Từ Xác Định Đến Bất Định - Những Câu Chuyện Về Khoa Học Và Tư Tưởng Của Thế Kỷ 20 - Francis David Peat full mobi pdf epub azw3 [Tham Khảo]

" Từ Xác Định Đến Bất Định - Những Câu Chuyện Về Khoa Học Và Tư Tưởng Của Thế Kỷ 20 - Francis David Peat full mobi pdf epub azw3 [Tham Khảo] 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Từ Xác Định Đến Bất Định - Những Câu Chuyện Về Khoa Học Và Tư Tưởng Của Thế Kỷ 20 - Francis David Peat full mobi pdf epub azw3 [Tham Khảo] Ebooks Nhóm Zalo Từ Xác Định Đến Bất Định IX of Tủ Sách Tri Thức Mới Francis David Peat Tri Thức (2021) TỦ SÁCH TRI THỨC MỚI FRANCIS DAVID PEAT TỪ XÁC ĐỊNH ĐẾN BẤT ĐỊNH Những câu chuyện về khoa học và tư tưởng của thế kỷ 20 Phạm Việt Hưng dịch NHÀ XUẤT BẢN TRI THỨC ebook©tudonald78 | 31-07-2021 Ebook này được thực hiện theo dự án “SỐ HÓA SÁCH CŨ” của diễn đàn TVE-4U.ORG TÁC GIẢ －－－－－－－－ FRANCIS DAVID PEAT (1938-2017) David Peat là nhà vật lí nghiên cứu về chất rắn và lí thuyết lượng tử. Hiện ông là giáo sư tại Viện Nghiên cứu tích hợp California, ủy viên Viện hàn lâm Nghệ thuật và Khoa học. Ông là tác giả của hơn hai mươi cuốn sách, tiêu biểu như cuốn Những lối mòn của sự thay đổi (Pari Books, 2006), Từ tất định tới bất định (Joseph Herry Press, 2006)... Trong Từ tất định tới bất định, David Peat đã kiểm tra sự khác biệt cơ bản về triết học giữa tất định, yếu tố tiêu biểu cho suy nghĩ của nhân loại suốt thế kỉ 19 và sự sụp đổ của nó trong thế kỉ 20. Thế kỉ 19 đã được đánh dấu bởi sự lạc quan vô bờ bến và sự tự tin vào sức mạnh của công nghệ. Những nhà vật lí thời đó tin rằng vũ trụ là một cơ chế đồng hồ khổng lồ có chức năng hoạt động tuân theo những nguyên tắc cứng nhắc mà hoàn toàn có thể dự đoán được. Năm 1900, Chủ tịch Hiệp hội Hoàng gia Anh đã tuyên bố rằng tất cả mọi thứ quan trọng đều đã được khoa học phát hiện. Tuy nhiên, điều này đã không tồn tại quá lâu trước khi những hạt giống của một cuộc cách mạng khoa học mới bắt đầu bén rễ. Thuyết lượng tử và thuyết tương đối đã chứng minh một nghi ngờ rằng kiến thức của chúng ta hoàn toàn không đầy đủ và sự giới hạn vốn có cũng con người trong việc dự đoán và kiểm soát thế giới xung quanh. －－－－－－－－ LỜI NHÀ XUẤT BẢN Nhà xuất bản Tri thức trân trọng giới thiệu cuốn Từ xác định đến bất định - Những câu chuyện về khoa học và tư tưởng của thế kỷ 20 của tác giả F. David Peat. Chúng tôi cũng xin lưu ý bạn đọc rằng đây là sách tham khảo, phản ánh hoàn toàn quan điểm của tác giả, chủ yếu dành cho những người làm công tác nghiên cứu. Để đảm bảo tính khách quan cũng như sự tôn trọng tính toàn vẹn của tác phẩm, chúng tôi xin được giới thiệu đầy đủ đến bạn đọc. Chúng tôi tôn trọng, nhưng không nhất thiết đồng tình với quan điểm, cách tiếp cận và lí giải riêng của tác giả về các vấn đề được đề cập đến trong cuốn sách. Chúng tôi mong độc giả đọc cuốn sách này như một tài liệu tham khảo với tinh thần phê phán và khai phóng. Xin chân thành cảm ơn! －－－－－－－－ LỜI NÓI ĐẦU Tôi biết gì? (Que sais-je?) Montaigne N ăm đầu tiên của một thế kỉ luôn luôn xuất hiện những điều tốt lành. Năm 1900 không phải là một ngoại lệ. Người Mỹ chào đón năm này với ba chữ “P”: Peace (Hoà bình), Prosperity (Thinh vượng), và Progress (Tiến bộ). Đó là một cực điểm hội tụ nhiều thành tựu nổi bật, và với niềm tin mạnh mẽ hướng tới một thế kỉ của những tiến bộ nối tiếp. Thế kỉ 20 sẽ là thế kỉ của sự hiểu biết chắc chắn và xác định. Nhưng trớ trêu thay, nó lại kết thúc trong bất định, mơ hồ và hoài nghi. Cuốn sách này gồm những câu chuyện nói lên sự thay đổi đó, đồng thời nói lên sự chuyển biến căn bản trong nhận thức của nhân loại. Cuốn sách này cũng cho rằng mặc dù thiên niên kỉ mới có thể không còn chắc chắn và xác định nữa, nhưng nó vẫn sẽ tạo ra một tiềm năng mới của sự tăng trưởng, thay đổi, khám phá và sáng tạo trên mọi nẻo đường của cuộc sống. Ngày 27 tháng 4 năm 1900, Lord Kelvin, nhà vật lí xuất sắc và là Chủ tịch Hội Hoàng gia Anh, trong khi diễn thuyết tại Học viện Hoàng gia, đã dõng dạc trình bày về “vẻ đẹp và tính trong sáng của lí thuyết động lực học”. Cuối cùng thì những lí thuyết vật lí của Newton đã được mở rộng để thâu tóm lấy toàn bộ vật lí, bao gồm cả nhiệt học và quang học. Về mặt bản chất thì tất cả những gì có thể biết cũng đã được biết, ít nhất là trên nguyên tắc. Ngài chủ tịch có thể hướng tới thế kỉ mới với một niềm tin hoàn toàn chắc chắn. Lí thuyết của Newton về chuyển động đã được nhiều thế hệ các nhà khoa học thừa nhận. Nó giải thích mọi thứ từ quỹ đạo của các hành tinh cho tới những đợt thuỷ triều, sự rơi của quả táo, đường đạn đạo… Hơn nữa, trong vài thập kỉ trước, James Clerk Maxwell đã thiết lập một lí thuyết xác định về ánh sáng. Kết hợp lí thuyết của Newton với lí thuyết của Maxwell, dường như người ta có thể giải thích được mọi hiện tượng trong toàn bộ vũ trụ vật lí. Tuy nhiên, năm mở đầu thế kỉ 20 cũng thể hiện cho chúng ta thấy sự trớ trêu. Năm 1900 là một năm ổn định và vô cùng tự tin. Nó chứng kiến sự củng cố và tổng kết của nhiều thắng lợi trong khoa học, công nghệ, kĩ thuật, kinh tế và ngoại giao. Như Thượng nghị sĩ Chauncey Depew tại New York đã nói: “Không một ai ở đây là không cảm thấy những gì mình đạt được trong năm 1900 đều lớn gấp 400% so với năm 1896, lớn hơn về tri thức, về niềm tin, và về tinh thần yêu nước”. Đức Giám mục Newell Dwight Hillis cũng nói: “Luật pháp đang trở nên công bằng hơn, các điều khoản mang tính nhân văn hơn, âm nhạc đang trở nên ngọt ngào hơn và sách vở cùng thông thái hơn”. Nhưng đúng vào lúc đó thì những nhà tư tưởng, nhà phát minh, nhà khoa học, nghệ sĩ, và những người mơ mộng, bao gồm Max Planck, Henri Poincaré, Thomas Edison, Guglielmo Marconi, Nikola Tesla, anh em nhà Wright, Bertrand Russell, Paul Cézanne, Pablo Picasso, Marcel Proust, Sigmund Freud, Henry Ford, và Herman Hollerith lại nhận thức rằng tư tưởng và các phát minh sẽ biến đổi toàn bộ thế giới. Năm 1900 là năm đèn flash chụp ảnh được phát minh và tiếng nói lần đầu tiên được truyền đi bằng radio. Arthur Evans tìm thấy bằng chứng của nền văn minh Minoan1. Hợp chủng quốc Hoa Kì lấy vàng làm tiêu chuẩn giá trị của tiền tệ. Một khi Tiêu chuẩn Vàng (Gold Standard) được chấp thuận và thực hiện thì liệu còn có cái gì có thể có giá trị cao hơn giúp củng cố niềm tin vào tương lai của thế giới? Năm 1900 cũng là năm cực điểm của một giai đoạn bùng nổ các khám phá. Hai năm trước đó, vợ chồng Curie khám phá ra radium và J.J. Thomson khám phá ra electron (điện tử). Von Linde hoá lỏng không khí và aspirin đã được phát minh. Máy chiếu phim đầu tiên của Edison kết hợp với băng từ ghi âm đã đánh dấu sự ra đời của thời đại điện ảnh. Nhờ những phát minh của Nikola Tesla trong việc biến đổi dòng điện, thành phố Buffalo đã nhận được điện sản xuất ra từ thác Niagara. Công tước von Zeppelin đã chế tạo được khinh khí cầu. Đường xe điện ngầm ở Paris ra đời, trong khi London đã chứng kiến những chiếc xe bus đầu tiên. Năm 1902, việc truyền dữ liệu bằng điện thoại và điện tín được thực hiện, và những tấm ảnh đầu tiên được tái hiện bằng điện tín đã được truyền đi. Năm 1900 cũng chứng kiến sự liên kết giữa Hội nghị Liên đoàn Thương mại Anh với Đảng Lao động Độc lập, động thái mà cuối cùng đã dẫn tới sự thành lập một thể chế phúc lợi xã hội. Với giấc mơ về sự cải thiện xã hội như thế, mọi người dường như thật sự tin tưởng rằng tương lai sẽ đưa đến cho họ một hệ thống nhà cửa tốt hơn, một nền giáo dục tốt hơn và các dịch vụ chăm sóc sức khỏe tốt hơn. Tình trạng vô gia cư sẽ là vấn đề của quá khứ. Những ai bị mất công ăn việc làm chỉ cần thắt lưng buộc bụng một chút, họ sẽ được hỗ trợ bởi chính sách phúc lợi và sẽ không còn phải đối mặt với những gian nan, khổ sở nữa. Châu Âu cũng trải qua một cảm giác tuyệt vời về tính ồn định trong năm 1900. Nữ hoàng Victoria, người đã trị vì từ năm 1837, vẫn đang ngự trên ngai vàng. Bà được xem như “Bà nội của châu Âu”, vì các cháu nội của bà lúc này là một phần của châu Âu phong kiến. Thật vậy, tất cả các vua và hoàng hậu ở châu Âu, kể cả gia đình hoàng gia Nga, là một bộ phận của một dòng họ quốc tế duy nhất do nữ hoàng Victoria nắm quyền tối cao. Vì lẽ đó, các nhà ngoại giao tin rằng sẽ không bao giờ có chiến tranh bên trong châu Âu nữa. Ngày 18 tháng 5 năm 1889, theo đề nghị của Bộ trưởng Ngoại giao của Sa hoàng Nicholas II, hai mươi sáu quốc gia đã gặp nhau tại The Hague để họp hội nghị hoà bình đầu tiên trên thế giới. Tại đó, các quốc gia đã thành lập Toà án Quốc tế để làm trọng tài trong các vụ tranh kiện giữa các quốc gia. Hội nghị đã đặt ra ngoài vòng pháp luật các tội đầu độc bằng khí gas, ám sát bằng đạn, thả bom từ khinh khí cầu. Chiến tranh và các xung đột quốc tế sẽ chỉ còn là những vấn đề của quá khứ. Bản thân thế giới tự nó chuyển động hướng tới một thế kỉ vàng mới, trong đó khoa học và công nghệ sẽ được sử dụng để phục vụ nhân loại và hoà bình. Tuy nhiên, khi người ta hướng tới một tương lai vàng, họ không nên quên vai trò của thói tự phụ hỗn xược. Những dự đoán của chúng ta thường quay trở lại ám ảnh chúng ta. Điều đặc biệt trớ trêu là chính vào thời điểm đó, năm 1900, tư tưởng và các công trình nghiên cứu đã bắt đầu lộ ra những yếu tố sẽ làm thay đổi thế giới, biến đổi xã hội của chúng ta và bản thân chúng ta một cách sâu sắc đến mức không thể dự đoán được. Những hạt mầm nhỏ bé được gieo trồng để rồi sẽ bùng nổ theo một hướng không thể dự đoán được, đó là gì vậy? Năm 1900, Max Planck công bố công trình đầu tiên của ông về lượng tử, chàng thành niên Albert Einstein tốt nghiệp Đại học Bách khoa Zurich, Thụy Sĩ, và một năm sau, Werner Heisenberg ra đời. Ba nhà vật lí này sẽ tạo nên một cuộc cách mạng vĩ đại trong khoa học hiện đại. Năm 1900, Henri Poincaré tiếp tục nghiên cứu những khó khăn kĩ thuật vô cùng sâu xa và khó hiểu2 liên quan đến cơ học Newton. Hơn nửa thế kỉ sau, những nghiên cứu này đã dẫn tới sự bùng nổ của lí thuyết hỗn độn (Chaos Theory). Năm 1904, các nhà thiên văn chăm chú theo dõi việc khai trương những ống kính viễn vọng trên đỉnh núi Wilson. Trong những thập kỉ tiếp theo, Edwin Hubble, sử dụng những dụng cụ này, đã khám phá ra rằng thực ra vũ trụ rộng lớn hơn rất nhiều so với người ta tưởng trước đó, và hơn thế nữa, vũ trụ đang tiếp tục dãn nở. Năm 1900 cũng là năm các nhà sinh học tái khám phá ra công trình của Gregor Mendel, một thầy tu giữa thế kỉ 19 không được mấy ai biết đến. Bị phớt lờ bởi cộng đồng khoa học cùng thời, Mendel đã khảo sát cách thức di truyền các đặc trưng thể chất của những loại cây đậu khác nhau trong vườn khi chúng được lai tạo với nhau. Liệu ai có thể đoán trước một cách chính xác rằng đúng một thế kỉ sau kể từ việc tái khám phá ra cơ sở di truyền gene nói trên, khoa học đã công bố việc hoàn tất Dự án hệ thống gene người (The Human Genom Project)3? Cũng trong năm đó (1900), người ta đã chứng kiến việc công bố cuốn Giải thích Giấc mơ (Interpretation of Dreams) của Sigmund Freud. Giàu lí lẽ hơn hẳn so với cuốn sách nói về giấc mơ thời nữ hoàng Victoria (một cuốn sách xu nịnh điển hình bởi sự thần thánh hoá và huyền bí hoá), cuốn sách của Freud đã chứng minh rằng giấc mơ là “con đường đế vương dẫn tới vô thức”, và đã chỉ ra rằng cuộc sống tỉnh thức của chúng ta bị ràng buộc bởi tính phi luận lí (irrationality) của vô thức. Cái vô thức đó chứa đựng một tiềm năng dẫn tới tính cách bạo lực và tính phi luận lí của con người, mà điều này đã được chứng minh nhiều lần một cách quá rõ ràng trong suốt thế kỉ 204. Vào cuối thế kỉ 19, Percival Lowell đã sử dụng tài sản của ông để lập một đài quan sát riêng tại Flagstaff, Arizona, với mục tiêu khám phá cuộc sống trên Sao Hoả. Ý tưởng này đã tạo cảm hứng cho H. G. Wells, năm 1900, viết nên tác phẩm War of the Worlds (Chiến tranh giữa các thế giới), trong đó có những hình ảnh huỷ diệt hàng loạt đối với chủng tộc người trên trái đất. Nhưng mỉa mai thay, trong thực tế, khả năng huỷ diệt toàn cầu trong thế kỉ 20 đã không xảy ra bởi giống người màu xanh nhỏ bé đến từ Sao Hoả, mà bởi những vũ khí do chính con người chế tạo ra nhằm hủy diệt hàng loạt. Năm 1900 là năm nhà triết học trẻ Bertrand Russell được nghe bài diễn thuyết hấp dẫn của Giuseppe Peano trong một hội nghị ở Paris5. Bài diễn thuyết này đã tạo cảm hứng mạnh mẽ đối với Russell đến nỗi ông đã nguyện hiến dâng toàn bộ đời mình cho công trình tìm kiếm một hệ thống toán học và triết học tuyệt đối chắc chắn và xác định. Câu chuyện về Chiếc chén Thánh toán học6 (Mathematical Holy Grail) này cuối cùng bị đổ vỡ ra sao sẽ làm nên nội dung chủ yếu của Chương 2. Năm 1900, cảm hứng từ những bài viết của John Ruskin, Marcel Proust đã tới thăm Venice. Ông quyết định từ bỏ cuốn tiểu thuyết ông đang viết để tìm kiếm những cách thức mới nhằm thể hiện sự đối mặt của “con người” với cái vĩnh cửu. Ông dồn sức vào một công trình bậc thầy, và cuối cùng đã viết nên một trong những tác phẩm văn chương vĩ đại nhất của thế kỉ 207. Đó cũng là năm mà chàng thanh niên mười tám tuổi James Joyce, sau khi có bài báo đầu tiên được công bố, đã có những quyết định hết sức quan trọng dẫn đến sau này trở thành một nhà văn của mọi thời đại. Cùng trong năm đó, Picasso có cuộc triển lãm đầu tiên và đã có một chuyến du lịch tới Paris - sự kiện này sẽ dẫn tới một hệ quả sâu sắc đối với nghệ thuật thế kỉ 20. Năm 1900 cũng là năm Paul Cézanne thực hiện những nghiên cứu tìm tòi nổi tiếng về ngọn núi Sainte-Victoire. Những tác phẩm của ông tại đó đã tạo nên một hiệu ứng cách mạng trong hội hoạ, và hơn thế nữa chúng còn tạo ra một sự hoài nghi mới khi ông nêu lên những câu hỏi nghi vấn đối với tính xác định của cái thế giới mà ông nhìn thấy. Trước năm đó, Henry Ford đã thành lập hãng xe Detroit, hãng xe đã chế tạo ra chiếc Model T nổi tiếng làm thay đổi xã hội Mỹ. Thêm vào đó, phát minh của Ford về quá trình sàn xuất hàng loạt dựa trên hệ thống dây chuyền lắp ráp giúp người ta có thể hiểu được phần nào tại sao khi anh chàng trẻ tuổi Henry rời bỏ trang trại của cha mình chỉ có một phần tư người Mỹ sống ở thành phố, thì đến khi ông mất, có hơn nửa dân Mỹ sống ở thành phố. Năm 1900, cả nước Mỹ chỉ có 8.000 chiếc ôtô với 150 dặm đường được trải nhựa. Ngày nay, số ôtô ở Mỹ vào khoảng 100 triệu. Vài năm trước đó, năm 1896, Herman Hollerith đã sáng lập công ty Tabulating Machine với mục đích tăng nhanh việc xử lí dữ liệu bằng cách sử dụng một hệ thống thẻ đục lỗ. Năm 1911, tên công ty được đổi thành International Business Machines (IBM). Các bóng đèn chân không trong radio được phát minh (năm 1904). Hai cấu kiện vật lí đó cộng với hạ tầng thương mại đã sẵn sàng chuẩn bị cho sự ra đời của cuộc cách mạng computer. Cùng năm ra đời công ty Tabulating Machine Company của Hollerith, Henri Becquerel khám phá ra tính phóng xạ của uranium. Vài thập kỉ sau, trong khi nghiên cứu hiện tượng Becquerel, nhà khoa học Đức Otto Hahn nhận ra rằng nguyên tử có thể bị vỡ đôi8. Khi các nhà khoa học Mỹ nắm được kiến thức về quá trình phân rã này, họ đã thuyết phục Einstein viết thư cho Tổng thống Roosevelt đề nghị tiến hành chế tạo bom nguyên tử, vì lo sợ các nhà khoa học của Đức quốc xã sẽ chế tạo trước. Vì thế đã mở ra một kỉ nguyên nguyên tử, và cùng với nỏ là khả năng huỷ diệt mọi sự sống trên trái đất. Trong khi thế kỉ 20 đã khởi đầu bằng cái xác định chắc chắn thì nó lại kết thúc bằng cái bất định hỗn độn. Không bao giờ chúng ta còn có thể có một niềm kiêu hãnh về trí tuệ của chúng ta như hồi đầu thế kỉ 20 nữa! Trong niềm say mê đến cuồng dại đối với khoa học và công nghệ, chúng ta đã đánh giá quá cao khả năng của mình trong việc điều khiển và kiểm soát thế giới xung quanh. Chúng ta đã bỏ quên sức mạnh xung lực của tư duy phi luận lí (vô thức). Chúng ta đã quá tự hào với những thành tựu tri thức, quá tự tin vào khả năng của chúng ta, quá bị thuyết phục rằng nhân loại sẽ bước những bước dài trên trái đất giống như thần thánh. Ngày nay, chúng ta đã khôn ngoan hơn và thận trọng hơn. Chúng ta đã biết hoài nghi những kế hoạch lớn và những hứa hẹn toàn cầu. Chúng ta thận trọng xem xét những đề xuất chung chung của các chuyên gia và các nhà chính trị. Chúng ta thưởng thức chủ nghĩa lạc quan vô giới hạn với một nhúm muối mặn. Trên hết, chúng ta muốn một thế giới tốt đẹp hơn cho chúng ta, cho con em chúng ta, và cho con em của con em chúng ta. Chúng ta đã hiểu ra rằng những người bình thường cũng có thể có tiếng nói. Chúng ta sẽ không để cho cuộc sống của chúng ta trở nên mù quáng bởi bàn tay của các nhà chính trị và các tổ chức. Chúng ta đòi hỏi được nghe, và chúng ta biết rằng tiếng nói của chúng ta có thể đạt được hiệu quả. Bây giờ chúng ta hãy trở lại với thế kỉ 20 một cách chi tiết hơn và hãy tìm hiểu những con đường khác nhau mà trong đó cái xác định đã bị tan biến thành cái bất định. Mỗi chương nối tiếp sẽ nói với chúng ta một điều gì đó về cái bất định trong thế giới của khoa học, nghệ thuật, kinh tế, xã hội và môi trường. Mỗi chương sẽ bổ sung thêm một tầng mới vào lớp những câu hỏi phức tạp tăng lên không ngừng: Tôi là ai? Tôi biết cái gì? Là con người nghĩa là thế nào? Pari, Italy, 2002 Chương 1 BẤT ĐỊNH LƯỢNG TỬ N ăm 1900, ngài Kelvin đã nói về thắng lợi của vật lí, đồng thời cho biết lí thuyết về chuyển động của Newton đã được mở rộng ra sao để thâu tóm lấy các hiện tượng về ánh sáng và nhiệt. Diễn văn của ông tiếp tục đề cập tới “hai đám mây” vẫn còn che phủ “tính đẹp đẽ và trong sáng” của lí thuyết: Đám mây thứ nhất liên quan tới cách ánh sáng truyền qua không gian, đám mây thứ hai là vấn đề năng lượng được phân phối đều giữa các phân tử rung động. Tuy nhiên, lời giải đáp do Kelvin đề xuất lại hoàn toàn đi chệch khỏi mục tiêu. Trớ trêu thay, cái mà Kelvin coi là hai đám mây ở chân trời thực ra lại là những quả bom tấn sắp tạo nên những vụ nổ lớn trong vật lí thế kỉ 20. Đó là thuyết tương đối và thuyết lượng tử, cả hai lí thuyết này đều chứa đựng một điều gì đó liên quan tới ánh sáng. Ánh sáng, theo những nhà vật lí như Kelvin, là một dao động sóng, và giống như mọi dao động sóng khác, nó phải tuân theo những định luật về chuyển động của Newton. Nhưng các nhà vật lí lập luận rằng sóng phải dao động trong một cái gì đó. Và do đó, họ cho rằng không gian không thể trống rỗng mà phải được lấp đầy bởi một “chất keo kì dị” được gọi là “ether truyền ánh sáng”. Nhưng điều này có nghĩa là tốc độ của ánh sáng đo được trong các phòng thí nghiệm trên mặt đất - tốc độ của dao động sóng truyền qua ether - phải phụ thuộc vào tốc độ và hướng chuyển động của Trái đất trong ether. Vì Trái đất chuyển động quanh Mặt trời nên hướng chuyển động này luôn thay đổi, và do đó tốc độ ánh sáng đo được theo một hướng cho trước cùng sẽ biến thiên tuỳ thuộc vào thời gian trong năm. Vì vậy, các nhà khoa học cho rằng họ sẽ phát hiện ra sự thay đổi của tốc độ ánh sáng đo được tại những thời điểm khác nhau trong năm. Nhưng những thí nghiệm cực kì chính xác đã chứng tỏ điều đó không xảy ra. Bất kể Trái đất chuyển động theo hướng nào trong cái nền không gian giữa các vì sao xa xôi, tốc độ ánh sáng vẫn không thay đổi. Bí mật này của ánh sáng và sự tồn tại hoặc không tồn tại của ether chỉ được giải quyết ổn thoả bởi thuyết tương đối hẹp của Einstein, trong đó chỉ ra rằng tốc độ của ánh sáng là một hằng số, độc lập với việc bạn hoặc nguồn sáng đang chuyển động nhanh chừng nào. Đám mây thứ hai trên chân trời của Kelvin, tức cách thức năng lượng được chia sẻ bởi các phân tử dao động, lại liên quan tới một vấn đề khác còn gay cấn hơn nhiều - vấn đề bức xạ phát ra từ một vật nóng. Trong trường hợp này, lời giải đòi hỏi phải có một cuộc cách mạng về tư duy cũng triệt để như thuyết tương đối, đó chính là thuyết lượng tử. Bohr và Einstein Thuyết tương đối được khám phá bởi một bộ óc duy nhất - bộ óc của Albert Einstein9. Tuy nhiên, thuyết lượng tử lại là sản phẩm của một nhóm các nhà vật lí làm việc trên tinh thần cộng tác rộng rãi, trong đó nhà vật lí Đan Mạch Niels Bohr được xem như nhà lãnh đạo về mặt triết học của họ. Như thực tế đã diễn ra, cuộc giằng co giữa cái xác định và bất định - vấn đề tạo nên nội dung cốt lõi của cuốn sách này - không thể hiện ở đâu rõ hơn trong quan điểm về lĩnh vực vật lí lượng tử của hai biểu tượng vĩ đại của thế kỉ 20: Einstein và Bohr. Lần theo con đường tư duy của hai nhân vật này, chúng ta có thể khám phá ra điều chủ yếu trong cuộc đoạn tuyệt vĩ đại giữa cái xác định và cái bất định. Hình 1.1. Albert Einstein (1879-1955) và Niels Bohr (1885-1962) Khi hai nhân vật trên tranh luận với nhau trong suốt những thập kỉ đầu tiên của thế kỉ 20, họ đã say sưa vì chân lí đến nỗi Einstein nói rằng ông cảm thấy quý mến Bohr. Tuy nhiên, khi cả hai đã có tuổi, sự khác biệt về lập trường riêng đã trở thành một chướng ngại không thể vượt qua đến nỗi họ không còn gì để nói với nhau nữa. Nhà vật lí Mỹ David Bohm có lần đã kể lại chuyến ghé thăm Princeton của Bohr sau Thế chiến II. Trong dịp đó, nhà vật lí Eugene Wigner đã bố trí một cuộc tiếp đón Bohr có Einstein tham dự. Trong suốt cuộc tiếp đón, Einstein và các sinh viên của ông ngồi về một phía trong căn phòng, Bohr và các cộng sự ngồi ở phía bên kia. Sự rạn nứt này đã xảy ra như thế nào? Tại sao, với niềm say mê tìm kiếm chân lí mà họ đã từng chia sẻ, tinh thần trao đổi cởi mở giữa hai nhân vật này cuối cùng lại tan vỡ? Câu trả lời sẽ thâu tóm phần lớn lịch sử vật lí thế kỉ 20 và liên quan chủ yếu tới sự trật khớp giữa cái xác định và cái bất định. Sự đổ vỡ mối quan hệ giữa hai người liên quan tới một trong những nguyên lí sâu sắc nhất của khoa học và triết học - bản chất nền tảng của hiện thực. Muốn hiểu điều này ra sao, chúng ta phải đối mặt với một trong những biến đổi vĩ đại trong nhận thức của mình về thế giới, một bước nhảy vọt mang tính cách mạng vượt xa bất kì điều gì mà Copernicus, Galileo, hay Newton đã làm. Để khám phá xem điều đó xảy ra như thế nào, trước hết chúng ta phải làm một cuộc hành trình xuyên qua vật lí thế kỉ 20. Tương đối tính Tên tuổi của Einstein gắn liền một cách phổ biến với tư tưởng cho rằng “mọi thứ đều tương đối”. Ngày nay, từ ngữ “tương đối” đã được sử dụng với rất nhiều liên tưởng khác nhau. Chẳng hạn, các nhà xã hội học nói đến “Thuyết tương đối về văn hoá” (Cultural relativism), với ý rằng cái mà chúng ta coi là “hiện thực” chẳng qua là một kiến tạo xã hội xét trên bình diện rộng, và rằng các xã hội khác xây dựng nên hiện thực của chúng theo những phương cách khác nhau. Vì thế, họ lập luận rằng “khoa học phương Tây” không bao giờ có thể coi như một sự giải thích tuyệt đối khách quan về thế giới, bởi vì nó đã bị đặt hoàn toàn vào bên trong tất cả những giả định mà nền văn hoá ấy thừa nhận. Một số người cho rằng khoa học cũng chỉ là một trong nhiều câu chuyện có giá trị ngang nhau mà một xã hội tự tạo dựng để gán cho cấu trúc của câu chuyện đó một căn cứ đáng tin cậy; tôn giáo là một câu chuyện khác trong số đó. Trong việc sử dụng từ ngữ “tương đối” và “thuyết tương đối”, chúng ta đã đi xa khỏi ý định nguyên thuỷ của Einstein. Tất nhiên, lí thuyết của Einstein nói với chúng ta rằng thế giới sẽ biểu lộ khác nhau đối với những người quan sát đang chuyển động với vận tốc khác nhau hoặc đang ở trong những trường hấp dẫn khác nhau. Ví dụ, đối với một người quan sát mà chiều dài bị co lại thì đồng hồ sẽ chạy với một tốc độ khác, và các vật hình tròn sẽ có dạng ellipsoid. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là bản thân thế giới là hoàn toàn chủ quan. Các định luật của tự nhiên ẩn dưới vẻ bề ngoài tương đối và là như nhau đối với mọi người quan sát, bất kể là họ đang chuyển động nhanh chừng nào hoặc đang ở đâu trong vũ trụ. Einstein tin chắc vào sự tồn tại của một hiện thực hoàn toàn khách quan đối với thế giới, và như chúng ta sẽ thấy, chính tại điểm này Einstein đã tách khỏi cuộc đồng hành với Bohr. Có lẽ cần bổ sung ở đây một ghi chú rõ ràng hơn, vì từ ngữ “tương đối” bao gồm hai lí thuyết. Năm 1905, trong thuyết tương đối hẹp được nhiều người biết đến, Einstein quan tâm đến các hiện tượng biểu lộ khác nhau như thế nào đối với những người quan sát đang chuyển động với tốc độ khác nhau. Ông cũng chỉ ra rằng không có một khung quy chiếu tuyệt đối trong vũ trụ để làm căn cứ đo lường mọi tốc độ. Tất cả những gì người ta có thể nói chỉ là tốc độ được đo lường bởi một người quan sát này so với một người quan sát khác. Vì thế, mới có thuật ngữ “tương đối tính”. Ba năm sau, nhà toán học Herman Minkowski đọc diễn văn trước Hội nghị lần thứ tám mươi của các nhà khoa học và vật lí Đức ở Cologne. Diễn văn của ông mở đầu bằng những lời nổi tiếng: “Từ nay trở đi khái niệm không gian biệt lập, thời gian biệt lập sẽ bị tan biến dần vào bóng tối, và chỉ có một dạng liên kết hai khái niệm đó mới phản ánh đúng hiện thực khách quan”. Nói cách khác, thuyết tương đối hẹp của Einstein ngụ ý rằng không gian và thời gian được thống nhất trong cùng một nền tảng bốn chiều được gọi là không-thời gian. Lúc này, Einstein bắt đầu cân nhắc xem lực hấp dẫn đóng vai trò như thế nào trong lí thuyết của ông. Kết quả được công bố năm 1916 đã trở thành thuyết tương đối tổng quát của nhà khoa học này (khi đó, lí thuyết trước đây chỉ là một trường hợp đặc biệt được áp dụng khi không tính đến trường hấp dẫn). Thuyết tương đối tổng quát cho thấy vật chất và năng lượng tác động tới cấu trúc của không-thời gian và làm cho không-thời gian bị cong ra sao. Hơn nữa, khi một vật đi vào một vùng không-thời gian cong thì tốc độ của nó sẽ bị thay đổi. Đặt một quả táo vào trong một vùng của không-thời gian, nó sẽ chuyển động gia tốc, giống như một quả táo rơi từ trên cây xuống mặt đất. Nhìn từ phối cảnh của thuyết tương đối tổng quát, lực hấp dẫn tác động lên quả táo này chẳng khác gì hiệu ứng của một vật chuyển động qua không-thời gian cong. Trong trường hợp này, độ cong của không-thời gian được tạo ra bởi khối lượng của trái đất. Bây giờ, chúng ta hãy trở lại vấn đề tính khách quan trong một thế giới tương đối. Hãy tưởng tượng có ba nhóm nhà khoa học, một nhóm đang ở trên mặt đất, một nhóm khác ở trong phòng thí nghiệm đang chuyển động gần với vận tốc ánh sáng, và nhóm thứ ba ở gần một hố đen. Mỗi nhóm sẽ quan sát và đo đạc các hiện tượng khác nhau với những sự biểu lộ khác nhau, tuy nhiên những định luật căn bản mà họ rút ra về vũ trụ sẽ tương tự nhau trong cả ba trường hợp. Đối với Einstein, những định luật này hoàn toàn độc lập với trạng thái của người quan sát. Đó là ý nghĩa sâu sắc trong khám phá vĩ đại của Einstein. Đằng sau tất cả các hiện tượng là những định luật của tự nhiên, và hình thức của những định luật này, biểu thức toán học gọn đẹp nhất của chúng, là hoàn toàn độc lập với bất kì người quan sát nào. Mặt khác, tuy các hiện tượng là những biểu lộ của những đính luật căn bản đó, nhưng chúng chỉ biểu lộ trong những tình huống và khung cảnh riêng biệt. Do đó, trong khi các hiện tượng biểu lộ bề ngoài khác nhau đối với những người quan sát khác nhau, thuyết tương đối cho phép các nhà khoa học diễn dịch hoặc biến đổi một hiện tượng này thành một hiện tượng khác, và do đó lại quay trở về với một sự giải thích khách quan đối với thế giới. Vì vậy, đối với Einstein, tính xác định của một hiện thực đơn lẻ nằm ẩn đằng sau tính đa dạng bên ngoài. Tính tương đối cũng phần nào giống như việc đi lại giữa các quốc gia và việc đổi tiền từ đô la sang pound, franc, yen hoặc euro. Bỏ qua lệ phí ngân hàng, số tiền là hoàn toàn như nhau, chỉ có hình thức vật chất bề ngoài của số tiền đó (mệnh giá đồng đô la xanh hoặc pound, yen, euro, v.v.) là thay đổi. Cũng tương tự như việc một ý kiến phát biểu ở Mỹ có thể dịch ra nhiều thứ tiếng khác nhau cùng một lúc. Với mỗi thứ tiếng, âm thanh trình bày ý kiến đó rất khác biệt nhưng ý nghĩa căn bản của nó vẫn như nhau. Cũng vậy, chúng ta có thể phát biểu những hiện tượng quan sát được bằng nhiều ngôn ngữ khác nhau, nhưng ý nghĩa cơ bản tạo nên nguồn gốc của những diễn dịch đa dạng đó sẽ tương ứng với các định luật khách quan của tự nhiên. Hiện thực căn bản này hoàn toàn độc lập với bất kì một người quan sát riêng biệt nào. Einstein cảm thấy nếu vũ trụ không vận hành theo cách đó thì đơn giản là nó sẽ không còn có ý nghĩa gì cả, và ông sẽ từ bỏ nghiên cứu vật lí. Do đó đối với Einstein, bất chấp khái niệm “tương đối”, vẫn có một sự xác định chắc chắn cụ thể về thế giới, và tính xác định này nằm trong những định luật toán học của tự nhiên. Chính tại điểm căn bản nhất này mà Bohr đã tách khỏi cuộc đồng hành với Einstein. Bức xạ của vật đen Nếu Einstein bênh vực quan điểm về một hiện thực khách quan và độc lập thì lập trường của Niels Bohr là gì? Bohr là một nhà tư tưởng cực kì tinh tế và những luận văn của ông về thuyết lượng tử thường bị hiểu lầm, ngay cả với những nhà vật lí chuyên nghiệp! Để tìm hiểu xem quan điểm của Bohr về tính bất định và tính lập lờ nước đôi hình thành ra sao, chúng ta phải quay lại năm 1900, tới bài toán của Kelvin về vấn đề năng lượng được phân phối như thế nào giữa các phân tử và thậm chí tới một vấn đề gay cấn hơn, liên quan tới vấn đề bức xạ của vật đen. Một bông hoa, một bộ quần áo, hoặc một bức tranh có màu sắc là vì chúng hấp thụ ánh sáng tại những tần số nhất định trong khi phản xạ ánh sáng ở những tần số khác. Tuy nhiên, một bề mặt thuần đen sẽ hấp thụ toàn bộ ánh sáng chiếu vào nó. Nó không ưu tiên màu sắc nào hơn hoặc tần số nào hơn. Cũng như vậy, khi bề mặt đen đó ấm hơn vùng xung quanh, nó sẽ bức xạ năng lượng ra khỏi nó, và trong trạng thái màu đen, nó bức xạ tại mọi tần số có thể có, không có sự ưu tiên. Khi các nhà vật lí cuối thế kỉ 19 sử dụng lí thuyết của họ để tính toán xem có bao nhiêu năng lượng đã được phát đi, thì số lượng mà họ tính toán được, khốn thay, lại là vô hạn. Rõ ràng đây là một sai lầm, nhưng không ai có thể khám phá ra chỗ sai trong lí thuyết cơ bản này. Giữa thế kỉ đó10, nhà vật lí người Scotland, James Clerk Maxwell, đã mô tả ánh sáng dưới dạng sóng. Các nhà vật lí đã biết cách tính toán ra sao với những làn sóng trên đại dương, sóng âm thanh trong phòng hoà nhạc, và sóng tạo ra khi-bạn vẩy một sợi dây thừng buộc cố định tại đầu bên kia. Sóng có thể có độ dài bất kì, với một dải vô hạn các cấp độ tăng dần liên tục. Chẳng hạn trong trường hợp âm thanh, bước sóng - khoảng cách từ một đỉnh sóng tới đỉnh tiếp theo - càng ngắn bao nhiêu thì tần số càng cao bấy nhiêu, bởi vì khoảng cách giữa các đỉnh sóng càng ngắn bao nhiêu thì trong một khoảng thời gian cho trước càng có nhiều đỉnh sóng đi qua một điểm cá biệt bấy nhiêu, như đi qua tai của bạn chẳng hạn. Điều đó cũng đúng đối với ánh sáng: Những bước sóng dài nằm về phía đỏ của quang phổ, trong khi ánh sáng xanh được tạo ra bởi sóng có tần số cao hơn và bước sóng ngắn hơn. Tương tự như sóng âm thanh và sóng nước, sóng ánh sáng bức xạ từ một vật đen được thừa nhận là có mọi bước sóng và tần số có thể có; nói cách khác, ánh sáng có một số vô hạn các bước sóng với cấp độ tăng dần liên tục từ một bước sóng này tới bước sóng tiếp theo. Với cách suy nghĩ đó, một đại lượng vô hạn đã lọt vào trong các tính toán rồi dẫn tới kết quả nghịch lí là một số năng lượng vô hạn đã được bức xạ. Lượng tử Năm 1900, Max Planck đã tìm ra lời giải cho bài toán này. Ông đề xuất ý kiến cho rằng không thể có mọi tần số và bước sóng, bởi vì năng lượng ánh sáng chỉ phát đi theo những số lượng rời rạc được gọi là lượng tử (quanta). Thay cho những bức xạ liên tục phát đi từ một vật nóng là những bức xạ hữu hạn, gián đoạn theo từng loạt lượng tử. Hoàn toàn bất ngờ, vấn đề bức xạ của vật thể đen đã được giải quyết, cánh cửa một lĩnh vực hoàn toàn mới đã được mở ra: thuyết lượng tử. Trớ trêu thay, Einstein lại là nhà khoa học đầu tiên áp dụng tư tưởng của Planck. Ông lập luận rằng nếu năng lượng ánh sáng được cấu tạo dưới dạng những gói nhỏ, hoặc những lượng tử, thì khi ánh sáng đập vào bề mặt của kim loại, nó sẽ giống như những viên đạn bé tí xíu làm bật các electron ra khỏi kim loại. Trên thực tế, đây chính là cái đã được quan sát trong “hiệu ứng quang điện”, nguyên lí căn bản nằm đằng sau những điều kì diệu của công nghệ như “con mắt thần” (magic eye). Khi bạn đứng ở ô cửa ra vào của một chiếc thang máy, bạn sẽ ngăn cản một chùm ánh sáng được dự kiến sẽ đập vào một tế bào quang điện. Chùm ánh sáng này bao gồm những lượng tử ánh sáng, hoặc photon, sẽ làm bật các electron ra khỏi nguyên tử của chúng và bằng cách đó sẽ tạo ra một dòng điện tác động vào một chiếc rơle để khép cửa. Nhưng vì bạn đứng ở cửa ra vào nên bạn sẽ ngăn cản chùm ánh sáng này và do đó cánh cửa sẽ không đóng lại được. Hình 1.2. Chân dung Max Planck (1858-1947) Bước quan trọng tiếp theo trong việc phát triển lí thuyết lượng tử xảy đến vào năm 1913 nhờ chàng thanh niên Niels Bohr, người đã nêu lên ý kiến cho rằng chẳng riêng gì ánh sáng, mà cả năng lượng của các nguyên tử cũng bị lượng tử hoá. Điều này giải thích vì sao, khi các nguyên tử phát ra hoặc mất năng lượng dưới dạng bức xạ, năng lượng do một nguyên từ bị đốt nóng phát ra sẽ không liên tục, mà bao gồm một loạt tần số rời rạc, biểu hiện như những vạch rời rạc của phổ nguyên tử. Cùng với đóng góp của Werner Heisenberg, Max Born, Erwin Schrodinger và một số nhà vật lí khác, lí thuyết lượng tử đã được tập hợp thành hệ thống. Và đó cùng là lúc tính bất định thâm nhập vào phần trung tâm cốt lõi của vật lí. Tính bổ sung Giống như thuyết tương đối đã giảng giải rằng các đồng hồ có thể chạy với những tốc độ khác nhau, độ dài có thể co lại, và một cặp song sinh có thể già đi với tốc độ khác nhau trong những cuộc hành trình khác nhau, lí thuyết lượng tử cũng đem đến nhiều khái niệm mới rất lạ lùng và kì quặc. Một trong số đó là tính hai mặt sóng-hạt. Trong một số tình huống, một electron chỉ có thể được phát hiện nếu nó “ứng xử” như một sóng di chuyển khắp không gian. Trong những tình huống khác, một electron lại được phát hiện như một hạt bị giam hãm bên trong một khu vực không gian rất nhỏ. Nhưng làm thế nào mà một cái gì đó lại có thể vừa có mặt ở khắp nơi nhưng đồng thời cũng bị đặt vào một vị trí đơn độc trong không gian? Niels Bohr đã nâng tính hai mặt lên thành một nguyên lí phổ quát mà ông gọi bằng thuật ngữ “tính bổ sung” (complementarity). Ông lập luận, cách mô tả phiến diện rằng “đây là một sóng” hoặc “đây là một hạt” không bao giờ đủ để mô tả hết mọi khía cạnh phong phú của một hệ lượng tử. Các hệ lượng tử đòi hỏi những mô tả bổ sung chồng chất lên nhau mà khi làm điều đó cùng một lúc sẽ xuất hiện nghịch lí hoặc thậm chí mâu thuẫn. Lí thuyết lượng tử mở ra cánh cửa đối với một kiểu logic mới về thế giới. Bohr tin rằng nguyên lí bổ sung mang tính tổng quát hơn rất nhiều so với sự mô tả phiến diện đối với bản chất của electron. Tính bổ sung, ông cảm thấy, là cơ sở đối với nhận thức của con người và đối với cách thức mà tư duy hoạt động. Mãi cho tới trước thế kỉ 20, khoa học vẫn bám vào tính xác định của logic theo kiểu Aristotle: “Một sự vật/sự việc chỉ có thể là A hoặc không-A (phủ định của A)”. Bây giờ, một khái niệm mới đã thâm nhập vào thế giới trong đó một cái gì đó có thể “vừa là A vừa là không-A”. Đáng lẽ phải tạo ra những phương pháp mô tả thế giới một cách toàn diện hoặc vẽ ra một bản đồ duy nhất thâu tóm được mọi đặc trưng của thế giới bên ngoài, khoa học trước đó chỉ tạo ra một loạt bản đồ thể hiện từng đặc trưng riêng biệt, các bản đồ không bao giờ chồng lên nhau cùng một lúc. Tính ngẫu nhiên và bất hợp lí trong tự nhiên Nếu nguyên lí bổ sung làm rung chuyển niềm tin ngây thơ của chúng ta vào tính đơn nhất của các đối tượng khoa học vật chất thì tư tưởng về tính xác định lại gặp một cú sốc khác khi tính ngẫu nhiên chiếm lĩnh một vai trò mới. Chẳng hạn, chúng ta hãy suy nghĩ về khám phá của Marie Curie về radium. Nguyên tố này có tính phóng xạ, có nghĩa là hạt nhân của nó không bền vững và tự vỡ đôi ra hoặc “phân rã” thành nguyên tố radon. Các nhà vật lí biết rằng sau 1.620 năm thì số radium nguyên thuỷ chỉ còn lại một nửa - thời gian này được gọi là nửa cuộc đời của nó. Sau 1.620 năm nữa thì còn lại một phần tư, và cứ tiếp tục như thế. Nhưng thời điểm phân rã của một nguyên tử cá biệt thì hoàn toàn ngẫu nhiên - nó có thể phân rã sau một ngày, hoặc vẫn tồn tại sau khoảng 10.000 năm. Kết quả nói trên tương tự như vấn đề bảo hiểm nhân thọ. Các nhà bảo hiểm có thể tính toán tuổi thọ trung bình của những người không hút thuốc và uống rượu là sáu mươi, nhưng họ không thể biết bao giờ một người sáu mươi tuổi nào đó sẽ chết. Tuy nhiên có một sự khác biệt rất lớn. Dù cho một người sáu mươi tuổi không biết giờ chết của mình, nhưng chắc chắn cái chết của người ấy sẽ là hậu quả của một nguyên nhân cụ thể - một cơn đau tim, một tai nạn giao thông, hoặc một tiếng sét bất thình lình… Tuy nhiên, trong trường hợp phân huỷ phóng xạ, không có nguyên nhân nào cả. Không có định luật nào của tự nhiên xác dịnh khi nào thì một sự kiện như thế sẽ xảy ra. Tính ngẫu nhiên lượng tử là tuyệt đối. Xét một ví dụ khác là quy luật may rủi của trò chơi roulette (tại các sòng bạc). Quả cầu đập vào chiếc bánh xe quay tròn và cứ bị va đập như thế cho đến phút cuối cùng nó dừng lại ở một con số nào đó. Trong khi chúng ta không thể dự đoán được kết quả chính xác, chúng ta vẫn biết rõ tại mỗi thời điểm đều có một nguyên nhân cụ thể, một va chạm cơ học làm cho quả cầu chuyển động về phía trước. Nhưng vì hệ thống này quá phức tạp để có thể xem xét tất cả các yếu tố liên quan của nó – tốc độ của quả cầu, tốc độ của bánh xe, góc độ chính xác mà quả cầu đập vào bánh xe, v.v. - và đây cũng chính là những quy luật may rủi chi phối trò chơi này. Giống như vấn đề bảo hiểm nhân thọ, tính may rủi là một cách biểu thị khác nhằm nói rằng hệ thống này quá phức tạp để chúng ta có thể mô tả được. Trong trường hợp này, sự tình cờ ngẫu nhiên là một giới hạn đối với sự không hiểu biết của chúng ta. Nhưng sự thể hoàn toàn khác trong thế giới lượng tử. Tính ngẫu nhiên lượng tử không phải là giới hạn đối với sự không hiểu biết của chúng ta, mà là một đặc trưng vốn có. Không có lượng kiến thức bổ sung nào có thể cho phép khoa học dự đoán được thời điểm một nguyên tử cá biệt sẽ phân rã, bởi vì chẳng có gì “gây ra” sự phân rã này, ít nhất theo nghĩa quen thuộc về một cái gì đó bị đẩy, kéo, hoặc hút, đẩy. Tính ngẫu nhiên trong thuyết lượng tử là tuyệt đối và không thể đơn giản hoá được. Biết rõ hơn về nguyên tử cũng chẳng bao giờ xoá bỏ được đặc tính này. Tính ngẫu nhiên nằm trong phần cốt lõi của vũ trụ lượng tử. Đây là một chướng ngại lớn đầu tiên, một sự chia rẽ lớn đầu tiên giữa Bohr và Einstein, vì Einstein không tin rằng “Chúa chơi trò may rủi với vũ trụ”. Einstein: Nhà vật lí cổ điển cuối cùng Ngay cả hiện nay, một nửa thế kỉ sau khi Einstein mất, vẫn còn quá sớm để chúng ta đánh giá vị trí của ông trong khoa học. Trên một so phương diện, tầm vóc của ông có thể sánh với Newton, người đã nối tiếp Galileo để sáng tạo nên nền khoa học kéo dài tới hai trăm năm. Ông đã tạo nên những lí thuyết tổng hợp vĩ đại đến mức ông có thể ôm lấy toàn bộ vũ trụ. Một số nhà lịch sử khoa học cũng gán cho Newton vai trò của thầy pháp cuối cùng, một người đứng một chân trong thế giới tư tưởng thời Trung cổ còn chân kia đứng trong khoa học duy lí. Newton đã từng dấn sâu vào giả kim thuật (alchemy) và từng tìm kiếm “Vật chất Linh diệu” (Catholick Matter)11. Ông có đức tin sâu sắc vào một nguyên lí duy nhất thống nhất tất cả mọi nguyên lí. Einstein cũng vậy, là người tạo ra cuộc cách mạng khoa học về tương đối tính cũng như tạo ra những bước tiến đầu tiên vào thuyết lượng tử, ông được nhiều người nhìn nhận như nhà vật lí cổ điển vĩ đại cuối cùng. Cũng như Shakespeare, những tư tưởng lớn như Newton và Einstein xuất hiện để định hướng một thời đại theo cả hai chiều tư duy, một chiều nhắm tới tương lai, một chiều quay về truyền thống tư tưởng của quá khứ. Khi Einstein nói về “Chúa lòng lành” như một vị Chúa không chơi trò súc sắc với vũ trụ, ông không ám chỉ một vị chúa giống như con người mà ám chỉ một vị “Chúa của Spinoza”, hoặc như Newton, ám chỉ một nguyên lí thống nhất bao trùm lên toàn bộ thế giới tự nhiên. Vũ trụ đối với Einstein là một sáng tạo thần thánh và do đó nó phải có ý nghĩa, nó phải hợp lí và có trật tự. Nó phải được thiết lập trên một nguyên lí sâu sắc và đẹp đẽ đầy thẩm mỹ. Cấu trúc căn bản của nó phải thỏa mãn tính đơn giản và nhất quán. Đối với Einstein, thế giới hiện thực cao xa hơn những ham muốn và khát vọng tầm thường lặt vặt của con người. Hiện thực phải có lí. Nó tự phản chiếu ở mọi cấp độ. Hơn thế nữa, “Chúa lòng lành” đã cho chúng ta khả năng thưởng ngoạn và nhận thức được một hiện thực như thế. Einstein có thể đã ngồi cùng bàn để ăn bữa chiều và thảo luận với Newton về vũ trụ, nhưng đến phút chót ông đã không thể làm một hành động tương tự như thế với Bohr. Bohr và lí thuyết lượng tử đã nói về tính ngẫu nhiên tuyệt đối. Khái niệm “ngẫu nhiên” đối với Einstein chỉ là một cách nói ngắn gọn ám chỉ sự ngu dốt, thể hiện một lỗ hổng trong lí thuyết, một sự nhiễu loạn nào đó trong thực nghiệm mà nó chưa được xem xét giải thích. Wolfgang Pauli, một hong những nhà vật lí đã đóng góp vào việc phát triển lí thuyết lượng tử, đưa ra một phản bác mạnh mẽ nhất (đối với tư tưởng về cái xác định) khi ông cho rằng vật lí phải đi tới chỗ đối mặt với cái mà ông gọi là “tính bất hợp lí trong vật chất” (the irrational in matter). Bản thân Pauli có nhiều cuộc nói chuyện với nhà tâm lí học Cari Jung, người đã khám phá ra cái mà Pauli gọi là mệt “mức độ khách quan” đối với vô thức. Nó là khách quan bởi vì cái vô thức tập thể này mang tính phổ quát và vượt qua bất kì sự kiện cá nhân và riêng tư nào trong cuộc sống của mỗi người. Cũng vậy, Pauli cho rằng giống như tâm trí đã được khám phá để có một mức độ khách quan, vật chất cũng được khám phá để có một biểu lộ chủ quan. Tính bất hợp lí, đối với Pauli, bao gồm tính ngẫu nhiên lượng tử, những sự kiện xảy ra bên ngoài giới hạn của quan hệ nhân quả và những định luật vât lí duy lí. Sự khác biệt giữa tư tưởng của Pauli về tính bất hợp lí của vật chất và tư tưởng của Einstein về hiện thực khách quan là quá rộng lớn. Cái làm cho sự khác biệt ấy không thể hàn gắn được là một yếu tố thậm chí còn mang tính bất định cơ bản hơn - liệu có tồn tại một hiện thực cơ bản ở cấp độ lượng tử hay không, liệu có tồn tại bất kì một hiện thực nào độc lập với một tác động quan sát hay không. Nguyên lí bất định của Heisenberg Sự biến mất của một hiện thực cơ bản có mầm mống trong nguyên lí bất định nổi tiếng của Werner Heisenberg. Khi Heisenberg khám phá ra cơ học lượng tử, ông nhận thấy sự diễn đạt toán học của ông bắt buộc những đặc trưng nào đó như tốc độ và vị trí của một electron không thể đồng thời xác định được. Khám phá này sau đó được gọi là nguyên lí bất định của Heisenberg. Khi các nhà thiên văn muốn dự đoán đường đi của một sao chổi, tất cả những gì họ cần làm là đo tốc độ và vị trí của nó tại một thời điểm xác định. Cho trước lực hấp dẫn và các định luật chuyển động của Newton, vấn đề đơn giản là nạp tốc độ và vị trí vào các phương trình rồi vẽ sơ đồ đường đi chính xác của sao chổi đó trong những thế kỉ sắp tới. Nhưng khi làm điều này với một electron, vấn đề trở nên hoàn toàn khác. Một nhà thực nghiệm có thể xác định rõ vị trí của nó, hoặc tốc độ của nó, nhưng không bao giờ có thể đồng thời xác định cả hai đặc trưng đó cùng một lúc mà không bị hạn chế do tính bất định hoặc sự nhập nhằng. Thuyết lượng tử chỉ ra rằng bất kể các phép đo tinh vi đến chừng nào, mức bất định không bao giờ có thể giảm đi. Điều này diễn ra như thế nào? Thì ra đó là kết quả trực tiếp từ khám phá của Max Planck rằng năng lượng, trong tất cả các dạng của nó, luôn luôn tồn tại trong các gói rời rạc được gọi là lượng tử. Điều này có nghĩa là một lượng tử không thể chia tách ra thành các thành phần nhỏ hơn. Nó không thể được phân chia hoặc san sẻ. Thế giới lượng tử là một thế giới rời rạc. Hoặc bạn có một lượng tử hoặc không. Bạn không thể có một nửa hoặc 99% của một lượng tử. Hình 1.3. Chân dung Werner Heisenberg (1901-1976) Sự thật đó ẩn chứa những ý nghĩa lạ lùng khi nó xâm nhập vào nhận thức của chúng ta về thế giới nguyên tử. Các nhà khoa học nghiên cứu thế giới xung quanh họ bằng cách thực hiện các quan sát và tiến hành các phép đo. Họ đặt câu hỏi: Một ngôi sao sáng đến mức nào? Mặt trời nóng đến mức nào? Quả táo của Newton nặng chừng nào? Một sao băng di chuyển nhanh chừng nào? Sự tham gia của lượng tử Bất kể lúc nào khi phép đo được thực hiện thì sẽ có một vài thứ được ghi lại theo một cách nào đó. Nếu không có ghi chép nào hoặc không có sự biến đổi nào xảy ra, thì có nghĩa là phép đo chưa được thực hiện hoặc chưa được ghi lại. Nói như thế có thể chưa đủ rõ, vậy chúng ta hãy xét một thí nghiệm: Đo nhiệt độ của một cốc nước. Đặt nhiệt kế vào trong nước và ghi chép mức thuỷ ngân đã dâng cao chừng nào. Khi điều này diễn ra, một phần nhiệt của nước đã được tiêu thụ để làm nóng và nở thuỷ ngân trong nhiệt kế. Nói cách khác, sự trao đổi nhiệt giữa nước và nhiệt kế là cần thiết trước khi phép đo có thể được coi là đã được ghi lại. Nhưng với vị trí và tốc độ của một tên lửa thì sao? Sóng điện từ bắn ra từ tên lửa sẽ đập vào một đĩa radar và được xử lí bởi một hệ thống điện tử. Từ những tín hiệu phản hồi này chúng ta có thể dễ dàng xác định được vị trí của tên lửa. Những tín hiệu này cũng có thể được sử dụng để khám phá xem tên lửa bay nhanh chừng nào - kĩ thuật được áp dụng ở đây là “độ dịch chuyển Doppler”, một biến đổi rất nhỏ trong tần số của tín hiệu phản hồi (Độ dịch chuyển Doppler là một hiệu ứng giống như hiệu ứng thay đổi độ cao của tiếng còi mà bạn nghe thấy khi một xe cứu thương hay xe cảnh sát chạy gần tới bạn rồi lại phóng xa khỏi bạn). Vì sóng radar bắn đi từ tên lửa nên đã xảy ra sự trao đổi năng lượng. Tất nhiên, trong tách lượng tử thành hai phần - một phần được giữ lại ở các công cụ đo lường còn phần kia được giữ lại ở đối tượng lượng tử. Nhưng điều này là bất khả. Vậy các công cụ đo lường và hệ lượng tử phải được liên kết gắn bó với nhau bởi ít nhất một lượng tử. Hơn nữa, năng lượng của lượng tử này không thể coi là không đáng kể khi so sánh với năng lượng của hệ lượng tử. Điều đó có nghĩa là bất kể lúc nào các nhà khoa học cố gắng quan sát thế giới lượng tử, họ sẽ làm nhiễu động nó. Và bởi vì luôn luôn có ít nhất một lượng tử năng lượng bị “dính líu” vào đó nên không có cách nào có thể làm cho mức độ nhiễu động này giảm thiểu. Hành động quan sát vũ trụ của chúng ta, nỗ lực gặt hái kiến thức của chúng ta, sẽ không còn thực sự khách quan nữa bởi vì trong khi tìm tòi để hiểu biết vũ trụ thì chúng ta lại làm nhiễu động nó. Khoa học hãnh diện tự coi mình là khách quan, nhưng hiện nay thế giới tự nhiên đang nói với chúng ta rằng chúng ta sẽ không bao giờ nhìn thấy một thế giới lượng tử thuần khiết, nguyên sơ và khách quan. Trong mọi hành động quan sát, chủ thể quan sát đã thâm nhập vào vũ trụ và nhất định sẽ làm nhiễu động nó. Khoa học giống như một loạt các bức ảnh cận cảnh khi người chụp quay lưng về phía mặt trời. Dù cho bạn dịch chuyển thế nào, bóng của bạn luôn luôn che phủ lên tấm ảnh. Bất kể bạn làm gì, bạn không bao giờ có thể xoá cái bóng của bạn trên đó. Nhà vật lí John Wheeler thì sử dụng hình ảnh ẩn dụ “một cửa sổ bằng kính phẳng” khi nói về khoa học. Trong hàng thế kỉ, khoa học nhìn vũ trụ như một đôi tượng khách quan, cứ như chúng ta được tách khỏi cái vũ trụ đó bởi một ô cửa kính tách lượng tử thành hai phần - một phản được giữ lại ở các công cụ đo lường còn phần kia được giữ lại ở đối tượng lượng từ. Nhưng điều này là bắt khả. Vậy các công cụ đo lường và hệ lượng tử phải được liên kết gắn bó với nhau bởi ít nhất một lượng tử. Hơn nữa, năng lượng của lượng tử này không thể coi là không đáng kể khi so sánh với năng lượng của hệ lượng tử. Điều đó có nghĩa là bất kể lúc nào các nhà khoa học cố gắng quan sát thế giới lượng tử, họ sẽ làm nhiễu động nó. Và bởi vì luôn luôn có ít nhất một lượng tử năng lượng bị “dính líu” vào đó nên không có cách nào có thể làm cho mức độ nhiễu động này giảm thiểu. Hành động quan sát vũ trụ của chúng ta, nỗ lực gặt hái kiến thức của chúng ta, sẽ không còn thực sự khách quan nữa bởi vì trong khi tìm tòi để hiểu biết vũ trụ thì chúng ta lại làm nhiễu động nó. Khoa học hãnh diện tự coi mình là khách quan, nhưng hiện nay thế giới tự nhiên đang nói với chúng ta rằng chúng ta sẽ không bao giờ nhìn thấy một thế giới lượng tử thuần khiết, nguyên sơ và khách quan. Trong mọi hành động quan sát, chủ thể quan sát đã thâm nhập vào vũ trụ và nhất định sẽ làm nhiễu động nó. Khoa học giống như một loạt các bức ảnh cận cảnh khi người chụp quay lưng về phía mặt trời. Dù cho bạn dịch chuyển thế nào, bóng của bạn luôn luôn che phủ lên tấm ành. Bất kể bạn làm gì, bạn không bao giờ có thể xoá cái bóng của bạn trên đó. Nhà vật lí John Wheeler thì sử dụng hình ảnh ẩn dụ “một cửa sổ bằng kính phẳng” khi nói về khoa học. Trong hàng thế kỉ, khoa học nhìn vũ trụ như một đối lượng khách quan, cứ như chúng ta được tách khỏi cái vũ trụ đó bởi một ô cửa kính phẳng. Nhưng thuyết lượng tử đã vĩnh viễn đập vỡ ô cửa kính ấy. Chúng ta đã tới lúc đụng chạm vào vũ trụ. Thay vì là những người quan sát khách quan của vũ trụ, chúng ta đã trở thành những kẻ tham cuộc. Kính hiển vi của Heisenberg Câu chuyện về những điều kì lạ trong thế giới lượng tử vẫn chưa kết thúc. Chúng ta còn phải tiến thêm một bước nữa - bước đi mà Einstein không bao giờ có thể chấp nhận và nó có nhiều ý nghĩa đối với chính bản chất của hiện thực. Đó là bước đi nảy sinh trong cuộc tranh luận giữa Bohr và Heisenberg về việc giải thích nguyên lí bất định. Trong những ngày đầu của thuyết lượng tử, Werner Heisenberg đã cố gắng giải thích nguồn gốc của tính bất định, đại ý như tôi đã trình bày ở các phần trên, bằng cách so sánh với việc sử dụng radar để xác định chính xác vị trí và tốc độ của một tên lửa. Trong phạm vi thế giới vĩ mô của tên lửa và sao băng, một chùm tín hiệu radar liên tục được sử dụng, còn Heisenberg thì tưởng tượng ra loại kính hiển vi lí tưởng có thể được dùng để nghiên cứu electron. Kính hiển vi này sẽ sử dụng lượng nhiễu tối thiểu - một photon hoặc một lượng tử ánh sáng duy nhất tại một thời điểm. Đầu tiên, một photon duy nhất xác định tốc độ của electron và kết quả sẽ được ghi chép lại. Tiếp theo, một photon duy nhất sẽ xác định vị trí của electron và kết quả cũng được ghi chép lại. Nhưng bằng cách xác định vị trí này, electron sẽ va đập với photon và bị thay đổi vận tốc. Theo cách loại trừ lẫn nhau, khi đó tốc độ, photon va chạm sẽ làm cho electron bị chệch khỏi quỹ đạo, do đó ảnh hưởng tới vị trí của nó. Nói cách khác, Heisenberg chỉ ra rằng, khi bạn cố gắng xác định vị trí của electron, bạn sẽ làm thay đổi tốc độ của nó và chừng nào bạn còn đo tốc độ của nó nghĩa là bạn lại làm thay đổi vị trí của electron đó. Luôn luôn tồn tại một yếu tố bất định không thể giảm thiểu liên quan tới tốc độ và vị trí.12 Heisenberg lập luận rằng tính bất định nảy sinh vì lí do trên. Đó là kết quả của những nhiễu động do chúng ta gây ra khi cố gắng tìm hiểu, khám phá thế giới lượng tử. Vì lượng tử không thể phân chia được nên tính bất định này hoàn toàn không thể tránh khỏi. Nhà vật lí Pháp Bernard D’Espagnat đã gieo thuật ngữ “một hiện thực bị che đậy” (a veiled reality) để mô tả tính chất trên. Ông nói, một cách rất tự nhiên, bản chất của hiện thực lượng tử bị che phủ và giấu giếm. Bất kể thí nghiệm của chúng ta tinh vi tới mức nào, bản chất thật sự của hiện thực này không bao giờ có thể được vén mở đầy đủ. Sự biến mất của hiện thực lượng tử Vấn đề dừng lại ở đó cho đến khi Niels Bohr bước chân vào. Trong khi những nhà vật lí như Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Erwin Schrodinger, và Max Born ra sức tìm cách trình bày lí thuyết mới bằng toán học, Niels Bohr lại suy nghĩ về ý nghĩa của lí thuyết này. Vì lẽ đó, ông đã mời Heisenberg tới Copenhagen và tranh luận với Heisenberg về ý nghĩa sâu xa của “thí nghiệm kính hiển vi” do Heisenberg thực hiện. Bohr lập luận rằng sự giải thích của Heisenberg bắt đầu bằng giả định electron thực sự có vị trí và tốc độ, và rằng hành động đo đạc một trong những đặc trưng này sẽ làm nhiễu động đặc trưng kia. Nói cách khác, Bohr chỉ ra rằng Heisenberg đã thừa nhận sự tồn tại của một hiện thực cơ bản cố định; các đối tượng lượng tử có những đặc trưng của nó - giống như các vật thể thông thường trong thế giới hằng ngày của chúng ta - và rằng mỗi hành động quan sát sẽ làm nhiễu một trong các đặc trưng đó. Bohr tiếp tục lập luận: Chính cái khởi điểm của Heisenberg đã sai khi cho rằng electron có những đặc trưng nội tại. Việc nói electron có vị trí và tốc độ chỉ có ý nghĩa trong thế giới vĩ mô. Thật vậy, những khái niệm như luật nhân quả, vị trí không gian, tốc độ, và quỹ đạo chỉ áp dụng được trong vật lí vĩ mô. Không thể “nhập cảng” những khái niệm đó vào thế giới lượng tử được. Tranh luận của Bohr mạnh mẽ đến nỗi đã thực sự làm cho Heisenberg khó chịu. Trong khi Heisenberg lập luận rằng hành động nhìn vào vũ trụ đã làm nhiễu động các đặc trưng lượng tử thì lập trường của Bohr còn tinh tế hơn nhiều. Mỗi hành động tạo ra phép đo, ông nói, là một hành vi chất vấn vũ trụ. Câu trả lời đối với câu hỏi chất vấn này phụ thuộc vào chỗ câu hỏi ấy bị trói buộc ra sao - nghĩa là, phép đo được thực hiện ra sao. Thay vì cố gắng khám phá ra một đặc trưng lượng tử căn bản, các đặc trưng chúng ta quan sát được, theo một nghĩa xác định, là sản phẩm của bản thân hành động đo đạc. Đặt câu hỏi theo cách nào thì tự nhiên bị trói vào câu trả lời theo cách ấy. Đặt câu hỏi theo cách khác thì câu trả lời sẽ khác. Thay vì làm nhiễu động vũ trụ, câu trả lời đối với một phép đo lượng tử là một hình thức đồng sáng tạo giữa người quan sát với cái được quan sát. Chẳng hạn, xét quỹ đạo của một tên lửa trong thế giới vĩ mô. Bạn quan sát tên lửa tại điểm A. Bây giờ, bạn quay đi và một lát sau hãy liếc nhìn lại tên lửa tại điểm B. Mặc dù bạn không nhìn tên lửa khi nó bay từ A đến B, nhưng hoàn toàn vẫn có ý nghĩa khi giả định rằng tên lửa đã thật sự đi qua một quãng đường nào đó từ A đến B. Bạn cho rằng tại mỗi thời điểm tên lửa có một vị trí và quỹ đạo hoàn toàn xác định trong không gian, bất chấp một thực tế là bạn không nhìn vào nó. Nhưng trong thế giới lượng tử, vấn đề hoàn toàn khác. Một electron có thể cũng được quan sát tại điểm A và sau đó, muộn hơn, tại điểm B. Nhưng trong trường hợp lượng tử người ta không thể nói gì về việc electron có một quỹ đạo từ A đến B, người ta cũng không thể nói rằng khi electron không được quan sát thì nó vẫn đang có một tốc độ và một vị trí. Hiện thực hậu hiện đại Pauli đã nói về việc vật lí cần phải đối mặt với những mức độ chủ quan của vật chất và đương đầu thẳng thắn với tính bất hợp lí của tự nhiên. Đó là lúc vật lí, trong những thập kỉ đầu của thế kỉ 20, đã lường trước được cái mà ngày nay được gọi là chủ nghĩa hậu hiện đại (postmodernism) và “cái chết của tác giả” (the death of the author). Tư tưởng trước đây trong văn học cho rằng mỗi cuốn sách hay một bài thơ có một chất lượng khách quan; nó mang những ý nghĩa do tác giả sáng tạo ra, và độc giả có trách nhiệm tự rút ra những ý nghĩa này trong quá trình đọc. Tại trường học, khi chúng ta đọc một vở kịch của Shakespeare hoặc phân tích một bài thơ của Milton, chúng ta được dạy là phải khám phá ra những hình ảnh, những ẩn dụ, những biểu hiện ngôn ngữ khác nhau đóng vai trò đầu mối dẫn dắt tới ý nghĩa căn bản mà tác giả muốn trình bày. Nhưng những nghiên cứu hậu hiện đại gợi ý rằng việc đọc là một hành động mang tính sáng tạo nhiều hơn, trong đó người đọc sáng tạo và khám phá ra những ý nghĩa theo sự trải nghiệm và bề dày đọc sách của họ. Cũng vậy, tác giả sáng tác trong khung cảnh của toàn bộ lịch sử văn chương và những liên tưởng đa dạng của ngôn ngữ. Vì thế, tác giả không còn là tiếng nói có thẩm quyền cuối cùng, không phải là “người khai sinh ra mọi ý tưởng”13. Người đọc không còn là người chỉ tiếp nhận thông tin một cách thụ động nữa mà là người tạo cho văn bản cuộc sống của nó. Khi Einstein nói về Chúa lòng lành, trong đầu ông có một khái niệm về nguồn tác giả tương tự như quan niệm trong giai đoạn trước đây; nghĩa là, quan niệm về một người nào đó tương tự như tác giả của một cuốn tiểu thuyết thời nữ hoàng Victoria14. Chúa đã sáng tạo ra vũ trụ từ chỗ không có gì, và chúng ta, với tư cách là những sản phẩm sáng tạo của Chúa, có thể tiến tới hiểu được mô hình siêu phàm của sự sáng tạo ấy. Một mô hình như thế là khách quan và tồn tại độc lập với tư tưởng, với mong muốn và khát vọng của chúng ta. Phạm vi mà mô hình này vẫn còn che giấu chúng ta chính là thước đo những hạn chế của con người khi con người đóng vai những độc giả thụ động đọc cuốn sách sáng tạo thần thánh của Chúa. Bohr và các cộng sự của ông ngả theo lập trường gần gũi với lập trường của độc giả hậu hiện đại. Các “đặc trưng” của electron không phải là khách quan và tồn tại một cách độc lập, mà chúng tự biểu lộ trong hành động quan sát. Không có hành động quan sát, hoặc không có việc “đọc” sáng tạo, thì các “đặc trưng” của một electron không thể nói là đã tồn tại như thế. Đây là nguồn gốc căn bản dẫn tới sự tan vỡ thật sự mối quan hệ giữa Bohr và Einstein. Einstein đã lập luận chống lại khái niệm ngẫu nhiên tuyệt đối trong thuyết lượng tử, mặc dù cuối cùng ông cũng thừa nhận rằng một quan sát lượng tử đã làm nhiễu động vũ trụ theo cách không thể dự đoán được, và rằng sự phân rã phóng xạ của một hạt nhân có lẽ hoàn toàn không thể tiên đoán được. Nhưng ông không bao giờ từ bỏ niềm tin cho rằng vũ trụ có một sự tồn tại rõ ràng. Thậm chí, ông tin rằng nếu chúng ta gây nhiễu động vũ trụ khi chúng ta quan sát nó, nó vẫn tồn tại độc lập. Giống như một tiểu thuyết có tác giả từ thời nữ hoàng Victoria, vũ trụ đối với Einstein có một sự tồn tại thực sự và độc lập. Nó có thể bị che giấu đối với chúng ta, nhưng dẫu sao nó vẫn tồn tại. Chúng ta có thể không biết những đặc trưng riêng biệt của một electron khi chúng ta quan sát nó, nhưng những đặc trưng ấy vẫn tiếp tục tồn tại. Chúng ta có thể không biết vào thời điểm hiện tại một electron nằm ở vị trí nào, nhưng nó phải có một quỹ đạo khi nó du hành từ A tới B. Như Einstein diễn tả, vũ trụ được xây dựng bởi “những yếu tố hiện thực độc lập”. Phải thừa nhận rằng khi chúng ta cố gắng thăm dò hiện thực, các quan sát của chúng ta sẽ làm nhiễu động sự vật. Nhưng khi chúng ta không quan sát, khi chúng ta tránh xa một hệ lượng tử, ắt phải có một hiện thực khách quan thực sự và cái hiện thực ấy phải có những tính chất xác định rõ ràng, ngay cả khi chúng ta vô tình không biết những tính chất ấy là gì. Đó là điểm nổi bật ở Einstein. Đó là niềm tin căn bản nhất của ông, rằng có một hiện thực khách quan đằng sau những biểu lộ bên ngoài của thế giới, thậm chí cả trong phạm vi lượng tử. Thuyết tương đối của ông chỉ ra rằng mặc dù những biểu lộ bề ngoài phụ thuộc vào trạng thái chuyển động của người quan sát, nhưng đằng sau những biểu lộ bề ngoài ấy là những định luật khách quan của hiện thực vật chất. Dù chúng ta có gây nhiễu động vũ trụ hay không thì nó cũng vẫn cứ tồn tại hoàn toàn độc lập với chúng ta. Có lần ông nói với một cộng sự của ông là Abraham Peds rằng ông không thể tin mặt trăng ngừng tồn tại khi ông không quan sát nó. Nhưng nếu Bohr đúng thì đối với Einstein, vũ trụ đơn giản là chẳng còn ý nghĩa gì nữa. Trong nhiều năm, Einstein và Bohr gặp nhau để tranh luận chính tại điểm này. Einstein cố gắng tạo ra những quan sát lí tưởng (thí nghiệm tưởng tượng) để chứng minh ý nghĩa của khái niệm về một hiện thực độc lập của ông. Bohr, đến lượt mình, suy đi ngẫm lại những đề xuất của Einstein rồi cuối cùng lại tìm ra sai lầm trong lập luận của Einstein. Những “thí nghiệm tưởng tượng” này không bao giờ biến thành thực tế nhưng được sử dụng như những bài tập thử thách trí tuệ nhằm khám phá xem một số nguyên lí cơ bản của vật lí có bị vi phạm hay không. Lấy nguyên lí Heisenberg làm ví dụ, nguyên lí này nói rằng các cặp tính chất, như momentum (động lượng) và vị trí, không thể đồng thời xác định chắc chắn tuyệt đối. Một bất định cũng liên quan tới thời gian và năng lượng. Khi các nhà vật lí cố gắng đo năng lượng của một hệ lượng tử qua những khoảng thời gian ngày càng nhỏ hơn thì mức năng lượng này ngày càng trở nên bất định hơn. Đối với Bohr, sự bất định này là cợ sở của thuyết lượng tử, trong khi đối với Einstein, thời gian và năng lượng hoặc vị trí và momentum là những hiện thực khách quan mà thuyết lượng tử “sở hữu”. Tính bất định duy nhất, theo Einstein, nằm trong sự bất lực của chúng ta hoặc sự thiếu khéo léo tinh tế trong việc đo lường các đặc trưng khách quan của những hệ như thế. Khi Bohr và Einstein gặp nhau tại hội nghị ở Solvay15 năm 1930, Einstein trình bày cho Bohr một thí nghiệm tưởng tượng khác. Ông nói, giả sử chúng ta có một cái hộp chứa đầy bức xạ và có một cánh cửa sổ được bấm giờ đóng mở theo từng khắc (một phần nhỏ của giây). Khoảng thời gian được tính với độ chính xác cao, và trong khoảng thời gian đó một số năng lượng vô cùng nhỏ - một photon duy nhất - sẽ thoát khỏi hộp. Einstein phỏng đoán Bohr sẽ khẳng định lập trường cho rằng khoảng thời gian này càng ngắn thì càng bất định, và đó sẽ là tất cả những gì chúng ta biết về số năng lượng đã thoát ra. Nhưng thuyết tương đối hẹp của Einstein chỉ ra rằng năng lượng và khối lượng là tương đương, như đã được trình bày bởi công thức E=mc2. Do đó, nếu cái hộp được cân để đo khối lượng trước và sau khi cánh cửa sổ mở, nó sẽ nhẹ hơn trong lần cân sau. Hiệu số khối lượng sẽ cho kết quả đo lường chính xác có bao nhiêu năng lượng đã thoát ra. Bằng cách đó, một phép đo năng lượng chính xác đã được xác định trong một khoảng thời gian chính xác. Chính tại điểm này, Einstein tuyên bố ông đã đánh gục quan điểm của Bohr về tính bất định từ trong nền tảng của hiện thực. Bohr cũng tài tình mưu trí không kém. Ông đã xem xét chi tiết cách thức cân đo khối lượng của chiếc hộp, rồi lập luận rằng nếu chiếc hộp được đặt lên một bàn cân lò xo khi chiếc kim của bàn cân chỉ vào so zero, năng lượng sẽ thoát ra khỏi hộp vào lúc cánh cửa sổ mở, và kết quả là, khối lượng của hộp sẽ giảm đi một chút, và do đó hộp sẽ chuyển động. Khi hộp chuyển động, đồng hồ (dùng để đo thời gian) trong hộp cũng chuyển động trong trọng trường của trái đất. Thuyết tương đối tổng quát của Einstein nói với chúng ta rằng tốc độ của đồng hồ sẽ thay đổi khi nó chuyển động trong trọng trường. Bằng cách đó, Bohr đã có thể chứng minh: Vì những biến đổi tốc độ của đồng hồ nên chúng ta càng cố gắng đo năng lượng chính xác bao nhiêu (thông qua sự thay đổi khối lượng của hộp) thì mức độ bất định trong việc xác định thời gian cánh cửa sổ mở càng lớn bấy nhiêu. Theo lập luận này, nguyên lí bất định của Heisenberg vẫn giữ nguyên giá trị, và thí nghiệm tưởng tượng của Einstein bị bác bỏ. Những phản đối của Einstein càng lúc càng bị Bohr vô hiệu hoá. Cuối cùng, đến năm 1931, Einstein và các cộng sự của ông là Boris Podolsky và Nathan Rosen (EPR) tin rằng họ đã tìm ra một ví dụ rõ ràng đến mức ai cũng có thể hiểu được. Bằng cách lấy một hệ lượng tử rồi tách hệ đó làm hai, gọi là phần A và phần B, và bằng cách cho hai phần đó bay về hai phía ngược chiều nhau trong vũ trụ, các phép đo thực hiện đối với phần A sẽ tuyệt đối không ảnh hưởng đến phần B đã bay xa. Nhưng, căn cứ theo các định luật cơ bản về bảo toàn (tính đối xứng giữa hai nửa tương tự), chúng ta có thể rút ra một số tính chất của B (chẳng hạn như spin hoặc tốc độ) mà không cần quan sát nó. Công trình EPR này đến với Bohr như một “tiếng sét trên trời xanh”. Ông lập tức dẹp mọi công việc khác đang làm và nhắc đi nhắc lại câu hỏi với một cộng sự của ông là Leon Rosenfeld rằng “Họ muốn nói gì? Anh có hiểu điều họ nói không?”. Cuối cùng, sau sáu tuần lễ, Bohr đã bác bỏ lập luận của Einstein. Ông bình luận về lập luận của EPR: “Họ làm điều đó thật tài tình, nhưng điều đáng nói là cần phải làm cho đúng.”16 Tới chỗ này, độc giả có thể thấy Bohr là một nhà tư tưởng cực kì tinh tế. Thật vây, tinh tế đến nỗi các nhà vật lí ngày nay vẫn còn bối rối khó xử trước những ẩn ý trong tư tưởng của Bohr. Đặc biệt, câu trả lời của Bohr đối với thí nghiệm EPR vẫn còn đang được thảo luận. Một trở ngại là kiểu viết lách của Bohr. Nhưng chúng ta đã biết, nhà vật lí người Đan Mạch này là một người tin tưởng sâu sắc vào nguyên lí bổ sung, nguyên lí cho rằng sự giải thích phiến diện không thể nói lên hết sự phong phú của kinh nghiệm, mà đúng ra nó và thậm chí những giải thích mang tính nghịch lí phải có mặt. Như Leon Rosenfeld, một cộng sự lâu dài của Bohr, đã nói: “Bất kể khi nào ông ấy phải viết ra một điều gì đó, trong trạng thái băn khoăn suy nghĩ về nguyên lí bổ sung, ông ấy cảm thấy phát biểu ở phần đầu của một câu phải được hiệu chỉnh bởi một phát biểu đối nghịch ở phần cuối của câu đó.”17 Trong thí nghiệm EPR, Einstein giữ vững niềm tin của ông rằng phải tồn tại “những yếu tố độc lập của hiện thực”. Ông đồng ý với Bohr là khi các nhà vật lí cố gắng đo đạc một hệ lượng tử, hành động quan sát sẽ làm nhiễu loạn hệ đó. Tuy nhiên, nếu quan sát chỉ một phần (phần A) của một hệ trong khi phần kia (phần B) đã nằm ở rất xa thì sẽ không có một dạng tương tác nào - không có một lực cơ học hoặc một trường ảnh hưởng nào - có thể gây nhiễu với B. Bohr đồng ý rằng Einstein đã loại bỏ được mọi ảnh hưởng cơ học đối với hệ B; tuy nhiên, ông lập luận “thủ tục đo đạc” có một “ảnh hưởng thiết yếu” tới chính việc xác định các đại lượng vật chất biến thiên mà chúng được đo đạc”18. Với lập luận này, Bohr cảm thấy cuối cùng ông đã đặt một dấu chấm hết cho mọi sự phủ định đối với “Diễn giải Copenhagen” của ông về thuyết lượng tử. Không hề có “các yếu tố độc lập của hiện thực”, mà thực ra thuyết lượng tử trình bày về tính toàn vẹn của vũ trụ. Đó không phải là một vũ trụ được lắp ghép bởi một loạt các yếu tố có vẻ độc lập (quasi independenf) trong các tương tác; cái mà chúng ta coi là các yếu tố hoặc “thành phần” thực ra là những phát lộ bên ngoài của tổng thể động lực học của các hệ lượng tử. Các đặc trưng của một hệ thống không tồn tại ở “ngoài kia” như nó tồn tại, mà được xác định thông qua nhiều phương cách khác nhau, trong đó chúng ta nghiên cứu và quan sát một hệ thống. Như Bohr đã chỉ ra, mục đích hoặc việc bố trí xếp đặt để tạo ra một phép đo - chẳng hạn việc tập hợp các công cụ lại với nhau - sẽ xác định những loại đặc trưng nào có thể được đo đạc trên một phạm vi nào đó. Với ý nghĩa này, mặc dù không có nhiễu loạn “cơ học” giữa B với các công cụ dùng để đo đạc A, nhưng theo Bohr, vẫn luôn luôn tồn tại một ảnh hưởng đối với các điểu kiện mà nó xác định các kết quả có thể có. John Bell đã có một đóng góp thú vị trong việc tìm lời giải cho cuộc thảo luận về nghịch lí EPR. Ông chỉ ra tính tổng thể trọn vẹn lượng tử có nghĩa là hai phần A và B của hệ lượng tử vẫn tiếp tục có mối liên hệ tương quan với nhau ngay cả khi chúng bị tách xa nhau. Sẽ vô nghĩa nếu nói A tương tác với B; tuy nhiên, nói ngắn gọn là B “biết” khi một phép đo đang được thực hiện đối với A. Hoặc sẽ đúng hơn nếu nói rằng A và B vận động liên kết với nhau. Từ lâu, mối quan hệ đồng liên kết này đà được xác nhận bởi những thí nghiệm rất chính xác trong phòng thí nghiệm19. Bohr cảm thấy sự bác bỏ của ông đã gióng lên tiếng chuông báo tử đối với giấc mơ của Einstein về một hiện thực độc lập. Einstein, đến lượt mình, không bao giờ thoả mãn. Hai người bị cuốn xa khỏi cái điểm mà tại đó cuộc trao đối sâu sắc của họ không thể tiếp tục được nữa. Sự đổ vỡ giữa họ tượng trưng cho sự chuyển dịch tư tưởng xảy ra trong thế kỉ 20, một chuyển dịch từ luật nhân quả tới tính ngẫu nhiên, từ cái xác định tới cái bất định, từ hiện thực khách quan tới việc đọc sách theo quan điểm chủ quan. Đó là một sự chia rẽ trong vật lí vẫn còn kéo dài cho tới tận ngày nay, như một dạng của căn bệnh “schizophrenia”20. Nhà vật lí Basil Hiley viết về tình trạng đó như sau: “Các nhà vật lí ngoài miệng thì nói theo Bohr và phủ nhận Einstein, nhưng cuối cùng phần lớn trong số họ lại chẳng hiểu những gì Bohr nghĩ và rồi vẫn suy nghĩ như Einstein.”21 Tất cả chúng ta đều bị treo lơ lửng trong ngôn ngữ Không có gì đáng ngạc nhiên khi rất nhiều nhà vật lí hiện đang làm việc vẫn tiếp tục suy nghĩ như Einstein, đơn giản vì tư tưởng của Bohr là cực kì tinh tế. Bohr đề xuất ý kiến cho rằng nguyên lí bổ sung còn mở rộng ra bên ngoài vật lí để bao trùm lên toàn bộ nhận thức. Đến đây, ông đang nêu lên câu hỏi đối với chính những giới hạn của nhận thức khi con người tìm cách nắm bắt hiện thực. Cho tới trước cuộc phiêu lưu vào thuyết lượng tử, các nhà vật lí vẫn tư duy về vũ trụ dưới dạng những mô hình, mặc dù là những mô hình đã được toán học hoá. Mỗi mô hình là một bức tranh đơn giản hoá của hiện thực vật lí; chẳng hạn như mô hình mà trong đó một số tác động ngẫu nhiên như ma sát, lực cản của không khí, v.v. đã bị bỏ qua. Nó mô phỏng bên trong mình một số đặc trưng chủ yếu của vũ trụ. Trong khi những sự kiện hằng ngày trong tự nhiên mang tính ngẫu nhiên và phụ thuộc vào tất cả những kiểu nhiễu động và khung cảnh bên ngoài thì mô hình lí tưởng hoá lại chỉ nhắm tới phần chủ yếu của các hiện tượng. Quả táo và đạn đại bác bay qua một không gian lí tưởng không có sức cản của không khí. Những quả bóng lăn trên một mặt nghiêng hoàn toàn nhẵn nhụi không có ma sát. Dòng điện chạy trong một kim loại hoàn hảo không có trục trặc. Nhiệt lan truyền từ nguồn của nó tới một chiếc máy nào đó theo một chu trình hoàn toàn cô lập (với môi trường xung quanh). Tất cả các lí thuyết khoa học đều là lí thuyết về các mô hình lí tưởng hoá, và đến lượt chúng, các mô hình này vẽ ra những bức tranh của hiện thực. Chúng ta sẽ khảo sát khái niệm về “những bức tranh của thế giới” một cách sâu sắc hơn nữa khi chúng ta đọc về công trình của Ludwig Wittgenstein ở Chương 4. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét lập luận của Bohr nói rằng tất cả những bức tranh và mô hình này đều dựa trên những khái niệm dính líu tới vật lí cổ điển. Và do đó chúng sẽ luôn luôn làm dấy lên nghịch lí và sự lẫn lộn khi áp dụng vào thế giới lượng tử. Thậm chí Bohr còn đi xa hơn nữa. Các nhà vật lí có thể làm việc với các phép đo đạc, với toán học và những phương trình, nhưng khi họ gặp nhau để thảo luận về ý nghĩa của những phương trình này và mô tả công việc họ đang làm, họ lại phải nói với nhau bằng một thứ ngôn ngữ chung thông thường (bằng lời nói hoặc văn viết) mà tất cả chúng ta đều sử dụng. Phải thừa nhận rằng họ sử dụng một số lượng lớn các thuật ngữ kĩ thuật và các phương trình, nhưng phần lớn những thảo luận này diễn ra trong ngôn ngữ hằng ngày, thứ ngôn ngữ được tạo ra bởi con người - những sinh thể sống trong thế giới vĩ mô, có kích thước thể xác và tuổi thọ riêng. Quy mô vật chất ở thang bậc của con người vô cùng khác biệt với quy mô vật chất ở thang bậc nguyên tử và electron. Khi trí tuệ của con người tiến hoá thì nhận thức về khái niệm vị trí, không gian, thời gian và luật nhân quả cũng tiến hoá. Dưới hình thức căn bản nhất, chúng giúp con người sống sót và giải thích thế giới xưng quanh. Tất cả những khái niệm “vĩ mô” này đã ăn quá sâu vào trong ngôn ngữ của chúng ta đến nỗi không thể thực hiện một cuộc thảo luận nào mà không sử dụng chúng (điều này xảy ra hoàn toàn vô thức và khó nhận thấy). Nhưng khi nói về thế giới lượng tử, chúng ta nhận ra rằng đơn giản là chúng ta đang sử dụng những khái niệm không thích hợp. Khi thảo luận về những mô hình hiện thực, chúng ta tiếp tục mang toàn bộ những tư tưởng không thích hợp và không thực tế vào trong phạm vi lượng tử. Đó là lí do để Bohr tuyên bố rằng “Chúng ta đang bị treo lơ lửng trong ngôn ngữ và do đó chúng ta không biết hướng nào lên hướng nào xuống”. Dòng tư duy lan man thiếu mạch lạc của chúng ta luôn luôn xảy ra bên trong ngôn ngữ, và ngôn ngư đưa chúng ta tới bức tranh về thế giới theo một hướng nào đó, một hướng không tương thích với thế giới lượng tử22. Ngay khi chúng ta hỏi, “Bản chất của hiện thực lượng tử là gì?”, “Bản chất thật sự của thế giới là gì?”, “Có một hiện thực ở cấp độ lượng tử hay không?”, chúng ta đã tự làm cho mình bị rơi vào sự rắc rối của từ ngữ, tranh ảnh, hình ảnh, mô hình, và những tư tưởng của thế giới vĩ mô. Kết quả là sự lẫn lộn và nghịch lí, Bohr đã chỉ ra như vậy. Cuối cùng, giữ im lặng còn tốt hơn là tạo ra sự nhầm lẫn vô hạn về triết học; có lẽ đây là lí do vì sao những thảo luận giữa Bohr và Einstein buộc phải kết thúc trong yên lặng. Cái đã khởi đầu như một cuộc thảo luận về tính ngẫu nhiên và bất định đã phát triển thành một biến đổi căn bản trong tư tưởng của chúng ta về bản chất thật sự của hiện thực. Mối thiện cảm sâu sắc giữa Einstein và Bohr không đủ để vượt qua sự rạn nứt tăng lên trong cách tiếp cận riêng của họ đối với vật lí. Sự biến mất của hiện thực cơ bản Thuyết lượng tử mang khái niệm bất định vào trong vật lí; đó không phải là cái bất định nảy sinh từ sự bất khả tri mà là tính bât định nằm trong nền tảng của chính bản thân vũ trụ. Tính bất định là cái giá chúng ta phải trả để trở thành kẻ tham cuộc trong vũ trụ. Sự hiểu biết tới tận cùng có lẽ chỉ có thể có đối với những sinh thể nằm ở tít tận trên cao, ở bên ngoài vũ trụ và quan sát vũ trụ từ những tháp ngà của họ. Nhưng chúng ta, với tư cách là những sinh thể bằng xương bằng thịt, đang sống trong phần cốt lõi của thế giới vật chất. Tất cả chúng ta là những kẻ tham cuộc trong thế giới này, và lệ phí tham cuộc chúng ta phải trả là sống với một thước đo bất định. Tính bất định cũng tồn tại theo một cách khác và thậm chí còn gây xáo trộn nhiều hơn, đó là cái bất định về chính mục tiêu của khoa học và triết học. Từ thời Hi Lạp cổ đại, con người đã hỏi thế giới được tạo nên bởi cái gì. Thông qua suy xét và thực nghiệm, họ cố gắng đạt tới một nền tảng hiếu biết cuối cùng hoặc một tư tưởng cuối cùng mà trên đó toàn bộ hiện thực được khám phá. Các nhà khoa học thế kỉ 20 đã tiệm cận tới tư tưởng về một nền tảng cuối cùng như thế bằng cách phá vỡ vật chất thành những phần ngày càng nhỏ hơn và do đó đã khám phá ra phân tử, nguyên tử, các hạt cơ bản, và cùng với chúng là thuyết lượng tử. Nhưng rồi Niels Bohr đã thách thức khoa học và tư duy của con người tiếp tục tiến xa hơn. Gần như ông đã gợi ý rằng khoa học như chúng ta thấy cuối cùng đã đạt tới một giới hạn và không thể tiến xa hơn như một phương tiện điều tra thẩm vấn bản chất của hiện thực23. Khi nhà vật lí và triết học Bernard D’Espagnat nói về thế giới hạ nguyên tử như một “hiện thực bị che đậy”, ông ngụ ý rằng một cái gì đó có thật phải tồn tại đằng sau tấm màn che phủ. Bohr lại cảnh báo chúng ta chống lại những tư tưởng như thế. Chúng ta thậm chí không thể bắt tay vào thảo luận cái gì nằm sau một tấm màn che phủ như thế, hoặc thậm chí không thể nói rằng có một “cái gì đó” đằng sau tấm màn che phủ để bảo rằng nó tồn tại. Có lẽ, xét cho cùng, không có hiện thực lượng tử. Có thể hiện thực lượng tử chỉ tồn tại như một khái niệm trong tư duy của chúng ta. Và do vậy, chúng ta vẫn còn một bí mật. Có thể không có những nền tảng đối với thế giới của chúng ta. Có thể chẳng có mục tiêu cuối cùng nào đối với cái mà khoa học có thể tự nhắm tới. Có thể những khái niệm về “sự tồn tại” và những “cấp độ nền tảng” là quá phù du đến nỗi chúng lẩn biến khỏi sự đụng chạm của chúng ta. Một cái gì đó tương tự như thế đã xảy ra trong trào lưu triết học được gọi là “cái chết của Chúa”, một trào lưu bắt nguồn từ những tác phẩm của Nietzsche. Thay cho việc phủ nhận sự tồn tại của Chúa, ông lí luận rằng những cấu trúc xây dựng bởi con người, “quan niệm” về Chúa, ý niệm của con người về thần thánh, đã chết. Đó là những vấn đề vẫn còn nằm ở phía bên kia giới hạn của những bài thuyết trình, các khái niệm, tư tưởng, và ngôn ngữ. Những vấn đề vẫn còn tồn đọng đó là cái không thể đụng chạm tới được và không thể bị làm cho rối loạn bởi tư duy của con người được. Đó là một bí mật tuyệt đối. Phải chăng, thuyết lượng tử nói với chúng ta rằng khoa học chỉ có thể tiến thật xa trong việc khám phá các bí mật của sự tồn tại? Phải chăng điều đó có nghĩa là tại một điểm nào đó, một bước tiến xa hơn sẽ chỉ dẫn tới một sự lẫn lộn vô ích? Thuyết lượng tử buộc chúng ta nhận rõ những giới hạn đối với khả năng của chúng ta trong việc tạo ra những hình ảnh, sáng tạo ra những ẩn dụ, và đẩy ngôn ngữ tới những giới hạn của nó. Khi chúng ta gắng sức chăm chú nhìn vào những giới hạn của tự nhiên, chúng ta đã lờ mờ nhận ra một cái gì đó ẩn giấu trong những bóng tối. Một cái gì đó chứa đựng bản thân chúng ta, ý nghĩ của chúng ta, ngôn ngữ của chúng ta, trí tuệ của chúng ta, và trí tưởng tượng của chúng ta, tất cả những cái đã bị co vào trong giới hạn của chúng. Chương 2 ĐỊNH LÍ GÖDEL VÀ TÍNH BẤT TOÀN T rong chương trước, chúng ta đã thấy tự nhiên hạn chế tính xác định mà ta có thể trông mong từ thế giới vật chất ra sao và chỉ cho phép con người thâm nhập vào trong bí mật của hiện thực tới một mức nào; vượt quá mức ấy chúng ta có nguy cơ bị lạc vào trong nghịch tí và rối loạn. Phải chăng điều này có nghĩa là chúng ta sẽ mãi mãi mất niềm hi vọng vào tính xác định? Nếu phạm vi hiểu biết của con người bị giới hạn thông qua việc chúng ta tác động vào tự nhiên thì ít nhất chúng ta vẫn có thể hi vọng tìm thấy tính xác định trong những sản phẩm tư duy trừu tượng của chính con người. Trước hết, liệu chúng ta có thể khám phá tính xác định trong thế giới toán học hay không? Đó chính là niềm tin của nhà triết học Bertrand Russell khi ông được nghe Giuseppe Peano trình bày rõ ràng tham luận về nền tảng của toán học năm 1900, và Russell đã quyết định dành trọn đời mình cho việc chứng minh tính chặt chẽ của những nền tảng đó. Sức mạnh và vẻ đẹp của toán học Giấc mơ xây dựng một thế giới tuân thủ các nguyên lí toán học đã có từ rất lâu trước khi nền khoa học hiện đại ra đời. Những môn đệ của trường phái Pythagoras từ thời Hi Lạp cổ đại đã tin rằng “mọi thứ đều là số”. Trong thời Trung cổ, sự hài hoà toán học là chìa khoá đối với cả âm nhạc lẫn kiến trúc của những công trình đồ sộ. Hội hoạ của Piero della Francesca (14207-1492) đưa chúng ta tới một thế giới của trật tự và cân đối hài hoà một cách sâu sắc về mặt toán học. Chúng ta cũng có thể tìm thấy cảm giác về sự hài hoà và tỉ lệ cân đối như thế trong âm nhạc của J. S. Bach và nhờ những nghiên cứư của nghệ sĩ cello Hans-Eberhard Dentier, hiện nay chúng ta biết rằng tác phẩm Art of the Fugue (Nghệ thuật trong sáng tác âm nhạc theo mô thức) của Bach bị ảnh hưởng bởi chủ nghĩa tượng trưng bằng số của trường phái Pythagoras.24 Ở đâu chúng ta tìm thấy tính xác định và chân lí trong toán học, ở đó chúng ta tìm thấy cái đẹp. Nền toán học vĩ đại được đặc trưng bởi tính thẩm mỹ của nó. Các nhà toán học thích thú với vẻ đẹp tao nhã, tính tiết kiệm của điều kiện và tính chắc chắn logic của chứng minh. Cứ như thể là các chân lí toán học vĩ đại không thể nào khác được. Tính trong sáng logic cùng phản chiếu tới chúng ta trong những cấu trúc căn ban của thế giới vật lí thông qua toán học của vật lí lí thuyết. Trong cuốn The study of Mathematics (Nghiên cứu toán học), Bertrand Russell trình bày điều đó như sau: “Toán học đưa chúng ta tới lĩnh vực của tính quy luật tất yếu tuyệt đối mà không riêng thế giới thực tiễn phải tuân thủ, tất cả các thế giới có thể có đều phải tuân thủ”. Đối với nhà triết học, “toán học là một thế giới lí tưởng và một toà lâu đài vĩnh cửu của chân lí… Trong khi chiêm ngưỡng vẻ đẹp trong sáng của nó, con người có thể thoát khỏi các thế giới đầy ma quỷ và đau đớn”25. Đối với nhà thiên văn James Jean (1877-1946) thì “Chúa là một nhà toán học”. Và giữa các nhà toán học vẫn lưu hành câu nói “Chúa sáng tạo ra các con số. Phần còn lại được tạo ra bởi con người”26. Toán học: Sự chắc chắn tột cùng? Do đó, chúng ta sẽ quay sang toán học để tìm kiếm sự chắc chắn cuối cùng và bắt đầu với một trong những phép tính đơn giản và thuần khiết nhất - phép đếm. Lẽ phải thông thường nói với chúng ta rằng phép đếm là hoàn toàn xác định và tránh được tất cả sự nhập nhằng lẫn lộn. Chúng ta hãy xét ví dụ đáng chú ý sau đây: Trong cuốn tiểu thuyết 1984, George Orwell đã mô tả thế giới trong đó nhà nước kiểm soát cuộc sống và tư tưởng của các công dân của mình. Khi một công dân tên là Winston Smith nổi loạn, anh ta liền bị bắt và bị tống vào Phòng 101 để tẩy não. Trong một thế giới mà tại đó mọi hành vi chống đối đều bị xoá sổ thì tội phạm duy nhất còn lại là “tội tư tưởng” (thought-crime). Nhưng vào năm 1984, khái niệm trừng phạt đối với tội này vẫn chưa ra đời. Để trừng phạt một công dân nào đó cần phải chỉ ra sai lầm của người đó trong hệ thống, trong đó công dân này có khả năng suy nghĩ và hành động không đúng với những quy định của nhà nước. Vì thế, thay cho sự trừng phạt, Winston Smith cần phải được giáo dục lại, và, giống như nhận thấy tính tất yếu của một định lí toán học, anh ta phải nhận thấy tính tất yếu trong thiện ý và lẽ phải của nhà nước. Trong thế giới của Big Brother27, Smith phải nắm bắt được một sự thật đơn giản là 2 + 2 = 5. Điều này không có ý nói rằng anh ta nên ưng thuận hoặc đơn giản là đồng ý với cái mệnh đề mù mờ đó. Đúng ra là vì nhà nước muốn hoan nghênh Smith quay trở về với sự che chở của họ, nên anh ta phải thực sự “biết” và “thấy” rằng 2 + 2 = 5. Khi người hành hạ anh ta giơ hai ngón tay trên bàn tay này và hai ngón tay trên bàn tay kia, sau một lát Winsston ít ra cùng có thể vừa hiểu vừa thấy rằng hai cộng hai phải bằng năm. Orwell đã cố tình làm méo mó phép đếm thuần khiết để chứng minh nỗi khiếp sợ của một tư tưởng hoàn toàn bị kiểm soát tới mức logic cũng bị phủ nhận và thách đố. Trong tất cả những thứ mang tính xác định thì phép đếm vẫn đứng ở đầu bảng (được coi là rõ ràng xác định nhất). Bất kể chúng ta mong muôn điều gì, bất kể xã hội lựa chọn điều gì để tin, phép đếm và so học vẫn mang tính xác định khách quan. Chúng ta có thể ngây thơ tin một lễ kỉ niệm có thể làm thay đổi thời tiết, có thể bạo gan đến nỗi dám đánh cuộc chắc chắn cho kẻ thắng trong một cuộc đua sắp tới, có thể bị thuyết phục để yên chí rằng sự rèn luyện tinh thần có khả năng làm thay đổi tỉ lệ tội phạm trong một thành phố,… nhưng vào bất cứ lúc nào, dù cố gắng đến mấy chúng ta cũng không thể “tin” 2 + 2 = 5. Dù một lúc nào đó chúng ta gặp những người ở hành tinh khác, những sinh vật hoàn toàn khác với con người, tất cả chúng ta vẫn có thể đồng ý với nhau một điểm là họ cũng sẽ nhất trí rằng 2 + 2 = 4. Thật vậy, nhân loại đã tìm kiếm sự sống có trí tuệ trong vũ trụ bằng cách phát đi những chùm dữ liệu toán học, bởi vì các nhà khoa học và thiên văn tin toán học là ngôn ngữ phổ quát của vũ trụ (chân lí phổ quát của vũ trụ). Nếu thực thể vật chất ẩn biến vào trong tính bất định và bổ sung (như đã nói ở chương trước) thì ít nhất chúng ta vẫn tìm thấy sự an toàn trong toán học. Đây là quan điểm tồn tại trong đầu các nhà toán học và triết học đầu thế kỉ 20. Tất cả những gì đòi hỏi cần là một chứng minh xác đáng rằng toán học là một sự chắc chắn tột bậc, một chứng minh cuối cùng và không chứa bất kì mức độ nhập nhằng nào. Toán học chủ yếu muốn chứng minh hai điều: 1 - Toán học là nhất quán (consistent): Toán học không chứa đựng mâu thuẫn nội tại (toán học là phi mâu thuẫn). Không thể có những sơ suất trong lập luận và những sự nhập nhằng nước đôi. Bất kể chúng ta tiệm cận tới toà lâu đài toán học theo hướng nào, toán học sẽ luôn luôn thể hiện sự chính xác và chân lí như nhau. 2 - Toán học là đầy đủ (complete): Không có chân lí toán học nào bị để treo lơ lửng. Chẳng có gì cần phải bổ sung thêm vào hệ thống toán học. Các nhà toán học có thể chứng minh mọi định lí vời sự chính xác hoàn toàn sao cho không có cái gì bị loại ra khỏi hệ thống. Nhưng tại sao phải quan trọng hoá vấn đề như thế? Tại sao cần có những chứng minh dứt khoát như thế? Xét cho cùng, toán học đã từng tồn tại từ thời Hi Lạp cổ đại. Các nhà thờ lớn được xây dựng theo những nguyên tắc toán học và từng tồn tại qua nhiều thế kỉ. Toán học đưa tên lửa lên Mặt trăng và làm ra những sổ sách kế toán hằng năm của một tổ hợp đa quốc gia. Nếu những câu trả lời của toán học bất định, hoặc nếu các kế toán viên bất ngờ khám phá ra toán học bỏ sót cái gì đó bên ngoài sổ sách kế toán, thì thế giới tài chính của chúng ta sẽ bất ngờ sụp đổ. Trong mọi trường hợp, toán học đều vận hành một cách hoàn hảo, vậy tại sao chúng ta phải bận tâm lo lắng đến những chi tiết vụn vặt như vậy? Một đòi hỏi sốt sắng đối với lẽ phải thông thường có thể diễn ra trong hầu hết chúng ta, nhưng các nhà triết học chỉ ra rằng mặc dù toán học dựa trên logic, một số kết quả toán học trông vẫn có vẻ kì dị và phản trực giác. Họ nói với chúng ta rằng không thể dựa trên lẽ phải thông thường để nói toán học luôn luôn vận hành đúng đắn; chúng ta cần có sự chắc chắn và chúng ta cần phải chứng minh tính phi mâu thuẫn và tính đầy đủ một cách rõ ràng. Chúng ta đếm như thế nào? Cần phải có những cuộc tẩy não đặc biệt để thuyết phục Winston Smith rằng 2 + 2 = 5. Nhưng nếu xem xét kĩ, thì phải chăng phép đếm thực chất cũng chỉ là một việc vô cùng đơn gian? Chúng ta đã biết đếm như thế nào, nhưng chúng ta có thật sự hiểu rõ đếm có nghĩa là gì không? Chẳng hạn, bạn đếm số lượng của tất cả các con số hoặc số lượng của tất cả các phân số thế nào? Giữa hai số nguyên bất kì, ví dụ 3 và 4, có thể tìm được một loạt phân số, như và cứ như thế tiếp tục. Do đó, chúng ta dễ dàng nhận thấy có vô số phân số giữa 1 và 2, giữa 2 và 3, v.v. Cảm giác thông thường nói với chúng ta rằng, vì có vô số phân số giữa hai số nguyên nên số lượng các phân số phải lớn hơn số lượng các số nguyên. Nhưng chính tại đây, các nhà toán học thích thú nói với chúng ta cảm giác thông thường ấy là sai. Số tất cả các phân số có thể có đùng bằng số tất cả các số nguyên có thể có! Làm sao có thể chấp nhận điều này là đúng? Để tìm hiểu điều này chúng ta phải khảo sát lĩnh vực đếm kĩ hơn. Hãy xét ví dụ John và Jill đếm kẹo: Mỗi em có một túi kẹo, và như những đứa trẻ thường làm, chúng cãi nhau xem ai có nhiều hơn. Tuy nhiên, chúng còn quá nhỏ tuổi nên khi đếm quá 5 là cả hai đều bắt đầu lẫn lộn, không biết số tiếp theo là bao nhiêu. Chúng bèn quyết định giải bài toán theo cách khác. Cậu bé John lấy một viên kẹo ra khỏi túi của nó rồi đặt lên bàn, cô bé Jill cũng lấy một viên từ trong túi của mình rồi đặt bên cạnh. John lại lấy một viên khác, và Jill cũng lấy một viên tương ứng. Chúng tiếp tục làm như thế cho đến khi một trong hai túi rỗng không. Trong tình huống, khi túi của John rỗng thì túi của Jill vẫn còn kẹo. Do đó, mặc dù Jill không biết đếm, cô bé vẫn biết rằng mình có nhiều kẹo hơn John. Ngược lại, nêu túi của Jill bị rỗng trước thì cô bé có ít kẹo hơn. Nếu cả hai túi bị rồng cùng một lúc, và ngay cả khi không biết số kẹo của mình là bao nhiêu, chúng vẫn biết chúng có số kẹo bằng nhau. Điều tương tự sẽ xảy ra với số lượng các phân số và số nguyên. Lấy một phân số và đặt nó lên bàn. Bây giờ cho phân số đó tương ứng với 1. Phân số tiếp theo tương ứng với 2, 3, 4, 5 và cứ tiếp tục như thế. Vì số các số nguyên là vô hạn nên chúng sẽ không bao giờ bị hết. Bất kể có bao nhiêu phân số, “túi đựng” các số nguyên sẽ không bao giờ bị trống rỗng và do đó phân số tiếp theo trong bản danh sách luôn luôn được tương ứng với một số nguyên. Nói cách khác, số các số nguyên và số các phân số là như nhau28. Phải chăng điều này có gì đó hơi giống với cờ bạc bịp? Đối với một người không chuyên về toán thì nghe có vẻ như một chuyện kì cục, tuy nhiên các nhà toán học lại bị thuyết phục bởi lí lẽ của nó. Điều này cho thấy các vấn đề trong toán học không phải luôn luôn rõ ràng, do đó dành thì giờ để chứng minh tính xác định của các mệnh đề toán học có thể là một ý tưởng rất hay. Số là gì? Chúng ta hãy bắt đầu với tư tưởng của bản thân “số”. Tất cả chúng ta đều biết đếm. Tất cả chúng ta đều biết rằng 2 + 2 = 4, Nhưng chính xác thì số là gì? Chúng ta có thể định nghĩa nó như thế nào? Câu chuyện về John và Jill ở trên cho thấy thực ra John và Jill đã có một khám phá quan trọng về số và toán học. Jill bỗng nhiên nhận ra rằng nó có thể làm điều tương tự đối với quả táo giống như đã làm đối với những viên kẹo. Cô bé có thể ghép mỗi viên kẹo với một quả táo trong bát. Cô bé nhanh chóng so sánh mọi thứ nhìn thấy ở xung quanh - những quả táo và quà lê, những viên kẹo và những đồng xu, chó và mèo, những chiếc giày và những chiếc tất. Trong mọi trường hợp việc so sánh đó đều thích hợp. Nếu cô bé có 10 chiếc kẹo thì dù cho nó không đếm nổi quá 5, nó vẫn có thể biết khi nào số quả táo, viên kẹo, đồng xu, giày, v.v. bằng nhau. Cô bé đã nhận ra rằng tồn tại một cái túi tưởng tượng mà chúng ta có thể gọi là “số mười” - Bất kì cái gì và mọi thứ có 10 đơn vị đều có thể được bỏ vào cái túi đó. Những chiếc giày, những viên kẹo và những quả táo là những thứ hoàn toàn khác nhau, nhưng khi có 10 đơn vị của mỗi thứ thì chúng có một cái gì đó chung và đó là con số của chúng. Vào cuối thế kỉ 19, các nhà triết học và toán học xem xét vấn đề này một cách chính xác - định nghĩa “số”. Chính nhà toán học và triết học Gottlob Frege đã tìm ra khám phá của Jill và đưa ra định nghĩa về “số” đúng như cô bé đã làm, với những thuật ngữ về lớp và tập hợp. Bertrand Russell đã viết về điều này trong cuốn Introduction to Mathematical Philosophy (Nhập môn triết học toán học) của ông: “Số của một lớp là lớp của tất cả các lớp tương tự như nó”. Đoạn chữ nghĩa lủng củng này làm cho chúng ta càng thấy khó hiểu. Nói cách khác, số của một cặp đôi sẽ là lớp của tất cả các cặp đôi và tên của của lớp này là “số 2”. Hoặc như Russell viết: “Một số là bất kì cái gì là số của một lớp nào đó”29. Với định nghĩa về “số” theo nghĩa là lớp, Frege cảm thấy rằng ông đã giải quyết được một vấn đề quan trọng. Trong đời sống thông thường không mấy ai bận tâm tới định nghĩa về số, nhưng bây giờ Frege đã làm rõ khái niệm này trong chính nền tảng của toán học. Nghịch lí Russell Nhưng rồi Frege đã được Bertrand Russell báo cho biết có một con ruồi trong bát canh! Frege chỉ ra rằng bạn có thể bỏ các cây nến, các quả táo, những chiếc giày, những con lợn, v.v. mỗi thứ vào trong lớp của nó và cho tương ứng các phần tử của mỗi lớp này với lớp khác và do đó bạn sẽ thấy tất cả những lớp khác nhau này có một cái gì chung - đó là số các phần tử trong mỗi lớp. Nhưng Russell lí luận: Lớp của tất cả các cây nến chẳng phải một cây nến mà cũng chẳng phải một quả táo. Nói cách khác, vì lớp của tất cả các cây nến không phải một cây nến nên nó không phải là phần tử của chính nó. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên; đó là chuyện bình thường. Có rất nhiều tập hợp không phải là phần tử của chính nó. Tập hợp các quả táo không phải là một quả táo; tập hợp những chiếc giày không phải là một chiếc giày. Nhưng tại sao không nghĩ ra một tập hợp hoàn toàn mới lạ được gọi là “lớp của tất cả các lớp không phải là phần tử của chính nó”? Càng mở rộng vấn đề càng lí thú. Và đã tới lúc Russell đổ thêm dầu vào lửa: Phải chăng lớp này là một phần tử của chính nó? Hoặc không? Việc cố gắng trả lời câu hỏi này đã phơi bày vấn đề nghiêm trọng trong nền tảng toán học, làm cho các nhà toán học và triết học băn khoăn lo lắng rằng tính xác định có thể không đơn giản và rõ ràng như người ta hi vọng. Chúng ta hãy xét nghịch lí của Russell theo cách sau đây. Trong thư viện có một căn phòng chứa các quyển danh mục sách. Nhiều quyển chứa đầu đề của chính nó cùng với đầu đề của những cuốn sách khác. Nhưng có một số quyển danh mục không chứa đầu đề của nó. Vị thủ thư quyết định tạo ra một quyển mới gọi là “Quyển đại danh mục liệt kê tất cả các quyển danh mục không chứa đầu đề của chính nó”. Lúc sắp hoàn thành công việc thì một ý nghĩ làm cho vị thủ thư băn khoăn, “Liệu có nên liệt kê đầu đề của quyển đại danh mục này vào trong bản liệt kê của nó hay không?”. “Nếu để tên cuốn đại danh mục này ở ngoài thì bản liệt kê này sẽ không đầy đủ”, vị thủ thư lập luận, “như thế thì sẽ bị thiếu tên của chính cuốn đại danh mục này”. Nghĩ vậy, vị thủ thư liền bổ sung tên của cuốn đại danh mục vào bản liệt kê danh mục của chính nó. Nhưng khi làm như vậy, vị thủ thư lại nhận thấy như thế là mâu thuẫn, bởi vì cuốn đại danh mục này chỉ có mục đích liệt kê những cuốn danh mục không chứa chính nó, vậy mà ông ta đang bổ sung vào cuốn đại danh mục này một danh mục chứa chính nó. Vị thủ thư rơi vào tình trạng mâu thuẫn, tiến thoái lưỡng nan. Nếu muốn tránh phi mâu thuẫn thì quyển đại danh mục sẽ không đầy đủ (bất toàn). Nhưng nếu làm cho nó đầy đủ thì lại phải trả giá bằng sự mâu thuẫn. Russell lập luận, điều xảy ra đối với các quyển danh mục cũng xảy ra đối với định nghĩa về “số” như lớp của các lớp! Vậy là bằng một cú đòn trời giáng, Russell đã phá đổ công trình của Frege và gợi ra những nghi ngờ đáng kể trong nền tảng của toán học. Hình 2.1. Chân dung Bertrand Russell (1872-1970) Thay vì làm cho các nhà toán học nản lòng, nghịch lí Russell lại càng khiến vấn đề xây dựng toán học trên một nền tảng vững chắc trở nên quan trọng hơn bao giờ hết, trong đó mọi bước đi đều phải đạt được tính logic và mọi lập luận đều phải sáng rõ. Kết quả là chính Russell đã trở thành một trong những nhà triết học-toán học quyết định dấn thân vào chương trình xây dựng lại toán học. “Principia Mathematica” (Nguyên lí toán học) Mối quan tâm của Russell về những vấn đề này bắt đầu nảy sinh từ năm thịnh vượng 1900, tại Hội nghị Triết học Quốc tế lần thứ nhất diễn ra ở Paris30. Ngày 3 tháng 8, Russell được nghe nhà triết học-toán học Giuseppe Peano trình bày trước hội nghị. Ông có ấn tượng rất mạnh với tư tưởng mạch lạc của Peano đến nỗi nó đã trở thành điểm mốc xoay chuyển sự nghiệp trí tuệ của ông. Ông tin rằng những lí thuyết của Peano đã nảy nở từ một trí tuệ đã được rèn luyện bởi việc nghiên cứu logic toán học. Đó là điều cốt lõi mà Russell đã tìm kiếm trong nhiều năm; do đó ông trở về Anh và bắt đầu nghiên cứu công trình của Peano. Công việc này làm Russell nhớ lại những ngày còn ngồi trên ghế nhà trường, ông đã cảm thấy băn khoăn về nền tảng logic của môn hình học. Và cùng với cộng sự A. N. Whitehead, ông lao vào đảm đương một sự nghiệp lớn: khám phá nền tảng logic của toán học. Dự án nghiên cứu khổng lồ này cuối cùng dẫn tới kết quả là hai tập sách vĩ đại mang tên Principia Mathematica (Nguyên lí Toán học). Các nhà toán học nói chung thường nghĩ họ lí luận rất chặt chẽ, cho đến khi Russell và những người khác chỉ ra thực chất bên trong các lập luận của họ, nhiều khi các nhà toán học đã sử dụng một cách vô thức những dạng lập luận tinh vi nhưng lại chưa bao giờ được phát biểu chính xác. Kế hoạch của Russell là sử dụng một hệ thống kí hiệu hình thức trong đó tất cả các quy tắc suy diễn phải hoàn toàn rõ ràng dứt khoát. Hệ thống ấy phải có: Một hệ thống các kí hiệu. Một ngữ pháp - những quy tắc kết hợp các kí hiệu thành một công thức (một mệnh đề toán học). Các quy tắc biến đổi cho phép các nhà toán học đi từ một công thức này đến một công thức khác. Các tiên đề. Các chứng minh, dựa trên một số hữu hạn các công thức nối tiếp, bắt đầu từ một tiên đề và lập luận suy diễn từng bước bằng cách sử dụng các quy tắc biến đổi. Khái niệm chứng minh Chương trình của Russell liên quan tới việc xây dựng toán học trên nền tảng logic chặt chẽ, một tư tưởng đi ngược trở về hình học Euclid. Các nhà toán học Hi Lạp cổ đại đã khám phá ra nhiều tính chất hình học của thế giới xung quanh nhưng phải đợi đến Euclid thì những tính chất này mới được tập hợp lại thành sơ đồ logic đơn nhất được gọi là Elements of Geometry (Cơ sở hình học). Euclid bắt đầu bằng những định nghĩa về các thành phần đơn giản nhất của hình học - điểm, đường, mặt, và v.v. Những định nghĩa này được bổ sung bởi các tiên đề, đó là những điểm xuất phát của hệ thống logic của Euclid và ông cho rằng chúng rõ ràng như những chân lí hiển nhiên không cần giải thích, chứng minh. Ví dụ, một trong các tiên đề này là các đường thẳng song song không cắt nhau, bất kể chúng dài chừng nào. Từ điểm xuất phát của các định nghĩa và tiên đề, Euclid tìm cách chứng minh hàng loạt định lí đã biết trong hình học, chẳng hạn như định lí Pythagoras nổi tiếng - Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bổng tống diện tích các hình vuông dựng trên các cạnh góc vuông (xem Hình 2.2). Hình 2.2. Định lí của Pythagoras. Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên các cạnh góc vuông Cốt lõi công trình nghiên cứu của Euclid nằm trong khái niệm chứng minh toán học. Trong các chứng minh của mình, Euclid khởi đầu từ một trong các tiên đề, ngoài ra không thừa nhận điều gì khác, xây dựng nên một chuỗi mắt xích các lập luận, mỗi lập luận nối tiếp với một lập luận tiếp theo một cách logic. Từ đó ông có thể đi tới chân lí của mỗi định lí bằng cách sử dụng một số ít các bước và sử dụng logic để đi từ bước này sang bước tiếp theo. Chứng minh của Euclid không liên quan gì đến các giả định hoặc phỏng đoán, và cùng không dựa trên một “lẽ phải thông thường” nào. Thực chất nó được tạo dựng nên hoàn toàn bởi logic chặt chẽ. Newton cũng đã sử dụng phương pháp tương tự trong tác phẩm vĩ đại, Principles of Natural Philosophy (Nguyên lí triết học tự nhiên), trong đó, lần đầu tiên ông định nghĩa các thuật ngữ cơ bản về không gian, thời gian, v.v. rồi chấp nhận một số ít các tiên đề như những “định luật tự nhiên” của ông. Với những trang bị đó, và bằng cách chứng minh mọi lập luận từng bước một, ông đã thiết lập nên những chân lí về thế giới tự nhiên. Điều làm cho các định lí trong hệ thống của Euclid trở nên đặc biệt hấp dẫn là ở chỗ, một mặt chúng được chứng minh logic từ các tiên đề, mặt khác chúng lại có thể được kiểm chứng thực tế trong thế giới hiện thực và trong không gian ta đang sống. Phương pháp của Euclid vô cùng quan trọng bởi ý nghĩa vận dụng logic và ý nghĩa thực tiễn - các định lí của nó phù hợp và chính xác với kinh nghiệm thực tế. Chúng vừa chặt chẽ về mặt tư duy, vừa thích hợp khi đối chiếu với thực tiễn xung quanh. Toán học tự trừu tượng hoá bản thân nó Nhưng đến thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu đặt câu hỏi, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thay đổi một trong các tiên đề của Euclid? Phải chăng việc đặt ra câu hỏi như thế chỉ để mua vui? Giả sử chúng ta cho rằng các đường thẳng song song sẽ cắt nhau tại một điểm? Một tiên đề mới kiểu như thế sẽ không có chỗ dựa trong không gian thực tế chúng ta đang sống. Nhưng ý nghĩa cốt lõi của cách đặt vấn đề này là ở chỗ, trong trường hợp thay đổi một trong các tiên đề, liệu toàn bộ hệ thống có tạo nên một thứ hình học mới đối lập với hình học cũ nhưng vẫn đảm bảo tính phi mâu thuẫn về mặt logic hay không? Và liệu thứ hình học mới này có đúng trong một vũ trụ của khoa học giả tưởng đối lập với vũ trụ thông thường hay không? Tóm lại, các nhà toán học bắt đầu băn khoăn về hệ thống tiên đề trừu tượng - cái không còn tương thích với hiện thực nữa. Rõ ràng là với một hệ tiên đề hoàn toàn trừu tượng như thế thì vấn đề phi mâu thuẫn trở thành cực kì quan trọng. Chẳng hạn, làm thế nào mà biết thứ hình học mới lạ này là hoàn toàn phi mâu thuẫn nội tại? Sức mạnh của logic Vấn đề về tính phi mâu thuẫn trong toán học luôn luôn được giải quyết nhờ logic. Chẳng hạn, nhà triết học Leibniz đã lí luận rằng logic là ngôn ngữ lí tưởng đối với các nhà triết học. Nhưng logic truyền thống của Hi Lạp cổ đại, La Mã, và giai đoạn đầu thời Trung cổ đều dựa trên những lập luận thuần tuý bằng lời: Giả sử nếu A đúng thì suy ra B. Hoặc, A không thể đồng thời vừa là A vừa là “không-A”. Do vậy, Leibniz đề nghị các lập luận bằng lời nên được thay thế bằng những chuỗi kí hiệu. Từ đó, logic kí hiệu ra đời. Một chuỗi kí hiệu cũng nói lên cùng một vấn đề như những mệnh đề bằng lời nhưng theo cách tiết kiệm hơn, hơn nữa, cấu trúc của một hệ như thế sẽ hoàn toàn rõ ràng và trong suốt đến nỗi có thể dễ dàng phát hiện bất kì lỗi logic nào. Bằng cách rút gọn mọi lập luận thành những chuỗi kí hiệu logic, người ta có thể phân tích các chứng minh về nền tảng của toán học theo một phương pháp cực kì chặt chẽ và chính xác. Nhưng những chứng minh nào cần phải xem xét? Cho đến bây giờ chúng ta chỉ mới đề cập tới việc đếm, nhưng toán học còn chứa đựng nhiều vấn đề khác nữa chứ không phải chỉ có những con số. Vậy với phép tính tích phân, hình học, đại số, v.v. thì làm thế nào? Nói rõ hơn, làm thế nào để biến hình học thành những chuỗi kí hiệu logic? Để thấy được điều này, hãy trở lại với Euclid và cuốn Cơ sở hình học (Elements of Geometry) của ông. Các định lí của ông đề cập tới vấn đề các tam giác bằng nhau, chia đôi các vòng tròn, v.v. Nhưng Descartes đã chỉ ra rằng mọi điểm trên mặt phẳng có thể được xác định bởi hai con số, các toạ độ x và y của nó. Bằng cách đó, một đường thẳng có thể được mô tả bởi một phương trình, chẳng hạn đường thẳng y = 3x hoặc đường cong y = x2. Áp dụng phương pháp của Descartes, hình trong hình học có thể được biểu diễn bởi các phương trình đại số. Điều này có nghĩa là các định lí hình học có thể quy về nghiệm và tính chất của các phương trình này. Toàn bộ hình học, cùng với toàn bộ các chứng minh của nó, có thể quy về đại số. Đến lượt nó, đại số lại có thể quy về các định lí về số. Và các định lí về số lại có thể được thể hiện bằng logic kí hiệu. Quá trình biến đổi này cho phép quy toàn bộ toán học về đại số và các quy tắc đại số được phân tích theo logic kí hiệu. Càng phát triển toán học sâu theo hướng trên càng tốt. Nhưng nhà toán học David Hilbert chỉ ra rằng bằng cách quy giản hình học về đại số, các nhà toán học đơn giản là đã đẩy gánh nặng sang đại số. David Hilbert lí luận rằng sẽ có nhiều y nghĩa hơn nếu làm cho từng lĩnh vực và mọi lĩnh vực của toán học tự nó có thể trình bày tính phi mâu thuẫn dưới dạng hình thức. Thay vì chứng minh hình học thông qua đại số hoặc biểu diễn các điểm trong không gian thông qua những con số, mỗi ngành của toán học nên được quy giản thành một hệ thống kí hiệu hình thức. Chương trình Hilbert Hilbert đẩy vấn đề đi xa hơn bằng cách chất vấn tại sao chúng ta cần phải diễn dịch hình học dưới dạng những thuật ngữ đại số. Trong toán học thuần tuý thực sự, ý nghĩa của chúng không có vấn đề gì đáng bàn (kí hiệu không mang ý nghĩa thực tế vật chất gì cả). Toán học đơn giản chỉ là mô hình thuần tuý của các kí hiệu, mỗi kí hiệu nối với một kí hiệu tiếp theo một cách logic tuỳ thuộc vào những quy tắc chặt chẽ của quy trình suy diễn. Thay vì băn khoăn vớì ý nghĩa của các kí hiệu này, chúng ta cần quan tâm tới việc thiết lập những quy tắc chính xác để vận dụng chúng nhằm mục đích đi từ dòng chứng minh này tới dòng chứng minh tiếp theo. Đó là chương trình vĩ đại của David Hilbert đối với nền tảng toán học - con đường huy hoàng của ông hướng tới vương quốc xác định. Hilbert muốn liệt kê mọi sự thừa nhận có thể có và các nguyên lí logic được sử dụng trong toán học: Không có cái gì bị che đậy; mọi thứ đều phải thể hiện rõ trên bê mặt. Thay vì dựa vào từ ngữ, mọi bước của chứng minh cần phải được thay thế bởi chuỗi kí hiệu logic chặt chẽ chính xác cùng với những quy tắc để đi từ bước này tới bước khác. Một cách lí tưởng, toàn bộ vấn đề có thể được giải quyết tự động. Nói theo ngôn ngữ hiện đại, cung cấp cho Computer một hệ tiền đề và một tập hợp các quy tắc theo trình tự, nó sẽ tạo ra mọi định lí toán học. Hình 2.3. Chân dung David Hilbert (1862-1943) Phương pháp tiên đề hoá của Hilbert có vẻ như rõ ràng đến mức ai cũng có thể hiểu được. Dường như không có cơ hội tìm thấy lỗi ở đó. Không có một sự thừa nhận nào bị che đậy, không có gì tồn tại bên ngoài hệ thống mà chưa được định nghĩa trước đó, và ngoài hệ thống logic kí hiệu ra không còn gì khác. Đó cùng chính là phương pháp nghiên cứu của Russell và Whitehead khi họ viết ra công trình khổng lồ thâu tóm toán học vào bên trong một hệ thống tuyệt đối chặt chẽ chính xác. Chủ nghĩa trực giác Nhưng không phải mọi người đều tán thành với Hilbert trong ý đồ quy giản toán học về một chuỗi logic thuần tuý. Nhà toán học Hà Lan L. E. J. Brower cho rằng rằng toán học không thể giản lược thành những chuỗi kí hiệu logic vô nghĩa đơn thuần. Ông nói, khái niệm đếm nảy sinh từ kinh nghiệm trực giác của chúng ta về thời gian, cho phép chúng ta phân biệt hiện tại với cái không phải là hiện tại. Điều đó xảy ra ở một tầng nhận thức sâu sắc, mang tính tâm lí, ông nhấn mạnh, nhờ đó chúng ta hình thành nên khái niệm về “cái hai” (two-ness) hoặc sự khác biệt. Vì khả năng đếm của chúng ta xuất phát từ sự trải nghiệm tinh thần rất căn bản này, nên lí lẽ toán học sẽ hoạt động như một sự tìm tòi nghiên cứu ở một tầng tâm lí sâu sắc, đó là lập luận của Brower nhằm bênh vực cho chủ nghĩa trực giác. Cuốn Principia được công bố Không chịu được sự chỉ trích của Brower, Russell và Whitehead đẩy mạnh việc công bố chương trình nghiên cứu của họ. Nó đồ sộ đến mức hai nhà toán học-triết học này phải dùng một chiếc xe cút kít để chở bản thảo tới nhà xuất bản! Với những kết quả đã được in ấn, các nhà toán học trên thế giới phải quyết định xem liệu hai nhà toán học này đã thật sự đặt toán học trên một nền tảng logic vững chắc hay chưa. Một số người vẫn băn khoăn về nghịch lí Russell. Nhưng chính Russell lại cho rằng đó chẳng qua là một sự lẫn lộn nảy sinh từ việc trộn lẫn các dạng lập luận logic khác nhau - lẫn lộn khái niệm lớp với lớp của các lớp. Không phải ai cũng bị thuyết phục bởi ý kiến này. Phải chăng Russell đã đưa ra một lời giải đúng đắn hay chẳng qua ông đã “nhét rác xuống dưới tấm thảm”31? Hơn nữa, một số nhà toán học không lấy làm thích thú với những tiêu chuẩn lập luận logic mà Russell và Whitehead đã sử dụng. Định lí của Gödel Các nhà toán học vẫn không quyết định dứt khoát liệu toán học đã được thiết lập đầy đủ và phi mâu thuẫn hay chưa. Cuối cùng, vào năm 1931, một công trình bằng tiếng Đức nhan đề “Về những mệnh đề không quyết định được một cách hình thức trong cuốn Principia Mathematica và những hệ liên quan” đã làm rung chuyển thế giới toán học và đặt dấu chấm hết cho chương trình của Hilbert, Russell và Whitehead. Tác giả của nó là Kurt Gödel, hai mươi lăm tuổi, đang sống ở Vienna. Công trình của ông đã chỉ ra một lần và mãi mãi rằng tính phi mâu thuẫn nội tại của phương pháp tiên đề, được tôn thờ từ thời Euclid, có những hạn chế. Nói chính xác hơn, nếu một hệ tiên đề đủ phong phú để tạo ra toán học thì nó không bao giờ có thể được chứng minh là phi mâu thuẫn. Hơn thế nữa, một hệ như thế vốn dĩ không đầy đủ, tức là bất toàn. Chứng minh của Gödel cực kì khéo léo. Để bắt đầu thực hiện, ông nhất quyết tránh sự khác biệt giữa toán học với cái được gọi là siêu-toán học. Trong chương trình Hilbert, mục tiêu của Hilbert là sử dụng logic kí hiệu để chứng minh toán học vừa đầy đủ vừa phi mâu thuẫn. Nhưng điều đó có nghĩa là toán học bản thân nó đang được thảo luận và phân tích bởi một hệ thống kí hiệu khác. Hệ thống nói về toán học và tạo ra nhũtng mệnh đề trình bày về toán học không phải là chính bản thân toán học, mà là siêu toán học, một hệ thống nằm ngoài toán học nhưng được sử dụng để mô tả nó. Đột phá thiên tài của Gödel là khám phá ra một phương pháp vẫn nằm bên trong toán học bằng cách sáng tạo ra một hệ thống kí hiệu nằm bên trong toán học cho phép xem xét chính bản thân toán học và do đó có thể tạo ra những mệnh đề trình bày về chính bản thân nó - thậm chí đi tới chỗ chứng minh hoặc phủ nhận tính phi mâu thuẫn của chính bản thân nó. Những chi tiết chứng minh của Gödel vượt quá phạm vi cuốn sách này - vài gợi ý của chứng minh được trình bày ở phần Phụ lục. Thực chất, Gödel đã bắt đầu chứng minh bằng cách gán cho mỗi kí hiệu một con số tương ứng. Và dĩ nhiên là các con số, một cách rất tự nhiên, phải nằm bên trong vương quôc toán học - chúng không nằm trong phạm vi siêu-toán học. Bằng cách kết hợp những con số này với nhau theo một cách đặc biệt, Gödel cho thấy mỗi mệnh đề trong chứng minh cũng có thể tương ứng với một con số duy nhất. Như thế mỗi mệnh đề toán học sẽ được xác định bởi một con số tương ứng. Nếu biết con số đó, người ta có thể giải mã nó và viết lại thành mệnh đề toán học tương ứng. Tiếp theo, mọi định lí - cùng với tất cả mọi dòng trong quá trình chứng minh của nó - cũng tương ứng với một con số nhặn dạng duy nhất. Hơn nữa, một mệnh đề trình bày về toán học, hoặc một siêu-mệnh đề nếu bạn muốn, cũng có một con số tương ứng, và khi đã là một con số nó sẽ đồng thời là một bộ phận của số học. Cuối cùng, Gödel đã có thể đi tới những con số tương ứng với những mệnh đề chẳng hạn như “mệnh đề đúng này không thể chứng minh được”, hoặc “mệnh đề này là đúng” và “phủ định của mệnh đề này là đúng”. Bằng cách này, ông đã chỉ ra những con số hoàn toàn có giá trị trong số học tương ứng với mệnh đề được phát biểu như sau: “Mệnh đề đúng này không thể chứng minh được”. Điều đó cũng có nghĩa là Gödel đã chứng minh được sự tồn tại của những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh. Nói cách khác, toán học là bất toàn (không đầy đủ). Hơn thế nữa, trong hệ thống của ông có những con số, tức là có những mệnh đề đúng, tương ứng với câu “mệnh đề này đúng” và “phủ định của mệnh đề này đúng”. Điều đó có nghĩa là tính mâu thuẫn (bất nhất) cũng tồn tại bên trong toán học. Gödel đã chứng minh rằng toán học vừa bất toàn vừa mâu thuẫn. Toán học phải bất toàn vì sẽ luôn luôn tồn tại những chân lí toán học không thể chứng minh được. Những chân lí đó tồn tại trong toán học nhưng chúng không bắt nguồn từ bất kì tiên đề hoặc định lí nào. Toán học cũng mâu thuẫn bởi vì một mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó có thể cùng đồng thời tồn tại trong cùng một hệ thống. Hình 2.4. Chân dung Kurt Gödel (1906-1978) Kết quả chứng minh của Kurt Gõdel đã làm rung chuyển thế giới toán học. Chứng minh của ông không thể bác bỏ được. Vậy nếu toán học là chỗ ẩn náu cuối cùng của tính xác định thì giờ đây chỗ dựa cuối cùng ấy đã bị Gödel đá văng đi. Nhưng ý nghĩa của định lí Gödel không dừng lại ở đó: Giống như với nguyên lí bất định của Heisenberg, một lí thuyết mang tính cách mạng, các nhà toán học và triết học tiếp tục chất vấn về ý nghĩa sâu xa của định lí Gödel. Định lí này được diễn dịch như thế nào? Đâu là những ngụ ý của nó? Ví dụ như khi nói có những mệnh đề toán học đúng nhưng không thể chứng minh thì ý nghĩa chính xác của câu nói đó là gì? Những chân lí kiểu như thế có ý nghĩa gì? Làm thế nào nhận ra một chân lí như thế nếu chúng ta gặp nó? Những chân lí không thể chứng minh Một ví dụ về một mệnh đề toán học không thể chứng minh được có lẽ là “Giả thuyết Goldbach”. Giả thuyết này nói rằng “mọi số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố” (số nguyên tố là số chỉ chia hết cho chính nó và cho 1). Tất nhiên là điều này biểu lộ qua công việc thực hành, như những ví dụ sau đây cho thấy: 20 = 17 + 3 10 = 7 + 3 8 = 7 + 1 Chưa một nhà toán học nào tìm thấy một ngoại lệ của giả thuyết này, và nó đã được kiểm chứng đối với một số lượng vô cùng lớn các số trên computer, mặc dù không thể kiểm chứng đối với mọi số có thể có - vì có một số vô hạn các con số. Các nhà toán học hầu như tin chắc rằng giả thuyết Goldbach là đúng, nhưng chưa ai có thể chứng minh được nó. Phải chăng đây là loại chân lí không thể chứng minh được mà Gödel đã đề cập tới? Hoặc một ngày nào đó sẽ có những nhà toán học tài ba tìm ra cách chứng minh giống như việc đã diễn ra với định lí cuối cùng của Fermat? Giả sử giả thuyết Goldbach là một chân lí căn bản về số, một chân lí không bao giờ có thể chứng minh được. Tại sao không sáp nhập nó vào toán học như một trong những tiên đề cơ bản? Nếu vậy thì chúng ta đã làm cho số tiên đề số học tăng thêm một tiên đề và chúng ta bắt đầu với một tình thế hoàn toàn mới. Phải chăng điều này sẽ giúp chúng ta tránh được định lí Gödel? Không, định lí Gödel nói rằng một khi bạn bổ sung một tiên đề mới, những chân lí mới không chứng minh được lại nảy sinh. Bất kể bạn xem xét vấn đề thế nào, không có cách nào tránh được điều Gödel đã chứng minh, rằng toán học vốn bất toàn một cách cố hữu. Ý nghĩa công trình của Gödel vẫn tiếp tục gây ra nhiều tranh cãi. Đối với một số người, đó là một chuyện hết sức nhức đầu, một thất bại đối với việc tìm kiếm một đảm bảo cuối cùng trong logic và toán học. Nhưng những người khác lại nhìn nó với một ánh sáng tích cực hơn. Dẫu sao thì chương trình vĩ đại của Hilbert cũng chủ trương quy giản toàn bộ toán học về những thao tác logic, tức là về nguyên tắc, mọi chứng minh toán học có thể thực hiện trên computer. Một chứng minh, Hilbert nói, có thể đạt được thông qua một loạt thuật toán, và những bước như thế có thể tự động hoá. Nhưng giờ đây, Gödel nói với chúng ta rằng phương pháp nghiên cứu đó sẽ có những giới hạn và không thể chứa đựng toàn bộ toán học. Có những việc được làm bởi các nhà toán học nhưng không bao giờ có thể thực hiện được trên computer. Hạn chế của thuật toán Chúng ta hãy lấy tư tưởng thuật toán làm ví dụ32. Thuật toán là một quy tắc đơn giản, hoặc một nhiệm vụ cơ bản, lặp đi lặp lại nhiều lần. Bằng cách này, thuật toán có thể tạo ra những cấu trúc phức tạp đến mức đáng kinh ngạc. Chẳng hạn, chúng có thể được sử dụng trên computer để tạo ra những mô hình fractal33. Mô hình fractal toán học được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại những cấu trúc đơn giản theo quy mô nhỏ dần mãi mãi. Bằng cách này một hình trông bề ngoài phức tạp, chứa đựng những chi tiết nhỏ vô tận, có thể được tạo ra bằng cách áp dụng lặp đi lặp lại một thuật toán đơn giản. Những mô hình fractal này lần lượt bắt chước một số mô hình phức tạp tìm thấy trong tự nhiên. Rốt cuộc, nhiều tổ chức và khóm cụm sẽ tăng trưởng thông qua việc lặp đi lặp lại những quá trình căn bản, chẳng hạn như, việc mọc nhánh hoặc phân chia nhánh. Hình mẫu phức tạp của gạch đá hoa trong các ngôi đền Hồi giáo là kết quả của một mô hình cơ bản được lặp đi lặp lại mãi mãi. Những mô hình tương tự cũng có thể tìm thấy trong âm nhạc Arập. Cũng tương tự như những cấu trúc tinh thể đẹp đẽ tìm thấy trong tự nhiên là kết quả của một quá trình sắp xếp vị trí của các nguyên tử sao cho nguyên tử này được đặt nối tiếp với nguyên tử kia theo kiểu lặp đi lặp lại. Những tổ mối được tìm thấy ở miền nhiệt đới có chiều cao vài feet dường như là những công trình kiến trúc bậc thầy. Tuy nhiên, không có con mối nào có trong đầu nó bản thiết kế của tổ mối. Thực ra, mỗi con mối đều có một nhiệm vụ cực kì đơn giản là mang các viên đất đặt lên những cái cọc. Sử dụng một quy tắc đơn giản, lặp đi lặp lại, chúng tạo nên loàn bộ cái tổ. Có vô vàn ví dụ về những cấu trúc tinh vi và những quá trình có bề ngoài phức tạp được hình thành thông qua những quy tắc đơn giản lặp đi lặp lại, tất cả những cái đó đều có thể dễ dàng được mô phỏng trên computer. Do đó, có xu hướng liều lĩnh tin rằng, vì nhiều mô hình phức hợp được tạo nên từ một quy tắc thuật toán đơn giản, suy ra mọi sự phức tạp đều được sáng tạo ra theo cách đó. Cũng như thế, vì các mô hình fractal có thể tái tạo ra hình ảnh của cây cối, sông ngòi, các đám mây, và các triền núi, người ta dễ bị quyến rũ để tin rằng mọi hệ thống tự nhiên đều hình thành và phát triển theo các quy tắc thuật toán fractal. Nhưng định lí Gödel chỉ ra một giới hạn về bản chất trong cách suy nghĩ này. Một phần lớn cấu trúc phức tạp có thể giải thích được thông qua các thuật toán, nhưng không phải mọi thứ đều có thể giải thích như vậy. Ví dụ điển hình là bài toán được gọi là “lát gạch đá hoa Penrose” (Penrose tiling). Phần lớn các hệ thống lát gạch đá hoa - nói cách khác, các hệ thống trải rộng mô hình thông qua các động tác lặp đi lặp lại - chỉ đòi hỏi một quy tắc đơn giản là làm thế nào để lát một tấm gạch đá hoa tiếp theo tấm gạch lân cận nó. Thực hiện quy trình này, một người có thể lát gạch đá hoa suốt cả ngày mà không có lúc nào phải đứng lên để ngắm nhìn lại toàn bộ kêt quả công trình. Tuy nhiên, nhà toán học Roger Penrose đà chỉ ra rằng có những hệ thống gạch đá hoa mà quy tắc đặt tấm gạch lân cận không đủ để hoàn tất mô hình. Kể từ lúc bắt đầu đặt những tấm gạch đá hoa đó xuống, sớm hay muộn rồi cũng sẽ đến lúc không thể lát tấm gạch tiếp theo sao cho khớp với mô hình. Cách duy nhat để có thể lát những tấm gạch đá hoa Penrose là phải đứng dậy và xem lại hiệu quả tổng thể. Ở nơi nào các thuật toán chỉ làm việc thông qua các quy tắc cục bộ, ở đó các tấm gạch đá hoa Penrose đòi hỏi phải có sự đánh giá xem xét mô hình trên phạm vi tổng thể. Hình 2.5. Bảy kiểu lát gạch Penrose từ hai loại gạch cơ bản là hình cánh diều và hình ngọn mác, các hình này không thể phát triển tiếp tục theo cách lặp đi lặp lại nữa Hơn thế nữa, người ta đã khám phá ra một số tinh thể cũng có cùng kiểu đối xứng giống như các tấm gạch đá hoa Penrose. Có nghĩa là những tinh thể này không hình thành một cách đơn giản bằng cách lắp ghép một nguyên tử khớp với nguyên tử bên cạnh; chúng, với tư cách là một tổng thể, bằng cách này hay cách khác phải có một kiểu hình thành trên phạm vi toàn cục. Đó chính là cái mà người ta mong đợi tìm thấy trong lí thuyết lượng tử. Một hệ lượng tử không giống như một chiếc máy bao gồm một dãy các thành phần nối kết với nhau, mà hơn thế, nó giống như một tổng thể hữu cơ. Chiến lược nhận thức Có một lĩnh vực khác mà ở đó các thuật toán có lẽ cũng bị hạn chế, đó là hệ tâm lí nhận thức. Khoa học tâm lí về nhận thức tìm cách giải thích vấn đề ứng xử của con người, chủ yếu là ý thức của con người, thông qua nhiều “chiến lược nhận thức” (cognitive strategies) khác nhau. Những chiến lược này thường được quy giản thành một loạt các thuật toán mà về nguyên tắc có thể mô phỏng trên computer. Liên quan đến việc mô phỏng này, lĩnh vực chữa trị bệnh thần kinh cũng trở nên hữu dụng đối với nhiều người. Các bác sĩ thần kinh nhận dạng các mô hình tư duy lặp đi lặp lại - nguyên nhân dẫn tới những cơn hoảng loạn, mất khả năng tự chủ, hoặc ứng xử gây huỷ hoại các mối quan hệ. Cách điều trị bao gồm việc làm cho bệnh nhân nhận ra những mô hình như thế và sử dụng những chiến lược đơn giản để phá vỡ dây xích tư duy lặp đi lặp lại đó. Nhưng một lần nữa, những kết quả của Gödel ngụ ý rằng bất kì một hệ thống thuật toán nào cũng có những giới hạn cố hữu. Có lẽ có một số khía cạnh của ý thức và ứng xử có thể giải thích được thông qua những mô hình phản ứng máy móc, và quả thật hầu hết chúng ta dần dần thấy mình phản ứng một cách máy móc, tuy nhiên không phải tất cả cuộc sống có ý thức của chúng ta đều có thể giải thích được theo cách đó. Trí tuệ nhân tạo Liên quan tới vấn đề trên là một phê bình đối với chương trình trí tuệ nhân tạo (AI - Artificial Intelligence). Chẳng hạn, Roger Penrose lí luận rằng, mặc dù Computer sẽ trở nên nhanh hơn và mạnh hơn, thậm chí tới mức chúng ta không còn hiểu làm thế nào mà các chương trình của chúng được viết ra nữa (như thể chúng bắt đầu viết các mã riêng của chúng vậy), tuy nhiên chúng vẫn có giới hạn cố hữu trong bản chất và không bao giờ có thể đạt được cấp độ trí thông minh ý thức mà con người sở hữu. Penrose bị một số bộ phận trong cộng đồng AI chỉ trích, tuy nhiên lập luận của ông là rất hữu ích và đúng đắn. Một lần nữa, vấn đề là ở chỗ “trí thông minh” dựa trên silicon vẫn gắn liền với việc sử dụng các thuật toán. Bằng cách thực hiện hàng tỉ động tác lặp đi lặp lại với một tốc độ vô cùng lớn, computer có thể chơi cờ, mô phỏng sự nhìn, nhận ra các khụôn mặt, “hiểu” được các văn bản viết, v.v. Khi computer trở nên nhanh hơn, chứa """