Tuyển Chọn Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

" Tuyển Chọn Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tuyển Chọn Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Ebooks Nhóm Zalo TRѬӠNG THPT CHUYÊN LÝ TӴ TRӐNG 7Ә TOÁN − TIN HӐC CHUYÊN ĐỀ BҨT ĈҶNG THӬC Th͹c hi͏n: Võ Quӕc Bá Cҭn /ͥi nói ÿ̯u ----oOo---- %ҩt ÿҷng thӭc là mӝt trong nhӳng vҩn ÿӅ hay và khó nhҩt cӫa chѭѫng trình toán phә thông bӣi nó có mһt trên hҫu khҳp các lƭnh vӵc cӫa toán hӑc và nó ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt vӕn kiӃn thӭc tѭѫng ÿӕi vӳng vàng trên tҩt cҧ các lƭnh vӵc. 0ӛi ngѭӡi chúng ta, ÿһc biӋt là các bҥn yêu toán, dù ít dù nhiӅu thì cǊng ÿã tӯng ÿau ÿҫu trѭӟc mӝt bҩt ÿҷng thӭc khó và cǊng ÿã tӯng có ÿѭӧc mӝt cҧm giác tӵ hào khi mà mình chӭng minh ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc ÿó. Nhҵm “kích hoҥt” niӅm say mê Eҩt ÿҷng thӭc trong các bҥn, tôi xin giӟi thiӋu vӟi vӟi các bҥn cuӕn sách “chuyên ÿӅ Eҩt ÿҷng thӭc”. Sách gӗm các phѭѫng pháp chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc mӟi mà hiӋn nay chѭa ÿѭӧc phә biӃn cho lҳm. Ngoài ra, trong sách gӗm mӝt sӕ lѭӧng lӟn bҩt ÿҷng thӭc do tôi Wӵ sáng tác, còn lҥi là do tôi lҩy ÿӅ toán trên internet nhѭng chѭa có lӡi giҧi hoһc có Oӡi giҧi nhѭng là lӡi giҧi hay, lҥ, ÿҽp mҳt. Phҫn lӟn các bài tұp trong sách ÿӅu do tôi Wӵ giҧi nên không thӇ nào tránh khӓi nhӳng ngӝ nhұn, sai lҫm, mong các bҥn thông Fҧm. Hy vӑng rҵng cuӕn sách sӁ giúp cho các bҥn mӝt cái nhìn khác vӅ bҩt ÿҷng thӭc và mong rҵng qua viӋc giҧi các bài toán trong sách sӁ giúp các bҥn có thӇ tìm ra phѭѫng pháp cӫa riêng mình, nâng cao ÿѭӧc tѭ duy sáng tҥo. Tôi không biӃt các Eҥn nghƭ sao nhѭng theo quan ÿLӇm cӫa bҧn thân tôi thì nӃu ta hӑc tӕt vӅ bҩt ÿҷng thӭc thì cǊng có thӇ hӑc tӕt các lƭnh vӵc khác cӫa toán hӑc vì nhѭ ÿã nói ӣ trên bҩt ÿҷng thӭc ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt kiӃn thӭc tәng hӧp tѭѫng ÿӕi vӳng vàng. Tôi không nói suông ÿâu, chҳc hҷn bҥn cǊng biӃt ÿӃn anh Phҥm Kim Hùng, sinh viên hӋ CNTN khoa toán, trѭӡng ĈHKHTN, ĈHQG Hà Nӝi, ngѭӡi ÿã ÿѭӧc tham Gӵ hai kǤ thi IMO và ÿӅu ÿRҥt kӃt quҧ cao nhҩt trong ÿӝi tuyӇn VN. Bҥn biӃt không? Trong thӡi hӑc phә thông, anh ҩy chӍ chuyên tâm rèn luyӋn bҩt ÿҷng thӭc thôi. (Các bҥn lѭu ý là tôi không khuyӃn khích bҥn làm nhѭ tôi và anh ҩy ÿâu nhé!) 1 0һc dù ÿã cӕ gҳng biên soҥn mӝt cách thұt cҭn thұn, nhѭng do trình ÿӝ có hҥn nên không thӇ tránh khӓi nhӳng sai sót, mong các bҥn thông cҧm và góp ý cho tôi ÿӇ cuӕn sách ngày càng ÿѭӧc hoàn thiӋn hѫn. Chân thành cҧm ѫn. 0ӑi ÿóng góp xin gӱi vӅ mӝt trong các ÿӏa chӍ sau: + Võ Quӕc Bá Cҭn, C65 khu dân cѭ Phú An, phѭӡng Phú Thӭ, quұn Cái Răng, thành phӕ Cҫn Thѫ. 🕿071.916044 + Email. babylearnmath@yahoo.com Kính tһng các thҫy Ĉһng Bҧo Hòa, Phan Ĉҥi Nhѫn, Trҫn DiӋu Minh, HuǤnh Bӱu Tính, cô Tҥ Thanh Thӫy Tiên và toàn thӇ các thҫy cô giáo trong tә Toán Tin, thân Wһng các bҥn cùng lӟp. 2 0ӜT SӔ BҨT ĈҶNG THӬC THÔNG DӨNG 1. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. 1Ӄu 1 2 , ,..., n aa a là các sӕ thӵc không âm thì n 1. ... ∑ ≥ a aa a n i n n = i 1 2 1 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2 ... n aa a = == . 2. Bҩt ÿҷng thӭc AM-HM. 1Ӄu 1 2 , ,..., n aa a là các sӕ thӵc dѭѫng thì n 1 1 ∑ ≥∑ .1 1 a n i = 1 i n . n a i i = 1 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2 ... n aa a = == . 3. Bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki. Cho 2n sӕ thӵc 1 2 , ,..., n aa a và 1 2 , ,..., n bb b . Khi ÿó, ta có 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 11 2 2 ( ... )( ... ) ( ... ) n n nn a a a b b b ab ab a b + ++ + ++ ≥ + ++ a a a Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2 ... .n = == bb b 1 2 n 4. Bҩt ÿҷng thӭc Minkowski. Cho 2n sӕ thӵc dѭѫng 1 2 , ,..., n aa a và 1 2 , ,..., n bb b . Khi ÿó vӟi mӑi r ≥1, ta có 1 11 n nn r rr         +≤ +     ∑ ∑∑ r rr ab a b ( ) ii i i i ii = == 1 11 5. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM mӣ rӝng. 1Ӄu 1 2 , ,..., n aa a là các sӕ thӵc không âm và 1 2 , ,..., ββ βn là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng 1 thì β β β+ + + ≥ β β β 11 2 2 1 2 ... ..n nn n a a a aa a 1 2 6. Bҩt ÿҷng thӭc Chebyshev. Cho 2n sӕ thӵc 1 2 ... n aa a ≤ ≤≤ và 1 2 , ,..., n bb b . Khi ÿó a) NӃu 1 2 ... n bb b ≤ ≤≤ thì n nn    ≥       ∑ ∑∑ . n ab a b ii i i i ii = == 1 11 a) NӃu 1 2 ... n bb b ≥ ≥≥ thì n nn    ≤       ∑ ∑∑ n ab a b . ii i i i ii = == 1 11 3  = == aa a ... n Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2  = == bb b ... n 1 2 7. Bҩt ÿҷng thӭc Holder. Cho 2n sӕ thӵc không âm 1 2 , ,..., n bb b . Khi ÿó vӟi mӑi p q, 1 > thӓa 1 1 1, + = ta có p q 8. Bҩt ÿҷng thӭc Schur. aa a và 1 2 , ,..., n 1 1 n nn p q    ≤       ∑∑∑ p q ab a b ii i i iii === 111 9ӟi mӑi bӝ ba sӕ không âm abc , , và r ≥ 0, ta luôn có bҩt ÿҷng thӭc ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 rrr a a ba c bb cb a cc ac b − −+ − −+ − −≥ Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc = = hoһc a bc = = , 0 và các hoán vӏ. 9. Bҩt ÿҷng thӭc Jensen. Giҧ sӱ f x( ) là mӝt hàm lӗi trên [,] a b . Khi ÿó, vӟi mӑi1 2 , ,..., [ , ] n x x x ab ∈ và 1 2 , ,..., 0 αα α≥n thӓa 1 2 ... 1 α α α+ + + =n ta có bҩt ÿҷng thӭc n n     ≥   ∑ ∑ f x fx α α ( ) ii i i = = i i 1 1 10. Bҩt ÿҷng thӭc sҳp xӃp lҥi. Cho 2 dãy ÿѫn ÿLӋu cùng tăng 1 2 ... n aa a ≤ ≤≤ và 1 2 ... n bb b ≤ ≤≤ . Khi ÿó, vӟi ii i là mӝt hoán vӏ bҩt kì cӫa 1,2,..., n ta có 1 2 , ,..., n n n nn i i i i i i n n n ab a b a b a b a b a b ab a b a b + ++ ≥ + ++ ≥ + ++ − 11 2 2 11 2 2 1 2 1 1 ... ... ... 11. Bҩt ÿҷng thӭc Bernulli. 9ӟi x > −1, ta có + 1Ӄu r r ≥∨ ≤ 1 0 thì (1 ) 1 r + ≥+ x rx + 1Ӄu 1 0 > > r thì (1 ) 1 r + ≤+ x rx 4 %ҨT ĈҶNG THӬC THUҪN NHҨT 1. Mӣ ÿҫu. +ҫu hӃt các bҩt ÿҷng thӭc cә ÿLӇn (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky, Chebyshev ...) ÿӅu là các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. ĈLӅu này hoàn toàn không ngүu nhiên. VӅ logíc, có thӇ nói rҵng, chӍ có các ÿҥi lѭӧng cùng bұc mӟi có thӇ so sánh Yӟi nhau mӝt cách toàn cөc ÿѭӧc. Chính vì thӃ, bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt chiӃm mӝt tӹ lӋ rҩt cao trong các bài toán bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ (khi các hàm sӕ là hàm ÿҥi sӕ, có bұc Kӳu hҥn). Ĉӕi vӟi các hàm giҧi tích (mǊ, lѭӧng giác, logarith), các bҩt ÿҷng thӭc FǊng ÿѭӧc coi là thuҫn nhҩt vì các hàm sӕ có bұc ∞ (theo công thӭc Taylor). Trong bài này, chúng ta sӁ ÿӅ cұp tӟi các phѭѫng pháp cѫ bҧn ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt, cǊng nhѭ cách chuyӇn tӯ mӝt bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt YӅ mӝt bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Nҳm vӳng và vұn dөng nhuҫn nhuyӉn các phѭѫng pháp này, chúng ta có thӇ chӭng minh ÿѭӧc hҫu hӃt các bҩt ÿҷng thӭc sѫ cҩp. 2. Bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Hàm sӕ 1 2 ( , ,..., ) n fxx x cӫa các biӃn sӕ thӵc 1 2 , ,..., n xx x ÿѭӧc là hàm thuҫn nhҩt bұc α nӃu vӟi mӑi sӕ thӵc t ta có 1 2 12 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n f tx tx tx t f x x x α = %ҩt ÿҷng thӭc dҥng fxx x ≥ 1 2 ( , ,..., ) 0 n Yӟi f là mӝt hàm thuҫn nhҩt ÿѭӧc gӑi là bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt (bұc α ). Ví dө các bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki, bҩt ÿҷng thӭc Chebyshev là các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Bҩt ÿҷng thӭc Bernoulli, bҩt ÿҷng thӭc sin x x < vӟi x > 0 là các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt. 5 3. Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. 3.1. Phѭѫng pháp dӗn biӃn. Ĉһc ÿLӇm cӫa nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ là dҩu bҵng [ҧy ra khi tҩt cҧ hoһc mӝt vài biӃn sӕ bҵng nhau (xuҩt phát tӯ bҩt ÿҷng thӭc cѫ bҧn 2 x ≥ 0!). Phѭѫng pháp dӗn biӃn dӵa vào ÿһc ÿLӇm này ÿӇ làm giҧm sӕ biӃn sӕ cӫa Eҩt ÿҷng thӭc, ÿѭa bҩt ÿҷng thӭc vӅ dҥng ÿѫn giҧn hѫn có thӇ chӭng minh trӵc tiӃp Eҵng cách khҧo sát hàm mӝt biӃn hoһc chӭng minh bҵng quy nҥp. ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxx x ≥ 1 2 ( , ,..., ) 0 (1) n Ta có thӇ thӱ chӭng minh x xx x fxx x f x   + + ≥     1 21 2 1 2 ( , ,..., ) , ,..., (2) 2 2 n n hoһc ≥ ( ) f x x x f xx xx x ( , ,..., ) , ,..., (3) 1 2 12 12 n n Sau ÿó chuyӇn viӋc chӭng minh (1) vӅ viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc 113 13 ( , , ,..., ) ( , ,..., ) 0 (4) n n f x x x x gx x x = ≥ Wӭc là mӝt bҩt ÿҷng thӭc có sӕ biӃn ít hѫn. Dƭ nhiên, các bҩt ÿҷng thӭc (2), (3) có thӇ không ÿúng hoһc chӍ ÿúng trong mӝt sӕ ÿLӅu kiӋn nào ÿó. Vì ta chӍ thay ÿәi 2 biӃn sӕ nên thông thѭӡng thì tính ÿúng ÿҳn cӫa bҩt ÿҷng thӭc này có thӇ kiӇm tra ÿѭӧc dӉ dàng. Ví dө 1. Cho abc ,, 0 > . Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc 333 2 2 2 2 2 2 a b c abc a b b c c a ab bc ca +++ ≥ + + + + + 3 Chͱng minh. Xét hàm sӕ333 2 2 2 2 2 2 f a b c a b c abc a b b c c a ab bc ca (,,) 3 ( ) =+++ − + + + + + Ta có b cb c a f abc f a b c b c    + + 5 2 (,,) , , ( ) − = +− −       22 4 6 Do ÿó, nӃu a abc = min{ , , } (ÿLӅu này luôn có thӇ giҧ sӱ) thì ta có b cb c f abc f a  + + ≥     (,,) , , 2 2 Nhѭ vұy, ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿҫu bài, ta chӍ cҫn chӭng minh f abb (,,) 0 ≥ Nhѭng bҩt ÿҷng thӭc này tѭѫng ÿѭѫng vӟi 3 3 2 2 2 2 32 3 a b ab a b a b b a b b a b + + − + + ++ + ≥ 2 3 ( )0 322 a ab a b ⇔+ − ≥ 2 0 aa b 2 ⇔ −≥ ( )0 Ví dө 2. (Vietnam TST 1996) Cho abc , , là các sӕ thӵc bҩt kǤ. Chӭng minh rҵng 4 4 4 444 4 F abc a b b c c a a b c =+ ++ ++ − + + ≥ ( , , ) ( ) ( ) ( ) .( ) 0 7 /ͥi gi̫i. Ta có   + + b cb c F abc F a − =     (,,) , , 2 2 4 4 4 4 444 =+ ++ ++ − + + − ab bc ca a b c ( ) ( ) ( ) .( ) 7 4 4 + +      bc bc a bc a 4 4 4 − + −+ + +           2 () . 2 2 72 4 4   + +   4( ) ( )( )2 . bc bc ab ca a b c 4 4 44 =+ ++ − + + −−         2 78 4 3 3 3 22 2 = + −+ + + −+ ab c bc a b c bc (4 4 ( ) ) 3 (2 2 ( 3   + 3 () ) )7 8 b c b c 2 44 + +−     2 2 2 22 2 = + −+ −+ − + + a b c b c a b c b c b c bc 3 ( )( ) 3 ( ) ( ) (7 7 10 ) 56 3 2 22 2 = ++ − + − + + a a b c b c b c b c bc 3 ( )( ) ( ) (7 7 10 ) 56 7 6ӕ hҥng3 22 2 ( ) (7 7 10 ) 56b c b c bc − ++ luôn không âm. NӃu abc , , cùng dҩu thì bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh là hiӇn nhiên. NӃu abc , , không cùng dҩu thì phҧi có ít nhҩt 1 trong ba sӕ abc , , cùng dҩu vӟi abc + + . Không mҩt tính tәng quát, giҧ sӱ ÿó là a . b cb c F abc F a  + + ≥    . Nhѭ vұy ta chӍ còn cҫn 7ӯ ÿҷng thӭc trên suy ra (,,) , , 2 2 chӭng minh F abb ab (,,) 0 , ≥∀ ∈ R 4 4 4 44 2( ) (2 ) .( 2 ) 0 , ⇔ + + − + ≥∀ ∈ a b b a b ab R 7 1Ӄu b = 0 thì bҩt ÿҷng thӭc là hiӇn nhiên. NӃu b ≠ 0 , chia hai vӃ cӫa bҩt ÿҷng thӭc b rӗi ÿһta cho 4 xb = thì ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng 4 4 4 2( 1) 16 .( 2) 0 x x + +− +≥ 7 %ҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng có thӇ chӭng minh nhѭ sau Xét 4 4 4 fx x x = + +− + ( ) 2( 1) 16 .( 2) 7 Ta có 16 ( ) 8( 1) .7 / 33 = +− fx x x /3 2 = ⇔ + = ⇔ =− fx x x x ( ) 0 1 . 2.9294 7 =− = > f f ( 2.9294) 0.4924 0 min (Các phҫn tính toán cuӕi ÿѭӧc tính vӟi ÿӝ chính xác tӟi 4 chӳ sӕ sau dҩu phҭy. Do min f tính ÿѭӧc là 0.4924 nên nӃu tính cҧ sai sӕ tuyӋt ÿӕi thì giá trӏ chính xác cӫa min f vүn là mӝt sӕ dѭѫng. Vì ÿây là mӝt bҩt ÿҷng thӭc rҩt chһt nên không thӇ tránh 8 ÿѭӧc các tính toán vӟi sӕ lҿ trên ÿây. Chҷng hҥn nӃu thay 47 bҵng1627 ÿӇ 3 min x = − thì *min f có giá trӏ âm! Ӣ ÿây * 44 4 fx x x = + +− + .) ( ) 2( 1) 16 .( 2) 7 3.2. Phѭѫng pháp chuҭn hóa. 'ҥng thѭӡng gһp cӫa bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt là 12 12 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n f x x x gx x x ≥ trong ÿó f và g là hai hàm thuҫn nhҩt cùng bұc. Do tính chҩt cӫa hàm thuҫn nhҩt, ta có thӇ chuyӇn viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc trên vӅ viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc 1 2 ( , ,..., ) n fxx x A ≥ vӟi mӑi1 2 , ,..., n xx x thӓa gx x x A = . Chuҭn hóa mӝt cách thích hӧp, ta có thӇ làm ÿѫn mãn ÿLӅu kiӋn 1 2 ( , ,..., ) n giҧn các biӇu thӭc cӫa bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh, tұn dөng ÿѭӧc mӝt sӕ tính chҩt ÿһc biӋt cӫa các hҵng sӕ. Ví dө 3. (Bҩt ÿҷng thӭc vӅ trung bình lǊy thӯa) x xx x = . Vӟi mӛi sӕ thӵc r ta ÿһt Cho bӝ n sӕ thӵc dѭѫng 1 2 ( ) ( , ,..., ) n 1 1 2 ... ( )rr r r   + ++ xx x M xn n =     r Chӭng minh rҵng vӟi mӑi r s > > 0 ta có ( ) ( ). Mx Mx r s ≥ /ͥi gi̫i. Vì ( ) () M tx tM x r r = vӟi mӑi t > 0 nên ta chӍ cҫn chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿúng cho các sӕ thӵc dѭѫng 1 2 , ,..., n xx x thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn () 1 M x s = , tӭc là cҫn chӭng minh () 1 M x r ≥ vӟi mӑi1 2 , ,..., n xx x thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn () 1 M x s = . ĈLӅu này có thӇ viӃt ÿѫn giҧn lҥi là rr r ss s xx xn + ++ ≥ vӟi1 2 ... Chӭng minh 1 2 ... n xx xn + ++ = . n ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng, ta áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bernoulli r r r rs s s s s x x x x in = = + − ≥ + − ∀= ( ) (1 ( 1)) 1 .( 1) 1, ii i i s &ӝng các bҩt ÿҷng thӭc trên lҥi, ta ÿѭӧc ÿLӅu phҧi chӭng minh. 9 Ví dө 4. (VMO 2002) Chӭng minh rҵng vӟi xyz , , là các sӕ thӵc bҩt kǤ ta có bҩt ÿҷng thӭc 3 2 22 2 22 2 6( )( ) 27 10( ) x y z x y z xyz x y z ++ + + ≤ + + + /ͥi gi̫i. %ҩt ÿҷng thӭc này rҩt cӗng kӅnh. NӃu thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi trӵc tiӃp sӁ rҩt khó khăn (ví dө thӱ bình phѭѫng ÿӇ khӱ căn). Ta thӵc hiӋn phép chuҭn hóa ÿӇ ÿѫn giҧn hóa bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho. NӃu222 xyz ++= 0 , thì xyz === 0 , bҩt ÿҷng thӭc trӣ thành ÿҷng thӭc. NӃu222 xyz ++> 0 , do bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho là thuҫn nhҩt, ta có thӇ giҧ sӱ222 xyz ++= 9. Ta cҫn chӭng minh 2( ) 10 x y z xyz ++ ≤ + vӟi ÿLӅu kiӋn 222 xyz ++= 9. ĈӇ chӭng minh ÿLӅu này, ta chӍ cҫn chӭng minh 2 [2( ) ] 100 x y z xyz ++ − ≤ Không mҩt tính tәng quát, có thӇ giҧ sӱ xyz ≤ ≤ . Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxky, ta có ( ) 2 2 ++ − = + + − x y z xyz x y z xy [2 ] [2( ) (2 )] 22 2 ≤ + + +− [( ) ][4 (2 ) ] x y z xy =+ − + 2 2 (9 2 )(8 4 ) xy xy x y 22 33 =− + + xy x y x y 72 20 2 2 =++ − xy xy 100 ( 2) (2 7) 7ӯ 2 22 x y z z xy x y ≤ ≤ ⇒ ≥⇒ ≤ + ≤ 3 2 6, tӭc là 2 ( 2) (2 7) 0 xy xy + −≤ . Tӯ ÿây, NӃt hӧp vӟi ÿánh giá trên ÿây ta ÿѭӧc ÿLӅu cҫn chӭng minh. xy z  +  = 'ҩu bҵng xҧy ra khi và chӍ khi 2 2  −  + = xy . xy 2 0 7ӯ ÿây giҧi ra ÿѭӧc x yz =− = = 1, 2, 2. .ƭ thuұt chuҭn hóa cho phép chúng ta biӃn mӝt bҩt ÿҷng thӭc phӭc tҥp thành mӝt Eҩt ÿҷng thӭc có dҥng ÿѫn giҧn hѫn. ĈLӅu này giúp ta có thӇ áp dөng các biӃn ÿәi ÿҥi sӕ mӝt cách dӉ dàng hѫn, thay vì phҧi làm viӋc vӟi các biӇu thӭc cӗng kӅnh ban 10 ÿҫu. Ĉһc biӋt, sau khi chuҭn hóa xong, ta vүn có thӇ áp dөng phѭѫng pháp dӗn biӃn ÿӇ giҧi. Ta ÿѭa ra lӡi giҧi thӭ hai cho bài toán trên Ĉһt f x y z x y z xyz ( , , ) 2( ) = ++ − . Ta cҫn chӭng minh f xyz ( , , ) 10 ≤ vӟi222 xyz ++= 9. Xét   ++ −  − = + − − −     22 22 2 y z y z xy z f x f xyz y z y z ( ) , , ( , , ) 2 2( ) ( ) 2 2 22 2   2 2 x =− −   ( ) 2( ) 2 2 2 y z yz + ++   + NӃu xyz ,, 0 > , ta xét hai trѭӡng hӧp * 1≤≤≤ xyz. Khi ÿó y z 2 22 2( ) 2 3( ) 1 6 3 1 10 x y z xyz x y z + + − ≤ + + −= −< * 0 1 < ≤ x . Khi ÿó 22 2 2( ) 2 2 2( ) 2 2 2(9 ) ( ) x y z xyz x y z x x g x ++ − ≤ + + = + − = Ta có( ) 2 − − 29 2 x x / () 0 , suy ra gx g ( ) (1) 10 ≤ = . g x = > 9 − x 2 + NӃu trong 3 sӕ xyz , , có mӝt sӕ âm, không mҩt tính tәng quát, ta có thӇ giҧ sӱ là   + +   ≥ 22 22 yz yz f x f xyz x < 0 . Khi ÿó , , (, ,) 2 2   , nên ta chӍ cҫn chӭng minh   + +   ≤ 22 22 yz yz f x , , 10 2 2   2 (9 ) 2 2 2(9 ) 10 − ⇔+ − − ≤ x x 2 x x 2 3 2 ⇔ =−+ − ≤ ( ) 5 4 2(9 ) 20 hx x x x 4 2 () 3 5 x Ta có / 22 hx x = −− − 9 . x 11 Giҧi phѭѫng trình / h x() 0 = (vӟi x < 0 ), ta ÿѭӧc x = −1. Ĉây là ÿLӇm cӵc ÿҥi cӫa h, do ÿó hx h ( ) ( 1) 20 ≤−= . %ҵng cách chuҭn hóa, ta có thӇ ÿѭa mӝt bài toán bҩt ÿҷng thӭc vӅ bài toán tìm giá trӏ lӟn nhҩt hay nhӓ nhҩt cӫa mӝt hàm sӕ trên mӝt miӅn (chҷng hҥn trên hình cҫu 222 xyz ++= 9 nhѭ ӣ ví dө 4). ĈLӅu này cho phép chúng ta vұn dөng ÿѭӧc mӝt sӕ Nӻ thuұt tìm giá trӏ lӟn nhҩt, giá trӏ nhӓ nhҩt (ví dө nhѭ bҩt ÿҷng thӭc Jensen, hàm Oӗi,...). Ví dө 5. Cho abc , , là các sӕ thӵc dѭѫng. Chӭng minh rҵng 222 ( ) ( ) ( )3 bca cab abc +− +− +− ++≥ 2 22 22 2 () () () 5 a bc b ca c ab ++ ++ ++ /ͥi gi̫i. Ta chӍ cҫn chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc cho các sӕ dѭѫng abc , , thoҧ abc ++=1. Khi ÿó bҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi thành 222 −−− ++≥ abc (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 3 222 −+ −+ −+ aa bb cc 2 2 12 2 12 2 1 5 1 1 1 27 ⇔ ++≤ 222 2 2 12 2 12 2 1 5 −+ −+ −+ aa bb cc 27 ( ) ( ) ( ) (5.1) ⇔++≤ fa fb fc 5 Trong ÿó 21 f xx x ( )2 21 =− + ĈӇ ý rҵng27 1 3 f  =    , ta thҩy (5.1) có dҥng bҩt ÿҷng thӭc Jensen. Tuy nhiên, tính 5 3 ÿҥo hàm cҩp hai cӫa f x( ) , ta có 2 x x f xx x 4(6 6 1) ( )(2 2 1) // − + =− +2 3 12   − +   hàm chӍ lӗi trên khoҧng3 33 3 , 6 6   nên không thӇ áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Jensen mӝt cách trӵc tiӃp. Ta chӭng minh 27 () () ()5 fa fb fc ++≤ bҵng các nhұn xét bә sung sau 12 max f f   = =     2 f x( ) tăng trên 1       và giҧm trên 1,1 0,2    − +    = = 3 3 3 3 12 f f 6 67          2   − +   1Ӄu có ít nhҩt 2 trong 3 sӕ abc , , nҵm trong khoҧng3 33 3 , 6 6   a, b thì áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Jensen ta có ab c fa fb f fc 1 4 () () 2 2    + − +≤ = =       + 2 2 2 1 Nhѭ vұy trong trѭӡng hӧp này, ta chӍ cҫn chӭng minh 1 4 27 + ≤ 2 2 2 21 1 cc c 5 −+ + Quy ÿӗng mүu sӕ và rút gӑn ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng 4 32 c c cc − + − +≥ 27 27 18 7 1 0 2 2 ⇔ − −+ ≥ c cc (3 1) (3 1) 0 (ñuùng) , chҷng hҥn là Nhѭ vұy, ta chӍ còn cҫn xét trѭӡng hӧp có ít nhҩt hai sӕ nҵm ngoài khoҧng   − +   3 33 3 a+ . NӃu chҷng hҥn3 3 b c − ≥ thì rõ ràng 3 3 , ,6 6 6   6 ≤ và nhѭ vұy, do nhұn xét trên 36 27 () () ()7 5 fa fb fc + + ≤< . Ta chӍ còn duy nhҩt mӝt trѭӡng hӧp cҫn xét là có hai sӕ, chҷng hҥn3 3 a b − ,6 ≤ . 13 Lúc này, do 3 a b + ≤− nên 3 1 13 Theo các nhұn xét trên, ta có c ≥ > . 3 2   − + + + ≤ + =+ <   3 3 3 24 15 6 3 27 () () () 2 . fa fb fc f f 6 3 7 13 5   Ghi chú. Bài toán trên có mӝt cách giҧi ngҳn gӑn và ÿӝc ÿáo hѫn nhѭ sau %ҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi thành ab c bc a ca b () () () 6 ++ + ++≤ 2 22 22 2 a bc b ca c ab ++ ++ ++ () () () 5 Không mҩt tính tәng quát, có thӇ giҧ sӱ abc ++=1. Khi ÿó, bҩt ÿҷng thӭc viӃt lҥi thành aa bb cc (1 ) (1 ) (1 ) 6 −−− ++≤ 222 2 2 12 2 12 2 1 5 aa bb cc −+ −+ −+ 2 ( 1) 2 (1 )4 a a+ a 2 2( 1) (1 )(3 ) 12 2 14 4 a a+ −+ − + ≥− = . Tӯ ÿó Ta có − ≤ . Do ÿó aa aa a (1 ) (1 ) 4 − − ≤ = 2 21 (1 )(3 ) 3 a a a a a a aa 2 7ѭѫng tӵ − + − + + 4 bb b (1 ) 4 2 −≤ 2 21 3 b b b − + + cc c (1 ) 4. 2 −≤ 2 21 3 c c c − + + Và ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿҫu bài, ta chӍ cҫn chӭng minh 4 4 46 abc ++≤ 3335 +++ abc %ҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng này tѭѫng ÿѭѫng vӟi1 1 19 ++≥ +++ là hiӇn 3 3 3 10 abc nhiên (Áp dөng BĈT AM-GM). 14 Chuҭn hóa là mӝt kӻ thuұt cѫ bҧn. Tuy nhiên, kӻ thuұt ÿó cǊng ÿòi hӓi nhӳng kinh nghiӋm và ÿӝ tinh tӃ nhҩt ÿӏnh. Trong ví dө trên, tҥi sao ta lҥi chuҭn hóa 222 xyz ++= 9 mà không phҧi là 222 xyz ++=1 (tӵ nhiên hѫn)? Và ta có ÿҥt ÿѭӧc nhӳng hiӋu quҧ mong muӕn không nӃu nhѭ chuҭn hóa xyz ++=1? Ĉó là nhӳng vҩn ÿӅ mà chúng ta phҧi suy nghƭ trѭӟc khi thӵc hiӋn bѭӟc chuҭn hóa. 3.3. Phѭѫng pháp trӑng sӕ. %ҩt ÿҷng thӭc AM-GM và bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki là nhӳng bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Vì thӃ, chúng rҩt hӳu hiӋu trong viӋc chӭng minh các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Tuy nhiên, do ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng cӫa các bҩt ÿҷng thӭc này rҩt nghiêm ngһt nên viӋc áp dөng mӝt cách trӵc tiӃp và máy móc ÿôi khi khó ÿem lҥi NӃt quҧ. ĈӇ áp dөng tӕt các bҩt ÿҷng thӭc này, chúng ta phҧi nghiên cӭu kӻ ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng và áp dөng phѭѫng pháp trӑng sӕ. Ví dө 6. Chӭng minh rҵng nӃu xyz , , là các sӕ thӵc không âm thì 3 222 2 22 2 6( )( ) 27 10( ) −+ + + + + ≤ + + x y z x y z xyz x y z /ͥi gi̫i. 6ӱ dөng nguyên lý cѫ bҧn«Gҩu bҵng xҧy ra khi mӝt cһp biӃn sӕ nào ÿó bҵng nhau», ta có thӇ tìm ta ÿѭӧc dҩu bҵng cӫa bҩt ÿҷng thӭc trên xҧy ra khi yz x = = 2 . ĈLӅu này cho phép chúng ta mҥnh dҥn ÿánh giá nhѭ sau 3 2 22 222 2 10( ) 6( )( ) + + − −+ + + + = x y z x y zx y z 1   2 22 2 22 2 ( ) 10( ) 6( ) = + + + + − −+ +   x y z x y z xyz   1 1   10 ( ) .( ) (1 2 2 ) 6( ) 2 22 2 22 222 2 2 = + + + + + + − −+ +   x y z x y z xyz 3   10 ( ) .( 2 2 ) 6( )   ≥ + + + + − −+ +     2 22 x y z x y z xyz 3 2 22 ++ ++ xyz xyz ( )(28 2 2 ) (6 = .1)3 15 Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, ta có 4 4 2 2 2 2 2 88        y z y z xyz 222 2 2 9 98 449 9 ++=+ + ≥ =               xyzx x 4 4 44 4 9 9 7 87 28 2 2 7.4 2 2 9 (4 ) (2 )(2 ) 9 4 ++= ++≥ = x y z x y z x y z x yz Nhân hai bҩt ÿҷng thӭc trên vӃ theo vӃ, ta ÿѭӧc 2 88 xyz 2 2 2 87 9 9 ( )(28 2 2 ) 9 .9 4 81 (6.2) x y z x y z x yz xyz ++ ++ ≥ = 4 8 7ӯ (6.1) và (6.2) ta suy ra bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh. Trong ví dө trên, chúng ta ÿã sӱ dөng cҧ bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki và bҩt ÿҷng thӭc AM-GM có trӑng sӕ. Lӡi giҧi rҩt hiӋu quҧ và ҩn tѭӧng. Tuy nhiên, sӵ thành công cӫa lӡi giҧi trên nҵm ӣ hai dòng ngҳn ngӫi ӣ ÿҫu. Không có ÿѭӧc«Gӵ ÿoán» ÿó, khó có thӇ thu ÿѭӧc kӃt quҧ mong muӕn. Dѭӟi ÿây ta sӁ xét mӝt ví dө vӅ viӋc chӑn các trӑng sӕ thích hӧp bҵng phѭѫng pháp hӋ sӕ bҩt ÿӏnh ÿӇ các ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng ÿѭӧc thoҧ mãn. Ví dө 7. Chӭng minh rҵng nӅu 0 ≤ ≤x y thì ta có bҩt ÿҷng thӭc 1 1 22 22 2 2 2 13 ( ) 9 ( ) 16 xy x xy x y −+ +≤ /ͥi gi̫i. Ta sӁ áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho các tích ӣ vӃ trái. Tuy nhiên, nӃu áp dөng Pӝt cách trӵc tiӃp thì ta ÿѭӧc 2 22 222 13( ) 9( ) 2 2 9 11 (7.1) xyx xyx VT x y +− ++ ≤ + =+ 2 2 Ĉây không phҧi là ÿLӅu mà ta cҫn (Tӯ ÿây chӍ có thӇ suy ra 2 VT y ≤ 20 ). Sӣ dƭ ta không thu ÿѭӧc ÿánh giá cҫn thiӃt là vì dҩu bҵng không thӇ ÿӗng thӡi xҧy ra ӣ hai Oҫn áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. ĈӇ ÿLӅu chӍnh, ta ÿѭa vào các hӋ sӕ dѭѫng a b, nhѭ sau 16 1 1 22 22 2 2 13( )( ) 9( )( ) ax y x by y x VTa b − + = + 22 2 2 22 2 2 13( ) 9( ) (7.2) +− ++ ≤ + ax y x bx y x 2 2 a b Ĉánh giá trên ÿúng vӟi mӑi a b, 0 > (chҷng hҥn vӟi a b = =1 ta ÿѭӧc (7.1)) và ta sӁ phҧi chӑn a b, sao cho a) VӃ phҧi không phө thuӝc vào x b) Dҩu bҵng có thӇ ÿӗng thӡi xҧy ra ӣ hai bҩt ÿҷng thӭc Yêu cҫu này tѭѫng ÿѭѫng vӟi hӋ 2 2  − +  + = 13( 1) 9( 1) 0 a b a b 2 2  = − ∃  22 2 2 ax y x x ybx y x , :   = +  22 2 2 2 2  − +  + =  += −. a b 7ӭc là có hӋ 13( 1) 9( 1) 0 a b 2 2 2 2 a b 1 1 Giҧi hӋ ra, ta ÿѭӧc =  = a 1 2 . Thay hai giá trӏ này vào (7.2) ta ÿѭӧc 3  b 2 2 2    22 22 2 9 x x VT y x y x y ≤ +− + ++ =       13 3 16 4 4 Ghi chú. Trong ví dө trên, thӵc chҩt ta ÿã cӕ ÿӏnh y và tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa vӃ trái khi x thay ÿәi trong ÿRҥn [0, ] y . 4. Bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng. Khi gһp các bҩt ÿҷng thӭc dҥng ÿa thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng, ngoài các phѭѫng pháp trên, ta còn có thӇ sӱ dөng phѭѫng pháp khai triӇn trӵc tiӃp và dөng ÿӏnh lý vӅ nhóm các sӕ hҥng. Phѭѫng pháp này cӗng kӅnh, không thұt ÿҽp nhѭng ÿôi lúc tӓ ra 17 khá hiӋu quҧ. Khi sӱ dөng bҵng phѭѫng pháp này, chúng ta thѭӡng dùng các ký hiӋu quy ѭӟc sau ÿӇ ÿѫn giҧn hóa cách viӃt ∑ ∑= Qx x x Qx x x σσ σ 1 2 (1) (2) ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n sym σ trong ÿó, σ chҥy qua tҩt cҧ các hoán vӏ cӫa {1,2,..., }n . Ví dө vӟi n = 3 và ba biӃn sӕ xyz , , thì ∑xxyz =++ 3 3 33 222 sym ∑ sym ∑ 2 2 2222 2 xy xy yz zx xz zy yx = +++++ xyz xyz sym = 6 Ĉӕi vӟi các biӇu thӭc không hoàn toàn ÿӕi xӭng, ta có thӇ sӱ dөng ký hiӋu hoán vӏ vòng quanh nhѭ sau ∑xy xy yz zx =+ + 22 22 cyc Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên tính so sánh ÿѭӧc cӫa mӝt sӕ tәng ÿӕi [ӭng cùng bұc - ÿӏnh lý vӅ nhóm các sӕ hҥng (hӋ quҧ cӫa bҩt ÿҷng thӭc Karamata) mà chúng ta sӁ phát biӇu và chӭng minh dѭӟi ÿây. Trong trѭӡng hӧp 3 biӃn, ta còn có ÿҷng thӭc Schur. 1Ӄu 1 2 ( , ,..., ) n t tt t = là hai dãy sӕ không tăng. Ta nói rҵng s là s ss s = và 1 2 ( , ,..., ) n  + ++ =+++  + + + ≥ + + + ∀=. ss s tt t ... ... trӝi cӫa t nӃu1 2 12 n n ss stt t i n ... ... 1, 1 2 12 i i Ĉӏnh lý Muirhead. («Nhóm») 1Ӄu s và t là các dãy sӕ thӵc không âm sao cho s là trӝi cӫa t thì ∑ ∑ xx x xx x ≥ n n ss tt s t 1 2 12 ... ... 1 2 12 n n sym sym Chͱng minh. 18 Ĉҫu tiên ta chӭng minh rҵng nӃu s là trӝi cӫa t thì tӗn tҥi các hҵng sӕ không âm kσ, vӟi σ chҥy qua tұp hӧp tҩt cҧ các hoán vӏ cӫa {1,2,..., }n , có tәng bҵng 1 sao cho ∑ = (1) (2) ( ) 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n k s s s tt t σσ σ σ σ Sau ÿó, áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM nhѭ sau ∑∑ ∑ = ≥ n nn ss s s s s tt t (1) (2) ( ) ( (1)) ( (2)) ( ( )) (1) (2) ( ) n nn x x x kx x x x x x σ σ σ στ στ στ σ σ σ ... ... ... 12 1 2 12 τ , σ στ σ Ví dө, vӟi s = (5,2,1) và t = (3,3,2), ta có 3 31 1 (3,3,2) .(5,2,1) . .(2,1,5) .(1,2,5) = ++ + 8 88 8 Và ta có ÿánh giá 5 2 25 2 5 25 3 3 3 32 x y z x y z x yz xy zxyz + ++ ≥ 8 &ӝng bҩt ÿҷng thӭc trên và các bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng tӵ, ta thu ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc ∑ ∑ xyz xyz ≥ 5 2 332 sym sym Ví dө 8. Chӭng minh rҵng vӟi mӑi sӕ thӵc dѭѫng abc , , ta có 1 1 11 ++≤ 33 33 33 a b abc b c abc c a abc abc ++ ++ ++ /ͥi gi̫i. Quy ÿӗng mүu sӕ và nhân hai vӃ cho 2, ta có ∑ 33 33 ( )( ) a b abc b c abc abc ++ ++ ≤ sym 33 33 33 ≤ ++ ++ ++ 2( )( )( ) a b abc b c abc c a abc ∑ 7 44 522 333 ⇔ ++ + ≤ (3 4 ) a bc a b c a b c a b c sym ∑ 333 63 44 5 22 7 ≤ ++ + + ( 23 2 ) a b c a b a b c b c a bc sym ∑ 63 522 ⇔ −≥ (2 2 ) 0 ab abc sym %ҩt ÿҷng thӭc này ÿúng theo ÿӏnh lý nhóm. 19 Trong ví dө trên, chúng ta ÿã gһp may vì sau khi thӵc hiӋn các phép biӃn ÿәi ÿҥi sӕ, ta thu ÿѭӧc mӝt bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿӕi ÿѫn giҧn, có thӇ áp dөng trӵc tiӃp ÿӏnh lý nhóm. Tuy nhiên, không phҧi trѭӡng hӧp nào ÿӏnh lý này cǊng ÿӫ ÿӇ giҧi quyӃt vҩn ÿӅ. Trong trѭӡng hӧp 3 biӃn sӕ, ta có mӝt kӃt quҧ rҩt ÿҽp khác là ÿӏnh lý Schur. Ĉӏnh lý. (Schur) Cho xyz , , là các sӕ thӵc không âm. Khi ÿó vӟi mӑi r > 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 rrr xx yx z y y zy x zz xz y − −+ − −+ − −≥ 'ҩu bҵng xҧy ra khi và chӍ khi xyz = = hay khi hai trong ba sӕ xyz , , bҵng nhau còn sӕ thӭ ba bҵng 0. Chͱng minh. Vì bҩt ÿҷng thӭc hoàn toàn ÿӕi xӭng ÿӕi vӟi ba biӃn sӕ, không mҩt tính tәng quát, ta có thӇ giҧ sӱ xyz ≥ ≥ . Khi ÿó bҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi dѭӟi dҥng ( )( ( ) ( )) ( )( ) 0 rr r x yxx z y y z zx zy z − −− − + − −≥ và mӛi mӝt thӯa sӕ ӣ vӃ trái ÿӇu hiӇn nhiên không âm. Trѭӡng hӧp hay ÿѭӧc sӱ dөng nhҩt cӫa bҩt ÿҷng thӭc Schur là khir =1. Bҩt ÿҷng thӭc này có thӇ viӃt lҥi dѭӟi dҥng ∑ x x y xyz − +≥ 2 2 ( 2 )0 sym Ĉây chính là bҩt ÿҷng thӭc ӣ ví dө 1. Ví dө 9. Cho abc , , là các sӕ dѭѫng. Chӭng minh rҵng   1 1 19 ( )( )( )( ) 4 ++ + + ≥     +++ ab bc caab bc ca 222 /ͥi gi̫i. Quy ÿӗng mүu sӕ, khai triӇn và rút gӑn, ta ÿѭӧc ∑ a b a b a b a bc a b c a b c −− +− + ≥ 5 42 33 4 32 222 (4 3 2 ) 0 (9.1) sym Dùng bҩt ÿҷng thӭc Schur xx y x z yy z y x zz x z y ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 − −+ − −+ − −≥ 20 Nhân hai vӃ vӟi 2xyz rӗi cӝng lҥi, ta ÿѭӧc ∑ a bc a b c a b c −+ ≥ 4 32 222 ( 2 ) 0 (9.2) sym Ngoài ra, áp dөng ÿӏnh lý nhóm (hay nói cách khác − bҩt ÿҷng thӭc AM-GM có trӑng sӕ) ta có ∑ ab ab ab −− ≥ 5 42 33 (4 3 ) 0 (9.3) sym 7ӯ (9.2), (9.3) suy ra (9.1) và ÿó chính là ÿLӅu phҧi chӭng minh. Nói ÿӃn bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng, không thӇ không nói ÿӃn các hàm sӕ n == = ∑ ∑ . S x S xx S xx x , ,..., ... ÿӕi xӭng cѫ bҧn. Ĉó là các biӇu thӭc 1 2 12 i ij n n 1 1 i i jn = ≤< ≤ 9ӟi các bҩt ÿҷng thӭc liên quan ÿӃn các hàm ÿӕi xӭng này, có mӝt thӫ thuұt rҩt hӳu hiӋu ÿѭӧc gӑi là «thӫ thuұt giҧm biӃn sӕ bҵng ÿӏnh lý Rolle». Chúng ta trình bày ý Wѭӣng cӫa thӫ thuұt này thông qua ví dө sau Ví dө 10. Cho abcd ,,, là các sӕ thӵc dѭѫng. Chӭng minh rҵng 1 1    ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd ++ ++ + + + + ≥       2 3 6 4 /ͥi gi̫i. Ĉһt2 3 S ab ac ad bc bd cd S abc abd acd bcd = ++ ++ + = + + + , . Xét ÿa thӭc 4 32 2 3 P x x a x b x c x d x a b c d x S x S x abcd ( ) ( )( )( )( ) ( ) = − − − − = − +++ + − + P x( ) có 4 nghiӋm thӵc abcd ,,, (nӃu có các nghiӋm trùng nhau thì ÿó là nghiӋm Eӝi). Theo ÿӏnh lý Rolle, / P x( ) cǊng có 3 nghiӋm (ÿӅu dѭѫng) uvw , , . Do / P x( ) có hӋ sӕ cao nhҩt bҵng 4 nên / 32 P x x u x v x w x u v w x uv vw wu x uvw ( ) 4( )( )( ) 4 4( ) 4( ) 4 = − − − = − ++ + + + − 0һt khác /3 2 2 3 P x x a b c dx Sx S ( ) 4 3( ) = − +++ + − 21 suy ra 2 3 S uv vw wu S uvw = ++ = 2( ), 4 và bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh ӣ ÿҫu bài có thӇ viӃt lҥi theo ngôn ngӳ uvw , , là 11   + + ≥     uv vw wuuvw 23 3 ( ) %ҩt ÿҷng thӭc này hiӇn nhiên ÿúng theo bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. 5. Thuҫn nhҩt hóa bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt. Trong các phҫn trên, chúng ta ÿã trình bày các phѭѫng pháp cѫ bҧn ÿӇ chӭng minh Pӝt bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Ĉó không phҧi là tҩt cҧ các phѭѫng pháp (và dƭ nhiên không bao giӡ có thӇ tìm ÿѭӧc tҩt cҧ!), tuy vұy có thӇ giúp chúng ta ÿӏnh hѭӟng tӕt khi gһp các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Nhѭng nӃu gһp bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt thì sao nhӍ? Có thӇ bҷng cách nào ÿó ÿӇ ÿѭa các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt vӅ các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt và áp dөng các phѭѫng pháp nói trên ÿѭӧc không? Câu trҧ lӡi là có. Trong hҫu hӃt các trѭӡng hӧp, các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt có thӇ ÿѭa vӅ bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt bҵng mӝt quá trình mà ta gӑi là thuҫn nhҩt hóa. Chúng ta không thӇ “chӭng minh” mӝt “ÿӏnh lý” ÿѭӧc phát biӇu kiӇu nhѭ thӃ, nhѭng có hai lý do ÿӇ tin vào nó: thӭ nhҩt, thӵc ra chӍ có các ÿҥi Oѭӧng cùng bұc mӟi có thӇ so sánh ÿѭӧc, còn các ÿҥi lѭӧng khác bұc chӍ so sánh ÿѭӧc trong các ràng buӝc nào ÿó. Thӭ hai, nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt ÿã ÿѭӧc “tҥo ra” bҵng cách chuҭn hóa hoһc thay các biӃn sӕ bҵng các hҵng sӕ. ChӍ cҫn chúng ta ÿi ngѭӧc lҥi quá trình trên là sӁ tìm ÿѭӧc nguyên dҥng ban ÿҫu. 0ӝt ví dө rҩt ÿѫn giҧn cho lý luұn nêu trên là tӯ bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt 333 2 2 2 x y z xy yz zx ++≥ + + , bҵng cách cho z =1, ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt 33 2 2 x y xy y x + +≥ + + 1 Ví dө 11. (England 1999) Cho pqr , , là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ ÿLӅu kiӋn pqr ++=1. Chӭng minh 7( ) 2 9 p q r pqr ++ ≤+ 22 Ví dө 12. (IMO 2000) Cho abc , , là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn abc =1. Chӭng minh 111 abc 1 1 11         −+ −+ −+ ≤     bca +˱ͣng d̳n. xyz abc Ĉһt , , === ! yzx Ví dө 13. (IMO, 1983) Chӭng minh rҵng nӃu abc , , là ba cҥnh cӫa mӝt tam giác thì 2 22 aba b bcb c cac a ( ) ( ) ( )0 −+ −+ − ≥ +˱ͣng d̳n. Ĉһt a y zb z xc x y =+ =+ =+ , , ! 23 Bài tұp Bài 1. Cho xyz ,, 0 > . Chӭng minh rҵng 3 3333 3 2 22 x y z x z y x y z yz zx xy +++++≥+++++ 3333 33 2 22 yzxzyx xyz yz zx xy Bài 2. Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc sau vӟi mӑi sӕ thӵc dѭѫng xyz , , 9 2 xyz ≥++≥ 4( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x y z x yx z y zy x z xz y x y z ++ + + + + + + ++ Bài 3. Cho xyz , , là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn 2472 x y z xyz ++= . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Pxyz =++ Bài 4. Cho abc , , là các sӕ thӵc dѭѫng thoҧ222 a b c abc +++ = 4. Chӭng minh rҵng abc ++≤ 3 Bài 5. (IMO 1984) Cho xyz , , là các sӕ thӵc không âm thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn xyz ++=1. Chӭng minh Uҵng 7 0 227 ≤++− ≤ xy yz zx xyz Bài 6. (Iran, 1996) Cho abc ,, 0 > . Chӭng minh rҵng   1 1 19 ( )( )( )( ) 4 ab bc caab bc ca ++ + + ≥     +++ 222 24 Bài 7. (VMO 1996) Cho abcd ,,, là các sӕ thӵc không âm thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn 2( ) 16 ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd ++ ++ + + + + + = Chӭng minh rҵng 3( ) 2( ) a b c d ab ac ad bc bd cd +++ ≥ + + + + + Bài 8. (Poland 1996) Cho abc , , là các sӕ thӵc thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn abc ++=1. Chӭng minh rҵng abc ++≤ 222 9 111 10 abc +++ Bài 9. (Poland 1991) Cho xyz , , là các sӕ thӵc thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn222 xyz ++= 2 . Chӭng minh rҵng x y z xyz ++≤+2 Bài 10. (IMO 2001) Cho abc ,, 0 > . Chӭng minh rҵng abc 2221 ++≥ a bc b ca c ab +++ 888 25 PHѬѪNG PHÁP DӖN BIӂN I. Mӣ ÿҫu. Ĉһc ÿLӇm chung cӫa nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ là dҩu Eҵng xҧy ra khi tҩt cҧ hoһc mӝt vài biӃn sӕ bҵng nhau. Có mӝt phѭѫng pháp ÿánh giá trung gian cho phép ta giҧm biӃn sӕ cӫa bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh. Phѭѫng pháp dӗn biӃn dӵa vào ÿһc ÿLӇm này ÿӇ làm giҧm sӕ biӃn sӕ cӫa bҩt ÿҷng thӭc, ÿѭa Eҩt ÿҷng thӭc vӅ dҥng ÿѫn giҧn hѫn có thӇ chӭng minh trӵc tiӃp bҵng cách khҧo sát hàm mӝt biӃn. ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc dҥng 1 2 ( , ,..., ) 0, n fxx x ≥ ta chӭng minh 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n f x x x f tt x ≥ Trong ÿó t là lѭӧng trung bình cӫa 1 2 x x, ,... chҷng hҥn nhѭ trung bình nhân hoһc trung bình cӝng. NӃu ÿѭӧc nhѭ vұy thì tiӃp tөc sang bѭӟc thӭ hai cӫa phép chӭng minh là chӍ ra rҵng f tt x ≥ ( , ,..., ) 0 n 7ҩt nhiên, bҩt ÿҷng thӭc này ÿã giҧm sӕ biӃn sӕ ÿi mӝt và thѭӡng là dӉ chӭng minh Kѫn bҩt ÿҷng thӭc ban ÿҫu. ViӋc lӵa chӑn lѭӧng trung bình nào ÿӇ dӗn biӃn tùy thuӝc vào ÿһc thù cӫa bài toán, và ÿôi khi lѭӧng t khá ÿһc biӋt. Thѭӡng thì, bѭӟc thӭ nhҩt trong 2 bѭӟc chính ӣ trên là khó hѫn cҧ vì thӵc chҩt ta Yүn phҧi làm viӋc vӟi các ѭӟc lѭӧng có ít nhҩt là ba biӃn sӕ. Sau ÿây là mӝt vài Gҥng dӗn biӃn thѭӡng gһp. II. Phѭѫng pháp dӗn biӃn trong ÿҥi sӕ. 1. Dӗn biӃn ba biӃn sӕ. Ĉây là phҫn ÿѫn giҧn nhҩt cӫa phѭѫng pháp dӗn biӃn. Và ngѭӧc lҥi cǊng có thӇ nói phѭѫng pháp dӗn biӃn hiӋu quҧ nhҩt trong trѭӡng hӧp này. 26 Ví dө 1.1. Cho abc ,, 0 ≥ thӓa mãn 222 abc ++= 3 . Chӭng minh rҵng 22 22 2 2 a b c ab bc ca ++≥ + + /ͥi gi̫i. Ĉһt22 22 22 f abc a b c ab bc ca (,,) = ++− − − Giҧ sӱ a abc = min{ , , } thì dӉ thҩy2 2 a b c bc ≤ + ≥⇒+≥ 1, 2 2 Xét hiӋu     ++ + 22 22 2 () 1 (,,) , , ( ) b c b c bc f abc f a b cbc b c 2 − =− −     22 4 2( ) 2 2 ++ +     2 1 () 0   ≥− − ≥     + 2 b c Do ÿó   + + ≥   22 22 bc bc f abc f a (,,) , , 2 2   4 2 2 2 22 + b c a b c ab c ( ) 2( ) ( )4 2 2 22 2 =+ + − + − − a 2 2 (3 ) 2(3 ) (3 )4 22 2 =+ − − − − a aa a   + a 2 3( 1) 3 ( 1)4 2(3 ) 3 2 =− −   a 2 a a − +−   3 3 ( 1) 0   ≥− − =     2 a f abc ⇒ ≥ (,,) 0 4 4 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc ===1. Ví dө 1.2. Cho abc ,, 0 ≥ thӓa mãn abc ++= 3. Chӭng minh rҵng 2 22 f abc a a b b c c ( , , ) ( 1)( 1)( 1) 27 = ++ ++ ++ ≤ /ͥi gi̫i. Giҧ sӱ a bc a b c ≤ ⇒ ≤ +≥ , 1, 2. Xét hiӋu 27   + + b cb c f abc f a − =     (,,) , , 2 2 2 22 ++ − − + − + − = ≤ a a b c b c b c bc ( 1)( ) (4 ( ) ( ) 4 ) 0 16   + + ⇒ ≤     b cb c f abc f a (,,) , , 2 2 2 2     + + bc bc 2 = ++ + +         ( 1) 1 a a 2 2 2 2 − − −+− − a aa a a a ( 1) ( ( 1)( 12 48) 37 71) 27 = + 16 ≤ f abc 27 ( , , ) 27 ⇒ ≤ Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc ===1. Ví dө 1.3. Cho abc , , ∈R . Chӭng minh rҵng 222 f a b c a b c ab bc ca (,,) 0 = ++−−−≥ /ͥi gi̫i. Xét hiӋu b cb c f abc f a b c   + + − = −≥     3 2 ( , , ) , , .( ) 0 22 4 2 2      ++ + + ⇒ ≥ = − ++ = − ≥           b cb c b c b c f abc f a a ab c a 2 (,,) , , ( ) 0 22 2 2 f abc (,,) 0 ⇒ ≥ Nhұn xét. Chҳc ai cǊng cҧm thҩy ÿây là mӝt bҩt ÿҷng thӭc quá dӉ, quá cѫ bҧn và tôi nghƭ chҳc FǊng có ngѭӡi không hiӇu nәi tҥi sao tôi lҥi ÿѭa ví dө này vào. Nhѭng hãy chú ý Uҵng nhӳng cái hay trong nhӳng bài toán ÿѫn giҧn không phҧi là không có và bây giӡ tôi sӁ trình bày ý tѭӣng mà tôi cҧm thҩy thích thú nhҩt trong bài này mà mình phát hiӋn ÿѭӧc (có thӇ không chӍ mình tôi). Vì f abc (,,) là hàm ÿӕi xӭng vӟi các biӃn abc , , nên theo trên, ta có 28 b cb c f abc f a   + + ≥     ( ) ,, , , 2 2 bc bc f a   + + , , =     2 2 2 2   + ++ ++ ≥     bc abc abc f , , 24 4 ... ... = ≥ Và ý tѭӣng dãy sӕ bҳt ÿҫu xuҩt hiӋn. Xét các dãy sӕ ( ),( ),( ) nnn abc ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi === , , a ab bc c 000 + b c a ab c n 2 2 n n = = = ∀∈ , , N 21 2 21 21 n nn n + ++ 2 + a c a bb c n 21 21 n n + + , , = = = ∀∈ N 22 21 22 22 n nn n + ++ + 2 'Ӊ thҩy Và abc abc t + + lim lim lim3 === = nnn nnn →+∞ →+∞ →+∞ ( , , ) ( , , ), nnn f abc f a b c n ≥ ∀∈N Do hàm f abc (,,) liên tөc nên ( , , ) ( lim , lim , lim ) ( , , ) 0 ≥ == f abc f a b c f ttt nnn nnn →+∞ →+∞ →+∞ f abc ⇒ ≥ (,,) 0 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc = = . Cách là trên là mӝt ý tѭӣng có thӇ nói là khá ÿӝc ÿáo và là cѫ sӣ hình thành nên cách thӭc dӗn biӃn bӕn biӃn sӕ mà chúng ta sӁ xét ngay bây giӡ. 2. Dӗn biӃn bӕn biӃn sӕ. Khác vӟi ba biӃn sӕ dӗn biӃn bӕn biӃn sӕ khó khăn và phӭc tҥp hѫn nhiӅu. Trong trѭӡng hӧp này kiӇu dӗn biӃn thông thѭӡng mà chúng ta vүn làm vӟi ba biӃn vô tác Gөng. Và ví dө 1.3 chính là tiӅn ÿӅ ÿӇ xây dӵng nên ÿѭӡng lӕi tәng quát ÿӇ giҧi quyӃt các bài bҩt ÿҷng thӭc có thӇ giҧi bҵng dӗn biӃn kӃt hӧp dãy sӕ. 29 Ví dө 2.1. (Dӵ tuyӇn IMO 1993) Cho abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn abcd +++ =1. Chӭng minh rҵng 1 176. abc abd acd bcd abcd + + + ≤+ 27 27 /ͥi gi̫i. Ĉһt 176 (,,, ) . f a b c d abc abd acd bcd abcd =+++− 27 176 () .   = + + +−     bc a d ad b c bc 27 176 () .   = + + +−     ad b c bc a d ad 27 Vӟi mӑi bӝ bӕn sӕ (,,, ) abcd thӓa mãn abcd +++ =1, nӃu tӗn tҥi hai sӕ trong Eӕn sӕ này, chҷng hҥn b c, thӓa mãn 176 . 0 b c bc +− ≤ thì 27 176 (,,, ) ( ) .   f a b c d bc a d ad b c bc = + + +−     27 ≤ + bc a d ( ) 3   +++ ≤     bcad 3 = 1 27 Do ÿó, không mҩt tính tәng quát có thӇ giҧ sӱ vӟi mӑi bӝ bӕn sӕ (,,, ) abcd thӓa mãn abcd +++ =1 thì hai sӕ bҩt kǤ trong bӝ bӕn sӕ này, chҷng hҥn a d, , ÿӅu thӓa mãn 176 . 0 a d ad +− ≥ 27 Khi ÿó, ta có 176 (,,, ) ( ) .   = + + +−     f a b c d ad b c bc a d ad 27 2    + 176 () . b c ad b c a d ad ≤ + + +−       2 27 30 b cb c fa d   + + =     ,,, 2 2 Xét các dãy ( ),( ),( ) nn n bcd ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi b bc cd d , , === 00 0 b c b dc d n + n n 2 2 = = = ∀∈ N , , + ++ n nn n 21 2 21 21 2 b c b cc d n + + + n n 21 21 , , = = = ∀∈ N + ++ + n nn n 2 2 21 22 22 2 ab c d n  + + + = ∀∈  − nn n 1 N Khi ÿó, dӉ thҩy a 1 ===  bcd lim lim lim3 nn n nnn →+∞ →+∞ →+∞ 7ӯ cách ÿһt, ta có ( , , , ) ( , , , ), nn n f abcd f ab c d n ≤ ∀∈N Do f liên tөc nên ( , , , ) ( , lim , lim , lim ) ≤ f abcd f a b c d nn n nnn →+∞ →+∞ →+∞   −−− 111 aaa f a =     ,,, 333 23 3 1 1 176 1 3 . aa a      −− − = +−           a a 3 3 27 3 2 (4 1) (11 14) 1 aa a − − = + 729 27 ≤ ⇒ ÿpcm. 1 27 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1111 111 ( , , , ) , , , , , , ,0 abcd    =      . 4444 333 Ngoài cách trên ta có thӇ làm ÿѫn giҧn nhѭ sau ad ad f abcd f bc   + + ≤     vӟi mӑi abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn Ta có thӇ giҧ sӱ (,,, ) ,,, 2 2 ÿLӅu kiӋn abcd +++ =1 (vì trong trѭӡng hӧp ngѭӧc lҥi bài toán ÿѭӧc giҧi quyӃt). Vì tính ÿӕi xӭng cӫa hàm f abcd (,,, ) ta có 31    + + + +++ ≤ ≤       a d a d a db cb ca d f abcd f bc f (,,, ) ,,, , , , 2 2 2222   + + ≤     a db c f 1 1 , ,, 2 2 44 1111 1   ≤ =     f ,,, 4 4 4 4 27 Cách làm trên khá hay nhѭng chӍ có thӇ áp dөng ÿѭӧc vӟi mӝt sӕ ít bài toán dҥng này. Ví dө 2.2. Cho abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn abcd +++ =1. Chӭng minh rҵng 444 4 148 1 (,,, )27 27 f a b c d a b c d abcd = +++ + ≥ /ͥi gi̫i. Xét hiӋu a ba b D f a b c d f c d a b a b ab cd    + + 2 2 7 37 ( , , , ) , , , ( ) .( ) 3 . = − =− − + −       2 2 8 27 a ba b ab cd D f a b c d f c d   + + ≥ ⇒ ≥⇒ ≥     7ӯ ÿó, nӃu có 0 (,,, ) , ,, 2 2 Giҧ sӱ abcd ≥≥≥ . Xét các dãy sӕ ( ),( ),( ) nnn abc ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi a ab bc c , , === 000 a c abbc n + 21 21 * n n − − = = = ∀∈ ,2 N 2 21 2 2 n nn n − a b a b c cn + 2 2 n n , = = = ∀∈ N ++ + 21 21 21 2 nn nn 2  + + + = ∀∈  ≥ ∀∈ abcd n nnn 1 N 'Ӊ thҩy ab cd n nn n N  ++ −  === =  abc d abc 1 lim lim lim3 3 nnn nnn →+∞ →+∞ →+∞ Và 32 (,,, ) ( , , , ) nnn f abcd f a b c d n ≥ ∀∈N Do f liên tөc nên f abcd f a b c d ( , , , ) ( lim , lim , lim , ) ≤ nnn n nn →+∞ →+∞ →+∞ ddd f d   −−− 111 ,,, =     333 4 3   − − 1 148 1 33 27 3 d d d d 4 = ++     2 dd d (4 1) (19 20) 1 − + = + 729 27 ≥ ⇒ ÿpcm. 1 27 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1111 111 ( , , , ) , , , , , , ,0 abcd    =      . 4444 333 Ví dө 2.3. Cho abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn abcd +++ = 4. Chӭng minh rҵng 16 2 3( ) + ≥ ++ ++ + abcd ab ac ad bc bd cd /ͥi gi̫i. Ta có 16 2 3( ) + ≥ ++ ++ + abcd ab ac ad bc bd cd 222 2 ⇔ +++ + ≥ 3( ) 4 16 a b c d abcd Ĉһt222 2 f a b c d a b c d abcd ( , , , ) 3( ) 4 = +++ + Xét hiӋu c dc d D f a b c d f a b c d ab    + + 2 3 = − =− −       (,,, ) ,, , ( ) 22 2 c dc d ab D f a b c d f a b   + + ≥ ⇒ ≥⇒ ≥     7ӯ ÿó nhұn thҩy nӃu 3 2 0 (,,, ) ,, , 2 2 ĈӃn ÿây có thӇ sӱ dөng dãy sӕ nhѭ bài trѭӟc hoһc có thӇ làm nhѭ sau Giҧ sӱ a b c d ab ≤≤≤ ⇒ ≤1 33   + + ⇒ ≥     c dc d f abcd f ab (,,, ) ,, , 2 2 3 22 2 2 = ++ + + + 3( ) .( ) ( ) a b c d ab c d 2 3 2 22 = −− − + + + −− ((4 ) 6) 3( ) (4 ) a b ab a b a b 2 2 2 9 = −+ + − + ( 8 10) . 12 24 xx yx x 2 = gxy (, ) Trong ÿó x a b y ab =+ = , . Ta có 2 2. y x ≤ ≤ Xét các trѭӡng hӧp 2 + NӃu 2 2 9 94 8 10 0 ( , ) . 12 24 . 16 16 x x gxy x x x  − + ≥⇒ ≥ − + = − + ≥     2 23 + NӃu2 x x −+< 8 10 0 2 22 gxy x x x x− −+ ⇒ ≥ −+ + − + = +≥ x x xx 2 2 9 ( 2) ( 4 8) ( , ) ( 8 10). . 12 24 16 16 42 4 ⇒ ÿpcm. Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 444 ( , , , ) (1,1,1,1), , , ,0 abcd   =    . 333 Ví du 2.4. (Vasile Cirtoaje) Cho abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn 222 2 abcd +++ =1. Chӭng minh rҵng (1 )(1 )(1 )(1 ) − − − −≥ a b c d abcd /ͥi gi̫i. Ta có Bә ÿӅ sau %ә ÿӅ. (China TST 2004) Cho abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn abcd =1. Khi ÿó, ta có 1111 (,,, ) 1 f abcdabcd = +++ ≥ 222 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ++++ Chͱng minh. 'Ӊ thҩy, nӃu x y, 0 > thӓa mãn xy ≥1 thì 34 11 2 + ≥ ( ) 22 2 (1 ) (1 ) 1 x y xy + + + 7ӯ ÿó ta có nӃu ab ≥1 thì f a b c d f ab ab c d (,,, ) , ,, ≥ ( ) Giҧ sӱ abcd ≥≥≥ và xét các dãy sӕ ( ),( ),( ) nnn abc ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi === , , a ab bc c 000 = = = ∀∈ N , , a b ab c c n 21 21 2 2 21 2 n n nn n n ++ + = = = ∀∈ N , , a b ac c b n 2 2 2 2 2 12 1 2 2 2 1 n n nn n n + + ++ + + 'Ӊ thҩy  = ∀∈  ≥ ∀∈ 1 abcd n nnn 1 ab n n n N N  = = ==  1 3 a b c abc lim lim lim nnn 3 7ӯ ÿó →+∞ →+∞ →+∞ d n nn ( , , , ) ( , , , ), ≥ ∀∈ f abcd f a b c d n nnn N ( , , , ) ( lim , lim , lim , ) ⇒ ≥ f abcd f a b c d nnn →+∞ →+∞ →+∞ n nn 111   ,,, =     f d 333 ddd 3 2 3 1 d = ++ + ( ) 2 2 3 (1 ) 1 d d ( ) ( ) 2 3 33 2 42 3 3 12 2 4 3 − ++ + + dd d dd d = + 1 ( ) 2 3 2 d d + + 1 (1 ) ≥ f abcd 1 ⇒ ≥ (,,, ) 1 9ұy Bә ÿӅ ÿѭӧc chӭng minh. Trӣ lҥi bài toán, ta có 222 2 a b c d abcd + + + =⇒ ∈ 1 , , , [0,1] 1Ӄu abcd = 0 thì (1 )(1 )(1 )(1 ) − − − −≥ a b c d abcd . 1Ӄu abcd > 0 . 35 Ĉһt1 1 11 , , , ,,, 0 a b cd − − −− x y z t xyzt = = = =⇒ > a b cd 1 1 11 1 1 Giҧ thiӃt222 22 2 22 abcdxyzt + + + =⇔ + + + = (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ++++ Và bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh tѭѫng ÿѭѫng vӟi xyzt ≥1 Giҧ sӱ ngѭӧc lҥi xyzt <1. Khi ÿó, ÿһt/ 1 xyzt =1 và / t t < . Áp dөng Bә ÿӅ, ta ÿѭӧc = thì / txyz 1111 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ≤+++ 2 2 2 /2 ++++ xyzt 1 1 11 1 < + + += 2 2 22 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ++++ xyzt 9ұy ÿLӅu giҧ sӱ sai. ⇒ ≥ xyzt 1 ⇒ ÿpcm. Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 12 abcd === = . Nhұn xét. Ĉây là mӝt bài toán hay và lӡi giҧi vӯa rӗi ÿã sӱ dөng hai công cө là ÿәi biӃn và Gӗn biӃn (vӟi các biӃn mӟi). Ngoài ra có thӇ dӗn biӃn trӵc tiӃp vӟi các biӃn ban ÿҫu (dành cho mӑi ngѭӡi). 3. Dӗn biӃn vӟi nhiӅu biӃn sӕ hѫn. Ví dө 3.1. Cho abcde ,,, , 0 ≥ thӓa mãn abcde +++ += 5. Chӭng minh rҵng 222 22 f a b c d e a b c d e abcde ( , , , , ) 4( ) 5 25 = +++ + + ≥ /ͥi gi̫i. Xét hiӋu d ed e D f a b c d e f a b c d e abc    + + 2 5 = − =− −       (,,, ,) ,,, , ( ) 2 . 22 4 36 7ӯ ÿó, ta có nӃu80 (,,, ,) ,,, , d ed e abc D f a b c d e f a b c   + + ≤ ⇒ ≥⇒ ≥    . 5 22 Giҧ sӱ abcde ≤≤≤ ≤ và xét các dãy sӕ ( ),( ),( ) n nn cde ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi , , c cd de e === 000 d e c cd e n + 22 22 * − − n n , , = = = ∀∈ N − −− − 21 22 21 21 n nn n 2 c e cdde n + 21 21 * − − n n , , = = = ∀∈ N 2 21 2 2 − n n nn 2 'Ӊ thҩy abc d e n + + + + = ∀∈ n nn 1 8 Và a b c d e n abc n ≤ ≤ ∀∈ ⇒ ≤ ∀∈ min{ , , }5 n nn n cde ab cde ++ −− 5 = == = lim lim lim3 3 n nn →+∞ →+∞ →+∞ nn n 7ӯ ÿó, ta có (,,, ,) (,, , , ) n nn f abcde f abc d e n ≥ ∀∈N Suy ra f abcde f ab c d e ( , , , , ) ( , , lim , lim , lim ) ≥ n nn nn n →+∞ →+∞ →+∞   −− −− −− ab ab ab f ab 555 =     ,, , , 333 3 − − ab a b a b ab 4 5 (5 ) 4( ) .(5 ) 22 2 = + + −− + 3 27 2 4 3 − − ab a b b 5 (5 ) )27 2 = + − + −− a b ab a + 4( ) 8 .(5 3 23 2 − −+ 5 (5 ) 16 40 100 8 yx x x = −+ y 27 3 = g y ( ) Trong ÿó x a b y ab =+ = , . Ta có 3 g y− y x / 10 (5 ) () 8 = − 27 37 + NӃu + NӃu 3 10 (5 ) 8 0 y x −− ≥ thì 27 2 2 16 40 100 16 5 ( ) (0) . 25 25 − +   ≥ = = − +≥     x x gy g x 3 34 3 10 (5 ) 8 0 y x −− < thì 27 2   x ≥     ( )4 gy g         − 23 xxxxx 5 (5 ) 2 2 4 16 40 100 8 .   − + = −+ 27 4 3   23 2 − −+ − + x xx x ( 2) ( 5 55 135 225) 25 = + 108 'Ӊ dàng chӭng minh 3 2 − + − + ≥ ∀∈ 5 55 135 225 0 [0,2] xx x x Do ÿó g y( ) 25 ≥ ⇒ ÿpcm. Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 5555 ( , , , , ) (1,1,1,1,1), , , , ,0 . abcde   =     4444 Ví dө 3.2. Cho 1 2 , ,..., 0 n xx x ≥ thӓa mãn 1 2 ... 1 n xx x + ++ = . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc = + ∑ f x x x xx x x ( , ,..., ) ( ) n ij i j 1 2 1 ≤< ≤ i jn /ͥi gi̫i.   n n   ∑ ∑ ∑∑ ∑ Ta có 2 22 2 f x x x x x xx x x x x ( , ,..., ) . .(1 ) 1 2 Xét hiӋu = + = =−   n j i i j ii i j 11 1 1 ≤< ≤ ≤< ≤ = ≠ = i jn i jn i ji i 38 1 1 ( ,..., ,...,0, ) ( ,..., ,..., ,..., ) 2 (2 3( )) i j n i j n ij i j f x x x x f x x x x xx x x + − = −+ Do ÿó, nӃu 3( ) 2 i j x x + ≤ , thì 1 1 ( ,..., ,..., ,..., ) ( ,..., ,...,0, ) i j n ij n fx x x x fx x x x ≤ + . Xét tҩt cҧ các bӝ sӕ 1 2 ( , ,..., ) n fxx x ÿҥt max f . xx x sao cho 1 2 ( , ,..., ) n Trong ÿó, chӑn ra bӝ sӕ 1 2 ( , ,..., ) n aa a sao cho sӕ phҫn tӱ dѭѫng trong bӝ sӕ ÿó là ít nhҩt (luôn có thӇ chӑn ÿѭӧc vì sӕ sӕ dѭѫng là hӳu hҥn). Giҧ sӱ 12 1 2 ... 0 ... . k kk n aa a a a a ≥ ≥ ≥ >= = = = + + 1Ӄu k ≥ 3 thì ta có + a a 2 3 3 Do ÿó 1 ... .( ) 3( ) 2 = + ++ ≥ + + = + ⇒ + ≤ aa a aa aa aa 12 23 23 23 2 2 n 12 12 3 12 3 ( , ,..., ) ( , ,0,..., ) ( , ,0,..., ) max nn n faa a faa a a faa a a f ≤+ ⇒+ = ĈLӅu này vô lý do bӝ sӕ 12 3 ( , ,0,..., ) n aa a a + có sӕ sӕ dѭѫng ít hѫn bӝ sӕ 1 2 ( , ,..., ) n aa a . 9ұy k ≤ 2 . Do ÿó 1 f a a a aa a a a a = + = −≤ ( , ,..., ) ( ) (1 )4 1 2 12 1 2 1 1 n Do ÿó fxx x ≤ 1 ( , ,..., )4 1 2 n 1, ... xx xx x = = = == . Ĉҷng thӭc xҧy ra chҷng hҥn khi 12 34 2n 4. Các kiӇu dӗn biӃn khác. Trong môt sӕ trѭӡng hӧp, các kiӇu dӗn biӃn thông thѭӡng (ÿã nói ӣ phҫn mӣ ÿҫu) vô tác dөng (thѭӡng do dҩu bҵng không phҧi xҧy ra khi tҩt cҧ các biӃn bҵng nhau). Vì vұy, xuҩt hiӋn mӝt sӕ kiӇu dӗn biӃn khác. Ví dө 4.1. Cho xyz ,, 0 ≥ thӓa mãn xy yz zx ++=1. Tìm min cӫa 111 f xyz (, ,)xy yz zx =++ + ++ /ͥi gi̫i. 39 Khác vӟi nhӳng ví dө trѭӟc, ӣ ví dө này có hai ÿLӅu khiӃn viӋc dӗn biӃn khó khăn Kѫn là cӵc trӏ ÿҥt ÿѭӧc không phҧi khi cҧ ba biӃn bҵng nhau và biӇu thӭc ÿLӅu kiӋn Fӫa biӃn hӃt sӭc khó chӏu. Sau ÿây là mӝt trong nhӳng lӡi giҧi cho bài này. Giҧ sӱ x yz ≥ , và ÿһt ayz = + thì ax ≤1 và 2x a ≥ . Xét hiӋu 2 1 (1 )(2 ) ( , , ) 0, , 0   − −+ −= ≥     + + ax x a a x f xyz f aa x a 2 2 (1 )(1 ) 2 2   − −+ ⇒ ≥ = +≥     + a aa f xyz f aa a a 1 ( 1) (2 2) 5 5 ( , , ) 0, ,2 (1 ) 2 2 2 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ( , , ) (1,1,0). xyz = 9ұy 5 min ( , , )2 f xyz = Ví dө 4.2. Cho abc ,, 0 ≥ thӓa mãn abc ++=1. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 3 33 f abc a a b b c c ( , , ) ( 7)( 7)( 7) = ++ ++ ++ /ͥi gi̫i. %ҵng tính toán trӵc tiӃp (hoһc giҧ sӱ có b c = ), ta dӵ ÿoán ÿѭӧc max 441 f = ÿҥt ÿѭӧc chҷng hҥn khi a bc = == 1, 0. Tӯ ÿó, dүn ÿӃn lӡi giҧi nhѭ sau Giҧ sӱ2 a bc b c ≤ ⇒+≥ . ,3 0һt khác, do 2 2 0 , , 1 1, 1 ≤ ≤⇒ + ≤ + ≤ ≤ a b c b c b c bc . Xét hiӋu 3 22 2 2 f a b c f a b c a a bc b c b c b c ( , , ) ( , ,0) ( 7) ( 7( ) 1 21( )) − + = + + + + +− + 2   ≤ + + + +−     3 ( 7) 1 7 1 21.3 a a bc 0 ≤ ⇒ ≤+ f abc f ab c ( , , ) ( , ,0) 3 3 = + + − +− + 7( 7)((1 ) 1 7) aa a a 2 3 = − − −+ + + ≤aa a a a 7 ( 1)((1 )(2 ) 19) 441 441 40 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ( , , ) (1,0,0). abc = 9ұy max 441 f = . III. Dӗn biӃn trong tam giác. 1. Dӗn biӃn lѭӧng giác trong tam giác. Trong tam giác phѭѫng pháp dӗn biӃn ÿѭa bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho ӣ trѭӡng hӧp tam giác thѭӡng vӅ trѭӡng hӧp tam giác cân. Ví dө 5.1. Cho tam giác ABC không tù. Cgӭng minh rҵng BC C A AB f ABCABC sin .sin sin .sin sin .sin 5 (,,)sin sin sin 2 =++≥ /ͥi gi̫i. A BC A π π ≥ ⇒ ≥≥ . Giҧ sӱ ,2 3 Xét hiӋu −   BC A A 2 22 sin 4sin .sin   + +   B CB C f ABC f AA BC 2 2 (,,) , , . 1 −= −     2 2 sin sin .sin   − 2 B C sin2 . 4sin 1 A   ≥ −     2 sin 2 A ≥ + 0 2 B C sin 1 2 ( , , ) , , 2sin 2sin   + + ⇒ ≥ =+ =+     B CB C A f ABC f A A A cotg 2 2 sin 2 2 A cotg A Ĉһt 1 t t = ⇒≥ . 2 Và 2 .cotg A t ttt A t 1 4 1 ( 1)( 4 5) 5 5 2sin . − −+ + = + = +≥ 2 2 2 2 2 22 1 2( 1) t t + + ⇒ ≥ f ABC 5 (,,)2 41 ⇒ ÿpcm. A BC π π Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ,2 4 = == và các hoán vӏ tѭѫng ӭng. Nhұn xét. Ĉây là dҥng lѭӧng giác cӫa ví dө 4.1. DӉ thҩy rҵng dӗn biӃn ӣ bài này dӉ chӏu và dӉ nghƭ hѫn bài kia rҩt nhiӅu. Ví dө 5.2. (VMO 1993) Cho tam giác ABC . Tìm min cӫa 222 f ABC A B C ( , , ) (1 cos )(1 cos )(1 cos ) =+ + + /ͥi gi̫i. + Cách 1. Giҧ sӱ1 A BC A A π ≤ ⇒≤ ⇒ ≥ , cos 3 2 Xét hiӋu   + + B CB C f ABC f A − =     (,,) , , 2 2 − − −− BC A BC A 6cos cos( ) 1 (1 cos ).sin . = + 2 2 2 2 − −− ≥ + B C A 311 (1 cos ).sin . 2 2 2 2 ≥ 0   + + ⇒ ≥     B CB C f ABC f A (,, ) , , 2 2 2   + B C A 2 2 =+ +     (1 cos ) 1 cos2 2 2 ( ) + − A A (1 cos ) 3 cos = 4 2 − − −+ A AA (2cos 1) (4(1 cos )(4 cos ) 3) =125 + ≥ 64 125 64 64 42 ABC π === . Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi3 9ұy125 min ( , , ) . f ABC = + Cách 2. 64 Giҧ sӱ3 ABC C π C Ta có ≥≥⇒≤⇒ ≥ cos 3 22 22 2 2 A B A B AB (1 cos )(1 cos ) (cos cos ) (1 cos cos ) + + = + +− 2 − −   C AB AB C 22 2 2 = + −−     4sin .cos cos 1 cos 22 2 2 A B f   − 2 cos2 =     Ta có AB C AB C f    − −    = + −−    /2 2 2 2 cos 4sin 2 cos 1 cos 222 2   − AB C 2 2 = +−     2 cos 1 3cos 2 2 ≤ 0 Do ÿó 2 AB C f f    − 2 2 cos (1) 1 sin ≥ =+       2 2 A BA B f ABC f C   + + ⇒ ≥     (,,) , , 2 2 ĈӃn ÿây, lұp luұn hoàn toàn tѭѫng tӵ nhѭ cách 1, ta có 125 min ( , , ) . f ABC = 64 Ví dө 5.3. Cho tam giác ABC . Chӭng minh rҵng AB BC C A ABC −−− + + ≥ ++ 2 cos cos cos .(sin sin sin ) 222 3 /ͥi gi̫i. 43 A BC A π Giҧ sӱ ,3 ≤ ⇒≤ . Bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh tѭѫng ÿѭѫng BC BC A A BC A 32 4 cos 2cos .cos .sin .cos .cos 0 − −− − π + −− ≥ 2 4 4 22 3 3     − −− π ⇔− −+ − ≥         A BC BC A A 4 32 2 1 .cos . 2cos 1 2cos .cos .sin 0 3 3 2 4 44 Xét hàm sӕ4 32 2 A A fx x x A   π − ( ) 1 .cos .(2 1) 2 .cos sin = − −+ −     3 3 2 4 −   9ӟi2 B C cos ,1 = ⇒∈  x x 4 2   Ta có   − π A A fx x / 4 3 ( ) 4 1 .cos 2cos =− +     3 2 4   − 4 3 4 1 .cos 2cos π π ≤− +     A x 3 6 4 =− + π − 3 A 4 2cos4 x − 2 3 4. 2cos <− + π A < 2 4 0 − ⇒ ≥ =− + − = 4 32 ( ) (1) 1 .cos 2cos .sin ( ) π A A f x f A gA 3 3 2 4 Ta có π − A A gA A / 2 2 33 ( ) .cos .sin .sin =− + + 3 3 22 4        AA A AA 2 32 sin cos 2sin 1 . sin cos =+ − +−               4 4 2 4 44 3 π 0( 0 )3 ≤ <≤ do π A   ⇒≥ =     () 0 gA g ⇒ ≥ f (1) 0 3 44 ⇒ ≥ f x () 0 ⇒ ñpcm. Nhұn xét. ViӋc sӱ dөng công cө ÿҥo hàm trong phѭѫng pháp dӗn biӃn rҩt có lӧi khi viӋc biӃn ÿәi tѭѫng ÿѭѫng phӭc tҥp. 2. Dӗn biӃn theo các cҥnh. Ví dө. Cho tam giác ABC thӓa mãn a bc ≥ , . Chӭng minh rҵng 3.( ) abc l m m abc + + ≤ ++ 2 /ͥi gi̫i. Ta coù bc l m m bc a a b c a b c 2 2 2 22 22 2 1 ( ) + + = + − + + −+ −+ abc + b c .( ) . 2 2 2 2 2 = (,,) f abc Tröôùc heát, ta chöùng minh 2 b c a bc ab c a   + 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) + −+ −+ ≤ +     2 Thaät vaäy 2 (1) (hieån nhieân ñuùng) ⇔ − ++ +− ≥ ( ) ( )( ) 0 b c a b cb c a Maët khaùc, ta laïi coù bc bc a bc a 22 22 1 b c+ −≤ + − . ( ) . ( ) (2) + 2 Töø (1) vaø (2), ta coù 2 b c f abc b c a a 1 22 2 (,,) .( ) 2   + ≤ + −+ +     2 2   + + b cb c f a =     , , (3) 2 2 Ta seõ chöùng minh 45 3 b cb c fa abc   + +   ≤ ++   , , .( ) (4) 22 2 Thaät vaäy 2 b c bc a a abc   + ⇔ + − + + ≤ ++     1 3 22 2 (4) . ( ) 2 .( ) 2 22 2 2     + ++ ⇔ −+ + ≤ +         bc bc bc 1 8 31 a aa + ⇔ −+ + ≤ + = ⇒ ∈ 2 2 b c x xx x x trong ñoù 1 8 3(1 ) ( (1,2]) a 3 ⇔− +≤ ( 2) ( 2) 0 x x (hieån nhieân ñuùng) Keát hôïp (3) vaø (4), ta suy ra ñpcm. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi abc = = . Tuy ÿã rҩt cӕ gҳng nhѭng bài viӃt này cǊng không thӇ vét hӃt các kiӇu và dҥng bài Wұp dӗn biӃn cǊng nhѭ nói vӅ tѭ duy và cách thӭc hình thành phѭѫng pháp. Nhѭng tôi nghƭ nó cǊng ÿã ÿӫ ÿӇ các bҥn hình thành nên phѭѫng pháp này trong ÿҫu, tӯ ÿó các bҥn sӁ tӵ cҧm nhұn ÿѭӧc cái hay cӫa phѭѫng pháp này cǊng nhѭ các kiӇu dӗn biӃn khác mà bài viӃt này chѭa ÿӅ cұp ÿӃn. Chú ý rҵng các lӡi giҧi trên là ÿӇ phù Kӧp vӟi bài viӃt này nên cǊng có thӇ có nhӳng cách khác hay hѫn. VI. Bài tұp. Bài 1. (Vietnam TST 1996) Cho .Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc abc , , ∈R 4 4 4 444 4 P ab bc ca a b c =+ ++ ++ − + + ( ) ( ) ( ) .( ) 7 Bài 2. (China TST 2004) Cho thoûa maõn 1. Chöùng minh raèng a b c d abcd ,,, 0 > = 1111 1 Pabcd = +++ ≥ 222 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ++++ 46 Bài 3. Cho thoûa maõn . Chöùng minh raèng abc a b c ,, 0 1 ≥ ++= 333 15 1 a b c abc +++ ≥ .4 4 Bài 4. Cho thoûa maõn . Chöùng minh raèng abcd a b c d ,,, 0 4 ≥ +++ = 222 22 2 22 2 22 2 abc abd acd bcd a b c a b d a c d b c d ++++ + + + ≤ 8 Bài 5. (Phҥm Kim Hùng) Cho thoûa maõn . Chöùng minh raèng abc a b c ,, 0 3 ≥ ++= 2 22 ( )( )( ) 13 a b b c c a abc + + +≤+ Bài 6. Cho thoûa maõn . abcd a b c d ,,, 0 4 ≥ +++ = a) Chӭng minh rҵng 2 4 ( ) a b c d abc abd acd bcd +++ ≥ + + + + b) Tìm min cӫa P a b c d abc abd acd bcd = +++ − + + + 7( ) Bài 7. Cho tam giác nhӑn ABC . Chӭng minh rҵng 222 sin .sin sin .sin sin .sin 9 BC C A AB     ++≥         sin sin sin 4 ABC Bài 8. Cho tam giác ABC . Chӭng minh rҵng pR r ≤+ − 2 33 4 ( ) Bài 9. Cho abcde ,,, , 0 ≥ thӓa mãn abcde +++ +=1. Chӭng minh rҵng 555 55 1845 1 a b c d e abcde +++ ++ ≥ . 256 256 47 Bài 10. Cho thoûa maõn . abc a b c ,, 0 3 ≥ ++= Tìm giá trӏ lӟn nhҩt và giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc ( )( )( ) 2 22 Pa a b b c c = ++ ++ ++ 333 Bài 11. (Phҥm Kim Hùng) Cho abc ,, 0 > thӓa mãn abc =1. Chӭng minh rҵng abc +++ ++≥ 333 3 222 ( 1) ( 1) ( 1) abc +++ Bài 12. Cho xyz ,, 0 ≥ thӓa mãn xy yz zx ++=1. Chӭng minh rҵng 111 1 2 + + ≥+ yz zx xy 2 +++ Bài 13. Cho thoûa maõn . abc a b c ,, 0 1 ≥ ++= . Chӭng minh rҵng 111 2 1 −−− + + ≤+ abc 111 3 abc +++ Bài 14. Cho abcd ,,, 0 ≥ . Chӭng minh rҵng 444 4 333 3 3( ) 4 ( )( ) a b c d abcd a b c d a b c d + + + + ≥ +++ + + + Bài 15. (Phҥm Kim Hùng) Cho thoûa maõn . abc a b c ,, 0 3 ≥ ++= Chӭng minh rҵng 33 33 33 3 3 3 36( ) ( )( ) ab bc ca a b b c c a a b c ++ ≥ + + ++ Bài 16. (Võ Quӕc Bá Cҭn) Cho thoûa maõn . abc a b c ,, 0 1 ≥ ++= Tìm min ab bc ca Pab bc ca a b c + + =+ + ++ 44 44 44 4 4 4 ( )( ) 48 'ӖN BIӂN KHÔNG XÁC ĈӎNH I. Dӗn biӃn không xác ÿӏnh. Cái tên nghe có vҿ lҥ nhӍ? ĈӇ tìm hiӇu phѭѫng pháp mӟi mҿ này chúng ta hãy cùng bàn ÿӃn hai bài toán quen thuӝc sau Bài toán 1. xx x là các sӕ thӵc thuӝc ÿRҥn [,] p q vӟi p q, Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ..., n là hai sӕ thӵc cho trѭӟc. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 1 2 ( , ..., ) n fxx x Bài toán 2. Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và là 1 2 , ..., n xx x các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 1 2 ( , ..., ) n fxx x Ӣ cҧ hai bài trên thì 1 2 ( , ..., ) n fxx x ÿӅu là các biӇu thӭc ÿӕi xӭng cӫa 1 2 , ..., n xx x ) Thông thѭӡng ÿӕi vӟi các Bài toán 1 chúng ta thѭӡng sҳp thӭ tӵ các biӃn và dӗn giá trӏ cӫa biӃn vӅ hai biên ÿӇ so sánh trӵc tiӃp chúng. Chҷng hҥn so sánh fxx x vӟi2 1 2 ( , ..., ) n f px x vӟi mөc ÿích là ÿѭa bài toán vӅ trѭӡng hӧp ÿѫn ( , ..., ) n giҧn vӟi sӕ lѭӧng biӃn ít hѫn. Còn vӟi Bài toán 2 chҳc chҳn các bҥn sӁ nghƭ ngay x xx x fxx x f x   + + ≥     hoһc hi hӳu lҳm thì chúng ÿӃn ÿánh giá 1 21 2 1 2 ( , ..., ) , ,..., 2 2 n n ta có ÿánh giá 12 1 2 ( , ..., ) (0, ,..., ) n n fxx x f x x x ≥ + . Có thӇ thҩy nhӳng suy nghƭ nhѭ trên là vô cùng tӵ nhiên nhѭng nói chung là khó thӵc hiӋn vì nhӳng bài có thӇ giҧi trӵc tiӃp là tѭѫng ÿӕi ÿѫn giҧn. Vì vұy chúng ta cҫn mӝt bѭӟc phát triӇn hѫn cho phѭѫng pháp này ÿó là dӗn biӃn không xác ÿӏnh. Vұy dӗn biӃn không xác ÿӏnh là gì? Tôi có thӇ giӟi thiӋu luôn tѭ tѭӣng chính cӫa phѭѫng pháp này là “Dӗn các biӃn Wӵ do vӅ mӝt trong nhӳng ÿLӇm ÿһc biӋt mà ta chѭa thӇ xác ÿӏnh rõ sӁ dӗn cө thӇ vӅ ÿLӇm ÿһc biӋt nào”. Có vҿ hѫi khó hiӇu phҧi không? Chúng ta sӁ cùng quay trӣ lҥi Yӟi 2 bài toán trên 49 (i) Vӟi Bài toán 1, thay vì chӭng minh 12 2 ( , ..., ) ( , ,..., ) n n f x x x f px x ≤ chúng ta sӁ chӭng minh 12 2 2 ( , ..., ) { ( , ,..., ), ( , ,..., )} max n nn f x x x f px x f qx x ≤ (ii) Vӟi Bài toán 2, thay vì ÿánh giá ÿã nói ӣ trên chúng ta sӁ chӍ ra ÿѭӧc x xx x fxx x f x f x x x     + + ≥ +         1 21 2 12 1 2 ( , ..., ) min , ,..., , (0, ,..., ) 2 2 n nn Ĉӑc ÿӃn ÿây bҥn ÿӯng vӝi cѭӡi vì nó chӍ tiӃn bӝ hѫn phѭѫng pháp ban ÿҫu mӝt chút khi ÿLӅu kiӋn dӗn biӃn ÿѭӧc nӟi lӓng mà trông lҥi có vҿ phӭc tҥp vӟi max, min Oҵng nhҵng! Bҥn hãy xem thӱ sӭc mҥnh cӫa tѭ tѭӣng này thông qua ví dө quen thuӝc sau ÿây nhѭng trѭӟc hӃt chúng ta hãy ÿӃn vӟi Bә ÿӅ cѫ bҧn %ә ÿӅ 1. Cho abc , , là các sӕ thӵc thӓa mãn b c ≥ . Khi ÿó ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng (i) a c ≥ (ii) a b ≤ Chͱng minh. Giҧ sӱ cҧ hai bҩt ÿҷng thӭc trên ÿӅu sai ta suy ra cabc >>≥ (Mâu thuүn). +Ӌ quҧ 1. Cho a b, là các sӕ thӵc. Khi ÿó ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng (i) a b ≥ (ii) a b ≤ Các bҥn ÿӯng nên xem thѭӡng Bә ÿӅ 1, tuy ÿây là mӝt Bә ÿӅ ÿѫn giҧn theo ÿúng nghƭa cӫa nó nhѭng lҥi là mӝt Bә ÿӅ cӵc kǤ hiӋu quҧ ÿҩy. Sau ÿây là mӝt ví dө cho thҩy ÿLӅu ÿó Ví dө 1. Cho p q, là hai sӕ thӵc dѭѫng, n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc thuӝc ÿRҥn [,] p q vӟi p q, là hai sӕ thӵc dѭѫng cho trѭӟc. Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 50   11 1 ( , ,..., ) ( ... ) ... n n fxx x x x xxx x = + ++ + ++     12 1 2 1 2 n /ͥi gi̫i. 11 1 S x x xTxx x = + ++ = + ++ Ĉһt2 3 ... , ... n n 2 3 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ≤ n n f x x x f px x 12 2     ⇔ + +≤+ +         1 1 ( ) () x S T pS T 1 x p 1   ⇔− − ≤     S () 0 x pTpx 1 1 ⇔ ≤ S (1) Tpx 1 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ≤ n n f x x x f qx x 12 2     ⇔ + + ≤+ +         1 1 ( ) () x S T qS T 1 x q 1   ⇔− − ≤     S () 0 x qTqx 1 1 ⇔ ≥ S Tqx 1 S S (2) ≥ nên theo Bә ÿӅ 1 sӁ có ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (1), (2) Do px qx 1 1 ÿúng. Suy ra 12 2 2 ( , ..., ) { ( , ,..., ), ( , ,..., )} max n nn f x x x f px x f qx x ≤ Hoàn toàn tѭѫng tӵ ta nhұn ÿѭӧc kӃt quҧ sau 7ӗn tҥi1 2 , ,..., { , } n y y y pq ∈ sao cho 12 12 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n fxx x fyy y ≤ Bài toán ÿѭa vӅ tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa 1 2 ( , ,..., ) n fyy y vӟi1 2 , ,..., { , } n y y y pq ∈ . Không quá khó khăn chúng ta tìm ÿѭӧc 51 2 2 ( ) max ( , ,..., )4 npq fyy ypq+ yy y có2n sӕ + = vӟi n chҹn khi trong tұp 1 2 { , ,..., }n 1 2 n Eҵng p và2n sӕ còn lҥi bҵng q . 2 2 ( 1)( ) max ( , ,..., ) 14 n pq fyy ypq − + + =+ vӟi n lҿ khi trong tұp 1 2 { , ,..., }n 1 2 yy y có n n − sӕ bҵng p và 1 1 2 n + sӕ còn lҥi bҵng q hoһc ngѭӧc lҥi. 2 7ӯ ÿây chúng ta ÿi ÿӃn kӃt luұn cho bài toán. Chҳc hҷn các bҥn ÿã tӯng giҧi quyӃt bài toán này bҵng cách sӱ dөng phѭѫng pháp hàm lӗi cǊng rҩt nhanh gӑn nhѭng có lӁ chúng ta phҧi công nhұn vӟi nhau rҵng cách giҧi bҵng tѭ tѭӣng dӗn biӃn không xác ÿӏnh trên rҩt ÿҽp và phù hӧp vӟi trình ÿӝ cӫa cҧ các bҥn Trung hӑc cѫ sӣ. Bҵng phép chӭng minh tѭѫng tӵ, chúng ta có thӇ giҧi ÿѭӧc bài toán sau Ví dө 2. Cho p q, là hai sӕ thӵc dѭѫng, n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc thuӝc ÿRҥn [,] p q . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc nn n xx x fxx xxx x + ++ ... ( , ,..., )... 1 2 n n = 1 2 1 2 n &ҧ hai ví dө trên ÿӅu ÿã có trên tҥp chí Toán Hӑc Và Tuәi Trҿ cùng vӟi trѭӡng hӧp n pq = == 3, 1, 2 tuy nhiên cách chӭng minh theo tôi ÿѭӧc biӃt rҩt thiӃu tӵ nhiên và khó có khҧ năng giҧi tәng quát. Nhѭ vұy là ÿӕi vӟi các bài toán bҩt ÿҷng thӭc có biên rõ ràng nhѭ Bài toán 1 thì chúng ta ÿã có mӝt lӡi giҧi hӧp lý còn vӟi Bài toán 2 thì sao? Dù các biӃn không Qҵm trong mӝt giӟi hҥn rõ ràng nhѭng chúng ta có thӇ tҥm hiӇu ÿѭӧc rҵng vӟi hai biӃn 1 2 x x, thì chúng luôn nҵm trong 1 2 [0, ] x x + và có nhӳng cһp ÿLӇm ÿһc biӋt cҫn   x xx x + +    . ĈӇ giҧi quyӃt triӋt ÿӇ Bài toán 2 chúng ta chú ý là 1 2 (0, ) x x + và 1 21 2 , 2 2 VӁ cө thӇ hóa tѭ tѭӣng dӗn biӃn không xác ÿӏnh bҵng ÿӏnh lý sau 52 II. Ĉӏnh lý dӗn biӃn không xác ÿӏnh U.M.V (Undefined Mixing Variables). Ĉӏnh lý U.M.V. Cho 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng là mӝt hҵng sӕ Gѭѫng cho trѭӟc. 1 2 ( , ,..., ) n fxx x là mӝt hàm liên tөc, ÿӕi xӭng cӫa 1 2 ( , ,..., ) n xx x thӓa mãn ÿLӅu kiӋn x xx x fxx x f x f x x x     + + ≥ +         1 21 2 12 1 2 ( , ,..., ) min , ,..., , (0, ..., ) 2 2 n nn Yӟi mӑi1 2 ( , ,..., ) n xx x thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ÿã cho. Khi ÿó, giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa 1 2 ( , ,..., ) n fxx x là giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa ( 0,1,2,..., 1) Ct n t = − trong ÿó ( 0,1,2,..., 1) Ct n t = − là giá trӏ cӫa 1 2 ( , ,..., ) n fxx x khi trong 1 2 ( , ,..., ) n xx x có t sӕ bҵng 0 và n t − sӕ còn lҥi bҵng nhau. Chͱng minh. Trѭӟc hӃt, ta chӭng minh Bә ÿӅ sau %ә ÿӅ 2. Cho mӝt bӝ sӕ thӵc không âm 1 2 ( , ,..., ) ( 2) n xx x n ≥ thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi Δ nhѭ sau Chӑn 1 2 max( , ,..., ) i n x xx x = và 1 2 min( , ,..., ) j n x xx x = . i j x x + nhѭng vүn giӳ nguyên vӏ trí cӫa chúng trong 1 2 ( , ,..., ) n Gán ,i j x x bӣi2 xx x . xx x + ++ ... Khi ÿó sau vô hҥn lҫn thӵc hiӋn ta ÿѭӧc1 2 ...n xx xn = == = . 1 2 n Chͱng minh. Ký hiӋu dãy ban ÿҫu là 11 1 1 2 ( , ,..., ) n xx x . Ta chӭng minh bҵng quy nҥp. 9ӟi n = 2 thì Bә ÿӅ hiӇn nhiên ÿúng. Giҧ sӱ bә ÿӅ ÿúng vӟi n n : 1 = − ta chӭng minh nó ÿúng vӟi n n := . Thұt vұy, giҧ sӱ ӣ lҫn thӭ k nào ÿó thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi Δ ta sӁ nhұn ÿѭӧc bӝ 1 2 ( , ,..., ) kk kn xx x . *ӑi min{ , ,..., }, { , ,..., } 12 12 max kk k kk k m xx x M xx x k nk n = = . 53 'Ӊ thҩy { } mk là dãy không giҧm bӏ chһn trên bӣi M1 nên lim k ∃ = , còn { } Mk km m →∞ là dãy không tăng bӏ chһn dѭӟi bӣi m1 nên lim k ∃ = . k →∞ M M 1Ӄu ӣ bѭӟc thӭ k nào ÿó thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi Δ mà 1kk x m= hoһc 1kk x M= thì x ÿѭӧc gӑi là có tham gia vào phép biӃn ÿәi Δ ӣ bѭӟc thӭ k . 1 *ӑi1 2 ... s uu u < << là tҩt cҧ nhӳng lҫn 1 x tham gia phép biӃn ÿәi dѭӟi vai trò sӕ nhӓ nhҩt, còn 1 2 ... t vv v < << là tҩt cҧ nhӳng lҫn 1 x tham gia phép biӃn ÿәi dѭӟi vai trò sӕ lӟn nhҩt. k st = max{,} suy ra tӯ bѭӟc 0 k trӣ ÿi thì 1 *) NӃu s t + <∞ , ÿһt0 x sӁ không tham gia vào phép biӃn ÿәi Δ nӳa. Nhѭ thӃ ta chӍ áp dөng phép biӃn ÿәi này cho bӝ 2 3 ( , ,..., ) kk kn xx x . 00 0 Áp dөng giҧ thiӃt quy nҥp, ta nhұn ÿѭӧc bӝ kk k xx x + ++ ... 00 0 kk k n 00 0 2 3 xx xn = == =−. 2 3 ...1 n x không tham gia vào phép biӃn ÿәi Δ nào nӳa nên Do 1 kk k xx x + ++ ... 00 0 kk k n 00 0 2 3 = == =− xx xn 1 2 ...1 n 7ӯ ÿây ta có ÿpcm. u **) NӃu s t + =∞ . Không giҧm tәng quát, giҧ sӱ s = ∞ suy ra 1 kx m lim k →∞= . + Trѭӡng hӧp 1. t < ∞ Do lim , lim k k k k mm M M = = nên theo ÿӏnh nghƭa giӟi hҥn thì vӟi mӑi ε > 0 ÿӫ nhӓ →∞ →∞ thì 1 ∃n sao cho vӟi mӑi N n > 1 thì m m N − <ε 2 ∃n sao cho vӟi mӑi N n > 2 thì M M N − <ε Chӑn 3 12 max{, , } t n vnn = , suy ra vӟi mӑi3 1 iu n − > thì mm M M − − − < − <ε ε 1 1 , u u i i 54 x− − + i i iu m M u u mà 1 1 x+ iu M m = nên 12 12 iu ⇒ = M m + − < ε lim2 x i →∞ 1 k M m + ⇒ = lim2 x k →∞ 1 + Trѭӡng hӧp 2. t = ∞. Hoàn toàn tѭѫng tӵ ta suy ra M m x u = + lim2 i →∞ 1 v i M m + lim2 i →∞ x 1 x i k = = M m + lim2 Vì vұy 1 k →∞ Do ÿó trong mӑi trѭӡng hӧp ta ÿӅu có M m x k = + lim2 k →∞ 1 k M m + = vӟi mӑi i n =1,2,..., Hoàn toàn tѭѫng tӵ ta nhұn ÿѭӧc kӃt quҧ sau lim2 nên ta có ÿpcm. Chͱng minh ÿ͓nh lý. k →∞ x i Thӵc hiӋn thuұt toán βt vӟi t n ∈ − {0,1,2,..., 1} cho trѭӡng hӧp tұp 1 2 ( , ,..., ) n xx x ÿã có t sӕ 1 2 ... 0 t xx x = == = nhѭ sau ĈӇ cho gӑn ta quy ѭӟc 1 2 ( , ,..., ) ( , ) n ij fxx x fxx = trong ÿó 12 12 max{ , ,..., }, min{ , ,..., } i nj n x xx x x xx x = = thӓa mãn 0 j x > . i ji j x xx x f  + + TiӃn hành so sánh (, ) i j fxx vӟi ,     và (0, ) i j f xx + . 2 2 x xx x fxx f  + + i ji j *) NӃu ( , ) (0, ) ij i j fxx f x x < + thì (, ) , i j ≥    . Khi ÿó áp dөng 2 2 thuұt toán Δ cho 1 2 { , ,..., } tt n xx x + + . NӃu trong mӝt bѭӟc nào ÿó lҥi có 55 ( , ) (0, ) ij i j fxx f x x ≥ + thì chuyӇn sang thuұt toán βt+1. NӃu không có thì phép ∞∞ ∞ biӃn ÿәi Δ sӁ ÿѭӧc thӵc hiӋn vô hҥn lҫn nên 1 2 ... tt n xx x + + = == . **) NӃu ( , ) (0, ) ij i j fxx f x x ≥ + ta chuyӇn trӵc tiӃp sang thuұt toán βt+1. Rõ ràng thuұt toán βn−1 ÿã là thuұt toán hҵng và ÿó là kӃt quҧ cӕ ÿӏnh. Vì vұy ÿӏnh lý ÿã ÿѭӧc chӭng minh hoàn chӍnh. Trong Ĉӏnh lý U.M.V ta có thӇ thay thӃ ÿLӅu kiӋn tәng các biӃn bҵng các ÿLӅu kiӋn khác nhѭ tәng bình phѭѫng, tәng lұp phѭѫng...và có cách dӗn biӃn tѭѫng ӭng thì ÿӏnh lý vүn ÿúng và cách chӭng minh không có gì khác. +Ӌ quҧ. Cho 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng là mӝt hҵng sӕ dѭѫng cho trѭӟc. 1 2 ( , ,..., ) n fxx x là mӝt hàm liên tөc, ÿӕi xӭng cӫa 1 2 ( , ,..., ) n xx x thӓa mãn ÿLӅu kiӋn      + +  ≥ +          ≥ x xx x fxx x f x f x x x 1 21 2 ( , ..., ) min , ,..., , (0, ..., ) 12 1 2 n nn 2 2 f xx x (0, , ,..., ) 0 2 3 n   ++ ++ ++  ≥      x x xx x x x x x fnn n ... ... ... , ,..., 0 12 12 12 nn n vӟi mӑi1 2 ( , ,..., ) n xx x thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ÿã cho thì 1 2 ( , ,..., ) 0 n fxx x ≥ . III. Mӝt sӕ ӭng dөng cӫa phѭѫng pháp dӗn biӃn không xác ÿӏnh. ĈӇ sӱ dөng phѭѫng pháp dӗn biӃn không xác ÿӏnh rõ ràng ta phҧi thӵc hiӋn theo trình tӵ hai bѭӟc %ѭӟc 1. Xác lұp ÿLӅu kiӋn dӗn biӃn. %ѭӟc 2. Giҧi quyӃt bài toán vӟi ÿLӅu kiӋn ÿã xác lұp bên trên. +ҷn nhiên Bѭӟc 2 chính là nӝi dung cӫa Ĉӏnh lý U.M.V và ÿã ÿѭӧc giҧi quyӃt mӝt cách hoàn toàn triӋt ÿӇ. Do ÿó, phҫn quan trӑng nhҩt cӫa chúng ta cҫn phҧi làm ÿó là thӵc hiӋn ÿѭӧc Bѭӟc 1. Mӝt ÿLӅu kì lҥ là bѭӟc này thѭӡng ÿѭӧc xӱ lý rҩt gӑn nhҽ Eҵng cách sӱ dөng Bә ÿӅ 1, mӝt bә ÿӅ gҫn nhѭ hiӇn nhiên dӵa trên quan hӋ thӭ tӵ Fӫa các sӕ trên trөc sӕ thӵc. Chúng ta hãy tìm hiӇu rõ hѫn qua các ví dө ÿһc trѭng sau 56 Ví dө 3. (Phát triӇn tӯ mӝt bài IMO) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n . k tӕt nhҩt ÿӇ bҩt ÿҷng thӭc sau luôn ÿúng Tìm sӕ thӵc dѭѫng n 1 2 12 (1 )(1 )...(1 ) 2 .( ... 1) n n nn + + + ≤+ − x x x k xx x /ͥi gi̫i. Ĉһt1 2 1 2 12 ( , ,..., ) (1 )(1 )...(1 ) 2 .( ... 1) n n n nn f x x x x x x k xx x =+ + + − − − S xx x =+ + + (1 )(1 )...(1 ) 3 4 n T xx x = 3 4 ... n   + + x xx x fxx x f x 1 21 2 ≤     ( , ,..., ) , ,..., (3.1) 1 2 2 2 n n 2 2   + + xx xx x x S k xxT S k T 12 12 ⇔+ + − −+ + ≤     (1 )(1 ) 1 0 1 2 12 n n 2 2 2   − ⇔ −≤     x x kT S 1 2 2 ⇔ ≤ kT S n ( )0 n (3.2) ( )( ) 12 1 2 ( , ,..., ) (0, ,..., ) (3.3) f xx x f x x x ≤ + n n (1 )(1 ) (1 ) 0 x x S k xxT x x S ⇔+ + − −+ + ≤ 1 2 12 1 2 n kT S ⇔ ≥ n (3.4) 7ӯ (3.2), (3.4) ta có ngay ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (3.1), (3.3) ÿúng suy ra x xx x fxx x f x f x x x     + + ≤ +         1 21 2 12 1 2 ( , ..., ) , ,..., , (0, ..., ) max n nn 2 2 Theo Ĉӏnh lý U.M.V ta có max ( , ,..., ) max ( 0,1,..., 1) 1 2 n t fxx x C t n = =− = max{ , } C C0 1 −       − n 1 nk 2 1 max 0, 2 n = −+         −   n 1 n Vì vұy ÿӇ bҩt ÿҷng thӭc ӣ ÿӅ bài thӓa mãn thì 57 n − 1 nk   − 2 1 2 0 n   −+≤   − n 1 n n − 1   − ⇔≤−     − n 2 1 21 n kn n 2 1 21n − 1   − n n k thӓa mãn ÿӅ bài là Do ÿó giá trӏ tӕt nhҩt cӫa n = −     − kn n Ví dө 3 thӵc sӵ là mӝt bài toán rҩt khó ÿã tӯng có mһt ӣ dҥng này hay dҥng khác trong các ÿӅ thi vô ÿӏch. Chҳc chҳn các bҥn ÿã tӯng cҧm nhұn ÿѭӧc biӇu thӭc ÿҥt giá trӏ tӕt nhҩt ngoài trѭӡng hӧp n biӃn bҵng nhau thì còn mӝt trѭӡng hӧp mӝt biӃn Eҵng 0 nhѭng vүn vô cùng tӭc tӕi vì không có cách nào ép nó vӅ ÿѭӧc 0. Giӡ ÿây U.M.V ÿã cho bҥn mӝt hѭӟng ÿi khá sáng sӫa. Ví dө 4. (Ĉinh Ngӑc An) Cho p n ≤ là các sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng Eҵng n . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc = ∑ k f x x x xx x ( , ,..., ) ( ... )p 1 2 n ii i 1 ... ≤≤≤≤ ≤ ii i n 1 2 1 2 p Trong ÿó k là sӕ thӵc không nhӓ hѫn 2. /ͥi gi̫i. Ĉһt = ∑ k A xx x ( ... ) ii i − = ≤≤ ≤≤ ≤ 3 ... ii i n − 12 2 p ∑ 12 2 p k B xx x ( ... ) ii i − = ≤≤ ≤≤ ≤ 3 ... ii i n − 12 1 p ∑ 12 1 p k C xx x ( ... ) ii i ≤≤ ≤≤ ≤ 3 ... ii i n 1 2 p 1 2 p Ta sӁ chӭng minh x xx x fxx x f x f x x x     + + ≤ +         1 21 2 12 1 2 ( , ..., ) , ,..., , (0, ..., ) max n nn 2 2 Thұt vұy 58   + + ≤     x xx x fxx x f x 1 21 2 ( , ..., ) , ,..., (4.1) 1 2 n n 2 2 k k 2   + + ⇔ ++ − − ≤     xx xx xxA x x B A B kk k k 12 12 () 2 0 12 1 2 2 2 2 k x xx xB   +−   k k 1 21 2 2 ⇔ ≥   k x x A k k x x   + 1 2 22 + −     1 2 fxx x f x x x ( , ..., ) (0, ..., ) (4.2) ≤ + n n 12 1 2 kk k k k xxA x x B x x B ⇔ + + −+ ≤ ( )( ) 0 12 1 2 1 2 k k B x x 1 2 ⇔ ≥+ −− kkk A xx x x ( ) 12 1 2 ĈӇ ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (4.1), (4.2) chҳc chҳn ÿúng thì 2 k   +−     ≥ x xx xx x 1 2 2 k k 1 2 k k 1 2 k kkk k k   + + −− x x xx x x ( ) 1 2 12 1 2 + −     x x 1 2 22 k k 2   + + xx xx kk k k 12 12 − +−   xx x x 12 1 2 2 2 2 ⇔ ≥   kk k k k + −− xx x x x x ( ) 12 1 2 1 2 k k 2   + + xx xx k 12 12 + −   x x ( )2 1 2 2 2 ⇔ ≥   kk k k k + −− xx x x x x ( ) 12 1 2 1 2 2 1 kk k ( + x x − − + ⇔ ) (2 1)( ) x x 1 2 12 ≥+ −− 2 1 kkk k k k k − 2 2 (( ) ) xx x x x x 12 1 2 1 2 2 1 + k k k k k k kk ⇔ + + −− ≥ − ( ) (( ) ) (2 2 ) x x x x x x xx 1 2 1 2 1 2 12 ĈLӅu này hiӇn nhiên do k k k 1 2 12 ( ) 2( ) x x xx + ≥ (theo bÿt AM-GM) 2 k kkk k x x x x xx + −−≥ − vӟi k ≥ 2 1 2 1 2 12 ( ) (2 2)( ) 2 59 9ұy ta có x xx x fxx x f x f x x x     + + ≤ +         1 21 2 12 1 2 ( , ..., ) , ,..., , (0, ..., ) max n nn 2 2 Vì thӃ theo Ĉӏnh lý U.M.V ta có fxx x C t n = =− max ( , ,..., ) max ( 0,1,..., 1) 1 2 n t n kp p   C tn = =−     − max . ( 0,1,..., 1) n t − n t kp       p p C Cn n max , . 11 =         −   n n − 9ӟi n = 3 ta có bài toán quen thuӝc Cho abck ,,, 0 ≥ thӓa mãn abc ++= 3. Chӭng minh rҵng 2 k kkk ab bc ca m      ++≤           () () () 3 ax 3,2 %ҥn thҩy có ÿLӅu gì kì lҥ không? Hình nhѭ U.M.V này chҷng thèm quan tâm ÿӃn sӕ biӃn n = 3 hay n bҩt kì thì cǊng thӃ. Ví dө 5. (tәng quát tӯ bÿt Turkervici) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 12 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm. Chӭng minh Uҵng − + ++ + ≥ ∑ 22 2 ( 1)( ... ) ... n n n nn n x x x nx x x x x 1 2 2 12 2 n n ij 1 2 ≤< ≤ ij n /ͥi gi̫i. %ҩt ÿҷng thӭc ÿã cho tѭѫng ÿѭѫng vӟi 2 n 2   − + ++ + ≥     ∑ nn n n 22 2 (2 1)( ... ) 2 ... n x x x nx x x x n ni 1 2 2 12 2 i 1 = Ĉһt 2 n 2   = − + ++ + −     ∑ nn n n 22 2 ( , ,..., ) (2 1)( ... ) 2 ... f x x x n x x x nx x x x n n ni 1 2 2 1 2 2 12 2 i = 1 60 Ta có 1 2 s xx = n n + nx x 1 2 t xx s = ≥= 1 2 2   + + ≥   nn nn xx xx fxx x f x x 12 12 ( , ,..., ) , , ,..., (5.1) n n 12 2 3 2 n n 2 2   22 2 nn n ⇔ − + ++ + − (2 1)( ... ) 2 ... n x x x nx x x 1 2 2 12 2 n n 2 2       + + − − + ++ − ≥               nn nn xx xx 12 12 2 2 n n n n x x n xx (2 1) 2 ... 2 ... 0 3 2 32 n n 2 2 n n 2 x x nx x ( ) ... (2 1) 0 −   ⇔ −− ≥     + ++ n 1 2 3 2 nt ts s −− − nn n 12 1 2 ... ⇔ + ++ ≥ − −− − 2 1.( ... ) ... nn nn nt ts s xx 12 1 n 3 2 12 2 1 2 3 2 ( ) n n n fxx x f x x x x ( , ,..., ) 0, , ,..., (5.2) ≥ + n n n n n nn n 22 2 2 2 n x x x nx x x n x x x ⇔ − + ++ + − − + ++ ≥ (2 1)( ... ) 2 ... (2 1)(( ) ... ) 0 nn n 1 2 2 12 2 1 2 2 n   − ⇔− ≥     2 1 ... . 0 n n 1 1 − − xx x x x x n 12 3 2 1 2 n n − ⇔ ≥ 2 1 n n 1 1 − − xx xx ... . n 32 12 n 21 21 21 .( ... ) . n nn n n n n nn t t s s s xx − −− − − − − −− + ++ ≥ = nên theo Bә ÿӅ 1 thì Vì 1 2 1 1 11 n nn có ít nhҩt mӝt trong hai bҩt ÿҷng thӭc (5.1), (5.2) ÿúng. 9ұy 1 2       + + ≥ +     nn nn xx xx fxx x f x x f x x x x ( ) n n n n n 12 12 12 2 3 2 1 2 3 2 ( , ,..., ) min , , ,..., , 0, , ,..., n nn 2 2       Theo Bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki thì 2 3 2 23 2 (2 1)( ... ) ( ... ) n n n nn n 22 2 2 n n n x x x xx x − + ++ ≥ + ++ nên 23 2 (0, , ,..., ) 0 n f xx x ≥ . 61 0һt khác f tt t 123 = nên theo HӋ quҧ cӫa ÿӏnh lý U.M.V, ta có ÿLӅu phҧi chӭng ( , ,..., ) 0 minh. 2 n t soá Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 12 2 ... n xx x = == hoһc 1 23 2 0, ... n x xx x = = == và các hoán vӏ. Ví dө 5 là bài toán tәng quát cӫa Bҩt ÿҷng thӭc Turkervici ( 4) n = . Trên thӵc tӃ vӟi trѭӡng hӧp riêng này, bài toán ÿã rҩt khó và vӟi trѭӡng hӧp tәng quát nó ÿã thӇ hiӋn ÿѭӧc gҫn nhѭ toàn bӝ vҿ ÿҽp cӫa phѭѫng pháp này... Bҥn thҩy không? Nó cǊng “dӉ thѭѫng” ÿҩy chӭ? 62 Bài tұp ӭng dөng Bài 1. (Ĉinh Ngӑc An) xx x là các sӕ thӵc thuӝc [1, 2]. Tìm giá trӏ lӟn Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n nhҩt cӫa biӇu thӭc 2   11 1 ( , ,..., ) ( ... ) ... n n fxx x x x xxx x = + ++ + ++     12 1 2 n 1 2 Bài 2. (Ĉinh Ngӑc An) Cho abc , , là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng 3, k m, là các sӕ thӵc thӓa mãn k m ≥ ≥ 1, 0 . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 222 ( , , ) [( ) ( ) ( ) ] kkk k k k f a b c a b c m ab bc ca =+++ + + Bài 3. (Ĉinh Ngӑc An) Cho p n ≤ là các sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng Eҵng n . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc = ∑ k ( , ,..., ) ( ... )p f x x x xx x 1 2 n ii i 1 ... ≤≤≤≤ ≤ ii i n 1 2 1 2 p Trong ÿó k là sӕ thӵc bҩt kì. Bài 5. (Phҥm Kim Hùng) Cho abcd ,,, là các sӕ thӵc không âm thӓa mãn abcd +++ = 4 . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 222 2 f abcd a b c d ( , , , ) (2 )(2 )(2 )(2 ) =+ + + + Bài 6. (Ĉinh Ngӑc An) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n . Tìm sӕ thӵc m tӕt nhҩt sao cho bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng vӟi mӑi bӝ 1 2 ( , ,..., ) n xx x thӓa mãn ÿӅ bài 1 2 12 ... ... 1 mm mn n x x x xx x n + ++ + ≥+ 63 Bài 7. (IMO Shortlist 1993) Cho abcd ,,, 0 ≥ thӓa mãn abcd +++ =1. Chӭng minh rҵng 1 176. abc abd acd bcd abcd + + + ≤+ 27 27 Bài 8. (Crux mathematicorum) Cho abc ,, 0 ≥ . Chӭng minh rҵng 48 48 48 1 1 1 15 abc + ++ ++ ≥ bc ca ab ++ + Bài 9. (Ĉinh Ngӑc An) Tìm thӵc k tӕt nhҩt ÿӇ bҩt ÿҷng thӭc sau ÿúng vӟi mӑi abc ,, 0 ≥ 333 222 ( ) 2( ) 1 3( ) k ab bc ca abc abc + + + + + +≥ + + + + abc Bài 10. (Phҥm Kim Hùng) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc   11 1 ( , ,..., ) ... ... ... n nn 22 2 f x x x x x x xx xxx x = + ++ + + ++     1 2 1 2 12 1 2 n Bài 11. (VǊ Ĉình Quý) Cho n là sӕ nguyên dѭѫng và 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng n . Tìm giá trӏ tӕt nhҩt cӫa sӕ thӵc k sao cho bҩt ÿҷng thӭc sau luôn ÿúng 11 1 ... ... 1 + + + + ≤+ kx x x k 1 2 11 1 n n xn x n x −+ −+ −+ 1 2 n 64 PHÖÔNG PHAÙP THAM SOÁ HOÙA 1. Ĉһt vҩn ÿӅ. Ĉӕi vӟi phҫn lӟn các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ không ÿӕi xӭng vӟi các biӃn thì dҩu bҵng trong các bҩt ÿҷng thӭc này xҧy ra khi các giá trӏ các biӃn không bҵng nhau. Trong chѭѫg trình phә thông thì các bҩt ÿҷng thӭc cә ÿLӇn nhѭ Cauchy, Bunhiacopski lҥi ÿѭӧc phát biӇu dѭӟi dҥng ÿӕi xӭng, dҩu ÿҷng thӭc xҧy ra khi các biӃn bҵng nhau hoһc tӍ lӋ. ViӋc áp dөng các bҩt ÿҷng thӭc cә ÿLӇn trên ÿӇ giҧi các bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng cҫn ÿѭӧc quan tâm mӝt cách thích ÿáng. Qua bài viӃt này, tôi muӕn nêu mӝt phѭѫng pháp giҧi bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng bҵng cách sӱ dөng các Eҩt ÿҷng thӭc cә ÿLӇn thông dөng gӑi là phѭѫng pháp tham sӕ hóa. 1ӝi dung chӫ yӃu cӫa phѭѫng pháp này nhѭ sau: tӯ viӋc phân tích tính không ÿӕi [ӭng cӫa các biӃn có trong bài toán cӵc trӏ, thѭӡng ÿѭӧc cho dѭӟi các dҥng: 'ҥng 1. HӋ sӕ các biӃn trong biӇu thӭc cҫn tìm cӵc trӏ là không bҵng nhau. 'ҥng 2. Các biӃn thuӝc các miӅn khác nhau cӫa tұp sӕ thӵc. 'ҥng 3. ĈLӅu kiӋn ràng buӝc cӫa các biӃn trong giҧ thiӃt bài toán là không ÿӕi xӭng vӟi các biӃn. Ta ÿѭa thêm bào các tham sӕ phө cҫn thiӃt thѭӡng là các hӋ sӕ hoһc lǊy thӯa cӫa các biӃn có trong các ÿánh giá trung gian, sau ÿó chӑn các tham sӕ phө ÿӇ tҩt cҧ các Gҩu ÿҷng thӭc xҧy ra, tӯ ÿó nhұn ÿѭӧc 1 hӋ phѭѫng trình mà ҭn là các biӃn và các tham sӕ phө, tham sӕ phө ÿѭӧc chӑn hӧp lí chӍ khi hӋ phѭѫng trình tѭѫng ӭng có nghiӋm. Trong bài viӃt này tôi nêu mӝt lӟp bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng thѭӡng Jһp, tác giҧ nghƭ rҵng nhӳng mô hình cө thӇ này thұt có ý nghƭa vì vӟi kӃt quҧ cӫa các bài toán này sӁ cho ta mӝt lӟp bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng cө thӇ miӉn là xây dӵng ÿѭӧc bӝ biӃn thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ràng buӝc tѭѫng ӭng. 2. Mӝt sӕ bài toán ÿLӇn hình. Bài toán 1. Cho xyz , , là các sӕ thӵc dѭѫng thay ÿәi thӓa mãn ÿLӅu kiӋn xy yz zx ++=1 và cho a là sӕ thӵc dѭѫng không ÿәi. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 65 22 2 P ax y z = ++ ( ). /ͥi gi̫i. Phân tích. ĈLӅu kiӋn ràng buӝc ÿӕi xӭng vӟi xyz , , . BiӇu thӭc P ÿӕi xӭng vӟi x y, , vai trò cӫa z trong biӇu thӭc P là không ÿӕi xӭng Yӟi x y, . 22 2 Do vұy, ta có thӇ nghƭ rҵng ÿLӇm cӵc trӏ sӁ ÿҥt ÿѭӧc khi x y = , và 7ӯ phân tích trên, ta có thӇ trình bày lӡi giҧi cӫa bài toán nhѭ sau z= = α α x y . 2 9ӟi α > 0 (chӑn sau), áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho 2 sӕ dѭѫng, ta có 2 z 2 α α x xz + ≥ 2 2 2 2 z 2 α α y yz + ≥ 2 2 2 α α ( ) 2 2 + ≥ x y xy 2 2 2 &ӝng vӃ các bҩt ÿҷng thӭc trên ta nhұn ÿѭӧc     + + +≥ ++ = α αα 22 2 ( ) 2 ( )2 α x y z xy yz zx 2 22   α Chӑn α sao cho . α + = 2a hay α −+ + a = 1 18 2 4 1 = =  + x ya  = =  ++= hay4 22 2 zx y 1 8 'ҩu ÿҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 2 α α  −+ + xy yz zx 1 = 1 18 a za  + 4 21 8 .Ӄt luұn 1 18 min . P−+ + a = 2 66 Bài toán 2. Cho abc , , là các sӕ thӵc dѭѫng thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ab bc ca ++=1 và u v, là các Vӕ dѭѫng cӕ ÿӏnh. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 2 22 P ua vb c =++ . /ͥi gi̫i. 0ӝt cách tӵ nhiên tӯ lӡi giҧi cӫa Bài toán 1, ta phân tích u x yv z t m n =+ =+ = + , ,1 trong ÿó xyztmn , , ,, , là các sӕ dѭѫng sӁ chӑn sau. Áp dөng bҩt ÿҷng AM-GM cho 2 sӕ dѭѫng, ta có 2 2 xa tb xtab + ≥ 2 2 2 , ya nc ynca + ≥ 2 2 + ≥ 2 , zb mc zmbc 2 . &ӝng vӃ các bҩt ÿҷng thӭc trên, ta nhұn ÿѭӧc P xtab ynca zmbc ≥+ + 2 2 2. 2 2  = xa tb  = 2 2 'ҩu ÿҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi hay ya nc =  2 2 zb mc  = x b t a 2 2  =⇒ = 2 n axzn ytm . (1) y c  = 2 2  z c m b 2 Chӑn xyztmn , , ,, , sao cho 2 xt yn zm k == = thӓa mãn (1). Ta có (1) ( )( )( ) ⇔+ + += x y z t m n uv 67 ( )( ) xz xt yz yt m n uv ⇔ ++ + += ⇔ + + + +++ += xzm xtm yzm ytm xzn xtn yzn ytn uv 2 ⇔ ++ +++ + = ( )2 x y m n z t k xzn uv ( ) 2 ⇔ ++ + = u v k xzn uv 1 2 Mà 6 ( )( ) xzn utm k = nên 3 xzn k = . Do ÿó 3 2 2 ( 1) 0 (2) k u v k uv + ++ − = k . Rõ ràng (2) có nghiӋm dѭѫng duy nhҩt0 9ұy min 2 P k = 0 vӟi0 k là nghiӋm dѭѫng duy nhҩt cӫa phѭѫng trình (2). Nhұn xét. Bài toán 1 và Bài toán 2 thӵc sӵ có ý nghƭa khi ta chӑn xyz , , hoһc abc , , là các biӃn ÿһc biӋt, miӉn là ÿLӅu kiӋn ràng buӝc cӫa các biӃn ÿѭӧc thӓa mãn. Chҷng hҥn, khi ta chӑn mô hình là tam giác ABC . ABC xyz === ta sӁ có xy yz zx ++=1, áp dөng vào mô hình 1Ӄu ÿһt tg , tg , tg , 222 Bài toán 1 hoһc Bài toán 2 ta sӁ thu ÿѭӧc mӝt lӟp các bài toán cӵc trӏ dҥng không ÿӕi xӭng trong tam giác. Hoһc là x Ay Bz C === cotg , cotg , cotg , ta cǊng sӁ có ràng buӝc xy yz zx ++=1, Wѭѫng tӵ ta cǊng sӁ có mӝt lӟp các bài toán cӵc trӏ không ÿӕi xӭng khác ÿӕi vӟi tam giác. Nói chung, tѭ tѭӣng chính cӫa Bài toán 1 và Bài toán 2 là muӕn xây dӵng mӝt lӟp các bài toán mӟi ta chӍ cҫn xây dӵng mӝt lӟp các biӃn ÿҥi sӕ, hoһc lѭӧng giác thӓa mãn ÿLӅu kiӋn ràng buӝc tѭѫng ӭng. ThiӃt nghƭ rҵng tӯ tѭ tѭӣng này có thӇ xây Gӵng ÿѭӧc rҩt nhiӅu lӟp bài toán nhѭ thӃ. Bài toán 3. Cho 1 2 , ,..., n xx x là các sӕ thӵc thӓa mãn ÿLӅu kiӋn 1 2 ... 0 n xx x + ++ = và xx x + ++ = . Tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa biӇu thӭc 1 2 ... 1 n = − ∏ . P xx i j 1 ≤< ≤ i jn 68 /ͥi gi̫i. + Trѭӡng hӧp 1. n = 2 là trѭӡng hӧp tҫm thѭӡng vì lúc này P = 1 không ÿәi, + Trѭӡng hӧp 2. n = 3, không mҩt tính tәng quát ta giҧ sӱ 123 xx x ≤ ≤ . Áp dөng bҩt ÿҷngthӭc AM-GM cho 3 sӕ không âm, ta có   − P x x 3 1 () () =− −     xx xx 21 32 2 2 x x 3     − 3 1   −+ +−     ≤ xx xx () () 21 32 2 3   x x 3   − 3 1 =     2 ≤ 1 8 Do ÿó14 P ≤  = −  ++=  1 xx x 123 x 0 2 1 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi     −= + + = ⇔ = 1 0 xx x x x x . 31 1 2 3 2   1 − x x −= =−≥ = xx xx x 3 1 0 21 32 3   2 2 9ұy 1 max4 P = . + Trѭӡng hӧp 3. n = 4 , mӝt cách tӵ nhiên ta dӵ ÿoán rҵng max P ÿҥt ÿѭӧc khi  = − = −  x x 1 4 x x 2 3 9ӟi giҧ thiӃt1234 xx xx ≤≤≤ . Nhѭ vұy thì 21 43 xxxx −=− . 1Ӄu xem hiӋu 21 43 xxxx −=− là ÿѫn vӏ và ÿһt3 2 xxa − = , thì ta sӁ có bӝ biӃn mà biӇu thӭc P ÿҥt max cҫn thӓa mãn ÿLӅu kiӋn 69 xx xx xx xx − − − − 31 32 42 41 xxxxa aa a −=−= = = = 21 43 1 12 + ++ 7ӯ cách phân tích trên, lӡi giҧi cӫa bài toán trong trѭӡng hӧp n = 4 sӁ nhѭ sau 9ӟi giҧ thiӃt1234 xx xx ≤≤≤ , ta có 2 13 14 13 24 24 3 P x xx xx xx xx xx x =− − − − − − ( )( )( )( )( )( ) Do ÿó P + + aa a ( 2)( 1) 2 = − − − − xx xx xx xx () () () ( ) ( ). . . . .( ) 31 32 41 42 =− − xx xx 21 43 ++ + a a aa 12 1 6   − −− − xx xx xx xx () ( ) () ( ) () () 31 32 41 42 xx xx −+ + + + + −   ++ + ≤ 21 43 a a aa 12 1 6   6 1 1 11 ( )1 1 ( )      − + + +−+ + −       ++ + xx xx  41 32 a a aa 12 1 =   6 Ta chӑn a > 0 sao cho 1 1 11 1 1 + + =− + + a a aa 12 1 ++ + hay a = − 2 1. Khi ÿó, 1 1 1 1 32 1 1 + + =− + + = ++ + a a aa 1 2 12 và ta thu ÿѭӧc 6 xx xx P    −− + + 3 2 .( ) 1 2 1234 ( )( )( ) ≤  ≤ 2 9 6 2 21 21 2 − +     hay 812 P ≤ Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 70  +++=  −− + + = + + + = xx xx 1234 0 1 xx xx x x x x 1234 1 2 3 4 −−−−  −=−= = = = ≥  − + xx xx xx xx xxxx 21 43 32 31 42 41 0 21 2 2 21  − Giҧi hӋ phѭѫng trình này ta nhұn ÿѭӧc .Ӄt luұn 1 maxP = .  =− = =− =  x x 4 1 x x 3 2 2 2 4 2 4 2 8 + Trѭӡng hӧp 4. n = 5. Phân tích. 9ӟi giҧ thiӃt12345 xx xxx ≤≤≤≤ , tӯ lӡi giҧi cӫa các trѭӡng hӧp 2 và 3, mӝt cách Wӵ nhiên, ta nghƭ ngay rҵng bӝ sӕ ÿӇ P ÿҥt max là 5 14 23 x xx xx =− =− = , ,0 . Do vұy 5 4 2 13 2 4 3 x x x xx x x x −=− −=− , , tӯ ÿó ta có thӇ ÿoán nhұn rҵng nӃu xem hiӋu 2 1 x x − bҵng ÿѫn vӏ và 3 2 x x − bҵng a thì bӝ sӕ ÿӇ P ÿҥt max cҫn phҧi thӓa ÿLӅu kiӋn x x xx xx xx xx − −−−− 2 1 43 32 31 53 ===== a aa a 1 11 + + xx xx xx xx xx − − − −− 42 41 52 51 54 = = === 2 21 212 2 1 aa a a + ++ 7ӯ cách phân tích trên, lӡi giҧi cӫa bài toán trong trѭӡng hӧp n = 5 sӁ nhѭ sau Không mҩt tính tәng quát, ta giҧ sӱ 12345 xx xxx ≤≤≤≤ , tӯ ÿó suy ra P x xx xx xx xx x =− − − − − ( )( )( )( )( )x 2 13 14 15 13 2 x( )( )( )( )( ) x xx xx xx xx x −−−−− 4 25 24 35 35 4 Xét biӇu thӭc P Qaa a =+ + 23 2 4 ( 1) (2 1) 71 ViӃt Q dѭӟi dҥng () () ( ) ( )( ) xx xx xx xx xx Qa aa a − − − −− 21 41 31 51 32 .... x =+ ++ 1 1 2122 − −−−− ( ) ( )( )( )( ) x x xx xx xx xx 4 2 52 43 53 54 x .... + + 2 21 1 1 aa aa Áp dөng bҩt ÿҷngthӭc AM−GM cho 10 sӕ không âm, ta có  − − − −− ≤ +++++  + ++ 1( ) ( ) ( ) ( )( ) xx xx xx xx xx Qa aa a 21 41 31 51 32 10 10 1 1 21 2 2 10 − −−−−  x x xx xx xx xx ( ) ( )( )( )( ) 4 2 52 43 53 54 +++++  aa aa 2 21 1 1 + +  10       1 1 3 13 ( )1 ( ) 1 xx xx = − + + + − −+ +           ++ +   10 51 42 a a aa 10 2 1 2( 1) 2 1 2 Chӑn a > 0 sao cho 1 3 13 1 1 + + =− + + ++ + 2 1 2( 1) 2 1 2 a a aa hay 12 a = . Khi ÿó, 1 3 1 35 1 1 + + =− + + =  ++ +  = 2 1 2( 1) 2 1 2 2 a a aa Q 4 P  27 7ӯ ÿây, ta thu ÿѭӧc 10 15 1 . .( ) Q xxxx   ≤ −− + + ≤     10 20 1245 10 2 2 P ≤ 27 Do ÿó 22 2 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 72  ++++= xx xxx 0 12345 −− + + = + + + + =  − − − xx x x x x x x x 1 1245 1 2 3 4 5 xx xx x x 2( ) 2( )  −= = = = − =  − − =−= = − = =−≥  31 51 4 1 xx xx 21 32 3 23 2( ) 2( ) 0 xx xx 52 53 xx xx xx 42 43 54 2 3 Giҧi hӋ phѭѫng trình này ta nhұn ÿѭӧc =− =−  =− =− x x 1 5 x x 2 4  = 3 8 1 8 . x 0 3  .Ӄt luұn 27 max2 P = . 22 Nhұn xét. %ҵng phѭѫng pháp tѭѫng tӵ sӁ tìm ÿѭӧc lӡi giҧi cӫa bài toán vӟi n 6. Bài toán 4. (Võ Quӕc Bá Cҭn) Cho mn p , , là ÿӝ dài ba cҥnh cӫa mӝt tam giác cho trѭӟc và tam giác ABC nhӑn. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc tg .tg .tg . mn p P ABC = /ͥi gi̫i. Xét biӇu thӭc 1cotg .cotg .cotg mn p Q ABC = = . P Bài toán ÿã cho tѭѫng ÿѭѫng vӟi tìm max cӫa Q . Khi nhìn thҩy biӇu thӭc Q , ít nhiӅu ta cǊng nghƭ ÿӃn ÿҷng thӭc quen thuӝc cotg .cotg cotg .cotg cotg .cotg 1 AB BC CA ++= Và tӯ ÿây, ta nghƭ ngay rҵng bài này có thӇ dùng bҩt ÿҷng AM-GM suy rӝng, do ÿó ta ÿѭa vào các tham sӕ dѭѫng xyz , , (chӑn sau) sao cho 73 xyz Q AB BC CA = (cotg .cotg ) .(cotg .cotg ) .(cotg .cotg ) ABC ++ + xz xy yz = (cotg ) .(cotg ) .(cotg ) . Ta phҧi chӑn xyz , , sao cho 1.( ) = +−  x mnp  + =  xzm 2 1.( )     + = ⇔ = −++ . xyn y mnp 2   + =  = −+  yz p 7ӯ ÿây, ta có 1.( ) z mn p 2 x z y     Q AB BC CA cotg .cotg cotg .cotg cotg .cotg . . x yz =         xyz xyz Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Cauchy suy rӝng, ta có Q x yz xyz ≤ xyz + +       1 cotg .cotg cotg .cotg cotg .cotg AB BC CA . xyz ≤ ++       xyz + + xyz xyz + +       ( ) 1 =+ + xyz ( ) xyz + + x yz xyz Qxyz+ + ≤+ + Do ÿó( ) Suy ra xyz xyz mn p ++ ++ xyz mn p Pxyz m n p m n p m n p ++ ++ ≥ =−++ −+ +− () ( ) x y z mn p mn p mnp − ++ −+ +− ( ) ( )( ) Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi cotg .cotg cotg .cotg cotg .cotg AB BC CA = = . xyz Hay 74  −+ +−  = = xz m n p m n p Ayx y z m n p m n p ( )( ) cotg( ) ( )( ) ++ −++ ++  −++ +−  = = xy m n p m n p Bzx y z m n p m n p ( )( ) cotg( ) ( )( ) ++ −+ ++ −+ −++  = =  ++ +− ++  yz m n p m n p Cxx y z m n p m n p ( )( ) cotg( ) ( )( ) .Ӄt luұn mnp + + ( ) min( ) ( )( ) mn p Pmn p mn p mn p + + =−++ −+ +−. − ++ −+ +− mn p mn p mn p Bài toán 5. (Vietnam TST 2001) Cho abc ,, 0 > và 21 2 8 12 ab bc ca ++≤ . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 123 P . =++ abc /ͥi gi̫i. Phân tích. ĈӇ ÿѫn giҧn, ta sӁ ÿһt1 23 xyz , , = == thì ta nhұn ÿѭӧc mӝt bài toán abc Wѭѫng ÿѭѫng nhѭ sau “ xyz ,, 0 > và 6 12 21 6 x y z xyz ++≤ . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc Pxyz =++ .” Nhұn thҩy tӯ giҧ thiӃt 6 12 21 6 x y z xyz ++≤ , ta có thӇ suy ra ÿѭӧc ( , , 0) mnp x yz k mn p ≥ > Do ÿó ta nghƭ ngay rҵng bài này có thӇ sӱ dөng bҩt ÿҷng AM-GM suy rӝng ÿѭӧc. Thұt vұy xy z Pm n p = ++ . . mn p 1 m n p mn p       x yz ≥ ++             ( ) .. mn pmnp + + 75 1   + + k ( )mn p ≥ ++     mn pmnp mn p Nhѭ vұy, nhiӋm vө cӫa ta bây giӡ chӍ là phҧi tìm mn p , , nӳa thôi. Rõ ràng, ta chӍ cҫn xét mn p ++ =1 là ÿӫ. Khi ÿó, ta có 6 6 12 21 xyz x y z ≥+ + xyz mnp =++ 6 . 12 . 21 . mn p 1 6 12 21 6 12 21 m n p mn p        xyz ≥ ++               mn pmn p (6 12 21 ) . . + + 6 mkm ĈӇ tìm mn p , , ta cҫn phҧi giҧi hӋ sau − =  + +  − = 16 12 21 mn p 12 16 12 21 nkn  + + mn p − = 21 16 12 21 pkp  + + mn p Hay 6  ++ = 1 mn p mm − =  + +  =− −  − =  1 2 mn p 6 12 21 n m np 12 1 1 2 n 2   + + ⇔ + +− = mn p n np n p 6 12 21 4 10 6 5 2   + −+ = − = p p np n p p 21 5 2 31 1 2 2 mn p  + + 6 12 21  ++ = mn p 2 1 Xét hӋ  + +− =  + −+ = 4 10 6 5 2 n np n p (*)5 2 31 2 p np n p 2 Ĉһt n tp t = > ( 0), hӋ (*) trӣ thành /ҩy (2) 2 (1) − x , ta ÿѭӧc  + +− =  + +− = (2 5) (3 ) 1 (1) t p tp 2 2 (4 10 ) (6 5) 2 (2) t tp t p 76 2 pt t p t ((4 6 10) 8 11) 0 +− +− = 1Ӄu t =1 thì hӋ (*) vô nghiӋm, do ÿó t ≠ 1. pt t− ⇒ =+ − t 11 8 (3) 2 4 6 10 Do p t > > 0, 0 nên 11 18 < và 3 5 7 15 x y z xyz + +≤ . Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 1.(6 5 4 ). P xyz = ++ ” 2 Áp dөng bҩt ÿҷng AM-GM cho 15 sӕ dѭѫng, ta có 15 3 5 7 15 ≥++≥ 15 357 xyz x y z x y z 15 12 10 8 ⇒ ≥ xyz 1 15 6 54 ⇔ ≥ xyz 1 /ҥi áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho 15 sӕ dѭѫng, ta có 1 15 15 15 6 54 .(6 5 4 ) . P x y z xyz = ++ ≥ ≥ 2 22 1 =  a 3  = =  xyzxyz b 4   ⇔ = = =⇔ = Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi xyz x y z 1 .  =++ =  15 3 5 7 5 3 c 2 .Ӄt luұn 15 min .2 P = Bài toán 6. Cho xyz ,, 0 ≥ và xyz ++= 3. Tìm giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa biӇu thӭc 4 44 Px y z =+ + 2 3 /ͥi gi̫i. 9ӟi mӑi sӕ dѭѫng abc , , , theo bҩt ÿҷng thӭc Holder, ta có 4 4 43 3 3 3 4 Pa b c ax by cz ( 2 3) ( 2 3 ) ++ ≥ + + 78 """