Bài giảng giải tích hàm

Vào các thế kỉ 18, 19, sự phát triển vượt bậc ở châu Âu trong thời đại Khai sáng và Cách mạng công nghiệp thúc đẩy những khảo cứu cả học thuật và thực dụng. Trong đó có các khảo cứu của Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier và nhiều người khác về các hiện tượng vật lí, như sự truyền sóng và sự truyền nhiệt. Trong các khảo sát này này đối tượng cần tìm là các hàm số, chẳng hạn nhiệt độ là một hàm số của vị trí và thời điểm, và các hiện tượng thường được miêu tả bằng các phương trình trên các hàm. Nghiên cứu những phương trình này đưa đến việc các tính chất của các tập hợp hàm dần dần chiếm vị trí trung tâm. Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay không dẫn tới những khảo sát các ánh xạ trên các tập hợp hàm, hay việc xấp xỉ nghiệm dẫn tới nhu cầu đưa ra cách đo độ khác biệt giữa các hàm.
Đáng chú ý là nhiều tập hợp hàm có cấu trúc của không gian tuyến tính vô hạn chiều, ví dụ tập hợp các đa thức hay tập hợp các hàm số liên tục. Từ đó có nhu cầu khảo sát các khái niệm giải tích như hội tụ và liên tục trên các không gian vô hạn chiều. Môn Giải tích hàm có thể miêu tả sơ lược ngắn gọn là giải tích trên không gian tuyến tính vô hạn chiều .
Từ đầu thế kỉ 20 Giải tích hàm định hình và phát triển nhanh chóng, vừa do sự phát triển nội tại của toán học, vừa do nhu cầu của khoa học và kĩ thuật. Ngày nay Giải tích hàm đã trở thành một phần cơ bản của toán học và môn Giải tích hàm trở thành một môn cơ sở trong chương trình đào tạo đại học ngành toán.