Đại số tuyến tính

Ở thời đại của chúng ta, khoa học và kĩ thuật phát triển như vũ bão. Chúng đòi hỏi ngành giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi nhu cầu về tri thức khoa học của thanh thiếu niên, giúp họ có khả năng lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động. Hiện nay chương trình và sách giáo khoa bậc phổ thông ở nước ta đã bắt đầu và đang thay đổi để phù hợp với đòi hỏi ấy. Trường Cao đẳng Sư phạm, cái nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có những đổi mới tương ứng về chương trình và sách giáo khoa. Vì mục đích đó, bộ sách giáo khoa mới ra đời, thay thế cho bộ sách giáo khoa cũ.
Cuốn sách Đại số tuyến tính biên soạn lần này, nằm trong khuôn khổ của cuộc đổi mới ấy. Nó nhằm làm một giáo trình tiêu chuẩn chung cho các trường Cao đẳng Sư phạm trong cả nước theo chương trình mới (chương trình 2002), đòi hỏi không những phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên. Mặt khác, qua một thời gian dài thực hiện chương trình và sách giáo khoa cũ, đến nay đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm của nó, sự phù hợp của nó với trình độ đầu vào của sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm. Do đó cuốn sách biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ.
Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường Cao đẳng Sư phạm trong cả nước, các giáo viên THCS cần được bồi dưỡng để đạt trình độ chuẩn hoá. Cuốn sách cũng có thể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học môn học này.
Cơ sở để lựa chọn nội dung của giáo trình này là yêu cầu đầu ra và trình độ đầu vào của sinh viên Cao đẳng Sư phạm hiện nay, đồng thời cũng cần tính đến vai trò của môn học đối với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v.., và tạo điều kiện cho người học có thể học lên cao hơn. Cụ thể, giáo trình này phải trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THCS những kiến thức cần thiết, đầy đủ, vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt những phần liên quan trong chương trình toán THCS. Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên. Mặt khác, giáo trình này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình. Vì thế, nội dung cuốn sách chứa đựng những điều rất cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu.
Môn quy hoạch tuyến tính có sử dụng nhiều kiến thức đại số tuyến tính. Nhiều sách Đại số tuyến tính trên thế giới xếp nó như một chương của mình dưới đề mục “Bất phương trình tuyến tính”. Trong chương trình Cao đẳng Sư phạm mới của hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, nội dung của môn Quy hoạch tuyến tính có giảm bớt. Nó cũng được xếp vào một chương trong giáo trình Đại số tuyến tính này.
Cuốn sách này gồm bảy chương:
Chương I. Trình bày định nghĩa, các tính chất của định thức và các phương pháp cơ bản tính định thức. Đó là một phương tiện để nghiên cứu không gian vectơ và lý thuyết hệ phương trình tuyến tính.
Chương II và chương III. Nghiên cứu không gian vectơ và các ánh xạ giữa các không gian ấy – ánh xạ tuyến tính. Nó là cơ sở của Đại số tuyến tính. Nó giúp cho việc hoàn thiện lý thuyết hệ phương trình tuyến tính.
Chương IV. Hệ phương trình tuyến tính. Đó là một trong những hướng mở rộng của phương trình được học ở trường phổ thông. Với chương này, lý thuyết hệ phương trình tuyến tính được coi là hoàn thiện.
Chương V. Nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ. Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tính được nghiên cứu sâu sắc hơn.
Chương VI. Nghiên cứu dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, một phần của lý thuyết dạng trong Đại số tuyến tính nhưng lại có ảnh hưởng sâu sắc đến Hình học, Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng.
Chương VII: Nghiên cứu một số bài toán của Quy hoạch tuyến tính.
Phần Đại số tuyến tính của cuốn sách này được dùng chung cho cả hai hệ đào tạo giáo viên toán (hệ đào tạo giáo viên dạy môn Toán cùng với môn thứ hai, và hệ đào tạo giáo viên dạy chỉ một môn Toán). Yêu cầu đối với mỗi hệ có khác nhau. Đối với hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, chương trình chỉ yêu cầu sinh viên nắm được những điều rất cơ bản. Chẳng hạn, đối với chương Định thức yêu cầu chỉ là hiểu được định nghĩa định thức, nắm vững các tính chất để tính được các định thức thông thường, không cần hiểu kĩ chứng minh của các tính chất này. Song đối với hệ đào tạo giáo viên chỉ dạy Toán thì đòi hỏi cao hơn cả về nội dung và cả về rèn luyện và phát triển tư duy toán học. Tuy nhiên những đòi hỏi này được thực hiện đến đâu còn tuỳ thuộc vào trình độ sinh viên ở từng địa phương. Đó là phần mềm dẻo mà các trường vận dụng linh hoạt. Phần Quy hoạch tuyến tính ở đây chỉ dùng cho hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn.
Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại. Phần bài tập có một số lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ hội rèn luyện kĩ năng. Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể. Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng nhiều bài tập càng tất. Các phần in chữ nhỏ không đòi hỏi sinh viên phải đọc. Chúng chỉ dành cho những ai thích thú tìm hiểu.
Để học được giáo trình này, người học cần được bổ sung kiến thức về số phức khi mà chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT.
Giáo trình này được học vào năm thứ nhất sau phần cấu trúc đại số của giáo trình Nhập môn Toán học Cao cấp.
Khi giảng dạy giáo trình này, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức xêmina, v.v… Chẳng hạn, có thể tổ chức xêmina ở các mục: Các phương pháp tính định thức; Giải hệ phương trình tuyến tính; Các phép tính về ma trận. Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì giáo trình còn được sử dụng để tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ. Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học. Cũng như đã nói trên, Đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng, do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán.
Muốn thế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng. Nên cố gắng giảm bớt thời gian học lý thuyết ở lớp để giành thêm thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên, và nếu có thể thu xếp được một tỉ lệ giữa thời gian dạy lý thuyết và thời gian làm bài tập là 1/1 thì càng tốt.
Đối với người học, khi học giáo trình này luôn luôn có giây và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy. Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ nhất nhưng cũng rất hiện đại. Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực). Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới.
Trong cuốn sách này chữ K được kí hiệu chung cho cả ba trường số, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R và trường số phức C, mỗi khi muốn nói một điều gì chung cho cả ba trường số ấy.
Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của bạn đọc. Tuy nhiên, cuốn sách chưa tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết. Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những sai sót làm cho cuốn sách ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích hơn.