Đa thức và ứng dụng

Một khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số, trong toán học nói chung là khái niệm về đa thức. Trong chương trình phổ thông phần đại số hầu hết đều nghiên cứu về đa thức bậc nhất, bậc hai và một số đa thức dạng đặc biệt bậc cao. Rất nhiều ứng dụng và bài tập đã được học trong chương trình phổ thông. Cuốn sách này nhằm tổng quan lại về đa thức thông qua các định nghĩa, định lý và bài tập về đa thức. Mặt khác nâng cao những hiểu biết toàn diện về đa thức, những bài tập hay, những phương pháp đặc trưng được trình bầy qua mỗi chương. Mỗi chương đều có những định nghĩa và định lý được chứng minh rất cẩn thận. Mỗi cách chứng minh định lý thường được ứng dụng giải bài tập. Những ví dụ sau định lý là những phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đa thức một cách sáng tạo và đó là những bài mẫu. Mỗi bài tập cuối chương là những bài theo phương pháp giải của các ví dụ mẫu và các định lý trong chương, cách giải bài tập được gợi ý ở chương cuối cùng.
Nội dung cuốn sách bao gồm các chương chính sau:
Chương 1. Đa thức một biến. Xuất phát từ đơn thức và ta định nghĩa đa thức và những tính chất suy ra từ phép toán. Nguyên lý so sánh hệ số là một nguyên lý cơ bản và đặc trưng cho đa thức, nội dung các chương còn lại sử dụng rất nhiều lần nguyên lý này. Trong chương này ta xét một loại đa thức có nhiều ứng dụng là nhị thức Newton.
Chương 2. Phép chia đa thức. Tương tự như trong số học, phép chia đa thức có rất nhiều tính chất đặc trưng. Chương này ta xét phép chia có dư và không có dư. Một công cụ rất tốt để thực hiện phép chia hai đa thức cho nhau là sơ đồ Horner. Cuối cùng là ta xét khái niệm đồng dư đa thức, tuy nội dung cuốn sách này không đề cập nhiều đến dạng bài tập về đa thức đồng dư.
Chương 3. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Rất giống với môn số học, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đa thức có nhiều ứng dụng và nhiều bài tập được đề xuất. Một ứng dụng lớn đối với đa thức là đẳng thức Bézout.
Chương 4. Nghiệm của đa thức. Nghiệm của đa thức là vấn đề trọng tâm nghiên cứu đa thức trong chương trình phổ thông. Những định lý tồn tại nghiệm, số lượng nghiệm theo bậc của đa thức đã được chứng minh đầy đủ. Ngoài ra quan hệ giữa các nghiệm với nhau trong công thức Viét đã được trình bầy, rất nhiều bài tập về nghiệm của đa thức đã được giải chi tiết. Ngoài ra chương này còn nghiên cứu nghiệm của một số lớp đa thức như đa thức hệ số nguyên, đa thức hệ số đối xứng và nghiệm của phương trình nhị thức.
Chương 5. Đạo hàm đa thức. Đa thức là một dạng hàm số đơn giản và tường minh theo biến. Ta đưa vào khái niệm đạo hàm bằng công thức chứ không theo định nghĩa của giải tích. Từ khái niệm đạo hàm ta tìm được công thức Taylor, công thức Leibniz và nghiên cứu nghiệm bội của các đa thức. Cuối cùng là ứng dụng khác của đạo hàm đối với tập hợp những đa thức.
Chương 6. Đa thức không phân tích được. Tương tự như khái niệm hợp số và số nguyên tố, ta nghiên cứu những đa thức không phân tích được, những dấu hiệu chỉ ra một đa thức không phân tích được cũng được nghiên cứu khá kỹ. Không phân tích được xét trong các trường số khác nhau và có tiêu chuẩn Einsenstein.
Chương 7. Một số lớp đa thức không phân tích được. Một số lớp đa thức không phân tích được rất đặc trưng. Đặc biệt mối liên hệ giữa đa thức không phân tích được và số nguyên tố. Chương này mang nặng tính chuyên đề của đa thức không phân tích được và số nguyên tố.
Chương 8. Đa thức nhiều biến. Khái niệm đa thức nhiều biến đã được nêu ra. Những tính chất của đa thức nhiều biến cũng được nghiên cứu. Đa thức nhiều biến đối xứng được trình bầy khá kỹ thông qua các tính chất và công thức đối xứng rất đẹp.
Chương 9. Đa thức và phương trình hàm. Đây là chuyên đề phương trình hàm có nghiệm là những đa thức. Rất nhiều bài tập và các đề thi học sinh giỏi có liên quan đến chuyên đề này.
Chương 10. Một số chuyên đề về đa thức. Thực ra những chuyên đề trong chương này là ứng dụng của đa thức để giải quyết những bài toán đặt ra trong thực tế, học tập như các đa thức hệ số nguyên, số đại số,…
Chương 11. Đề thi học sinh giỏi. Rất nhiều đề thi được ra có liên quan đến đa thức. Những đề thi quốc gia một số nước về môn toán, đặc biệt kỳ thi Olympic toán quốc tế cũng có rất nhiều bài về đa thức.
Chương 12. Lời giải và trả lời.
Những khái niệm và định nghĩa về đa thức đều được giới thiệu trên cơ sở kiến thức phổ thông, để trách dùng những từ ngữ toán học cao cấp tôi đã dùng khái niệm đa thức trên các loại tập hợp số khác nhau như tập hợp số hữu tỷ, tập hợp số thực và tập hợp số phức. Bạn đọc có thể xem phần Phụ lục và thay miền xác định của các hệ số các đa thức bằng các trường số thích hợp thì kết luận nhiều bài tập và định lý trong cuốn sách này còn đúng.
Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh khá giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội.

Hà Nội, tháng 01 năm 2003
Nguyễn Hữu Điển