn toàn tương tự như trong (iii) = > (iv) ta suy ra trong Ằ' có ít nhất một phần tư cực đại r. Giã sử V / X. tức tồn tại mọt phần tứ ./■ G -V \ V. T ừ dây suy ra ngay rằn« r u {./■} e Điều này máu timan với tính cực dại của r. Vạy V — X và định lý được chứng minh đầy đù. □ B ài tâp 1) Clio X và {A,},(Z¡ là những tập hợp. Chứng minh các công thức sau đáy: (i). X \ ( n i €ỉ A ẻ) = Ui €l ( X \ A â). (li). X \ (U,e /.4,) = n i6 /(A' \ .4,). 2) Cho f : X — * ) là một ánh xạ và c. D là hai tập h ạp coil cẻùa Y. Chửng minh các tính chất sau là đúng. (i). j - l(CUŨ) = , r 1( C ) U / - 1(D). (ii). f ~ l { c n D) = f - ]( C ) n f - l (D). (iii). ./-'(}• \ C ) = x \ f - ! (C’). ('hirơỉiỊỊ I. Sơ iươc. vo ly ltiiụ/ci lập hợp - Ẩ .■{) Cho /' : X — - V’ và (/ ■ ) — • z là những song ánh. Chứng minh lằng i/o / lại là song ánh và ( là tập hợp tất cá các ánh xạ từ tap hạp V vào tạp hạp X. Chứng minh rang với 4 tập hạp tùy ý A. B .c . D thoà mãn tính chất .4 — B và c ~ D ta luôn có ,4( ~ B n . 9) Ký hiệu 2a là tậ p h ạ p tấ t cà các tập hợp coil của tạp hợp X . ( ’hứng miiili rằng lực lưựng cùa liai tập hựp A' và 2A là khác nhau. 10) Cho > là một quan hộ th ứ tự bộ phận trên tập hạp X . Cliửnu, minh các niệuli đồ sau đày là tưưng đưưng: (i). Mỗi tập hạp con khác lỗng ) cua X chứa ít nhất một phan tư cực tiểu. (ii). Mỗi xích giàni rác ])hần từ cùa À' ■l'\ > -r > > ••• > > ... đều dừng, tức tồn tại mọt số tự nhiên Ả' sao cho .Vị,- = .;■/,+ ] = ■■■■ Chương II NHÓM Lý thuyết nhóm thuộc vào một trong các lý thuyết được phát tricii sám nhất, do vậy rất phong phú và có nhiều ứng dụng nhất trong đại số. Ngoài các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm được trình bày trong chinmg này. ta sẽ đư a thêm khái niệm phạm trù. không những' nhằm làm gọn h) được gọi là phần từ đơn vị của G. Phần tử b trong (G:ị ) được gọi là phần tử nghịch đàu của a trong G và ký hiệu là a - 1 . Khi chỉ có một nhóm G cho trước ta ký hiệu phần tử đơn vị là e như ờ trên. Nến có nhiều nhỏm G . H , ... ta sẽ dùng các ký hiệu ec,.CỊ{.... đe chi các phần tử đơn vị củk các nlióni G. H ....... Nếu phép toán trên G thoá mãn thêm điồu kiện (G,i) Giao hoán: ab = ba. Va.b G G. thì ulióm G được gọi là nhóm Abel. Nhóm Abel nhiều khi CÒ11 được gọi là nhóm giao hoán. Thông thường người ta quen viết phép toán trên một nhóm Abel theo lối cộng: (I + I) và gọi là tòng của (I YÌ\ ị) trong G. Khi đó. tư ơ ng ứng V('ri Ị)lian Chương 1 1 . ỉ\noin 23 tư đơn vị e trong nhóm Iiliản là phần tư không, ký hiệu 0 . và phần tư nghịch đảo r/ -1 ểsõ là phần tư đối. ký hiệu —a, trong một nhóm cộng. Một nhóm 6 ' được gọi là hữu hạn hay vô hạn nếu tập hợp G là hữu hạn hay vô hạn phần từ. Trường hợp nhóm G là hữu hạn thì số phần từ của G được gọi là cấp của nhóm đó và ký hiệu là I G I . 1 .2 . T í n h c h ấ t . Ta sẽ dưa ra ờ đây những tính chất đơn giản nhất của một Iilióm G : 1) Phần từ đơn vị e của G được xác định duy nhất. Thật vạy. nếu e' cũng là một phần tử đơn vị. suy ra e = ee' = e '. 2) Mỗi phan từ a cùa G chì có duy nhất một phần từ nghịch đảo a ~ l . hơn nửa e ~ l = e. (a _1 )_1 = a uà {ab)~i — b~la ' . Thật vậy. nếu b.c là hai phần từ nghịch đào của a. suy ra I) — be = b(ac) = (.ba)c — ec = c. Phần CÒ11 lại đirợc suy ra một cách tương tự. 3) (Luật giản ước) Cho a .b .x là những phần từ tùy ỷ cùa G. T ù các đẳng thức xa = xb hoặc ax = bx đầu suy ra a = b. Thật vậy. nhản vào hôn trái liai vế cùa đẳng thức ,ia — xb với x ~ 1. suy ra a = en = (x~lx)a = x~ (xa) — x ~ 1xb = ( x ~ l .r)b = eb = b. Phần còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự. 4) Trong G các phitơnq trình xa — b và a.r = b có nghiệm duy nhất. Thật vậy. .r — ba~l là nghiệm của phương trình đần và là duy nhất do tính chất .Ếỉ. 5) Cho a G G. ta xác định a° = e. a" = a...a (n-phần tứ a) và a~" = (a-1 )". Khi đó ta được a na m = a" + ,n. {a")m = a "m. hơn nửa, nếu G lả Abel thì (ab)" = a ¥,bn,V a.b e G. Các công thức trẽn được suy ra dễ dàng từ định nghĩa. 1.3. V í d u . 1) T ập hợp tấ t că các số nguyên z với phép toán cộng lạp thành một nhóm Abel. Cũng như vậy. tập hợp tất cà các số hữu tỳ khác không Q ' với phép nhân thòng thường lập thành một nhóm Abel. 2) Cho G là một nhóm và X là một tập không rỗng. Tập hợp tất cà các ánh xạ tir -V vào G. ký hiệu M(X.G), là một nhóm với phép toán nhàn được định nghĩa như sau: đổi với hai ánh xạ tùy ý f.g e M(X G ) ánh 24 (¡/án trình đại số hiên đai xạ tích Ị'Ị! được xác định qua c óng thức {/<]){.!') = f{x)g(.r). v.r £ A\ Khi dó. phần tử đơn vị cùa M(.X.G) là ánh xạ cho ứng mọi phần tư rùa A' lén phần tử đơn vị cua ( ! và ánh xạ nghịch đào / _l được xác (lililí }XVi (/,_l )(.»•) = (/ (./■))“ 1. v.r G À'. Ta cũng dễ chứng minh đ ư ạc rằn« M(X.G) là một nhóm Abel khi và chi khi G là một nhóm Abel. ;ị) T ạp hợp tất cà các ma trận vuóng cấp n có định thứ(Ệ khác klion» C !L ( i i .R ) t r ê n t ạ p h ạ p c á c s ố t h ự c R v ớ i p h é p n h í m 11WI t r ậ n t h ô n » i l n r ừ n » lặp thành mót nlióni. ítinrc gọi là n h ó m l u y e n l í n h (Ỉ(ÌỊ) (lũ c ấ p II v ó i he >ố trong R. Rõ làng nlióm này là Abel khi và chi khi /7 = 1. 4) Cho A' là một tập hợp khác rỗng. T ập liựp tấ t cà cá(ệ song ánh từ X 1Ỏ11 chính 11Ó. ký hiệu S(X), là một nhóm nhân với phép toán nhản chính là phép lấy hợp thành hai ánh xạ đã (lược định nghĩa trong Chương I. ((2 . 1). (v)). Phần từ đơn vị cùa S{X) là ánh xạ dồn“, nhất l y và phần từ khá H”liị(ii cua môt song ánh f G ễS’(A’) chính là ánh xạ ngircrc f~ l. Nliổin S{.x I f 11 r . Tlico định nghĩa, một nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thế viết dược dưới đạiiị> G = ịa" I /í € Z}. Bâv giờ có hai klià năng xây ra: 1) a" / u"3 với mọi cặp số nguyên khác nhau Ii.ru. Rõ ràng khi đó cấp cùa nhóm xycli(ệ G là vô hạn. 2) Tồn tại hai số nguyên kliác nhau /í. 7/7 sao cho a" = a"‘. Từ (lây cũn» suy ra 0. H = n H ’ A C H .11 < f í ] heo Mệnh đồ (2.4). (i) thì < .4 > là một nhóm con Cềủa G chứa .4. Nhóm con này dược gọi là nhóm con được sinh bời tập hợp A. Đặc biệt, liến G = < A > thì tập hạp A được gọi là hệ sinh của nhóm G. Nhóm G được gọi là hữu hạn sinh nốu 11Ỏ dược sinh bời một tậ p hợp hữu hạn. Chú ý rầng. khi tập li(rp A chi gồm một phần tử a thì nhóm con < A > chính là nhom con xyclic sinh l)(Vi a đã nói trong Ví dụ ((2.3), (2)). Chương II. Nhóm 27 2 .6 . M ê n h đ ề . Cho A là m ột tập hợp con của m ột nhóm G. K hỉ dó mọi plìHii từ cùn nhóm coil < A > đóu có thổ vjẳct (lưới dụ ng tích cùtì m ột d ã y hữu ìicin (ậỉíc phiìii tứ cùa A u ở đây A~' = {./■ G G I J’- G A). Chứng minh. Đặt T = {ữ ị.,.o„ I CLị G (>4 u A * ). Ĩ1 G N }. Nếu H là một nhóm con cùa G chứa A thì ç H . Suy ra theo định nghĩa cua nhóm coil thì T ç H. điều này chứng tò T c < A > . Vậy. đê chứng minh T =< A > ta chỉ cần chi ra rằng T là một nhóm con mà điều này là hiển nhiên. □ Đối với các nhóm xvclio thì nhóm con của chúng có thể nhận biết một cácli dễ dàng qua mệnh đề sau đây. 2.7. M ên h đề. Moi nhóm con thực sự cúc ì m ột nhóm xyclic lù xvcỉic. Chứ 11 g minh. Giã sư Ci =< Ü > là một nhóm xyclic và H là một nhóm coil thực sự cùa 11Ó. Vì H e > 11011 tồn tại một số nguyên k Ỷ- 0 sao ('11G (/' G H và do vậy 0. Gọi s là số tự nhiên bé n h ất có tính chất as G H. Rõ ràng < os > ç H. Ta sẽ chứng minh < (Is >= H. Thật vậy. nếu tồn tại một phần từ a' G H mà u' ị < us >. từ đày suy ra r không cilia hết cho s. Vậy phải tồn tại liai số nguyên J\ ỊJ sao cho r.r + ys = (r. .s) = d < s. Do đó ta nhận đươc 11 = o r v+S!/ = a'1 e H. Điều này màu thuẫn với già thiết tối thiểu cùa s. Vạy H = < as > là một nhóm xyclic. □ Cho H là một nhóm coil cùa một nhóm Ci. Trôn G ta có thè xay dưng liai quail hệ 2-ngôi R và R' như sau: Với ,1\ỊJ là liai phần tử tùy ý của G. xfíij « ¿/.r-ề e H. ■vR'ỵ <=» .v~lỊ/ 6 H. 2K Giáo trinh đại số hiện đại Ta dễ kiểm tra thấy R và R' là những quan hệ tương dương trẽn 6 '. Hcrn nữa, có thể tính được lớp tương đương R(x) và R'{x) (xem phần (I. (3.4)) của một phần từ X G G : R(x) = {y e G \ y x ~ l e H } — {y I 3h € H : y = hx) = /Í£. Tương tự ta cũng nhận được R'(x) = {y e G I x - 1 y e //} = {y \ 3h e H : y — x h } = ./://. Vậy (Hx),ẩec; và ( x H ) r ): \ ì H là nhóm coil chuẩn tắc của G. liên với X £ G .h £ H cho trước, luôn tồn tại h' G H sao cho /ỉ.r = x h '. Từ đày suy ra x~lhx = .r-Krh' = h' € H. (< = ): Giả sử H là một nhỏm con và x~ lhx G H. v.r G G. v/ỉ G H. Ta SUV ra hx G xH. V/? G H. tức H.r ç xH. Tương tự. từ (.r- 1)- 1/ỉ.r_1 e H. v.r G G. v/ỉ € H suy ra x H Ç Hx. Vậy H x = xH. v.r e G. tức H là nhóm con chuẩn tắc của G. □ :«) (jKK) /linh - /„ là một tự đ ằn g cấu. được gọi là tự đẳng cấu trong cùa nhóm G sinh KJIUU 11 inn a<11 so men (101 bời phần tử a. Trong trường hợp G là một nhóm Abel, vì /,j(x) = a ~ l.ra — X nên G chi có duy nhất một tự đẳng cấu trong là đồng cấu đồng nhất ìc Bảy giờ nếu N là một nhóm con chuẩn tắc cùa G. theo Mệnh đề (3.3) thì a ~ xN a = N. Ma G G. tức f„{N) = N. Va £ G. Điều này Iiói lén ràng, một nhóm coil N cùa G là nhóm con chuẩn tắc khi và chi khi I1Ó là bất biến đối với tất cà các tự đằng cấu trong cùa G. 3) Ký hiệu R là tậ p h ạ p các số thực và R + là tập hợp tấ t cả các số thực dương. Khi đó ánh xạ logarit log: R + — R là một đồng cấu từ nhóm nhản R * vào nhóm cộng R. 4.3. T ín h c h ấ t. Ta sẽ đư a ra một số tính chất đơn giản của đòng cấu nhóm mà chứng minh xin được xem Iilnr là những bài tập dễ cho đọc giã. 1) Cho / : G — * H là một đồng cấu nhóm, e<3 và e// là các phần tử đơn vị cùa các nhóm G và H . Khi đó ta có: ĩ(e c) = eH / ( z _1) = ( f i x ) } - 1. Vx e G. 2) Cho j : G — ’ H và g : H — > K là những đồng cấu giữa các nhóm. Khi đó ánh xạ hựp thành g o f : G — • K cũng là một đồng cấu nhóm. 3) Cho / : G — » H là một đồng cấu nhóm, A là một nhóm con của G và D là một nhóm COI1 của H. Dựa vào Mệnh đề (2.2) ta có thể kiểm tra dẻ dàng được rằng f(A) là một nhóm con của H và / _ 1(-B) cũng là mọt nhỏm con của G. Đặc biệt, khi A ~ G thì f(G) là một Ílhóm con của H. gọi là ảnh của G qua đồng cấu / và được ký hiệu là Im /. Mặt khác, vì {( H } là một nhóm COI1 của H uên / - 1(etf) củng là một nhóm con của G. gọi là hạt nhân (hoặc gọi là hạch) của đồng cấu f và được ký hiệu là Ker f. Ta Iihận thấy lằng với những phần tử x .y e G tùy ý thì f(x) = f(y) khi và chi khi / ( ^ y ” 1) = / ( ^ ) ( / ( y ) ) _1 = €[{■ tức xy~x 6 Ker f. Điều này chứng tỏ ràng / là một đơn cấu khi và chi khi K e r/ = {ec}. Chương II. Nhóm 33 4.4. B ổ đề. Cho f : G — * H là m ột đòng cấu nhóm và N là m ột nhóm con chuẩn tắc của H. Khi đó f~ ì(N) là m ột nhóm con chuâp tắc của G. Chứng minh. Như đã biết ờ trên. f~l{N ) là một nhóm con của G. Đê chứng minh 11Ó là một nhóm con chuẩn tắc ta lấy a G G và X G là những phần từ tùy ý. Vì f(x) G N và N là Ilhóm con chuẩn tắc của H nên ẽ N. Từ đây ta suy ra f(a~ ìxa) = {f{a))~lf{x)f{a) e N. Điều này chứng tò a~lxa G f ~ l(N) và / _ 1(Ar) là một nhóm coil chuẩn tắc của G. □ 4.5. H ê quả. Cho f : G — * H là m ột đòng cẩu nhóm. K hi đó Ker / là m ột nhóm con chuân tắc của G. Bây giờ. giả sừ f : G — * H là một đồng cấu nhóm. Đặt N = Ker /. Theo trên thì Àr là một nhóm COI1 chuẩn tắc của G nên có nhóm thương G/N. 4.6. Đ inh lý. Cho f : G — * H là m ột đòng cấu nhóm với hạt nhàn N — Ker /'. Khi đó ánh xạ g : G /N — H càm sinh từ ánh xạ f bằng cách đặt g(xN ) = / ( ệr). v.r G G là m ột đòng cấu nhóm và là m ột dơn cấu. Hơn nữa nếu f là toàn cấu thì g là m ột đằng cấu. Chứng minh. Đè chứng tò g xác định như trên là một ánh xạ, ta phải chi ra rằng 11Ó không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện trên một lớp ghép xN , tức f ( x ) — f ( y ) nếu x N = yN. Thật vậy, theo giả thiết tồn tại những phần từ «. b G N sao cho xa = yb. Với chú ý rằng f(a) = f(b) = eỵ. ta suy ra f { x ) = f { x ) e H = f ( x ) f (a) = /(.ra) = f(yb) = f {y) f {b) = f ( y ) e H = f{y). Hiển nhiên q là một đồng cấu vì g(xN. yN) = g( xyN) = f{xy) = f{x)f {y) = g{xN)g(yN). Mặt khác, từ g(.vX) = e u ta suy ra X G K e r /. tức x N = ec;N. Vậy g là một đan cấu. □ 3 4 Giáo trình đại số hiện đại 4 .7 ễ P h â n loại n h ó m x y c lic ề Ta sẽ áp dụng Định lý (4.6) dể phán loại hoàn toàn các nhóm xyclic. Cho G =< a > là một nhóm xyclic sinh bời phần tử a. Xét ánh xạ / : z —+ G. f(n) = a", Vn e z trong đó z là nhóm cộng tấ t cả các số nguyên. Rõ ràng / là một toàn cấu. Đặt / = Ker / = {n e z I an — e}. Nếu n e / thì -77 G I. Suy ra phải tồn tại một số nguyên không âm nhỏ nhất s có tính chất se/. Dễ thấy rằng khi đó về mặt tập hợp thì I = sZ = {sn I n G z}. Bây giờ ta phản biệt hai trường hợp: 1) s = 0. Khi đó / = ũ z = {0}. nên theo (4.6) thì / là một đẳng cấu. Trường hợp này ta suy ra G = z. 2) s > 0. Khi đó lại theo (4.6), toàn cấu / cảm sinh ra một đẳng cấu g : Z / s Z SỂ G. Nhóm thương Z/sZ chính là nhóm cộng các lớp thặng dư theo móđun s đả quen biết và thường được ký hiệu là Z s . Vậy ta đ ã chứng minh được kết quả sau đây: Mọi nhóm xyclic có cấp vô hạn đêu đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên z. Mọi nhóm xyclic hũu hạn cấp s đầu đẳng cấu VỚI nhóm cộng Z s các lớp thặng du theo m ôđun s. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một số định lý quan trọng về đẳng cấu nhóm, rất hay được dùng đến. 4.8. Đ inh lý. Cho G là m ột nhóm, N là một nhóm con chuân tắc và M là một nhóm con cua G. K hi đó N M là nhóm con của G và ta có đẳng cấu NM/N 3Ể M/(N n M). Chúng minh. Với các phần tử a.c 6 N và b.d e M tùy ý, vì N là nhóm con chuần tắc của G. ta suy ra abcd — albcb- 1 ) ^ ) e N M . Vậy X M đóng đối với phép nhân. Rõ ràng e = ee e N M . Hơn nửa, nếu ab e -V.U thì (ab)~l = b~l a ~ l — (ò- 1a _ 1a)a _1 G NM. tức' trong N M luôn có phần tử nghịch đảo. Vậy NAI là nhóm con của G. Vì N là nhóm con chuẩn tắc của G nên theo Hệ quả 3.4, N là chuẩn tắc trong NAI vh N n M là chuẩn tắc Chương II. Nhóm 35 trong M, Iighĩa là các nhóm thương NM/N và M/(N n M ) hoàn toàn được xác định. Bảy giờ ta xét ánh xạ o : M — > iVJl//JVễ ó(b) = bN. Vò e .\I. Hiển nhiên o là một đồng cấu và là một toàn cấu. Vậy theo (4.6) ta nhận đưạc đảng cấu . M / Ker ộ = N M / N . Mặt khác, vì Ker o — {b G M I bN = eN} = {b e M \ b E N } = N n M. nên cuối cùng ta suy ra NM/N ^ M / Kero = M/{N n M). 4.9. Đ inh lý. Cho f : G — - H là m ột toàn cấu và N là m ột nhóm con chuàn tắc chứa Ker / cùa G. Dặt M = f(N). Khi đó. M lả m ột nhóm con chuãn tắc của H và ta có đằng cấu G /N ẼS H/M. Chứng minh. Đè chứng minh M là nhóm con chuẩn tắc của H ta phải chi ra rằng y ~ l by £ M. Ví/ e H. Vò G M. Thật vậy. vì / là toàn cấu nên tồn tại X G G và CI € N sao cho /(.r) = y và f(ci) = b. Từ đày suy ra y - lby = ( f ( x ) ) - lf(a)f(x) = f ( x - 'a x ) e f(N) = M. Xét toàn cấu chính tắc p : H — * H/M. Vì / là một toàn cấu nên đồng cấu hợp thành của hai toàn cấu pof : Cĩ — ‘ H/.M cũng là một toàn cấu. Dè thấy rằng Ker(p o / ) = D N . Nếu CI 6 f ~ ỉ {M) thì tồn tại b e N. f ( a ) = f(b). suy ra f{ab~l) = f ( a ) ( f ( b ) ) ~ l = e. Điền này chứng tò aồ~' G -V. tứ c a e N. \'ặ v ta suy ra Ker(p o / ) = .V. Áp dụng (4.6) ta suy ra G/N — H / Ker(p o f) = HIM. 36 Giáo trình đại số hiện đại 4 .1 0 . H ê q u à ể Cho N. M là hai nhóm con chuẩn tắc cùa m ột nhóm G . Giả sử M là nhóm con của N. Khi đó ta có đằng cấu G/N ^ (|G / M ) / { N / M ). Chứng minh. Áp dụng Định lý 4.9 cho trường hợp / là toàn cấu G — * G /M ta có ngay Hệ quả 4.10. □ §5. P h am trù và hàm từ Lý thuyết phạm trù ra đời vào khoảng năm 1945. Nó được phát trien không chỉ đơn thuần như là một lý thuyết toán học nhờ vào những clịnli nghĩa và phương pháp mới, m à quan trọng hơn, nó thâu tóm được các khái niệm của nhiều ngành toán học khác nhau vào trong một ngôn ngữ chung, tổng quát hơn. Đặc biệt lý thuyết phạm trù tạo khả năng phát biểu những tính chất chung của những cấu trúc toán học khác nhau và nghiên cứu chúng. Có rất nhiều cách để định nghĩa một phạm trù. Định nghĩa mà ta đưa ra sau đây nhằm thích hợp cho những loại phạm trù quen biết như phạm trù các nhóm, các nhóm Abel và đặc biệt là các phạm trù môđun. loại phạm trù sau cùng này chính là động lực cho sự phát triển của lý thuyết pliạni trù. 5 ềl . Đ in h n g h ĩa p h a m t r ù . Một phạm trù K được cho bới: ( K i) Một lớp các vật O b (K ) m à mỗi phần từ của ổ b ( K ) chrợc gọi là một vật của phạm trù K. {K'2 ) Hai vật A, B tùy ý của O b(K ) luôn xác định một tập hợp Moĩk(-4. B). gọi là tập hợp các cấu xạ từ vật A đến vật B , sao cho với hai cặp khác nhau của các vật (A, B ) ^ (C, D) thì M orK (.4, B ) n MorK(C, D ) = 0. {K-¿) Với mỗi bộ ba (A, B, C) tùy ý các vật của O b(K) luôn có một ánh M orK ( ß , C ) X M ork {'A, B) 3 (/3,a) I— > ß a e MorK(A C ). gọi là phép nhản, sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn: (i) Kết hợp: 'y(ßa) = (7 ß)a. Va G MorK {A,B), ß e Moi'kLD.C). 7 € Moi-k(C, D). Chương II. Nhóm 37 (ii) Có đồng nhất: Với mỗi vật A e Oò(K) -tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ 1.4 G M oi’k (-4. ^4). gọi là phần tử đồng nhất, sao cho Q 1 _4 = 1 ũOt = a, V a 6 M o ĩ k (A.B). Khi phạm trù K đã xác định trước thì để cho tiện ta viết Mor(j4, B ) thay cho Moik (A-Ö) và ký hiệu Mủr(K ) = ẵ u Mor (AB). A.BeOh(K) Ngoài ra ta cũng viết A e K thav cho A G O b(K ), Q G K thay cho a e Mor(K) và viết a : A — > B thay cho Q e M o ĩk ( Ạ B). 5.2. M ênh đề. Đồng nhất 1.4 xác định như trong (K[ị), (ii) là duy nhất. Chúng minh. Già sử là một đồng nhất khác thoả mãn ( K 3), (ii) thì e.4 = P.4 I/I = 1A- □ 5.3. Đ inh nghĩa. Cho K là một phạm trù và Q ■ A — > B là một cấu xạ. Khi đó ta có các định nghĩa sau đây. (i) Q được gọi là đơn cấu nếu cryi = c*72 ==> 7 i = 72, v c e K , V7i,72 € Mor(C, A). (ii) ữ được gọi là toàn cấu nếu ß ia = ß 2a = > ßi= p 2 , v c G K . V/?!./?2 G M or(B .C ). (iii) a được gọi là song cấu nếu Q vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu. (vi) Q được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại 0 G Mor(jB..4) sao cho ị3q — 1.4 và a ß = lß. (v) Nếu A = B thì Q được gọi là tụ đồng cấu. Một cấu xạ vừa là tự đồng cấu vừa là đằng cấu thì được gọi là một tụ đẳng'Cấu. 5.4. M ên h đ ề Một đằnq cấu luôn là một song cấu. Chúng minh. Già sử Q : A — * B là một đằng cấu, tức tồn tại ¡3 € Mor(B. A) sao cho 3a = 1.4 và a d = lß . Với 71,72 € Mor(C, A) tùy ý thoả mãn tính Giáo trìtih đạt số hiện đại chất Q~n = Q')’2ề t a s u y ra “ 1 = 1.471 = /3(Q7i ) = ) = 1.472 = "2 - Vậy o là một đơn cấu. Tương tự. cho 71-72 € Mor(¿?. C) tùy V thoả m ãn 'l O = 72°- ta su>' ra 7 l = I ' l l D = ('iQ ).i = ('>20 ) Ổ = 72 l ũ — 72- Điều này chứng tò o cũng là một toàn cấu. Vậy Q là một song cấu. □ Chú ý rằng mệnh đề dào của 5.4 cũng đúng đối với các phạm trù quen biết như phạm trù Iihóm. phạm trù móđun. Iiliưng 11Ó khõng còn đúng với một phạm trù tổng quát nữa. 5.5. V í du. Trong các ví dụ sau đây chúng ta sẽ chi đưa ra lớp cáo vật theo {K\). tập hợp các cấu xạ Mor(.4. B ) theo (Ko) và phép nhân 3ữ cho các cấu xạ a 6 Mor(i4ểf?). 3 G M o r(B .C ) theo Việc chứng minh chúng thỏa mãn các tiên đề đẽ lập thành một phạm trù xin được xem như là những hài tập đơn giãn cho đọc giả. 1 ) Ph ạm trù cácẳ tập h ợ p ©. - O b (0 ) = Lớp tất cà các tậ p hợp. - Mor(A.B) = T ập hợp tấ t cả các ánh xạ từ A vào B. - ß a = Ánh xạ hợp thành của Q và 3. 2) Phạm trù các nhóm ©. - O b (0 ) = Lớp tấ t cả các nhóm. - i\Ior(.4. B) — Hom(A B) = Tập hạp tất cả các đồng cấu nhóm từ nhóm A đến nhóm D. - Tích các cấu xạ = Ánh xạ hợp thành. 3) Phạm trù các Tihóm Abel 21. - O b(2l) = Lớp tấ t cả fácế nhóm Abel. - MorL4. B ) = Hom(.4. B) — Tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ nhóm Abel .4 vào nhóm Abe] B. - Tích các cấu xạ = Ánh xạ hợp thành. 4) Phạm trù các không gian tôpô T. - Ob(T) = Lớp tấ t cả các không gian tòpô. - Mor(.4. B) = Tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục từ không gian tỏpó A vào không gian tôpỏ B. Chxrơng II. Nhóm 39 - Tích các cấu xạ = Anh xạ hợp thành. Trong hấn ví dụ trên các vật của phậm trù được xét là những tập hợp không có (trong 0 ) hoặc có một cấu trúc thêm vào và các cấu xạ chính là các ánh xạ bão toàn các cấu trúc này. Các ví dụ tiếp theo đây không còn các tính chất đó nửa. 5) Phạm trù lập từ một tập hợp đicợc sắp. Cho (X. <) là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận. Một phạm trù X được xảy dựng từ X như sau: - Ob(X) = X . ( (.4 < B). nếu A < B, - M or(A B) = ị[ 0 . trường hợp còn lại . Nghĩa là trong trường hợp A < B thì Mor(A B) chi có duy nhất một phần từ được ký hiệu là {A < B ). - Tích các cấu xạ: ( B < C)(.4 < B) = (.4 < C). Ta cũng thấy ngay rằng phần tử đồng nhất 1 4 = (.4 < .4). 6 ) Phạm trù lộp từ một nhóm. Cho G là một nhóm nào đó và * là một vật. Ta xây dựng được một phạm trù G như sau: - O b (ỡ ) =ế {*}. - Mor(*. *) — G. - Tích các cấu xạ = Phép toán của G. Khi đó rõ ràng phần từ đồng nhất 1. chính là phần tử đơn vị của nhóm G. 7) Phạm trù đối ngẫu. Clio K là một phạm trù. Phạm trù đối ngẫu K° được cho hời: - O b(K °) = O b(K ). - M o r K ° ( ^ 4 . 5 ) = M o i ' k ( 5 . A). - Tích các cấu xạ chính là tích được xác định trong phạm trù K. Giống như các ánh xạ trong tập hợp và các đồng cấu trong nhóm, trong phạm trù củng có một khái niệm tương tự gọi là hàm tử. 5.6. Đ ịn h n g h ĩa h à m từ . Cho p và Q là hai phạm trù. Một hàm từ hiệp biến [tương ứng nghịch biến) F từ p vào Q là một cặp các ánh xạ F = (Fq . F u ): Fo : O b (P ) — > O b(Q ). F u : M or(P ) — M or(Q). tlioà mãn các điều kiện san dày: (i) V.4. B e O b (P ). Vq g Mor(ệ.4.B ) ==> F \ / ( a ) e M or(Fo(.4). Fo(B)), 40 Giáo trình đại số hiện đại (tương ứng Va 6 M or(Ạ B) = > Fa/(q) e Mor(Fo{B), Fo(A)).) (ii) F m { \ a ) — l Fo(A)i VA € Ob(P). (iii) M A .B .C e Ob(P), Va € Mor (A, B), ß G M o r ( ß .C ) = > F.\i(3a) = F m (0)Fm (q ), (tương ứng VA,B,C G O b (P ), Va G M or(Æ D). /3 G Mor(£?. C) ==> Fh,{ß a ) = F M [a)F M Ụ5).) Đẽ thuận tiện từ nay về sau chúng ta sẽ viết F thay cho cả F o và Fy/. hàm tử F từ p vào Q thì ký hiệu là F : p — » Q. Giả sư G là một hàm tử mới từ phạm trù Q vào pliạni trù R. Khi đó, bằng cách lấy hạp thành ta được một hàm tử mới G o F : p — > R gọi là hàm tử hợp thảnh của F và G. Dễ dàng thấy rằng, nếu F và G đều cùng hiệp biến hoặc nghịch biến thì G o F là hiệp biến, ngược lại thì G o F là nghịch biến. 5 ế7. V í d u . 1) Hàm tử quên F từ phạm trù các Ilhóm Abel 21 vào phạm trù tập hợp © được định nghĩa như sau: - Fo : Ob(Ql) 9 A I— » A e O b(e), - Fj\/ : Mor(2l) 3 Q I— > tt € M or(6 ). Hàm từ này là hàm từ hiệp biến và "quên" đi cấu trúc Ilhóm Abel. 2) Hàm tủ biểu diễn. Clio K là một phạm trù và A eK . Khi đó ta xác định một hàm tử M orK (-4. — ) từ K vào phạm trù tậ p hợp 6 như sau: - MorK (i4, - ) : O b (K ) — ♦ M ork (Ả.X) e 0 b (6 ), và với X,Y e Ob(K), a e Moi-k(A'. Y ) thì - Moi-k ( A —) : M or(K ) 3 Q I— -> M orK (-4.a) G M o r(0 ). ở đây M ori<(A a) được xác định bời M o ik M - ö ) : Moi'k(/LvY) 3 ß I— > a ß e M o ĩk (A Y). Dễ kiểm tra thấy rằng Mo ĩk ( Ạ — ) là một hàm từ hiệp biến. Một cách hoàn toàn tương tự ta có thể xây dựng được một hàm tử khác M o ĩk (-, A) từ K vào 0 như sau: - Mork (-,A) : O b (K ) 3 l > — * UorK{X,A) e 0 b (6 ), và với X, Y e O b(K ). Q e M orK (A\ Y ) thì - M oĩk( —. .4) : M or(K ) 3 ft I— > Moi’k ( a . A) € Mor(6 ), ở đây MorK(ô.A) được xác định bời Moĩk (q. A) : M orK (K A) 3 ß I— ♦ d a G MorK ( X ả ). Chương II. Nhóm 41 Khác với hàm • tử trước, hàm tử mới xây dựng này là một hàm tử nghịch biến. 5.8. Đ inh nghĩa. Cho K là một phạm trù và {At)i£Ị là một họ các vật của K. ( 1) Một bộ (p\ được gọi là tích của họ (Ai)i£i trong K nếu các tính chất sau đây được thoả mãn: (1) p G O b(K ), (ii) Q, € Mor(jP. .4,-), Vỉ' € I. (iii) Với một họ các cấu xạ (-), : c — » .4,). ỉ G / của K luôn tồn tại duy nhất một cấu xạ 7 : c — * p sao cho biểu đồ sau giao hoán 3-» c ——» p li \ ỵ <*i' Ai, tức 7 ,- = a , 7 . Ví' G I ■ (2) Một bộ (Q .(0i),e r) được gọi là đốỉ tích của họ (Aị)i€j trong K nếu các tính chất sau đây được thoả mãn: (i) Q € Ob(K), (ii) 0i e M o r(.4 ,.g ). Vi € /. (iii) Với một họ các cấu xạ (7 i : Aị — > C). i e I của K luôn tồn tại duy nhất một cấu xạ : Q — ♦ c sao cho biểu đồ sau giao hoán Ai & ỵ \ h ' i 3-v Q - c, tức 7 , = 7 /3,, Vi e /. Nếu (P. (q,)ìễ/) là tích của họ (Aj)jç.[. ta ký hiệu theo truyền thống p = n - 4. iei Điều cần chú ý ờ đây là với ký hiệu như trên dề làm người ta hiểu nhầm rằng tích là xác định duy nhất vì họ cấu xạ (a¿) bị biến mất trong ký hiệu trên. Tương tự ta ký hiệu Q = I I - 4- ỉ'e/ 42 Giáo trình đại số hiện đại nếu (Q, (&)*€/) là đối tích của h Q' sao cho 0 'i = ßßi, Vz G /. c/ỉứng minh. (i). Thay bộ (C, (7 i)) trong Định nghĩa tích 5.8 bằng bộ ( p. (o')) ta có một cấu xạ Oi' : p ' — > p sao chọ áị = C t i a Vi e I. Tương tự, tồn tại Q : p — » p ' sao cho Q; = q ' q . V¿ g /. Từ đây ta suy ra Q; = q ¡q ' q và a' = ữ'ữữ'. Bây giờ ta thay bộ (C, (7i)) trong định nghĩa tích bằng bộ (p . (a¿)). thì ~< = \p chính là cấu xạ cần tìm đẽ a l — Q jlp. Vì cấu xạ 7 được xác định duy nhất, mà ta lại có Qj = Q jo'a. nên suy ra l p = a'a. Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được 1P’ = a a ' . Vậy Q là một đẳng cấu. (ii). Phép chứng minh cho đối tích hoàn toàn tương tự. xin dành cho đọc giả tự kiểm tra lấy. □ 5.10. Đ inh nghĩa. Một vật p của một phạm trù K được gọi là vặt kéo phổ dụng (hoặc đẩy phổ dụng) nếu tồn tại duy nhất một cấu xạ từ mỏi vật của phạm trù K đến p (hoặc tồn tại duy nhất một cấu xạ từ p đến mỗi vật của K). Trong các trư ờng hợp cụ thể m à V nghĩa đã rõ ràng thì ta sẽ gọi một vật kéo (đẩy) phô dụng là vật phô dụng của phạm trù. Chương II. Nhóm 43 5 ểl l . M ê n h đ ề . Ncu trong phạm trù K tòn tại vật phô dụng thì hai vật phô (lụng đcu đằng cẩu với nhau. Chứng minh. Giả sử p và P' là hai vật kéo phô dụng trong K. Ta phải chứng minh chúng đẳng cấu với nhau. Thật vậy. vì p là vật phô dụng nên lp là cấu xạ duy nhất từ p vào p . Mặt khác, nhờ vào tính phổ dụng của p và P' ta có hai cấu xạ ơ : p — * p ' và r : p ' — * p. Từ đày ta suy ra lp = T ơ . Tirorng tự ta cùng có 1P' = ƠT. □ Chú ý rằng trong một phạm trù bất kỳ không phải khi nào cũng tồn tại tích, dối tích hay các vật phô dụng. Nhưng trong các phạm trù chúng ta quan tâm đến như phạm trù các nhóm ®. phạm trù các nhóm Abel hay phạm trù các môđun mà ta sẽ nghiên cứu sau này, tất cả các phạm trù đó đều ton tại tích, đối tích. Ta chứng minh điều này cho phạm trù các nhóm. 5.12. Đ inh lý. Phạm trù cácễ nhóm 0 có tích và đối tích. Túc. nếu (G,•),•£/ là m ột họ các nhóm thì luôn tòn tại Chứng minh. 1) Tòn tại tích: Xét tích Descartes của họ {Gi): G — G, = {(Xị)i£j I Xi £ Gị. Vỉ' € /}. Với (Xj)/e/ và (y,)i£i là hai phần tử tùy ý của G. ta xác định một phép nhản như sau (-* I )ỉ€ / (¿/ỉ )ỉ6 1 Uii/j)i€/- Dễ dàng kiểm tra được rằng phép Iiliàn trên làm G trờ thành một nhóm. Hơn nửa ta cỏ các ánh xạ p, : G ---- * Gi. P i((l,■)«■€/) = x >- Vỉ e L Hiển nhiên các ánh xạ đó là những toàn cấu nhóm được gọi là toàn cấu chính tấc. Bây giờ ta sẽ chứng minh (G. (Pi)iei) là một tích của họ (G,),ỄỈ. Thật vạy. giã sử h, : H — • Gi. Vi 6 I. 44 Giáo trình đại số hiện đại là một họ các đồng cấu nhóm. Khi đó đồng cấu nhóm 7 : H — > G, j ( x ) = (hi(x))i€i, Vx e H, thoả mãn tính chất Pi 0 7 ( 1 ) = Pi{(hi(x))퀡) = hị(x), Vx e H. Vi e I. Vậy 7 được xác định duy nhất và (G, (Pi)i€/) là một tích của họ nhóm (G',)l6/. 2) Tòn tại đối tích: x ẻ t m ột họ các tập hợp đôi một không giao nhau (5, ),e / sao cho I S t 1=1 G t I khi Gi có vô hạn phần tử và I Si 1 = 1 z I khi G, hữu hạn. Tiếp theo ta đặt s = Uj€/S¿. Gọi fì là tập các cấu trúc nhóm trẽn s . tức ta có một tương ứng m ột-m ột cho ứng mỗi phần từ LƯ G Q với một nhóm s^. mà về tập hợp thì S u chính là tập s. (Chú ý rằng sự tồn tại ít nhất một cấu trúc nhóm trên một tập hợp khác rỗng cho trước là một mệnh đề tưorng đương với Tiên đề chọn, do đó tập ũ luôn không rỗng). Khi đó ứng với mỗi u! £ ũ ta ký hiệu là tập các họ đồng cấu Ip {ipi • Gi > Với mỗi CƯ G rỉ và Ip € ta gọi ự, chính là nhóm s u với chi số V. Ký hiệu Q o = n d i uieiì là tích của họ các nhóm Su ý. Bây giờ, với mỗi i e I ta xác định những đồng cấu ji : Gi — -> Qo cho bời ji{x) = (^ (iD u e íỉ^ e E ,.,, Vx G Gị. Xét nhóm con Q = < u ieiji(Gị) > của Q0. Ta sẽ chứng minh rằng (Ọ, (ji)ie/) là đối tích của họ (Gi)ie/. Thật vậy, giả sử g = (g1 : Gi — » H)i£j là một họ các đồng cấu nhóm. Thay H bằng nhóm con sinh bới ảnh của các đồng cấu g, thì họ đồng cấu trên rõ ràng không thay đổi. Do đó ta có một đ ơ n ánh / : H — > s. Lại do cách xảy dựng s, ta suy ra tồn tại một tập chỉ số J sao cho I s 1 = 1 H X ( I l j g j ) |. trong đó các tập Zj là tập số nguyên z. Vậy không làm m ất tính tổng quát ta có thể giả thiết tồn tại một UI G rỉ đ ể H = Su, và g = ĩp với một Tp € Eu nào đó. Khi Chương II. Nhóm 45 đó, nếu gọi 7o là phép chiếu từ Qo lên Su 1Ị), ta đựơc 70 o ji = gi, Vỉ e I- Gọi 7 là đồng cấu hạn chế của 7o trên Q. Khi đó ta có thể dễ dàng chỉ ra được rằng 7 là ánh xạ duy nhất sao cho 7 o jị = gi, Vi G /. Định lý được chứng minh. □ Trong phạm trù nhóm (và cả trong phạm trù môđun sau này) tích được gọi theo truyền thống là tích trực tiếp. Xét tập COI1 X của tích trực tiếp G = n,€/ Gi xảy dựng trong Định lý 5.12 như sau: € G I chì có hữu hạn phần từ Xi ^ e c , } • Rõ ràng X là một nhóm con của G , được gọi là tổng trục tiếp của họ (Gi)i£i và được ký hiệu là X = © G „ is/ Xét những ánh xạ ji : Gi — > X xác định bời Uk = Xi, nếu k = i, y k = eGk, nếu k + i. Rõ ràng j, là những đồng cấu nhóm, hơn nữa là những đơn cấu. Các đơn cấu này được gọi là đơn cấu chính tắc. Nhờ các đơn cấu chính tắc này ta có thể đồng nhất các nhóm G, với các nhóm COI1 Xị = ji{Gi) của tổng trực tiếp X . và tất nhiên củng là nhóm con của tích trực tiếp G. của họ đó. Hơn nửa, ta dễ dàng kiểm tra thấy khi đó chúng có các tính chất sau: (i) À' = < U/e/X- > ■ (ii) X , là nhóm con chuẩn tắc của X , Vz' G I. (iii) X , n < > = {ex}. Vỉ G /. Ba tính chất trong nhận xét trên đưa chúng ta đến những định nghĩa "nội tại” cho tông trự c tiếp như sau. 5.13. Đ ỉnh nghĩa. Một nhóm X gọi là phán tích đicợc thành tổng trục tiếp của một họ các nhóm COI1 (Àr,),e /. nếu XịXj = XjXị , Vxt G X t, V xj G X j , i ^ j và mọi phần tử X G X đều có thể viết một cách duy nhất (không phụ thuộc thứ tự) dưới dạng tích hữu hạn các phần tử của Xị\ X = x h ■ x ik £ x ik, k = 1......n. 4 6 Giáo trình đại số hiện đại Dựa vào nhận xét ờ trên ta nhận được một tiêu chuẩn thuận tiện để nhận biết khi nào một nhóm là phản tích được thành tống trực tiếp của các nhóm con của nó. 5.14. Đ inh lý. M ột nhóm X là phản tích được thành tổng trực tiếp của một họ các nhóm con (Xị)iej khi và chì khi họ đó thoầ mãn cắc dieu kiện (i). (ii), (Hi) ờ trên. Hun nữa khi đó ta có X = ©jg/Xj. Chúng minh. Giả sử họ (Xi)iç] thỏa mãn các điều kiện (i). (ii). (iii) ờ trên, ta chứng minh trước hết rằng XịXj — Xj Xị , Vxi e Xị,Vxj e X j , i j. Thật vậy, vì Xị là nhóm con chuẩn tắc của X nên X i X j { X j X i ) ~ l = X i ( X j X ~ ì X j ì ) G Xi. Tirơng tự, x lxj (xj x i)~1 = (xixjx ~ 1)xj 1 e Xj. Từ đó suy ra x ixj{xj x i) - ì G X j = {ex }- Tức XịX j = XjXị. Bây giờ cho x e l là một phần tư tùy ý. Theo (i), giả sử X có hai biểu diễn dưới dạng tích hữu hạn. Bằng cách thêm vào các hạng tử là phần tử đơn vị. ta có thể giả thiết thêm mà không làm m ất tính tổng quát rằng X = x h ■ ■ ■ .x itằ = x'h ■ ■ ■ .x'in, x ik, x'ik € x ik, k = 1......n. Ta sẽ chứng minh hằng quy nạp theo n rằng Xị1 - x\ , • • • .Xi = x' . Với n = 1 thì kết luận là hiển nhiên. Giả sử n > 2 . Khi đó x - lx ự l2.--- . x ' J - 1 = X ị 2.--- . x i n ( x li2. • • • . . t ' J - 1 = x n x 'h e > = {ex}- Điều này chứng tò x ii — Xịx, x , 2. ■ ■ ■ ếXjn = x i2ệ ■- ■ .x if" Sử dụng giả thiết quy nạp ta tiếp tục suy ra Xị2 — x' , • • ■ ,Xjn = x' . Cuối cùng ta xét một tương ứng d> : X — . ®ie lx , cho bời: Vx e X . X = Chương II. Nhóm 47 X j j . • ■ ■ .Xi , X ị k e X i k , k = 1, ...,77. thì 0 (x ) = 2, trong đ ó 2 G ® l£ ¡ X l được xác định qua công thirc ÍZi = Xi, nếu i — ¿1, ¿n, = ÊX, trường hợp còn lại . Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng ộ là một đẳng cấu nhóm. Ngược lại, giả sử X phân tích được thành tổng trực tiếp của một họ các nhóm con (Xi)i£[. Khi đó điều kiện (i) hiển nhiên được thỏa mãn. Giả sử X = x h ■ ■ ■ x i n, x ik e x ik, k = 1 , n. x ~ l = x ~ ' • • ■ x ~ \ x ik e X i k , k = 1 ........ n và X j X i = X ị X j , y Xi G X i , \/Xj G Xj, j Ỷ Ï t a d ễ d à n g s u y r a x y x ~ l e X ;, Vx G X, Vy e X /, tứ c x¿, Vz G I là nhóm con chuẩn tắc. Bây giờ xét một phần tử X G X i n < u kyíiXk > tùy ý. Khi đó X = Xi G X x và tồn tại một tập hợp hữu hạn i ị {¿1, • • • in} để X = X i = X i , ■ ■ - x i n , X i , e x i k , k = 1 , n. Thêm vào vế trái các nhân từ e ỵ G X ị k, k = và vế phải nhân tử e ỵ e X, ta suy ra từ tính biểu diễn duy n h ất của X rằng X — Xi = e ỵ . Định lý được chứng minh. □ Định lý 5.14 cho phép ta từ nay trờ đi có thể sử dụng ký hiệu X = ®i£¡Xi khi nhóm X là phân tích được thành tổng trực tiếp của họ nhóm COI1 (Xi)i€j. §6. N h ó m A b e l h ữ u han sinh Nhóm Abel đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuvết nhóm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Đặc biệt nhóm Abel hữu hạn sinh có cấu trúc đẹp đẽ, rất đáng được trình bày trong mọi giáo trình về đại số. Vì vậy, dù bị hạn chế về độ dài của giáo trình, chúng tôi vẫn cố gắng trình bày một cách vắn tắt về nhóm Abel hữu hạn sinh trong tiết này. Phần đầu của tiết đến hết phần nhóm Abel tự do ta chưa đòi hòi gì đến tính hữu hạn sinh của nhóm. Theo truyền thống phép toán trên nhóm Abel được viết theo lối cộng và phần tử không luôn được ký hiệu là 0. Trước hết ta chứng minh rằng tích và đối tích tồn tại trong phạm trù nhóm Abel *21 48 Giáo trình đại số hiện đai hơn nữa đối tích cùa một họ các nhóm Abel (G ị),g/ trong 21 luôn đăng cấu với tổng trực tiếp ©je/Gj. 6.1. Đ ịnh lý. Tích và đối tích luôn tòn tại trong phạm trù các nhóm Abcl 21. Cụ the. cho (6\),e/ là m ột họ các nhóm Abel, khi đó tích trực tiếp n.e/G« là tích và tổng trực tiếp là đối tích của họ đó. Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng với một họ các nhóm Abcl (G ,),£/ cho trước thì t í i'll trực tiếp n L e / ^ í ya tô n s t n .rc tiếp ©,e /G', lại là những Iilióm Abel. Khi đó hoàn toàn tương tự như chứng minh sự tồn tại tích trong phạm trù nhóm 0 (Định lý 5.12) ta dễ dàng chi ra được rằng (11,6/ G Ệ. ÌPi)iei)- với Pi '■ n G, — * G ị. Vi G / là các toàn cấu chính tắc. chính là tích của họ [G,),ei trong 21. Tiếp theo, ta sẽ chi ra rằng (X = ©ie/Gi, trong đó j, : G, — ♦ ®,e ;G , là các đơn cấu chính tắc xác định bời yk = x t, nếu k = i. ỈJk = eGk. nếu k Ỷ i là đối tích của họ (G,)j£i trong 21. T hậv vậy. cho H là một nhóm Abel và g, : G, — » H. ị 6 / là một họ đồng cấu nhóm. Xét ánh xạ q : X ---- H xác định bời g(.r) = 9i(x i)- V'v — (x ì)i£i ẽ A'ằ Chú ý rằng chi có hữu hạn chi số i E I đê X, Ỷ 0 liên phép lấy tổng ỡ vế phải của đằng thứ c trên là có nghĩa, hơn nửa vì H là nhóm Abel, g là một đồng cấu nhóm. Khi đó ta suy Vậy g là đồng cấu nhóm được xác định duy nhất sao cho g o ji — g,. Vỉ G /. Điều này chứng tò (A\ {j,),ei) là đối tích của họ (Gj)jg/) và định lý được chứng minh. □ Bảy giờ cho 5 là một tập hợp không rỗng. Ta xảy dựng một phạm trù 21(5) như sau: - Ob(2t(S)) bao gồm tất cà những cặp (.4. f). trong đó A là một Iihóm Abel và / : s — * .4 là một ánh xạ giữa hai tậ p hợp s và Ả. - Mor ((.4. / ) . (B. g)) là tấ t cả những đồng cấu nhóm /; : A — * B sao cho g — h o f. ờ đây (.4./) và (B.g) là những vật tùy ý của 21(5). Với định nghĩa tích của hai cấu xạ trong 21(5 ) là đồng cấu hợp thành, ta dễ dàng chứng minh được rằng 21(5) thoả mãn các tiên đề (A'i). ( K2).(K.i) trnncr Fìinil TIrrViTí^ ^ mAt Chương II. Nhóm 49 6.2. Đ inh nghĩa. Cho s là một tập hợp tùy ý không rỗng. Vật đẩy phô dụng của phạm trù 21(5) vừa xác định ờ trên được gọi là nhóm Abel tự do trên tập hợp s. Vậy, một nhóm Abel tự do trên tập hợp s là một cặp (F . / ) với F là một nhóm Abel và / : s — > F là một ánh xạ, sao cho điều kiện sau đây được thoả mãn: với mọi ánh xạ g : s — * B từ tập hợp s vào một nhóm Abel B luôn tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm h : F — > B sao cho 6.3. Đ inh lý. Vói tập họp s cho trước tùy ý, bao giờ củng có nhóm Abcl tự do trên s. Hơn nữa, nếu (F, f ) và (F ' , f ') là hai nhóm tự do trên s. luôn tồn tại d u y nhất m ộ t đẳng cấu ip : F — > F' sao cho f' = ự o /. Chúng minh. Cho z là nhóm cộng tất cả các số nguyên. Xét một tập hợp các ánh xạ F = {a : s — ■> z I a(s) Ỷ 0 yới nhiều lắm hữu hạn phần tử s G S}. Dễ thấy F với một phép cộng các ánh xạ Oi + f3 thông thường, (q + /3){s) = a(s) + Ị3{s), Vs e s, trở thành một Iihóni Abel. Với mỗi s € s cho trước ta xác định một ánh xạ e F như sau 1, nếu X = s, 0, nếu X Ỷ s - Khi đó tương ứng / : s I— > F. xác định bời s 3 s I— > fs e F, \/s e s cho ta một ánh xạ từ s vào F. Ta sẽ chứng minh rằng cặp (F, / ) là một Iilióni Abel tự do. Thật vậy, giả sử g : s — > B là một ánh xạ từ tập hợp s vào một nhóm Abel B. Ta xét một ánh xạ h : F — > B được xác định bời h( a) — a(s)g(s), Vo G F. Chú ý rằng phép lấy tổng trong công thức trên là hoàn toàn có nghĩa vì a(s) / 0 với nhiều n h ấ t hữ u hạn phần từ s G s. Rỏ ràng h là một đồng cấu nhóm và g = h o f. Việc còn lại là chứng minh tính duy nhất của h. Giả sử rn Giáo trình đại số hiện đai 5U h' : F — » B là một đồng cấu khác có tính chất g = h' o f. Trước tiên ta nhận thấy rằng mỗi phần từ ữ ẽ f đều có thể viết được dưới dạng Ct = J ^ q ( s ) / . s. s es Từ đây dựa vào tính chất h là một đồng cấu ta suy ra h'(a) = Ỵ ^ n { s ) h ' { f s) = ỵ 2 Q(ấ)9(s) = h{a). Va g f . s£S ses Vậy h = h'. Tính duy Iihất sai khác một đằng cấu của nhóm tự do (F.f) được suv ra từ tính phố dụng của vật {F. f ) trong phạm trù 2l(S) dựa vào Mệnh đề 5.11. D 6 .4 . H ê q u ả ệ Cho (F. f) là m ột nhóm Abe] tự do tren tập hợp s . Khi đó f : s — > F là đơn ánh và f(S) là m ột hệ sinh cùa nhóm F. Chúng minh. VI nhóm Abel tự do là xác định duy n h ấ t sai khác một đẳng cấu. nén ta có thể giả sir (F. / ) được xây dựng như trong phép chứng minh cùa Định lý 6.3. Khi đó ta nhận thấy rõ ràng rằng f là một đơn ánh và F = < f(S)> . □ Hệ quả 6.4 cho phép chúng ta đồng nhất tập hợp s với ảnh của nó f{S) trong nhóm Abel tự do (F. f). Trường hợp nàv ta nói s là một cơ sở của F và khi đó ta viết đơn giản F để chi nhóm Abel tự do (F. /). Nếu 5 là một tập hợp hữu hạn gồm n phần tử thì nhóm Abel tự do F được gọi là có hạng bằng n và ký hiệu là r(F ) = n. Ngoài ra. trong phép chứng minh của Định lý 6.3 ta nhặn thấy rằng, mỏi phần tử q g F đều có một biểu diễn dưới dạng một tống hữu hạn Q = 5 > ( * ) / „ . s€S Hơn nửa. Iiếu Q = nsfs là một biểu diễn tống hữu hạn khác của Q thì với mỗi phần từ t € s ta có 0 = n ,c .s-(a (s) - n s ) f s {t) = o (t) - nt. Từ đảy suy ra mọi phần tư của F được biểu diễn duy nhất thành một tống hữu hạn các phần tử của họ những nhóm con xyclic vò hạn < fs >.,es của F. Họ này thoả mãn một cách hiển nhiên các điều kiện của Định lý 5.14. do đó SUY ra F - 0 Z . , Chương II. Nhóm 51 trong đó Z s đẳng cấu với nhóm Abel cộng các số nguyên (Z. + ). Vậy. ta đã chứng minh đirợc kết quả sau đây. 6.5. H ê quả. Nhóm Abcl tự do trên một tập hợp s luôn phân tích được thành tòng trực ticp cùa Iììột họ chi số hoá bài s các nhóm con xyclic cấp vô hạn. Hệ quả tiếp theo chi ra rằng hạng rủa mòđun tự do là một bất hiến qua đẳng cấu nhóm. 6 .6 . H ê q u ả . Cho h : F — * F ' là m ột đằng cấu nhúm giữa hai nhóm Ahcl tự do với các cơ sỡ tư ơ ng ứng là s và S ' . Khi đó s và S' có cùng ]ựcề lượng. Chứng minh. Theo Hệ quà 6.5 ta có thể già thiết thêm mà không làm mất tính tống quát rằng F — ®SẼÍ,'ZS và F' — © s»e s--Qs'. với Q . và Q s' chính là nhóm cộng các số hữu tỳ iQ + ). Khi đó F. F' tương ứng là những nhỏm con của F q. F q. Hơn nửa. từ các tính chất quen biết về số nguyên và số hữu tỳ ta có thể dễ dàng suy ra sự tồn tại một đẳng cấu nhóm /?Q : Fq ---- * Fq và là một mỡ rộng của h. tức h q (x ) = /ì(x).v.r G F. Mặt khác, nếu xem Fq. F q như là những không gian véc tơ trên trường Q thì dễ kiểm tra th ấ y rằng /ỉQ là một đẳng cấu giữa hai không gian véc tơ Iiày. Vậy theo một kết quả quen biết trong đại số tuyến tính ta suy ra các tập s và 5 ' có cùng lực lượng. □ 6.7. H ê quả. Mọi nhóm A hcl với II phần tú sinh Jeu đằng cấu với m ột nhóm thương cùa m ộ t nlióm A b cl tự do hạng n. Chứng minh. Già sir G là một nhóm Abel tùy ý cho trước với hệ sinh là s = {.ỉ’! ......r„}. Xét nhóm Abel tự do (F. f) trên tập hạp s. Theo định nghĩa thì F có hạng bằng n. Gọi ị : 5 ---- * G là ánh xạ bao hàm. nghĩa là j(s) — s. Vs G s. \ ì (F. f) là nhóm Abel tự do. liên theo định nghĩa tồn tại một đồng cấu h : F — ‘ G sao cho j — h o f. M s sinh ra nhóm G và S = j { S ) — h ( f ( S ) ) Ç h(F). Giáo trình đại số hiện đại ta suy ra h{F) = G. tức lì là một toàn cấu. Vậy, theo Định lý 4.6 ta đượr G = F / Ker(h). □ Phần cuối cùng của tiết Iiày là dành cho việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm Abel hữu hạn sinh. Nhắc lại rằng, một nhóm Abel được gọi là hữu hạn sinh nếu 11Ó có một hệ sinh là tập hợp hữu hạn. 6 .8 . Đ in h n g h ĩa . Một nhóm Abel G được gọi là không phản tích được nếu 11Ó không phản tích được ra thành tông trực tiếp của hai nhóm COI1 thực sự. Trước hết ta đưa ra một tiêu chuẩn cần và đù đế một nhóm xyclic là không phân tích được. 6.9. Đ in h lý ề Một nhóm xvclic G là không phân tích dư ợ c khi và chi khi một trong hai đíõu kiện sau đàv xầv ra: (i) I G 1= oc: (ii) Ị G I là luỸ thừa của m ộ t số nguvên tố. Chứng minh. Chú ý trước hết rằng, theo sự phân loại của nhóm xyclic ỡ (4.7) thì G hoặc đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên z (nếu I G 1= oc) hoặc đẳng cấu với nhóm cộng z„ các lớp thặng dư theo môđun n (nếu I G 1= Tì). Vậy đẽ chứng minh định lý ta có thể giả thiết nhóm xyclic G là một trong những nhóm có dạng trên. Chứng minh điều kiện can. Ta chứng minh bằng phàn chứng. Giả sử rằng G là không phàn tích được, nhưng cả hai điều kiện trong định lý đều khòng được thoâ mãn đối với G. Điều này nói lèn rằng có tồn tại hai số tự nhiên n.m là nguyên tố cùng nhau sao cho I G 1= Tì m.. Khi đó ta nhận thấy rằng trong nhóm z„,„ có hai nhóm con xyclic là -4 = < ĨI > — {Q.n. 2n ......(m — l)n} D —< rn > = {0 . m. 2m .......(n — 1)m}. Rõ ràng A n B - {0 }. Hơn nửa. vì (n . m) = 1 nên tồn tại hai số nguyên I. y sao cho xn + ym = 1. Hộ thứ c này chứng tỏ phần tử sinh 1 của Z nm nằm trong tổng A + B. Theo Định lý 5.14 ta suy ra z nm = B. Chĩcơng II. Nhóm 53 Điều này mâu thuẫn với tính không phân tích được của G. Vậy điều kiện cần của định lý được chứng minh. Chúng minh điều kiện đủ. Ta chứng minh phần này theo hai trường hợp sau: 1) I G 1= QO. Giả sử ngược lại. nhóm cộng z phân tích được th à n h tổng trực tiếp của hai nhóm con thực sự A và B. Khi đó tồn tại hai số nguyên khác không n E A và m 6 B . Vì A và B là những nhóm con của z nên 0 Ỷ nrn ẽ A n B. Điều này mâu thuẫn với điều kiện A n B = {0}. Vậy trong trường hợp này G là nhóm không phân tích được. 2 ) I G 1= p ° với p là một số nguyên tố và 1 và Zpu phân tích được' thành tổng trực tiếp của hai nhóm con thực sự A và D. Khi đó phải tồn tại hai số tự Iihiên nvàm thực sự bé hơn Q sao cho A và B C'ó các phần tử sinh tương ứng là các số p " và p"1. Đặt 0 Ỷ k — max{n. m }. thì rõ ràng {0} Ỷ c {A n B). Điều này mâu thuẫn với điều kiện A n B = {0 }. Vậv cả trong trư ờ ng hợp này G là không phân tích được. Định lý đ ã được chứng minh xong. □ Nhóm xyclic G th o ả m ãn điều kiện (ii) của định lý trên, tức I G 1= luỹ thừa của một số nguyên tố, được gọi là nhóm xyclic nguyên sơ. Khi đó ta có Iigay lập tức một hệ quả của Định lý 6.9 như sau. 6.10. H ê quả. Mọi nhóm xyclic hữu hạn, không tầm thường đều phản tích được thành tổng trực tiếp cùa những nhóm xyclic nguyên sơ. Bảy giờ ta 4à có thể chứng minh định lý chính của tiết này về cấu trúc của nhóm Abel hữu hạn sinh. 6 . 1 1 . Đ ịn h lý v ề s ự t ồ n ta i p h â n tíc h . Mọi nhóm Abcl hữu hạn sinh đều phàn tích được thành tổng trực tiếp của một số hữu hạn nhóm xyclic không phẫn tích được. Chứng minh. Có nhiều chứng minh khác nhau cho định lý này. Trình bày dưới đây là theo một chứng minh rất thông minh của Rado (1951). 54 Giáo trình đại số hiện đại Giả sử G là một nhóm Abel có một hệ sinh 77 phần tử. Ta đặt íĩ là tập hợp tất cà những hệ sinh gồm n phần tử tua G (Chú ý rằng, trong một hệ sinh như thế ta chấp nhận cả phần từ không để cho đù n phần tử). Cho 0 là một phần tử của G. ta ký hiệu o(a) là bậc của a. Giả sử s = {öl.... fl„} G fỉ. Ta có thể đánh số lại đẽ lúc nào cũng có o{a\ ) < o(a2) < ... < o(an). Ta xây clựng trên Q một quan hệ th ứ tự toàn phần < theo kiểu từ điển như sau: Cho X = {b1,.... ò,(} là một phần tử khác của íỉ với o{bị) < o(bọ) < ... < o(bn ). Ta nói S < X khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên i với 1 < i < n. sao cho o(ữi) = o{bi )......o(a/_i)-= o(b¡-i),o(ai) < o(b,). Bây giờ, giả sử hệ sinh s đã chọn ờ trên là phần từ cực tiểu trong tập hợp được sắp thứ tự Q. Khi đó ta sẽ chứng minh rằng G là tổng trực tiếp của các nhóm con xyclic < (1 \ > — , < a n > và do đó định lý cũng được chứng minh nhờ vào Định lý 6.9 và Hệ quả 6.10. Giả sử ngược lại, G không phải là tống trực tiếp của những nhóm xyclic trên. Do đó theo (5.13) tồn tại những số nguyên m \, ...,m 7M sao cho m\CL\ + 777202 4- ... + m „an = 0 . mà có ít nhất một hạng từ trong tổng trên khác không. Giả sử j là một số sao cho 77?1Ơ1 = ... = m j-\(ij-\ = 0. nhưng nijCij 7^ 0. Rõ ràng ta có thể giả thiết thêm rằng 0 < 11ĨJ < o{(ij). Gọi 777 là ước số chung 1ỚI1 n h ấ t của các số rrij......m n tức tòn tại những số nguyên k ị ......k n có ước số chung lớn Iihất là 1 sao cho in-i — mki . i — j ....... n. Chương II. Nhóm Xiếp theo, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo đại lượng k =1 kj I + ...+ I k, 1 I rằng, luôn có thế tìm được các phần từ bj......b„ £ G sao cho G = < a 1......aJ _ 1. bj.......b,, >. trong đó bj = kjdj 4- kj+idj+i -+- ... + kna„. Thật vậy, nếu k — 1 thì kết luận trên là hiển nhiên. Với k > 1. phài có ít n h ấ t hai số trong những số nguyên tố cùng nhau k j ......k n là khác không, chẳng hạn bằng cách đánh số lại ta có thể cho kj và k j + 1 cùng khác không. Từ đó ta suy ra I kj + I < I kj I hoăc I kj — fìj-ị-i I I k'j I . Giả sử I kj + k j+ 1 |<| kj \. từ đây kéo theo I Ä ' j + ^ ’ j + i I + I kj-ị- 1 I + . . . + I k„ | < k. Vậy. áp dụng già thiết quy nạp theo hệ các số nguyên tố cùng nhau {kj + kj+1-kj+i......kn} đối với hệ sinh mới {fl 1........ « j _ i . f l j . a j - H - aj.Oj+2 ..........a,,} của G. ta tìm được một hệ sinh s' = { f l i . . . . . . . . a j - 1 -bj . . . . . . . . . bn} của G. mà bj = (kj + + A’j+ i(ô j+ i — (Ij) + k j+2ữj+2 + ••• + A’„a„. = kjCij + kj +1 a J +1 + ... + k„an. Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được kết luận trẽn cho trường hợp I kj - kj+i |<| kj I ỗ T ừ biểu thức của bj ta suy ra mbj = 0 . Do đó o(bj) < nì < nij < o(cij). - ß Gián trình đại số hiện đại tức S' < s trong Q. Điều này m âu thuẫn với tính cực tiểu của s . Vậy ta phải CÓG' = < a, > . Ỉ=1 Bây giờ xét một phân tích tùy ý cho trước G — G \ © G 2 © ... © ỡ „ cùa một nhóm Abel hữu hạn sinh G thành tống trực tiếp của những nhóm xyolic không phán tích được. Nghĩa là một số trong các nhóm xycểlic đó có cấp vô hạn. số còn lại là Iihửng nhóm xyđic Iiguyên SƯ. Bằng cách đánh bố lại thứ tự của các nhóm xyclic G,, ta luôn có thể giả thiết phản tích trên thỏa mãn thêm điều kiện sau: Cấp của G 1 là luỹ thừa cao Iihất của số nguyên tố nhỏ nhất p. rồi cấp của G¿ tiếp theo là luỹ thừa cao nhất của p trong những nhóm còn lại. Sau khi ta đã vét hết tất cả những nhóm có cấp là luỹ thừa của p. ta tiếp tục làm như trước cho những nhóm có cấp là luỹ th ừ a của số nguyên tố nhỏ nhất còn lại cho đến khi tấ t cả các nhóm G, có cấp hữu hạn được vét hết. Cuối cùng là đến những nhóm có cấp vô hạn. Một phản tích G thành tống trực tiếp C'ùa những Iihóm xyclic không phân tích được- và thỏa mãn tính chất trên được gọi là phân tích tiêu chuẩn của G. 6.12. Đ ịnh lý về tín h d u y n h ấ t. Cho G và H là hai nhóm A b cl hữu hạn sinh với Cểár phản tích tiêu chuẩn G = G ì 0 Go © ... © G n. H = H\ ® H2 ® ỉế. © / f m. Khi đó. nếu G = H thì ta phài có n = m và G¡ = #,-ề Vi = 1......n. Chúng minh. Ký hiệu t[G) là tập hợp tấ t cả các phần tử của G có cấp hữu hạn. Rõ ràng t(G) là một nhóm con của G (được gọi là nhóm con loắn của G). Cho / : G — • H là một đẳng cấu. Vì ảnh của một phần tử có cấp hữu hạn trong G qua / cũng phải có cấp hữu hạn. nên f(UC)) = t(H). Chương II. Nhóm 5~ Do đó đẳng cấu f câm sinh ra một đẳng cấu trên các nhóm thương r : G/t(G ) — H/t(H). Từ đày theo Hệ quà 6.6 ta suy ra số các nhóm xyclic vò hạn trong phân tích tiêu chuẩn của G và H phải bằng nhau. Hơn nửa. sử dụng các Iihóni thương trên ta có thể giả thiết t(G) — G và t{H) = H mà không làm mất tính tổng quát, tức các nhóm G, và H, là những nhóm xyclic nguyên sơ. M ặt khác, vì f là một đẳng cấu. nên cấp của một phần tư X & G bằng cấp của f(.r) e tì. Khi đỏ. bằng lập luận hoàn toàn tương tự như trước, ta có thể giả thiết thêm mà không làm m ất tính tổng quát rằng mọi phần tư của G và H có cấp là luỹ thừa của cùng một số nguyên tố p. Tức. cấp của các nhóm xyclic G, và H, sẽ có dạng là pn' và p 3' . Do các phán tích đã cho của G và H là những phân tích tièu chuẩn, nên ta có 1 < Q„ < ... < Oi 1 < -in < ... < đl. Việc còn lại là chứng minh n = m và Q, = Q,. Mi — 1......n. Thật vậy, xét các nhóm con A c G và B c H được sinh bời tất cà các phần từ cấp p trong G và H. Không khó khản ta kiểm tra th ấ y rằng I A 1= p" và I B 1= pm. VI f ( A) — B và f là một song ánh. nên p n — p m . Vậy ta nhận được n — m. Ta sẽ chứng minh a, = 3, bằng phản chứng. Già sử rằng tồn tại một số k nào đó mà Qk Ỷ trong khi a, — 3j. Vi < k. Không làm mất tính tổng quát, ta có thể già thiết rằng cu < 3k- Xét các nhóm con c c G và D c H được xác định bời: c = {.r £ G I 3a e G. X = ]L)'u a} D = { y e H \ 3 b e H: y = p'u ò}. Rõ ràng f{C) = D. nèn I C' 1 = 1 D I . Gọi ũ \ ......a„ là các phần tử sinh của các nhóm con xyclic tương ứng G \ ......Gu. Dễ chứng minh được rằng c =< pakal....p'nan > . 58 Giáo trình đại số hiện đại Từ đáy SUY rak-ì \ c \ = Ỵ [ p n- ' - ak. 7=1 Trong khi đó. một cách tương tự. ta có n n I D 1= Ỵ ị p 3'~ ak = \C \Ỵ ị p 3' - ak >1 c I . 7=1 I=k Điền này mâu thuẫn với I c 1 = 1 D I . Định lý được chứng minh xong. □ Đặc biệt, khi hai Iihóm Abel G và H trùng nhau thì ta thu được hệ quà sau đáy. 6.13. H ê quả. Mọi nhóm Abc] hữu hạn sinh đêu có m ột phản tích tiêu chuẩn duy nhất. Số các hạng tử xyclic Yỏhạn trong phản tích tiêu chuẩn của một nhóm Abel hữu hạn sinh G được gọi là hạng của nhóm đó và được ký hiệu là r(G). Cấp của các nhóm xyclic nguyên sơ trong phản tích tiêu chuẩn của G được gọi là các bất biến nguyên sơ của G. Các bất biến nguyên sơ này cùng với hạng của G lập thành một hệ được gọi là hệ bất biến đầy đủ của G. Khi đó. hệ quà sau đây được SUY ra lặp tức từ Định lý 6.12. 6.14. H ê quà. Một nhóm Abcl hữu hạn sinh âược xác định hoàn toàn bới hộ bất biến đầy đủ cùa nó. Tức là. nếu hai nhóm A heỉ hữu hạn ."inh nào có cùng hạng và cùng các bất biến nguyên sơ thì chúng đẳng cấu với nhau. Bài tâp 1) Các tập hợp số với các phép toán được định dưới đây lặp thành một nhóm hay không? (i). Tập hợp tất cả các số nguyên với phép cộng: với phép nhân. (ii). Tập hợp tất cả các số hữu tỷ khác không với phép nhân: với phép cộng. (iii). Tập hợp tất cả các số vỏ ty với phép nhản: với phép cộng. (iv). Tập hợp tấ t cả các số thực dương a.b với phép toán * được xác định như sau: a * b = ab. Chương II. Nhóm 59 2) Clio R là tập h ạp tất cả các số thực và R* — R \ {0}. Trẽn tập hợp G — R* X R ta xác định một phép nhản như sau (o. b)(c. d ) = (ac. be + d). Chứng minh rằng G là một nhóm nhản không giao hoán. 3) Chứng minh rằng một nhóm G là Abel lieu với mọi phần tử a G G ta đêu có fl- = ec 4) Chứng minh rằng với mọi phần tử a.b.c cùa một nhóm nhân G ta đều có: (i). Các phần tử ab và ba có cấp như nhau. (ii). Các phần tử abc. bra và cab có cấp như nhau. •5)* Chứng minh rằng tậ p hợp tấ t cả các phần từ có cấp hữu hạn của một nhóm Abcl .4 lập thành một nhóm con của .4. Mệnh đề trên có CÒI1 đúng không khi .4 không là Ílhólii Abel? Tại sao? 6) Cho G là một nhóm xydic cấp n và (ì là một ước số của rì. Chứng minh các mệnh đề sau là đúng: (i). Tồn tại trong G duy nhất một nhóm con H có cấp d. (ii). T ập tất cả các phần tử sinh cùa H trũng với tập tất cà các phần từ cấp d của G. 7) Cho H. K là liai nhóm con của một nhóm hữu hạn G. Chứng minh rằng H II K | < | H n A ' | | < H.K > 1 . 8 )* Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 15 đều là nhóm xyclic. 9) Cho A là một nhóm Abel, với n là một số tự nhiên ta đặt A„ = {.r G .4 I .r" = eA ). Chứng minh các mệnh đề sau là đúng: (i). A „ là một nhóm con của .4. (ii). Nếu (n.ììì) — 1 thì -4„ n A,„ — {e\ẳi}. (iii). Nếu (n. m) — 1 và A = A,,,u thì -4 = Ả nA,n. 10) Giã sử K là một nhóm con của H và H là nhóm con của một nhóm hữu hạn G. Chứng minh rằng (G : K ) = (G : H ) ( H : K). 60 Giáo trình đại số hiện đại 11) Cho G là một nhóm. Ký hiệu D(G) là nhóm con của G sinh bời tất cả các phần tử có dạng x ~ ly~lxy, Vx, y e G (D{G) được gọi là đạo nhóm của nhóm G). Chứng minh rằng: (i). D(G) là Iihóm con chuẩn tắc của G. (ii). Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó G/H là nhóm Abel khi và chi khi D(G) c H. 12) Chứng minh rằng một nhóm con N của một nhóm G là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu nhóm / : G — * H sao cho N = Ker /. 13) Cho N là một nhóm con của Iihóm G thoả mãn tính chất G : N = 2. Chứng minh rằng N là một nhóm con chuẩn tắc của G. Hãy xác địnli nhóm thương G/N trong trường hợp này. 14) Cho s là tập hợp con của một nhóm G. Xét tập hợp Z ( S ) — {x e G I Xtí = sx, Vs e 5}. Chứng minh rằng Z(S) là một nhóm con của G, gọi là nhóm tâm hóa của s trong nhóm G. Chứng minh rằng mọi nhóm con của G chứa trong Z(G) luôn là nhóm con chuẩn tắc của G. 15) Chứng minh rằng nếu nhóm thương G/Z(G ) của một nhóm G đối với nhóm tâm Z{G ) là xyclic thì G là nhóm Abel. 16) Cho G là một nhóm cấp 6 . Chứng minh rằng hoặc G là nhóm xyclic hoặc G đẳng cấu với Iihỏni các phép thế Sị. 17) Cho A và B là hai nhóm xyclic không tầm thường và c = A B là tổng trực tiếp cùa chúng. Giả sử ị Ả 1= n, I B 1= m. Chứng minh rằng c là nhóm xyclic khi và chi khi (n.ĩĩi) — 1. 18) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc cấp m của nhóm hữu hạn G có cấp n. Chứng minh rằng Iilióm thương G/H là Abel nếu Ti/m < 5. 19) Cho s là một tập hợp con của một nlióni G. Đặt N s = {x G G I x S — S x ) . (i) Chưng minh rằng N s là một nhóm con của G, chứa tập hợp s . Nhóm con này được gọi là nhóm con chuẩn hoá của tập hợp s trong G. (ii) Chưng minh rằng nhóm con chuẩn hoá của một nhóm COI1 H là nhóm con 1(711 n h ất cua nhóm Cì. nhận H làm nhóm con chuẩn tắc của nó. Chương II. Nhóm 61 20) Cho G là một nhóm và a G G là một phần tử tùy ý. Ta xác định ánh xạ Tn : G — * G. Ta{x) = a.T. Vx e G gọi là phép tịnh tiến trái của G bời phần tử a. Chứng minh rằng: (i) Ta là một song ánh. (ii) Anh xạ được xác định bời J : G — * S(G), j(a) = r„. Va e G là một đơn cấu, trong đó S(G) là nhóm đối xứng trên tập hợp G (xem định Iigliĩa nhóm đối xứng ờ ví dụ 1.3). 21) Tìm tấ t cà các tự đằng cấu của một nhóm xyclic cấp vô hạn. 22) Với một nhóm G ta ký hiệu Aut(G) là tập hợp các tự đẳng cấu của nhóm G và Int(G) là tập hợp các tự đẳng cấu trong của G. Chứng minh rằng: (i). Aut(G) và Int(G) với phép nhân là hợp thành của hai ánh xạ là những nhóm con của nhóm đối xứng S(G). (ii). Int(G) là nhóm con chuẩn tắc trong Aut(G). (iii). G/Z(G) Int(G). (iv). Int(5„) = s n. Vn > 3. 23) Một nhóm G được gọi là xoắn nếu mọi phần tử của nó đều có cấp hữu hạn. Chứng minh rằng nhóm thương Q /Z là một nhóm xoắn, trong đó Q, z tương ứng là các nhóm cộng các số hữu tỳ và các số nguyên. 24) Cho G là một nhóm Abel hữu hạn với I G 1= n và d là một ước cùa n. Chứng minh rằng trong G luôn có ít nhất một nhóm con cấp d. 25) Cho G là một nhóm hữu hạn (không Iihất thiết phải là Abel) với Ị G 1= n và p là một ước nguyên tố của n. Già sừ pk' là lũy thừa lớn nhất của p chia hết n. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một nhóm con H rủa G với \H\ = p*ề, (nhóm con như thế được gọi là nhóm con Xylow của G ). 26) Một nhóm Abel A được gọi là chia được, lieu nA = A.Mn G z. C hứng minh các mệnh đề sau đày: (i). Tổng trực tiếp một họ các nhóm Abel chia được là chia được: mọi nhóm thương của một nhóm Abel chia được là chia được. (ii)ể Nếu một nhóm Abel .4 có một nhóm con B là chia được thì D là một hạng từ trực tiếp của .4. G'2 Giáo trình đại số hiện đạt 27) Chứng niinli rằng mọi nhóm COI1 của nlióni Abel hữu hạn sinh lại là hữu hạn sinh. 28) Chứng minh rằng mọi nhóm con cùa nhóm Abel tự do hữu hạn siiili lại là Iihóm Abel tự do. 29) Chứng minh rằng nhóm cộng các số hữu tỳ Q là nhóm không phán tích được. 30) Cho A là một nhóm Abel và ]) là một số nguyên tố. Ký hiệu C,,{A) là tập tất cà các phần tử của A có cấp là lũy thừa cùa p (Cf,(A ) được gọi là thành phần p-iiguyên sơ của nlióni .4). Chứng minh rằng CP(A) là nhóm COI1 nia A. Hơn nữa C'P(A) phán tích được thành tổng trực tiếp của các thành phan p-nguyẻn sơ với tất cả các sổ nguyên tố p. Chương III VÀNH, TRƯỜNG VÀ VÀNH ĐA THỨC Trên một tập hợp có thể xác định nhiều phép toán để lập nên một cấu trúc đại số. T ập hợp các số nguyên z là một ví dụ điển hình với hai phép toán ”cộng” và ’■ nhân'’ quen biết m à phép nhân có tính phân phối với phép cộng. Chương này chính là dành cho việc nghiên cứu một cách mờ đầu và cô đọng những cấu trúc đại số được xác định bời hai phép toán. §1. Các đ in h n ghĩa và v í du 1.1. Đ in h nghĩa, (i). Một tập hợp R được gọi là một vành nếu trên R có liai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (R\) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng. (/?■>) Phép nhân trên /? là kết hợp và có đơn vị. {R:ị) Luật phân phối: Phcp nhân là phân phối đối với phép cộng. Tức. với các phần tir .V. ụ, z G R tuy ý, ta luôn có {x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy. Như thông thường ta ký hiệu phần tử đơn vị đối với phép nhân của R là en và phần tử không của nhóm Abel cộng của R là 0/Ị. Trường hợp vành /? đ ã xác định cụ thể trước thì ta ký hiệu đơn giản 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần từ không của R. Một vành R được gọi là vành giao hoán. Iiếu phép nhản của R thỏa mãn thêm điều kiện x y — y x , Vx. y e R. Cần chú ý ờ đây rằng trong các giáo trình về đại số kết hợp một vành không đòi hòi phải có đơn vị. Tuy nhiên, trong nhiều hướng nghiên cứu khác thì luôn cần già thiết thèm sự tồn tại đơn vị cùa một vành và chúng ta đi theo hướng này. 64 Giáo trình đại số hiện đại (ii). Một vành R được gọi là một trường, nếu R là một vành giao hoán và mọi phần tử khác không của R đều có nghịch đào. Nghĩa là tập hợp fí* = R \ {0} lập thành một nhóm đối với phép nhân của R. Trước hết ta tóm tắt một số tính chất đơn giản nhất về vành và trirờng. 1.2ể T í n h c h ấ t . Cho R là một vành. Khi đó ta có các tính chất sau đảv. 1) J'0 = Ox = 0, Vx € R. Thật vậy, từ luật phân phối của phcp Iihân đối với phép cộng Ox + X — Ox + \x — (0 + 1 )x — X ta suy ra 0.r = 0. Tương tự, ta cũng có xO - 0. 2) Nếu R có ít n h ất hai phần tử thì 0 ^ 1 . T h ậ t vậy. nếu 0 = 1 thì X = x \ = xQ = 0. Va- G /?. 3) ( - x ) y = —(xy) với hai phần từ x ,y G R tuỳ ý. T hật vậy. từ x y + ( - x ) y = (x + { - x ) ) y = Oy = 0 ta suy ra {—x )y là phần tử đối của xy. 4) Trên vành R ta xây dựng phép ” trừ ” như sau: X - y — X + ( - y ) , V x. y € R. Khi đó phép nhân là phản phối với phép trừ, tức {x - y)z = x z - yz v à z(x - y) = zx - z y , V.T. y. z e R . Thật vậy. từ {x - y)z + yz = (x - y + y)z = x z ta suy ra (x — y)z = x z — yz. Đẳng thức thứ hai cũng được chứng minh tương tự. 5) Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng m inh sự phân phối của phép nhản đối với phép cộng cho nhiều phần từ như sau: (y 1 + + y,,)x = yix + ... + y nx và x(yi + ... + yn) = xyi + + xyn. 6 ) Một phần tư khác không a G R được gọi là một ước của không, nếu tồn tại một phần tử khác không b E R sao cho ab = ba = 0. Khi đó vành R Chương III. Vành, trường và đa thức 65 không có phần tử nào là ước của không, khi và chi khi luật giản ước trái VO / i e i?, Va. b e R, xa — xb =>■ a = b hoặc luật giản ước phải VO 7- X e R. Va. ò e R, ax = bx ==>• a = b được thòa mãn trong R. Thật vậy, giả sử R không có ước của không. Từ xa = xb kéo theo x(a - b) = 0. từ đây suy ra a = b vì X Ỷ 0- Luật giản ước phải cũng được chứng minh tương tự. Ngược lại. giả sử chẳng hạn trên R có luật giản ước trái. Khi đó. với hai phần tử a.b e R tuỳ ý sao cho ab = 0 và a Ỷ 0 . từ ab — aữ ta suy ra theo luật giản ước rằng 6 = 0 . Một vành giao hoán không có ước của không được gọi là một miền nguyên. 7) Nếu R là một trường thì R không có ước của không, suy ra là một miền nguyên. Thật vậy, cho xy = 0. nếu X ^ 0 thì y = {x~ìx)y = x ~ lxy = 0 . 1.3. V í d u . 1) Ta ký hiệu z là tập hợp tấ t cả các số nguyên, Q là tậ p hợp tất cả cả số hữu tỷ và Z ,1 là tập hợp tấ t cả các số nguyên m ôđun 71, với n là một số nguyên dương nào đó. Khi đó. với các phép toán nhân và cộng các số thông thường ta thấy ngay rằng: - z là một vành giao hoán, hơn nữa nó là một miền nguyên nhưng không phải là một trường. - Q là một trường. - z „ là m ột vành giao hoán, nhưng không là một miền nguyên nếu n không là một số nguyên tố. Thật vậy. giả sử n — kl với k và / là hai số nguyên dương khác không và thực sự nhỏ hơn 77. rõ ràng k ^ 0(mod n) và ỉ 0 (niod rì) nlnmg ki = 0(mod n). Trường hợp n là một số nguyên tố, ta có thể chứng minh dề dàng rằng z„ là một trường. 2) Cho tập hợp M n(R) gồm tất cả các ma trận vuông cấp n có hệ số trong tập hợp các số thực R. Dễ kiểm tra thấy rằng M n(R) lập thành một vành với phép cộng và nhân ma trận thông thường. Hơn nữa, nếu n > 2 thì vành này không là vành giao hoán. 66 Giáo trình đạt số hiện đại 3) Cho s là một tập hợp và R là một vành. Khi đó tập hợp M (S. R) tất cả các ánh xạ / : s — » R lập thành một vành với phép cộng và nhản như sau: ( / + g){s) = f(s) + g{s). Vs € s. Ư9)(s) = f(s)g(s), Vs G s. Phần tử không của vành này là ánh xạ hằng cho giá trị là phần tử không của R và phần tử đơn vị của nó là ánh xạ hằng cho giá trị là phần tử đơn vị của R. Rõ ràng M (S, R ) là giao hoán khi và chỉ khi R là một vành giao hoán. 4) Cho A là một nhóm Abel. Xét tập hợp End(A) tất cả các đồng cấu nhóm từ A vào A. Với phép cộng là cộng các ánh xạ thông thường và phép nhân là phép lấy ánh xạ hợp thành, ta có thể kiểm tra một cách không khó khăn được rằng End(Ẩ) với các phép toán này lập thành một vành và vành này nói chung không là vành không giao hoán. 1.4 Ề Đ in h n g h ĩa . Cho R là một vành. Nếu tồn tại một số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n l — 0. thì ta nói rằng vành R có đặc s ố n. Trường hợp ngược lại, không tồn tại số tự nhiên n Iiào để n l = 0 thì ta nói R có đặc số 0. Đặc số của vành R được ký hiệu là ch(R). l ể5. M ê n h đ ề . Các mệnh đề sau là đúng đối với mọi miền nguvcn R. (i) Nếu ch(R) = 0 thì cấp cùa mọi phần tủ trong nhóm Abel cộng của R đều là vô hạn. (ii) Nếu ch(R) = n, với n là m ột số nguvên dương, thì cấp cùa mọi phần tử trong nhóm A bcl cộng của R đcu là n và hun nửa, n phải là m ột số nguyên tố. Chứng minh. (i). Giả sử ngược lại, tồn tại một phần tử khác không X € R và một số nguyên dương n sao cho ĨỈX = 0. T ừ đây ta suy ra n ( l x ) = (ríl)a: — Ox = 0. Do R là miền nguyên, nên n l = 0. Điều này kéo theo ch(/ỉ) < n. m âu thuẫn với giả thiết là R có đặc số không. (ii). Kết luận đầu của mệnh đề lập tức được suy ra, nếu ta chứng minh được rằng: với hai phần từ khác không x .y G R tuỳ ý và m là một số Iiguyên. Chương III. Vành, trường và đa thức 67 từ rn.v = 0 kéo theo mụ = 0. T h ật vậy, từ x{my) = m(xy) = (■mx)y = Oy = 0 ta suy ra. đo R là miền nguyên rằng m y = 0. Bây giờ giả sử ngược lại rằng n không phải là một số nguyên tố, tức tồn tại hai số nguyên dương p.q thực sự nhò hơn 77 sao cho n = pq. Khi đóta có {pì)(ql)=pqì = n\ = 0 . Từ đày suy ra. do R là miền nguyên, p l = 0 hoặc q\ = 0. Trường hợp nào cùng đi đến ch(R) < n. Vậy n phải là một số nguyên tố. □ Ịị2. Iđ êan và đ ồn g cấu vành 2.1 Đ in h n g h ĩa , (i) Một tậ p hợp COI1 A của một vành R được gọi là một vành con cùa R. nếu .4 lập thành một nhóm con Abel với phép cộng của R và đóng đối với phép nhàn, tức ab e A. Va.b G A. Trường hợp R là một trường t h ì m ộ t v à n h COI1 của R đ ư ợ c gọi là m ột trườ ng con n ếu nó là m ộ t trư ờ n g với các phép toán trên fí. (ii) Một tập hợp con a của một vành R được gọi là một iđêan trái (hoặc iđêan phải) của /?, Iiếu a là một vành con của R và thỏa mãn tính chất Ra c a (hoặc a/? c a). Nếu a vừa là iđõan phải vừa là iđêan trái của /? thì được gọi là một iđèan cùa /?. Chú ý rằng, ta không đòi hỏi một vành con A của vành R phải chứa đơn vị cùa R. liên Iiói chung một vành con chưa phải là một vành. Rõ ràng R và {0} là những iđêan của R. Một iđêan (trái, phải) của R khác với R được gọi là iđêan (trái, phải) thực sự. 2.2. M ên h đề. Giao cùa m ột họ bất kỳ các vành con (hoặc iđêan trái, phải) cùa m ột vành R cho trước là m ộ t vành con (hoặc iđẽan trái, phãi) của R. Chứng minh. Giả sử (Aj)i£Ị là một họ các vành con (hoặc iđêan trái phải) cùa /?. Đặt 68 Giáo trình đại số hiện đại Theo II. (2.4) thì A là một nhóm con của nhóm Abel cộng R. Hiển nhiên là A đóng với phép nhản của R. vì mỗi Aị đều đóng với phép nhân đó (hoặc R A ç A hoặc A R ç A vì mỗi A l đều có các tính chất tương ứng). □ Cho s là một tập hợp con của một vành R. Khi đó, giao của tất cả các vành con (hoặc iđêan trái, phải) của R chứa s theo (2.2) lại là một vành con (hoặc iđêan trái, phải) của R. Vành con (hoặc iđêan trái, phải) này được gọi là vành con (hoặc iđêan trái, phải) sinh bời s và s được gọi là hệ sinh của chúng. Đối với iđêan trái sinh bời một tập hợp s ta thường ký hiệu là ¿(S) hoặc R(S). Tương tự ta ký hiệu cho iđêan phải sinh bời s là {S)n hoặc (S )R . Còn với iđêan sinh bới 5 thì ký hiệu đơn giản là (5) (khi vành R đã xác định trước). Cho X là một phần tử tuỳ ý của vành /?, thì các tạp h ạp R x .x R và R xR là những ví dụ đơn giản cho các iđêan trái, phải và iđêan của R có một phần tử sinh là X, chúng được gọi một cách tương ứng là iđêan trái, pháỉ chính hoặc iđêan chính của R. Một vành giao hoán R m à mọi iđéan đều là iđêan chính thì được gọi là vành iđêan chính. Bây giờ cho a là một iđêan của một vành R. Vì a là nhóm con của nhóm Abel cộng của R. nên theo II. (3.7) ta có nhóm thương R /a của tất cả các lớp ghép {x + a}xe/Ị. Ta sẽ chứng minh rằng R /a có cấu trúc của một vành. 2.3. Đ inh lý. Cho a là m ột iđêan của m ột vành R. Khi đó R / a là m ột vành với phép nhân được định nghĩa như sau: (x + a)(y + a) = x y + a, Vx. y e R. Chúng minh. Trước hết ta chứng minh phép nhân được xác định như trén là có nghĩa, tức là nó không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của lớp ghép. Cụ thể, cho a = X (mod a) và b = y (mod a), ta phải chứng minh rằng ab = x y (mod a). Thật vậy, tồn tại theo giả thiết hai phần tử c. d £ a sao cho a = X + c v à b — y + d. Khi đó nhờ luật phân phối của R. ta có ab = (x + c)(y + d) = x y + (xd + cy + cd). Chương III. Vành, trường và đa thức 69 Rõ ràng x d + cy + cd € a vì a là một iđêan. Từ đây ta suy ra ab — x y G a là điều cần chứng minh. Dễ th ấy lớp ghép 1 + a là phần tử đơn vị đối với phép nhân trên. Việc chứng minh phép nhân định nghĩa như trên phân phối với phép cộng các lớp ghép của R /a là hiển Iiliiên dựa vào tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong vành R. Vậy R /a là một vành. □ Vành R/a xác định như trên được gọi là vành thương của R theo iđêan a. 2.4. Đ inh nghĩa. Cho R và 5 là hai vành tuỳ ý. Một ánh xạ ĩ : R—> s được gọi là một đồng cấu vành, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau với mọi phần tử x .y € R f ( x + y) = f ( x) + f(y), f ( r y ) = f ( x) f ( y) . Đống cấu vành / được gọi là đơn cấu. toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh xạ f tương ứng là đơn cấu. toàn cấu hay đẳng cấu. 2.5. B ổ đề. Cho f : R — + s là m ột đòng cấu vành từ vành R vào vành s. Khi đó tập hợp ảnh Im ( /) = f(R) là m ột vành con của s và hạt nhàn Ker(/) = r 1(0s) là m ột iđcan của R. Chứng minh. Ta đã biết trong chương II về nhóm rằng Im (/) và K er(/) tương ứng là những nhóm C011 của nhóm Abel cộng của 5 và R. Hiển nhiên Ini(/) đóng đối với phép nhản của s . nên Im( f) là một vành con của 5. Ngoài ra, với các p h ầ n tử (1 E Ker( / ) v à X G R tu y ý t a có . f{ax) = f ( a ) f (.r) = 0f(x) = 0 và /(xo) = /(x )/(o ) = f(x )0 = 0 . Đicu này kéo theo ax.xa € Ker(/). Vậy K er(/) là một iđêan của R. □ 2.6. C h ú ý ẳ Bảy giờ ta xét lớp ÍH tấ t cả các vành mà cấu xạ giữa hai vật R. s 9 ÍH là đồng cấu vèilll yà tích cùa hai cấu xa chính là ánh xa h a n thành 70 Giáo trinh đại số hiện đại Dễ chứng minh được rằng hợp thành của hai đồng cấu vành lại là một đồng cấu vành. Khi đó, rõ ràng SR thỏa m ãn các tiên đề ( K i). (A >). (A.ỉ) trong II. (5.1) nên lập thành một phạm trù gọi là phạm trù các vành. Từ háy giờ trớ đi, khi nói tới một đồng cấu ta hiểu nó là một đồng cấu nhóm nếu ta đang xét trong phạm trù các nhóm 0 . hay là một đồng cấu vành nếu ta đang làm việc với phạm trù các vành ÍK. 2.7. V í d u . 1) Cho a là iđẻan của một vành R. Xét vành thương R a như đã định nghĩa trong (2.3). Ta đã biết rằng ánh xạ p : R ----♦ R/a. p(x) = X + a. v.r e R là một toàn cấu chính tắc từ nhóm Abel c ộng của R lén nhóm cộng cùa R/a. Vì p(xy) = xy + a = (x + a)(y + a) = p(x)p(y). nên p cũng là một toàn cấu vành. Hơn nửa. ta có a = Ker(p). Như vậy, kết hợp với (2.6) ta đã chứng minh được mệnh đề sau đây: Một tập hợp con a cùa vành R là một iđêan khi và chi khi tòn tại một đồng cấu f : R — - 5 tủ R vào một vành s sao cho a — K e r(/j. 2) Xét vành các tự đồng cấu nhóm Abel cộng E n d (R) = E của một vành R (xem Ví dụ 1.2. (4)). Cho a € R là một phần tử tuv ý. Ta xét ánh xạ ỉa : R ----’ R- fa(x) = ax. Vx 5 là Iìiột dằng cấu. Trờ lại với phạm trù các vành ÍR . Khi đó ta có định lý về sự tồn tại tích và đối tích trong phạm trù này mà chứng minh của nó được suy ra dễ dàng từ sự tồn tại của tích và đối tích trong phạm trù các nhóm Abel. 2 ẳ9 Ế Đ in h lý. Tích và đối tích tồn tại trong phạm trù các vành ÍR. Chứng minh. Với một họ (R,)i£Ị các vành cho trước ta xem họ này như là họ các nhóm Abel với phép toán cộng. Khi đó tích trực tiếp R = Yl &ĩ Rị. (Pì)íg/. trong đó p, là các toàn cấu chính tắc nhóm, là tích và tổng trực tiếp X — (j,),ei- trong đó j, là các đơn cấu chính tắc nhóm, là đối tích của họ nhóm này trong phạm trù các nhóm Abel 21 (xem Định lý 6.1, Chương II). Bây giờ ta định nghĩa phép nhân trẽii^i? (suy ra cho cả trên À”) chính là 72 'Giáo trinh đại số hiện đại phép n h ản từ n g th à n h p h ầ n , tứ c với a — ( a , ) i £ Ị , b = (b,),e i £ R ta xác định ab = (a?6,)iG/. Khi đó dễ dàng thấy rằng các đồng cấu p, và ji là những đồng cấu vành. Vậy R là tích và X là đối tích của họ (/?,),£/ trong phạm trù các vành ÍH. _ §3ế V ành giao hoán Ta giả thiết mọi vành được xét trong tiết này đều là vành giao hoán, như vậy các khái niệm về iđêan trái, iđêan phải là trùng nhau và chúng đều là những iđêan. 3 .1 ế Đ in h n g h ĩa , (i) Một iđêan thực sự a của một vành R được gọi là ìđèan nguyên sơ, nếu x y G a. v ả y ị a = > 3 n : x n E a. (ii) Iđêan thực sự p được gọi là iđêan nguyên tố. nếu x y € p ==ỉ> x E p h o ặ c y e p. (iii) Iđêan m được gọi là iđêan cực đại. nếu m là phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) trong tập hợp tất cả các iđêan thực sự của R. (iv) Cho a là một iđêan của R. Tập hợp Rad(/?) xác định bời Rad(a) = {x G R I 3n : x "E fl} được gọi là cản của a. Dẻ thấy. Rad(a) củng là một iđêan của R. Đặc biệt, căn của iđêan không {0} được gọi là căn luỹ linh của R và được ký hiệu là Rad(i?). Tức V Rad(i?) = {x e R \3 n :x n = 0 }. Một phần tử của Rad(i?) được gọi là phần tủ luỹ linh của R. Trước hết ta nêu lên những tính chất đơn giàn nhất được suy ra từ các định nghĩa trên trong mệnh đề sau đáy. 3.2. M ện h đe. Cho a là m ột iđêan của vành fí. K hi đó các m ệnh đẽ sau là đ úng: (i) a là iđêan nguyên tố khi và chi khi R /a là m ột miền nguyên. (ii) a là iđóan cục đại khi và chi khi R /a là m ột trường. (iii) a là iđôan nguyên sơ khi đó Rad(a) là iđcan nguyên tố. Chương III. Vành, trường và đa thức 73 (iv) M ột iđèan cực đại luôn là iđêan nguvên tố. m ột iđôan nguyên tố luôn, là iđôan nguyên sơ. Chứng minh. (i). Giả sử a là một iđẻan nguyên tố và x .y G R là hai phần tử tuy ý của R mà (x + a)(y + a) = x y + a = 0 + a. Từ đày ta suy ra x y € a. Do a là iđêan nguyên tố. nên một trong hai phần tử X. ụ phải nằm trong iđêan a. chẳng hạn .r 6 a. Điều này chứng tỏ R/ữ là một miền nguyên. Chiều ngược lại cùng dề dàng được chứng minh tương tự. Rỏ ràng (ii) là một hệ quà trực tiếp của (i); (iii) và (iv) là hiển nhiên được suy ra từ các định nghĩa iđêan nguyên tố. iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại. □ Chú ý rằng các mệnh đề ngược của (iv) trong (3.2) là không đúng. Điều đó ta sẽ thấy trong ví dụ dưới đây. 3.3. V í du. Trong vanh các số nguyên z thì tập hợp 7ỉZ = {nk I k 6 Z} là một iđêan. 1) Dề kiểm tra được với mỗi số tự nhiên n rằng, liến n là một số nguyên tố thì vành các lớp thặng dư theo môđun n : z „ = Z /n Z là một miền nguyên và hưn nửa nó là một trường. Vậy. theo (3.2). (i) thì n z là một iđèan nguyên tố khi và chi khi n là m ột số n g u y ên tố và khi đó nó củng là m ộ t iđ êan cực đại nhờ vào Tính chất (ii). (3.2). Ngoài ra. ta biết z là một miền nguyên, nên {0 } là iđẻan nguyên tố của z nhưng không là iđêan cực đại vì nó chứa thực sự trong mọi iđèan nguyên tố pZ. với p là một số nguyên tố. 2) Cho p là một số nguyên tố và Q là một số tự nhiẻn tu ỳ ý. Ta th ấ y ngay rằng R ad(pQZ) = pZ là iđẽan cực đại. Điều này chứng tỏ (xem bài tập 11) rằng pQZ là m ột iđêan nguyên sơ của z. Vậy. n z là iđêan nguyên sơ khi và chi khi n là luỹ thừa của một số nguyèn tố. Do đó ta có ngay phản ví dụ cho mệnh đề ngược của mệnh đề thứ hai trong (iv), (3.2), chằng hạn. 32z là iđêan nguyên sơ nhưng không là iđêan nguyên tố. J4 Giáo trình đại s ố hiện đại 3 4. BỔ đề. Trong một vành giao hoán R luôn tòn tại ít nhất một iđẽan cực đại. Chứng minh. Xét tập hợp n tất cả các iđêan khác với R. Khi đó fỉ với thứ tự bao h àm theo n g h ĩa tậ p h ợ p sẽ lập th à n h m ộ t tậ p h ợ p đ ư ợ c sắ p bộ phận. Vì {0} e Ü nên Í7 0. Giả sử ai < C12 < 0.-5 < ••• là một xích tuỳ ý các iđêan trong Í1 Rõ ràng ÓC' a = | J a* i=1 lại là một iđêan của R. Hơn nữa, 0 € fỉ. Vì, nếu 1 G a, thì tồn tại một iđêan an trong xích sao cho 1 e a„, tức a n = R. Vậy mọi xích trong fỉ đều bị chặn. Khi đó theo bổ đề Kuratowski-Zorn trong có ít nhất một phàn tử cực đại m. Hiển nhiên khi đó m là một iđêan cực đại của R. □ 3.5. H ê quả. Mọi iđêan thực sự của một vành giao hoán luôn nằm trong một iđêan cực đại. Chứng minh. Cho a là một iđêan thực sự của vành giao hoán R. Xét vành R /a rồi áp dụng (3.4) ta được ngay điều cần chứng minh. □ Một vành giao hoán được gọi là vành địa phương, nếu nó chì có một iđêan cực đại duy nhất. Khi đó, theo Hệ quả 3.5 thì mọi iđêan thực sự của một vành địa phương đều nằm trong iđêan cực đại duy nhất của nó. Đảy là lớp vành giao hoán rấ t quan trọng, có nhiều ứng dụng trong hình học đại số. Bây giờ, ngoài giao của những iđêan ta xác định thêm một số phép toán trên iđêan. - Tổng của hai iđêan a và b trong một vành R là tập hợp xác định bời a + b = {a + b I a € a, b 6 b}. Rõ ràng a -f b là một iđêan và nó chính là iđêan bé n h ất chứa a và b. - Tích của hai iđêan a và b trong m ột vành R là iđêan xác định bỡi ab = { ] T albl I dị e a, bi G b, phép lấy tổng là hữu hạn } Chương III. Vành, trường và đa thức 75 K hi đó, không khó k h ă n t a có th ê chứ ng m in h các iđẻan n ày th ò a ũiãai b ao hàm thức sau đây. a b C a flb Ç a + b. Một cách tương tự. ta có thể mờ rộng khái niệm iđêan tông ai và tích r ii e / a ' ch° m 9t họ tuv V các iđêan (a ,),e / cho trước. Có rất nhiều các quan hệ thú vị giữa các iđêan nguyên sơ, nguyên tố và iđêan căn trong vành giao hoán. Định lý sau đây là một minh họa cho điều này. 3 .6 ế Đ ịn h lý. Căn luỹ linh Rad(/?) của một vành giao hoán R là giao cua tất cà các idean nguvôn tố cùa R. Chứng minh. Ta gọi 91 là iđêan được xác định bời giao của tấ t cả các iđêan nguyên tố của R. Cho X e Rad(/?) và p là một iđêan nguyên tố tuỳ ý của R. Khi đó tồn tại một số tự nhiên rì sao cho x n = 0ep. T ừ đây ta suy ra, dựa vào tính nguyên tố của p, X € p. Tức ta đ ã chứng minh được Rad(i?) Ç m. Đè chứng minh bao hàm thức ngược lại. ta chỉ cần chỉ ra rằng, với một phần tử 0 7^ X € R cho trước. 1 ' ệ Rad(Z?) ==> X Ệ ữt. Thật vậy. xét tập hợp E tất cả các iđêan a của R có tính chất x n Ệ a, với mọi số tự nhiên 77. Rõ ràng £ là một tập hợp được sắp th ứ tự với quan hệ bao hàm theo nghĩa tập hợp và E Ỷ 0' V1 {0} G E. Giả sử 0 ] 3 u e 5 sao cho u ( a t — s b ) = 0. Rõ ràng quan hệ này là phàn xạ và đối xứng. Để chứng minh nó cũng là quan hệ bắc càu, già sử (s .a ) ~ (t.b) và (í, b) ~ (u.c). Khi đó tồn tại v,w E s sao cho v(at — bs) = 0 và w(bu — ct) = 0 . Thế ò từ hai phương trình này. ta đi đến t v w ( a u — cs) = 0. Vì s là tập nhân đóng nên tvw e 5. từ đây kéo theo (s,a ) ~ («, c). Vậy ~ là một quan hệ tương đương. Ta ký hiệu a/s là lớp tương đương của phần tử (s.a) và S~lR là'tập hợp tấ t cả các lớp tương đương này. 4.2. Đ ịnh lý. Sừ dụng các kv hiệu ở trên thì s 1R là m ộ t vành giao hoán với cấc phép toán được xác định như sau: Vs, t e s, a,b e R. ( a / s ) + (b/t) = {at + bs)/st , ( a/s)(b/t ) = ab/st. Chứng minh. Trước hết ta cần chứng minh rằng, các định nghĩa ờ trên là không phụ thuộc vào cách chọn đại diện. Thật vậy, giả sử a /s = d\/s\ và b/t = b\/t\. Ta cần chứng tò rằng (at + bs)/st = (diti + b ị S i ) / S ị t ị . Theo giả thiết, tồn tại hai phần tử u.v e s sao cho u(as 1 — a is ) = 0 và v(bt 1 — bit) = 0 . N h ản đ ằ n g th ứ c th ứ n h ấ t v ớ i vtt 1 v à đ ẳ n g th ứ c th ứ hai vớ i ussị rồi cộn g chúng lại và rút uv ra. ta được uv(sitị(at + bs) - st(aiti + biSi)) = 0. 80 Giáo trình đại số hiện đại Đó chính là điều ta càn chứng minh. Bằng phương pháp hoàn toàn tương tự. ta củng ch ứ n g m inh đ ư ợ c p h ép n h ản xác đ ịn h n h ư trên là k h ón g p h ụ .th u ộ c vào cách chọn đại diện. Hơn nữa. khỏng khó khăn có thê kiểm tra được các phép toán trên thỏa mãn các tiên đề để S ^ 1R lập thành một vành giao hoán với phần tử đ ơ n vị là 1 /1 . □ Từ đinh nehĩa của vành các phán thức ta xác định được một ánh xạ ỉ ■ R — » S ~ l R. f(x) = x / 1. Rõ ràng ánh xạ này là một đồng cấu vành (nói chung nó không phải là một đơn cấu). Hơn nữa, vành R và đồng cấu / có các tính chất: 1) Mọi phàn tử thuộc f(S) đều khả nghịch trong s ~ } R. 2) f(a) = 0 = > 3.S 6 S. as = 0. 3) Mọi phần tử của S~iR đều có dạng / (a)f(s)~l với a G R và s G s nào đó. Chú ý này làm vành các phân thức có tính chất phổ dụng như sau. 4.3. Đ inh lý. Cho g : R — * X là m ột đòng cấu giữa các vành giao hoán. Khi đó các mệnh đề sau là đúng: (i) Nếu mọi phần tủ thuộc g(S) đều khà nghịch trong X . thì tòn tại duy nhất một đòng cấu h : S~lR — ■> X sao cho g — h o f. (ii) Nếu g thỏa mãn các điều kiện 1) Mọi phần tủ thuộc g (S ) đều khà nghịch trong X: 2) g{ò) — 0 = > ELs € S, as = 0: 3) Mọi phần từ của X đều có dạng f(a)f(s)~l với a € R và s e s nào đó. Khi đó. tòn tại duy nhất m ột đằng cấu h : s ~ l R — » X sao cho g = h o f. Chúng minh. (i). Trước hết. ta chứng minh rằng tương ứng h : s ~ l R — - X xác định bời h{a/s) = g(a)(g(s))~1 là một đồng cấu. T hật vậy. tương ứng trên hiển nhiên là một đồng cấu nếu nó là một ánh xạ. Giả sử a /s = bịt. Khi đó. tồn tại m ột phần tử lí G 5 bao cho u(at — bs) = 0. T ừ đây suy ra g(u)(g(a)g(t) - g{b)g(s)) = 0.