🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Bài giảng giải tích hàm
Ebooks
Nhóm Zalo
Bài giảng
GIẢI
TÍCH
HÀM
|| f ||p
Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ
Bài giảng Giải tích hàm
Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 10 tháng 4 năm 2023
ii
Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn MTH10403 Giải tích hàm trình độ đại học tại Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
Giải tích hàm là một trong những môn ở đó sinh viên có những hiểu biết đầu tiên về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là cần thiết cho nhiều chuyên ngành toán cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi mà khả năng tiếp thu và sử dụng các lý luận toán học trừu tượng và chính xác tiếp tục được rèn luyện và kiểm tra. Phần đông sinh viên có thể học môn này từ học kì thứ tư trở về sau.
Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục cùng các định lý cơ bản về chúng, không gian Hilbert. Dấu ✓ ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng, nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn hoặc nâng cao hơn so với yêu cầu chung của môn học.
Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ (người biên tập, email: [email protected]). Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
Các góp ý vui lòng gởi về cho người biên tập.
Bản mới nhất của tài liệu này, cùng mã nguồn, có ở
https://sites.google.com/view/hqvu/teaching.
Tài liệu này dùng bản quyền Public Domain (CC0)
http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/,
nếu áp dụng được, nếu không thì dùng bản quyền Creative Commons Attribution 4.0 International License
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
Mục lục
Giới thiệu 1
1 Không gian mêtríc 3 1.1 Mêtríc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Không gian compắc và không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Không gian định chuẩn 15 2.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Không gian ℓ��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Không gian ����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 45 3.1 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Tính chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Ánh xạ tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . 50 3.4 Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6 Định lý Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 * Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Không gian Hilbert 67 4.1 Không gian tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Phép chiếu vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4 Họ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iii
iv MỤC LỤC
4.5 * Khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hướng dẫn học tiếp 97 Gợi ý cho một số bài tập 99 Tài liệu tham khảo 101 Chỉ mục 103
Giới thiệu
Vào các thế kỉ 18, 19, sự phát triển vượt bậc ở châu Âu trong thời đại Khai sáng và Cách mạng công nghiệp thúc đẩy những khảo cứu cả học thuật và thực dụng. Trong đó có các khảo cứu của Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier và nhiều người khác về các hiện tượng vật lí, như sự truyền sóng và sự truyền nhiệt. Trong các khảo sát này này đối tượng cần tìm là các hàm số, chẳng hạn nhiệt độ là một hàm số của vị trí và thời điểm, và các hiện tượng thường được miêu tả bằng các phương trình trên các hàm. Nghiên cứu những phương trình này đưa đến việc các tính chất của các tập hợp hàm dần dần chiếm vị trí trung tâm. Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay không dẫn tới những khảo sát các ánh xạ trên các tập hợp hàm, hay việc xấp xỉ nghiệm dẫn tới nhu cầu đưa ra cách đo độ khác biệt giữa các hàm.
Đáng chú ý là nhiều tập hợp hàm có cấu trúc của không gian tuyến tính vô hạn chiều, ví dụ tập hợp các đa thức hay tập hợp các hàm số liên tục. Từ đó có nhu cầu khảo sát các khái niệm giải tích như hội tụ và liên tục trên các không gian vô hạn chiều. Môn Giải tích hàm có thể miêu tả sơ lược ngắn gọn là giải tích trên không gian tuyến tính vô hạn chiều .
Từ đầu thế kỉ 20 Giải tích hàm định hình và phát triển nhanh chóng, vừa do sự phát triển nội tại của toán học, vừa do nhu cầu của khoa học và kĩ thuật. Ngày nay Giải tích hàm đã trở thành một phần cơ bản của toán học và môn Giải tích hàm trở thành một môn cơ sở trong chương trình đào tạo đại học ngành toán.
1
2 MỤC LỤC
Chương 1 Không gian mêtríc
Không gian mêtríc là phát triển tương tự của không gian Euclid, là tập hợp trên đó có khoảng cách.
Ở chương này chúng ta ôn tập một số tính chất của không gian mêtríc có liên quan tới môn giải tích hàm. Những nội dung này đã có trong môn Giải tích 2, người học nên ôn tập, đọc lại các giáo trình như [17, 18] hoặc nhiều tài liệu khác như [4], [10]. Trong phần nhắc lại này chúng ta nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa và khả năng liên hệ các phần kiến thức chứ không chỉ kiểm tra tính đúng đắn của mỗi mệnh đề. Một số mệnh đề quan trọng với môn Giải tích hàm không chỉ bởi kết quả mà còn bởi lý luận giải thích chứng minh, người học nên làm lại để củng cố.
1.1 Mêtríc
Mêtríc nghĩa là khoảng cách ¹. Một không gian mêtríc là một tập hợp có khoảng cách giữa các phần tử. Khoảng cách tổng quát cần có những tính chất được tổng kết từ khoảng cách Euclid trong không gian R�� mà ta đã sử dụng trong các môn học trước.
1.1.1 Định nghĩa. Cho �� là một tập hợp không rỗng. Một ánh xạ
�� : �� × �� → R
(��, ��) ↦→ ��(��, ��)
được gọi là một mêtríc trên �� nếu các tính chất sau thỏa với mọi ��, ��, �� ∈ ��: (a) ��(��, ��) ≥ 0, và ��(��, ��) = 0 ⇐⇒ �� = �� (xác định dương),
(b) ��(��, ��) = ��(��, ��) (đối xứng),
(c) ��(��, ��) ≤ ��(��, ��) + ��(��, ��) (bất đẳng thức tam giác).
Cặp (��, ��) được gọi là một không gian mêtríc hay một không gian có khoảng cách. Mỗi phần tử của tập �� khi đó còn được gọi là một điểm.
Không gian mêtríc (��, ��) hay được viết vắn tắt là �� khi mêtríc �� được ngầm hiểu hoặc không cần được xác định cụ thể.
¹Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa là “cách đo”, có họ hàng với từ metre (mét). 3
4 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC ��
�� ��
Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác.
1.1.3 Ví dụ (không gian Euclid R��). Với �� ∈ Z+, tập hợp R�� = {(��1, ��2, . . . , ����) | ��1 ∈ R, ��2 ∈ R, . . . , ���� ∈ R} với mêtric Euclid
q
��( (��1, ��2, . . . , ����), (��1, ��2, . . . , ����)) =
(��1 − ��1)2 + (��2 − ��2)2 + · · · + (���� − ����)2
được gọi là không gian Euclid thực ��-chiều. Đặc biệt khi �� = 1 không gian mêtríc Euclid R có mêtríc thông thường cho bởi giá trị tuyệt đối của hiệu hai số thực, ��(��, ��) = |�� − ��|, chính là khoảng cách giữa hai số thực, vốn đã quen được gọi là đường thẳng Euclid.
Việc khoảng cách Euclid thỏa bất đẳng thức tam giác có thể được kiểm như sau. Xét bất đẳng thức
��(��, ��) + ��(��, ��) ≥ ��(��, ��)
tức là Õ�� ��=1
(���� − ����)2
! 12
+
�� ��=1
(���� − ����)2
! 12
≥
�� ��=1
(���� − ����)2
! 12
.
Viết ���� = (���� − ����), ���� = (���� − ����) thì bất đẳng thức trên trở thành
�� ��=1
��2��
! 12
+
�� ��=1
��2��
! 12
≥
�� ��=1
(���� + ����)2
! 12
. (1.1.4)
Bình phương hai vế thì bất đẳng thức trên trở thành
�� ��=1
��2��
!
+
�� ��=1
��2��
!
+ 2
�� ��=1
��2��
! 12 �� ��=1
��2��
! 12
≥
�� ��=1
(���� + ����)2
=
�� ��=1
��2��
!
+
�� ��=1
��2��
!
+ 2
�� ��=1
��������.
Rút gọn thì bất đẳng thức trên trở thành Bất đẳng thức Buniakowski, nói rằng với các số thực ����, ����, 1 ≤ �� ≤ �� bất kì thì
! 12 ��
! 12
��
��
��2��
��2��
�������� ≤
.
��=1
��=1
��=1
(1.1.5)
1.2. ĐÓNG, MỞ, HỘI TỤ, LIÊN TỤC 5
1.1.6 Ví dụ (không gian Euclid C��). Về mặt tập hợp thì C = {(��, ��) | �� ∈ R, �� ∈ R} = R2. Mỗi phần tử (��, ��) ∈ C được gọi là một số phức và được viết là �� + ���� với �� được gọi là đơn vị ảo. Phép cộng trên C được định nghĩa là (�� + ����) + (�� + ����) = (�� + ��) + (�� + ��)��, tức là (��, ��) + (��, ��) = (�� + ��, �� + ��), trùng với phép cộng của không gian Euclid R2. Trên C còn có một độ lớn, còn được gọi là môđun, cho bởi |�� + ����| =√��2 + ��2. Khoảng cách giữa hai số phức ��1 = ��1 + ��1�� và ��2 = ��2 + ��2�� được cho bởi
|��1 − ��2| = | (��1 − ��2) + (��1 − ��2)��| =p(��1 − ��2)2 + (��1 − ��2)2,
chính bằng khoảng cách giữa (��1, ��1) và (��2, ��2) trong không gian Euclid thực R2. Vì vậy nếu chỉ quan tâm tới khía cạnh không gian mêtríc thì C trùng với R2. Với �� ∈ Z+thì tập hợp C�� = {(��1, ��2, . . . , ����) | ��1 ∈ C, ��2 ∈ C, . . . , ���� ∈ C} với mêtric
q
��( (��1, ��2, . . . , ����), (��1, ��2, . . . , ����)) =
|��1 − ��1|2 + |��2 − ��2|2 + · · · + |���� − ����|2
được gọi là không gian Euclid phức ��-chiều. Nếu ta đồng nhất tập hợp C�� với tập hợp R2��thì mêtríc Euclid của C��cũng chính là mêtríc Euclid của R2��. Vậy nếu chỉ quan tâm tới khía cạnh không gian mêtríc thì C��trùng với R2��.
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục
1.2.1 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (��, ��), �� ∈ �� và số thực �� > 0. Các tập ��(��, ��) = {�� ∈ �� | ��(��, ��) < ��}
��′(��, ��) = {�� ∈ �� | ��(��, ��) ≤ ��}
��(��, ��) = {�� ∈ �� | ��(��, ��) = ��}
lần lượt được gọi là quả cầu mở, quả cầu đóng, mặt cầu tâm �� bán kính ��.
1.2.2 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (��, ��). Tập �� ⊂ �� là một tập mở trong �� nếu mỗi điểm thuộc �� có một quả cầu của �� tâm tại điểm đó chứa trong ��. Bằng kí hiệu:
∀�� ∈ ��, ∃�� > 0, ��(��, ��) ⊂ ��.
Nếu �� \ �� là một tập mở, ta nói �� là một tập đóng trong ��.
1.2.3 Ví dụ. Mọi quả cầu mở đều là một tập mở, mọi quả cầu đóng cũng như mặt cầu đều là tập đóng. Ngoài ra, trong không gian mêtríc ��, các tập ∅ và �� là các tập vừa đóng vừa mở trong ��.
1.2.4 Ghi chú. Khi nói tới “mở”, “đóng” ta phải hiểu rõ là đang nói tới không gian
6 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
mêtríc nào, vì cùng một tập hợp có thể là tập con của những không gian mêtríc khác nhau và nhận những mêtríc khác nhau, do đó tính mở, đóng cũng khác. Khi đã hiểu rõ thì có thể nói tắt không cần nhắc tới không gian mêtríc chứa.
1.2.5 Mệnh đề. Cho một không gian mêtríc (��, ��) và (����)��∈��là một họ các tập con của ��. Ta có
(a) Nếu ∀�� ∈ ��,����là tập mở thì Ð��∈�� ����là một tập mở, và nếu �� là tập hữu hạn thì
Ñ
��∈�� ����là một tập mở.
(b) Nếu ∀�� ∈ ��, ����là tập đóng thì Ñ��∈�� ����là một tập đóng, và nếu �� là tập hữu hạn thì Ð��∈�� ����là một tập đóng.
Cho không gian mêtríc (��, ��) và �� là một tập con của ��. Điểm �� ∈ �� được gọi là một điểm dính của �� nếu mọi quả cầu tâm �� có chứa ít nhất một phần tử của ��, nghĩa là
∀�� > 0, ��(��, ��) ∩ �� ≠ ∅.
Tập tất cả các điểm dính của �� được gọi là bao đóng của ��, ký hiệu là ��¯ hay cl(��) (closure).
Điểm �� ∈ �� được gọi là một điểm trong của �� nếu tồn tại một quả cầu của �� tâm �� chứa trong ��, nghĩa là
∃�� > 0, ��(��, ��) ⊂ ��.
Tập tất cả các điểm trong của �� được gọi là phần trong của ��, ký hiệu là◦�� hay int(��) (interior).
Điểm �� ∈ �� được gọi là một điểm biên của �� nếu mọi quả cầu của �� tâm �� có chứa ít nhất một phần tử của ��, và có chứa ít nhất một phần tử không thuộc ��, nghĩa là
∀�� > 0, ��(��, ��) ∩ �� ≠ ∅, ��(��, ��) ∩ (�� \ ��) ≠ ∅.
Tập tất cả các điểm biên của �� được gọi là phần biên của ��, ký hiệu là �� ��. 1.2.6 Mệnh đề. Cho là �� một tập con của một không gian mêtríc thì (a) ��¯ là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa ��,
(b) �� là một tập đóng nếu và chỉ nếu �� = ��¯,
(c)◦�� là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong ��,
(d) �� là một tập mở nếu và chỉ nếu �� =◦��.
1.2.7 Định nghĩa. Cho (����)��≥1 là một dãy các phần tử của một không gian mêtríc (��, ��). Ta nói (����)��≥1 là dãy hội tụ trong �� nếu tồn tại �� ∈ �� sao cho
∀�� > 0, ∃��0 ∈ Z+, ∀�� ∈ Z+, �� ≥ ��0 =⇒ ��(����, ��) < ��.
1.2. ĐÓNG, MỞ, HỘI TỤ, LIÊN TỤC 7
Điều này có nghĩa là phần tử của dãy gần �� tùy ý miễn chỉ số đủ lớn. Phần tử ��, nếu có, là duy nhất và được gọi là giới hạn của dãy (����)��≥1, ký hiệu lim��→∞ ���� = ��. Ta còn viết ���� → �� khi �� → ∞.
Ta có thể đặc trưng các khái niệm mở, đóng, điểm dính bằng dãy như sau: 1.2.8 Mệnh đề. Cho là một tập con �� trong không gian mêtríc �� và �� ∈ ��. Ta có:
(a) �� là một điểm dính của �� nếu và chỉ nếu tồn tại dãy (����)��∈Z+ trong �� hội tụ về ��.
(b) �� là một tập đóng trong �� nếu và chỉ nếu mọi dãy trong �� mà hội tụ trong �� thì giới hạn của nó nằm trong ��.
1.2.9 Định nghĩa. Cho ánh xạ �� từ không gian mêtríc (��, ����) vào không gian mêtríc (��, ���� ) và ��0 ∈ ��. Ta nói �� là liên tục tại ��0 nếu
∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ����(��, ��0) < �� =⇒ ���� ( �� (��), �� (��0)) < ��.
Điều này có nghĩa là �� (��) gần �� (��0) tùy ý miễn �� đủ gần ��0.
Ta nói �� liên tục trên �� nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc ��.
Ta có đặc trưng của sự liên tục thông qua dãy:
1.2.10 Định lý. Cho ánh xạ �� từ không gian mêtríc (��, ����) vào không gian mêtríc (��, ���� ). Điều kiện cần và đủ để �� liên tục tại �� là với mọi dãy (����)�� trong ��, nếu ���� → �� trong �� thì �� (����) → �� (��) trong ��.
Dưới đây là một đặc trưng thường dùng của ánh xạ liên tục trên cả không gian.
1.2.11 Định lý. Ánh xạ �� từ không gian mêtríc (��, ����) vào không gian mêtríc (��, ���� ) là liên tục trên �� nếu và chỉ nếu ảnh ngược qua �� của tập mở trong �� là tập mở trong ��.
Mệnh đề vẫn đúng nếu thay tập mở bằng tập đóng.
Giới hạn và sự liên tục của ánh xạ trên không gian mêtríc tổng quát hóa các khái niệm này vốn đã có trên không gian Euclid. Cụ thể hơn trên không gian Euclid R��thì các khái niệm giới hạn và liên tục theo nghĩa không gian mêtríc Euclid chính là các khái niệm mà ta đã học trước đây trong các môn Vi tích phân hàm một biến và hàm nhiều biến. Vì vậy ta kế thừa tất cả các kết quả đã có về giới hạn và liên tục trên các không gian Euclid.
1.2.12 Ví dụ. Các hàm số thực sơ cấp như các hàm lũy thừa ����, hàm đa thức, hàm mũ ����, hàm lượng giác sin, cos, …, và các hàm ngược ln, arcsin, arccos, … cùng với các hàm thu được từ chúng bằng các phép toán cộng trừ nhân chia và hàm hợp, đều là các hàm liên tục dưới khoảng cách Euclid.
8 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
Cho không gian mêtríc (��, ��) và �� là một tập con của ��. Ánh xạ ���� ≡ ��|��×�� , tức ���� (��, ��) = ��(��, ��) với mọi ��, �� ∈ ��, là một mêtríc trên �� mà ta gọi là thu hẹp hay hạn chế của mêtríc của �� xuống ��. Không gian mêtríc (��, ���� ) được gọi là một không gian mêtríc con của không gian mêtríc ��.
1.2.13 Ghi chú. Như đã nhắc ở 1.2.4, chú ý rằng với �� là một không gian con của �� và �� là một tập con của �� ta cần phân biệt việc �� đóng hay mở trong �� với việc �� đóng hay mở trong ��. Tương tự, với một dãy trong ��, ta cần phân biệt việc dãy hội tụ trong �� với việc dãy hội tụ trong ��.
1.2.14 Ví dụ. Trên R với mêtríc Euclid, tập [0, 2) tạo thành một không gian mêtríc con. Tập [0, 1) là mở trong không gian [0, 2) nhưng không mở trong không gian R. Dãy ���� = 2 −1��trong [0, 2) không hội tụ trong [0, 2) nhưng hội tụ trong R. Một quả cầu của �� là thu hẹp của một quả cầu của ��:
���� (��, ��) = {�� ∈ �� | ��(��, ��) < ��} = ����(��, ��) ∩ ��.
Từ đó ta có sự liên hệ giữa tính đóng và mở trong một không gian với tính đóng và mở trong một không gian con của nó:
1.2.15 Mệnh đề. Cho �� là một không gian con của một không gian mêtríc �� và �� là một tập con của ��. Ta có:
(a) �� là mở trong �� nếu và chỉ nếu tồn tại tập �� mở trong �� sao cho �� = �� ∩ ��. (b) �� là đóng trong �� nếu và chỉ nếu tồn tại tập �� đóng trong �� sao cho �� = �� ∩��. Dưới đây là một kết quả thường dùng:
1.2.16 Mệnh đề. Thu hẹp của một ánh xạ liên tục xuống một không gian mêtríc con là một ánh xạ liên tục.
1.3 Không gian compắc và không gian đầy đủ
Cho dãy (����)��∈Z+ , nếu ��1 < ��2 < · · · < ���� < · · · là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương thì ta nói dãy (������)��∈Z+ là một dãy con của dãy (����)��∈Z+ .
1.3.1 Định nghĩa. Ta nói không gian mêtríc (��, ��) là compắc ² khi mọi dãy trong �� đều có một dãy con hội tụ trong ��.
Ta thường nói ngắn gọn: không gian là compắc nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ.
Dưới đây là một kết quả quan trọng về tính compắc trên đường thẳng Euclid. ²Trong tiếng Anh từ compact có nghĩa là chặt, gọn.
1.3. KHÔNG GIAN COMPẮC VÀ KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ 9
1.3.2 Định lý (Định lý Bolzano–Weierstrass). Mọi đoạn [��, ��] đều compắc. Mệnh đề cũng thường được phát biểu dưới dạng: Mọi dãy số thực bị chặn đều có một dãy con hội tụ.
Hai lý luận thường dùng để chứng minh Định lý Bolzano–Weierstrass là xây dựng một dãy con hội tụ của dãy đã cho bằng cách lần lượt chia đoạn làm hai phần bằng nhau [5], hoặc xây dựng một dãy con đơn điệu [18]. Để tiện theo dõi ta đưa ra thêm một lý luận nữa dưới đây. Các lý luận này dùng tính tồn tại chặn trên nhỏ nhất, còn gọi là tính liên tục, của tập hợp số thực: mọi tập con không rỗng bị chặn trên của R đều có chặn trên nhỏ nhất (sup – supremum), và mọi tập con không rỗng bị chặn dưới của R đều có chặn dưới lớn nhất (inf – infimum).
Chứng minh. Cho (����)��∈Z+ là một dãy bất kì trong đoạn [��, ��]. Xét dãy (����)��∈Z+ với ���� = inf{���� | �� ≥ ��}. Dãy (����)��∈Z+ là một dãy số thực tăng nên hội tụ (Bài tập 1.4.4) về một số �� (số �� chính bằng sup{���� | �� ∈ Z+}). Ta xây dựng một dãy con (������)��∈Z+ của dãy (����)��∈Z+ như sau. Khởi đầu, với �� = 1, lấy ��1 ∈ Z+sao cho |����1 − ��| <11, và lấy ��1 = ��1. Với mỗi �� ∈ Z+, �� ≥ 2, lấy ���� ∈ Z+sao cho ���� > ����−1 và |������ −��| <1��. Mặt khác, do tính chất của inf, tồn tại ���� ∈ Z+sao cho ���� ≥ ���� và |������ − ������| <1��. Dãy số nguyên (����)��∈Z+ là một dãy tăng ngặt, nên dãy (������)��∈Z+ là một dãy con của dãy (����)��∈Z+ . Ta có
|������ − ��| ≤ |������ − ������| + |������ − ��| <2��,
chứng tỏ dãy (������)��∈Z+ hội tụ về ��. □ 1.3.3 Định nghĩa. Dãy (����)��≥1 trong �� là dãy Cauchy nếu
∀�� > 0, ∃��0 ∈ Z+, ∀��, �� ∈ Z+, (��, �� ≥ ��0 =⇒ ��(����, ����) < ��).
Vậy dãy Cauchy là dãy mà phần tử gần nhau tùy ý miễn chỉ số đủ lớn. 1.3.4 Mệnh đề. Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử dãy (����)�� hội tụ về ��. Bất đẳng thức tam giác cho ��(����, ����) ≤ ��(����, ��) + ��(����, ��).
Như thế khi cả �� và �� đủ lớn thì ��(����, ����) nhỏ tùy ý. □ Ngược lại không phải dãy Cauchy nào cũng hội tụ.
1.3.5 Ví dụ. Trong R thì dãy 1��hội tụ về 0 nên là dãy Cauchy. Nhưng nếu xét trong R \ {0} thì dãy này không hội tụ.
Dãy các số hữu tỉ (1 +1��)�� hội tụ về số vô tỉ �� trong R. Như vậy dãy này là dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q.
10 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
1.3.6 Định nghĩa. Không gian mêtríc (��, ��) là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong �� đều hội tụ trong ��.
Ta thường nói ngắn gọn: không gian là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Một tính chất căn bản và rất quan trọng của tập hợp số thực là tính đầy đủ, cơ sở cho nhiều kết quả chính của môn này:
1.3.7 Định lý (R là đầy đủ). Tập hợp R tất cả các số thực với mêtríc Euclid là một không gian mêtríc đầy đủ.
Chứng minh. Một dãy Cauchy thì phải bị chặn (Bài tập 1.4.6). Một dãy bị chặn các số thực thì có một dãy con hội tụ, theo Định lý Bolzano–Weierstrass 1.3.2. Một dãy Cauchy mà có một dãy con hội tụ thì phải hội tụ (Bài tập 1.4.7). □
Từ tính đầy đủ của R ta suy ra được:
1.3.8 Mệnh đề. Không gian Euclid R��là đầy đủ.
Chứng minh. Ý chính của chứng minh là như sau. Do đặc điểm của khoảng cách Euclid, các dãy tọa độ các phần tử của một dãy Cauchy cũng là các dãy Cauchy, và do đó hội tụ vì các tọa độ này nằm trong một không gian đầy đủ. Cũng do tính chất của khoảng cách Euclid, hội tụ theo tọa độ lại dẫn tới hội tụ của dãy ban đầu. Ý này còn được dùng lại ở các chương sau. Để dễ hiểu hơn người học có thể thử viết trước cho trường hợp �� = 2.
Giả sử (����)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong R��. Viết ���� = (����,1, ����,2, . . . , ����,��). Cho �� > 0, tồn tại �� ∈ Z+sao cho khi �� > ��, �� > �� thì ��(����, ����) < ��. Với mỗi 1 ≤ �� ≤ �� thì với khoảng cách Euclid ta có
|����,�� − ����,��| ≤
vt�� ��=1
|����,�� − ����,��|2 = ��(����, ����) < ��.
Như vậy dãy (����,��)��∈Z+ là một dãy Cauchy các số thực, do đó hội tụ vì tập hợp các số thực là đầy đủ. Đặt ���� = lim��→∞ ����,�� và đặt �� = (��1, ��2, . . . , ����) ∈ R��. Với mỗi �� có ���� ∈ Z+sao cho khi �� > ����thì |����,��−����| < ��, do đó khi �� > �� = max {����| 1 ≤ �� ≤ ��}
thì
��(����, ��) =
vt�� ��=1
|����,�� − ����|2 < ��√��.
Điều này dẫn tới kết luận lim��→∞ ���� = ��. Vậy dãy (����)��∈Z+ hội tụ. □ Vì về mặt không gian mêtríc thì C��trùng với R2��(Ví dụ 1.1.6) nên ta có ngay: 1.3.9 Mệnh đề. Không gian Euclid C��là đầy đủ.
1.3.10 Định nghĩa. Tập �� ⊂ �� được gọi là bị chặn nếu �� được chứa trong một quả cầu nào đó của ��, tức là
∃�� ∈ ��, ∃�� > 0, �� ⊂ ��(��, ��).
1.3. KHÔNG GIAN COMPẮC VÀ KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ 11
1.3.11 Mệnh đề (compắc thì đóng và bị chặn). Cho �� là một tập con của không gian mêtríc ��. Nếu �� là compắc thì �� đóng trong �� và bị chặn.
Chứng minh. Giả sử �� là compắc. Giả sử dãy (����)��∈Z+ trong �� hội tụ về �� ∈ ��. Vì �� compắc nên dãy (����)��∈Z+ có một dãy con (������)��∈Z+ hội tụ về một giới hạn trong ��. Vì với mỗi dãy hội tụ thì mọi dãy con cũng hội tụ về cùng một giới hạn (1.4.5), nên (������)��∈Z+ phải hội tụ về ��, và �� phải thuộc ��. Vậy �� là đóng.
Giả sử �� không bị chặn. Lấy một điểm �� ∈ �� bất kì, với mọi số thực �� có phần tử �� ∈ �� sao cho ��(��, ��) > ��. Có ��1 ∈ �� sao cho ��(��, ��1) > 1, có ��2 ∈ �� sao cho ��(��, ��2) > ��(��, ��1) + 1, …, có ����+1 ∈ �� sao cho ��(��, ����+1) > ��(��, ����) + 1 với mọi �� ≥ 1. Như vậy ta được một dãy (����)��∈Z+ có tính chất với mọi �� ≥ 1, �� ≥ 1, thì
��(����+��, ����) ≥ ��(����+��, ��) − ��(����, ��)
≥ [��(����+��, ��) − ��(����+��−1, ��)] + [��(����+��, ��) − ��(����+��−1, ��)] +
· · · + [��(����+1, ��) − ��(����, ��)] > ��.
Một dãy con của dãy (����)��∈Z+ không thể nào là dãy Cauchy vì các phần tử của dãy con đó không thể gần lại nhau tùy ý, và như vậy dãy con đó không thể hội tụ (1.3.4), trái giả thiết �� là compắc. □
Từ Định lý Bolzano–Weierstrass ta suy ra đặc trưng quan trọng sau của tập compắc trong không gian Euclid:
1.3.12 Định lý (compắc trong không gian Euclid = đóng + bị chặn). Một tập con của không gian Euclid R�� hay C��là compắc nếu và chỉ nếu nó là đóng và bị chặn.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh trong không gian Euclid R��thì một hình hộp bất kì �� = [��1, ��1] × [��2, ��2] × · · · × [����, ����] là compắc. Để dễ hiểu hơn người học có thể thử viết trước cho trường hợp �� = 2.
Xét dãy (����)��∈Z+ trong ��. Viết ���� = (����,1, ����,2, . . . , ����,��). Ở tọa độ thứ nhất, vì dãy (����,1)��∈Z+ nằm trong đoạn [��1, ��1] nên theo Định lý Bolzano–Weierstrass có dãy con (�� ��1)��1∈Z+ của dãy (��)��∈Z+ sao cho dãy (������1,1)��1∈Z+ hội tụ về ��1 ∈ [��1, ��1]. Ở tọa độ thứ hai dãy (�� ��1)��1∈Z+ có dãy con (�� ��2)��2∈Z+ sao cho (������2,2)��2∈Z+ hội tụ về ��2 ∈ [��2, ��2]. Chú ý do (������2,1)��2∈Z+ là một dãy con của dãy (������1,1)��1∈Z+ nên (������2,1)��2∈Z+ cũng hội tụ về ��1 (1.4.5). Lặp lại tương tự cho các tọa độ tiếp theo, ta được dãy con (�� ����)���� ∈Z+ của dãy (��)��∈Z+ sao cho với mọi 1 ≤ �� ≤ �� thì (��������,��)���� ∈Z+ hội tụ về ����.
Như lý luận trong chứng minh của 1.3.8, do đặc điểm của khoảng cách Euclid, dãy
(��������)���� ∈Z+ hội tụ về �� = (��1, ��2, . . . , ����) ∈ ��. Ta đã chứng minh xong �� là compắc. Bây giờ giả sử ∅ ≠ �� ⊂ R�� đóng và bị chặn. Vì �� bị chặn nên ta có thể đặt �� vào
trong một hình hộp ��. Vì �� là compắc và �� là một tập con đóng nên �� cũng compắc (1.3.14).
Vì về không gian mêtríc thì C��trùng với R2�� nên ta cũng có kết quả cho C��. □
12 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
Các mệnh đề tiếp theo thể hiện tương quan giữa các tính chất compắc, đóng, và đầy đủ. Đây là những mệnh đề mà về sau được dùng thường xuyên trong các lý luận của môn này và của Giải tích nói chung đến nỗi thường không được chỉ nguồn và không giải thích nữa. Người học nên không những thuộc lòng các mệnh đề này mà còn tự làm được các lý luận đơn giản giải thích chúng, vì vậy chúng được để ở Bài tập 1.4.8.
1.3.13 Mệnh đề (compắc thì đầy đủ). Cho �� là một tập con của không gian mêtríc ��. Nếu �� là compắc thì �� là đầy đủ.
1.3.14 Mệnh đề (đóng trong compắc thì compắc). Cho �� là một tập con của không gian mêtríc ��. Nếu �� là đóng trong �� và �� là compắc thì �� là compắc.
1.3.15 Mệnh đề (đầy đủ thì đóng). Cho �� là một tập con của không gian mêtríc ��. Nếu �� là đầy đủ thì �� là đóng trong ��.
1.3.16 Mệnh đề (đóng trong đầy đủ thì đầy đủ). Cho �� là một tập con của không gian mêtríc ��. Nếu �� là đóng trong �� và �� là đầy đủ thì �� là đầy đủ.
Sau đây là ba kết quả quan trọng cho hàm liên tục trên không gian compắc.
1.3.17 Định lý (ảnh liên tục của không gian compắc là compắc). Cho �� là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian mêtríc �� và ��. Nếu �� là compắc thì �� (��) cũng là compắc.
Chứng minh. Giả sử (����)��≥1 là một dãy trong �� (��). Có ���� ∈ �� sao cho �� (����) = ����. Vì �� compắc nên dãy (����)��≥1 có một dãy con (������)��≥1 hội tụ về một phần tử �� ∈ ��, tức là lim��→∞ ������ = ��. Vì ánh xạ �� liên tục nên
��→∞������ = lim
lim
��→∞�� (������) = �� (��) ∈ �� (��).
Vậy dãy (����)��≥1 có dãy con hội tụ trong �� (��). Vậy �� (��) compắc. □
1.3.18 Định lý (hàm thực trên không gian compắc thì có cực trị). Nếu �� là một ánh xạ liên tục từ một không gian mêtríc compắc �� vào không gian Euclid R thì �� đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ��, nghĩa là tồn tại ��, �� ∈ �� sao cho �� (��) = max �� (��) và �� (��) = min �� (��).
Chứng minh. Vì ảnh liên tục của không gian compắc là compắc nên �� (��) compắc trong R. Dẫn tới �� (��) bị chặn, do đó có sup �� (��) và inf �� (��). Do tính chất của sup và inf, đó là các điểm dính của tập �� (��), và vì tập �� (��) là đóng, nên các điểm dính sup �� (��) và inf �� (��) phải thuộc về �� (��), do đó chúng là max �� (��) và min �� (��). □
1.3.19 Định lý (liên tục trên không gian compắc thì liên tục đều). Cho �� là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian mêtríc �� và ��. Nếu �� là compắc thì �� là liên tục đều trên ��, nghĩa là
∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ����(��, ��) < �� =⇒ ���� ( �� (��), �� (��)) < ��.
1.4. BÀI TẬP 13
Chứng minh. Giả sử phản chứng, �� không liên tục đều trên ��, dẫn tới tồn tại�� > 0 sao cho với mọi �� ∈ Z+thì có ���� ∈ ��, ���� ∈ �� thỏa ��(����, ����) <1�� mà ��( �� (����), �� (����)) ≥ �� (lấy �� =1��).
Vì �� compắc nên dãy (����)��∈Z+ có một dãy con (������)��≥1 hội tụ về một phần tử �� ∈ ��. Dãy tương ứng (������)��≥1 có một dãy con (��������)��≥1 hội tụ về một phần tử �� ∈ ��. Điều này dẫn tới �� = ��, chẳng hạn bằng cách viết
��(��, ��) ≤ ��(��, ��������) + ��(��������, ��������) + ��(��������, ��) < ��(��, ��������) + 1������+ ��(��������, ��)
rồi cho �� → ∞ thì vế phải tiến về 0, nên ��(��, ��) = 0.
Ta viết
��( �� (��������), �� (��������)) ≤ ��( �� (��������), �� (��)) + ��( �� (��), �� (��������))
rồi cho �� → ∞ thì do �� liên tục nên vế phải tiến về 0, khiến vế trái cũng tiến về 0, mâu thuẫn với giả thiết ��( �� (����), �� (����)) ≥ ��. □
1.4 Bài tập
1.4.1. Chứng tỏ trong một không gian mêtríc (��, ��), dãy (����)��∈Z+ hội tụ về �� khi và chỉ khi dãy (��(����, ��))��∈Z+ hội tụ về 0. Ngắn gọn hơn, ���� hội tụ về �� khi và chỉ khi khoảng cách từ ���� tới �� hội tụ về 0. Bằng kí hiệu thì
������→∞→ �� ⇐⇒ ��(����, ��)��→∞→ 0.
1.4.2. Chứng minh giới hạn của một dãy nếu có thì là duy nhất.
1.4.3. Chứng tỏ một dãy hội tụ thì phải bị chặn.
1.4.4. Chứng tỏ một dãy số thực tăng mà bị chặn trên thì phải hội tụ, một dãy số thực giảm và bị chặn dưới thì phải hội tụ.
1.4.5. Chứng tỏ một dãy hội tụ thì mọi dãy con của dãy đó cũng hội tụ về cùng một giới hạn. 1.4.6. ✓ Chứng minh một dãy Cauchy thì phải bị chặn.
1.4.7. ✓ Chứng minh một dãy Cauchy có dãy con hội tụ thì phải hội tụ. 1.4.8. ✓ Chứng minh các mệnh đề từ 1.3.13 tới 1.3.16.
1.4.9. Giải thích vì sao trong không gian Euclid R��thì quả cầu đóng ��′(��, ��) và mặt cầu ��(��, ��) là compắc.
1.4.10. Cho �� là một không gian mêtríc compắc và �� là một song ánh liên tục từ �� vào một không gian mêtríc ��. Chứng minh ��−1: �� → �� là một ánh xạ liên tục.
1.4.11. Cho �� là một không gian mêtríc, �� ∈ ��, và �� ⊂ ��. Khoảng cách từ điểm �� tới tập �� được định nghĩa là
��(��, ��) = inf{��(��, ��) | �� ∈ ��}.
14 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC
Chứng tỏ ��(��, ��) = 0 khi và chỉ khi �� là một điểm dính của ��.
1.4.12. Cho (����)��≥1 là một dãy trong một không gian mêtríc �� và �� trong ��. Chứng minh hai điều sau đây tương đương:
(a) Có một dãy con ������ ��≥1của (����) hội tụ về �� trong ��.
(b) Tập {�� ≥ 1 | ���� ∈ ��(��, ��)} là một tập vô hạn với mọi số thực �� > 0.
1.4.13 (Định lý ánh xạ co). Cho (��, ��) là một không gian mêtríc đầy đủ và �� là một ánh xạ từ �� vào ��. Giả sử ∃�� ∈ (0, 1) sao cho ∀��, �� ∈ ��,
��( �� (��), �� (��)) ≤ ����(��, ��).
Ta nói �� là một ánh xạ co với hằng số co �� trên ��. Khi đó:
(a) �� liên tục trên ��.
(b) Với �� ∈ �� bất kì, dãy (����)��≥1 xác định bởi
��1 = ��
����+1 = �� (����), �� ≥ 1,
là một dãy Cauchy trong ��.
(c) Dãy (����)��≥1 trên hội tụ về �� ∈ �� thỏa �� (��) = ��. Điểm �� sao cho �� (��) = �� là duy nhất và được gọi là điểm bất động của �� .
Tóm tắt, ta có thể phát biểu rằng: ánh xạ co trên không gian đầy đủ thì có điểm bất động. Đây còn được gọi là Định lý điểm bất động Banach.
1.4.14 (đầy đủ hóa). * Dưới đây là kết quả rằng mọi không gian mêtríc đều có một đầy đủ hóa. Hình mẫu điều này là sự đầy đủ hóa của Q để được R.
Cho �� là một không gian mêtríc. Nhắc lại một tập con �� của �� được gọi là dày đặc hay trù mật trong �� nếu �� = ��.
(a) Xét �� là tập hợp tất cả các dãy Cauchy trong ��. Trên �� xét quan hệ (����) ∼ (����) nếu lim��→∞ ��(����, ����) = 0. Đây là một quan hệ tương đương trên ��. Gọi �� là tập hợp tất cả các lớp tương đương của �� dưới quan hệ này.
(b) Trên �� đặt ��( [(����)], [(����)]) = lim��→∞ ��(����, ����). Đây là một định nghĩa tốt ³ và là một mêtríc trên ��.
(c) Với mêtríc trên thì �� là một không gian mêtríc đầy đủ.
(d) Ánh xạ �� ↦→ (��, ��, . . . , ��, . . . ) từ �� vào �� là một đơn ánh và ảnh của nó dày đặc trong ��.
Không gian mêtríc �� trên được gọi là không gian đầy đủ hóa của ��.
³Thuật ngữ “định nghĩa tốt” (tiếng Anh là well-defined) ở đây ý nói rằng định nghĩa cần dùng tới một phần tử đại diện của lớp tương đương, nhưng không phụ thuộc cách chọn phần tử đại diện đó, nên định nghĩa áp dụng cho lớp tương đương chứ không chỉ cho phần tử. Nói chung một đối tượng toán học được “định nghĩa tốt” nghĩa là nó được xác định, đây là một cách nói tắt truyền thống trong toán học.
Chương 2 Không gian định chuẩn
Không gian định chuẩn là phát triển tương tự của không gian Euclid, là không gian vectơ có chiều dài vectơ.
2.1 Không gian vectơ
Trong hình học và vật lý hai và ba chiều ta đã gặp các vectơ và các phép toán trên chúng. Vectơ thường được hình dung là các đoạn thẳng có hướng, là một cặp hai điểm gồm điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Tuy nhiên khái niệm vectơ tổng quát dùng ở đây không đi kèm khái niệm điểm đầu. Tóm tắt, một không gian vectơ là một tập hợp với phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử của trường với một phần tử của tập hợp, và hai phép toán này thỏa các tính chất hay dùng.
Dưới đây ta nhắc lại nhanh một một khái niệm thường dùng, chi tiết có trong môn Đại số tuyến tính.
Một không gian vectơ, còn gọi là một không gian tuyến tính, trên trường đại số F là một tập hợp không rỗng¹ �� với ánh xạ
+ : �� × �� → ��
(��, ��) ↦→ �� + ��,
(phép toán + này nói chung không liên quan tới phép toán cộng trên trường số thực, cũng được chỉ bằng cùng kí hiệu), và ánh xạ
· : F × �� → ��
(��, ��) ↦→ �� · ��,
(phép toán · này nói chung không liên quan tới phép toán nhân trên trường số thực), thỏa các tính chất:
(a) (��, +) là một nhóm đại số giao hoán. Tức là �� có một phần tử thường được chỉ bằng kí hiệu 0 (cùng kí hiệu với số thực 0), thỏa ∀�� ∈ ��, 0 + �� = �� + 0 = ��; với mỗi �� ∈ �� có một phần tử của ��, thường được chỉ bởi kí hiệu −��, sao cho
¹Một số tài liệu không loại trừ tập rỗng. Ta dùng yêu cầu này để tránh những phiền toái do tập rỗng gây ra, như trong khái niệm chiều.
15
16 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
�� + (−��) = 0; phép toán + có tính kết hợp ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, (�� + ��) + �� = �� + (�� + ��), và tính giao hoán ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, �� + �� = �� + ��.
(b) ∀�� ∈ ��, 1 · �� = ��; ∀�� ∈ F, ∀�� ∈ F, ∀�� ∈ ��, (����) · �� = �� · (�� · ��).
(c) Phép toán + và · có tính phân phối với nhau: ∀�� ∈ F, ∀�� ∈ F, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, �� · (�� + ��) = �� · �� + �� · ��, (�� + ��) · �� = �� · �� + �� · ��.
Một phần tử của một không gian vectơ còn được gọi là một vectơ. Kí hiệu · thường được lược bỏ, ta thường viết ���� thay vì �� · ��.
Tập �� ⊂ �� được gọi là một không gian vectơ con của �� khi chính ��, với các phép toán thu hẹp từ ��, cũng là một không gian vectơ. Nói khác đi, �� là một không gian vectơ con của �� khi và chỉ khi với mọi ��, �� ∈ F, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ���� + ���� ∈ ��, tức là �� kín với các phép toán của không gian vectơ ��.
Cho �� ⊂ ��. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hữu hạn phần tử thuộc ��, tức {Í����=1��������| ���� ∈ F, ���� ∈ ��, �� ∈ Z+}, là một không gian vectơ con của ��, được gọi là không gian vectơ con sinh bởi ��.
Các phần tử của �� được gọi là độc lập tuyến tính nếu không có phần tử khác 0 nào là tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các phần tử khác. Nói cách khác Í����=1�������� = 0 với ���� ∈ F, ���� ∈ ��, �� ∈ Z+thì phải có ∀�� ∈ {1, 2, . . . , ��}, ���� = 0.
Nếu �� sinh ra �� và các phần tử của �� là độc lập tuyến tính thì �� cùng với một thứ tự toàn phần trên �� được gọi là một cơ sở vectơ, hay cơ sở tuyến tính, của ��. Ta nói một không gian vectơ là hữu hạn chiều nếu nó có một cơ sở vectơ là một tập hợp hữu hạn. Nếu không thì ta nói đó là một không gian vectơ vô hạn chiều. Vì tập hợp chỉ có một phần tử {0} cũng có cấu trúc hiển nhiên của một không gian vectơ nên ta cũng định nghĩa cho tiện là đây là một không gian vectơ có số chiều bằng 0.
2.1.1 Ví dụ. Tập hợp R�� = {(��1, ��2, . . . , ����) | ���� ∈ R, 1 ≤ �� ≤ ��} có một cấu trúc không gian vectơ trên trường R là
(��1, ��2, . . . , ����) + (��1, ��2, . . . , ����) = (��1 + ��1, ��2 + ��2, . . . , ���� + ����), ��(��1, ��2, . . . , ����) = (����1, ����2, . . . , ������).
Không gian vectơ này có một cơ sở vectơ là tập hợp có thứ tự (��1, ��2, . . . , ����) với ���� = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) với số thực 1 nằm ở tọa độ thứ ��. Đây được gọi là cấu trúc không gian vectơ chuẩn tắc của R��, khi nói tới R�� mà không nói gì thêm thì ta ngầm sử dụng cấu trúc chuẩn tắc này.
2.1.2 Ví dụ. Trên C có một phép nhân được định nghĩa bởi
(�� + ����) · (�� + ����) = (���� − ����) + (���� + ����)��.
Một hệ quả của phép nhân này là ��2 = �� · �� = −1. Với �� = �� + ���� thì ��¯ = �� − ���� được gọi là số phức liên hợp của số ��. Với các phép toán + và · này C là một trường đại số.
2.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 17 Trên C��có cấu trúc không gian vectơ trên trường C với các phép toán
(��1, ��2, . . . , ����) + (��1, ��2, . . . , ����) = (��1 + ��1, ��2 + ��2, . . . , ���� + ����), ��(��1, ��2, . . . , ����) = (����1, ����2, . . . , ������).
Không gian vectơ C��có một cơ sở vectơ là tập hợp có thứ tự (��1, ��2, . . . , ����) với ���� = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) với số thực 1 nằm ở tọa độ thứ ��. Đây được gọi là cấu trúc không gian vectơ chuẩn tắc của C��, khi nói tới C�� mà không nói gì thêm thì ta ngầm sử dụng cấu trúc chuẩn tắc này.
Viết chung lại, nếu F = R hoặc F = C thì F��là một không gian vectơ ��-chiều trên trường F.
2.2 Không gian định chuẩn
Ngắn gọn, một không gian định chuẩn là một không gian vectơ trên đó có chiều dài, hay độ lớn, của vectơ. Chính xác, một không gian định chuẩn (normed space) là một không gian vectơ (��, +, ·) trên trường F, với F = R hoặc F = C, với một hàm
∥·∥ : �� → R
�� ↦→ ∥��∥ ,
được gọi là một chuẩn (norm) trên ��, thỏa ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ F: (a) ∥��∥ ≥ 0 (không âm),
(b) ∥��∥ = 0 ⇐⇒ �� = 0 (xác định dương),
(c) ∥����∥ = |��| ∥��∥ , ở đây kí hiệu |��| chỉ giá trị tuyệt đối của số thực nếu F = R và độ lớn của số phức nếu F = C (tỉ lệ),
(d) ∥�� + ��∥ ≤ ∥��∥ + ∥��∥ (bất đẳng thức tam giác).
Ta có thể lược bớt kí hiệu khi chúng được hiểu ngầm và có thể viết tắt “cho một không gian định chuẩn ��” khi các cấu trúc đã được biết hoặc không cần được xác định.
2.2.1 Ví dụ. Với �� = (��1, ��2, . . . , ����) ∈ F�� đặt
vt��
∥��∥2 =
��=1
|����|2.
Đây được gọi là chuẩn Euclid. Bất đẳng thức tam giác trong trường hợp này nghĩa là
�� ��=1
|���� + ����|2
! 12
≤
�� ��=1
|����|2
! 12
+
�� ��=1
|����|2
! 12
18 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN thu được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác trên F:
�� ��=1
|���� + ����|2
! 12
≤
�� ��=1
(|����| + |����|)2
! 12
tiếp theo dùng bất đẳng thức
�� ��=1
(|����| + |����|)2
! 12
≤
�� ��=1
|����|2
! 12
+
�� ��=1
|����|2
! 12
mà ta đã có ở bất đẳng thức (1.1.4) khi kiểm tra bất đẳng thức tam giác cho mêtríc Euclid.
2.2.2 Ví dụ (các chuẩn khác nhau trên F��). Với �� = (��1, ��2, . . . , ����) ∈ F��, �� ∈ R,
�� > 1 thì
∥��∥ �� =
�� ��=1
!1/��
|����|��
là một chuẩn trên F�� do Bất đẳng thức Minkowski:
��
��
��
!1/��
!1/��
!1/��
|���� + ����|��
|����|��
|����|��
≤
+
.
��=1
��=1
��=1
Với �� = 2 đây là chuẩn Euclid.
(2.2.3)
Ngoài ra dưới đây cũng là các chuẩn thường gặp trên F�� mà người học hãy kiểm
tra thỏa yêu cầu của chuẩn:
∥��∥1 =
�� ��=1
|����|,
∥��∥∞ = max
1≤��≤��|����|.
Cho �� là một không gian định chuẩn, với hàm chuẩn ∥·∥, và �� là một không gian vectơ con của ��. Ánh xạ chuẩn thu hẹp trên �� trở thành một hàm chuẩn trên ��. Không gian định chuẩn �� với hàm chuẩn vừa nêu được gọi là một không gian định chuẩn con của ��.
Trong không gian Euclid thấp chiều ta vốn đã quen với điều là khoảng cách giữa hai điểm đúng bằng chiều dài vectơ nối hai điểm đó. Ta dễ dàng kiểm tra thấy điều này cũng đúng tổng quát:
2.2.4 Mệnh đề (chuẩn sinh ra mêtríc). Trong không gian định chuẩn (��, ∥·∥) thì ��(��, ��) = ∥�� − ��∥ là một mêtríc trên ��.
Do đó, mặc nhiên một không gian định chuẩn cũng là một không gian mêtríc, vì vậy thừa hưởng mọi khái niệm cũng như tính chất của một không gian mêtríc.
2.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 19
2.2.5 Ví dụ. Trong không gian vectơ F��, rõ ràng chuẩn Euclid sinh ra mêtríc Euclid, với �� = (��1, ��2, . . . , ����) và �� = (��1, ��2, . . . , ����) thì
q
��(��, ��) =
|��1 − ��1|2 + |��2 − ��2|2 + · · · + |���� − ����|2
= ∥�� − ��∥2.
2.2.6 Định nghĩa. Khi không gian mêtríc với mêtríc sinh bởi chuẩn là đầy đủ thì ta nói không gian định chuẩn là một không gian Banach ².
Ngắn gọn ta có thể nói không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ.
2.2.7 Ví dụ. Trong chương trước ta đã biết không gian Euclid F�� với mêtríc Euclid là không gian đầy đủ. Bây giờ ta biết mêtríc Euclid được sinh ra bởi chuẩn Euclid. Vậy không gian Euclid với chuẩn Euclid là một không gian định chuẩn đầy đủ, tức là một không gian Banach.
2.2.8 Định nghĩa. Hai chuẩn ∥·∥1 và ∥·∥2trên cùng một không gian vectơ �� được gọi là hai chuẩn tương đương nếu có hai số thực ��, �� > 0 sao cho
∀�� ∈ ��, �� ∥��∥1 ≤ ∥��∥2 ≤ �� ∥��∥1.
Ta suy ra ngay
∀�� ∈ ��,1��∥��∥2 ≤ ∥��∥1 ≤1��∥��∥2.
nên tính tương đương của chuẩn là đối xứng.
2.2.9 Mệnh đề. Nếu hai chuẩn là tương đương thì sự hội tụ của dãy; sự mở, đóng, compắc của tập con; sự liên tục của ánh xạ; sự đầy đủ của không gian là như nhau.
Chứng minh. Giả sử dãy (����)��∈Z+ hội tụ về �� theo chuẩn ∥·∥1. Điều này đồng nghĩa với dãy số thực (∥���� − ��∥1)�� hội tụ về số thực 0. Từ tính chất ∥���� − ��∥2 ≤ �� ∥���� − ��∥1 ta suy ra dãy (∥���� − ��∥2)�� cũng hội tụ về 0, do đó dãy (����)��∈Z+ hội tụ về �� theo chuẩn ∥·∥2. Vậy khi hai chuẩn là tương đương thì một dãy hội tụ theo chuẩn thứ nhất thì phải hội tụ theo chuẩn thứ hai về cùng giới hạn.
Do các khái niệm đóng, mở, compắc, liên tục đều có thể được định nghĩa chỉ bằng sự hội tụ của dãy, nên người đọc có thể kiểm tra chi tiết ngay là một tập là đóng, mở, compắc theo chuẩn thứ nhất thì cũng tương ứng đóng, mở, compắc theo chuẩn thứ hai, và nếu một ánh xạ liên tục theo chuẩn thứ nhất thì cũng liên tục theo chuẩn thứ hai.
Tính chất ∥���� − ����∥2 ≤ �� ∥���� − ����∥1cũng dẫn tới một dãy là dãy Cauchy theo chuẩn thứ nhất thì phải là dãy Cauchy theo chuẩn thứ hai. Do đó nếu không gian vectơ là đầy đủ theo chuẩn thứ nhất thì cũng đầy đủ theo chuẩn thứ hai. □
Về chiều ngược lại, xem ở 2.8.8.
²Stefan Banach là một nhà toán học sống vào đầu thế kỉ 20, đã đặt nền móng và xây dựng một số kết quả quan trọng cho môn Giải tích hàm.
20 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
2.3.1 Định lý. Các chuẩn trên không gian vectơ F�� đều tương đương.
Chứng minh. Cho ∥·∥ là một chuẩn bất kì trên F�� và ∥·∥2là chuẩn Euclid. Dùng Bất đẳng thức Buniakowski (1.1.5) ta được
∥��∥ =
�� ��=1
��������
≤
�� ��=1
∥�������� ∥ ≤
�� ��=1
|����| ∥���� ∥ ≤
�� ��=1
|����|2
!1/2 �� ��=1
∥���� ∥2
!1/2 .
Vậy có �� > 0 sao cho ∀��, ∥��∥ ≤ �� ∥��∥2. Điều này cũng dẫn tới hàm ∥·∥ là liên tục trên không gian Euclid. Thu hẹp của hàm này lên mặt cầu đơn vị Euclid ����, một tập
compắc, có giá trị nhỏ nhất �� > 0. Với mọi �� ≠ 0 thì ��
��
∥ �� ∥2∈ ����, nên
∥ �� ∥2
≥ ��, tức
là ∥��∥ ≥ �� ∥��∥2. Vậy một chuẩn bất kì trên F��là tương đương với chuẩn Euclid. □
2.3.2 Mệnh đề. Các chuẩn trên cùng một không gian vectơ hữu hạn chiều đều tương đương.
Chứng minh. Cho (��, ∥·∥) là một không gian định chuẩn ��-chiều trên trường F. Lấy một cơ sở tuyến tính (��1, ��2, . . . , ����) cho ��. Đặt ánh xạ
�� : �� → F��
�� =
�� ��=1
��������↦→ �� = �� (��) =
�� ��=1
��������. (2.3.3)
Đây là ánh xạ tuyến tính mang cơ sở (��1, ��2, . . . , ����) thành cơ sở (��1, ��2, . . . , ����), do đó là một song ánh tuyến tính, tức là một đẳng cấu tuyến tính. Nếu �� = (��1, ��2, . . . , ����) trong cơ sở (��1, ��2, . . . , ����) thì �� = �� (��) = (��1, ��2, . . . , ����) trong cơ sở (��1, ��2, . . . , ����).
Đặt ∥��∥ = ��−1(��) = ����thì có thể kiểm tra được rằng ∥·∥ là một chuẩn trên F��. Nếu ta có hai chuẩn ∥·∥�� và ∥·∥��trên �� thì theo cách xây dựng này ta có tương ứng hai chuẩn ∥·∥�� và ∥·∥��trên F��. Từ 2.3.1, hai chuẩn trên F�� này là tương đương, nên có hai số thực dương ��, �� sao cho với mọi �� ∈ F��:
�� ∥��∥�� ≤ ∥��∥�� ≤ �� ∥��∥��,
do đó với mọi �� ∈ ��:
�� ∥��∥�� ≤ ∥��∥�� ≤ �� ∥��∥��.
□
2.3.4 Mệnh đề. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều bất kì là một không gian Banach.
2.3. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN HỮU HẠN CHIỀU 21
Chứng minh. Ánh xạ �� ở 2.3.3 và ánh xạ ngược ��−1 mang dãy Cauchy thành dãy Cauchy, dãy hội tụ thành dãy hội tụ. Mặt khác F�� với chuẩn bất kì là không gian Banach. □
2.3.5 Hệ quả. Không gian định chuẩn con hữu hạn chiều là tập con đóng.
Chứng minh. Vì không gian định chuẩn con hữu hạn chiều là đầy đủ nên nó phải là một tập đóng, xem 1.3.15. □
* Không gian định chuẩn compắc địa phương
Một không gian định chuẩn được gọi là compắc địa phương nếu quả cầu đóng đơn vị là compắc. Ý nghĩa của thuật ngữ này được giải thích trong mệnh đề sau:
2.3.6 Mệnh đề. Trong một không gian định chuẩn những điều sau là tương đương: (a) quả cầu đóng đơn vị là compắc,
(b) mọi quả cầu đóng là compắc,
(c) mọi tập con đóng và bị chặn là compắc,
(d) mọi dãy bị chặn có một dãy con hội tụ,
(e) mọi lân cận của một điểm bất kì chứa một lân cận compắc.
Nói ngắn gọn, không gian compắc địa phương là không gian định chuẩn mà ở đó tính compắc tương đương với tính đóng và bị chặn.
Để chứng minh kết quả trên ta giới thiệu một khái niệm mới. Một song ánh giữa hai không gian mêtríc �� : �� → �� được gọi là một phép đẳng cấu tôpô hay một phép đồng phôi từ �� lên �� nếu cả �� và ��−1 đều là các ánh xạ liên tục, và khi đó ta nói �� là đẳng cấu tôpô hay đồng phôi với ��. Một ví dụ đáng chú ý là trong một không gian định chuẩn các quả cầu đều đồng phôi với nhau, cụ thể, quả cầu ��(0, 1) đồng phôi với quả cầu ��(��, ��) bất kì qua hợp của một phép co dãn (vị tự) �� ↦→ ���� và một phép tịnh tiến �� ↦→ �� + ��, xem thêm ở 2.8.5.
Chứng minh. Ta kiểm (��) =⇒ (��) =⇒ (��) =⇒ (��) =⇒ (��). Giả sử quả cầu đóng đơn vị ��′(0, 1) là compắc. Vì quả cầu đóng bất kì ��′(��, ��) là ảnh của một phép đồng phôi từ ��′(0, 1), và ảnh liên tục của một tập compắc là compắc, nên ��′(��, ��) cũng là compắc. Một tập con bị chặn thì chứa trong một quả cầu đóng compắc, cho nên nếu tập con đó cũng đóng nữa thì nó phải compắc. Một dãy bị chặn sẽ được chứa trong một quả cầu đóng bị chặn, do đó chứa trong một tập compắc, do đó có dãy con hội tụ.
Ta kiểm (��) ⇐⇒ (��). Giả sử điểm �� có một lân cận ��. Ta phải có một quả cầu ��(��, ��) ⊂ ��. Khi đó �� ∈ ��(��, ��2) ⊂ ��(��, ��2) = ��′(��, ��2) ⊂ ��(��, ��) ⊂ ��. Nếu quả cầu đóng đơn vị là compắc thì ��′(��, ��2) là compắc. Như vậy (��) =⇒ (��).
22 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Ngược lại nếu tồn tại �� ∈ �� ⊂ �� ⊂ �� trong đó �� mở và �� compắc thì phải có một quả cầu ��(��, ��) ⊂ �� và khi đó ��′(��, ��) ⊂ �� là compắc, và do đó ��′(0, 1) là compắc. □
2.3.7 Mệnh đề. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều là compắc địa phương.
Chứng minh. Vì không gian Euclid F��là compắc địa phương nên không gian vectơ F��là compắc địa phương với chuẩn bất kì. Ánh xạ �� ở (2.3.3) mang quả cầu ��′(0, 1) trong không gian �� thành quả cầu ��′(0, 1) trong (F��, ∥·∥F�� ), là tập compắc. Vì �� là một phép đồng phôi nên bảo toàn tính compắc, do đó ��′(0, 1) compắc trong ��. □
Ngược lại:
2.3.8 Mệnh đề. Không gian định chuẩn compắc địa phương thì phải là hữu hạn chiều.
Chứng minh. Giả sử quả cầu đơn vị đóng ��′(0, 1) là compắc trong không gian mêtríc ��. Tồn tại họ hữu hạn (���� ∈ ��′(0, 1))1≤��≤�� sao cho Ð����=1 ��(����, 1/2) ⊃ ��′(0, 1), vì nếu không sẽ tồn tại dãy (����)��∈Z+ mà khoảng cách giữa các phần tử lớn hơn 1/2 do đó không có dãy con hội tụ.
Đặt �� = ⟨{��1, ��2, . . . , ����}⟩, ta chứng minh ��′(0, 1) ⊂ ��. Với �� ∈ ��′(0, 1) bất kì, tồn tại ���� sao cho ∥���� − ��∥ < 1/2, tức �� ∈ �� +12��′(0, 1). Suy ra ��′(0, 1) ⊂
�� +12��′(0, 1) ⊂ �� +12 �� +12��′(0, 1) ⊂ �� +14��′(0, 1). Bằng qui nạp ta được ��′(0, 1) ⊂ �� +12�� ��′(0, 1), ∀�� ≥ 1. Lấy �� ∈ ��′(0, 1) thì có dãy ���� ∈ �� và ���� ∈ ��′(0,12�� ) sao cho �� = ���� + ����. Lấy giới hạn thì được ���� → ��. Vì �� hữu hạn chiều nên đóng, do đó �� ∈ ��. Vậy ��′(0, 1) ⊂ ��. Vì mỗi phần tử của �� là một bội của một phần tử của ��′(0, 1), và �� là một không gian vectơ, nên ta suy ra �� ⊂ ��, do đó �� = ��. Vậy �� là hữu hạn chiều. □
Một hệ quả đáng chú ý là:
2.3.9 Hệ quả. Trên không gian định chuẩn thì compắc = đóng + bị chặn khi và chỉ khi không gian là hữu hạn chiều.
2.4 Không gian ℓ��
Phát triển từ F��, gọi F∞ là tập hợp tất cả các dãy phần tử thuộc F (là R hoặc C). Với mọi �� = (����)��∈Z+ và �� = (����)��∈Z+ trong F∞ và �� trong F, ta đặt
�� + �� = (���� + ����)��∈Z+ ,
���� = (������)��∈Z+ .
Với các phép toán này thì F∞ là một không gian vectơ trên F.
Đây là một không gian vectơ vô hạn chiều, vì nó chứa các vectơ ����, �� ∈ Z+, với ���� = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) mà số thực 1 nằm ở tọa độ thứ ��, là một tập hợp vô hạn các vectơ độc lập tuyến tính.
2.4. KHÔNG GIAN ℓ�� 23
2.4.1 Định nghĩa. Gọi ℓ∞ là tập con của F∞ gồm tất cả các dãy bị chặn, tức là tập hợp tất cả các phần tử �� = (����)��≥1 sao cho sup{|����| | �� ∈ Z+} < ∞. Đặt
∥��∥∞ = sup{|����| | �� ∈ Z+}.
Ta dễ dàng kiểm tra nhanh được đây là một chuẩn trên ℓ∞.
2.4.2 Định nghĩa. Cho �� ∈ [1, ∞). Gọi ℓ��là tập con của F∞ gồm tất cả các phần tử �� = (����)��≥1 sao cho Í∞��=1|����|�� < ∞. Đặt
Õ∞
!1/��
|����|��
∥��∥ �� =
.
��=1
2.4.3 Mệnh đề. ℓ��, �� ∈ [1, ∞), với các cấu trúc trên là một không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta cần kiểm tra các tính chất của chuẩn được thỏa. Ở đây bất đẳng thức tam giác cho chuẩn có từ Bất đẳng thức Minkowski ở dạng tổng của chuỗi,
Õ∞ ��=1
|���� + ����|��
!1/��
≤
Õ∞ ��=1
|����|��
!1/��
+
Õ∞ ��=1
|����|��
!1/��
. (2.4.4)
thu được bằng cách qua giới hạn Bất đẳng thức Minkowski ở dạng tổng hữu hạn ở (2.2.3). □
2.4.5 Ví dụ. Xét dãy �� = (1,12,13, . . . ,1��, . . . ).
Đây là một dãy số bị chặn, nên �� ∈ ℓ∞, với ∥��∥∞ = 1.
Ta biết với 0 < �� < ∞ thì chuỗi số
Õ∞ ��=1
1
����
hội tụ khi và chỉ khi �� > 1. Vậy �� ∉ ℓ1 và �� ∈ ℓ�� với mọi 1 < �� ≤ ∞. Chẳng hạn ta biết
∥��∥2 =
Õ∞ ��=1
1
��2
! 12
=
��2 6
12=��√6.
∥��∥4 =
Õ∞ ��=1
1
��4
! 14
=
��4 90
14=�� √490.
2.4.6 Định lý. Không gian ℓ��, �� ∈ [1, ∞], là không gian Banach.
Chứng minh. Chứng minh này tương tự với chứng minh không gian Euclid R��là không gian Banach ở 1.3.8.
24 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Trường hợp �� = ∞: Giả sử (����)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ℓ∞ với ���� = ����,�� ��∈Z+ . Cho �� > 0 có �� sao cho �� > ��, �� > �� thì ∥���� − ����∥∞ = sup��∈Z+ |����,�� −
����,�� | < ��. Điều này dẫn tới với mỗi �� ≥ 1 thì
|����,�� − ����,�� | < ��, (∗)
do đó dãy ����,�� ��≥1là một dãy Cauchy trong F, do đó hội tụ về một ���� ∈ F. Ở (∗), cho �� tiến ra vô cùng ta được |����,�� − ���� | ≤ ��. Suy ra ∥���� − ��∥∞ ≤ �� với �� = (��1, ��2, . . . , ����, . . . ). Điều này dẫn tới hai điều: (���� − ��) ∈ ℓ∞ do đó �� ∈ ℓ∞, và (����)��∈Z+ hội tụ về �� trong ℓ∞.
Trường hợp �� < ∞ là tương tự, thay sup bởi Í: Giả sử (����)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ℓ�� với ���� =����,�� ��∈Z+ . Cho �� > 0 có �� sao cho �� > ��, �� > �� thì
∥���� − ����∥���� =Õ∞ ��=1
|����,�� − ����,�� |�� < �� ��. (∗∗)
Điều này dẫn tới với mỗi �� ≥ 1 thì |����,�� − ����,�� | < ��, do đó dãy ����,�� ��≥1là một dãy Cauchy trong F, do đó hội tụ về một ���� ∈ F.
Từ (∗∗), với mọi �� ∈ Z+,
�� ��=1
|����,�� − ����,�� |�� < �� ��.
Cho �� tiến ra vô cùng ta được Í����=1|����,�� −���� |�� ≤ ����. Suy ra chuỗi Í∞��=1|����,�� −���� |�� hội tụ và Í∞��=1|����,�� − ���� |�� ≤ ����, tức là ∥���� − ��∥ �� ≤ �� với �� = (��1, ��2, . . . , ����, . . . ). Điều này dẫn tới hai điều: (���� − ��) ∈ ℓ�� do đó �� ∈ ℓ��, và (����)��∈Z+ hội tụ về �� trong ℓ��. □
2.5 Không gian các hàm liên tục
Cho �� là một tập hợp và �� là một không gian định chuẩn trên trường F. Xét tập hợp ��(��, ��) gồm tất cả các ánh xạ từ �� vào ��. Trên tập hợp này ta định nghĩa phép cộng ánh xạ và phép nhân vô hướng với ánh xạ theo cách thường gặp: Nếu �� và �� thuộc ��(��, ��) và �� ∈ F thì �� + �� và �� �� được cho bởi, với mọi �� ∈ ��:
( �� + ��) (��) = �� (��) + �� (��) ,
(�� �� ) (��) = �� �� (��) .
Khi đó ��(��, ��) với các cấu trúc trên là một không gian vectơ. Ở đây phần tử 0 của không gian vectơ chính là ánh xạ mà giá trị luôn bằng phần tử 0 của ��.
2.5.1 Ví dụ. Không gian vectơ F��chính là ��(��, ��) với �� = {1, 2, . . . , ��} và �� = F. Không gian vectơ F∞ chính là ��(��, ��) với �� = Z+ và �� = F.
2.5. KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC 25
Để có chuẩn ta xét không gian con của ��(��, ��), tương tự các không gian ℓ��. Ở đây ta xét tương tự của ℓ∞, các tương tự của ℓ�� với �� < ∞ được xét ở phần không gian ����.
2.5.2 Định nghĩa. Gọi ��(��, ��) là tập hợp tất cả các ánh xạ bị chặn từ �� vào ��. Với �� ∈ ��(��, ��) thì tập ảnh �� (��) là một tập bị chặn trong ��, nói cách khác tập {∥ �� (��)∥ | �� ∈ ��} là một tập con bị chặn của R. Vậy ta có thể đặt
∥ �� ∥ = sup
∥ �� (��) ∥ = sup{∥ �� (��) ∥ | �� ∈ ��}.
��∈��
Đây thường được gọi là chuẩn sup, là một số đo kích thước của tập giá trị của ánh xạ, là chặn trên nhỏ nhất của độ lớn của ảnh của ánh xạ.
2.5.3 Ví dụ. ��(Z+, F) chính là ℓ∞.
2.5.4 Mệnh đề. ��(��, ��) là một không gian định chuẩn với chuẩn sup.
Chứng minh. Ta kiểm các yêu cầu của chuẩn. Cho �� ∈ ��(��, ��). Giả sử ∥ �� ∥ = 0. Ta có ∀�� ∈ ��, �� (��) = 0. Vậy �� là hàm 0, là phần tử 0 của ��(��, ��).
Nếu �� ∈ F thì
∥�� �� ∥ = sup ��∈��
∥�� �� (��)∥ = sup ��∈��
|��| ∥ �� (��) ∥ = |��| sup ��∈��
∥ �� (��) ∥ = |��| ∥ �� ∥ .
Nếu �� ∈ ��(��, ��) thì
∥ �� + ��∥ = sup
��∈��
∥ �� (��) + ��(��) ∥ ≤ sup ��∈��
(∥ �� (��) ∥ + ∥��(��)∥)
≤ (sup ��∈��
∥ �� (��)∥) + (sup ��∈��
∥��(��)∥) = ∥ �� ∥ + ∥��∥ .
□
2.5.5 Mệnh đề (hội tụ theo chuẩn sup thì hội tụ từng điểm). Trên không gian ��(��, ��), nếu dãy ( ����)��∈Z+ hội tụ về �� thì với mỗi �� ∈ �� dãy ( ����(��))��∈Z+ hội tụ về �� (��). Ngắn gọn hơn:
( lim
��→∞���� = �� ) =⇒ (∀��, lim
��→∞����(��) = �� (��)).
Điều này tương tự điều ta đã thấy trong R�� và cũng đã thấy trong ℓ��: nếu một dãy trong không gian mà hội tụ thì các dãy các tọa độ thành phần cũng phải hội tụ.
Chứng minh. Giả sử lim��→∞ ���� = �� . Điều này đồng nghĩa với lim��→∞ ∥ ���� − �� ∥ = 0. Với mọi �� ∈ �� ta có
∥ ����(��) − �� (��)∥ ≤ ∥ ���� − �� ∥ = sup ��∈��
∥ ����(��) − �� (��) ∥.
Qua giới hạn khi �� → ∞, dùng tính chất kẹp, ta được kết quả. □
26 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Sự hội tụ theo chuẩn sup còn được gọi là hội tụ đều, vì dãy ( ����)��∈Z+ hội tụ về �� theo chuẩn sup có nghĩa là với số dương �� cho trước bất kì thì với �� đủ lớn ta có ∥ ����(��) − �� (��) ∥ ≤ sup��∥ ����(��) − �� (��) ∥ = ∥ ���� − �� ∥ ≤ �� với mọi ��, do đó ta có thể nói ����(��) gần đều tùy ý tới �� (��) chỉ phụ thuộc �� mà không phụ thuộc �� ³. Sự hội tụ đều đã được nhắc tới trong môn Giải tích 2. Mệnh đề 2.5.5 có thể được tóm tắt là hội tụ đều thì hội tụ từng điểm.
2.5.6 Mệnh đề. Nếu �� là không gian Banach thì ��(��, ��) là không gian Banach.
Chứng minh. Chứng minh này tương tự chứng minh tính đầy đủ của R�� ở 1.3.8 và ℓ∞ ở 2.4.6. Trước hết ta dùng giới hạn từng điểm để tìm ra giới hạn của dãy. Cho ( ����)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ��(��, ��). Cho �� > 0, có �� ∈ N sao cho �� ≥ ��, �� ≥ �� thì với mọi �� ∈ �� ta có ∥ ����(��) − ����(��) ∥ ≤ ��. Với mỗi ��, dãy ( ����(��))��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ��, do đó hội tụ về một giới hạn duy nhất mà ta đặt là �� (��). Ở đánh giá ∥ ����(��) − ����(��)∥ ≤ �� cố định �� và cho �� → ∞ ta được với mọi �� > 0 có �� ∈ N sao cho �� ≥ �� thì với mọi �� ∈ �� ta có ∥ ����(��) − �� (��) ∥ ≤ ��. Suy ra ( ���� − �� ) ∈ ��(��, ��) do đó �� = ( �� − ����) + ���� ∈ ��(��, ��). Ta kết luận được ( ����)��∈Z+ hội tụ trong ��(��, ��) về �� . □
2.5.7 Định nghĩa. Nếu �� là một không gian mêtríc và�� là một không gian định chuẩn thì ta gọi ��(��, ��) là tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục từ �� vào ��.
Nếu �� là compắc thì một hàm liên tục trên �� sẽ bị chặn, do đó ��(��, ��) ⊂ ��(��, ��). Hơn nữa một hàm liên tục trên một không gian compắc có giá trị lớn nhất, do đó thực ra sup��∥ �� (��) ∥ = max�� ∥ �� (��) ∥, giá trị lớn nhất của độ lớn các ảnh của ánh xạ.
2.5.8 Ví dụ. Không gian vectơ ��( [��, ��], R), còn được viết tắt là ��( [��, ��]), gồm tất cả các hàm số thực liên tục từ đoạn [��, ��] vào R, với chuẩn sup.
Chẳng hạn, cos ∈ ��( [0, ��]) và
∥ cos ∥ = sup 0≤��≤ ��
| cos ��| = max
0≤��≤ ��| cos ��| = | cos 0| = | cos ��| = 1.
Không gian vectơ ��( [��, ��]) là vô hạn chiều (Bài tập 2.8.21).
2.5.9 Định lý. Nếu �� là một không gian compắc thì ��(��, ��) với chuẩn sup là một không gian định chuẩn con đóng của ��(��, ��). Do đó nếu �� là một không gian compắc và �� là một không gian Banach thì ��(��, ��) là một không gian Banach.
Chứng minh. Giả sử dãy ( ����)�� trong ��(��, ��) hội tụ về �� trong ��(��, ��), ta chứng minh �� ∈ ��(��, ��), tức là chứng minh �� là liên tục. Cho ��0 ∈ ��. Viết
∥ �� (��) − �� (��0)∥ = ∥ �� (��) − ����(��) + ����(��) − ����(��0) + ����(��0) − �� (��0) ∥ ≤ ∥ �� − ����∥ + ∥ ����(��) − ����(��0)∥ + ∥ �� − ����∥ .
³Trong tiếng Anh “hội tụ đều” là “uniform convergence”.
2.5. KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC 27
Cho �� > 0, chọn �� đủ lớn ta sẽ được ∥ �� − ����∥ < ��. Với �� đó thì ���� liên tục tại ��0, do đó lấy �� đủ gần ��0 ta sẽ có ∥ ����(��) − ����(��0) ∥ < ��, do đó ∥ �� (��) − �� (��0) ∥ < 3��, do đó �� liên tục tại ��0.
Nếu �� là không gian Banach thì ��(��, ��) là không gian Banach theo Mệnh đề 2.5.6, và ��(��, ��) là một không gian con đóng của ��(��, ��) nên cũng là một không gian Banach, do 1.3.16. □
2.5.10 Ví dụ. Không gian ��( [��, ��], R) là một không gian định chuẩn đầy đủ, tức là một không gian Banach. Một phần của Mệnh đề 2.5.9 được phát biểu trong môn Giải tích 2 dưới dạng: dãy hàm liên tục hội tụ đều thì giới hạn cũng liên tục.
Người đọc có thể viết lại chứng minh của 2.5.6 và 2.5.9 trực tiếp cho ��( [��, ��], R) để dễ theo dõi hơn.
2.5.11 Ví dụ. Trong ��( [0, 1]) đặt ����(��) = ����. Ta xét sự hội tụ của dãy ( ����)��∈Z+ . Giả sử lim��→∞ ���� = �� . Ta tìm �� . Vì hội tụ đều dẫn tới hội tụ từng điểm nên ta phải có với mọi �� ∈ [0, 1] thì lim��→∞ ����(��) = �� (��). Ta tính
�� (��) = lim
��→∞���� =
0, 0 ≤ �� < 1,
��→∞����(��) = lim
1, �� = 1.
Nhưng hàm �� rõ ràng không liên tục, tức là �� ∉ ��( [0, 1]). Trong hình dưới đây có đồ thị của hàm �� = ���� với �� tăng dần, cho thấy tính chất trên.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
–0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
–0.1
Như thế dãy ( ����)��∈Z+ không hội tụ về �� trong ��( [0, 1]), mâu thuẫn. Ta kết luận dãy ( ����)��∈Z+ không hội tụ.
2.5.12 Ví dụ. Cho
����(��) =sin(2������)
��, �� ∈ [0, 1], �� ∈ Z+.
Ta xét lim��→∞ ����(��), lim��→∞ ∥ ����∥, lim��→∞ ����.
28 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Vì ����(��) =sin(2������) ��
nên dùng tính chất kẹp ta có
≤1��, ∀�� ∈ [0, 1],
��→∞����(��) = 0.
lim
Vậy dãy hàm ( ����)��∈Z+ hội tụ điểm về hàm 0. Tiếp theo
| ����(��)| ≤1��,
nên dùng tính chất kẹp ta có
∥ ����∥ = sup ��∈ [0,1]
��→∞∥ ����∥ = lim
1
lim
��→∞
��= 0.
Ta tìm lim��→∞ ����, tức là tìm giới hạn của dãy ( ����)��∈Z+ dưới chuẩn sup. Ta biết giới hạn theo chuẩn sup nếu tồn tại thì phải là hàm giới hạn từng điểm, nên lim��→∞ ���� nếu tồn tại phải bằng hàm 0. Ta kiểm tra xem có thực 0 là giới hạn của dãy ( ����)��∈Z+ hay không. Ta viết
∥ ���� − 0∥ = ∥ ����∥��→∞→ 0.
Vậy đúng là ������→∞→ 0.
Dưới đây là một ví dụ về không gian định chuẩn không đầy đủ.
2.5.13 Mệnh đề. Tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [0, 1] vào R với chuẩn ∥ �� ∥ = ∫ 1
0| �� | là một không gian định chuẩn không đầy đủ.
Chứng minh. Dễ kiểm tra đây là một chuẩn, đặc biệt tích phân ∫ 10| �� | = 0 nếu và chỉ nếu �� = 0 vì �� là hàm liên tục.
Với �� ≥ 3, đặt ���� là hàm tuyến tính từng khúc liên tục bằng 0 trên [0,12−1��], bằng 1 trên [12, 1], xem Hình 2.5.14. Ta sẽ chứng tỏ dãy ( ����)��≥1 là một dãy Cauchy nhưng không thể hội tụ, điều có thể thấy trực quan từ hình vẽ.
Trong Hình 2.5.14, ∥ ���� − ����∥ =∫ 10| ����(��) − ����(��)| ���� chính là diện tích giữa đồ thị của ���� và ����, bằng 12 1��−1�� , nhỏ tùy ý khi �� và �� đủ lớn. Vậy dãy ( ����)��≥1 là một dãy Cauchy.
2.6. KHÔNG GIAN ���� 29 1
1
����
1
����
1
2−1��1
2−1��
2
Hình 2.5.14:
Giả sử ������→∞→ �� và �� là liên tục. Khi đó
∫ 1 12
| ���� − �� | =
∫ 1 12
|1 − �� | ≤
∫ 1 0
| ���� − �� |��→∞ −→ 0,
dẫn tới ∫ 112|1 − �� | = 0. Vì �� là liên tục điều này dẫn tới 1 − �� = 0, hay �� = 1 trên [12, 1]. Với mọi �� > 0, với �� đủ lớn, ta có 12��< ��, vì thế
∫ 12−�� 0
| ���� − �� | =
∫ 12−�� 0
|0 − �� | ≤
∫ 1 0
| ���� − �� |��→∞ −→ 0.
Điều này dẫn tới ∫ 12−��
0| �� | = 0, do đó �� = 0 trên [0,12− ��). Suy ra
�� (��) =
0, 0 ≤ �� < 12 1,12≤ �� ≤ 1.
Nhưng hàm này lại không liên tục, mâu thuẫn. Vậy dãy ( ����)��≥1 không hội tụ. □
2.6 Không gian ����
Phần này nhắc lại sơ lược một số nội dung của lí thuyết độ đo và tích phân, người học có thể tra cứu trong các giáo trình của môn này như [7, 15].
30 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Tóm tắt về độ đo và tích phân
Một không gian đo được là một tập hợp Ω với một ��-đại số �� các tập con của Ω (kín dưới phép hội đếm được và phép lấy phần bù). Các phần tử của �� được gọi là các tập đo được trong không gian (Ω, ��) này. Một độ đo trên không gian đo được (Ω, ��) là một hàm �� : �� → [0, ∞], thỏa một số yêu cầu, như tính cộng đếm được. Bộ (Ω, ��, ��) được gọi là một không gian đo.
2.6.1 Ví dụ. Với �� tập hợp tất cả các tập con của Ω thì độ đo đếm �� trên Ω, được cho bởi �� (��) = |��|, số phần tử của �� khi �� hữu hạn và �� (��) = ∞ khi �� vô hạn.
2.6.2 Ví dụ (không gian đo Lebesgue). Trên không gian Euclid R��có một ��-đại số �� đặc biệt chứa tất cả các tập mở và tập đóng. Các phần tử của của �� được gọi là các tập đo được Lebesgue. Có một độ đo �� trên ��, duy nhất theo một nghĩa nhất định, được gọi là độ đo Lebesgue, có tính chất độ đo của một hình hộp Î����=1[����, ����] bằng Î����=1(���� − ����), cộng tính đếm được, và bất biến dưới các phép dời hình của không gian Euclid R��. Nếu một tập có thể tích Riemann thì nó đo được Lebesgue, và thể tích
Riemann của tập đó bằng với độ đo Lebesgue của nó.
Bây giờ ta tóm tắt về tích phân tổng quát. Cho (Ω, ��, ��) là một không gian đo. Một hàm �� : Ω → R được gọi là một hàm đo được nếu ảnh ngược của mỗi tập mở (dưới mêtric Euclid của R) là một tập đo được. Hệ quả là mỗi tập mức ��−1(��) là đo được.
Cho �� là một hàm đo được không âm. Nếu trong tích phân Riemann ta xấp xỉ hàm bằng các hàm hằng trên từng hình hộp con thì giờ ta cũng làm tương tự nhưng thay vì chỉ dùng hình hộp ta dùng tập đo được. Ta định nghĩa tích phân của �� là
∫ Ω
�� ���� = sup
(�� ��=1
������(����) | �� ∈ Z+, ���� ∈ ��, ���� ∈ R, ���� ≤ �� |����
)
.
Đại ý là xây dựng tích phân bằng cách xấp xỉ dưới bởi các hình hộp mà đáy là các tập đo được. Chú ý rằng giá trị của tích phân có thể là ∞. Hàm �� được gọi là khả tích nếu ∫
Ω�� ���� < ∞.
Định nghĩa trên còn có thể được viết hơi khác đi như sau. Gọi �� là tập hợp những hàm không âm đo được có hữu hạn giá trị, được gọi là hàm bậc thang, có dạng
��
�� =
��=1
���� ������
với ���� = ��−1(����). Định nghĩa ∫Ω�� ���� =Í����=1������(����). Tích phân của �� là
∫ Ω
�� ���� = sup
∫ Ω
�� ���� | �� ∈ ��, �� ≤ ��
.
Có thể diễn đạt là xây dựng tích phân bằng cách xấp xỉ dưới thông qua hàm bậc thang.
2.6. KHÔNG GIAN ���� 31 ������
����
Hình 2.6.3: Xấp xỉ hàm bằng các hàm hằng trên tập đo được.
Cho �� là hàm đo được tùy ý, có thể có giá trị âm. Hàm �� được gọi là khả tích nếu ∫Ω| �� | ���� < ∞. Đặt ��+(��) = max{ �� (��), 0} và ��−(��) = max{− �� (��), 0} thì đây là những hàm đo được, và �� = ��+ − ��−. Ta định nghĩa
∫ Ω
�� ���� =
∫ Ω
��+���� −
∫ Ω
��−����.
Các khái niệm trên có thể được mở rộng cho hàm có giá trị phức. Nếu �� : Ω → C thì ta viết �� = �� + ��ℎ với �� và ℎ là hàm giá trị thực, �� là đo được khi và chỉ khi �� và ℎ đo được, và ta định nghĩa ∫Ω�� =∫Ω�� + ��∫Ωℎ.
Tích phân tổng quát có những tích chất như tích phân Riemann, như tính tuyến tính và tính so sánh.
2.6.4 Ví dụ. Tích phân trên không gian đo Lebesgue được gọi là tích phân Lebesgue.
2.6.5 Ví dụ. Một hàm khả tích Riemann thì khả tích Lebesgue và khi đó tích phân Lebesgue có cùng giá trị với tích phân Riemann.
Đặc biệt, các hàm liên tục đều khả tích Riemann nên đều khả tích Lebesgue.
2.6.6 Ví dụ. Với �� là độ đo đếm trên Ω, nếu �� : Ω → R là hàm không âm thì từ định nghĩa của tích phân có thể thấy
∫ ��
�� ���� = sup
(Õ ��∈��
�� (��) | �� ⊂ ��, |��| < ∞
)
.
Đặc biệt, nếu Ω = {1, 2, . . . , ��} là tập hữu hạn có �� phần tử thì ∫Ω�� ���� =Í����=1��(��), chính là tổng của hữu hạn số thực. Nếu Ω = Z+thì có thể thấy ∫Ω�� ���� =Í∞��=1��(��), chính là tổng của chuỗi số thực. Tích phân thực sự là tổng quát hóa của tổng.
Tích phân tổng quát có những tính chất quan trọng liên quan tới việc qua giới hạn mà tích phân Riemann không có.
2.6.7 Định lý (Định lý hội tụ bị chặn). Cho ( ����)�� là một dãy hàm số đo được hội tụ từng điểm về một hàm �� . Nếu dãy hàm ( ����)�� bị chặn từng điểm bởi một hàm khả
32 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
tích, cụ thể là có �� khả tích sao cho ∀��, ∀��, | ����(��)| ≤ ��(��), thì �� khả tích và dãy các tích phân của ���� hội tụ về tích phân của �� .
Chi tiết của lý thuyết độ đo và tích phân tổng quát tương đối phức tạp và đồ sộ so với trình độ chung của người học ở các năm đầu đại học, tuy nhiên phần lớn trong môn học này chúng ta chỉ cần dùng một số tính chất căn bản của tích phân.
Định nghĩa các không gian ����
Cho (Ω, ��) là một không gian đo. Với F = R hoặc F = C, và �� ∈ [1, ∞), xét tập
����(Ω, ��) =
�� : Ω → F |
∫ Ω
| �� |������ < ∞
.
Nếu �� ∈ ����(Ω, ��), �� ∈ [1, ∞), đặt
∫
1/��
| �� |������
∥ �� ∥ �� =
.
Ω
Một tính chất được gọi là đúng hầu khắp (hầu như khắp nơi) nếu tính chất đó đúng trên một tập con nào đó mà phần bù có độ đo không, nói cách khác tập hợp những phần tử ở đó tính chất không đúng chứa trong một tập có độ đo không. Đặt
��∞(Ω, ��) = �� : Ω → F đo được | ∃�� > 0, | �� (��) | ≤ �� hầu khắp trên Ω .
Nếu �� ∈ ��∞(Ω, ��) đặt
∥ �� ∥∞ = inf �� > 0 | | �� (��)| ≤ �� hầu khắp trên Ω.
2.6.8 Ví dụ. Nếu Ω = [0, 1], �� là độ đo Lebesgue, và �� là liên tục, thì ∥ �� ∥∞ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}, chính là chuẩn sup của hàm liên tục, xem Bài tập 2.8.38.
Ta có hai bất đẳng thức cơ bản sau ([12, tr. 63], [16, tr. 86]):
2.6.9 Mệnh đề (Bất đẳng thức Hölder). Cho �� ∈ ����(Ω, ��), �� ∈ ����(Ω, ��), với 1 ≤ �� ≤ ∞,1��+1��= 1. Ta có �� �� ∈ ��1(Ω, ��) và
∥ �� ��∥1 ≤ ∥ �� ∥ ��∥��∥��.
2.6.10 Ví dụ. Bất đẳng thức Buniakowski quen thuộc cho các số thực là một trường trường hợp riêng của Bất đẳng thức Hölder, khi Ω = {1, 2, . . . , ��}, �� là độ đo đếm, �� = 2, �� = 2.
2.6. KHÔNG GIAN ���� 33
2.6.11 Mệnh đề (Bất đẳng thức Minkowski). Cho �� , �� ∈ ����(Ω, ��), với 1 ≤ �� ≤ ∞. Ta có �� + �� ∈ ����(Ω, ��) và
∥ �� + ��∥ �� ≤ ∥ �� ∥ �� + ∥��∥ ��.
2.6.12 Ví dụ. Các bất đẳng thức Minkowski cho các bộ số ở (2.2.3) và (2.4.4) là các trường hợp riêng, khi Ω = {1, 2, . . . , ��}, hoặc Ω = Z+, và �� là độ đo đếm.
Ta thấy bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác cho chuẩn. Tuy nhiên ∥ �� ∥ �� = 0 ⇐⇒ �� = 0 hầu khắp, do đó ta chưa thực sự có một chuẩn. Để đây là một chuẩn cần xét các lớp tương đương dưới quan hệ
�� ∼ �� ⇐⇒ �� = �� hầu khắp.
Có thể kiểm được dưới quan hệ tương đương này thì các cấu trúc trên khiến ����(Ω, ��) trở thành một không gian định chuẩn hẳn hoi. Như vậy ta lưu ý là phần tử của không gian định chuẩn ����là các lớp tương đương của hàm chứ không phải các hàm.
Chú ý rằng mặc dù một phần tử của ����(Ω, ��) là một lớp tương đương các hàm, nhưng để đơn giản trong trình bày người ta thường bỏ qua kí hiệu lớp tương đương, chỉ viết vắn tắt như “cho hàm �� ∈ ����(Ω) …”, để người đọc tự hiểu rằng �� đại diện cho một phần tử của ����(Ω, ��).
2.6.13 Ví dụ. Cho �� : [��, ��] → R là một hàm thực liên tục trên đoạn [��, ��], tức là �� ∈ ��( [��, ��]). Ta biết hàm liên tục trên một đoạn số thực thì khả tích Riemann, nên tích phân Lebesgue của hàm trùng với tích phân Riemann của hàm, do đó �� ∈ ����( [��, ��]) với mọi 1 ≤ �� < ∞. Ngoài ra �� cũng thuộc ��∞( [��, ��]) như đã nói ở 2.6.8. Vậy �� ∈ ���� với mọi 1 ≤ �� ≤ ∞.
Chẳng hạn với �� (��) = ��, �� ∈ [0, 1], thì
∥ �� ∥ �� =
∫ 1 0
��������
1��
=
1
�� + 1
1��, 1 ≤ �� < ∞
Xét hàm
∥ �� ∥∞ = sup{�� | �� ∈ [0, 1]} = 1.
��(��) =
��, 0 ≤ �� < 1, 2, �� = 1.
Hàm �� bằng hàm �� hầu khắp (chỉ trừ tại �� = 1), nên ∥��∥ �� = ∥ �� ∥ �� với mọi 1 ≤ �� ≤ ∞.
2.6.14 Ví dụ (ℓ��(��)). Với �� là độ đo đếm trên �� thì ����(��, ��) thường được kí hiệu là ℓ��(��). Nếu �� : �� → F thì �� ∈ ℓ��(��) khi và chỉ khi
∫ ��
|��|������ = sup ��⊂��,|��|<∞
Õ ��∈��
|��(��)| �� < ∞.
34 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Nếu �� là một tập vô hạn đếm được, tức có song ánh với Z+, thì ℓ��(��) đơn giản là ℓ��. Thực vậy cho 1 ≤ �� < ∞, nếu �� ∈ ℓ��(Z+) thì có thể thấy
∥��∥�� = sup ��⊂N,|��|<∞
Õ ��∈��
|��(��)| �� =Õ∞ ��=1
|��(��)| ��.
Tương tự ℓ∞(Z+) là không gian các dãy số bị chặn.
Nếu �� là tập hữu hạn với �� phần tử thì ℓ��(��) chính là F�� với chuẩn ∥·∥ ��. 2.6.15 Định lý. ����(Ω), với 1 ≤ �� ≤ ∞, là các không gian Banach.
Chứng minh. Xét trường hợp �� = ∞. Ta làm tương tự như chứng minh không gian ��(��, F) là không gian Banach ở Mệnh đề 2.5.6, chỉ có một điều chỉnh nhỏ do tính hầu khắp.
Cho ( ����)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ��∞(Ω). Cho �� > 0, có �� ∈ N sao cho �� ≥ ��, �� ≥ �� thì ∥ ���� − ����∥∞ < ��, do đó | ����(��) − ����(��)| ≤ �� với mọi �� ∈ Ω \ ����,�� với ����,�� là một tập có độ đo không. Đặt �� =Ð��,�� ����,�� thì �� là hội của một họ đếm được các tập có độ đo không, nên cũng là một tập có độ đo không. Với mỗi �� ∈ Ω \��, dãy ( ����(��))��∈Z+ là một dãy Cauchy trong F, do đó hội tụ về một giới hạn duy nhất mà ta đặt là �� (��). Đặt �� = 0 trên ��.
Với �� ∈ Ω\��, cố định �� và cho �� → ∞ trong bất đẳng thức | ����(��)− ����(��)| ≤ ��, ta được | �� (��)− ����(��)| ≤ ��. Vậy với mọi�� > 0 có �� ∈ N sao cho �� ≥ �� thì ∥ �� − ����∥∞ ≤ ��. Suy ra ( ���� − �� ) ∈ ��∞(Ω), do đó �� = ( �� − ����) + ���� ∈ ��∞(Ω). Ta kết luận ( ����)��∈Z+ hội tụ trong ��∞(Ω) về �� .
Trường hợp �� < ∞ khó hơn, có ở [12, tr. 67], [2, tr. 93], [16, tr. 89]. □ 2.7 Các đề tài khác
Toán tử tích phân
2.7.1 Mệnh đề. Cho �� là một tập con compắc trong không gian Euclid R��và �� là một ánh xạ liên tục từ �� × R vào R. Đặt �� = ��(��, R) – không gian các ánh xạ liên tục từ �� vào R với chuẩn ∥��∥ = sup�� ∈��|�� (��)|. Cho �� là một phần tử trong ��. Với
(��, ��) ∈ �� × ��, đặt
�� (��) (��) = �� (��) +
∫ ��
�� (��, �� (��)) ����.
Ở đây tích phân cần được hiểu là tích phân Lebesgue (nếu thay �� bằng một hình hộp thì có thể dùng tích phân Riemann). Ta có �� là một ánh xạ liên tục từ �� vào ��.
Chứng minh. Trước hết ta cần kiểm �� được định nghĩa tốt, cụ thể là kiểm �� (��) (��) là một số thực, và �� (��) liên tục theo �� tức �� (��) ∈ ��.
Hàm liên tục trên tập compắc trong R��thì khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết khả tích Riemann), do đó �� (��) (��) là một số thực.
2.7. CÁC ĐỀ TÀI KHÁC 35
Để kiểm tra tính liên tục của �� (��) có thể dùng sự liên tục đều. Vì �� liên tục trên �� nên tập ��(��) ⊂ R là compắc, do đó tập �� = �� × ��(��) ⊂ R��+1là compắc. Vì �� liên tục đều trên �� nên cho �� > 0, có �� > 0 sao cho ∀�� ∈ ��, ∀��′ ∈ ��, ∥�� − ��′∥ < �� thì |��(��) − ��(��′)| < ��. Như vậy nếu ∥�� − ��′∥ < �� thì ∥(��, ��(��)) − (��′, ��(��)) ∥ = ∥�� − ��′∥ < ��, do đó |��(��, ��(��)) − ��(��′, ��(��))| < ��. Suy ra
| �� (��) (��) − �� (��) (��′)| = ≤
∫��(��(��, ��(��)) − ��(��′, ��(��)) ����
∫
|��(��, ��(��)) − ��(��′, ��(��)| ���� ≤ ��|��|. ��
(Vì �� bị chặn nên độ đo Lebesgue của �� là một số thực, không phải là ∞). Vậy �� (��) liên tục theo ��.
Để kiểm tra tính liên tục của �� (��) cũng có thể dùng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue như sau. Giả sử ���� hội tụ về ��. Hàm �� liên tục trên tập compắc �� × ��(��) nên bị chặn, do đó có số thực �� sao cho ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, |��(��, ��(��)| ≤ ��. Đặt ����(��) = ��(����, ��(��)) thì lim��→∞ ����(��) = ��(��, ��(��)) và ∀�� ∈ ��, |����(��)| ≤ ��. Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue cho dãy (����)��, ta được
��(��, ��(��)) ����.
Vậy
lim
��→∞
∫ ��
����(��) ���� = ∫
∫ ��
��→∞����(��) ���� = lim
∫
∫ ��
lim
��→∞
��
Do đó �� (��) liên tục theo ��.
��(����, ��(��)) ���� =
��(��, ��(��)) ����. ��
Giờ ta chứng tỏ �� liên tục tại �� ∈ �� bất kì. Lý luận này dùng tính liên tục đều, rất giống ở trên nhưng cần có một điều chỉnh. Vì �� liên tục đều trên �� = �� × [− ∥��∥ − 1, ∥��∥ + 1] nên cho �� > 0, có 1 > �� > 0 sao cho ∀�� ∈ ��, ∀��′ ∈ ��, ∥�� − ��′∥ < �� thì |��(��) − ��(��′)| < ��. Như vậy nếu ∥�� − ��′∥ < �� thì ∀�� ∈ ��, ∥(��(��) − ��′(��)∥ < ��, do đó ∥(��, ��(��)) − (��, ��′(��)) ∥ < ��, và do (��, ��′(��)) ∈ �� nên dẫn tới |��(��, ��(��)) − ��(��, ��′(��))| < ��. Suy ra
∫
| �� (��) (��) − �� (��′) (��)| ≤ ��
|��(��, ��(��)) − ��(��, ��′(��))| ���� ≤ ��|��|.
Điều này dẫn tới ∥ �� (��) − �� (��′)∥ ≤ ��|��|. Vậy �� liên tục tại ��. □
Tính compắc trong không gian các hàm thực liên tục
Định lý Ascoli, còn được gọi là Định lý Ascoli–Arzela, cho một tiêu chuẩn cho sự compắc trong không gian trong không gian các hàm thực liên tục:
2.7.2 Định lý (Định lý Ascoli). Cho �� ⊂ ��(��, R) với �� là một không gian mêtríc compắc. Khi đó ��¯ là compắc khi và chỉ khi có cả hai điều sau đây:
36 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
(a) �� bị chặn từng điểm: ∀�� ∈ ��, { �� (��) | �� ∈ ��} bị chặn.
(b) �� đồng liên tục (equicontinuous) : ∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀ �� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ∥�� − ��∥ < �� ⇒ | �� (��) − �� (��)| < ��.
Chứng minh. * Chứng minh này dùng tính tiền compắc và tính compắc qua phủ mở, có chẳng hạn ở [8, 16]. Chứng minh với cách viết hơi khác có trong [1, tr. 71], [16, tr. 79]. Một không gian mêtríc �� là tiền compắc (còn được gọi là hoàn toàn bị chặn - totally bounded), khi và chỉ khi với mọi �� > 0 nó được phủ bởi hữu hạn quả cầu bán kính ��, tức là tồn tại ���� ∈ ��, 1 ≤ �� ≤ ��, sao cho Ð����=1 ��(����, ��) ⊃ ��. Ta có kết quả: Một không gian mêtríc là compắc khi và chỉ khi nó là tiền compắc và đầy đủ; và một không gian mêtríc là compắc khi và chỉ khi mọi phủ mở có một phủ con hữu hạn.
(⇒) Vì �� bị chặn nên bị chặn từng điểm.
Ta xét tính đồng liên tục. Vì ��¯ compắc nên là tiền compắc, dẫn tới ∀�� > 0 có ���� ∈ ����(��, R), 1 ≤ �� ≤ �� sao cho Ð����=1 ��( ����, ��) ⊃ ��. Suy ra với mọi �� ∈ �� có �� sao cho ∥ �� − ���� ∥ < ��. Vì �� compắc nên với mỗi �� hàm ����là liên tục đều, do đó ∃���� > 0, ∥�� − ��∥ < ���� ⇒ | ����(��) − ����(��)| < ��. Lấy �� = min{����| 1 ≤ �� ≤ ��}. Khi đó nếu ∥�� − ��∥ < �� thì
| �� (��) − �� (��)| ≤ | �� (��) − ����(��)| + | ����(��) − ����(��)| + | ����(��) − �� (��)| < 3��.
Vậy �� là đồng liên tục.
(⇐) Vì ��¯ đóng trong ��(��, R, ∥ ∥∞) nên ��¯ là đầy đủ. Do đó chỉ cần chứng minh ��¯ là tiền compắc.
Cho �� > 0. Vì �� là đồng liên tục nên ∃�� > 0, ∀ �� ∈ ��, ∥�� − ��∥ < �� ⇒ | �� (��) − �� (��)| < ��. Họ các quả cầu ��(��, ��) phủ ��, do đó có phủ con hữu hạn {��(����, ��) | 1 ≤ �� ≤ ��}. Tập �� =Ð����=1{ �� (����) | �� ∈ ��} bị chặn do tính bị chặn từng điểm của ��, nên tồn tại một họ hữu hạn các khoảng mở ��(�� ��, ��), �� �� ∈ R, 1 ≤ �� ≤ �� phủ ��. Cho �� ∈ ��, với mỗi ��, vì �� (����) ∈ �� nên tồn tại �� sao cho �� (����) ∈ ��(�� ��, ��). Gọi �� là tập hợp tất cả các ánh xạ từ tập {1, 2, . . . , ��} vào tập {1, 2, . . . , ��} thì họ hữu hạn gồm các tập Φ�� = { �� ∈ �� | �� (����) ∈ ��(����(��), ��), 1 ≤ �� ≤ ��}, �� ∈ �� phủ ��.
Nếu �� , �� ∈ Φ�� thì với mỗi �� ∈ �� có �� sao cho �� ∈ ��(����, ��), nên
| �� (��) −��(��)| ≤ | �� (��) − �� (����)| + | �� (����) −����(��)| + |����(��) −��(����)| + |��(����) −��(��)| < 4��.
Vậy Φ�� chứa trong một quả cầu tâm thuộc �� với bán kính 4��. Họ các quả cầu này phủ ��. Vậy �� là tiền compắc. Điều này dẫn tới ��¯ là tiền compắc. □
* Định lý Stone–Weierstrass
Tập �� ⊂ �� (��, R) được gọi là một đại số con (của �� (��, R)) khi �� + ��, �� ��, �� �� ∈ ��, với mọi �� , �� ∈ ��, �� ∈ R, và được gọi là tách các điểm của �� khi với mọi ��, �� ∈ ��, nếu �� ≠ �� thì tồn tại �� ∈ �� sao cho �� (��) ≠ �� (��).
2.8. BÀI TẬP 37
2.7.3 Định lý (Định lý Stone–Weierstrass). Cho �� là một không gian mêtríc compắc và �� ⊂ �� (��, R) là một đại số con. Nếu �� tách các điểm của �� và chứa các hàm hằng thì �� dày đặc trong �� (��, R).
Chứng minh có trong [16].
Do tập hợp tất cả các đa thức theo �� biến là một đại số con, chứa các hàm hằng và tách mọi điểm của R��, ta được:
2.7.4 Hệ quả. Một hàm số liên tục xác định trên tập con compắc của R�� bất kì được xấp xỉ đều bằng các đa thức �� biến.
2.8 Bài tập
2.8.1. Trong một không gian định chuẩn chứng minh rằng | ∥��∥ − ∥��∥ | ≤ ∥�� − ��∥.
2.8.2. ✓ Cho (����) và (����) là hai dãy lần lượt hội tụ về �� và �� trong một không gian định chuẩn (��, ∥·∥), và cho �� thuộc F. Chứng minh:
(a) Dãy (����) chỉ có một giới hạn.
(b) Dãy (���� + ����) hội tụ về �� + ��.
(c) Dãy (������) hội tụ về ����.
2.8.3. Chứng tỏ bao đóng của một không gian vectơ con của một không gian định chuẩn vẫn là một không gian vectơ con. Cụ thể hơn, nếu �� là một không gian vectơ con của không gian định chuẩn �� thì bao đóng �� cũng là một không gian vectơ con của ��.
2.8.4. ✓ Cho (��, ∥·∥) là một không gian định chuẩn. Chứng minh rằng ánh xạ ℎ (��) = ∥��∥ liên tục trên ��.
2.8.5. ✓ Với �� ∈ �� xét toán tử tịnh tiến �� ↦→ �� + ��, và với �� ∈ F \ {0} xét toán tử co dãn (vị tự) �� ↦→ ����. Chứng minh phép tịnh tiến và phép vị tự là các phép đồng phôi từ một không gian định chuẩn lên chính nó.
2.8.6. Cho (��, ��) ∈ R2. Đặt ∥ (��, ��) ∥ =p2��2 + 3��2. Đây có là một chuẩn trên R2 không?
2.8.7. Cho ∥ · ∥1 là một chuẩn trên không gian vectơ ��. Chứng tỏ với mọi số thực dương �� thì ∥��∥2 = ��∥��∥1 cũng là một chuẩn trên ��. Chứng tỏ hai chuẩn này tương đương nhau.
2.8.8. * Chứng minh rằng hai chuẩn trên một không gian vectơ là tương đương khi và chỉ khi một tập là mở trong chuẩn này thì mở trong chuẩn kia.
2.8.9 (mêtric sinh ra chuẩn). Cho không gian vectơ �� trên trường F = R, C.
(a) Giả sử �� có một chuẩn kí hiệu là ∥·∥. Chứng tỏ nếu ta đặt ��(��, ��) = ∥�� − ��∥ thì đây là một mêtríc trên ��. Vậy chuẩn sinh ra mêtríc. Chứng tỏ mêtríc �� này thỏa, với mọi ��, ��, �� thuộc ��, với mọi �� ∈ F:
(
��(�� + ��, �� + ��) = ��(��, ��)
��(����, ����) = |��|��(��, ��).(2.8.10)
38 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
(b) Ngược lại, giả sử �� có mêtríc �� thỏa (2.8.10). Chứng tỏ nếu ta đặt ∥��∥ = ��(��, 0) thì đây là một chuẩn trên ��. Vậy mêtríc thỏa (2.8.10) sinh ra chuẩn. Chứng tỏ ta lại có ��(��, ��) = ∥�� − ��∥.
2.8.11. (a) Kiểm ánh xạ �� ở 2.3.3 là một phép đồng phôi từ (��, ∥·∥) sang (F��, ∥·∥F�� ). (b) Chứng tỏ hai không gian định chuẩn ứng với hai chuẩn trên cùng không gian vectơ F�� là đồng phôi với nhau qua ánh xạ đồng nhất.
(c) Kết luận các không gian định chuẩn hữu hạn chiều trên cùng một trường mà có cùng số chiều thì đẳng cấu tôpô với nhau.
2.8.12. Chứng tỏ trên một không gian Banach chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Cụ thể hơn, cho (����)��∈Z+ là dãy trong một không gian Banach, chứng tỏ nếu chuỗi Í∞��=1∥���� ∥ hội tụ thì chuỗi Í∞��=1���� hội tụ.
2.8.13. Cho dãy �� = ∞.
1,12,122,123, . . . ,12�� , . . . . Tính ∥��∥1, ∥��∥2, ∥��∥∞, và ∥��∥ �� với 1 ≤ �� <
2.8.14. Trong không gian ℓ2:
(a) Cho ���� = (1,12,13,14, . . . ,1��, 0, 0, 0, . . . ). Kiểm ���� ∈ ℓ2. Tính ∥���� ∥. (b) Cho �� = (1,12,13,14, . . . ,1��, . . . ). Kiểm �� ∈ ℓ2. Tính ∥��∥.
(c) Tính ∥���� − ��∥.
(d) Hãy chứng tỏ dãy (����)��∈Z+ hội tụ về �� trong ℓ2.
2.8.15. Chứng tỏ ℓ1 ⊊ ℓ2 ⊊ ℓ∞.
2.8.16. Cho 1 ≤ �� < �� ≤ ∞. Chứng tỏ ℓ�� ⊊ ℓ��.
2.8.17. Cho 1 ≤ �� < �� ≤ ∞. Cho �� = (����)��∈Z+ ∈ ℓ��, �� ≠ 0.
(a) Đặt �� =��
∥ �� ∥ ��. Chứng tỏ |����| ≤ 1 với mọi �� ∈ Z+.
(b) Suy ra ∥��∥�� ≤ ∥��∥ ��.
(c) Chứng tỏ với mọi �� ∈ ℓ��thì �� ∈ ℓ�� và ∥��∥�� ≤ ∥��∥ ��.
2.8.18. ✓ Đặt ���� là tập hợp tất cả các dãy �� = (����) trong F sao cho có một số nguyên �� (��) để cho ���� = 0 với mọi �� ≥ �� (��).
(a) Chứng minh (����, ∥·∥��) là các không gian con vô hạn chiều của ℓ�� với 1 ≤ �� ≤ ∞. (b) Từ đó suy ra ℓ�� với 1 ≤ �� ≤ ∞ là không gian vectơ vô hạn chiều.
(c) Chứng minh tập ���� là dày đặc (trù mật) trong ℓ�� với 1 ≤ �� < ∞.
(d) Tập ���� có dày đặc trong ℓ∞ hay không?
2.8.19. Trong ℓ∞ xét ���� = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), trong đó số 1 nằm ở vị trí thứ ��. Chứng tỏ dãy (����)��≥1 không có dãy con hội tụ. Suy ra quả cầu ��′(0, 1) không compắc.
2.8. BÀI TẬP 39
Không gian các hàm liên tục
2.8.20. Kiểm các hàm sau có thuộc không gian ��( [0, 1], R), không gian định chuẩn các hàm liên tục từ [0, 1] vào R với chuẩn ∥ �� ∥ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}, hay không. Nếu có hãy tính chuẩn của chúng.
(a) �� (��) = ��.
(b) �� (��) = ����.
(c) �� (��) = ln ��.
(d) �� (��) = sin ��.
(e) �� (��) = arccos ��.
(f) �� (��) = ��2 − �� − 1.
2.8.21. Trong không gian ��( [0, 1], R) hãy kiểm họ các hàm {1, ��, ��2, ��3, . . . , ����, . . . } là độc lập tuyến tính. Từ đó hãy rút ra tập hợp các đa thức một biến tạo thành một không gian tuyến tính vô hạn chiều, và không gian tuyến tính ��( [0, 1], R) cũng vô hạn chiều.
2.8.22. Xét �� = ��( [0, 1], R), không gian định chuẩn các hàm liên tục từ [0, 1] vào R với chuẩn ∥ �� ∥ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}. Đặt ���� (��) =����
��. Dãy ( ����)��∈Z+ có hội tụ từng điểm hay
không? Dãy ( ����)��∈Z+ có hội tụ trong �� hay không?
2.8.23. Xét không gian định chuẩn ��( [−1, 1], R) với chuẩn sup. Với �� ∈ Z+ và �� ∈ [−1, 1],
cho
���� (��) =1
1 + ��2��2.
Trong hình dưới đây có đồ thị của ���� với 1 ≤ �� ≤ 5.
(a) Hãy kiểm ���� ∈ ��( [−1, 1], R).
(b) Hãy tính ∥ ���� ∥.
(c) Tìm giới hạn từng điểm của dãy ( ����)��∈Z+ , tức là tìm hàm �� sao cho với �� ∈ [−1, 1], thì �� (��) = lim��→∞ ���� (��).
(d) ( ����)��∈Z+ có hội tụ trong ��( [−1, 1], R) hay không?
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
f1
0.3
f2
0.2
f3f4f5
0.1
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0
2.8.24. Tìm giới hạn từng điểm và giới hạn của các dãy hàm ( ����)��∈Z+ sau trong không gian ��( [��, ��]).
(a) ���� (��) = ����, 0 ≤ �� ≤12.
40 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN (b) ���� (��) =��2��
1+��2��, −2 ≤ �� ≤ 2.
(c) ���� (��) =��
1+����, 0 ≤ �� ≤ 1.
(d) ���� (��) =����
������ , 1 ≤ �� ≤ 2.
2.8.25. Cho ���� (��) =����
1+��2 ��2, 0 ≤ �� ≤ 1.
(a) Tìm giới hạn từng điểm của dãy hàm ( ����)��∈Z+ .
(b) Hãy tính lim��→∞ ����
1 ��
.
(c) Hãy giải thích vì sao dãy hàm ( ����)��∈Z+ không hội tụ trong không gian ��( [0, 1]).
2.8.26. Cho ���� (��) =
√����
1+����+��2 ��3, 0 ≤ �� ≤ 1.
(a) Tìm giới hạn từng điểm của dãy hàm ( ����)��∈Z+ .
(b) Hãy tính lim��→∞ ����
1√�� .
(c) Hãy giải thích vì sao dãy hàm ( ����)��∈Z+ không hội tụ trong không gian ��( [0, 1]). 2.8.27. Cho ���� (��) =����
������ , 0 ≤ �� ≤ 1.
(a) Tìm giới hạn từng điểm của dãy hàm ( ����)��∈Z+ .
(b) Hãy tính lim��→∞ ����
1 ��
.
(c) Hãy giải thích vì sao dãy hàm ( ����)��∈Z+ không hội tụ trong không gian ��( [0, 1]).
2.8.28. ✓ Xét �� = ��( [0, 1], R), không gian các hàm liên tục từ [0, 1] vào R với chuẩn ∥ �� ∥∞ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}. Đặt �� = { �� ∈ �� | �� (0) = 0}.
(a) Chứng tỏ �� là một không gian vectơ con của ��.
(b) Cho ví dụ hai phần tử độc lập tuyến tính của ��.
(c) Chứng tỏ �� là một tập con đóng của ��.
(d) Chứng tỏ với chuẩn thừa hưởng từ �� thì �� là một không gian Banach. (e) Với chuẩn ∥ �� ∥1 =∫ 10| �� (��)| ���� thì �� có là một không gian Banach không? (f) �� là không gian vectơ hữu hạn chiều hay vô hạn chiều?
2.8.29. ✓ Xét �� là không gian vectơ các hàm liên tục từ [0, 1] vào R. Xét chuẩn ∥ �� ∥∞ = sup��∈ [0,1]| �� (��)| và ∥ �� ∥1 =∫ 10| �� (��)| ����.
(a) Chứng minh rằng với mọi �� ∈ �� thì ∥ �� ∥1 ≤ ∥ �� ∥∞.
(b) Suy ra mọi dãy hội tụ theo chuẩn ∥ · ∥∞ thì cũng hội tụ theo chuẩn ∥ · ∥1, mọi dãy Cauchy theo chuẩn ∥ · ∥∞ cũng là dãy Cauchy theo chuẩn ∥ · ∥1.
(c) Giải thích tại sao hai chuẩn ∥ · ∥1 và ∥ · ∥∞ không tương đương với nhau.
2.8.30. Xét �� là không gian vectơ các hàm liên tục từ [0, 1] vào R. Xét chuẩn ∥ �� ∥∞ = sup��∈ [0,1]| �� (��)| , ∥ �� ∥1 =∫ 10| �� (��)| ����, và ∥ �� ∥2 = ∫ 10| �� (��)|2 ���� 12. Với �� ∈ Z+, �� ∈ [0, 1], đặt ���� (��) = ����.
(a) Vẽ đồ thị của ����. Đồ thị thay đổi như thế nào khi �� thay đổi?
(b) Dãy ( ����)��∈Z+ có hội tụ theo chuẩn ∥·∥∞ hay không?
2.8. BÀI TẬP 41
(c) Dãy ( ����)��∈Z+ có hội tụ theo chuẩn ∥·∥1 hay không?
(d) Dãy ( ����)��∈Z+ có hội tụ theo chuẩn ∥·∥2 hay không?
(e) Sự hội tụ theo chuẩn ∥·∥1 hay chuẩn ∥·∥2có dẫn tới sự hội tụ từng điểm hay không? 2.8.31. Cho �� là không gian vectơ các hàm số liên tục trên [0, 1]. Trên �� xét chuẩn
∥ �� ∥∞ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}
và chuẩn
∥ �� ∥2 =
∫ 1 0
| �� (��)|2���� 12.
Với �� ∈ N, �� ∈ [0, 1], cho
���� (��) =1 √1 + ������.
(a) Chứng tỏ ���� ∈ ��. Vẽ phác họa đồ thị của ���� với �� = 0, 1, 2.
(b) Tính ∥ ���� ∥∞.
(c) Tìm giới hạn từng điểm của dãy ( ����)��∈N, tức là với �� ∈ [0, 1], hãy tìm �� (��) = ��→∞���� (��). Hàm �� có thuộc �� hay không?
lim
(d) Chứng tỏ nếu dãy ( ����)��∈N hội tụ trong (��, ∥ · ∥∞) về �� ∈ �� (hội tụ đều) thì phải hội tụ từng điểm về ��, tức là ∀�� ∈ [0, 1] thì lim
��→∞���� (��) = ��(��).
(e) Dãy ( ����)��∈N có hội tụ trong (��, ∥ · ∥∞) hay không?
(f) Tính ∥ ���� ∥2.
(g) Tính lim
��→∞∥ ���� ∥2.
(h) Chứng tỏ dãy ( ����)��∈N hội tụ trong (��, ∥ · ∥2) về 0.
(i) Chứng minh rằng một dãy bất kỳ (ℎ��)��∈N hội tụ về ℎ trong (��, ∥ · ∥∞) thì cũng hội tụ về ℎ trong (��, ∥ · ∥2).
(j) Giải thích vì sao hai chuẩn ∥ · ∥∞ và ∥ · ∥2 không tương đương trên ��. 2.8.32. Câu hỏi như trong Bài tập 2.8.31 cho hàm
���� (��) =1
1 + ����.
2.8.33. Cho �� là không gian vectơ các hàm số liên tục trên [0, 1]. Trên �� xét chuẩn ∥ �� ∥∞ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}
và chuẩn
∥ �� ∥2 =
∫ 1 0
| �� (��)|2���� 12.
Với �� ∈ N, �� ∈ [0, 1], cho
���� (��) =1
1 + ��−����.
(a) Vẽ phác họa đồ thị của ���� với �� = 0, 1, 2. (b) Dãy ( ����)��∈N có hội tụ trong (��, ∥ · ∥∞) hay không?
42 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
(c) Dãy ( ����)��∈N có hội tụ trong (��, ∥ · ∥2) hay không?
2.8.34. Xét ��( [0, 1], R), không gian định chuẩn các hàm liên tục từ [0, 1] vào R với chuẩn ∥ �� ∥∞ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}. Xét ��1( [0, 1], R) là tập hợp các hàm từ [0, 1] vào R khả vi liên tục. Ở đây đạo hàm tại 0 và 1 được hiểu là đạo hàm một phía.
(a) Hãy kiểm ��1( [0, 1], R) là một không gian định chuẩn con của ��( [0, 1], R).
(b) Chứng tỏ nếu một dãy ( ����)��∈Z+ trong ��1( [0, 1], R) hội tụ về �� ∈ ��( [0, 1], R) thì với mỗi �� ∈ [0, 1] dãy ( ���� (��))��∈Z+ hội tụ về �� (��).
(c) Với �� ∈ Z+, đặt
���� (��) =
Hãy kiểm ���� ∈ ��1( [0, 1], R).
�� −12 ��+1 ��.
(d) Dãy ( ����)��∈Z+ trên có hội tụ trong ��( [0, 1], R) hay không?
(e) Dãy ( ����)��∈Z+ trên có hội tụ trong ��1( [0, 1], R) hay không?
(f) ��1( [0, 1], R) có phải là một tập con đóng của ��( [0, 1], R) hay không? (g) ��1( [0, 1], R) có phải là một không gian Banach không?
(h) ��1( [0, 1], R) là không gian vectơ hữu hạn chiều hay vô hạn chiều? (i) Với chuẩn ∥ �� ∥1 =∫ 10| �� (��)| ���� thì ��1( [0, 1], R) có là một không gian Banach không?
2.8.35. Xét ��1( [0, 1], R) là tập hợp các hàm từ [0, 1] vào R khả vi liên tục. Ở đây đạo hàm tại 0 và 1 được hiểu là đạo hàm một phía. Với �� ∈ ��1( [0, 1], R) đặt
∥ �� ∥ = ∥ �� ∥∞ + ∥ ��′∥∞ .
(a) Hãy kiểm đây là một chuẩn trên ��1( [0, 1], R). Trong phần còn lại của bài toán ta xét ��1( [0, 1], R) với chuẩn này.
(b) Giả sử (����)�� là một dãy Cauchy trong không gian định chuẩn ��1( [0, 1], R). Chứng tỏ tồn tại �� ∈ ��( [0, 1], R) và �� ∈ ��( [0, 1], R) sao cho ���� → �� và ��′�� → �� trong ��( [0, 1], R).
(c) Dùng Định lý cơ bản của Vi Tích phân,
��′��(��) ����,
hãy chứng tỏ là �� = ��′.
���� (��) = ���� (0) +
∫ �� 0
(d) Hãy chứng tỏ là dãy (����)�� hội tụ trong ��1( [0, 1], R). Vậy ��1( [0, 1], R) là một không gian Banach.
2.8.36. * Giả sử với �� ∈ Z+ta có ���� ∈ ��( [0, 1]), ����+1 ≤ ����, và ∀�� ∈ [0, 1], lim��→∞ ���� (��) = 0. Chứng tỏ lim��→∞ ���� = 0. Nói cách khác một dãy hàm thực liên tục trên một đoạn hội tụ giảm từng điểm về 0 thì hội tụ về 0.
2.8. BÀI TẬP 43
Không gian ����
2.8.37. Cho �� ∈ ��∞(Ω, ��), ta chứng minh
| �� (��)| ≤ ∥ �� ∥∞ hầu khắp.
(a) Đặt �� = {�� > 0 | | �� (��)| ≤ �� hầu khắp trên Ω}. Lấy dãy ���� ∈ ��, �� ∈ Z+, hội tụ về inf ��. Đặt ���� = {�� ∈ Ω | | �� (��)| > ����} và �� = {�� ∈ Ω | | �� (��)| > inf ��}. Chứng tỏ �� =Ð∞��=1 ����.
(b) Suy ra ��(��) = 0, và suy ra đánh giá trên.
(c) Chứng tỏ inf �� ∈ ��, tức là
∥ �� ∥∞ = min �� > 0 | | �� (��)| ≤ �� hầu khắp trên Ω ,
Vậy ∥ �� ∥∞ chính là chặn trên hầu khắp nhỏ nhất của | �� |.
2.8.38. Ta kiểm 2.6.8. Cho Ω = [0, 1], �� là độ đo Lebesgue, và �� là liên tục, ta chứng minh ∥ �� ∥∞ = sup{| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]}.
(a) Chứng tỏ | �� (��)| ≤ �� xảy ra hầu khắp khi và chỉ khi điều đó xảy ra với mọi ��.
(b) Đặt �� = {| �� (��)| | �� ∈ [0, 1]} và �� là tập hợp các chặn trên của ��. Chứng tỏ ∥ �� ∥∞ = min �� = sup ��.
(c) Có thể mở rộng kết quả này cho các không gian đo Ω nào khác?
2.8.39. Giả sử ��(Ω) < ∞. Chứng tỏ ��∞(Ω) ⊂ ��2(Ω) ⊂ ��1(Ω).
2.8.40. * Giả sử ��(Ω) < ∞. Cho 1 ≤ �� < �� ≤ ∞.
(a) Dùng bất đẳng thức Hölder, chứng tỏ
∥ �� ∥ �� ≤ ∥ �� ∥�� ��(Ω)1��−1�� .
(b) Chứng tỏ ����(Ω) ⊂ ����(Ω).
Tính compắc trong không gian các hàm thực liên tục
2.8.41. Cho �� là một tập compắc trong một không gian định chuẩn (��, ∥·∥) và �� = { ��1, · · · , ����} là một tập con hữu hạn của �� (��, R). Chứng minh �� là đồng liên tục.
2.8.42. Cho �� là một tập con bị chặn của không gian ��( [0, 1], R) với chuẩn sup. Xét tập hợp �� các nguyên hàm của các phần tử của �� có dạng ��(��) =∫ ��0��(��) ����, �� ∈ ��. Chứng tỏ �� có bao đóng compắc trong ��( [0, 1], R) .
2.8.43. Cho �� là một tập con của tập ��1( [0, 1], R) trong không gian ��( [0, 1], R) với chuẩn sup thỏa ∀ �� ∈ ��, ∥ ��′∥∞ ≤ ��. Chứng tỏ �� có bao đóng compắc trong ��( [0, 1], R) .
2.8.44. Cho �� là một tập con bị chặn của không gian ��( [0, 1], R) với chuẩn sup. Chứng tỏ tập các hàm ��(��) =∫ 10���� �� (��) ����, �� ∈ ��, có bao đóng compắc trong ��( [0, 1], R).
44 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
2.8.45. Cho �� là một không gian mêtríc compắc, cho �� là một tập con bị chặn của không gian ��(��, R) với chuẩn sup. Giả sử �� là đồng Lipschitz, nghĩa là ∃�� ∈ R, ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ ��, ∀ �� ∈ ��, | �� (��) − �� (��)| ≤ �� ∥�� − ��∥. Chứng tỏ mọi dãy trong �� có dãy con hội tụ (về một giới hạn không nhất thiết ở trong ��).
Các bài toán khác
2.8.46. * Xét phương trình vi phân
(��′(��) = sin ��(��),
��(0) = 1.(2.8.47)
Ở đây �� là một hàm số thực trên R.
(a) Chứng tỏ phương trình vi phân trên tương đương với phương trình tích phân sau: ∫ ��
��(��) = 1 +
0
sin ��(��) ����.
(b) Với mỗi hàm số thực liên tục �� trên R, đặt �� (��) là hàm số thực cho bởi ∫ ��
�� (��) (��) = 1 +
0
sin ��(��) ����.
Chứng tỏ �� là một ánh xạ được định nghĩa tốt từ tập ��(R, R) vào chính nó.
(c) Chứng tỏ với �� > 0 đủ nhỏ thì trên không gian định chuẩn �� = ��( [0, ��], R) với chuẩn ∥��∥ = sup�� ∈ [0,��]|��(��)| ánh xạ �� trở thành một ánh xạ co. Xem Bài tập 1.4.13. (d) Dùng Định lý ánh xạ co 1.4.13, rút ra �� có điểm bất động trên ��.
(e) Suy ra phương trình (2.8.47) có nghiệm trên [0, ��].
Bài toán này minh họa một phương pháp cơ bản để chứng tỏ sự tồn tại nghiệm và xây dựng nghiệm của phương trình vi phân.
2.8.48. Kiểm 2.7.4.
Chương 3 Ánh xạ tuyến tính liên tục
Trong môn Đại số tuyến tính ta đã khảo sát ánh xạ tuyến tính trên không gian tuyến tính hữu hạn chiều. Giờ ta khảo sát ánh xạ tuyến tính trên những không gian tuyến tính có thể vô hạn chiều, tập trung vào tính liên tục của các ánh xạ đó.
3.1 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục
Cho �� và �� là hai không gian vectơ trên cùng một trường F là R hoặc C. Ánh xạ �� : �� → �� là một ánh xạ tuyến tính nếu với mọi ��, �� ∈ ��, �� ∈ F,
�� (�� + ��) = �� (��) + �� (��),
�� (����) = ���� (��).
Với ánh xạ tuyến tính người ta có thói quen viết �� (��) là ����.
Một hệ quả của tính tuyến tính là luôn có ��0 = 0.
Ánh xạ tuyến tính là đề tài của môn Đại số tuyến tính. Trong môn Giải tích hàm ta xét sự kết hợp giữa tính tuyến tính và tính liên tục, do sự có mặt của chuẩn. Từ đây ta xét các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định chuẩn.
3.1.1 Mệnh đề. Ánh xạ tuyến tính liên tục tại một điểm thì liên tục tại mọi điểm. Chứng minh. Cho �� là tuyến tính liên tục tại ��0. Theo định nghĩa ta có ∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ∥�� − ��0 ∥ < �� ⇒ ∥���� − ����0 ∥ < ��.
Điều này có thể được viết lại một cách tương đương là
∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ∥ (�� − ��0) − 0∥ < �� ⇒ ∥���� − ����0 ∥ = ∥�� (�� − ��0) − ��0∥ < ��. Đặt �� = �� − ��0 thì ta được mệnh đề tương đương
∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ∥�� − 0∥ < �� ⇒ ∥�� �� − ��0∥ < ��.
45
46 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
Tức là �� là liên tục tại 0. Như vậy liên tục tại một điểm nào đó thì liên tục tại 0, còn liên tục tại 0 dẫn tới liên tục tại một điểm bất kì.
Một cách trình bày khác là dùng dãy. Ánh xạ �� liên tục tại ��0 khi và chỉ khi (���� → ��0) ⇒ (������ → ����0). Điều này tương đương với (���� − ��0 → 0) ⇒ (�� (���� − ��0) → 0). Đặt ���� = ���� − ��0 thì điều này tương đương với (���� → 0) ⇒ (�� ���� → ��0), tức là �� là liên tục tại 0. □
Giả sử �� là tuyến tính liên tục, do đó liên tục tại 0. Theo định nghĩa ta có ∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ∥�� − 0∥ < �� ⇒ ∥���� − ��0∥ < ��.
Ta viết lại
∀�� > 0, ∃�� > 0, ∀�� ∈ ��, ∥��∥ < �� ⇒ ∥����∥ < ��.
Do đó với �� > 0 cho trước và �� > 0 thích hợp thì
∀�� ∈ ��,
��
< 1 ⇒
��
��
<����.
��
��
Đặt �� = ��/�� thì ta được
∀�� ∈ ��, ∥��∥ < 1 ⇒ ∥�� ��∥ <����.
Như vậy một ánh xạ tuyến tính liên tục thì bị chặn trên quả cầu đơn vị (mặc dù không bị chặn trên toàn không gian trừ khi đó là ánh xạ 0). Vì vậy một số tài liệu cũng gọi ánh xạ tuyến tính liên tục là ánh xạ tuyến tính bị chặn. Nối tiếp tinh thần của không gian các hàm bị chặn ��(��, ��) (2.5.4) ta đo một ánh xạ tuyến tính liên tục bằng cách đo độ lớn của tập ảnh của quả cầu đơn vị.
3.1.2 Định nghĩa. Gọi ��(��, ��) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ �� vào ��. Với �� ∈ ��(��, ��) ta đặt
∥�� ∥ = sup{∥����∥ | �� ∈ ��(0, 1)}.
3.1.3 Ghi chú. Ta có thể chọn một quả cầu có bán kính khác 1, nhưng chỉ được một chuẩn tương đương mà thôi, xem 3.8.3.
3.1.4 Bổ đề. Với �� ∈ ��(��, ��) thì
∥�� ∥ = sup{∥����∥ | �� ∈ ��′(0, 1)}.
Chứng minh. Rõ ràng ∥�� ∥ = sup∥ �� ∥<1∥����∥ ≤ sup∥ �� ∥≤1∥����∥.
Giả sử ∥��∥ = 1. Có dãy (����)��∈Z+ trong ��(0, 1) hội tụ về ��, chẳng hạn ���� =��
��+1��.
Suy ra ������ hội tụ về ����, và ∥������∥ hội tụ về ∥����∥. Vì ∥������∥ ≤ ∥�� ∥ nên qua giới hạn ta được ∥����∥ ≤ ∥�� ∥. Vậy sup∥ �� ∥≤1∥����∥ ≤ ∥�� ∥. □
3.2. TÍNH CHUẨN 47 Liên quan tới kết quả vừa rồi, chú ý rằng nếu �� ≠ 0 thì
���� = ∥��∥ ��
��
∥��∥
, (3.1.5)
với ��∥ �� ∥là một vectơ có chiều dài bằng 1, do đó một ánh xạ tuyến tính được xác định bởi giá trị của nó trên mặt cầu đơn vị.
3.1.6 Mệnh đề. Với ∥�� ∥ = sup{∥����∥ | �� ∈ ��(0, 1)} thì đây là một chuẩn trên ��(��, ��).
Chứng minh. Ta kiểm tra các yêu cầu của chuẩn. Giả sử ∥�� ∥ = 0. Điều này do Bổ đề 3.1.4 đồng nghĩa với việc giá trị của �� bằng 0 trên mặt cầu đơn vị, do đó theo công thức (3.1.5) thì �� bằng 0 tại mọi điểm, tức là �� = 0.
Các tính chất khác đã được kiểm khi ta xét không gian ��(��, ��) ở 2.5.4. □ 3.1.7 Mệnh đề. Với �� ∈ ��(��, ��) thì
∀�� ∈ ��, ∥����∥ ≤ ∥�� ∥ ∥��∥ .
Chứng minh. Cho �� ≠ 0. Ta có
1∥ �� ∥��
= 1 nên theo Bổ đề 3.1.4 ��
1∥ �� ∥�� ≤ ∥�� ∥,
do đó ∥����∥ ≤ ∥�� ∥ ∥��∥. □ Một hệ quả đơn giản thường được dùng:
3.1.8 Mệnh đề. Ánh xạ tuyến tính �� : �� → �� là liên tục khi và chỉ khi có �� ∈ R sao cho
∀�� ∈ ��, ∥����∥ ≤ �� ∥��∥ .
Chứng minh. Nếu �� ∈ ��(��, ��) thì ∀�� ∈ ��, ∥����∥ ≤ ∥�� ∥ ∥��∥ . Ngược lại ∀�� ∈ ��, ∥����∥ ≤ �� ∥��∥ dẫn tới lim��→0 ���� = 0, do đó �� liên tục tại 0, do đó liên tục tại mọi điểm. □
3.2 Tính chuẩn
3.2.1 Mệnh đề. Giả sử �� ≠ {0}. Với �� ∈ ��(��, ��) thì:
∥����∥
∥�� ∥ = sup
∥����∥ = sup
∥����∥ = sup
∥����∥ = sup
∥��∥.
��≠0
∥ �� ∥<1
∥ �� ∥≤1
∥ �� ∥=1
(3.2.2)
Chứng minh. Ta đã có hai công thức đầu. Vì ��0 = 0 nên ta chỉ xét �� ≠ 0. Nếu 0 ≠ ∥��∥ < 1 thì dùng (3.1.5) ta được
��
��
∥����∥ =
∥��∥ ��
∥��∥
<
��
∥��∥
.
48 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
Vì
1∥ �� ∥��
= 1 nên bất đẳng thức trên dẫn tới sup∥ �� ∥≤1∥����∥ ≤ sup∥ �� ∥=1∥����∥ và do
đó sup∥ �� ∥≤1∥����∥ = sup∥ �� ∥=1∥����∥. Đẳng thức
��
=∥����∥
��
∥��∥
dẫn tới sup��≠0∥�� �� ∥
∥��∥
∥ �� ∥= sup∥ �� ∥=1∥����∥. □
Giả sử ta có được một đánh giá với mọi �� thì ∥����∥ ≤ �� ∥��∥, và tìm được một �� ≠ 0 để đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức này. Khi đó
sup ��≠0
∥����∥
∥��∥= max ��≠0
∥����∥
∥��∥=�� ∥��∥
∥��∥= ��,
nên từ công thức (3.2.2) ta có ∥�� ∥ = ��. Đây là một trường hợp tính chuẩn thường gặp trong môn này mà ta tóm tắt lại dưới đây.
Cách tìm chuẩn trong trường hợp đơn giản:
Bước 1: Tìm một đánh giá ∥����∥ ≤ �� ∥��∥ thật sát.
Bước 2: Tìm một �� ≠ 0 để đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức trên. Bước 3: Kết luận ∥�� ∥ = ��.
3.2.3 Ví dụ. Cho �� : R2 → R,
�� (��, ��) = 3�� − 4��.
Với chuẩn ∥ (��, ��) ∥1 = |��| + |��| thì
|�� (��, ��)| = |3�� − 4��| ≤ |3��| + |4��| ≤ 4(|��| + |��|) = 4 ∥ (��, ��)∥1.
Nếu lấy (��, ��) = (0, 1) thì dấu bằng xảy ra. Vậy ∥�� ∥ = 4.
Với chuẩn ∥ (��, ��)∥2 =p��2 + ��2thì
|�� (��, ��)| = |3�� − 4��| ≤
p
32 + 42·
q
��2 + ��2 = 5 ∥(��, ��) ∥2.
Nếu lấy (��, ��) = (3, −4) thì dấu bằng xảy ra. Vậy ∥�� ∥ = 5. Với chuẩn ∥ (��, ��)∥∞ = max {|��|, |��|} thì
|�� (��, ��)| = |3�� − 4��| ≤ |3��| + |4��| ≤ 7 max {|��|, |��|} = 7 ∥ (��, ��)∥∞ . Nếu lấy (��, ��) = (1, −1) thì dấu bằng xảy ra. Vậy ∥�� ∥ = 7.
3.2. TÍNH CHUẨN 49 3.2.4 Ví dụ. Cho �� : R2 → R,
�� (��, ��) = (��, ��) ·
Với chuẩn ∥ (��, ��) ∥2 =p��2 + ��2thì p
�� ��
q
!
= ���� + ����.
|�� (��, ��)| = |���� + ����| ≤
��2 + ��2·
��2 + ��2 = ∥(��, ��)∥2∥ (��, ��) ∥2.
Nếu lấy (��, ��) = (��, ��) thì dấu bằng xảy ra. Vậy ∥�� ∥ = ∥ (��, ��) ∥2.
3.2.5 Ví dụ. Giả sử �� : R → R��tuyến tính. Với mọi �� ∈ R thì ���� = �� (�� · 1) = ���� (1). Ta có
∥����∥ = |��| ∥�� (1)∥ ,
do đó ∥�� ∥ = ∥�� (1)∥.
3.2.6 Ví dụ. Xét ánh xạ
�� : ℓ2 → R
�� = (��1, ��2, . . . , ����, . . . ) ↦→ ���� = 3��1 − 4��2.
Ta dễ dàng kiểm �� là một ánh xạ tuyến tính. Ta có
|����| = |3��1 − 4��2| ≤ p32 + (−4)2·q��21+ ��22≤ 5∥��∥2.
Vậy �� tuyến tính liên tục và ∥�� ∥ ≤ 5. Dấu bằng xảy ra được trong đánh giá trên nếu ta lấy �� = (3, −4, 0, 0 . . . , 0, . . . ). Vậy ∥�� ∥ = 5.
3.2.7 Ví dụ. Xét ánh xạ
�� : ℓ1 → ℓ1
(��1, ��2, . . . , ����, . . . ) ↦→ (��2, ��3, . . . , ����, . . . ).
Như vậy ánh xạ �� bỏ đi phần tử đầu tiên của mỗi dãy.
Trước hết ta kiểm �� được xác định. Thật vậy
Õ∞ ��=1
|����| < ∞ =⇒
Õ∞ ��=2
|����| < ∞,
nên giá trị của �� quả thực thuộc ℓ1. Tính tuyến tính của �� cũng rất đơn giản. Xét tính
liên tục của ��. Ta có
∥����∥ =
Õ∞ ��=2
|����| ≤
Õ∞ ��=1
|����| = ∥��∥
nên�� là tuyến tính liên tục và ∥�� ∥ ≤ 1. Ở bất đẳng thức trên nếu ta lấy �� = (0, ��2, ��3, . . . , ����, . . . )
50 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC thì đẳng thức xảy ra. Vậy ∥�� ∥ = 1.
3.2.8 Ví dụ. Cho ánh xạ
�� : ��( [0, 1], R) → R
�� ↦→ �� (0).
Ta dễ dàng kiểm �� là toán tử tuyến tính. Ta xét tính liên tục và tính chuẩn.
|�� �� | = | �� (0)| ≤ sup ��∈ [0,1]
| �� (��)| = ∥ �� ∥.
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi �� là một hàm hằng khác 0. Vậy ∥�� ∥ = 1.
3.2.9 Ví dụ. Cho ánh xạ
�� : ��( [0, 1], R) → R
�� ↦→ 3 �� (0) − 4 �� (1).
Ta dễ dàng kiểm �� là toán tử tuyến tính. Ta xét tính liên tục và tính chuẩn.
|�� �� | = |3 �� (0) − 4 �� (1)| ≤ 3| �� (0)| + 4| �� (1)| ≤ 7 sup ��∈ [0,1]
| �� (��)| = 7∥ �� ∥.
Dấu bằng xảy ra được nếu �� là một hàm liên tục sao cho �� (0) = −∥ �� ∥ và �� (1) = ∥ �� ∥. Ta có thể lấy �� là một hàm tuyến tính cho bởi �� (0) = −1, �� (1) = 1, như �� (��) = 2��−1, thì những điều đó thỏa với ∥ �� ∥ = 1. Vậy ∥�� ∥ = 7.
Các trường hợp cần dùng phương pháp phức tạp hơn có trong các bài tập như 3.8.8, 3.5.1, 3.8.18.
3.3 Ánh xạ tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều
Ta xét chung các ánh xạ tuyến tính trên không gian hữu hạn chiều. Trước hết ta nhắc lại khái niệm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính từ môn Đại số tuyến tính (người đọc có thể bỏ qua nếu đã biết, hoặc có thể đọc lại sau khi cần).
Nếu không gian tuyến tính �� có cơ sở tuyến tính (����)1≤��≤�� và không gian tuyến tính �� có cơ sở tuyến tính ( �� ��)1≤ ��≤�� thì mỗi ánh xạ tuyến tính từ �� vào �� có thể được biểu diễn bởi một ma trận. Cụ thể như sau. Mỗi vectơ được viết như một cột gồm các
3.3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 51 tọa độ của nó trong cơ sở, chẳng hạn nếu �� =Í����=1��������thì ta viết
.
Viết
[��] =
© «
��1 ��2... ����
ª®®®®®® ¬
[������] =
© «
��1,�� ��2,��... ����,��
ª®®®®®® ¬
[��] =����, �� 1≤��≤��,1≤ ��≤��
thì [��] là ma trận biểu diễn của ��, có các cột là tọa độ của ảnh qua �� của các vectơ trong cơ sở của ��, và
���� = [��] · [��].
Như vậy tác động của �� được biểu diễn bởi một phép nhân ma trận, ta thường nói toán tử tuyến tính được cho bởi ma trận biểu diễn.
Chi tiết hơn như sau.
���� = ��
�� ��=1
��������
!
=
�� ��=1
���������� =
�� ��=1
����© «
�� ��=1
����,�� �� ��ª® ¬
=
�� ��=1
�� ��=1
����,������
!
�� ��
=
�� ��=1
© «
�� ��=1
����, ���� ��ª® ¬
����.
Chú ý ở bước cuối ta đã hoán đổi tên của hai chỉ số �� và ��. Như vậy
[����] =
© «
����=1��1, ���� �� ����=1��2, ���� �� ...
����=1����, ���� ��
ª®®®®®® ¬
= [��] · [��].
3.3.1 Ví dụ. Một ánh xạ tuyến tính từ R vào R phải có dạng �� ↦→ ���� trong đó �� ∈ R.
3.3.2 Ghi chú. Chú ý khi �� ≠ 0 hàm �� ↦→ �� (��) = ���� + ��, vốn thường được gọi là hàm tuyến tính ở trung học và ở môn Vi tích phân, không phải là hàm tuyến tính theo nghĩa của Đại số tuyến tính bậc đại học, vì theo yêu cầu của Đại số tuyến tính thì ánh xạ tuyến tính phải thỏa �� (0) = 0.
3.3.3 Định lý. Mọi ánh xạ tuyến tính trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều liên tục.
52 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
Chứng minh. Giả sử (��, ∥·∥) là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều với một cơ sở tuyến tính (��1, ��2, . . . , ����). Mỗi phần tử �� ∈ �� đều có biễu diễn �� =Í����=1��������, với ���� ∈ F. Xét �� : �� → �� tuyến tính. Ta có
��
!
��
��
∥����∥ =
��
��=1
��������
=
����������
��=1
≤
��=1
|����| ∥������ ∥
≤
vt�� ��=1
|����|2·
vt�� ��=1
∥�� ���� ∥2.
Đặt ∥��∥2 =Í����=1|����|2 1/2thì đây là một chuẩn trên ��. Vì �� là hữu hạn chiều nên hai chuẩn bất kì trên đó là tương đương, do đó có �� > 0 sao cho ∥��∥2 ≤ �� ∥��∥. Từ bất đẳng thức trên ta được
∥����∥ ≤
vt�� ��=1
∥�� ���� ∥2 ∥��∥2 ≤
vt�� ��=1
∥�� ���� ∥2�� ∥��∥ .
Vậy �� liên tục trên (��, ∥∥). □
3.3.4 Ví dụ (R��∗). Xét (R��, ∥·∥2). Đặt R��∗ = ��(R��, R), không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên R��. Theo phần thảo luận tổng quát ở trên thì mỗi phần tử �� của R��∗tương ứng với một phần tử [ �� ] = ( ��1, ��2, . . . , ����) ∈ R�� với ���� = �� (����). Với �� = (��1, ��2, . . . , ����) thì �� (��) = [ �� ] · �� =Í����=1��������. Ta tìm ∥ �� ∥. Theo Bất đẳng thức
Buniakowski thì
| �� (��)| =
Õ����=1�������� ≤ ∥ [ �� ] ∥2∥��∥2.
Dấu bằng xảy ra khi lấy �� = [ �� ]. Vậy ∥ �� ∥ = ∥ [ �� ] ∥2.
Tiếp tục, ta nhận thấy ánh xạ
�� : R��∗ → R��
�� ↦→ [ �� ]
là một song ánh tuyến tính và có ∥�� �� ∥2 = ∥ �� ∥, tức là bảo toàn chuẩn. Ta nói �� là một phép đẳng cấu metric, còn gọi là một phép đẳng cự (isometry) từ R��∗lên R��. Do điều này người ta có thể nói ngắn gọn rằng đối ngẫu của R��là chính nó.
3.4 Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục
3.4.1 Định lý. Nếu �� là một không gian Banach thì ��(��, ��) là một không gian Banach.
3.5. MỘT SỐ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC ĐẶC BIỆT 53
Chứng minh. Chứng minh này tương tự chứng minh của Mệnh đề 2.5.6. Giả sử (����)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ��(��, ��). Cho �� > 0, có �� ∈ Z+sao cho với ��, �� ≥ �� thì ∥���� − ����∥ < ��. Với mỗi �� ∈ ��, vì
∥������ − ������∥ ≤ ∥���� − ����∥ ∥��∥ < �� ∥��∥ , (3.4.2)
nên (������)��∈Z+ là một dãy Cauchy trong ��, do đó hội tụ về một phần tử của �� gọi là ����. Nói cách khác dãy hàm (����)��∈Z+ hội tụ từng điểm về hàm ��. Dễ dàng kiểm tra rằng �� là tuyến tính.
Lấy giới hạn hai vế của (3.4.2) khi �� tiến ra vô cùng ta được với �� ≥ �� thì ∥������ − ����∥ ≤ �� ∥��∥ ,
suy ra (���� −��) ∈ ��(��, ��), do đó �� ∈ ��(��, ��), và ∥���� − �� ∥ ≤ ��. Vậy (����)��∈Z+ hội tụ về �� trong ��(��, ��). □
Khi �� = F thì ��(��, F) còn được kí hiệu là ��∗ và mỗi phần tử của ��∗còn được gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. Không gian ��∗ được gọi là không gian đối ngẫu ¹ của ��. Vì F là một không gian Banach nên ��∗là một không gian Banach.
3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt
Toán tử tích phân
3.5.1 Ví dụ. Xét ánh xạ
�� : ��[0, 1] → R
∫ 1
�� ↦→
0
��(��) ����.
Ta dễ dàng kiểm �� là một ánh xạ tuyến tính. Ta xét tính liên tục của ��.
|����| =
∫ 1 0
∫ 1
��(��) ����
≤∫ 1 0
|��(��)| ����
≤
0
∥��∥ ���� = ∥��∥.
Vậy �� là tuyến tính liên tục. Trong bất đẳng thức trên, lấy �� là hàm hằng bằng 1 chẳng hạn thì đẳng thức xảy ra, vậy ∥�� ∥ = 1.
Ví dụ trên là một trường hợp riêng của kết quả sau.
¹tiếng Anh là “dual”, nghĩa là cặp, đôi, ….
54 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 3.5.2 Mệnh đề. Cho �� ⊂ R��compắc và �� : �� × �� → R liên tục. Đặt
�� : ��(��, R) → ��(��, R)
∫
�� ↦→ ���� : �� → R, ����(��) =
��
thì �� là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
��(��, ��)��(��) ����,
Ở đây ta đang dùng tích phân Lebesgue (nếu thay �� bằng một tập có thể tích Riemann thì có thể dùng tích phân Riemann). Hàm �� thường được gọi là nhân của toán tử tích phân này. Tính liên tục của �� có thể coi là một hệ quả của Mệnh đề 2.7.1, tuy nhiên sử dụng tính tuyến tính ta có thể giải thích tính liên tục một cách dễ dàng hơn như sau. Ta có
|����(��)| =
∫����(��, ��)��(��) ���� ≤∫��|��(��, ��)��(��)| ����
≤
∫ ��
|��(��, ��)|∥��∥ ���� ≤ ∥��∥
∫ ��
|��(��, ��)| ����.
Vì �� liên tục trên ��× �� nên bị chặn, có �� ∈ R sao cho ∀(��, ��) ∈ ��× ��, |��(��, ��)| ≤ ��. Suy ra |����(��)| ≤ ��|��|∥��∥, do đó ∥����∥ ≤ ��|��|∥��∥, và ∥�� ∥ ≤ ��|��|, với |��| chỉ độ đo của tập ��.
Xem ví dụ ở Bài tập 3.8.14.
Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ����
Cho ��, �� ∈ [1, ∞] thỏa1
��+1��= 1.
Với �� ∈ ����(Ω), xét ánh xạ
��(��) : ����(Ω) → F
∫
�� ��.¯
Theo bất đẳng thức Hölder:
�� ↦→
Ω
|��(��) ( �� )| =
∫Ω�� ��¯ ≤∫Ω| �� ��¯| ≤ ∥ �� ∥ ��∥��∥��, (3.5.3)
nên ��(��) một phiếm hàm tuyến tính liên tục và ∥��(��) ∥ ≤ ∥��∥��. Nhằm tính chuẩn của ��(��), để xảy ra đẳng thức trong Bất đẳng thức Hölder ta tìm �� sao cho | �� |�� = |��|��. Nếu 2 ≤ �� < ∞ thì có thể lấy �� = |��|��−2�� và kiểm tra trực tiếp được rằng đẳng thức xảy ra ở (3.5.3), vậy ∥��(��) ∥ = ∥��∥��trong trường hợp này. Thực ra ∥��(��)∥ = ∥��∥�� với mọi 1 < �� < ∞, nhưng chứng minh khó hơn. Ví dụ 3.3.4 và các bài tập 3.8.8 và 3.5.1 bàn về các trường hợp riêng của kết quả
3.6. ĐỊNH LÝ HAHN–BANACH 55 này.
3.6 Định lý Hahn–Banach
Định lý Hahn–Banach là một trong những kết quả quan trọng của Giải tích hàm. Ngắn gọn, nó nói rằng một phiếm hàm tuyến tính liên tục luôn có thể mở rộng bảo toàn chuẩn.
3.6.1 Định lý (Định lý Hahn–Banach). Cho �� là một không gian con của không gian định chuẩn �� trên trường F = R hoặc F = C. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục �� trên �� đều mở rộng được thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục ��˜ trên �� sao cho
��˜ = ∥�� ∥.
Như bài tập 3.8.4 cho thấy, khi mở rộng ánh xạ tuyến tính liên tục thì chuẩn
không thể giảm. Vì vậy giữ nguyên được chuẩn là một phần đáng kể của Định lý Hahn–Banach.
Chứng minh của Định lý Hahn–Banach có giá trị giáo dục cao, cần được nghiên cứu kỹ trong môn học này.
Chứng minh dưới đây của Định lý Hahn–Banach sử dụng Bổ đề Zorn để làm bước qui nạp vô hạn bất kì. Nội dung của Bổ đề Zorn như sau.
Một thứ tự trên tập �� là một tập khác rỗng các cặp (��, ��) với ��, �� ∈ ��, mà ta thường viết là �� ≤ �� và nói là �� nhỏ hơn hay bằng ��, thỏa tính chất là với mọi ��, ��, �� ∈ ��, �� ≤ ��, nếu �� ≤ �� và �� ≤ �� thì �� = ��, nếu �� ≤ �� và �� ≤ �� thì �� ≤ ��. Quan hệ thứ tự là toàn phần nếu hai phần tử bất kì trong tập đó so sánh được với nhau. Một phần tử cực đại (hay tối đại, maximal) là một phần tử không nhỏ hơn phần tử nào, hay nói cách khác, không có phần tử nào lớn hơn. Một chặn trên của tập �� ⊂ �� là một phần tử của �� lớn hơn hay bằng mọi phần tử của ��.
3.6.2 Mệnh đề (Bổ đề Zorn). Nếu một tập hợp �� có một thứ tự và mọi tập con của �� mà trong đó hai phần tử bất kì so sánh được với nhau đều bị chặn trên thì �� có một phần tử cực đại.
Bổ đề Zorn thường được dùng một cách tương tự như phép qui nạp toán học trong trường hợp vô hạn bất kì. Bổ đề Zorn tương đương với Tiên đề chọn, được thừa nhận là một tiên đề trong môn Giải tích hàm.
Chứng minh. Xét trường hợp F = R.
Dàn ý của chứng minh là trước hết chứng tỏ luôn có thể mở rộng thêm 1 chiều trong Bước 1, sau đó dùng “qui nạp siêu hạng” để mở rộng bất kì trong Bước 2. Bước 1: Giả sử �� ≠ �� và �� = �� + �� với �� là một không gian con một chiều của �� sinh bởi ��0. Như vậy �� = {�� + ����0 | �� ∈ ��, �� ∈ R}. Một mở rộng tuyến tính của �� thành ��˜ : �� → F sẽ được xác định bởi giá trị của nó tại ��0, vì ��˜(�� + ����0) =
56 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
����˜ + ������˜0 = ���� + ������˜0. Ta chứng tỏ tồn tại giá trị ��˜(��0) để ��˜ là liên tục và��˜ = ∥�� ∥. Điều kiện là
|��˜(�� + ����0)| ≤ ∥�� ∥ ∥�� + ����0 ∥ , ∀�� ∈ ��, ∀�� ∈ R.
Vì ��˜ mở rộng �� nên��˜ ≥ ∥�� ∥, do đó điều kiện trên sẽ đảm bảo��˜ = ∥�� ∥. Thay �� bởi ���� điều kiện trên tương đương với
|��˜(�� + ��0)| ≤ ∥�� ∥ ∥�� + ��0 ∥ , ∀�� ∈ ��.
Đây là một kĩ thuật rất có ích, giúp loại bỏ được biến ��. Trên trường số thực điều kiện trên tương đương với
− ∥�� ∥ ∥�� + ��0 ∥ − ���� ≤ ��˜(��0) ≤ ∥�� ∥ ∥�� + ��0 ∥ − ����, ∀�� ∈ ��.
Sự tồn tại của một số thực cố định ��˜(��0) như vậy tương đương với tính chất sau, dựa trên sự đầy đủ của tập số thực:
sup{− ∥�� ∥ ∥�� + ��0 ∥ − ���� | �� ∈ ��} ≤ inf{∥�� ∥ ∥�� + ��0 ∥ − ���� | �� ∈ ��}, đồng nghĩa với việc với mọi ��1 ∈ ��, ��2 ∈ �� thì
− ∥�� ∥ ∥��1 + ��0 ∥ − ����1 ≤ ∥�� ∥ ∥��2 + ��0 ∥ − ����2,
tức là
�� (��2 − ��1) ≤ ∥�� ∥ (∥��2 + ��0 ∥ + ∥��1 + ��0 ∥).
Điều này thì có được do bất đẳng thức tam giác:
�� (��2 − ��1) ≤ ∥�� ∥ ∥��2 − ��1 ∥ ≤ ∥�� ∥ ∥ (��2 + ��0) − (��1 + ��0) ∥
≤ ∥�� ∥ (∥��2 + ��0 ∥ + ∥��1 + ��0 ∥).
Vậy bước 1 đã xong.
Bước 2: Ta dùng Bổ đề Zorn (3.6.2) để chứng tỏ có một mở rộng cực đại của ��, và do bước 1 nên mở rộng cực đại đó đạt được khi nó được xác định trên ��. Xét tập �� tất cả các cặp (��, ��) trong đó �� là một không gian con của �� chứa ��, và �� là một mở rộng bảo toàn chuẩn của �� lên ��. Chẳng hạn (��, ��) ∈ ��. Trên tập hợp �� này xét quan hệ thứ tự (��, ��) ≤ (��′, ��′) nếu �� ⊂ ��′ và ��′|�� = ��. Giả sử �� là một tập con của �� có thứ tự toàn phần, nghĩa là hai phần tử bất kì trong �� so sánh được với nhau. Đặt �� =Ð(��,��) ∈�� ��. Do thứ tự trên �� là toàn phần mà ta kiểm được �� là một không gian vectơ. Đặt �� : �� → R bởi ��(��) = ��(��) nếu (��, ��) ∈ �� và �� ∈ ��, thì cũng nhờ �� có thứ tự toàn phần mà ánh xạ này được định nghĩa tốt. Khi đó �� là tuyến tính, và
|��(��)| = |��(��)| ≤ ∥��∥ ∥��∥ = ∥�� ∥ ∥��∥
3.6. ĐỊNH LÝ HAHN–BANACH 57
nên �� là liên tục. Đẳng thức trên cũng chứng tỏ ngay ∥��∥ = ∥�� ∥. Vậy cặp (��, ��) là một chặn trên của họ ��.
Theo Bổ đề Zorn, tập �� có một phần tử cực đại (��, ��).
Ở bước 1 ta thấy luôn mở rộng được �� lên một chiều cao hơn trừ khi �� bằng ��. Vì �� là cực đại, nên bắt buộc �� = ��. Vậy �� chính là mở rộng bảo toàn chuẩn ��˜ của �� lên ��.
Xét trường hợp F = C.
Trước hết ta chú ý điều sau về ánh xạ tuyến tính phức. Giả sử �� : �� → C tuyến tính trên trường C. Viết �� = �� + ���� trong đó �� và �� là hàm giá trị thực. Khi đó �� và �� tuyến tính trên trường R, và
�� (����) = ��(����) + ����(����)
= ���� (��) = −��(��) + ����(��),
do đó ��(��) = −��(����), suy ra �� (��) = ��(��) − ����(����). Ngược lại nếu �� tuyến tính trên trường R và �� (��) = ��(��) − ����(����) thì �� là tuyến tính trên C, vì �� (����) = ���� (��).
Xét chuẩn của ��. Lấy �� = ����/|����| thì |��| = 1 và ������ = |����| ∈ R. Từ đó |����| = ������ = �� (����) = ��(����) ≤ ∥��∥ |��| ∥��∥ = ∥��∥ ∥��∥ .
Từ đây suy ra ngay ∥�� ∥ = ∥��∥. Tóm lại phần thực quyết định ánh xạ tuyến tính liên tục phức.
Như vậy ta chỉ cần áp dụng dạng thực của định lý Hahn–Banach cho phần thực của �� thì sẽ được ngay dạng phức. □
3.6.3 Ví dụ. Cho ��0 là một vectơ khác không trong một không gian định chuẩn ��. Chứng minh có �� ∈ ��∗sao cho ∥ �� ∥ = 1 và �� (��0) = ∥��0 ∥.
Ta đặt một phiếm hàm tuyến tính trên không gian tuyến tính con một chiều của �� sinh bởi vectơ ��0 và mở rộng phiếm hàm đó lên �� bằng Định lý Hahn–Banach. Cụ thể ta đặt phiếm hàm �� để �� là tuyến tính trên ⟨��0⟩ và ��(��0) = ∥��0 ∥:
�� : ⟨��0⟩ → R
����0 ↦→ ��(����0) = �� ∥��0 ∥, �� ∈ R
Ta xét ∥��∥, viết
|��(����0)| = |�� ∥��0 ∥| = ∥����0 ∥
ta thấy ∥��∥ = 1. Áp dụng Định lý Hahn–Banach, có �� ∈ ��∗sao cho ∥ �� ∥ = ∥��∥ = 1 và �� mở rộng ��, do đó �� (��0) = ��(��0) = ∥��0 ∥.
58 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 3.7 * Các đề tài khác
Dạng hình học của Định lý Hahn–Banach
Nếu �� là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn �� trên trường số thực, không triệt tiêu tại mọi điểm, và �� là một số thực, thì tập ��−1({��}) = {�� ∈ �� | �� (��) = ��} được gọi là một siêu phẳng. Đây là khái niệm tương ứng với khái niệm đường thẳng trong R2 và mặt phẳng trong R3.
Dưới đây là một dạng hình học của Định lý Hahn–Banach về việc tách tập con bằng siêu phẳng [16, tr. 132], [2, tr. 7]:
3.7.1 Định lý. Cho ��, �� là hai tập lồi không rỗng rời nhau trong không gian định chuẩn �� trên trường số thực, ít nhất một trong hai tập là mở. Khi đó tồn tại �� ∈ ��∗ và �� ∈ R sao cho �� (��) ≤ �� ≤ �� (��) với mọi �� ∈ ��, �� ∈ ��. Nói cách khác, tồn tại siêu phẳng đóng ��−1({��}) tách �� và ��.
Xem một ví dụ ở Bài tập 3.8.29.
Định lý ánh xạ mở
Dưới đây là một định lý nổi tiếng về ánh xạ tuyến tính liên tục [16, tr. 139], [2, tr. 35]:
3.7.2 Định lý (Định lý ánh xạ mở). Một toàn ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach thì mang tập mở thành tập mở.
Dưới đây là một hệ quả đáng chú ý không khó để rút ra từ Định lý ánh xạ mở (Bài tập 3.8.35):
3.7.3 Hệ quả. Nếu một ánh xạ là song ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach thì ánh xạ ngược cũng tuyến tính liên tục.
Nguyên lý bị chặn đều
Nguyên lý bị chặn đều còn được gọi là Định lý Banach–Steinhaus [16, tr. 139], [2, tr. 32], [3, tr. 95]:
3.7.4 Định lý (Định lý Banach–Steinhaus). Cho �� là một không gian Banach và �� là một không gian định chuẩn. Cho �� ⊂ ��(��, ��) là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ �� vào ��. Nếu �� bị chặn từ điểm, nghĩa là
∥����∥ < ∞,
thì �� bị chặn đều, nghĩa là
∀�� ∈ ��, sup ��∈��
sup ��∈��
∥�� ∥ < ∞.
3.8. BÀI TẬP 59 Không khó để rút ra một hệ quả đáng chú ý (Bài tập 3.8.36):
3.7.5 Hệ quả. Cho �� là một không gian Banach và �� là một không gian định chuẩn. Nếu dãy (����)��∈Z+ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ �� vào �� hội tụ từng điểm về ��, thì �� cũng tuyến tính liên tục.
Tính chất này đặc biệt vì với ánh xạ liên tục nói chung thì qua nhiều ví dụ ta đã thấy giới hạn từng điểm của một dãy hàm liên tục không nhất thiết liên tục.
Đối ngẫu của ����
Cho ��, �� ∈ [1, ∞] thỏa 1��+1��= 1. Với �� ∈ ����(Ω), xét ánh xạ
��(��) : ����(Ω) → F
∫
�� ↦→
Ω
�� ��.¯
Ta đã biết ở mục 3.5 rằng ��(��) là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và ∥��(��) ∥ = ∥��∥��. Như vậy khi 1 < �� < ∞ thì ánh xạ
�� : ����(Ω) → (����(Ω))∗
�� ↦→ ��(��)
là tuyến tính liên tục, hơn nữa còn bảo toàn chuẩn, do đó là một đơn ánh. Việc ánh xạ này là toàn ánh là nội dung của một kết quả sâu của lí thuyết độ đo gọi là định lý biểu diễn Riesz. Như vậy ánh xạ �� trên là một phép đẳng cấu metric từ ����(Ω) lên (����(Ω))∗. Người ta nói ngắn gọn rằng với 1 < �� < ∞ thì đối ngẫu của ����là ����. Trường hợp �� = �� = 2 là đặc biệt, được xét ở phần không gian Hilbert (4.3.2). Về đề tài này có thể đọc thêm ở [2, tr. 95], [12, tr. 127].
3.8 Bài tập
3.8.1. Chứng tỏ nếu ∀��, ∥����∥ ≤ �� ∥��∥ thì ∥�� ∥ ≤ ��.
3.8.2. Giả sử �� ≠ {0}. Với �� ∈ ��(��, ��) thì ∥�� ∥ = min{�� ∈ R | ∀�� ∈ ��, ∥����∥ ≤ �� ∥��∥}. 3.8.3. Giả sử �� : �� → �� là tuyến tính liên tục. Chứng tỏ rằng nếu đặt
∥�� ∥1 = sup{∥����∥ | �� ∈ ��(0, 1)}
và
∥�� ∥2 = sup{∥����∥ | �� ∈ ��(0, ��)}
thì ∥�� ∥2 = �� ∥�� ∥1. Do đó trong định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục, nếu chọn một quả cầu khác quả cầu đơn vị thì chỉ được một chuẩn tương đương mà thôi.
60 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
3.8.4. Chứng tỏ nếu �� là không gian định chuẩn con của �� và �� là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên �� thì thu hẹp ��|�� của �� xuống �� cũng tuyến tính liên tục và ∥��|�� ∥ ≤ ∥�� ∥.
3.8.5. Xét (R2, ∥·∥∞). Cho �� =
1 2
3 4
!
. Tính ∥��∥ trong ��(R2, R2).
3.8.6. ✓ Trên trường số thực, xét ánh xạ �� : ℓ∞ → R
�� ↦→ ���� =
Õ∞ ��=1
����
3��.
Chứng tỏ �� là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ ℓ∞ vào R. Tính ∥�� ∥. 3.8.7. Kiểm ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của ánh xạ.
�� : ℓ2 → R
�� = (��1, ��2, . . . , ����, . . . ) ↦→ ���� = −2��1.
3.8.8. ✓ Trên trường số thực, xét ánh xạ
�� : ℓ2 → R �� ↦→ ���� =
Õ∞ ��=1
����
��.
Đây có là một ánh xạ tuyến tính liên tục hay không? Nếu có hãy tính ∥�� ∥. 3.8.9. Tiếp tục Bài tập 2.8.16 và 2.8.17. Cho 1 ≤ �� < �� ≤ ∞. Xét ánh xạ chứa trong
�� : ℓ�� → ℓ��
�� ↦→ ��.
(a) Hãy kiểm �� là một ánh xạ tuyến tính.
(b) Chứng tỏ �� là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
(c) Hãy tính chuẩn của ��.
3.8.10. Kiểm ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của ánh xạ.
�� : ��( [0, 1], R) → R
1
�� ↦→ ���� = −3��
.
2
3.8.11. Với �� ∈��( [0, 1], R) đặt ���� là hàm cho bởi
�� (��) (��) = ��(1 − ��), 0 ≤ �� ≤ 1.
Chứng tỏ �� là ánh xạ tuyến tính liên tục từ ��( [0, 1], R) với chuẩn ∥��∥ = sup�� ∈ [0,1]|��(��)| vào chính nó. Tính ∥�� ∥.
3.8. BÀI TẬP 61
3.8.12. Với �� ∈��( [0, 1], R) đặt ���� là hàm cho bởi
�� (��) (��) = ��(��2), 0 ≤ �� ≤ 1.
Chứng tỏ �� là ánh xạ tuyến tính liên tục từ ��( [0, 1], R) với chuẩn ∥��∥ = sup�� ∈ [0,1]|��(��)| vào chính nó. Tính ∥�� ∥.
3.8.13. Kiểm ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của ánh xạ.
�� : ��( [0, 1], R) → ��( [0, 1], R)
�� ↦→ ����,
với
���� : [0, 1] → R
∫ 1
�� ↦→ (����) (��) =
0
3.8.14. ✓ Với �� ∈��( [0, 1], R) đặt ���� là hàm cho bởi ∫ 1
����(��) ����.
�� (��) (��) =
��(��) sin(����) ����, 0 ≤ �� ≤ 1. 0
(a) Chứng tỏ �� là ánh xạ tuyến tính liên tục từ��( [0, 1], R) với chuẩn ∥��∥ = sup�� ∈ [0,1]|��(��)| vào chính nó.
(b) Ước lượng ∥�� ∥.
(c) Hãy tính chính xác ∥�� ∥.
3.8.15. Xét �� = ��( [0, 1], R). Đặt
�� : �� → ��
�� ↦→ �� ��
với
�� �� : [0, 1] → R
∫ ��
�� ↦→
0
�� (��) ����.
Như vậy �� mang mỗi hàm thành nguyên hàm của nó.
(a) Hãy kiểm �� được định nghĩa tốt, tức �� �� là hàm liên tục.
(b) Hãy kiểm �� là ánh xạ tuyến tính.
(c) Chứng tỏ �� là ánh xạ tuyến tính liên tục.
(d) Hãy ước lượng ∥�� ∥.
(e) Hãy tính chính xác ∥�� ∥.
(f) Chứng tỏ �� là song ánh lên tập giá trị của nó nhưng ánh xạ ngược không liên tục.
62 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
(g) * Chứng tỏ �� là một toán tử compắc, nghĩa là mang tập bị chặn vào trong một tập compắc.
3.8.16. Xét ��1( [0, 1]) là tập hợp các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [0, 1]. Với �� ∈ ��1( [0, 1]) xét
∥ �� ∥ = ∥ �� ∥∞ + ∥ ��′∥∞.
Hãy kiểm đây là một chuẩn trên ��1( [0, 1]) (xem 2.8.35).
Xét ánh xạ
�� : ��1( [0, 1]) → ��( [0, 1])
�� ↦→ ��′.
Chứng tỏ đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
3.8.17. Tổng quát hơn cách tìm chuẩn thông thường, hãy chứng tỏ:
(
∥�� ∥ = �� ⇐⇒
∀��, ∥����∥ ≤ �� ∥��∥
∃����, ∥���� ∥ = 1, ∥������ ∥ → ��.
3.8.18. Xét �� = { �� ∈ ��( [0, 1], R) | �� (0) = 0} với chuẩn sup. Với �� ∈ �� đặt ∫ 1
�� �� =
0
�� .
(a) Chứng tỏ �� là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ��.
(b) Đặt
���� (��) =
����, 0 ≤ �� ≤1�� 1,1��≤ �� ≤ 1.
Hãy vẽ đồ thị của ����. Chứng tỏ ���� ∈ ��. Tính ∥ ���� ∥ và �� ����.
(c) Đặt
���� (��) =√����.
Hãy vẽ đồ thị của ����. Chứng tỏ ���� ∈ ��. Tính ∥���� ∥ và �� ����. (d) Tính ∥�� ∥.
3.8.19. Xét �� = ��( [0, 1], R) với chuẩn sup. Với �� ∈ �� đặt
�� �� =
∫ 1/2 0
�� −
∫ 1 1/2
�� .
(a) Chứng tỏ �� là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ��.
(b) Đặt
���� (��) =
1, 0 ≤ �� ≤12−1�� �� −12+1�� + 1,12−1��< �� < 12+1��
−��
−1,12+1��≤ �� ≤ 1.
Hãy vẽ đồ thị của ����. Chứng tỏ ���� ∈ ��. Tính ∥ ���� ∥ và �� ����.
3.8. BÀI TẬP 63
(c) Tính ∥�� ∥.
3.8.20. Xét �� = ��( [−1, 1], R) với chuẩn sup. Với �� ∈ �� đặt
∫ 1
�� �� = − �� (0) +
−1
�� (��) ����.
(a) Chứng tỏ �� là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ��.
(b) Đặt ���� là hàm tuyến tính từng khúc, liên tục, bằng 1 trên [−1, −1��] và [1��, 1], và bằng −1 tại 0. Hãy vẽ đồ thị của ����. Tính ∥ ���� ∥ và �� ����.
(c) Tính ∥�� ∥.
3.8.21. Trên trường số thực, cho �� ∈ ��2(Ω). Xét ánh xạ
�� : ��2(Ω) → ��1(Ω)
�� ↦→ �� ��.
Chứng tỏ �� là một ánh xạ tuyến tính liên tục và ∥�� ∥ = ∥��∥2.
3.8.22. ✓ Cho �� là một không gian định chuẩn. Cho �� và �� là ánh xạ tuyến tính liên tục từ �� vào ��.
(a) Hãy kiểm �� ◦ �� là ánh xạ tuyến tính liên tục.
(b) Chứng tỏ ∥�� ◦ �� ∥ ≤ ∥��∥ ∥�� ∥.
(c) Viết ��0 = Id��, và với �� ∈ Z+thì đặt ���� = ����−1 ◦ ��. Hãy chứng tỏ ∥����∥ ≤ ∥��∥��. 3.8.23. Cho �� là một không gian Banach và �� trong �� (��, ��). Giả sử �� = ∥��∥ < 1.
(a) Chứng tỏ�� + �� + ��2 + · · · + ���� ≤11−��với mọi �� ≥ 1. Ở đây �� chỉ ánh xạ đồng nhất. (b) Chứng tỏ chuỗi Í∞��=0���� hội tụ trong ��(��, ��).
(c) Chứng tỏ ánh xạ (�� − ��) khả nghịch và (�� − ��)−1 =Í∞��=0����.
3.8.24. ✓ Cho �� là một không gian định chuẩn và �� ∈ ��(��, ��).
(a) Nhắc lại rằng với mọi số thực �� ta có
Õ∞ ��=0
����
��!= ����.
Đặt
���� =
�� ��=0
∥�� ∥�� ��!.
Chứng tỏ rằng dãy (����)��∈N là một dãy Cauchy trong R.
(b) Đặt
���� =
�� ��=0
����
��!.
Chứng tỏ rằng dãy (����)��∈N là một dãy Cauchy trong ��(��, ��).
64 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
(c) Giả sử thêm �� là một không gian Banach. Chứng tỏ dãy (����)��∈N hội tụ về một giới hạn trong ��(��, ��). Giới hạn này thường được kí hiệu là ����, vậy
Õ∞ ��=0
����
��!= ����.
Đây là hàm mũ của ánh xạ tuyến tính liên tục.
3.8.25. Cho �� là một song ánh tuyến tính từ một không gian định chuẩn (��, ∥·∥��) vào một không gian định chuẩn (��, ∥·∥��). Đặt �� = ��−1. Chứng minh
(a) �� là một ánh xạ tuyến tính từ �� vào ��.
(b) Nếu ��, �� liên tục thì ∥��∥ ≥ ∥�� ∥−1.
3.8.26. Cho �� là một không gian vectơ con dày đặc trong một không gian định chuẩn �� và �� trong ��(��, ��). Chứng minh có duy nhất một �� trong �� (��, ��) sao cho �� (��) = �� (��) với mọi �� thuộc ��.
Định lý Hahn–Banach
3.8.27. Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên ��. Giả sử Λ . 0, nghĩa là tồn tại �� ∈ �� sao cho Λ�� ≠ 0. Đặt ker (Λ) = { �� ∈ �� | Λ�� = 0} là nhân của Λ.
(a) Với �� ∈ �� bất kì, chứng tỏ �� −Λ��
Λ���� ∈ ker(Λ).
(b) Suy ra �� = ker(Λ) + ⟨��⟩. Như vậy ker(Λ) chỉ kém �� đúng 1 chiều.
3.8.28. Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên ��. Giả sử Λ . 0. Chứng tỏ nếu Λ liên tục thì ker (Λ) = { �� ∈ �� | Λ�� = 0} là không gian con đóng của ��.
3.8.29. ✓ Cho �� và �� là hai vectơ khác nhau trong một không gian định chuẩn ��. Chứng minh có �� ∈ ��∗sao cho �� (��) ≠ �� (��).
Trong trường hợp trường số thực, giả sử �� (��) < �� (��), lấy �� (��) < �� < �� (��) thì tập {�� ∈ �� | �� (��) = ��} là một siêu phẳng tách �� và ��. Vậy ta có thể tách hai điểm khác nhau bằng một siêu phẳng đóng.
3.8.30. Cho �� là một vectơ khác không trong một không gian định chuẩn ��. Chứng minh có �� ∈ ��∗sao cho ∥ �� ∥ = ∥��∥ và �� (��) = ∥��∥2.
3.8.31. Cho ��1, . . . , ���� là �� vectơ độc lập tuyến tính trong một không gian định chuẩn ��. Chứng minh có ��1, . . . , ���� trong ��∗sao cho ������ �� = ������, ở đây ������là số Kronecker:
������=
1, �� = �� 0, �� ≠ ��.
3.8.32. * Cho �� là một không gian vectơ con đóng của một không gian định chuẩn �� và ��0 ∈ ��. Chứng tỏ nếu ��0 ∉ �� thì tồn tại �� ∈ ��∗sao cho �� (��) = 0 với mọi �� ∈ �� nhưng �� (��0) ≠ 0.
3.8.33. Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên ��. Giả sử Λ . 0. Chứng tỏ các mệnh đề sau là tương đương:
3.8. BÀI TẬP 65
(a) Λ liên tục.
(b) ker (Λ) = { �� ∈ �� | Λ�� = 0} là không gian con đóng của ��.
3.8.34. Cho không gian định chuẩn ��. Nhắc lại rằng với mọi Λ ∈ ��∗:
∥Λ∥ = sup
∥ �� ∥�� ≤1|Λ��| .
Chứng tỏ với mọi �� ∈ ��:
|��| .
Các bài toán khác
3.8.35. Chứng minh 3.7.3.
3.8.36. Chứng minh 3.7.5.
∥��∥ = sup ∥Λ∥��∗ ≤1
3.8.37. Dãy (����)��≥1 trong không gian định chuẩn �� được gọi là hội tụ yếu về �� nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục �� trên �� thì dãy số ( �� (����))��≥1 hội tụ về �� (��). Chứng tỏ một dãy hội tụ thì hội tụ yếu về cùng một giới hạn.
66 CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
Chương 4 Không gian Hilbert
Không gian Hilbert là phát triển tương tự của không gian Euclid, là không gian vectơ có tích vô hướng.
4.1 Không gian tích trong
Cho �� là một không gian vectơ trên trường thực R. Một tích trong (tích vô hướng) trên �� là một phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương trên ��, tức là một ánh xạ
⟨·, ·⟩ : �� × �� → R
(��, ��) ↦→ ⟨��, ��⟩
thỏa:
(a) ⟨���� + ����′, ��⟩ = �� ⟨��, ��⟩ + �� ⟨��′, ��⟩, với mọi ��, �� ∈ R, ��, ��′, �� ∈ �� (tuyến tính theo biến thứ nhất),
(b) ⟨��, ���� + ����′⟩ = �� ⟨��, ��⟩ + �� ⟨��, ��′⟩, với mọi ��, �� ∈ R, ��, ��, ��′ ∈ �� (tuyến tính theo biến thứ hai),
(c) ⟨��, ��⟩ = ⟨��, ��⟩, với mọi ��, �� ∈ ��(đối xứng),
(d) ⟨��, ��⟩ ≥ 0, với mọi �� ∈ �� và ⟨��, ��⟩ = 0 ⇐⇒ �� = 0 (xác định dương). Tích trong còn được kí hiệu bằng
�� · �� = ⟨��, ��⟩ .
4.1.1 Ví dụ (không gian Euclid R��). Trên R��có tích trong quen thuộc: nếu �� = (����)1≤��≤�� và �� = (����)1≤��≤�� thì
��
���� ����.
Tích trong này sinh ra chuẩn
��
⟨��, ��⟩ =
��=1
!1/2
∥��∥ = ⟨��, ��⟩1/2 = 67
��2��
��=1
,
68 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT chính là chuẩn Euclid.
Nếu �� là một không gian vectơ trên trường số phức C thì tích trong là một ánh xạ
⟨·, ·⟩ : �� × �� → C
(��, ��) ↦→ ⟨��, ��⟩
thỏa:
(a) ⟨���� + ����′, ��⟩ = �� ⟨��, ��⟩ + �� ⟨��′, ��⟩, với mọi ��, �� ∈ C, ��, ��′, �� ∈ �� (tuyến tính theo biến thứ nhất),
(b) ⟨��, ���� + ����′⟩ = ��¯ ⟨��, ��⟩ + ��¯ ⟨��, ��′⟩, với mọi ��, �� ∈ C, ��, ��, ��′ ∈ �� (cộng tính, nhưng không tuyến tính theo biến thứ hai),
(c) ⟨��, ��⟩ = ⟨��, ��⟩, với mọi ��, �� ∈ ��,
(d) ⟨��, ��⟩ ≥ 0, với mọi �� ∈ �� và ⟨��, ��⟩ = 0 ⇐⇒ �� = 0.
4.1.2 Ví dụ (không gian C��). Trên C��có tích trong sau: nếu �� = (����)1≤��≤�� và �� =
(����)1≤��≤�� thì
⟨��, ��⟩ =
Tích trong này sinh ra chuẩn
�� ��=1
���� ����.
!1/2
,
chính là chuẩn Euclid.
∥��∥ = ⟨��, ��⟩1/2 =
�� ��=1
|����|2
Cho không gian tích trong ��, với �� ∈ ��, ta đặt
∥��∥ = ⟨��, ��⟩1/2.
4.1.3 Ví dụ (không gian ℓ2). Không gian ℓ2trong trường hợp trường thực có tích trong
(����)��, (����)��
=Õ∞
��������
��=1
và trong trường hợp trường phức có tích trong
(����)��, (����)��
=Õ∞
��������.
��=1
4.1. KHÔNG GIAN TÍCH TRONG 69 Việc các tích trong này được xác định là do Bất đẳng thức Buniakowski
�� ��=1
|��������| ≤
�� ��=1
|����|2
! 12
·
�� ��=1
|����|2
! 12
≤ ∥��∥ℓ2 ∥��∥ℓ2 < ∞,
dẫn tới chuỗi Í∞ ��=1
�������� hội tụ tuyệt đối, do đó hội tụ.
Tích trong này sinh ra chuẩn đã biết của ℓ2, trên trường thực thì
!1/2
trên trường phức thì
∥ (����)��∈Z+ ∥ = ⟨��, ��⟩1/2 =
Õ∞ ��=1
��2��
∥ (����)��∈Z+ ∥ = ⟨��, ��⟩1/2 =
Õ∞ ��=1
|����|2
!1/2 .
4.1.4 Ví dụ (không gian ��2). Trên không gian ��2(Ω) trên trường thực có tích trong
∫
⟨�� , ��⟩ =
�� ��
Ω
và trên trường phức có tích trong
∫
⟨�� , ��⟩ =
�� ��.¯
Ω
Việc tích trong này được xác định có được từ Bất đẳng thức Hölder ở 2.6.9. Tích trong này sinh ra chuẩn đã biết của ��2(Ω), trên trường thực thì
1/2
trên trường phức thì
∥ �� ∥2 =
∫ Ω
��2
∥ �� ∥2 =
∫ Ω
| �� |2
1/2 .
Không gian Euclid và không gian ℓ2là các trường hợp riêng của không gian ��2, xem Ví dụ 2.6.14.
4.1.5 Định lý (Bất đẳng thức Buniakowski–Cauchy–Schwarz – BCS).
⟨��, ��⟩ | ≤ ∥��∥ ∥��∥ .
Đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức BCS khi và chỉ khi hai vectơ là phụ thuộc tuyến tính.
70 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT ��
D
�� �� Hình 4.1.6: Bất đẳng thức BCS tương đương với
��,��∥ ��∥E��∥ ��∥
D��,��∥ ��∥E ≤ ∥��∥. Trong trường hợp
mặt phẳng Euclid điều này nói rằng chiều dài hình chiếu vuông góc của �� xuống �� nhỏ hơn hay bằng chiều dài của ��, tức là cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền.
Chứng minh. Từ trường hợp mặt phẳng ở Hình 4.1.6 ta có thể dự đoán rằng bất đẳng D
thức BCS liên quan tới việc vectơ �� −
��,��∥ ��∥E��∥ ��∥= �� −��·��
∥ ��∥2 �� có chiều dài lớn hơn
hay bằng 0, vì điều này dẫn tới chiều dài cạnh góc vuông còn lại ngắn hơn chiều dài cạnh huyền, do công thức Pythagore. Ta xét
�� −�� · �� ∥��∥2��
·
�� −�� · �� ∥��∥2��
≥ 0.
Khai triển trong trường hợp trường thực thì �� · �� = �� · ��, ta được
�� · �� − 2�� · ��
∥��∥2�� · �� +
�� · �� ∥��∥2
2
�� · �� ≥ 0,
tức là
chính là bất đẳng thức BCS.
∥��∥2 −(�� · ��)2
∥��∥2≥ 0,
Khai triển trong trường hợp trường phức thì �� · �� = �� · ��, ta được �� · �� −�� · ��
∥��∥2�� · �� −�� · ��
∥��∥2�� · �� +�� · �� ∥��∥2
�� · ��
∥��∥2�� · �� ≥ 0,
tức là
∥��∥2= ∥��∥2 −|�� · ��|2
∥��∥2 −(�� · ��) (�� · ��)
∥��∥2≥ 0,
chính là bất đẳng thức BCS. □
4.1.7 Ví dụ. Trong không gian Euclid R��thì Bất đẳng thức BCS chính là Bất đẳng thức Buniakowski cho các số thực. Trong không gian ��2thì Bất đẳng thức BCS chính là Bất đẳng thức Hölder.
4.1. KHÔNG GIAN TÍCH TRONG 71 4.1.8 Hệ quả (Bất đẳng thức tam giác). Với mọi ��, �� ∈ ��,
∥�� + ��∥ ≤ ∥��∥ + ∥��∥ .
Chứng minh. Trong trường hợp trường thực ta viết nhanh được, dùng Bất đẳng thức BCS:
∥�� + ��∥2 = (�� + ��) · (�� + ��) = �� · �� + �� · �� + �� · �� + �� · �� = ∥��∥2+ 2�� · �� + ∥��∥2 ≤ ∥��∥2+ 2 ∥��∥ ∥��∥ + ∥��∥2 ≤ (∥��∥ + ∥��∥)2.
Trong trường hợp trường phức thì (viết Re(��) để chỉ phần thực của số phức ��):
∥�� + ��∥2 = (�� + ��) · (�� + ��) = �� · �� + �� · �� + �� · �� + �� · �� = ∥��∥2+ (�� · �� + �� · ��) + ∥��∥2 = ∥��∥2+ 2Re(�� · ��) + ∥��∥2 ≤ ∥��∥2+ 2|�� · ��| + ∥��∥2
≤ ∥��∥2+ 2 ∥��∥ ∥��∥ + ∥��∥2 ≤ (∥��∥ + ∥��∥)2.
□
Nhờ bất đẳng thức tam giác này ta có:
4.1.9 Mệnh đề. Cho không gian tích trong ��, với �� ∈ �� đặt ∥��∥ = ⟨��, ��⟩1/2thì đây là một chuẩn trên ��.
Như vậy tích trong sinh ra chuẩn. Từ đây trở đi khi nói tới chuẩn trên không gian tích trong thì ta hiểu là chuẩn sinh bởi tích trong như trên.
Trong trường hợp trường thực, Bất đẳng thức BCS có nghĩa là cho hai vectơ ��, ��
khác 0 thì
−1 ≤�� · ��
∥��∥ ∥��∥≤ 1.
Như trong trường hợp không gian Euclid R��, số thực ��·��
∥ �� ∥ ∥ ��∥có thể đại diện cho “góc”
giữa hai vectơ �� và ��, cụ thể góc đó là số thực �� ∈ [0, ��] sao cho cos �� =��·��
∥ �� ∥ ∥ ��∥. Đặc
biệt ta có thể đưa ra khái niệm “vuông góc”, đó là khi �� =��2, tức là khi �� · �� = 0:
4.1.10 Định nghĩa. Cho ��, �� ∈ ��, ta nói �� vuông góc với ��, ký hiệu ��⊥��, nếu ⟨��, ��⟩ = 0.
Do ⟨��, ��⟩ = 0 kéo theo ⟨��, ��⟩ = 0 nên quan hệ vuông góc có tính đối xứng.
4.1.11 Mệnh đề (Công thức Pythagore). Với mọi ��, �� ∈ ��,
�� ⊥ �� =⇒ ∥�� + ��∥2 = ∥��∥2+ ∥��∥2.
72 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT Tổng quát hơn, nếu ����, 1 ≤ �� ≤ �� vuông góc đôi một thì
�� ��=1
����
2
=
�� ��=1
∥���� ∥2.
Chứng minh. Khai triển vế trái, do giả thiết �� · �� = 0, ta được
∥�� + ��∥2 = (�� + ��) · (�� + ��) = �� · �� + �� · �� + �� · �� + �� · ��
= ∥��∥2+ ∥��∥2.
Trường hợp nhiều vectơ hơn có thể làm tương tự hoặc dùng quy nạp. □
4.1.12 Ghi chú. Ta có thể chứng minh Bất đẳng thức BCS một cách ngắn gọn và trực quan hơn, dựa trên công thức Pythagore và Hình 4.1.6, như sau. Với định nghĩa
�� ⊥ �� ⇐⇒ �� · �� = 0, ta kiểm được ngay Pythagore cho
�� −
�� ·��∥ ��∥ ��∥ ��∥ ⊥ ��. Công thức
�� −
�� ·��∥��∥ ��∥��∥2+ �� ·��∥��∥ ��∥��∥2= ∥��∥2
do đó
�� ·��∥��∥ ��∥��∥≤ ∥��∥
(cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền), tức là
|�� · ��| ≤ ∥��∥∥��∥.
4.1.13 Mệnh đề (đẳng thức hình bình hành). Với chuẩn sinh bởi tích trong thì ∥�� − ��∥2+ ∥�� + ��∥2 = 2 ∥��∥2+ 2 ∥��∥2.
Đây là một đặc trưng của chuẩn sinh bởi tích trong.
�� − ��
��
�� + ��
0
��
Hình 4.1.14: Đẳng thức hình bình hành nói rằng trong một hình bình hành thì tổng bình phương chiều dài hai đường chéo bằng tổng bình phương chiều dài các cạnh.
4.1. KHÔNG GIAN TÍCH TRONG 73 Chứng minh. Khai triển vế trái ta được
∥�� − ��∥2+ ∥�� + ��∥2 = (�� − ��) · (�� − ��) + (�� + ��) · (�� + ��)
= �� · �� − �� · �� − �� · �� + �� · �� + �� · �� + �� · �� + �� · �� + �� · ��
= 2 ∥��∥2+ 2 ∥��∥2.
□
4.1.15 Ví dụ. Xét R2 với chuẩn ∥ (��1, ��2)∥1 = |��1| + |��2|. Với ��1 = (1, 0) và ��2 = (0, 1) thì ∥��1 ∥1 = 1, ∥��2 ∥1 = 1, ∥��1 + ��2 ∥1 = 2, ∥��1 − ��2 ∥1 = 2. Đẳng thức hình bình hành không thỏa với hai vectơ ��1 và ��2. Vậy (R2, ∥ · ∥1) không phải là một không gian tích trong, nói cách khác không có tích trong nào trên R2có thể sinh ra chuẩn ∥·∥1. Như thế không phải không gian định chuẩn nào cũng là không gian tích trong.
Tương tự, trong không gian ℓ1 xét ��1 = (1, 0, 0, . . . ) và ��2 = (0, 1, 0, . . . ) thì ∥��1 ∥1 = 1, ∥��2 ∥1 = 1, ∥��1 + ��2 ∥1 = 2, ∥��1 − ��2 ∥1 = 2. Vậy ℓ1 không phải là một không gian tích trong.
Không gian ℓ��chỉ là không gian tích trong với �� = 2, xem Bài tập 4.6.10.
4.1.16 Mệnh đề (tích trong liên tục theo từng biến). Cho không gian tích trong �� trên trường F = R hoặc F = C.
(a) Ánh xạ �� ↦→ ⟨��, ��⟩ là tuyến tính liên tục, có chuẩn bằng ∥��∥.
(b) Trên trường số thực thì ánh xạ �� ↦→ ⟨��, ��⟩ là tuyến tính liên tục, có chuẩn bằng ∥��∥. Trên trường số phức thì ánh xạ này không tuyến tính nhưng vẫn liên tục.
Chứng minh. Do bất đẳng thức BCS, | ⟨��, ��⟩ | ≤ ∥��∥∥��∥, từ đó suy ra cả hai ánh xạ trên đều liên tục. □
4.1.17 Ví dụ. Ta xem lại Bài tập 3.8.8. Trên trường số thực, xét ánh xạ
�� : ℓ2 → R
�� ↦→ ���� =
Giờ ta nhận ra với tích trong của ℓ2thì
Õ∞ ��=1
����
��.
���� = (��1, ��2, . . . , ����, . . . ) ·
1,12, . . . ,1��, . . . = �� · ��
với
�� =
1,12, . . . ,1��, . . . ∈ ℓ2.
Vậy từ kết quả chung của phiếm hàm tuyến tính cho bởi tích trong ta kết luận ngay ��
74 CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT là một ánh xạ tuyến tính liên tục có chuẩn bằng
∥�� ∥ = ∥��∥ =
Õ∞ ��=1
1
��2
! 12
=
√��
6.
4.1.18 Định nghĩa. Một không gian tích trong mà là một không gian định chuẩn đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích trong thì được gọi là một không gian Hilbert ¹. Ngắn gọn hơn, không gian Hilbert là không gian tích trong đầy đủ, hay không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn cho bởi tích trong.
4.1.19 Ví dụ (không gian Euclid R��). Như ta đã biết ở Mệnh đề 1.3.8, không gian Euclid R��là đầy đủ, do đó là một không gian Hilbert.
4.1.20 Ví dụ (không gian Euclid C��). Như ta đã biết ở Mệnh đề 1.3.9, không gian Euclid C��là đầy đủ, do đó là một không gian Hilbert.
4.1.21 Ví dụ (không gian ℓ2). Như ta đã biết ở Định lý 2.4.6, không gian ℓ2là đầy đủ, do đó là một không gian Hilbert.
4.1.22 Ví dụ (không gian ��2). Như ta đã biết ở Định lý 2.6.15, không gian ��2(Ω) là đầy đủ, do đó là một không gian Hilbert.
4.2 Phép chiếu vuông góc
Nếu �� ≠ 0 thì chiếu vuông góc của �� xuống �� chính là chiếu �� xuống không gian tuyến tính sinh bởi ��. Từ trường hợp mặt phẳng, xem Hình 4.1.6, công thức của phép chiếu này là:
��⟨��⟩�� =��,��∥��∥��∥��∥.
(4.2.1)
Ta kiểm tra trực tiếp được ngay là �� − đơn vị thì công thức đơn giản hơn:
��,��∥ ��∥E��∥ ��∥vuông góc với ��. Khi �� là vectơ D
∥��∥ = 1 =⇒ ��⟨��⟩�� = (�� · ��)��.
4.2.3 Ví dụ. Trong ��2( [0,��2]) xét �� = cos, �� = sin, thì
(4.2.2)
∥ �� ∥ =
∫ ��2 0
cos2�� ����
! 12
=
∫ ��2 0
1
2(1 + cos(2��)) ����
! 12
=
2(�� +12sin(2��)) ��=��2
1
��=0
! 12
=
√��
2.
¹David Hilbert là một nhà toán học sống vào cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20, đã có những đóng góp lớn vào nhiều lĩnh vực trong đó có nền tảng toán học, hình học, giải tích, toán lý, đại số.