Giải tích - Tập 3

" Giải tích - Tập 3 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giải tích - Tập 3 Ebooks Nhóm Zalo NGUYỄ N THỪ A HỌ P NGUYỄN THỪA HỢP GIẢ I TÍC H T ậ p II I (In lần thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI NÓI DẦU Quyền sách này là tập 3 trong bộ Giải tích của tác giả. Tập Ì gồm 7 chương: Chương í: Tập hợp và ánh xạ. Chương 2: Giói hạn rủa dãy và hàm. Chương 3: Hàm liên tục và hàm sơ cấp. Chương ị: Dạo hàm. và vi phân. Chương 5: Các định lý cơ bàn cùa hàm khả vi. Chương 6: Hàm nhiều biển. Chương 7: Hệ hàm nhiều biến (Ánh xạ tù HI71 sang ĨR"1). Tập 2 gồm 5 chương: Chương 8: Nguyên hàm. Chương 9: Tích phân. Chương 10: Tích phân suy rộng. Chương li: Chuắi sắ. Chương 12: Chuắi hàm. Tập 3 gồm. 4 chương: Chương 13 là chương "Tích phân phụ thuộc tham biến". Chương này nói chung dành cho các sinh viên ngành Toán, gồm việc khảo sái các tính chất của tích phân phụ thuộc tham biến: tính liên tục, khả tích, khả vi của nó, tích phàn suy rộng phụ thuộc tham biến,....Những sinh viên ngành Vật lý, Kỹ thuật chì cần dùng những khái niệm cơ bắn thỉ chi cần xem tiết 9.5 cùa chương 9. Phần đọc thêm của chương này trình bày gồm " Tích phân Phúc ri ê ". Nó là một tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến. Những sinh viên dù thuộc ngành Vật lý, Kỹ thuật nếu cần tới các hàm Găm ma rịt), hàm Bê ta Bịp, q) và tích. phân Phua ri ê thỉ vần cằn đọc cẩn thận phần cơ bản ở trên của chương 13. Chương lị là chuơng "Tích phân bội" gồm tích phân hai và ba lớp Theo kinh nghiệm thì các sinh viên khi mới học phần này thường hai lúng túng trước việc tính các cận của các tích phân lặp khi đối thứ ty iv LỜI NÓI ĐẦU các biến tích phân. Bài vậy tác giả dừng lại khá chi tiết các phương pháp thực hành đề tính các cận tích phân trong trường hợp kê <1CV" Hơn nữa thuờng khi làm các bài táp liên quan tới việc tinh tích phô-71 ^a lớp trong các khối giới hạn bài các mặt cong thường gập (du so lữ ca c mặt cong bậc hai) thì các sinh viên cũng không còn hình dung dược các mặt cong đó như thế nào. Vì vậy trong phan bài tập, có một trang nhác lại các hình dáng của các mặt cong bậc hai thường gặp. Chuông 15 là chuông "Tích phân đường và tích phân mặt • Sinh viên mới học thuờng hay "sợ" tính ịoán nhũng tích phán mặt, nhát la tích phân mặt loại hai, không rõ cách định hướng các mặt cong. cách biểu diễn tham biến các mặt này. Vì vậy, tác giả đã cố gàng trinh bay chi tiết và rắ ràng các vấn đề liên quan tới phần này. Trong phần đọc thêm, tác giả đã đề cập tới nhùng điêu cơ bản của lý thuyết mặt cong, rất cần thiết cho các bạn đọc thuộc ngành Cơ. Trong phần khác của phần đọc thêm, tác già trình bày sơ lược vé dạng vi phán trên mặt cong. Dĩ nhiên phần trình bày này không thế thay thế một sụ trình bày đầy đủ và kỹ càng trong các tài liệu chuyên môn viết về ván đề này. Nó chi có mục đích giúp các bạn đọc các ngành Cơ, Vát lý hiểu được nội dung cơ bản của dạng vi phân, hoặc chính các bạn đọc ngành Toán, khi đọc ngay tài liệu chuyên môn có thể gập nhùng khái niệm khó hiểu, khó nhớ thì có thể đọc tr-uớc phần trình bày này đề nắm được ý tưởng cơ bản của vấn đe, sau đó đọc các tài liệu chuyên sâu hơn thỉ dễ hiểu hơn. Chuông 16 là chương đề cập về Giải tích véctơ, một chương quan trong đối với các bạn đọc ngành Vật lý, Kỹ thuật, trình bày các khái niệm về trường vô hướng, các khái niệm gracỉ u, các khái niệm về. trường —> —* ~* véctơ, rót V, div V. Cũng nhu tập Ì và tập 2, nội dung cùa từng chương trong tập 3 cũng đuơc chia làm hai phần: phần cơ bản dùng chung cho các sinh viên của nhóm ngành Toán, Lý, các ngành Kỷ thuật, Sư phạm, còn phần đ ọ c thèm chi dành cho các sinh viên ngành Toán và các bạn đọc muôn tìm hiểu sâu hơn so với yêu cầu của chính ngành Toán. Cuối mồi chuông đêu có bài tập và hướng dẫn giải. Dề sẻ dụng giáo trình này có hiệu quả, các bạn đọc sinh nên nỂT ỉ theo trình tự sau đẫy Lời NÓI DẤU V Trước hết, đọc kỳ phần cơ bàn chung (không có phần đọc thèm) đề hiểu được tất rá các khái niệm, quán triệt tất ai các định lý. Trong khi đọc, gặp các khái niệm mới, cần suy nghĩ, cân nhắc từng câu chữ trong các định nghĩa để tránh, hiểu sai, nhất là các chương có tính lý thuyết (chương 13). Cần đặc biệt hiu ý không bả qua các thí dụ. vì chính nó sè giúp bạn hiểu rõ phần lý thuyết. Chì xem phần đọc thêm sau khi đả hiểu kỳ phần cơ bản và khi bạn thấy có yêu cầu đọc sâu thêm.. Cần cố gắng hiểu rõ phần lý thuyết trước khi làm bài tập. Phần tóm tắt à cuối mắi chương giúp các bạn đọc thấy được những vấn đe quan trọng cần phải chú ý. Bảng chỉ mục à phần cuối sách giúp các bạn tìm lại các định nqhĩa, định lý. khái niệm cần thiết. Ký hiệu chẳng hạn 13.3.2.1 có nghĩa là chuông 13, tiết 3, mục 2, tiều mục ỉ. Ký hiệu * như 13.1.2*3 dùng đề đánh số các định lý (định lý thứ ba cùa mục 13.1.2), ròn ký hiệu - nhu 13.3.1-1 đề đánh số các định nghĩa (định nghía thứ nhất. cùa mục 13.3.1). Cuối sách, trước phần chì mục, có hướng dẫn phiên âm theo tiếng Việt cách đọc các chủ Hy Lạp. Tên các tác giả nước ngoài được phiên ẵm. bằng tiếng Việt (dua theo nguồn gốc tiếng Pháp), đề sinh viên có thể đọc đìtợc. Cũng như tập Ì và tập 2, giáo trình được viết không quá cô đọng, được giải thích cặn kẽ, cốt phục-vụ cho việc tham khảo dê dàng và tự học. Cũng như tập Ì và tập 2, cuốn sách này viết đề nhiều đói tuợng có thề tham khảo, nhu các sinh viên ngành Toán cơ bàn, các sinh viên ngành Vật lý, Cơ, Kỹ thuật, các giáo viên phổ thông muốn củng cố hoặc bổ túc thêm kiến thức ợủa mình. Các sinh viên ngành Toán cơ bản sè thấy đầy đủ các nội dung cần thiết trong chương trình của mình trong phần đọc thâm. Các bạn đọc nào sù dụng cuốn sách đề dạy môn Giải tích th ì không nhất thiết phải dạy đầy đù mọi tiết, mục, mà cần lụa chọn các vấn đe sao cho phù hợp đối với các đối, tượng sinh viên của mình. Chẳng hạn, đối với các sinh viên ngành Toán, cần chú trọng dạy những phần có lý luận chúng minh chặt chẽ, dạy cả một số phần đọc thêm nào có trong chương trinh, cồn đối với các sinh viên kỳ thuật thì có thể có những khái niệm , những định lý cần nêu mà không cần chứng vi LỜI minh miền là rác khái. niệm, định lý được đưa ra dỏ rần phải di"" thích cận kẻ. cằn ró thí dụ cụ thể. Tác giá mong đợi sự Ị/óp Ị/ cún các hạn (lọc lù' mọi /iliưirni/ »" tác già xin tò lời cảm ơn trước. l ác yo 13.1.1. Định nghĩa sự hội tụ đều Ì 13.1.2. Điên kiện hội tụ đều 5 13.1.3. Giói hạn lặp 8 13.1.4. Sự liên tục cạa hàm giới hạn 10 13.1.5. Tích phân qua giới hạn li 13.1.6. Đạo hàm qua giới hạn 12 13.2. Tích phân phu thuộc tham biến 13.2.1. Khảo sát tính liên tục, khả vi, và khả tích cùa lự.).... 14 13.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến (PTTB) 13.3.1. Sự hội tụ đều cùa tích phân SUY rộng PTTIÌ 17 13.3.2. Sự liêu tục, khả tích, khả vi cùa tích phân suy rộng PTTB 20 13.3.2.1. Qua giới hạn dưới dấu tích phân suy rộng PTTB. .20 13.3.2.2. Sự liên tục theo tham biến cạa tích phân suy rộng PTTB 22 13.3.2.3. Tích phân dưới dấu tích phản suy rộng PTTB 22 13.3.2.4. Đạo hàm dưới dấu tích phân suy rộng PTTB 26 13.3.2.5. Thí dụ 27 13.3.3. Tích phân ơ le (Euler) 31 13.3.3.1. Tích phân ơ le loại Ì (hàm Bê ta) 31 13.3.3.2. Tích phân ơ le loại 2 (hàm Găm ma) 33 viii 13.4. Đọc thêm 13.4.1. Tích phân Phua ri ê (Fourier) ị 3 8 13.4.1.1. Tích phân Phua ri ê coi Tủm tnrờng hạp giới hạn cùa chuỗi Phua ri ê 38 13.4.1.2. Vài chú ý đầu tiên ... .ị... ,Ị, 40 13.4.1.3. Điều kiện đù 7. 4 2 13.4.1.4. Dạng phức cùa tích phân Phua ri ê 4 5 13.4.1.5. Biến đổi Phua ri ê 47 13.4.2. Vài tính chất cạa biến đổi Phua ri ê .: ® 13.4.3. Tích chập 1 51 Nội dung cần chú ý trong chương 13 56 Bài tập 6 8 Hướng dẫn, đáp số các bài tập chương 13 65 Chương lị TÍCH PHÂN BỘI 14.1. Tích phân hai lớp 14.1.1. Định nghĩa tích phân hai lớp 71 14.1.2. Cách tính tích phàn hai lớp trong tọa độ Đe các 73 14.1.2.1. Trường hạp miền là hình chữ nhật [a;b\ X \c;d\ 73 14.1.2.2. Trường hợp miền là hình chữ nhật cong 77 14.1.2.3. Các trường hợp khác 82 14.1.3. Phép đổi biển số trong tích phân hai láp 85 14.1.3.1. Tích phân hai lớp trong tọa độ cực 85 14.1.3.1.1- Trường hạp V là một phần hình vành tròn Ri < r < fí2, « < ũ < 0 ^ 14.1.3.1.2. Trường hợp V là miền sao cho một tia phát xuất. tại o chỉ cắt biên cạa T> tại hai điềm sg 14 1.3.1.3. Trường hợp V là miền sao cho Rố< tọa độ nằm trên biên (J 0 14 Ì 3 Ì 4 Trường hợp T> là miền chứa gốc tọa dọ ™ 14 13 2. Tích phân hai lớp trong tọa độ tổng quát ^ 14 1.3.2.1. Cong thức đổi biến . 95 MỤC LỤC Ịx 14.1.3.2.2. Cách xác định cận các tích phân lặp trong tọa độ (u,v) 98 14.2. Tích phân ba lớp 14.2.1. Định nghĩa tích phân ba lớp 102 14.2.2. Cách tính tích phân ba lớp trong tọa độ Đề các 105 14.2.2.1. Trường hạp miền V là hình hộp chữ nhật [ai;biị X [arMị X l^-ybs] 105 14.2.2.2. Trường hợp miền V là hình trụ đáy cong 107 14.2.3. Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ và tọa độ cầu ... Ì li 14.2.3.1. Công thức đổi biến tổng quát i n 14.2.3.2. Tích phân ba lớp lấy theo tọa độ trụ 112 14.2.3.3. Ý nghĩa hình học cạa vi phân thể tích rdrdôdz ... 113 14.2.3.4. Cách tính tích phân ba lớp theo tọa độ trụ 114 14.2.3.5. Tích phân ba tóp lấy theo tọa độ cầu 116 14.2.3.6. Ý nghĩa hình học cạa vi phân thể tích p2 sin Odpdtpdd 117 14.2.4. Áp dụng hình học cạa tích phân hai, ba lớp 120 14.2.4.1. Tính diện tích một hình phang 120 14.2.4.2. Tính thể tích một khối 121 14.2.4.3. Tính thể tích khối trụ cong đáy phang 121 14.2.4.4. Tính khối lượng cạa một bản phang hay cùa một vật thể 122 14.3. Đọc thêm 14.3.1. Miền có diện tích 123 14.3.2. Tích phân hai lớp và tính chất 127 14.3.2.1. Tổng Đác bu 128 14.3.2.2. Tiêu chuẩn khả tích '. 133 14.3.2.3. Các lớp hàm khả tích thường gặp 136 14.3.2.3.1. Lớp hàm liên tục trên một tập đóng giới nội.. 136 14.3.2.3.2. Lớp hàm giới nội, gián đoạn trên những đường cong có diện tích bằng không 136 14.3.3. Giải thích hình học công thức đổi biến 142 14.3.4. Tích phân bội suy rộng 148 14.3.4.1. Tích phân lấy trên miền vô hạn 148 xii MỤC Lực 15.5. Công thức stốc kơ (Stokes), Công thức Ốt strô grát ski (Ostrogradski) 15.5.1. Công thức Stốc kơ 284 15.5.1.1. Chiều dương trên biên phù họp với sư định hướng cạa một. mặt cong 284 15.5.1.2. Mặt cong tran từng mảnh 2 8 4 15.5.1.3. Chiều chạy cạa điểm M(x,y,z) trẽn biên cùa s và cạa điểm tương ứng m(u, u) trêu biên cạa D„,.286 15.5.1.4. Thiết, lập công thức 288 15.5.2. Tích phân vi phân hoàn chỉnh ba biến 292 15.5.2.1. Miền đơn liên theo mặt và theo không gian trong không gian IR3 292 15.5.2.2. Tích phân vi phân hoàn chỉnh ba biến 293 15.5.3. Công thức Ót strô grát ski 296 15.5.3.1. Thiết lập công thức 296 15.5.3.2. Áp dụng: Tính thể tích một vật bằng tích phân mặt lấy trên biên 301 15.6. Áp dung cơ hoe cạa tích phân Khối lương, khối tâm, mômen quán tính 15.6.1. Khối lượng cạa một vật 304 15.6.2. Khối tâm 304 15.6.2.1. Khối tâm cạa một hệ điểm vật chất 304 15.6.2.2. Khối tâm cạa một dãy cung vật chất. 307 15.6.2.3. Khối tâm cùa một bản phang, một mặt. cong, một khối vật t hể 309 15.6.2.4. Các định lý Guyn đanh (Guldin) 311 15.6.3. Mô men quán tính 315 15.7. Đọc thêm 2 15 7.1. Minh họa hình học công thức hình chiếu c ùa vi phân mặt (15A2.12) :J20 15 7 2 Phương trình tham biến đối với một mặt rong li lại lá Mô ê bi uýt (Moebius) :i2l MỤC LỤC xui 15.7.3. Sơ lược về dạng vi phân 323 15.7.3.1. Các phép toán đối với các dạng tuyến tính cấp một. 324 15.7.3.2. Tích phân đường, mặt, ba lớp viết dưới dạng tích phân các dạng vi phân 328 15.7.3.3. Phép đổi biến đối với dạng vi phân 336 15.7.3.3.1. Đổi biến trong tích phân hai và ba lớp 338 15.7.3.3.2. Tính tích phân mặt qua tham biến 341 15.7.3.3.3. Dổi biến đối với tích phân mặt. 342 15.7.3.4. Phép lấy vi phân ngoại 350 15.7.4. Diện tích cạa mặt cong không thể định nghĩa bằng giới hạn cạa diện tích đa giác nội tiếp 354 15.8. Đọc thêm 3 Lý thuyết mát cong 15.8.1. Dạng toàn phương thứ nhất 357 15.8.2. Dạng toàn phưomg thứ hai 360 15.8.3. Độ cong cạa một đường cong vẽ trên mặt s 361 15.8.4. Phân loại các điểm trên mặt. cong 363 15.8.5. Công thức ơ le (Euler) và đường khúc biểu Duy panh (Dupin) 366 15.8.6. Các đường chính khúc, tiệm cận, trắc địa 369 15.8.7. Các loại mặt cong thường gặp 371 15.8.7.1. Mặt trụ 371 15.8.7.2. Mặt nón 375 15.8.7.3. Mặt kẻ 379 15.8.7.3.1. Mặt phang tiếp súc cạa mặt kè 379 15.8.7.4. Mặt bao cạa một họ các mặt cong phụ thuộc một tham biến 381 15.8.7.5. Mặt khả triển 384 15.8.7.6. Mặt tròn xoay 390 Nội dung cần chú ý trong chương 15 392 Bài tập 404 Hướng dần, đáp số các bài tập chương 15 414 Chương 16 GIẢI TÍCH VÉCTƠ TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VÉCTCT 16.1. Trường vô hướng 16.1.1. Định nghĩa4 2 9 16.1.2. Mặt mức 43 0 16.1.3. Gra đi ăng cạa t rường vô hướng 431 16.2. Trường véctơ 16.2.1. Định nghĩa 433 16.2.2. Đường sức cùa trường véctơ 435 16.2.3. Thông lượng cùa trường véctor qua mặt s theo một hướng 435 16.2.4. Công và lưu thông cạa trường véctơ dọc theo một đường cong 436 16.2.5. Đô phân kỳ hay div cạa trường véctor 437 ->' -» 16.2.6. Véctơ rót cạa trường V 438 16.2.7. Toán tử Ha min ton (Hamilton) 442 16.2.8. Một số công thức cạa giải tích véctơ 443 16.3. Trưỉmg thế và trường sô lê nô i đan 16.3.1. Trường thế 444 16.3.2. Trường sô lê nô i đan 449 16.3.3. Phân tích một trường bất kỳ thành tổng một trường thể và một trường sô lê nô i đan 457 Nội dung cần chú ý trong chương 16 459 Bài tập 459 Hướng dẫn, đáp số các bài tập chưang 16 461 Bảng chữ Hy Lạp phiên âm ra tiếng Việt 4(53 Bảng chỉ mục 4G4 Tài liệu tham khảo 467 Chương 13 TÍC H PHÂ N PH Ụ THUỘ C THA M BIÊ N Chương này dành cho các bạn đọc ngành Toán. Các bạn đọc học Vật lý hoặc Kỹ thuật., nếu không muốn đi quá sâu vồ lý thuyết, có thể chi cần đọc tiết 9.5 cạa chương 9 và bỏ qua chương này để đọc tiếp các chương sau và không bị vướng mắc gì. Tuy nhiên, khi nào các bạn thấy có nhu cần sử dụng đến hàm đặc biệt Găm ma vụ), Bê ta B(p,q) và tích phân Phua ri ê thì cần đọc những phần liên quan tới cái- vấn đề ấy cạa chương này. Dĩ nhiên nếu bạn đọc muốn có một kiến thức sâu sắc về cơ sờ toán cùa vấn đề thì phải đọc cả phần CÓT bản cạa chương này, còn nếu muốn nắm bắt vấn đề ngay để đọc các tài liệu chuyên môn khác thì trong phần ca bản chỉ cần xem kỹ một. số định nghĩa và có thể công nhận không chứng minh một số các định lý chính và dành một thời gian thích hợp về sau để đọc lại phần cơ bản cạa chương này. 13.1. Sư hôi tu đền cạa hàm F(x,Ịj) khi y - > 2/0 13.1.1. Định nghĩa sự hội tu đều Trong chirơng về chuỗi hàm, ta đã gặp khái niệm hội tụ đều trên [o;6| cạa một dãy hàm sn(x) tới hàm giới hạn s(x) cạa nó khi ti —> oo lim sn(x) = s(x). ì TI—*0O / Trong chương này, ta mờ rộng khái niệm nói trên bằng cách thay biến nguyên Tỉ. —> oo bời biếu liên tục y —> 1/0- Nói cách khác, ta xét. sự dần đều trên ịa,6Ị cạa hàm F{x,y) tới hàm giới hạn $(a:) khi í/ —>• j/0 lim F(x,y) = *(x). »-»yo Ta nhó lại định nghĩa sự hội tụ đều cạa dày hàm s„(x). Dãy .s„(i) được gọi là hội tụ đều trên [a;bị tới hàm s(x), nếu với mọi E > 0, đều tồn tại một số N(E) sao cho khi n > N(e) thì với mọi X í [a;b\ ta đều có \sn(x) - s(x)| < £. 4 Chương M. lỊỊỊteh phân phụ thuộc ỊhaĩỊlỉí^— Ve > 0, 3N(e), Vx e [a;b], Vyi^Mẹ) -Ạ. |F(x,y) - *(x)| <• e .ỉ,-;' (l: U Ta có thể định nghĩa tương tự^-hộ i tụ đều trên Ịa;6| cùa /•'(•'"'f) khi ỉ/ -* -oe. Bạn đọc tự làm lấy điều này. CVMÍ thích í. Thay cho Ịa;6Ị, ta có thể định nghĩa sự hội tụ đều cạa F(x, y) trên tập Xo bất kỳ, hay nói khác đi, khái niệm hội tụ đều được định nghĩa không nhất thiết chi đùng đối với khoảng đóng. Chú thích 2. Trong định nghĩa sự hội tụ đều nêu trên (xei (13.1.1.1)) nếu ta đảo thứ tự cùa hai nhóm 3u>(ụo,e), Vx c |fj;fc| thì ta có định nghĩa cạa sự hội tụ điểm (hội tụ bình thưímg) cạa F(xjậ khi ụ - > ụo (xem điều tương tự'trong các phát biển tôgic (12.1.2.3) và (12.1.2.4) đối với sự hội tụ cạa dãy hàm). Cụ thể Ta nói hàm F(x,y) hội tụ (điềm) tới hàm trên ịa;b) Si y -> Hữ, nếu Ve > 0,Vi € [a;b],3oi(yo,e,x),Vj/ 6 w(yo, e, x) \ {yo} > =>> |F(x,ỉ/)-*(x)| F(i,yo). (13.1.u) Thực vậy, hình chữ nhật đóng [o;b] X [c;rf| là một tập (lỏMỊT (liái ùỊi trong K.2- Hàm F(.r, ý) liên tục trong một. tập đóng giói nội nôn lipn tục đều (xem định lý 6.1.5*4 và 7.4.3*4). Vậy Với mọi é > 0 cho trước, tồn tại một. số ổ > 0 tuông ứng sao c ho VỚI mọi cặpV. !/'),(*". ý") e [«;frịx[c;d]thồa mân HU',ỉ/') U",7/')|| 0,3Ổ > 0,Vx',i" e Ịa;6Ị,Vỉ/',«" e [c-.dỊ : Như vậy, chỉ cần chọn (x',y') = (*, 0,36 > 0,VT e ịa;b],Vy,y0 e [c;dị : ịy fjo\ < ổ, =>\F(x,v)-F{x,ya)\ 0,V(j-,f) Ệ [a;b\ X [à; lì] : |/(j\0| < A/. Từ đó Với m Với mọi E > 0, ta chọn ổ = ỗ(e) = Ỷ" thì VT : 0 < |T —ố| < í, Ví e ta có |F(t,T)- F(í,6)| / f{x,t)dx- ff{x,t)dx = Ị f(u;t.) 0, !ổ(í ),v< £ [ÍV;/Í],VT : 0 < |r - ò| < <5(e) => |F(í,r) - F(t,6)| < e tức (13.1.1.4) được chứng minh. 13.1.2. Điều kiên hôi tu đ ề u Trong lý thuyết dãy hàm, ta có Diều kiện cần và đù đề dãy hàm sn(x) hội tụ đều trên ịa;b) tới J hàm giới hạn s(x) (khi TI -ì oo) là lim súp \s„{x) — s(x)\ = 0. n_*00i6|â;6J Tưcmg tự, ờ đây ta có Định lý 13.1.2*1. Diều kiện cần và đủ để F{x,y) hội tụ đều trên [a;b] tới hàm giới hận i>(x) khi y —> yo là lim súp |F(x,í,)-*(x)| =0. (13.1.2.1) v-»*> xeli*! Chứng minh Ta chứng minh (13.1.2.1) tương đương với (13.1.1.1). Thực vậy, từ (13.1.1.1) ta có Ve>0, 3w(yo,e), toe ịa;b], Vy e w(yo,e)\{yo} => \F{x,y)-*{x)\ < |. (13.1.2.2) Bất đẳng thức trong (13.1.2.2) đúng với mọi X e [a;òỊ, nên lấy súp khi X e Ịa;6], ta có súp |F(I,J/) 0,.aw(»o,<0, v»e w(ỉfo,e)\{jto} => súp |F(x,y) - *(x)| < c. ie[0|6| (13.1.2.3) Nhưng điều này có nghĩa là ta có (13.1.2.1). Đảo lại, giả sử ta có (13.1.2.1). Từ đó, theo định nghĩa về giới han, ta có (13.1.2.3). Nhưng súp \F(x,y) - *(x)| < e lại cho ta xe[õ;6] \F(x ỳ) — ®(x)\ < e với mọi X e [a;bị, tức ta có (13.1.1.1). Điều khang định đã được chứng minh. Chú thích. Đặt R(y) = súp |F(x,y) - *(x)| XÊ la:*] thì điều kiện (13.1.2.1) tưang đưomg vái Um R(y) = 0 13.1.2. Diêu kiện hội tụ đều 7 hay tương đương với lim R(yn) = 0 n—>oo đổi với mọi dãy yn —> t/0- Nếu đặt F(x,yn) = sn(x) thì lim R(yn) = 0 tương đương với n-»oo MỊ n—>oo Do đó ta có Đinh lý 13.1.2*1'. Diêu kiện cằn và đù để F(x, y)ziị *(x) tó đói y-*ỳo với mọi dãy yn —> yo, ta có F(x,jfa)z3»(z). n—*oo Đối với dãy hàm s„(i), ta có tiêu chuẩn Cô si sau Điều kiện cần và đạ để MỊ n—*õo là Ve > 0, 3(xí(+00, e),Vn,m e u>(+oo,e), Vx e [a;6] => |s„(x) - sm(i)| < e (xem định lý 12.1.2*2'). Ở đây, tương tự ta có Định lý 13.1.2*2 (Tiêu chuẩn Cô si). Diều kiện cằn và đủ đề F(x, y) hội tụ đều trên [a; b] khi y —• yo 6in tó Với mọi £ > 0 cho trước, tòn tại một lân cận u)(yo,e) của yo chỉ Ị phụ thuộc £ sao cho với mọi y1 ,y" G ui(yo,e) \ {yo} và với mọi X 6 [o; bị, ta có \F(x,y') - F(x,y")\ < E. Dưới dạng ngôn ngữ lôgic, ta có Diều kiện cần và đủ đề F(a>, y) hội tụ đều trên [a; bị khi y —> yo là VÍT > 0,3w(yo,e),Vy',y" e y(ift>,e) \ {yo},Vx e [a;b\ => => \F(x,y') - FCx,y")\<£. 8 Chứng minh Thực vậy, nêu xét hàm một biến y (x coi như có định) 4>(y) = F(x,y) thì điều kiện Cô si Ve > 0, 3u)(yo,e),Vy',v" e w(ỉto,e) \ {ỉ/o},Vx e [a;6] => => \HƯ) - 4>{y")\ < e tương đirorng với sự tồn tại giãi hạn lim ệ(y) = lim F(x,y) = *(x). !/—•!/(> y->yo Nhưng giới hạn này là đều đối với mọi X e [a;6Ị, vì lân cận cư(ỉ/o,e) không phụ thuộc gì vào vị trí cạa X e [a;b], do đó F(x,y) hội tụ đều tói 3>(-r). Định lý 13.1.2*3.(Điều kiện đạ) Giả sử tòn tại một hàm u(y) > 0 nào đó sao cho Vi e [a;bl, |F(x,ĩ/) - »(z)| < u(v) (13.1.2.4) trong đó lim u(y) = 0. /c/ii đó |a;b] F(x,y)E=Ị9(x). Ị/->!/0 Chứng minh Thực vậy, từ (13.1.2.4) ta suy ra súp |F(.r,(/) - <ĩ>(j:)ị < u(ỵ) xe(ã;61 và lim u(u) = 0 cho ta lim súp ỊF(i,y) - $(x)| = 0. y-tyo y^yo xe|a;fc| Định lý đã được chứng minh. 13.1.3. Giới hạn lặp Định lý 13.1.3*1. Giả sử 1) F{x y) xác định trong hình chừ nhật [a;b\ X \c;d\ và ./•„ r |o ij 13.1.3. Giới hạn lặp 9 \a-M 2) F(x,v)Eị*[x). y-*ya 3) Vói mắi y e \c\d\, tôn tại giới hạn lim F(x,y) = !/»( 0, Myo,e)yy\y" e ư(yo,e) \ {y0}y* c \a-J>\ > ** |F(x,í/)-F(i,y'')l e) đù nhò để tt((ĩ/Oi£) c \c;d\, còịi nếu ỉ/o là một trong hai điểm đầu c hoặc d cạa khoảng [c; d] thì có thề coi U}{i/0,e) là lân cận một phía và đạ nhỏ nằm trong \c\d\. Từ giả thiết 3), cho X —> Xoi do (13.1.3.2), ta ró \iKy')-ip(y")\ 0 là một số cho trước. a) Do giả thiết 2) 3wi(í/0,f),Vy e Ui(y0,e) \{ỉ/o},Vx e [a;b\ => \F(x,y) - *(x)| < |, (13.1 3.4) lo Chương 13. Tích phân phụ thuộc tham biến b) Do (13.1.3.3) 3w2(yo,e),Vy 6 «a(lto,e) \ {vo} => Mv) - c*l 3(j/o,e) = Wi(yo,e)ncj2(ỉ/o,e) thì khi y e a)3(i/0.f) \ {.Vo} ta sẽ có đồng thời (13.1.3 4) và (13.1.3.5). c) Hãy chọn y 6 a;3(ỉ/Oie)- Khi đó do giả thiết 3) 3f2(xo)(lân cận cạa xo ),Vi € Q(x0) \{x0} => \F(x,y) - v(y)ị < Tị (13.1.3.6) Chú ý (13.1.3.4), (13.1.3.5), (13.1.3.6), ta thấy Với £ > 0 cho trước, tồn tại một lân cận fi(x0) sao cho với mọi ì G ĩl(xo) \ {xo} ta có I$(x)-C| < |*(x)-F(i,ỉ/)| + |F(i,y)-^(j/)| + |^(y)-C| < l + l + l = £• Hệ thức cuối cùng chứng tổ lim $(x) = c, ì—>XQ tức vé trái cạa (13.1.3.1) cũng bằng c. Định lý đã được chứng minh. Định lý này còn mở rộng được cho trường hợp Xo e ni, yo £ JR. Hệ thức (13.1.3.1) là mờ rộng cạa hệ thức (12.1.3.7). 13.1.4. Sư liên tục cạa hàm giới han Định lý 13.1.4*1. Giả thiết í) F(x,y) xác định trong hình chù nhật [a;b] X \c;d\ và 1/0 € [p; 2) Với mắi y e \c;đị, hàm F(x,y) liên tục theo X trên \a\b\, 3) F(x,y)zzị^{x). y-*va Khi đó $(z) là hàm liên tục trên [a;b\. Chứng minh Po giả thiết 2), Vx0 e [o;6], Vy e [c;d] lim F(x,y) = F(x0,y). 13.1.5. Tích phân qua giới hạn li Coi F(xo,y) đóng vai trò trong định lý 13.1.3*1, ta thấy mọi giả thiết cạa định lý này đều được thỏa mãn, do đó theo định lý đó lim *(x)= lim F{x0,y). (13.1.4.1) 1-tio v-*ỹa Nhưng từ giả thiết 3), ta được lim F{x0,y) = *(x0). (13.1.4.2) y->ya Từ (13.1.4.1), (13.1.4.2) ta có ngay lim $(x) = $(xo). X-*XQ Điều này chứng tỏ $(z) liên tục tại Xo và Xo là điểm bất. kỳ t rong [o;6] nên liên tục trong [a;bị. Định lý này là mỏr rộng cạa định lý 12.1.3*1 đối với dãy hàm sn(x). 13.1.5. Tích phân qua giới hạn Định lý 13.1.5*1. Giả thiết ỉ) F(x,y) xác định trong hình chữ nhật \a;b] X [c;d] và Ho e [c;d], 2) Với mắi y e [c;d], hàm F(x,y) liên tục theo X trên [a;b], (a-M 3) F(x,y)Eị^(x). !/-*ýo Khi đó hàm giới hạn $(x) khả tích trên [a;b\ và Nói cách khác lim í F(x, y)dx = /**(x)dx. w-»vo »-»»Ja Ja (13.1.5.1) lim / F(x,y)dx= Ị lim F(x,y)dx. Chứng minh (13.1.5.2) Trước hết, ta lưu ý rằng các giả thiết nêu trong định lý này hoàn toàn giống với giát thiết nêu trong định lý 13.1.4*1. Bây giờ để chứng minh định lý, chỉ cần chứng minh hiệu fb pb / F{x,y)dx- / $(x)dx Ja ưa CÓ thể làm nhò tùy ý khi y khá gần 2/0- 12 Chương 13. Tích phân phụ IhtUH thum lui1" Thực vậy, cho trước e > 0, do Fix,Ị/y '-ị<Ị>(x), nên ta có thò" chọn .... . , , y->yu một lân cận ^(y0,e) = (2,0 - 6ịe);yo + cua 1/0 sát) rim Vỉ/ : 0 < lí, - J,0| < ,J(f) và Va- e [a;6] thì |F(x,ị/) -•(*)! < 6 — a Từ đó khi 0 < ly - voi < thì ta có F(x,y)dx-Ị^(x)dx = Ị{F(x,y) - *(x))dj- < ỉ \F(x,y) - »(z)|!/0 y->!/0 y„ hay chú ý (13.1.6.1) $(3-) - *(ữ) = ị (x) khả vi và *'(x) = *(x). Định lý đã được chứng minh. Định lý này là mờ rộng cạa định lý 12.1.4*2 về đạo hàm một chuỗi hàm. Nó cũng mờ rộng được cho trường hợp yo e ni (nghĩa là chằng hạn Ị/o Ế [c; +00) và yo = +00). 13.2. Tích phân phu thuôc tham biến Ta xét t ích phân lự,) = Ị f(x,t)dx J a phụ thuộc tham biến í, trong đó cận tích phân a, ò là hữu han 14 13.2.1. Khảo sát tính liêautục, kh ả v i 5 v à kh ả tích cạa /(í) Định lý 13.2.1*1. Nếu /(x,í) h tíàm liên tục trong hình chủ nhật đóng [a; 6] X [Í:; dị thì tích phân lự.) = Ị f(x,t)dx (13.2.1.1) J u là hàm liên tục trong \c;dị. Đinh lý 13.2.1*2. Giả sứ f(x,t) có đạo hàm riêng -jỊ-(x,t) liên tục trong hình chữ nhật đóng [a;b\ X [c\d\. Khi đó tích phân (13.2.1.1) khả vi theo t và /'(*) = / %(*,t)dx. Nói khác đi l ị f(x,t)dx = J"^{x,t)dx. (13.2.1.2) Nếu các cận o, 6 cạa tích phân cũng phụ thuộc tham biến í thì ta có định lý sau đây Định lý 13.2.1*3. Giả sử f{x,t) có đạo hàm riêng ẼHãlỉì liên tục trong hình chù nhật đóng ịa;b} X [c;d] và a{t),0(t) là hai ham khả vi trên [c\d\, lấy giá trị trong [a;6]. Khi đó tích phân rim lự) = / f{x,t)dx Jc(t) là một hàm khả vi trên [c; dị và ta có /0C)0/(x ũ m dT-te + PMmtYt) - a'(t)/(«(t),t). (13.2.1.3) Ba định lý trên đả được chứng minh ờ tiết 9.5.(chương 9 đinh lý 9.5.1*1, 9.5.2*1, 9 5.2*2) Hai định lý cuối cùng thường đưạc gội là các định lý về đạo hàm dưới dấu tích phân của tích phân phụ thuộc tham biến. Ta xét tiếp một định lý nói về tính khả tích cạa lự). 13.2.1. Khảo sát tính liên tục, khả vi, và khả tích của J(t) 15 Định lý 13.2.1*4. Giả sử f(x,t) là một hàm liên tục trong hình chừ nhật đóng ịa; bị X [c; dị. Khi đó ta có le (//(a:,í)dc) dt = ỉ Ục f(x't)dỳ 1 dx mà ta thường viết hệ thức trên duới dạng (13.2.1.4) ị ớt ị f(x,t)dx= Ị dx Ị Ị(x,t)dt. Jc Ja Ja Je Định lý này thường được gọi là định lý về tích phân đuôi dấu tích phân cùa tích phân phụ thuộc tham biến. Chứng minh Đặt g(t) = jT f(x, t)dx; h(x, T) = Ị f(x, t)dt, với T e [c; dị. Ta hãy chứng minh rằng với mọi T e [c; dị thì ta có Ị di Ị f(x,t)dx= Ị dx Ị f(x,t)dt (13.2.1.5) Jc Ja Ja Jc ^ s •> Hr) = J(T) Rõ ràng I(r) = jT g{t)dt; J(r) = Ị h{x,r)dx. (13.2.1.6) Vì giả thiết liên tục cạa f{x,t) trong [a;b] X [c;đị nên g(1) liên tục trong ịc;d\ (định lý 13.2.1*1) và h{x,r) khả vi theo T và |^(X,T) = /(T,T), (công thức (13.2.1.3) trong đó í được thay bời r, hoặc công thức (9.3.2.1)). Từ đó, đạo hàm các vé cùa đằng thức (13.2.1.6), ta được 6 I'(T)=9(T)= Ỉ f{x,T)dx, ưa lơ J {r)~ J y-(j-,T$4pte Ị f(i,Ỷ)dx. Vậy ì1 (rì = #;(*) hay /(r) = J(r) + i c, ta có /(c) = J(c) + /é hay 0 = 0 + K, tức /Ý - 0. Vậy I{T) = J(T), VT c [c;d\. Cho T — rỉ, ta có ngay (13.2.1.4). Định lý đã đirởc chứng minb. Chú thích. Dễ chứng minh được rằng các định lý 13.2.1*1, 13.2. l,*ị 13.2.1*4 vẫn còn đúng nếu hàm f(x,t) được thay bởi hàm /(.T, t)k{n) trong đó fc(x) là hàm tuyệt đổi khả tích (trị tuyệt đối cạa nó khả tíclậ trong [à;bị. Phần chúng minh này dành cho bạn đọc. 13.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến Trong phần này, ta sẽ xét tính chất. cạa hai loại tích phân suy rộng đề cập ờ chirorng 10, nhưng phụ thuộc tham biến / /•+ * ,6 í(*) = y n<--t).. Jt và tích phân loại thứ hai có hàm dưới dấu tích phân không Ị*iói n ỏ i t a lân cận đầu X = b 13.3.1. Sự hội tụ đêu của tích phân suy rộng PTTIi 17 J(t) = Ị f(x,t)dx= lim / f(x,t)dx. Ja Z->b-f>Ja Ta sẽ viết tắt tích phân suv rộng phụ thuộc tham biến là tíc h phân suy rộng PTTB, đề khỏi lẫn vói tích phân suy lộng trong đó không cố tham biến. Như vậy, trong cả hai trường hợp, tích phân suy rộng PTTB đều là giới hạn rùa hàm hai biến F(t,£) /(0 = lịm F(t,0; J(t) í f(ỉ,t)dx. ưa Sự khảo sát hai trường hạp này là như nhau, chỉ khác trong trường hợp thứ nhất nếu chồ nào nói tới lâu cận cùa điểm +oo thì trong trường hợp thứ hai lân cận đó được thay bởi lân cận trái cạa điểm b. Hưu nữa, như ta dã biết ở chương lo, tích phân trong trường hcrp này có thể đưa về tích phân trong trường hợp kia qua một phép biến đổi biếu số. Bời vậy, sau đây ta chỉ hạn chế xét tích phân loại thứ nhất (cận vò hạn) và kết C|iic\ khảo sát có thể sử dụng cho trường hợp thứ hai vái sư thay đổi thích ứng nlnr đã nói ờ trên trong sự phát biểu cạa các kết quả ấy. 13.3.1. Sự hội tụ đều cạa tích phân suy rộng PTTB Giá sử J(x,t) là một hàm khá tích theo .r trong mọi khoảng Ịtt;£] khi t c In dị. Định nghĩa 13.3.1-1. Tích phân suy rộng PTTB lự) = Ị *f(x,t)dx J ti được gọi là hội tụ đầu trân [r; li) nếu nó là giới hạn hội tụ đều rùa hàm trên [c;r/| khi £ —> +oo. Nói cách khác 18 Chương 13. Tích phẫn phụ thuộc tham bién_ MỊ í-»+oo DÒ chỉ khi ị f+oc Ve > 0,3N(e),\/£ > N{e),vt G [c;đ] => y ỉ(x,t)dx < £•- AT(e) không phụ thuộc vào vị trí cạa í € [c;dj. Từ định lý 13.1.2*1 ta suy ra Định lý 13.3.1*1. Diều kiện cần và đủ để tích phán suy rộng PTTB r+OG lự) = Ị f(x,t)dx J u hội tụ đều trên [c;d\ là / f(x,t)dx\=0. h Ì I /•+oc Chú thích.Từ định lý này, và bất đằng thức ị j f(x,t)dx r+oo Ị \f(x,t)\dx ta được Nếu / |/(z,í)|dz /lội tụ đều trên [c;d\ thì Ị f(s,t)ds cũng Ja Ja hội tụ đầu trên ịc;d\ và trong trường hợp này tích phân Huy rộng PTTB + OC / f(x,t)dx được gọi là hội tụ tuyệt đổi và đều trên \c;d]. Từ định lý 13.1.2*2 (tiêu chuẩn Cô si), ta có Đinh lý 13.3.1*2 (Tiêu chuẩn Cô si). Diều kiên cần và đủ để tích phân suy rộng PTTB lự) = ị f{x,t)dx J a hội tụ đều trên [c; d] là Cho trước £ > 0, tồn tại một số N(e) sao cho V£',£" > N(e), ịF(W)-F(t,i")\ = Ị f(x,t)dx < e 13.S.Ỉ. Sụ hợi tụ đều của tích phân suy rộng PTTB 19 hay f(x,t)dx hội tụ đều trên [c;dỊ Ve > 0,3N(e),ve,t" > N(e),vt € M |j£ f(x,t)dx Ờ đây, í', í" > JV(e) có nghĩa là ỉ" thuộc vào lân cận u;(+oo, e) = (JV(e), +00) cùa điểm +00 trong định lý 13.1.2*2. Đinh lý 13.3.1*3 (điều kiên đạ). Nếu với X khá lớn và vói mọi t e \c;'dị' l/ 0, CÓ thề chọn Ẹ khá lớn sao cho [+<* Ị g(x)dx < £. Từ đó \f(x,t)\dx < / g{x)d: , í h Điều này chứng tỏ /•+00 X < £. lim súp / |/(x,í)|rfx = 0 teịc;d\JỊ 20 Do đó theo định lý 13.3.1*2 thì / \f(x,t)\dx J ti hội tụ đều trên [c;đị, và do đó / f(x,t)dx hội tụ tuyệt đối và đều trên [c;dị. Định lý này tưưiig tự với định lý Vây ÓT strát 12.2.2*2 đối với chuỗi hàm. 13.3.2. Sự liên tục, khả tích, khả vi cạa tích phân suy rộng PTTB 13.3.2.1. Qua giới hạn dưới dấu tích phân suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*1. Giả sử 1) Vói môi t e \c;d\, hàm f(x,t) liên tục theo X trong \a\ +oo), 2) Tích phân suy rộng PTTB lự) = / °/(x, t)dx hội tụ đều trẽn Ịc; d], Ja 3) Vói mắi đoạn hữu hạn ịa;Z\ c [«; +oo), hàm f(x,t) hội tụ đìu trên [o;C| tới hàm giói hạn g(x) khi ị -+ to G [ũ; dị, nghũilà |o;«J fịx,t) =4 9(x). (-•to Khi đó thì p+oc f a) Ị g(x)dx hội tụ. b) HmJo f{*,t)dr = £~gix)dx. (133 2 1) Chùy lịm/<*, í) = «,(*) 13.3.2. Sụ liên tục, khả tích, khả vi của tích phân suy rộng PTTB 21 thì ta có thể phát biểu định lý trên dưới dạng Nếu f(x, í) liên tục theo X trong (ạ; +00) đối với mại t G Ịc; (lị và các giãi hạn lim / f(x,t)dx đầu đổi với moi t £ Ịc;d), «-++«• Ja Với to e [í:;d|, lim f(x,t) đều đối với moi X e la;í] c 1«; +00). t—*to thì khi đó ta có thề chuyền dấu lim qua dấu tích phân Chứng minh (13.3.2.2) Với giả thiết 1) và 3), theo định lý 13.1.5*1 ta có thể chuyển dấu lim qua dấu tích phân lim / /(x, t)dx = Ị g(x)dx. Như vậy, nếu ta đưa vào hàm I. •í thì ta có a) Theo giả thiết 2) tức í->+oo b) Với mỗi ỉ € Ịa; +00), tồn tại giới hạn Vậy theo định lý 13.1.3*1 thì các giới hại! sau tồn tại và bằng nhau 22 Chương 13. Tích phân phụ thuộc thamtịý Định lý đã được chứng minh. 13.3.2.2. Sự liên tục theo tham biến cạa tích phân suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*2. Già sù 1) f(x,t) nện tục trong miền [a;+oo) X ịc;d}, 2) Tích phân suy Tông PTTB hội tụ đều trên [r; dị. Khi đó lự) là hàm liên tục đối với í trên ịc;dị. Chứng minh Hãy xét tích phân trong đó í e Ịa;+oo). Hàm f{x,t), ảo giả thiết. 1), liên tục trong [a;£j X [c;rf]. Theo định lý 13.2.1*1 hàm liên tục theo í trong [c; dị đổi với mọi £ e Ịo; +oo). Như vậy a) Với mỗi £ 6 Ịa;+oo), hàm F(í,£) liên tục theo ị, trên [r;d\. b) Do đó theo định lý 13.1.4*1 (trong đó ì € [a;b\ và y -> yo tương ứng vói í G [c\đị và ị -> +oo ở biểu thức trên) thì /(í) là hàm liên tục trong [c; ri]. 13.3.2.3. Tích phân dưới dấu tích phân suy rông PTTB Định lý 13.3.2*3. Giả sù ỉ) /(*>*) liên tục trong miền Ịa; +oo) X [c;đị, 2) Tích phân suy rộng PTTB 13.3.2. Sụ liên tục, khả tích, khả vi của tích phân suy rộng PTTB 23 /(í) = / f(x,t)dx J a hội tụ đêu trên \c\d\. Khi đó, /(í) là môi hàm khả tích trên [c; dị và I(t)dt = Ị \J f(x,t)dt\ dx, nghĩa là ' .: 1 L di f(x,t)dx= / (ke Ị f(x,t)dt. (13.3.2.3) Jc Ja Ja Jc Chứng minh Trước hết, ta nhận xét. rằng các giả thiết cạa định lý này hoàn toàn giống với giả thiết cạa định lý trước (định lý 13.3.2*2). Bây giờ để chứng minh định lý, ta đặt F(t,i)= fỉ{x,t)dx. J a Khi đó ta có MỊ F(t,0±ị lự). t €-»+<* Theo định lý 13.1.5*1 (trong đó a; € [a;6] và y —> 1/0 tưcrng ứng với t 6 [c; dị và £ —> -t-oo ờ biểu thức trên) thì ta có lim / F(t,Odt= / Ve yc hay dí y f(x,t)dx = Ị dt Ị f(x,t)dx. ng theo định lý 13.2.1*4 thì /dí í f(x,t)dx= fdx Ị f(x,t)dt. Jc Ja Ja Jc Vậy ta có hay lim rdi Ịdf{x,t)dt= Ị di r f(x,t)(Lc «-»+•» Ja Jc Jc J„ / dx Ị f(x,t)dt= / di Ị f{x,t)dr. Ja Jc J c J ti Định lý đã được chứng minh. Trong định lý vừa được chứng minh thì trong hai tích phân lặp chi có một tích phân có cận vô hạn. Bây giờ ta xét trirèmg hạp cả hai tích phân lặp đều có cận vô hạn. Định lý 13.3.2*4. Giả sử 1) Hàm f(x,t) hên tục trong miền [a; +00) X Ịc; +00). /+00 J M f(x,t)dx hội tụ đều trên mọi đoạn hữu hạn \C: II\ cùn biên t. /+OC f(x,t)df hội tụ đều trên mọi đoạn hữu hạn [a;í| của biên X. 4) Tồn tại một trong hai tích phân lặp Ị dxj \f(xj)\dt; Ị di Ị \f{jr,i)\dx. Khi đó. các tích phàn sau tồn tại và chúng bằng nhau dx Ị f(x,t)dt = J át 1 ỉ(x,t)dỉ. (13.3,2.4) Chứng minh Giả sử tồn tại tích phân lặp dx Ị \f(x,t)\dt. (13.3.2.5) Ta đặt G(X,T) = Ịf(x,t)dt, VreỊc;+00). Ta sẽ chứng minh rằng lim /+ G(x,r)dr = ỉ lim G(x,-r)rfx. (13.a.2.G) 13.3,2. Sít Hên tục, khả tích, khả vi của tích phân suy rộng PTTB 25 Muốn vậy, theo định lý 13.3.2*1, chỉ cần chứng minh a) G(X,T) liên tục theo X trong [a; +oo) với mọi T G Ịc; +oo), /•táo b) / G(x,r)dx hội tụ đều theo r trên ịc;r}\, V»J £ [c; +oo), Ja t c) G(i,r)iz4 / f(x,t)dt. T~*+nc Jc I li ' • . lĩ . • Từ giả thiết 1) và định lý 13.2.1*1 ta suy ra ngay phần kết luận a). Để rhứng minh phần b), ta chú ý \G(X,T)\ = \Ị Ị(x,t)dt\< [T\f(x,t)ịdt < ỉ ~\f(x,t)\dt. \Jc I Jc J ti Đặt. \f(x,t)\dx thì \G{X,T)\<9(X) và /•+<* / ự>(x)dx Ja hội tụ (do (13.3.2.5)). Vì vậy theo định lý 13.3.1*3, ta suy ra ngay / G(X,T)<ÌX hội tụ đêu trên [c;//], V/J e Ịc;+oo), vậy phần lí) được J a chứng minh. • .ị Phàn (•) chim- rhứng minh do giả thiết 3). Như vậy, (13.3.2.6) được chứng minh. Viết chi tiết (13.3.2.6), ta được dx Ị f(x,t)dt = Ị dx Ị f(x,t,)dt. (13.3.2.7) Tích phân lặp ờ vế trái cạa (13.3.2.7), theo định lý 13.3.2*3 có thề viết. /•+TC pT Ị.T r + oo / dx Ị f{x;t)dt= ị dt ị f(x,t)dx. J« Jc Jc Ja Do đó (13.3.2.7) viết được dưới dạng èffjf f(x,t)dx = j dx Ị f(x,t)dt hay / dí/ f(x,t)dx= dx ị f(x,t)dt. J c J a J a J c Định lý đã được chứng minh. 13.3.2.4. Đạo hàm dưới dấu tích phân suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*5. Giả sử í) f(x,t) và ^f(x,t) liên túc trong [o;+00) X [c;d], ơi /•+•*- 2) ị ĩ(x,t)dxt hội tụ đói với mọi í e [c;tíỊ, •/à ẩj / —(i,í)dx /lội íụ đều í/ieo Ế írên [c;d]. Va ^ KVii đó, ÍỈC/I phân r+ra /(*)= / /(sM) 0. Để xét sự hội tụ cạa tích phân thứ hai, ta xét ỉ*sh\x _ r^đcọsx _ cosx lí r*cwx^ Ji X ~ Jị X X li Jl ỉ2 Cho £ -> +oo, rò ràng 28 Chương 13. Túứi phân phụ thuộc tham biến Hơi! nửa / COST |í\ lim ị ] = cos Ì Ị-ĩ+ao \ X l i / / —5— đa: hôi tu vì / —-T Ji X2 JỊ X2 /•+'xsin:r , , .. cosC lim = vua 1. e-í+oc. í hội tụ và CON .;• Ị Ì Vay / dx hôi tu. /ó * Để chứng minh 2), ta sử dụng định lý về qua giới hạn dưới dấu tích .sim: phán suy rộng PTTB (định lý 13.3.2*1), trong đó f(x,l) V ——, còn ợ(.r) = _ií!£, Tất tả các giả thiết, để có thể áp dụng <1irự< (lịnh lý X này đều được thỏa màu, vì sin 3' i a) Bổ sung giá tri cho hàm /(x,í) = e~tJ tại X = 0 bằng cách 2: đặt /(0, í) = Ì thì rõ ràng hàm f(x,t) liên tục trong [0; +00) vói mỗi t € [0,r/J, lì > 0. b) Tích phân Jo x hội tụ đều đối với í trên đoạn [0;TJỊ, ÍJ > 0. Thực vậy, chỉ cần chứng minh cả hai tích phân / e~'jSln J (ÍT và Vo 1 ị e~ixSU xdx đều hội tụ đều trên [0; »/]. . .. / _t,mnx Y -sin 3- sinr . . , Tích phán / e da-hội tụ đêu vì e " < ——— mà tích Jo x T I phản / *^^-dx hội tụ (sử dụng định lý 13.3.1*3, nhưng thay cho tích Jo x r+00 phân suy rộng PTTB / f(z, t)dx, ta dùng tích phân suy rộng PTTB / f(x, t)dr (ờ lân cận đàu X = 0) và trong chứng minh định lý, thay Jo j(x)dx ta ( cho Ị g(x)dx ta dùng Ị g(x)dx,....). f+^~ _íxsin-r J phân / Tích phân / e. di hội tụ đêu đoi vói moi í c [0 ;;| vì ta cỗ ước lưcmg 13.3.2. Sự liên tục, khả tích, khả vi cùa tính phân suy rộìự) PTTIÌ 29 X r2 ~ X2 khi X đạ lớn (chú ý lim e íxx = 0 vói mọi í > 0), sau đó chú ý tích phân / —rdíT hội tụ. /ì * c) Bổ sung giá trị cila ——— tại 1 = 0 bằng Ì, dễ thấy giả thiết X t sin X Ị£i£| sin X cũng được thỏa mãn. Thúc Vcâ.v , sin X sin £ < !«•"" - li sin X X 11 0 thì có được . - I Ì- ? +*sinJÉ, tích phản / di. Jữ X Trước hét ta chứng minh có thể đạo hàm H{i) (lirái dấu tích phân với mọi í > tì > 0. Muốn vậy, chỉ cần kiểm nghiệm các giả thiết cạa định lý 13.3.2*5. Rõ ràng a) Ị(x.t) = e~ta:^—^ (sau khi bổ sung giá trị /(0,0 = 1) và X đạo hàm -Tj-ị.r,t) = —e _tx sini đều liên tục trong Ị0;+oo) X |n; 4 oe) (<•» tùy ý dương), 30 Chương 13. Tích phán phụ thuộc thamJịẾĩL /• +~_t J.sịnx 7o ' * di hội tụ tại mọi điểm ì e lo; +00) (đã chứng b) minh ở trêu) ỉ p + -X. c) / -c sinxđi hội tụ đều trên [a; +00). Để thấy điều này, ta dùng định lý 13.3.1*3, bằng cách xét ước lượng |e_tIsiiix| < e~ax, Ví G [Q;+OO) r+ Te /à chú ý tích phân / e~axdx hội tụ. Jo Vậy theo định lý 13.3.2*5 thì ta có H'(t) = / e-«*ạ Vo sinxdx, Ví c [f>;+00). Vì Q > 0 là tùy ý, nên đẳng thức nói trên đúng với mọi t E (0; +00). Tích phân từng phần hai lần biểu thức cạa H'(t), ta được H'(t) = ị e dcasx = e. COSI + / lo í e~f /Ó cos lá i e J sin j-rfx hay e cos Tị + te " sin J + í 2 í hay íf'(t) = - Ì - í 2//'(í) Ì Ì I í 2 //(í) = -arctg/ f c. Muốn xác định c. cho t -> +00, ta được //(+00) = -arctg(+oc) + c = + c. Nhưng \H(t)\< / + V " — rf.r< rV"rf.r - ỉ. J0 J Jo ' 13.3.8. Tích phân ọ le {Buler) tì Thành thử ••• H(+oo) •: 0 o.-ị+ô • C-§. Vậy #(í) = -arctgí + | . Ờ phần 2), ta dã chứng minh Ịi.ni/(í)= /+0t^dx. Vậy ta có tức là r+oo, (13.3.2.9) y0 1 2 13.3.3. Tích phân ơ le (Euler) Có hai loại tích phân ư leitích phân ơ le loại Ì và tích phân ơ le loại 2. Chúng là những tích phân suy rộng PTTB. 13.3.3.1. Tích phân ơ le loại Ì (hàm Bê ta) Hàm Bê ta là một tích phân phụ thuộc hai tham biếu lí, ít, được xái định bởi B(u,v) = / - xỴ-^dx. (13.3.3.1) a) Miền xác định. Hàm Bịu, v) được xác định với những (u, v) sao cho tích phân nói trêu hội tụ, nghĩa là khi -1 0, u > 0. Vói 0 < li < Ì hoặc 0 < V < Ì thì tích phân xác định hàm Bê ta là một. tích phân suy rộng PTTB với cận hữu hạn. • 32 Chương Í3. Tích phân phụ thuộc tham biên b) Tính đối xứng. Hàm B(u, v) là hàm đói xứng đối vói cát- biến u,v cùa nó. Thạc vậy, hây làm phép thế biến 1 = 1 - x', ta MÍ Bị u,v) = - Ị \ \ - x'r~lx'v~xdx' = Ị1X'v-1{l-x'ìuldr' - B{v,u). c) Công thức truy hoi Ta hãy chứng minh công thức truy hồi B{u,v) = 1,- 1 .B(u,v-1) khi v-l> 0. (13.3.3.2) Thực vậy, với ti — Ì > 0, ta CÓ B(u,v) = fxu-l{l-xỴ ỉdx = ỉn = -Ị(l-x)v lx" |V{t>-l) f\l-x)v-2xudx] = — - /'T"( 1 2<£r lít lo Jo J ti Jo = /V_1 - - *)] (Ì - xỴ 2dx = =ị Ị x"-1^ - x)v-2dx - - = -lB(u, t;- 1) - Từ đó ộ + B(u,v) = ?—}-B(u,v - 1) hay B{u,v) = v ~ 1 B(u,v - 1). -u + V — Ì Biểu thức vừa fl(m, ra) với đổi số là số nguyên. Giả sử MI li là những số nguyên (dương). Khi đó ta có theo công thức- truy hồi _, . _ n- 1 (n-l)(/t 2) B(m,n) = -B(m,n-1) = i -iị. í —Bím ri v ' m+n- 1 v ' {m + n-l)( m + n-2 ) 1 ' ' (n - Ị)! ~ •"' ~ im + n - l)(m + n - 2)...(m Ị 1) s(m '1 J = (R - 1)1 :3(l.m) = {m + n - + n - 2)...(m + 1) 13.3.3. Tích phân ọ le (Exiier) 33 (n - l)!(m - Ị) B(l,m - 1) (m + n — l){m + 71- 2)...(m + l)m (n. l)!(m Ị)! (m-+ ri 1)! Vậy B(m,n) = (n-l)!(m-l)! (ro+ 71-1)! (13.3.3.3) 13.3.3.2. Tích phân ơ le loại 2 (hàm Găm ma) Hàm Găm ma là tích phân suy rộng với cận vô hạn, phụ thuộc ihaiu biến í, được xác định bời (13.3.3.4) a) Miền xác định. Hàm r(í) được viết. thành tổng cạa hai tích phân suy rộng PTTB hội tụ Tích phân thứ nhất hội tụ khi - 1 < t - Ì (hay í > 0) và tích phân thứ hai hội tụ vói mọi í > 0 (do tính giảm nhanh cạa hàm e~z khi X -V +00 so với hàm lũy thùa xk, xem 3.3.2. chương 3, tập 1). Vậy Hàm r(t) được xác định với mọi í > 0. b) Tính khả vi. Đặt f(x,t) = xt-le~x ta có %(x,t) = xt-lkix e~*. ót Rỏ ràng f(x, í), Q^ịx, t) liên tục cả trong (0; 1Ị X [a; 0] và cả trong [1; +oo) X [a\0\ với mọi [a;0ị c (0-,+oo). Hơn nữa, ta chứng minh tích phân •+OC hội tụ đều đối với t e [a;/3\. Muốn vậy, chi cần tìm một. hàm g(x) sao cho ì**-1 In se ẹ-'\ -J = xa-l-crc(~ ln.r) f> Chú ý Hiu V hu - 0. lim J E liu = 0, (lo đó khi 0 < .;• < Ì t a có ' j—>-ịO 1+1 0 < - X'£ In* < /í". Ngoài ra, ta có thể chọn £ đu nhỏ để (ì Ì í" > Ì, và khi đó ta ró li'-1 Im e'x\ < -/-'"Vlni é-1 < Ki"-1-'é" trong đó rt — Ì — £ > — Ì, vậy tích phân /í / xa-l-ec~rd.r hội tụ . Vo Như vậy có thể chọn hàm p(jr) = Kxa l ee~ r và thấy ngay được' tích phân / a t _ 1 lnx é~xdx hội tụ đều đối với í c |a;/í]. ./o Một cách tuông tự, với Ì < X < +oo, khi í c [í»;/i|, ta ló JJ < Jt"\ vá x'- 1 I m é" 1 < xđ-1 hì xe 1 = xđ+3(> -' ~~ . r2 ..2 Chú ý lim ỉ ^ = 0, lim x^+v * = 0, tacóa^+V"'- ^ < K' X—> + TC X X—>+TC j-2 — khi Ì < X < +oo và do đó có ước lượng ì'-1 In xe"1 < A"Ịj, /•+-* ! ,+oc trong đó tích phân / ^da-hội tụ. Vậy / ì'- 1 In,r e~rdx hội tụ đều đối với í € [a;0\. 13.3.3. Tích phân o le, (Euler) 35 Vậy theo định lý 13.3.2*5 thì hàm r(í) = / xt-ìe~T(ỈT khả vi trong khoảng \a\0\. Vì a,/3 tùy ý nên r(í) khả vi trong (0; +oo) và r+oc r'(í) = / x*-lỉnx e~xdx. Jo Một cách tưcrng tự, ta chứng minh được hàm r(í) khả vi mọi cấp trong (0; +oo). c) Dồ thị của r(t). Ta có r"(t) = / x^ạnxỹe^dx > 0 Ví e (0; +oo). Jo Vậy đồ thị cạa hàm r(í) có chiều lõm hirớng lên phía trên. Mặt khác r 0. Ta có r(í + l) = / xte~xdx = - / x*d(e-*) = -xV 1 Jọ lo /•+OG p • / x^e-^dx^t ị = trJoự . ). Jo Vậy r(í+l) = íT(í). (13.3.3.5) 0 Bây giờ giả sử t lấy giá trị nguyên n. Vậy ta có Hình 13.1 r(n + l) = nl>). 36 Chương 13. Tích phân phụ Quật IhnmỳịĩĩL Tiếp tục, lùi dần n, ta có rin) = (r» - l)r(n - 1) = (n - l)(n - 2)í> - 2) - .... hay r(n f 1) = n(n - l)(n-2)(n - 3) ..3.2.11(1). Chú v-r(l) = Ì, ta có r(n+l)=n! (13.3.3.6) e) Liên hệ giũa hàm r(í) và B(u, v). Ta có r(t) = / tt~ier"dx. Hãy thực hiện phép thế biển ì = zy trong đó ỉ/ là biến mới và 2 > 0: reo hay r^y ý le zyd(zy) = z* ( í/ V s»d|» Vo •'0 Eííl = r~Ịf-le-*dy. (13.3.3.7) Lại thay í bởi u + li và 2 bởi 1 + 2, ta được r(" Ỉ^L = f+~y» + »-ic-Wdy. (Ì+ *)»+' /ó Nhãn hai vé vái z"-1 và tích phân theo 2 từ 0 đến +oo, ta được ơ vé trái, trong tích phàn ta đối biên 2 = , ta đirực Í T -= í - r)"-ldx = B(u,i>). Vậy 13.3.3. Tích phân ợ le (Euler) 37 r(u + o)B(u,v) = r*zu-ldz f + y"+*'-Ie-(1+;)í'd,y. Vo vo Ở vế phải, ta áp dụng định lý 13.3.2*4 về tráo đổi thứ lự rùa hai tích phân lặp suy rộng và chú ý hệ thức (13.3.3.7), ta (tược / z" idz Ị/,'+l le{ì + '-ìỊ)dy = .ợ" + ""1P""*djỊ/ / 2u^-=i/r/z Vo Vo Vo Vo Jo ý" Jo Tóm lại r(u + w)B(u,«) = r(u)r(u) hay flfu BÌ r(u)r( "} ílrnii l fl(u,,,) r(u + «) (13.3.3.8) Thay ù, ì; lần lượt bời m, í) và chú Ý công thức (13.3.3.0) thì ta thấy lại ngay cõng thức (13.3.3.3). Hai hàm r(í) và B(u,v) là những hàm trong láp "các /làm đặc ốíệí", thường được gặp trong các vấn đề nghiên CÚI! lý thuyết, cũng như kỹ thuật. Thí dụ. Tính / f - r í/.r. Vo Ta ró r(/) = / í' - 1 ? xrf:r. Dối biến trong tích phân dó bàng Jo cách thay X bằng X2, ta được /•+<* , r(í) = 2 1 x2t'le'r dx. Từ đó hay Jo Theo (13.3.3.8), chú ý r(l) = Ì 38 Chương 13. Tích phân phu thuộc tham biến »(f ằ )-"( ẳ ) - Vậy Mặt khác, đổi biến trong (13.3.3.1), thay X bời X2 B(u,v) = 2 Ị x2u-l(\-u)v-ldx. Từ đó . / 1 1 \ „/ ' à |1 oi—, - =2 / _ = 2arcsina- = 2arcsinl Vậy í *°e—\fa:=^ . (13.3.3.9) lo 2 13.4. Đọc thêm 13.4.1. Tích phâ n Phua ri ê (Fourier) 13.4.1.1. Tích phân Phua ri ê coi như trường hợp giới han cạa chuỗi Phua ri ê Riêng trong tiếu mục này, đế thiết lập biểu thức cùa tích phân Phua ri ê, ta chưa chú ý tới lập luận chính xác, cốt đế bạn đọc dễ hình dung được ý tướng dẫn từ chuỗi Phua ri ê tới tích phân Phua ri ê. Lập luận chính xác sẽ được đề cập tới á các tiếu mục sau Nếu hàm /(ì), thỏa mãn điều kiện Đi ni (xem 12.7.1.4.) tại mọi điếm trong khoáng I -ì; lị, hoặc đan gián han, khá vi từng khúc trong I / /| thì chuỗi Phua ri ê cùa nó hội tụ (xem 12.6.8.1) cv \ _ a° I í fc7T kít \ S(x) = y + 2^ ựk +oo thì tích phân này dần về (13.4.1.8). vậy nếu coi vẽ phái 13.4-i. Tích phân Phun. ri é (Fourier) (đọc thêm) li cạa (13.4.1.8) tương tự như chuỗi Phua ri ê thì tích phân (13.4.1.10) tương tự như tống riêng 5„(x) cạa chuỗi đó. Hãy xét một số tùy ý dương B > 0. Hàm f(x) tuyệt đối khá tích trong (-CX3; +OO), nên cũng tuyệt đối khá tích trong (—B; B), do đó tráo đối thứ tự tích phân (xem chú thích ớ cuối tiết 13.2), ta được ị dz ị f(t)cosz(t - x)dt = / f(t)dt / eos z(t-x)dz = Jo J-B J-B Jo + Bnt)S i n A(t-X)dt n ) ỉ B ị Vì |/(í)c<>S2(í-s)|<|/(f)| mà tích phân / hội tụ nên tích phân h"|/(í)|dí /_ f(t) cosz(í - x)dt hội tụ đều đối với 2 (kể cả khi í = —00 cũng như khi í = +oo). Vìthế ta có thể dần B -> +00 ờ vế trái cùa (13.4.1.11), do đó ớ vế cuối cạa (13.4.1.11) cũng vậy và ta được m = ỉ rm^LzAdt. lĩ 7-TC í — ì Tích phân này tương tự như tích phân Đi ri dê, và cũng đóng vai trò quan trọng như tích phân Đi ri dê trong lý thuyết chuôi Phua ri ê. Đặt t - X = T, sau đó tách tích phân từ —oo đến +oo ra làm hai phần từ —oo đến 0, và từ 0 đến +oo.và đối biến trong phần thứ nhất T thành — T, ta được T, ^ Ì f r, .sinAr , •/(j 4 )=_ / f{x + T)——dT = * J-CK T '•+00sin ÁT /(Ì + r) + f(x - T) 2 ỉ ~ T Jo dr. (13.4.1.12) 42 Chuông 13. Tích phàn phụ thuộc tham biến Dạng (13.4.1.12) toang tự như dạng (12.7.1.11) trong chuôi Phua ri ê. Bổ đề Ri man mở rộng. Nếu tích phân / g(t)dt hội tụ tuyệt đối thì ưa r+oo lim í / + °° /- + OC r+oo g(t) sin ptdt = 0, lim ị g(t)cosptdt = 0. Thực vậy, vì / g(t)dt hội tụ tuyệt đối, nên với e > 0 cho trước, tồn Ja tại TỊ đu lớn sao cho Từ đó / \g(t)\dt < / g(t) sinpídí < / |5(Ể)sinpí|dí < / |g(í)ịd< < i . Mu I ~/TJ J,Ì 2 Sau khi chọn được Tì như trên, theo bổ đề Ri man ớ 12.7.1.1 thì ta có thế chọn p đù lớn để I A(t ) sin ptdt £ <2 Vậy ta có vói p đù lớn / g(t) sin píáí = / g{t) sin pídí + / g(t)sinptdt J a \J a \Jri E £ <2 + 2=E- Hệ thức lim / g(t) sin ptdt = 0 được chứng minh. Hệ thức thứ /+oo g(t)cosptdt = 0 được chứng minh tưang tự 13.4.1.3. Điều kiện đạ Trong điếm này, ta xét điều kiện đù đế một hàm biếu diễn được dưới dạng tích phân Phua ri ê. Trước hết, theo (13.3.2.9) ta có 13.4-1- Tích phân Ph.ua ri ê (Fourỉer) (đọc thêm) 43 từ đó Vậy Ì=§ r . 2 /,+00 sinxJ Ì = — / dx. +oũ sinJ4TJ, „ „ ÁT 0 hay Từ đó 7T Vo T Vo r /(x f 0) + /(x - 0) 2 /• +0O /(x + r) + /(x-r)sin^ r _,_ _ /Qr + 0) + /(x-0 ) = 2 r 2 TJo /0 2 /(x + 0) + /(x - 0) 2 [+0O 12 sm ÁT /• T 7o dr = 0 T ÚT~ 2 /•+»//(* + r)+/(z-r ) / (ì 4- 0) 4- / (ì - 0) \ sin ÁT . = u 1 2 2 ) rdT- (13.4.1.14) Nếu ta đưa vào hàm Ị , /(x + T) +/(x - r) /(s+ 0) +/(x - Ọ) WT' 2 2 như ờ 12.7.1.4 thì (13.4.1.14) có thể viết được dưới dạng J{A) _ /ọ + ọ)+ /(»-») = [+\(T)sj^dr (13.4.L15) và ta cũng có Đinh lý 13.4.1*1. Tích phân Phua ri ê cùa hàm f(x) tại điểm X tụ . f(x + 0) + f(x - 0) hội tụ tới , nêu tìm được một so h > 0 sao cho tích phân Jo T tồn tại. 44 Chương 13. Tích phân phụ thuộc lhain_hịfín_ Chứng minh Cũng theo sơ đồ chứng minh định lý 12.7.1*1 ta tách tích phân (13.4.1.15) thành hai phần L ự>(T) (ÍT = />> -sin V4T dr + 7/1 T /•''I«>(T)| Niu / itlLíldr tàn tại thì (có thể coi h đạ nhó) r"Mr)\. í Vo e -(ÍT < - và 2 !•*!< í "Mr)\ (ÍT < -, còn ./2, do giá thiết hàm /(r) tuyệt đối khá tích trong (-oo; teo), nên hàm cũng tuyệt đối khá tích trong (h; +oo) (chú ý mẫu cùa T T không triệt tiêu). Vậy theo bố đề Ri man suy rộng, |J 2| dần về không khi Ả —> co, do đó với .4 đạ lớn ta có |^72| < - và i/(i4 ) _ /( * + Ọ) + f(x - ọ) <|Ji| + Ự2|<£. Định lý đã được chứng minh. ^-^dr tồn tại được gọi là điều kiên Di ni. 0T Chú thích. Dặc biệt Nếu hàm /(ì) khả vi từng khúc trong mọi đoạn hữu hạn [ó; b\ c K. vò tuyệt đối khả tích trong (-oo;+oo) thì điều kiện Đi-ni chắc chắn được thỏa màn tại mọi điểm cùa trục số. và như vậy tích phân Phun ri é cùa hàm f(x) hội tụ tại mọi điềm của trúc số tới -f ( J ì °) + f( r ' °) 2 Nếu X là một điếm gián đoạn loại một cùa hàm f(x), và tại đó giá trị cùa hàm bằng giá trị trung bình cạa các giá trị giới hạn bên phái va bên trái, nghĩa là /(*) f(x + Ọ) + f(x - Ọ) 2 thì ta gọi X là một điếm đều cùa f (x). I3.ệ.l- Tích phàn Phim ri é (Fourier) (đọc thêm) 45 Nếu f(x) thỏa mãn các điều kiện đạ đề có thể biểu diên dưới dạng tích phân Phua ri ê và gồm toàn những điểm đầu thì khi đó r+ao ỉ ( x) = / IM*) C08 zx + B(z) sin zx] dz vói A{z),B(z) được cho bới công thức (13.4.1.7), hoặc f+oo f+oo 2 r+ao »+oo (13.4.1.10) /(*)=- / dz / f(t)coBz(t-x)dt (13.4.1.17) *• Jo J-oo hoặc f(x) = f-J dz Ị f(t)co8z(t-x)dt. (13.4.1.18) 13.4.1.4. Dạng phức cạa tích phân Phua rỉ é Xét tích phân / /(í) sin í (í - x)dt. Nó là một hàm lé đối vái z. Vậy •+B r+rx. Ị dz Ị /(í) sin z(1 - x)dt - 0. Từ đó, cho B —> +oo, ta có tích phân theo giá trị chính cạa Cô si (xem chú thích cuối mục 10.1.1 chương 10) /-t-oc /-t-oc dz Ị /(í) sin z(t - x)dt = 0. •oe J — oo Nhân đằng thức này với -Ị—, rồi công lai với vế phái cùa (13.4.1.18), 2iĩ chú ý công thức ơ le (12.4.5.5), ta được Ị r+oo f+oo /(*) = YJ_ d z Ị me'*-')*, (13.4.1.19) trong đó tích phân theo z cần được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cô si. Đây là dạng phức cùa tích phân Phua ri ê. Hãy trá lại công thức (13.4.1.16). Nếu hàm f(x) là hàm chẵn thì 46 Chuơng 13. Tích phân phụ thuộc tham biến l r+oc B(z) = -- /(t) sin ztdt = 0, +tXJ f+x / /(í) cos zidí = 2 /(í) cos 2tdt •oe Jo và ta chi cònr+rx f(x)= Ị A(z)coszxdz = r+oc />+ao = - / coszxdz í f(t)aysztdt. (13.4.1.20) * Jo Jo Tương tự, nếu hàm f(x) là hàm lẻ thì Ì r+n" = r / /í*) c o s 2Íd í = °> * ./-oe /(í) sin ztdt = 2 /(í) sin ztdt -oa Jo và ta có r + oc f(x) = / B(z) sin zxdz = Jo = -/ Sìn zxdz Ị f(t)sinztdt. (13.4.1.21) 7T Vo io Bây giờ giá sứ f(x) chi được xác định trong [0; t-oo) và thoa mãn các điều kiện như khi Ị(x) được cho trong toàn trục số. Khi ẩy, cũng giống như đối với chuỗi Phua ri ê, ta có thế thác triển /(x) sang phần (—oo;0) để thu được trong toàn trục số một hàm chẵn f'(x), hoặc một hàm lẻ /**(z). Khi ấy, trong phần X > 0, hàm f(x) có thế biếu diên được hoặc dưới dạng (13.4.1.20), hoặc dưới dạng (13.4.1.21), và điều này giống như chuỗi Phua ri ê, với hàm cho trong [0; 1] thì ta có thế khai triển hoặc dưới • V, ỉ _tf í. _1_.__ few dạng chi gôm các so hạng chứa cos ~x- hoặc dưới dạng chi gồm các số kít hạng chứa sin —ị~x- Thí dụ. Tìm biểu diên tích phân Phua ri ê cùa hàm í Ì khi |x| < Ì, /(*) = \ 0 khi \x\ > 1. 13.4-1 • Tích phân Phun ri é (Fourier) (đọc thêm) 47 Ta sẽ dùng biếu diễn (13.4.1.6), (13.4.1.7). Theo (13.4.1.7), ta có Ì f+oí Ì r A(z) = - ị f(t)cosztdt = ^ Ị B(z) = -• Ị /(í) sin ztdt = 0. T J-oo Từ đó (13.4.1.6) cho ta cos ztdì = sin ít I+1 2sinz 1TZ 1-1 2 /-+00C0S2XSÌn2 , = * / ~~r— d 2- Trung bình cộng cùa các giới hạn bên phái và bên trái cùa hàm tai .r = Ì bằng -, nên 2 ' Ì khi 0 < T < Ì, 2 /,+'*: 2 coszxsin.í f +qcẹ 7T Jo dz = < Ì khi X = Ì, 0 khi ì > 1. Đặc biệt, với X = 0, ta có tích phân quen biết (13.3.2.9) /•+ocsinz , lĩ 0 » *• 13.4.1.5. Biến đổi Phua ri ê Xét biểu thức cùa tích phân Phua ri ê (13.4.1.19) mà ta vừa thu được. Ta có thế viết nó dưới dạng (13.4.1.22) Ta ký hiệu đại lượng trong móc tròn là F(z) thì ta có (13.4.1.23) và (13.4.1.22) có dạng (13.4.1.24) 1 r+oc Hàm F(z) được tạo nên từ hàm f(x) bới công thức (13.4.1.23), được 18 Chương 13. Tích phân phụ thuộc thaviỳị™. gọi là ảnh cùa phép biến đối Phun ri é hay gọi tắt là phép biến đôi pii-tia ri ĩ. cùa hàm f(.r) và thường ký hiệu là ỈU) - nu.*)) = F[z) = -j= ị ™Jự)i**dt, (13.1.1.23') còn hàm /(./•) được tạo nên từ hàm f(z) bới công thức (13.4.1 24). được gọi là biên đổi Phun ri ê ngược cùa hàm F(z) (hay nia hàm f(z)) và được ký hiệu là /(*) = r\hz)) = Ị+~f(z)e-i"dz. (13,1.1.24') Các biến đổi Phua ri ê hoặc Phua ri ê ngược trong (13.4.1.23') và (13.4.1.24') về hình thức thì giống nhau, điếm khác duy nhất là có dấu ị hoặc - ớ phần số mũ cùa e. Diều kiện đạ để tôn tại biến đổi Phua ri ê (13.4.1.23) là Ị (ì) tuyệt đối khá tích trong (-00; +oo). Lưu ý rằng với hàm /(.r) thực, nhưng biến đối Phua ri ê f(z) cùa nó có thể là phức. Thí dụ. Tim biến đối Phua ri ê cùa hàm Ík khi 0 < X < a, 0 khi (x < 0) u (x > tì) • Ta có /(2 ) = 1 f\.^ d f = * (U^_L ) k (Ì r-*~) Rõ ràng f(x) thực, nhưng /(2) lại có giá trị phức. Bây giờ giá sử f(x) chi được xác định trong [0; +00) và ta có thế thác triển chẵn ra toàn trục (-00; +00). Theo trên, khi đó trong phần T > 0, ta có công thức (13.4.1 20) f(.r) = -- ị vaszj-dz / f(t) cos ztd1. (t Ì 201 Jo Jo Nếu ta đưa vào hàm Fc(z) xác định bời 13.4 2. Vài tính chất cùa hiên đổi Phua ri é (đọc thêm) 49 [ĩ f+ao ĩc{z) = \Ị-Ị f(t)coeztdt (13.4.1.25) thì (13.4.1.20) có thế viết f(x) = ^-J fc(z)coaxzdz. (13.4.1.26) Hàm /c(z) được gọi là biển đối (Phim ri ê) C0.1 cùa hàm f(x), còn hàm f(x) được gọi là biến đổi .(Phim ri ê) coi nguợr cạa hàm /, (2). Tương tự, từ (13.4.1.21), nếu ta đưa vào hàm /s(z) xác định bới /.(*)= y^y f(t)smztdt (13.4.1.27) thì (13.4.Í.21) có thể viết /(*) = Ị ỉ.(z)ãnxzdz. (13.4.1.28) Hàm fs(z) được gọi là biển đổi (Phun ri ê) sin cạa hàm /(x), còn hàm f(x) được gọi là biến đổi (Phua ri ê) sin ngược cùa hàm f„(z). 13.4.2. Vài tính chất cạa biến đ ổ i Thua ri é í) Ta có T(af{x) + bg(x)) = aT(f[x)) + bf(g(.c)). Tính chất này được gọi là tính tuyến tính cùa biến đổi Phua ri ê rim). 2) Nếu f(x) tuyệt đối khả tích trọng khoảng (-00; + 00) thì biến đoi Phua ri ê ỉ(x) = Ị f(t)eMdt. (13.4.2.1) liên tục củng trên khoảng đó và dần vè không khi X -> ±00. Thực vậy, tính liên tục suy từ sự kiện tích phân (13.4.2.1) hội tụ đều đối với X khi / ±00, và điều này là do hàm dưới dấu tích phân về trị /•+-*. tuyệt đổi không lán hơn hàm |/(t)| và tích phân / \f(t)\(U. hội tụ (định lý 13.3.1*3 và định lý 13.3.2*2 và chú thích cuối tiet*13.2). Còn dáng điệu 50 Chương 13. Tích phán phụ thuộc Utambịén^ dần về không có thể thấy dược do bố đề Ri man mớ rộng (xem 13.4.1.2) và chú ý eiz = cos z + i sin z. 3) Giá sử I n/(i ) với ti là số nguyên, là hàm tuyệt đói khả tích trên (-oe; +oo). Khi đó hàm fịx) có các đạo hàm /(*),/'(*),/"(*), ...,/»(x) dần về không khi X —> ±oo . Thực vậy, dễ chứng minh được rằng ta có thế đạo hàm tích phán (13.4.2.1) được dưới dấu tích phân và ta có f {x) = ~ựrì k = 1.2,3,...,n,... (13.4.2.2) Các tích phân này cũng hội tụ đều đối với ì vì theo già thiết các tích phân /+OC 1/(0**1*. fc = 0,l,2,...,n,... •oe đều hội tụ. Ngược lại, ta có ị) Nếu hàm f(x) và các đạo hàm liên tiếp cho tới cấp n - Ì của nó dần vê không khi X -> ±oo, còn đạo hàm /(x) tuyệt đối khả tích trong (-oo; +oo) thì ta có lim xnị(x) = 0. Điều này có thế thấy ngay được từ biểu thức hx)=-h ỌĩỴ í_yn)[t)eixtdt (i3AầẩỊ mà ta có thế thu được bằng cách tích phân từng phần n lần Hệ thức (13.4.2.3) có thế viết (-l)"(i*r/(s) = ~ Ị*~fMựrf*đí. Điều này chứng tỏ Jun^fịx) = 0. Hơn nữa vế phái chính là 3Ư(n) (*)). còn vế trái là (íi)"5F(/(x)), vậy ta có í1 3 4.2.4) 13.4-3- Tích chập (đọc ihêm) 51 13.4.3. Tích chập Đinh nghĩa 13.4.3-1 Ta gọi tích chập của hai hàm Ị và g và ký hiên nó là Ị * g là tích phân f(r)g(x - r)dr = / f(x - T)g{T)dr. -oe J-oe (13.4.3.1) Định lý 13.4.3*1. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm khả vi tùng khúc trong mọi đoạn hữu hạn Ịa;6Ị, giới nội và tuyệt đói khả tích trong (—oo;+oo). Khi đó ta có TU * g) = ựtor(f)?(g). (13.4.3.2) Do tính khá vi từng khúc và tuyệt đối khá tích trong (-00; +oo) cùa f(x) và g(x) nên ta suy ra f{r)g(x - T) cũng khá vi từng khúc và tuyệt đối khả tích trong (-oo;+oo). Xét 1 /•+<* 1 r+oo y/^nDHg) = ^-7K= ị Ỉ^yiztàt-J= \ 9(r)e-^dr = y/27ĩ J-OO V*T •/-oe = -4= / nt)e-Mdt / g(T - t)e-^r-Mr -t) = v27T J-oc J-ao = f(t)dt g(T-t)e-"Tdr. (13.4.3.3) J-ao J-ao /+oo f(t)g(T - t)e~izTdr hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trong •oe mọi đoạn hữu hạn cùa í, nên dê kiểm chứng được có thế tráo đối thứ tự tích phân ớ vế cuối cùng cùa (13.4.3.3) và ta có >/ãữW(s) = -4= / f(t)dt / g{r - t)e-iZTdT = V2-7T J-ao J-oo = -4= / e-"rdT / f(t)g(r - t)dt = •ựỉir J-ao J-oo = ụ= Ị e~ÌZTư * 9)(r)dr = Hỉ * 9). 52 Chương 13. Tích phân phụ thuộc thạrnjịển_ (13.4.3.2) đã được chứng minh. Thí dụ í. Tìm biến đổi Phua ri ê cùa hàm /(ì) = e' k z với k > 0. Đế cho gọn, ta dùng ký hiệu Ồ*M = exp(h(x)). ta có F{e-kxl) = -4= / exp {-ki2 - izt) di = v27T ỉ—ao -à£>Ị>+â)'*(&)>- =^-(-ẳ)/:>[-(^)> Làm phép thế biến í = v/fcí + ^ự=. ta được £>[-(*• á)>-à n--'* Nhưng ta có (xem (13.3.3.9)) /+rK l ì e-z dí = ựĩỉ. - oe Cuối cùng, ta được ^-^ = 7ằrxp(-ẩ)^=^rề- (l:u:ul Biển đổi Phua ri ê thông thường được áp dụng đế giải một sổ các bái toán phương trình đạo hàm riêng xét trong miền vô hạn. bằng cách đưa lồ phương trình vi phân thưòng, chằng hạn như trong thí dụ sau đây Thí du 2. Tim nghiệm giới nội cùa phương trình du lõ2ù !,.,.„ Ã trong miên t > 0, -oe < x< +oo và thoa mãn điều kiện sau 13.Ậ-3. Tích chập (đọc thêm) 53 u(i,0) m /2ir ri thì với chú ý công thức (13.4.3.2), hệ thức (13.4.3.10) có thể viết /+oo ộ(z)ĩ>(z)eizxdz = T-l(VỸHộ^) = -oo = ^- 1^*V ) = (v*^)(ar). Vậy đế giải bài toán (13.4.3.5)-(13.4.3.6), vấn đề còn lại chi còn là tìm i>{x). Ớ (13.4.3.4), ta đã thấy VŨ hay ,a ^(v/ãbe-**2) = e~4*. (13.4.3.12) (13.4.3.11) cho ta F{ự2nrp(x)) = é"" 2-2'. Vậy ta có thể chọn a2t = —, tức Jfc = —Ịr-. do đó 4fc 4a 2í 0(x) = ^-=6 4Ĩ*Ĩ. 2av7ft Từ đó Ì /-+0 0_ U-TÝ u(x,t) = (y*V)(g) = / e ~4^~s?(T)dT. 2a\/lĩt J—oa Dây chính là công thức Poát xông cùa bài toán Cô si cùa phương trình truyền nhiệt mà ta gặp trong các giáo trình phương trình đạo hàm riêng Phép biến đối Phua ri ê thường được sứ dụng đế nghiên cứu các bài toán đối với miền vô hạn (—oo < X < +oo). Đối với các bài toán nứa vô hạn (0 < X < +oo), người ta thường dùng các phép bưu đồi PhUa ri Ị hoặc phép biến đồi Phua ri é sin. Ta có báng cos 13.4-3- Tích chặp (đọc thèm) 55 Bảng các biến đổi Phua ri ê /(*) f(*)=r(f) 1 í 1 nếu —6 < X 0 X2 + az r ì nếu 0 < X 0) nếu X > 0 Ị 0 trong các phần còn lại 6 í eoxnếu b < X < c Ị 0 trong các phần còn lại 7 í eí 0 1nếu -6 < X 0 1 sĩ ; e 4a V2a lo sin ai . „, — (a > 0) X nếu |z| < a 0 nếu Ịí| > a 56 Nội dung cần chú ý trong ch ự ợ lụi IU Tưang tự báng nói trên, trong một số các báng khác người ta đã tính toán sẵn một số các phép biến đối Phua ri ê, Phua ri ê cos. Phua ri ê sin cua một số các hàm thường gặp và thiết lập nên những báng ánh và ánh ngược cùa các phép biến đổi vừa nêu đối với các hàm ấy đế tiện sử dùng. Nội dung cần chú ý trong chương 13 Chương này là một chương quan trọng về mặt lý thuyết đói vói c ác sinh viên ngành Toán. Nó tổng quát hóa các khái niệm về sự hội tụ đều trong các trường hợp khác nhau. Ta có ba trường hạp 1) Dãy hàm hội tụ đều trên ịa;b] lu lò) s„(x)ì±ị s(x). ri —* + TC 2) Tích phân phụ thuộc tham biến (cận vô hạn) hội tụ (lều trên M r i |c;dj f+-x. / f(x,t)dxEị / f(x,t)dx. Ja !f—>+ac J ti 3) Tích phân phụ thuộc tham biến (cận hữu hạn, hàm không giới nội ờ lân cận X = b) hội tụ đều trên [c; dị ri ịc;d] /•* / f(x,t)dxE=Ệ / f(x,t)dx. ưa JỊ —>b Ja Cả ba triràng hạp ấy đều có thể coi là trường hạp riêng cạa khái niệm hàm F(T,ỊJ) hội tụ đều trên [a;b]. ịaM F(x,y)EEị*(x) với Sự tương ứng trong bàng ờ trang sau Chẳng hạn trong hàng thứ ba ta coi Ị f(x, t)dx là F(x,.(/) trong đó J a (í, í) tuông ứng với (x,y). t € [c;d] ttrong ứng với X € [à; bị và í -> +O0 tương ứng với y -> yo- Tương tự đối với các triràng hạp còn lại. Định lý 13.1.2*2 tồng quát hóa các tiêu chuẩn hội tụ đền 12.1.2*2 cạa dãy hàm s*(x), và tiêu chuẩn hội tụ đều 13.3.1*2 cạa tích phim phụ Nội dung cằn chú ý trong chương Ĩ3 57 thuộc tham biến / f(x,t)dx. Tương tự đối vói các định lý 13.1.3*1 Ja về qua giới hạn, các định lý 13.1.5*1 và 13.1.6*1 về tích phân và đạo hàm qua giới hạn mà bạn đọc có thể tự đối chiểu được. F(x,y) X M I V Vo Sn{x) X [oi 5] n +00 s(x) ỉ f(x,t)dx Ja ỉ f(x,t)dx J a Ì M í + 0O /•+«- / f(x,t)dx ưa t M í b ỉ f(x,t)dx J ti Trong tiết 13.1. ta khảo sát sự hội tụ đều cạa hàm F(i,y) khi y -> yo, việc qua giới hạn cạa hàm F(x,y), sự liên tục cạa hàm giới hạn lim F(x,y), tích phân (lua giới hạn và đạo hàm qua giới hạn cạa hàm F(x, y) khi y -> y0. Trong tiết 13.2. ta nhắc lại các két. quả đả được khảo sát ờ chương 9 vê sự liên tục, tính khả vi và khả tích cùa tích phân phụ thuộc tham biến với cận hữu hạn. Trong tiết 13.3. ta khảo sát sự hội tụ đều cùa tích phân suy rộng r+oo phụ thuộc tham biến / f(x, t)dx, sự liên tục, tích phân dưới dấu tích J a phân, đạo hàm dirới dấu tích phân cạa tích phân suy rộng nói trên. Cụ thể, ta có định nghĩa và 6 định lý quan trọng sau đây Định nghĩa 13.3.1-1. Tích phân suy rộng PTTB r+oo '(*)= / ỉ(xj)dx 58 Nội dung cằn chú ý trong chương^ được gọi là hội tụ đầu trên [c;đ\ nếu nó là giới hạn hội tụ đêu cùa hàm ri f(t,i) = Ị f(x,t)dx trên [c;d] khi £ -+ +00. Nói cách khác tương đưcmg với MI F(U) =4 lự). Ve > 0,3JV(fr),V£ > W(e),Vf e [c;d] => Ị y f{x,t)dx < e. ì. Tiêu chuẩn Cô si Đinh lý 13.3.1*2. Diều kiện cần và đủ đề tích phân suy rộng PTTB I(t)= í f(x,t)dx J a hội tụ đêu trên [c; dị là rí" Ve > 0,3N(e),VỆ',S" > N(e)yt e M I ỉ Ị{x,t)dx < £. l i . Định lý về qua giới hạn dưới dấu tích phân suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*1. Giả sử 1) Với mắi í e [c;d], hàm ỉ{x,t) liên tục theo X trong [n; f 00) 2) Tích phân suy rộng PTTB lự) = / Ị{x,t)dx J a hội tụ đầu trên [c;d\. Nội dung cằn chú ý trong chương 13 59 3) Với môi đoạn hữu hạn [a;íỊ c Ịa;+oo), hàm f(x,t.) hội tụ đều trên [a;£] tới hàm giới hạn g(x) khi í -> ío e ịc;đị, cụ thể f(x,t)Eịg(x). t-ita Khi đó thì a) Ị g{x)dx hội tụ. a b) lim / f{x,t)dx= / g(x)dx Nói cách khác lim t-»to r+°° Ị Ị f(x,t)dx= / lim f(x,t)dx. Ja ưa III . Định lý về sự liên tục theo tham biển cạa tích phân suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*2. Giả sử 1) f(x,t) liên tục trong miền [a\ +oo) X [c\đị, 2) Tích phân suy rộng PTTB f(x, t)dx hội tụ đầu trên [c; dị. Khi đó I(t) là hàm liên tục đối với t trên [c; dị. IV. Đinh lý về tích phân dưới dấu tích phân suy rông PTTB (một tích phân có cận vô hạn) Định lý 13.3.2*3. Giả sứ 1) /(x,í) liên tục trong miền [a; +oo) X [c;d], 2) Tích phân suy rộng PTTB 60 Nôi dung căn chú ý trong chương 13 hội tụ đầu trên [c; dị. Khi đó, /(í) tò một hàm khả tích trên \c.\d\ và Ị I(t)dt = y+"^d/(.T,í)d/^ dx nghĩa là fd p+oo f+oo rá ị dt Ị f(x,t)dx= / át Ị f(x,t)dt. (13.3.2.3) Jc Ja Ja Jc V. Định lý về tích phân dưới dấu tích phân suy rông PTTB (hai tích phân có cân vô han) Định lý 13.3.2*4. Giả sử 1) Hàm f(x,t) liên tục trong miền [o;+oo) X Ịc;+oo), y+õty 2) ị f{x,t)dx hội tụ đều trên mọi đoạn hữu hạn [c\T]\ của biến t. }+•*• 3) Ị f(x, t)dt hội tụ đầu trên mọi đoạn hữu hạn [o;í| cùa trì Én X. 4) Tồn tại một trong hai tích phán lập Ị dx / 1/(1,OI*; / di / \ỉ(x,t)\dr. da J c J c J tí Khi đó, các tích phân sau tòn tại và chúng bằng nhau / di Ị f(x,t)dt= / dt Ị f(x,t)dx. (13.3.2.4) J a J c J c Ja VI. Đinh lý về đao hàm dưới dấu tích phân suy rông PTTB Định lý 13.3.2*5. Già sử 1) ĩ(-r.t) và —(.r.t) IÌCTI tục trong [«; +00) X [c;fiỊ. fi) ị í{jj)d.v hội tụ đổi với mọi t G \c;d\. J (Ì Nội dung cằn chú ý tĩvng chương 13 BI 3) Ị -r~(x, t)dx hội tụ đều theo t trên ịc:đ\. J a Ót Khi đó, tích phân lít) = ị ~f{x,t)dx J a là hàm khả vi trên ịc: d\ và Nói cách khác, ta có d r+°° /•+°°ô/ ị j f(x,t)dx = Ị ^(x,t)dx. (13.3.2.8) Các tích phán suy rộng phụ thuộc tham biến thường Rập nhất trong các áp dụng là hàm Bê ta, hàm Găm ma, tích phân Thua ri ê và biến đổi Phua ri ê. Hàm Bê ta đưạc định nghĩa là tích phân suy rộng B(u,v) = ỉ - r)'-\lx khi u > 0, tì > 0. (13.3.3.1) Đối với hàm này ta có cóng thức truy hồi Bịu,v) = —— :TB{u,v- 1) khi' (> Ì >0. (13.3.3.2) u 4 l> - Ì Với m,7f nguyên (dương), ta có _ („-!)!(,» Ị)! B{m,n) = —— ——. (ni + ri 1)! Hàm Găm ma được định nghĩa là tích phân suy rộng n o = / .!•' :( •'. Biến đôi Phua ri ẽ cùa hàm /(x) và đạo hàm cạa nó liên I,,-, v( jj nhau bới hệ thức sau = («)"*•(/(*)). (13.4.2.4) Bài tập chương 13 63 Biến đổi Phua ri ê thường được sử dụng để đưa các bài toán phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn về các bài toán phương trình vi phân thường dễ giải hom. Nêu cũng xét các bài toán tương tự nhưng trong miền mVa vô hạn thì thay thế cho biến đổi Phim ri ê, người ta thường dùng các biến đổi Phim ri ê cos ỉc(z) = \lzl f{t)cosztd1 (13.4.1.25) hoặc biến đối Phua ri ê sin /s(2) = ^jí /(í) sin ztdt. (13.4.1.27) Bài táp 1) Chứng minh hàm _x2 F(x,y) = e y* +x i€(0;l) y jt 0 khi y -» 0 hội tụ không đều trong khoảng (0; 1) về hàm giới hạn cùa nó. 2) Chứng minh các hàm a) F(x,y) = arctg- IẼ(0;1), Ỉ/G(0;1). b) F(x,y) =-^—Ị .re(0;l), »€(0:1), khi y -ị 0 hội tụ không đều trong khoảng (0; 1) tới hàm giới hạn cạa nó. X - ĩ 3) Xét hàm F(x, y) = -e y, xe [0:1], ye(0;l). y Chứng minh Hl2n / F(x>y)dx í í ỉnnF(x,y)dx. 4) Cho yk với y > 0, Ả; > 0. a) Với giá trị nào cạa k thì F{x,y) hội tụ đều trên đoạn [0; 1] khi y -> +0? b) Vái giá trị nào cạa k thì /•1 x _ X2 rỉ T X2 lim / -re ỹĩdx = lim -7-e Fdx? »-»+0 Vo ÍT Jo w->+° ÍT c) Từ đó trả lài câu hỏi sau Điều kiện F(x,y) hội tụ đều trên đoạn Ịo;bỊ khi ụ > Ho 1» c»n hay là đạ, hay là vừa cần, vừa đạ để ta có lim / F(x,y)dx = / lim F(x,y)rfj-? v-*i« Vu •/i/ 0 5) Cho /(x-,y) = ln(x2 + y2) và đặt F(ff) = ỉ f{x,y)dx a) Tính trực tiếp F'(0). b) Tính trực tiếp / f'Jx,0)dx. Jo c) Từ đó trả lời câu hỏi Tích phân / ln(x2 + y2)dx có thề đạo hàm dưới dấu tích phân theo Jo ụ tại Ị) = 0 không? 6) Cho hàm F(x,y) — xarctg—. Chứng minh rằng 7) Tính F'(.r) trong đó a) F(x) = ý e zyidy. b) F{x) = / e^-^dy. Jsin X 8) Tích phân / "/(•'•, ỉ/)r/T được gọi là hội tụ đều trên [c; d] nếu Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 13 65 Ve > 0, 3N(e),VA > N{e),Vu € M I * I í f(j ; ụ)<ì.r \JA < í. Hãy phạ định mệnh đề trên để phát biêu thế nào là tích phân nói trên không hội tụ đều trôn [<•; dỴĩ 9) Chứng minh các tích phân a) / ye y dx, J a b) / e~'JX sin xải-, Jo hội tụ đều trong [i/o; +oo) yo > 0 và không hội tụ đồn trong (0; +oo) 10) Xét tích phân /•+-* _ , F(y) = / c cosyxdr ụ 6 (—oo; +oo). Vo a) Chứng minh có thể tính F'(í/) bằng cách dạo hàm (lưới dấu tích phân. b) Xét mối liên hệ giữa F(y) và F'(y). Từ đó sử dụng cõng thức (13.3.3.9) ^ - 0F Vo é" 1 rfx: để tính F(Ị/). Về phần đọc thêm 1) Tim biến đối Phim ri ê cạa hàm /(.r) = e~a]xị a > 0. 2) Tìm biến đổi Phua ri è cos và Phua ri ê sin cạa hàm Ị k khi 0 < .1- < (í = ị 0 khi ì > a 3) Thử lại đề chứng; minh các công thức đã cho ừ trong l)Ang các biến đổi Plma ri é ở cuối chương. Hướng dẫn, đáp số bài tập chương 13 1) Hàm giới hạn $(x) = X. Để chứng minh sự hội tụ không đều trong (0; 1) cạa F(x,y) tới hàm giới hạn *(x), ta phù định mệnh đê hội tụ đều, cụ thê chứng minh Seo, Vổ, 3y : 0 < ịy\ < s,3x 6 (0; 1), \F(s, y) - --r~a* > eo Thực vậy, chỉ cần chọn chàng hau eo = - và đề \F(x,y) - *(*)! = é" F > 1 cần và đù là e»- < 2 <=> 75- £ 0 = I 2b) *(x) = Ì khi X ^ 0, Chọn Eo = -, Vố, 3j/ : ũ < í/ < ỏ, 3x e (0; 1), cụ thề chọn X = y thì F(i y) = i. Nhu vậy |F(T,») - *(.r)| = ị > e0 = ỉ. 3) flF(x,y)dx - f :L, ydx__ -ỉl!e id (-7) = ỉ 0 -"*)•Vậy .Sa.jf= ỉ Mặt khác. vói * JẾ 0. ton F(*,y) = ỉ lim —e"lf = 0 w-*+0 X »-»+0 y . xem 3.3.2. phần "Nhận xét quan trọng") (do lim Xe.~x = 0, Joy\ịmoF(x,y)dx = 0. 4) Vói X = 0 thì F(0:„) = 0. còn với mỏi X cố định và X 6 (0:1), do tính giám nhanh cùa hàm (•' ị . so với 9 2 ^ moi lũy thừa cùa —5- thì lim —re ỳ* = lim í: í _ 1 -rí ụ u, J,2 „^5íoỵ* ™0I*-I Vỉ/ 2 / = 0. Vậy í>(-r) = OVx e [0; lị. Dế xét sự hội tụ đen trong '0:1! lùn súp F(x,y) mà trong trường hạp này là lim max F( r ĩ !L »->+0xẽ|õ:il »->+i>/êjo:i Ta Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 18 67 8F Ì -2Ỉ / x2\ X2 Ì có -7-— = —re y1 ị Ì - 2-^ ) = 0 khi -5- = ^. Từ đó lim max F(x,y) = dx yk \ y / V2 2 v->+Oxe[0;i] Ì Ì ỉ la;6] lim -7-T-7=e_2 = 0 khi và chỉ khi k < 1. Vây F(x,y)zzí *(x) khi K-++0 Ị/*-1 v/2 y-n-0 0 < Jfc < 1. Hơn nữa, ta có Vậy {0 khi k<2 ị khi Jk = 2 2 +00 khi Ả; > 2 Ngoài ra / lim —re ỹ* dx = I 0 di = 0. Vậy í1 X -x* fl X - *2 lim / -re ỹĩdx= / lim —re y*dx khi và chỉ khi 0 < k < 2 v~*+° Jo V Jo v-*+° V c) Từ kết quả trên ta suy ra điều kiện hội tụ đều cạa hàm dưới dấu tích phân chỉ là đạ để có thể chuyển dấu lim từ ngoài tích phân vào trong tích phân. Khi Ì < k < 2. mặc dù hàm dưới dấu tích phân không hội ' tụ đều, nhưng vẫn có thể chuyển dấu lim từ ngoài tích phân vào trong I tích phân. ỉ1 0 I 1 5) F(0)= / ìnx2dx = 2ịxhix-x] ị =-2 . lo F(y) = [\n(x2 + y2)dx = x\n(x2 + y2) ị1 - 2 p-^L-dx Jo. lo J0 X2 + y2 ịxìn(x2 + y2) - 2x + 2yarctg- 1 r = ln(l + y2) - 2 + 2t/arctgì. V vj '0 ỉ/ V+ (0) = lim ỈM^M = Um m±ĩ ă + 2arctg ỉ ) = , T Ị/A+o ý y-++0 Vỉ / ý/ Tương tự Fi(0) = -lĩ. Vậy không tồn tại F'(0). Nhưng ta lại có f'y(x,0) = 0, y 4(x,0)di = 0. Vậy không thể đạo hàm dưới dấu tích phân theo y hàm tại y = 0. 6) lim F(x y) = -X »-»0 2 68 Hướng dân và dày số bài tập chưưnfíJ3 •2 nên — (lim F(j!,»)ì I = ị . Mặt. khát- ^(x,y) »«•*•'*„ í/j- \.« 'li / lj-=o 2 2.r2.y -JLĩ- Vậy TTT^ i/) 6>F — 0 và lim -^-(j-.y) 0. tức 4 (lim/'(.,-, I / lim ^(.r, „) Ị Ta) /•"(.<•) = í/j- vã "ó ) \s ư ti »0 ớ.r l.r li - / •'«%/?/f 2.rp p-'". Tb) F'(.r) - / «J V Ì ỊiHy J r J sin r -sinxr' 1^"' 1 ros.r<"r|c™J"1. 8) 3e0 > 0,VN,Mk > iV..ltfi c M , \l "í(x,uu)dx : Mít eo. Nói cách khác Ị /(x,y)rfj- hội tụ không đêu trên le;'/] khi và chỉ khi Ui* I 9a) Có thể coi n = 0. Với (/ e [y0; +oo) ta có F(í, í/) = ^ y yzdx •• - l i e~ "rd(-Ị/r) = Ì --' -> 1. Han nữa í !/<• •"rí/.r Ị./c) e-í/f < ẹ-aof. Chọn JV đù lán sao cho p-*1" < £• thì khi í > JV, Vy Ẽ rí MO < e, Do (ló tích phân / ị "'di Jo hội tụ đều khi .1/ c [.Vo: -f oo). Bây già xét Ị) 6 (0; +oo). Để chứng /•+•*• minh tích phân / ỊỊii ỵTdx không hội tụ đều khi Ị) e (0: +oo), ta cân in chỉ ra tồn tại Co > 0, một (láy 0 —> +oo và một dãy 1/A c (0;+oo) sao cho í .VA-'- • 5( ) Điều này tháy ngay đitơr nếu ta ( hon to 2'f 0 0(tùy ý), còn Í/A chọn sao l iu, Ị/fc£t < ln'2. 9b) Ta có F(;/) í (•""•'• sin ./•(/./• e (/sin í ,„ S (. |í lo .'/- Ì re """