🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm môn toán 12 trung học phổ thông Ebooks Nhóm Zalo KỲ THI TRUNG HỌC QUỐC GIA 2019-2020 TUYỂN TẬP CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Th.s NGUYỄN CHÍN EM Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH & ĐẠI SỐ 1 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀMĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dạng 1. Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dạng 2. Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định 12 Dạng 3. Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K . . . . 15 Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước 18 Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dài cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Dạng 1. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Dạng 2. Cực trị có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn . . . . . . . . 374 Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng . . . . . . 377 Dạng 3. Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Dạng 4. Sử dụng GTLN, GTNN để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 Dạng 5. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế389 Dạng 6. Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 B Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 5 KHẢO SÁT HÀM SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 A Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Dạng 2. Khảo sát hàm số bậc 4 trùng phương và các bài toán liên quan . . . . . . . . . . 723 Dạng 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . 732 MỤC LỤC MỤC LỤC i Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 B Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 C Mức độ vận dụng cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪAHÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 917 1 LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 Dạng 1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 Dạng 2. Chứng minh đẳng thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Dạng 3. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 Dạng 4. Bài toán lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934 2 HÀM SỐ LŨY THỪA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 A Lý thuyết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Dạng 1. Tính toán - Rút gọn biểu thức lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Dạng 2. So sánh lũy thừa hay căn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 Dạng 3. Bài toán lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990 3 LÔGARIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036 Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức chứa logarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036 Dạng 2. Biểu diễn logarit theo các tham số.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1039 Dạng 3. Tìm giá trị của x thỏa mãn hệ thức lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051 4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 Dạng 1. Tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . 1147 Dạng 2. Các bài toán liên quan đến đạo hàm hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . 1148 Dạng 3. Đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151 Dạng 4. Một số ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1155 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1320 A Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1320 Dạng 1. Đưa về phương trình mũ cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1320 Dạng 2. Đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322 Dạng 3. Lôgarit hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324 Dạng 4. Đặt một ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1327 Dạng 5. Đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331 Dạng 6. Đặt ẩn phu khi tích hai cơ số bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334 ii Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dạng 7. Đặt hai ẩn phụ và Đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337 Dạng 8. Phương pháp hàm số giải phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342 Dạng 9. Phương trình mũ chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346 Dạng 10. Phương trình logarit cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1351 Dạng 11. Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352 Dạng 12. Đặt một ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1357 Dạng 13. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360 Dạng 14. Mũ hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1362 Dạng 15. Phương pháp hàm số giải phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364 Dạng 16. Phương trình lôgarit có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1526 Dạng 3. Giải bất phương trình logagit dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528 Dạng 4. Giải bất phương trình logagit bằng cách đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . 1530 Dạng 5. Bất phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . 1533 Dạng 6. Phương pháp đặt ẩn phụ trong bất phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541 Dạng 7. Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂNVÀ ỨNG DỤNG 1709 1 NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Dạng 1. Nguyên hàm đổi biến số loại I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Dạng 2. Nguyên hàm đổi biến số loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723 Dạng 4. Nguyên hàm hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726 Dạng 5. Nguyên hàm của hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1730 Dạng 6. Nguyên hàm có yếu tố mũ và lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735 Dạng 7. Sử dụng biến đổi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1739 Dạng 8. Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747 2 TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 Dạng 1. Tính tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849 Dạng 2. Phương pháp đổi biến dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852 Dạng 3. Phương pháp đổi biến dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859 Dạng 4. Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864 Dạng 5. Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872 Dạng 6. Lớp các tích phân đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1877 MỤC LỤC MỤC LỤC iii Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dạng 7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2055 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056 Dạng 1. Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành và hai cận . . . . . . . 2056 Dạng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 2061 Dạng 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073 Dạng 4. Thể tích khối tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2080 Dạng 5. Bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094 CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC 2391 1 SỐ PHỨC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2391 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392 Dạng 1. Xác định phần thực - phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392 Dạng 2. Xác định mô-đun của số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2393 Dạng 3. Hai số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm biểu diễn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2395 Dạng 5. Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458 Dạng 1. Cộng trừ hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458 Dạng 2. Phép nhân hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2462 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2472 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 A Lý thuyết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 Dạng 1. Phép chia số phức đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571 Dạng 2. Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2573 Dạng 3. Một số bài toán xác định môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587 4 Phép chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667 Dạng 1. Giải phương trình bậc hai hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667 Dạng 2. Phương trình bậc cao với hệ số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669 Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672 B Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678 iv Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 PHẦN II HÌNH HỌC 2749 CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN 2751 1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2751 A Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2751 B Hai đa diện bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2752 C Phân chia và lắp ghép khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754 D Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758 2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814 B CÁC VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820 D Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841 E Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2869 3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898 Dạng 1. Thể tích khối chóp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898 Dạng 2. Thể tích khối chóp tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2901 Dạng 3. Thể tích khối lăng trụ đứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2903 Dạng 4. Thể tích khối lăng trụ xiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2905 Dạng 5. Tỉ số thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2909 Dạng 6. Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912 Dạng 7. Thể tích khối đa diện liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. . .2917 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928 CHƯƠNG 2 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 3125 1 MẶT NÓN, MẶT TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126 Dạng 1. Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3126 Dạng 2. Thiết diện không qua trục hình trụ, hình nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3129 Dạng 3. Góc và khoảng cách trong nón và trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3133 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143 2 MẶT CẨU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3330 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3330 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331 Dạng 1. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy (hình chóp đều) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331 Dạng 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy (hình chóp khác) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3335 MỤC LỤC MỤC LỤC v Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dạng 3. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3346 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁPTỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3523 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3523 Dạng 1. Sự cùng phương của hai véc-tơ. Ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3527 Dạng 2. Tìm tọa độ điểm thỏa điều kiện cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3534 Dạng 3. Một số bài toán về tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3540 B Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3546 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717 Dạng 1. Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717 Dạng 2. Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723 Dạng 3. Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3724 Dạng 4. Thể tích khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726 Dạng 5. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727 Dạng 6. Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727 Dạng 7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728 Dạng 8. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3729 Dạng 9. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng 3730 Dạng 10. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3731 Dạng 11. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3731 Dạng 12. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3732 Dạng 13. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cho trước . . . 3733 Dạng 14. Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách3733 Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3740 Dạng 16. Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3745 Dạng 17. Ví trí tương đối của hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3750 Dạng 18. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3751 Dạng 19. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. . . . . . 3753 Dạng 20. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng qua mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3755 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3760 vi Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm thuộc nó và một véc-tơ chỉ phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014 Dạng 2. Viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . . . . . 4016 Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017 Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với một đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018 Dạng 5. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4019 Dạng 6. Đường thẳng d qua M song song với mp(P) và vuông góc với d0(d0không vuông góc với ∆). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4022 Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4025 Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4028 Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4031 Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4034 Dạng 11. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4036 Dạng 12. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4038 Dạng 13. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song cho trước và nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.. . . . . . . . . .4040 Dạng 14. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4042 Dạng 15. Viết phương trình tham số của đường thẳng d0là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4049 PHẦN III ĐỀ THI THQG 4365 MỤC LỤC MỤC LỤC vii Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 PHẦN I GIẢI TÍCH & ĐẠI SỐ 1 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K ⊂ R là một khoảng). Ta nói • Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f (x1) nhỏ hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). • Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f (x1) lớn hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2). Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K . Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K . Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K . Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K . Nếu f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) với mọi x thuộc K và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K . 2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số Tìm tập xác định. Tính đạo hàm f0(x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 3 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 B CÁC DẠNG TOÁN { DẠNG 1. Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số Phương pháp giải. Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước giải như sau: Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2: Tính y0. Tìm các điểm thuộc D mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x + 4. Lời giải. Hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x + 4 có tập xác định D = R. Ta có y0 = −3x2 + 12x − 9. Cho y0 = 0 ⇔ −3x2 + 12x − 9 = 0 ⇔ Bảng biến thiên "x = 1 x = 3. x −∞ 1 3 +∞ y0 − 0 + 0 − y +∞ 0 4 −∞ Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1), (3; +∞) và đồng biến trên khoảng (1; 3). Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x4 + 4x2 − 3. Lời giải. Tập xác định của hàm số y = −x4 + 4x2 − 3 là D = R. Ta có y0 = −4x3 + 8x. Cho y0 = 0 ⇔ −4x3 + 8x = 0 ⇔ 4x(−x2 + 2) = 0 "x = 0 ⇔ x = ±√2. Bảng biến thiên "4x = 0 − x2 + 2 = 0⇔ "x = 0 x2 = 2⇔ −∞ −√2 0√2 +∞ x y0 + 0 − 0 + 0 − y −∞ 1 −3 1 −∞ Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −√2) và (0; √2), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−√2; 0) và (√2; +∞). 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 6x2 + 8x + 1. Lời giải. Hàm số y = x4 − 6x2 + 8x + 1 có tập xác định D = R. Ta có y0 = 4x3 − 12x + 8 = 0 = 4(x − 1)2(x + 2). Cho y0 = 0 ⇔ 4(x − 1)2(x + 2) = 0 ⇔ Bảng biến thiên "x = −2 x = 1. x −∞ −2 1 +∞ y0 − 0 + 0 + +∞ y −23 +∞ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (−2; +∞). Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =3 − 2x x + 7. Hàm số y =3 − 2x x + 7=−2x + 3 Lời giải. Ta có y0 =−17 x + 7có tập xác định D = R \ {−7}. (x + 7)2< 0, ∀x 6= −7. Bảng biến thiên x −∞ −7 +∞ y0 y − −2 −∞ − +∞ −2 Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −7) và (−7; +∞). Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =x2 − x + 1 x − 1. Hàm số y =x2 − x + 1 Lời giải. x − 1có tập xác định D = R \ {1}. Ta có y0 =x2 − 2x (x − 1)2, ∀x ∈ D. Cho y0 = 0 ⇔x2 − 2x (x − 1)2= 0 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ "x = 0 x = 2. 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 5 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ 0 1 2 +∞ + 0 − −1 −∞ −∞ y0 y − 0 + +∞ 3 +∞ Hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2). Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x +√16 − x2. Lời giải. Tập xác định: D = [−4; 4]. Đạo hàm: y0 = 1 −x √16 − x2= (√16 − x2 = x √16 − x2 − x √16 − x2. (x > 0 (x > 0 Cho y0 = 0 ⇔ Bảng biến thiên 16 − x2 > 0⇔ 0 < 16 − x2 = x2⇔ x2 = 8⇔ x = 2√2. −∞ −4 2√2 4 +∞ x + 0 − 4√2 −4 y0 y 4 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−4; 2√2) và nghịch biến trên khoảng (2√2; 4). BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −2x4 + 4x2. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y0 = −8x3 + 8x. Cho y0 = 0 ⇔ −8x3 + 8x = 0 ⇔ 8x(−x2 + 1) = 0 "x = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên "8x = 0 − x2 + 1 = 0⇔ "x = 0 x2 = 1⇔ x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 − y −∞ 2 0 2 −∞ 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 2x2 − 3. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y0 = 4x3 − 4x. Cho y0 = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ 4x(x2 − 1) = 0 "x = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên "4x = 0 x2 − 1 = 0⇔ "x = 0 x2 = 1⇔ x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + +∞ y −4 −3 −4 +∞ Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞) , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1). Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4x3 − 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có y0 = 4x3 + 12x2 = 0 = 4x2(x + 3). Cho y0 = 0 ⇔ 4x2(x + 3) = 0 ⇔ Bảng biến thiên "x = 0 x = −3. x −∞ −3 0 +∞ y0 − 0 + 0 + +∞ y −28 +∞ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3) và đồng biến trên khoảng (−3; +∞). Bài 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 + 4x + 6. Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y0 = 4x3 + 4. Cho y0 = 0 ⇔ 4x3 + 4 = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 7 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ −1 +∞ y0 − 0 + y +∞ 3 +∞ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (−1; +∞). Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 − x2 − x + 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có y0 = 3x2 − 2x − 1. Cho y0 = 0 ⇔ 3x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ Bảng biến thiên  x = 1 x = −13. −∞ −131 +∞ x y0 + 0 − 0 + y −∞ 32 27 0 +∞ Å Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞; −13ã, (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng Å−13; 1ã. Bài 6. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 2. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có y0 = 3x2 + 6x + 3. Cho y0 = 0 ⇔ 3x2 + 6x + 3 = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên x −∞ −1 +∞ y0 + 0 + +∞ y −∞ Vậy hàm số đồng biến trên R. Bài 7. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =√x2 − 2x. Lời giải. 8 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi x2 − 2x > 0 ⇔ Tập xác định: D = (−∞; 0] ∪ [2; +∞). Ta có y0 =x − 1 √x2 − 2x, ∀x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞). Hàm số không có đạo hàm tại x = 0 và x = 2. Cho y0 = 0 ⇔x − 1 "x ≤ 0 x > 2. √x2 − 2x= 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ∈/ D. Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ − +∞ 0 y0 + y 0 +∞ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (2; +∞). Bài 8. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =3x + 1 1 − x. Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên D = R \ {1}. Ta có y0 =4 (1 − x)2> 0, ∀x 6= 1. Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ y0 y + +∞ −3 + −∞ −3 Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Bài 9. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =−x2 + 2x − 1 x + 2. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R \ {−2}. Ta có y0 =−x2 − 4x + 5 (x + 2)2, ∀x ∈ D. Cho y0 = 0 ⇔−x2 − 4x + 5 (x + 2)2= 0 ⇔ −x2 − 4x + 5 = 0 ⇔ Bảng biến thiên "x = −5 x = 1. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 9 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ −5 −2 1 +∞ − 0 + +∞ +∞ 12 y0 y −∞ + 0 − 0 −∞ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −5) và (1; +∞) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−5; −2) và (−2; 1). Bài 10. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =x + 2 √x2 − x + 3. Lời giải. Hàm số đã cho xác định khi x2 − x + 3 > 0 (đúng với mọi x ∈ R). Hàm số đã cho xác định trên D = R. √x2 − x + 3 −(x + 2)(2x − 1) 2√x2 − x + 3 Ta có y0 = x2 − x + 3=−5x + 8 2(x2 − x + 2)√x2 − x + 2. 2(x2 − x + 2)√x2 − x + 2= 0 ⇔ −5x + 8 = 0 ⇔ x =85. Cho y0 = 0 ⇔−5x + 8 Bảng biến thiên: x y0 y −∞85+∞ − 0 + 6 √11 −1 Å Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1 −∞;85ãvà nghịch biến trên khoảng Å85; +∞ã. Bài 11. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = (4 − 3x)√6x2 + 1. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên D = R. Ta có y0 = −3√6x2 + 1 +6x(4 − 3x) √6x2 + 1=−36x2 + 24x − 3 √6x2 + 1. Cho y0 = 0 ⇔−36x2 + 24x − 3 √6x2 + 1= 0 ⇔ −36x2 + 24x − 3 = 0 ⇔ Bảng biến thiên  x =12 x =16. 10 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 −∞1612+∞ x y0 + 0 − 0 + y −∞ 7√42 12 5√10 4 +∞ Å Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng Å1 −∞;16ãvà Å12; +∞ã. Hàm số nghịch biến trên khoảng 6;12ã. Bài 12. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = |x2 − 2x − 3|. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y = |x2 − 2x − 3| =»(x2 − 2x − 3)2nên y0 =2(x2 − 2x − 3)(2x − 2) (x2 − 2x − 3)2=(x2 − 2x − 3)(2x − 2) » |x2 − 2x − 3| 2 y0 = 0 ⇔(x2 − 2x − 3)(2x − 2) |x2 − 2x − 3|= 0 ⇔ x = 1 (hàm số không có đạo hàm tại x = −1 và x = 3) Bảng biến thiên: x −∞ −1 1 3 +∞ − + 0 − y0 + y +∞ 0 4 0 +∞ Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (−∞; −1) và (1; 3), hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 1) và (3; +∞). Bài 13. y Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Hàm số y = f0(x) có đồ thị như (x) 0 hình bên. Hãy xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(2 − x). f = −1 1 y4 x O Lời giải. Ta có (f(2 − x))0 = (2 − x)0.f0(2 − x) = −f0(2 − x) Dựa vào đồ thị hàm số f0(x) thì CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 11 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 f(2 − x) 0> 0 ⇔ f0(2 − x) < 0 ⇔"2 − x < −1 1 < 2 − x < 4⇔ f(2 − x) 0< 0 ⇔ f0(2 − x) > 0 ⇔"− 1 < 2 − x < 1 "x > 3 − 2 < x < 1. "1 < x < 3 2 − x > 4⇔ Vậy hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (−2; 1) và (3; +∞). x < −2. Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và (1; 3). { DẠNG 2. Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định Phương pháp giải. A. Lý thuyết chung Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương trình f0(x) vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó Hàm số f(x) đồng biến trên K ⇔ f0(x) > 0, ∀x ∈ K. Hàm số f(x) nghịch biến trên K ⇔ f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ K. B. Kiến thức bổ trợ Cho tam thức bậc hai h(x) = ax2 + bx + c (a 6= 0). Khi đó h(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ (a > 0 ∆ ≤ 0. h(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ (a < 0 ∆ ≤ 0. Lưu ý: khi đã chắc chắn a 6= 0, hai công thức trên đây mới được sử dụng. Ví dụ 7. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + 3(m + 2)x + 3m − 1 đồng biến trên R. Lời giải. Hàm số y = x3 − 3x2 + 3(m + 2)x + 3m − 1 có tập xác định D = R. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y0 = 3x2 − 6x + 3(m + 2) > 0, ∀x ∈ R. ⇔ (a > 0 ∆0 ≤ 0⇔ (3 > 0 9 − 9(m + 2) ≤ 0⇔ m > −1 Vậy với m > −1 thì hàm số đồng biến trên R. Ví dụ 8. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =13(3 − m)x3 − (m + 3)x2 + (m + 2)x − 3 đồng biến trên R. Lời giải. Hàm số y =13(3 − m)x3 − (m + 3)x2 + (m + 2)x − 3 có tập xác định D = R. Xét a = 3 − m = 0 ⇔ m = 3. Khi đó hàm số trở thành y = −6x2 + 5x − 3. Đây là hàm số bậc hai, có lúc tăng, lúc giảm khi xét trên R. Do đó ta loại m = 3. 12 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Xét a = 3 − m 6= 0 ⇔ m 6= 3. Hàm số luôn tăng trên R ⇔ y0 = (3 − m)x2 − 2(m + 3)x + (m + 2) > 0 ⇔ (a = 3 − m > 0 ∆0 = 2m2 + 5m + 3 ≤ 0⇔  m < 3 −32≤ m ≤ −1⇔ −32≤ m ≤ −1.  Vậy với −32≤ m ≤ −1 thì hàm số đồng biến trên R. Ví dụ 9. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =mx + m − 7 5x − m + 3đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định. Lời giải. Tập xác định: D = R \ ßm − 3 5 ™ . Ta có y0 =−m2 − 2m + 35 (5x − m + 3)2. Hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x 6=m − 3 5⇔ −m2 − 2m + 35 > 0 ⇔ m ∈ (−7; 5). Vậy, với m ∈ (−7; 5) thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =13x3 + mx2 + 4x + 3 đồng biến tren R. Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y0 = 3x2 + 2mx + 4 có ∆0y0 = m2 − 12. (3 > 0 : hiển nhiên Hàm số đồng biến trên R ⇔ y0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ (a > 0 ∆0y0 ≤ 0⇔ m2 − 12 ≤ 0⇔ |m| ≤ 2√3. Vậy, với m ∈î−2√3; 2√3óthì hàm số đồng biến trên R. Bài 15. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 nghịch biến trên R. Lời giải. Hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 có tập xác định D = R. Hàm số luôn giảm trên R ⇔ y0 = −3x2 + 6x + 3(m2 − 1) ≤ 0, ∀x ∈ R (a = −3 < 0 ⇔ ∆0 = 9 + 3.3(m2 − 1) = 9m2 ≤ 0⇔ m = 0. Vậy với m = 0 thì hàm số nghịch biến trên R. Bài 16. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =mx − 2 x − m + 1nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 13 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số y =mx − 2 x − m + 1có tập xác định D = R \ {m − 1}. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y0 =−m2 + m + 2 (x − m + 1)2< 0, ∀x 6= m − 1 ⇔ −m2 + m + 2 < 0 ⇔ "m < −1 m > 2. Vậy với m ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Bài 17. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x + m cos x đồng biến trên R. Lời giải. Hàm số y = x + m cos x có tập xác định D = R. Ta có y0 = 1 − m sin x. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ 1 − m sin x > 0, ∀x ∈ R ⇔ m sin x ≤ 1, ∀x ∈ R (*) Với m = 0 thì (*) luôn đúng. Với m > 0 thì (*) ⇔ sin x ≤1m, ∀x ∈ R ⇔ 1 ≤1m⇔ 0 < m ≤ 1. Với m < 0 thì (*) ⇔ sin x >1m, ∀x ∈ R ⇔ −1 >1m⇔ −1 ≤ m < 0. Vậy −1 ≤ m ≤ 1 là các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán. Bài 18. Cho hàm số y =(m + 1)x2 − 2mx + 6m x − 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định hàm số. Lời giải. Tập xác định của hàm số: D = R \ {1}. Ta cần xét hai trường hợp TH1: Khi m = −1, ta có hàm số y =2x − 6 x − 1và y0 =4 (x − 1)2> 0 với mọi x ∈ D. Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Vậy, m = −1 thỏa yêu cầu bài toán. TH2: Khi m 6= −1, ta có y0 =(m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m (x − 1)2. Đặt g(x) = (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m và ta có y0cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y0 > 0, ∀x ∈ D ⇔ g(x) > 0, ∀x ∈ D ⇔ (∆0g = (m + 1)2 + 4m(m + 1) ≤ 0 m + 1 > 0⇔ ((m + 1)(5m + 1) ≤ 0 m > −1⇔ −1 < m ≤ −15. ï Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là −1; −15ò. Bài 19. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (m + 2)x33− (m + 2)x2 − (3m − 1)x + m2 đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y0 = (m + 2)x2 − 2(m + 2)x − 3m + 1. Vì đạo hàm không thể triệt tiêu tại vô hạn điểm nên hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ (m + 2)x2 − 2(m + 2)x − 3m + 1 > 0, ∀x ∈ R (1) 14 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 TH1: Nếu m = −2 khi đó (1) luôn đúng với mọi x ⇒ m = −2 thỏa bài toán. TH2: Nếu m 6= −2 khi đó (1) thỏa với mọi x ∈ R ⇔ (m + 2 > 0 (a = m + 2 > 0 ∆0 = (m + 2)(4m + 1) ≤ 0 ⇔ 4m + 1 ≤ 0⇔ −2 < m ≤ −14. Kết hợp cả hai trường hợp, ta có −2 ≤ m ≤ −14là những giá trị cần tìm. Bài 20. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =13(m2 − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x luôn đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định của hàm số là D = R. Ta có y0 = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 và có ∆0 = 2(−m2 + m + 2). Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi ⇔ y0 > 0, ∀x ∈ R. Xét m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. + m = 1 ⇒ y0 = 4x + 3. Ta có y0 > 0 ⇔ x > −34⇒ m = 1 không thoả yêu cầu. + m = 1 ⇒ y0 = 3 > 0, ∀x ∈ R ⇒ m = −1 thoả mãn yêu cầu bài toán. Xét m2 − 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1. Trường hợp này, hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi (a = m2 − 1 > 0 ∆0 = 2(−m2 + m + 2) ≤ 0⇔ "m < −1 m > 2. Vậy với m ≤ −1 hoặc m > 2 thì hàm số y đồng biến trên R. { DẠNG 3. Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K Phương pháp giải. Phương pháp Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số hoặc xét hàm số trên tập K . Bước 2: Tính đạo hàm y0 = f0(x). Bước 3: Xét dấu f0(x). Bước 4: Kết luận. Ví dụ 10. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =√x + 1 + √5 − x. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = [−1; 5]. y0 =1 2√x + 1−1 2√5 − x= Cho y0 = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên √5 − x −√x + 1 2p(x + 1)(5 − x); CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 15 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −1 2 5 y0 + 0 − 2√3 y √6 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 5). Ví dụ 11. Xét chiều biến thiên của hàm số y = 2x − 1 −√3x − 5. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = ï5 3; +∞ ã . 2√3x − 5=4√3x − 5 − 3 Ta có y0 = 2 −3 Cho y0 = 0 ⇔ x =8948. Bảng biến thiên 2√3x − 5; x y0 5 89 48+∞ 3 − 0 + +∞ 7 y Å5 347 24 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng . 3;8948ãvà đồng biến trên khoảng Å8948; +∞ã Ví dụ 12. Chứng minh rằng hàm số y =√4x − x2 đồng biến trên đoạn [0; 2]. Lời giải. Hàm số y =√4x − x2liên tục trên đoạn [0; 2]. Ta có y0 =2 − x √4x − x2> 0 ∀x ∈ [0; 2]. Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2]. Ví dụ 13. Chứng minh hàm số y =√x2 − 1 nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; −1]. Lời giải. Hàm số y =√x2 − 1 liên tục trên nửa khoảng (−∞; −1]. Ta có y0 =x √x2 − 1< 0 ∀x ∈ (−∞; −1). Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; −1]. 16 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 14. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = cos 2x + 4 cos x trên đoạn [0; 2π]. Lời giải. Hàm số y = cos 2x + 4 cos x liên tục trên đoạn [0; 2π]. Ta có y0 = −2 sin 2x − 4 sin x = −4 sin x(cos x + 1). Trên đoạn [0; 2π], y0 = 0 có nghiệm x = 0, x = π, x = 2π. Bảng biến thiên x y0 0 π 2π 0 − 0 + 0 y 5 −3 5 Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; π) và đồng biến trên khoảng (π; 2π). BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 21. Xét chiều biến thiên của hàm số y =√x + 2 + √2 − x. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = [−2; 2]. Ta có y0 = √2 − x −√x + 2 2√4 − x2. Cho y0 = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên x y0 y −2 0 2 + 0 − 2√2 2 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2). Bài 22. Xét chiều biến thiên của hàm số y = x +√1 − x2. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = [−1; 1]. √1 − x2 − x Ta có y0 = 1 −x √1 − x2= Bảng biến thiên √1 − x2. Cho y0 = 0 ⇔√1 − x2 = x ⇔ x =1√2. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 17 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x y0 y −11√21 + 0 − √2 −1 1 Å Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −1;1√2ãvà nghịch biến trên khoảng Å1√2; 1ã. Bài 23. Chứng minh hàm số y =√x2 − 25 đồng biến trên khoảng (5; +∞). Lời giải. Hàm số liên tục trên khoảng (5; +∞). Ta có y0 =x 2√x2 − 25> 0 ∀x ∈ (5; +∞). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞). Bài 24. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =x2+ cos x trên đoạn [0; π]. Hàm số y =x2+ cos x trên đoạn [0; π]. Ta có y0 =12− sin x. Lời giải. Trên đoạn [0; π], y0 = 0 có nghiệm x = 0, x =π6,5π6. Bảng biến thiên 0π65π6π x y0 + 0 − 0 + √3 y 1 π π 12+ 12+ √3 2 2 5π 5π 12− 12− π 2− 1 √3 √3 2 2 Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng 0;π6 và Å5π6; πã; hàm số nghịch biến trên khoảng Åπ6;5π6ã. { DẠNG 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước Phương pháp giải. Có hai phương pháp chính để giải các bài toán. Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số. Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận. 18 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 15. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên (0; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = −3x2 + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi y0 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞). Hay −3x2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2 − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1). Xét hàm số f(x) = x2 − 2x trên (0; +∞) có f0(x) = 2x − 2; f0(x) = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên x f0(x) 0 1 +∞ − 0 + f(x) 0 −1 +∞ Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −1. Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0; +∞). Ví dụ 16. Tìm m để hàm số y = −13x3 + (m − 1) x2 + (m + 3) x + 4 đồng biến trên (0; 3). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = −x2 + (m − 1) x + m + 3. Hàm số đồng biến trên (0; 3) khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ (0; 3). Hay −x2 + 2 (m − 1) x + m + 3 > 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m (2x + 1) > x2 + 2x − 3, ∀x ∈ (0; 3). Trên (0; 3) ta có 2x + 1 > 0 nên chia hai vế cho 2x + 1 được m >x2 + 2x − 3 Xét hàm số f(x) = x2 + 2x − 3 2x + 1trên [0; 3] có f0(x) = 2x2 + 2x + 8 2x + 1, ∀x ∈ (0; 3) (2). (2x + 1)2 > 0, ∀x ∈ [0; 3]. Bảng biến thiên x f0(x) f(x) 0 3 + 12 7 −3 Từ bảng biến thiên ta có (2) ⇔ m >127. Vậy với m >127, hàm số đã cho luôn đồng biến trên (0; 3). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 19 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ví dụ 17. Tìm m để hàm số y = x3 − (2m + 1) x2 + (m2 + 2m) x + 1 đồng biến trên (0; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có: y0 = 3x2 − 2 (2m + 1) x + m2 + 2m; ∆0y0 = (2m + 1)2 − 3 (m2 + 2m) = (m − 1)2. Với m = 1, ta có y0 > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞). Do đó m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.  x1 =2m + 1 − |m − 1| Với m 6= 1, ta có y0 = 0 ⇔ Bảng biến thiên 3 . x2 =2m + 1 + |m − 1| 3 x f0(x) −∞ x1 x2 +∞ + 0 − 0 + f(x) −∞ y1 y2 +∞ Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi x2 ≤ 0. Hay 2m + 1 + |m − 1| 3≤ 0 ⇔ |m − 1| ≤ −2m − 1. Với m > 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ m − 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < 0 (loại). Với m < 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − 1 ⇔ −m + 1 ≤ −2m − 1 ⇔ m < −2 (thỏa mãn). Vậy với m ≤ −2 hoặc m = 1, hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞). Ví dụ 18. Tìm m để hàm số y =x2 − 2mx + 2m2 − 2 x − mđồng biến trên (1; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R\ {m}. Ta có y0 =x2 − 2mx + 2 (x − m)2.  Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ khi  y0 > 0, ∀x ∈ (1; +∞) . m /∈ (1; +∞) Hay m ≤ 1 và x2 − 2mx + 2 > 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ m ≤x2 + 2 2x, ∀x ∈ (1; +∞) (4). Xét hàm số f(x) = x2 + 2 4x2; f0(x) = 0 ⇔ x =√2. 2xtrên [1; +∞) có f0(x) = 2x2 − 4 Bảng biến thiên 20 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x f0(x) 1√2 +∞ − 0 + f(x)  3 2√2 m ≤√2 +∞ Từ bảng biến thiên ta có (4) ⇔  ⇔ m ≤ 1. m ≤ 1 Vậy với m ≤ 1, hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞). BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 25. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 nghịch biến trên (−∞; 0). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = 3x2 + 6x − m. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ (−∞; 0). Hay 3x2 + 6x − m > 0, ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m ≤ 3x2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) (1). Xét hàm số f(x) = 3x2 + 6x trên (−∞; 0] có f0(x) = 6x + 6; f0(x) = 0 ⇔ x = −1. x f0(x) −∞ −1 0 − 0 + f(x) +∞ −3 0 Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −3. Vậy với m ≤ −3 thì hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 0). Bài 26. Tìm m để hàm số y =13mx3 − (m − 1) x2 + 3 (m − 2) x +13đồng biến trên [2; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = mx2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2) = m (x2 − 2x + 3) + 2x − 6. Hàm số đồng biến trên [2; +∞) khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ [2; +∞). Hay m (x2 − 2x + 3) + 2x − 6 > 0, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m >−2x + 6 x2 − 2x + 3, ∀x ∈ [2; +∞) (2). (x2 − 2x + 6)2; f0(x) = 0 ⇔ x = 3 ±√6. x2 − 2x + 3trên [2; +∞) có f0(x) = 2x2 − 12x + 6 Xét hàm số f(x) = −2x + 6 CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 21 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x f0(x) 2 3 + √6 +∞ − 0 + f(x) 2 3 2 −√6 2 0 Từ bảng biên thiên ta có (2) ⇔ m >23. Vậy với m >23thì hàm số đã cho đồng biến trên [2; +∞). Bài 27. Tìm m để hàm số y = x4 − 8mx2 + 9m đồng biến trên (2; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = 4x3 − 16mx = 4x (x2 − 4m). Hàm số đồng biến trên (2; +∞) khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ (2; +∞). Hay 4x (x2 − 4m) > 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ m ≤x24, ∀x ∈ (2; +∞) (3). Xét hàm số f(x) = x24trên [2; +∞) có f0(x) = x2> 0, ∀x ∈ (2; +∞). Do đó (3) ⇔ m ≤ f(2) ⇔ m ≤ 1. Vậy với m ≤ 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞). Bài 28. Tìm m để hàm số y =mx + 4 x + mnghịch biến trên (−∞; 1). Lời giải. Tập xác định D = R\ {−m}. Ta có y0 =m2 − 4 (x + m)2. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) khi và chỉ khi y0 < 0, ∀x ∈ (−∞; 1). Hay   −m /∈ (−∞; 1) m2 − 4 < 0 ⇔   −m > 1 −2 < m < 2 ⇔ −2 < m ≤ −1. Vậy với m ∈ (−2; −1], hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Bài 29. Tìm m để hàm số y =mx2 + 6x − 2 x + 2nghịch biến trên [1; +∞). Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên [1; +∞). Ta có y0 =mx2 + 4mx + 14 (x + 2)2=m(x2 + 4x) + 14 (x + 2)2. 22 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số nghịch biến trên [1; +∞) khi và chỉ khi y0 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞). Hay m(x2 + 4x) + 14 (x + 2)2≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m ≤−14 Xét hàm số f(x) = −14 x2 + 4x, ∀x ∈ [1; +∞) (5). x2 + 4xtrên [1; +∞) có f0(x) = 28x + 56 Do đó (5) ⇔ m ≤ f(1) ⇔ m ≤ −145. (x2 + 4x)2> 0, ∀x ∈ [1; +∞). Vậy với m ≤ −145, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên [1; +∞). Bài 30. Tìm a để hàm số y =x2 − 2ax + 4a2 x − 2ađồng biến trên (2; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R\ {2a}. Ta có y0 =x2 − 4ax (x − 2a)2. Hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ y0 ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞).  Hay   2a /∈ (2; +∞) x2 − 4ax > 0, ∀x ∈ (2; +∞)⇔   2a ≤ 2 a ≤x4, ∀x ∈ (2; +∞)⇔  a ≤ 1 a ≤12⇔ a ≤12. Vậy với m ≤12, hàm số đồng biến trên (2; +∞). Bài 31. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và (2; +∞). Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = 3x2 + 6x + m + 1. Hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞) khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞). Hay 3x2 + 6x + m + 1 > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇔ m > −3x2 − 6x − 1, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) (7). Xét hàm số f(x) = −3x2 −6x−1 trên (−∞; −2]∪[2; +∞) có f0(x) = −6x−6; f0(x) = 0 ⇔ x = −1. Bảng biến thiên x −∞ −2 2 +∞ f0(x) f(x) + + −1 −25 −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có (7) ⇔ m > −1. Vậy với m > −1, hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞). Bài 32. Tìm a để hàm số y = x3 − 3 (a − 1) x2 + 3(a − 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1 ≤ |x| ≤ 2. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 23 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có 1 ≤ |x| ≤ 2 ⇔ x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]. Đạo hàm y0 = 3x2 − 6(a − 1)x + 3(a − 2) = a(−6x + 3) + 3x2 + 6x − 6. Hàm số đồng biến trên [−2; −1] và [1; 2] khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]. Trên [−2; −1] ta có y0 > 0 ⇔ a(−6x + 3) + 3x2 + 6x − 6 > 0 ⇔ a >x2 + 2x − 2 2x − 1(1). Trên [1; 2] ta có y0 > 0 ⇔ a(−6x + 3) + 3x2 + 6x − 6 > 0 ⇔ a ≤x2 + 2x − 2 2x − 1(2). Xét hàm số f(x) = x2 + 2x − 2 2x − 1trên [−2; −1] ∪ [1; 2]. Ta có f0(x) = 2x2 − 2x + 2 (2x − 1)2> 0, ∀x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]. Do đó (1) ⇔ a > f(−1) ⇔ 1 và (2) ⇔ a ≤ f(1) ⇔ a ≤ 1. Kết hợp ta có a = 1, hàm số đồng biến khi 1 ≤ |x| ≤ 2. { DẠNG 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dài cho trước Phương pháp giải. Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (a < 0); nghịch biến (a > 0) (x1; x2) bằng l Bước 1: Tính y0. Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến   a 6= 0 ∆ > 0. (1) Bước 3: Biến đổi |x2 − x1| = l (2) thành (x1 + x2)2 − 4x1 · x2 = l2. Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số. Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mãn. Ví dụ 19. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có: y0 = 3x2 + 6x + a; ∆0y0 = 9 − 3a. Với 9 − 3a ≤ 0 ⇔ a > 3 ⇒ y0 > 0, ∀ ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R, mâu thuẫn giả thiết. Do đó a > 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với 9 − 3a > 0 ⇔ a < 3 ⇒ y0có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Bảng biến thiên 24 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x f0(x) −∞ x1 x2 +∞ + 0 − 0 + f(x) −∞ y1 y2 +∞ Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi |x1 − x2| = 1 ⇔ (x1 + x2)2 − 4x1 · x2 = 1 ⇔ 4 −4a3= 1 ⇔ a =94(thỏa mãn). Vậy với a =94, hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 33. Tìm m để hàm số y =13(m + 1) x3 + (2m − 1) x2 − (3m + 2) x + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Với m = −1, ta có y = −3x2 + x − 1 nên không thể nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4. Với m 6= 1, ta có y0 = (m + 1)x2 + 2(2m − 1)x − (3m + 2). Suy ra ∆0y0 = (2m − 1)2 + (m + 1)(3m + 2) = 7m2 + m + 3 > 0, ∀m ∈ R. m + 1, x1 · x2 = −3m + 2 Khi đó giả sử y0có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2) ta có x1 + x2 = −2(2m − 1) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi m > −1 và |x1 − x2| = 4. Bình phương hai vế được (x1 + x2)2 − 4x1 · x2 = 16 ⇔4(2m − 1)2 (m + 1)2+4(3m + 2) m + 1= 16. Hay 4m2−4m+1+3m2+5m+2 = 4m2+8m+4 ⇔ 3m2−7m−1 = 0 ⇔ m =7 ±√61 m + 1. Vậy với m =7 ±√61 6(thỏa mãn). 6, hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4. Bài 34. Tìm m để hàm số y = −13x3 + x2 + (3m + 2) x + m − 3 đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4. Lời giải. Tập xác định của hàm số D = R. Ta có y0 = −x2 + 2x + 3m + 2; ∆0y0 = 3m + 3. Với m ≤ −1, ta có y0 ≤ 0, ∀x ∈ R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m > −1, giả sử y0có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2), ta có x1 + x2 = 2, x1 · x2 = −3m − 2. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4 khi và chỉ khi |x1 − x2| ≤ 4. Bình phương hai vế được (x1 + x2)2 − 4x1 · x2 ≤ 16 ⇔ 12m + 12 ≤ 16 ⇔ m ≤13. Å Kết hợp ta có m ∈ −1;13ò, hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 25 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 35. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3 + 3x2 + 4. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y0 = −3x2 + 6x = −3x(x − 2) và y0 = 0 ⇔ x = 2; x = 0. Các giá trị y(0) = 4, y(2) = 8. Bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞ y0 − 0 + 0 − y +∞ 4 8 −∞ Vậy hàm số đồng biến trên (0; 2) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; +∞). Bài 36. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 − 3x + 2 trên tập xác định. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y0 = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) và y0 = 0 ⇔ x = 1; x = −1. Các giá trị y(−1) = 4, y(1) = 0. Bảng biến thiên x −∞ −1 1 +∞ y0 + 0 − 0 + y −∞ 4 0 +∞ Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịc biến trên khoảng (−1; 1). Bài 37. Xét tính đơn điệu của hàm số y =√2 + x − x2. Lời giải. Tập xác định D = [−1; 2] Đạo hàm y0 =1 − 2x 2√2 + x − x2= 0 ⇔ x =12. Giá trị yÅ12ã=32 2√2 + x − x2và y0 = 0 ⇔1 − 2x Bảng biến thiên −1122 x y0 + 0 − 3 y 2 0 0 26 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Å Vậy hàm số đồng biến trên −1;12ã; nghịch biến trên Å12; 2ã Bài 38. Xét tính đơn điệu của hàm số y =2x − 1 x − 1. Lời giải. Tập xác định D = R \ {1} Đạo hàm y0 =−1 (x − 1)2và y0 < 0, ∀x ∈ D. x − 1= ±∞, lim x→±∞2x − 1 Giới hạn lim x→1± 2x − 1 x − 1= 2 Bảng biến thiên x −∞ 1 +∞ y0 y − 2 −∞ − +∞ 2 Vậy hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Bài 39. Xét tính đơn điệu của hàm số y =√x − 1 + √3 − x. Lời giải. Tập xác định D = [1; 3]. 2√x − 1−1 √3 − x −√x − 1 Đạo hàm y0 =1 2√3 − x= 2p(x − 1) (3 − x)=4 − 2x 2p(x − 1) (3 − x)√3 − x +√x − 1 . y0 = 0 ⇔ x = 2 ; y(2) = 2 ; y0 không xác định tại x = 1 và x = 3. x→3−y =√2. x→1+y =√2; lim Giới hạn lim Bảng biến thiên: x 1 2 3 y0 + 0 − 2 y √2 √2 Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 3). Bài 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 2x2 + mx + 1 đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y0 = 3x2 − 4x + m ⇒ y0 ≥ 0 ⇔ 3x2 − 4x ≥ −m CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 27 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số đồng biến trên R khi −m ≤ 3x2 − 4x = g(x) với ∀x ∈ R. ⇔ −m ≤ min Rg(x) = g Å2 3 ã = −43⇒ m ≥43 Bài 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =13x3 + (m + 1)x2 − (m + 1)x + 1 đồng biến trên tập xác định của nó. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y0 = x2 + 2(m + 1)x − (m + 1). Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y0 ≥ 0 với ∀x ∈ R. ⇔ x2 + 2(m + 1)x − (m + 1) ≥ 0 với ∀x ∈ R ⇔ ∆0 = (m + 1)2 + (m + 1) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1. Bài 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx3 + mx2 + (m − 1)x − 3 đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y0 = 3mx2 + 2mx + m − 1 Để hàm số đồng biến trên R thì y0 ≥ 0 với ∀x ∈ R. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp m = 0 ⇒ y0 = −1 < 0 với ∀x ∈ R ⇒ Hàm số nghịch biến trên R. ⇒ m = 0 không thỏa yêu cầu. Trường hợp m 6= 0, khi đó điều kiện để hàm số đồng biến trên R là (m > 0 ∆0 = m2 − 3m(m − 1) ≤ 0 ⇔ (m > 0 − 2m2 + 3m ≤ 0⇔ m ∈ ï3 2; +∞ ã Bài 43. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − (m + 1) cos x đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y0 = m + (m + 1) sin x ⇒ y0 ≥ 0 ⇔ m + (m + 1) sin x ≥ 0 (1) Hàm số đã cho đồng biến trên R nếu y0 ≥ 0 với ∀x ∈ R. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: m = −1 ⇒ (1) vô nghiệm ⇒ m = −1 không thỏa yêu cầu. Trường hợp 2: m > −1, khi đó (1) ⇔ sin x ≥ −m Để y0 ≥ 0 với ∀x ∈ R thì −m m + 1 m + 1≤ −1 ⇔ m ≥ m + 1 (vô nghiệm). Trường hợp 3: m < −1, khi đó (1) ⇔ sin x ≤ −m Để y0 ≥ 0 với ∀x ∈ R thì −m m + 1 m + 1≥ 1 ⇔ −m ≤ m + 1 ⇔ m ≥ −12(vô nghiệm) 28 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Bài 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định D = R Đạo hàm y0 = 1 + m(cos x − sin x) Hàm số đồng biến trên R thì y0 ≥ 0 với mọi x ∈ R. Khi đó √2m cos x +π4 ≥ −1 với mọi x ∈ R. • Nếu m = 0, ta có kết luận đúng. • Nếu m > 0, ta có √2 cos x +π4 ≥ −1mvới mọi x ∈ R ⇔ −√2 ≥ −1m⇔ 0 < m ≤√22. • Nếu m < 0, ta có √2 cos x +π4 ≤ −1mvới mọi x ∈ R ⇔√2 ≤ −1m⇔ 0 > m ≥ −√22. Vậy − √2 2≤ m ≤ √2 2. Bài 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =mx − 4 x − mnghịch biến trên (0; +∞). Lời giải. ◦ Tập xác định: D = R \ {m}. Đạo hàm: y0 =−m2 + 4 (x − m)2. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi (m ≤ 0 y0 < 0 ∀x ∈ (0; +∞)⇔ (m ≤ 0 4 − m2 < 0⇔ (m ≤ 0 m2 > 4⇔ m < −2. Với m ∈ (−∞; −2) thì hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Bài 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =mx + 1 x + mđồng biến trên (2; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R \ {m}. y0 =m2 − 1 (x + m)2, x 6= −m. Hàm số y =mx + 1 x + mđồng biến trên (2; +∞) khi và chỉ khi y0 > 0 với mọi x ∈ (2; +∞) ⇔  (− m ≤ 2  m2 − 1 > 0⇔ (m ≥ −2 m < −1 m > 1 ⇔ m ∈ [−2; 1) ∪ (1; +∞). Bài 47. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = −mx3 + x2 − 3x + m − 2 nghịch biến trên (−3; 0). Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y0 = −3mx2 + 2x − 3. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 0) khi y0 ≤ 0 với ∀x ∈ (−3; 0) y0 ≤ 0 ⇔ −3mx2 + 2x − 3 ≤ 0 (1) CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 29 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Do x ∈ (−3; 0) nên (1) ⇔ −3m ≤ −2x+3x2=Å3x+ 1ã Å1x− 3ã+ 1 Mặt khác g(x) = Å3 x+ 1 ã Å1 x− 3 ã > 0 với ∀x ∈ (−3; 0) và limx→−3g(x) = 0. Nên y0 ≤ 0 với ∀x ∈ (−3; 0) ⇔ −3m ≤ 1 ⇔ m ≥ −13 Bài 48. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y =x + 1 x2 + x + mnghịch biến trên khoảng (−1; 1). Lời giải. Điều kiện x2 + x + m 6= 0. Đạo hàm y0 =−x2 − 2x − 1 + m (x2 + x + m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) nếu: (− x2 − 2x − 1 + m ≤ 0, ∀x ∈ (−1; 1) (1) x2 + x + m 6= 0, ∀x ∈ (−1; 1) (2) (1) ⇔ m ≤ (x + 1)2 với ∀x ∈ (−1; 1) ⇔ m ≤ 0. Xét hàm số g(x) = x2 + x trên khoảng (−1; 1), có g0(x) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = −12. Bảng biến thiên: −1 −121 x y0 − 0 + y 0 2 −14   ⇒ Phương trình g(x) = −m vô nghiệm trên khoảng (−1; 1) khi  − m ≥ 2 − m ≤ −14⇔ m ≤ −2 m ≥14 ⇒ (2) ⇔ m ≤ −2 m ≥14 ⇒ Với m ≤ −2 thì số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 1) Bài 49. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 đồng biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y0 = 3x2 + 6x − m, yêu cầu bài toán tương đương m ≤ 3x2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 1] ⇔ m ≤ (−∞;1](3x2 + 6x) = −3 min Bài 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 2x2 − (m − 1)x + 2 đồng biến trên (0; +∞). Lời giải. 30 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có y0 = 3x2 − 4x − (m − 1). Yêu cầu bài toán tương đương 3x2 − 4x − m + 1 ≥ 0∀x > 0 ⇔ m ≤ 3x2 − 4x + 1∀x > 0 ⇔ m ≤ (0;+∞)(3x2 − 4x + 1). min (0;+∞)(3x2 − 4x + 1) = −13. Lập bảng biến thiên ta có min Bài 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = 2x2 + 3x + m + 1 x + 1đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Lời giải. Ta có: TXĐ D = R \ {−1}. f0(x) = 2x2 + 4x + 2 − m (x + 1)2. Để f(x) đồng biến trên TXĐ ⇒ f0(x) > 0, ∀x 6= −1. ⇔ 2x2 + 4x + 2 − m > 0 (a > 0 ∆ < 0⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0.. ⇔ Bài 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =mx + 4 x + mđồng biến trên (1; +∞). Lời giải. TXĐ: D = R \ {−m}, y0 =m2 − 4 (x + m)2. Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi (y0 > 0, ∀x ∈ (1; +∞) − m /∈ (1; +∞)⇔ (m2 − 4 > 0 − m ≤ 1⇔ (m > 2 ∨ m < −2 m ≥ −1⇔ m > 2. Bài 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =√x2 − x + 1 − mx đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định: D = R. y0 =2x − 1 2√x2 − x + 1− m. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y0 ≥ 0; ∀x ∈ R ⇔ m ≤2x − 1 p(2x − 1)2 + 3; ∀x ∈ R (1). √t2 + 3có f0(t) = 3 Xét hàm số f(t) = t » (t2 + 3)3> 0; ∀t ∈ R và lim t→−∞f(t) = −1. Do đó: (1) ⇔ m ≤ −1. Bài 54. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx+ (m+ 1)√x − 2 nghịch biến trên D = [2; +∞). Lời giải. Ta có: y = mx + (m + 1)√x − 2 ⇒ y0 = m +m + 1 2√x − 2, y0 xác định trên khoảng (2; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 31 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Nhận xét: khi x nhận giá trị trên (2; +∞) thì 1 2√x − 2nhận mọi giá trị trên (0; +∞). Å Yêu cầu bài toán ⇔ y0 ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ (m + 1)t + m ≤ 0, ∀t ∈ (0; +∞) đặt t =1 2√x − 2 ã . (m + 1 ≤ 0 ⇔ m + (m + 1) · 0 ≤ 0⇔ m ≤ −1. Bài 55. ‘Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = m − 2 sin x 1 + cos2 xnghịch biến trên khoảng 0;π6 . Ta có: y0 =−2 cos xsin2 x + 2 − m sin x Lời giải. Vậy y0 ≤ 0 ∀x ∈ (1 + cos2 x)2. 0;π6 ⇔ sin2 x + 2 − m sin x ≥ 0 ∀x ∈ 0;π6 . ⇔ m ≤sin2 x + 2 sin x∀x ∈ 0;π6 . Å Đặt t = sin x ⇒ t ∈ Vậy ⇔ m ≤t2 + 2 0;12ã. Å 0;12ã. t= g(t)∀t ∈ é g(t) = 92. Vậy m ≤92. Ta có:Ñmin 0; 1 2 Bài 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =cos x + 1 2 cos x − mđồng biến trên Lời giải. 2 cos x − m⇒ y0 =(m + 2)sinx 0;π2 . y =cos x + 1 Vì sin x 6= 0 ∀x ∈ (2 cos x − m)2. 0;π2 nên hàm đồng biến trên 0;π2 khi và chỉ khi  m + 2 > 0  m > −2 "− 2 < m ≤ 0    m 2≤ 0 m 2≥ 1 ⇔  "m < 0 m > 2 m > 2 ⇔ Bài 57. Cho hàm số y =(m − 1) sin x − 2 sin x − m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng Lời giải. 0;π2 . Điều kiện: sin x 6= m. Điều kiện cần để hàm số y =(m − 1) sin x − 2 sin x − mnghịch biến trên khoảng Ta có: y0 =(2 + m − m2) cos x 0;π2 là "m ≥ 1 m ≤ 0. (sin x − m)2. Ta thấy cos x (sin x − m)2 > 0 ∀x ∈ 0;π2 . 32 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Để ham số y =(m − 1) sin x − 2 sin x − mnghịch biến trên khoảng 0;π2 là   y0 < 0 "m ≥ 1 ⇔   2 + m − m2 < 0 "m ≥ 1 .  "m > 2 m < −1 ⇔ "m > 2 m ≤ 0 m ≤ 0 ⇔  "m ≥ 1 m ≤ 0 m < −1. Bài 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =cot x − 1 4;π2 . π Lời giải. m cot x − 1đồng biến trên khoảng Ta có: y0 =− (1 + cot2 x) (m cot x − 1) + m (1 + cot2 x) (cot x − 1) (m cot x − 1)2 =(1 + cot2 x) (1 − m) (m cot x − 1)2. Hàm số đồng biến trên khoảng π 4;π2 khi và chỉ khi  m cot x − 1 6= 0, ∀x ∈ π 4;π2 π (m ≤ 0 ∨ m ≥ 1 y0 =(1 + cot2 x) (1 − m)  (m cot x − 1)2 > 0, ∀x ∈ 4;π2 ⇔ 1 − m > 0⇔ m ≤ 0 Bài 59. Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y =√x2 + 1 − mx − 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. y0 =x √x2 + 1− m. Hàm số đồng biến trên (−∞; +∞) khi và chỉ khi: y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔x √x2 + 1 −x2 √x2 + 1 √x2 + 1≥ m, ∀x ∈ R. (1). Xét hàm số f(x) = x √x2 + 1, ta có f0(x) = Suy ra f(x) đồng biến trên R. Ä√x2 + 1ä2 =1 Ä√x2 + 1ä3 > 0, ∀ ∈ R. Mặt khác, lim x→−∞f(x) = −1, lim x→−∞f(x) = 1. Từ đó, (1) ⇔ m ≤ −1. Bài 60. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = −13x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − 10 đồng biến trên khoảng (0; 3). Lời giải. Ta có: y0 = −x2 + 2(m − 1)x + m + 3 = g(x) Do y là hàm số bậc ba với hệ số a < 0 nên hàm số đồng biến trên (0; 3) ⇔ y0 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 ⇔ (− 1 · g(0) ≤ 0 − 1 · g(3) ≤ 0⇔ (m + 3 ≥ 0 7m − 12 ≥ 0⇔ m ≥127 Bài 61. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =x2 − 4x x + mđồng biến trên [1; +∞). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 33 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định: D = R \ {−m} và y0 =x2 + 2mx − 4m (x + m)2. Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞) ⇔ (− m < 1 x2 + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞)  − 4 ≤ m ≤ 0 x2 + 2mx−4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔  ∆ ≤ 0 (∆ > 0 x1 < x2 ≤ 1 ⇔  m2 + 4m ≤ 0 (m2 + 4m > 0 − m +√m2 + 4m ≤ 1⇔   "m > 0 m < −4 m ≥ −1 m ≤12 Kết hợp với điều kiện m > −1 ta được −1 < m ≤12. 34 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Mức độ nhận biết Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên (1; +∞)? A. y = x4 + 2x2 + 1. B. y = −x3 + 3x2 − 3x + 1. C. y =x32− x2 − 3x + 1. D. y =√x − 1. Lời giải. Ta có: y = −x3 + 3x2 − 3x + 1 ⇒ y0 = −3x2 + 6x − 3. Cho y0 = 0 ⇔ −3x2 + 6x − 3 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên x −∞ 1 +∞ y0 − +∞ y −∞ Vậy hàm số nghịch biến trên R nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). Chọn đáp án B Câu 2. Hàm số y =x33−x22− 6x +34. A. Đồng biến trên (−2; 3). B. Nghịch biến trên (−2; 3). C. Nghịch biến trên (−∞; −2). D. Đồng biến trên (−2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có: y0 = x2 − x − 6 = 0 ⇔ Bảng biến thiên x y0 "x = 3 x = −2. −∞ −2 3 +∞ + 0 − 0 + y −∞ 97 12 −514 +∞ Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên (−2; 3). Chọn đáp án B Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số. A. (−∞; −2) và (0; +∞). B. (−3; +∞). C. (−∞; −3) và (0; +∞). D. (−2; 0). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 35 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 4 2 x −3 −2 O 1 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta có hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞). Chọn đáp án A Câu 4. Cho hàm số y = x4 − 8x2 − 4. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng. A. (−2; 0) và (2; +∞). B. (−∞; −2) và (0; 2). C. (−2; 0) và (0; 2). D. (−∞; −2) và (2; +∞). Lời giải. TXĐ: D = R. y0 = 4x3 − 16x. Ta có: y0 < 0 ⇔ 4x3 − 16x < 0 ⇔ "x < −2 0 < x < 2. Chọn đáp án B Câu 5. x Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như y0 hình vẽ: −∞ −1 0 1 +∞ − 0 + 0 − 0 + Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới y đây? A. (0; +∞). B. (−1; 1). C. (−∞; 0). D. (−∞; −2). +∞ −2 3 −2 +∞ Lời giải. Ta có y0 < 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; 1) ⇒ y0 < 0, ∀x ∈ (−∞; −2). Chọn đáp án D Câu 6. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 4 có bảng biến thiên sau, tìm a và b. x −∞ −2 0 +∞ y0 + 0 − 0 + y a 0 b +∞ 36 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 A. a = +∞; b = 2. B. a = −∞; b = −4. C. a = −∞; b = 1. D. a = +∞; b = 3. Lời giải. Phương pháp: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến −∞ để tìm a và tính giá trị của hàm số tại x = 0 để tìm b. Cách giải: lim x→−∞y = −∞, y(0) = −4 ⇒ a = −∞; b = −4. Chọn đáp án B Câu 7. Cho hàm số y = x3 − 3x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Lời giải. Ta có y0 = 3x2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên: x −∞ −1 1 +∞ y0 + 0 − 0 + y −∞ 2 −2 +∞ Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. Chọn đáp án D Câu 8. Cho hàm số y =x + 1 2 − x. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. B. Hàm số đã cho đồng biến trên R. C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 2) ∪ (2; +∞). D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 2 − x=x + 1 Lời giải. Ta có y =x + 1 −x + 2=3 (−x + 2)2 > 0, ∀x 6= 2. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞) Chọn đáp án A Câu 9. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 3). B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−1; 1). C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và khoảng (1; +∞). D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; 1). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 37 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Tập xác định là R. Ta có y0 = 3x2 − 3, y0 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng xét dấu của y0 như sau x −∞ −1 1 +∞ + 0 − y0 0 + Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞) và nghịch biến trên (−1; 1). Chọn đáp án C Câu 10. Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. y Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2; 1). B. (−1; 2). 1 1 C. (−2; −1). D. (−1; 1). x −2 −1O −1 −3 Lời giải. Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (−2; −1). Chọn đáp án C Câu 11. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =2x + 1 x + 1là đúng? A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). B. Hàm số luôn luôn đồng biến trên R \ {−1}. C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). D. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên R \ {−1}. Ta có y0 =1 (x + 1)2> 0, ∀x ∈ R \ {−1}. Lời giải. Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). Chọn đáp án A Câu 12. Hàm số y =x − 7 x + 4đồng biến trên khoảng A. (−5; 1) . B. (1; 4) . C. (−∞; +∞) . D. (−6; 0) . Lời giải. Tập xác định: D = R \ {−4}. Ta có y0 =11 (x + 4)2> 0, ∀x ∈ D. Do đó hàm số y =x − 7 x + 4đồng biến trên khoảng (−∞; −4) và (−4; ∞). Vậy hàm số y =x − 7 x + 4đồng biến trên khoảng (1; 4). Chọn đáp án B Câu 13. Hàm số y = −x3 − 3x2 + 9x + 20 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (3; +∞). B. (1; 2). C. (−∞; 1). D. (−3; 1). 38 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 "x = 1 Lời giải. Ta có y0 = −3x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x = −3; y0 > 0 ⇔ −3 < x < 1. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 1). Chọn đáp án D Câu 14. y Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số. 4 A. (3; +∞). B. (−∞; 1) và (0; +∞). C. (−∞; −2) và (0; +∞). D. (−2; 0). x −2 O Lời giải. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞). Chọn đáp án C Câu 15. Cho hàm số y =2x + 1 x + 1. Mệnh đề đúng là A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1). C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞). Ta có y0 =1 (x + 1)2> 0, ∀x ∈ R\{−1}. Lời giải. Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞). Chọn đáp án D Câu 16. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? y 3 − 1 O 1 −1 x A. (−∞; −1). B. (0; 1). C. (1; +∞). D. (−∞; +∞). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 39 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Phương pháp: Sử dụng cách đọc đồ thị hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến. Xét từ trái qua phải trên khoảng (a; b) nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến trên(a; b), nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến trên(a; b). Cách giải: Từ hình vẽ ta thấy: Xét từ trái qua phải thì đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (−1; 1). Nên hàm số đồng biến trên (−1; 1) suy ra hàm số đồng biến trên (0; 1). Chọn đáp án B Câu 17. Cho hàm số y =8x − 5 x + 3. Kết luận nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). C. Hàm số đồng biến trên R. D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Lời giải. Tập xác định: D = R \ {−3}. Ta có y0 =29 (x + 3)2> 0, ∀x ∈ D. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Chọn đáp án D Câu 18. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x f0(x) −∞ −1 0 1 +∞ + 0 − 0 + 0 − f(x) −∞ −1 −2 −1 −∞ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây A. (0; 1). B. (−1; 0). C. (−∞; 1). D. (1; +∞). Lời giải. Từ bẳng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1). Chọn đáp án A Câu 19. Cho hàm số y = f(x) có bẳng biến thiên như sau: x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + y −∞ 0 3 0 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 0). B. (0; 3). C. (−1; 0). D. (0; 1). 40 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Lời giải. Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Chọn đáp án C Câu 20. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + y +∞ 0 5 2 0 +∞ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; +∞). B. (−∞; 0). C. (−1; 0). D. (−∞; −2). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1) nên chọn đáp án D. Chọn đáp án D Câu 21. x Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên −∞ 0 1 +∞ y0 dưới đây. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng y (−∞; −1). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞). − +∞ −∞ +∞ − 0 + −2 +∞ Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (0; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞). Do đó, khẳng định “Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞)” sai. Chọn đáp án D Câu 22. Hàm số y = x4 − x nghịch biến trên khoảng nào? Å A. −∞;12ã. B.Å12; +∞ã. C. (0; +∞). D. (−∞; 0). Lời giải. Ta có: y0 = 4x3. Cho y0 = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên: x −∞ 0 +∞ y0 − 0 + +∞ +∞ y CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 41 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). Chọn đáp án D Câu 23. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 2 +∞ y0 + 0 − 0 + y 0 1 −3 +∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; +∞). B. (−∞; 1). C. (0; +∞). D. (0; 2). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Chọn đáp án A Câu 24. Hàm số y = −x3 − 3x2 + 9x + 20 đồng biến trên khoảng A. (−3; 1). B. (1; 2). C. (−3; +∞). D. (−∞; 1). Lời giải. Ta có y0 = −3x2 − 6x + 9 = −3(x2 + 2x − 3). Khi đó y0 ≥ 0 ⇔ x2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 ⇔ x ∈ (−3; 1). Chọn đáp án A Câu 25. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình x bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào y0 −∞ −1 0 1 +∞ + 0 − 0 + 0 − dưới đây? A. (−∞; −1). B. (−1; 1). C. (1; +∞). D. (0; 1). y Lời giải. −∞ 0 −1 0 −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞). Chọn đáp án C Câu 26. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn trục số? A. y = x3 − 3x2 + 4. B. y = −x4 − 2x2 − 3. C. y = x3 + 3x. D. y = −x3 + 3x2 − 3x + 2. Lời giải. Ta có y0 = −3x2 + 6x − 3 = −3 (x2 − 2x + 1) = −3 (x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số y = −x3 + 3x2 − 3x + 2 nghịch biến trên toàn trục số. Chọn đáp án D Câu 27. Cho hàm số y =x + 2 x − 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên R \ {1}. 42 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên R \ {1}. 1 y0 = −3 (x − 1)2. 2 Bảng biến thiên x Lời giải. −∞ 1 +∞ y0 − 1 y −∞ − +∞ 1 Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Chọn đáp án C Câu 28. y Cho hàm số y = f(x). Biết rằng f(x) có đạo hàm là f0(x) và hàm số y = f0(x) 4 có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). B. Hàm y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞). C. Trên (−1; 1) hàm y = f(x) luôn tăng. O D. Hàm y = f(x) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2.x −2 −1 1 Lời giải. Từ đồ thị của hàm số y = f0(x), ta có f0(x) > 0 khi −2 < x < 1 hoặc x > 1. f0(x) < 0 khi x < −2. Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên (−2; 1), (1; +∞); nghịch biến trên (−∞; −2). Chọn đáp án D Câu 29. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai? x −∞ −1 3 +∞ y0 − 0 + 0 − y +∞ 0 6 −∞ A. f(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). B. f(x) đồng biến trên khoảng (0; 6). C. f(x) nghịch biến trên khoảng (3; +∞). D. f(x) đồng biến trên khoảng (−1; 3). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = f(x) đồng biến trên (−1; 3); hàm số y = f(x) nghịch biến trên (−∞; −1), (3; +∞). Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 43 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 30. Hàm số y = x3 + 3x2 − 4 nghịch biến trên khoảng nào? A. (−∞; −2). B. (0; +∞). C. (−2; +∞). D. (−2; 0). Lời giải. Ta có : y0 = 3x2 + 6x = 0 ⇔ Ta có bảng biến thiên "x = 0 x = 2. x −∞ 0 2 +∞ y0 + 0 − 0 + +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án D Câu 31. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây x −∞ −2 2 +∞ y0 + 0 − 0 + y −∞ 3 0 +∞ Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2; +∞). B. (−2; 2). C. (−∞; 3). D. (0; +∞). Lời giải. Dựa bào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). Chọn đáp án A Câu 32. Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. x −∞ −1 0 1 +∞ y0 0 + y Mệnh đề nào đúng? + 0 − − 11 −1 −∞ +∞ 5 +∞ A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) ∪ (1; +∞) và nghịch biến trên (−1; 0) ∪ (0; 1). B. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (11; +∞) và nghịch biến trên (−1; 11). C. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−1; 1). 44 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên hai khoảng (−1; 0) ; (0; 1). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) và nghịch biến trên hai khoảng (−1; 0) ; (0; 1). Chọn đáp án D Câu 33. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b). B. Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b). C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b). D. Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b). Lời giải. Nếu f0(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) là mệnh đề đúng. Chọn đáp án D Câu 34. Hàm số y = x3 − 3x2 + 5 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). B. (0; +∞). C. (−∞; 2). D. (−∞; 0) và (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. y0 = 3x2 − 6 = 0 ⇔ Bảng biến thiên "x = 0 x = 2. x y0 −∞ 0 2 +∞ 0 + + 0 − y −∞ 5 1 +∞ Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Chọn đáp án D Câu 35. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 45 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. 6 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞). −2 Lời giải. −1 1 O x 2 −2 −3 Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). Chọn đáp án A Câu 36. Hàm số nào dưới đây luôn tăng trên R? A. y = 2018. B. y = x4 + x2 + 1. C. y = x + sin x. D. y =x − 1 x + 1. Lời giải. Xét hàm số y = x + sin x trên R. Ta có y0 = 1 + cos x. Vì 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra tại đếm được điểm nên hàm số luông đồng biến trên R. Chọn đáp án C Câu 37. x Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình y0 vẽ bên. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng −∞ −2 0 2 +∞ + 0 − 0 + 0 − nào dưới đây? A. (−∞; 0). B. (0; 2). C. (−2; 0). D. (2; +∞). 3 y −∞ Lời giải. −∞ 3 −1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án B Câu 38. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f0(x) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y = f(x)? 46 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 1 2 −1 O x A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f0(x) ta thấy f0(x) > 0, ∀x ∈ (−1; 0). Suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−1; 0). Chọn đáp án A Câu 39. Cho hàm số y =3 − x 2x − 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Å A. Hàm số nghịch biến trên −∞;12ã. B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên Å1 2; +∞ ã . D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. ™ ß1 . Tập xác định D = R \ 2 Ta có y0 =−5 (2x − 1)2< 0, ∀x ∈ D. Å Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định −∞;12ã,Å12; +∞ã. Chọn đáp án A Câu 40. Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Khẳng định nào sai? y O 2 2 −1 1 x −2 −2 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞). Lời giải. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 47 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Phương pháp: Dựa vào đồ thị hàm số xác định các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải: Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) là khẳng định sai. Chọn đáp án B Câu 41. Hàm số y =x33−3x2+5x+2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. (5; +∞). B. (−∞; 1). C. (2; 3). D. (1; 5). "x = 1 Lời giải. Ta có y0 = x2 − 6x + 5; y0 = 0 ⇔ x = 5. Dấu của y0: 1 5 + + − Từ dấu của y0suy ra hàm số y =x33− 3x2 + 5x + 2019 nghịch biến trên (1; 5). Chọn đáp án D Câu 42. Hàm số y = 2x4 + 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (3; +∞). B. (0; +∞). C. (−∞; −3). D. (−∞; 0). Lời giải. Ta có y0 = 8x3. y0 < 0 ⇔ x3 < 0 ⇔ x < 0. Chọn đáp án D Câu 43. y Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau 1 đây đúng về hàm số y = f(x)? −1 A. Đồng biến trên khoảng (−3; 1). O 2 1 x B. Nghịch biến trên khoảng (0; 2). C. Nghịch biến trên khoảng (−1; 0). D. Đồng biến trên khoảng (0; 1). Lời giải. −1 −3 Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên miền (−1; 1). Chọn đáp án D Câu 44. Hàm số y = −x3 + 3x2 − 4 đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? A. (−∞; 0) và (2; +∞). B. (−∞; 0). C. (0; 2). D. (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y0 = −3x2 + 6x. Xét y0 = 0 ⇔ −3x2 + 6x = 0 ⇔ Bảng biến thiên: "x = 0 x = 2 48 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ 0 2 +∞ y0 − 0 + 0 − y +∞ −4 0 −∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án C Câu 45. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên x −∞ 1 3 +∞ y0 − 0 + 0 − y +∞ −1 2 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng A. (−∞; 1). B. (−1; 2). C. (3; +∞). D. (1; 3). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3). Chọn đáp án D Câu 46. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f0(x) = x(x − 1)2(x − 2). Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số y = f(x). A. (−∞; 0) và (1; 2). B. (0; 1). C. (0; 2). D. (2; +∞).  Lời giải. Ta có f0(x) = 0 ⇔ x(x − 1)2(x − 2) = 0 ⇔ Bảng xét dấu x = 0 x = 1 x = 2. x −∞ 0 1 2 +∞ y0 + 0 − 1 − 2 + Vậy hàm số nghịch biến trên (0; 2). Chọn đáp án C Câu 47. Các khoảng nghịch biến của hàm số y =2x + 1 x − 1là A. (−∞; +∞) \ {1}. B. (−∞; 1). C. (−∞; 1 và (1; +∞). D. (1; +∞). Lời giải. Phương pháp Hàm số y =ax + b cx + d(ad 6= bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 49 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm số là y0 =ad − bc (cx + d)2. Cách giải Tập xác định D = R \ {1}. Ta có y0 =2 · (−1) − 1 · 1 (x − 1)2= −3 (x − 1)2< 0, ∀x ∈ D. Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞). Chọn đáp án C Câu 48. Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y0 = 4x3 − 4x. Xét y0 = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ Bảng biến thiên:  x = 1 ⇒ y = 1 x = 0 ⇒ y = 2 x = −1 ⇒ y = 1. x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + y +∞ 1 2 1 +∞ Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). Chọn đáp án D Câu 49. Hàm số y = 2x4 + 1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? Å A. (0; +∞). B. −12; +∞ã. C.Å−∞; −12ã. D. (−∞; 0). Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y0 = 8x3. Cho y0 = 0 ⇔ x = 0 x −∞ 0 +∞ y0 − 0 + +∞ y 1 +∞ Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). Chọn đáp án A Câu 50. 50 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = f(x) đồng y0 −∞ 0 2 +∞ − 0 + 0 − biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 0). B. (0; 2). C. (0; 4). D. (2; +∞). 4 y −∞ Lời giải. +∞ 0 Dựa vào bảng biên thiên, hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án B Câu 51. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như x hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên y0 khoảng nào dưới đây? −∞ 0 1 +∞ + 0 − 0 + A. (1; +∞). B. (0; 1). C. (−∞; 3). D. (−4; +∞). +∞ y Lời giải. −∞ 3 −4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên miền (1; +∞). Chọn đáp án A Câu 52. Hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x f0(x) −∞ 0 2 +∞ − 0 + 0 − f(x) +∞ 1 5 −∞ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 5). B. (0; 2). C. (2; +∞). D. (−∞; 0). Lời giải. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án B Câu 53. Cho các hàm số y =x + 1 x − 1, y = x4 + 2x2 + 2, y = −x3 + x2 − 3x + 1. Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số đơn điệu trên R A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Ta có y =x + 1 x − 1⇒ y0 =−2 Lời giải. (x − 1)2< 0 ∀x 6= 1. y = x4 + 2x2 + 2 ⇒ y0 = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) ⇒ hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0. y = −x3 + x2 − 3x + 1 ⇒ y0 = −3x2 + 2x − 3 = −3(x2 −23x + 1) = −3ï(x −13)2 +89ò< 0 ∀x ∈ R nên hàm số đơn điệu trên R. Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 51 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 54. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R? A. y =√x2 − 3x + 2. B. y = x4 + x2 + 1. C. y =x − 1 x + 1. D. y = x3 + 5x + 13. Lời giải. Hàm số y =√x2 − 3x + 2 có tập xác định là (−∞; 1] ∪ [2; +∞). Hàm số y = x4 + x2 + 1 là hàm số bậc bốn trùng phương. Hàm số y =x − 1 x + 1có tập xác định là R\{−1}. Các hàm số trên đều không đồng biến trên R. Đồng thời với y = x3 + 5x + 13 thì y0 = 3x2 + 5 > 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số này đồng biến trên R. Chọn đáp án D Câu 55. Hàm số f(x) = −x3 + 3x2 + 9x + 1 đồng biến trong khoảng nào sau đây? A. (3; +∞). B. (−1; +∞). C. (−1; 3). D. (−∞; 3). Lời giải. f0(x) = −3x2 + 6x + 9 > 0 ⇔ −1 < x < 3. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên (−1; 3). Chọn đáp án C Câu 56. x Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào y0 -∞ 0 2 +∞ − 0 + 0 − dưới đây? A. (−∞; 2). B. (−∞; 0). C. (1; 2). D. (0; +∞). 5 y −∞ Lời giải. +∞ 1 Nhìn bảng biến thiên thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). Chọn đáp án C Câu 57. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ −1 0 1 +∞ y0 y + 2 −∞ − 0 + 0 − 2 1 −∞ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; −1). B. (0; 1). C. (−1; 1). D. (−1; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0). Chọn đáp án D Câu 58. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: 52 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x f0(x) −∞ −1 3 +∞ − 0 + 0 − f(x) +∞ −1 4 −∞ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (−∞; 3). B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (−1; 3). C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (−1; 4). D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (−1; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên ta dễ dàng nhận thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−1; 3). Chọn đáp án B Câu 59. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + y +∞ 1 2 1 +∞ Xác định số điểm cực tiểu của hàm số y = f(x). A. 3. B. 6. C. 2. D. 1. Lời giải. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x1 = −1 và x2 = 1. Chọn đáp án C Câu 60. Cho hàm số y =x + 1 2 − x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) ∪ (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R \ {2}. Đạo hàm y0 =3 (2 − x)2> 0, ∀x ∈ D nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Chọn đáp án B Câu 61. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 53 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Khi đó f(x) đồng biến trên các khoảng A. (−∞; −1),(1; +∞). B. (−∞; −1),(−1; 0). C. (−1; 0),(1; +∞). D. (−1; 0),(0; 1). Lời giải. y 2 −2 −1 1 2 O x Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−1; 0),(1; +∞). Chọn đáp án C Câu 62. Cho hàm số y =1 + x 2 − x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng R\{2}. Ta có: y0 =3 (2 − x)2> 0, ∀x 6= 2. Lời giải. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Chọn đáp án C Câu 63. Cho hàm số y =2x x − 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên R\ {1}. B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1). C. Hàm số nghịch biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Vì y0 =−2 Lời giải. (x − 1)2< 0, ∀x 6= 1 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Chọn đáp án D Câu 64. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên x −∞ −2 0 2 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 − y −∞ 3 −1 3 −∞ Số khoảng đồng biến của hàm số y = f(x) là A. 4. B. 2. C. 1. D. vô số. Lời giải. 54 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2) nên nó sẽ đồng biến trên bất kì khoảng nào là tập con của một trong hai khoảng này. Chọn đáp án D Câu 65. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: x −∞ −2 0 +∞ y0 + 0 − 0 + y −∞ 0 −4 +∞ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−4; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y0 < 0, ∀x ∈ (−2; 0) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). Chọn đáp án D Câu 66. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau x f0(x) −∞ 0 2 +∞ − 0 + 0 − f(x) +∞ 1 5 −∞ Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0; 1). B. (−1; 7). C. (1; 3). D. (−5; 1). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đồng biến trên (0; 2) do đó cũng đồng biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án A Câu 67. CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 55 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). B. (−2; 2). C. (−∞; 0). D. (2; +∞). 1 x 1 2 O −2 Lời giải. Khoảng đồng biến là (0; 2). Chọn đáp án A Câu 68. Cho hàm số y =2017 x − 2có đồ thị (H). Số đường tiệm cận của (H) là A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 69. Hàm số y = f(x) có đạo hàm y0 = x2. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞). B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số nghịch biến trên R. D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞). Lời giải. Vì y ≥ 0, ∀x ∈ R và y0 = 0 khi và chỉ khi x = 0 nên y = f(x) luôn đồng biến trên R. Chọn đáp án B Câu 70. Cho hàm số y =x − 2 x + 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R \ {−3}. Ta có y0 =5 (x + 3)2> 0, ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞). Chọn đáp án B Câu 71. Cho hàm số y = x3 − 3x + 1. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên (1; 2). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên (−1; 1). D. Hàm số nghịch biến trên (−1; 2). Lời giải. Tập xác định: D = R. 56 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Ta có y0 = 3x2 − 3, y0 = 0 ⇔ Bảng xét dấu x y0 "x = −1 x = 1. −∞ −1 1 +∞ + 0 − 0 + Vậy hàm số nghịch biến trên (−1; 1) nên khẳng định hàm số nghịch biến trên (−1; 2) là sai. Chọn đáp án D Câu 72. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ −2 0 +∞ y0 + 0 − 0 + y −∞ 1 −3 +∞ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−3; 1). B. (0; +∞). C. (−∞; −2). D. (−2; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy y0 < 0, ∀x ∈ (−2; 0). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0). Chọn đáp án D Câu 73. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau x −∞ 0 2 +∞ f0(x) f(x) − 2 −∞ − 0 + +∞ 2 +∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; 2). B. (0; 2). C. (2; +∞). D. (0; +∞). Lời giải. Hàm số nghịch biến trên (0; 2). Chọn đáp án B Câu 74. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 57 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − +∞ y −1 3 −∞ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0 : +∞). B. (0; 1). C. (−∞; 0). D. (−1; 1). Lời giải. Dựa vào BBT ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án B Câu 75. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; +∞). B. (−∞; −2). C. (−1; 0). D. (−2; 1). x y 1 −2 −1 1 2 O −1 −2 −3 −4 Câu 76. Cho hàm số y =x + 3 x + 2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên R. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên R \ {2}. D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). Lời giải. Tập xác định D = R \ {−2}. y0 = −−1 (x + 2)2< 0, ∀x ∈ D. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞). Chọn đáp án D Câu 77. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: 58 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + y +∞ 0 5 2 0 +∞ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−∞; 0). B. (0; 1). C. (−1; 1). D. (1; +∞). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên khoảng nghịch biến là (0; 1). Chọn đáp án B Câu 78. Hàm số y = 2x4 + 1 đồng biến trên khoảng Å A. −∞; −12ã. B.Å−12; +∞ã. C. (0; +∞). D. (−∞; 0). Lời giải. Ta có y0 = 8x3, suy ra y0 = 0 ⇔ 8x3 = 0 ⇔ x = 0. x y0 −∞ 0 +∞ − 0 + Bảng biến thiên (như hình bên) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). y +∞ 1 +∞ Chọn đáp án C Câu 79. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R? A. y = x2 + x. B. y = x4 + x2. C. y = x3 + x. D. y =x + 1 x + 3. Câu 80. Cho hàm số y =x + 1 x − 1. Khẳng định sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞) . C. Hàm số nghịch biến trên R \ {1}. D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Ta có y0 =−2 (x − 1)2< 0, ∀x 6= 1. Từ đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Chọn đáp án A Câu 81. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 59 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ −2 0 2 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 − y −∞ 3 −1 3 −∞ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0; 3). B. (0; +∞). C. (−∞; −2). D. (−2; 0). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2). Chọn đáp án C Câu 82. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ −1 2 +∞ y0 − 0 + 0 − y +∞ −3 4 −∞ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−3; 4). B. (−∞; −1). C. (2; +∞). D. (−1; 2). Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số tăng trên khoảng (−1; 2). Chọn đáp án D Câu 83. Cho hàm số y =14x4 − 2x2 + 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (2; +∞). Câu 84. Hàm số y = −x3 + 3x − 5 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞; −1). B. (−1; 1). C. (1; +∞). D. (−∞; 1). Câu 85. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + 0 − −∞ −∞ y − 0 + +∞ +∞ 60 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (−1; 0). B. (−1; 1). C. (−∞; −1). D. (0; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0) và (0; 1). Chọn đáp án A Câu 86. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2; 2). B. (−∞; 0). C. (0; 2). D. (2; +∞). x y 2 O 1 2 −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (−2; 2). Chọn đáp án A Câu 87. Hàm số y = x2ln x đạt cực trị tại điểm A. x =√e. B. x = 0, x =1√e. C. x = 0. D. x =1√e. Lời giải. Hàm số đã cho có tập xác định là D = (0; +∞). Do đó y0 = 0 ⇔ x(1 + 2 ln x) = 0 ⇔ x =1√e. Mặt khác y0 đổi dấu khi x đi qua x =1√enên x =1√elà điểm cực trị của hàm số đã cho. Chọn đáp án D Câu 88. Hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ 2 +∞ y0 y − 2 −∞ − +∞ 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên R \ {2}. B. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2); (2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2); (2; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên R. Lời giải. Theo bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Chọn đáp án C CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 61 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 89. Cho hàm số f(x) xác định trên R \ {1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. x −∞ −1 1 3 +∞ + 0 − − −2 −∞ −∞ +∞ y0 0 + +∞ y 2 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 3). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (2; +∞). C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (3; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). Lời giải. 1 Sai vì khoảng (−1; 3) không nằm trong tập xác định. 2 Sai vì trong khoảng (2; +∞) thì khoảng (2; 3) hàm nghịch biến. 3 Đúng. 4 Sai vì trong khoảng (−1; 0) hàm nghịch biến. Chọn đáp án C Câu 90. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây: x −∞ −4 −1 +∞ y0 + 0 + 0 − y −∞ 0 3 −∞ Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 3). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−4; −1). Lời giải. Theo bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng (−4; −1). Chọn đáp án D Câu 91. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng xác định của chính nó? A. y = x3 + x2 − x − 1. B. y = x3 − x2 + 2x − 1. C. y = x4 − 2x2 + 3. D. y =x + 1 x − 1. Lời giải. Xét hàm số y = x3 − x2 + 2x − 1. Tập xác định D = R. Å Ta có y0 = 3x2 − 2x + 2 = 3 x −13ã2+53> 0, ∀x ∈ R. Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định R. Chọn đáp án B 62 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 92. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau. x −∞ −2 0 2 +∞ + 0 − y0 − 0 + Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0). Lời giải. Từ bảng xét dấu đạo hàm suy ra y0 < 0, ∀x ∈ (0; 2) ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án C Câu 93. Hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1 đồng biến trên khoảng? A. (−∞; 3) và (3; +∞). B. (−∞; −1) và (1; 3). C. (−1; 3) và (3; +∞). D. (−∞; −1) và (3; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. Ta có y0 = 3x2 − 6x − 9, y0 > 0 ⇔ x2 − 2x − 3 > 0 ⇔ "x < −1 x > 3. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (3; +∞). Chọn đáp án D Câu 94. y Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên 2 khoảng nào dưới đây? A. (0; 2). B. (−2; 2). C. (2; +∞). D. (−∞; 0). O x −1 1 2 −2 Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Chọn đáp án A Câu 95. Cho hàm số y =2x + 1 x + 1. Mệnh đề đúng là A. Hàm số đồng biến trên tập R. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1). Ta có y0 =1 Lời giải. (x + 1)2> 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 63 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 96. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x f0(x) f(x) −∞ −2 0 2 +∞ + 0 − − −2 −∞ +∞ +∞ 0 + +∞ 6 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). Lời giải. Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án A Câu 97. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng A. (−1; +∞). B. (−1; 1). C. (−∞; 1). D. (−∞; −1). −2 −1 y 3 2 1 O x 1 2 3 −1 −2 Lời giải. Trên khoảng (−∞; −1) đồ thị hàm số "đi lên" từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên (−∞; −1). Chọn đáp án D Câu 98. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x −∞ 0 2 +∞ y0 + 0 − 0 + y −∞ 4 0 +∞ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hàm số đồng biến trên tập (−∞; 0) ∪ (2; +∞). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 4). 64 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Chọn đáp án D Câu 99. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R? A. y =x − 2 x + 1. B. y = x3 + 3x + 5. C. y = x4 + 2x2 + 3. D. y = tan x. Câu 100. Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Lời giải. y 3 2 O x 1 Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (1; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Chọn đáp án B CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 65 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 ĐÁP ÁN 1. B 11. A 21. D 31. A 41. D 51. A 61. C 71. D 81. C 91. B 2. B 12. B 22. D 32. D 42. D 52. B 62. C 72. D 82. D 92. C 3. A 13. D 23. A 33. D 43. D 53. B 63. D 73. B 83. B 93. D 4. B 14. C 24. A 34. D 44. C 54. D 64. D 74. B 84. B 94. A 5. D 15. D 25. C 35. A 45. D 55. C 65. D 75. C 85. A 95. B 6. B 16. B 26. D 36. C 46. C 56. C 66. A 76. D 86. A 96. A 7. D 17. D 27. C 37. B 47. C 57. D 67. A 77. B 87. D 97. D 8. A 18. A 28. D 38. A 48. D 58. B 68. B 78. C 88. C 98. D 9. C 19. C 29. B 39. A 49. A 59. C 69. B 79. C 89. C 99. B 10. C 20. D 30. D 40. B 50. B 60. B 70. B 80. A 90. D 100. B 66 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 2 Mức độ nhận thông hiểu 4;π2 là Câu 1. Giá trị của m để hàm số y =cot x π "m ≤ 0 cot x − mnghịch biến trên A. 1 ≤ m < 2. B. 1 ≤ m < 2. C. m ≤ 0. D. m > 2. Lời giải. Ta có y0 =2 − m (cot x − m)2· (cot x)0 =2 − m (cot x − m)2·−1 sin2 x. 4;π2 thì cot x ∈ (0; 1) Để hàm số đồng biến trên π4;π2 thì Khi x ∈ π (cot x − m 6= 0 y0 > 0, ∀x ∈ 4;π2 ⇔m /∈ (0; 1) π 2 − m > 0, ∀x ∈ π 4;π2 ⇔ (m ≤ 0 1 ≤ m < 2. Chọn đáp án A Câu 2. Trong hai hàm số f(x) = x4 + 2x2 + 1 và g(x) = x (−∞; −1)? x + 1Hàm số nào nghịch biến trên khoảng A. Không có hàm số nào cả. B. Chỉ g(x). C. Cả f(x) và g(x). D. Chỉ f(x). Lời giải. Ta có f(x) = x4 + 2x2 + 1 xác định trên R, f0(x) = 4x3 + 4x. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0). Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). Hàm số g(x) = x x + 1xác định trên khoảng (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) và g0(x) = 1 (x + 1)2> 0 với mọi x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). Do đó hàm số g(x) = x x + 1đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). Chọn đáp án C Câu 3. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị của hàm y = f0(x), y = g0(x) như hình vẽ. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = f(x) − g(x). A. (−1; 0) và (1; +∞). B. (−∞; −1) và (0; 1). C. (1; +∞) và (−2; −1). D. (−2; +∞). CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 67 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 y 4 2 −2 1 O 1 2 −2 x Lời giải. Ta có y0 = f0(x) − g0(x) Dựa vào đồ thị hàm số y = f0(x) và y = g0(x) ta có BBT x −∞ −1 0 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 + +∞ +∞ y KL: Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞). Chọn đáp án A Câu 4. Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f0(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1; 2). B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (−2; 1). C. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1). D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). Lời giải. y −2 O 2 x Từ đồ thị của y = f0(x), ta có với x ∈ (0; 2), f0(x) < 0. Suy ra f(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2). Chọn đáp án D Câu 5. Cho hàm số y =2x − 1 x + 1. Khẳng định nào sau đây đúng? 68 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 A. Hàm số luôn nghịch biến trên R. B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). D. Hàm số luôn đồng biến trên R. Lời giải. Tập xác định: D = R \ {−1}. Ta có: y0 =3 (x + 1)2> 0, ∀x ∈ D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). Chọn đáp án B Câu 6. Hàm số y = −x3 − 3x2 + 9x + 20 đồng biến trên các khoảng nào? A. (−3; 1). B. (−∞; 1). C. (−3; +∞). D. (1; 2). Lời giải. Tập xác định: D = R. y0 = −3x2 − 6x + 9 y0 > 0 ⇔ −3x2 − 6x + 9 > 0 ⇔ −3 < x < 1 Vậy hàm số đồng biến trên (−3; 1). Chọn đáp án A Câu 7. Cho hàm số y = −14x4 + x2 + 2. Tìm khoảng đồng biến của hàm số đã cho? A. (0; 2). B.Ä−∞; −√2ävà Ä0; √2ä. C.Ä−√2; 0ävà Ä√2; +∞ä. D. (−∞; 0) và (2; +∞). Lời giải. Tập xác định: D = R. y0 = −x3 + 2x = 0 ⇔ Bảng xét dấu y0:  x = −√2 x = 0 x =√2 −∞ −√2 0√2 +∞ x y0 + 0 − 0 + 0 − Vậy hàm số đồng biến trên khoảng Ä−∞; −√2ävà Ä0; √2ä. Chọn đáp án B Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −13x3 − 2 (2m + 3) x + 4 nghịch biến trên R? A. −1 ≤ m ≤ 3. B. −3 < m < 1. C. −1 < m < 3. D. −3 ≤ m ≤ 1. Lời giải. Ta có y0 = −x2 + 2mx − 2m − 3. Để hàm số nghịch biến trên R thì y0 = −x2 + 2mx − 2m − 3 ≤ 0∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ m2 − 2m − 3 ≤ 0 ≤⇔ −1 ≤ m ≤ 3. Chọn A. Chọn đáp án A CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 69 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 Câu 9. Cho các hàm số f(x) = x4 + 2018, g(x) = 2x3 − 2018 và h(x) = 2x − 1 x + 1. Trong các hàm số đã cho, có tất cả bao nhiêu hàm số không có khoảng nghịch biến? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. *f(x) = x4 + 2018 (TXĐ: D = R) ⇒ f0(x) = 4x3; f0(x) = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên: x −∞ 0 +∞ y0 0 + − +∞ +∞ y Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) , do đó hàm số không thỏa mãn đề bài. *g(x) = x3 − 2018 (TXĐ: D = R) ⇒ g0(x) = 6x2 ≥ 0 (∀x ∈ R). Suy ra hàm số luôn đồng biến trên R, do đó hàm số thỏa mãn đề bài. *h(x) = 2x − 1 x + 1(TXĐ: D = R \ {−1}) ⇒ h0(x) = 3 (x + 1)2 > 0 (∀x ∈ D). Suy ra hàm số luôn đồng biến trên (−∞; −1) và (−1; +∞), do đó hàm số thỏa mãn đề bài. Vậy có hai hàm số không có khoảng nghịch biến. Chọn đáp án A Câu 10. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây y −1 1 A. (0; 1). B. (−∞; −1). C. (−1; 1). D. (−1; 0). x O −1 −2 Lời giải. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0), (1; +∞) Chọn đáp án D Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − 2 đồng biến trên khoảng (1; 3)? A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ [5; 2). C. m ∈ (2; +∞). D. m ∈ (−∞; 2]. Lời giải. Tập xác định D = R. y0 = 4x3 − 4(m − 1)x. Trường hợp 1: m ≤ 1 ⇒ y0 = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên 70 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡ Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ 0 +∞ y0 − 0 + y +∞ f(0) +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (1; 3). Trường hợp 2: m > 1 ⇒ y0 = 0 ⇔ "x = 0 x = ±√m − 1. Bảng biến thiên x f0(x) −∞ −√m − 1 0√m − 1 +∞ − 0 + 0 − 0 + f(x) +∞ f(−√ f(− m − 1) √m − 1) f(0) f(√ f( m − 1) √m − 1) +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số đồng biến trên (1; 3) ⇒√m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2. Suy ra m ∈ (1; 2] thì hàm số đồng biến trên (1; 3). Vậy m ∈ (−∞; 1] ∪ (1; 2] = (−∞; 2] thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3). Chọn đáp án D Câu 12. Cho hàm số y = f (x). y Hàm số y = f0(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f (x2) có bao nhiêu khoảng nghịch biến. A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. x −1O 1 4 Lời giải. Ta có y0 = [f (x2)]/ = 2x.f0(x2). Ta có y0 < 0 ⇔   (x > 0 f0x2 < 0 (x < 0 f0x2 > 0 ⇔ (x > 0   x2 < −1 ∨ 1 < x2 < 4 (x < 0 − 1 < x2 < 1 ∨ x2 > 4 ⇔ "1 < x < 2 x < −2 ∨ −1 < x < 0 Vậy hàm số y = f (x2) có 3 khoảng nghịch biến. Chọn đáp án B Câu 13. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên như hình sau: CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 71 Tuyển tập Toán 12 THPT Kỳ thi THQG 2020 x −∞ −1 1 +∞ y0 + 0 − 0 + +∞ y −∞ Mệnh đề sau đây đúng? 2 −1 A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −3) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) . Lời giải. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) nên đồng biến trên (−∞; −3). Chọn đáp án A Câu 14. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R? A. y = −x4 + 2x2 + 1. B. y = sin x. C. y =x + 2 x − 1. D. y = −x3 − 2x. Lời giải. Đáp án A sai vì hàm bậc bốn trùng phương không nghịch biến trên R (nó luôn có cực trị). 2+ k2π;3π2+ k2πã. Åπ Đáp án B sai vì hàm y = sin x nghịch biến trên mỗi khoảng Đáp án C sai và hàm số y =x + 2 x − 1nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Đáp án D đúng vì hàm số y = −x3 − 2x có nên hàm số nghịch biến trên R. Chọn đáp án D Câu 15. Tìm tất cá các giá trị thực của tham số m để hàm số y =13x3 − 2mx2 + 4x − 5 đồng biến trên R. A. 0 < m < 1. B. −1 ≤ m ≤ 1. C. 0 ≤ m ≤ 1. D. ˘1 < m < 1. Lời giải. Ta có y0 = x2 − 4mx + 4. Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y0 > 0, ∀x ∈ R ⇔ (a = 1 > 0 ∆0 = (−2m)2 − 4 6 0⇔ −1 6 m 6 1. Chọn đáp án B Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; +∞) ? A. y = x4 − x2 + 3. B. y =x − 2 2x − 3. C. y = −x3 + x − 1. D. y =3 − x x + 1. Lời giải. Phương pháp: Tìm các khoảng đồng biến của mỗi hàm số ở các đáp án và đối chiếu kết quả. Cách giải: a) Xét hàm số y = x4 − x2 + 3. Ta có y0 = 4x3 − 2x = 2x (2x2 − 1)  Khi đó y0 > 0 ⇔ −1√2< x < 0 x >1√2 72 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Geogebrapro ‡