(pms.
Ví du 2-6: Một vật rắn nằm trên mậi
pháng không nhẩn, có hộ sô’ ma sát irượt
tĩnh f, nghiêng với mặt nằm ngang mỏi
góc a. Xác định góc a dế vật rắn cân băng
dưới tác dụng cua ưọng lực (hình 2.24).
Bài giái: Kháo sát vật rắn chịu lác
dung cúa trọng lực (lực dặt vào). Vát rắn
có xu hướng irượt xuống nên ngoài ph;in
lưc pháp tuyến N vặi còn chịu tác dung lực ma sát trượt hướng dọc mặt phăng nghiêng. Như vặv vật rán căn băng dưới
36
X
/linh 2.24
lác dụng của ba lực dồng quy tai I: (P.N.Fins) = 0 .
Các phương trình cân băng có dạng:
p 'i n a = 0
£ F y = N p c o s a = 0
Ngoài ra từ định luặl Culông la có:
Fm, < fN
Từ các phương trình cân bằng la tìm dược:
Fmv = p sinct: N = p co sa .
Thay các giá irị này vào bâì dẳng thức do định luật Culông ta có:
p sin a < fp cosa
Vậy dế vật còn nằm cản bằng trên mặl phảng nghiêng (tự hãm) thì:
Iga < f
Dấu đảng thức ứng với trường hợp vật sấp sứa Iruợi ([rường hợp giới hạn). Có thê giải bài toán bàng điều kiện hình học về lư hãm. Từ điếm I la VC góc (pm% = arctgf. ký hiệu góc giữa p và N là Ip.
Hợp lực cùa lực đật vào là p . Điều kiện dê p cắt bên trong hình nón ma sái là: ip < ipms. Mặt khác:
m0y(F) = m y(F) m 0z (F) = m z (F)
(3-6)
Nhờ các côna thức này ta có thể xác định dễ dàng véctơ mômen cúa một lực đối với một điểm trong không gian.
—0
d) Véctơ mômen chính cùa hệ lực không gian đối với điem o, ký hiệu m , là một véctơ bằng tổng các véctư mômen cùa các lực của hệ lực đối với điếm O:
—'0 — ----------------- — - - ^ — - m = m0(F,)+ m0(F,) + ...+ m0(FN) = 2 , m0(Fk) k = l
(3-7)
Có thể xác định véctơ mômen chính bằng phương pháp đa giác véctơ (tương tự phương pháp đa giác lực, ớ đó các véctơ lực được thay thế bằne các véctơ mômen cua lực), hoặc bàng phương pháp tìm hình chiếu cúa nó trên các trục toạ độ vuông góc (hình 3.1):
m (3-8)
Chú ý: Véctơ chính là véctơ tự do, còn véctơ mòmen chính phụ ihuộc vào iiếm lấv mômen:
m 01 = m ủ + nĩoi(Ro). (3-9)
43
3.2. THU GỌN HỆ Lực KHÔNG GIAN
3.2.1. Định lý dời lực song song
Lực F đật tại A tương đương
với tác dụng của nó tại o (lực F ' )
và một ngẫu lực, có véctơ mômen
F
bằng véctơ mómcn của lực Fđối
với điếm o (hình 3.3):
F = F' và m = m ỹ ( F ) (3-10)
Chứng minh dinh lý này
. , , __ ■ L , Hình 3.3 giong như chứng minh cho trường hợp hệ lực pháng ớ đó
mômen đại sỏ được thay bằng véctơ mômen.
3.2.2. Thu gọn hệ lực không gian về tâm o
Lấy một điếm o tuỳ ý được gọi là tâm ihu gọn. Sứ dụng định lý dời lực song song đế dời các lực về tám o (hình 3.4).
F = F' và m x = m ũ(F1)
F: = và m, = mu(F: )
Fn s F ; và m N* = m0’(FN)
Như vậy thu gọn hệ lực (Fị,F2 ,...,Fn ) vể tám o ta dược một hệ lực dóng quy (khòng gian) tại o,(F|',FÍ,...,F'n), và một hệ ngầu lực (không gian) ( m |. n i 2 .....niN).
H intắ 3.4
Hệ lực đồng quy có hợp lực qua o. ký hiệu Rq , được biêu diẻn bãng véctơ chính của hệ lực đã cho đặt tại o (vcctơ chính cứa hệ lực dón° quy nà\ và véctơ chính cúa hệ lực không gian đã cho bằng nhau):
N N
R i = I Fk=ỵ Fk= R 1 (3-11)
k=l k=l
44
trong đó: R' là véctơ chính của hệ lực không gian đã cho.
Hệ ngẫu lực không gian (m |,m 2 ,...,mN )như đã biết (định lý hợp ngẫu lực) tương đương với một ngầu lực m dựa vào (3-7):
m = m 1 + m 2 + ... + m N = m o ^ ) + m 0 (F) +... + m 0(F N )
N (3-12)
k=l
Vậy ta có định lý.
Đ ịnh lý 3 -2 : Hệ lực không gian tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại một điếm tuỳ ý, chúng được gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn đặt tại tâm thu sọn, có véctơ lực bằng véctơ chính của hệ lực. còn ngẫu lực thu gọn có véctơ mômen bằng véctơ mỏmen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.
Nhận xét:
1. Phương, chiều và giá trị của lực Ihu gọn không phụ ihuộc tâm Ihu gọn. Sự biên ihiẽn cua ngẫu lực thu gọn theo tâm ihu gọn phù hợp với công Ihức (3-9).
2. Đối với hệ lực khòng gian. Iưc ihu gọn không nằm trong cùng mặt pháng với nsẫu lực (hu gọn như trong trường hợp hẽ lực phảng, tức véctơ chính và véciơ mõmcn chính không luôn luón vuỏng góc với nhau như irường hợp hệ lực pháng. Đày là sự khác biệt cơ bán giữa hệ lực không gian với hè lực pháng.
3.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ L ực KHÔNG GIAN
3.3.1. Điều kiện cân bằng
Đ ịnh lý 3-3: Điểu kiện cần và đú để hệ lực không gian cân bằng là véctơ chính và véctơ mômen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ triệt tiêu.
N
R'= £ f k =0
K=1
----- N(3-13)
m ° = X m ũ ( F k ) = 0
k =1
3.3.2. Các phương trình cân bằng của hệ lực khòng gian
Đê véctơ chính và véctơ mômen chính cùa hệ lực đói với một điếm bất kỳ triệt tiêu thì các hình chiếu cua chúng trên ba trục toạ độ vuông 2ÓC phai triệt tiêu, tức là:
45
N N N
Z Fkx= 0; S Fky = ° ỉ Z Fk z = 0 ’
k=l k=l k=l (3-14) N ______ . N _______ N ______ _
5 ] m x (FK ) = 0 ; 5 ] m y (Fk ) = 0 ; ^ m z(FK ) = 0.
k=l k=l k=l
Đ inh lý 3 -4 : Điểu kiện cần và đù đê hệ lực không gian cân bãng là tỏng hình chiếu của các lực trên ba trục vuông góc và tổng mõmen cùa các lực đổi với ba trục ấy đểu triệt tiêu.
Các phương trình (3-14) được gọi là các phương trình cân bằng cúa hộ lực khỏng gian. Từ (3-14) có thể trực tiếp suy ra các phương trình cân bằng cứa các hệ lực đặc biệt, ví dụ phương trình cân bằng của hệ đổng quy sẽ là:
Z Fk * = 0 ; Z Fk y = 0:2 X = 0 (3-15)
Còn phương trình cân bằng cùa hệ song song không gian có dạng: X F k z = 0 ; X m x(Fk ) = 0 ; X m y (Fk ) = 0 (3-16)
trong đó: trục Oz lấy song song với các lực của hệ lực.
Lẽ tất nhiên từ các phương trình (3-14) cũng dễ dàng suy ra các phương trình cán bằng cúa hệ lực phẳng.
Ví du 3-1: Mội trục kéo AB có đường trục nằm ngang và được đỡ trên hai ố trục (bán lé Irụ) A và B. Hai nhánh dai cùa puli có dường kính D = 0,6m, chịu các lực cãng T| = 5kN. T-Ì = 2kN. Vậi được kéo có trọng lượng p = 5kN và tang tời có dường kính d = 0,3m. Trục lời chịu tác dung ngẫu lực cán có mômen M.
Xác định ngẫu lực cán M cần thiết để trục cân bằng và các phán lực tại các gối trục A vi B. Bó qua ma sát. Các kích ihước được cho trên hình.
Bài giải: Trục kéo được cân bằng dưới lác dụng của hệ lực
(P,M,T,J2.Xa.Xb.Za.Zb) h O
Chọn hệ trục toạ độ như trên hình 3.5, các phương trình cán băng cua hệ lực có dạng: y . Fx=Ti + T2 + Xa + Xb =0
y . Fz = -P + ZA + ZB = 0
^ m x(F) = a P - 4 a Z B = 0
y ^ ( F ) = T , - - T 2- - P - - M = 0
> 1 2 2 2
y ^ m /(F) = 3aTị + 3aT2 + 4aXB = 0
Thay các giá trị bầng sô vào hệ phương irình trên và giái chúng, ta nhán dưoc: XA = 1,75 kN; ZA = 3.75 kN; x n = - 5.25 kN;
46
z n = 1,25kN; M = 0.15kN.rn
Trong các kêì quá nhận dược các thành phán x s và X B có dấu âm. Điổu này có nghĩa là chiéu dũng cua các phán lục này là chiểu ngược với chiéu irẽn hình 3.5.
Hình 3.5
CÂU HOI ÔN TẬP
1. N ê u đ ịn h n g h ĩ a v é c tơ c h í n h c ù a hệ lực k h ô n s g ia n và c ò n g th ức x ác đ ịn h ba hì nh chiếu của véctơ chính trên ba toạ độ vuông góc.
2. Nêu định nahĩa m ôm en chính đòi với một điểm cùa hệ lực không gian và công thức xác định ba hình chiếu của véctơ mỏmen chính đỗi với một điếm của hệ lên trên ba ' loạ độ v u ô n g só c .
3. Nêu các phươna trình cân bàna cùa hệ lực không gian.
47
B - ĐỘNG HỌC
Chương 4
CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIEM
Động học chất điếm có nhiệm vụ:
- Thiết lập phương trình chuyến động của chất điếm tại từng thời diêm Đó là tập hợp các hệ thức xác lập mối quan hệ giữa các thông số vị trí cùa chất điếm (các thông số định vị) và thời gian nhờ chúng có thể xác định vị trí cùa chất điếm tại từng thời điếm.
- Tìm các đặc trưng động học cùa chất điểm: vận tốc và gia tốc. Vận tốc là đại lượng cho biết phương, chiểu và tốc dộ của chất điếm, còn gia tốc cho biết sự thay đối vé phương, chiều và tốc độ của chất điếm, tức sự thay đổi của vận tốc.
Chuyến động cứa chất điếm là sự thay đổi vị trí cua nó so với một vật được chọn trước gọi là hệ quy chiếu. Tập hợp các vị trí cúa chất điểm trong khônị gian quy chiếu đã chọn được gọi là quỹ đạo của chất điếm trong hệ quy chiếu đó. Tuỳ thuộc quỹ đạo của chất điếm là đường thắng hay đường cong mà chuyên động của nó được gọi là chuyển động thảng hay chuyến động cong.
Dưới đây sẽ trình bày một số phương pháp thường được dùng đế kháo sái động học cua chất điếm.
4.1. PHUƠNG PHÁP VÉCTỜ
4.1.1ễ Phương trình chuyên động
Xét chất điếm M chuyến động
theo quỹ đạo c đôi với hệ quy chiếu
(A). Vị trí của chất điếm M dược xác
đ ị n h n h ờ v é c t ơ đ ị n h vị r = O M , t r o n g
đó: o là một điếm bất kì cùa hệ quy
chiếu (A). Chất điểm M chuyến động
nên r thay đổi (phương, chiểu và trị
số) theo thời gian:
r = r (t) (4-1)
H m h 4.1
48
Nó được gọi là phương trình chuyển động cùa chất điểm M dạng véctơ (hình 4.1).
4.1.2. Vận tốc
Giả sử tại thời điểm t và thời điểm lân cận t' = t + At, vị trí cùa chất điểm M được xác định bằng các véctơ định vị r và r' tương ứng. Qua khoáng thời gian At véctơ định vị cùa chất điếm biến đổi một lượng MM’s A r = r ' - r (hình 4.1).
Đại lượng vIh = —ỉ- được gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trong
khoảng thời gian At = t’ - t.
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định như sau:
.. - _ . . A r đr i
At dt(4-2)
V = lim Vib = lim —— = — = r
Như vậy vận tốc của chất điểm bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véctơ định vị cúa chất điếm. Véctơ vận tốc cùa chất điểm hướng về phía chuyến độns theo tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm M. Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s và các bội số của nó.
4.1 ế3. Gia tốc
Giả sử tại thời điểm t và thời
M
điểm lân cận t’ = t + At chất điếm M
có vận tốc tươna ứng V và v’. Qua
khoảng thời gian At = t’ - t vận tốc
cua chất điém biến đổi một lượng
A v = v' - V (hình 4.2).
v' - V Av
Đại lượng: a,h = --------= — ,
At At
được gọi là gia tốc trung bình cùa chất điểm trong khoản2 thời gian At. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định như sau:
a = lim a lb = limAv Al —»0 At
dv "dĩ
d" r d r
(4-3)
Như vậy gia tốc cùa chất điểm bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian cùa vận tốc và bằng đạo hàm bậc hai theo thời sian của véctơ định vị. Véctơ gia tốc hướng về bề lõm của quỹ đạo. Đơn vị của gia tốc thường dùna là tốc hướng vể bè lõm cu mét/giày2, ký hiệu là m/s2.
4 GTCKT -A 49
4.1.4. Dâu hiệu về nhanh dần và chậm dẩn của chuyển động r i Chuyến động cùa chất điếm được gọi là nhanh dán (chậm dãn) nếu V
hoặc tưưng đương với nó, — V 2 = —(v)2 tăng (giám) theo thời gian. - Chất điểm chuyến động nhanh dần nếu (hình 4.3a):
— (—V ) = va > 0
dt 2
- Chất điểm chuyên động chậm dần nếu (hình 4.3b):
(4-4)
d
dt
f 1 - 2 >
- V = v.a < 0
(4-5)
4.2.PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỀ CÁC (hình 4.4)
4.2.1. Phương trình chuyên động
Gắn vào hệ quy chiếu (A) một hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz. Các thông sô' định vị chất điếm sẽ là 3 toạ độ X, y, z biến đổi liên tục theo thời gian. Nếu:
X = f , ( t ) , y = f 2(t), z = f;(t) (4-6)
trong đó: các hàm f,(t). f2(t), f,(t) là các hàm liên tục đã biết cua thời gian thì chúng được gọi là phương trình chuyến động cùa chất điếm dạng toạ độ Đề các.
Chú ý rằng:
r = xi + yj +zk (4 -7 )
trong đó: i. j, k là các véctơ đơn vị trên các trục toạ độ Đề các.
4.2.2. Vận tốc
Dựa theo (4-2) và (4-7) và chú ý rằng:
50
di _ dj _ dk
dt dt dt
ta CÓ:
dr d(xi + y j + z k ) dx .* dydz
v = — - = —:------- 11--------ỉ = — i + — j + — k
dt dt dt dt dt
Từ đây tìm được các hình chiếu của V trên các trục toạ độ: dx
Vvdy . dz
- x ; vy = ^ . ỷ ; vz = ^ - z ;
dt • dt " *• dt
(4-8) (4-9)
Giá trị. phương chiều của véctơ vận tốc được tìm theo còng thức:
X2 + ỹ 2 + Z 2
= y [ v ị + v ỉ + v z = V*
V -* V .. — Y
cos(Ox, v) = ——, cos(Oy, v) = — cos(Oz. v) = — V V V
4.2ề3. Gia tốc
(4-10) (4-11)
Tương tự như đối với vận tốc. gia tốc của chất điểm được tìm từ công thức:
~ _ dv _ d a = d ĩ = dĩ
dx 7 dy : dz dt 1 + dt J + dt
d2x 7 d2y 7 d2z r
= T 2 i + T f j + T 2 k dt dt dt(4-12)
Từ đày tìm được các hình chiếu cùa gia tốc trên các trục toạ độ:
d2x .2 .2 d y .. d z x; ay = —Ỷ s ỹ; a z = — dtz ' dtz dt2
dt
- Z
(4-13)
Giá trị, phương, chiểu của gia tốc được tìm từ công thức: a = — —
a x -a., a,
cos(Ox,a) = cos(Oy,a) = — ; cos(Oz,a) = — a a a
(4-14) (4-15)
Chuyên độns thẳng: khi quỹ đạo của chất điểm là đườns thẳng. Chọn trục Ox hướng theo đườna tháng quỹ dạo (hình 4.5). Chọn chiều dương trên quỹ đạo (thườna là thuận chiều chuyến động).
Phương trình chuyển động sẽ là: X = f(t).
Vận tốc cùa chất điểm: hướng dọc đường thána quỹ dạo và theo chiểu chuyến động. Hình chiếu cùa vận tốc trên quỹ đạo sẽ là:
dx df(t)
v x =
dt ~ dt
51
Gia tốc của chất điểm: hướng dọc đường thẳng quỹ đạo. Hình chiếu của gia tốc trên quỹ đạo sẽ là:
dvx d2x d2
chuyển động nếu chuyển động là
(C)
X
3
Hình 4.5
nhanh dần (vx. ax > 0 ) và hướng ngược chiều chuyến động nếu chuyén động là chậm dần (vx. a x < 0 ).
a) Chuyển động thẳng đểu: chiều dương quỹ đạo thuận chiều chuyến động:
v x = hằng = v0; a x = 0. còn X = Vị, (t - t0) +x„
trong đó: t() và X(, là thời đ iể m đầu và vị trí đầu của chất điể m.
b) Chuyển động thẳng biến đổi đều: chọn chiều dương quỹ đạo thuận chiều chuyển động:
a x = ± a 0 = const,
V = ±ag(t - 1()) + v0.
1 2
x = ± - a ( t - t 0) + v0(t - t0 )+ X(),
trong đó: t(„ V(| và x,| là thời điể m đầu, vận tốc đầu và vị trí đầu cù a chất điế m.
Chuyển động là nhanh dần ứng với dấu “+” và chậm dần ứng với dấu trong các biếu thức trên.
Từ đây ta tính được vận tốc cứa chất điếm tại hai thời điếm bất kì tị và t2 (t, > t2), ký hiệu v(tỊ) và v(t2):
v(t2) = ± a0 (t2 - t„) + v0 = v2
v(t,) = ± a „ (t, - t0) + v0 3 V,
Do đó lượng bicn thiên vận tốc Av = v 2 - V| tương ứng với khoang thời gian At = t2 — 11:
Av Av = v(t2) - v(11) = ± a„ (t2 - t,) —— = ± a 0 = const.
‘ 2 - t i
Vậy trong chuyến động bicn đổi đều lượng biến đổi vận tốc trong n h ữ n u khoảng thời gian bàng nhau là bằng nhau.
c) Chuyển động tròn: chất điểm chuvến động trong một mặt phãns và luôn luôn cách một điếm o cố định một khoáng cách không đổi OM = R được goi
52
là bán kính quay. Quỹ đạo của chất điểm là đường tròn tâm o bán kính OM. Giả sứ chất điếm chuyển động dọc quỹ đạo theo chiểu ngược chiều kim đóng hồ. Chiểu này được chọn làm chiều dương trên quỹ đạo. Đê xác định vị trí cùa chất điếm trên quỹ đạo, ta có thế chọn thông số s = IM , trong đó: I là một điếm cô định trên quỹ đạo được chọn làm gốc. Đế xác định vị trí cùa chất điếm M cũng có thế sứ dụng góc (p = (O x,O M ). nó được quy ước là dương khi
trục Ox quay đến gặp OM theo chiểu ngược chiều kim đổng hổ. Với các quy ước trên ta có (hình 4.6):
s = Rcp
Chú ý rằng khi chất điểm chạy
dọc theo chiều dương quv đạo thì
(p tãng và do đó ộ > 0. Nếu chất
điếm chạy dọc quỹ đạo theo chiều V
âm thì (p giảm và cp < 0 .
Phương trình chuyến động
của chất điếm dọc quỹ đạo sẽ là:
s = s(t) = R. cp(t) Hình 4.6
©
I
X
Vận tốc của chất điếm. Như đã biết vận tốc cua chất điếm có phương tiếp tuyến với quỹ đạo và thuận chiều chuyên động. Trong trường hợp này vận tốc
sẽ vuông góc với bán kính quay OM và hướng theo chiều s (hoặc (p) tăng tức 9 > 0 , còn siá trị cua nó được xác định như sau:
X M = R c o s c p —> x M = v x = - R s i n ( p c p
y M = R s i n c p - > ỳ M = Vy = R c o s c p ộ
Chú ý rằng nếu chọn véctơ đơn vị to trên phương tiếp tuyến với quỹ đạo phù hợp với chiểu dương của quỹ đạo và véctơ đơn vị no trẽn phương pháp tuyến quỹ đạo hướng về mặt lõm của quỹ đạo, tức dọc OM , hướng từ M đến o, ta có:
as“ V — — to = Rcpto (a)
dt
Chiếu đảng thức (a) lên phương tiếp tuyến ta có:
53
ở đây Vị là hình chiếu của vận tốc trên phương tiếp tuyến quỹ đạo. Ngoài ra chú ý rằng:
n 0 = - COS91 — sin cpj ; t0 = — s in (p ĩ+ c o s t p j
d t 0 dto dtp = _ ^COS(?ị +7 - V — s j n 9 j )(p_ ọ n o _ _ L n 0
dt dtp dl R
Gia tốc của chất điểm: Theo công thức (4-3), ta có:
- - 2
- dv d - • dv. - - dto dvt • Vi •
a = — = -7 - (vito) = — Lto + V f-J - = — Lto + - - n o
dt dt dt dt dt R
Như vậy gia tốc của chất điếm gồm hai thành phần:
- Thành phần hướng theo tiếp tuyến của quỹ đạo, được gọi là gia tốc tiếp, ký hiệu ai :
dvt — d2s —
a ' = - ^ r t 0 - — 9“ l 0 dt dt2
nó có hình chiếu trên phương tiếp tuyến quỹ đạo, ký hiệu at :
d 2 S d v ,
a' = ^ = “dT
- Thành phần hướng theo phương dương pháp tuyến (hướng vể bể lõm quỹ đạo), được gọi là gia tốc pháp, ký hiệu a n :
.,2
Rn 0
nó có hình chiếu trên phương pháp tuyến quỹ đạo, ký hiệu a n :
2
a n —R
Các chuyến dộng tròn đặc biệt:
a) C huyến động tròn đêu: là chuyến động mà vận tốc cùa chất điểm có giá trị không đổi:
|vt | = const = v0 ; a t
dv, dt
— VÃ = 0; a n = ~ = const n R
a - a n ; s - ± v 0 ( t - t 0 ) + s0 ; s0 = s ( t 0 )
54
b ) C huyển dộng tròn biến đổi đều: là chuvển động mà gia tốc tiếp của chất điém có giá trị không đổi:
a t = a 0 = const
Lấy dấu “+” ứng với chuyên động nhanh dần đều và lấy dấu ứng với chuyển động chậm dần đểu.
Ví dụ 4-1: Một vật được ném lên theo phương thắng đứng với vận tốc đấu V|, = I000m/s tại một điểm cách mặt dã't mộl khoáng h„ = lOOm. Tìm khoáng thời gian T đế vật đạt dược vị trí cao nhái. Tính doạn dường vật di được. Cho biết gia tốc irọng trường là g = 10m/s’ (hình 4.7).
Bài giải: Chọn trục Oz hướng thẳng đứng lên với điếm gốc lại o irên mặt đất. Như dã biết, vật (dược xem là chãi điểm) chuyển động tự do trong trọng trường với gia tốc theo phương thẳng đứng và hướng xuống, có giá trị bằng gia lốc trọng trường, tức là: d/ i = —g => -r- = dlz
Từ đây la nhận được:M
z = -gt + v„
I 2 , z = - ỹ g t +v„t + h„
V,0
ơ dãy V|| và h„ là vặn lốc và vị irí ban đầu cùa
chài dicm tức V,, = 1000 m/s; h,, = 1000 m 2 Vận tốc của chấi điếm được lính iheo công thức:
Khi chất điềm đạt dược độ cao nhất thì V = 0. Vậy ihời gian T đẽ chất điếm lòn đến diêm cao nhài sẽ dượt lìm từ hệ thức:
o
77777777777777777
v(T) = - g T + v„ = 0 . Hình 4.7
Vậy:
Quãng dường chất điểm đi được sẽ là:
H = Z(T)- h 0 = - 5 T 2 + ÌOOOT = 50000m = 50km
Yí dụ 4-2 : Mội chãi điểm chuyến động irèn mỏt đoạn cong cua dường tròn có bán kính R = 1000m với vận lốc đẩu v„ = 54km/h. Sau khi đi được mội đoạn dường có chiều dài 500m. vận lốc của chãi điếm giám xuống còn 36km/h. Cho biéi chái diếm chuyến động châm dẩn đều. Tính gia lốc cua chát điếm lúc xuất phái và lúc vận lốc có giá irị bằng 36km/h.
Bài giải: Chọn chiều dương quỹ đạo thuận chiểu chuyến dộng cùa chất diém và chon gõc toạ độ trùng với vị trí xuất phát của chất diêm.
Vì chất díếm chuyển động chậm dần đểu nên ta có:
trong đó: aò là gia tốc tiếp của chất điếm.
Khi khứ I từ hai phương trình trẽn, ta nhận được:
I ( v 0 - v ) ( v 0 + v )
aĩ) - - • 2s
Khi thay các giá trị v„ = 1 5m/s (ứng với 54km/h), V = lOm/s (ứng với 36km/h), s = 500m, la có:
a
Vì chuyến động tròn là chậm dần đều nên gia tốc tiếp có giá trị như nhau tại moi thời điếm, còn gia tốc pháp dược tính theo công thức:
a n = r — . Do đó:
R
Gia lốc pháp tại thời điếm xuất phát:
z
R 1000
Vậy gia tốc toàn phán tại hai thời điếm này là;
a = \Ịịz' Ỷ 4- (an )2 =V(0.125)2 +(0.1)2 = 0 . 1 6 m / s 2
Ví dụ 4-3: Chất điếm chuyển động iheo quy luật
M
X = Rcoscot; y = Rsiruot; /. = pwt trong dó: R,(0,
p là những hằng số.
Tìm vận tốc, gia lốc cùa chất điểm M.y Bài giải. Đặt (p = cưt. phương irình chuyển động
cúa chât điểm M có thế được viết như sau:
X = R cosọ: y = R sin/r 2 + p 2 ^/R " + p"
co s(O z. v ) = — = — r -- (J = , ^ = const
v M-y R“ + p~ v'R2 + p 2
a x = X = — R(02 co s cot: a v = y = - R o r s i n c o t : a z = 2 = 0
a = ^ ( - Ro)“ c o s CO )■ + ( —R u r sin cot )2 = R o r = const
_ - a. - R a r coscot
c o s ( u \ . a ) = — = -----------—-------= — cosiot
a R(1)
- a y - R ttrs in c o t
cos(Oy.a) = — = ------——-z------= —sinwt
a Ru
cos(Oz,a) = — = 0
a
Từ các kết quá trẽn la di đến kẽì luận sau:
Chất điếm M chuyên động đều. vận tốc làm với trục Oz một góc không đổi. Gia lốc cũng có giá trị không đổi. nằm trona mặt phãng vuõng góc với trục Oz và cắt trục Oi.
Quv đạo cùa chất điểm M là mộl đường đinh ốc năm trẽn mặt trụ xoay, có trục đối xứng là trục Oz. bán kính bằng R. Khi góc (p thay dổi một lượng 271 thì chất diêm M di chuyên dọc trục Oz được một đoạn khòna đối h = 2np . Đoạn h được gọi là bước cùa đinh ốc, còn p là thôna sô cùa đường đinh ốc chình 4-8).
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Hãv khảo sát chuvển động cùa điểm bằng phươns pháp véctơ và phương pháp toạ độ Đề các.
2. Hãy kháo sát chuyển độna thảng đều và biến đổi đều.
'3. Hãy khảo sát chuyển dộns tròn đều và biến dổi đều.
57
Chương 5
CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RAN
5.1. HAI CHUYỂN ĐỘNG c ơ BẢN CỦA VẬT RẮN 5.1.1. Chuyên động tịnh tiên của vật rắn
1. Định nghĩa
Chuyển động cùa vật rắn được gọi là tịnh tiến khi một đoạn thảng bất kỳ thuộc vật giữ phương khống dổi trong quá trình chuyến động.
V í dụ: Chuyển động của một thùng xe trên đoạn đường thẳng (hình 5.1), chuyển động của ihanh truyển AB trong cơ cấu hình bình hành (hình 5.2), chuyên động tay biên AB của tàu hoả (hình 5.3).
'H ình 5.1 llinh 5.2 H m h 5.3
2. Định lý 5-1: Khi vật rắn chuyén động tịnh tiến, các điếm thuộc vật vẽ nên những quỹ đạo đổng nhất (có thế dật trùng khít lèn nhau), tại mỗi thời điếm các điếm thuộc vật có vận tốc bằng nhau và 2 Ìa tốc bằng nhau.
Chứng minli: Lấy hai
điếm bất kỳ A, B thuộc vật.
Các véctơ định vị cúa chúng
liên hệ với nhau bằng hệ
thức sau:
rB = rA +
trong đó: AB là véctơ
hằng: có mođun không đổi
(do tính chất vật rắn tuyệt
đối) và phương, chiểu
không đối (do vật rắn
58
chuyến động tịnh tiến). Do đó vị trí cùa điếm B có được bãng cách trượt điêm
A trên giá của véctơ AB với véctơ hằng A B . Trong phép trượt này quỹ đạo diêm A sẽ đến trùng với quỹ dạo điểm B, tức quỹ đạo điếm A có thê đặt trùng khít lên quỹ đạo điểm B (hình 5.4).
Do AB là véctơ hầng nên : = 0
dt
Chú ý ràng AB = rB - rA , nên = — (rB - rA) = 0
dt dt
drR drA
V ậ y : — — = — — —> VB = VB,
dt dt
d 2 rỹ d 2 rA —*_■“
2 = 2 a B = a A d t d t
Như vậy về mặt động học vật rắn chuyển động tịnh tiến được thay thế i)ằng một chất điếm. Đẽ kháo sát nó có thê sử dụng các phương pháp đã được rình bày trong chương 4.
5Ệ1ễ2. Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cô định 1. Định nghĩa
Chuyển động của vật rắn có hai điểm luôn luôn cố định được gọi là huyên động quay quanh một trục cố định. Đường tháns qua hai điếm cố định lược gọi là trục quay (hình 5-5).
Khi một vật quay quanh một trục cố định, mỗi điếm thuộc vật chuyén lộng trên một đường tròn có tâm nằm trên trục quay, có bán kính bằng :hoáng cách từ điém đó đến trục quay (bán kính quay cùa điểm), còn các tiếm nằm trên trục quay luôn luôn đứng yên.
Đế kháo sát chuyển động cua vật chí cần kháo sát chuyến động của một iết diện phắng bất kỳ vuông góc với trục quay (hình 5.5).
2. Khảo sát chuyến động cùa vật
a) p lì ươn lị trình clinyên dộng: Góc định vị ộ cùa tiốl diện phăng là góc .iữa trục cố định Ix với bán kính quay IM của tiết diện phảng (hình 5.5):
ộ = ộ(t) (5-1)
lược gọi là phương trình chuyến động của vật quay.
b ) Vận tốc góc của vật, ký hiệu co:
co = — = ệ ( t ) ( 5 - 2 )
dt
Dấu cùa co biếu diễn chiểu quay :
co> 0 - vật quay theo chiều dương; co < 0 - vật quay theo chiều àm. 59
(0 = to- Giá trị của vận tốc góc
biếu diễn tốc độ quay của vật, được
tính bằng rad/s (hoặc 1/s):
co = — (rad/s)
30(5-3)
trong đó: n là số vòng quay trong
một phút của vật.
c) Gia tốc góc cua vật, ký hiệu E
ẽ = — = ổ(rad/s2 hoăc 1/s2) (5-4)
dt
d) Dấu hiệu chuyên động quay nhanh dần, chậm dần: chuyến độne quay
được gọi nhanh dần (chậm dần) nếu
tăng theo thời gian (giảm theo thờico
gian). Do đó dấu hiệu của chuyến động nhanh dần, chậm dần sẽ là: coe > 0,
C0£ < 0.
(5-5)
Dấu “> ” ứng với chuyển dộng nhanh dần tức vận tốc góc và gia tốc cùng dấu, còn dấu “<” ứng với chuyển động chậm dần, trong trường hợp này vận tốc góc và gia tốc góc có dấu ngược nhau.
e) Các chuyến dộng quay dặc biệt (chọn chiều dương thuán chiéu quay) * Chuyển động quay đểu:
(0 = Cừ0 = const; e = 0; cp = Cú0(t - t0) + o ( t - t o ) + Ọo í 5 ' 7 )
trong đó: (O0 =to(t0 ); Ọo = 9(to)- Dấu “ +” ứng với chuyến động nhanh dần đều, còn dấu ứng với chuyến động chậm dẩn đều.
3. K háo sát chuyến đong cua các diêm thuộc vật
Kháo sát một điếm M có bán kính quay R (R = IM).
a) Phương trình chuyển dộng cua điểm M dọc quỹ dạo:
s = Rq>(t) (5-8)
dOM b) Vận tốc của diêm M: VM =•
dt
60
- Phương: vuông góc với bán kính quay R.
- Chiểu: thuận chiều quay (thuận với co).
- Giá trị: VM = Reo
c) Gia tốc của điểm M
trong đó: a, là thành phần gia tốc tiếp, còn an là gia tốc pháp. * Gia tốc tiếp :
- Phương vuông góc với bán kính quay.
(5-9)
- Chiều: thuận chiểu V (tức thuận chiều với co) nếu vật quay nhanh dán (do e cùng dấu với co. nên a, thuận với e ) và naược ch iểu V (tức ngược chiều với co) nếu vật quay chậm dần tức ngược với (ư nên a, thuận với t (thuận chiểu với £ ). Vậy gia tốc tiếp luôn luôn thuận với £ cũng giông như vận tốc luôn thuận với co .
- G i á trị: Ịã,I = RỊẽỊ ( 5 - 1 0 ) * Gia tốc pháp an :
- Phương: dọc bán kính quay.
- Chiều: hướng về trục quay (gia tốc hướng tâm).
- Giá trị: Ị a n | = Rto2 (5-11)
5.1.3. Truyền chuyên động nhờ các chuyên động cd bản a) Truyền chuyên dộng tịnh tiến sang chuyên dộnẹ tịnh tiến (hình 5.6)
Ví du 5-1: Một lãng kính
.chuyến động iheo phương ngang
với vận tốc V|, làm cán bị đáy
iheo phương đứng với vận tốc v: .
N V 1 Tìm tỳ sô truvền động: ! = —=-.
'I
Bái giai: Di chuyên cua cần
đẩy: A((A = V. còn đi chuyên cúa
lãng kính theo phương ngang
B|,B = X . Rõ ràng y = x.lg u .Hình 5.6. Truyền chuyến dõng linh tiên sang chuxòn dons tinh liến
61
Lấy đạo hàm theo ihời gian hai vế cùa hệ ihức nhận dược:
ỳ = xtga —> v2 = V|tga
Vậy IV số iruyén dộng sẽ là:
I = — = tgot.
V,
b) Truyền chuyên cíộng tịnh tiến sang chuyển động quay và ngược lại
Truyền chuyển động bánh rãng - thanh răng (hình 5.7). Bánh răng là một đĩa tròn đồng chất, bán kính R và
quay với vận tốc góc co. Do vận tốc
của điếm tiếp xúc thuộc bánh răng
và thanh răng bàng nhau (bỏ qua sự
trượt) nên: V = Rco .
Do đó tý số truyển động sẽ là:
V= R Hình 5.7
CO
c) Truyền cliuyển dộng quay sang cliuyển dộng quay
* Truyền động bánh răng (hình 5-8a, b): dựa vào điểm tiếp xúc cứa hai bánh rãng có vận tốc bằng nhau nên:
V = c o ẰR J = Oi2 R ? .
Tý sô truycn đông sẽ là: i = —
031 r 2
Công thức truyền động này còn đúng cho truyền động dai truyền với giá thiết tx qua độ dãn cúa đai truyền và sự trượt giữa đai truyền và bánh (hình 5.9a. h).
co,
Hmh 5.9
62
5.2. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHANG c ử a vật r ắ n
5.2.1. Định nghĩa và mô hình
1. Định nghĩa: Chuyên động cúa vật rắn được gọi là chuyến động song phắng khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn di chuyến trong mộl mặt phắng song song với một mật phắng cố định được chọn trước gọi là mặt phẳng quy chiếu (hình 5.10).
2. Mò hình cùa vật rán chuyến động song phảng
Việc khảo sát chuyển động cùa vật rắn được đưa về khảo sát chuyên động của một tiết diện pháng của nó trong mật phàng chứa tiết diện, song song với mật pháng quy chiếu (hình 5.11). Trong các cơ cấu phảng, các khâu cùa nó đểu chuyên độn° sons phảng. Ví dụ: cơ cấu tay quay thanh truyền (hình 5.12a). cơ cấu bôn khâu (hình 5.12b). bánh xe lăn không trượt theo một đường cong phảng (hình 5 .12c).
Hình 5.12
63
5.2.2. Khảo sát chuyển động của hình phẳng
1. P h ân tích chuvển đỏng hình p háng s t h à n h chuyến dỏng tịnh tiến và quay
Chọn một điểm o thuộc vật và hệ
trục Oxy có trục Ox và Oy luôn luôn
song song với các trục OịXp o Jy ,
tương ứng. Đối với hệ trục Oxy tấm yi
phảng quay quanh trục qua o và góc
đ ị n h v ị cps ( v ậ n t ố c g ó c (Os = c p ( t ) , g i a ’
tốc góc e .s = cos(t) = có phương vuông góc với MP. có chiéu thuận với chiêu của (0S và có giá trị bằng MP. cos . Do đó dịnh lý được chứng minh. - Một sô quy tắc tìm tâm vận tốc (khi nó tồn tại):
* Dựa vào định nghĩa:
Vp = \'o + Vpo = 0 .
T ừ đ ó : Vp 0 = VQ
Vậy đế tìm p, ta lấy một điếm p trên nứa đường thảng A bàng cách quay VQ quanh o m ột góc ĩĩ/2 t h e o c h i ề u cos v à c á c h o m ột đoạn (hình 5 .1 7a):
OP = ^
« s
VP0 p v0 _
Hình 5.17.
* Dựa vào sự phân bô vận tốc các điếm cùa hình phẳng quanh tâm vận tốc tức thời p (hình 5.16).
Từ biếu đồ phân bố vận tốc các điếm chúng ta dễ dàna tìm dược tâm vân tốc tức thời trong một số trường hợp sau:
Trườn % hợp /: biết vận tốc điểm A và phương vận tốc điếm B cắt phương vận tốc điểm A (hình 5.17b).
Từ hai điếm A và B dựng hai đường vuông góc với các phương vận tốc của chúne. Giao điểm hai đường này là lâm vận tốc tức thời:
ỵ_A_ VB _ v
0 ) = — “ = — —------- > V d — — — \ A
AP BP AP
Trường hợp 2: biết vận tốc hai điếm A, B và phương vận tốc của chúng song song với nhau.
Nếu AB vuông góc với các vận tốc thì tàm vận tốc tức thời là giao điểm cùa phương chứa AB với đường thẳn2 qua các điểm mút cua các vận tốc. Trong trường hợp vận tốc hai điểm cùng chiểu và có giá trị không bằng nhau (hình 5.17c) thì:
- VA - VB co,- = •AB
Đối với trường hợp vận tốc của hai điểm ngược chiều (hình 5 . 17d) thì:
„ _ VA + V B cos = ------ ——
AB
Nếu AB không vuông góc với phương vận tốc các điểm A và B thì tâm vận tốc tức thời sẽ ớ xa vô cùng, tức pA -» 00 (pB —> oo). Vậy:
« s = = 0: V M = VA = V B - > V Lì ~ VA ■+ V ẦÌA = V A .
AP AP
Chuyên động cùa hình phána ứng với trường hợp này được gọi là tịnh tiến tức thời (hình 5.17e): tại thời điếm khao sát vận tốc mọi diêm cùa h':nh phắng đều bằng nhau.
Trường hợp 3: Dựa vào tính chất không trượt cua chuycn động. Khi một hình phảng lăn không trượt trên một đường cong phẳng cô định thì điểm tiếp xúc giữa hình phána và đườns cong là tàm vận tốc tức thời (hình 5.1 7f).
Ví du 5-2: Tay quay OA có chiều dài r = 0 . Im quay đều với vận tốc góc (1)(| = 3()7trad/s . Con
trưcn B chuyến đông iheo phương ngang. Cho chiều dài cúa thanh truvền AB là L = \y[ỉ . Tại ihời điếm lav quay OA vuông góc với ihanh truyền AB và lay quay ở vị trí tháng đứns. tìm: - Tính vận tốc con irượi B và vân tốc góc lhanh AB (hình 5.18a).
Bài giai
1. Phân lích: Khâu O A chuyền dộng quay quanh trục có dinh o . Thanh AB chuyên động sons phăng, con irươt lỉ chuvến động tịnh tiên.
2. Vặn lốc:
a) Tai thời itiem lay quay vuông góc với ihanh truyền AB. Cõna ihức liên hè vàn tốc viC’1 cho hai diêm A và B sẽ là: VA = VA + vab ,
trong dó: f Phương: vuông góc với tav quay OA
V : "S Chiếu: Ihuân chicu (!>,,
Giá irị: cour
67
r Phương: vuông góc với Ihanh Iruyển AB
V AR : J Chiều: chưa biếi (có chiéu giá dịnh như trên hình 5.18a)
Giá trị: 0)ABL - (DabT
Vg : có phương dọc sóng trượt OB (dọc trục Ox).
Từ hình vẽ ta có:
VB COS 30° = V A —> V = ----- A () = I " = 2yfĩriùịt = 2-\/37t(m / s)
COS 30 V3 / 2
Hình 5.IS
Vận lốc góc cùa thanh AB bằng:
S n
' AB' BA = 107T(rad/s),
BA 0.1 VI
phù hợp với chiều cứa VBA , lại thời điếm xét (hanh AB quay Iheo chiều kim đồng hổ (hình 5.18a). Để tìm vận tốc điếm B cũng có thế sứ dụng định lý hình chiếu vận tốc:
hc AB B = hc AB COS 30" = V
Kết quá tìm được trùng với kết quá ớ trẽn. Đé giái bài toán trên cũng có the sư dung phương pháp tãm vận tốc tức thời. Tâm vận tốc tức thời cúa thanh AB tại thời điếm kháo sát là giao điếm cùa OA với đường ihẳng dứng qua B (hình 5.18b ).
0),,r 0),= I07t(rad/s)
PA Llg60 3
Vận tốc điếm B được lính iheo công thức:
(0(1 L 2o)nrV3 r~
VB = W AB1 B = ~ r ---- ---------------------- = 2v37t(m /s)
3 COS60 3
b) Tại thời điểm tay quay OA ớ vị trí tháng dứng (hình 5.1 8c):
Khi tav quay ớ vị trí thảng đứng: vA / / v B . Do dó tâm vàn tốc lức Ihời ra xa võ cùng. Vây tại thời đicm này thanh AB chuyến dóng tịnh tiến lức thời:
0)AB = 0: VB = VA = r(i)0 = 37t (m /s)
68
2. Gia tốc của điếm
Định lý 5-5: Gia tốc của một điểm thuộc hình phẳng bằng tổng hình học cùa gia tốc cực o và gia tốc cúa nó
khi hình phảng quay (đối với hệ trục Oxy) quanh cực o.
Định lý này được gọi là định lý liên hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc vật.
Clúnig minh: Dựa vào hệ thức về sự liên hệ của véctơ định vị của điém M đối với
hệ ưục cố định OịXiYịCOịM) và đối
với hệ trục động Oxy(OM)(hình 5.14), ta có:
d 2
'M
Hình 5.19
9
— (0 | M ) X y = — ( O ị O ) + — ( O M ) x y
d t "t ' d t 11 d t
Dễ dàng chí ra rằngìng chi ra rãng:
,2 ___ _ . 2 ___ . 2 ___
d
^-(0,0) =a0; -V(OM) =-^-(OM)xy=ãMo.
t d t d t
d“t
trong đó: aMO là gia tốc cùa đicm M trong chuyến động quay (đối với hệ trục Oxy) cua hình phảng quanh trục qua o. nó gồm hai thành phần:
- Gia tốc pháp a \ i o : có phương dọc M O , và chiểu hướng từ M đến o giá trị bằng (0^ MO .
- Gia tốc tiếp tuyến a \ i o : có phương vuông góc với M O, có chiểu thuận chiểu es , có giá trị bằng s sMO. Vậy (hình 5.19):
n -1
a M = a 0 + a MO + a MO (5*16)
V í du 5-3: Tính gia lốc cùa con trượt B và gia tốc góc của thanh AB irong ví du 5-2.
Viết còng ihức liên hệ gia tốc giữa hai
điếm A và B (hình 5.20).
-n -I
UB = aA + iiBA + aBA
irong dó: a A hướng từ A đến o có giá trị bằng
G>ổr. aỊjA hướng từ B đến A. có giá trị bàng
(I)^BA . a'BA có phương vuông góc với BA . có
chiểu thuận chiều EBA . có giá trị bằng eba BA.
69
Trong đáng ihức vcctơ (a) có hai ẩn: giá trị cùa a lBX (từ dó lính dược EBA ) và phương chicu cua H(J. Đ ẽ tìm giá trị của a B , chiếu đắng thức véctơ (a) lẽn phương AB (phương vuón g g o c VƠI
vcctơ ấn a'BA ) ta có:
aBcos 3ơ ° = - a g A —>
aB = ----- !—7TaBA = ----- -—n (!)Ẩbaiỉ = — r=(V3n)2 X 0,1 >/3 = -0.67t2(m/s2 ) COS 3 0 c o s 3 0 V 3
Dâu chi rằng chiều đúng cúa gia tốc điểm B ngược với chiều dược biếu dicn irẽn hình 5.20. Đẽ lìm gia lốc góc của khâu AB cán tìm phương, chiều và giá trị cua a BA . Muốn thế. chiếu đãng Ihức véclơ (a) lên phương dứng (vuông góc với a B ):
0 = -a A cos30° + ;iyA COS60° + a'|jA COS30" .
Từ dãy la nhận được:
a B \ = -------------ía \ COS3 0 ° - a o A COS6 0 ° 1= a A - a'|’J x l g 3 0 " = (ửịỊr - ------
' COS 3 0" ễ, J . . 3
= (3()7I)20.1 -(IƠ7t)20.lV3— = 807t2( m / s 2 )
3
Dấu “+ ” chí ra rằng chiều cua a'BX trẽn hình vẽ là chiều dũng. Tương ứng với chiéu a ‘ịịA
gia lốc góc cua khâu AB ( ) ngược chiều kim đổng hồ (dũng với chiều dã giả sứ trên hình) . . . : a BA 80tT 8CK)r[2 V3 , Jắ 2 và có giá tri: = —- — = —— Ị= = ----- —----- (rad/s ).
BA 0,1 V3 3
Ví du 5-4: Một bánh xc hán kính R = 0.5m lăn không irượi Irén một đường thăng có đinh. Tinh \ ậ n tốc và gia tốc cua điếm M irẽn vành bánh xe lại ihừi diêm lãm hánh xe có vãn
lốc và gia lốc hướng ngược chiiíu nhau và có giá 1 ri urơng ứng là v„ = lm/s \ à a„ = l. 5 m/ s2 , còn điếm M có VI trí lương ứng với OM nam ngang (hình 5.21 và hình 5.22).
Bai giói. Vì bánh xe lãn không irượi irẽn mội dường lining cô dinh nén Iiẽp dicm \‘ là lâm ván lốt. Dưa vào định lý 5.4 ta tính dược vận lốc góc cúa bánh xe:
OP R
Ị lin h 5.21
70
II III li 5.22
Nếu bánh xe lãn lừ (rái sang phái (lương ứng với hình chiếu của vận lốc tâm o trên irục ngang là dương) thì bánh xc quav quanh p (và cá quay quanh O) iheo chiếu thuận chiẻu kim
— v0
đòng hô (lức quav ihco chiều âm): C0s = ---- —
R
Gia lốc e của bánh xe được lính (heo cõng thức:
R R
Vì a„ < 0 (do a .1 hướng ngược với chiều dương trục Ox). nên Es > 0
Vậy chiều Es ngược chiểu kim đổna hổ. lức ngược chiều với CDs. Do đó COsEs < 0 và lại thời diém này bánh xe quav chậm dần. Thav các giá trị số đã cho la được:
cos = —21(rad/s);Es =31(rad is2)
Vận tốc diem M dựa vào định lý 5.4:
- Có phương vuông góc với MP, tức phương vận tốc qua diếm N.
- Có chiều hướng từ N đến M.
- Có giá irị bằng covM P = c \ R \ / 2 = 14.85 m/s
Gia lóc cua điềm M được lính iheo định lý 5.5 (hình 5.22)
-n -I
a VI = a () + a MO + a MO
-n 7 ") 2 irong dó: có chiều hưởng từ M đêắn o và có giá trị hãng coị“M O — (21)“ x 0 . 5 = 2 2 0 . 5 m / s .
a Mo r á phiicm” vuông góc VỚI MO . thuận chiều es và có giá irị bằng:
e s M O = e „ R = 3 1 X 0 .5 = 15.5 m /s : .
Gia lốc toàn phần của điềm M đươc tim qua hai hình chiếu cùa nó trẽn hai true vuông góc. Hình chiêu của gia tôc toàn phán irẽn hai trục nằm ngang và ihẳng đứng bằng:
a., = a + a" +a' = 1,5 + 220,5 = 222m/s: Mx o \ Mx Mox ’
a M, = a oy + a "tov + a MQ> = 15 . 5 m s :
CÂU HOI ÔN TẬP
1. Nêu định nghĩa về chuyến động tịnh tiến cua vật rắn. Tính chất cùa chuyển độn2 tịnh tiến của vặt rắn.
2. Nêu đinh nghĩa vể chuyển đ ộ n s quay cua vặt rắn quanh một trục cố định. Khái niệm vận tốc góc và aia tốc sóc.
3. Nêu còng thức tính vặn tốc và aia lốc cùa một điểm thuộc vật rắn cách trục một khoána h.
4. Néu dinh nghĩa vẻ chuyển độna song phảng cua vật rắn. các yếu tó dộng học cùa vặt rán chuvến động song phảna: Vặn tốc và gia tốc cùa cực. vận tóc góc và gia tốc 2ÓC cù a hình p hản g q uay quanh cực.
5. Nêu còna thức tính vận tốc cùa một điểm khi biết vận tốc cực và vận tốc 2ÓC cùa hình phảns quay quanh cực.
6. Nẽu côns thức tính vận tốc một điểm nhờ tàm vận tốc - Các quy tắc tìm tâm vặn tốc. 7. Nêu định lý \é hình chiêu Nặn tóc của hai diêm thuộc vặt rắn.
8. Cõng thức Iièn hệ gia tốc siữa hai điểm.
71
Chương 6
TỔNG HỢP CHUYỂN ĐỘNG ■ •
6.1. TỐNG HỢP CHUYÊN ĐỘNG ĐIÊM
Có một chất điểm M chuyển động đối với hộ quy chiếu (B) theo quỹ đạo (C), còn hệ quy chiếu (B) chuyến động đỏi với hệ quy chiếu (A). Chuyến dộng của chất điểm M đối với hệ quy chiếu (A) được xem là tổng hợp từ hai chuyến động: chuyến động của chất điểm M đối với hệ quy chiếu (B) và chuyến động cùa hệ quy chiếu (B) đối với hệ quy chiếu (A). Đế đơn gián ta xem hệ quy
- Chuyển động cua chất điếm M đối với hệ quy chiếu (B) được gọi là chuyên động tương đôi.
- Chuyến động cua hệ quy chiếu (B) đối với hệ quy chiếu cô' định (A) được gọi là chuyển động theo.
- Chuyển động cùa chất điếm M đối với hệ quy chiếu (A) được gọi là chuyển động tuyệt đối.
Ví dụ 6-1: Một hạt lóng chuyển đông trong rãnh cánh bơm (chuyến dộng tương dói). cánh bơm chuyến dộng dối VỚI giá cố định (chuyến dộng theo), chuyến động cua hạt lóng đối với giá cố định (chuyến động tuyệt đối) dược xem là long hợp hai chuyển động trên (hình 6.2).
6.2. ĐỊNH LÝ HỢP VẬN Tốc
Định nghĩa'. Vận tốc tuyệt đôi cua chất điếm là vận tốc cua nó được tính trong hệ quy chiếu (A), ký hiệu v a (hình 6.3) :
v a = - ^ ( ° | M ) ( A) (6-1)
72
- Vận tốc tương đỏi của chất điếm M là vận tốc cùa nó được tính trong hệ quy chiếu (B), ký hiệu v r (hình 6.3):
d
v r - — (OM)(B) (6-2)
- Vận tốc theo: xét điếm M* thuộc hệ quy chiếu (B) mà tại thời điếm khảo sát trùng với chất điểm M. Vận tốc theo cùa chất điểm M. ký hiệu là ve , là vận
tốc của điểm M* (được gọi là trùng điểm M ệ) (hình 6.3):
— d
v e = T - ( ° I M *>(A) dt(6-3)
Định lý 6-1: Tại mỗi thời điếm, vận tốc tuyệt đối cúa chất điếm M bằng tổng hình học của vận tốc theo và vận tốc tương đối:
v a = v e + v r (6-4)
Chúng minh: Để đơn giản ta chỉ chứng minh cho trường hợp phảng. Tuy nhiên dề dàng mờ rộng cách chứng minh cho trường hợp không gian.
Gọi i ị , i2 là các véctơ đơn vị trên các trục của hệ trục Oxy (gắn với hệ quy chiếu (B)), X, y là các toạ độ của chất điểm trong hệ trục toạ độ này (hình 6.3). Theo công thức (4-2):
d . r - r : . d _d_
va - — (O ẩM )(A) - — ( 0 | 0 ) A + — (OM)(A)
dt dt
dt
diI di 7 dx r~ dy r ——L + y — + —— i I + —
— đ 7 - — • dll đi2 d \ ^ — Vq 4-----( X1J + y i2 > - v 0 X--------^ y --- “ + ----11 H------- 1 7 . dt dt dt dt
— a “ 77 d — — dx r* dv — Vf = T - ( ° M )(B) = "T" ( 1 + y*2 )(B) = Ắ1 + *2 ’ dl at at at
vĩdij ( ~ ~ ^ di-) [ d t j(B) 1 " * J (B)
= 0
V c = v M. - ^ ( 0 , M w)(A)
= ^ ( 0 , 0 ) (A )+ i ( 0 M * ) (A,
M là điểm thuộc hệ động (B). có
các toạ dộ đôi với hệ trục toạ độ Oxy là
X* và y* là các dại lượng khòng dổi doHình 6.3 73
M* gắn chãt vào hê toa dô này ( = 0.—— = 0 ). Vì:
dt dt
OM* = x*i| + y i*> ,
nén:
d — — * — • d i I . d i 7
( 0 | 0 ) (A) + - ^ - ( x * iị + y * i 2 ) ( A) = v 0 + x ^ jì" + y
Tại mọi thời điếm M trùng với M. nên x* = x; y* = y. Do đó khi so sánh các biếu thức vận tốc đã tính tại mọi thời điểm, ta có:
Ví du 6-2: Một ống tròn bán kính R quay đểu quanh trục o với vận tốc góc 0)f). Mộl hại long chuyển động déu trong ống với vận lốc không đối U(,. Tìm vận tốc luyệt đối cùa hai lóng khi nó ớ vị trí Mị và M-. như trẽn hình 6.4. Cho biôt lãm cúa õng nám cách trục quay một khoáng 2R.
tìài giãi: Chọn Ông làm hé quy chiéu động thì:
- Chuyến động cùa hạt lỏng theo đưừng tròn lãm I. với vận lôc 11. lù chuyến đòng lương dối. - Chuycn động quay đều cua ống quanh irục o với vận tốc góc »I>(, ià c h i ụ é n đong iheo.
- Chuyến động cúa hạl lỏng dõi với giá cố
định là chuven dộng tuyệt dối.
Đế linh vận lốc luyệl dối cua hạt long la viết công thức hợp vận tốc:
va = ve + vr
Khi hạt lõng dên vị trí M| thì vận tốc lương dối có phương thăng đứng hướng xuống và có giá trị bàng u(|, còn vân tốc theo có phương vuông góc với
Vận tốc tuyệt dối của hại lóng NÕ dược xác định qua hai thành phần cứa nó trôn hai trục vuông góc O ’x. O'y:
3R0i0
íỉinh 6.4
\ẳ(t \ v c\ + v r\ V e c o s ư
- R (•) 0 y / ĩ ~4=r = 2 R (0 0 V 5
V V ev + v ,y = - v c sin a u0
n r Iừ dó: V — ./V" 4 - V" J ^ u\ d\ sju : + 5 R -f 2 Ro)uu,
- K(0 cos( Ox. V J ) = — — — = .= == =
yỊuị + 5 R :(0^ + 2Rc», 11,
74
c o s ( O y , Va ) = —__ R to (I -4- u I,_________
V u * + 5 R C O + 2 R i o (1u u
Khi hạt long đên vị trí thì vận lốc tương đối có phương nầm ngang hướng sang phái, có aiá trị bàng u„. còn vận lốc ihco có cùng phương, chiều với vận tốc tương đối có giá Irị bằng 3Roj„ . Do dó vận lốc tuyệi đối có phương ngang cùng hướng sang phái và có giá tri bằng:
va = vc + vr = uO + 3RtứO
Ví du 6-3: Tay quay OA có độ dài bằng R. quay (lều quanh irục o với vận lốc góc <11(1. Khi t ơ càu có vị trí như ưên hình.
Tìm vận lốc lương đối của con truợi A đối với cần lắc OịB.
- Vận tốc góc C0] cua cần lắc 0 , B (hình 6.5).
Bài giài: Xem con trượt A là một châì diểm: chất điểm A chuyến động dọc OịB. còn 0 , B quay quanh O, gắn với giá cô định. Khi chọn 0 | B làm hệ quy chiếu động thì:
- Chuvcn dộng ihco cua chấi diem A là chuvến động của cần lắc quanh Iruc O, đối với giá' ;ô định.
- Chuyền dộng tương đối cua chat điếm A là chuyến đọng iháng cua nó dọc theo cần lắc 0|B . - Chuvến dộnu tuyệt dối của chất diêm A là chuvến dộ ns tròn đéu (do lav quay OA quay .1ều) ircn dường iròn lãm o . bán kính OA = R.
s
Vic! công thức hợp vận tốc cho điếm A:
V, = V.. + V.
va có phương vuông góc với OA. thuận
:hiều quay cua lay quay OA (cùng chiều co,, ) và
;ó giá irị bằng v a = Ru)(); v r - hướng dọc trục
L)|B. giá trĩ chưa xác định còn:
v c = ' A*
Trong đó: A* là điếm cua o B trùng với chất
Jicm A. Vậy \ ’e có phưưng vuông góc với OB.
ịiá tri chưa xác dinh.
Sư dụng quy tắc hình bình hành trong phép Hmlì 6 5 inh véctơ, ta lính dược:
vr = \ a cos3()‘' = vc = va sin 30° = — Ro),Ị.
V ì : V . = V x . = W | ( ) | A n ê n : ( • >, =— =
Q ,A 2 2R 4
Tai thừi diêm khao sái cần lãc quay ngược chicu kim dồng hồ. tưc quay theo chiều dương (ti), > 0 ).
75
6.3. TỔNG HỢP CHUYỂN ĐỘNG VẬT RẮN
Tống hợp hai chuyến động quay quanh hai trục song song: Xét vật c quay đối với khung (B) quanh trục Ar với vận tốc góc cor , khung (B) quay dôi với giá cố định (A) quanh trục A , song song với trục Ar với vận tốc góc 0)c . Xác định chuyển động của vật (C) đối với giá cô định (A) (hình 6.6).
Chuyến động của vật (C) đối với
khung (B) được gọi là chuyến động tương
đối. Chuyến động cúa vật (C) đối với giá
cố định (A) được gọi là chuyên động tuyệt
đối. Chuyến động của khung (B) đối với
giá cố định (A) là chuyến động theo.
Đầu tiên ta nhận xét rằng chuyến
động tuyệt đối của vật (C) là chuyến động
song phẳng với mặt phảng quy chiếu
vuông góc với các trục quay (ví dụ mặt
phảng OịX|y|). Do đó thay cho việc kháo
sát chuyên động cua vật (C) ta kháo sát
chuyên động cua một hình phảng s nằm
trong mặt phắng thẳng góc với các trục
quay (hình 6.7). Gọi 0 , 0 là khoáng cách
giữa hai trục Ae và Ar.
Thanh OịO quay đối với giá cố định với vận tốc góccoe (với góc định vi (pe ) còn hình pháng s quay quanh trục o đối với tay quay 0 , 0 với vận tốc góí cor (với góc định vị cpr ).
Vì chuyên động tuyệt đôi của
hình phắng s là chuyển động song
pháng nên cần xác định:
- Tâm vận tốc tức thời cúa hình
phảng.
- Vận tốc góc tuyệt đối coa cùa
hình pháng.
Đầu tiên ta tìm vận tốc góc tuyệt
đối coa của hình phảng. Góc định vị
cua hình phăng s trong chuyến dộng tuyệt đối, ký hiệu cp.t , sẽ băng : 0, (Dr >0 (hình 6.8a). Vậy:
Cùa = (0e + cor > 0 .
Xét điểm o thuộc hình phảng s nằm trên tay quay c ^ o . quay quanh O, với |Vận tốc góc coe , nên: v 0 =CDe0 ] 0 .
Tàm vận tốc được tìm theo quy tắc được trình bày trong chương 5 như sau: quay V' 0 quanh o một góc 90° theo chiểu quay cùa CO., . Trên nửa đường tháng
vuông góc với V0 ta lấy điểm P:
PO = ^ - = — ^ — 0 , 0 < 0 , 0
CDa coe + cor
Vậy p là điểm chia trong đoạn OjO. Ngoài ra ta có:
PO = — ^ — 0 , 0 = -~e— ( O .P + P O )
c o e + c o r co + c o r
Từ đày tìm được:
PO co(6-6)
PO co
b) Chuyên động quay theo và quay tương đối ngược chiểu, ví dụ: 0)e > 0,cor < 0, Cùe
Áp dụng công thức (6-5), ta tính được vận tốc góc tuyệt đối cúa hình phẳng: co., = coe + cor = G)e - cor > 0
Vậy chuyển động tuyệt đối có chiểu quay dương, tức cùng chiều với :huyển động thành phần có vận tốc góc lớn nhất về giá trị.
Tâm vận tốc tức thời trona trường hợp này được xác định như sau (hình 6.8b):
PC) = — = — — — 0 | 0 > O ịO
coa C0c - Cừr
Vậy p nằm ngoài đoạn OịO và nằm gần trục quay O, hơn trục quay o. tức nằm gần trục quay thành phần có vận tốc góc lớn nhất về giá trị. Như vậy. ta có:
PO = — = — 0 , 0 = - ^ (QiP + 0 ,P) (6 -7 ) 77
Từ đây
PO coe
PO| cor
Khi định chiểu dương từ 0 | đến o, hai công thức (6-6) và (6-7) có thẽ viết chung trong dạng:
PO C0f( 6- 8 )
a) b)
Hình 6.8
Đinh lý 6-2: Tổng hợp hai chuyển động quay quanh hai trục song song của vật rắn. ta được một chuyến động quay có trục quay tức thời song song với các trục quay cúa hai chuyến động thành phán, đi qua điểm p là điếm chia doạn vuông gá giữa hai trục quay theo tý số (6-8) và vận tóc góc tính theo cóng thức (6-5).
c) Ngẫu quay, khi hai chuvển động quay ngược chiều và có giá trị bằng nhau, lức: 0)e = —03r . Khi đó (hình 6.8c):
coa = coe + cor = G)c co„ = 0 -e ~ (6-9)
tức vật chuyển dộng tịnh tiến với vận Lốc u = Vq - 0)eO|O->.
Ví du 6-4 (truyền dộng hành linh - vi sai phang): Bánh răng 2 lãn khỏng irươt ircn bánh răng I nhờ tay quay OA quay với vận lốc góc (ú va bánh rãng 1 quay quanh irục o (đối với giá cô định) với vận tốc góc COI (hình 6.9a). Tìm:
1. Vận lốc góc bánh răng đối với lav quay.
2. Vận tốc góc tuyệt đôi cúa bánh răng 2 (dối với giá cố dinh).
tìài giải: Chọn tay quay OA làm hệ quy chiếu dỏng.
Chuyến dộng cúa bánh răng 2 đói với tay quay (quanh true A) là chuycn dỏng lương dối với vàn tốc g óc tương đối (!) r . Chuyển động của tav quay quanh o (dối VỚI giá c ó đinh) lá chuyên dộng theo với vận lốc góc (1^.(0^. =