🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tuyển Tập 150 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 7 (Có Đáp Án) Ebooks Nhóm Zalo TUYỂN TẬP 150 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 Họ và tên:........................................................................................................... Lớp:.................................................................................................................... Trường:.................................................................................................................. Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ Quảng Nam, tháng 12 năm 2016 Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o TRùC NINH ***** ®Ò chÝnh thøc ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn n¨m häc 2008 - 2009 m«n: To¸n 7 (Thêi gian lµm bµi:120 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò thi nµy gåm 01 trang Bµi 1: (3,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) 3 4 7 4 7 7 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ : : 7 11 11 7 11 11 b) 1 1 1 1 1 − − − − − ... 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bµi 2: (3,5 ®iÓm) T×m x; y; z biÕt: a) 2009 – x − 2009= x ⎛ ⎞ 2008 2 2008 2 1 0 x y x y z − + − + + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b) ( ) Bµi 3: (3 ®iÓm) 5 T×m 3 sè a; b; c biÕt: 3 2 2 5 5 3 a b c a b c − − − = =vµ a + b + c = – 50 5 3 2 Bµi 4: (7 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC ; gãc A tï). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Trªn tia ®èi cña CA lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA. C©u 1: Chøng minh: a) Δ = Δ ABD ICE b) AB + AC < AD + AE C©u 2: Tõ D vµ E kÎ c¸c ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi BC c¾t AB; AI theo thø tù t¹i M; N. Chøng minh BM = CN. C©u 3: Chøng minh r»ng chu vi tam gi¸c ABC nhá h¬n chu vi tam gi¸c AMN. Bµi 5 (3 ®iÓm): T×m c¸c sè tù nhiªn a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 §¸p ¸n §Ò thi HSG m«n To¸n 7 Bµi 1: 3 ®iÓm C©u a: 1 ®iÓm (kÕt qu¶ = 0). C©u b: 2 ®iÓm − − − − − 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞ 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 = − + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ... 99.97 1.3 3.5 5.7 95.97 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ⎛ ⎞ = − − + − + − + + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 99.97 2 3 3 5 5 7 95 97 1 1 1 1 ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 99.97 2 97 1 48 = − 99.97 97 − 4751 = 99.97 Bµi 2: 3,5 ®iÓm C©u a: 2 ®iÓm - NÕu x ≥2009 ⇒2009 – x + 2009 = x ⇒2.2009 = 2x ⇒x = 2009 - NÕu x < 2009 ⇒2009 – 2009 + x = x ⇒0 = 0 VËy víi ∀x < 2009 ®Òu tho¶ m·n. - KÕt luËn : víi x ≤2009 th× 2009 2009 − − = x x HoÆc c¸ch 2: 2009 2009 − − = x x ⇒ − = − 2009 2009 x x ⇒ − = − − x x 2009 2009 ( ) ⇒ ≤ x C©u b: 1,5 ®iÓm 1 2009 y =; 910 x =; 25 2 Bµi 3: 2,5 ®iÓm z = 3 2 2 5 5 3 a b c a b c − − − = = 5 3 2 − − − ⇒ = = 15 10 6 15 10 6 a b c a b c 25 9 4 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cã: 15 10 6 15 10 6 15 10 6 15 10 6 0 a b c a b c a b c a b c − − − − + − + − = = = = 25 9 4 38 a b ⎧= ⎪ 2 3 15 10 0 3 2 ⎧ ⎧ − = = ⎪ a b a ba c ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⎨ ⎨ ⎨ 6 15 0 2 52 5 c a c a ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ − = = ⎪= ⎪⎩ 10 6 0 5 3 b c b c c b 5 3 abc = = VËy 2 3 5 ⎧ = − ⎪ ⇒ = − ⎨⎪⎩= − a b ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau c 10 15 25 Bµi 4: 7 ®iÓm M A BC D C©u 1: mçi c©u cho 1,5 ®iÓm O N E I C©u a: Chøng minh ABD ICE cgc = ( ) C©u b: cã AB + AC = AI V× ABD ICE AD EI = ⇒ =(2 c¹nh t-¬ng øng) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c trong AEIcã: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC C©u 2: 1,5 ®iÓm Chøng minh vBDM = vCEN (gcg) ⇒BM = CN C©u 3: 2,5 ®iÓm V× BM = CN ⇒AB + AC = AM + AN (1) Gäi giao ®iÓm cña MN víi BC lµ O ta cã: cã BD = CE (gt) ⇒BC = DE MO ODMO NO OD OE > ⎫⎬ ⇒ + > + NO OE > ⎭ ⇒ > MN DE ⇒ > MN BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒chu vi ABCnhá h¬n chu vi AMN Bµi 5: 2 ®iÓm Theo ®Ò bµi ⇒2008a + 3b + 1 vµ 2008a + 2008a + b lµ 2 sè lÎ. NÕu a ≠0 ⇒2008a + 2008a lµ sè ch½n ®Ó 2008a + 2008a + b lÎ ⇒b lÎ NÕu b lÎ ⇒3b + 1 ch½n do ®ã 2008a + 3b + 1 ch½n (kh«ng tho¶ m·n) VËy a = 0 Víi a = 0 ⇒(3b + 1)(b + 1) = 225 V× b ∈N ⇒(3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 3b + 1 kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 3b + 1 > b + 1 ⎧ + = 3 1 258 bb ⇒ ⇒ = ⎨⎩+ = b 1 9 VËy a = 0 ; b = 8. ®Ò KH¶O S¸T häc sinh giái líp 7 M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1: TÝnh 2 3 3 3 1 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) A = b) B = Bµi 2 : T×m x biÕt 5 2 : 5 4 4 2 2010 0 2009 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⋅ + ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 1 7 1 8 2 : 2 4 11 25 22 2 4 1 1 ) 1 : 4 a x + = − b x x ) 2 1 4 − − = 5 5 Bµi 3: a) T×m a , b , c BiÕt: 3a = 2b ; 4b = 5c vµ - a - b + c = - 52 . 2 2 5 3 x x − + − t¹i 32 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C = Bµi 4: 2 1 x x = Bèn con Ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong mét ngµy , mét con Dª ¨n hÕt mét xe cá trong s¸u ngµy , hai con Cõu trong 24 ngµy ¨n hÕt hai xe cá . Hái chØ ba con (Ngùa , Dª vµ Cõu) ¨n hÕt hai xe cá trong mÊy ngµy ? Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) , M lµ trung ®iÓm cña BC . §-êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A t¹i M c¾t c¹nh AB , AC lÇn l-ît t¹i E vµ F . Chøng minh : a) EH = HF b)2BME ACB B = − . 2 FE+ = AH AE . c) 2 2 4 d) BE = CF . ®¸p ¸n ( H-íng dÉn chÊm nµy gåm hai trang ) C©u ý Néi dung §iÓm 1 (1,5®) a (0,75) 3 3 3 2 2 9 3 1 9 4 1 1 3 : 3 9 27 A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + = − ⋅ + = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠4 4 2 4 3 2 2 0, 5 − 35 = 2 0,25 b (0,75) 2010 2009 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 7 1 2 1 1 0 ⎜ ⎟ + − ⋅ = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 6 11 11 2 2 0,75 2 (1,5 ®) a (0,5) 1 6 1 26 1 : 4 : − x x x = − − ⇒ = ⇒ =− 5 5 5 5 26 0,5 b (1,0) ...⇒ − = + 2 1 4 x x (1) 0,25 * Víi 2x – 1 ≥0 tõ (1) ta cã 2x – 1 = x + 4 ⇒ x = 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2x – 1 ≥0 0,25 * Víi 2x – 1 < 0 th× tõ (1) ta cã 1 – 2x = x + 4 ⇒x = - 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2x – 1 < 0 0,25 §¸p sè : x1 = 5 ; x2 = -1 0,25 3 (1,5®) a (0,75) a b a b Gi¶i : Tõ 3a = 2b ⇒ . = ⇒ = 2 3 10 15 b c b c Tõ 4b = 5c ⇒5 4 15 12 = ⇒ = 0,25 a b c c a b − − − ⇒52 4 = = = = = 10 15 12 12 10 15 13 − − − 0,25 ⇒a = 40 ; b = 60 ; c = 48 0,25 b (0,75) 2 2 5 3 x x − + − t¹i32 BiÓu thøc C = x = 2 1 x 3 3 V× 32 ⇒ = − = x x ; x =1 2 2 2 0,25 Thay x1= -3/2 vµo biÓu thøc C ta ®-îc 2 3 3 2 5 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ − − ⋅ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 2 15 = ⋅⋅⋅ = ⎛ ⎞ C = 3 4 2 1 ⋅ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 0,25 Thay x2 = 3/2 vµo biÓu thøc C ta ®-îc 2 3 3 2 5 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅⋅⋅ = ⎛ ⎞ 2 2 0 C = 3 2 1 ⋅ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 0,25 VËy khi x1 = -3/2 th× C = -15/4 khi x2 = 3/2 th× C = 0 4 (2®) . Gi¶i : V× bèn con ngùa cïng ¨n hÕt xe cá trong 1 ngµy , do ®ã mét con ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong 4 ngµy . Mét con dª ¨n hÕt mét xe cá trong 6 ngµy . Hai con cõu ¨n hÕt hai xe cá trong 24 ngµy nªn mét con cõu ¨n hÕt mét xe cá trong 12 ngµy . 0,5 Trong mét ngµy : mét con ngùa ¨n hÕt 14(xe cá ) mét con dª ¨n hÕt 16(xe cá ) Mét con cõu ¨n hÕt 112(xe cá ) 0,5 C¶ ba con ¨n hÕt : 1 1 1 1 + + =(xe cá) 4 6 12 2 0,5 C¶ ba con ¨n hÕt 1 xe cá trong 2 ngµy nªn ¨n hÕt 2 xe cá trong 4 ngµy 0,5 5 ( 3,5®) (0,5) VÏ h×nh ®óng A E 1 M B C H D F 0,5 a (0,75) C/m ®-îc Δ = Δ AEH AFH(g-c-g) Suy ra EH = HF (®pcm) 0,75 b (0,75) Tõ Δ = Δ AEH AFHSuy ra E F 1= XÐt ΔCMFcã ACBlµ gãc ngoµi suy ra CMF ACB F = − ΔBMEcã E1 lµ gãc ngoµi suy ra BME E B = −1 vËy 1 CMF BME ACB F E B + = − + − ( ) ( ) hay 2BME ACB B = −(®pcm). 0,75 c (0,5) ¸p dông ®Þnh lÝ Pytago vµo tam gi¸c vu«ng AFH : ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay 22 2 FE+ = AH AE (®pcm) 4 0,5 d (1,0) C/m Δ = Δ − − AHE AHF g c g ( )Suy ra AE = AF vµ E F 1= Tõ C vÏ CD // AB ( D ∈ EF ) C/m ®-îc Δ = Δ − − ⇒ = BME CMD g c g BE CD ( ) (1) vµ cã E CDF 1=(cÆp gãc ®ång vÞ) do do ®ã CDF F CDF = ⇒ Δ c©n ⇒CF = CD ( 2) Tõ (1) vµ (2) suy ra BE = CF 0,25 0,25 0,25 0,25 §Ò thi häc sinh giái cÊp tr-êng n¨m häc 2009-2010 M«n: to¸n Líp 7 Thêi gian: 120 phót ĐỀ BÀI Bài 1(4 điểm) a/ Tính: A= 3 3 3 1 1 1 − + − + 4 11 13 2 3 4 + 5 5 5 5 5 5 − + − + 7 11 13 4 6 8 b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: y z x + − + − x = z x y + − y = x y z z Hãy tính giá trị biểu thức: ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +++ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠. B = 111 x y z y z x Bài 2 (4điểm) a/ Tìm x,y,z biết: 1 2 20 x y x xz − + + + + = 2 3 b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì2 2 3 2 3 2 n n n n + + − + − chia hết cho 10. Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH⊥BC (H ∈BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các góc HEM và BME ? Bài 5(2điểm): Tìm x, y ∈N biết: ( )2 2 36 8 2010 − = − y x H-íng dÉn chÊm Bµi ý Nội dung Điểm 1 4 ®iÓm a 1 1 1 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛− + 1 1 1 3 3 3 1 1 1 3 135 x 3 − + − + − + 4 11 13 +52 2 3 4 4 11 13 2 3 4 4 11 13 x x + + + = 5 5 5 5 5 5 5 129 x 1 1 1 5 1 1 1 ⎟⎠⎞ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛− + ⎜⎝⎛− + − + − + 5 7 11 13 4 6 8 7 11 13 x x 7 11 13 2 2 3 4 3 135 x+52=52 7 11 13 x x 189 5 172 2 x + x=860 189+ =172 5 1289 x =5 129 4 11 13 x x x x 172 2 b = = 1 1 1 y z z x x y + + + Ta có: y z x z x y x y z + − + − + − ⇒ − = − = − x y z xyz y z z x x y x y z + + + + + 2( )2 ⇒ = = = = x y z x y z + + 111 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⇒ = + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ x y z By z x . . x y y z z x + + + = y z x . . 2.2.2 8 x y z x y z + + + = = = z y x Vậy B=8 0,5 0,5 0,5 0,5 2 4 điểm a 1 2 20 x y x xz − + + + + = 2 3 Áp dụng tính chất A ≥0 ⎧ ⎧ 1 1 0 0 ⎪− = − = ⎪ x x 1 ⎧= ⎪⎪⎪ ⇒ = − ⎨⎪⎪= − = − ⎪⎩ x 2 2 ⎪ ⎪ 2 2 2 0 0 ⎪ ⎪ ⇒ + = ⇒ + = ⎨ ⎨ y y 2 3 30 0 y ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ + = + = ⎪ ⎪⎩ ⎩ x x z x xz 2 ( ) 1 z x 2 Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0,25 1,5 0,25 b Ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n + + − + − =2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n + + + − + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 2 1 n n = + − + = − 3 .10 2 .5 n n = 10.(3n – 2n-1) 0,75 0,5 0,5 0,25 Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh. 3 4điểm Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6. Do đó ta có: 1 1 1 : : : : 12 :15:10 x y z = = . 546 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x y z + + 555 15 = = = = = 12 15 10 12 15 10 37 + + ⇒ = = = x y z 180; 225; 150. Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150 . 0,5 1,0 0,75 0,75 0,75 0,25 4 6 điểm a b c A (2 điểm) Xét ΔAMCvàΔEMBcó : AM = EM (gt ) I gócAMCbằng góc EMB(đối đỉnh ) B M C BM = MC (gt ) H Nên : ΔAMC = ΔEMB(c.g.c ) ⇒AC = EB K Vì ΔAMC = ΔEMB => Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi E đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . (2 điểm) Xét ΔAMIvàΔEMKcó : AM = EM (gt ) MAI = MEK( vì Δ = Δ AMC EMB) AI = EK (gt ) Nên Δ = Δ AMI EMK( c.g.c ) Suy ra AMI = EMK Mà AMI+ IME= 180o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ EMK+ IME= 180o ⇒Ba điểm I;M;K thẳng hàng (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H= 90o ) có HBE= 50o ⇒ HBE= 90o - HBE= 90o - 50o =40o ⇒ HEM = HEB - MEB= 40o - 25o = 15o BMElà góc ngoài tại đỉnh M của ΔHEM Nên BME = HEM+ MHE= 15o + 90o = 105o 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 5 2 điểm 36 8 2010 − = − y x ( )2 2 ⇒ + − = y x 8 2010 36 . Ta có: ( )2 2 y ≥0 ( )2 2 36 8 2010 36 ( 2010)8 ⇒ − ≤ ⇒ − ≤ x x Vì 2 0 ( 2010) ≤ −x và x N ∈ , ( )2 Vì 2 x − 2010là số chính phương nên 2 ⇒ − = ( 2010) 4 x hoặc 2 ( 2010) 1 x − = hoặc 2 ( 2010) 0 x − = . + Với 22012 x xx⎡ = x ( 2010) 4 2010 22008 − = ⇒ − = ⇒ ⎢⎣ = 22 ⎡ = y ⇒ = ⇒ ⎢⎣ = − yy loai 42( ) + Với 2 2 ( 2010) 1 36 8 28 x y − = ⇒ = − =(loại) ( 2010) 0 2010 x x − = ⇒ =và26 ⎡ = y + Với 2 yy loai = ⇔ ⎢⎣ = − 366 ( ) Vậy ( , ) (2012;2); (2008;2); (2010;6). x y = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (2,0 điểm) a. Thực hiện phép tính: 3 2 4 1,2 : (1 .1,25) (1,08 ) : − − 5 25 7 2 M = + + 0,6.0,5: 1 5 9 36 5 0,64 (5 ). − − 25 9 4 17 b. Cho N = 0,7. (20072009 – 20131999). Chứng minh rằng: N là một số nguyên. Bài 2: (2,0điểm)Tìm x, y biết: − −b. 2 1 3 2 2 3 1 x y x y a. 1 60 + − + − x − − = 15 1 x = = 5 7 6 x Bài 3: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P =3 3 2 1 x x − + + a. Rút gọn P? b. Tìm giá trị của x để P = 6? Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ hai tia Ax // By. Lấy hai điểm C,E và D,F lần lượt trên Ax và By sao cho AC = BD; CE = DF. Chứng minh: a. Ba điểm: C, O, D thẳng hàng; E, O, F thẳng hàng. b. ED = CF . Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC cân tại C và0 C =100; BD là phân giác góc B. Từ A kẻ tia Ax tạo với AB một góc 0 30. Tia Ax cắt BD tại M, cắt BC lại E. BK là phân giác góc CBD, BK cắt Ax tại N. a. Tính số đo góc ACM. b. So sánh MN và CE. §Ò sè 1 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u1: (2 ®iÓm) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2 2 2 2 a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + === a b c d T×m gi¸ trÞ biÓu thøc: M= a b b c c d d a + + + + + + + c d d a a b b c + + + + C©u2: (1 ®iÓm) . Cho S =abc bca cab + + . Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph-¬ng. C©u3: (2 ®iÓm) Mét « t« ch¹y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 65 km/h, cïng lóc ®ã mét xe m¸y ch¹y tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. BiÕt kho¶ng c¸ch AB lµ 540 km vµ M lµ trung ®iÓm cña AB. Hái sau khi khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, O lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c. a. Chøng minh r»ng: BOC A ABO ACO = + + 902A b. BiÕt 0 ABO ACO + = −vµ tia BO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B. Chøng minh r»ng: Tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. C©u 5: (1,5®iÓm). Cho 9 ®-êng th¼ng trong ®ã kh«ng cã 2 ®-êng th¼ng nµo song song. CMR Ýt nhÊt còng cã 2 ®-êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: (1,5®iÓm). Khi ch¬i c¸ ngùa, thay v× gieo 1 con sóc s¾c, ta gieo c¶ hai con sóc s¾c cïng mét lóc th× ®iÓm thÊp nhÊt lµ 2, cao nhÊt lµ 12. c¸c ®iÓm kh¸c lµ 3; 4; 5 ;6… 11. H·y lËp b¶ng tÇn sè vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mçi lo¹i ®iÓm nãi trªn? TÝnh tÇn xuÊt cña mçi lo¹i ®iÓm ®ã. ------------------------------------ HÕt ---------------------------------------------- §Ò sè 2. Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a,⎟5x-3⎟ < 2 b,⎟3x+1⎟ >4 c, ⎟4- x⎟ +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =⎟x⎟ +⎟8 -x⎟ C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD ------------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò sè 3 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 . ( 2®) Cho: dc + +3. a= = . Chøng minh: da b a b c⎟ = b c ⎜⎝⎛+ + b c d ⎞ ⎠ a = c = b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = c a +. b c a b + + C©u 3. (2®). T×m x ∈ Z®Ó A∈ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. 1 2 a). A = 23 − x. x. b). A = 3 + x − x + C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a)x − 3= 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. -------------------------------- HÕt ------------------------------------ §Ò sè 4 Thêi gian lµm bµi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®-êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ? 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc dc a=( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®-îc c¸c tØ lÖ thøc: b a c a b + +. = a) c d = c d −. b) d a b − b C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a . 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: 10 C©u 3: 1 2 3 .... 100 T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x − 2001 + x −1 ------------------------------------------ hÕt --------------------------------------------- §Ò sè 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: x + 2+326 x + 3+325 x + 4+324 x + 349=0 a, 327 b, 5x − 3 ≥ 7 C©u2:(3 ®iÓm) x + 5+5 0 1 2 2007 1⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎜⎝⎛ 1 ⎞ ⎜⎝⎛ 1 ⎞ ⎜⎝⎛ 1 S = − ⎟ + − ⎟ + − ⎟ + + − a, TÝnh tæng: 7 ⎠ 7 ⎠ 7 ⎠ ........ 7 1+ + + + < 2 3 99 b, CMR: 1 2! 3! 4! ........ 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d-¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2nchia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t-¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc0 B = 60hai ®-êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 B. T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. =n C©u5: (1 ®iÓm) Cho 2( 1) 3 2 − + ------------------------------------------ hÕt ----------------------------------------- §Ò sè 8 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ( )5 x −1 = - 243 . b) 152 x + x x x x 2 + 2 11 + + 12 + + 13 2 = + 14 2 + c) x - 2x= 0 (x≥ 0) C©u 2 : (3®) y a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : 81 5+ = x 4 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = 31 x(x≥ 0) + x − C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x −3 - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ΔABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t-¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ΔABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900. KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . -----------------------------------HÕt-------------------------------- §Ò sè 9 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi1( 3 ®iÓm) 10 1 (26 1 176 12 ) 10 ( 3 3 − − − 1,75) 7 11 3 a, TÝnh: A = 5 ( 60 91 0,25). − − 11 1 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 +……+ 100 – 410) Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d-¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ΔABC vu«ng t¹i B, ®-êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. -------------------------------------------- hÕt ------------------------------------------- §Ò sè 10 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x x = + + − 5 2 . a.ViÕt biÓu thøc A d-íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 < + + + + < . ....... a.Chøng minh r»ng : 2 2 2 2 6 5 6 7 100 4 b.T×m sè nguyªn a ®Ó : 2 9 5 17 3 a a a + + + − + + +lµ sè nguyªn. a a a 3 3 3 Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A n n n = + + ( 5 6 6 . )( ) Bµi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §-êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f x f x x ( ) − − = ( 1 . ) . ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + … + n. ------------------------------------ HÕt -------------------------------- §Ò sè 11 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (2®) Rót gän A=22 x x − x x + − 8 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®-îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®-îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®-îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®-îc ®Òu nh- nhau. C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 2006 10 53 +lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®-êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b, BH = 2AC c, ΔKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d-íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. --------------------------------- HÕt -------------------------------------- §Ò sè 12 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x − 2 − x = 7b) 2x − 3 > 5c) 3x −1 ≤ 7d) 3x − 5 + 2x + 3 = 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+...+ 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®-êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®-êng th¼ng MN lÇn l-ît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®-êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh: a) BD ⊥ AP;BE ⊥ AQ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= xx 14Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? T×m gi¸ trÞ ®ã. − 4 − -------------------------------------- HÕt ---------------------------------------- §Ò sè 13 Thêi gian : 120’ C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4 3 x + - x = 15. b. 3 2 x − - x > 1. c. 2 3 x + ≤5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2chia hÕt cho 9 lµ: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh- thÕ nµo,biÕt nÕu céng lÇn l-ît ®é dµi tõng hai ®-êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB> ADC. Chøng minh r»ng: DB < DC. C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = x −1004 - x +1003 . -------------------------------------- HÕt --------------------------------- §Ò sè 14 Thêi gian : 120’ C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : a. 3x 2 − +5x = 4x-10 b. 3+ 2x 5 +> 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+...+74n chia hÕt cho 400 (n∈N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α+ β+ γ= 1800 chøng minh Ax// By. A α x C β γ B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC=1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2004. ------------------------------------ HÕt ---------------------------------- §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x − 2 + 5 − x Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l-ît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®-êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®-îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3- 4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. ------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò 16 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x x 2 3 + + =; b. 3x 5 x 2 − = + C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®-êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®-êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t-¬ng tù nh- kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. --------------------------------------------- HÕt --------------------------------------------- §Ò 17 Thêi gian: 120 phót Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = 35 x x − + a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 41 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 − x = x −1 b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®) Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = xx 2006. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. − 6 − T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. ---------------------------------------- HÕt -------------------------------------- §Ò 18 Thêi gian: 120 phót C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 ⎜⎝⎛41 1⎟⎠⎞ 25 30 ⎜⎝⎛31 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 1⎟⎠⎞ a. ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ . b. : 2 9 5 4 9 4 .9 2.6 − 2. Rót gän: A = 2 .3 6 .20 10 8 8 + 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d-íi d¹ng ph©n sè vµ ng-îc l¹i: a. 337b. 227c. 0, (21) d. 0,5(16) C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®-îc 912 m3®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®-îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: 3 a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = ( 2) 4 2 x + + b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ ∠C = 800. Trong tam gi¸c sao cho MBA 30 0 =vµ 0 MAB =10.TÝnh MAC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. ------------------------------------- HÕt -------------------------------------- §Ò19 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) 1) Cho 65 a − b cvµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 1 − 3 2 = + 4 = 2 2 2 3 5 a ab b 2 2 2) Cho tØ lÖ thøc : dc − +. Víi ®iÒu 2 3 5 c cd d − + a=. Chøng minh : d cd b kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 2 2 3 b ab + = 2 2 3 + 1+ + + 1 .... 1 1) A = 97.99 3.5 5.7 2) B = 2 3 50 51 31 1 1 1 1 − + − + + − 3 3 3 ..... 3 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE ⊥ víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n ---------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------------- §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375 0,311 12 1,5 1 0, 75 − + ++ − a) A = + 5 5 5 0, 265 0,5 2,5 1, 25 − + − − + − 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33vµ 29+14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®-îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®-îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: a) 3 4 x − ≤ 3 b) 1 1 1 1 ... 2 ⎛ ⎞ + + + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 1.2 2.3 99.100 2 Bµi 5 ( 3®): Cho ΔABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) 0 BMC = 120 b) 0 AMB = 120 Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu cã: 1 2 f x f x ( ) 3. ( )x + =. TÝnh f(2). ---------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò 21 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈Z, biÕt a. x x + −= 3 - x x 1 1 6− = b.2 y c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 − − − − . H·y so s¸nh A víi 21 a. Cho A =1) (2 2 2 2 2 1).( 3 1).( 4 1)...( 100 − b. Cho B = 31 x. T×m x ∈Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d-¬ng + x C©u 3 (2®) − Mét ng-êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®-îc 1qu·ng ®-êng th× ng-êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr-a. 5 TÝnh qu·ng ®-êngAB vµ ng-êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ΔABCcã Aˆ> 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh ΔAIB = ΔCID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB BIC < d. T×m ®iÒu kiÖn cña ΔABC ®Ó AC CD ⊥ 14. Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn −x Z x; C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 〈 ∈ 〉 4 − x nµo? ----------------------------- HÕt --------------------------------------- §Ò 22 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x − 6+5x = 9 b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) : ⎜⎝⎛+ + +61 1; 3 1 4 1 5 ⎟⎠⎞ c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 vµ B = 2101 . Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l-ît ®é dµi tõng hai ®-êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. Bµi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = 11 x. + x − a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 916vµ x = 925. b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®-êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc MCN? Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? ------------------------ HÕt ------------------------- §Ò 23 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) − − − − 2 2 1 3 1 1 4 5 2 0,25 . . . . − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. TÝnh A = ( ) 4 3 4 3 b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d-¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2nchia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr-êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®-îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®-îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343- 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn l-ît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED b. §-êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §-êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. ------------------------------------------------- HÕt ---------------------------------------------- §Ò 24 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a a + b. a a − c. 3 1 2 3 ( x x − − − ) C©u 2: T×m x biÕt: a. 5 3 x − - x = 7 b. 2 3 x + - 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho Δ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E. Sao cho AD = BE. Qua D vµ E vÏ c¸c ®-êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M vµ N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. ----------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò 25 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 2006 2007 10 1 10 1 ; B = Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A= Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: + + + +. 2007 2008 10 1 10 1 A= 1 1 1 1 . 1 ... 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + + + +1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2006 Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng:x 1 1 − = 8 y 4 Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. B = C = 50. Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã0 cho 0 0 KBC = 10 KCB = 30 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. --------------------------------- HÕt ---------------------------------- §Ò thi 26 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥2 h·y so s¸nh: a. A= 2 2 2 21 1 1 1 + + + +víi 1 . 2 1 3 1 4 1 .... n 1 + + + +víi 1/2 ... b. B = ( ) 2 2 2 2 2 4 6 2 n α, víi 3 4 11 2 ++ α 3 4 n = + + + + nn .... C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña 2 3 C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l-ît ®é dµi hai ®-êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn l-ît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a + b + clµ c¸c sè h÷u tØ. -------------------------------------------------------------- PhÇn 2: H-íng dÉn gi¶i H-íng dÉn gi¶i ®Ò sè 1. C©u 1: Mçi tØ sè ®· cho ®Òu bít ®i 1 ta ®-îc: 2 2 1 1 a b c d a b c d + + + + + + − = − =2 2 1 1 a b c d a b c d + + + + + + a b − = − c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + + + + === a b c d +, NÕu a+b+c+d ≠0 th× a = b = c = d lóc ®ã M = 1+1+1+1=4 +, NÕu a+b+c+d = 0 th× a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lóc ®ã M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4. C©u 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). V× 0 < a+b+c≤27 nªn a+b+c/37. MÆt kh¸c( 3; 37) =1 nªn 3(a+b+c) 37 => S kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph-¬ng. C©u 3: Qu·ng ®-êng AB dµi 540 Km; nöa qu¶ng d-êng AB dµi 270 Km. Gäi qu·ng ®-êng « t« vµ xe m¸y ®· ®i lµ S1, S2. Trong cïng 1 thêi gian th× qu·ng ®-êng tØ lÖ S St = =(t chÝnh lµ thêi thuËn víi vËn tèc do ®ã 1 2 V V 1 2 gian cÇn t×m). A M B t= 270 270 2 540 2 270 2 (540 2 ) (270 2 ) 270 ; 3 − − − − − − − a a a a a a = = = = = = t 65 40 130 40 130 40 90 − VËy sau khi khëi hµnh 3 giê th× « t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u 4: a, Tia CO c¾t AB t¹i D. +, XÐt ΔBOD cã BOClµ gãc ngoµi nªn BOC = B D 1 1 + A +, XÐt ΔADC cã gãc D1lµ gãc ngoµi nªn D A C 1 1 = + VËy BOC = A C+ 1+B1 D 902A b, NÕu 0 A A A+ − = + ABO ACO + = −th× BOC = 0 0 90 90 2 2 O C XÐt ΔBOC cã: ⎛ ⎞ B A B C O B = − + = − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 180 180 902 2 0 0 0 ( ) 2 2 A B C C C + − 0 180 90 90 = − = − = 0 0 2 2 2 2 ⇨ tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. C©u 5: LÊy ®iÓm O tuú ý.Qua O vÏ 9 ®-êng th¼ng lÇn l-ît song song víi 9 ®-êng th¼ng ®· cho. 9 ®-êng th¼ng qua O t¹o thµnh 18 gãc kh«ng cã ®iÓm trong chung, mçi gãc nµy t-¬ng øng b»ng gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng trong sè 9 ®-¬ng th¼ng ®· cho. Tæng sè ®o cña 18 gãc ®Ønh O lµ 3600do ®ã Ýt nhÊt cã 1 gãc kh«ng nhá h¬n 3600: 18 = 200, tõ ®ã suy ra Ýt nhÊt còng cã hai ®-êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: Tæng sè ®iÓm ghi ë hai mÆt trªn cña hai con sóc s¾c cã thÓ lµ: 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1 4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1. 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6. §iÓm sè (x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TÇn sè( n) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 TÇn suÊt (f) 2,8% 5,6% 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 5,6% 2,8% Nh- vËy tæng sè 7 ®iÓm cã kh¶ n¨ng x¶y ra nhÊt tíi 16,7% ------------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 2 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®-îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®-îc abc=36 +, Tõ abc =36 vµ ab=c ta ®-îc c2=36 nªn c=6;c=-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®-îc 4a2=36 nªn a=3; a=-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®-îc 9b2=36 nªn b=2; b=-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u 2. (3®) a.(1®) ⎮5x-3⎮<2=> -2<5x-3<2 (0,5®) ⇔ … ⇔1/54=> 3x+1>4hoÆc 3x+1<-4 (0,5®) *NÕu 3x+1>4=> x>1 *NÕu 3x+1<-4 => x<-5/3 VËy x>1 hoÆc x<-5/3 (0,5®) c. (1®) ⎮4-x⎮+2x=3 (1) * 4-x≥0 => x≤4 (0,25®) (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x<0 => x>4 (0,25®) (1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®) ¸p dông ⎮a+b⎮ ≤⎮a⎮+⎮b⎮Ta cã A=⎮x⎮+⎮8-x⎮≥⎮x+8-x⎮=8 MinA =8 <=> x(8-x) ≥0 (0,25®) x=>0≤x≤8 (0,25®) ≥ 0 * ⎩⎨⎧− ≥ 8 0 x x=> ≤ 0 ⎩⎨⎧≥≤80 * ⎩⎨⎧− ≤ 8 0 x x kh«ng tho· m·n(0,25®) x VËy minA=8 khi 0≤x≤8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+...+ (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+...+22.102 =22(12+22+...+102) =22.385=1540(0,5®) C©u5.(3®) A B M D E C Chøng minh: a (1,5®) Gäi E lµ trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME lµ ®-êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID lµ ®-êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §-êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) ---------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 3 a b c a b c + + a= (1) Ta l¹i cã . b c a = = = (2) C©u 1. Ta cã . . . b c d d + +3. b c d b c a + + Tõ (1) vµ(2) => da a b c⎟ = ⎜⎝⎛+ + b c d ⎞ ⎠ a = c = b a b c + + C©u 2. A = c a +.= (a b c) b c a b + + 2. + + NÕu a+b+c ≠ 0 => A = 21. NÕu a+b+c = 0 => A = -1. 5 C©u 3. a). A = 1 + 2 x − ®Ó A ∈ Z th× x- 2 lµ -íc cña 5. => x – 2 = (± 1; ±5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 7 b) A = 3 x +- 2 ®Ó A ∈ Z th× x+ 3 lµ -íc cña 7. => x + 3 = (± 1; ±7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc - 2 b). x = 7 hoÆc - 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh)  MHK lµ  •c©n t¹i M . ThËt vËy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy:  MHK c©n t¹i M . -------------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 4 C©u 1: Gäi x, y, z lµ ®é dµi 3 c¹nh t-¬ng øng víi c¸c ®-êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S ⇒ x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do x-y < z< x+y nªn S S S (0,5 ®iÓm) 2 S S 2 2 2 − < < + ⇒ < < 2 6 a 2 6 6 a 3 ⇒ 3, a , 6 Do a ∈ N nªn a=4 hoÆc a= 5. (0,5 ®iÓm) a b a b − − ⇒ = 2. a. Tõ dc a a b a c a=⇒c d = = (0,75 ®iÓm) b c d c d − c c d − ⇔ a b − = − a + b. dc b a b + b a b + a b + c d a= ⇒ d = = (0,75 ®iÓm) b c d c d + ⇒ = d c d + ⇔ b = C©u 2: V× tÝch cña 4 sè : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ sè ©m nªn ph¶i cã 1 sè ©m hoÆc 3 sè ©m. Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. XÐt 2 tr-êng hîp: + Cã 1 sè ©m: x2 – 10 < x2 – 7 ⇒ x2 – 10 < 0 < x2 – 7 ⇒ 7< x2 < 10 ⇒ x2 =9 ( do x ∈ Z ) ⇒ x = ± 3. ( 0,5 ®iÓm) + cã 3 sè ©m; 1 sè d-¬ng. x2 – 4< 0< x2 – 1 ⇒ 1 < x2 < 4 do x∈ Z nªn kh«ng tån t¹i x. VËy x = ± 3 (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tr-íc tiªn t×m GTNN B = |x-a| + | x-b| víi a x = 3 ( th¶o m·n ) (0,5®) 2 NÕu x < 12−th× : 3x + 2x + 1 = 2 => x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) VËy: x = 3 b) => 1 2 3 x y z − − − = =vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) 2 3 4 => x = 11, y = 17, z = 23. (0,5®) C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 213 70 5 1 2=(1®) => 9 12 15 vµ a : b : c = 3 4 5 : : 6 : 40 : 25 C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) a b c = = =(1®) , , 35 7 14 => DF = BD = CE (0,5® ) => ΔIDF = ΔIFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hµng => B, I, C th¼ng hµng (1®) C©u 5(1®): => 7.2 1 1 (14 1) 7 xy x 7 += ⇒ + = y => (x ; y ) cÇn t×m lµ ( 0 ; 7 ) ---------------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 6: 1= − ; …;1001 1= − 1 C©u 1: a) Ta cã: 21 1= − ; 31 1 1= − ; 41 − 1.2 1 1 − 1 2.3 1 1 2 − 3.4 1 1 3 1 1 99.100 1 99 99 1⎟− = − = ⎜⎝⎛+ ⎞ ⎟+ ⎜⎝⎛+ ⎞ ⎟+ + .... ⎜⎝⎛+ ⎞ 1 VËy A = 1+100 2 2 ⎠ 3 3 ⎠ 99 99 ⎠ 100 100 1= 2.3 1 3.4 1 4.5 1 20.21 b) A = 1+ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛2 ⎞ ⎟+ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎟+ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎟+ + ⎜⎝⎛ 3 2 4 2 ⎠ 21 3 2 1 ⎠ 4 2 ⎠ .... 20 = 1+ + + + = (2 + 3 + 4 +...+ 21) = 2 2 ... 2 2 1= 115. 21.22 = ⎟⎠⎞ 2 ⎜⎝⎛−1 2 C©u 2: a) Ta cã: 17 > 4; 26 > 5 nªn 17 + 26 +1 > 4+ 5 +1hay 17 + 26 +1 >10 Cßn 99< 10 .Do ®ã: 17 + 26 +1 > 99 1>101 1>; …..; 101 1= . 1 b) ; 1>; 101 1 10 2 3 100 1+ + + + > = 1 1 1 1 VËy: 10 1 2 3 .... 100 100. 10 C©u 3: Gäi a,b,cña lµ c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m . V× mçi ch÷ sè a,b,cña kh«ng v-ît qu¸ 9 vµ ba ch÷ sè a,b,cña kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0 , v× khi ®ã ta kh«ng ®-îc sè cã ba ch÷ sè nªn: 1 ≤ a+b+c ≤ 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m lµ béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 a b c a + b + c = = = Do ®ã: ( a+b+c) chia hÕt cho 6 Theo gi¶ thiÕt, ta cã:1 2 3 6 a b c⇒ a=3; b=6 ; cña =9 18 Nªn : a+b+c =18 ⇒3 = = = = 1 2 3 6 V× sè ph¶i t×m chia hÕt cho 18 nªnch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã ph¶i lµ sè ch½n. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 396; 936. C©u 4: a) VÏ AH ⊥ BC; ( H ∈BC) cña ΔABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB vµ BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) ⇒ ΔAHB= ΔBID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH⊥ BI (1) vµ DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC vµ CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) ⇒ ΔAHC= ΔCKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH= CK (2) tõ (1) vµ (2) ⇒ BI= CK vµ EK = HC. b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t-¬ng tù: EK = HC Tõ ®ã BC= BH +Hc= DI + EK. C©u 5: Ta cã: A = x − 2001 + x −1 = x − 2001 + 1− x ≥ x − 2001+1− x = 2000 VËy biÓu thøc ®· cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2000 khi x-2001 vµ 1-x cïng dÊu, tøc lµ : 1 ≤ x ≤ 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: 2 ®iÓm . a. 1 ®iÓm b. 1 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm : a. 1 ®iÓm b . 1 ®iÓm . C©u 3 : 1,5 ®iÓm C©u 4: 3 ®iÓm : a. 2 ®iÓm ; b. 1 ®iÓm . C©u 5 : 1,5 ®iÓm . --------------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 7 C©u1: ⇔x x x x x (0,5 ® ) + 2− = + 3 + 4 + 5 349 1 + a, (1) 4 0 + + 1 327 + + 1 326 325 + + 1 324 + + 5 1 1 1 1 1 ...... ) 0 ⇔ (x + 329)( + + + + = 327 326 325 324 5 ⇔ x + 329 = 0 ⇔ x = −329(0,5® ) b, a.T×m x, biÕt: ⏐5x - 3⏐ - x = 7 ⇔ 5 3 7 x x − = +(1) (0,25 ®) §K: x ≥ -7 (0,25 ®) ⎡ − = + 5 3 7 x x ( )( ) 15 3 7 ⇒ ⎢− = − + ⎣…. (0,25 ®) x x VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u 2: S =1− + − + + − ; 2 3 2006 71 1 1 1 a, 2 3 4 2007 71 1 1 1 1 7S = 7 −1+ − + − − (0.5®) 7 7 7 7 1 ..... 7 7 7 ..... 1 7 2007 − 8S = 7 − 87 2007 7 ⇒ S = (0,5®) 1 − 2 3 99 2 1 − 3 1 − 100 1 + + + + =(0,5®) ...... + + + ....... b,100! 2! 3! 4! 1 100! 2! 3! ................... 1 = 1− < (0,5®) 100! n 2 n n n 2 n n 2 n + + + (0,5®) 3n2 3 2 3 3 (2 2 ) +2 c, Ta cã − + − = + − − ................. 3 .10 2 .5 3 .10 2 .10 10(3 2 ) 10 2 2 n n n n n n(0,5®) − − − = − = − C©u 3: Gäi ®é dµi 3 c¹nh lµ a , b, c, 3 chiÒu cao t-¬ng øng lµ x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) = (0,5®) zS a b c S a2 S 2 2 S 2 = yS b2 = zS c2 ⇒ = = ⇒ = = (0,5®) x 2 3 4x y z 2 3 4 2 x 3 y 4 ⇒ x = y = z ⇒ = =vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) 6 4 3 C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H ∈ AC: AH = AQ .............. ⇒ IQ = IH = IP(1 ® ) C©u5: B ; LN; 2( 1) 3 2 B LN ⇔ n − + NN V× ( 1) 0 2( 1) 3 3 2 2 n − ≥ ⇒ n − + ≥ ®¹t NN khi b»ng 3 (0,5®) DÊu b»ng x¶y ra khi n −1= 0 ⇔ n =1 vËy B ; LN 31 ⇔ B =vµ n =1 (0,5®) ------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm a) (x-1)5= (-3)5 ⇒x-1 = -3 ⇔x = -3+1 ⇔x = -2 b) (x+2)(151 1+ + − − ) = 0 11 1 12 1 13 1 14 1+ + − − ≠0 ⇒x+2 = 0 ⇔x = 2 11 1 12 1 13 1 14 1 15 c) x - 2x= 0 ⇔(x)2- 2x= 0 ⇔ x(x - 2) = 0 ⇒ x= 0 ⇒x = 0 hoÆc x - 2 = 0 ⇔ x= 2 ⇔x = 4 C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm y a) 81 5+ = 5 2 y 5 1 2y − x, 81 + = = 4 x, 8 8 x x(1 - 2y) = 40 ⇒1-2y lµ íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 lµ : ±1 ; ±5 . §¸p sè : x = 40 ; y = 0 x = -40 ; y = 1 x = 8 ; y = -2 x = -8 ; y = 3 x + 1 = + 1 4 b) T×m x∈z ®Ó A∈Z. A= 3 x x 4 − 3 − x −nguyªn ⇒ x −3 ∈¦(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} A nguyªn khi 3 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . C©u 3 : 1 ®iÓm 25x −3 - 2x = 14 ⇔ 5x −3 = x + 7 (1) §K: x ≥ -7 (0,25 ®) ⎡ − = + 5 3 7 x x ( )( ) 15 3 7 ⇒ ⎢− = − + ⎣…. (0,25 ®) x x VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u4. (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, 3 0 A B C A B C = = = + + 180 7 5 3 15 = = 15 12 ⇒A= 840 ⇒gãc ngoµi t¹i ®Ønh A lµ 960 B = 600 ⇒gãc ngoµi t¹i ®Ønh B lµ 1200 C = 360 ⇒gãc ngoµi t¹i ®Ønh C lµ 1440 ⇒C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi 4 ; 5 ; 6 b) 1) AE = AD ⇒ ΔADE c©n ⇒ E D E EDA = = 1 E1 = 180 0 − A (1) ΔABC c©n ⇒ B C= 2 AB C1 = 180 0 2 − A (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ E ABC 1= ⇒ED // BC a) XÐt ΔEBC vµ ΔDCB cã BC chung (3) EBC DCB =(4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ ΔEBC = ΔDCB (c.g.c) ⇒ BEC CDB == 900 ⇒CE ⊥ AB . ………………………………………. §¸p ¸n ®Ò sè 9 Bµi 1: 3 ®iÓm 31 183 ( 176 12 ) 10 ( 175 31 12 475 3 7 − − − .1 − . a, TÝnh: A = 5 7 1 11 3 100 = 3 11 300 ( 91 − 4 60 ). 11 1 − 71 . 60 − 1 31 − 19 341 57 − 284 1001 − 284284 364 11 3 11 = 33 = = . = 1815 1056 1001 − 1001 1001 55 1001 33 55 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) 1 + 4 +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 ≈103,17 Bµi 2: 2 §iÓm Giäi sè cÇn t×m lµ x, y, z. Sè nhá lµ x , sè lín nhÊt lµ z. Ta cã: x ≤y≤z (1) 1 1 1 Theo gi¶ thiÕt:2 + + = 1 1 1 3 + + ≤ x y z(2). Do (1) nªn z =x y z x VËy: x = 1. Thay vµo (2) , ®-îc: y z y2 1 1 + = ≤ 1 VËy y = 2. Tõ ®ã z = 2. Ba sè cÇn t×m lµ 1; 2; 2. Bµi 3: 2 §iÓm Cã 9 trang cã 1 ch÷ sè. Sè trang cã 2 ch÷ sè lµ tõ 10 ®Õn 99 nªn cã tÊt c¶ 90 trang. Trang cã 3 ch÷ sè cña cuèn s¸ch lµ tõ 100 ®Õn 234, cã tÊt c¶ 135 trang. Suy ra sè c¸c ch÷ sè trong tÊt c¶ c¸c trang lµ: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bµi 4 : 3 §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D sao cho ED = EA. Hai tam gi¸c vu«ng ΔABE = ΔDBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; BAD BDA = . Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD. VÏ tia ID lµ ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I ∈BC ). Hai tam gi¸c: ΔCID vµ ΔBID cã : ID lµ c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn). CID = IDB ( v× DI lµ ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy ΔCID = ΔBID ( c . g . c) ⇒ C = IBD . Gäi Clµ α ⇒ BDA = C + IBD = 2 ⇒ C = 2 mµ A = D ( Chøng minh trªn) nªn A = 2 Do ®ã ; C = 300 vµ A= 600 α ( gãc ngoµi cña ΔBCD) α ⇒ 2α +α= 900 ⇒ α= 300. ---------------------------------------------- H-íng dÉn gi¶i ®Ò sè 9 Bµi 1.a. XÐt 2 tr-êng hîp : * x ≥ 5ta ®-îc : A=7. *x < 5ta ®-îc : A = -2x-3. b. XÐt x < 5 ⇒ − > ⇒ − − > − 2 10 2 3 10 3 x xhay A > 7. VËy : Amin = 7 khi x ≥ 5. 1 1 1 1 + + + + ....... Bµi 2. a. §Æt : A = 2 2 2 2 5 6 7 100 Ta cã : * A < 1 1 1 1 + + + + = 1 1 1 1 1 1 ......... 4.5 5.6 6.7 99.100 1 1 1 − < 4 100 4 − + − + + − = ..... 4 5 5 6 99 100 * A > 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = − > . ......... 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 b. Ta cã : 2 9 5 17 3 a a a + + + + += 4 263 a + − a a a 3 3 3 a = 4 12 14 4( 3) 14 14 4 a a + + + + = = + + += + + +lµ sè nguyªn a a a 3 3 3 Khi ®ã (a + 3) lµ -íc cña 14 mµ ¦(14) = ± ± ± ± 1; 2; 7; 14. Ta cã : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. Bµi 3. BiÕn ®æi : A n n n = + − + 12 1 30. ( )§Ó A n n n n 6 1 30 6 ⇒ − + ⎡ ⎤ ( ) ⎣ ⎦ *n n n n ( − ⇒ ⇒ 1 30 )n ∈¦(30) hay n∈{1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}. *30 6 1 6 1 3 ⇒ − ⇒ − n n n n ( ) ( ) +n n 3 3,6,15,30 . ⇒ ={ } +(n n − ⇒ = 1 3 1,10 . ) { } ⇒n∈{1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}. -Thö tõng tr-êng hîp ta ®-îc : n = 1, 3, 10, 30 tho· m·n bµi to¸n. Bµi 4. -Trªn Oy lÊy M’ sao cho OM’ = m. Ta cã : N n»m gi÷a O, M’ vµ M’N = OM. m -Dùng d lµ trung trùc cña OM’ vµ Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t nhau t¹i D. d - ODM M DN c g c MD ND = ⇒ = ' ( . . ) o x z n i m ' y d ⇒D thuéc trung trùc cña MN. -Râ rµng : D cè ®Þnh. VËy ®-êng trung trùc cña MN ®i qua D cè ®Þnh. Bµi 5. -D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai lµ : ( )2 f x ax bx c = + + (a≠0). 2 - Ta cã : ( ) ( ) ( ) f x a x b x c − = − + − + 1 1 1 . - f x f x ax a b x ( ) − − = − + = ( 1 2 )2 10 ⎧ = a ⇒ ⎨⎩ − = ⎧ = a ⎪ ⇒ ⎨⎪ = 12 ⎩ VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : ( )1 1 2 b a b 12 f x x x c = + +(c lµ h»ng sè). 2 2 ¸p dông : + Víi x = 1 ta cã : 1 1 0 . = − f f ( ) ( ) + Víi x = 2 ta cã : 1 2 1 . = − f f ( ) ( ) …………………………………. + Víi x = n ta cã : n f n f n = − − ( ) ( 1 .) ⇒S = 1+2+3+…+n = f n f ( ) − (0) = ( ) n n n n 2 1 c c+ + + − = . 2 2 2 L-u ý : Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bµi h×nh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm. -------------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 11 C©u1 (lµm ®óng ®-îc 2 ®iÓm) + −= 22 Ta cã: 22 x x − x x − − + − = 2 x x − x x 8 20 x x x 2 10 20 − + (0,25®) ( 2)( 10) x x §iÒu kiÖn (x-2)(x+10) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; x ≠ -10 (0,5®) MÆt kh¸c x − 2 = x-2 nÕu x>2 -x + 2 nÕu x< 2 (0,25®) * NÕu x> 2 th× 2 x x x − − + = ( 2) x x − − += 10 ( 2)( 10) x x * NÕu x <2 th× . ( 2)( 10) x x x + (0,5®) x x − 2 − +=( 2) − − x x − x − +=10 ( 2)( 10) x x ( 2)( 10) x x + (®iÒu kiÖn x ≠ -10) (0,5®) x C©u 2 (lµm ®óng ®-îc 2®) Gäi sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0) Theo ®Ò ra ta cã {94(1) x y z + + = = =(0,5®) 3 4 5 (2) x y z BCNN (3,4,5) = 60 Tõ (2) ⇒360x=460y=560z hay 20x=15y=12z (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã : x y z + + x=15y=12z = 20 15 12 + += 9447=2 (0,5®)⇒ x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®) 20 Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn l-ît lµ 40, 30, 24. C©u 3 (lµm ®óng cho 1,5®) §Ó 2006 10 53 +lµ sè tù nhiªn ⇔ 102006 + 53 9 (0,5®) 9 §Ó 102006 + 53 9 ⇔ 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 mµ 102006 + 53 = 1+ 0 +0 +.........+ 0 + 5+3 = 9 9 ⇒ 102006 + 53 9 hay 2006 10 53 +lµ sè tù nhiªn (1®) 9 C©u 4 (3®) - VÏ ®-îc h×nh, ghi GT, KL ®-îc 0,25® a, ΔABC cã A A 1 2 =(Az lµ tia ph©n gi¸c cñaA) =(Ay // BC, so le trong) A C 1 1 ⇒A C ABC 2 1 = ⇒c©n t¹i B mµ BK ⊥ AC ⇒ BK lµ ®-êng cao cña Δ c©n ABC ⇒ BK còng lµ trung tuyÕn cña Δ c©n ABC (0,75®) hay K lµ trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña Δ c©n ABH vµ Δ vu«ng BAK. Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung) 2 1 A B = =( 30 )V× {0 A A = = 0 2 B 30 2 0 0 0 = − = 90 60 30 1 AC AC ⇒ Δ vu«ng ABH = Δ vu«ng BAK⇒ BH = AK mµ AK =2 2 ⇒ = BH (1®) c, ΔAMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) ⇒ MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn ⇒ KM = AC/2 (2) Tõ (10 vµ (2) ⇒ KM = KC ⇒ ΔKMC c©n. MÆt kh¸c ΔAMC cã 0 0 0 0 0 M MKC = ⇒ = − = 90 A=30 90 30 60 ⇒ ΔAMC ®Òu (1®) C©u 5. Lµm ®óng c©u 5 ®-îc 1,5® X©y dùng s¬ ®å c©y vµ gi¶i bµi to¸n §¸p ¸n : T©y ®¹t gi¶i nhÊt, Nam gi¶i nh×, §«ng gi¶i 3, B¾c gi¶i 4 ------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1: (2®) a) XÐt kho¶ng 32 x ≥®-îc x = 4,5 phï hîp 0,25 ® XÐt kho¶ng 32 x <®-îc x = -45phï hîp 0,25 ® b) XÐt kho¶ng 23 x ≥§-îc x > 4 0,2® XÐt kho¶ng 23 x <§-îc x < -1 0,2® VËy x > 4 hoÆc x < -1 0,1® 8 x ≥Ta cã 3x - 1 ≤7 Ta ®-îc 38 c) XÐt kho¶ng 31 XÐt kho¶ng 31 ⇒ x ≤ 3 1≤ x ≤ 3 x 810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8® VËy 230+330+430> 3.224 0,2® C©u 3: a) H×nh a. AB//EF v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau EF//CD v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau VËy AB//CD b) H×nh b. AB//EF V× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau 0,4® CD//EF v× cã cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 0,4® VËy AB//CD 0,2® C©u 4: (3®) a) MN//BC ⇒MD//BD ⇒D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa lµ ph©n gi¸c võa lµ trung tuyÕn nªn còng lµ ®-êng cao BD ⊥AP 0,2® T-¬ng tù ta chøng minh ®-îc BE ⊥AQ 0,5 ® b) AD = DP ΔDBP = ΔBDE(g.c.g) ⇒DP = BE ⇒BE = AD 0,5 ® ⇒ ΔMBE = ΔMAD(c.g.c) ⇒ ME = MD 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) ΔBDEvu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ΔADB vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 5: 1® +410 1 A lín nhÊt 4 − x A = − x 10< 0 → 10 lín nhÊt 0,3® XÐt x > 4 th× 4 − x 10> 0 a lín nhÊt 4 - x nhá nhÊt ⇒x = 3 0,6® XÐt 4 < x th× 4 − x → → ------------------------------------------------------------------------------ §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ). a/. 4 3 x + - x = 15. b/. 3 2 x − - x > 1. ⇔ 4 3 x += x + 15⇔ 3 2 x − > x + 1 * Tr-êng hîp 1: x ≥ -34, ta cã: * Tr-êng hîp 1: x ≥23, ta cã: 4x + 3 = x + 15 3x - 2 > x + 1 ⇒x = 4 ( TM§K).⇒x > 32( TM§K). * Tr-êng hîp 2: x < -34, ta cã: * Tr-êng hîp 2: x < 23, ta cã: 4x + 3 = - ( x + 15) 3x – 2 < - ( x + 1) ⇒x = -185( TM§K).⇒x < 14( TM§K) VËy: x = 4 hoÆc x = -185. VËy: x > 32hoÆc x < 14. c/. 2 3 x + ≤5 ⇔ − ≤ + ≤ 5 2 3 5 x ⇔ − ≤ ≤ 4 1 x C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( 1 ) (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2) ⇒8A = (- 7) – (-7)2008 Suy ra: A = 18.[(- 7) – (-7)2008 ] = -18( 72008 + 7 ) * Chøng minh: A 43. Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng. Nhãm 3 sè liªn tiÕp thµnh mét nhãm (®-îc 669 nhãm), ta ®-îc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005. [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7). 43 + … + (- 7)2005. 43 = 43.[(- 7) + … + (- 7)2005] 43 VËy : A 43 b/. * §iÒu kiÖn ®ñ: NÕu m 3 vµ n 3 th× m23, mn 3 vµ n23, do ®ã: m2+ mn + n29. * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn. (*) NÕu m2+ mn + n29 th× m2+ mn + n23, khi ®ã tõ (*),suy ra: ( m - n)23 ,do ®ã ( m - n) 3 v× thÕ ( m - n)29 vµ 3mn 9 nªn mn 3 ,do ®ã mét trong hai sè m hoÆc n chia hÕt cho 3 mµ ( m - n) 3 nªn c¶ 2 sè m,n ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 3: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c lµ a, b, c ; c¸c ®-êng cao t-¬ng øng víi c¸c c¹nh ®ã lµ ha, hb, hc. Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5 Hay: 13(ha +hb) = 14( hb + hc) =15( ha + hc ) = k ,( víi k ≠0). Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k . Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: ha + hb + hc = 6k. Tõ ®ã ta cã: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k. MÆt kh¸c, gäi S lµ diÖn tÝch ABC, ta cã: a.ha = b.hb =c.hc ⇒a.2k = b.k = c.3k ⇒3a= 6b= 2c C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC ≤DB. * NÕu DC = DB th× BDCc©n t¹i D nªn DBC = BCD.Suy ra: A ABD = ACD.Khi ®ã ta cã: ADB = ADC(c_g_c) . Do ®ã: ADB = ADC( tr¸i víi gi¶ thiÕt) . * NÕu DC < DB th× trong BDC, ta cã DBC< BCDmµ ABC = D ACBsuy ra: ABD>ACD( 1 ). XÐt ADBvµ ACDcã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB. Suy ra: DAC< DAB ( 2 ). BC Tõ (1) vµ (2) trong ADBvµ ACDta l¹i cã ADB< ADC, ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy: DC > DB. C©u 5: ( 1 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x y − ≥ x - y, ta cã: A = x −1004 - x +1003 ≤ ( 1004) ( 1003) x x − − += 2007 VËy GTLN cña A lµ: 2007. DÊu “ = ” x¶y ra khi: x ≤ -1003. ----------------------------------------------------------------- H-íng dÉn chÊm ®Ò 13 C©u 1-a (1 ®iÓm ) XÐt 2 tr-êng hîp 3x-2 ≥0. 3x -2 <0 => kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n. b-(1 ®iÓm ) XÐt 2 tr-êng hîp 2x +5 ≥0 vµ 2x+5<0 Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh => kÕt luËn. C©u 2-a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m lµ abc abc 18=> abc 9. VËy (a+b+c) 9 (1) Ta cã : 1 ≤a+b+c≤27 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 (3) a + b + c (4) Theo bµi ra 1a=2b=3c= 6 Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18. vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc 2 => sè cÇn t×m : 396, 936. b-(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + ...+ (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n). = (7 +72+73+74) . (1+74+78+...+74n-4). Trong ®ã : 7 +72+73+74=7.400 chia hÕt cho 400 . Nªn A 400 C©u 3-a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : C + CBy = 2v 2(gãc trong cïng phÝa) (1) ⇒ C + CAx = 2v 1V× theo gi¶ thiÕt C1+C2 + α+ γ= 4v =3600. VËy Cz//Ax. (2) Tõ (1) vµ (2) => Ax//By. C©u 4-(3 ®iÓm) ΔABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trªn AB lÊy AE =AD. CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) ΔAED c©n, DAE = 400: 2 =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cña ΔEDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ sao cho AC’ = AC. C ΔCAD = ΔC’AD ( c.g.c) D ⇨ AC’D = 1000vµ DC’E = 800. VËy ΔDC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’. A C E B Mµ DC’ =DC. VËy AD +DC =AB. C©u 5 (1 ®iÓm). S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2004. -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2005] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2005]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2005. 2005 ( 3) 1 2005 + − −=4 -4S = (-3)2005 -1. S = 4 − 3 1 --------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò 13 Bµi 1: Ta cã : -21 1− − − − − − − − 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 12 1 6 = - (9.101 1+ + + + + + + +) 1® 1.2 1 2..3 1 3.4 1 4..5 1 5.6 1 6.7 1 7.8 1 8.9 = - (101 1− + − + − + + − + − ) 1® 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 ..... 1 8 1 9 1 9 = - (101 1− ) = 10 1 − 90,5® Bµi 2: A = x − 2 + 5− x Víi x<2 th× A = - x+ 2+ 5 – x = -2x + 7 >3 0,5® Víi 2≤ x ≤ 5 th× A = x-2 –x+5 = 3 0,5® Víi x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3 <=> 2≤ x ≤ 5 1® A Bµi 3: a. Trªn tia ®èi cña tia OC lÊy ®iÓm N sao cho ON = OC .Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. nªn OM lµ ®-êng trung b×nh cña tam gi¸c BNC. G O Do ®ã OM //BN, OM = 21BN H Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC Mµ AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T-¬ng tù AN//BH Do ®ã NB = AH. Suy ra AH = 2OM (1®) b. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AG vµ HG th× IK lµ ®-êng trung b×nh cña tam gi¸c AGH nªn IK// AH IK = 21AH => IK // OM vµ IK = OM ; ∠KIG = ∠OMG (so le trong) ΔIGK = ΔMGO nªn GK = OG vµ ∠IGK = ∠MGO B C Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng 1® Do GK = OG mµ GK = 21HG nªn HG = 2GO §-êng th¼ng qua 3 ®iÓm H, G, O ®-îc gäi lµ ®-êng th¼ng ¬ le. 1® Bµi 4: Tæng c¸c hÖ sè cña mét ®a thøc P(x) bÊt kú b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc ®ã t¹i x=1. VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (3-4x+x2)2006 . (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5® ------------------------------------------------------------ §¸p ¸n ®Ò 14 C©u 1: Ta cã: 220 ≡ 0 (mod2) nªn 22011969 ≡ 0 (mod2) 119 ≡ 1(mod2) nªn 11969220 ≡ 1(mod2) 69 ≡ -1 (mod2) nªn 69220119 ≡ -1 (mod2) VËy A ≡ 0 (mod2) hay A 2 (1®) T-¬ng tù: A 3 (1®) A 17 (1®) V× 2, 3, 17 lµ c¸c sè nguyªn tè ⇒ A 2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x < -2 ⇒ x = -5/2 (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 0 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > 0 ⇒ x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x < -2 ⇒ Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 5/3 ⇒ Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > 5/3 ⇒ x = 3,5 (0,5®) Bµi 3: a) DÔ dµng chøng minh ®-îc IH = 0M A IH // 0M do Δ 0MN = Δ HIK (g.c.g) I E Do ®ã: ΔIHQ = Δ M0Q (g.c.g) ⇒ QH = Q0 F H N QI = QM P b) Δ DIM vu«ng cã DQ lµ ®-êng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M C Nh-ng QI lµ ®-êng trung b×nh cña Δ 0HA nªn c) T-¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bµi 4(1®): V× 3|x-5| ≥ 0 ∀x ∈ R Do ®ã A = 10 - 3|x-5| ≤ 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 10 ⇔ |x-5| = 0 ⇔ x = 5 ---------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò 15. Bµi 1. §iÒu kiÖn x ≥ 0 (0,25®) a) A = -79(0,5®) b) x + 3> 0 ⇒ A = -1 ⇔ x − 5 = − x − 3⇒ x = 1 (0,5®) 8 c) Ta cã: A = 1 -3 x +. (0,25®) §Ó A ∈ Z th× x + 3lµ -íc cña 8 ⇒ x = {1; 25} khi ®ã A = {- 1; 0} (0,5®) Bµi 2. x(1®) − ≥x 1 0 x ≥ 1 ⎩⎨⎧− = − ⎩⎨⎧= = − a) Ta cã: 7 − x = x −1⇔3 2 ⇔ = 7 ( 1) x x ⇔ x x 3; 2 b) Ta cã: 2M = 2 – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 (0,25®) 2007 +(0,5®) 2 1 ⇒ 3M = 1 + 22007 (0,25®) ⇒ M = 3 c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 ≥ 1 víi mäi x ⇒ §PCM. (1®) ˆ ˆ ˆ 180 30 A B C 0 = = = =ˆ ˆ Bµi 3. Ta cã: (0,5®) 0 1 2 3 6 0 0 0 ˆ ⇒ = = = ABC 30 ; 60 ; 90 VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bµi 4. GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H ∈ AC sao cho AH = AN (0,5®) Tõ ®ã chøng minh IH = IN = IM (1®) Bµi 5. 2000 (0,5®) AMax ⇔ 6 – x > 0 vµ nhá nhÊt A = 1 + 6 − x ⇒ 6 – x = 1 ⇒ x = 5. VËy x = 5 tho· m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n khi ®ã A Max= 2001 (0,5®) -------------------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò 15 C©u 1: (2.5®) 1 5 2 0 1 5 4 0 5 5 1⎟⎠⎞ 1 1 1 1 ⎜⎝⎛(0.5®) a. a1. 2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ . 4 ⎞ ⎟ = ⎠ ⎜⎝⎛ 2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ . 2 ⎞ ⎟ = ⎠ ⎜⎝⎛ 2 25 30 ⎜⎝⎛31 1⎟⎠⎞ 50 30 ⎜⎝⎛31 1⎟⎠⎞ 20 ⎜⎝⎛(0.5®) a2. 9 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ : = 3 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ : = 3⎟⎠⎞ 5 4 9 1 0 8 b. A = 31 4 .9 2.6 −(0.5®) 2 .3 .(1 3) 1 0 8 8 2 .3 6 .20 = − 1 0 8 = + 2 .3 (1 5) + c. c1.337= 0.(21) c2. 227= 0,3(18) (0.5®) c3. 0,(21) = 337 21=; c4. 5,1(6) = 561(0.5®) 99 C©u 2: (2®) Gäi khèi l-îng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn l-ît lµ a, b, c (m3) ⇒a + b + c = 912 m3. (0.5®) ⇒Sè häc sinh cña 3 khèi lµ : 1,2a; 1,4b; 1,6c b a b c =(0.5®) =vµ 4.1,4 5.1,6 Theo ®Ò ra ta cã: 3.4,1 1,2 a b c(0.5®) ⇒ 20 = = = 4.1,2 12.1,4 15.1,6 VËy a = 96 m3; b = 336 m3; c = 480 m3. Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn l-ît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5®) C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A. Ta cã: (x + 2)2 ≥0 ⇒(x = 2)2 + 4 ≥4 ⇒Amax= 43khi x = -2 (0.75®) b.T×m min B. Do (x – 1)2 ≥0 ; (y + 3)2 ≥0 ⇒B ≥1 VËy Bmin= 1 khi x = 1 vµ y = -3 (0.75®) C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E. Ta cã Δ EAB c©n t¹i E ⇒∠EAB C =300 ⇒∠EAM = 200 ⇒∠CEA = ∠MAE = 200(0.5®) Do ∠ACB = 800 ⇒∠ACE = 400 ⇒∠AEC = 1200 ( 1 ) (0.5®) E MÆt kh¸c: ∠EBC = 200vµ ∠EBC = 400 ⇒∠CEB = 1200 ( 2 ) (0.5®) Tõ ( 1 ) vµ ( 2 ) ⇒∠AEM = 1200 M 300 Do ΔEAC = ΔEAM (g.c.g) ⇒AC = AM ⇒ΔMAC c©n t¹i A (0.5®) 100 A H B Vµ ∠CAM = 400 ⇒∠AMC = 700. (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2vµ a + b kh«ng nguyªn tè cïng nhau ⇒a2vµ a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒a2chia hÕt cho d ⇒a chia hÕt cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒(a,b) = d ⇒tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (a2,a + b) =1. (0.5®) ------------------------------------------------------- §¸p ¸n (to¸n 7) C©u I : 1) X¸c ®Þnh a, b ,c 5( 1)= − a − b c a b c − + 3( 3) − − 4( 5) 5 3 4 5 9 20 − − − − + a − b c= 2 1 − 3 2 = + 4 = 5 6 10 = = − 12 = − 24 10 12 24 − − => a = -3 ; b = -11; c = -7. C¸ch 2 :65 a − b c= t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vµo t×m t =- 2 t×m a,b,c. 1 − 3 2 = + 4 = 2) Chøng minh §Æt dc a== k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc : b 2 3 52 2 2 2 2 2 a ab b=> ®pcm. − + 2 − 2 3 5 c cd d − + 2 = k k − + 3 5 2 3 − k k − + 3 5 = 0 + k 2 3 2 3 b ab + C©u II: TÝnh: 2 3 d cd + + k 1+ + +) = 9932 1− + − + + − = − ==>A = 1 .... 1 1 1 1 ..... 1 1 1 1 1) Ta cã :2A= 2(97.99 3 5 5 7 97 99 3 99 16 99 3.5 5.7 2) B = = 2 3 50 51 31 1 1 1 1 1 + 1 + 1 + + ..... 1 + 1 − + − + + − = ( 3 ) 3 3 ..... 3 3 ( 3) − 2 3 5 0 5 1 ( 3 ) − ( 3 ) − ( 3 ) − − 1 + 1 + 1 1 ..... + + 1 1 1 − 1 51 − 3 −1=> B = −=> = 2 3 4 5 1 5 2 −B −= 52 ( 3 ) 51 ( 3 ) − ( 3) − ( 3 ) − ( 3 ) − 3 3 52 ( 3 ) − 3 (−3 −1) 4.3 51 C©u III 10,(1).3 =91. 2+ =307 2. Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = + 10 3 10 10 10 1.0,(01).32 =991. 1.0,(32)= 0,12+1000 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+1000 1489 =12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) 12+ 100 32 1000 P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b -2+16 = 4 > b= -5 P(3) = 1 => 6a-30 +16 =1 => a = 25 5x(x − )(x − ) − x(x − ) + (x − ) + VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) =1 2 5 1 2 3 16 2 25 2 5x - 12 10 => P(x) = 3 2 C©u V: 2 x + x + a) DÔ thÊy ΔADC = ΔABE ( c-g-c) => DC =BE . V× AE ⊥ AC; AD ⊥ AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE => DC ⊥ Víi BE. b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN ⊥ MP MN = 21 DC =21BE =MP; VËy ΔMNP vu«ng c©n t¹i M. --------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò 20 Bµi 1: 3 3 3 3 3 3 3 − + + + − 8 10 11 12 2 3 4 a) A = A = + − + − − + − (0,25®) 5 5 5 5 5 5 5 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + 8 10 11 12 2 3 4 − − + + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(0,25®) 1 1 1 1 1 1 1 5 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 8 10 11 12 2 3 4 A = 35−+ 35= 0 (0,25®) b) 4B = 22 + 24 + ... + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B = 102 2 1 −(0,25®) 3 Bµi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 3.2410 = 230.311 (0,25®) mµ 415 > 311 ⇒ 430 > 311 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) 4 =36> 29 33> 14(0,25®) ⇒36+ 33> 29+ 14(0,25®) Bµi 3: Gäi x1, x2 x3lÇn l-ît lµ sè ngµy lµm viÖc cña 3 m¸y x x x = =(1) (0,25®) ⇒1 2 3 3 4 5 Gäi y1, y2, y3lÇn l-ît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y y y y = =(2) (0,25®) ⇒1 2 3 6 7 8 Gäi z1, z2, z3lÇn l-ît lµ c«ng suÊt cña 3 m¸y z z z = = (3) (0,25®) ⇒ 5z1 = 4z2 = 3z3 ⇔1 2 3 1 1 1 5 4 3 Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) x y z x y z x y z Tõ (1) (2) (3) ⇒1 1 1 2 2 2 3 3 3 395 15 = = = = (0,5®) 18 40 395 7 5 3 15 ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) VËy sè thãc mçi ®éi lÇn l-ît lµ 54, 105, 200 (0,25®) Bµi 4: (0,5®) ⇒ABM ADM =(1) (0,25®) Ta cã BMC MBD BDM = +(gãc ngoµi tam gi¸c) (0,25®) ⇒0 0 0 BMC MBA BDM ADM BDM = + + = + + = 60 60 120(0,25®) b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®) E ⇒ (0,25®) ⇒ (0,25®) A D ⇒0 DFB AMB = = 120(0,5®) Bµi 6: Ta cã F x f f = ⇒ + =(0,25®) 1 2 (2) 3. ( ) 4 2 M B C 1 1 1 ( ) 3. (2) x f f = ⇒ + =(0,25®) 2 2 4 ⇒47 (2)32 f =(0,5®) ------------------------------------------------------- ®¸p ¸n ®Ò 21 C©u 1 a.NÕu x ≥0 suy ra x = 1 (tho· m·n) NÕu < 0 suy ra x = -3 (tho· m·n) x x y = 1 y ;hoÆc23 3 b. ⎩⎨⎧− = = − 1 ⎧ = y y ; hoÆc ⎩⎨⎧− = − 1 1 − 3 = − =3 6 6 ⎧ = − 2 6 ⇒ x x 3 6 ⎨⎩ − = hoÆc x y 3 ⎨⎩ − = ; hoÆc6 ⎧ = − ⎨⎩ − = − ;hoÆc63 1 ⎧ = y y ⎨⎩ − = − hoÆc x 3 2 x x 3 1 ⎧ = − y 2 ⎨⎩ − = − ; hoÆc33 2 ⎧ = y x 3 3 ⎨⎩ − = x Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) lµ (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c. Tõ 2x = 3y vµ 5x = 7z biÕn ®æi vÒ3 7 5 3 7 5 30 2 x y z x y z x y z − + = = ⇒ = = = = = 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 − + 🡪 x = 42; y = 28; z = 20 C©u 2 a. A lµ tÝch cña 99 sè ©m do ®ã 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 1 1 1 .... 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − − − − = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A 4 9 16 100 2 3 4 100 2 2 2 2 2 1.2.3.2....98.99 3.4.5...99.100.101 101 1 1 = = > ⇒ < − A 2.3.4...99.100 2.3.4......99.100 200 2 2 b. B = 1 3 4 4 1 x x + − + = = + 4ˆ 3 ⇔ ⇔ − ∈ ′ 3nguen x − − −B nguyªn(4) x x x 3 3 3 x − ⇒ ∈x {4;25;16;1;49} C©u 3 Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h V t V 4 3 Ta cã: 1 1 1 = = = va V t V 3 4 2 2 2 (t1lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2lµ thêi gian ®i CB víi V2) t t t t t 3 15 15 − tõ 1 2 1 2 1 = ⇒ = = = = t −🡪 t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê 4 4 3 4 3 1 2 VËy qu·ng ®-êng CB lµ 3km, AB = 15km Ng-êi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê C©u 4 a. Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b. Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) 🡪 gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND 🡪 tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) 🡪 Gãc I3 = gãc I4 🡪 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c. Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 🡪 gãc AIB < 900 🡪 gãc BIC > 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 5. P = 4 10 10 1 − += + x − −P lín nhÊt khi 10 4 4 x x XÐt x > 4 th× 10 4 − x< 0 XÐt x< 4 th× 10 4 − x> 0 🡪 10 4 − xlín nhÊt 4 − xlín nhÊt 🡪 4 – x lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt 🡪 4 – x = 1 🡪 x = 3 khi ®ã 10 4 − x= 10 🡪 Plín nhÊt = 11. ------------------------------------------------------------- H-íng dÉn chÊm ®Ò 22 Bµi 1 : a) T×m x . Ta cã 2x − 6+ 5x =9 2x − 6= 9-5x * 2x –6 ≥ 0 ⇔x ≥ 3 khi ®ã 2x –6 = 9-5x ⇒x = 715 kh«ng tho· m·n. (0,5) * 2x – 6 < 0 ⇔x< 3 khi ®ã 6 – 2x = 9-5x ⇒x= 1 tho· m·n. (0,5) VËy x = 1. ⎜⎝⎛+ + +61 1= 0. 1 1 b) TÝnh . (1+2+3+...+90).( 12.34 – 6.68) : ⎟⎠⎞ 3 4 5 (0,5) ( v× 12.34 – 6.68 = 0). c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 +...+ 2101 ⇒2A – A = 2101 –1. (0,5) Nh- vËy 2101 –1 < 2101 . VËy A1 . §Ó A = 5 tøc lµ 49 x . +x x 1= ⇔ = ⇔ = (1) x − 5 1 3 2 Bµi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . vµ DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña ΔCDM ) = 2DCM. T-¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t-¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän). MDB = CAB (gãc cã c¹nh t-¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900, CAB + CBA = 900, suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450. VËy MCN = 900 –450 =450. (1,5) Bµi 5 : Ta cã P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2≤0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = -4 Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 21. ------------------------------------------------------------ h-íng dÉn ®Ò 23 C©u 1: (3®) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy ra 2n(1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n-1 .9 =9. 25suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5® c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5® v× 3n.10 10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 10 suy ra 3n.10-2n.5 10 0,5® Bµi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn l-ît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433v× 434 tËn cïng lµ 1 cßn 433tËn cïng lµ 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174cã tËn cïng lµ 1 suy ra (174)4cã tËn cïng lµ 1 suy ra 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5® suy ra 4343 vµ 1717 ®Òu cã tËn cïng lµ 7 nªn 4343-1717 cã tËn cïng lµ 0 suy ra 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® suy ra -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn. Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H lµ ch©n ®-êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O lµ giao AH víi ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. ------------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò 24 C©u 1: (2®). a. ⏐a⏐ + a = 2a víi a ≥ 0 (0,25®) Víi a < 0 th× ⏐a⏐ + a = 0 (0,25®). b. ⏐a⏐ - a -Víi a≥ 0 th× ⏐a⏐ - a = a – a = 0 -Víi a< 0 th× ⏐a⏐ - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2⏐x + 3⏐ -Víi x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 3 Ta cã: 3(x – 1) – 2 ⏐x + 3⏐ = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5®) -Víi x + 3 < 0 → x< - 3 Tacã: 3(x – 1) - 2⏐x + 3⏐ = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5®). C©u 2: T×m x (2®). a.T×m x, biÕt: ⏐5x - 3⏐ - x = 7 ⇔ 5 3 7 x x − = +(1) (0,25 ®) §K: x ≥ -7 (0,25 ®) ⎡ − = + 5 3 7 x x ( )( ) 15 3 7 ⇒ ⎢− = − + ⎣…. (0,25 ®) x x VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). b. ⏐2x + 3⏐ - 4x < 9 (1,5®) ⇔⏐2x + 3⏐ < 9 + 4x (1) §K: 4x +9 ≥0 ⇔ x ≥94 − (1)⇔ − + < − < + (4 9 2 3 4 9 x x x ) − < < − 2 3 x (t/m§K) (0,5®). C©u 3: Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ a, b, c. V× sè cµn t×m chia hÕt 18 → sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 9. VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®). Tacã: 1 ≤ a + b + c ≤ 27 (2) V× 1 ≤ a ≤ 9 ; b ≥ 0 ; 0 ≤ c ≤ 9 Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®). V× sè cµn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 → ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ph¶i lµ sè ch½n. VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®). -VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®). -Qua N kÎ NK // AB ta cã. EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) ⇒ AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh Δ ADM = Δ NKC (gcg) (1®) ⇒ DM = KC (1®) ------------------------------------------------------ §¸p ¸n ®Ò 25 2007 10 10 9 = 1 + Bµi 1: Ta cã: 10A = 2008 + + +(1) 2007 2007 10 1 10 1 T-¬ng tù: 10B = 10 10 9 = 1 + + + + (2) 2008 2008 10 1 10 1 9 9 + + ⇒10A > 10B⇒A > B > Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 2008 10 1 10 1 Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = 1 1 1 1 . 1 ... 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 = 2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2 − − . . .... . . .... =(1) 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: A = 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005) 2008 1004 . . .... = = = 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009 Bµi 3:(2®iÓm) Tõ:x 1 1 1 x 1 − = ⇒ = − 8 y 4 y 8 4 Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã :1 x - 2 =. Do ®ã : y(x-2) =8. y 8 §Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ -íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t-¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau: Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 Bµi 4:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) T-¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2(2) a.c + c.b > c2(3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®-îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ABKc¾t ®-êng th¼ng CK ë I. Ta cã: IBCc©n nªn IB = IC. BIA = CIA(ccc) nªn 0 BIA CIA 120 = =. Do ®ã: BIA = BIK(gcg) ⇒ BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: A I K BAK 70 = C 0 B --------------------------------------------------- §¸p ¸n ®Ò 26 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) 1 1 n nvíi mäi n ≥ 2nªn . ( 0,2 ®iÓm ) < a. Do 1 2 2− 1 + 1 + 1 + + ..... 1 A< C = 1 − n ( 0,2 ®iÓm ) 2 2 2 2− 2 1 MÆt kh¸c: 3 1 − 4 1 − 1 1 1 1 + + + +n n ( 0,2 ®iÓm) .... C = ( 1).( 1) 1 1.3 1 2.4 1 1 3.5 1 1 1 − + 1 1 = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛+ − + − + − + +1 2 1 3 2 4 3 .... 5 − n n ( 0,2 ®iÓm) 1 1 1 3.21 − 3 1 ⎜⎝⎛+ ⎞ = 1 1 ⎟ < = < + − − n n(0,2 ®iÓm ) 2 1 ⎠ VËy A < 1 1 1 2 1 4 1 + + + + ( 0,25 ®iÓm ) ... b. ( 1 ®iÓm ). B = ( ) 2 2 2 2 2 1 4 6 2 n ⎜⎝⎛+ + + + + 2 2 2 2 21 1 1 1 = ⎟⎠⎞ 2 1 1 2 3 4 ..... n ( 0,25 ®iÓm ) = (1+ A) 2( 0,25 ®iÓm ) 2 Suy ra P < ( )21 1 2+ = ;Hay P < 21(0,25 ®iÓm ) 2 1 1 C©u 2: ( 2 ®iÓm ) kvíi k = 1,2………..n ( 0,25 ®iÓm ) + 1 Ta cã 1 1 + > kk ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k + 1 1 1 ... 1 k + 1 1.1....1. k + 1 + + + + k k 1 1 k k (0,5 ®iÓm ) + +k k k k 1 1+ = . k k k < k + = 1 1 + + = + 1 ( 1) k + 1 1 1 Suy ra 1 < ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛+ < + − 1 k ( 0,5 ®iÓm ) +1 1k k k LÇn l-ît cho k = 1,2, 3,…………………… n råi céng l¹i ta ®-îc. 3 n + 1 1 2 3 1 < + − < + + + + + n n <1 ......... n 1 n ( 0,5 ®iÓm) 2 n n => [α] = n C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha, hb,hclÇn l-ît lµ ®é dµi c¸c ®-êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã: ( ) ha hb hb hc hc ha ha hb hc ha + hb + hc + ( 0,4 ®iÓm ) = + = + = 2 + + = 5 7 8 hc hb ha 20 10 = ==> ha: hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) => 5 2 3 1= = ( 0,4 ®iÓm ) 1 1 MÆt kh¸c S = a b c a h bh ch a b 2 . c 2 2 => = = (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 h a b hc h 1= = 1 1 1 1:21:3 => a :b : c = 10 :15 : 6 : : ha hb hc (0 ,4 ®iÓm ) 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A′, trªn tia Oy lÊy B′sao cho OA′= OB′= a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: OA′+ OB′= OA + OB = 2a => AA′= BB′ ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H vµ K lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu Cña A vµ B trªn ®-êng th¼ng A′ B′ y Tam gi¸c HAA′= tam gi¸c KBB′ ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => HA′= KB′,do ®ã HK = A′B′ (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®-îc HK ≤ AB(DÊu “ = “ ⇔A trïng A′ Btrïng B′(0,25 ®iÓm) do ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö a + b + c = d ∈Q( 0,2 ®iÓm ) => a + b = d − a 2 => b +b +2 bc d a 2d a = + +( 0,2 ®iÓm) => 2bc (d a b c) 2d a 2 = + − − − ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = (d + a − b − c) 2 2 + 4 d2a – 4b (d + a − b − c) 2a ( 0,2 ®iÓm) => 4 d (d + a − b − c) 2a = (d + a − b − c) 2 2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d (d + a − b − c) 2# 0 th×: 2 2 2 ( ) d a b c d a ab + − − + − 4 4 a+ − − =lµ sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) 2 4 ( ) d d a b c ** NÕu 4 d (d + a − b − c) 2 = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : a + b + c = 0 => a = b = c = 0∈Q (0,25 ®iÓm ) + d 2+ a-b – c = 0 th× tõ (1 ) => bc = −d a V× a, b, c, d ≥ 0nªn a = 0∈Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy alµ sè h÷u tØ. Do a,b,c cã vai trß nh- nhau nªn a, b, clµ c¸c sè h÷u tØ -------------------------------------------------- §Ò 1 Bµi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bµi 2. (4 ®iÓm) a b c = =vµ a + 2b – 3c = -20 a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2-14x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2-14 TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = -1. Bµi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a) So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. Bµi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 23AD. §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06: 7 3 .0,38) : 19 2 .4 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 6 2 5 3 4 Bài 2: (4 điểm): Cho a c =chứng minh rằng: c b a) 2 2 a c a += +b) 2 2 b c b 2 2 b a b a − − = 2 2 a c a + Bài 3:(4 điểm) Tìm xbiết: x + − = −b)15 3 6 1 a) 14 2 5 − + = − x x12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có 0 A 20 =, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x y, ∈biết: 2 2 25 8( 2009) − = − y x §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A2 .3 8 .3 125.7 5 .14 − − = − 6 3 2 4 5 9 3 ( ) ( ) + + b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2 n n n n + + − + −chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 3,2 a. ( ) x − + = − + 3 5 5 1 11 7 7 0 x x + + b. ( ) ( ) x x − − − = Bài 3: (4 điểm) a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6. Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 2 2 a c a b) Cho a c =. Chứng minh rằng: c b Bài 4: (4 điểm) += 2 2 b c b + Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻEH BC ⊥ (H BC ∈ ). Biết HBE= 50o; MEB=25o. Tính HEMvàBME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có 0 A 20 =, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC §Ò 4 Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho A = 2-5+8-11+14-17+…+98-101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bµi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z vµ x y − 2=5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90. c, y z x z x y 1 2 3 1 + + + + + − = = =+ + x y z x y z Bµi 3: ( 1 ®iÓm) a a a a a 1. Cho 1 2 3 8 9 = = = = =vµ (a1+a2+…+a9 ≠0) ... a a a a a 2 3 4 9 1 Chøng minh: a1 = a2 = a3=…= a9 2. Cho tØ lÖ thøc: a b c a b c + + − + = + − − −vµ b ≠ 0 a b c a b c Chøng minh c = 0 Bµi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) 2 Bµi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== §Ò 5 Bµi 1: (3 ®iÓm) ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 1 4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4 : 0,88 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 2 5 17,81:1,37 23 :1 − 3 6 2007 2008 2 27 3 10 0 x y − + + = 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: ( ) 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ablµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) 1. T×m x,y,z biÕt: 1 2 3 x y z − − − = =vµ x-2y+3z = -10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3≠ 0 3 3 3 a b c a Chøng minh r»ng: Bµi 3: ( 2 ®iÓm) + += 3 3 3 b c d d + + 1. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 ... 10 + + + + > 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = -18- 2 6 3 9 x y − − +®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè 6 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a,⎟5x-3⎟ < 2 b,⎟3x+1⎟ >4 c, ⎟4- x⎟ +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =⎟x⎟ +⎟8 -x⎟ C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD ------------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ C©u 1 . ( 2®) Cho: dc §Ò sè 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót + +3. a= = . Chøng minh: da b a b c⎟ = b c ⎜⎝⎛+ + b c d ⎞ ⎠ a = c = b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = c a +. b c a b + + C©u 3. (2®). T×m x ∈ Z®Ó A∈ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. 1 2 a). A = 23 − x. x. b). A = 3 + x − x + C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a)x − 3= 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. -------------------------------- HÕt ------------------------------------ §Ò sè 8 Thêi gian lµm bµi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®-êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ? 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc dc a=( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®-îc c¸c tØ lÖ thøc: b a c a b + +. = a) c d = c d −. b) d a b − b C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a . 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: 10 C©u 3: 1 2 3 .... 100 T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x − 2001 + x −1 ------------------------------------------ hÕt --------------------------------------------- §Ò sè 11 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: x + 2+326 x + 3+325 x + 4+324 x + 349=0 a, 327 b, 5x − 3 ≥ 7 C©u2:(3 ®iÓm) x + 5+5 0 1 2 2007 1⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎜⎝⎛ 1 ⎞ ⎜⎝⎛ 1 ⎞ ⎜⎝⎛ 1 S = − ⎟ + − ⎟ + − ⎟ + + − a, TÝnh tæng: 7 ⎠ 7 ⎠ 7 ⎠ ........ 7 1+ + + + < 2 3 99 b, CMR: 1 2! 3! 4! ........ 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d-¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2nchia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t-¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc0 B = 60hai ®-êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 B. T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. =n C©u5: (1 ®iÓm) Cho 2( 1) 3 2 − + ------------------------------------------ hÕt ----------------------------------------- §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ( )5 x −1 = - 243 . b) 152 x + x x x x 2 + 2 11 + + 12 + + 13 2 = + 14 2 + c) x - 2x= 0 (x≥ 0) C©u 2 : (3®) y a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : 81 5+ = x 4 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = 31 x(x≥ 0) + x − C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x −3 - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ΔABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t-¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ΔABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900. KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . -----------------------------------HÕt-------------------------------- §Ò sè 13 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi1( 3 ®iÓm) 10 1 (26 1 176 12 ) 10 ( 3 3 − − − 1,75) 7 11 3 a, TÝnh: A = 5 ( 60 91 0,25). − − 11 1 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 +……+ 100 – 410) Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d-¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ΔABC vu«ng t¹i B, ®-êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. -------------------------------------------- hÕt ------------------------------------------- §Ò sè 14 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x x = + + − 5 2 . a.ViÕt biÓu thøc A d-íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 < + + + + < . ....... a.Chøng minh r»ng : 2 2 2 2 6 5 6 7 100 4 b.T×m sè nguyªn a ®Ó : 2 9 5 17 3 a a a + + + − + + +lµ sè nguyªn. a a a 3 3 3 Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A n n n = + + ( 5 6 6 . )( ) Bµi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §-êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f x f x x ( ) − − = ( 1 . ) . ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + … + n. ------------------------------------ HÕt -------------------------------- §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (2®) Rót gän A=22 x x − x x + − 8 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®-îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®-îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®-îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®-îc ®Òu nh- nhau. C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 2006 10 53 +lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®-êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b, BH = 2AC c, ΔKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d-íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. --------------------------------- HÕt -------------------------------------- §Ò sè 16: Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x − 2 − x = 7b) 2x − 3 > 5c) 3x −1 ≤ 7d) 3x − 5 + 2x + 3 = 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+...+ 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®-êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®-êng th¼ng MN lÇn l-ît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®-êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh: a) BD⊥ AP;BE ⊥ AQ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= xx 14Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? T×m gi¸ trÞ − 4 − ®ã. -------------------------------------- HÕt ---------------------------------------- §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4 3 x + - x = 15. b. 3 2 x − - x > 1. c. 2 3 x + ≤5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2chia hÕt cho 9 lµ: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh- thÕ nµo,biÕt nÕu céng lÇn l-ît ®é dµi tõng hai ®-êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB> ADC. Chøng minh r»ng: DB < DC. C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = x −1004 - x +1003 . -------------------------------------- HÕt --------------------------------- §Ò sè 18 C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : a. 3x 2 − +5x = 4x-10 b. 3+ 2x 5 +> 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+...+74n chia hÕt cho 400 (n∈N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α+ β+ γ= 1800 chøng minh Ax// By. A α x C β γ B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC=1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2004. ------------------------------------ HÕt ---------------------------------- §Ò sè 19 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x − 2 + 5 − x Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l-ît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®-êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®-îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3- 4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. ------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x x 2 3 + + =; b. 3x 5 x 2 − = + C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®-êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®-êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t-¬ng tù nh- kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. --------------------------------------------- HÕt --------------------------------------------- §Ò 21: Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = 35 x x − + a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 41 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 − x = x −1 b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = xx 2006. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. − 6 − T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. ---------------------------------------- HÕt -------------------------------------- §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 ⎜⎝⎛41 1⎟⎠⎞ 25 30 ⎜⎝⎛31 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 1⎟⎠⎞ a. ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ . b. : 2 9 5 4 9 4 .9 2.6 − 2. Rót gän: A = 2 .3 6 .20 10 8 8 + 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d-íi d¹ng ph©n sè vµ ng-îc l¹i: a. 337b. 227c. 0, (21) d. 0,5(16) C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®-îc 912 m3®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®-îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: 3 a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = ( 2) 4 2 x + + b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ ∠C = 800. Trong tam gi¸c sao cho MBA 30 0 =vµ 0 MAB =10.TÝnh MAC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. ------------------------------------- HÕt ------------------------------------- §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) 1) Cho 65 a − b cvµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 1 − 3 2 = + 4 = 2 2 2 3 5 a ab b 2 2 2) Cho tØ lÖ thøc : dc − +. Víi ®iÒu 2 3 5 c cd d − + a=. Chøng minh : d cd b kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 2 2 3 b ab + = 2 2 3 + 1+ + + 1 .... 1 1) A = 97.99 3.5 5.7 2) B = 2 3 50 51 31 1 1 1 1 − + − + + − 3 3 3 ..... 3 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE ⊥ víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n ---------------------------------------------- HÕt ----------------------------------------------- §Ò 24 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375 0,311 12 1,5 1 0, 75 − + ++ − a) A = + 5 5 5 0, 265 0,5 2,5 1, 25 − + − − + − 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33vµ 29+14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®-îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®-îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: a) 3 4 x − ≤ 3 b) 1 1 1 1 ... 2 ⎛ ⎞ + + + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 1.2 2.3 99.100 2 Bµi 5 ( 3®): Cho ΔABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) 0 BMC = 120 b) 0 AMB = 120 Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu cã: 1 2 f x f x ( ) 3. ( )x + =. TÝnh f(2). ---------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò 25 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈Z, biÕt a. x x + −= 3 - x x 1 1 6− = b.2 y c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 − − − − . H·y so s¸nh A víi 21 a. Cho A =1) (2 2 2 2 2 1).( 3 1).( 4 1)...( 100 − b. Cho B = 31 x. T×m x ∈Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d-¬ng + x C©u 3 (2®) − Mét ng-êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®-îc 1qu·ng ®-êng th× ng-êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr-a. 5 TÝnh qu·ng ®-êngAB vµ ng-êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ΔABCcã Aˆ> 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh ΔAIB = ΔCID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB BIC < d. T×m ®iÒu kiÖn cña ΔABC ®Ó AC CD ⊥ 14. Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn −x Z x; C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 〈 ∈ 〉 4 − x nµo? ----------------------------- HÕt --------------------------------------- §Ò 26 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x − 6+5x = 9 b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) : ⎜⎝⎛+ + +61 1; 3 1 4 1 5 ⎟⎠⎞ c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 vµ B = 2101 . Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l-ît ®é dµi tõng hai ®-êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. Bµi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = 11 x. + x − a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 916vµ x = 925. b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®-êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc MCN? Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? ------------------------ HÕt ------------------------- §Ò 27 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) − − − − 2 2 1 3 1 1 4 5 2 0,25 . . . . − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. TÝnh A = ( ) 4 3 4 3 b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d-¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2nchia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr-êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®-îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®-îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343- 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn l-ît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED b. §-êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §-êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. ------------------------------------------------- HÕt ---------------------------------------------- §Ò 28 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a a + b. a a − c. 3 1 2 3 ( x x − − − ) C©u 2: T×m x biÕt: a. 5 3 x − - x = 7 b. 2 3 x + - 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho Δ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E. Sao cho AD = BE. Qua D vµ E vÏ c¸c ®-êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M vµ N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. ----------------------------------------- HÕt ------------------------------------------ §Ò 29 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 2006 2007 10 1 10 1 ; B = Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A= Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: + + + +. 2007 2008 10 1 10 1 A= 1 1 1 1 . 1 ... 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + + + +1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2006 Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng:x 1 1 − = 8 y 4 Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. B = C = 50. Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã0 cho 0 0 KBC = 10 KCB = 30 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. --------------------------------- HÕt ---------------------------------- §Ò thi 30 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥2 h·y so s¸nh: a. A= 2 2 2 21 1 1 1 + + + +víi 1 . 2 1 3 1 4 1 .... n 1 + + + +víi 1/2 ... b. B = ( ) 2 2 2 2 2 4 6 2 n α, víi 3 4 11 2 ++ α 3 4 n = + + + + nn .... C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña 2 3 C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l-ît ®é dµi hai ®-êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn l-ît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a + b + clµ c¸c sè h÷u tØ. -------------------------------------------------------------- ®¸p ¸n - §Ò 1 Bµi 1. 4® a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 1® 5 −1® Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = Bµi 2. 4® = =⬄2 3 2 3 20 5 51 1 4 a b c a) 2 3 4 2® a b c a b c + − − = = = = = + − − => a = 10, b = 15, c =20. 2 6 12 2 6 12 4 b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z ∈N*) 0,5® Theo bµi ra ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5® BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z => 20000 50000 100000 16 2 x y z x y z x y z + + = = ⇔ = = = = = + + 100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8 0,5® Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 2. 0,5® Bµi 3. 4® a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 -14x -14 1® f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2-14x + 14 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = - 1 A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bµi 4. 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® b a) ΔABD =ΔEBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ΔABD =ΔEBD nªn gãc A b»ng gãc BED Do gãc A b»ng 900nªn gãc BED b»ng 900 a Bµi 5: 4® e dc a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: DE//AB, DE = 12AB, IK//AB, IK= 12AB Do ®ã DE // IK vµ DE = IK b)ΔGDE = ΔGIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) ⇒GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = 23AD - VÏ h×nh: 0,5® - PhÇn a) ®óng: 2® - PhÇn b) ®óng: 1,5® §Ò 2: Bài 1: 3 điểm 1 1 2 2 3 18 (0,06: 7 3 .0,38) : 19 2 .4 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠= 6 2 5 3 4 = 109 6 15 17 38 8 19 ( : . ) : 19 . ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 0.5đ 6 100 2 5 100 3 4 = 109 3 2 17 19 38 . . : 19 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1đ 6 50 15 5 50 3 = 109 2 323 19 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ − + ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 0.5 : 6 250 250 3 =109 13 3. ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠= 0.5đ 6 10 19 = 506 3 253 a i e G k d b . = 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a) Từa c =suy ra 2 c b c a b =.0.5đ 2 2 2 a c a a b khi đó + + . = + + 0.5đ 2 2 2 b c b a b . = ( ) a a b a += +0.5đ b a b b ( ) 2 2 2 2 a c a b c b + + b) Theo câu a) ta có: = ⇒ = + + 0.5đ 2 2 2 2 b c b a c a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b c b b c b + + từ hay = ⇒ − = − + + 1đ a c a a c a 2 2 2 2 b c a c b a + − − − = + 0.5đ 2 2 a c a 2 2 b a b a − − vậy Bài 3: = + 0.5đ 2 2 a c a a) 14 2 x + − = − 5 12 4 x + = − + 0.5đ 5 1 1 2 2 x x + = ⇒ + =hoặc 12 5 5 Với 1 1 2 2 x + = − 1đ 5 x x + = ⇒ = −hay 95 5 5 Với 1 1 2 2 x = 0.25đ x x + = − ⇒ = − −hay 115 x = − 0.25đ b) 5 5 15 3 6 1 − + = − x x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x + = +0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 ( ) + =x 0.5đ 5 4 14 49 13 x = 0.5đ 20 14 130 x =0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5. 4. 3. x y z = =và x x y z + + + = 591đ x y z x x y z + + + hay: 59 60 1 1 1 1 1 1 1 59 = = = = = + + + 0.5đ 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: x = =; 1 1 x = =; 1 60. 12 5 60. 15 4 x = = 0.5đ 60. 20 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ΔADB = ΔADC (c.c.c) 1đ suy ra DAB DAC = Do đó 0 0 DAB = = 20 : 2 10 b) ΔABC cân tại A, mà0 A = 20(gt) nên 0 0 0 ABC = − = (180 20 ) : 2 80 ΔABC đều nên 0 DBC = 60 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 0 0 0 ABD = − = 80 60 20. Tia BM là phân giác của góc ABD A 200 M D B C nên 0 ABM =10 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; 0 0 BAM ABD ABM DAB = = = = 20 ; 10 Vậy: ΔABM = ΔBAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 2 2 25 y 8(x 2009) − = − Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vì y2 ≥0 nên (x-2009)2 258 ≤, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y∈) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ ----------------------------------------------------------------------- §Ò 3 Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm A− − − − 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 = − = − 2 .3 8 .3 125.7 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 + + + + 6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 4 5 ( ) ( ) 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 − − 12 4 10 3 = − ( )( ) ( ) 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 12 5 9 3 3 + + 0,5 điểm 1 điểm 0,5 điểm 2 .3 .2 5 .7 . 6 12 4 10 3 ( ) = − − ( ) 2 .3 .4 5 .7 .9 12 5 9 3 1 10 7 = − = − 6 3 2 b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n + + − + − =2 2 3 3 2 2 n n n n + + + − − =2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + =1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = 10( 3n-2n) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n + + − + −10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 3,2 Đáp án Thang điểm x x − + = − + ⇔ − + = + a) (2 điểm)( ) − 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 ⇔ − + = 0,5 điểm x 3 5 5 0,5 điểm x− = ⎡ ⇔ − = ⇔ ⎢⎢⎢⎣ 12 3 1 7 23 31 5 23 3 x x 1 2 − =− 31 2 3 0,5 điểm ⇔ ⎡⎢⎢⎢⎣ x x = + =− =− + = 0,5 điểm 0,5 điểm b) (2 điểm) x x + + 1 11 0,5 điểm x x − − − = 7 7 0 ( ) ( ) x + 1 10 ⇔ − − − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x x 7 1 7 0 ( ) ( ) 0,5 điểm 0,5 điểm ⇔ − − − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x + 1 10 ( )( )( ) x x 7 1 7 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ x 1 ⎡ x − = 7 0 ⇔ ⎢⎢⎢⎣ 1 ( 7) 0 − − = x 10 ⎡ ⇔ ⎢⎣ x x − = ⇒ = 7 0 7 ( 7) 1 8 x x − = ⇒ = 10 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : 0,5 điểm và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 5 4 6(1) 0,5 điểm = = = k ⇒2 3 k Từ (1) ⇒ 2 3 1 5 4 6 a k b k c = = = ; ; 5 4 6 0,5 điểm Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1 ( ) 24309 k + + = 25 16 36 ⇒k = 180 và k = −180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = −180, ta được: a = −72; b = −135; c = −30 Khi đó ta có só A = −72+( −135) + (−30) = −237. b) (1,5 điểm) Từa c =suy ra 2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm c b c a b =. 2 2 2 a c a a b 0,5 điểm khi đó + + . = Bài 4: (4 điểm) + + 2 2 2 b c b a b . = ( ) a a b + b a b ( ) + Đáp ánThang điểm