Giải Phương Trình Vô Định Nghiệm Nguyên

Phương trình vô định nói chung và phương trình vô định nghiệm nguyên nói riêng có một vai trò quan trọng trong toán học và trong thực tế, bởi vậy đã được các nhà toán học trên thế giới nghiên cứu từ rất lâu, được đề cập tới trong bất kì một cuốn sách số học cơ bản nào và hiện nay vẫn chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu và học tập. Ta có thể hiểu: Phương trình vô định (hoặc còn gọi phương trình Diophantus) thường là phương trình đại số với hệ số nguyên và số ẩn bất kỳ, nghiệm của nó được tìm trong tập hợp một dạng số nào đó như số nguyên, số nguyên dương, phân số hữu tỷ,…

Nhiều phương trình vô định phát biểu rất đơn giản nhưng cho đến ngày nay cũng chưa có cách giải hữu hiệu. Một phương trình vô định thường có dạng P(x, y, …,z)=0, ở đây P(x, y, …, z là một đa thức nhiều biến với hệ số nguyên. Để giải một phương trình vô định nghiệm nguyên người ta thường phải trả lời những câu hỏi sau:

Phương trình có tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên không?
Phương trình có hữu hạn hay vô hạn nghiệm?
Tìm tất cả những nghiệm nguyên của phương trình?

Tác giả cuốn sách mong muốn tập hợp thành một chuyên đề tương đối đầy đủ và chủ yếu là phương pháp giải từng loại phương trình vô định nghiệm nguyên từ tổng quát đến các trường hợp đặc biệt. Trong thực tế, còn nhiều vấn đề mà cuốn sách này không đề cập hết. Tác giả chỉ đề cập đến những vấn đề mà bằng kiến thức phổ thông, chúng ta có thể tiếp cận được với việc giải phương trình vô định. Bằng nguồn tài liệu trong và ngoài nước, tác giả mong muốn nội dung này cung cấp tương đối đầy đủ các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình vô định nghiệm nguyên. Trước khi đi vào nghiên cứu cụ thể ta xét một số vấn đề:

Một chút lịch sử phương trình vô định

Người có công nhiều nhất cho việc thiết lập cách giải phương trình vô định là nhà toán học Diophantus người Hy Lạp . Ông sống vào thế kỷ thứ III trước công nguyên. Diophantus đã hệ thống tất cả các bài toán phương trình vô định vào bộ sách 13 tập có tên Số học. Cho đến ngày nay bộ sách này chỉ còn 6 tập với 189 bài toán. Nhưng về cuộc đời của Diophantus ta biết rất ít. Chỉ còn lưu truyền bài thơ

Một phần sáu cuộc đời Diophantus là trẻ nhỏ
Nửa một phần sáu là tuổi thiếu nhi
Thêm một phần bảy nữa ông ta lấy vợ
và sau năm năm sinh cậu con trai
Cậu con trai chỉ sống bằng nửa tuổi bố
Sau bốn năm khi người con chết ông cũng qua đời.

Người làm ra bài thơ này cũng là nhà toán học Hy Lạp. Qua bài toán này, ta biết Diophantus đã sống 84 tuổi. Ta nhắc lại đây một bài toán của Diophantus, tất nhiên theo ngôn ngữ hiện đại.

Bài toán: (Quyển II. Bài 8) Hãy phân tích một số chính phương thành tổng hai số chính phương. Cần phân tích số 16 ra tổng hai số chính phương.

Lời giải. (Của Diophantus). Gọi một số đã phân tích là x2 . Khi đó số kia là 116-x2 . Suy ra số 16-x2 phải là số chính phương. Tôi tạo số chính phương từ một bội bất kỳ của x, giảm đi 4. Ta lấy đó là 2x-4 .
Trong trường hợp như vậy số chính phương sẽ là 4×2+16-16x . Nhưng số đó phải bằng 16-x2 . Nên suy ra 4×2 +16-16x=16-x2, từ đây có 5×2 =16x. ẩn số x bằng 16/5. Như vậy ta tìm được một số là 256/25, còn số kia là 144/25.

Đặc trưng của Diophantus là ông giải phương trình trong tập số hữu tỷ. Bài toán trên nói lên rằng Diophantus đã biết giải phương trình x2+y2=z2 trong số hữu tỷ, suy ra và cả trong tập số nguyên. Từ bài toán trên dẫn đến định lý Pythagoras trong hình học. Theo như các tài liệu lịch sử để lại thì từ thời Bavilion hay sau nữa là tại Ấn Độ, Ai Cập, Trung Quốc với kích thước của tam giác vuông 3, 4, 5 thoả mãn a^2+b^2=c^2 đã được biết đến với a,b là cạnh góc vuông, c là cạnh huyền.

Người Bavilion đã biết rằng mọi tam giác với kích thước x=m^2-n^2, y=2mn, z=m^2+n^2 (với n, m là số tự nhiên) đều là tam giác vuông.

Qua bài toán trên đã chỉ ra rằng Diophantus giải được phương trình vô định x^2+y^2=a^2 có nghiệm trong tập số hữu tỷ ít nhất với một a nào đó. Thực ra phương trình có nghiệm với mọi a, vì a^2=((2am)/(m^2+1))^2+( a(m^2-1)/(m^2+1))^2.

Một câu hỏi đặt ra là một số lập phương có phân tích ra tổng hai số lập phương? Phải chăng câu hỏi này đặt ra từ thời Diophantus?

Rất lâu sau khi ra đời cuốn sách của Diophantus, một nhà toán học Pháp P. Fermat ghi chú bên cạnh bài toán phân tích một số chính phương thành tổng hai số chính phương khẳng định sau:

“Không thể phân tích số lập phương ra tổng hai số lập phương, một số tứ phương ra tổng hai số tứ phương và v.v.”.

Thay vào cách chứng minh, Fermat chú thích rằng đã tìm được cách chứng minh rất hay, nhưng lề giấy nhỏ quá không thể viết nó ra được!

Như vậy Fermat đã phát biểu khẳng định: Phương trình vô định x^n+y^n=z^n với nge 3 nguyên, không có nghiệm nguyên dương.

Khẳng định này mang tên định lý lớn Fermat. Lịch sử về định lý này rất phong phú, biết bao công lao sức lực của các nhà toán học hơn ba thế kỷ qua trong nỗ lực tìm lại cách chứng minh của Fermat mà không được.

Chỉ mới gần đây thôi năm 1993 A. J. Wiles nhà toán học người Anh đã chứng minh được định lý vĩ đại này. Trong quá trình chứng minh định lý lớn Fermat đã thúc đẩy rất nhiều trong nội tại ngành toán học và cũng thể hiện những nghịch lý và sai lầm của nhiều người làm Toán.

Một số bài toán dân gian và thực tế

Như ta đã biết, những bài toán đố trong dân gian luôn luôn đưa về việc giải một dạng phương trình nào đấy. Đó là ta lý luận theo suy nghĩ ngày nay, còn xưa kia giải như thế nào thì chẳng ai biết cả, cho đến ngày nay chỉ còn lại thơ ca hò vè nội dung câu đố mà thôi. Chúng tôi dành mục này liệt kê một số bài toán cổ quen biết, việc giải chúng không có gì phức tạp mà chỉ bằng cách đưa về phương trình vô định rồi biện luận. Chúng ta chắc ai cũng ít nhất một lần nghe nói về bài toán dân gian.

Bài toán:
Một trăm con trâu,
Một trăm bó cỏ.
Trâu đứng ăn năm,
Trâu nằm ăn ba,
Ba con trâu già
Ăn chung một bó.
Hãy tính số trâu mỗi loại.

Lời giải. Không biết ngày xưa các cụ giải bằng cách nào? Ngày nay ta ký hiệu số trâu đứng là x con, trâu nằm là y con, còn trâu già là 3z con (điều kiện bài là 3 con ăn một bó). Khi đó tổng số trâu là x+y+3z=100 và số bó cỏ là 5x+3y+z=100 . Từ hai phương trình ta đưa về 7x+4y=100 , nghĩa là y=25- (7/4)x . Từ điều kiện nguyên dương của y ta có x phải chia hết cho 4 và nhỏ hơn 15. Như vậy x chỉ có thể là 4, 8, 12 , ứng với chúng ta có y=18, 11, 4 và số trâu già là z=26, 27, 28 .

Bài toán:
Mai em đi chợ phiên,
Anh gửi một tiền,
Mua cam cùng quít.
Không nhiều thì ít
Mua lấy một trăm.
Cam ba đồng một,
Quít một đồng năm,
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái.
Hỏi mua mỗi thứ mấy trái?
(Biết một tiền bằng 60 đồng.)

Lời giải. Ký hiệu số cam là x , quít là y và thanh yên là z . Theo đề bài ra tổng số hoa quả là x+y+z=100 và số tiền phải tiêu là 3z+y/5+5z=60 . Từ hai phương trình này đưa đến 7x+12z=100 , suy ra x=4, y=90, z=6 . Công thức tìm nghiệm của phương trình vô định bậc nhất các bạn hãy xem ở Chương 1.

Bài toán:

Ba người đi câu được một số cá. Trời đã tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông, rồi mỗi người tìm một nơi lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy, đến bờ sông, đếm số cá thấy chia ba thừa một con, bèn vứt bớt một xuống sông và xách 1/3 số cá về nhà. Người thứ hai thức dậy tưởng hai bạn mình còn ngủ, đến bờ sông, đếm số cá, vứt 1 xuống sông và xách 1/3 số cá về nhà. Người thứ ba thức dậy, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đến bờ sông, đếm số cá xong vứt 1 và xách 1/3 số cá về nhà. Cho biết
họ là ba chàng đi câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu cá.

Lời giải. Gọi x là số cá câu được và y là số cá còn lại sau khi cả ba người đã lấy đi phần cá của mình, khi đó 2/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1) =y

Suy ra 8x-27y=38 (x, y in N).

Tìm nghiệm riêng của phương trình này các bạn có thể tìm thấy ba cách ở chương 1. Ta thấy x_0=-380, y_0=-114 . Và cũng theo công thức ở chương 1 ta có x=-380+27t, y=-114+8t với t là những số nguyên. Giá trị dương nhỏ nhất của x, y (theo điều kiện câu tồi nhất) ứng với t=15. Khi đó x=25 và y=6 .

Bài toán:
Một nhà máy sản xuất ra mặt hàng được đóng gói theo loại 3 kg và 5 kg . Chứng minh rằng trong trường hợp này ta có thể nhận được số hàng với trọng lượng là số nguyên kg bất kỳ nào lớn hơn 7 kg.

Lời giải. Một số nguyên lớn hơn 7 có thể biểu diễn bằng một trong các dạng sau đây 3k-1, 3k, 3k+1, ở đây k>2 . Khi đó từ sự biểu diễn ta viết lại 3k=3k+5.0; 3k-1=3(k-2)+5.1; 3k+1=3(k-3)+5.2 . Ta thấy rằng mọi số nguyên lớn hơn 7 có thể biểu diễn dưới dạng 3x+5y , ở đây x và y là những số nguyên không âm. Suy ra mọi trọng lượng số nguyên kg lớn hơn 7kg đều có thể nhận được bằng các gói theo 3 kg và 5kg .

Bài toán:

Để chuyên chở gạo cần một số bao tải gạo loại 50kg và 100kg. Cần chuẩn bị bao nhiêu vỏ bao mỗi loại để chuyên chở 1 tấn gạo sao cho tất cả các bao tải đều được đóng đầy. Số lượng các khả năng dùng bao tải là bao nhiêu?

Lời giải. Đặt x là số lượng bao tải loại 50 kg và y là số lượng bao tải loại 100kg , ta có phương trình nghiệm nguyên 50x+100y=1000 hoặc là x+2y=20. Ta dễ thấy phương trình sau cùng có một nghiệm nguyên x=10, y=5 . Vậy nghiệm của phương trình trên là x=10+2t, và y=5-t . Nhưng x, y là số nguyên không âm nên 10+2tge 0, 5-tge 0 do đó – 5 le tle 5 . Vậy ta có các khả năng sau
t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Nội dung cuốn sách

Trong cuốn sách có dùng một số khái niệm số học đã có trong bất cứ cuốn sách số học cơ bản nào. Bạn đọc muốn tra cứu những phần chúng tôi có dùng xin đọc ở phần phụ lục. Nêu một số những kiến thức cơ bản của số học sẽ được dùng trong các chương sau. Chúng tôi không chứng minh các định lí đã quá rõ hoặc có thể tìm trong bất cứ một cuốn sách số học cơ sở nào. Riêng phần liên phân số, chúng tôi có viết tương đối cơ bản và chứng minh một số khẳng định.

Chương 1. Phương trình vô định bậc nhất.

Các vấn đề và phương pháp tổng quát giải phương trình vô định bậc nhất hai ẩn. Từ đó đề cập đến phương pháp giải phương trình vô định, hệ phương trình vô định bậc nhất nhiều ẩn.

Chương 2. Phương trình vô định bậc hai.

Bằng cách tiếp cận theo dạng toàn phương của Gaussfootnote Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Nhà toán học người Đức, chúng tôi giải phương trình vô định bậc hai hai ẩn tổng quát. Dạng toàn phương được trình bày để rút ra phương pháp tìm nghiệm riêng và tổng quát của phương trình vô định bậc hai.

Chương 3. Phương trình Pell.

Một dạng phương trình vô định bậc hai đặc biệt và có rất nhiều ứng dụng được nghiên cứu ở chương này. Từ chương trước cũng đã dùng kết quả của chương này. Bằng những công thức nghiệm cụ thể phương trình Pell có vô số nghiệm. Sử dụng phương trình Pell để giải hàng loạt các bài tập cũng được đề cập tới.

Chương 4. Phương trình vô định bậc cao và dạng đặc biệt.

Phương trình vô định bậc ba và bậc bốn được đề cập và một số dạng đặc biệt như định lí Pythagoras, định lí lớn Fermat,… Không có phương pháp chung cho việc giải những phương trình vô định bậc cao, vậy mỗi bài toán giải phương trình vô định đều thể hiện một cách giải khác nhau. Chương này cũng liệt kê nhiều bài toán và kết quả của nhiều nhà toán học trong thế kỷ qua.

Chương 5. Giải phương trình vô định không mẫu mực.

Một số phương pháp giải phương trình vô định không mẫu mực đã được liệt kê. Chương này liệt kê các cách tiếp cận giải phương trình vô định không mẫu mực. Tuy là những mẹo giải phương trình vô định nhưng đều xuất phát từ những khái niệm và kiến thức cơ bản của toán học.

Chương 6. Phương trình vô định trong tập số chữ số.

Một dạng bài tập phương trình vô định rất hay gặp là ẩn là những số chữ số, nghĩa là tìm nghiệm phương trình vô định trong tập mười số ban đầu. Hàng loạt bài toán hay đã được liệt kê và giải cặn kẽ.

Chương 7. Phương trình nghịch đảo các biến.

Một dạng đặc biệt trong phương trình có các biến nghịch đảo. Loại phương trình này có cách giải khá đặc trưng và rất nhiều đề thi đã được đề cập đến. Chúng tôi liệt kê cách tiếp cận loại phương trình vô định này.

Chương 8. Một số chuyên đề về phương trình vô định.

Thực tế có rất nhiều chuyên đề về phương trình vô định, phần này ta xét những chuyên đề như
phương trình vô định siêu việt, các cách đặt thông số cho việc giải một lớp bài toán phương trình vô định, những dạng tổng quát của phương trình vô định hoặc những dạng phương trình vô định có biến nghịch đảo.

Chương 9. Những đề thi Olympic toán.

Tập hợp những đề thi trong các cuộc thi Olympic quốc tế và một số nước trong những năm gần đây. Những phương pháp giải loại đề thi này rất điển hình và hay.

Chương 10. Lời giải và gợi ý.

Bài tập ở các chương được giải hoặc gợi ý giải tại đây, hầu hết các bài tập ở cuối các chương được giải. Những trường hợp gợi ý là những bài quá dễ và thường áp dụng các phương pháp trong chương.

Phần đầu nội dung của cuốn sách này có lấy trong luận văn thạc sĩ của Trần Quang Thiệu. Có thể nói Trần Quang Thiệu là tác giả thứ hai của cuốn sách này, nhưng do khâu đăng kí xuất bản có sơ xuất của tôi nên không có tên Anh. Nhân đây tôi xin cảm ơn và mong Anh thông cảm.

Đọc cuốn sách này chỉ cần kiến thức phổ thông. Chúng tôi cố gắng trình bày tỉ mỉ như cuốn sách tham khảo và bàn luận một số phương pháp tiếp cận các bài toán phương trình vô định nghiệm nguyên. Theo chúng tôi nghĩ, đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho các thầy cô giáo, sinh viên đại học và những người quan tâm đến giáo dục toán học trong trường phổ thông tại Việt Nam. Lần đầu tiên biên soạn, cuốn sách chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.

Hà nội, tháng 7 năm 2004
Các tác giả