Diện Tích Tam Giác: Công Thức Đầy Đủ Kèm Bài Tập

Diện tích tam giác được tính bằng công thức S = ½ × a × h, trong đó a là độ dài một cạnh đáy và h là chiều cao tương ứng hạ từ đỉnh đối diện xuống cạnh đáy đó. Ví dụ: tam giác có đáy 8cm, chiều cao 5cm thì diện tích là S = ½ × 8 × 5 = 20cm². Với từng loại tam giác (vuông, cân, đều, tù…), công thức này có thể viết lại gọn hơn — bài dưới đây trình bày đủ cách tính cho mọi trường hợp, kèm ví dụ số và bài tập tự luyện có đáp án.

Tam giác là gì, có mấy loại?

Tam giác là hình có 3 cạnh và 3 đỉnh, tổng ba góc trong luôn bằng 180°. Dựa vào độ dài cạnh, tam giác chia thành: tam giác thường (3 cạnh khác nhau), tam giác cân (2 cạnh bằng nhau) và tam giác đều (3 cạnh bằng nhau). Dựa vào góc, tam giác chia thành: tam giác nhọn (3 góc đều nhỏ hơn 90°), tam giác vuông (có 1 góc bằng 90°) và tam giác tù (có 1 góc lớn hơn 90°). Một tam giác có thể vừa vuông vừa cân, gọi là tam giác vuông cân. Mọi loại đều dùng chung 1 công thức gốc S = ½ × a × h; khác biệt chỉ ở cách xác định cạnh đáy và chiều cao cho nhanh.

Công thức tính diện tích tam giác theo từng loại

Tam giác thường

S = ½ × a × h

Trong đó: a là độ dài cạnh đáy (chọn cạnh bất kỳ làm đáy); h là chiều cao, tức đoạn vuông góc từ đỉnh đối diện xuống đường thẳng chứa cạnh đáy đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có cạnh đáy BC = 8cm, chiều cao từ A xuống BC là 5cm. Diện tích: S = ½ × 8 × 5 = 20cm².

Tam giác vuông

S = ½ × a × b

Vì hai cạnh góc vuông đã vuông góc với nhau, ta lấy 1 cạnh làm đáy thì cạnh còn lại chính là chiều cao — công thức chung ở trên trở thành S = ½ × a × b, với a, b là độ dài hai cạnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6cm và 8cm. Diện tích: S = ½ × 6 × 8 = 24cm² (cạnh huyền tương ứng là 10cm theo định lý Pythagoras, không ảnh hưởng đến diện tích).

Tam giác cân

S = ½ × a × h   (a: cạnh đáy, h: chiều cao hạ từ đỉnh xuống đáy — vẫn là công thức chung)

Nếu chỉ biết cạnh đáy a và cạnh bên b (chưa biết chiều cao), dùng: S = (a/4) × √(4b² − a²)

Ví dụ (đối chiếu 2 cách, cùng 1 tam giác): Tam giác cân có đáy a = 10cm, chiều cao h = 12cm → S = ½ × 10 × 12 = 60cm². Nếu chỉ biết đáy 10cm và cạnh bên 13cm: S = (10/4) × √(4×13² − 10²) = 2,5 × √576 = 2,5 × 24 = 60cm² — khớp với cách tính đầu tiên.

Tam giác đều

S = (a² × √3) / 4

Đây là dạng rút gọn của công thức chung khi biết chiều cao tam giác đều là h = (a√3)/2. Trong đó a là độ dài 1 cạnh (cả 3 cạnh bằng nhau).

Ví dụ: Tam giác đều cạnh 6cm. Diện tích: S = (6² × √3) / 4 = (36 × √3) / 4 = 9√3 ≈ 15,59cm².

Tam giác vuông cân

S = ½ × a²

Tam giác vuông cân là trường hợp riêng của tam giác vuông khi 2 cạnh góc vuông bằng nhau (a = b), nên công thức S = ½ × a × b trở thành S = ½ × a². Đây cũng đúng bằng một nửa diện tích hình vuông cạnh a diện tích hình vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 5cm. Diện tích: S = ½ × 5² = ½ × 25 = 12,5cm².

Tam giác tù

S = ½ × a × h   (vẫn là công thức chung, chỉ khác cách xác định chiều cao)

Tam giác tù vẫn dùng đúng công thức chung, nhưng vì 1 góc lớn hơn 90° nếu chọn đáy là một trong hai cạnh kề góc tù thì chân đường cao hạ từ đỉnh đối diện rơi ra NGOÀI đoạn cạnh đáy (chọn đáy là cạnh dài nhất, đối diện góc tù, thì chân đường cao vẫn nằm trong). Khi rơi ra ngoài, muốn xác định h phải kẻ dài đường thẳng chứa cạnh đáy rồi mới hạ đường vuông góc từ đỉnh xuống đường kéo dài đó.

Ví dụ: Tam giác tù có cạnh đáy 10cm; chiều cao hạ từ đỉnh đối diện xuống đường kéo dài của cạnh đáy đo được 4cm. Diện tích: S = ½ × 10 × 4 = 20cm².

Diện tích tam giác khi biết độ dài 3 cạnh (công thức Heron)

Khi không biết chiều cao mà chỉ biết độ dài cả 3 cạnh a, b, c, dùng công thức Heron:

Nửa chu vi: p = (a + b + c) / 2

Diện tích: S = √[p × (p − a) × (p − b) × (p − c)]

Ví dụ: Tam giác có 3 cạnh 7cm, 8cm, 9cm. Nửa chu vi: p = (7+8+9)/2 = 12. Diện tích: S = √[12×(12−7)×(12−8)×(12−9)] = √[12×5×4×3] = √720 = 12√5 ≈ 26,83cm².

Diện tích tam giác khi biết 2 cạnh và góc xen giữa

Khi biết độ dài 2 cạnh a, b và số đo góc C xen giữa 2 cạnh đó:

S = ½ × a × b × sin(C)

Ví dụ: Tam giác có 2 cạnh 8cm và 6cm, góc xen giữa 30°. Diện tích: S = ½ × 8 × 6 × sin(30°) = 24 × 0,5 = 12cm².

Diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C):

S = ½ × |x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|

Ví dụ: Tam giác ABC có A(0,0), B(4,0), C(0,3). Diện tích: S = ½ × |0×(0−3) + 4×(3−0) + 0×(0−0)| = ½ × |0 + 12 + 0| = 6 (đơn vị diện tích).

Bảng tóm tắt công thức diện tích tam giác

Lỗi hay gặp khi tính diện tích tam giác

• Quên chia 2: nhớ nhân đáy với chiều cao rồi lấy kết quả chia 2, không phải để nguyên tích a × h.
• Nhầm cạnh bên với chiều cao: ở tam giác cân và tam giác tù, cạnh bên KHÔNG phải là chiều cao — chiều cao là đoạn vuông góc từ đỉnh xuống đường thẳng chứa đáy, phải tính riêng (bằng Pythagoras hoặc đo trực tiếp).
• Quên quy đổi cùng đơn vị đo: nếu đáy tính bằng mét mà chiều cao tính bằng centimet, phải đổi về cùng đơn vị trước khi nhân.
• Nhầm S = a² với S = a²/2 ở tam giác vuông cân: luôn phải chia 2 sau khi bình phương cạnh góc vuông.
• Kết quả thiếu đơn vị diện tích: diện tích luôn ghi bằng đơn vị vuông (cm², m²…), không phải đơn vị độ dài.

Bài tập tự luyện

Tự làm trước khi xem đáp án để kiểm tra mức hiểu công thức.

Bài 1. Tính diện tích tam giác thường có cạnh đáy 9cm, chiều cao tương ứng 6cm.

Bài 2. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 5cm và 12cm. Tính diện tích và cạnh huyền.

Bài 3. Tính diện tích tam giác đều có cạnh 8cm.

Bài 4. Một tam giác có 3 cạnh lần lượt là 5cm, 6cm, 7cm. Tính diện tích bằng công thức Heron.

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, tam giác ABC có A(1,1), B(4,1), C(1,5). Tính diện tích tam giác ABC.