Giáo trình đại số hiện đại – Phần 1: Đại số trừu tượng

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc này. Điều này cũng dễ hiểu, vì ta biết rằng hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Đã có rất nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài được xuất bản ở Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đã trở thành kinh điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học toán trên khắp thế giới. Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là một việc làm rất khó khăn, nhất là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại từng phần các giáo trình đã có. Cuốn sách này được viết dựa trên các bài giảng về đại số của tác giả trong vòng 10 năm trở lại đây cho học viên cao học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và một số trường đại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các lớp cử nhân tài năng thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Nó được viết hướng tới hai mục tiêu:
Mục tiêu đầu tiên, giống như mọi giáo trình về đại số, là nhằm cung cấp các cấu trúc đại số cơ bản nhất mà không đòi hỏi người đọc phải có bất cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó, ngoại trừ một chút yêu thích toán học.
Mục tiêu thứ hai của cuốn sách là trình bày các khái niệm, cấu trúc đại số dưới một ngôn ngữ tổng quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơn các tính phổ dụng của các khái niệm. Nói cách khác, tác giả muốn người đọc nhận thấy các mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm, cấu trúc đại số khác nhau và khuyến khích cho những tư duy tổng quát, trừu tượng hơn nữa.
Do đó, giáo trình này được viết theo phương pháp đi từ trừu tượng đến cụ thể, là một việc làm trái với hầu hết các cuốn sách đại số trước đây. Bù – lại, phương pháp này cho phép ta có một cách nhìn tổng thể hơn, rút ngắn đáng kể cách trình bày vì dễ dàng đưa các cấu trúc khác nhau vào trong một khái niệm và giúp người đọc làm quen với phương pháp tư duy hình thức là phương pháp quan trọng nhất trong đại số. Tuy nhiên để giảm bớt tính hình thức, sau mỗi khái niệm trừu tượng chúng tôi cố gắng đưa ra nhiều vi dụ khác nhau nhằm giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp nhận được khái niệm này.
Sách bao gồm 5 chương. Chương I trình bày vắn tắt về lý thuyết tập hợp, ánh xạ, các quan hệ nhằm thống nhất các ký hiệu tiện cho các chương tiếp theo. Trong chương II về lý thuyết nhóm, chúng tôi bỏ qua những cấu trúc nửa nhóm, tiền nhóm mà đi ngay vào định nghĩa nhóm. Chúng tôi cũng bỏ qua phần lý thuyết nhóm hữu hạn mà dành trình bày kỹ hơn về cấu trúc nhóm Abel hữu hạn sinh. Khái niệm phạm trù và hàm tử cũng được đưa vào chương này nhằm phục vụ ngay cho cho việc định nghĩa các khái niệm quan trọng mang tính phổ dụng của đại số trong suốt giáo trình một cách nhất quán. Trong chương III về lý thuyết vành, có một chú ý là trong định nghĩa một vành ta đòi hỏi sự tồn tại phần tử đơn vị, đây cũng là điều mà nhiều giáo trình đại số khác không đòi hỏi. Lý do giải thích cho việc này là vì giáo trình được viết thiên nhiều hơn về vành giao hoán. Chương IV trình bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bản của lý thuyết môđun, cấu trúc quan trọng nhất của đại số. Hai hàm tử quan trọng nhất của lý thuyết modun là hàm tử Hom và ten xơ cũng như tính chất đơn giản đầu tiên của chúng cũng được xét đến trong chương này. Chương cuối cùng dành cho việc trình bày cấu trúc một số lớp modun đặc biệt quan trọng như môdun nội xạ. mod xạ ảnh, môdun Noether và Artin trên vành giao hoán. Như vậy: hai chương cuối của giáo trình có thể xem như là một sự chuẩn bị kiến thức khởi đầu cho những đọc giả có ý định tiếp tục đi sâu vào nghiên cứu các ngành quan trọng của đại số như Lý thuyết môđun trên vành kết hợp. Đại số đồng điều hay Đại số giao hoán.
Cuối mỗi chương của cuốn sách đều có phần bài tập được chọn lọc. Các bài tập này không chỉ để người đọc giải nhằm tự kiểm tra sự tiếp thu những điều đã học. mà nhiều bài tập là những bổ sung hay mở rộng kiến thức chưa có trong sách. Vì vậy, sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải được nhiều bài tập.