Tuyển Tập Đề Thi Vào Lớp 10 Chuyên Môn Toán Năm 2019-2020

" Tuyển Tập Đề Thi Vào Lớp 10 Chuyên Môn Toán Năm 2019-2020 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tuyển Tập Đề Thi Vào Lớp 10 Chuyên Môn Toán Năm 2019-2020 Ebooks Nhóm Zalo TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 (GIẢI CHI TIẾT) 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƢỜNG CHUYÊN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục, nhằm nâng cao chất lượng các kì thi tuyển sinh, sachhoc.com giới thiệu Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn toán năm học 2019-2020 có đáp án chi tiết. Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và kĩ năng vận dụng, được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi dựa trên các đề thi năm 2019 các trường chuyên trên cả nước. Mỗi đề thi đều có hướng dẫn giải chi tiết! Hy vọng đây là Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học ở các trường THCS và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2020- 2021 và những năm tiếp theo. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ của đội ngũ những người biên soạn, song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các em học sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn. Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất trong các kỳ thi sắp tới! Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 MỤC LỤC Trang Đề thi Đáp án 1. Đề vào 10 Chuyên toán Nghệ An năm học 2019 -2020 4 52 2. Đề v|o 10 Chuyên to{n Nam Định năm học 2019 -2020 5 55 3. Đề v|o 10 Chuyên to{n Thanh Hóa năm học 2019 -2020 6 60 4. Đề v|o 10 Chuyên tin Thanh Hóa năm học 2019 -2020 7 64 5. Đề v|o 10 Chuyên to{n Đ| Nẵng năm học 2019 -2020 8 68 6. Đề v|o 10 Chuyên to{n Điện Biên năm học 2019 -2020 9 73 7. Đề v|o 10 Chuyên to{n Tuyên Quang năm học 2019 -2020 10 78 8. Đề v|o 10 Chuyên to{n Hƣng Yên năm học 2019 -2020 11 82 9. Đề vào 10 Chuyên toán Bình Thuận năm học 2019 -2020 12 85 10. Đề v|o 10 Chuyên to{n Phú Yên năm học 2019 -2020 13 88 11. Đề vào 10 Chuyên toán Hải Phòng năm học 2019 -2020 14 94 12. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ninh năm học 2019 -2020 15 98 13. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Nam năm học 2019 -2020 16 100 14. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Bình năm học 2019 -2020 17 107 15. Đề vào 10 Chuyên toán Phú Thọ năm học 2019 -2020 18 110 16. Đề vào 10 Chuyên toán Cần Thơ năm học 2019 -2020 19 113 17. Đề vào 10 Chuyên toán Thừa Thiên Huế năm học 2019 -2020 21 120 18. Đề v|o 10 Chuyên to{n Đăk Nông năm học 2019 -2020 22 125 19. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ngãi năm học 2019 -2020 23 128 20. Đề v|o 10 Chuyên to{n T}y Ninh năm học 2019 -2020 24 133 21. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Định năm học 2019 -2020 25 136 22. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Phƣớc năm học 2019 -2020 26 141 23. Đề vào 10 Chuyên toán Bắc Ninh năm học 2019 -2020 27 145 24. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Dƣơng năm học 2019 -2020 29 150 25. Đề v|o 10 Chuyên to{n Sơn La năm học 2019 -2020 30 154 26. Đề vào 10 Chuyên toán Tiền giang năm học 2019 -2020 31 161 27. Đề v|o 10 Chuyên to{n Kh{nh Hòa năm học 2019 -2020 32 164 28. Đề vào 10 Chuyên toán TP Hồ Chí Minh năm học 2019 -2020 33 168 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 29. Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020 34 172 30. Đề v|o 10 Chuyên to{n Gia Lai năm học 2019 -2020 36 177 31. Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020 37 184 32. Đề vào 10 Chuyên toán Vũng T|u năm học 2019 -2020 38 185 33. Đề vào 10 Chuyên toán Kon Tum năm học 2019 -2020 39 189 34. Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 1) năm học 2019 -2020 40 194 35. Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 2) năm học 2019 -2020 41 196 36. Đề vào 10 Chuyên toán An Giang năm học 2019 -2020 42 200 37. Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 1) 2019 -2020 43 204 38. Đề vào 10 Chuyên toán Hƣng Yên (vòng 2) 2019 -2020 44 207 39. Đề vào 10 Toán chung Kon Tum năm học 2019 -2020 45 210 40. Đề v|o 10 to{n chung Hƣng Yên năm học 2019-2020 46 212 41. Đề vào 10 toán chung Nam Định năm học 2019-2020 47 217 42. Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 1) năm học 2019-2020 48 222 43. Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 2) năm học 2019-2020 49 226 44. Đề vào 10 Chuyên Quảng Trị năm học 2019-2020 50 230 45. Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 2) 2019 -2020 51 232 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 1 (Đề thi có một trang) Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải phƣơng trình 3 2 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƢỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƢỜNG THPT CHUYÊN – TRƢỜNG ĐH VINH Năm học 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. x x x x − + − + = 12 1 20 0 . ⎧ + + = ( 1)( 1) 6. x xy b) Giải hệ phƣơng trình 2 2 ⎨⎩ + + = x y y ( 1) 7 Câu 2. (3,0 điểm) a) Cho đa thức 2 P x bx c ( ) ax = + + (a ∈Ν*)thỏa mãn P P (9 6 2019. ) − = ( ) Chứng minh P P (10 7 ) − ( )là một số lẻ. b) Tìm các cặp số nguyên dƣơng ( x y; )sao cho 2 x y x y + +chia hết cho 2 xy y + +1. Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số thực dƣơng abc , ,thỏa mãn abc a b c = + + + 2. 1 1 1 P . = + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b b c c a + + + Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC < )nội tiếp đƣờng tròn (O). Gọi El| điểm nằm chính giữa của cung nhỏBC. Trên cạnh AClấy điểm Msao cho EM EC =, đƣờng thẳng BMcắt đƣờng tròn (O)tại N(Nkhác B). C{c đƣờng thẳng EAvà ENcắt cạnh BClần lƣợt tại Dvà F . a) Chứng minh tam giác AENđồng dạng với tam giác FED . b) Chứng minh Mlà trực tâm của tam giác AEN . c) Gọi Ilà trung điểm của AN, tia IMcắt đƣờng tròn (O)tại K. Chứng minh đƣờng thẳng CMlà tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BMK . Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm n|o cũng l| đỉnh của một tam giác mà mỗi tam gi{c đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. ----------Hết---------- Họ và tên ..................................................................Số báo danh ........................................ Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 2 (Đề thi có một trang) Câu 1: ( 2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. a) Cho x 3 5 2 3 3 5 2 3 = + + + − +. Tính giá trị của biểu thức P x 2 x = − ( ) . b) Cho ba sốabc , ,thỏa mãn ab bc ca 2019 ++=.Chứng minh: 2 2 2 a bc b ca c ab 0 − − − + + = + + +. 2 2 2 a 2019 b 2019 c 2019 Câu 2: ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình sau: 1 1 3 x y ⎧+ = + ⎪⎪⎨⎪ + + = ⎪⎩. a) ( )3 3 2 2 x y 2 2 x x 1 9x 8 + + = +. b) 1 1 3 x y 3 3 x y 3 3 Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( Với AB < AC ) nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Đƣờng ph}n gi{c v| đƣờng phân giác ngoài của BACcắt đƣờng tròn (O)lần lƣợt tại D và E ( cùng khác A ). Gọi G là hình chiếu vuông góc của E lên cạnh AC, gọi M v| N tƣơng ứng l| trung điểm của c{c đoạn thẳng BC và BA. Gọi K l| trung điểm của đoạn thẳng GM, H l| giao điểm của đƣờng thẳng AB v| đƣờng thẳng MG, F l| giao điểm của đƣờng thẳng MN v| đƣờng thẳng AE. a) Chứng minh rằng hai đƣờng thẳng AD và GM song song. b) Chứng minh FH = MC. c) Chứng minh KE KN 2.EN + ≤ . 5 n 29n Câu 4: ( 1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì +cũng l| số nguyên. 30 b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( x y; )sao cho ( ) 2 2 2 x y 3x 2y 1 + − + −và ( ) 2 2 5 x y 4x 2y 3 + + + +đều là số chính phƣơng. Câu 5: ( 1,5 điểm ) a) Cho các số thực abc , ,thỏa mãn ( )( )( ) 4 4 4 4 4 4 a b b c c a 8 + + + =. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a 1 − + − + − + ≥ . ( )( )( ) b) Trƣớc ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận đƣợc bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận đƣợc bút tổng cộng là 25. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 3 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm): ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 1/ Cho ba số thực dƣơng a,b,cthõa mãn a b c=1. a b c + + = Chứng minh rằng 1 ab a bc b ca c + + + + + + 1 1 1 2/ Cho các sốa,b,ckhác 0 thỏa mãn 2 a b+b c+2 c a=0. Hãy tính giá trị của biểu thức 2 2 2 8bc ca ab Aa b c = + + Câu 2 (2,0 điểm): 2 2 2 1 1 3 1 x x x x x + + + − + = 1/ Giải phƣơng trình ( ) 1 1 9 ⎧+ + + = ⎪⎪⎨⎪ + + + = ⎪⎩ 2/ Giải hệ phƣơng trình x yx y x y 2 15 xyxy y x Câu 3 (2,0 điểm): 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y)thõa mãn 2 4 3 2 y y x x x x + = + + + . 2/ Cho hai số nguyên dƣơng x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện 2x2 – 1 = y15. Chứng minh rằng x chia hết cho 15. Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giâc ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) với AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt (O) tại D kh{c A. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đƣờng thẳng AC tại E kh{c C. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đƣờng thẳng AB tại F khác B. 1/ Chứng minh hai tam gi{c BDF, CDE đồng dạng. 2/ Chứng minh rằng ba điểm E, M, F thẳng hàng và OA EF ⊥ . 3/ Đƣờng phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N. Đƣờng phân giác của góc CEN cắt CN tại P, đƣờng phân giác của góc BFN cắt BN tại Q. Chứng minh rằng PQ // BC. Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đƣờng thẳng sao cho không có hai đƣờng thẳng n|o song song v| không có ba đƣờng thẳng n|o đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đƣờng thẳng trong số c{c đƣờng thẳng đã cho gọi l| tan gi{c đẹp nếu nó không bị đƣờng thẳng nào trong số c{c đƣờng thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam gi{c đẹp không ít hơn 674. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 4 (Đề thi có một trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1. Chứng minh rằng: ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 1 1 1 44 + + + = ... 2 1 1 2 3 2 2 3 2025 2024 2024 2025 45 + + + 2. Cho xlà số thực âm thỏa mãn 221 + =. Tính giá trị của biểu thức: x 23 x 3 1 A xx = + 3 Câu 2: (2,0 điểm) 1 1 2 + = 1. Giải phƣơng trình: 2 x 2 x − 2 ⎧ + − + = ⎪⎨⎪ + − + = ⎩ x y y x 2x 0 2. Giải hệ phƣơng trình: ( ) 2 2 2 2 x y x y x 6 3 0 Câu 3: (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2 x xy x y − − + + = 5 5 2 0 2020 2020 2020 2016 2016 2016 A a b c a b c = + + − + +với a,b,c là các số nguyên 2. Cho biểu thức: ( ) ( ) dƣơng. Chứng minh rằng Achia hết cho 30. Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC < )nội tiếp đƣờng tròn (O)có tâm là O. Các đƣờng cao BE CF ,của tam giác ABCcắt nhau tại H. Đƣờng phân giác ngoài của BHC cắt các cạnh AB AC ,lần lƣợt tại M N,. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AMNcắt đƣờng phân giác của BACtại điểm Ikhác A IM,cắt BEtại điểm Pvà INcắt CFtại điểm Q . 1. Chứng minh tam giác AMNcân tại A . 2. Chứng minh HPIQlà hình bình hành. 3. Chứng minh giao điểm của hai đƣờng thẳng HIvà AOthuộc đƣờng tròn (O) . Câu 5: (1,0 điểm) Với các số thực không âm abc , ,thỏa mãn abc + + = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( )( ) 2 2 2 S a b c = + + + 2 2 2 ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÀ NẴNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 5 ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. x 6 x 9 x 6 x 9 A81 18 1 Bài 1. ( 2,0 điểm) a) Tìm giá GTNN biểu thức = + − + − − , với x 9 > . 2 − + x x b) Tìm x thỏa 9x 8 7x 6 5x 4 3x 2 x 0. − + − + − + − + = Bài 2. ( 2,0 điểm) a) Cho ba số thực dƣơng ph}n biệt abc , ,thỏa abc + + = 3. Xét ba phƣơng trình bậc hai 2 2 2 4x 4ax b 0, 4x 4bx c 0, 4x 4cx a 0 + + = + + = + + =. Chứng minh rằng trong ba phƣơng trình trên có ít nhất một phƣơng trình có nghiệm và có ít nhất một phƣơng trình vô nghiệm. b) Cho hàm số1 2 dl| đƣờng thẳng qua A có hệ số =có đồ thị(P)v| điểm A 2; 2 ( ). Gọi m y x 2 dcắt đồ thị(P)tại hai điểm A v| B, đồng thời cắt trục góc m. Tìm tất cả các giá trị của m đểm Ox tại điểm C sao cho AB 3AC = . Bài 3. ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình v| hệ phƣơng trình sau: ⎧+ + + = ⎪⎨⎪ + = + + ⎩ 1 2 a) ( ) x 6 x 3 x 1 14x 3 x 1 13 0 − + + + + + + = b) 8xy 22y 12x 25x 3 3 y 3y x 5 x 2 ( ) Bài 4: ( 1,5 điểm) Trên nửa đƣờng tròn (O)đƣờng kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA < CB. Hai tiếp tuyến của nửa đƣờng tròn (O)tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K l| giao điểm thứ hai của BD và nửa đƣờng tròn (O), P l| giao điểm của AK và BC. Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APB lần lƣợt là 2 r 3 12 2 và r 3 3, tính diện tích tứ giác ABKC. Bài 5. ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC) nội tiếp trong đƣờng tròn (O). Vẽ đƣờng tròn (Q)đi qua A v| C sao cho (Q)cắt c{c tia đối của tia AB và CB lần lƣợt tại c{c điểm thứ hai là D và E. Gọi M l| giao điểm thứ hai của đƣờng tròn (O)v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh QM vuông góc BM. Bài 6. ( 1,0 điểm ) Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đ}y l| c{c c}u đối thoại giữa B và C. B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhƣng chắc chắn C cũng không biết. C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhƣng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số m| A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi. Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ? Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 6 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − 2x 1 x Px 1 x Câu 1 (2,5 điểm). 1. Cho biểu thức x 4 + = − . x a) Rút gọn P. b) Tìm xđể P 2 x 0. − < ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − +với x ≥ 0và x ≠ 4. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + − ⎝ ⎠ x x 1 x 2 3 1 2 1 2. Chứng minh rằng: = − + + +. 3 3 3 3 2 2 2 4 2 1 Câu 2 (1,5 điểm). 1. Giải phƣơng trình: ( ) 2 2 x 4x x 3 x x 1 1 − + − − + = − . 2 2 ⎧⎪ + − = − ⎨⎪ − + = ⎩ 2. Giải hệ phƣơng trình: Câu 3 (2,0 điểm). 4x 4x y 1 2 2 4x 3xy y 1. 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng d : y 2mx m 2 = + +(mlà tham số) v| parabol ( )2 P y x : 2 =. Chứng minh với mọi gi{ trị của mthì dluôn cắt (P)tại hai điểm ph}n biệt có ho|nh độ 1 2 x x ,. Tìm msao cho 2 2 1 2 1 2 x 6x x x 0 − − = . 2. Cho abc , ,l| c{c số thực không }m v| thỏa mãn điều kiện ab bc ca 0 ++> . Chứng minh rằng a b c 2. + + ≥ b c c a a b + + + Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho tam gi{c nhọn ABC AB ACnội tiếp đƣờng tròn t}m I.Gọi El| hình chiếu vuông góc của Btrên đƣờng thẳng AI . Tl| giao điểm của BEvà đƣờng tròn t}m I. a) Chứng minh rằng tam gi{c ABTc}n tại A.Từ đó suy ra ACl| đƣờng ph}n gi{c của góc BCT . b) Gọi Ml| trung điểm của BCvà Dl| giao điểm của MEvà AC. Chứng minh rằng BD AC. 2. Cho tam giác ABC,trên đƣờng trung tuyến ADlấy điểm Icố định (Ikhác A và D). Đƣờng thẳng dđi qua Icắt c{c cạnh AB AC ,lần lƣợt tại M N,. X{c định vị trí của đƣờng thẳng dđể diện tích tam gi{c AMNđạt gi{ trị nhỏ nhất. Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả c{c số nguyên dƣơng x y z , ,thỏa mãn x y 2019 + +l| số hữu tỷ v| y z 2019 2 2 2 x y z + +l| số nguyên tố. ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 7 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (1,0 điểm) Tính tổng 1 1 1 1 S ... = + + + + 3 1 5 3 7 5 2019 2019 2 + + + + − 2 2 Câu 2 (2,0 điểm) Cho phƣơng trình 2 x 2mx m 4 − + −(1) (m là tham số). a) Chứng minh rằng phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. x; 2 b) Với giá trị nào của m thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm 1 2 2 x x 1 2 x xx x + = + 1 2 2 1 Câu 3 (2,0 điểm) Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình sau: xthỏa mãn: a) 2 2x 1 5 x x 2 2 2x 11x 5 − + − = − + − + −; b) 2 2 2 x y 2 x y 4 x y ⎧⎪ + + − = + − ⎨⎪ + = ⎩. x y 2 Câu 4 (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn (O) cố định v| điểm A cố định ở ngo|i đƣờng tròn (O). Từ A kẻ đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng tròn (O) tại B. Một tia Ax thay đổi, nằm trong miền OAB, cắt đƣờng tròn (O) tại hai điểm C, D (C ở giữa A và D). Từ B kẻ BH vuông góc với AO tại H. Chứng minh rằng: a) Tích AC.ADkhông đổi; b) CHOD là tứ giác nội tiếp; c) Phân giác của CHDcố định. 4 2 x x x 2 Ax 3x 7x 3x 6 + + + Câu 5 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để giá trị là một số nguyên. b) Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn a b c 4 + + = . =+ + + +nhận 4 3 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a a b b c c Pa 3 b b 3 c c 3 a = + + + + +. ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 8 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 1. Cho hai biểu thức x x 1 x x 1 2(x 1) Ax x x x x − + + − +và x x 0, x 1 > ≠ . a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm x để A B = . = − + = + +−với B x 1x 1 2. Cho a, b l| hai số thực thỏa mãn 0 a 1, 0 b 1, a b < < < < ≠và 2 2 a b 1 b 1 a − = − − −Tìm gi{ trị của biểu thức 2 2 Q a b 2019 = + + . Câu 2. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đƣờng thẳng 1 3 (d) : y x − = +và Parabol 2020 2020 2 (P) : y 2x =. Biết đƣờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm B và C. Tìm tọa độ điểm A trên trục ho|nh để AB AC − lớn nhất. 2. Tìm tất cả c{c nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình 2 2 xy (y 45) 2xy x 220y 2024 0 − − + + − + = . Câu 3. (2 điểm) 1. Giải phƣơng trình 2 5x 11 6 x 5x 14x 60 0 + − − + − − = . ⎧⎪ − = 2 2 2. Giải hệ phƣơng trình 4x y xy 5 ⎨⎪ − = ⎩. 3 3 64x y 61 Câu 4. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Lấy M l| điểm bất kì trên cạnh AB ( , ) M A M B ≠ ≠, qua A kẻ đƣờng thẳng vuông góc với CM tại H, DH cắt AC tại K. 1. Chứng minh rằng MK song song với BD. 2. Gọi N l| trung điểm của BC, trên tia đối của tia NO lấy điểm E sao cho 22 ON OE= , DE cắt OC tại F. Tính FO FC. 3. Gọi P l| giao điểm của MC và BD, Q l| giao điểm của MD và AC. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của diện tích tứ gi{c CPQD khi M thay đổi trên cạnh AB. Câu 6. (1điểm). Với x, y l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện 9 (2 x)(y 1)4 + − =. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 2 4 3 2 A x 4x 6x 4x 2 y 8y 24y 32y 17 = + + + + + − + − + . ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 9 (Đề thi có một trang) Bài 1 (2,0 điểm ): ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 2 2 2 2 ⎧ + + + = ⎪⎨⎪ − + + = ⎩ x xy y x y 185 (1) Giải hệ phƣơng trình : ( ) 2 2 2 2 x xy y x y 65 (2) ( ) Bài 2. (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng số( )4 M n 1 n 1 4 = + + +chia hết cho một số chính phƣơng kh{c 1 với mọi sốnnguyên dƣơng. b) Tìm tất cả các số tự nhiên nđể phƣơng trình 2 2 x n x n 1 0 − + + =(ẩn sốx) có các nghiệm là số nguyên. Bài 3 (2.0 điểm ): Cho các số dƣơng x y z ; ;thỏa : 1 xyz2 = yz xy xzxy yz xz + + ≥ + + Chứng minh : ( ) ( ) 2 2 2 x y z y x z z (x y + + + Bài 4 (3,0 điểm ): Cho tam giác ABCcân tại A ( A < ° 90 )nội tiếp đƣờng tròn (O).Gọi Dlà một điểm trên cung ABkhông chứa C(Dkhác A B;).Hai dây cung ADvà BCkéo dài tại E.Đƣờng thẳng qua Esong song với CDcắt ABtại F.Vẽ tiếp tuyến FGvới đƣờng tròn (O)( Glà tiếp điểm ) a)Chứng minh : FG FE = b)Từ trung điểm Icủa BCvẽIJ ( ) ⊥ ∈ AC J AC.Gọi Hl| trung điểm của IJ.Chứng minh : AH BJ ⊥ Bài 5 (1,0 điểm ): Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dƣơng c{c học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An , hai ngƣơi bất kì đều bắt bắt tay nhau .An chỉ bắt tay với những ngƣời mình quen .Biết rằng một cặp ( hai ngƣời ) chỉ bắt tay không quá 1 lần và có tổng cộng 420 bắt tay.Hỏi bạn An có bao nhiêu ngƣời quen trong buổi lễ tuyên dƣơng đó ? ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 10 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. (2,0 điểm) ⎛ ⎞ + + + − ⎛ ⎞ Cho biểu thức: x 3 x 2 x 2 x 2 A : 1 = + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − − + − − ⎝ ⎠ x 2 3 x x 5 x 6 x x 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để 1 P 2.Ax = −đạt gi{ trị lớn nhất. Câu 2. (3,0 điểm) a) Giải PT: 2 x 6x 8 3 x 2 + + = + . 2 2 ⎧ + + + = + + ⎪⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ + = ⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠ + + ⎝ ⎠ x y 2x 2y (x 2)(y 2) b) Giải hệ PT: Câu 3. (1,5 điểm) 2 2 x y1 y 2 x 2 Cho tam gi{c ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi M, N lần lƣợt l| trung điểm của AC, AD. Đƣờng thẳng qua B v| song song với AD cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ gi{c NAEB l| hình chữ nhật. b) Chứng minh góc ACE = DCN. Câu 4. (1,5 điểm) a b c 1 = = = a) Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn 2 2 2 b ca c ab a bc 2019 − − − 2 2 x y 85 b) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn Câu 5. (1,0 điểm) += x y 13 + Cho hai đƣờng tròn (O) v| (O') cắt nhau tại M, N. Kẻ d}y MA của đƣờng tròn (O) tiếp xúc với (O') v| d}y MB của đƣờng tròn (O') tiếp xúc với (O). Đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c MAB cắt đƣờng thẳng MN tại P (P kh{c M). CMR: PN = MN. Câu 6. (1,0 điểm) Cho c{c số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. CMR: 2 2 2 a b 1 b c 1 c a 1 2. + + + + + ≥ Dấu "=" xảy ra khi n|o? ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 11 (Đề thi có một trang) Bài 1(2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ⎛ ⎞ + a.Cho các biểu thức:3 1 3 x x x Px x x x x x x = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − + + − +(với x ≥ 0) : 1 1 1 1 Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để15 P ≥ b. Cho phƣơng trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phƣơng ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + = + 1 1x x m4( 2) 2 2 trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn ( ) x x ⎝ ⎠ 1 2 1 2 Bài 2. (2,0 điểm). a. Giải phƣơng trình 2x2 + 3x – 2 = (2x - 1)2 2x 3 + −x ⎧⎪ + = 3 b. Giải hệ phƣơng trình x y y 9 ⎨⎪ + = + ⎩ 2 x y x y 2 4 Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) ( AB < AC). Kẻ đƣờng cao AH ( H∈BC) của tam giác ABC và kẻ đƣờng kính AD của đƣờng tròn (O). a. Gọi M l| trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh OM l| đƣờng trung trực của đoạn thẳng BC. b. Gọi S, T l| c{c giao điểm của đƣờng tròn (O) với đƣờng tròn tâm A bán kính AH; F là giao điểm của ST và BC. Từ A kẻ đƣờng thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng minh 2 FB FC FH .=v| 3 điểm F, E, A thẳng hàng. c. Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đƣờng tròn tâm A bán kính AH. Bài 4 (1,0 điểm)Cho x, y, z là 3 số thực dƣơng thỏa mãn x x z y y z ( − + − = ) ( ) 0. Tìm giá trị 3 3 2 2 x y x y 4 = + + + + nhỏ nhất của biểu thức Px z y z x y 2 2 2 2 + + + Bài 5: (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: p q p +chia hết cho 2 i) 2 ii) 2 p q + pq q +chia hết cho 2 q p − b) Viết lên bảng 2019 số: 1 1 1 1 1; ; ;...; ; 2 3 2018 2019. Từ các số đã viết xo{ đi 2 số bất kì x, y rồi xy viết lên bảng số1 x y + +( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu? ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 12 (Đề thi có một trang) Câu 1. (1,5 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Cho biểu thức 4 9 3 1 2 1 x x x x Ax x x x − − + − − = + − + + + + (với x ≥ 0). 3 2 1 2 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 2. (2,5 điểm) 1. Giải phƣơng trình:x x x x + + − − + − = 1 4 1 4 1 ( )( ) . 2 2. Giải hệ phƣơng trình:( )( ) ⎧⎪ = − + x y y 2 2 ⎨⎪ = + − ⎩. 3 ( )( ) Câu 3. (1,0 điểm) 2 4 x x y xy ⎧⎪ = + ⎨⎪⎩ + = +. 2 Tìm các số nguyên không âm a, b, nthỏa mãn: Câu 4. (3,5 điểm) n a b 3 2 2 2 n a b Cho đƣờng tròn ( ; ) O R , đƣờng kính AB , điểm Mnằm trên đoạn OB(M khác Ovà B). TừMkẻ đƣờng thẳng vuông góc với ABcắt (O)tại hai điểm Cvà E. Gọi Flà hình chiếu của Ctrên AEvà Ilà hình chiếu của Mtrên CF. Đƣờng thẳng AIcắt (O)tại điểm thứ hai H . a) Chứng minh tứ giác CIMHnội tiếp; b) Tiếp tuyến tại Ccủa (O)cắt đƣờng thẳng ABtại D. Gọi (O1 )l| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác CHD(điểm O1l| t}m đƣờng tròn). Chứng minh đƣờng thẳng BDlà tiếp tuyến của (O1 ); c) Gọi O2l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác HMD. Biết 2 R OM =, tính 2 diện tích tam giác OO O1 2theo R . Câu 5. (1,5 điểm) 1. Cho các số thực a, b, cthỏa mãn: a ≤1, b ≤1, c ≤1và abc + + = 0 . Chứng minh:2018 2019 2020 a b c + + ≤ 2. 2. Cho trƣớc p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độOxy, lấy hai điểm 9 B p ;0thuộc trụcOx . Có bao nhiêu tứ giácABCDnội tiếp sao cho các 8 A p ;0và ( ) ( ) điểmC D,thuộc trục Oyv| đều có tung độ là các số nguyên dƣơng. ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 13 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. a) Cho biểu thức ⎛ ⎞ + + − + − 2 x 2 2 x 8 x x x x 1 Ax x 1 x x 1 x 3 = − ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + + +với x 0 ≥ . Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = 6 . b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n, số M 9.3 8.2 2019 4n 4n = − +chia hết cho 20. Câu 2 (1,0 điểm). Cho parabol 2 (P) : y x = −v| đƣờng thẳng (d) : y x m 2 = + −. Tìm tất cả c{c gi{ trị của tham số m để ( ) dcắt ( ) Ptại hai điểm ph}n biệt lần lƣợt có ho|nh độ 1 2 x x,thỏa mãn 2 2 1 2 x x 3 + < . Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phƣơng trình ( ) 2 2 x x 4x 4 x 3 − − = + . 2 2 ⎧⎪ + + + = ⎨⎪ + − + = ⎩ b) Giải hệ phƣơng trình x y 4x 2y 3 2 2 x 7y 4xy 6y 13. Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình bình h|nh ABCD có góc A nhọn. Gọi H, K lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của C lên c{c đƣờng thẳng AB, AD. a) Chứng minh 2 AB.AH AD.AK AC + = . b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lần lƣợt lấy hai điểm M, N (M kh{c B, M kh{c C) sao cho hai tam gi{c ABM v| ACN có diện tích bằng nhau; BD cắt AM v| AN lần lƣợt tại E v| F. Chứng minh BM DN 1 + =và BE DF EF + > . BC DC Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam gi{c nhọn ABC (AB AC) 2 4 ( 0). Đƣờng thẳng vuông góc với ACtại Ccắt c{c đƣờng thẳng ABvà ADlần lƣợt tại Evà F. a) Chứng minh tứ gi{c EBDFnội tiếp. b) Gọi Il| giao điểm của c{c đƣờng thẳng BDvà EF. Tính độ d|i đoạn thẳng IDtheo a. c) Ml| điểm thay đổi trên cạnh AB(M khác A, M khác B), đƣờng thẳng CM cắt đƣờng thẳng AD tại N. Gọi 1 Sl| diện tích của tam gi{c CME và 2 Sl| diện tích của tam S 3.2 S= giác AMN. X{c định vị trí của M sao cho 1 2 Câu 5 (1,5 điểm). Cho abcl| số nguyên tố. Chứng minh rằng phƣơng trình 2 ax bx c + + = 0không có nghiệm hữu tỉ. ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 15 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. + =Tính gi{ trị biểu thức 331 a) Cho số thực xthỏa mãn 1 x 3. x b) Giải phƣơng trình 1 1 1. + = x 1 x 1 + − Câu 2 (2,0 điểm) P x . = + x a) Cho abc , ,l| c{c số thực dƣơng, chứng minh rằng 4. a b a + ≥+ b c a c b) Có 15 bạn học sinh nam v| 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một b|n tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một học sinh m| 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều l| nữ. Câu 3 (2,0 điểm) Với mỗi số thực x,kí hiệu ⎡ ⎤ x⎣ ⎦l| số nguyên lớn nhất không vƣợt qu{ x. ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ví dụ 3 2 1; 2 2 a) Chứng minh rằng x 1 x x x 1 x 1 − < ≤ < + = + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦với mọi x∈ . b) Có bao nhiêu số nguyên dƣơng n 840 ≤thỏa mãn ⎡ ⎤ n ⎣ ⎦l| ƣớc của n? Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại B,đƣờng cao BH H AC ( ∈ ).Gọi (ω)là đƣờng tròn t}m Cbán kính CB.Gọi Fl| một điểm bất kì trên đoạn thẳng BH(Fkhác Bvà H). AFcắt (ω)tại hai điểm D E,(Dnằm giữa Avà E). Gọi Kl| trung điểm DE. a) Chứng minh rằng FKCHl| tứ gi{c nội tiếp. b) Chứng minh rằng AD AE AH AC AF AK . . . ; = = c) Chứng minh rằng đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c BFKtiếp xúc với (ω)tại B. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dƣơng nsao cho 2019 n 1 < 2 2020 n ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦN THƠ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 16 (Đề thi có 02 trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. x 4(x 1) x 4(x 1) 1 − − + + − ⎛ ⎞ Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức x 1,x 2. > ≠ a) Rút gọn biểu thức A. A . 1x 1 x 4(x 1) = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − −, trong đó 2 b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên. Câu 2. (1,0 điểm) Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên đƣợc nhiều công ty mời về làm việc, trong đó có hai công ty A v| B. Để thu hút ngƣời tài, cả hai công ty đƣa ra hình thức trả lƣơng trong thời gian thử việc nhƣ sau: Công ty A: Anh Bình đƣợc nhận 1400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi tháng sẽ đƣợc trả lƣơng 1700USD. Công ty B: Anh Bình đƣợc nhận 2400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi tháng sẽ đƣợc trả lƣơng 1500USD. Em hãy tƣ vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc sao cho tổng số tiền nhận đƣợc là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 th{ng đến 8 tháng. Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng 2 4 ( ) : 2 d y m x m = − + 1 m 2 và ( ) : 2 d y x = + ( ) d 2 2 m +(m là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số m để1 1 ( ) dcắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang ABHK bằng 152. và 2 Biết B( 1;2) − v| hai điểm H, K lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của B và A lên trục hoành. Câu 4. (3,0 điểm) a) Giải phƣơng trình 2 2 2x 3x 2 4x 6x 21 11 + + + + + = . 2 2 ⎧⎪ + + = ⎨⎪ + − = − ⎩. b) Giải hệ phƣơng trình x y xy 1 2 2 x y xy 2y x c) Tìm tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 2 2020(x y ) 2019(2xy 1) 5 + − + = Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có AB < AC, trực t}m H v| đƣờng trung tuyến AM. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AM, D l| điểm đối xứng của A qua M v| L l| điểm đối xứng của K qua BC. a) Chứng minh các tứ giác BCKH và ABLC nội tiếp. b) Chứng minh LAB MAC = . c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AL, X l| giao điểm của AL và BC. Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c IXM v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BHC tiếp xúc với nhau. Câu 6. (1,0 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực bất kỳ và x, y, z là các số thực dƣơng. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c (a b c) + + + + ≥+ + x y z x y z 3 3 3 a 8 b 8 c 8 + + + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn abc = 1. + + + + +, với a, 3 3 3 a (b c) b (c a) c (a b) ---------------- Hết--------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 17 (Đề thi có một trang) Câu 1: (1,5 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. a) Rút gọn biểu thức 3x 9x 3 x 1 x 2 P . + − + − = − − + − + −Tìm x để P 3. = x x 2 x 2 x 1 b) Cho x, y l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện ( )( ) 2 2 x x 1 y y 1 2. + + + + =Tính gi{ trị của biểu thức 2 2 Q x y 1 y x 1. = + + + Câu 2: (2,0 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 1 2 =và đƣờng thẳng (P) : y x 2 1 = +Gọi A(x ; y ), B(x ; y ) A A B B(với A B x x <) là các giao điểm của (P) v| (d), (d): y x 3. 2 C(x ; y ) C Cl| điểm thuộc (P) sao cho A C B x x x . < ≠ 0 1 ,. Rút gọn và tìm giá trị + − + = + − − + nhỏ nhất của biểu thức P b) Cho hai số thực ab,thỏa mãn a ab b + − = 2 2 4 7 0(a b ≠và a b ≠−). Tính giá trị của biểu thức a b a b Qa b a b 2 3 2 − − = + − + c) Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai đƣờng thẳng (d y m x m ): = + − + ( 2 1 )và (d x m y m ' :) + + = + ( 2 2 )trong đó mlà tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đƣờng thẳng nói trên thuộc một đƣờng cố định khi mthay đổi. Bài 3. (1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình x y x y + + + = + 3 1 b) Số tự nhiên n =6 111có tất cả bao nhiêu ƣớc số nguyên dƣơng ph}n biệt? Tính tích của tất cả c{c ƣớc số đó. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đƣờng tròn (O R; )có hai đƣờng kính ABvà CDvuông góc với nhau. Gọi Ml| điểm di động trên đoạn thẳng OB( Mkhác Ovà P). Tia CM cắt đƣờng tròn (O)tại N; DBcắt CNtại P; ANcắt CDtại Q a) Chứng minh PQ AB ∥ b) Chứng minh ΔCAQđồng dạng với ΔAMC, từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi Mdi động trên đoạn thẳng OB 2 c) Chứng minh hệ thức CQ CN ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ AM AN d) X{c định vị trí của điểm Mtrên đoạn thẳng OBđểNQlà tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác CPQ. Tính OMtheo Rtrong trƣờng hợp đó Bài 5. (0,5 điểm)Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô ngƣời ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện qu{ trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lƣợt theo c{c bƣớc sau: Bƣớc 1: Các ô ở dòng thứiđều đƣợc đổi dấu ilần, i =1 2 2019 , ,..., . Bƣớc 2: Các ô ở cột thứjđều đƣợc đổi dấu 3 1 j +lần, j =1 2 2019 , ,..., . Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong qu{ trình đổi dấu trên. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 20 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1: (1,0 điểm) Giải phƣơng trình4 2 x x + − = 20 0 Câu 2: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức ( 2 2 2 1 )( ) a a − − =− −với a a > ≠ 0, 4 . Ta a 2 Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD AB CD ( / / )có CD AD AB = = = 2 2 8. Tính diện tích của hình thang c}n đó. 2 2 ⎧⎪ − + − = ⎨⎪⎩ + + =. x xy x y Câu 4: (1,0 điểm) Giải hệ phƣơng trình Câu 5: (1,0 điểm) Cho hai phƣơng trình 2 5 5 42 2 7 6 42 xy y x x ax b + + = 6 2 0và 2 x bx a + + = 4 3 0với ab,l| c{c số thực. Chứng minh nếu 3 2 2 a b + ≥thì ít nhất một trong hai phƣơng trình đã cho có nghiệm. Câu 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcdsao cho ( ) 2 * abcd k k = ∈và ab cd − =1(c{c chữ số tự nhiên a b c d , , ,có thể giống nhau). Câu 7: (1,0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABCcó BAC = 60và AB AC <. Đƣờng tròn t}m Inội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với AB AC ,lần lƣợt tại Dvà E. Kéo dài BI CI ,lần lƣợt cắt DEtại Fvà G, gọi Ml| trung điểm BC. Chứng minh tam gi{c MFGđều. Câu 8: (2,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại Anội tiếp đƣờng tròn (O)có tâm O . a)(1,0 điểm) Trên cung nhỏ ABcủa đƣờng tròn (O)lấy điểm D(khác AB,). Gọi K l| giao điểm thứ hai của đƣờng tròn t}m Abán kính ACvới đƣờng thẳng BD. Chứng minh ADl| đƣờng trung trực của CK . b)(1,0 điểm) Lấy Pl| điểm bất kỳ trên đoạn OC(khác OC,). Gọi E F,lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của Ptrên ABv| AC. Gọi Ql| điểm đối xứng của Pqua đƣờng thẳng EF. Chứng minh Qthuộc đƣờng tròn (O). Câu 9: (1,0 điểm) 3 Chứng minh ( ) ( )( ) x y z xyz x y z xy yz zx + + + ≥ + + + + 9 4với x y z , ,l| c{c số thực không }m. Đẳng thức xảy ra khi n|o? ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 21 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1 (5,0 điểm). 1.Tính gi{ trị biểu thức ( ) 3 3 A = x y 3 x + − + y, biết rằng 3 3 x 3 2 2 3 2 2 = + + −; 3 3 y 17 12 2 17 12 2 = + + − 2. Cho hai số thức mn,khác 0 thỏa mãn 1 1 1 + = m n 2 Chứng minh rằng phƣơng trình ( )( ) 2 2 x mx n x nx m 0 + + + + =luôn có nghiệm 2 ⎧⎪ + + = Bài 2. (5,0 điểm) 1. Giải hệ phƣơng trình x xy y 1 ⎨⎪ − + = ⎩ x y 4x 5 3 2. Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2 2 2 2xy x y 1 x 2y xy + + + = + + Bài 3 (3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm m| diện tích của mọi tam gi{c với c{c đỉnh l| các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số c{c điểm đã cho có thể tìm đƣợc 2019điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam gi{c có diện tích không lớn hơn 1. 2. Cho abc , ,l| c{c số thực không }m thỏa mãnabc + + = 3. Chứng minh rằng 3 3 3 a b 1 b c 1 c a 1 5 + + + + + ≤ Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác ABCvuông c}n tạiA. Gọi Dl| trung điểm của cạnhBC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD(Mkhông trùng vớiA). Gọi N P,theo thứ tự l| hình chiếu vuông góc của Mtrên c{c cạnh AB AC ,và Hl| hình chiếu vuông góc của Nlên đƣờng thẳng PD. a) Chứng minh rằng AHvuông góc với BH b) Đƣờng thẳng qua Bsong song với ADcắt đƣờng trung trực của ABtạiI . Chứng minh ba điểm H N I , ,thẳng h|ng. 2. Cho tam gi{c nhọn ABCnội tiếp đƣờng tròn (O),đƣờng cao AH.Gọi Mlà giao điểm của AOvàBC. Chứng minh rằng HB MB AB 2 + ≥. Dấu đẳng thức xảy ra khi HC MC AC nào? ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƢỚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 22 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. (2,0 đ) Cho biểu thức x x 3 x 3 2 x 3 ( ) Ax 2 x 3 x 1 3 x − − + = − + − − + − a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A khi x 4 2 3 = − Câu 2. (1,0 đ) Cho phƣơng trình ( ) ( ) 2 x m 2 x 3m 3 0 1 − + + − =với mlà tham số. Tìm các giá trị của mđể phƣơng trình 1có hai nghiệm dƣơng ph}n biệt 1 2 x x,sao cho 1 2 x x,l| độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5 Câu 3. (2,0 đ) a. Giải phƣơng trình 2 2 x 4 x 2 3x 4 x + − = + − 3 2 2 ⎧⎪ + − = − − ⎨⎪ − + = ⎩ b. Giải hệ phƣơng trình 2x 2x y xy y x y 3 2 2x xy x 4 Câu 4. ( 3,0 đ). Cho đƣờng tròn O R;v| đƣờng tròn O R'; 'cắt nhau tại hai điểm phân biệt AvàB . Trên tia đối của tiaABlấy điểm C. Kẻ tiếp tuyến CD CE ,với đƣờng tròn O R;, trong đó DE,là các tiếp điểm và E nằm trong đƣờng tròn O R'; '. Đƣờng thẳng AD AE ,cắt đƣờng tròn O R'; 'lần lƣợt tại Mvà N(M ,Nkhác A). Tia DEcắt MNtại I . Chứng minh rằng: a. Tứ giácBEINnội tiếp b. MIB AEB c. O I MN ' Câu 5. ( 1,0 đ) a. Giải phƣơng trình nghiệm nguyên 2 2 4y 2 199 x 2x = + − − b. Tìm tất cả các cặp số nguyên tốpq,sao cho 2 2 p 2q 41 − = Câu 6 (1,0 đ) a. Cho xy,là các số thực dƣơng thỏa mãn xy 1 ≤chứng minh rằng: 1 1 2 + ≤ 1 x 1 y 1 xy + + + b. Cho xy,là các số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện ( )3 x y 4xy 12 + + ≤ Tìm GTLN của 1 1 P 2018xy = + + 1 x 1 y + + ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 23 (Đề thi có 02 trang) Câu 1. (2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 4 3 2 x 2x 3x 38x 5 A a) Tính gi{ trị của biểu thức = − + − + 2 x 4x 5 − + khi x 2 3 = + . y x =và y m 1 x 1 = − − ( )(với ml| tham số) có đồ thị lần lƣợt l| b) Cho hai h|m số 2 Pvà d. Tìm mđể Pcắt dtại hai điểm ph}n biệt A x ; y ( 1 1 ) , B x ; y ( 2 2 )sao cho ( ) 1 2 1 2 y y 18 x x − = − . 3 3 3 3 Câu 2. (2,5 điểm) 2 ⎧⎪ + + = + a) Giải hệ phƣơng trình y 2xy 4 2x 5y ⎨⎪ + − = + ⎩. 2 4 5x 7y 18 x 4 b) Cho c{c số thực không }m x,y,zthỏa mãn x y z 3 + + =. Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức M x 6x 25 y 6y 25 z 6z 25 2 2 2 = − + + − + + − + . Câu 3. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên dƣơng x y;thỏa mãn ( )( ) 2 2 xy x y x y 1 30 + + + + = . b) Cho nl| số nguyên dƣơng thỏa mãn 2 12 1 nl| số nguyên. Chứng minh rằng 2 2 12 1 2 nl| số chính phƣơng. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, AB AC . C{c đƣờng cao AD BE CF , ,của tam giác ABCcắt nhau tại điểm H. Gọi Ol| đƣờng tròn ngoại tiếp tứ gi{c DHEC , trên cung nhỏ ECcủa đƣờng tròn Olấy điểm I(kh{c điểm E) sao cho IC IE . Đƣờng thẳng DIcắt đƣờng thẳng CEtại điểmN, đƣờng thẳng EFcắt đƣờng thẳng CItại điểm M . a) Chứng minh rằng NI ND NE NC . . . b) Chứng minh rằng đƣờng thẳngMNvuông góc với đƣờng thẳngCH . Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 c) Đƣờng thẳng HMcắt đƣờng trònOtại điểm K(khác điểm H), đƣờng thẳng KNcắt đƣờng tròn Otại điểmG(kh{c điểm K), đƣờng thẳng MNcắt đƣờng thẳng BCtại điểmT. Chứng minh rằng ba điểm H T G , ,thẳng h|ng. Câu 5. (1,0 điểm) Cho 2020c{i kẹo v|o 1010chiếc hộp sao cho không có hộp n|o chứa nhiều hơn 1010c{i kẹo v| mỗi hộp chứa ít nhất 1c{i kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp m| tổng số kẹo trong c{c hộp đó bằng 1010cái. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƢƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 24 (Đề thi có 02 trang) Câu 1: (3 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 2 2 3 a) Giải phƣơng trình: ( )( ( ) ) 1 3 2 3 2 1 9 3 x x x x + + − + − + = b) Cho parabol ( ) ( ) 2 P y ax a : 2 0 = >v| đƣờng thẳng 2 d y x a : 4 2 = −. Tìm ađểdcắt (P)tại hai điểm phân biệt M N,có ho|nh độ, M N x xsao cho 8 1 Kx x x x = + +đạt 2 M N M N giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (1,5 điểm) b a = 3 , a b c abc + + =. Chứng minh Giả sử ba số thựcabc , ,thỏa mãn điều kiệna > 0 , 2 rằng: 1 2 3 a+ ≥ . 3 Câu 3: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức:( )2018 5 4 3 P x x x x = + − + − + 4 4 5 5 2 2019tại x− 1 2 1 =+. 2 2 1 b) Tìm tất cả các số nguyên xcho 231 x x − +là một số nguyên. Câu 4: (3,5 điểm) Cho điểm Mthuộc nữa đƣờng tròn (O)đƣờng kínhAB (M A M B MA MB ≠ ≠ < , , ). Tia phân giác của góc AMBcắt ABtại C. Qua Cvẽ đƣờng thẳng vuông góc với ABcắt c{c đƣờng thẳng AM BM ,theo thứ tự tại D H, . a) Chứng minh rằng: CA CH = . b) Gọi Elà hình chiếu vuông góc của Htrên tiếp tuyến tại Acủa (O F ),là hình chiếu vuông góc của Dtrên tiếp tại Bcủa. Chứng minh rằng: E M F , ,thẳng hàng. c) Gọi1 2 S S,theo thứ tự là diện tích của các từ giácACHEvà BCDF. Chứng minh rằng: 2 CM S S < ⋅ 1 2. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠN LA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 25 (Đề thi có 02 trang) Câu 1 (2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + a) Rút gọn biểu thức: 3 2 2 1 : x x x x Ax x x x x = − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − − − + 1 2 3 5 6 3 b) Tính gi{ trị biểu thức 2 2019 B x x = + − ( 4 2) tại ( ) ( 3 1) 10 6 3 − + x = 21 4 5 3 + + Câu 2 (2,0 điểm) Cho phƣơng trình 2 x mx m − + − =1 0 a) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm dƣơng ph}n biệt b) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn biểu thức x x Ax x x x 4 6 1 2 + =+ + +đạt gi{ trị nhỏ nhất 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 Câu 3 (1,0 điểm) Giải phƣơng trình: 2 2 x x x x − + + = + 3 5 3 7 Câu 4 (3,0 điểm) Từ một điểm I nằm ngo|i đƣờng tròn t}m O kẻ hai tiếp tuyến IA v| IB đến đƣờng tròn (A, B l| c{c tiếp điểm). Tia Ix nằm giữa hai tia IA v| IB, Ix không đi qua O v| cắt đƣờng tròn (O) tại C v| E (E nằm giữa C v| I), đoạn IO cắt AB tại M. Chứng minh: a) Tứ gi{c OMEC nội tiếp b) AMC AME = 2 MB IE c) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = MC IC ⎝ ⎠ Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng 1 362 121 2 2 2 + ≥ a b c ab bc ca + + + + Câu 6 (1,0 điểm) Trong c{c tam gi{c có cạnh đ{y bằng a, chiều cao tƣơng ứng l| h (a, h cho trƣớc, không đổi). Hãy tìm tam gi{c có b{n kính đƣờng tròn nội tiếp lớn nhất. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 31 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 26 (Đề thi có một trang) Bài 1: (3,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 1. Cho 3 3 x = + + − − 2 2 3 2 2 3 1. Tính gi{ trị biểu thức ( )3 3 2 P x x x = + + 3 9 2. Giải phƣơng trình: 2 x x x + + = + 6 5 7 ⎧⎪ − − + + − = − ⎨⎪⎩ + = 3 1 1 3 1 3 x y y x y x y 3. Giải hệ phƣơng trình: ( ) x y 2 2 5 Bài 2: (3,0 điểm) y x = 2, c{c đƣờng thẳng (d1): 14 1. Cho parabol (P): 2 y x = −. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d2), biết d2 vuông góc với d1 và d2 cắt (P) tại hai điểm ph}n biệt A, B sao cho 5 17 AB OI = , với I l| trung điểm của đoạn AB. 2. Cho phƣơng trình 2 x x m + + − = 5 4 9 0(1), với m l| tham số. Tìm gi{ trị của m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 x x x x − − + = 1 8 1 5 2 3 3 x x y xy x y x y xy + + + − = + + 6 2 4. Tìm 3. Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ⎛ ⎞ gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 11 x y Ty x = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 Bài 3: (1,0 điểm) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên ( x y; )thỏa mãn 2 5 1 2 65 x − 1 2 ( )( ) x y y x x + + + + + = Bài 4: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB. Trên cùng mặt phẳng bờ AB, vẽ c{c tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên (O), lấy điểm C (CA < CB) v| trên đoạn thẳng OA lấy điểm D (D kh{c O, A). Đƣờng thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lƣợt tại E, F. AC cắt DE tại G, BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I. 1. Chứng minh hai tam gi{c AGE, FHC đồng dạng v| I l| trung điểm của GH. 2. Gọi J, K lần lƣợt l| trung điểm của DE, DF. Chứng minh I, J, K thẳng h|ng. 3. Gọi M l| giao điểm của JO v| DK. Chứng minh tam gi{c JOK vuông v| ba đƣờng thẳng DE, IM, KO đồng quy. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 32 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 27 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1. (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độOxy, cho (P) 2 y x =v| đƣờng thẳng (d) y 2mx 2m 3 = + + a/ Chứng minh đƣờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/ Gọi 1 2 y ,ylần lƣợt l| tung độ c{c giao điểm của đƣờng thẳng (d) và (P). Tìm tất cả các giá trịmđể1 2 y y 5 + ≤ . Bài 2. (2điểm) a/ Cho 0 1 2 2019 A 2 2 2 ... 2 = + + + +và 2020 B 2 =. Chứng minh rằng: A,Blà hai số tự nhiên liên tiếp. 2 2 2x 3x 10 x 2x 4 3 − + − + b/ Giải phƣơng trình: = x 2 x 2 + + Bài 3. (3 điểm) Cho hai đƣờng tròn (O)và (O )′không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt Avà B. Các tiếp tuyến tại Acủa (O)và (O )′cắt (O )′và (O)lần lƣợt tại C và D. Trên đƣờng thẳng ABlấy Msao cho Bl| trung điểm đoạn AM . a/ chứng minh hai tam giác ABDvà CBAđồng dạng b/ Chứng minh MB BD.BC 2= c/ Chứng minh ADMClà tứ giác nội tiếp Bài 4. (2 điểm) 2 2 1 a/ Chứng minh rằng với mọi số thực a,bluôn có: ( )2 a b a b + ≥ +và 2 1 2 ( ) ab a b ≤ + 4 b/ Cho x,y,zlà các số thực dƣơng thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 5 x y z 9x y z 18yz 0 + + − + − = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2x y z Qy z − − =+ Bài 5. (1 điểm) Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97 công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 33 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 28 (Đề thi có một trang) Câu 1: (1,0 điểm). ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Cho abc , ,là ba số thực thỏa điều kiện abc + + =1. Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) 3 3 3 A a b c ab c c = + + − + − 3 1 . Câu 2: (2,5 điểm). a) Giải phƣơng trình: 5 1 7 3 4 x x x − − + = − . b) Giải hệ phƣơng trình: ( ) ⎧⎪ + − = 2 4 x y xy ⎨⎪ + − = − ⎩. ( ) Câu 3: (1,5 điểm). xy x y 4 2 Đƣờng tròn nội tiếp tam giácABCtiếp xúc với các cạnh BC , CA, ABlần lƣợt tại M , N , P. Gọi Klà hình chiếu vuông góc của Mlên NP . Chứng minh: KMlà tia phân giác BKC . Câu 4: (2,0 điểm). Cho x y z , ,là các số thực thuộc đoạn [0;2]thỏa mãn điều kiện x y z + + = 3. a) Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z + + < 6 . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 P x y z xyz = + + −3 . Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam gi{c đều ABC. Gọi M , Nl| hai điểm nằm trên cạnh BCsao cho MAN = ° 30(Mnằm giữa Bvà N). Gọi Kl| giao điểm của hai đƣờng tròn ( ABN)và ( ACM ). Chứng minh rằng: a) Hai điểm Kvà Cđối xứng với nhau qua AN . b) Đƣờng thẳng AKđi qua t}m đƣờng tròn ( AMN). Câu 6: (1,0 điểm). Cho mn,là hai số nguyên. Chứng minh rằng: nếu ( )2 7 2 m n mn + +chia hết cho 225thì mncũng chia hết cho 225 . ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠC LƢU ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 29 (Đề thi có 02 trang) Câu 1: ( 4 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. a) Chứng minh rằng số có dạng 6 4 3 2 A n n 2n 2n = − + +không phải là số chính phƣơng, trong đó n N,n 1 ∈ > . b) Rút gọn biểu thức: B 13 4 3 7 4 3 8 20 2 43 24 3 = − + − + + ( )( ) . Câu 2: ( 4,0 điểm) a) Một ngƣời mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng b{n ra đƣợc tính nhƣ sau: Ngày thứ nhất b{n đƣợc 8 trứng và 18số trứng còn lại. Ngày thứ hai b{n đƣợc 16 trứng và 18số trứng còn lại. Ngày thứ ba b{n đƣợc 24 trứng và 18số trứng còn lại. Cứ nhƣ vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng b{n đƣợc mỗi ng|y đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng ngƣời đó b{n đƣợc là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? ⎧⎪ + + + = ⎨⎪ + + − = ⎩. b) Giải hệ phƣơng trình: 7x y 2x y 5 2x y x y 2 Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Cho phƣơng trình ( ) 2 2018x m 2019 x 2020 0 − − − =( m là tham số). Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm 1 2 x x,thỏa mãn: 2 2 1 1 1 2 x 2019 x x 2019 x + − = + + . b) Giải phƣơng trình: ( ) 2 3 2 x 2 5 x 1 + = + . Câu 4: ( 4,0 điểm) Cho ΔABCkhông cân, biết ΔABCngoại tiếp đƣờng tròn (I ). Gọi D, E, F lần lƣợt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đƣờng tròn (I ). Gọi M l| giao điểm của đƣờng thẳng EF v| đƣờng thẳng BC, biết AD cắt đƣờng tròn (I )tại điểm N (N D≠ ), gọi K l| giao điểm của AI và EF. a) Chứng minh rằng AK.AI = AN.AD v| c{c điểm I, D, N, K cùng thuộc một đƣờng tròn. b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đƣờng tròn (I ) . Câu 5: ( 4,0 điểm) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Cho đƣờng tròn (O R; )v| hai điểm B, C cố định sao cho góc 0 BOC =120. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ΔABCnhọn. Gọi E l| điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. C{c đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ΔACFcắt nhau tại K (K A ≠ ). Gọi H l| giao điểm của BE và CF. a) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKCvà tứ giác BHCK nội tiếp. b) X{c định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác BHCK theo R. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 30 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. a) Rút gọn biểu thức: 2 A = + + − ++. 4 2 3 6 2 55 3 36πcm b) Tính thể tích của hình cầu, biết diện tích mặt cầu l| 2 Câu 2 (2,0 điểm). a) Cho Parabol ( )2 P y x : =v| đƣờng thẳng (d y x m ): 2 2 = + − , ml| tham số. Tìm mđể (d )cắt (P)tại hai điểm ph}n biệt. b) Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2 2 x y xy x y − + − − + = 3 2 2 10 4 0. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phƣơng trình: x x x x − + − − = − − 1 5 2 2 1 5 ( )( ) . 2 2 ⎧ + + + = + ⎪⎨⎪ + + + + + = + ⎩ x y x y y 2 4 2 b) Giải hệ phƣơng trình ( )( ) ( ) 2 2 x y y x y y 2 2 4 2 ( )( ) ( ) Câu 4 (3,0 điểm). Cho đƣờng tròn (O R; ), DCl| một d}y cố định không đi qua O. Gọi Sl| điểm di động trên tia đối của DC(Skhông trùng D). Qua Skẻ hai tiếp tuyến SA, SBvới đƣờng tròn (O R; ), (AB,l|hai tiếp điểm). Gọi Il| trung điểm của DC . a) Chứng minh 5 điểm S A B I O , , , ,cùng thuộc một đƣờng tròn. b) Gọi Hl| giao điểm của SOvà AB. Chứng minh DHC DOC = . c) Chứng minh đƣờng thẳng ABluôn đi qua một điểm cố định khi Sdi động. Câu 5 (1,0 điểm). Cho c{c số thực dƣơng x y z , ,thỏa mãn: xy yz zx ++= 5. Tính gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 3 x y z + + . ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠC LƢU ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 31 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1. (2,0 điểm): Tính gi{ trị của biểu thức T 2 3 1 3 2 1 13 4 3 19 6 2 = + − − + ( )( ) Bài 2. (1,5 điểm): Cho h|m số 2 y 2x =có đồ thị l| (P) v| h|m số y 6x m 4 = + + có đồ thị l| (d).Tìm m để (P) v| (d) tiếp xúc nhau Bài 3. (1,5 điểm): Tính số đo góc nhọn αbiết 2 2 10sin 6cos 8 α + α = Bài 4. (1,5 điểm): Biết rằng 111...1 5555...5 l| tích của hai số lẻ liên tiếp. Tính tổng hai số lẻ 2018ch÷ s«12018ch÷ s« 5 đó Bài 5. (1,5 điểm): Cho tam giác ABC có 0 C B 90 − =v| AH l| đƣờng cao của tam gi{c. Chứng minh rằng 2 AH BH.CH = ⎧ + = x y 4 Bài 6. ( 2 ,0điểm ): Giải hệ phƣơng trình 3 3 2 2 ⎨⎩ + = + − x y 4x 4y 12 Bài 7. ( 1,5điểm ): Cho đƣờng tròn (O;R).Hai dây ABvà CDsong song với nhau sao cho t}m O nằm trong dải song song tạo với ABvà CD. Biết khoảng c{ch giữa hai d}y đó bằng 11cmvà AB 10 3cm;CD 16cm = =. Tính R Bài 8. ( 1,5điểm ): Cho c{c số a,b,c,x, y,zđều kh{c 0 v| thõa mãn c{c đều kiện 2 2 2 + + =và a b c 0 x y z 1 x y z 1 a b c + + =. Chứng minh rằng x y z + + = 2 2 2 a b c Bài 9. ( 1,5điểm ): Cho tam giác ABCc}n tại A 0 (A 90 ) <, đƣờng vuông góc với ABtại Acắt đƣờng thẳng BCtại D.Dựng DE vuông góc với AC(E AC) ∈. Gọi H l| trung điểm BC.Chứng minh rằng AH HE = Bài 10.( 2,0 điểm): Cho phƣơng trình 2 x 2(a b)x 4ab 0 + + + =( xl| ẩn số;a,bl| tham số). Tìm điều kiện của a v| b để phƣơng trình đã cho có hai nghiệm ph}n biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dƣơng Bài 11.( 1,5 điểm ) : Cho a,b,cl| ba số thực thõa điều kiện a b c 10 + + =.Tính gi{ trị nhỏ nhất của M a b c 2 2 2 = + + Bài 12. ( 2,0 điểm): Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính BC. Điểm Athuộc đƣờng tròn (O). Kẻ AH BC(H BC) ⊥ ∈. Gọi I,Ktheo thứ tự l| t}m đƣờng tròn nội tiếp của các tam giác AHB,AHC. Đƣờng thẳng IKcắt AB,AClần lƣợt tại M, N a. Chứng minh tam gi{c AMNvuông cân 1 S S ≤ b. Chứng minh AMN ABC 2 ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀ RỊA VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 32 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (3 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. a. Rút gọn biểu thức 1 1 1 x x Ax x x xvới x 0, x1 212 2 940 b. Giải phƣơng trình 2 xx x 3 2 c. Giải hệ phƣơng trình Câu 2( 2 điểm) 2 2 x y 2 1 3 3 2 2 x y y x a. Cho các số thực a,b thỏa mãn a b 2. Chứng minh phƣơng trình 2 ax 2 2 0 bx aluôn có nghiệm. b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dƣơng (m;n) thỏa mãn phƣơng trình 2m.m2 = 9n2 -12n +19. Câu 3: (1 điểm) Cho các số thực dƣơng a,b,c thỏa mãn 1 1 1 3 abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 Pa ab b b bc c c ca a 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 Câu 4 (3 điểm) Cho đƣờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC với AB< AC. Gọi I là trung điểm của BC. Đƣờng thẳng AI cắt đƣờng tròn (O) tại J kh{c A. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IBJ cắt đƣờng thẳng AB tại M kh{c B v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ICJ cắt đƣờng thẳng AC tại N khác C. a. Chứng minh rằng BJM CJNv| ba điểm M,I,N thẳng hàng. b. Chứng minh JA là tia phân giác của góc BJNvà OA vuông góc với MN. c. Tia phân giác của góc BACcắt MN tại E. Tia phân giác của các góc BMEvà CNE lần lƣợt cắt BE,CE tại P,Q. Chứng minh PB.QE=PE.QC. Bài 5 (1 điểm) Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm bất kì trong ba điểm đã cho ta nối một đoạn thẳng v| trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên dƣơn (c{c số ghi trên c{c đoạn thẳng là các số nguyên dƣơng khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có cạnh l| c{c đoạn thẳng đã nối mà tổng các số ghi trên ba cạnh của tam gi{c đó chia hết cho 3. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 33 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 : (2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 3 5 . 3 5 P 1. Không dùng m{y tính cầm tay, hãy tính gi{ trị biểu thức 2. Rút gọn rồi tính gi{ trị của biểu thức 2 3 2 10 2 x x Qxtại x 2020 2 2019 2 Câu 2 : (2,5 điểm) 2 P y x :2 d y x m : 2 1 1.Cho parapol v| đƣờng thẳng , m l| tham số. Tìm m để y y đƣờng thẳng dcắt parapol Ptại hai điểm ; , ; A x y B x y A A B Bsao cho 38 x x. A B 2 2 x y 2. Giải hệ phƣơng trình 6 0 2 5 B A 2 ( ) 2 I Câu 3 : (2,5 điểm) x yx y 1 3 0 Cho đƣờng tròn O R;có đƣờng kính AB cố định v| đƣờng kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d l| tiếp tuyến tại A của O R;. Các đƣờng thẳng BC và BD cắt d tƣơng ứng tại E và F 1. Chứng minh rằng CDFE l| tứ gi{c nội tiếp. 2. Gọi M l| trung điểm của EF và K l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tứ gi{c CDEF. Chứng minh rằng tứ gi{c KMBO là hình bình hành. 3. Gọi H l| trực t}m tam gi{c DEF, chứng minh H luôn chạy trên một đƣờng tròn cố định. Câu 4 : (2,0 điểm) 1. Cho số thực x thỏa mãn 1 1 x. Chứng minh rằng 2 1 1 2 x x x . 2. Cho tập hợp A gồm 41 phần tử l| c{c số nghuên kh{c nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết c{c số 401 v| 402 thuộc tập A. Tìm tất cả c{c phần tử của tập hợp A. Câu 5 : (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB a BC a 2 , 2. Lấy đoạn AB l|m đƣờng kính, dựng về phía ngo|i hình chữ nhật nửa đƣờng tròn. Điểm M thuộc nữa đƣờng tròn đó. C{c đƣờng thẳng MD, MC 2 2 AL BN cắt AB lần lƣợt tại N, L. Chứng minh 21 AB. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 34 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 26 5 2 26 5 3 30 xx x ++ + = + a, Giải phƣơng trình2 x 2 + 30 2 2 ⎧⎪ + = ⎨⎪⎩ + + + = b, Giải hệ phƣơng trình x y 2 2 ( 2 )(2 3 4 ) 27 x y y xy Bài 2 a, Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 2 2 ( 1)( ) 3 1 x x y xy x − + + = − b, Với x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 v| xy+2 ≥ 2y, tìm gi{ trị nhỏ nhất của 2 biểu thức x My+ =+ 2 4 1 Bài 3 Cho hình vuông ABCD, đƣờng tròn (O) nội tiếp hình vuông tiếp xúc với các cạnh AB, AD tại hai điểm E,F. Gọi G l| giao điểm c{c đƣờng thẳng CE và BF. a, Chứng minh rằng năm điểm A,F,O,G,E cùng nằm trên một đƣờng tròn b, Gọi giao điểm của đƣờng thẳng FB v| đƣờng tròn l| M(M≠F). CMR M l| trung điểm của đoạn thẳng BG. c, CMR trực tâm của tam giác GAF nằm trên đƣờng tròn (O) Bài 4 Cho x, y, z là các số thực dƣơng thỏa mãn xy + yz + xz =1. Chứng minh: 1 1 1 2 ( ) x y z 3 + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 + + + + + + x y z x y z ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 35 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 2 2 ⎧ + + = ⎪⎨+ + + = ⎪⎩ 3 4 8. x y xy a. Giải hệ phương trình: ( )( ) 2 x y x xy 2 2 8 27 27 2 + + + x x x = b. Giải phương trình:( ) Câu 2. 2 5 2 5 2 + − + + − 2 x x x a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có 777 7 7 7 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 27 5 10 10 27 5 5 10 27 n n n + + + + + + + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) chia hết cho 42 . b. Với x y,là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 4 4 17 5 5 1 x y xy x y + + + + ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :2 2 P x y xy = + + 17 17 16 . Câu 3. Cho tam giác ABCcân tại A, có đường tròn nội tiếp (I ). Các điểm E F, theo thứ tự thuộc các cạnh CA AB , (Ekhác Cvà A; Fkhác Bvà A) sao cho EFtiếp xúc với đường tròn (I )tại điểm P. Gọi K L, lần lượt là hình chiếu vuông góc của E F, trên BC. Giả sửFKcắt ELtại điểm J. Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Jtrên BC . a. Chứng minh rằng HJlà phân giác của góc EHF . b. Kí hiệu 1 2 S S,lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJLvà CEJK. Chứng minh S BF 2 rằng 1 = . S CE 2 2 c. Gọi Dlà trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm P J D , , thẳng hàng. Câu 4. Cho Mlà tập tất cả4039số nguyên liên tiếp từ −2019đến 2019. Chứng minh rằng trong 2021số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng 0 . ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 36 (Đề thi có một trang) Bài 1. (2,0 điểm) Rút gọn ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 2. (2,0 điểm) ( √ √ ) ( √ √ ) Phƣơng trình (√ √ ) √ có c{c nghiệm đều l| nghiệm của phƣơng trình . Tìm v| giải phƣơng trình ứng với vừa tìm đƣợc. Bài 3. (2,0 điểm Cho h|m số có đồ thị . a) X{c định hệ số biết đồ thị đi qua điểm (√ √ ) Vẽ đồ thị h|m số ứng với vừa tìm đƣợc. b) Với gi{ trị vừa tìm ở trên, cho biết điểm thuộc đồ thị . Hỏi điểm có thuộc đồ thị đƣợc hay không? Tìm điểm đó nếu có ( l| hai số kh{c 0). Bài 4. (1,0 điểm) Cho l| hai số thỏa mãn . Hãy tính Bài 5. (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật , hai điểm thuộc hai cạnh v| sao cho tam gi{c đều v| có cạnh . Biết đƣờng chéo đi qua trung điểm của đoạn . Đƣờng thẳng qua song song với cắt tại . a) Tính diện tích hình chữ nhật . b) Chứng minh rằng tứ gi{c nội tiếp. Bài 6. (1,0 điểm) Một chiếc bút chì có dạng hình trụ có đƣờng kính đ{y v| chiều cao bằng . Th}n bút chì đƣợc l|m bằng gỗ, phần lõi đƣợc l|m bằng than chì. Phần lõi có dạng hình trụ có chiều cao bằng chiều d|i bút v| đ{y l| hình tròn có b{n kính . Tính thể tích phần lõi v| phần gỗ của bút chì. ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 37 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ⎛ ⎞ + 2 a 13 ⎜ ⎟ + 3 Câu 1. a) Cho alà số thực khác 1và −1. Rút gọn biểu thức a a a Pa a a 1 1 2 ⎝ ⎠ − + = ÷ − . 2 3 ⎛ ⎞ − − − 1 1 1 ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + 3 a 1 b) Cho các số thực x y a , ,thoản mãn 2 4 2 2 4 2 3 3 x x y y y x a + + + = . Chứng minh rằng 3 3 2 2 2 3 x y a + = . Câu 2. Trên quãng đƣờng dài 20km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từAđến Bvà bạn Bình đi bộ từBđến A. Sau 2giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại Cvà cùng nghỉ lại 15phút (vận tốc của An trên quãng đƣờng ACkhông thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đƣờng BCkhông thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến Bvới vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên qu{ng đƣờng AClà 1km/h, Bình đi tiếp đến Avới vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đƣờng BClà 1km/h. Biết rằng An đến Bsớm hơn so với Bình đến Alà 48phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đƣờng AClà bao nhiêu? Câu 3. Cho các đa thức ( )2 P x x ax b = + + , ( )2 Q x x cx d = + +với a b c d , , ,là các số thực.. a) Tìm tất cả các giá trị của a b,để1và alà nghiệm của phƣơng trình P x( ) = 0 . b) Giả sử phƣơng trình P x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x ,v| phƣơng trình Q x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 3 4 x x ,sao cho P x P x Q x Q x ( 3 4 1 2 ) + = + ( ) ( ) ( ). Chứng minh rằng 1 2 3 4 x x x x − = − . Câu 4. Cho đƣờng tròn (O), bán kính R, ngoại tiếp tam giác ABCcó ba góc nhọn. Gọi AA1, BB1, CC1l| c{c đƣờng cao của tam giác ABC(A1thuộc BC , B1thuộc CA, C1thuộc AB). Đƣờng thẳng AC1 1cắt đƣờng tròn (O)tại A'và C'(A1nằm giữa A'và C1). Các tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) tại A'và C'cắt nhau tại B' . a) Gọi Hlà trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 HC AC AC HB . . = . b) Chứng minh rằng ba điểm B B O , ',thẳng hàng. c) Khi tam giác ABCl| tam gi{c đều, hãy tính AC' 'theo R . Câu 5. Cho các số thực x y ,thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( )2 2 P xy x y x y x y = − + + + − + + 2 6 13 4 26 24 46 . ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 38 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 2 ⎛ ⎞ + a 13 ⎜ ⎟ + 3 Câu 1. a) Cho alà số thực khác 1và −1. Rút gọn biểu thức a a a Pa a a 1 1 2 ⎝ ⎠ − + = ÷ − . 2 3 ⎛ ⎞ − − − 1 1 1 ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + 3 a 1 b) Cho các số thực x y a , ,thoản mãn 2 4 2 2 4 2 3 3 x x y y y x a + + + = . Chứng minh rằng 3 3 2 2 2 3 x y a + = . Câu 2. Trên quãng đƣờng dài 20km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từAđến Bvà bạn Bình đi bộ từBđến A. Sau 2giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại Cvà cùng nghỉ lại 15phút (vận tốc của An trên quãng đƣờng ACkhông thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đƣờng BCkhông thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến Bvới vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên qu{ng đƣờng AClà 1km/h, Bình đi tiếp đến Avới vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đƣờng BClà 1km/h. Biết rằng An đến Bsớm hơn so với Bình đến Alà 48phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đƣờng AClà bao nhiêu? Câu 3. Cho c{c đa thức ( )2 P x x ax b = + + , ( )2 Q x x cx d = + +với a b c d , , ,là các số thực.. a) Tìm tất cả các giá trị của a b,để1và alà nghiệm của phƣơng trình P x( ) = 0 . b) Giả sử phƣơng trình P x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x ,v| phƣơng trình Q x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 3 4 x x ,sao cho P x P x Q x Q x ( 3 4 1 2 ) + = + ( ) ( ) ( ). Chứng minh rằng 1 2 3 4 x x x x − = − . Câu 4. Cho đƣờng tròn (O), bán kính R, ngoại tiếp tam giác ABCcó ba góc nhọn. Gọi AA1, BB1, CC1l| c{c đƣờng cao của tam giác ABC(A1thuộc BC , B1thuộc CA, C1thuộc AB). Đƣờng thẳng AC1 1cắt đƣờng tròn (O)tại A'và C'(A1nằm giữa A'và C1). Các tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) tại A'và C'cắt nhau tại B' . a) Gọi Hlà trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 HC AC AC HB . . = . b) Chứng minh rằng ba điểm B B O , ',thẳng hàng. c) Khi tam giác ABCl| tam gi{c đều, hãy tính AC' 'theo R . Câu 5. Với a b ,là hai số thực thỏa mãn 94 ab =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 P a b = − + + − + 1 1 1 1 . ( ) ( ) ----------Hết--------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 39 (Đề thi có một trang) Câu 1 : (2,0 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chung) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 3 5 . 3 5 1. Không dùng m{y tính cầm tay, hãy tính gi{ trị biểu thức P 2. Rút gọn rồi tính gi{ trị của biểu thức 2 3 2 10 2 x x Qxtại x 2020 2 2019 2 Câu 2 : (2,5 điểm) 1.Cho parapol 2 P y x :v| đƣờng thẳng 2 d y x m : 2 1, m l| tham số. Tìm m để y y đƣờng thẳng dcắt parapol Ptại hai điểm ; , ; A x y B x y A A B Bsao cho 38 x x. A B 2 2 x y 2. Giải hệ phƣơng trình 6 0 2 5 B A 2 ( ) 2 I x yx y 1 3 0 Câu 3 : (2,5 điểm) Cho đƣờng tròn O R;có đƣờng kính AB cố định v| đƣờng kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d l| tiếp tuyến tại A của O R;. C{c đƣờng thẳng BC và BD cắt d tƣơng ứng tại E và F 1. Chứng minh rằng CDFE l| tứ gi{c nội tiếp. 2. Gọi M l| trung điểm của EF và K l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tứ gi{c CDEF. Chứng minh rằng tứ gi{c KMBO là hình bình hành. 3. Gọi H l| trực t}m tam gi{c DEF, chứng minh H luôn chạy trên một đƣờng tròn cố định. Câu 4 : (2,0 điểm) 1. Cho số thực x thỏa mãn 1 1 x. Chứng minh rằng 2 1 1 2 x x x . 2. Cho tập hợp A gồm 41 phần tử l| c{c số nghuên kh{c nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết c{c số 401 v| 402 thuộc tập A. Tìm tất cả c{c phần tử của tập hợp A. Câu 5 : (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB a BC a 2 , 2. Lấy đoạn AB l|m đƣờng kính, dựng về phía ngo|i hình chữ nhật nửa đƣờng tròn. Điểm M thuộc nữa đƣờng tròn đó. C{c đƣờng 2 2 AL BN thẳng MD, MC cắt AB lần lƣợt tại N, L. Chứng minh ----------Hết--------- 21 AB. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 40 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm). ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chung) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 1) Rút gọn biểu thức ( )2 1 A = − + − . 2 2 5 20 205 2) Cho hai đƣờng thẳng (d):y m x m = − + ( 2)và ( ) Δ:y x = − + 4 1 a) Tìm m để (d) song song với ( ) Δ . b) Chứng minh đƣờng thẳng (d) luôn đi qua điểm A( 1;2) − với mọi m. c) Tìm tọa độ điểm B thuộc ( ) Δsao cho AB vuông góc với ( ) Δ . Câu 2 (2,0 điểm). 1) Giải phƣơng trình 4 2 2 x x x x + + + = 2 2 4 4. ( )2 ⎧ + = + − ⎪⎨ + + ⎪ + = ⎩ + x y xy y 3 1 2) Giải hệ phƣơng trình Câu 3 (2,0 điểm). 2 x y x yx 2 1 1 Cho phƣơng trình: 2 2 x m x m − + + + = 2( 1) 4 0 (1) (m là tham số) 1) Giải phƣơng trình khi m = 2. 2) Tìm m để phƣơng trình (1) có hai nghiệm 1 2 x x,thỏa mãn: 2 2 1 2 x m x m + + = + 2( 1) 3 16. Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam gi{c ABC vuông tại A. Vẽ c{c nửa đƣờng tròn đƣờng kính AB v| AC sao cho c{c nửa đƣờng tròn n|y không có điểm n|o nằm trong tam gi{c ABC. Đƣờng thẳng d đi qua A cắt c{c nửa đƣờng tròn đƣờng kính AB v| AC theo thứ tự ở M v| N (kh{c điểm A). Gọi I l| trung điểm của đoạn thẳng BC. 1) Chứng minh tứ gi{c BMNC l| hình thang vuông. 2) Chứng minh IM = IN. 3) Giả sử đƣờng thẳng d thay đổi nhƣng vẫn thỏa mãn điều kiện đề b|i. Hãy x{c định vị trí của đƣờng thẳng d để chu vi tứ gi{c BMNC lớn nhất. Câu 5 (1,0 điểm). Cho c{c số thực không }m x y z , ,thỏa mãn 2 2 2 x y z y + + ≤ 3 . 1 4 8 = + + Px y z. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) + + + --------------- HẾT --------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 41 (Đề thi có một trang) Câu 1 (2,0 điểm . ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (chung) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 1) Tìm điều kiện x{c định của biểu thức 2019 3 Px x = − − −. 3 9 2) Tìm tất cả c{c gi{ trị của tham số m để đƣờng thẳng ( ) 2 y m x = − + 1 7v| đƣờng thẳng y x m = + + 3 5(với m ≠±1) l| hai đƣờng thẳng song song. 3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Tính độ d|i đƣờng cao kẻ từ A xuống cạnh BC. 4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đ{y l| 9πcm2, độ d|i đƣờng sinh l| 6cm. Tính thể tích hình trụ đó. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + 2 a a a a a P a 1 1 4 : Câu 2 (1,5 điểm . Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P. = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + +với a a > ≠ 0, 1. a a a 1 1 1 2) Tìm c{c gi{ trị nguyên của a để P nhận gi{ trị l| số nguyên. Câu 3 (2,5 điểm . 1) Cho phƣơng trình 2 2 x m x m + − − − = 2( 2) 5 0(với m l| tham số). a) Giải phƣơng trình với m = 0. b) Tìm tất cả c{c gi{ trị của tham số m để phƣơng trình có hai nghiệm ph}n biệt 1 2 x x,(giả sử 1 2 x x <) thỏa mãn 1 2 x x − + = 1 5 . 2) Giải phƣơng trình ( x x x + − − + = − 4 2 4 2 2 )( ) . Câu 4 (3,0 điểm . Cho hình bình hành ABCD (BD < AC). Đƣờng tròn (O) đƣờng kính AC cắt c{c tia AB, AD lần lƣợt tại H, I khác A. Trên dây HI lấy điểm K sao cho HCK ADO = . Tiếp tuyến tại C của đƣờng tròn (O) cắt BD tại E (D nằm giữa B, E). Chứng minh rằng: 1) Δ Δ CHK DAO và AO KC . = . HKOB 2) K l| trung điểm của đoạn HI. 3) 2 2 EI EH OB AE . 4 + < . Câu 5 (1,0 điểm . 2 ⎧ − + = − + + − ⎪⎨ − − += ⎪⎩ + ( ) 4 3 5 2 ( 1)( 1) x y y x x y 3 5 6 11 5 1) Giải hệ phƣơng trình xy y x x 3 1 2) Cho x y z , ,l| c{c số thực dƣơng thỏa mãn x y z xyz + + = 2019. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 2019 1 1 2019 1 1 2019 1 2019.2020 x x z z y yxyz + + + + + + + + + + + ≤ . x y z --------------- HẾT --------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PTNK HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 42 ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 1) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có một trang) 2 2 a a a a a a + − − + + + + − + 1 1 2 1 1 2 1 11 Bài 1 (1.0 điểm). Tìm a, biết: ( ) ( ) ( )( ) − = a a a a. 4 1 1 − + ( ) ( ) Bài 2 (2.0 điểm). a) Giải phƣơng trình: ( x x x + − − − = 2 2 5 1 0 )( ) . ⎧⎪ + + = + + ⎨⎪ + − + + = ⎩x y x y 3 2 3 1 b) Giải hệ phƣơng trình: ( ) ( ) x y x y. 1 4 54 0 Bài 3 (2.0 điểm). Cho phƣơng trình (ẩn x, tham sốm): ( ) x m x − + − = 2 1 12 0 . (1) 2 a) Với các giá trị nào của số thực mthì phƣơng trình (1)có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x,sao cho 1 2 1 2 x x x x + − = 2 25? b) Tìm tất cả các giá trị của số thực mđể phƣơng trình (1)có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x,thỏa mãn 2 2 ( ) 1 2 x x m − − + = 7 2 1 0. Bài 4 (2.0 điểm). a) Từ ngày 1/1/ 2019đến ngày 20 / 5/ 2019, giá bán lẻ xăng RON 95có đúng bốn lần tăng v| một lần giảm. Các thời điểm thay đổi gi{ xăng RON 95trong năm 2019(tính đến ngày 20 / 5 / 2019) đƣợc cho bởi bảng sau (gi{ xăng đƣợc tính theo đơn vị đồng, gi{ đƣợc niêm yết cho 1lít xăng): Ngày 1/1 2/3 2/4 17/4 2/5 17/5 Giá 17600 18540 20030 21230 ... 21590 Từ16giờ chiều 2 / 5/ 2019, giá bán lẻ1 lít xăng RON 95tăng thêm khoảng 0 25 0so với giá 1lít xăng RON 95ngày 1/1/ 2019. Nếu ông Amua 100lít xăng RON 95ngày 2 /1/ 2019thì cũng với số tiền đó ông Asẽ mua đƣợc bao nhiêu lít xăng RON 95vào ngày 3/ 5/ 2019? Cũng trong hai ng|y đó ( 2 /1và 3/ 5), ông Bđã mua tổng cộng 200lít xăng RON 95với tổng số tiền là 3850000đồng, hỏi ông Bđã mua bao nhiêu lít xăng RON 95vào ngày 3/ 5/ 2019? b) Tứ giác ABCDcó chu vi 18cm, 34 AB BC = , 54 CD BC =và AD AB = 2. Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD. Biết AC CD =, tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 5 (3.0 điểm). HÌnh chữ nhật ABCDnội tiếp đƣờng tròn ( )có tâm O, bán kính R a = 2. Tiếp tuyến của ( )tại Ccắt các tia AB AD ,lần lƣợt tại E F, . a) Chứng minh rằng AB AE AD AF . . =và BEFDlà tứ giác nội tiếp. b) Đƣờng thẳng dqua A , dvuông góc với BDvà dcắt ( ) , EFtheo thứ tự tại M N, (M A ≠ ).Chứng minh rằng BMNElà tứ giác nội tiếp và Nl| trung điểm của EF . c) Gọi Il| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BEF. Tính INtheo a . --------------- HẾT --------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PTNK HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 43 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. (2 điểm) Cho phƣơng trình 2 ax bx c + + = 0 (1)thỏa mãn c{c điều kiện: a > 0và 2 ac b a c < < + . a) Chứng minh rằng phƣơng trình (1)có hai nghiệm 1 2 x x ,và (1 1 0 − − > x x 1 2 )( )và (1 1 0 + + > x x 1 2 )( ) . b) Biết rằng a c >. Chứng minh rằng 1 , 1 1 2 − < < x x . Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả những số tự nhiên nsao cho 2 1 n+chia hết cho 9 . b) Cho nlà số tự nhiên n > 3. Chứng minh rằng 2 1 n+không chia hết cho 2 1 m− với mọi số tự nhiên msao cho 2 < ≤ m n . Câu 3. (2 điểm) Cho avà blà hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 4 4 a a b b − = − 4 4 . a) Chứng minh rằng 0 2 < + < a b . b) Biết rằng 4 4 a a b b k − = − = > 4 4 0. Chứng minh rằng − < < k ab 0 . Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABCcó AB AC <. Gọi 1 2 d d,lần lƣợt l| c{c đƣờng phân giác trong và ngoài góc ∠BAC. Gọi M N,lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của Blên 1 2 d d,. Gọi P Q,lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của Clên 1 2 d d, . a) Chứng minh rằng MNvà PQlần lƣợt đi qua trung điểm của AB AC , . b) Chứng minh rằng MNvà PQcắt nhau trên BC . c) Trên 1 dlấy c{c điểm Evà Fsao cho ∠ = ∠ ABE BCAvà ∠ = ∠ ACF CBA. (Ethuộc nửa mặt phẳng bờABchứa C F;thuộc nửa mặt phẳng bờACchứa B).Chứng minh rằng BE AB = . CF AC d) C{c đƣờng thẳng BNvà CQlần lƣợt cắt ACvà ABtại c{c điểm Kvà L. Chứng minh rằng c{c đƣờng thẳng KEvà LFcắt nhau trên đƣờng thẳng BC . Câu 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lƣu giữa các học sinh đến từnquốc gia, ngƣời ta nhận thấy rằng cứ10học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3học sinh đến từ cùng một quốc gia. a) Gọi klà số các quốc gia có đúng 1học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng n+ k 10 < . 2 b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm đƣợc ít nhất là 15học sinh đến từ cùng một quốc gia. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 44 (Đề thi có một trang) Câu 1. (2 điểm) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 2 2 1 2 2 0, 1 x x x x x A x x − + − = + − ≥ ≠ a) Cho biểu thức: ( )( ) x x x x + − + − 1 1 1 Tìm tất cả các giá trị của x để A ≤ 0 b) Tìm tất cả giá trị của tham số m để phƣơng trình x2 – 2(m + 1)x – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 < x2 và |x1| - |x2| = - 4. Câu 2. (2 điểm) ⎧⎪ + = x y 6 13 1. Giải hệ phƣơng trình: ( )( ) ⎨⎪ = + − − ⎩ 2 2 2 3 2 x x y x 2. Giải phƣơng trình: ( )3 6 3 5 2 x x x x + − = − − 3 3 9 1 Câu 3. (2 điểm) 1) Cho số tự nhiên có 3 chữ sốabcchứng minh rằng abcchia hết cho 21 khi và chỉ khi a b c − + 2 4chia hết cho 21. y 2) Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn 1 x z = − Câu 4. (3 điểm) Trên đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB lấy điểm C (C kh{c A v| B), điểm D nằm trên đƣờng thẳng AB sao cho BD = AC. Kẻ DE vuông góc với AC tại E, đƣờng phân giác góc BACcắt DE và (O) tại G và F (F khác A). Đƣờng thẳng CG cắt AC và (O) tại I và H (H khác C). Chứng minh: a) Tứ giác AGDH nội tiếp đƣờng tròn b) Ba điểm H, D và F thẳng hàng c) I l| chung điểm của AD Câu 5. (1 điểm) Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa mãn a b c abc + + + = 2 . Chứng minh:1 1 1 32 + + ≤ ab bc ca --------------- HẾT --------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 51 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƢ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 45 (Đề thi có một trang) ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi chuyên: TOÁN (vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. Cho hai số thực phân biệt avà bthỏa mãn điều kiện ( ) 3 3 2 2 a b a b ab + = −3. Tính giá trị của biểu thức T a b ab = + − . Câu 2. Cho c{c đa thức ( )2 P x m x n x k = + + 1 1 1, ( )2 Q x m x n x k = + + 2 2 2, ( )2 R x m x n x k = + + 3 3 3 với , , m n k i i ilà các số thực và 0, 1,2,3 m i i > =. Giả sử phƣơng trình P x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 1 2 a a,; phƣơng trình Q x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 1 2 b b,; phƣơng trình R x( ) = 0có hai nghiệm phân biệt 1 2 c c,thỏa mãn P c Q c P c Q c ( 1 1 2 2 ) + = + ( ) ( ) ( ), P b R b P b R b ( 1 1 2 2 ) + = + ( ) ( ) ( ), Q a R a Q a R a ( 1 1 2 2 ) + = + ( ) ( ) ( ) . Chứng minh rằng a a b b c c 1 2 1 2 1 2 + = + = + . Câu 3. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x y; )thỏa mãn 2 2 2 3 2 2 x y x y y x y − + + − + = 4 4 3 1 0 . b) Cho ba số nguyên dƣơng abc , ,thỏa mãn 3 3 3 abc + +chia hết cho 14. Chứng minh rằng abccũng chia hết cho 14 . Câu 4. Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O)và AB AC >. Gọi D E, lần lƣợt l| ch}n đƣờng cao của tam giác ABChạ từA B,. Gọi Fl| ch}n đƣờng vuông góc hạ từBlên đƣờng thẳng AO . a) Chứng minh rằng B D E F , , ,là bốn đỉnh của một hình thang cân. b) Chứng minh rằng EFđi qua trung điểm của BC . c) Gọi Pl| giao điểm thứ hai của đƣờng thẳng AOv| đƣờng tròn (O) , Mvà Nlần lƣợt l| trung điểm của EFvà CP. Tính số đo góc BMN . Câu 5. Cho tập hợp Xthỏa mãn tính chất sau: Tồn tại 2019tập con 1 2 2019 A A A , ,...,của X sao cho mỗi tập con 1 2 2019 A A A , ,...,có đúng ba phần tử và hai tập , A A i jđều có đúng một phần tử chung với mọi 1 2019 ≤ < ≤ i j. Chứng minh rằng a) Tồn tại 4tập hợp trong các tập hợp 1 2 2019 A A A , ,...,sao cho giao của 4tập hợp này có đúng một phần tử. b) Số phần tử của Xphải lớn hơn hoặc bằng 4039 . --------------- HẾT --------------- Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52 HƢỚNG DẪN GIẢI Đề số 1 Câu 1: a) Điều kiện: x ≥1 1 1 12 1 20 0 ⇔ − − − + = x x x x 2 ( ) ( ) ⇔ − − − − = x x x x 1 2 1 10 0 ( )( ) ⎡ − = ⇔ ⎢⎢⎣ − = x x x x 1 2 1 10 TH1:3 2 x x x x x − = ⇔ − = ⇔ = 1 2 4 2(thỏa mãn điều kiện) TH2:3 2 x x x x x − = ⇔ − = ⇔ = 1 10 100 5(thỏa mãn điều kiện) Vậy phƣơng trình có hai nghiệm là x = 2và x = 5. 2 ⎧⎪ + + = b) Hệ phƣơng trình ( ) x y xy x 5 17 ⇔ ⎨⎪⎩ + + = 2 2 2 2 x y x y Đặt xy a = , x b =. Ta có: ⎧ + + = ⎧ + + = ⎪ ab a b ab a b 5 5 ⎨ ⎨ ⇔ Hệ phƣơng trình trở thành ( ) 2 2 2 ⎩ + + = ⎪ + − = ⎩ ab a b a b ab 7 7 2 2 5 7 12 0 ⇒ + + + − = ⇔ + + + − = a b a b a b a b ( ) ( ) ( ) ⎡ + = a b 3 ⇔ + − + + = ⇔ ⎢⎣ + = − a b a ba b 3 4 04 ( )( ) TH1:a b + = 3suy ra ab = 2 ⇒ a b,là nghiệm của phƣơng trình 21 ⎡ = X X XX − + = ⇔ ⎢⎣ = 3 2 02 ⇒ = a b ; 1;2 ; 2;1 ( ) ( ) ( ) ⎛ ⎞ ⇒ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x y 1 ; 2; ; 1;2 ( ) ( ) 2 TH2:a b + = −4suy ra ab = 9 ⇒ a b,là nghiệm của phƣơng trình: 2 X X + + = 4 9 0(phƣơng trình vô nghiệm) Câu 2: a)Ta có: P P 9 6 2019 − = ( ) ( ) ⇔ + + − + + = 8 9 36 6 2019 ba b c a b c ( ) ( ) ⇔ + = 45 3 2019 1 a b ( ) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 Lại có: P P a b c a b c a b (10 7 100 10 29 7 51 3 ) − = + + − + + = + ( ) ( ) ( ) Đặt P P t a b t (10 7 51 3 2 ) − = ⇒ + = ( ) ( ) Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6 2019 a t = −, mà 6achẵn, 2019 lẻ nên tlẻ, ta có điều phải chứng minh b) Ta có: 2 2 x y x y xy y + + + + 1 2 2 2 ⇔ + + − − + + + y x y x y x xy y xy y 1 1 ( ) ( ) 2 2 ⇔ − + + y x xy y ⎧ = 1 y m TH1: 22: y xx m = ⇒ ⎨⎩ =Với mọi m là số tự nhiên khác 0 Thử lại thấy thỏa mãn TH2: 2 y x >, ta có: 2 2 xy y y x + + ≤ − ( ) 2 1 ⇔ − + + + ≤ x y y x 1 1 0 (vô lí do x y, 1 ≥) TH3:2 y x < Ta có: 2 2 xy y x y + + < − 1 2 2 ( ) ⇔ − + + + < x y y y 1 1 0 vô lí do x y, 1 ≥) Vậy, ( ) ( ) 2 x y m m ; ; =với m thuộc tập số tự nhiên khác 0 Câu 3: Từ đẳng thức 1 1 1 2 abc a b c 2 1 = + + + ⇔ + + + = ab bc ca abc Đặt 1 1 1 ; ; ( , , 0) x y zx y z = = = > a y z b z x c x y + + + 1 1 1 1 1 1 = + + ≤ + + P Ta có: 2 2 2 2 2 2 a b b c c a ab bc ca + + + 2 2 2 ⎛ ⎞ 1 1 1 1 xy x y = ≤ + ⎜ ⎟ + + + + ⎝ ⎠ Mặt khác: ( )( ) . . ab x z y z x z y z 2 2 2 2 Tƣơng tự thì ta cũng có: Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 ⎛ ⎞ 1 1 1 y z ≤ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + . bc y x z x 2 2 2 ⎛ ⎞ 1 1 1 z x ≤ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + . ca y z y x 2 2 2 Cộng vế theo vế ta có: 3 P ≤Dấu bằng xảy ra 2 2 khix y z = = =1. Hay là abc = = = 2 Câu 4: a) Có ̂ ̂(hai góc kề bù) ⇒ ̂=180 - ̂ ̂= ̂ ̂ ̂ ̂ ̂(Do cung DE EC =) Suy ra ΔDEFđồng dạng với ΔNEA b) Ta cóEB EC EM = =do El| điểm chính giữa cung BCvà theo giả thiết EM EC =. Mặt khác AElà tia phân giác ̂ suy ra AElà trung trực đoạn thẳng BMhay vuông góc với tia NM Chứng minh tƣơng tự thì NElà tia phân giác của ̂, suy ra NEl| đƣờng trung trực của đoạn thẳng MChay NEvuông góc với AM . Từ hai điều trên ta có Ml| trực t}m của ΔAEN c) Gọi giao điểm của AMvới ENlà X, của BNvới AElà Y Gọi giao điểm của IMvới đƣờng tròn (O)là T. Dễ thấy rằng ATNMlà hình bình hành nên TNvuông góc với ENsuy raETl| đƣờng kính đƣờng tròn (O) ⇒ ̂=90°hay ̂=90°hay Kthuộc đƣờng tròn đƣờng kính EM, suy ra năm điểmX Y M K E , , , ,cùng thuộc một đƣờng tròn Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂(do tứ gi{c MEKXnội tiếp) Suy ra CMl| tiếp tuyến đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c BMK Câu 5: Ta tô m|u c{c đoạn thẳng có đầu mút l| 2 trong 12 điểm đã cho: -Tô đỏ c{c đoạn thẳng có độ d|i nhỏ hơn 673 -Tô xanh c{c đoạn thẳng còn lại thì mỗi tam gi{c có ít nhất một cạnh m|u đỏ. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam gi{c có 3 cạnh đều l| m|u đỏ. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 +Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho. Từ một điểm A nối đến c{c đoạn thẳng còn lại tạo th|nh 5 đoạn thẳng, đƣợc tô tới hai m|u xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng m|u. Giả sử đó l| AB AC AD , , Nếu AB AC AD , ,tô đỏ (nét liền, h1) thì tam gi{c BCDphải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn BCthì tam giác ABCcó 3 cạnh tô đỏ(h2). Nếu AB AC AD , ,tô xanh (nét đứt, h3). Do mỗi tam gi{c phải có ít nhất một cạnh đỏ nên BC CD BD , ,và tam giác BCDcó 3 cạnh đỏ(h1). Suy ra trong 6 điểm n|y luôn tồn tại ít nhất một tam gi{c có 3 cạnh m|u đỏ +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tƣơng tự Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam gi{c có hai cạnh đều m|u đỏ. Suy ra tồn tại ít nhất hai tam gi{c m| chu vi mỗi tam gi{c bé hơn 2019 (Từ tr{i qua phải lần lƣợt l| h1,h2,h3,h4) Đề số 2 Câu 1: a) (1,0 điểm) 2 x 3 5 2 3 3 5 2 3 6 2 3 5 2 3 ⎛ ⎞ = + + + − + = + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠=6 2 4 2 3 + − . 2 2 Có ( ) = ( ) ( )2 6 2 3 1 4 2 3 3 1 + − = + = + . Do x > 0nên x = + 3 1 . Suy ra ( )2 x x − = 2 2, do đó P =−2 . x − = 1 3hay 2 b) (1,0 điểm) 2 2 a a ab bc ca a b a c + = + + + = + + 2019 . Từab bc ca + + = 2019suy ra ( )( ) b b c b a + = + + 2019 , ( )( ) Tƣơng tự có ( )( ) 2 c c a c b + = + + 2019 . 2 Vế trái của đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 2 2 a bc b ca c ab − − − + + a b a c b c b a c a c b + + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 a bc b c b ca c a c ab a b − + + − + + − + =( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c c a + + + ( )( )( ) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 56 Khai triển và làm gọn biểu thức trên tử ta đƣợc kết quả l| 0 nên có đpcm. Câu 2: a) ( 1,0 điểm) Điều kiện x{c định: x ≥−1 . x x x x + − − + + = 1 8 1 0 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với ( )2 ⎡ = − ⇔ 21 x ⎢⎣ − − + + =. x x x 8 1 0 ⎡ ⎤ x x x − − + + = 8 1 0 ⇔ ( )1 x xx − + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + +(1) Ta có 2 Do 1 3 2 0 1 2 xx + +,∀ ≥ − x 1nên (1) ⇔x = 3. + + > 2 0 1 2 Tập nghiệm của phƣơng trình là {−1;3} . b) ( 1,0 điểm) 1 1 3 1 ⎧+ = + ⎪⎪⎨⎪ + + = ⎪⎩ x y 2 2 x y 2 2 ( ) 1 1 3 2 x y x y 3 3 3 3 ( ) + Điểu kiện x{c định: x ≠ 0và y ≠ 0 . 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 3 x y 1 1 1 1 3 xy xy 3. . . + + = ⇔ ( ) ( ) + Ta có 3 3 x y 3 3 Sử dụng hằng đẳng thức x y x y abc a b c abc a b b c c a + + + + − = − + − + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ta thu đƣợc (2) ⇔ 2 2 2 3 3 3 32 ( ) ( ) ( ) 1 1 ⎡= = − ⎢⎢⎢+ − = ⎢⎣. x y xy 1 1 0 x y xy ⎧ = x y ⎨⎩ = − ⇔11 ⎧ = − Trƣờng hợp 1: 1 1xy = = − ⇔ 2 x ⎨⎩ = −. x y 1 x y y Thử vào (1) thấy không thỏa mãn. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 57 + Trƣờng hợp 2: 1 1xy 0 + − = ⇔1 1xy + = ⇔ ( )2 x y x y x y xy + = . x y x y x y + = + 3 ⇔ ( )2 2 2 4 4 Có (1) ⇔ 2 2 2 2 4 4 x y xy x y x y + − = + 2 3hay có x y xy x y x y − = + 2 3 ⇔ xy xy (3 2 0 + =)23 4 4 2 2 4 4 ⎧ + = ⎪⎨⎪ = − ⎩⇔4923 ⇔ = − xy( do có điều kiện xy ≠ 0). ( )2 x y xy ⎧+ = ⎪⎪⎨⎪ = − ⎪⎩, dẫn đến x,y là các nghiệm của phƣơng trình x y Vậy xy 2 3 xy ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ t t − − =hay phải có ( x y; )là 2 58 2 58 hoặc 2 58 2 58 2 4 2 0 9 3 ; 9 9 ⎝ ⎠ ; . 9 9 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ + Kết luận: Hệ đã cho có đúng hai nghiệm ( x y; )là 2 58 2 58 ; , 9 9 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ 2 58 2 58 ; . 9 9 ⎝ ⎠ Câu 3: ( 3,0 điểm) Hình vẽ: a) ( 1,0 điểm) + Có AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc BACnên chúng vuông góc, suy ra ED l| đƣờng kính của (O) . + Lại có D l| điểm chính giữa của cung nhỏ BC của (O)nên có OD vuông góc với BC tại trung điểm M. Vậy D,M,O,E thẳng hàng và DE ⊥ BC. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 58 + Xét tứ giác EGMC có 0 EGC EMC = = 90nên EGMC là tứ giác nội tiếp. + Suy ra EMG ECG =, lại có ECG EDA =nên EMG EDA =, suy ra GM // AD. b) (1,0 điểm) + AE ⊥ AD và MG // AD nên MG ⊥ FE. Lại có EG ⊥ AC và MF // AC nên EG ⊥ MF. Từ đó suy ra G l| trực t}m tam gi{c MFE, do đó FG ⊥ ME hay FG ⊥ DE. + Có FG // MC ( vì cùng vuông góc với DE), FM // GC nên FMCG là hình bình hành, suy ra FG = MC. + Từ AE là phân giác của HAGvà HG ⊥ AE suy ra đƣờng thẳng AE l| đƣờng trung trực của đoạn HG. Suy ra FH = FG. Vậy FH = MC. c) ( 1,0 điểm) + TừEAB EGM =( vì cùng cộng với ECBra 0 180), ABE GME =( vì cùng bằng ECA), suy ra ΔEAB ΔEGM(g.g) + Có N v| K l| c{c trung điểm của hai cạnh tƣơng ứng là AB và GM nên EKG ENA =, suy ra tứ giác EKNH là tứ giác nội tiếp. + Lại có 0 AHE AGE = = 90( Do H,G đối xứng nhau qua AE) nên dẫn đến 0 NKE = 90 . Có 2 2 2 NE EK KN = +. Từ( ) ( )2 2 2 2 KE KN KE KN + ≥ +có ( )2 2 2NE KE KN ≥ + hay KE KN NE + ≤ 2, vậy có đpcm. Câu 4: ( 1,5 điểm) a) ( 0,75 điểm) n n n n n n 4 5 5 29 1 + − − + Ta có ( ) 2 n n n nn − + ++ . 1 1 1 = + = + =( ) ( )( ) n n 30 30 30 30 + Với n nguyên thì n n n − + 1, , 1là ba số nguyên liên tiếp nên trong ba số này phải có số chia hết cho 2 và có số chia hết cho 3, suy ra (n n n − + 1 1 6 ) ( ), do đó 5 n n − 6 . + Nếu n 5thì ( ) n n − 5; nếu n chia cho 5 dƣ một trong các số 1,2,3,4 thì 4 5 cho 5 dự 1, suy ra ( ) n n −1 5 . 4 + Vì (5;6 1 ) =nên suy ra ( ) nchia 5 5 29 n n n nn + − n n − 30, theo đó 5 b) ( 0,75 điểm) = +là số nguyên. 30 30 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 + Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên ( x y; )thỏa mãn yêu cầu. Khi đó a b N , * ∈mà ⎧⎪ + − + − = 2 3 2 1 x y x y a 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 a b x y + = + + + 7 1 1 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎨⎪ + + + + = ⎩, suy ra ( ) ( ) 5 4 2 3 x y x y b 2 2 2 ( ) Nói c{ch kh{c phƣơng trình (1): ( ) 2 2 2 2 A B X Y + = + 7có nghiệm ( X Y A B ; ; ; )với X Y N , * ∈và A B N , ∈. Ta coi ( X Y A B ; ; ; )là bộ nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện X + Y nhỏ nhất. + Từ (1) có ( ) 2 2 A B + 7. Nhận thấy một số chính phƣơng chia cho 7 chỉ có thể cho số dƣ l| 0.1.2.4 nên ( ) 2 2 A B + 7khi và chỉ khi A 7và B 7, dẫn tới biểu diễn 1 A A = 7 , 1 B B = 7với 1 1 A B N , * ∈. Khi đó (1) trở thành ( ) 1 1 X Y A B + = + 7 . 2 2 2 2 Lập luận tƣơng tự dẫn đến 1 1 X X Y Y = = 7 , 7với 1 1 X Y N , * ∈ . Câu 5: ( 1,5 điểm) a) ( 0,75 điểm) + Ta chứng minh kết quả( )2 2 2 4 4 2 a ab b a b − + ≥ +(1). 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 a b a b a b ab a b a b + + + − + ≥ + Thật vậy , (1) ⇔ ( ( )) ⇔ ( )2 2 2 a b ab + − ≥ 2 0 . ⇔ ( )4 a b − ≥ 0, bất đẳng thức đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 2 2 4 4 2 b bc c b c − + ≥ +, (3) : ( )2 + Tƣơng tự có (2): ( )2 2 2 4 4 2 c ca a c a − + ≥ + . + Thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm, nhân theo vế các bất đẳng thức này ta đƣợc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 4 8 8 a ab b b bc c c ca a a b b c c a − + − + − + ≥ + + + = ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a − + − + − + ≥1(*). Hay ( ) ( ) ( ) Do 2 2 a ab b − + , 2 2 b bc c − + , 2 2 c ca a − + ≥ 0nên từ (*) suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a − + − + − + ≥1, có đpcm. ( ) ( ) ( ) b) ( 0,75 điểm) Gọi i alà số bút mà học sinh thứ I ( trong 32 học sinh ) nhận đƣợc ( i = 1,2,..,32). i a N ∈và 1 2 32 a a a + + + ≤ ... 49. Ta kí hiệu: Nhƣ vậy * Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 60 1 1 S a =, 2 1 2 S a a = + , <<. 32 1 2 32 S a a a = + + + ... Với mỗi i∈{1;2;...;32}ta có : 1 49 i ≤ ≤ S , 25 74 i S + ≤;50 99 i S + ≤ , 75 124 i S + ≤ . Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) là 1 2 32 S S S , ,..., , 32 số nhóm (2) là 1 2 32 S S S + + + 25, 25,..., 25, 32 số nhóm (3) là 1 2 32 S S S + + + 50, 50,..., 50 , 32 số nhóm (4) là 1 2 32 S S S + + + 75, 75,..., 75 , Thấy 128 số này lấy giá trị nguyên dƣơng trong phạm vi từ 1 đến 124, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số n|o đó trong chúng bằng nhau. Vì 1 2 32 S S S < < < ...nên dãy 32 giá trị trong mỗi nhóm ở trên tăng dần kể từ trái qua phải. Suy ra tồn tại j i > >1mà 1 2 .25 .25 J J S k S k + = +với k k 1 2 , 0,1,2,3 ∈{ }và 1 2 k k ≠( do hai số bằng nhau thì không cùng nhóm). Vì j i S S >nên 0 25 < − = − S S k k j i ( 1 2 ), suy ra k k 1 2 − ∈{1,2,3}. Lại có 49 j i j S S S − < ≤nên 25 49 (k k 1 2 − <), suy ra 1 2 k k − =1. Vậy 25 j i S S − =hay 1 2 ... 25 i i j a a a + + + + + =, nghĩa l| nhóm gồm các học sinh từ học sinh thứi +1đến học sinh thứ j nhận đƣợc tổng cộng 25 cây bút. Đề số 3 Câu 1: a ab abc = + + 1/ Ta có VT 1 ab a abc ab a ab ac abc ab a a b ⋅ 1 = + + + + + + ⋅ + + ab a VP dpcm ab a ab a a ab + + + + + + 1 1 1 + + 11 ( ) = = = ab a + + 1 2/ Đặt x=2 a, y=b, z=cta đƣợc 1 1 1 xy yz zx 0 0 + + = ⇒ + + = x y z 2 2 24bc ac ab yz zx xy Aa b c x y z ⎛ ⎞ 1 1 1 = + + = + + 3 3 3 = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Khi đó 2 2 2 2 2 2 xyzx y z ⎛ ⎞⎛ ⎞ 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 + + − = + + + + − − − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Mặt khác từ hằng đẳng thức 3 3 3 2 2 2 x y z xyz x y z x y z xy yz x2 + + =3 1 1 1 3 ⇒ = ⋅ =. Vậy 3.2 ta có 3 3 3 x y z xyz 2 3 A xyzxyz A = Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 Câu 2: 1/ Điều kiện x{c định ∀ ∈x Từ giả thiết ta nhận thấy x > 0 ( do vế tr{i dƣơng), 1 1 1 1 2 1 3 + + + − + = Chia cả hai vế cho x, ta có 2 2 x x x x Đặt 1 = >ta đƣợc phƣơng trình 2 2 t t t t + + + − + = 2 1 3 t t( 0) x 2 2 ⇔ + + − + − + − = t t t t 2 2 1 1 02 2 t t t t + − − − + − ( ) ( ) 2 4 1 1 0 ⇔ + = 2 2 t t t t + + + − + + ⎛ ⎞ + t t 2 2 2 1 1 ⇔ − + = ⇔ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + − + + ( 1) 0 1 0 t t 2 2 t t t t 2 2 1 1 ⎛ ⎞ + 2 1 ( 1) 0 1 0 t ⇔ − + = ⇔ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + − + + t t 2 2 t t t t 2 2 1 1 Với t x − = ⇒ = 1 0 1 Vậy phƣơng trình có đúng một nghiệm x =1. 2/ Điều kiện: x y ≠ ≠ 0; 0 1 1 9 1 1 9 1 1 9 ⎧ ⎛ ⎧ ⎪ + + + = + + + = + + + = ⎜ ⎪ x y x y x y x y x y x y 2 2 2 Hệ đã cho ⎪ ⎝ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + = ⎜ ⎟ + + = ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 x y y x y 5 5 y x y x y Đặt 1 1 u x v y ,x y = + = +lúc này (1) ⎧⎪ + = u v ⇔ ⎨⎪⎩ ⋅ = 9 2 u v 5 Vậy u, v là 2 nghiệm của phƣơng trình 2 95 0 x x − + =, Phƣơng trình n|y có hai nghiệm 2 X X = = 5 2,2 1 2 ⎧ ⎧ = 1 1 x + = ⎪ ⎪ 2 Trƣờng hợp 1: 25 u v = = 2,cho ta hệ: ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ − + = ⎡ = xx x x y 22 1 0 2 ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ ⎢ 2 ⎪ ⎪ ⎪⎩ − + = + = ⎢ = y y y y 1 2 5 2 0 1 5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩⎣ y 2 Hay 1 ⎛ ⎞ (1;2) 1;2 ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠là các nghiệm của hệ đã cho. ⎧ ⎧ = ⎧ 1 5 2 x ⎪ + = ⎪ ⎪ Trƣờng hợp 2: 5, 2 u v = =ta có hệ 2 xx x xx ⎪ ⎪ ⎪ − + = ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ = 2 2 5 2 0 1 2 − + = ⎪ ⎪ ⎪ + − ⎪ ⎪ ⎪ = 1 2 1 0 2 y y 2 yy y 21 ⎩ ⎩ ⎩ Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 hay 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠là các nghiệm của hệ đã cho. (2;1), ;1 2 ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠;1 Kết luận: Hệ đã cho có 4 nghiệm (x ; y)là1 ⎛ ⎞ (1;2) 1;2 Câu 3: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2;1), ;1 2 1/ Ta có 2 4 3 2 2 4 3 2 y y x x x x y y x x x x + = + + + ⇔ + + = + + + + 4 4 1 4 4 4 4 1 2 2 2 ⎧ + = + + + + ⎪ ⇔ ⎨⎪ + = + + − + ⎩ (2 1) 2 (3 1)( 1) y x x x x ( ) 2 2 2 (2 1) 2 1 ( 1) y x x x x ( ) Ta thấy : nếu x <−1hoặc x > 2thì (3 1)( 1) 0 và ( 2) 0 x x x x + + > − >nên từ (1) và (2) ta suy ra 2 2 2 2 2 2 1 (2 1 x x y x x + + > + > + ) 2 *Loại vì không có số nguyên y thỏa mãn. ( ) ( ) ( ) Từ đó suy ra − ≤ ≤ ⇒ ∈ − 1 2 { 1,0,1,2} x x Xét 2 x y y y y = ⇒ + = ⇒ = = − 2 30 5, 6 Xét 2 x y y = ⇒ + = 1 4loại Xét 2 x y y y y = ⇒ + = ⇒ = = − 0 0 0, 1 Xét 2 x y y y y = − ⇒ + = ⇒ = = − 1 0 0, 1 Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm là (0,5)(2 6)(0:0),(0; 1),( 1,0),( 1, 1) ⋅− − − − − 2/ Trƣớc tiên, ta chứng minh x 3. Đặt y5 = a, a ∈ N*, ta có 2x2 – 1 = y15 ⇔ 2x2 = a3 + 1 ⇔ 2x2 = (a + 1)(a2 - a + 1) (1) Gọi ƢCLN(a + 1; a2 – a + 1) = d (d ∈ N*), ta có: a + 1 d, a2 – a + 1 d. Suy ra (a2 – a + 1) – (a + 1)(a – 2) = 3 d⇒ d = 1 hoặc d = 3 * Nếu d = 1 thì từ (1), ta có: ⎧ + = a 1 2 ⎧⎪ + = ⎨⎪⎩ − + =(loại vì a ∉ N*) ⎨⎩ − + =hoặc 2 2 a a 1 x a 1 x 2 2 ⎧ + = a 1 2 a a 1 2 ⎧ = ⎧ = a 1 a 1 ⇔ ⇒ ⎨ ⎨ = ⎩ = ⎩(loại vì phải có x > 1) ⎨⎩ − + = 2 2 2 a a 1 x x 1 x 1 * nếu d = 3 thì từ (1) ta có: 2x2 9. Vì ƢCLN(2; 9) = 1nên x2 9 ⇒ x 3 (*) Chứng minh x 5. Đặt y3 = b, b ∈ N*, ta có: 2x2 – 1 = b5 ⇔ 2x2 = b5 + 1 ⇔ 2x2 = (b + 1)(b4 – b3 + b2 – b + 1) (2) Gọi ƢCLN(b + 1; b4 – b3 + b2 – b + 1) = k (k ∈ N*) Ta có: b + 1 k; b4 – b3 + b2 – b + 1 k Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 63 ⇒ (b4 – b3 + b2 – b + 1) – (b + 1)(b3 – 2b2 + 3b – 4) = 5 k Suy ra k = 1 hoặc k = 5. * Nếu k = 1 thì từ (2) có ⎧ + = 2 b 1 2 ⎧⎪ + = ⎨⎪⎩ − + − + =(loại vì b ∉ N*) Hoặc: 4 3 2 2 b 1 x 4 3 2 b b b b 1 2 ⇒b 1 ⎧ = ⎨⎩ =(loại vì phải có x > 1) x 1 ⎨⎩ − + − + = b b b b 1 x * Nếu k = 5 thì từ (2) suy ra 2x2 25. Vì ƢCLN(2; 25) = 1 nên x2 25 ⇒ x 5 (**) Từ (*) và (**) suy ra x BCNN(3; 5) hay x 15 (đpcm) Câu 4: 1/ Do các tứ giác M E C D, M B F Dnội tiếp nên DEC DMC DFB = = 1( ) Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE DCA DBF = = 2( ) Từ (1) và (2) suy ra Δ − Δ − BDF CDE g g ( )đpcm x A E O A O E B M B QNC C FD F M D P ,và BDF CDE =.(do Δ Δ BDF CDE ~), suy ra BMF EMC =. 2/ Ta có BMF BDF EMC EDC = = Vậy E, M, F thẳng hàng. Từ hai tứ giác MECD, MBFD nội tiếp suy ra AB AF AM AD AE AC ,= ⋅ = ⋅,suy ra tứ giác BECF nội tiếp. Do đó AFE ACB =.Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) thì ACB BAx =,suy ra Ax // EF. Vậy OA EF ⊥ . Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 64 3/ theo tính chất phân giác ta có , và PN EN QN FN NE AE = = =suy ra PC EC QB FB NF AF PN QN EN FN EN FB AE FB AB FB = = , 3( ) : : . PC QB EC FB FN EC = ⋅ = AF EC AC EC MB S S S S Ta có 1 . . DAB DAB BDF CDE 2 . 4 AB BF CE AB BF = = = = ( ) ⋅ ⋅ =⋅ MC S S S S DAC BDF CDE DAC Từ (3) và (4) suy ra PN QN 2 BF CE AC CE AC =, hay PQ // BC. PC QB Câu 5: Gọi c{c đƣờng thẳng đã cho l| 1 2 2022 d d d , , , … . Aijl| giao điểm của đƣờng thẳng i dvà j d (i j i j A A , 1;2022, ; = ≠ =j n ) . Xét đƣờng thẳng n dbất kỳ trong số 2022 đƣờng thẳng đã cho. Do không có 3 đƣờng thẳng n|o đồng quy nên c{c giao điểmAij( n khác i, j) của các cặp đƣờng thẳng i dvà j dkhông nằm trên n d. Do số giao điểm là hữu hạn nên tồn tại một giao điểm gần n dnhất, giả sử là Aij( nếu có nhiều giao điểm nhƣ vậy thì ta chọn 1 giao điểm n|o đó) . Ta sẽ chứng minh tam giác A A A ij ni njl| tam gi{c đẹp. Nếu tam giác này bị đƣờng thẳng m dn|o đó trong số 2019 đƣờng thẳng còn lại cắt thì m d phải cắt ít nhất một trong hai đoạn A A ,A A . ij ni ij njGiả sửm dcắt đoạn A Aij nitại điểm Amithì Amigần n dtrái giả thiết Aijgần n dnhất. Suy ra, với mỗi đƣờng thẳng n dluôn tồn tại một tam gi{c đẹp có cạnh nằm trên n d. Trên mỗi đƣờng thẳng n d, ta chọn một cạnh của tam gi{c đẹp thì ta thu đƣợc 2022 cạnh của tam gi{c đẹp. Vậy số tam gi{c đẹp không ít hơn 2022:3 = 674. Đề số 4 Câu 1. 1. Xét: 1 1 1 1 1 n + − n = = = − ( 1) 1 1( 1 ) . 1 1 n n n n n n n n n n n n + + + + + + + + Áp dụng đẳng thức ở trên ta có: 1 1 1 + + + 2 1 1 + ... 2 3 2 2 3 2025 2024 2024 2025 + + 1 1 1 1 1 1 − + − + + − = 1 2 2 ... 3 2024 2025 1 1 44 1 1 (dpcm) = − = 2025 − = 45 45 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 2. Từ giả thiết 2 1 + = 23 xx 2 2 ⇔ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − = ⎝ ⎠ 12 23 xx 2 1 1 25 5 ( 0) ⎛ ⎞ ⇔ + = ⇒ + = − < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta có: x x x x 3 1 1 1 3. . A xx⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ do x = 3 + 1 3 = x x x x x x 3 1 1 = 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + ⎝ ⎠ ⎝ x x x x ⎠ = ( 5) 3( 5) − 3 − − Vậy A = -110. Câu 2. = -1 10 1. ĐKXĐ: − < < ≠ 2 2; 0 x x 2− = x a ta đƣợc: Đặt: 2 1 1 2 2 2 ⎧⎪ + = ⎧ ⎧ + = + = ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 0 (1) 2a x ax a x ax x aa x ax a x a x ⎩ ⎩ + − = + − + − = ⎪⎩ + = x a 2 2 Giải (1): 2 ( ) ( ) 2 2 a a x + − + − = x 2 0 ⇔ + + + = ( 1)( - 2) 0 a x a x Suy ra: a x + = -1 hoặc a x + = 2 a + = ⇒ x ax = −ta đƣợc: 1 3 +) Với -1 12 x− − = (thỏa mãn) 2 +) Với a x ax + = ⇒ = 2 1. Ta tìm đƣợc x = 1 ( thỏa mãn) Vậy nghiệm của phƣơng trình l| 1 3 1;2 x x− − = = 2. Nhận thấy x = 0 , y = 0là một nghiệm của hệ phƣơng trình. Với x ≠ 0. Từ hệ PT, ta có: 2 2 2 ⎧ + − + = ⎪⎨⎪ + − + = ⎩ 3 6 3 0 x x y x y x ( ) 2 2 2 2 x y x y x ( ) 2 6 3 0 ( ) ( ) 2 2 ⇒ x y x x y + − + = 3 0 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 ⇔ ( )( ) 2 2 x y x y x + + − = 3 0 2 2 ⎡ + = ⎡ = − x y y x 0 ⇒ ⎢ ⇒ ⎢ 2 2 ⎣ + − = ⎣ = − + x y x y x x 3 0 3 Với 2 y x = −. Từ pT (1) 3 ⇒ 2 0 0 x x x + = ⇔ = y x x = − +3. Từ Pt (1)3 2 1 x xx⎡ = Với 2 ⇒ x − + = ⇔ ⎢⎣ = 3 2 02 Khi x y = ⇒ = 1 2;Khi x y = ⇒ = 2 2 Vậy nghiệm của hệ PT là ( , ) (0, 0);(1; 2);(2; 2) x y ={ } Câu 3. 1. Từ2 x xy x y − − + = 5 5 2 ⇔ = x x y x y ( - ) -5( - ) 2 ⇔ = ( - )( -5) 2 x y x Vì 2 1.2 2.1 ( 1).( 2) ( 2).( 1) = = = − − = − −nên ta có 4 trƣờng hợp sau: Trƣờng hợp 1: 1 6( ) ⎧ − = = ⎧ x y yTM ⎨ ⎨ ⎩− = = ⎩ x x 5 2 7 Trƣờng hợp 2:2 4( ) ⎧ ⎧ − = = x y yTM ⎨ ⎨ ⇔ ⎩ ⎩ − = = x x 5 1 6 Trƣờng hợp 3:1 4( ) ⎧ ⎧ − = − = x y yTM ⎨ ⎨ ⇔ ⎩ ⎩ − = − = x x 5 2 3 Trƣờng hợp 4:2 6( ) ⎧ ⎧ − = − = x y yTM ⎨ ⎨ ⇔ ⎩ ⎩ − = − = x x 5 1 4 Vậy có 4 cặp ( , ) x ythỏa mãn là: (7; 6); (6; 4); (3; 4); (4; 6) . ⎡ ⎤ ( 4) 5 x − + ⎣ ⎦ 2. Ta có : x5 – x = x( x4 – 1)= x(x2 – 1)(x2 + 1)= x(x2 – 1)2 =(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2) + 5(x – 1)(x + 1)x Ta có : (x – 2)(x -1) x(x + 1)(x + 2) chia hết ch 5 và 6 mà (5,6) = 1 nên (x – 2)(x -1) x(x + 1)(x + 2)30 lại có (x-1)x(x+1) Chia hết cho 2 và 3 mà (2,3)=1 nên 5(x – 1)x(x+1) 30 Do đó x5 – 1 30 Suy ra A = (a2020 + b2020+c2020) - (a2016 + b2016 + c2016) A = a2015(a5 – a) + b2015 (b5 – b) + c2015 (c5 – c) 30 Vậy A30 Câu 4. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 67 K B F A N C Q D O M E P 1. Có BFD DMC DEC;FBD ACD DCE BDF = = = = ⇒Δ Δ ∽ CDE 2. Tứ giác BMDF nội tiếp ⇒ = BDF BMF(cùng chắn cung FB) Tứ giác CEMD nội tiếp ⇒ = CDE CME(cùng chắn cung EC) Do Δ Δ BDF CDE ∽(cmt) ⇒ = BDF CDE(hai góc tƣơng ứng) ⇒ = BMF CME M| c{c điểm B; M; C thẳng hàng ⇒C{c điểm E;M;Fthẳng h|ng (đpcm) 0 0 180 AOC 180 2ABC 0 OAC KAE OCA 90 ABC − − *) Kẻ AO cắt EF tại K; = = = = = − 2 2 0 0 0 ⇒ = − = − ⇒ + = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ KAE 90 ADC 90 AEK AEK KAE 90 AK KE AO EF Δ Δ ⇒ = ∽và AE AM ACM ADEED CM 3. AF AM ABM ADFDF BM Δ Δ ⇒ = ∽, mà BM = CM (gt) ⇒ = ⇒ =(do FN AF AF AE FN DF DF ED NE DE =) NE AE ⇒ =(do Δ Δ BDF CDE ∽) FN NE QN NP PQ / /BC FN BF ⇒ = ⇒ = ⇒(sử dụng tính chất tia phân giác kết hợp với ta lét đảo) NE CE FB CE QB PC Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 68 Câu 5. Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : (a.1 + b.1 + c.1 )2≤( a2 +12 + 12 )(b2 + c2 + 1) = (a2 + 2) (1+ b2 + c2) (1) Do vai trò của a, b, c l| nhƣ nhau theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a2 -1, b2-1,c2-1 luôn tồn tại 2 số cùng dấu, giả sử b2-1; c2-1 2 2 ⇒ − − ≥ ( 1)( 1) 0 b c 2 2 2 2 ⇔ − − + ≥ b c b c 1 0 2 2 2 2 2 2 ⇔ + + + ≥ + + b c b c b c 2 2 4 3 3 3 2 2 2 2 ⇔ + + ≥ + + ( 2)( 2) 3(1 ) b c b c 2 2 2 2 2 2 ⇔ + + + ≥ + + + ( 2)( 2)( 2) 3( 2)(1 b ) a b c a c (2) Từ (1) và (2) , suy ra: S = = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)≥3(a +b+c)2=3.9=27 Vậy GTNN của S = 27 khi và chỉ khi a = b = c = 1 Đề số 5 Câu 1. a) ( 1 điểm) Ta có x x x + − = − + 6 9 9 3; x x x − − = − − 6 9 9 3 − + = − = ⇒9 3 9 3 x x 81 18 9 9 1 1 x − Và 2 x x x x − + + − − A xx =− .9 Khi x ≥18thì 2 18 2 9 12 x A x = = − + ≥ − −, dấu bằng xảy ra khi x = 18 (1). x x 9 9 Khi 9 18 < + = Ax x − −(2) 9 9 9 Suy ra min A =12 . b) ( 1 điểm) Từ đề bài suy ra x < 0 Suy ra 9x – 8 < 0; 7x – 6 < 0; 5x – 4 < 0; 3x – 2 < 0 Phƣơng trình đã cho trở thành − + − + − + − + + = 9 8 7 6 5 4 3 2 0 x x x x x ⇔-23x + 20 = 0. Kết luận pt vô nghiệm Câu 2. a) (1 điểm) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 69 Không mất tỉnh tổng quát ta có thể giả sử a > b > c > 0. Từ a + b + c = 3 thì ⇒ a c > > > 1 0 . Ba phƣơng trình đã cho lần lƣợt có các biệt sốΔ'là: 1 Δ = − 4 4 a b; 2 2 Δ = − 4 4 b c;2 3 Δ = − 4 4 c a 2 c a < <1) ⇒phƣơng trình 2 Suy ra 3 Δ < 0( vì 2 4 4 0 x cx a + + =vô nghiệm 1 Δ > − > 4 4 0 a a ( vì a > b và a > 1) ⇒phƣơng trình 2 Và 2 nghiệm. b) (1,00 điểm) cách 1 4 4 0 x ax b + + =có dcó phƣơng trình l| y m x = − + ( 2 2 )luôn đi qua điểm A(2;2)của Đƣờng thẳng m (P) . Hình chiếu vuông góc của C lên Oy là O(0;0), của A lên Oy là A' 0;2 ( ), của ;2b ' 0;2b B b⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠lên Oy là 2 B⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 2 Theo định lí Thales có : ' ' AB A B = = ⇒ A B A O ' ' 3 ' = 3' AC A O b= ⇒ b =±4 2 Suy ra A’B’ = 6 ⇒OB’ = 8 ⇒ 8 2 dtìm đƣợc m = 3; Nếu b = -4, thế vào m Nếu b = 4, thế vào m b) Cách 2 dtìm đƣợc m = -1. Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 70 dlà y mx m = − + 2 2 ⇒tọa độ điểm C là Phƣơng trình đƣờng thẳng m ⎛ ⎞ − 2 2;0 m Cm ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dvà (P):2 Phƣơng trình ho|nh độ giao điểm của m A(2;2)thuộc (P)và m x mx m − + − = 2 4 4 0(1). Vì x = ⇒ ( ) dnên (1) có 1 nghiệm 2 A 2 2 2 AB m m = − + 4 2 1 , ( ) ACm+ 4 1 m 2 ( ) ( ) 2 B m m m 2 2;2 4 2 − − + 2 2 2 ( ) 9.mm+ 4 1 2 2 ⇔ ( )2 2 =từ AB = 3AC ⇔ ( ) ( ) 4 2 1 m m − + = 2 m m − = 2 9 ⇔ m m( − = ± 2 3 ) ⇔m = -1 hoặc m = 3. Kết luận Câu 3. 2 x x x x x − + + + + + + = 6 3 1 14 3 1 13 0 . a) (1 điểm) Giải phƣơng trình ( ) Điều kiện x ≥−1khi đó: (1 1 13 6 15 1 0 ) ⇔ + + − + + = ( x x x x )( ) ( ) . ⇔ x x x x 1 13 1 6 15 0 ( ) ( ) + + + − + = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ x =−1hoặc ( x x x + + = + 13 1 6 15 ) (2) Do 2 vế của (2) đều không âm nên (2) ⇔ ( )( ) 36 180 225 x x + + x x x + + + 26 169 1 = 2 2 x x x − + − = 9 15 56 0 ⇔ ( )( ) ⇔ 3 2 x x x − − + = 8 7 0 2 x x − + =7 0( vô nghiệm). Kết luận ⇔x = 8 hoặc 2 1 ⎧+ + + = ⎪⎨⎪ + = + + ⎩ 8 22 12 25 1 xy y xx b) ( 1điểm ) Giải hệ phƣơng trình ( ) 3 y y x x 3 Điều kiện: x ≥−2;x y ≠ ⇒ ≥ 0 0 (2) ⇔3 3 5 2 2 ( ) ( ) y y x x + = + + + 3 2 3 2 ⇔ ( )( ) 2 y x y y x x − + + + + + = 2 2 5 0 3 y y x x + + + + > 2 5 0 ⇒ (2) ⇔ y x = + 2 Do x ≥−2và y ≥ 0nên 2 Thay vào (1): 21 8 2 22 2 12 25 x x x xx + + + + + = Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 71 ⇔ ( ) ( ) 31 8 2 2 3.4 2 3.2 2 1 x x x xx + + + + + + + = ⇔ ( )331 2 2 1 xx + + = ⇔ x x (2 2 1 1 + + =) ⇔ 2 x x x x − + + + 2 2 2 x +1 =( )2 x x + + 2 1 = 2 ⇔ ( )2 x x − + 2 ⇔ x x x + = − + 1 2( vô nghiệm ) hoặc x x x + = + − 1 2 (3) (3) ⇔ 2 1 2 x x + = +. Với điều kiện 12 x ≥ −thì 4 3 1 0 x x + − = ⇔ x =−1( loại ) hoặc 14 (3) ⇔ 2 Kết luận : ( )1 3 x y⎛ ⎞ ; ;4 2 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Câu 4. x =( thỏa). Chứng minh đƣợc DO l| đƣờng cao tam giác DAB và D,P,O thẳng hàng Chứng minh đƣợc ABKC là hình thang Chứng minh đƣợc ABKC là hình thang Suy ra diện tích của chúng bằng nhau đặt bằng X S Hai tam gi{c KCP v| KPD có cùng đƣờng ao nên ( ) dt KCP S CP Δ= = 1 Δ( với 1 Slà ( ) dt KPB S PB X diện tích ΔCPK) Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 72 Hai tam gi{c ACP v| APB có cùng đƣờng cao nên ( ) dt ACP S CP Δ= = Δ( với 2 Slà diện tích ΔAPB X ( ) 2 dt APB S PB S S 1 2 .12 Xr 4 r 23 ⇒ 1 = ⇒ X S S S = = ⇒ 2 S = . S S X X 6 2 Vậy diện tích tứ giác ABKC là 3 3 3 3 3 212 3 3 4 Xr r r r dt ABKC S S S = + + = + + = ( )3 2 2 2 1 2 Câu 5. Vẽ tia tiếp tuyến Bx nhƣ hình vẽ, gọi I l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE, ta có CBx CAB =( cùng chắn cung CB ) BED CAB =( tứ giác ACED nội tiếp) Suy ra CBx BED = ⇒Bx // DE Mà BO ⊥ Bx và IQ ⊥ DE ( đƣờng nối tâm) ⇒BO // IQ Tƣơng tự vẽ tiếp tuyến By của (I) ta cũng suy ra đƣợc BI // OQ suy ra BOQI là hình bình hành Suy ra OB = IQ và IB = OQ mà OB = OM và IB = IM ⇒OM = IQ và IM = OQ Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 73 ⇒Tứ giác OIQM là hình thang nên OI // MQ Mà OI ⊥ BM ⇒QM ⊥ BM Câu 6. Khi biết tổng nhƣng B nói : Tôi không biết 2 số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết. Do đó ta loại các cặp có tổng bằng 2; 3; 17; 18 là (1;1 , 1;2 , 8;9 , 9;9 ) ( ) ( ) ( )vì nếu biết tổng này thì B phải đo{n đƣợc hai số đó ngay. Ngoài ra, dựa vào việc khẳng định C cũng không biết nên có c{c trƣờng hợp của tổng sau: TH1: 4 = 1+ 3 = 2 + 2 thì tích có thể bằng 3 = 1.3, C đo{n đƣợc ngay, Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trƣờng hợp này loại. TH2: 6 = 1 + 5 = < thì tích có thể bằng 5 = 1.5, C đo{n đƣợc ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trƣờng hợp này loại. Tƣơng tự đối với c{c trƣờng hợp tổng là 7 = 2+ 5, 8 = 3+5, 9 = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6, 12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 cũng loại Do đó, sau khi B ph{t biểu thì C đo{n đƣợc tổng của 2 số là 5 ( = 1+4 = 2+3). Khi đó tích có thể là 4 = 1.4 = 2.2 hoặc 6 = 1.6 = 2.3. Vì C biết tổng bằng 5 và tích 2 số ( bằng 4 hay 6 ) nên suy ra đƣợc ngay. C nói : Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. Nhƣ vậy C biết tích bằng 6 > 5. Sau đó B cũng biết vì hai số ban đầu có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Vậy 2 số A chọn là 2 và 3. Đề số 6 Câu 1. 1) a) Ta có: ⎛ ⎞⎛ ⎞ + − + − + 2 1 1 2 2 ( )( ) x x x x x ( ) = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ P x ⎜ ⎟⎜ ⎟ + − + − x x x x 1 1 2 ( )( ) ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − + − + ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ + − + − x x x x P x 1 ( 2 2 )( ) x x x x 1 1 2 ( )( ) ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 12 ( ) P x x = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + x 1 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 74 ( 1 2 )( )2 x x + − P x = = − x + 1 b) Ta có P x x x 2 0 2 . 2 0 − < ⇔ − − < ( ) ⎧⎪ − > 2 0 x ⇔ ⎨⎪⎩ − < x x x x 2 0 2 0 4 ⎧ ≥ x ⇔ ⎨⎩ < x 0 2 Vậy x∈[0;2)l| gi{ trị cần tìm 2) Ta có: 1 1 1 VT = = = 3 3 2 3 2 2 2 4 1 2 2 4 2 4 1 2 4 1 2 + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 1 2 2 1 1 2 4 2 1VP − − 1 2 1 2 1 3 3 = = = = 3 3 3 3 3 3 3 3 + + + + − + + + ( )( ) ( )( )( ) Câu 2. a) Giải phương trình: ( ) 2 2 x x x x x − + − − + = − 4 3 1 1 (*) 2 2 (*) ( 1) 3 3 1 0 ⇔ − + − + − − + = x x x x x x ( ) t x x t − + − = 3 3 0 . t x x t = − + ≥ 1, 0ta có phƣơng trình ( ) Đặt: 2 2 ⇔ − + − = ⇔ − + = t t x t t t x ( 3 3 0 3 0 ) ( ) ( )( ) ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = − t 3 t x TH1: 2 2 1 33 3 1 3 8 02 t x x x x x± = ⇒ − + = ⇔ − − = ⇔ = TH2: 20 t x x x xx⎧ ≤ x = − ⇔ − + = − ⇔ ⎨⎩ = 11 (lo¹i). Vậy phƣơng trình có hai nghiệm 1 33 x± = 2 2 2 b) Giải hệ phương trình: 4 4 1 1 x x y x xy y. 2 2 4 3 1 2 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 75 Ta có 22 1 2 1 0 2 1 2 1 0 x y x y x y ⎡ = − − y x 2 1 ⇔ ⎢⎣ = + y x 2 1 TH1: y x = − − 2 1thay v|o (2) ta đƣợc ⎡ = ⇒ = − x y 2 0 1 14 7 0 10 x xx y ⎢ + = ⇔ − ⎢ = ⇒ = ⎣ 2 TH2: y x = + 2 1thay v|o (2) ta đƣợc ⎡ = ⇒ = x y 2 0 1 2 0 10 x xx y ⎢ + = ⇔ − ⎢ = ⇒ = ⎣ 2 Vậy hệ phƣơng trình có ba nghiệm ( ) ( )1 ⎛ ⎞ − 0; 1 , 0;1 , ;0 − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 2 Câu 3. 1) Phƣơng trình ho|nh độ giao điểm của dvà Plà 2 2 2 2 2 2 2 2 0 * x mx m x mx m Ta có 2 2 m m m m 2 2 1 3 0, dluôn cắt Ptại hai điểm ph}n biệt Gọi 1 2 x x,là hai nghiệm của (*). Theo định lý Viet ta có x x m 1 2 x x 1 2 m 2 2 Theo giả thiết x x ⎡ = 3 x x x x x x x xx x − − = ⇔ − + = ⇔ ⎢⎣ = − 6 0 3 2 02 2 2 1 2 ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x TH1: 2 m x xm 4 33 do đó ta có 1 2 1 x 4 m m mm m(vô nghiệm). 3 2 2 . 3 8 16 0 4 4 2 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 76 x m TH2: 2 x xx mdo đó ta có 22 1 2 1 2 2 2 1 33 2 4 2 0 m m m m m 2 8 Vậy 1 33 ml| gi{ trị cần tìm. 8 2) 2 a b c a b c a b c a b c a b c + + = + + ≥ + ⇒ + + ≥ + 2 4 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) * Lƣu ý: Với điều kiện ab bc ca b c + + > ⇒ + > 0 0 1 4 2 a a a ⇒ ≥ ⇒ ≥ b c b c a b c abc + + + + + + ( )2 Tƣơng tự ta có 2 2 b b c c ≥ ≥ ; c a a b c a b a b c + + + + + + + + ⇒ + + ≥ = a b c a b c 2 2 2 2 + + + + + (ĐPCM) b c c a a b a b b Câu 4. 1) a) Ta có AE BT ⊥( giả thiết) Do AEđi qua t}m Inên El| trung điểm của BT ⇒ ΔABTc}n tại A. BCA AB = s® và 12 Ta có 12 ACT AT = s® Do s® s® AB AT = . Suy ra BCA ACT =hay ACl| đƣờng ph}n gi{c của góc BCT . Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 77 b)Ta có 0 IEB IMB BMEI = = ⇒ 90l| tứ gi{c nội tiếp ⇒ = BIM BEM Mặt kh{c 12 BIM BIC BAC BEM BAC = = ⇒ = Do đó 0 BED BAD BED BEM + = + = ⇒ 180tứ gi{c ABEDnội tiếp 0 ⇒ = = BDA BEA 90hay BD AC ⊥ 2) Từ B C,kẻ c{c đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng d, cắt đƣờng thẳng ADlần lƣợt tại Evà F . AB AC AE AF AE AF AD + + = + = =(không đổi) Ta có 2 AM AN AI AI AI AI Goi H K,lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của M B,trên AC. BK AB S BK AC AB AC ⇒ =.. Δ ABC ⇒ = = S MH AN AM AN MH AM 2 AB AC ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ Δ AMN 2 . AM AN AD ≤ = ⎜ ⎟ 2 . AMN ABCAI S SAD ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ AI ⇒ ≥ Δ Δ 2 2 Dấu “=” xảy ra khi v| chỉ khi // AB AC MN BC AM AN. 2 Vậy Câu 5. min . AMN ABCAI S SADkhi dl| đƣờng thẳng đi qua Iv| song song với BC . 2 x y mnx my mz ny += ⇔ − = − 20192019 +, (m n n , ; 0 ∈ ≠ ) Đặt ( ) y z n 2019 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 78 Để nx my mz ny − = − ∈ 2019 ( )ta có: ⎧ − = nx my x yy zx 0 2 ⎨ ⇒ = ⇒ = ⎩ − = mz ny y z 0 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + = + − + = + − x y z x z xz y x z y ( ) 2 ( ) = + + − + ( )( ) x y z x y z x y z + +l| số nguyên tố, x y z + +l| số nguyên lớn hơn 1 Vì 2 2 2 2 2 2 ⇒ − + = ⇒ + + = + + x y z x y z x y z 1 Mà 2 2 2 x x y y z z x y z ≥ ≥ ≥ ⇒ = = = ; ; 1, 1, 1 Vậy x y z = = =1l| c{c gi{ trị cần tìm. Đề số 7 Câu 1. 1 1 1 1 S ... = + + + + Ta có: 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 + + + − + − − − − − ⇒ = + + + + 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 S ... 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 − − − − − 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 ... 2019 2 2019 S2 − + − + − + + − − ⇒ =− − − ⇒ = = = 1 2019 1 2019 S 1009 2 − − 2 2 Vậy S 1009 = Câu 2. a) Phƣơng trình: 2 x 2mx m 4 − + −(1) Phƣơng trình (1) l| phƣơng trình bậc hai của x có: 22 Δ = − − − = − + ' m 1. m 4 m m 4 ( ) ( ) 2 ⎛ ⎞ ⇒ Δ = − + > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠với mọi m 1 15 ' m 0 2 4 Vậy phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m x; 2 b) Với mọi m phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x . Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC """