Cơ sở hình học

Trước đây tôi có dịch và viết hướng dẫn học tập cho quyền Hình học cao cấp (phần cơ sở hình học) của N.. Ephimốp. Quyển sách đó có nhiều ưu điểm nhưng không thích hợp lắm với hoàn cảnh của ta hiện nay. Nguyên do vì trong các trường Đại học Liên xô môn cơ sở hình học thưởng dạy ở năm thứ tư khi trình độ tiếp thu của sinh viên tương đổi đã khá. Trước đây lúc hạn học của trường Đại học Sư phạm còn là ba năm và môn cơ sở hình học ở năm thứ ba thì việc dùng một tài liệu như quyền sách của N.V. Êphimốp còn tương đối được. Nhưng nay, do nhu cầu cấp bách đào tạo giáo viên sớm ra phục vụ, hạn học của trường tạm rút xuống hai năm, mà môn cơ sở hình học thì không thể bỏ được, vì nó là một môn đề cao nhưng rất thiết thực cho việc giảng dạy ở phở thông, việc dùng một tài liệu như vậy không được thích hợp lắm. Thực tế là trong mấy năm nay, giảng luôn này cho sinh viên, cứ mỗi lần rút kinh nghiệm là chúng tôi lại phải hạ yêu cầu đi một ít. Đó là nói về sinh viên học ở trường, có thầy giảng trên lớp, có thầy đến giúp đỡ lúc tự học. Đối với sinh viên hàm thụ thì lại còn khó khăn hơn. Trước tình hình đó, tôi thấy cần phải viết một quyền « cơ sở hình học » làm sao thể hiện được khẩu hiệu “giản mà tinh» mà nhà trường đã đề ra để thực hiện chủ trương rút ngắn thời hạn học. Vấn đề là làm thể nào có một giáo trình sát hợp với điều kiện thì giờ và trình độ sinh viên ta trong giai đoạn hiện nay nhưng vẫn bảo đảm được những yêu cầu chính của một giáo trình cơ sở hình học trong một trường Đại học chính quy, hiện đại.
Tôi đã thực hiện điều đó như sau:
Ở chương II nói về hệ tiên đề của hình học Ơclit tôi chỉ lọc ra một số ít định lý mà chứng minh có thể tiêu biểu cho yêu cầu chính xác đối với phương pháp tiên đề. Tôi nghĩ rằng không cần trình bày nhiều định lý vì nội dung của chúng không có gì mới lạ mà cái mới lạ ở đây là phương pháp. Một vài định lý trình bày có chứng minh chặt chẽ cũng đủ cho người đọc thấy rõ được chứng minh hoàn toàn bằng suy diễn lôgic tử hệ tiên đề mà ra, không mảy may viện đến trực giác là thể nào. Riêng đối với lý thuyết pháp đo đoạn thẳng, vì nó là cơ sở cho việc đưa các số vào trong hình học nên được trình bày cặn kẽ. Một điều khó khăn ở đây là chỉ trình bày có it định lý như vậy thì làm thế nào mà bảo đảm hệ thống lôgic. Tôi đã cố gắng chọn các định lý sao cho đạt được yêu cầu đó, tuy không được một trăm phần trăm nhưng cũng không đề nhiều lỗ hồng trong chuỗi các mắt xích lôgic.
Qua kinh nghiệm giảng dạy tôi thấy nên đưa các mô hình vào sớm, nên đã đưa ngay bốn mô hình của hệ tiên đề Hinbe vào cuối chương II, không chờ đến lúc chứng minh sự phi mâu thuẫn của hệ đó. Tuy nhiên vì sợ nặng nề và làm cho chương II quá dài nên chỉ công nhận mà không chứng minh rằng các mô hình đủ nghiệm hệ tiên đề Hinbe. Yêu cầu ở đây chỉ là làm cho người đọc sớm củng cố được thế nào là hình học trừu tượng, thể nào là mô hình, tại sao lại không được dựa vào trực giác v.v… Có chứng minh thì cũng có lợi vì trong lúc chứng minh đòi hỏi phải phát biểu rất đúng các tiên đề, như không được lẫn lộn AB với BA, AB = A’B với A’B’ = AB v.V… Cái lợi đó tôi đề giành đến mô hình Poăng- carê.
1 Ở chương III nói về hệ tiên đề của hình học Lobasepki cũng với tinh thần như ở chương II tôi chỉ trình này chặt chẽ phần lý thuyết về đường song song đủ để cho độc giả thấy rằng có thể xây dựng hình học Lôbasepki từ hệ tiên đề của nó mà đi bằng suy diễn lôgic. Nhiều kiến thức khác của hình học Lôba epki thì sau đó mới tìm ra nhờ mô hinh Poǎngcarê.
– Mục đích chính của chương V là làm thế nào nêu rõ được ba vấn đề cơ bản của tiên đề học và phương pháp đề giải quyết các vấn đề đó, còn việc xét các vấn đề ấy đối với từng hệ tiên đề và từng tiên đề đã biết thì làm được đến đau hay đến đó nên đối với vấn đề độc lập tôi chỉ xét có hai tiên đề IV, 2 và V.
Đó là “giản» còn «tinh» là ở chỗ tôi đã không ngại dài dòng mà đi vào ý nghĩa, thực chất của các vấn đề, các định lý, ví dụ như ý nghĩa của định lý về việc đường thẳng chia mặt phẳng ra làm hai miền. Thêm nữa tôi có đề ra 43 câu hỏi và bài tập để giúp độc giả đào sâu các vấn đề.
Cuối sách có phần phụ lục về lý thuyết diện tích trong hình học Ơclít. Phần này cần thiết cho việc giảng dạy “diện tịch » ở trường phổ thông. Đáng lẽ phải để nó ở cuối chương IV nhưng sợ chương này kéo quá dài mà tâm lý người học cơ sở hình học thì hay mong cho chóng đến hình học phi Ơclit. Còn lý thuyết diện tích trong hình học Lobasepki thì không trình bày mà chỉ dùng tính tích phân để tìm ra công thức mà thôi.
Một đặc điểm của chế độ ta là trong hàng ngũ sinh viên chính quy cũng như hảm thụ có nhiều cán bộ đã bỏ học lâu năm đi học lại nên quên nhiều kiến thức cũ. Thực tế đã có đồng chí hàm thụ vấp váp trong lúc học môn này chỉ vì quên không hiểu tại sao khi quay một góc a thì lại nhân với của hay quên về phép nghịch đảo. Vì vậy trong cuốn sách này tôi cũng không ngại dài dòng mà trình bày hơi tỉ mỉ về những kiến thức phụ. Để có thể đọc hiểu cuốn sách này chỉ cần ôn lại các phép tính về phức sổ, các hàm số hypebolic và quan hệ giữa chúng với các hàm lượng giác, các chùm vòng tròn liên hợp, tích phân đường và tích phân hai lớp.
Quyển sách này đáng lẽ còn ít lâu nữa mới viết xong nhưng Nhà xuất bản Giáo dục cho biết là cần gấp nên tranh thủ hoàn thành sớm. Chắc rằng nó còn nhiều thiếu sót. Rất mong nó sẽ được nhiều ý kiến xây dựng của độc giả.
NGUYỄN CẢNH TOÀN