🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tuyển Tập Câu Hỏi Trắc Nghiệm Môn Toán 10 Năm 2020 - 2021 (Có Đáp Án Và Lời Giải) Ebooks Nhóm Zalo Mục lục I ĐẠI SỐ 1 1 MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2 1 MỆNH ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Mệnh đề chứa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mệnh đề phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 Mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Các kí hiệu ∀ và ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 } Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 } Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 } Dạng 3. Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Tập hợp và phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Cách xác định tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Tập hợp rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Tập con. Hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 } Dạng 1. Xác định tập hợp - phần tử của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 } Dạng 2. Tập hợp rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 } Dạng 3. Tập con. Tập bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 Giao của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2 Hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 } Dạng 1. Tìm giao và hợp của các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 } Dạng 2. Hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 } Dạng 3. Sử dụng biểu đồ Ven và công thức tính số phần tử của tập hợp A ∪ B để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 CÁC TẬP HỢP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 Các tập hợp số đã học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2 Các tập con thường dùng của R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 } Dạng 1. Xác định giao - hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 } Dạng 2. Xác định hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 118 } Dạng 3. Tìm m thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5 SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 B Quy tròn số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 176 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 1 Hàm số và tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2 Cách cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4 Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5 Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 } Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 } Dạng 2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 } Dạng 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . 181 } Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 } Dạng 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2 HÀM SỐ Y = AX + B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 3/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 } Dạng 2. Xác định hệ số a và b của số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 } Dạng 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối 283 } Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số cho bởi hệ nhiều công thức . . . . . . . . . . . . . . . 286 } Dạng 5. Sự tương giao giữa các đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 3 HÀM SỐ BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 1 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 2 Đồ thị của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 3 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 4 Phương trình hoành độ giao điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 5 Định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 6 Một vài công thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 } Dạng 1. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . 371 } Dạng 2. Tìm tọa độ của đỉnh và các giao điểm của parabol với các trục tọa độ. Tọa độ giao điểm giữa parabol (P) và một đường thẳng. . . . . . . . . . . . . 375 } Dạng 3. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm của parabol (P) và đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 } Dạng 4. Xác định hàm số bậc hai khi biết các yếu tố liên quan. . . . . . . . . . 379 } Dạng 5. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối của một hàm bậc hai 384 } Dạng 6. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số đối với trị tuyệt đối của biến . . 385 } Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 3 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 524 1 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 A Tìm tập xác định của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 } Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 524 B Phương trình hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 2 Các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả thường gặp . . . . . . . . . . 529 3 Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ quả . . . . . . . . . 530 } Dạng 2. Khử mẫu (nhân hai vế với biểu thức) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 } Dạng 3. Bình phương hai vế (làm mất căn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 C Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 } Dạng 4. Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương . . . . . . . . 538 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 D Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI . . . . . . . . . 583 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 4/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 } Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 } Dạng 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 } Dạng 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . 594 } Dạng 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình bậc bốn trùng phương . . . 603 } Dạng 5. Biện luận theo m có áp dụng định lí Viète . . . . . . . . . . . . . . . . 607 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN . . . . . . . . . 727 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 3 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 } Dạng 1. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 } Dạng 2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 } Dạng 3. Giải và biện luận hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn có chứa tham số (PP Crame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811 A Hệ phương trình gồm các phương trình bậc nhất và bậc hai . . . . . . . . . . . . . 811 B Hệ phương trình đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 C Hệ phương trình đối xứng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 } Dạng 1. Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 } Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số thỏa điều kiện cho trước. . . . . . . . . . . 821 D Hệ phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 E Hệ phương trình hai ẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829 4 BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH 840 1 BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 } Dạng 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 } Dạng 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 } Dạng 3. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 } Dạng 4. Sử dụng các bất đẳng thức hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 } Dạng 5. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc -tơ . . . . . . . . . . . . 855 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 5/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN . . . . . . . . . . . 898 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 1 Giải và biện luận bất phương trình ax + b > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 2 Giải và biện luận bất phương trình ax + b ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 } Dạng 1. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 } Dạng 2. Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . 904 } Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 } Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 } Dạng 5. Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . 909 } Dạng 6. Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 1 Nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 2 Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 } Dạng 1. Xét dấu tích - thương các nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 985 } Dạng 2. Xét dấu nhị thức có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990 } Dạng 3. Giải bất phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 } Dạng 4. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . 998 } Dạng 5. Giải bất phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . 1002 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 2 Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 } Dạng 1. Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . 1054 } Dạng 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 1057 } Dạng 3. Các bài toán thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060 5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 1 Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 2 Định lí về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 6/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC 3 Định lí về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 4 Bất phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 } Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 } Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn mang một dấu . . 1076 } Dạng 3. Giải bất phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 } Dạng 4. Bài toán có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 5 THỐNG KÊ 1209 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 1 Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 2 Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 } Dạng 1. Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 } Dạng 2. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp . . . . . . . . . . . . . . 1213 2 BIỂU ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 1 Biểu đồ tần suất hình cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 2 Đường gấp khúc tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 3 Biểu đồ hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 } Dạng 1. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 } Dạng 2. Biểu đồ đường gấp khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224 } Dạng 3. Biểu đồ hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229 3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 1 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 2 Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 3 Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234 } Dạng 1. Số trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234 } Dạng 2. Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235 } Dạng 3. Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237 4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244 } Dạng 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu KHÔNG ghép lớp . 1244 } Dạng 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu ghép lớp . . . . . . 1247 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 7/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1254 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 1 Khái niệm cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 2 Số đo của cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256 } Dạng 1. Liên hệ giữa độ và rađian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256 } Dạng 2. Độ dài cung lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257 } Dạng 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác . . . . . . . . . . 1259 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 3 Ý nghĩa hình học của tang và côtang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277 4 Công thức lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277 5 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 1278 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 } Dạng 1. Dấu của các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 } Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282 } Dạng 3. Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . 1285 } Dạng 4. Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 1287 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325 A Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325 } Dạng 1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325 B Công thức nhân đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 C Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 } Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc cho trước . . . . . . . . . . . . 1329 } Dạng 3. Rút gọn biểu thức cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330 } Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330 D Công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333 } Dạng 5. Biến đổi một biểu thức thành một tổng hoặc thành một tích . . . . . . 1333 } Dạng 6. Chứng minh một đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337 } Dạng 7. Dùng công thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) của một biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342 } Dạng 8. Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức trong tam giác . . . . . . . . . . 1346 E Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 8/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC II HÌNH HỌC 1394 1 VEC-TƠ 1395 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395 1 Định nghĩa, sự xác định véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395 2 Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396 3 Hai véc-tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397 } Dạng 1. Xác định một véc-tơ, phương hướng của véc-tơ, độ dài của véc-tơ . . . 1397 } Dạng 2. Chứng minh hai véc-tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 1 Định nghĩa tổng và hiệu hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 2 Quy tắc hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 3 Các tính chất của phép cộng, trừ hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 } Dạng 1. Xác định véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 } Dạng 2. Xác định điểm thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước . . . . . . . . . . . . . 1426 } Dạng 3. Tính độ dài của tổng và hiệu hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1430 } Dạng 4. Chứng minh đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444 3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495 } Dạng 1. Các bài toán sử dụng định nghĩa và tính chất của phép nhân véc-tơ với một số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495 } Dạng 2. Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương . . . . . . . . 1497 } Dạng 3. Chứng minh đẳng thức véc-tơ có chứa tích của véc-tơ với một số . . . . 1502 } Dạng 4. Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 } Dạng 5. Xác định M thoả mãn đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513 C Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517 D Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524 4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 } Dạng 1. Tìm tọa độ của một điểm và độ dài đại số của một véc-tơ trên trục . 1612 } Dạng 2. Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy1616 } Dạng 3. Tính tọa độ trung điểm - trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 9/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, điểm thuộc đường thẳng . . . . . . . 1622 C Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627 D Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG 1695 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦. . . . . . . . . 1695 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0◦ đến 180◦. . . . . . . . . . . . . . 1695 2 Góc giữa hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 } Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696 } Dạng 2. Tính giá trị các biểu thức lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698 } Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1700 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 3 Tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 2 Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 } Dạng 1. Các bài toán tính tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . 1738 } Dạng 2. Tính góc giữa hai véc-tơ -góc giữa hai đường thẳng-điều kiện vuông góc 1742 } Dạng 3. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hoặc về độ dài. . . . . . . . . 1745 } Dạng 4. Ứng dụng của biểu thức toạ độ tích vô hướng vào tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750 } Dạng 5. Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác - tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758 4 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . 1827 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827 2 Định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827 3 Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 4 Các công thức diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 } Dạng 1. Một số bài tập giúp nắm vững lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 } Dạng 2. Xác định các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết một số yếu tố về cạnh và góc của tam giác đó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835 } Dạng 3. Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1840 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 10/2406 ‡ GeoGebra MỤC LỤC MỤC LỤC } Dạng 4. Chứng minh hệ thức liên quan giữa các yếu tố trong tam giác . . . . . 1842 } Dạng 5. Nhận dạng tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847 } Dạng 6. Nhận dạng tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1850 } Dạng 7. Nhận dạng tam giác đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853 } Dạng 8. Ứng dụng giải tam giác vào đo đạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1949 1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 1 Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 2 Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 3 Phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 4 Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 5 Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950 } Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 1950 } Dạng 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 1951 } Dạng 3. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 1954 } Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 1957 } Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác của góc do ∆1 và ∆2 tạo thành . . 1959 } Dạng 6. Phương trình đường thẳng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 1962 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 1 Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính . . . . . . . . . . . . . . . 2080 2 Dạng khác của phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 } Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080 } Dạng 2. Lập phương trình đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082 } Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm . . . . . . . 2089 } Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi một điểm . . . . . . . 2092 } Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097 } Dạng 6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . . . 2104 } Dạng 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109 } Dạng 8. Phương trình đường thẳng chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110 } Dạng 9. Phương trình đường tròn chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 11/2406 ‡ GeoGebra } Dạng 10. Tìm tọa độ một điểm thỏa một điều kiện cho trước . . . . . . . . . . 2117 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129 3 ĐƯỜNG ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 2 Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 3 Hình dạng của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2180 } Dạng 1. Xác định các yếu tố của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2180 } Dạng 2. Viết phương trình đường Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183 } Dạng 3. Tìm điểm thuộc elip thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . 2186 C Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197 III ĐỀ KIỀM HKI 2225 1 Đề HK1, Bình Phú, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226 2 Đề HK1 T10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2230 3 Đề HK1, THPT Trần Phú, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242 4 HK1, Toán 10, Sở GD & ĐT Bắc Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251 5 Trung Học Thực Hành Sư Phạm-HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259 6 Phước Vĩnh, Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263 7 HK1, Chuyên QH Huế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271 8 Đề HK1, Trần Quốc Tuấn, Gia Lai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281 9 Đề thi HK1 Toán 10, Nguyễn Việt Dũng, Cần Thơ . . . . . . . . . . . . . . . 2284 10 Đề HK1 Toán 10, Phước Thạnh, Tiền Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2290 IV ĐỀ KIỀM HKII 2302 11 Đề HK2 (2016-2017), Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh . . . . . . . . . . . . . . 2303 12 Đề HK2, THPT Long Mỹ, Hậu Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318 13 Đề HK2, THPT Hải An - Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326 14 Đề HK2, Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332 15 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo An Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338 16 Đề GHK2, THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . . . . . . . . 2350 17 Đề GHK2, THPT Nguyễn Trãi, Khánh Hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363 18 Đề HK2, THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2370 19 Đề HK2, THPT Nguyễn Trãi, Ba Đình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385 20 Đề HK2, THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . . . . . . . . . 2393 PHẦN I ĐẠI SỐ 1 Chương 1: MỆNH ĐỀ TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 MỆNH ĐỀ Định nghĩa. Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. • Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. • Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Những điểm cần lưu ý. • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề. • Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa. Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3”. • Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa ! đúng vừa sai cũng là một mệnh đề. Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề. • Trong thực tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học. 2 MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Định nghĩa. Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi là những mệnh đề chứa biến. Å1 Ví dụ: Cho P(x) : x > x2 với x là số thực. Khi đó P(2) là mệnh đề sai, P 2 3 MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH ã là mệnh đề đúng. Định nghĩa. Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P. 2 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. • Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2 là số chẵn”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là P: “2 không phải là số chẵn” hoặc “2 là số lẻ”. 4 MỆNH ĐỀ KÉO THEO VÀ MỆNH ĐỀ ĐẢO Định nghĩa. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. • Kí hiệu là P ⇒ Q. • Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. • P ⇒ Q còn được phát biểu là “ P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. Chú ý • Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q. Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P. • Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm ! đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là một mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai. Định nghĩa. Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là một mệnh đề đúng. 5 MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Định nghĩa. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương. • Kí hiệu là P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) • P ⇔ Q còn được phát biểu là “P khi và chỉ khi Q”, “P tương đương với Q”, hay “P là điều kiện cần và đủ để có Q”. !Hai mệnh đề P, Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 3/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ 6 CÁC KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃ • Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P(x)” hoặc “∀x ∈ X : P(x)”. • Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P(x)” hoặc “∃x ∈ X : P(x)”. !Chú ý • Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)”. • Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)”. B CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) A : “√6 là số hữu tỉ”. b) B : “n chia hết cho 3 và 5 thì n chia hết cho 15”. c) C : “∀x ∈ N : x2 + x + 3 > 0”. d) D : “∃x ∈ N, ∃y ∈ R :xy+yx= 2”. Lời giải. a) A : “√6 không là số hữu tỉ”. b) B : “n không chia hết cho 3 hoặc n không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 ”. c) C : “∃x ∈ N : x2 + x + 3 ≤ 0”. d) D : “∀x ∈ N, ∀y ∈ R :xy+yx6= 2”. Ví dụ 2. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó: a) ∀x ∈ R : x2 + 6 > 0. b) ∃x ∈ R : x2 + x + 1 = 0. c) ∃x ∈ R : x > x2. Lời giải. a) Mệnh đề đúng. Phủ định là A : ∃x ∈ R : x2 + 6 ≤ 0. b) Mệnh đề sai vì phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm trong R. Phủ định là B : “∀x ∈ R : x2 + x+ 6= 0. c) Mệnh đề đúng, ví dụ x =12. Phủ định là ∀x ∈ R : x ≤ x2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 4/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Ví dụ 3. Điều chỉnh các mệnh đề sau để được các mệnh đề đúng: a) ∀x ∈ R : 3x − 1 = 0. b) ∀x ∈ R : x2 − 4x = 0. c) ∃x ∈ R : x2 + 1 < 0. d) ∀x ∈ R : x >1x. Lời giải. a) ∃x ∈ R : 3x − 1 = 0. b) ∃x ∈ R : x2 − 4x = 0. c) ∃x ∈ R : x2 + 1 > 0 hoặc ∀x ∈ R : x2 + 1 > 0. d) ∃x ∈ R : x >1x. Ví dụ 4. Chứng minh “Nếu n2là số chẵn thì n là số chẵn.” Lời giải. Giả sử n là số lẻ ⇒ n = 2k + 1, k ∈ N ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 ⇒ n2là số lẻ (trái giả thiết). Vậy n là số chẵn. Ví dụ 5. Chứng minh rằng: a) Với mọi số nguyên n thì n3 − n chia hết cho 3. b) Với mọi số nguyên n thì n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 6. Lời giải. a) Ta có: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1). Do n − 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3. Khi đó (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3 hay n3 − n chia hết cho 3. b) Ta có n − 1, n là 2 số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 2. Xét 3 số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, trong 3 số này có ít nhất 1 số chia hết cho 3. • Nếu 1 trong 2 số n − 1, n cho hết cho 3 thì tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 3. • Nếu n+1 chia hết cho 3 thì 2n−1 = 2(n+1)−3 cũng chia hết cho 3. Suy ra tích n(n−1)(2n−1) chia hết cho 3. Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chia hết cho 6. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Hãy xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau đây và tìm mệnh đề phủ định của chúng: a) A : “∀x ∈ R : x2 > 1”. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 5/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ b) B : “∃x ∈ Z : 6x2 − 13x + 6 = 0”. c) C : “∀x ∈ N, ∃y ∈ N : y = x + 2”. d) D : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R :xy+yx≥ 0”. Lời giải. a) Mệnh đề sai, ví dụ như x = 0. Phủ định là A : “∃x ∈ R : x2 ≤ 1”. b) Mệnh đề sai vì 6x2 − 13x + 6 = 0 ⇔  x =32 x =23, cả hai nghiệm đều không thuộc Z. Phủ định là B : “∀x ∈ Z : 6x2 − 13x + 6 6= 0”. c) Mệnh đề đúng. Phủ định là C : “∃x ∈ N, ∀y ∈ N : y 6= x + 2”. d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1, y = −2. Phủ định là D : “∃x ∈ R, ∃y ∈ R :xy+yx< 0”. Bài 2. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau. Nếu mệnh đề sai hãy sửa lại cho đúng: a) ∀x ∈ R : x > 4 ⇒ x > 16. b) ∀x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > 6. (ax2 + bx + c = 0 a 6= 0có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = 0. c) d) ∀a, b, c ∈ R :  (a > b b > c⇔ a > c. a... 3 e) ∀a, b ∈ Z : Lời giải.  b... 2⇔ ab ... 6. a) Mệnh đề đúng. b) Mệnh đề sai, ví dụ x = −7. Sửa lại là ∀x ∈ R : x > 6 ⇒ x2 > 36 hoặc ∃x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > 6. c) Mệnh đề đúng. d) Mệnh đề (a > b b > c⇒ a > c là đúng. Mệnh đề a > c ⇒ Như vậy mệnh đề (a > b b > clà sai, vì dụ như a = 3, c = 1, b = 0. (ax2 + bx + c = 0 a 6= 0có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = 0 là sai. Sửa lại mệnh đề đúng là ∀a, b, c ∈ R : Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em (a > b b > c⇒ a > c. Trang 6/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ e) Mệnh đề   a... 3 b... 2⇒ ab ... 6 là đúng. Mệnh đề ab ... 6 ⇒  a... 3 b... 2là sai, ví dụ như a = 6, b = 1.  Như vậy mệnh đề ∀a, b ∈ Z :   a... 3 b... 2⇔ ab ... 6 là sai.  Sửa lại mệnh đề đúng là ∀a, b ∈ Z :  a... 3 b... 2⇒ ab ... 6 Bài 3. Xét tính đúng - sai các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng: a) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2. b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 + 2 > b2 + 1. c) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a + b > 1. d) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 < b. e) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 = b + 1. f) ∀a, b, c ∈ R mà a + b + c = 0 thì −a2 + b2 + c2 Lời giải. a) Mệnh đề sai vì (a + b)2 = a2 − 2ab + b2. 2= ab + bc + ca. Phủ định là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : (a + b)26= a2 − 2ab + b2. b) Mệnh đề sai, ví dụ a = 0, b = 2. Phủ định là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 + 2 ≤ b2 + 1. c) Mệnh đề đúng. Phủ định là ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a + b ≤ 1. d) Mệnh đề sai, ví dụ a = 3, b = 1. Phủ định là ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 ≥ b. e) Mệnh đề đúng, số b xác định bởi b = a2 − 1, ∀a ∈ R. Phủ định là ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 6= b + 1. f) Mệnh đề đúng vì a + b + c = 0 ⇔ (a + b + c)2 = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0 ⇔ −a2 + b2 + c2 2= ab + bc + ca. Phủ định là ∃a, b, c ∈ R mà a + b + c 6= 0 thì −a2 + b2 + c2 26= ab + bc + ca. Bài 4. Chứng minh rằng ∀a, b > 0 :ab+ba≥ 2. Lời giải. Giả sử: ab+ba< 2 ⇒ a2 + b2 < 2ab ⇒ (a − b)2 < 0 (vô lý). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 7/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Vậy ∀a, b > 0 :ab+ba≥ 2. Bài 5. a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Nếu x 6= −1 và y 6= −1 thì x + y + xy 6= −1. c) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. d) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0. Lời giải. a) Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1, suy ra a + b ≥ 2 (trái giả thiết). Vậy nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Giả sử: x + y + xy = 1 ⇒ x + 1 + y + xy = 0 ⇒ (x + 1)(y + 1) = 0 ⇒ Vậy nếu x 6= −1 và y 6= −1 thì x + y + xy 6= −1. "x = −1 y = −1(trái giả thiết). c) Giả sử tổng a + b là số lẻ thì một trong hai số a, b có 1 số là số lẻ còn số còn lại là số chẵn nên tích a.b là số chẵn (trái giả thiết). Vậy nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. d) Giả sử x 6= 0 hoặc y 6= 0. • Nếu x 6= 0 ⇒ x2 > 0 ⇒ x2 + y2 > 0 (trái giả thiết). • Nếu y 6= 0 ⇒ y2 > 0 ⇒ x2 + y2 > 0 (trái giả thiết). Vậy nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0. Bài 6. Chứng minh rằng Lời giải. (|x| < 1 |y| < 1⇒ |x + y| < |1 + xy|. Giả sử |x + y| ≥ |1 + xy| ⇒ (|x + y|)2 ≥ (|1 + xy|)2 ⇒ x2 + y2 + 2xy ≥ 1 + x2y2 + 2xy ⇒ (1 − x2) (1 − y2) ≤ 0 (|x| ≥ 1 ⇒   (1 − x2 ≤ 0 1 − y2 ≥ 0 (1 − x2 ≥ 0 ⇒⇒   |y| ≤ 1 (|x| ≤ 1 (trái giả thiết) (|x| < 1 1 − y2 ≤ 0 |y| ≥ 1 |y| < 1⇒ |x + y| < |1 + xy|. Vậy Bài 7. Chứng minh √a +√a + 2 < 2√a + 1, ∀a > 0. Lời giải. Giả sử √a +√a + 2 ≥ 2√a + 1, ∀a > 0 ⇒√a +√a + 2 2≥2√a + 1 2 ⇒ a + 2pa(a + 2) + a + 2 ≥ 4(a + 1) ⇒pa(a + 2) ≥ a + 1, với a + 1 > 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 8/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ ⇒ a2 + 2a ≥ a2 + 2a + 1 ⇒ 0 > 1 (vô lí) Vậy ∀a > 0 : √a +√a + 2 < 2√a + 1. Bài 8. Chứng minh rằng nếu ac > 2(b + d) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm x2 + ax + b = 0 (1) x2 + cx + d = 0 (2) Lời giải. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm, khi đó ta có (∆1 = a2 − 4b < 0 ∆2 = c2 − 4d < 0⇒ a2 + c2 < 4(b + d) ⇒ a2 + c2 < 2ac (do 2(b + d) ≤ ac) ⇒ (a − c)2 < 0 (vô lí). Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm. Bài 9. Chứng minh khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Lời giải. Giả sử không có lồng nào chứa nhiều hơn 1 con gà. Khi đó số gà sẽ không nhiều hơn số lồng. Vậy có nhiều nhất là n con gà. Điều này mâu thuẫn với giải thiết có n + 1 con gà. Vậy khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà. Bài 10. Chứng minh với mọi số tự nhiên n: a) n2 + n + 1 không chia hết cho 9. b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49. Lời giải. a) Giả sử n2 + n + 1 chia hết cho 9, khi đó n2 + n + 1 = 9k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + n + 1 − 9k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên. Xét ∆ = 1 − 4(1 − 9k) = 36k − 3 = 3(12k − 1). Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − 1 không chia hết cho 3 nên ∆ không chia hết cho 9, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9. b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, khi đó n2 + 11n + 39 = 49k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên. Xét ∆ = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5). Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − 5 không chia hết cho 7 nên ∆ không chia hết cho 49, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết). Vậy n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 9/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ | Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ bằng nhau thì có độ dài bằng nhau”. b) Q : “Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau”. Lời giải. a) Mệnh đề P là mệnh đề đúng theo định nghĩa hai véc-tơ bằng nhau. b) Mệnh đề Q là mệnh đề sai. Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Như vậy còn thiếu điều kiện về hướng của hai véc-tơ. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Nếu AB2 + AC2 = BC2thì tam giác ABC vuông tại B. b) Nếu AB > AC thì C >b B“. c) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và Ab = 600. Lời giải. a) Mệnh đề sai. Mệnh đề đúng là: “Nếu AB2 + AC2 = BC2thì tam giác ABC vuông tại A”. b) Mệnh đề đúng theo mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. c) Mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều. Ví dụ 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC = BD. b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu nó có ba góc vuông. Lời giải. a) Mệnh đề sai. Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q trong đó mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD” là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai. b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Hai véc-tơ #»a và#»b cùng hướng với véc-tơ #»c thì #»a ,#»b cùng hướng. b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ #»0 và cùng phương thì có ít nhất hai véc-tơ cùng hướng. Lời giải. a) Mệnh đề đúng theo cách hiểu về hướng của véc-tơ. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 10/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ b) Mệnh đề đúng. Thật vậy: Xét ba véc-tơ #»a ,#»b , #»c khác véc-tơ #»0 và cùng phương. Khi đó có 2 trường hợp: Trường hợp 1. Hai véc-tơ #»a ,#»b cùng hướng Trường hợp này phù hợp kết luận. Trường hợp 2. Hai véc-tơ #»a ,#»b ngược hướng Khi đó nếu véc-tơ #»c ngược hướng với véc-tơ #»a thì #»c và#»b cùng hướng. Bài 2. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có một góc bằng 60◦ và hai đường trung tuyến bằng nhau. Lời giải. a) Mệnh đề sai vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nhưng ngược lại, hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có thể không bằng nhau. Ví dụ một tam giác vuông có cạnh góc vuông là 2 và 8, tam giác vuông thứ hai có cạnh góc vuông là 4 và 4 có cùng diện tích nhưng hai tam giác không bằng nhau. b) Mệnh đề đúng. Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý. +) Nếu tam giác ABC đều thì cả ba góc bằng 60◦ và cặp trung tuyến nào cũng bằng nhau. +) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau. Khi đó hình thang BCMN có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân. Do đó tam giác ABC có B“ = Cb và góc một góc bằng 60◦ nên tam giác ABC đều. Bài 3. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau: a) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ nó có hai đường chéo bằng nhau. Lời giải. a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành. b) Mệnh đề sai. Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không nhất thiết phải là hình bình hành. Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”. Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Lời giải. Phát biểu mệnh đề: Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Cách 2. “Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 11/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Bài 5. Xét các tập hợp: X: tập hợp các tứ giác. A: Tập hợp các hình vuông. B: Tập hợp các hình chữ nhật. D: Tập hợp các hình thoi. E: Tập hợp các tứ giác có trục đối xứng. Phát biểu thành lời nội dung các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈ A. b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈ D. c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈ B. d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈ E. e) ∃x ∈ E : x /∈ B. Lời giải. a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật đều là hình vuông”. Mệnh đề này sai vì hai cạnh của hình chữ nhật không phải lúc nào cũng bằng nhau. b) Phát biểu: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”. Mệnh đề này đúng vì mọi hình vuông đều là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng đều là hình chữ nhật”. Mệnh đề này sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng nhưng hình thang cân có các góc có số đo không nhất thiết phải bằng 90◦. d) Phát biểu: “Mọi hình thoi đều có trục đối xứng”. Mệnh đề này đúng vì mỗi hình thoi đều có ít nhất hai trục đối xứng là hai đường chéo. e) Phát biểu: “Tồn tại một tứ giác có trục đối xứng mà không phải là hình chữ nhật”. Mệnh đề này đúng, chẳng hạn hình thang cân có góc ở đáy bằng 60◦. | Dạng 3. Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định a) Phát biểu thành lời khi cho cho một mệnh đề dạng kí hiệu. b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu một mệnh đề. c) Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề. d) Phủ định một mệnh đề. ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: a) “∀x ∈ R, x2 6= 0”. b) “∃x ∈ R, x2 <12”. c) “∀x ∈ R,1x≥ x”. d) “∃x ∈ R,√x > x”. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 12/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ a) Mọi số thực đều có bình phương khác không. b) Tồn tại một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn 12. c) Mọi số thực đều có nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng chính nó. d) Tồn tại một số thực sao cho căn bậc hai của nó lớn hơn nó. Ví dụ 2. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau: a) Tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 9. b) Mọi số không âm đều lớn hơn không. c) Tồn tại một số thực không là số dương cũng không là số âm. Lời giải. a) “∃n ∈ N, n... 9”. b) “∀x ≥ 0, x > 0”. c) “∃x ∈ R, x = 0”. Ví dụ 3. Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau: a) “∀x ∈ R, x2 > 0”. b) “∀n ∈ N, n2 > n”. Lời giải. a) ∃x = 0 ∈ R, 02 = 0 ⇒ Mệnh đề sai. b) ∃n = 1 ∈ N, 12 = 1 ⇒ Mệnh đề sai. Ví dụ 4. Phủ định các mệnh đề sau đây: a) Tất cả bài tập trong sách này đều dễ. b) Có ít nhất một hình thang nội tiếp được trong đường tròn. c) “∃x ∈ R, x + 3 = 5”. d) “∀x ∈ R, x > 5”. Lời giải. a) Tồn tại một bài tập trong sách không dễ. b) Mọi hình thang đều không nội tiếp được trong đường tròn. c) “∀x ∈ R, x + 3 6= 5”. d) “∃x ∈ R, x ≤ 5”. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây: a) “∃x ∈ R,1x= x”. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 13/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ b) “∃n ∈ N,1n∈ N”. c) “∀x ∈ R, x2 − 4x + 8 > 0”. d) “∃x ∈ Z, x2 + 5x ≤ 0”. Lời giải. a) Tồn tại một số thực mà nghịch đảo của nó bằng với nó. b) Tồn tại số tự nhiên sao cho nghịch đảo của nó thuộc tập số tự nhiên. c) Với mọi số thực ta đều có bình phương của nó hiệu bốn lần nó và cộng thêm 8 lớn hơn 0. d) Tồn tại một số nguyên mà tổng bình phương của nó với năm lần nó bé hơn hoặc bằng 0. Bài 2. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau: a) Có một số tự nhiên khác không mà căn bậc hai của nó thuộc tập số tự nhiên khác không. b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. c) Có một số tự nhiên không là số nguyên. d) Mọi số tự nhiên đều là số thực. e) Tồn tại một số thực không có nghịch đảo. Lời giải. a) “∃n ∈ N∗,√n ∈ N∗”. b) “∀n ∈ Z, n ∈ N”. c) “∃n ∈ N, n /∈ Z”. d) “∀n ∈ N, n ∈ R”. e) “∃x ∈ R, không tồn tại 1x”. Bài 3. Phủ định các mệnh đề sau: a) Mọi học sinh trong lớp em đều biết dùng máy tính. b) Có một học sinh trong lớp em chưa được leo núi. c) Mọi học sinh trong lớp em không biết đá bóng. d) Có một học sinh trong lớp em thích bóng chuyền. Lời giải. a) Có một học sinh trong lớp em không biết dùng máy tính. b) Mọi học sinh trong lớp em đều được leo núi. c) Có một học sinh trong lớp em biết đá bóng. d) Mọi học sinh trong lớp em không thích bóng chuyền. Bài 4. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và nêu các mệnh đề phủ định của chúng. a) “∀x ∈ R, x2 − 7x + 15 > 0”. b) “∃x ∈ R, x3 + 2x2 + 8x + 16 = 0”. c) “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, 2x + 3y = 5”. d) “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 + y2 − 2x − 4y = −1”. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 14/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ a) Ta có: x2 − 7x + 15 = x2 − 2.72.x +494+ 15 −494=Åx −72ã2+114≥114> 0 ∀x ∈ R. Vậy mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “∃x ∈ R, x2 − 7x + 15 ≤ 0”. b) ∃x = −2 ∈ R,(−2)3 + 2.(−2)2 + 8.(−2) + 16 = 0 ⇒ Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ R, x3 + 2x2 + 8x + 16 6= 0”. c) ∃x = 0 ∈ R, ∃y = 0 ∈ R, 2.0 + 3.0 = 0 6= 0 ⇒ Mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định: “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, 2x + 3y 6= 0”. d) ∃x = 1 ∈ R, ∃y = 0 ∈ R, 12 + 02 − 2.1 − 4.0 = −1 ⇒ Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x2 + y2 − 2x − 4y = −1”. Bài 5. Tìm hai giá trị thực của x đề từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a) x2 < x. b) x = 5. c) x2 > 0. d) x >1x. Lời giải. a) Với x =12thì mệnh đề đúng. Với x = 1 thì mệnh đề sai. b) Với x = 5 thì mệnh đề đúng. Với x = 0 thì mệnh đề sai. c) Với x = 1 thì mệnh đề đúng. Với x = 0 thì mệnh đề sai. d) Với x = 2 thì mệnh đề đúng. Với x =12thì mệnh đề sai. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 6. Chứng minh rằng: Nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Lời giải. Ta định nghĩa mệnh đề Q. Q : Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Suy ra mệnh đề Q : Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Giả sử mệnh đề Q đúng, tức là tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6 = 24 con, mâu thuẫn với giả thiết số thỏ là 25 con. Suy ra mệnh đề Q sai, do đó mệnh đề Q đúng. Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ. Bài 7. Cho các mệnh đề chứa biến P(n) : “n là số chẵn” và Q(n) : “7n + 4 là số chẵn”. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 15/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ a) Phát biểu và chứng minh mệnh đề “∀n ∈ N, P(n) ⇒ Q(n)”. b) Phát biểu và chứng minh mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu 1. Lời giải. a) Với mọi số tự nhiên n, nếu n là số chẵn thì 3n + 4 cũng là số chẵn. Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n chẵn, ta có: 3n và 4 là các số chẵn. Suy ra 3n + 4 là một số chẵn. Vậy mệnh đề đúng. b) Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n + 4 là số chẵn thì n cũng là số chẵn. Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n mà 3n + 4 là số chẵn thì ta suy ra 3n là số chẵn (do 4 là số chẵn). Khi đó n là một số chẵn. Vậy mệnh đề đảo đúng. Sưu tầm & biên soạn Trang 16/2406 ‡ GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. Buồn ngủ quá!. B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. C. 8 là số chính phương. D. Băng Cốc là thủ đô của Mianma. Lời giải. Câu cảm thán không phải là mệnh đề Chọn đáp án A Câu 2. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 5 + 19 = 24. e) 6 + 81 = 25. f) Bạn có rỗi tối nay không? g) x + 2 = 11 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Các câu c), f) không phải là mệnh đề vì không phải là một câu khẳng định. Chọn đáp án B Câu 3. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) 5 + 7 + 4 = 15. d) Năm 2018 là năm nhuận. A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải. Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề Chọn đáp án B Câu 4. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Cố lên, sắp đói rồi! b) Số 15 là số nguyên tố. c) Tổng các góc của một tam giác là 180◦ d) x là số nguyên dương. A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Câu a) không là mệnh đề Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 17/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 5. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Đi ngủ đi!. B. Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. C. Bạn học trường nào?. D. Không được làm việc riêng trong giờ học. Lời giải. Chọn đáp án B Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Lời giải. B là mệnh đề sai: Ví dụ: 2 · 3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ. C là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1 và 3 là số lẻ. Chọn đáp án B Câu 7. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng? A. Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2. B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60◦thì tam giác đó đều. Lời giải. Mệnh đề A là một mệnh đề sai vì b ≤ a < 0 thì a2 ≤ b2.  Mệnh đề B là mệnh đề đúng. Vì a...9 ⇒  a = 9n, n ∈ Z 9...3⇒ a...3. Câu C chưa là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng, sai. Mệnh đề D là mệnh đề sai vì chưa đủ điều kiện để khẳng định một tam giác là đều Chọn đáp án B Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. −π < −2 ⇔ π2 < 4. B. π < 4 ⇔ π2 < 16. C.√23 < 5 ⇒ 2√23 < 2.5. D.√23 < 5 ⇒ −2√23 > −2.5. Lời giải. Ta có: π2 < 4 ⇔ |π| < 2 ⇔ −2 < π < 2 Suy ra mệnh đề −π < −2 ⇔ π2 < 4 sai. Chọn đáp án A Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60◦. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 18/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Đáp án A sai vì hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng bằng nhau khi chúng có cặp cạnh tương ứng bằng nhau Chọn đáp án A Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5thì số nguyên n chia hết cho 5. B. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. D. Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Lời giải. Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số nguyên n chia hết cho 5 thì số nguyên n có chữ số tận cùng là 5”. Mệnh đề này sai vì số nguyên n cũng có thể có chữ số tận cùng là 0. Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Mệnh đề này đúng. Chọn đáp án B Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 3. B. Nếu x > y thì x2 > y2. C. Nếu x = y thì t · x = t · y. D. Nếu x > y thì x3 > y3. Lời giải. Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9”. Mệnh đề này sai vì tổng các chữ số của n phải chia hết cho 9 thì n mới chia hết cho 9. Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu x2 > y2thì x > y” sai vì x2 > y2 ⇔ |x| > |y| ⇔ Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu t.x = t.y thì x = y” sai với t = 0 ⇒ x, y ∈ R "x > y x < −y. Chọn đáp án D Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. "ABC là tam giác đều ⇔ tam giác ABC cân". B. "ABC là tam giác đều ⇔ tam giác ABC cân và có một góc 60◦". C. "ABC là tam giác đều ⇔ ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau". D. "ABC là tam giác đều ⇔ tam giác ABC có hai góc bằng 60◦". Lời giải. Mệnh đề kéo théo "ABC là tam giác đều ⇒ tam giác ABC cân" là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo "Tam giác ABC cân ⇒ ABC là tam giác đều" là mệnh đề sai. Do đó, 2 mệnh đề "ABC là tam giác đều" và "tam giác ABC cân" không phải là 2 mệnh đề tương đương. Chọn đáp án A Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển”? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 19/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Lời giải. Phủ định của mệnh đề "∀x ∈ K, P(x)" là mệnh đề "∃x ∈ K, P(x)". Do đó, phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề “Có ít nhất một động vật không di chuyển” Chọn đáp án C Câu 14. Phủ định của mệnh đề "Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn" là mệnh đề nào sau đây? A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Lời giải. Phủ định của mệnh đề "∃x ∈ K, P(x)" là mệnh đề "∀x ∈ K, P(x)". Do đó, phủ định của mệnh đề “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề “Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” Chọn đáp án C Câu 15. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “ Số 6 chia hết cho 2 và 3”. A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3. B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3. C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3. D. Số 6 không chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Lời giải. Phủ định của mệnh đề “ Số 6 chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề: “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3” Chọn đáp án C Câu 16. Viết mệnh đề phủ định P của mệnh đề P: “ Tất cả các học sinh khối 10 của trường em đều biết bơi ”. A. P: “ Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều biết bơi ”. B. P: “ Tất cả các học sinh khối 10 trường em có bạn không biết bơi ”. C. P: “Trong các học sinh khối 10 trường em có bạn biết bơi”. D. P: “Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều không biết bơi”. Lời giải. Chọn đáp án D Câu 17. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P(x) là mệnh đề chứa biến "x cao trên 180 cm". Mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" khẳng định rằng A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm. B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm. C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 20/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Mệnh đề “∀x ∈ X, x cao trên 180 cm” khẳng định: “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm.” Chọn đáp án A Câu 18. Mệnh đề "∃x ∈ R, x2 = 2" khẳng định rằng: A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2. B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2. C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2. D. Nếu x là một số thực thì x2 = 2. Lời giải. Chọn đáp án B Câu 19. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Không có số chẵn nào là số nguyên tố. B. ∀x ∈ R, −x2 < 0. C. ∃n ∈ N, n(n + 11) + 6 chia hết cho 11. D. Phương trình 3x2 − 6 = 0 có nghiệm hữu tỷ. Lời giải. Với n = 4 ∈ N ⇒ n(n + 11) + 6 = 4(4 + 11) + 6 = 66...11 Chọn đáp án C Câu 20. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. ∃x ∈ Z, 2x2 − 8 = 0. B. ∃n ∈ N, (n2 + 11n + 2) chia hết cho 11. C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. D. ∃n ∈ N, (n2 + 1) chia hết cho 4. Lời giải. Với k ∈ N, ta có: • Khi n = 4k ⇒ n2 + 1 = 16k2 + 1 không chia hết cho 4. • Khi n = 4k + 1 ⇒ n2 + 1 = 16k2 + 8k + 2 không chia hết cho 4. • Khi n = 4k + 2 ⇒ n2 + 1 = 16k2 + 16k + 5 không chia hết cho 4. • Khi n = 4k + 3 ⇒ n2 + 1 = 16k2 + 24k + 10 không chia hết cho 4. ⇒ ∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4. Chọn đáp án D Câu 21. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y2 ≥ 0. B. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y2 ≥ 0. C. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y2 ≥ 0. D. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y2 ≤ 0. Lời giải. Với x = −1 ∈ R, y = 0 ∈ R thì x + y2 = −1 + 0 < 0. Chọn đáp án C Câu 22. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi số thực x, nếu x < −2 thì x2 > 4. B. Với mọi số thực x, nếu x2 < 4 thì x < −2. C. Với mọi số thực x, nếu x < −2 thì x2 < 4. D. Với mọi số thực x, nếu x2 > 4 thì x > −2. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 21/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • B sai vì x = 1 ⇒ x2 = 1 < 4 nhưng 1 > −2. • C sai vì x = −3 < −2 nhưng x2 = 9 > 4. • D sai vì x = −3 ⇒ x2 = 9 > 4 nhưng −3 < −2. Chọn đáp án A Câu 23. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ R, x2 < x. B. ∀x ∈ R, x2 > x. C. ∀x ∈ R, |x| > 1 ⇒ x > 1. D. ∀x ∈ R, x2 ≥ x. Lời giải. Với x =12∈ R, x2 =14<12= x. Chọn đáp án A Câu 24. Cho x là số thực, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀ x, x2 > 5 ⇒ x > √5 hoặc x < −√5. B. ∀ x, x2 > 5 ⇒ −√5 < x < √5. C. ∀ x, x2 > 5 ⇒ x > ±√5. D. ∀ x, x2 > 5 ⇒ x ≥√5 hoặc x ≤ −√5. Lời giải. Đáp án A đúng vì ∀ x, x2 > 5 ⇒ |x| >√5 ⇒"x > √5 x < −√5. Chọn đáp án A Câu 25. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀x ∈ N∗, x2 − 1 là bội số của 3. B. ∃x ∈ Q, x2 = 3. C. ∀x ∈ N, 2x + 1 là số nguyên tố. D. ∀x ∈ N, 2x ≥ x + 2. Lời giải. • Đáp án B sai vì x2 = 3 ⇔ x = ±√3 là số vô tỉ. • Đáp án C sai với x = 3 ⇒ 23 + 1 = 9 là hợp số. • Đáp án D sai với x = 0 ⇒ 20 = 1 < 0 + 2 = 2. Chọn đáp án A Câu 26. Mệnh đề P(x) : “∀x ∈ R, x2 − x + 7 < 0 ”. Phủ định của mệnh đề P là A. ∃x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. B. ∀x ∈ R, x2 − x + 7 > 0. C. ∀x /∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. D. ∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P là P(x) : “∃x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0”. Chọn đáp án D Câu 27. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) : “x2 + 3x + 1 > 0 với mọi x” là A. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 > 0. B. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0. C. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 = 0. D. Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 < 0. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P(x) là P(x): “Tồn tại x sao cho x2 + 3x + 1 ≤ 0”. Chọn đáp án B Câu 28. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) : “∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số nguyên tố” là A. ∀x /∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số. B. ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 22/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ C. ∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số. D. ∃x ∈ R : x2 + 2x + 5 là số thực. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P(x) là P(x) : “∀x ∈ R : x2 + 2x + 5 là hợp số”. Chọn đáp án C Câu 29. Phủ định của mệnh đề P(x) : “∃x ∈ R, 5x − 3x2 = 1” là A. “∃x ∈ R, 5x − 3x2 = 1”. B. “∀x ∈ R, 5x − 3x2 = 1”. C. “∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1”. D. “∃x ∈ R, 5x − 3x2 ≥ 1”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P(x) là P(x) : “∀x ∈ R, 5x − 3x2 6= 1” Chọn đáp án C Câu 30. Cho mệnh đề P(x) : “∀x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là A. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 < 0”. B. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0”. C. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0”. D. “x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P(x) là: P(x) : “∃x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0” Chọn đáp án C Câu 31. Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo là mệnh đề đúng? A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. B. Nếu a > b thì a2 > b2. C. Nếu số nguyên chia hết cho 14 thì chia hết cho cả 7 và 2. D. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. Lời giải. Xét từng mệnh đề ta có các mệnh đề đảo tương ứng là • “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c”, đây là mệnh đề sai. • “Nếu a2 > b2thì a > b”, đây là mệnh đề sai. • “Nếu một số nguyên chi hết cho cả 7 và 2 thì số nguyên đó chia hết cho 14”, đây là mệnh đề đúng. • “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”, đây là mệnh đề sai. Chọn đáp án C Câu 32. Với giá trị nào của x thì “x2 − 1 = 0, x ∈ N ” là mệnh đề đúng? A. x = 0. B. x = −1. C. x = ±1. D. x = 1. Lời giải. Ta có x2 − 1 = 0 ⇔ "x = 1 ∈ N x = −1 6∈ N. Vậy mệnh đề chứa biến đã cho trở thành mệnh đề đúng khi và chỉ khi x = 1. Chọn đáp án D Câu 33. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu không phải là mệnh đề? (1) Huế là một thành phố của Việt Nam. (2) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 23/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ (3) Hãy trả lời câu hỏi này! (4) 4 + 19 = 24. (5) 6 + 81 = 25. (6) Bạn có rỗi tối nay không? (7) x + 2 = 11. A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Có 3 câu không phải là mệnh đề, gồm (3),(6),(7). Chọn đáp án D Câu 34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. −π < −2 ⇔ π2 < 4. B. π < 4 ⇔ π2 < 16. C.√23 < 5 ⇒ 2√23 < 2 · 5. D.√23 < 5 ⇒ −2√23 > −2 · 5. Lời giải. • Ta có −π < −2 là mệnh đề đúng, π2 < 4 là mệnh đề sai. Suy ra mệnh đề −π < −2 ⇔ π2 < 4 là mệnh đề sai. • Ta có π < 4 là mệnh đề đúng, π2 < 16 là mệnh đề đúng. Suy ra π < 4 ⇔ π2 < 16 là mệnh đề đúng. • Ta có √23 < 5 là mệnh đề đúng, 2√23 < 2 · 5 là mệnh đề đúng. Suy ra mệnh đề √23 < 5 ⇒ 2√23 < 2 · 5 đúng. • Ta có √23 < 5 là mệnh đề đúng, −2√23 > −2 · 5 là mệnh đề đúng. Suy ra mệnh đề √23 < 5 ⇒ −2√23 > −2 · 5 đúng. Chọn đáp án A Câu 35. Mệnh đề ∀x ∈ R, x2 − 2 + a > 0, với a là số thực cho trước. Tìm a để mệnh đề đúng. A. a < 2. B. a = 2. C. a > 2. D. a ≤ 2. Lời giải. Ta có x2 − 2 + a > 0 ⇔ x2 > 2 − a. Do đó, mệnh đề đã cho đúng khi và chỉ khi 2 − a < 0 ⇔ a > 2. Chọn đáp án C Câu 36. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∃x ∈ Z : x2 = −2x. B. ∀x ∈ N : x2 > 0. C. ∀x ∈ N∗: x2 > 0. D. ∃x ∈ Z : x2 ≤ x. Lời giải. ∀x ∈ N : x2 > 0 là mệnh đề sai, chẳng hạn tại x = 0 ∈ N thì x2 = 0 > 0 sai. Chọn đáp án B Câu 37. Cho mệnh đề P : “∀x ∈ R: 9x2 − 1 6= 0 ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là A. P : “∃x ∈ R: 9x2 − 1 = 0”. B. P : “∃x ∈ R: 9x2 − 1 ≤ 0”. C. P : “∃x ∈ R: 9x2 − 1 > 0”. D. P : “∀x ∈ R: 9x2 − 1 = 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R: 9x2 − 1 6= 0” là P : “∃x ∈ R: 9x2 − 1 = 0”. Chọn đáp án A Câu 38. Cho mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + 1 > 0”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 24/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ A. “∀x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0”. B. “∀x ∈ R, x2 + 1 < 0”. C. “∃x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0”. D. “∃x ∈ R, x2 + 1 > 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + 1 > 0” là “∃x ∈ R, x2 + 1 ≤ 0”. Chọn đáp án C Câu 39. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “2018 là số tự nhiên chẵn” là A. 2018 là số chẵn. B. 2018 là số nguyên tố. C. 2018 không là số tự nhiên chẵn. D. 2018 là số chính phương. Lời giải. Phủ định của mệnh đề đã cho là “2018 không là số tự nhiên chẵn”. Chọn đáp án C Câu 40. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 13 = 0” là A. “∀x ∈ R, x2 + x + 13 6= 0”. B. “∃x ∈ R, x2 + x + 13 > 0”. C. “∀x ∈ R, x2 + x + 13 = 0”. D. “∃x ∈ R, x2 + x + 13 6= 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 13 = 0 ” là “∀x ∈ R, x2 + x + 13 6= 0”. Chọn đáp án A Câu 41. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. 6√2 là số hữu tỷ. B. Phương trình x2 + 7x − 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. C. 17 là số chẵn. D. Phương trình x2 + x + 7 = 0 có nghiệm. Lời giải. Vì √2 là số vô tỷ nên 6√2 là số vô tỷ. Phương trình x2 + 7x − 2 = 0 có a · c = 1 · (−2) < 0 nên có 2 nghiệm trái dấu. 17 là số lẻ. Vì x2 + x + 7 = (x + 2)2 + 3 ≥ 3 > 0 nên phương trình x2 + x + 7 = 0 vô nghiệm. Chọn đáp án B Câu 42. Cho mệnh đề P : “9 là số chia hết cho 3”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là A. P : “9 là ước của 3”. B. P : “9 là bội của 3”. C. P : “9 là số không chia hết cho 3”. D. P : “9 là số lớn hơn 3”. Lời giải. Mệnh đề P : “9 là số chia hết cho 3”có mệnh đề phủ định là P : “9 là số không chia hết cho 3”. Chọn đáp án C Câu 43. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. x + y > 0 ⇒ xy > 0. B. (x + y)2 ≥ x2 + y2. "x > 0 C. x + y > 0 ⇒ Lời giải. y > 0. D. x ≥ y ⇒ x2 ≥ y2. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 25/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Ta xét các mệnh đề • x + y > 0 ⇒ xy > 0 sai ví dụ x = 2 và y = −1 không thỏa mệnh đề. • (x + y)2 ≥ x2 + y2sai ví dụ x = 2 và y = −1 không thỏa mệnh đề. • x + y > 0 ⇒ "x > 0 y > 0đúng vì nếu ngược lại thì cả hai x và y đều không dương thì x + y ≤ 0 vô lý. • x ≥ y ⇒ x2 ≥ y2sai ví dụ x = 1 và y = −2 không thỏa mệnh đề. Chọn đáp án C Câu 44. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ Q, 4x2 − 1 = 0. B. ∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 4. C. ∀x ∈ N, n2 > n. D. ∀x ∈ R,(x − 1)2 6= x − 1. Lời giải. Có 4x2 − 1 = 0 ⇔ x2 =14⇔ x = ±12∈ Q. Chọn đáp án A Câu 45. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số 141 chi hết cho 3 ⇒ 141 chia hết cho 9. B. 81 là số chính phương ⇒√81 là số nguyên. C. 7 là số lẻ ⇒ 7 chia hết cho 2. D. 3 · 5 = 15 ⇒ Bắc Kinh là thủ đô của Hàn Quốc. Lời giải. Có 81 là số chính phương là mệnh đề đúng, √81 = 9 là số nguyên cũng là mệnh đề đúng. Do đó 81 là số chính phương ⇒√81 là số nguyên là mệnh đề đúng. Chọn đáp án B Câu 46. Trong các câu sau, câu nào không phải mệnh đề? A. 2x2 + 1 > 0. B.√17 − 3 > 0. C. 2 − 3 = 4. D. Đẹp quá!. Lời giải. Câu "Đẹp quá!" không phải mệnh đề vì câu này không có tính đúng sai. Chọn đáp án D Câu 47. Cho các phát biểu sau. (1) Hôm nay các em có khỏe không? (2) Số 1320 là một số lẻ. (3) 13 là một số nguyên tố. (4) 2018 là một số chẵn. (5) Chúc các em kiểm tra đạt kết quả tốt! (6) x2 + 8x + 12 ≥ 0. Trong các phát biểu trên có tất cả bao nhiêu phát biểu là mệnh đề? A. 4. B. 3. C. 5. D. 2. Lời giải. Ta có (1), (5), (6) không phải là mệnh đề. Vậy có tất cả 4 mệnh đề. Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 26/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 48. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0”. A. P : “∀x ∈ R, x2 − x + 1 ≤ 0”. B. P : “∀x ∈ R, x2 − x + 1 < 0”. C. P : “∃x ∈ R, x2 − x + 1 < 0”. D. P : “∃x ∈ R, x2 − x + 1 ≤ 0”. Lời giải. Ta có P : “∃x ∈ R, x2 − x + 1 ≤ 0”. Chọn đáp án D Câu 49. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần là nó có bốn cạnh bằng nhau.. B. Một tam giác là đều khi và chỉ khi nó có hai đường trung tuyến bằng nhau và một góc 60◦. C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. Lời giải. Xét tam giác ABC có AB = 4; BC = 3; AC = 2 và tam giác DEF có EF = 4; F D = 6; DE = 8. Dễ thấy tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF và AB = EF nhưng hai tam giác này không bằng nhau. Do đó mệnh đề "Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau" là mệnh đề sai. Chọn đáp án C Câu 50. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3". A. “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. B. “∀n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3”. C. “∃n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. D. “∀n /∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 3”là mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 3”. Chọn đáp án A Câu 51. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Số 345 có chia hết cho 3 không?. B. Số 625 là số chính phương. C. Kết quả của bài toán này rất đẹp. D. Bạn Hoa thật xinh. Lời giải. Câu "Số 625 là số chính phương" là mệnh đề. Chọn đáp án B Câu 52. Cho mệnh đề P : "∀x ∈ R|x2 + x + 1 > 0, mệnh đề phủ định của mệnh đề P là A. P : " ∃x ∈ R|x2 + x + 1 < 0". B. P : " ∀x ∈ R|x2 + x + 1 < 0". C. P : " ∃x ∈ R|x2 + x + 1 ≤ 0". D. P : " ∀x ∈ R|x2 + x + 1 ≤ 0". Lời giải. P : " ∃x ∈ R|x2 + x + 1 ≤ 0". Chọn đáp án C Câu 53. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∃x ∈ Z, x2 < 0. B. ∃x ∈ R, x2 + 1 = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 27/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ C. ∃x ∈ N, 2x2 − 1 < 0. D. ∃x ∈ Q, x2 − 2 = 0. Lời giải. Mệnh đề ∃x ∈ N, 2x2 − 1 < 0 đúng vì tồn tại x = 0 thoả mãn 2x2 − 1 < 0. Chọn đáp án C Câu 54. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề? A. π có phải là một số vô tỷ không?. B. 2 + 2 = 5. C.√2 là một số hữu tỷ. D.42= 2. Lời giải. “π có phải là một số vô tỷ không?” là câu hỏi, nên không phải là mệnh đề. Chọn đáp án A Câu 55. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 = 0” là A. “∃x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 > 0”. B. “∃x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 6= 0”. C. “∀x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 6= 0”. D. “∀x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 = 0”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 = 0” là “∀x ∈ Q: 2x2 − 5x + 2 6= 0”. Chọn đáp án C Câu 56. Cho P ⇔ Q là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây sai? A. P ⇔ Q sai. B. P ⇔ Q đúng. C. Q ⇔ P sai. D. P ⇔ Q sai. Lời giải. Ta có P ⇔ Q là mệnh đề đúng ⇔ "P đúng và Q đúng P sai và Q sai. • Ta có P đúng ⇔ P sai ⇔ Q sai ⇔ Q đúng. • Ta có P sai ⇔ P đúng ⇔ Q đúng ⇔ Q sai. Vậy P ⇔ Q là mệnh đề đúng. Chọn đáp án D Câu 57. Trong các câu sau câu nào không phải là mệnh đề? A.√11 là số vô tỷ. B. Hai vec-tơ cùng phương thì chúng cùng hướng. C. Tích của một vec-tơ với một số thực là một vec-tơ. D. Hôm nay lạnh thế nhỉ!. Lời giải. “Hôm nay lạnh thế nhỉ!” không phải là một câu khẳng định. Chọn đáp án D Câu 58. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 = 0”. A. “∀x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 = 0”. B. “∃x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 > 0”. C. “∀x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 6= 0”. D. “∃x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 6= 0”. Lời giải. P: “∃x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 = 0” ⇒ P: “∀x ∈ Q : 2x2 − 5x + 2 6= 0”. Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 28/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 59. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∀n ∈ N, n2... 9 ⇒ n... 9. B. ∀n ∈ N, n2... 3 ⇒ n... 3. C. ∀n ∈ N, n2... 2 ⇒ n... 2. D. ∀n ∈ N, n2... 6 ⇒ n... 6. Lời giải. Ta có 32... 9 nhưng 3 6... 9. Bởi vậy, mệnh đề “∀n ∈ N, n2... 9 ⇒ n... 9” sai. Chọn đáp án A Câu 60. Phát biểu nào sau đây không phải là mệnh đề? A. 5 là số nguyên tố. B. Năm 2016 là năm nhuận. C. Đề thi trắc nghiệm môn toán hay quá !. D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. Lời giải. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Câu “Đề thi trắc nghiệm môn toán hay quá !” không thể nói là đúng hay sai nên không phải là mệnh đề. Chọn đáp án C Câu 61. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 = 2x ” là A. “∀x ∈ R, x2 = 2x ”. B. “∃x ∈ R, x2 6= 2x ”. C. “∃x ∈ R, x2 > 2x ”. D. “∀x ∈ R, x2 6= 2x ”. Lời giải. Chọn đáp án D Câu 62. Cho mệnh đề P(x): “∀x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. Mệnh đề phủ định của P(x) là A. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 6 0”. B. “ 6 ∃x ∈ R, x2 + x + 1 > 0”. C. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 6 0”. D. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 < 0”. Lời giải. Với P(x): “∀x ∈ R, x2 + x + 1 > 0” thì phủ định của P(x) là P(x): “∃x ∈ R, x2 + x + 1 > 0” hay “∃x ∈ R, x2 + x + 1 6 0”. Chọn đáp án A Câu 63. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R: x3 + 1 > x” là A. P : “∃x ∈ R: x3 + 1 < x”. B. P : “∃x ∈ R: x3 + 1 6 x”. C. P : “∃x ∈ R: x3 + 1 > x”. D. P : “∀x ∈ R: x3 + 1 6 x”. Lời giải. Với P : “∀x ∈ R: x3 + 1 > x” ta có P : “∃x ∈ R: x3 + 1 > x” hay P : “∃x ∈ R: x3 + 1 6 x”. Chọn đáp án B Câu 64. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. B. Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. C. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. D. Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. Lời giải. Mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9” có mệnh đề đảo là “Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3”. Mệnh đề đảo là đúng. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 29/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Số chia hết cho 9 có dạng 9k, với mọi k ∈ N. Mà 9k = 3 · (3k) nên nó chia hết cho 3. Mệnh đề “Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c” có mệnh đề đảo là “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c”. Mệnh đề đảo là sai. Ví dụ 2 + 6 chia hết cho 4 nhưng cả 2 và 6 đều không chia hết cho 4. Mệnh đề “Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5” có mệnh đề đảo là “Nếu một số chia hết cho 5 thì số đó có tận cùng là 0”. Mệnh đề đảo là sai. Ví dụ 15 chia hết cho 5 nhưng không có tận cùng là 0. Mệnh đề “Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau” có mệnh đề đảo là “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau”. Mệnh đề đảo là mệnh đề sai. Chọn đáp án A Câu 65. Có bao nhiêu số nguyên dương n để mệnh đề chứa biến P(n): “2n − 7 < 0” là một mệnh đề đúng? A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Ta có 2n − 7 < 0 ⇔ n <72⇒ n ∈ {1; 2; 3}. Vậy có 3 giá trị nguyên dương của n thỏa mãn đề bài. Chọn đáp án A Câu 66. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ Z, x ≤1x” là A. “∀x ∈ Z, x ≥1x”. B. “∃x ∈ Z, x >1x”. C. “∀x ∈ Z, x >1x”. D. “∃x ∈ Z, x ≤1x”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R ” là “∀x ∈ R ”. Phủ định của “x ≤1x” là “x >1x”. Chọn đáp án C Câu 67. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q: 3x2 + 3 ≥ 0” là A. “∃x ∈ Q: 3x2 + 3 ≤ 0”. B. “∃x ∈ Q: 3x2 + 3 6= 0”. C. “∃x ∈ Q: 3x2 + 3 < 0”. D. “∀x ∈ Q: 3x2 + 3 ≤ 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định “∃x ∈ Q: 3x2 + 3 < 0”. Chọn đáp án C Câu 68. Câu nào sau đây là mệnh đề? A. Thời gian làm bài kiểm tra học kì I môn Toán là 90 phút. B. Phải ghi mã đề vào giấy làm bài. C. Đề kiểm tra lần này dễ quá!. D. Có được sử dụng tài liệu khi kiểm tra không?. Lời giải. • Đề kiểm tra lần này dễ quá! Là câu cầu khiến nên không phải là mệnh đề. • Có được sử dụng tài liệu khi kiểm tra không? Câu hỏi nên không phải là mệnh đề. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 30/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • Phải ghi mã đề vào giấy làm bài. Câu cảm thán nên không phải là mệnh đề. Chọn đáp án A Câu 69. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Đồ thị của hàm số chẵn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng. B. Đồ thị của hàm số lẻ nhận trục tung làm trục đối xứng. C. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. D. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục hoành làm trục đối xứng. Lời giải. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng. Chọn đáp án C Câu 70. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. n2là số nguyên tố. B. Hôm nay là thứ mấy?. C. 5 + x = 2. D. 7 là số vô tỉ. Lời giải. “7 là số vô tỉ”là khẳng định sai nên nó là mệnh đề. Chọn đáp án D Câu 71. Xét ba mệnh đề: P : “∀x ∈ R, x2 > 0”; S : “∀x ∈ R,√3 x > 0” và T : “∃x ∈ R, |x| ≤ 0”. Hỏi trong ba mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải. • Với x = −1 ⇒√3 −1 = −1 < 0. Vậy mệnh đề S sai. • Với x = 0 ⇒ 02 = 0 > 0 sai. Vậy mệnh đề P không đúng với mọi x. • Với x = 0 mệnh đề T đúng. Vậy trong ba mệnh đề trên chỉ có một mệnh đề đúng. Chọn đáp án C Câu 72. Trong các mệnh đề sau đây mênh đề nào đúng? A. ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3. B. ∃x ∈ R, x2 + x + 1 = 0. C. ∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 5. D. ∀n ∈ N, n2 + 2 không chia hết cho 3. Lời giải. Mệnh đề “∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ x < 3” sai do ∀x ∈ R, |x| < 3 ⇔ −3 < x < 3. Mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 1 = 0” sai do x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm. Mệnh đề “∃n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 5” đúng vì với n = 3 ⇒ n2 + 1 = 10 chia hết cho 5. Mệnh đề “∀n ∈ N, n2 + 2 không chia hết cho 3” sai vì n = 2 thì 22 + 2 chia hết cho 3. Chọn đáp án C Câu 73. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. a + b = c. B. x2 + x = 0. C. 15 là số nguyên tố. D. 2n + 1 chia hết cho 3. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 31/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ • Các câu “a + b = c”, “x2 + x = 0”, “2n + 1 chia hết cho 3” là các mệnh đề chứa biến, các câu này cần một giá trị cụ thể của các biến để xác định tính đúng sai và trở thành mệnh đề. • Câu “15 là số nguyên tố” là một mệnh đề, đây là mệnh đề sai. Chọn đáp án C Câu 74. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề sai? A. Số π không phải là một số hữu tỉ. B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. C. Số 12 chia hết cho 3. D. Số 21 không phải là số lẻ. Lời giải. Rõ ràng số 21 là số lẻ. Chọn đáp án D Câu 75. Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ N: x2 − 2 6= 0” là A. ∀x ∈ N: x2 − 3 = 0. B. ∃x ∈ N: x2 − 3 = 0. C. ∃x ∈ N: x2 − 3 ≤ 0. D. ∃x ∈ N: x2 ≥ 3. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ N: x2 − 2 6= 0” là mệnh đề “∃x ∈ N: x2 − 2 = 0”. Chọn đáp án B Câu 76. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R, x ≥ x2”? A. P : “∃x ∈ R, x ≤ x2”. B. P : “∀x ∈ R, x ≤ x2”. C. P : “∃x ∈ R, x 6= x2”. D. P : “∃x ∈ R, x < x2”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề P : “∀x ∈ R, x ≥ x2” là P : “∃x ∈ R, x < x2”. Chọn đáp án D Câu 77. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Một số thực có bình phương là số dương khi và chỉ khi số thực đó khác 0. B. Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc nhau. C. Một số tự nhiên chia hết cho 10 khi và chỉ khi số tự nhiên đó có chữ số tận cùng là 0. D. Một tam giác có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó có ba cạnh bằng nhau. Lời giải. Một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau. Chiều ngược lại không đúng. Chọn đáp án B Câu 78. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 1 < 0 ⇒ 3 > 2. B. ∀x ∈ R,(x + 1)2 ≥ x2. C. ∃n ∈ N, 2n ≥ n + 2. D. ∃x ∈ Z, −x > x. Lời giải. Mệnh đề ∀x ∈ R,(x + 1)2 ≥ x2sai, chẳng hạn khi x = −3. Chọn đáp án B Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 32/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ Câu 79. Cho mệnh đề P : “∃x ∈ R, x2 + x + 1 là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định của P là mệnh đề nào sau đây? A. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 là số nguyên tố”. B. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 không là số nguyên tố”. C. “∀x ∈ R, x2 + x + 1 không là số nguyên tố”. D. “∃x ∈ R, x2 + x + 1 là số chẵn”. Lời giải. Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + x + 1 là số nguyên tố” là mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + x + 1 không là số nguyên tố”. Chọn đáp án C Câu 80. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R: 2x2 + 1 > 0” là A. “∀x ∈ R: 2x2 + 1 ≤ 0”. B. “∃x ∈ R: 2x2 + 1 ≤ 0”. C. “∀x ∈ R: 2x2 + 1 ≥ 0”. D. “∃x ∈ R: 2x2 + 1 < 0”. Lời giải. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R: 2x2 + 1 > 0” là “∃x ∈ R: 2x2 + 1 ≤ 0”. Chọn đáp án B Câu 81. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ∃n ∈ N: n2 = n. B. ∀x ∈ R: x2 ≥ 0. C. ∀n ∈ Z thì n < 2n. D. ∃x ∈ R: x2 − 3x + 2 = 0. Lời giải. Mệnh đề “∀n ∈ Z thì n < 2n” sai vì tồn tại −2 ∈ Z mà −2 > 2 · (−2). Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 33/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 1. MỆNH ĐỀ ĐÁP ÁN 1. A 11. D 21. C 31. C 41. B 51. B 61. D 71. C 81. C 2. B 12. A 22. A 32. D 42. C 52. C 62. A 72. C 3. B 13. C 23. A 33. D 43. C 53. C 63. B 73. C 4. A 14. C 24. A 34. A 44. A 54. A 64. A 74. D 5. B 15. C 25. A 35. C 45. B 55. C 65. A 75. B 6. B 16. D 26. D 36. B 46. D 56. D 66. C 76. D 7. B 17. A 27. B 37. A 47. A 57. D 67. C 77. B 8. A 18. B 28. C 38. C 48. D 58. C 68. A 78. B 9. A 19. C 29. C 39. C 49. C 59. A 69. C 79. C 10. B 20. D 30. C 40. A 50. A 60. C 70. D 80. B Sưu tầm & biên soạn Trang 34/2406 ‡ GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP §2 TẬP HỢP A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ • Tập hợp (gọi tắt là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. • Ta thường dừng các chữ cái in hoa để kí hiệu cho tập hợp. • Cho tập hợp A và phần tử x. Nếu x có mặt trong tập A ta nói x là một phần tử của tập A hay x thuộc A, kí hiệu x ∈ A hoặc A 3 x. Nếu x không có mặt trong tập A ta nói x không thuộc A, kí hiệu x /∈ A hoặc A 63 x. 2 CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP • Liệt kê các phần tử của tập hợp. • Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. 3 TẬP HỢP RỖNG Định nghĩa. Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào. 4 TẬP CON. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU • Tập hợp A gọi là tập con của tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc B. Với kí hiệu đó, ta có A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là ∅. Qui ước : ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A. • Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và ngược lại. Với định nghĩa đó, ta có A = B ⇔A ⊂ B và B ⊂ A 5 TÍNH CHẤT Tính chất 1. a) ∅ ⊂ A, với mọi A. b) A ⊂ A, với mọi A c) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 35/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP B CÁC DẠNG TOÁN | Dạng 1. Xác định tập hợp - phần tử của tập hợp • Liệt kê các phần tử của tập hợp (giải phương trình nếu cần). • Nêu đặc trưng của tập hợp. ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc Ví dụ 1. Xác định tập hợp A gồm 10 số nguyên tố đầu tiên bằng phương pháp liệt kê Lời giải. A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29} Ví dụ 2. a) Tập hợp A các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 3 là A = {x ∈ R | 1 < x < 3}. b) Tập hợp S gồm các nghiệm của phương trình x8 + 9 = 0 là S = {x ∈ R | x8 + 9 = 0}. Ví dụ 3. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau: a) A = {n ∈ N | n < 5}. b) B là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 5. c) C = {x ∈ R | (x − 1)(x + 2) = 0}. Lời giải. a) A = {0; 1; 2; 3; 4}. b) B = {1; 2; 3; 4}. c) Ta có (x − 1)(x + 2) = 0 ⇔ Mà x ∈ R nên C = {−2; 1}. "x = 1 x = −2. Ví dụ 4. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau: a) A = {x ∈ Z | (2x2 − 3x + 1)(x + 5) = 0}. b) B = {x ∈ Q | (x2 − 2)(x2 − 3x + 2) = 0}. Lời giải. a) Ta có: (2x2 − 3x + 1)(x + 5) = 0 ⇔ Vì x ∈ Z nên A = {1; −5}. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  x = 1 x =12 x = −5. Trang 36/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP b) Ta có: (x2 − 2)(x2 − 3x + 2) = 0 ⇔ Vì x ∈ Q nên B = {1; 2}. x =√2  x = −√2 x = 1 x = 2. Ví dụ 5. Viết các tập hợp sau bằng phương pháp liệt kê: a) A = {x ∈ Q | (x2 − 2x + 1)(x2 − 5)} = 0. b) B = {x ∈ N | 5 < n2 < 40}. c) C = {x ∈ Z | x2 < 9}. d) D = {x ∈ R | |2x + 1| = 5}. Lời giải. a) A = {1}. b) B = {3; 4; 5; 6}. c) C = {−2; −1; 0; 1; 2}. d) Ta có |2x + 1| = 5 ⇔ Vậy C = {2; −3}. "x = 2 x = −3. Ví dụ 6. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau: a) Tập hợp A các số chính phương không vượt quá 50. b) Tập hợp B = {n ∈ N | n(n + 1) ≤ 30}. Lời giải. A = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49} B = {1; 2; 3; 4; 5} Ví dụ 7. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. a) A = {0; 4; 8; 12; 16; . . . ; 52}. b) B = {3; 6; 9; 12; 15; . . . ; 51}. c) C = {2; 5; 8; 11; 14; . . . ; 62}. Lời giải. a) A = ß x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 16 và x... 4™. ß b) B = x ∈ N | 3 ≤ x ≤ 51 và x... 3™. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 37/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP ß c) C = x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 62 và (x − 2) ... 3™. Ví dụ 8. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. a) A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}. b) B = {−2; 4; −8; 16; −32; 64}. Lời giải. a) A = x ∈ N | x ≤ 17 và x là số nguyên tố . b) B = {x = (−2)n| n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 6}. Ví dụ 9. Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B = {0; 7; 14; 21; 28} Lời giải. A = {x ∈ N∗| x ≤ 9} B = {x ∈ N | x... 7 và x ≤ 28} BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 20. Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}. Bài 2. Cho tập hợp A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} Hãy xác định tập hợp A bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Lời giải. A là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn hoặc bằng 10. Bài 3. Cho A = x ∈ N | x là ước của 8 . Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = {1; 2; 4; 8}. Bài 4. Cho A = x ∈ Z | x là ước của 15 . Liệt kê các phần tử của tập hợp A. Lời giải. A = {−15; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 15}. Bài 5. Cho A = x ∈ N | x là ước chung của 30 và 20 . Lời giải. A = {1; 2; 5; 10}. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 38/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Bài 6. Cho A = x ∈ N | x là bội chung của 15 và 20, x ≤ 60 . Lời giải. A = {0; 30; 60}. Bài 7. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. a) A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. b) B = {0; 2; 4; 5; 6; 8}. Lời giải. a) A = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6}. ß b) B = x ∈ N | x... 2 và x ≤ 8™. Bài 8. Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = {0; 2; 7; 14; 23; 34; 47} b) B = {−1 + √3; −1 −√3} Lời giải. A = {n2 − 2 | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 7} B = {x ∈ R | x2 + 2x − 2 = 0} Bài 9. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = {x ∈ Z | |x| < 8} b) B = {x ∈ Z | 2 < |x| <214} Lời giải. A = {−7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {−5; −4; −3; 3; 4; 5} Bài 10. Cho tập hợp X = {n ∈ N | −5 < 5n + 2 < 303}. Tìm số phần tử của tập hợp X. Lời giải. −5 < 5n + 2 < 303 ⇔ −1 ≤ n ≤ 60. Vậy số phần tử của tập hợp X là 62. Bài 11. Liệt kê các phần tử của tập hợp A = x ∈ Z (x2 − 4x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 . Lời giải. Ta có (x2 − 4x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 ⇔ "x2 − 4x = 0 x4 − 6x2 + 5 = 0⇔  x = 0 x = ±1 . x = 4 x = ±√5 Từ đó ta có A = {0; −1; 1; 4} chứa 4 phần tử. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 39/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP | Dạng 2. Tập hợp rỗng ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc Ví dụ 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A = {x ∈ R | x2 − x + 1 = 0} . B = {x ∈ R | 2x2 + 1 = 0} . C = {x ∈ Z | |x| < 1}. Lời giải. Các tập hợp rỗng là A, B. Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để các tập hợp sau là tập hợp rỗng. a) A = {x ∈ R | x < m và x > 2m + 1}. b) B = {x ∈ R | x2 − 2x + m = 0} Lời giải. a) Để A là tập rỗng thì m ≥ 2m + 1 ⇔ m ≤ −1. b) Để B là tập rỗng thì phương trình x2−2x+m = 0 phải vô nghiệm, tức là ∆0 = 1−m < 0 ⇔ m > 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A =¶x ∈ N | x2 −√2 = 0©. ß B = x ∈ Z | x2 −14= 0™. C = {x ∈ Q | x2 ≤ 0}. Lời giải. Tập hợp A, B. Bài 2. Cho tập hợp A = {x ∈ N | x = m} . Tìm m để A = ∅. Lời giải. Để A = ∅ thì m 6∈ N. Bài 3. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để các tập hợp sau là tập hợp rỗng. a) A = {x ∈ R | x < m + 3 và x > 4m + 3}. b) B = {x ∈ R | x2 − 2x + m + 9 = 0} Lời giải. a) Để A là tập rỗng thì m + 3 ≥ 4m + 3 ⇔ m ≤ 0. Vậy m thuộc tập hợp các số nguyên không dương. b) Để B là tập rỗng thì phương trình x2 − 2x + m = 0 phải vô nghiệm, tức là ∆0 = −8 − m < 0 ⇔ m > −8. Vậy m thuộc tập hợp các số nguyên lớn hơn −8. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 40/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Viết tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử. a) A = {x ∈ Z | (x2 − 3x + 2)(2x2 + 3x + 1) = 0}. b) B = {x ∈ N | |x| < 3}. Lời giải. a) A = {1; 2; −1}. b) B {0; 1; 2}. Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của m để tập hợp A = {x ∈ N | x < m} là tập hợp rỗng. Lời giải. Để A = ∅ thì m ≤ 0. Bài 3. Cho A = {x ∈ N | 1 < x − m < 3}. Tìm tất cả các giá trị của m để A = {1}. Lời giải. Để A = {1} thì 1 − m = 2 ⇔ m = −1. Bài 4. Cho A = {x ∈ N | −4 < x < 3}. Liệt kê tất cả các phần tử của A. Lời giải. Ta có A = {0; 1; 2}. Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của m để A = {x ∈ N | 1 < x − m < 3} là tập hợp rỗng. Lời giải. Ta có A = (m + 1; m + 3) ∩ N. Do đó, A = ∅ ⇔ m + 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ −3. ß Bài 6. Cho tập hợp A = của tập hợp A. Lời giải. y ∈ R y =a2 + b2 + c2 ab + bc + ca, với a, b, c là các số thực dương ™ . Tìm số nhỏ nhất Ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔a2 + b2 + c2 ab + bc + ca≥ 1. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Vậy số nhỏ nhất là 1. | Dạng 3. Tập con. Tập bằng nhau • Tập hợp A là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều có trong B. A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B). • ∅ ⊂ A, với mọi tập hợp A. • A ⊂ A, với mọi tập hợp A. • Có tập A gồm có n phần tử (n ∈ N). Khi đó, tập A có 2ntập con. (A ⊂ B • A = B ⇔ B ⊂ A. ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc Ví dụ 1. Tìm tất cả các tập con của tập A = {a, 1, 2}. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 41/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Lời giải. Tập A có 23 = 8 tập con. • 0 phần tử: ∅. • 1 phần tử: {a}, {1}, {2}. • 2 phần tử: {a, 1}, {a, 2}, {1, 2}. • 3 phần tử: {a, 1, 2}. Ví dụ 2. Tìm tất cả các tập con có 2 phần tử của tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lời giải. {1, 2},{1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}. Ví dụ 3. Xác định tập hợp X biết {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 5}. Lời giải. Ta có • Vì {1, 2} ⊂ X nên tập hợp X có chứa các phần tử 1, 2. • Vì X ⊂ {1, 2, 5} nên các phần tử của tập hợp X có thể là 1, 2, 5. Khi đó tập hợp X có thể là {1, 2}, {1, 2, 5}. Ví dụ 4. Xác định tập hợp X biết {a, 1} ⊂ X ⊂ {a, b, 1, 2}. Lời giải. Ta có • Vì {a, 1} ⊂ X nên tập hợp X có chứa 2 phần tử là a, 1. • Vì X ⊂ {a, b, 1, 2} nên các phần tử của tập hợp X có thể là a, b, 1, 2. Suy ra, tập hợp X có 2 phần tử, 3 phần tử hoặc 4 phần tử. Khi đó, tập hợp X có thể là {a, 1}, {a, 1, 2}, {a, b, 1}, {a, b, 2}, {a, b, 1, 2}. Ví dụ 5. Cho ba tập hợp A = {2; 5}, B = {x; 5} và C = {x; y; 5}. Tìm các giá trị của x, y sao cho A = B = C. Lời giải. A = B ⇔ x = 2. Khi x = 2, ta có C = {2; y; 5}. Khi đó, ta có {2; y; 5} ⊂ {2; 5} và {2; y; 5} ⊃ {2; 5}. Từ đây, suy ra y = 2 hoặc y = 5. Vậy (x; y) = (2; 2) hoặc (x; y) = (2; 5) thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 6. Cho hai tập hợp A = {x ∈ Z | x chia hết cho 3 và 2} và B = {x ∈ Z | x chia hết cho 6}. Chứng minh rằng A = B. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 42/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Trước hết, ta cần chứng minh A ⊂ B. Thật vậy, với x ∈ A bất kì, ta luôn có x chia hết cho 2 và x chia hết cho 3. Vì 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x chia hết cho 6. Suy ra, x ∈ B. Mặt khác, vì 6 = 2.3 nên với phần tử x ∈ B bất kì, ta luôn có x chia hết cho 2 và 3. Suy ra, x ∈ A. Do đó, B ⊂ A. Ví dụ 7. Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) x ∈ A. b) {x} ∈ A. c) x ⊂ A. d) {x} ⊂ A. Lời giải. a) x ∈ A: đúng. b) {x} ∈ A: sai về quan hệ giữa hai tập hợp. c) x ⊂ A: sai về quan hệ giữa phần tử và tập hợp. d) {x} ⊂ A: đúng. Ví dụ 8. Xác định tất cả các tập hợp con của mỗi tập hợp a) A = {x; y}. b) B = {1; 2; 3} Lời giải. a) Các tập hợp con của tập hợp A = {x; y} là: ∅; {x}; {y}; {x; y}. b) Các tập hợp con của tập hợp B = {1; 2; 3} là: ∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3} và {1; 2; 3}. Ví dụ 9. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Tìm tất cả các tập con có 3 phần tử của tập hợp A sao cho tổng các phần tử này là một số lẻ. Lời giải. Để tổng của ba số nguyên là một số lẻ thì trong ba số chỉ có một số lẻ hoặc cả ba số đều lẻ. Nói cách khác tập con này của A phải có một số lẻ hoặc ba số lẻ. Chỉ có một tập con gồm ba số lẻ của A là {1; 3; 5}. Các tập con gồm ba số của A trong đó có một số lẻ là: {1; 2; 4}; {1; 2; 6}; {1; 4; 6};{3; 2; 4}; {3; 2; 6}; {3; 4; 6}; {5; 2; 4}; {5; 2; 6}; {5; 4; 6}. Ví dụ 10. Trong hai tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không? a) A là tập hợp các hình chữ nhật B là tập hợp các hình bình hành. b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 12 và 18} B = {n ∈ N | n là một ước của 6} Lời giải. a) Tất cả các hình chữ nhật đều là hình bình hành nên A ⊂ B. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 43/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP b) A = {1; 2; 3; 6}. B = {1; 2; 3; 6} Rõ ràng ta thấy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B. Ví dụ 11. Cho A = {n ∈ N | n là ước của 2}; B = {x ∈ R | (x2 − 1)(x − 2)(x − 4) = 0}. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho A ⊂ X ⊂ B. Lời giải. Liệt kê các phần tử của tập hợp A và B ta được : A = {1; 2}; B = {−1; 1; 2; 4}. Muốn tìm tập X thỏa điều kiện A ⊂ X ⊂ B đầu tiên ta lấy X = A, sau đó ghép thêm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Với cách thực hiện như trên, ta có các tập hợp X thỏa mãn yêu cầu bài toán là: X = A = {1; 2}, rồi ghép thêm vào một phần tử ta được: {−1; 1; 2};{4; 1; 2} Ghép thêm vào A hai trong bốn phần tử còn lại của B ta được : X = B = {−1; 1; 2; 4} Ví dụ 12. Cho A = {8k + 3 | k ∈ Z}; B = {2k + 1 | k ∈ Z}. Chứng minh rằng A ⊂ B. Lời giải. Ta cần chứng minh mọi phần tử của A đều thuộc B. Giả sử x ∈ A, x = 8k + 3. Khi đó ta có thể viết x = 8k + 2 + 1 = 2(4k + 1) + 1. Đặt l = 4k + 1, x được viết thành x = 2l + 1. Vậy x ∈ B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tất cả các tập con của mỗi tập hợp sau: a) A = {1; 2}. b) B = {a; b; c}. Lời giải. a) Các tập hợp con của tập hợp A = {1; 2} là: ∅; {1}; {2}; {1; 2}. b) Các tập hợp con của tập hợp B = {a; b; c} là: ∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; và {a; b; c}. Bài 2. Cho các tập hợp A = {2; 3; 5}; B = {−4; 0; 2; 3; 5; 6; 8}; C = {x ∈ R | x2 − 7x + 10 = 0}. Hãy xác định xem tập nào là tập con của tập còn lại. Lời giải. Ta có x2 − 7x + 10 = 0 ⇔ Bài 3. Cho hai tập hợp "x = 2 x = 5⇒ C = {2; 5}. Vậy C ⊂ A ⊂ B. A = {x ∈ R | (x − 1)(x − 2)(x − 4) = 0}; B = {n ∈ N | n là một ước của 4}. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 44/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Hai tập hợp A và B, tập hợp nào là tập con của tập còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không? Lời giải. Ta có A = {1; 2; 4}; B = {1; 2; 4}. Ta thấy A ⊂ B; B ⊂ A, nên A = B Bài 4. Cho các tập hợp: A = x ∈ R | x2 + x − 6 = 0 hoặc 3x2 − 10x + 8 = 0 B = x ∈ R | x2 − x − 2 = 0 và 2x2 − 7x + 6 = 0 . a) Viết tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử của nó. b) Tìm tất cả các tập X sao cho B ⊂ X và X ⊂ A. Lời giải. Ta giải các phương trình: x2 + x − 6 = 0 ⇔ "x = 2 x = −3  3x2 − 10x + 8 = 0 ⇔ x = 2 x =43 x2 − x − 2 = 0 ⇔ "x = −1 x = 2  x = 2 x =32. ß a) A = 2x2 − 7x + 6 = 0 ⇔ 2; −3;43™; B = {2}. ß b) X là những tập hợp sau: {2} ; {2; −3} ; Bài 5. Tìm tập hợp 2;43™;ß2; −3;43™. a) có đúng một tập con. b) có đúng hai tập con. Lời giải. a) Tâp hợp có đúng một tập con là ∅. b) Tập A = {a}. A có đúng hai tập con là A và ∅. Bài 6. Cho hai tập hợp A = x ∈ Z | x là bội của 3 và 4 , B = x ∈ Z | x là bội của 12 . Chứng minh rằng A = B. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 45/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Giả sử x ∈ B, khi đó x chia hết cho 12, suy ra x chia hết cho 3 và x chia hết cho 4, suy ra x ∈ A, do đó B ⊂ A. Giả sử x ∈ A, khi đó x chia hết cho 3 và x chia hết cho 4, mà 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên suy ra x chia hết cho 3.4, hay x chia hết cho 12, suy ra x ∈ B, do đó A ⊂ B. Vậy A = B. Bài 7. Gọi A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác có góc 60◦, C là tập hợp các tam giác cân, D là tập hợp các tam giác vuông có góc 30◦. Hãy nêu mối quan hệ giữa các tập hợp trên. Lời giải. Vì tam giác đều là tam giác có ba góc bằng 60◦ nên A ⊂ B. Tam giác đều cũng là tam giác cân nên A ⊂ C. Tam giác vuông có góc 30◦thì góc còn lại là 600 nên D ⊂ B. Bài 8. Cho A = {3k + 2 | k ∈ Z}; B = {6k + 2 | k ∈ Z} a) Chứng minh rằng 2 ∈ A, 7 ∈/ B. Số 18 có thuộc tập A không? b) Chứng minh rằng B ⊂ A. Lời giải. a) Ta có 2 = 2 + 3.0 ⇒ 2 ∈ A. Ta thấy x ∈ B thì x có dạng x = 6k + 2 chia hết cho 2 nên −7 ∈/ B. Giả sử số 18 ∈ A ⇒ 18 = 3k + 2 ⇒ k =163(vô lý) vì k ∈ Z. Vậy 18 ∈/ A. b) Xét x ∈ B. Ta có x = 2 + 6k với k ∈ Z. Suy ra x = 2 + 3(2k). Do 2k ∈ Z nên x ∈ A. Vậy B ⊂ A. Bài 9. Tìm tất cả các tập con của tập hợp B = {a, b, 2, 5}. Lời giải. Vì tập hợp B có 4 phần tử nên tập B có 24 = 16 tập con. • 0 phần tử: ∅. • 1 phần tử: {a}, {b}, {2}, {5}. • 2 phần tử: {a, b}, {a, 2}, {a, 5}, {b, 2}, {b, 5}, {2; 5}. • 3 phần tử: {a, b, 2}, {a, b, 5}, {a, 5, 2}, {5, b, 2}. • 4 phần tử : {a, b, 2, 5} Bài 10. Tìm tất cả các tập con có 3 phần tử của tập hợp D = {2, 3, 4, 6, 7}. Lời giải. {2, 3, 4}, {2, 3, 6}, {2, 3, 7},{2, 4, 6}, {2, 4, 7}, {2, 6, 7}, {3, 4, 6}, {3, 4, 7},{3, 6, 7}, {4, 6, 7}. Bài 11. Xác định tập hợp X biết {a} ⊂ X ⊂ {a, 3, 4}. Lời giải. Tập hợp X có thể là {a}, {a, 3}, {a, 4}, {a, 3, 4}. Bài 12. Xác định tập hợp X biết {a, 9} ⊂ X ⊂ {a, b, 7, 8, 9} và tập hợp X có 3 phần tử. Lời giải. Tập hợp X có thể là {a, 9, b}, {a, 7, 9, }, {a, 8, 9}. Bài 13. Cho hai tập hợp A = {x ∈ Z | x chia hết cho 2 và 5} và B = {x ∈ Z | x có chữ số tận cùng bằng 0}. Chứng minh rằng A = B. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 46/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Lời giải. Trước hết, ta cần chứng minh A ⊂ B. Thật vậy, với x ∈ A bất kì, ta luôn có x chia hết cho 2 và x chia hết cho 5. Vì 2, 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x chia hết cho 10. Suy ra, x ∈ B. Mặt khác, với phần tử x ∈ B bất kì, vì x có chữ số tận cùng là 0 nên x chia hết cho 2 và 5. Suy ra, x ∈ A. Do đó, B ⊂ A. Bài 14. Tìm giá trị các tham số m và n sao cho {x ∈ R | x3 − mx2 + nx − 1 = 0} = {1; 2}. Lời giải. Đặt A = {x ∈ R | x3 − mx2 + nx − 1 = 0} và B = {1; 2}. Vì 1 ∈ A nên −m + n = 0. Vì 2 ∈ A nên −4m + 2n = −7. Từ đây, ta có hệ phương trình m = n =72. Ngược lại, với m = n =72, ta có A = {x ∈ R | x3 −72x2 +72x − 1 = 0} = {1; 2} = B. Bài 15. Cho A là tập hợp tất cả các tứ giác lồi, B là tập hợp tất cả các hình thang, C là tập hợp tất cả các hình bình hành, D là tập hợp tất cả các hình chữ nhật. Xác định mối quan hệ giữa các tập hợp đã cho. Lời giải. D ⊂ C ⊂ B ⊂ A. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Cho các tập hợp A = {1; 2}; B = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}; C = {x ∈ N | x < 3}. Hãy xác định mối quan hệ giữa các tập hợp trên. Lời giải. Ta có B = {1; 2}; C = {0; 1; 2} Vậy A ⊂ C; B ⊂ C; A = B. Bài 2. Cho A là tập hợp các số nguyên chia cho 3 dư 2, B là tập hợp các số nguyên chia cho 6 dư 2 hoặc dư 5. Chứng minh rằng A = B. Lời giải. Ta chứng minh mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại. Trước hết ta thấy rằng một số chia hết cho 3 thì chia cho 6 dư 0 hoặc dư 3 nên một số chia cho 3 dư 2 thì chia cho 6 dư 2 hoặc dư 5. Tức là nếu x ∈ A, x = 3k + 2 thì x có thể viết thành x = 6l + 2 hoặc x = 6l + 5 hay x ∈ B. Ngược lại, x ∈ B xét hai trường hợp: • Nếu x = 6k + 2 = 3(2k) + 2. Đặt l = 2k ⇒ x = 3l + 2 ⇒ x ∈ A • Nếu x = 6k + 5 = 3(2k + 1) + 2. Đặt l = 2k + 1 ⇒ x = 3l + 2 ⇒ x ∈ A Vậy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B (điều phải chứng minh). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 47/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “7 là số tự nhiên”? A. 7 ⊂ N. B. 7 ∈ N. C. 7 < N. D. 7 ≤ N. Lời giải. Chọn đáp án B Câu 2. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “√2 không phải là số hữu tỉ ”? A.√2 6= Q. B.√2 6⊂ Q. C.√2 ∈/ Q. D.√2 ∈ Q. Lời giải. Chọn đáp án C Câu 3. Cho A là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. A ∈ A. B. ∅ ∈ A. C. A ⊂ A. D. A ∈ {A}. Lời giải. Chọn đáp án C Câu 4. Cho x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau: (I) x ∈ A (II) {x} ∈ A (III) x ⊂ A (IV) {x} ⊂ A Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. I và II. B. I và III. C. I và IV. D. II và IV. Lời giải. Chọn đáp án C Câu 5. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề A 6= ∅? A. ∀x, x ∈ A. B. ∃x, x ∈ A. C. ∃x, x /∈ A. D. ∀x, x ⊂ A. Lời giải. Chọn đáp án B Câu 6. Hãy liệt kê các phần tử của tập X = {x ∈ R |2x2 − 5x + 3 = 0} ß3 A. X = {0}. B. X = {1}. C. X = 2 ™ . D. X = ß 1;32™. Lời giải. Ta có 2x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  x = 1 ∈ R x =32∈ Rnên X = ß 1;32™. Chọn đáp án D Câu 7. Cho tập X = {x ∈ N |(x2 − 4)(x − 1)(2x2 − 7x + 3) = 0}. Tính tổng S các phần tử của tập X. A. S = 4. B. S =92. C. S = 5. D. S = 6. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 48/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP  Ta có (x2 − 4)(x − 1)(2x2 − 7x + 3) = 0 ⇔ Suy ra S = 2 + 1 + 3 = 6.  x2 − 4 = 0 x − 1 = 0 2x2 − 7x + 3 = 0 ⇔ x = −2 ∈/ N x = 2 ∈ N x = 1 ∈ N . x =12∈/ N x = 3 ∈ N Chọn đáp án D Câu 8. Ch tập X = tử? n x ∈ Z (x2 − 9) ·îx2 − (1 + √2)x +√2ó= 0o. Hỏi tập X có bao nhiêu phần A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có (x2 − 9).îx2 − (1 + √2)x +√2ó= 0 ⇔"x2 − 9 = 0 x2 − (1 + √2)x +√2⇔ Suy ra tập X có ba phần tử là −3; 1; 3.  x = 3 ∈ Z x = −3 ∈ Z x = 1 ∈ Z x =√2 ∈/ Z. Chọn đáp án C Câu 9. Hãy liệt kê các phần tử của tập X = {x ∈ Q |(x2 − x − 6)(x2 − 5) = 0}. A. X =¶√5; 3©. B. X =¶−√5; −2; √5; 3©. C. X = {−2; 3}. D. X =¶−√5; √5©. Lời giải. Ta có (x2 − x − 6)(x2 − 5) = 0 ⇔ Do đó X = {−2; 3}. "x2 − x − 6 = 0 x2 − 5 = 0⇔  x = 3 ∈ Q x = −2 ∈ Q . x =√5 ∈/ Q x = −√5 ∈/ Q Chọn đáp án C Câu 10. Hãy liệt kê các phần tử của tập X = {x ∈ R |x2 + x + 1 = 0} A. X = 0. B. X = {0}. C. X = ∅. D. X = {∅}. Lời giải. Vì phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X = ∅ Chọn đáp án C Câu 11. Cho tập hợp A = {x ∈ N|x là ước chung của 36 và 120}. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A. A. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. B. A = {1; 2; 4; 6; 8; 12}. C. A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}. D. A = {1; 36; 120}. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 49/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Ta có  36 = 22· 32 120 = 23· 3 · 5. Do đó A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.  Chọn đáp án A Câu 12. Hỏi tập hợp A = {k2 + 1 |k ∈ Z, |k| ≤ 2} có bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải. Vì k ∈ Z và |k| ≤ 2 nên k ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} do đó (k2 + 1) ∈ {1; 2; 5}. Vậy A có 3 phần tử Chọn đáp án D Câu 13. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng? A. A = {∅}. B. B = {x ∈ N |(3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0}. C. C = {x ∈ Z |(3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0}. D. D = {x ∈ Q |(3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0}. Lời giải. Ta có A = {∅}. Tập hợp này có 1 phần tử ∅ do đó không phải là tập rỗng.  Ta có (3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0 ⇔  x =23 . x = −1 x = −13 Do đó C = x ∈ Z (3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0 = {−1} D = x ∈ Q (3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0 =ß23; −1; −13™  B = x ∈ N (3x − 2)(3x2 + 4x + 1) = 0 = ∅. Chọn đáp án B Câu 14. Cho tập M = {(x; y)|x, y ∈ N và x + y = 1}. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải. Ta có x, y ∈ N và x + y = 1 nên (0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1⇒ "x = 0, y = 1 x = 1, y = 0. Do đó ta suy ra M = {(0; 1),(1; 0)} nên M có 2 phần tử. Chọn đáp án C Câu 15. Cho tập M = {(x; y)|x, y ∈ R và x2 + y2 ≤ 0}. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. (x2 ≥ 0, ∀x ∈ R Ta có y2 ≥ 0, ∀x ∈ R⇒ x2 + y2 ≥ 0 Mà x2 + y2 ≤ 0 nên chỉ xảy ra khi x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0 Do đó ta suy ra M = {0; 0} nên M có 1 phần tử. Chọn đáp án B Câu 16. Hình nào sau đây minh họa tập A là con của tập B? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 50/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP A. C. Lời giải. AB B. AB D. BA BA Chọn đáp án D Câu 17. Cho tập X = {2; 3; 4} Hỏi tập X có bao nhiêu tập hợp con? A. 3. B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải. Các tập hợp con của X là: ∅; {2} ; {3} ; {4} ; {2; 3} ; {3; 4} ; {2; 4} ; {2; 3; 4}. Cách trắc nghiệm: Tập X có 3 phần tử nên có số tập con là 23 = 8. Chọn đáp án C Câu 18. Cho tập X = {1; 2; 3; 4} Khẳng định nào sau đây đúng? A. Số tập con của X là 16. B. Số tập con của X có hai phần tử là 8. C. Số tập con của X chứa số 1 là 6. D. Số tập con của X chứa 4 phần tử là 0. Lời giải. Số tập con của X là 24 = 16. Chọn đáp án A Câu 19. Tập A = {0; 2; 4; 6} có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử? A. 4. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải. Các tập con có hai phần tử của tập A là: A1 = {0; 2}; A2 = {0; 4}; A3 = {0; 6}; A4 = {2; 4}; A3 = {2; 6}; A6 = {4; 6}. Chọn đáp án B Câu 20. Tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử? A. 30. B. 15. C. 10. D. 3. Lời giải. Các tập con có hai phần tử của tập A là A1 = {1; 2} ; A2 = {1; 3} ; A3 = {1; 4} ; A4 = {1; 5} ; A5 = {1; 6} ; A6 = {2; 3} ; A7 = {2; 4} ; A8 = {2; 5} ; A9 = {2; 6} ; A10 = {3; 4} ; A11 = {3; 5} ; A12 = {3; 6} ; A13 = {4, 5} ; A14 = {4; 6} ; A15 = {5; 6} . Chọn đáp án B Câu 21. Cho tập X = {α; π; ξ; ψ; ρ; η; γ; σ; ω; τ}. Số các tập con có ba phần tử trong đó có chứa α, π của X là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 51/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP A. 8. B. 10. C. 12. D. 14. Lời giải. Tập X có 10 phần từ. Gọi Y = {α; π; x} là tập con của X trong đó x ∈ X. Có 8 cách chọn x từ các phần tử còn lại trong C. Do đó, có 8 tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A Câu 22. Cho hai tập hợp X = {n ∈ N|n là bội của 4 và 6}, Y = {n ∈ N|n là bội của 12}. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Y ⊂ X. B. X ⊂ Y . C. ∃n : n ∈ X và n /∈ Y . D. X = Y . Lời giải. Chọn đáp án C Câu 23. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con? A. ∅. B. {1}. C. {∅}. D. {∅; 1}. Lời giải. Tập ∅ có một tập con là ∅ Chọn đáp án A Câu 24. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con? A. ∅. B. {1}. C. {∅}. D. {∅; 1}. Lời giải. Tập {1} có đúng hai tập con là ∅ và {1} Chọn đáp án B Câu 25. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con? A. {x; y}. B. {x}. C. {∅; x}. D. {∅; x; y}. Lời giải. Tập {x} có hai tập con là ∅ và {x} Chọn đáp án B Câu 26. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3} và B = {1; 2; 3; 4; 5} Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa A ⊂ X ⊂ B? A. 4. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải. Ta có A ⊂ X nên X có ít nhất 3 phần tử {1; 2; 3} Ta có X ⊂ B nên X phải X có nhiều nhất 5 phần tử và các phần tử thuộc X cũng thuộc B Do đó các tập X thỏa mãn là {1; 2; 3} , {1; 2; 3; 4} , {1; 2; 3; 5} , {1; 2; 3; 4; 5} ⇒ có 4 tập thỏa mãn. Chọn đáp án A Câu 27. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 5; 7} và B = {1; 2; 3} Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa X ⊂ A và X ⊂ B? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Các tập X thỏa mãn là {∅} , {1} , {2} , {1; 2} ⇒ có 4 tập X thỏa mãn. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 52/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Chọn đáp án D Câu 28. Cho các tập hợp sau M = {x ∈ N|x là bội số của 2}, N = {x ∈ N|x là bội số của 6}, P = {x ∈ N|x là ước số của 2}, Q = {x ∈ N|x là ước số của 6}. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M ⊂ N. B. N ⊂ M. C. P = Q. D. Q ⊂ P. Lời giải. Ta có M = {0; 2; 4; 6; ...} , N = {0; 6; 12; ...} , P = {1; 2} , Q = {1; 2; 3; 6}. Suy ra N ⊂ M và P ⊂ Q Chọn đáp án B Câu 29. Cho ba tập hợp E, F và G Biết E ⊂ F, F ⊂ G và G ⊂ E. Khẳng định nào sau đây đúng. A. E 6= F. B. F 6= G. C. E 6= G. D. E = F = G. Lời giải. Lấy x bất kì thuộc F, vì F ⊂ G nên x ∈ G mà G ⊂ E nên x ∈ E do đó F ⊂ E. Lại do E ⊂ F nên E = F. Lấy x bất kì thuộc G, vì G ⊂ E nên x ∈ E mà E ⊂ F nên x ∈ F. Do đó G ⊂ F. Lại do F ⊂ G nên F = G. Vậy E = F = G Chọn đáp án D Câu 30. Tìm x, y để ba tập hợp A = {2; 5} , B = {5; x} và C = {x; y; 5} bằng nhau. A. x = y = 2. B. x = y = 2 hoặc x = 2, y = 5. C. x = 2, y = 5. D. x = 5, y = 2 hoặc x = y = 5. Lời giải. Vì A = B nên x = 2 Lại do B = C nên y = x = 2 hoặc y = 5. Vậy x = y = 2 hoặc x = 2, y = 5. Chọn đáp án B Câu 31. Cho tập A = {0; 2; 4; 6; 8} ; B = {3; 4; 5; 6; 7}. Tập A\B là A. {0; 6; 8}. B. {0; 2; 8}. C. {3; 6; 7}. D. {0; 2}. Lời giải. Ta có A\B = {0; 2; 8} Chọn đáp án B Câu 32. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập hợp rỗng? A. {x ∈ R| − x2 + 5x − 2 = 0}. B. {x ∈ Z||x| < 1}. C. {x ∈ (0; +∞)|x2 − 4x = 0}. D. {x ∈ (−∞; −1)|x2 − 2x − 3 = 0}. Lời giải. Xét tập hợp {x ∈ (−∞; −1)|x2 − 2x − 3 = 0}, ta có x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ "x = −1 x = 3. Mà x ∈ (−∞; −1) nên loại cả hai giá trị. Vậy nên {x ∈ (−∞; −1)|x2 − 2x − 3 = 0} = ∅. Chọn đáp án D Câu 33. Cho tập hợp B = {n ∈ N∗| 3 < n2 < 100}. Số phần tử của B là A. 6. B. 7. C. 8. D. 5. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 53/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Ta có (n ∈ N∗ 3 < n2 < 100⇔ n ∈ {2; 3; . . . ; 9}. Vậy số phần tử của B là 8. Chọn đáp án C Câu 34. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}. Số tập con của A có hai phần tử là A. 6. B. 7. C. 8. D. 5. Lời giải. Các tập con có hai phần tử của A là {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}. Chọn đáp án A Câu 35. Cho tập hợp A = {3k|k ∈ Z, −2 < k ≤ 3}. Khi đó tập A được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là A. {−1; 0; 1; 2; 3}. B. {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. C. {−3; 0; 3; 6; 9}. D. {−6; −3; 0; 3; 6; 9}. Lời giải. Ta có A = {−3; 0; 3; 6; 9}. Chọn đáp án C Câu 36. Cho tập A có 3 phần tử. Số tập con của tập A bằng A. 6. B. 3. C. 8. D. 4. Lời giải. Gọi A = {a; b; c}. Khi đó các tập con của A là ∅, A, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}. Vậy số tập con của A bằng 8. Chọn đáp án C Câu 37. Cho tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5}. Số các tập con của M luôn chứa cả ba phần tử 1, 3, 5 là A. 4. B. 8. C. 2. D. 3. Lời giải. Các tập con của M luôn chứa cả ba phần tử 1, 3, 5 là {1; 3; 5}, {1; 3; 5; 2}, {1; 3; 5; 4}, {1; 3; 5; 2; 4}. Chọn đáp án A Câu 38. Trên mặt phẳng tọa độ (O;#»i , #»j ), cho các véc-tơ #»a =#»i + 4#»j và#»b = −2#»j + 3#»i . Tọa độ véc-tơ #»a +#»b là A.#»a +#»b = (−3; −1). B.#»a +#»b = (4; 2). C.#»a +#»b = (−1; 7). D.#»a +#»b = (3; 1). Lời giải. #»a +#»b =#»i + 4#»j − 2#»j + 3#»i = 4#»i + 2#»j . Chọn đáp án B Câu 39. Hãy liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp X = {x ∈ N|x2 + 2x − 3 = 0}. A. X = {1; −3}. B. X = R. C. X = {0}. D. X = {1}. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 54/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Giải phương trình x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ Vậy X = {1}. "x = 1 ∈ N x = −3 ∈/ N. Chọn đáp án D Câu 40. Cho tập A = {a; b; 5}. Số tập con của tập A là A. 5. B. 8. C. 7. D. 4. Lời giải. Tập con của A là ∅, {a}, {b}, {5}, {a; b}, {a; 5}, {b; 5}, {a; b; 5}. Vậy số tập con của A là 8. Chọn đáp án B Câu 41. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b, cách viết nào sau đây là đúng? A. {a} ∈ [a; b]. B. a ∈ (a; b]. C. a ⊂ [a; b]. D. {a} ⊂ [a; b]. Lời giải. Tập {a} là tập hợp chứa phần tử a nên nó con của tập [a; b] Chọn đáp án D Câu 42. Cho các tập hợp sau M = {1; 2; 3}, N = {x ∈ N/x < 4}, P = (0; +∞), Q = {x ∈ R/x2 − 7x + 3 = 0}. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? A. M ⊂ N; M ⊂ P; Q ⊂ P. B. N ⊂ P; Q ⊂ P. C. M ⊂ N. D. M ⊂ N; M ⊂ P. Lời giải. Tập N và Q được viết dưới dạng liệt kê là N = {0; 1; 2; 3}, Q = ®7 + √37 2;7 −√37 2 ´ . Dễ thấy các phần tử của tập M đều nằm trong tập N và tập P; Tập Q có hai số thực dương đều thuộc P. Suy ra M ⊂ N; M ⊂ P; Q ⊂ P. Chọn đáp án A Câu 43. Liệt kê tất cả các phần tử của tập M = {x ∈ N∗|x < 4}. A. M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. B. M = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. C. M = {1; 2; 3; 4}. D. M = {1; 2; 3}. Lời giải. Ta có M = {x ∈ N∗|x < 4} = {1; 2; 3}. Chọn đáp án D Câu 44. Liệt kê các phần tử của tập hợp H = {x ∈ Z| − 2 ≤ x < 3}. A. H = {−2; −1; 0; 1; 2}. B. H = {−1; 0; 1; 2}. C. H = {−2; −1; 0; 1; 2; 3}. D. H = {0; 1; 2; 3}. Lời giải. Vì x ∈ Z nên H = {−2; −1; 0; 1; 2}. Chọn đáp án A Câu 45. Hãy liệt kê các phần tử của tập M = {x : x| là ước nguyên dương của 6}? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 55/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP A. {1; 2; 3; 6}. B. {1; 2}. C. {1; 6}. D. {1; 3; 4}. Lời giải. Các ước nguyên dương của 6 là 1; 2; 3; 6. Chọn đáp án A Câu 46. Tập hợp nào sau đây có đúng một tập con? A. {0}. B. {0; 1}. C. ∅. D. {1}. Lời giải. Tập rỗng chỉ có đúng một tập con là chính nó. Các tập có một phần tử luôn có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chọn đáp án C Câu 47. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}, số tập con của A là A. 3. B. 5. C. 8. D. 6. Lời giải. Tập A có 3 phần tử nên số tập con của A là 23 = 8. Có thể liệt kê như sau: • Tập con có 0 phần tử ∅, • Tập con có 1 phần tử {1}, {2}, {3}, • Tập con có 2 phần tử {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, • Tập con có 3 phần tử A. Chọn đáp án C Câu 48. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng? A. {x ∈ R|x2 + 5x − 6 = 0}. B. {x ∈ Q|3x2 − 5x + 2 = 0}. C. {x ∈ Z|x2 + x − 1 = 0}. D. {x ∈ R|x2 + 5x − 1 = 0}. Lời giải. {x ∈ R|x2 + 5x − 6 = 0} = {1; −6}. {x ∈ Q|3x2 − 5x + 2 = 0} = {1;23}. {x ∈ Z|x2 + x − 1 = 0} = ∅. ´ {x ∈ R|x2 + 5x − 1 = 0} = ®−5 ±√29 . 2 Chọn đáp án C Câu 49. Hai tập hợp P và Q nào bằng nhau? A. P = {x ∈ R | 2x2 − x + 2 = 0}, Q = {x ∈ N | x4 − x2 − 2 = 0}. B. P = {−1; 2}, Q = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}. C. P = {1}, Q = {x ∈ R | x2 − x = 0}. D. P = {x ∈ R | x(x + 2) = 0}, Q = {x ∈ R | x2 − 2x = 0}. Lời giải. Xét đáp án A, ta có phương trình 2x2 − x + 2 = 0 vô nghiệm ⇒ P = ∅. Lại có, x4 − x2 − 2 = 0 ⇔ "x2 = −1 (vô nghiệm) x2 = 2⇔ "x =√2 ∈/ N x = −√2 ∈/ N⇒ Q = ∅. Chọn đáp án A Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 56/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 50. Cho tập hợp A = {n ∈ N | n2 + n − 6 = 0}, khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tập hợp A có hai phần tử. B. Tập hợp A = ∅. C. Tập hợp A có một phần tử. D. Tập hợp A có ba phần tử. Lời giải. Xét n2 + n − 6 = 0 ⇔ (n + 3)(n − 2) = 0 ⇔ "n = −3 (loại) n = 2. Do đó A = {n ∈ N | n2 + n − 6 = 0} = {2}. Vậy tập hợp A có một phần tử. Chọn đáp án C Câu 51. Cho tập hợp A = {x ∈ Z|(x + 4)(x2 − 3x + 2) = 0}. Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử. A. A = {1; 2; 4}. B. A = {−1; 2; 3}. C. A = {1; 2; −4}. D. A = {1; 2; 3}. Lời giải. Ta có (x + 4)(x2 − 3x + 2) = 0 ⇔ Vậy A = {1; 2; −4}.  x = −4 x = 1 x = 2. Chọn đáp án C Câu 52. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Số tập con gồm 2 của A là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Số tập con của A gồm 2 phần tử là 3, đó là {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}. Chọn đáp án C Câu 53. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4}. Hãy chọn mệnh đề sai. A. ∅ ⊂ A. B. {1; 2; 4} ⊂ A. C. {−1; 0; 1} ⊂ A. D. 0 ∈ A. Lời giải. Mệnh đề {−1; 0; 1} ⊂ A sai vì với A = {0; 1; 2; 3; 4} ta có −1 ∈/ A. Chọn đáp án C Câu 54. Tập hợp nào sau đây là tập hợp rỗng? A. {0}. B. {x ∈ R | x2 − 2x + 3 = 0}. C. {x ∈ R | x − 1 = 0}. D. {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}. Lời giải. Do phương trình x2 − 2x + 3 = 0 có ∆0 = −2 < 0 nên vô nghiệm, từ đó {x ∈ R | x2 − 2x + 3 = 0} = ∅. Chọn đáp án B Câu 55. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Số tập con của tập A là A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 57/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Số tập con của tập có n phần tử là 2n. Tập A có 3 phần tử nên có số tập con là 23 = 8. Chọn đáp án D Câu 56. Tập hợp hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử? A. 30. B. 15. C. 10. D. 3. Lời giải. Các tập con gồm 2 phần tử của tập hợp A là: {1; 2}, {1; 3}. {1; 4}, {1; 5}, {1; 6}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {2; 6}, {3; 4}, {3; 5}, {3; 6}, {4; 5}, {4; 6}, {5; 6}. Vậy có tất cả 15 tập con. Chọn đáp án B Câu 57. Số tập con gồm 3 phần tử có chứa e, f của tập hợp M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} là A. 8. B. 10. C. 14. D. 12. Lời giải. Tập con gồm 3 phần tử có chứa e, f của tập hợp M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} là {a; e; f}, {b; e; f}, {c; e; f}, {d; e; f}, {g; e; f}, {h; e; f}, {i; e; f}, {j; e; f}. Vậy có tất cả 8 tập hợp. Chọn đáp án A Câu 58. Tập hợp A = {x ∈ R| − 1 < x ≤ 2} bằng với tập hợp nào sau đây? A. A = {−1; 0; 1; 2}. B. A = (−1; 2]. C. A = {0; 1; 2}. D. A = [−1; 2]. Lời giải. Ta có: x ∈ A ⇔ (x ∈ R − 1 < x ≤ 2⇔ x ∈ (−1; 2]. Do đó, A = (−1; 2]. Chọn đáp án B Câu 59. Cho A = {1; 2; 3}. Tập hợp A có bao nhiêu tập con? A. 6. B. 5. C. 8. D. 7. Lời giải. Các tập con của A lần lượt là ∅, A, {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}. Tập hợp A có tất cả 8 tập con. Chọn đáp án C Câu 60. Ký hiệu nào sau đây để chỉ 6 là số tự nhiên? A. 6 ∈/ N. B. 6 ⊂ N. C. 6 ∈ N. D. 6 = N. Lời giải. Ta viết a ∈ A để chỉ a là một phần tử của tập hợp A. Chọn đáp án C Câu 61. Cho tập hợp A = {1; 2; 3}. Số tập con khác rỗng của A là A. 8. B. 9. C. 7. D. 6. Lời giải. Tập hợp A gồm n phần tử sẽ có 2ntập con. Do đó, số tập con khác rỗng của tập A = {1; 2; 3} là 23 − 1 = 7. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 58/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Chọn đáp án C Câu 62. Cho tập hợp A = (0; +∞) và B = {x ∈ R | mx2 − 4x + m − 3 = 0}, m là tham số. Tìm m để B có đúng hai tập con và B ⊂ A. A. m 6= 0. B. m = 4. C. m = −1, m = 4. D. m > 0. Lời giải. B có đúng 2 tập con và B ⊂ A khi và chỉ khi phương trình mx2 − 4x + m − 3 = 0 (1) có đúng một nghiệm dương. • Trường hợp 1. m = 0, phương trình (1) trở thành −4x − 3 = 0 ⇔ x = −34. Do đó, m = 0 không thỏa đề bài. • Trường hợp 2. m 6= 0, khi đó phương trình (1) có đúng một nghiệm dương khi và chỉ khi (∆0 = 0 S > 0⇔   4 − m(m − 3) = 0 m> 0⇔ m = 4. 4 Vậy m = 4 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn đáp án B Câu 63. Cho tập hợp A = {x ∈ N | x ≤ 5}. Tập A được viết dươi dạng liệt kê là A. A = {0, 1, 2, 3, 4}. B. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Lời giải. C. A = {1, 2, 3, 4, 5}. D. A = [0; 5]. Tập hợp A gồm các phần tử là số tự nhiên không lớn hơn 5 được viết dưới dạng liệt kê là A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Chọn đáp án B Câu 64. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. R ⊂ Q. B. Z ⊂ N. C. Q ⊂ Z. D. N ⊂ R. Lời giải. Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Chọn đáp án D Câu 65. Tập X = {x ∈ N∗|x4 − 2x2 = 0} có bao nhiêu phần tử? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải. Ta có x4 − 2x2 = 0 ⇔ x2(x2 − 2) = 0 ⇔ Vậy X = ∅. "x2 = 0 x2 − 2 = 0⇔ "x = 0 ∈/ N∗ x = ±√2 ∈/ N∗. Chọn đáp án D Câu 66. Cho hai tập khác rỗng A = [m − 3; 1), B = (−3; 4m + 5) với m ∈ R. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập A là tập con của tập B. A. m ≥ 0. B. 0 < m < 4. C. m ≥ −1. D. m > 0. Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 59/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Vì A, B khác rỗng và A ⊂ B nên   m − 3 < 1 − 3 < 4m + 5 − 3 < m − 3 1 ≤ 4m + 5 ⇔   m < 4 m > −2 m > 0 m ≥ −1 ⇔ 0 < m < 4. Vậy giá trị m cần tìm là 0 < m < 4. Chọn đáp án B Câu 67. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào có đúng một tập hợp con? A. {a, b}. B. ∅. C. {a, b, c}. D. {a}. Lời giải. Ta có ∅ ⊂ ∅. Do đó tập ∅ có đúng một tập con. Chọn đáp án B Câu 68. Cho tập hợp A = {x ∈ R | 2x2 + x + 3 = 0}. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A = {0}. B. A = 0. C. A = ∅. D. A = {1, 2, 3}. Lời giải. Phương trình 2x2 + x + 3 = 0 có biệt thức ∆ = 12 − 4 · 2 · 3 = −23 < 0 nên phương trình vô nghiệm. Vậy A = ∅. Chọn đáp án C Câu 69. Cho N, Z, Q, R là các tập hợp số. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Q ⊂ R. B. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. C. N ⊂ Z ⊂ Q. D. R ⊂ Z. Lời giải. Theo mối quan hệ giữa các tập hợp số, ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Chọn đáp án D Câu 70. Cho tập hợp A = {x ∈ R|(x2 − 1)(x2 + 2) = 0}. Tập hợp A là tập hợp nào sau đây? A. {−1} . B. {1} . C.¶−√2; −1; 1; √2©. D. {−1; 1} . Lời giải. Ta có (x2 − 1)(x2 + 2) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1. Vậy A = {−1; 1}. Chọn đáp án D ß Câu 71. Cho tập hợp A = nhất của tập hợp A. y ∈ R y =(a + b + c)2 a2 + b2 + c2, với a, b, c là các số thực dương ™ . Tìm số lớn A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) ⇔(a + b + c)2 a2 + b2 + c2≤ 3. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy số lớn nhất là 3. Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 60/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 72. Cho tập hợp A = x ∈ N (x3 − 8x2 + 15x)2 + (3x2 − 10x + 3)2 = 0 . Tổng các phần tử của tập A bằng bao nhiêu? A. 3. B. 8. C. 13. D.253. Lời giải. Ta có (x3−8x2+15x)2+ (3x2−10x+3)2 = 0 ⇔ nên tổng các phần tử của tập A bằng 3. (x3 − 8x2 + 15x = 0 3x2 − 10x + 3 = 0⇔ x = 3. Từ đó suy ra A = {3}, Chọn đáp án A Câu 73. Gọi A là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương lớn hơn 1 của số 20170. Biết rằng 2017 là số nguyên tố, hỏi A có bao nhiêu phần tử? A. 2017. B. 3. C. 7. D. 8. Lời giải. Dùng máy tính Casio phân tích số 20170 thành tích của các thừa số nguyên tố là 2017 = 2 · 5 · 2017. Từ đó suy ra A = {2, 5, 2017, 2 · 5, 2 · 2017, 5 · 2017, 2 · 5 · 2017} có 7 phần tử. Chọn đáp án C Câu 74. Số phần tử của tập hợp A = x ∈ Z (x2 − x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải. Ta có (x2 − x)(x4 − 6x2 + 5) = 0 ⇔ 3 phần tử. "x2 − x = 0 x4 − 6x2 + 5 = 0⇔  x = 0 x = ±√5. Từ đó ta có A = {0, −1, 1} chứa x = ±1 Chọn đáp án A Câu 75. Cho tập hợp X = {n ∈ N | −3 < 3n + 2 < 302}. Tính tổng tất cả các số thuộc tập hợp X. A. 5049. B. 4949. C. 5050. D. 4950. Lời giải. −3 < 3n + 2 < 302 ⇔ −53< n < 1000 ≤ n ≤ 99 (vì n ∈ N). Vậy tổng tất cả các số là 99(1 + 99) 2= 4950. Chọn đáp án D Câu 76. Cho ba tập hợp: X = (−4; 3), Y = {x ∈ R: 2x + 4 > 0, x < 5}, Z = {x ∈ R: (x + 3)(x − 4) = 0}. Chọn câu đúng nhất? A. X ⊂ Y . B. Z ⊂ X. C. Z ⊂ X ∪ Y . D. Z ⊂ Y . Lời giải. Ta có: Y = {x ∈ R: 2x + 4 > 0, x < 5} = (−2; 5); Z = {−3; 4}. (− 3 ∈ X - − 3 ∈/ Y⇒ X 6⊂ Y . Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 61/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP (4 ∈ Z - 4 ∈/ X⇒ Z 6⊂ X. (− 3 ∈ Z - − 3 ∈/ Y⇒ Z 6⊂ Y . X ∪ Y = (−4; 5) ⇒ {−3; 4} ⊂ (−4; 5). Vậy Z ⊂ X ∪ Y . Vậy Z ⊂ X ∪ Y . Chọn đáp án C Câu 77. Tìm tất cả các giá trị của m để tập hợp (1; m) (với m > 1) chứa đúng 2 số nguyên dương. A. m ∈ (3; 4). B. m > 2. C. m ∈ [3; 4]. D. m ∈ (3; 4]. Lời giải. Với x ∈ (1; m) ⇒ 1 < x < m. Mà các số nguyên lớn hơn 1 là 2, 3, 4, · · · Do đó để tập hợp (1; m) chứa đúng hai số nguyên thì m ∈ (3; 4]. Chọn đáp án D ß Câu 78. Cho tập hợp X = tử? n ∈ Z | −101 < 2n + 1 < 53 và n...5™. Tập hợp X có bao nhiêu phần A. 25. B. 26. C. 27. D. 31. Lời giải. −101 < 2n + 1 < 53 ⇔ −51 < n < 26 ⇔ −50 ≤ n ≤ 25. Vậy số các phần tử là 25 + 50 5+ 1 = 26. Chọn đáp án B Câu 79. Tìm số phần tử của tập hợp A = {x ∈ R | (x − 1)(x + 2)(x3 − 4x) = 0}. A. 3. B. 2. C. 4. D. 5. Lời giải. (x − 1)(x + 2)(x3 − 4x) = 0 ⇔ Vậy A có 4 phần tử.  x = 1 x = −2 x = 0 x = 2. Chọn đáp án C Câu 80. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng? A. T1 = {x ∈ N | x2 + 3x − 4 = 0}. B. T1 = {x ∈ R | x2 − 3 = 0}. C. T1 = {x ∈ N | x2 = 2}. D. T1 = {x ∈ Q | (x2 + 1)(2x − 5) = 0}. Lời giải. Vì x2 = 2 ⇔ "x =√2 ∈/ N x = −√2 ∈/ N. Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 62/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 81. Cho tập hợp X = {x ∈ R | x > −1} . Tập hợp nào trong các tập hợp sau đây không chứa tập hợp X? A. A = [−3; 7). B. R. C. B = [−3; +∞). D. C = [−1; +∞). Lời giải. X = {x ∈ R | x > −1} = (−1; +∞) 6⊂ A nên tập A không chứa tập X. Chọn đáp án A Câu 82. Cho các tập hợp A là tập hợp các tam giác, B là tập hợp các tam giác đều, C là tập hợp các tam giác cân. Khẳng định nào sau đây đúng? A. A = B. B. A ⊂ B. C. A ⊂ C. D. B ⊂ A. Lời giải. Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của các tam giác thường nên B ⊂ A. Chọn đáp án D Câu 83. Cho hai đa thức f (x) và g (x) có cùng tập xác định và ba tập hợp A = x ∈ R f (x) = 0 , B = x ∈ R g (x) = 0 và C = x ∈ R f (x).g (x) = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. A ⊂ B. B. A ⊂ C. C. C ⊂ A. D. C ⊂ B. Lời giải. f (x).g (x) = 0 ⇔ Suy ra A ⊂ C. "f(x) = 0 g(x) = 0. Chọn đáp án B Câu 84. Tập hợp Y = {2; 3; 4} có bao nhiêu tập hợp con? A. 8. B. 5. C. 3. D. 1. Lời giải. • Số tập con của Y gồm 0 phần tử là 1. • Số tập con của Y gồm 1 phần tử là 3. • Số tập con của Y gồm 2 phần tử là 3. • Số tập con của Y gồm 3 phần tử là 1. Vậy có tất cả 8 tập con của Y . Chọn đáp án A Câu 85. Tập hợp A = {1; 2; 3} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Số tập con của A gồm 2 phần tử là 3, đó là {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}. Chọn đáp án C Câu 86. Tập hợp Y = {1; 2; 3} có bao nhiêu tập con? A. 3. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải. • Số tập con của Y gồm 0 phần tử là 1. • Số tập con của Y gồm 1 phần tử là 3. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 63/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP • Số tập con của Y gồm 2 phần tử là 3. • Số tập con của Y gồm 3 phần tử là 1. Vậy có tất cả 8 tập con của Y . Chọn đáp án D Câu 87. Cho hai đa thức P(x) và Q(x). Xét các tập hợp sau A = x ∈ R P(x) = 0 và B = x ∈ R Q(x) = 0 , C = x ∈ R P2(x) + Q2(x) = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. A ⊂ C. B. B ⊂ C. C. C ⊂ A. D. A ⊂ B. Lời giải. Ta có P2(x) + Q2(x) = 0 ⇔ ⇒ C ⊂ A. (P(x) = 0 Q(x) = 0⇒ C gồm những phần tử để P(x) = 0 và Q(x) = 0 Chọn đáp án C Câu 88. Có bao nhiêu tập hợp X thoả mãn điều kiện {a, b} ⊂ X ⊂ {a, b, c, d, e}? A. 2. B. 4. C. 8. D. 10. Lời giải. Từ điều kiện {a, b} ⊂ X ⊂ {a, b, c, d, e} ta suy ra X phải chứa các phần tử a, b và chỉ có thể thêm các phần tử c, d, e nên chọn X là một trong các tập hợp sau: {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, b, c, d}, {a, b, d, e}, {a, b, e, c}, {a, b, c, d, e}. Vậy có 8 tâp hợp X thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C Câu 89. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Số tập hợp con có đúng 2 phần tử của A là A. 5. B. 9. C. 45. D. 90. Lời giải. Cách 1: Số tập con của tập A gồm 2 phần tử là số cách lấy ra bộ 2 số từ A. Do đó có số tập con là 10 · 9 2= 45 ( Bộ hai số lấy ra a, b trùng với b, a). Cách 2: Số tập hợp con có đúng 2 phần tử của A bằng số các số tự nhiên có hai chữ số ab, với a > b (∗). Số các số tự nhiên có hai chữ số là 100 − 10 = 90 số. Trong đó, có 9 số 10; 20; . . . ; 90 thỏa mãn (∗); có 9 số 11; 22; . . . ; 99 không thỏa mãn (∗); và số các số còn lại thỏa mãn (∗) là 90 − 9 − 9 số các số thỏa mãn (∗) là 9 + 36 = 45. 2= 36. Vậy tổng Chọn đáp án C Câu 90. Cho hàm số bậc nhất y = f(x) có f(−1) = 2 và f(2) = −3. Hàm số đó là A. y = −2x + 3. B. y =−5x − 1 3. C. y =−5x + 1 Lời giải. 3. D. y = 2x − 3. Đặt y = f(x) = ax + b. Ta có hệ phương trình Vậy hàm số đó là y = −53x +13. (− a + b = 2 2a + b = −3⇔   a = −53 b =13. Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 64/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP Câu 91. Cho tập hợp P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, số các tập con của P chứa cả ba phần tử 3, 4, 5 là A. 3. B. 5. C. 6. D. 8. Lời giải. Ta thấy P = {3, 4, 5} ∪ {1, 2, 6} suy ra số tập con của P chứa cả ba phần tử 3, 4, 5 cũng bằng số tập con của tập hợp {1, 2, 6}. Bằng cách liệt kê các tập con ta thấy tập hợp {1, 2, 6} có tất cả 8 tập con. Vậy có 8 tập hợp theo yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D Câu 92. Cho tập X có n + 1 phần tử (n ∈ N ). Số tập con của X có hai phần tử là 2. C. n + 1. D.n(n + 1) A. n(n + 1). B.n(n − 1) Lời giải. Lấy một phần tử của X, ghép với n phần tử còn lại được n tập con có hai phần tử. Vậy có (n + 1)n tập. 2. Nhưng mỗi tập con đó được tính hai lần nên số tập con của X có hai phần tử là n(n + 1) 2. Chọn đáp án D Câu 93. Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m+1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A. A. m = 1. B. 1 < m < 2. C. 1 6 m 6 2. D. m = 2. Lời giải. Ta có: B ⊂ A ⇔ (m > 1 m + 1 6 3⇔ (m > 1 m 6 2. Vậy 1 6 m 6 2. Chọn đáp án C Câu 94. Cho ba tập hợp E: “Tập hợp các tứ giác” F: “Tập hợp các hình thang” G: “Tập hợp các hình thoi” Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. F ⊂ E. B. E ⊂ G. C. E ⊂ F. D. F ⊂ G. Lời giải. Căn cứ vào khái niệm tập con. Chọn đáp án A Câu 95. Có bao nhiêu tập A để {m; n} ⊂ A ⊂ {m; n; x; y}? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải. Các tập A thỏa mãn là {m; n}, {m; n; x}, {m; n; y} và {m; n; x; y}. Chọn đáp án D Câu 96. Cho tập hợp P. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. P ⊂ P. B. ∅ ⊂ P. C. P ∈ {P}. D. P ∈ P. Lời giải. • Với mọi tập hợp P ta luôn có ∅ ⊂ P và P ⊂ P. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 65/2406 ‡ GeoGebra CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP • Với tập hợp {P} thì P là một phần tử của {P} nên ta viết P ∈ {P}. Chọn đáp án D Câu 97. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}. Tập A có mấy tập con? A. 15. B. 12. C. 16. D. 10. Lời giải. Số tập hợp con của tập hợp có 4 phần tử là 24 = 16 tập hợp con. Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Trang 66/2406 ‡ GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 2. TẬP HỢP ĐÁP ÁN 1. B 11. A 21. A 31. B 41. D 51. C 61. C 71. C 81. A 91. D 2. C 12. D 22. C 32. D 42. A 52. C 62. B 72. A 82. D 92. D 3. C 13. B 23. A 33. C 43. D 53. C 63. B 73. C 83. B 93. C 4. C 14. C 24. B 34. A 44. A 54. B 64. D 74. A 84. A 94. A 5. B 15. B 25. B 35. C 45. A 55. D 65. D 75. D 85. C 95. D 6. D 16. D 26. A 36. C 46. C 56. B 66. B 76. C 86. D 96. D 7. D 17. C 27. D 37. A 47. C 57. A 67. B 77. D 87. C 97. C 8. C 18. A 28. B 38. B 48. C 58. B 68. C 78. B 88. C 9. C 19. B 29. D 39. D 49. A 59. C 69. D 79. C 89. C 10. C 20. B 30. B 40. B 50. C 60. C 70. D 80. C 90. C Sưu tầm & biên soạn Trang 67/2406 ‡ GeoGebra Th.s Nguyễn Chín Em CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP 3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP §3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Định nghĩa. Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C = A ∩ B. Vậy A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}. A B ( !x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A x ∈ B. 2 HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Định nghĩa. Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu C = A ∪ B. A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}. A B " !x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A x ∈ B. 3 HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP A\B = {x|x ∈ A và x /∈ B}. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 68/2406 ‡ GeoGebra