🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tuyển Chọn 100 Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 9 Ebooks Nhóm Zalo TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 9 Họ và tên:.................................................................................................... Lớp:............................................................................................................. Trường:........................................................................................................... Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ TP Tam Kỳ, tháng 11 năm 2016 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1.Phương pháp đánh giá VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh.2 2 3 6 7 5 10 14 x x x x + + + + += 4 – 2x – x2 Gi¶i: VÕ tr¸i : 3 1 4 x + ++ ( )2 ( )2 5 1 9 4 9 x + + ≥ += 5 VÕ ph¶i : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5. VËy pt cã nghiÖm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = 5. ⇔x+ 1 = 0 ⇔ x = -1. VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh. 3x x − + + = 2 1 3 Gi¶i : + §iÒu kiÖn : x≥ -1 Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng phu¬ng 3x − 2> 1 ; x +1>2 nªn vÕ tr¸i cña phu¬ng tr×nh lín h¬n 3. tr×nh. Víi x > 3 th× Víi -1 ≤ x < 3 th× 3x − 2< 1 ; x +1< 2 nªn vÕ tr¸i cña phu¬ng tr×nh nhá h¬n 3. VËy x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:3 4 − x+4x +1=-16x2-8x+1 (1) Gi¶i §K:43 1 − ≤ x ≤(*) Ta cã 4 ( )2 3 4 4 1 3 4 2 (3 4 )(1 4 ) 1 4 − + + = − + − + + + x x x x x x = + − + ≥ 4 2 (3 4 )(1 4 ) 4 x x ⇒ 3− 4x + 1+ 4x ≥ 2(2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2≤2 (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: ⎪⎨⎧+ + = 3 4 2 (3 4 )(1 4 ) 1 4 4 − + − + + + = ⎪⎩⎪⎨⎧− − + = x x 3 4 1 4 2 − + + = (1)2 x x x x ⇔16 8 1 0 ⇔16 8 1 2 ⎪⎩ x x 2 x x ⎪⎪⎪⎨⎧ 3 ⎢⎢⎢⎢⎣⎡= − ⎪⎨⎧− (3 4 )(1 4 ) 0 − + = x x = ⇔ x x 4 1 41 ⇔ ⎪⎩ x = 1 4 ⎪⎪⎪⎩ x = − 4 1 ⇔ x = − (tho¶ m·n(*)) 4 Trường THCS Định Hưng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ và tên người ra đề: Bùi Văn Hùng Thành viên thẩm định đề: Lê Hồng Sơn ĐỀ BÀI: Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P = ( − ) − + − + x 2 x 3 x 1 3 x a) Rút gọn P 2 x 3 x x 3 x 3 b) Tính giá trị của P khi x = 14 6 5 − c) Tìm GTNN của P Câu 2(4,0 điểm): − − + − Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x x 1 m + − = Câu (3,0 điểm): Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là 169và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27. Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là đường kính của đường tròn (O), AC là là đường kính của đường tròn (O’), DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D ∈ (O), E ∈ (O’), K là giao điểm của BD và CE. a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE. Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình : 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x + + + + + = − − . TRƯỜNG THCS: Yên Trường §Ò thi m«n:To¸n Thêi gian lµm bµi: 150p Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: TrÞnh ThÞ Giang C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò(§èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn):…………… §Ò thi C©u1: x + 2) : 2x −1 x 1 Cho biÓu thøc: A= (x x x Víi x>0 vµ x≠ 1 x x − + 1 1 + + + 1 − a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: 0< A < 2 C©u2: Cho c¸c ®-êng th¼ng (d1): y = mx -5 (d2): y = -3x +1 a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d1) vµ (d2) khi m = 3 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó M(3; -8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) C©u3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh sau: a) 1+ 3 3 x −16 = x + 3 b) xy – x – y = 5 yz - y- z = 5 zx –z –x =7 C©u4: Cho hai ®-êng trßn cã chung t©m lµ ®iÓm Ovµ cã b¸n kÝnh lÇn l-ît lµ R vµ R. Tõ mét ®iÓm A c¸ch t©m O Mét ®o¹n OA = 2R, ta kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC 2 ®Õn ®-êng trßn (O ; R). Gäi D lµ giao ®iÓm cña ®-êng th¼ng AO víi ®-êng trßn (O; R) vµ ®iÓm O thuéc ®o¹n th¼ng AD. a) Chøng minh ®-êng th¼ng BC tiÕp xóc víi ®-êng trßn (O ; 2R) b) Chøng minh tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu c) Chøng minh r»ng ®uêng trßn (O ; 2R) néi tiÕp trong tam gi¸c BDC. Truêng THCS §Þnh Tuêng §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Hä vµ tªn nguêi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn). §Ò thi: C©u 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc ⎜⎜⎝⎛+− x y ⎟⎟⎠⎞ + x y ⎜⎜⎝⎛− ⎟⎟⎠⎞ A12 x y xy + + =xy + 1 1 : 1 + − xy xy a, Rót gän A 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 2 3 x = + c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. C©u 2: (4 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 2 2 ⎪⎨⎧+ = + x y xy + = − 9 9 6 2 2 ⎪⎩ x xy xy 4 4 4 C©u 3: (2 ®iÓm) Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi 2 2 2 x + y + = y + z + = z + x + = 2 1 2 1 2 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2010 2010 2010 P = x + y + z C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a. Chøng minh r»ng: b a c 2ac.cosB 2 2 2 = + − C©u 5: (4 ®iÓm): Cho ®-êng trßn (O;R) vµ ®-êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®-êng trßn. b, Chøng minh ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn ( d) e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng. C©u 6: (2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c -íc tù nhiªn cña p4 lµ 1 sè chÝnh phu¬ng. Truêng THCS §Þnh Tuêng §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Hä vµ tªn nguêi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn). §Ò thi: C©u 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc ⎜⎜⎝⎛+− x y ⎟⎟⎠⎞ + x y ⎜⎜⎝⎛− ⎟⎟⎠⎞ A12 x y xy + + =xy + 1 1 : 1 + − xy xy a, Rót gän A 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 2 3 x = + c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. C©u 2: (4 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 2 2 ⎪⎨⎧+ = + x y xy + = − 9 9 6 2 2 ⎪⎩ x xy xy 4 4 4 C©u 3: (2 ®iÓm) Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi 2 2 2 x + y + = y + z + = z + x + = 2 1 2 1 2 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2010 2010 2010 P = x + y + z C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a. Chøng minh r»ng: b a c 2ac.cosB 2 2 2 = + − C©u 5: (4 ®iÓm): Cho ®-êng trßn (O;R) vµ ®-êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®-êng trßn. b, Chøng minh ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn ( d) e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng. C©u 6: (2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c -íc tù nhiªn cña p4 lµ 1 sè chÝnh ph-¬ng. Mét sè phU¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n cùc trÞ ë THCS I . kiÕn thøc c¬ b¶n 1. C¸c ®Þnh nghÜa 1.1. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn D : M. ®-îc gäi lµ GTLN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D nÕu 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n : 1. f(x,y,...) ≤ M ∀(x,y,..) ∈ |D 2. ∃ (x0, y0,...) ∈ |D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiÖu : M = Max f(x,y,..) = fmax víi (x,y,...) ∈ |D 1.2. §Þnh nghÜa gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc ®¹i sè cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn |D : M. ®-îc gäi lµ GTNN cña f(x,y,...) trªn miÒn |D ®Õn 2 ®iÒu kiÖn sau ®ång thêi tho¶ m·n : 1. f(x,y,...) ≥ M ∀(x,y,..) ∈ |D 2. ∃ (x0, y0,...) ∈ |D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiÖu : M = Min f(x,y,..) = fmin víi (x,y,...) ∈ |D 2. C¸c kiÕn thøc thuêng dïng 2.1. Luü thõa : a) x2 ≥ 0 ∀x ∈ |R ⇒ x2k ≥ 0 ∀x ∈ |R, k ∈ z ⇒ - x2k ≤ 0 Tæng qu¸t : [f (x)]2k ≥ 0 ∀x ∈ |R, k ∈ z ⇒ - [f (x)]2k ≤ 0 Tõ ®ã suy ra : [f (x)]2k + m ≥ m ∀x ∈ |R, k ∈ b) x≥ 0 ∀x ≥ 0 ⇒ (x)2k ≥ 0 ∀x≥0 ; k ∈z z M - [f (x)]2k ≤ M Tæng qu¸t : (A)2k ≥ 0 ∀ A ≥0 (A lµ 1 biÓu thøc) 2.2 BÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : a) |x| ≥ 0 ∀ x∈|R b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y ra ⇔ x.y ≥ 0 c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y ra ⇔ x.y ≥ 0 vµ |x| ≥ |y| 2.3. BÊt ®¼ng thøc c«si : a a a. ..... + + + ∀n∈N, n ≥2. .... 1 2≥ ∀ai ≥ 0 ; i = 1, n: nn na a a n dÊu "=" x¶y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an 2.4. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki : 1 2 Víi n cÆp sè bÊt kú a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta cã : (a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 ≤ (.... ).( .... ) 2 2 2 2 2 2 a1 + a + + an b +b + +bn DÊu "=" x¶y ra ⇔ 2 1 2 a= Const (i = 1, n) i b i 2.5. BÊt ®¼ng thøc Bernonlly : Víi a ≥ 0 : (1+a)n ≥ 1+na ∀n ∈N. DÊu "=" x¶y ra ⇔ a = 0. ❖ Mét sè BÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n thuêng gÆp ®uîc suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc (A+B)2 ≥ 0. Chuyªn §Ò: Gi¶i PhU¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn I-Phu¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¹ng: ax + by = c (1) víi a, b, c ∈ Z 1.C¸c ®Þnh lÝ: a. §Þnh lÝ 1: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph-¬ng tr×nh ax + by = c (trong ®ã a,b,c lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0 ) cã nghiÖm nguyªn (a,b) lµ -íc cña c. b.§Þnh lÝ 2: NÕu (x0, y0) lµ mét nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh ax + by = c th× nã cã v« sè nghiÖm nguyªn vµ nghiÖm nguyªn (x,y) ®-îc cho bëi c«ng thøc: ⎪⎪⎨⎧ ⎪⎪⎩ x x = + 0 y y = − 0 b d a d t t Víi t є Z, d = (a,b) 2.C¸ch gi¶i: B-íc 1: Rót Èn nµy theo Èn kia (gi¶ sö rót x theo y) B-íc 2: Dùa vµo ®iÒu kiÖn nguyªn cña x, tÝnh chÊt chia hÕt suy luËn ®Ó t×m y B-íc 3: Thay y vµo x sÏ t×m ®-îc nghiÖm nguyªn VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 2x + 5y =7 7 − 5y H-íng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7 ⇔ x = 2 1− y ⇔ x = 3 – 2y +2 1− ynguyªn. §Æt 2 Do x, y nguyªn ⇒2 1− y= t víi (t є Z ) ⇒ y = 1 – 2t ⇒ x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1 VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh lµ: x = 5t + 1 y = -2t +1 (t є Z ) VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 6x – 15 y = 25 H-íng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = 3 mµ 3/25 Bµi tËp n©ng cao chu¬ng I ®¹i sè 9 Bµi 1: Cã hay kh«ng mét sè thùc x ®Ó cho 1 + −®Òu lµ sè nguyªn x 15 vµ 15 x Bµi 2: T×m x, y tháa m·n c¸c ph-¬ng tr×nh sau: a) 2 2 x 4x 5 9y 6y 1 1 − + + − + =b) 2 2 6y y 5 x 6x 10 1 − − − − + = Bµi 3: Rót gän c¸c biÓu thøc: a) 13 30 2 9 4 2 + + +b) m 2 m 1 m 2 m 1 + − + − − c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 + + + + + + − + + Bµi 4: Rót gän c¸c biÓu thøc: a) 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 ( ) ( ) + + + − − − + = ` b) 9 6 2 6 B3 A2 = Bµi 5: So s¸nh: − − a) 6 20 vµ 1 6 + +b) 17 12 2 vµ 2 1 + +c) 28 16 3 vµ 3 2 − − + −d) ( )2 10 1 3 Bµi 6: Rót gän a) 110 70 + −c)12 18 6 + − − − +b) 42 6 − 22 14 21 18 2 6 2 10 3 1 + − Bµi 7: TÝnh a) 5 3 29 6 20 − − − b) 2 3 5 13 48 + − + c) 7 48 28 16 3 . 7 48 ⎛ ⎞ + − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Bµi 8: Chøng minh: 2 2 a a b a a b a b2 2 + − − − ± = ± (víi a , b > 0 vµ a2 – b > 0) ¸p dông kÕt qu¶ nµy ®Ó rót gän: a) 2 3 2 3 + − + 2 2 3 2 2 3 + + − − b) 3 2 2 3 2 2 − + − 17 12 2 17 12 2 − + c) 2 3. 2 4 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 + + + + + + − + + d) 2 10 30 2 2 6 2 + − − : 2 10 2 2 3 1 − − Bµi 9: Cho biÓu thøc 2 2x x 1 P(x)3x 4x 1 − − =− + 2 a) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P(x) x¸c ®Þnh. Rót gän P(x). b) Chøng minh r»ng nÕu x > 1 th× P(x).P(-x) < 0 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 A4 4 1 Bµi 10: Cho biÓu thøc: = + − − + + + − 2 − + x x a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A lµ mét sè nguyªn. Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (nÕu cã) hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt (nÕu cã) cña c¸c biÓu thøc sau: a) 2 9 x − b) x x (x 0) − >c) 1 2 x + −d) x 5 4 − − e) 1 2 1 3x − − MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI 1. Chứng minh 7 là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2+ (ad – bc)2= (a2+ b2)(c2+ d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2≤ (a2+ b2)(c2+ d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2+ y2. 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab +≥ . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c + + ≥ + + c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3+ b3. 2 6. Cho a3+ b3= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3+ b3+ abc ≥ ab(a + b + c) a b c 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b + > − 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2≤ 2(a2+ b2) b) (a + b + c)2≤ 3(a2+ b2+ c2) 11. Tìm các giá trị của x sao cho : a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2– 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2+ b2+ c2+ d2= a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2+ ab + b2– 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x2+ xy + y2– 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Rút gọn biểu thức : A 2 2 5 3 2 18 20 2 2 = − + − + ( )( ). + + + + > + − . 16. Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta luôn có : ( ) 17. Trục căn thức ở mẫu : 1 1 a) b) 1 2 5 x x 1 + + + +. 18. Tính : 1 1 1 1 .... 2 n 1 1 2 3 n a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 − − − + − + − − − 19. Cho a 3 5. 3 5 10 2 = − + − ( )( ) . Chứng minh rằng a là số tự nhiên. − + . b có phải là số tự nhiên không ? 21. Giải các phương trình sau : 20. Cho 3 2 2 3 2 2 b − + = − 17 12 2 17 12 2 − + − 22. Tính giá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21 = − + + − + − − a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3 − − + − = − = + − ( ) ( ) ( ) 5 x 5 x x 3 x 3 − − + − −= + − = c) 2 d) x x 5 5 ( ) ( ) 5 x x 3 23. Rút gọn : 1 1 1 1 A ... = + + + + + + + − +. 1 2 2 3 3 4 n 1 n C©u 1: (2 ®iÓm) P Cho biÓu thøc sau: 1. Rót gän P. §Ò thi Häc sinh giái m«n to¸n 9 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 2 ( ) =xx x x − 2 2 1 x x x x + + 1 − + x + − − 1 C©u 2: (2 ®iÓm) = nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn. Cho ®-êng th¼ng (d) cã ph-¬ng tr×nh: 2(m −1)x + (m − 2)y = 2 . 3. T×m x ®Ó biÓu thøc Px 1. VÏ (d) víi m = 3. Q2 2. Chøng minh r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. 3. T×m m ®Ó (d) c¸ch gèc to¹ ®é mét kho¶ng lín nhÊt. C©u 3: (2,5 ®iÓm) x + y + xy − x + y + = 2. Cho a, b lµ c¸c sè thùc d-¬ng tho¶ m·n: a + b = 4. 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: a b . 2 3 ( ) 3 0 2 2 C©u 4: (2,5 ®iÓm) 90 Aˆ= Dˆ= , tia ph©n gi¸c cña gãc C ®i qua trung ®iÓm I Chøng minh r»ng: 18 10 2 + 3 + + ≥ b cña AD. a b 1. Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (I, IA). Cho h×nh thang vu«ng ABCD ( )0 2. Cho AD = 2a. TÝnh tÝch AB vµ CD theo a. 3. Gäi H lµ tiÕp ®iÓm cña BC víi ®-êng trßn (I) nãi trªn. K lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Chøng minh r»ng KH song song víi BC. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c cã 3 gãc nhän. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc + + 〉 . kh¸c kh«ng x, y, z ta lu«n cã: 2 2 2 2 2 22 2 2 x a 2 y b 2 z c 2 x y z + + 2 2 2 a b c + + Phßng gi¸o dôc yªn ®Þnh Tr-êng thcs yªn thÞnh Ng-êi ra ®Ò: Hoµng Duy ThÕ §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn líp 9 Ng-êi thÈm ®Þnh: §µo Quang §¹i. M«n to¸n - thêi gian 150 phót N¨m häc: 2009 - 2010 Bµi 1: (3 ®). TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) A= 13− 100 − 53+ 4 90 b) B = 2 2 2 − − Víi a + b + c = 0 Bµi 2: (4 ®). Cho biÓu thøc: a 2 b 2 3 c 2 2 2 2 a b c + 2 2 2 b c a − − + c a b − − a) Rót gän biÓu thøc P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14 - 6 5 x x − 2( 3) x − x + 3 c) T×m GTNN cña P. − + P =x x x − − 2 3 x + 1 3 − Bµi 3 (4 ®). Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh. x + x + x x x x b) x + 6 − 4 x + 2 + x + 11 − 6 x + 2 = 1 1 x + x ++51 1 1 1 Bµi 4: (3 ®). Cho 2 sè d-¬ng x, y tháa m·n x + y =1 a) 4 3 2 2 2= 2 8 15 + + + 12 35 + + + 16 63 a) T×m GTNN cña biÓu thøc M = ( x2 + 21y)( y2 + 21x) b) Chøng minh r»ng: N = ( x +x1)2 + ( y +y1)2 ≥225 Bµi 5 (2 ®). Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, ®iÓm M ∈ BC. C¸c ®-êng trßn ®-êng kÝnh AM, BC c¾t nhau t¹i N ( kh¸c B). BN c¾t CD t¹i L. Chøng minh r»ng: ML vu«ng gãc víi AC. Bµi 6 (4 ®) Cho (O;R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®-êng trßn. Tõ mét ®iÓm M di ®éng trªn ®-êng th¼ng d vu«ng gãc víi OA t¹i A, vÏ c¸c tiÕp tuyÕn MB, MC víi ®-êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) d©y BC c¾t OM vµ OA lÇn l-ît t¹i H vµ K. a, Chøng minh r»ng OA.OK kh«ng ®æi, tõ ®ã suy ra BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b, Chøng minh r»ng H di ®éng trªn mét ®-êng trßn cè ®Þnh. c, Cho biÕt OA = 2R. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MBOC nhá nhÊt. §Ò thi: Tr-êng THCS §Þnh Thµnh §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150’ Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: §ç ThÞ H-¬ng C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh: Ph¹m V¨n Long C©u 1 (6 ®iÓm): Cho biÓu thøc a a) T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó A cã nghÜa. ⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞ ⎤ A = ⎥⎦⎤ ⎜⎜⎝⎛+ ( 1)( 1) ⎢⎣⎡+ − 1: 1-a aa a 1 2 b) Rót gän biÓu thøc A. ⎥ 1 a . − ⎥ − 1 c) víi gi¸ trÞ nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn. ⎦ 2cã ®å thÞ lµ (Dm) vµ hµm sè: y = x −1 cã ®å C©u 2(4 ®iÓm): Cho hµm sè: y = m thÞ lµ (T). a) Víi m = 2 . VÏ (T) vµ (D-2) trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é. x+ b) Dïng ®å thÞ biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x − x + = x + 2m - 2 2 1 0 C©u 4(2 ®iÓm): Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 2 x y + = 2 C©u 3(3 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: ⎩⎨⎧+ = x + 3+ 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5 3 3 x y 26 C©u 5: ( 6 ®iÓm): Cho hai ®-êng trßn ( O;R) vµ (O’; r) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B ∈ (O), C ∈ (O’). a) TÝnh sè ®o gãc BAC b) TÝnh BC. c) Gäi D lµ giao ®iÓm cña CA víi ®-êng trßn t©m O, ( D ≠ A). Chøng minh r»ng ba ®iÓm B,O,D th¼ng hµng. d) TÝnh BA,CA ………………………****HÕt***………………………………….. Phßng gi¸o dôc yªn ®Þnh Tr-êng THCS Yªn L¹c §Ò thi HSG cÊp huyÖn n¨m häc 2009 – 2010. §Ò thi m«n : To¸n. Thêi gian lµm bµi : 150 phót. Ng-êi ra ®Ò : TrÞnh V¨n Hïng. Ng-êi ThÈm ®Þnh ®Ò: TrÞnh V¨n B»ng, TrÇn TuyÕt Anh, L-u Vò ChÕnh Bài 1:( 4 ®iÓm ) . Cho biểu thức 2 =− + a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0. 2x x 1 P(x)3x 4x 1 Bµi 2. ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh ⎨⎩ − = − a) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh víi m = 2 − − 2 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn xy ®¹t gi¸ ⎧ + + = − ( 1) 2 1 m x my m trÞ lín nhÊt 2 mx y m 2 Bµi 3. ( 4 ®iÓm ). Cho hµm sè : y= mx -2m -1 ( m≠ 0 ) . (1). a) Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (1) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè dÞnh khi m thay ®æi. b) TÝnh theo m täa ®é c¸c giao ®iÓm A, B cña ®å thÞ hµm sè (1) lÇn l-ît víi c¸c trôc Ox vµ Oy . X¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng 21( ®.v.d.t) Bµi 4. ( 3 ®iÓm ) . Cho tam gi¸c nhän ABC ; BC = a; CA = b; AB = c. Chøng minh r»ng : b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB Bµi 5. ( 4 ®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450. VÏ ®-êng trßn ®-êng kÝnh AC cã t©m O, ®-êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®-êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 6. ( 2 ®iÓm ) CMR, ∀n ≥ 1 , n ∈ N : 1 1 1 1 ... 2 + + + + < 2 3 2 4 3 (n 1) n + ®Ò thi häc sinh giái m«n to¸n C©u I:. Cho ®-êng th¼ng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. b) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é ®Õn ®-êng th¼ng (d) b»ng 1. c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc täa ®é ®Õn ®-êng th¼ng (d) cã gi¸ trÞ lín nhÊt. C©uII: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: x + x + + x − x + = b) x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 1 C©u III: a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= yzx 2 2 a) 2 2 1 6 9 6 xy+ + víi x, y, z lµ sè d-¬ng vµ x + y + z= 1 b) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: x y z yz + − z x ⎩⎨⎧ − ⎪⎨⎧ − 5 1 = 2 3 2 = − 2 1. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña B ⎪⎩ 2. Rót gän B 3. T×m x ®Ó B<2 2 x x x 3 2 12 x y z − + = 2 2 x x x C©u IV: c) B = 2 x x x − − − 2 2 − − 2 x x x + − 2 ë N.a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña BD b) Chøng minh EF // BC Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A, víi AC < AB; AH lµ ®-êng cao kÎ tõ ®Ønh A. C¸c tiÕp tuyÕc) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN t¹i A vµ B víi ®-êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M. §o¹n MO c¾t c¹nh AB ë E. §o¹d) Cho OM =BC = 4cm. TÝnh chu vi tam gi¸c ABC. MC c¾t ®-êng cao AH t¹i F. KÐo dµi CA cho c¾t ®-êng th¼ng BM ë D. §-êng th¼ng BF c¾t ®-êng th¼ng AtuyÕn kÎ tõ A víi ®-êng trßn c¾t ®-êng th¼ng d t¹i B vµ C t¹o thµnh tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch nhá nhÊt. §¸p ¸n C©u Néi dung §iÓ I a) y lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m C©u V: Cho (O;2cm) vµ ®-êng th¼ng d ®i qua O. Dùng ®iÓm A thuéc miÒn ngoµi ®-êng trßn sao cho c¸c ti (3®) II (4®) b) X¸c ®Þnh giao cña (d) víi Ox lµ A vµ Oy lµ B, ta cã: OA = 2: (|2 - m|); OB = 2 +OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn AB. Do OH = 1. Thay vµo tÝnh m = 2 - 3 hoÆc m = 2 + 3 . + C¸c ®-êng th¼ng t-¬ng øng y = 3 x + 2 vµ y = - 3 x + 2 c) OH ®¹t GTLN ⇔ m2- 4m + 5 ®¹t GTNN ⇔ m = 2 + §-êng th¼ng y = 2 vµ OH = 2 a) §-a vÒ d¹ng: 2|x+1| + |x-3| = 6 + X¸c ®Þnh §K cña x: + Víi x < -1 cã x = -85 + Víi -1≤ x < 3 cã x =1 7TX§. KÕt luËn : x = -85vµ x =1 lµ nghiÖm b) §KX§: x≥ 1 0. 0. 0. 0.5 0. 0. 0.5 0. 0.5 0.5 0.5 0.5 + Víi x > 3 cã x = ∉ 3 + Pt : x + | 2 - x| = 2 x − x − = 2 0.5 + §-a vÒ d¹ng: 2x + 2 4( 1) 4 0.5 A- Môc tiªu: Båi D-ìng häc sinh giái m«n to¸n 9 Chuyªn §Ò §-êng trßn -Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®-êng trßn. -VËn dông mét c¸ch thµnh thôc c¸c ®n,tÝnh chÊt ®Ó gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp ®ã. -RÌn kü n¨ng vµ t- duy h×nh häc.S¸ng t¹o vµ linh ho¹t trong gi¶i to¸n h×nh häc. B - NỘI DUNG : I/ Những kiến thức cơ bản : 1) Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn : - Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R) . - Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 900. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng2AB R = . - Qua 3 điểm A,B ,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . - Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó . Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó . - Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . - Trong một đường tròn , hai dây cung không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn . - Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điể m 2) Tiếp tuyến của đường tròn : chung với đường tròn . Điểm đó được gọi là tiếp điểm . - Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm . Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến . - Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm . - Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác . - Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia . 3) Vị trí tương đối của hai đường tròn : - Giả sử hai đường tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc PhÇn1 :BiÓu thøc sè Bµi tËp 1: TÝnh A = 3− 2 2 − 6 + 4 2 B = 2 + 3 + 2 − 3 C = 3 + 13 + 48 D = 5 + 3 − 29 −12 5 + + Bµi tËp 2: TÝnh A = + + 2 + 2 B = 2 2 2 2 3 + 2 2 3 + + − 5 2 2 2 + − 2 3 − 2 2 3 − − 14 6 C = (2 ) 2 3)(− + 7 + 5 2 + 7 − 5 2 1 2 − + − + 1 2 2 2 2 10 + 6 3 − −10 + 6 3 . CMR x0lµ nghiÖm cña PT 1 3 2 2 3 − D =3 2 2 3 . x3 + 6x – 20 = 0 2 3 + Bµi tËp 5: BiÕt x= 2 + 2 + 3 − 6 − 3 2 + 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Bµi tËp 3: TÝnh S =3 3 Bµi tËp 4: Cho x0=3 3 S = x4-16x PhÇn 2 : BiÓu thøc ®-îc tÝnh qua biÓu thøc kh¸c Bµi tËp 1 : Cho c¸c sè a,b tho¶ m·n c¸c hÖ thøc a2+b2 = 1 vµ a3+b3 = 1 . TÝnh T = a2005+b2006 Bµi tËp 2: BiÕt a,b d-¬ng tho¶ m·n a2002+b2002= a2003+b2003 = a2004+b2004 . TÝnh S = a2005+ b2005 Bµi tËp 3 : BiÕt a,b,c tho¶ m·n 1 a b cvµ ab +ac +bc = 1 .TÝnh 1 1 1 1 + y y + + x = . TÝnh F= x+y Bµi tËp 4: BiÕt x,y tho¶ m·n (x+ 1 )( 1 ) 1 + + = Bµi tËp 5: Cho x,y,z lµ c¸c sè d-¬ng tho¶ m·n x+y+z+ xyz = 4 1 1 P = a ab b bc + c + ca + + TÝnh S = x(4 − y)(4 − z) + y(4 − x)(4 − z) + z(4 − x)(4 − y) - xyz 1 + + 1 1 + + Bµi tËp 6: Cho a,b,c,x,y,z lµ c¸c sè d-¬ng tho¶ m·n x+y+z = a; x2+y2+z2 = b; 2 2 a2 =b +4010 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc + +PhÇn 3 : Mét sè bµi luyÖn tËp 2 2 + (2005 )(2005 ) y z 2 2 (2005 )(2005 ) + + x z + y + z 2 2 (2005 )(2005 ) + + x y M= 2 2005 + x 2 2005 + y 2 2005 + z Bµi 1: TÝnh S = + 3 5 10 3 5 + + + 3 5 − 10 3 5 + − Bµi 2 : CMR S = 2 + 3 4...... 2000. < 2 T = 4 7 2 2 4 7 + + + 4 7 − 2 2 4 7 − − ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1. 3x2+ 4x + 10 = 22 14 7 x − 2.4 4 2 4 2 2 4 16 4 1 2 3 5 − − − + + + + − − = − x x x x y y y 3. x4- 2y4– x2y2– 4x2 -7y2- 5 = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để n +18 và n − 41 là hai số chính phương. 2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4 = + Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên vlà một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. Bài 3: (3,25 điểm) (O), (P, N là hai tiếp điểm). 1. Chứng minh rằng 2 2 MN MP MAMB = =. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. T2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường trò3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định k M di động trên đường thẳng d. Bài 4: (1,5 điểm) các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0. Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoànab +5b cb +5c ac +5a≤ lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ d3 3 3 3 3 3 Chứng minh rằng: 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) 2 2 2 Hết./ UBND HUYEÄN CHAÂU THAØNH Phoøng Giaùo duïc & Ñaøo taïo COÄNG HOØA XAÕ HOÄI CHUÛ NGHÓA VIEÄT NAM Ñoäc laäp – Töï do – Haïnh phuùc Baøi 1) (3ñ): ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 Moân thi: TOAÙN 9 Thôøi gian: 90 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà) Ñeà soá 2: (Hoïc sinh khoâng phaûi cheùp ñeà vaøo giaáy thi) + + + + 2009 2008 Cho bieåu thöùc A=2(9 9 ... 9 1) Chöùng minh raèng A baèng tích cuûa hai soá töï nhieân lieân tieáp Baøi 2) (4ñ): a B )Ruùt goïn 4 10 2 5 4 10 2 5 = + + + − + = − − b C x x )Tìm x ñeå bieåu thöùc sau coù giaù trò nhoû nhaát, tìm giaù trò nhoû nhaát ñoù 2009 Baøi 3) (4ñ) a a b c a b c abc + + = + + − = 3 3 3 )Chöùng minh raèng neáu 0 thì 0 = + + + + = b )AÙp duïng tính chaát treân ñeå tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau vôùi x y z ⋅ ⋅ ≠ 0 Baøi 4) (3ñ) xy xz yz Dz y x x y z 1 1 1 neáu bieát 0 Cho a, b, c laø ñoä daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc. 2 2 2 + − + − + − Baøi 5) (3ñ) Chöùng minh raèng: Cho tam giaùc ñeàu ABC töø 1 ñieåm M thuoäc mieàn trong tam giaùc keû MH, MK, ML vuoâng a b c Eb c a a c b a b c goùc vôùi caïnh AB, BC , AC vaø coù ñoä daøi laàn löôït laø x, y, z. Goïi H laø ñoä daøi ñöôøng cao tam = + + ≥ 3 giaùc ñeàu Baøi 6) (3ñ) x y z h + + ≥ Cho tam giaùc ABC (AB < AC) M laø 1 ñieåm treân caïnh BC veõ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM. Chöùng minh raèng 2 2 2 2 13 Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân caïnh BC ñeå toång BI + CK nhoû nhaát. ---*--- − − + − §Ò Thi m«n: a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P víi x = 14 - 6 5 . c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C©u1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc C©u 2: (4 ®iÓm) 3 3 2 3 ( ) x x x x − − + 1) Cho ®-êng th¼ng y = (m-2)x + 2 (d) = − + px x x x a) Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi ∀ m. 2 3 1 3 2) Trong mÆt ph¼ng täa ®é cho ®iÓm M cã toµ ®é m + (m lµ tham sè) xM = 1 m + yM = 1 T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M. 2 C©u 3: (5 ®iÓm) 1) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 2 x y += += xyz y z += 5 24 7 2) T×m nghiÖm nguyªn d-¬ng cña ph-¬ng tr×nh: x2 - 4xy + 5y2 = 169 xyz x z 24 1 chuyÓn trªn cung nhá AK(M ≠ A vµ K). lÊy ®iÓm N trªn ®o¹n BM sao cho BN = Am xyz 4 a) CM: MKN vu«ng c©n b) §-êng th¼ng AM c¾t ®-êng th¼ng OK t¹i D. Chøng minh MK lµ ®-êng ph©n gi¸c cña ∠ DMN. c) Chøng minh ®-êng th¼ng ⊥ víi BM t¹i N lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. C©u 4: (5 ®iÓm) Cho ®-êng trßn (0) ®-êng kÝnh AB. Gäi K lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, M lµ ®iÓm dC©u 5: (2 ®iÓm) Cho c¸c sè d-¬ng a,b,c,d. Chøng minh: +++ H-íng dÉn chÊm a b c 2 + + > C©u ý Néi dung c¬ b¶n §iÓm 1 b c a c a b §KX§: x ≥ 0; x ≠ 9 a) 2 3 3 3 x x x x − − + ( ) = − + px x x x − − + − 2 3 1 3 2 3 3 3 x x x x − − + ( ) = − − = − − − − + + =+ x x x x + − + − 1 3 1 3 0.25 0,5 0,5 = − = − = − ⇒ =0,5 ( )( ) 2 x + 8 x x x x xx 3 2 3 3 11 ( ) ( )( ) b) ( )2 58 2 5 14 6 5 5 3 3 511 x P − 0,5 §Ò kiÓm tra häc sinh giái m«n to¸n 8 Bài 1: (3 điểm) Thời gian làm bài: 120 phút a) Phân tích đa thức x3– 5x2+ 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2– 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng Bài 2: (3 điểm) − − + ( ) x y x y 20 − − + = Giải các phương trình sau: 3 3 2 2 y x x y 1 1 3 a) (x2+ x)2+ 4(x2+ x) = 12 x + x x x x x Bài 3: (2 điểm) b) 20036 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho 2008 + 2007 + 2006 = 2005 + 2004 + AE = CFa) Chứng minh Δ EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ----HẾT---- §Ò kiÓm tra häc sinh giái m«n to¸n 8 Bài 1: (3 điểm) Thời gian làm bài: 120 phút a) Phân tích đa thức x3– 5x2+ 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2– 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng Bài 2: (3 điểm) − − + ( ) x y x y 20 − − + = Giải các phương trình sau: 3 3 2 2 y x x y 1 1 3 a) (x2+ x)2+ 4(x2+ x) = 12 x + x x x x x Bài 3: (2 điểm) b) 20036 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho 2008 + 2007 + 2006 = 2005 + 2004 + AE = CFa) Chứng minh Δ EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ----HẾT---- §Ò kiÓm tra häc sinh giái m«n to¸n 8 Bài 1: (3 điểm) Thời gian làm bài: 120 phút a) Phân tích đa thức x3– 5x2+ 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2– 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng Bài 2: (3 điểm) − − + ( ) x y x y 20 − − + = Giải các phương trình sau: 3 3 2 2 y x x y 1 1 3 a) (x2+ x)2+ 4(x2+ x) = 12 x + x x x x x Bài 3: (2 điểm) b) 20036 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho 2008 + 2007 + 2006 = 2005 + 2004 + AE = CFa) Chứng minh Δ EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ----HẾT---- §Ò thi m«n: To¸n 9 Tr-êng THCS §Þnh Long Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: TrÞnh §×nh Thanh C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: Ph¹m Ngäc Toµn §Ò bµi: Bµi 1 ( 3 ®iÓm ): Cho biÓu thøc: 3 1) Rót gän biÓu thøc P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14-6 5 x x − 2( 3) x − x + 3 P=x − + 3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P x x − − 2 3 x + 1 3 − Bµi 2 ( 3 ®iÓm ): Gi¶i ph-¬ng tr×nh: x + + x + x x x x x y 1= 1 1 1) 1 + 3 2 Bµi 3 ( 3 ®iÓm ): + + + 2 1 + + + 1 36= − − − − 4 2) 28 4 2 1 −x y 2 + − x − x + . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A 1 Bµi 4 ( 3 ®iÓm ): x + )(y+ 3 y + ) = 3. T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y 1) Cho biÓu thøc A = 4 20 2 1) Chøng minh r»ng: 2) Cho (x+ 3 2 2 5 2 < 1 + 501 1+ + + + < 10 2 2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x2 + y2 + z2 BiÕt x + y + z = 2007 1 2 3 1 4 ... Bµi 5 ( 3 ®iÓm ): Cho a, b, c lÇn l-ît lµ ®é dµi c¸c c¹nh BC, CA, AB cña tam ≤ Bµi 6 ( 5 ®iÓm ): Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh 60 cm. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm A a gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: bc Sin2 2 D sao cho BD = 20 cm. §-êng trung trùc cña AD c¾t c¸c cacnhj AB, AC theo thø tù ë E, F. TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c DEF. ------------- HÕt---------- §Ò bµi: Tr-êng THCS Yªn Th¸i §Ò thi häc sinh giái to¸n 9 (n¨m häc 2009- 2010) Thêi gian lµm bµi 150 phót Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: NguyÔn ThÞ Thuý H»ng C©u1. ( 4 ®iÓm) Cho biÕu thøc x x x x a, H·y t×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M. b, Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛−+ 2 + − x x x − 1 x M =2 1 2 1 ®ã cña M? x x − − 1 1 x x x + C©u 2. ( 4 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ y x xy y x C©u 3. (4 ®iÓm) Cho A (6,0); B (0,3) 2 2 ⎪⎨⎧+ + − = 2 2 2 7 − − + − = + − x − a, ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng AB. 3 3 ⎪⎩ x y x y 8 b, Mét ®iÓm M (x;y) di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB. Gäi C; D theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn OA; OB. Gäi N lµ ®iÓm chia ®o¹n th¼ng CD theo tû sè 1:2. TÝnh to¹ ®é (x’; y’) cña N theo ( x; y) . c, LËp mét hÖ thøc gi÷a x’; y’ tõ ®ã suy ra quÜ tÝch cña N. C©u 4. (5 ®iÓm ) Cho ( 0; R )®-êng th¼ng d c¾t ( O ) t¹i 2 ®iÓm A; B. trªn d lÊy 1 ®iÓm M vµ tõ ®ã kÎ 2 tiÕp tuyÕn MN; MP ( N; P lµ tiÕp ®iÓm) a, C/M: PMO = PNO b, T×m 2 ®iÓm cè ®Þnh mµ ®-êng trßn ( MNP ) lu«n ®i qua khi M di ®éng trªn d. c, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó ΔMNP lµ Δ ®Òu. C©u 5.( 3 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: §¸p ¸n: = + 1 0 1 0 Q + + − + ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 1x y x y x C©u 1. (4®) y 1 ( ) ( )2 1 6 1 6 2 2 1 2 y 2 x 2 4 x ≥ 0, x ≠ vµ x#1. (0,5®) a, §iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa lµ: 41 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− 2 x x x x+ − x x + x − 1 x M =2 1 2 1 x x − − . 1 1 x x x + − + x − Phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Yªn §Þnh Tr-êng THCS ThÞ trÊn Qu¸n Lµo §Ò thi M«n: To¸n 9 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä tªn ng-êi ra ®Ò : M¹ch ThÞ H-¬ng C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: NguyÔn ThÞ Lan Anh Bµi 1:(4®) Cho biÓu thøc: Ph¹m ThÞ Thñy − + − −) a>Rót gän biÓu thøc A A= (1+1x x +) : ( 1 2 x b>T×m x ®Ó A> 1 − x x x x x 1 1 ⎧⎪ + = ⎨⎪⎩ + = + Bµi 3:(4®) Cho ®-êng th¼ng(Dm) cã ph-¬ng tr×nh (m + 2)x + (m – 1)y – 1 = 0 3 3 Bµi 2: ( 3®) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: x y 1 a> Chøng minh khi m thay ®æi ®-êng th¼ng (Dm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . 5 5 2 2 x y x y b> T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®-êng th¼ng (Dm) lín nhÊt. Bµi 4:(7®) Cho nöa ®-êng trßn (O) ®-êng kÝnh AB. §iÓm M thuéc n÷a ®-êng trßn, ®iÓm C thuéc ®o¹n OA.Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa M vÏ tiÕp tuyÕn Ax,By.§-êng th¼ng qua M vµ vu«ng gãc MC c¾t Ax;By t¹i P vµ Q. AM c¾t CP t¹i E; BM c¾t CQ t¹i F. a.Chøng minh tø gi¸c ACMP néi tiÕp. b.Chøng minh: BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Bài 5 (2 điểm) Cho ΔABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích ΔDME đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Tr-êng THCS §Þnh T¨ng. §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: NguyÔn Kh¸nh Thµnh. §Ò bµi: C©u 1(4®iÓm): Cho biÓu thøc B = 5 6 a. X¸c ®Þnh x ®Ó B cã nghÜa. 2 1 b. Rót gän B. 2 9 x-23 − x + c. T×m x ®Ó B lµ sè nguyªn. x x x-x + C©u 2 (1®iÓm): − + x − 3 − T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó 2 ®-êng th¼ng y = (m – 1)x + 2 (m≠ 1) Vµ y = (3 –m)x + 1 (m≠ 3) song song víi nhau. (1) C©u 3(2®iÓm): Cho hÖ ph-¬ng tr×nh:⎩⎨⎧− = 4 6 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph-¬ng tr×nh trªn. C©u 4(3®iÓm): Cho hai ®-êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B. C¸c tiÕp x my m − = + tuyÕn t¹i A cña c¸c ®-êng trßn (O) vµ (O’) c¾t ®-êng trßn(O’) vµ (O) theo thø tù mx y m 2 (2)(1) t¹i C vµ D. Gäi P vµ Q lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña c¸c d©y cung AD vµ AC. Chøng minh r»ng: AB b. ∠ BPD = ∠ AQB c. Tø gi¸c APBQ néi tiÕp AC= BD a. AD a. Rót gän A. x x x §Ò bµi. b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 3 +2010 Bµi 1(3®). Cho biÓu thøc: A = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− ⎟⎟⎠⎞ Bµi 2(3®). Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1) ⎜⎜⎝⎛+ + 3 3 x 3 + +1 + a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A(1; 5). 2 3x 3 3 27 3 b. VÏ ®å thÞ hµm sè víi gi¸ trÞ võa t×m ®-îc ë c©u a. Gäi giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè (1) víi trôc Ox lµ giao ®iÓm cña ®-êng th¼ng h¹ tõ A vu«ng gãc víi Ox lµ C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC? = = Chøng minh r»ng: z – x =2 (x − y)(y − z) Bµi 4(2.5). Cho x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x3 + y3 + xy 2 2 x y z Bµi 3(2) Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n 2008 2009 2010 Bµi 6(3) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( Bˆ = 900, BC > BA) néi tiÕp ®-êng trßn ®-êng kÝnh AC. KÎ d©y cung Bvu«ng gãc víi ®-êng kÝnh AC. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Trªn HC lÊy ®iÓm E sao cho E ®èi xøng víi A qua H. §-êng trßn ®-êng kÝnh EC c¾t c¹nh BC t¹i I ( I kh¸c C). Chøng minh r»ng: b+ ≥ + a. CI.CA = CB.CE a Bµi 5(2.5). Cho a, b>0. Chøng minh r»ng: a b a b b. HI lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn ®-êng kÝnh EC Bµi 7(4). Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp (0; R). §-êng cao AK c¾t ®-êng trßn (0) t¹i D; AN lµ ®-êng kÝnh cña ®-êng trßn (0). a. Chøng minh: BD = CN. b. TÝnh ®é dµi AC theo R vµ α . BiÕt ∠ ABC = α . c. Gäi H, G lÇn l-ît lµ trùc t©m, träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng H; G; O th¼ng hµng. Gi¶i Bµi Néi dung BiÓu x x x§KX§: x ≠ 0; x ≠ 3 1(3®)a.(2®) A = ⎟⎟⎠⎞ 2 2 chÊm 0.5 0.5 ⎜⎜⎝⎛− ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛+ + 3 3 x 3 + +1 + 2 3x 3 3 27 3 =x 0.5 0.5 32 =⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− + + ⎜⎜⎝⎛ + + + 3 x x 3 3 b.(1®) Thay x = 3 +2010 vµo A ta cã: A3 = x x x x x 3 + + x 3 3 ( 3)( 3 3) 1.0 ( 3) 3 32 = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− + + ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + + x − + x x 3 3 1 2(3®) Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1) 23 ( 3)( 3 3) x x x 3 x − - TÝnh ®-îc SABC= 21BC.AC = 2135. .5 = 625(®vdt)0.5 a. V× ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A(1; 5). Thay x = 1; y = 5 vµo (1) ta cã: 5 = 3 1 + 2m – 1 <=> m = 23 1= 1 =x 2010 − b. - Häc sinh vÏ ®-îc ®å thÞ ®óng. - Häc sinh lËp luËn l«gic: 3 2010 3 + − 0.5 1.0 0.5 0.5 Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o Tr-êng THCS Yªn Hïng §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: NguyÔn Xu©n Hïng. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: 1 NguyÔn Xu©n Niªn C©u 1. (4®) Cho biÓu thøc A = ( x x 1 2 NguyÔn Xu©n Hïng − a, Nªu ®iÒu kiÖn ph¶i cã cña x vµ rót gän biÓu thøc A b, T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. −-x x 1 − + +): 22 C©u 2. (4®) Gi¶i ph-¬ng tr×nh. x + x x x x x x + b, x x − + − 1 4 5 + 11 8 5 + + − x x = 4 a, 1 x ++ 2 x += 3 x ++ 4 C©u 3. (4®) Cho ®-êng th¼ng (m+2)x – my = -1 (1) (m lµ tham sè) 2008 2007 2006 2005 a, T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®-êng th¼ng (1) lu«n ®i qua. b, T×m ®iÓm cè ®Þnh cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®-êng th¼ng (1) lµ lín nhÊt. C©u 4. (6®) Cho ΔABC (AB = AC ) BiÕt A = 800. LÊy ®iÓm I n»m trong tam gi¸c sao cho ICB = 200; IBC = 100 a, LÊy K ®èi xøng víi i qua AC . Chøng minh r»ng tø gi¸c AKCB néi tiÕp . b, TÝnh AIB C©u 5. (2®) Cho 2 sè d-¬ng x,y cã tæng b»ng 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc . A = 1x+1y Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o Tr-êng THCS Yªn Hïng §Ò thi m«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: NguyÔn Xu©n Hïng. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò: 1 NguyÔn Xu©n Niªn C©u 1. (4®) Cho biÓu thøc A = ( x x 1 2 NguyÔn Xu©n Hïng − a, Nªu ®iÒu kiÖn ph¶i cã cña x vµ rót gän biÓu thøc A b, T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. −-x x 1 − + +): 22 C©u 2. (4®) Gi¶i ph-¬ng tr×nh. x + x x x x x x + b, x x − + − 1 4 5 + 11 8 5 + + − x x = 4 a, 1 x ++ 2 x += 3 x ++ 4 C©u 3. (4®) Cho ®-êng th¼ng (m+2)x – my = -1 (1) (m lµ tham sè) 2008 2007 2006 2005 a, T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®-êng th¼ng (1) lu«n ®i qua. b, T×m ®iÓm cè ®Þnh cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®-êng th¼ng (1) lµ lín nhÊt. C©u 4. (6®) Cho ΔABC (AB = AC ) BiÕt A = 800. LÊy ®iÓm I n»m trong tam gi¸c sao cho ICB = 200; IBC = 100 a, LÊy K ®èi xøng víi i qua AC . Chøng minh r»ng tø gi¸c AKCB néi tiÕp . b, TÝnh AIB C©u 5. (2®) Cho 2 sè d-¬ng x,y cã tæng b»ng 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc . A = 1x+1y Bµi 1 ( 4 ®iÓm ) ®Ò thi häc sinh giái To¸n 9 = a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P 1 3 2 P + - + Cho biÓu thøc x - x 1 Bµi2 (4 ®iÓm) x 1 + + x x 1 = , y = 2 c¾t nhau t¹o thµnh mét tam gi¸c. a) Cho ®-êng th¼ng y = 2x , y x TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®ã. 1 b) T×m trªn ®-êng th¼ng y = 4x + 1 nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n: y2 – 5y x + 4x = 0. Bµi 3.(3®iÓm) 2 a. Cho c¸c sè d-¬ng a, b, c thay ®æi vµ tho¶ m·n a + b + c = 4. Chøng minh: a + b + b + c + c + a > 4 . b. Cho 3 sè d-¬ng x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn xy + yz + zx = 2010.Chøng minh r»ng B 2010 x 2010 y 2010 z gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau ®©y kh«ng phô thuéc vµo x, y, z: ( + + + + + + )( ) ( )( ) ( )( ) 2010 y 2010 z 2010 z 2010 x 2010 x 2010 y Bµi 4(5®iÓm) 2 2 2 2 2 2 P x y z = + + Cho ba ®iÓm cè ®Þnh A,B,C th¼ng hµng theo thø tù ®ã.vÏ ®-êng trßn t©m O qua B vµ 2 2 2 +++ C. Qua A vÏ tiÕp tuyÕn AE, AF víi ®-êng trßn (O); Gäi I lµ trung ®iÓm BC ,N lµ trung ®iÓm EF . a. Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm E, F lu«n n»m trªn mét ®-êng trßn cè ®Þnh khi ®-êng trßn (O) thay ®æi . b. §-êng th¼ng FI c¾t ®-êng trßn (O) t¹i K. Chøng minh r»ng : EK // AB . c. Chøng minh r»ng t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ONI ch¹y trªn mét ®-êng th¼ng cè ®Þnh khi ®-êng trßn(O) thay ®æi. Bµi 5(4 ®iÓm) a.Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: (y+2)x2+1=y2 b. Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 1 1 1 2009 2009 − + + + + = ... x 1.2 2.3 ( 1) 2009 2010 x x x + − + Bµi1(4®) §Ò THI CHäN HSG m«n To¸n 9 a/ TÝnh 6 2 5 6 2 5 − − + b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠ 0. Chøng tá r»ng + + = 1 1 1 + + c/ H·y chøng tá 3 3 x = + − − 5 2 5 2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x3 +3x – 4 = 0 Bµi2(4®) 1 1 1 2 2 2 abc abc = + + + ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠ + + + ⎝ ⎠ a/ Rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Víi x = 2 3, 2 3 − = + y − ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x y 1 1 1 2 1 1 . . b/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh x x + + − = 9 7 4 ( )] 3 Bµi3(5®) Axy xy x y xy x y x y x y 2 =+ + b/ Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho c¸c ®iÓm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua A, C . X¸c ®Þnh a ®Ó ®-êng th¼ng y =ax chia 2 x x Bx x − + 1 h×nh ch÷ nhËt OABC thµnh hai phÇn , trong ®ã diÖn tÝch phÇn chøa ®iÓm A gÊp ®«i 2 1 diÖn tÝch phÇn chøa ®iÓm C C©u 4:(2đ) Cho h×nh chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trªn cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng : 2 2 2 = + C©u 5 (5®) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A ,®-êng cao AH . Gäi D vµ E lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC . BiÕt BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, TÝnh ®é dµi ®o¹n DE b, Chøng minh r»ng AD . AB = AE.AC 1 1 1. AB AE AF 4 c, C¸c ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi DE t¹i D vµ E lÇn l-ît c¾t BC t¹i M vµ N . Chøng minh M lµ trung ®iÓm BH ; N lµ trung ®iÓm cña CH . d, TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c DENM ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi . Năm học 2009-2010 Môn thi : Toán 9 ( Thời gian 150 phút) Bài1(1,5đ) a/ Tính 6 2 5 6 2 5 − − + b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng + + | + + = |1 1 1 c/ Hãy chứng tỏ3 3 x = + − − 5 2 5 2 là nghiệm của phương trình x3+3x – 4 = 0 Bài2(2đ) 1 1 1 2 2 2 a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức abc abc = + + + ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠ + + + ⎝ ⎠ − ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x y 1 1 1 2 1 1 Với x = 2 3, 2 3 − = + y . . ( )] 3 Axy xy x y xy x y x y x y 2 b/ Giải phương trình x x + + − = 9 7 4 Bài3(2,5đ) a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ + b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia 2 x x Bx x − + 1 hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi 2 1 diện tích phần chứa điểm C Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E ∈(O) , B , F ∈(O’) ) a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng ΔAOM và ΔBMO’ đồng dạng b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos MAN biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD Đáp án thang điểm Bài 1: 5 −1 − 5 +1 a/ 6 2 5 6 2 5 − − + = 5 − 2 5 +1 − 5 + 2 5 +1 = ( ) ( ) = | 5 −1| - | 5 +1| = 1− 5 − 5 −1 = − 2 5 + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 b) CM 2 2 2 abc + + abc Tr-êng THCS Yªn trung ®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn M«n: To¸n Líp 9 (Thêi gian lµm bµi: 150 phót) C©u1: (4.0 ®iÓm) Cho biÓu thøc §Ò bµi x x a) T×m §KX§ cña A. Rót gän A A = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛−− ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− + 1 x 1 x b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 − : x + Câu 2: (5.0 điểm) x − 1 x 1 x 1 Trªn mÆt ph¼ng täa ®é cho c¸c ®-êng th¼ng (d): 3x – 2y + 3 = 0 vµ (d') : 3x + 2y – 9 = 0 c¾t nhau t¹i C vµ lÇn l-ît c¾t trôc Ox t¹i A, B. a) T×m täa ®é cña c¸c ®iÓm A, B, C. b) T×m diÖn tÝch vµ chu vi cña tam gi¸c ABC biÕt ®¬n vÞ ®o ®é dµi trªn c¸c trôc lµ cm. C©u 3:(4.0 ®iÓm). a) Cho biÓu thøc : 2 2 M x x y xy y = − + + − + 5 4 2014. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã b) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh : ⎨⎪ + + = ⎩ C©u 4 (5.5®): Cho tam gi¸c ABC. Ph©n gi¸c AD (D ∈ BC) vÏ ®-êng trßn t©m O qua A vµ D ®ång thêi tiÕp xóc víi BC t¹i D. §-êng trßn nµy c¾t AB vµ AC lÇn l-ît t¹i E vµ F. Chøng 2 2 18 ⎧⎪ + + + = x y x y minh a) EF // BC ( ) ( ) x x y y 1 . 1 72 b) C¸c tam gi¸c AED vµ ADC; AFD vµ ABD lµ c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng. c) AE.AC = AF.AB = AD2 C©u 5 (1,5 ®iÓm).Cho a, b lµ c¸c sè thùc d-¬ng. Chøng minh r»ng : a b a b a b b a + ( )22 2 + + ≥ + 2 tr-êng THCS §Þnh T©n §Ò thi m«n: to¸n 9 (Thêi gian lµm bµi : 150 phót) §Ò bµi Hä vµ tªn gi¸o viªn ra ®Ò: Lª V¨n Yªn x Bµi 1( 4,5®iÓm): Cho biÓu thøc: A = 2 2 a). T×m ®iÒu kiÖn cñ x ®Ó biÓu thøc A x¸c ®Þnh. b). Rót gän gän biÓu thøc A. c). TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 25. x − + 1 + 1 − 4 + 2 2 − Bµi 2(4 ®iÓm): Mét ®oµn häc sinh tæ chøc ®i tham quan b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh. NÕu bít ®i 1 « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu d). T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 31 c¸c häc sinh trªn c¸c « t« cßn l¹i. BiÕt mçi « t« chØ trë ®-îc kh«ng qu¸ 32 ng-êi, hái ban ®Çu cã bao nhiªu « t« vµ cã tÊt c¶ bao nhiªu häc sinh ®i tham quan? Bµi 3 (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c MNP c©n t¹i M.. C¸c ®-êng cao MD vµ NE c¾t nhau t¹i H. VÏ ®-êng trßn (O) ®-êng kÝnh MH. Chøng minh r»ng: a)E n»m trªn ®-êng trßn (O). b) Bèn ®iÓm M, N, D, E cïng thuéc mét ®-êng trßn. c). DE ⊥ OE. Bµi 4 (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 150; gãc B b»ng 450trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2BC. a). TÝnh gãc ADB. b). TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn AC, nÕu biÕt BC = 3 cm. Bµi 5 (3,5 ®iÓm): Cho hai sè thùc a,b tho· m·n a > b vµ ab = 2 . T×m gi¸ trÞ nhá 2 2 . a b + nhÊt cña biÓu thøc: Q = a b − HÕt Tr-êng THCS §oµn Th-îng ĐỀ 1 §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn líp 9 N¨m häc 2010-2011 M«n : To¸n C©u 1:(1,5 ®iÓm) Cho a∈Z , chøng minh r»ng a5- a chia hÕt cho 30. x x C©u 2 : (2 ®iÓm) Cho P = ( )1 a. Rót gän P b.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. 2 − 2 2 1 x x − + + x − 2 xnhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn x x + + 1 x x − C©u 3:(2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã c¸c c¹nh lµ a , b , c .KÎ ®-êng cao AD . KÎ DE , DF t-¬ng øng vu«ng gãc víi AB vµ AC .§Æt BE = m; CF = n ; AD = h. Chøng minh r»ng : = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b) 3h2 + m2 + n2 = a2 c. T×m x ®Ó biÓu thøc Q = P C©u 4(3 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh : − x + x − = x − x + a) m c ⎛ ⎞ 3 c. (x −1)+ 4 − 4 x −1 + x −1− 6 x −1 + 9 = 1 n b C©u 5(2 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) tho¶ m·n mét trong c¸c ®¼ng thøc sau : 2 1 2 a. x + x +1 + x + 2 = 7 b. 7 5 12 38 2 C©u 6:(1,5 ®iÓm) Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c + + − − − < C©u 7 (1,5 ®iÓm) Cho 3 ®-êng th¼ng 2 2 2 a. xy + 3x − 2y − 7= 0 b. y x + x + y + = x + y + xy m − x + m − víi m ≠ ±1 (d2): y = x +1 a b c a c b Chøng minh r»ng : 1 (d3): y = − x + 3 b c a c b a a. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× d1lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . (d1): y = ( 1) ( 5) b. Chøng minh r»ng (d1) // (d3) th× (d1) (d2) 2 2 c. X¸c ®Þnh m ®Ó 3 ®-êng th¼ng (d1), (d2), (d3) ®ång quy. C©u 8(3 ®iÓm) Cho hai ®-êng trßn (O) (O,) tiÕp xóc ngoµi t¹i A . Gäi AB lµ ®-êng kÝnh cña ®-êng trßn (O), AC lµ ®-êng kÝnh cña ®-êng trßn (O,) , DE lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn D thuéc (O), E thuéc (O,), K lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE a) Tø gi¸c ADKE lµ h×nh g× ? v× sao ? b) CMR: AK lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn (O) vµ (O,). c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC CMR: MK DE C©u 9 (2 ®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc + x + x + x − x + x C©u 11 (1,5 ®iÓm) Cho ®-êng trßn t©m I b¸n kÝnh r néi tiÕp tam gi¸c ABC . CMR: IA+IB+IC≥ 6r 2 2 1 4 4 4 12 9 .............................................................** *..................................................... 2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = 4 4 2 x + x + Tr-êng: THCS Yªn Phong §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Hä vµ tªn ng-êi ra ®Ò: Vò ThÞ Mü Hßa. §Ò thi C©u 1: (4 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc sau: − + −víi x≥ 0, x ≠ 3. =−. a) 3 3 3 ( 2 ) x x x M x + + = − C©u 2: (4 ®iÓm) x x x 3 3 3 a) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: b) (49 20 6)(5 2 6) 5 2 6 N− + + 9 3 11 2 ⎧ − + − = ⎪⎨⎪ − − = − ⎩ b) Cho c¸c ®iÓm A(7;2) ; B(2;8) vµ C(8;4) x¸c ®Þnh ®-êng th¼ng (d) ®i qua A sao cho c¸c ®iÓm B vµ C n»m vÒ hai phÝa cña (d) vµ c¸ch ®Òu (d). 1 5 1 x y C©u 3: (5 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè d-¬ng a,b,c cã tæng a+b+c=1 th× x y 1 5 + + ≥ b) Cho c¸c sè a,b,c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=0. Chøng minh r»ng: 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 ) 1 1 1 9 C©u 4: ( 5®iÓm) Cho nöa ®-êng trßn (O) ®-êng kÝnh BC vµ ®iÓm A trªn nöa ®-êng abc trßn(A kh¸c B vµ C). KÎ AH vu«ng gãc víi BC. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓm A, vÏ 2 nöa ®-êng trßn (O1) vµ (O2) ®-êng kÝnh BH vµ CH chóng lÇn l-ît c¾t AB, AC ë E vµ F. a) Chøng minh: AE.AB = AF.AC. b) Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn (O1) vµ (O2). c) Gäi I vµ K lÇn l-ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC. Chøng minh 3 ®iÓm I, A, K th¼ng hµng. d) Gäi M lµ giao ®iÓm cña IK víi tiÕp tuyÕn kÎ tõ B cña ®-êng trßn (O). Chøng minh MC, AH vµ EF ®ång qui. So s¸nh S víi 2009 2.2010 . S = + + + + C©u 5: (2 ®iÓm) Cho 1 1 1 1 ... 1.2009 2.2008 3.2007 2009.1 Phßng GD & §T Hµ Trung §Ò thi häc sinh giái líp 9 Tr-êng THCS Hµ Yªn N¨m häc: 2010 – 2011 M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót. ®Ò ®Ò xuÊt Bµi 1 (3.0®) BiÕn ®æi ®¬n gi¶n c¸c biÎu thøc. 3 + a. A = 8134 1 .2 14 .2 Bµi 2: (4.0®) Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. 16 1 25 1 1 1 b. B = 99 100 1 2 + 2 3 + : + + ... 98 99 + + + b a a b + 1 a. C = ab a b 11 18 b. T×m c¸c c¨p sè (x,y) nguyªn d-¬ng tháa m·n − x2 - y2 = 2003 11 20 b = 2003 Víi a = 2003 Câu 3 : ( 5điểm ) giải phương trình x − x 6 3= 3 + 2 2 x − − − a) x x − − 1 Bài 4: (3.0 điểm) ( x ) ( x ) x x 1 1 3 3 2 5 b)42 4 2 −+ − + = − − Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động 2 2 2 ( x ) ( x ) 3 1 trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I a. Tính góc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó. Bài 5 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : OM ON OP ≥ 9 AM BN CP + + Trường THCS Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Người ra đề: Phạm Văn Thanh Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: (3 điểm) ĐỀ CHÍNH THỨC 3 3 1 1 1 1 2 2là số nguyên 3 3 1 1 2 2 b) Tính B =2 2013 2013 1 20132014 2014. a) Chứng minh A = Bài 2: (3 điểm) 2 a) Chứng minh giá trị biểu thức M = x3– 3x2– x + 21 chia hết cho 6 2 với x là số nguyên lẻ. b) Cho a; b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, chứng minh: N = (a – 1)(b – 1) chia hết cho 192. Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau: x + 9x + 20 = 2 3x + 10 a) (x2– 1)(x2+ 4x + 3) = 45 b) 2 Bài 4: (3 điểm)) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2+ xy + y2– 3x – 3y + 2017. Bài 5: (8 điểm) 2x b) Tìm giá trị lớn nhất của Q = x - 4 a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A; BD là đường trung tuyến. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt BC tại E. Chứng minh EB = 2EC b) Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH và BK. BK BC 4AH c) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 . Vẽ các 1 1 1 = + Chứng minh 2 2 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc xOy bằng 450cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: 1. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) 2. 23R < DE < R ---------------------------------//-------------------------------- Trường THCS Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Người ra đề: Phạm Văn Thanh Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: (3 điểm) ĐỀ CHÍNH THỨC 3 3 1 1 1 1 2 2là số nguyên 3 3 1 1 2 2 b) Tính B =2 2013 2013 1 20132014 2014. a) Chứng minh A = Bài 2: (3 điểm) 2 a) Chứng minh giá trị biểu thức M = x3– 3x2– x + 21 chia hết cho 6 2 với x là số nguyên lẻ. b) Cho a; b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, chứng minh: N = (a – 1)(b – 1) chia hết cho 192. Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau: x + 9x + 20 = 2 3x + 10 a) (x2– 1)(x2+ 4x + 3) = 45 b) 2 Bài 4: (3 điểm)) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2+ xy + y2– 3x – 3y + 2017. Bài 5: (8 điểm) 2x b) Tìm giá trị lớn nhất của Q = x - 4 a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A; BD là đường trung tuyến. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt BC tại E. Chứng minh EB = 2EC b) Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH và BK. BK BC 4AH c) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 . Vẽ các 1 1 1 = + Chứng minh 2 2 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc xOy bằng 450cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: 1. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) 2. 23R < DE < R ---------------------------------//-------------------------------- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: TOÁN 9(Thời gian: 150 phút) Họ và tên GV ra đề: Lê Thị Ngọc Bích Đơn vị: Trường THCS NGUYỄN HUỆ Bài 1 (2,00đ) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x2 + 1= y2 Bài 2: (4,00 đ) 1. Cho số x (x∈ R; x > 0) thoả mãn điều kiện: x2 + 21x= 7 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 31xvà B = x5 + 51x 2. Chứng minh rằng 62n + 19n– 2n+1  17 Bài 3 ( 5,00 đ) 1. Thu gọn biểu thức: A= 2. Giải phương trình : x2 + x + 12 x +1 = 36 Bài 4 (4,00đ) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH . Trên tia HC lấy HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . 1/ Chứng minh AE = AB. 2/ Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM. Bài 5( 5.00 đ) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Kẻ đường tròn tâm O đường kính AH cắt AC tại E. 1/ Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn(O). 2/ Tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) cắt DE tại F. Tính diện tích tứ giác AOEF biết AH = 6cm, HD = 2cm.******* Hết******* PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: TOÁN(Thời gian: 150 phút) Họ và tên GV ra đề: NGUYỄN VĂN TIẾN ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS PHAN BỘI CHÂU (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, luôn là số chính phương. a) Rút gọn biểu thức P. + − − +. Bài 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Px 2 x 3 1 x x 3 − − + = + − b) Tìm giá trị của x sao cho P <12 c) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức P nguyên. Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: a/ 2 1 2 5 4 x x − + − = b/ x x x x + − + − − = 2 1 2 1 2 Bài 4: (3,0 điểm) Cho a, b là các số thực dương. Bài 5: (5điểm) + + a b + Chứng minh rằng: ( ) 2a b 2b a a b2≥ + Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax 2 và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. a) Chứng minh rằng: ΔDOE là tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: 2 AD BE = R ⋅ . c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: Toán 9 (Thời gian: 150 phút) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Họ và tên GV ra đề: Nguyễn Thị Hồ Linh Đơn vị: Trường THCS Phù Đổng Bài 1: (3 điểm) NNGHỊNGHỊ a. Chứng minh: 24n– 1 chia hết cho 15. b. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28+ 211 + 2nlà số chính phương. Bài 2: ( 3,0 điểm) a. Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d + + + ≥ + + + ( ) ( ) . b. Cho Q = 163 x x x x + + + − + 2 5 6 10 = 5 +. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q Áp dụng giải phương trình: 2 2 Bài 3: (6,0 điểm) x + x + + + + + + + + + 2. Cho biểu thức: P = ( )⎟⎟⎠⎞ 1. Tính: S = 2 2 2 2 2 2 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 2013 2014 a. Rút gọn P. ⎜⎜⎝⎛++ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− − 1 1 x x − : 2 2 1 x x − + b. Tìm x để P có giá trị nguyên. x x − x x x 1 Bài 4: (3,0 điểm) Cho ΔABC có A = 2B ˆ ˆ.Chứng minh rằng: BC2= AC2+ AB .AC Bài 5: (5,0 điểm) Cho góc xAy vuông và hai điểm B;C lần lượt thuộc các cạnh Ax, Ay. Hình vuông MNPQ có các đỉnh M ∈AB, N ∈AC , P ∈BC, Q∈BC. ΔABC. b/ Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k2 ( k không đổi). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ. a/ Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG GV ra đề : Nguyễn Mính ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (3 điểm) Cho A = 2 (Đề thi này gồm 01 trang) a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 0 . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + + ⎛ ⎞ − + − + ⎜ ⎟ − x x x x 2 2 2 1 . c) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 2: (6 điểm) 1 2 2 1 x x x a) Giải phương trình: 2 2 2 8 3 4 8 18 x x x x − − − − = b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2+ 2x + 2 x y x y c) Giải hệ phương trình: ⎪⎩⎪⎨⎧− + = Câu 3 : (4 điểm) a) Cho abc + + = 0 , tính giá trị của biểu thức: 2 2 ( )( ) 45 + − = 2 2 ( )( ) 85 x y x y + − + − + − b) Tìm số tự nhiên n sao cho2 A n n = + + 6 là số chính phương. Câu 4 : (5 điểm) 111 Pb c a a c b a b c = + + a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (M,N∈(O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID. Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = + 1 0 1 0 Hết Q + + − + ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ y 1x y x y 2 x y 2 x 2 1 1 6 1 6 2 2 2 ( ) (1 ) 4 PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9( NĂM HỌC 2013-2014) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: Toán ( Thời gian: 150 phút) Họ và tên GV ra đề: Phạm Đáng Đơn vị: Trường THCS Trần Phú Bài 1 (3 điểm). 1/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2+ n + 2 không chia hết cho 3. + + + + với n ∈ N Chứng minh rằng A luôn là số tự nhiên. Bài 2 (4 điểm). 2/ Cho A =5 4 3 2 7 5 n n n n n 120 12 24 12 5 a/ Rút gọn P − + + − b/ Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Cho biểu thức P = 2 2 Bài 3 (4 điểm) x x + + + x x x x x x x x 2 2 1/ Tính giá trị của biểu thức B = ( 3x2+ 5x – 1 )2013 với x = ( )3 + − 2/ Cho các số a, b, c đều lớn hơn 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5 2 17 5 38 M = 2 5 2 5 2 5 + − Bài 4 (5,5 điểm) − − − 5 14 6 5 Cho đường tròn (0;R) và điểm A ở ngoài đường tròn (0;R). Kẻ các tiếp tuyến a b c + + AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm BC. b c a 1/Chứng minh A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, O, C thuộc một đường tròn. 2/Kẻ đường kính BD của (O), CK vuông góc với BD. Chứng minh rằng: AC.CD = CK.AO 3/Đường thẳng AD cắt CK tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm CK. Bài 5 (3,5 điểm) < ) . Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM =2 5 cm , DN = 3 cm . Cho tam giác MNP cân tại M ( M 900 Tính độ dài đoạn MN . PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9(NĂM HỌC:2013-2014) Môn:Toán.Thời gian:150 phút Người ra đề:Nguyễn Thị Bảo Duyên Trường THCS Tây Sơn Câu 1: (3,5điểm) a/Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: y2+ 2xy – 7x - 12 = 0 b/Tính A 6 11 6 11 = − − + Câu 2:(2,5 điểm ) = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − + − ⎝ ⎠ ( với x 0; x 4 ≥ ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P. ⎛ ⎞ + − ⎛ ⎞ Cho biểu thức 2x 1 x x 4 P . x b) Tìm các giá trị của x để P 4 x 0 − < Câu 3: (6 điểm) x x 1 x x 1 x 2 a/Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + 2014x3- 2014x2+ 2013x – 2014 x x x − = − − 3 2 1 4 . A (với a >1 ; b > 1) b/Giải phương trình sau: 2 Câu 4: (2 ®iÓm) c/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ứng với cạnh đáy 2 2 =bb a + bằng 15,6cm và đường cao ứng với cạnh bên bằng 12cm. a − 1 1 − Câu 5:(6 điểm). Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. a/ Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành và H,M,K thẳng hàng b/ Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh SAHG = 2SAGO HD c/ Chứng minh: + + = 1 AD HE BE HF CF **********************&&&********************** Phòng GD – ĐT Đại Lộc Trường THCS Trần Hưng Đạo ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG I (2013 – 2014) Môn : Toán lớp 9 ( Thời gian: 150 phút, không kể giao đề ) Người ra đề: Hồ Lai Bài 1: (1,5đ) Cho biểu thức A = ( ): a/ Rút gọn A. b/ C/m: Với mọi Bài 2:(1đ) Cho biểu thức P = Biết xyz =4 Tính Bài 3: (2đ) Giải các Phương trình: a/ b/ Bài 4: (1,5đ) Cho đường thẳng : (m+2)x – my = -1 (d) a/Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua. b/ Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) lớn nhất Bài 5: (4đ) Cho AB = c; AC = b; BC = a. Có các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I sao cho BD.CE = 2BI.CI. a/ Tính AD; BE b/ Vẽ đường cao AH. Chứng minh AH = c/Cho độ dài ba đường phân giác ứng với ba góc: lần lượt là x; y; z. Chứng minh: ---------------Hết------------------- PHÒNG GD – ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM 2013 – 2014) Môn thi: Toán 9 (Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên GV ra đề: Nguyễn Hùng. Đơn vị : THCS Võ Thị Sáu Câu 1: ( 2 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a. A = 6 3 2 2 . 3 2 2. 6 3 2 2 + + + − + . − + − Câu 2: ( 6 điểm) b. B = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 a) Phân tích đa thức thành nhân tử n3 – 7n + 6 2005.2007.2010.2011 b) Cho C = 5 4 3 2 n n 7n 5n n + + + + Chứng minh rằng C luôn là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n. 120 12 24 12 5 + + × Câu3: ( 4điểm) c)Chứng minh rằng: Tìm GTLN và GTNN của: 1 2013 2012 2012 2013 2013 2012 + −= − D = x x − + − 2012 2013 2012 2013 2012 2013 Câu4:. ( 4 điểm) BD. Cho hình thang ABCD, đáy AB, O là giao điểm của hai đường chéo AC và a/ Chứng minh rằng: SOAD = SOBC. b/ SOAB.SOCD = (SOBC)2 Câu4: ( 4 điểm) Cho hình thang ABCD có AB//CD và AB c , b > c , c > 0 Chứng minh: c(a − c) + c(b − c) ≤ ab Bài 3: (2điểm) Cho ΔABC, biết AB = 3cm, BC = 4cm, CA=5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích của mỗi phần? Bài 4: (3điểm) Cho ΔABC cân tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác, biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm. Tính các cạnh của ΔABC? -------------------------Hết------------------------- Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän häc sinh giái tØnh Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o líp 9 thCS - n¨m häc 2007 - 2008 M«n : To¸n §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: (4,0 ®iÓm) =− + − §Ò thi gåm 01 trang 1. T×m x ®Ó A cã nghÜa, tõ ®ã rót gän biÓu thøc A . 2. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Cho biÓu thøc: 4 4 x x x x Ax x x x − − + Bµi 2: (4,0 ®iÓm) 2 14 28 16 x mx m m − + − − = 2 6 0 ( m lµ tham sè). 1. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm 1 x vµ 2 + = . Cho ph-¬ng tr×nh 2 2 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm 1 x sao cho 1 2 x x + = 8 x vµ 2 x sao cho x x 1 2 Bµi 3: (3,0 ®iÓm) x x 2 1 18 7 1. Cho bèn sè thùc bÊt k× a b c d , , , . Chøng minh: 2 2 2 2 ab cd a c b d + ≤ + + DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän α th× biÓu thøc P = + 3sin 3 cos α α cã gi¸ trÞ lín nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. Bµi 4: (6,0 ®iÓm) ( )( ) 1. Cho ®-êng trßn (O) vµ d©y BC cè ®Þnh kh«ng qua t©m O, ®iÓm A di chuyÓn trªn cung lín BC. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña CD. Hái M di chuyÓn trªn ®-êng nµo ? Nªu c¸ch dùng ®-êng nµy vµ giíi h¹n cña nã. 2. Trong h×nh bªn, cho biÕt M lµ trung ®iÓm cña AC vµ c¸c ®-êng th¼ng AD, BM vµ CE ®ång qui t¹i K. Hai tam gi¸c AKE vµ BKE cã diÖn tÝch lµ 10 vµ 20. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bµi 5: (3,0 ®iÓm) 1. T×m sè tù nhiªn n ®Ó n +18 vµ n − 41 lµ hai sè chÝnh ph-¬ng. 2. Tính số các ô nhỏ nhất phải quét sơn trên một bảng để cho bất kì vùng nào đó trên bảng này cũng chứa ít nhất 4 ô đã quét sơn. HÕt PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút) Họ và tên GV ra đề: Nguyễn Cúc Bài 1/ (4đ) Đơn vị: Trường THCS Lý Tự Trọng a) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi tăng thêm mỗi chữ số 1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương. − + + c)T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh: 2x + 3y = 11 (1) Bài 2/(3đ) 2 3 3 13 48 b) Tính: B = 6 2 − 3x + 6x + 7 + 5x +10x +14 = 4 − 2x − x − + −với x y ≥ ≥ 3; 2 a)Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 2 2 2 Bài 3/(4đ) Cho biÓu thøc: b)Tìm GTLN của biểu thức M = x y y x 2 3 x a. Rót gän biÓu thøc. xy A = ⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛+ ⎜⎜⎝⎛++ x y T×m Max A. xy x + xy x + 1 + 1 : 1 − + − x 1 Bài 4/ (4đ) xy + 1 1 − xy xy − 1 xy 1 1 1 Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA = b. Cho 6 + = 2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB Bµi 5/ (5đ) Cho (O;R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®-êng trßn. Tõ mét ®iÓm M di ®éng trªn ®-êng th¼ng d vu«ng gãc víi OA t¹i A, vÏ c¸c tiÕp tuyÕn MB, MC víi ®-êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) d©y BC c¾t OM vµ OA lÇn l-ît t¹i H vµ K. a, Chøng minh r»ng OA.OK kh«ng ®æi, tõ ®ã suy ra BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b, Chøng minh r»ng H di ®éng trªn mét ®-êng trßn cè ®Þnh. c, Cho biÕt OA = 2R. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MBOC nhá nhÊt. ............................................. PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2013 - 2014) ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: TOÁN (Thời gian: 150 phút) Họ và tên GV ra đề: PHẠM TÀI Đơn vị: Trường THCS Hoàng Văn Thụ Bài 1 (4 điểm): + + −+ +. 2) Cho a, b, c, (a+b+c) là các số thực khác 0 thõa mãn các điều kiện: 1) Phân tích thành nhân tử: 1 1 1 1 a b c a b c ⎪⎩+ + = 1 1 1 1 (1) ⎧⎪+ + = ⎨ + + Tính giá trị biểu thức: A = 2013 2013 2013 a b c + + . a b c a b c (I)3 3 3 9 Bài 2 (4 điểm): abc 2 (2) 1) Rút gọn: P = 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + ... 1 5 5 9 9 13 2021 2025 Bài 3 (4 điểm): Chứng minh rằng: a) 85+ 211 chia hết cho 17 2 1013 1013 1 10131014 1014 2 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 2) Tính: M = 2 Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh Δ EDF vuông cân. b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. - Hết - Phòng GD-ĐT Đại Lộc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 NĂM HỌC :2013-2014 Môn:Toán GV:LƯU VĂN CÔNG Thời gian :150 phút (Không kể chép đề ) THCS Kim Đồng Câu 1:(3đ) Rút gọn các biểu thức sau : A= 13+ 30 2 + 9 + 4 2 − Câu 2(3đ) Giai các phương trình sau : 2 3 B= ++ 2 3 x + x + + x − x + = 2 4 2 3 + + 2 4 2 3 − − b) 2x +1 − 3x = x −1 Câu 3:(3đ) Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau đây là số chính phương a) 2 1 6 9 4 2 2 a) n 2 12 2+ n + b) n( n+3) Câu 4:(3đ) Tìm : GTLN- GTNN của biểu thức sau : x x ( x ≠ −1) Câu 5 :(4đ) Cho tam giác ABC vuông ở A ,có AB : AC = 3: 4 . Kẻ 2 B =2 11 + + AH⊥BC .Biết AH =24cm .Tính diện tích ΔABC 2 x x + + Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).phân giác trong góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại M .phân giác ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại E và cắt đường tròn tại N .Gọi K là trung điểm của DE .Chứng minh a) MN vuông góc với BC tại trung điểm BC b) Góc ABN = góc EAK c) AK tiếp xúc với đường tròn (O) PHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: Toán - Thời gian : 150 phút Họ và tên GV ra đề : Lâm Thanh Tuấn ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị : Trường THCS Lê Lợi Bài 1. (3,0 điểm). Cho biểu thức: x y x y x y 2xy P : 1 a) Rút gọn biểu thức P. = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠. ⎛ ⎞ + − ⎛ ⎞ + + =+. Bài 2. (4,5 điểm). 1 xy 1 xy 1 xy a) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 12 và n – 77 là hai số chính phương. b) Tính giá trị của P với 2 x2 3 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x( y – 2) + 3y = 27. x y y z z x + + = + + = + + = 2 1 2 1 2 1 0 Tính giá trị của biểu thức : A = 2013 2013 2013 Bài 3. (4,5 điểm). x y z + + . c) Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời:2 2 2 x x y xy y − + + − + 5 4 2020 . a) Cho biểu thức : M = 2 2 Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Hãy tính giá trị của biểu thức N = a3+ b3– 3(a + b) + 2014 bết rằng: 3 3 3 3 a = 5 + 2 6 + 5 − 2 6 ; b = 17 + 12 2 + 17 − 12 2 + + + Bài 4. (5,0 điểm). Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R và A là một điểm trên nửa đường tròn đó. Vẽ AH vuông góc với BC. Gọi I và K lần lượt là các điểm 1= 1 1 c) Giải phương trình: 1 + đối xứng của H qua AB và AC. x 3 x 2 x 2 x 1 + + + + x 1 x + + a) Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng. b) Chứng minh IK là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). c) Xác định vị trí của điểm H trên BC để diện tích tứ giác BIKC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 5. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1cm. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho ∠ABD = ∠CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diêṇ tích hai tam giác BCE và tam giác BEN. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN 9 - Thời gian: 150 phút Người ra đề: Huỳnh Minh Huệ Câu 1: Cho biểu thức: (4,5đ) ( ) a) Rút gọn P =22 1 x − 3 2 x + x x − )( − P− b) Tính giá trị của P khi x = 3− 2 2 . x x − − 1 x x − − − 1 2 2 Câu 2: Giải phương trình: ( x2+ 3x – 4)(x2+ x – 6) = 24 (4đ) Câu 3: (3,5đ) Cho 3 số a, b, c dương . CMR: + + + + + ≥ Câu4 (3 đ) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Goị I làtrung điểm của AM, 3 3 3 3 3 3 a b6 a c b a b c c a c b abc BI cắt AC taị K. Tính diêṇ tích tam giác AIK biết diện tích tam giác ABC bằng 120 cm2. c b c a b a Câu5 (5 đ) Cho tam giác ABC ( Bˆ= Cˆ= α), đường cao AH. Qua H vẽHE vuông góc với AC (E thuộc AC), cho HE = h a) Tính diện tích tam giác ABC theo h và α b) Goị M làtrung điểm của HE. Chứng minh AM ⊥ BE ------------------------ Hết ------------------------- PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 _ (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: TOÁN (Thời gian: 150phút) Họ và tên GV ra đề: Lê Văn Hùng Bài 1: (4đ5) Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt ĐỀ ĐỀ NGHỊ a) Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình: (x2+ 4y2+ 28)2 = 17(x4+ y4+ 14y2+ 49) b) Tìm n ∈ Z để n + 26 và n – 11 đều là lập phương của số nguyên dương. c) Cho biểu thức A = x2+ xy + y2– 3x – 3y + 2016. Tìm giá trị x và y để A đạt giá trị nhất. Bài 2 (3đ5) = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − + − ⎝ ⎠ ( với x 0; x 4 ≥ ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P 4 x 0 − < ⎛ ⎞ + − ⎛ ⎞ . Cho biểu thức 2x 1 x x 4 P . x Bài 3: (3đ) x x 1 x x 1 x 2 a) Giải phương trình: 2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3 x x x x + + − − − − − = . x y x y b) Giải hê ̣phương trình: ⎪⎩⎪⎨⎧− + = Bài 4: (4đ5) Cho (O; R) và điểm S nằm ngoài đường tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến của đường tròn (là các tiếp điểm). Đường thẳng a đi qua S cắt (O) tại M, N (M nằm giữa S và N, a không đi O). Gọi I là trung điểm MN, hai đường thẳng AB và OI cắt nhau tại E. 2 2 ( )( ) 45 + − = 2 2 ( )( ) 85 x y x y a) Chứng minh OI.OE = R2 b) Cho SO = 2R, MN = R 3 . Hãy tính số đo góc NSO. c) Với SO = 2R, MN =R 3 . Tính diện tích tam giác ESM. Bài 5: (2đ5) Cho tam giác ABC có AB < AC, đường phân giác AD . Từ D vẽ đường thẳng a vuông góc AD, a cắt AB, AC lần lượt tại M, N. So sánh BM và CN. Bài 6: (2đ) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + x + y + z P = x y y z z x + + PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THAM KHẢO MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2013 – 2014 Họ và tên GV : Nguyễn Dư Đơn vị: Trường THCS Mỹ Hòa Câu 1 a) Biết N = dcba . ĐỀ 1 Chứng minh rằng N chia hết cho 4 khi và chỉ khi a + 2b chia hết cho 4 b) Phân tích biểu thức thành nhân tử : M = 2 3 a b ab b − + − Câu 2: a) Cho x, y, z > 0 . Hãy rút gọn biểu thức M x y 3 2 3x 3y x y 3 2 3x 3y = + + + + + + + − + b) Tìm x, y sao cho biểu thức A = 2x2+ 9y2– 6xy – 6x – 12 y + 2011 có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị đó Câu 3: a) Giải phương trình x2+ 4x + 5 = 2 2x 3 + b) Chứng minh rằng : n 2 n 1 n 1 n + − + < + − , trong đó n là số nguyên dương Câu 4 : = + 1) Cho hình thoi ABCD, đường cao AH . Chứng minh rằng 2 2 2 2) Cho hình thang ABCD (AB // CD và AB < CD ) có  = 900. Chứng minh rằng : a) AC > BD b) AC2– BD2= CD2– AB2 1 1 1 AH AC BD Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm trong đường tròn đó (A ≠ O) .Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn (O) sao cho gócOBA lớn nhất =====================HẾT=================== PHÒNG&ĐT ĐẠI LỘC TRƯỜNG THCSNGUYỄN DU ***** ĐỀ ĐỀ NGHỊ GVRĐ: Ngô Đình Vịnh ĐỀ THI HSG HUYỆN Năm học : 2013 - 2014 Môn Toán 9 Ngày thi: …………………………. Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Bài 1 : ( 3đ) + + − − b, Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh: A= 2013 + 2015 và B = 2 2014 a,Tính: 3 5 3 5 M − + Bài 2:(4 đ) = + 2 3 5 2 3 5 a, Rút gọn P. ⎝ ⎠ − + + − với x > 0 và x ≠ 1 ⎛ ⎞ + − Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 P : b, Tim x để 2 = = + + ⎜ ⎟ x x 1 x x 1 1 x 2 Bài 3: ( 3.5đ) P với 2P a, Giải phương trình : 2 x 3 5 x x 8x 18 − + − = − + b, Cho x, y là các số thỏa mãn : ( )( ) P7 c, So sánh 2 2 2 x 3 x y 3 y 3 + + + + = Hãy tính giá trị của biểu thức : A = x2013 + y2013 + 1 Bài 4:(7.5đ)( Cho tam giác¸ ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại các điểm D, N, M. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O;R). Qua I kẻ tiếp tuyến của đường tròn (O;R) nó cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF. b, Chứng minh EI. BD = IF.CD = R2. c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP. Bài 5(2đ) a, Với a, b > 0 chứng minh: ⎛ ⎞ ≤ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ a b 4 a b . Dấu “=” xảy ra khi nào? b, Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn : + + = x y z 1 1 1 1 111 P2x y z x 2y z x y 2z 1 1 1 8 ----- TADN ----- Tìm giḠtrị lớn nhất của = + + + + + + + + ĐỀ SỐ 1 Thời gian: 150 phút Câu I. ( 4 điểm). Giải phương trình 1. 2 2 x x x x − + + + + = 6 9 10 25 8 6 2. y2– 2y + 3 = 2 x x + + 2 4 Câu II. (4 điểm) 1. Cho biểu thức : 2 x x + + A = 2 3 ( 2) 2 x + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2. Cho a>0; b>0; c>0 1 1 1 9 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) Câu III. (4,5 điểm) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ≥ ⎝ ⎠abc 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1. 2. Cho phương trình: x2–(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. + Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3. Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC. 1. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều. Câu V. (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp. Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 ĐỀ SỐ 2 Bài 1 (2đ): 1. Cho biểu thức: ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛+ xy x + ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛++ xy x A = x + 1 + 1 : 1 − + − x 1 xy a. Rút gọn biểu thức. 1 1 + 1 1 − xy xy − 1 xy 1 b. Cho Tìm Max A. + = x y 6 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1 1 1 1 2 1 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛+ từ đó tính tổng: + + = + − 1 2 21 n n n n ( 1) + S = 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + + 1 .... 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2005 2006 Bài 2 (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài 3 (2đ): 1. Tìm giá trị của a để phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: x a + + 6 3 x a = − + 5 (2 3) a a + + 1 ( )( 1) x a x a − + + 2. Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2+ 2kx+ 4 = 4 Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức: 2 ⎜⎜⎝⎛xx 2 1≥ ⎟⎟⎠⎞ x + ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 2 3 x 2 1 Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: ⎪⎪⎨⎧ 1 + m = 2 x − 1 2 y − ⎪⎪⎩ y 2 − 2 − 3 x m − 1 1 = 1. Giải hệ phương trình với m = 1 2. Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Bài 5 (2đ) : 1. Giải phương trình: 2 2 2 3x + 6x + 7 + 5x +10x +14 = 4 − 2x − x 3 2 ⎧ − + − = ⎪⎨ − + − = y x x 9 27 27 0 3 2 z y y 2. Giải hệ phương trình: 9 27 27 0 ⎪− + − = ⎩ 3 2 x z z 9 27 27 0 Bài 6 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số) 1. Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = ? Khi đó hãy 3.x tính góc tạo bởi (d) và tia Ox. 2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất? Bài 7 (2đ): Giả sử x, y là các số dương thoả mãn đẳng thức: Tìm giá trị của x và y để biểu thức: x + y = 10 4 4 P = x + y +( 1)( 1) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. Bài 8 (2đ): Cho Δ ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài đoạn OG. Bài 9(2đ) Gọi M là một điểm bất kì trên đường thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. a. Chứng minh rằng AE vuông góc với BC. b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng. c. Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển động trên đường thẳng AB cố định. Bài 10 (2đ): Cho khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. xOy Dựng đường thẳng qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. …………………………………………………………… ĐẾ SỐ 3 Bài 1: (2 điểm) Chứng minh: 3 32 391392394 -1 = - + Bài 2: (2 điểm) Cho + = 5 ab (2a > b > 0) 4a2 2 b Tính số trị biểu thức: M = ab 2 2 4b b − Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: nếu a, b là các nghiệm của phương trình: x2+ px + 1 = 0 và c,d là các nghiệm của phương trình: x2+ qx + 1 = 0 thì ta có: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2– p2 Bài 4: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Tuổi anh và em cộng lại bằng 21. Hiện tại tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi của anh, em. Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x4+ = 2006 2006 2 x + Bài 6: (2 điểm) x 2 Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - và 4 đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1. 1. Vẽ (P) 2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) 3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định A ∈ (P) Bài 7: (2 điểm). Cho biểu thức A = x – + 3y - + 1 2 xy 2 x Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt được. Bài 8: (4 điểm). Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF, A,E ∈ (O); B, F ∈ (O’) a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b. Chứng minh: AE BF ⊥ c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng. Bài 9: (2 điểm). Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước là d và góc nhọn giữa đường chéo bằng . ∝ ĐẾ SÔ 4 Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4- 3x3+ 3x2- 3x + 2 = 0 b, = 2 x + 2 + 2 x +1 + x + 2 − 2 x +1 Câu 2(2đ): a, Thực hiện phép tính : 13− 100 − 53+ 4 90 b, Rút gọn biểu thức : a 2 b 2 c 2 B = Với a + b + c = 0 2 2 2 a b c − − + 2 2 2 b c a − − + 2 2 2 c a b − − Câu 3(3đ) : a, Chứng minh rằng : 5 1 1 1 2 <1+ + + + < 2 3 .... 50 10 2 b, Tìm GTNN của P = x2+ y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba trong kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 . Biết : Nếu đưa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đôi giải nhất . Nếu giảm số giải nhất xuống giải nhì 3 giải thì số giải nhất bằng 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba bằng 2/7 tổng số giải . Câu 5 (4đ): Cho ABC : Góc A = 900. Trên AC lấy điểm D . Vẽ CE BD. Δ ⊥ a, Chứng minh rằng : ABD ECD. Δ ∞ Δ b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp được . c, Chứng minh rằng FD BC (F = BA CE) ⊥ ∩ d, Góc ABC = 600; BC = 2a ; AD = a . Tính AC, đường cao AH của Δ ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. Câu 6 (4đ): Cho đường tròn (O,R) và điểm F nằm trong đường tròn (O) . AB và A'B' là 2 dây cung vuông góc với nhau tại F . a, Chứng minh rằng : AB2+ A'B'2= 8R2- 4OF2 b, Chứng minh rằng : AA'2+ BB'2= A'B2+ AB'2= 4R2 c, Gọi I là trung điểm của AA' . Tính OI2+ IF2 ĐẾ SỐ 5 Câu1: Cho hàm số: y = + 2 2 x − x + 6 9 a.Vẽ đồ thị hàm số 2 1 x − x + b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tương ứng c.Với giá trị nào của x thì y 4 ≥ Câu2: Giải các phương trình: a = 4 9 −12x + 4x 2 b + = -5 – x2+ 6x x − x + 4 24 45 2 3 18 28 2 2 x x + − 2 3 c + x-1 x − x + x + 3 Câu3: Rút gọn biểu thức: a A = ( -1) 3 6 + 2 2. 3 − 2 + 12 + 18 − 128 1 1 1 b B = + +....+ + + 2006 2005 2005 2006 + + 3 2 2 3 2 1 1 2 1 2007 2006 2006 2007 + Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ. a Tính góc AMN . Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD đều Câu5: Cho hình chóp SABC có SA SB; SA SC; SB SC. ⊥ ⊥ ⊥ Biết SA=a; SB+SC = k.. Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất. ĐẾ SỐ 6 I - PHẦN TRẮC NGHIỆM : Chọn đáp án đúng : a) Rút gọn biểu thức : với a ≥ 3 ta được : 4 2 a (3 − a) A : a2(3-a); B: - a2(3-a) ; C: a2(a-3) ; D: -a2(a-3) b) Một nghiệm của phương trình: 2x2-(k-1)x-3+k=0 là k −1 k −1 k − 3 k − 3 A. - ; B. ; C - ; D. 2 2 2 2 c) Phương trình: x2- -6=0 có nghiệm là: x A. X=3 ;B. X=±3 ; C=-3 ; D. X=3 và X=-2 d) Giá trị của biểu thức: ( ) 2 2 6 + bằng : 3 2 3 + 2 3 4 2 2 A. ; B. 1 ; C. ; D. 3 3 3 II - PHẦN TỰ LUẬN : Câu 1 : a) giải phương trình : + = 10 16 64 2 x − x +2 x ⎪⎨⎧+ − = x y + + − = b) giải hệ phương trình : ⎪⎩ 2 3 8 x y 2 5 1 ⎜⎜⎝⎛−2 1 1 x 1 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− x x ⎟⎟⎠⎞ − x x + Câu 2: Cho biểu thức : A = ~ − 2 x x x + a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A > -6. Câu 3: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m -5 =0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Nếu gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình . Tìm m để x1 + x2 =6 . Tìm 2 nghiệm đó . a b c Câu 4: Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng 1< <2 a b + + b c + + a c + Câu 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O , H là trực tâm của tam giác , I là Δ trung điểm của cạnh AC . phân giác của góc A cắt đường tròn tại M , kẻ đường cao AK của tam giác . Chứng minh : a) Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC b) Góc KAM = góc MAO c) AHM ~ NOI và AH = 2ON. Δ Δ Câu 6 : Cho ABC có diện tích S , bán kính đường tròn ngoại tiếp là R và Δ Δ ABC có các cạnh tương ứng là a,b,c . Chứng minh S = abc 4 R ĐỀ SỐ 8 CÂU I : Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 A = + + + .....+ + 97 99 + 5 7 + 3 5 + 7 9 B = 35 + 335 + 3335 + ..... + CÂU II : Phân tích thành nhân tử : 3333.....35  99 3 sè 1) X2-7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4)+3 3) 1+ a5+ a10 CÂU III : 1) Chứng minh : (ab+cd)2(a2+c2)( b2+d2) ≤ 2) áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2+ 4y2 CÂU 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q. a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) Tính tỉ số : CÂU 5: 2 MP MQ Cho P = x x − + 4 3 1 − x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức. ĐỀ SỐ 9 CÂU I : 1) Rút gọn biểu thức : A= 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 2) Chứng minh : 3 3 5 2 7 5 2 7 2 + − − = CÂU II : Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2 2 2 a + b + c > (ab + bc + ca) 18 2 2 2 2) với a, b ; c dương ≤ + + a b c a b c + + CÂU III : Cho đường tròn (O) đường kính AB. vẽ hai tiếp tuyến Ax và By; gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung AB vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tai C và D. a) Chứng minh : AC.BD=R2 b) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OCD là bé nhất. CÂU IV. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 5 4 2002 2 2 x + y + xy − x − y + CÂU V: Tính 1 1 1 1 ⎜⎝⎛−1 ⎞ 1) M= ⎜⎝⎛⎟ − ⎞ ⎜⎝⎛⎟ − ⎞ ⎜⎝⎛+ ⎟⎠⎞ 1n 1 1 ⎟ − 2 ⎠ 3 ⎠ 4 ⎠ ..... 1 2) N= 75( CÂU VI : 4 4 4 5 25 1993 1992 2 + +....+ + ) + Chứng minh : a=b=c khi và chỉ khi a b c 3abc 3 3 3 + + = ĐỀ SỐ 10 CÂU I : Rút gọn biểu thức A = 5 − 3 − 29 −12 5 8 4 B= x x + + 3 4 4 2 x x + + 2 CÂU II : Giải phương trình 1) (x+4)4+(x+10)4= 32 2) 2004 2004 2 x + x + = CÂU III : Giải bất phương trình (x-1)(x-2) > 0 CÂU IV : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE . Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của BC; BD;CE . a) Chứng minh : BE = CD và BE ⊥ với CD b) Chứng minh tam giác MNP vuông cân CÂU V : a − b c 1 − + 3 5 1) Cho và 5a- 3b -4 c = 46 . Xác định a, b, c 2 = 4 = 6 2 2 2 2 a=d cd c 2) Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh : 2 3 5 a ab b − + = 2 3 5 c cd d − + b d 2 2 3 b ab + 2 2 3 + Với điều kiện mẫu thức xác định. CÂU VI :Tính : S = 42+4242+424242+....+424242...42 ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (4đ). Cho biểu thức: x x − 3 2( 3) P = x x x − − − − + x + 3 2 3 x + 1 3 − x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5 c) Tìm GTNN của P. Bài 2( 4đ). Giải các phương trình. 1 1 1 1 1 a) + 2 2 2= 2 + + x + x + 5 4 3 x + x + x x x x 8 15 + + 12 35 + + 16 63 b) x + 6 − 4 x + 2 + x + 11 − 6 x + 2 = 1 Bài 3: ( 3đ). Cho parabol (P): y = x2và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(0;1). a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Gọi hoành độ của A và B lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng : |x1 -x2| ≥2. c) Chứng minh rằng :Tam giác OAB là tam giác vuông. Bài 4: (3đ). Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y =1 1 1 a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2+ )( y2+ ) y2 2 x b) Chứng minh rằng : 1 1 25 N = ( x + )2+ ( y + )2≥ 2 x y Bài 5 ( 2điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác, M là trung điểm của BC. Tính góc BIM. Bài 6:( 2đ). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đường tròn đường ∈ kính AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng : ML vuông góc với AC. Bài 7 ( 2điểm). Cho hình lập phương ABCD EFGH. Gọi L và K lần lượt là trung điểm của AD và AB. Khoảng cách từ G đến LK là 10. Tính thể tích hình lập phương. ĐỀ 12 (Lưu ý) Câu 1: (4 điểm). Giải các phương trình: 1) x3- 3x - 2 = 0 2) = x2- 12x + 38. 7 - x + x - 5 Câu 2: ( 6 điểm) 1) Tìm các số thực dương a, b, c biết chúng thoả mãn abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca ≤ 6 2) Cho x > 0 ; y > 0 thoã mãn: x + y ≥ 6 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 8 M = 3x + 2y + Câu 3: (3 điểm) + x y Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6 CMR: x2+ y2+ z2≥ 3 Câu 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm 0 có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C; D. a) CMR: Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. b) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ nhất. c) Tìm vị trí của C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm. Biết AB = 4cm. Câu 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD , hãy xác định hình vuông có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông ABCD sao cho hình vuông đó có diện tích nhỏ nhất./. ĐỀ SỐ 13 PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trẻ lời đúng 1. Nghiệm nhỏ trong 2 nghiệm của phương trình ⎜⎝⎛− 1 ⎞ 2 ⎜⎝⎛ 1 ⎞ 2 x ⎟ + + ⎜⎝⎛⎟ + ⎞ 2 ⎠ x 2 ⎠ x 5 ⎟ = ⎠ 0 là −52 1 −21201 A. B. C. D. 2 a b 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn của với b ≥ 0 ta được a b2a b2 − a b A. B C. D. Cả 3 đều sai 5 3 + 5 48 −10 7 + 4 3 3. Giá trị của biểu thức bằng: 4 3 7 3 A. B. 2 C. D. 5 4. Cho hình bình hành ABCD thoả mãn A. Tất cả các góc đều nhọn; B. Góc A nhọn, góc B tù C. Góc B và góc C đều nhọn; D.  = 900, góc B nhọn 5. Câu nào sau đây đúng A. Cos870> Sin 470 ; C. Cos140> Sin 780 B. Sin470< Cos140 D. Sin 470> Sin 780 6. Độ dài x, y trong hình vẽ bên là bao nhiêu. Em hãy khoanh tròn kết quả đúng 30 2; y = 10 3 10 3; y = 30 2 A. x = ; B. x = 10 2;y = 30 3 C. x = ; D. Một đáp số khác PHẦN II: TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Câu 1: (0,5đ) Phân tích đa thức sau ra thừa số a4+ 8a3- 14a2- 8a - 15 15 y x 300 30 Câu 2: (1,5đ) Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên a b + Câu 3 (1,0đ) Tìm số trị của nếu 2a2+ 2b2= 5ab; Và b > a > 0 a b − Câu 4 (1,5đ) Giải phương trình a. ; b. x4+ + + − − + x 2006 2006 2+ = 2 2 2 4y x 4y x x 2 Câu 5 (0,5đ) Cho ΔABC cân ở A đường cao AH = 10cm, đường cao BK = 12cm. Tính độ dài các cạnh của ΔABC Câu 6 (1,0đ) Cho (0; 4cm) và (0; 3cm) nằm ngoài nhau. OO’ = 10cm, tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và đường tròn (O’) tại F. OO’ cắt đường tròn tâm O tại A và B, cắt đường tròn tâm (O) tại C và D (B, C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N. Chứng minh rằng: MN ⊥ AD ĐỀ SỐ 14 Câu 1: (4,5 điểm) : Giải các phương trình sau: 1) 2 2 X − X + + X − X + = 2 1 6 9 5 2) 3 − 1 = 9 X X X + − X + ( 1)(2 1 Câu 2: (4 điểm) − 2 1) Chứng minh rằng: 1+ + + + < 2 1 3 2 1 4 3 ... 1 2007 2006 2 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là chiều dài 3 cạnh của một tam giác thì: ab + bc ≥ a2+ b2+ c2< 2 (ab + bc + ca) Câu 3: (4 điểm) 1) Tìm x, y, z biết: x= + + y y z = = z x y z + +1 2 3 x z + + 2) Tìm GTLN của biểu thức : x − 3 + y − 4 Câu 4: (5,5 điểm): x y + − biết x + y = 8 Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N. a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ? Câu 5: (2 điểm): Cho M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh rằng: BI ≤ 2MI. Phần I: Trắc nghiệm khách quan ĐỀ 15 a 2 ab − : a Câu 1: Với a>0, b>0; biểu thức . bằng a a 2 ab + a − 2 b a + 2 b A: 1 B: a-4b C: D: Câu 2: Cho bất đẳng thức: (I):3 + 5 2 6 3 2 10 24 <2 + (II): 2 +4> 3 + (III): Bất đẳng thức nào đúng 30> 2 A: Chỉ I B: Chỉ II C: Chỉ III D: Chỉ I và II Câu 3: Trong các câu sau; câu nào sai 2 2 x y − Phân thức bằng phân thức a/. 3 3 3 3 (x y )(x y ) − + x y − b/. c/. 3 3 2 2 (x y )(x xy y ) x y + 2 2 3 3 (x xy y )(x y ) + + + 1 2 2 2 2 2 d/. Phần II: Bài tập tự luận − − + 1 4 2 2 4 x x y y + + x y (x y ) + Câu 4: Cho phân thức: 5 4 3 2 − + − − + M= x 2x 2x 4x 3x 6 2 x 2x 8 + − a/. Tìm tập xác định của M. b/. Tìm các giá trị cảu x đê M=0 c/. Rút gọn M. Câu 5: Giải phương trình : 2(3 x) − x 7x 2 9 3x − + 5 − 5x 4(x 1) − − + + = 5 + 2 a/. (1) 14 24 12 3 59 x= − − 57 x − + 55 x − + 53 x − + + 51 x − 5 b/. (2) 41 43 45 47 49 Câu 6: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến kể qua A và cắt đường tròn (O) ở C và (O’) ở D. gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AD. 1 a/. Chứng minh : MN= CD 2 b/. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với CD tại I đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi. c/. Trong số những cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến nào có độ dài lớn nhất. Câu 7: ( Cho hình chóp tứ giác đều SABCD AB=a; SC=2a a/. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp b/. Tính thể tích của hình chóp. ĐỀ 16 Câu I:. Cho đường thẳng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1. c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất. CâuII: Giải các phương trình: a) b) 2 2 2 2 1 6 9 6 x + x + + x − x + = x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 1 Câu III: xy+ + yz zx a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= với x, y, z là số dương và x + y + z= 1 z ⎩⎨⎧ − x y x y z − 1 ⎪⎨⎧ = b) Giải hệ phương trình: 5 2 3 2 = − 2 ⎪⎩ 2 x x x 3 2 12 x y z − + = 2 + − 2 x x x c) B = 2 x x x − − − 2 2 − − 2 x x x + − 2 1. Tìm điều kiện xác định của B 2. Rút gọn B 3. Tìm x để B<2 Câu IV: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đường cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đường cao AH tại F. Kðo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D. Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N. a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD b) Chứng minh EF // BC c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN d) Cho OM =BC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC. Câu V: Cho (O;2cm) và đường thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đường tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đường tròn cắt đường thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ 17 .Câu 1 Rút gọn biểu thức = 1 + 1 + 1 + + ... 1 A+ . 2 1 1 2 + 3 2 2 3 + 4 3 3 4 + 2006 2005 2005 2006 Câu 2 Tính giá trị biểu thức 3 2 2 3 2 2 B− − − − x 3x (x 1) x 4 = − + − − 3 2 + x 3x (x 1) x 4 3 2 tại x = 32005 3. Cho phương trình: (m + 2)x2- (2m - 1)x - 3 + m = 0 (1) a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi m b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. 4. Giải hệ phương trình: ⎪⎪⎨⎧ ⎪⎪⎩ 6x 3 x y 4z 1 + = − y z 4x 1 + = − z x 4y 1 + = − − 2 5. Giải phương trình: =3+2 x 1 x − − x − x 6. Cho parabol (P): y = x2 2 a) Viết phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc m và đi qua điểm A (1 ; 0) b) Biện luận theo m số giao điểm của (P) và (D) c) Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) tìm toạ độ tiếp điểm d) Tìm trên (P) các điểm mà (D) không đi qua với mọi m 7. Cho a1, a2, ..., an là các số dương có tích bằng 1 1 1 1 1+ + + + + + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a a ... 1 a 1 2 n 8. Cho điểm M nằm trong ΔABC. AM cắt BC tại A1, BM cắt AC tại B1, CM cắt AB tại C1. Đường thẳng qua M song song với BC cắt A1C1 và A1B1 thứ tự tại E và F. So sánh ME và MF. 9. Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh M, O, N thẳng hàng 10. Cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A. Lấy điểm M trên đường thẳng d. Kẻ BK vuông góc với AC, kẻ BH vuông góc với MC; HK cắt đường thẳng d tại N. a) Chứng minh BN ⊥ MC; BM ⊥ NC b) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất. ĐỀ 18 Rút gọn biểu thức : A = Câu 2: (2đ) 6 2 2 3 2 12 18 128 + − − + − Giải phương trình : x2+3x +1 = (x+3) Câu 3: (2 đ) Giải hệ phương trình ⎧⎪ + + = ⎨⎪⎩+ = = 2 2 2 x +1 x y xy 1 3 3 Câu 4: (2đ) x y x y 3 Cho PT bậc hai ẩn x : X2 - 2 (m-1) x + 2 m2 - 3m + 1 = 0 c/m : PT có nghiệm khi và chỉ khi 0  m  1 Gọi x1 , x2 là nghiệm của PT . c/m 1 2 1 2 x x x x + + 98  4x12 1 2 Câu 6: (2đ) : Cho parabol y = và đườn thẳng (d) : y = a/ Vẽ (P) và (d)trên cùng hệ trục toạ độ . 2x + b/ Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) trên cùng hệ toạ trục toạ độ Oxy. Tìm M trên của (P) sao cho SMAB lớn nhất . AB Câu 7: (2đ) a/ c/m : Với  số dương a 2 1 1 1 1 1 1 thì ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + = + + ⎝ ⎠ + + 2 2 2 a a a 1 a 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 b/ Tính S = + + + + + + + + +2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2006 2007 Câu 8 ( 4 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đường tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ). Tia OM cắt (O) tại C . Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’). a/ Chứng minh rằng tam giác AMD cân . b/ Tiếp tuyến C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tương đối của đương thẳng EA đối với (O) và (O’). c/ Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng. d/ Tại vị trí của M sao cho ME // AB hãy tính OM theo a . Câu 9 ( 1 điểm ): Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều ĐỀ 19 CâuI- (4đ) : Tính giá trị của biểu thức : 1, 5 − 3 − 29 −12 5 2 + 3 14 − 5 3 2, + Câu II- (5đ) : Giải các phương trình sau : x 1 2 1, + = x + 1 x −1 1 2 2 x − x − x + 4 4 2 2 1 x − x + 2, + = 3 3, x4– 3x3+ 4x2–3x +1 = 0 Câu III- (3đ) : 1, Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng : 1 1 1 32 +1 +2 + 8 c≥abc b2 a2 2 2, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : 1 n +1 n2 1 - > n + Câu III – (3đ) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 x x + − a, y = 2 1 2 2 4 9 x x + + 1x + 3 b, y = - 4 2 Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N . Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH . d, Tính diện tích tứ giác DENM -------------------&*&---------------------