Trắc Nghiệm Nâng Cao Mũ

" Trắc Nghiệm Nâng Cao Mũ – Lôgarit 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Trắc Nghiệm Nâng Cao Mũ – Lôgarit Ebooks Nhóm Zalo ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao LŨY THỪA – MŨ – LÔGARIT A – LÝ THUYẾT CHUNG I. LŨY THỪA 1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ  Cơ số a Luỹ thừa  a *  = ∈n N a  R n = = a a a a a (n thừa số a) . ......  = 0 a 0 ≠  01 a a = = *  = − ∈ n n N ( ) a 0 ≠ 1 α − n a aa = = n *  = ∈ ∈ ( , ) mm Z n N n a > 0 m n n m n n a a a ( a b b a) α= = = ⇔ = *  = ∈ ∈ lim ( , ) r r Q n N n n a > 0 lim =nr a a 2. Tính chất của luỹ thừa ∙ Với mọi a > 0, b > 0 ta có: α α α a . a a a .a a ; a ; (a ) a ; (ab) a .b ; α β α+β α−β α β α β α α α ⎛ ⎞ = = = = ⎜ ⎟ = β α a b b ⎝ ⎠ ∙ a > 1 :   a a > ⇔ >   ; 0 < a < 1 :   a a > ⇔ <   ∙ Với 0 < a < b ta có: m m a b m ; > ⇔ < 0 < ⇔ > 0 m m a b m Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức n ∙ Căn bậc n của a là số b sao cho = b a . ∙ Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: n n n ab a b ; n a a (b 0) p = > ; = > ( ) ( 0) n p n = . n n b b a a a ; m n mn a a = = = > ( 0) p q n mp q Neáu thì a a a n mn m a a n m; Đặc biệt = n n a b . ∙ Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì < n n a b . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì < Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu na . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. II. HÀM SỐ LŨY THỪA 1) Hàm số luỹ thừa  y x = (α là hằng số) Số mũ α Hàm số y xα = Tập xác định D α = n (n nguyên dương) n y x = D = R α = n (n nguyên âm hoặc n = 0) n y x = D = R \ {0} α là số thực không nguyên y xα = D = (0; +∞) 1 Chú ý: Hàm số 2) Đạo hàm n y x = không đồng nhất với hàm số = ∈ ( *) n y x n N . ′ − x x (x 0) α ′ α− = α > ; ( )1. ∙ ( )1    u u u = ′ vôùi x neáu n chaün ′ ⎛ > ⎞ 1 0 Chú ý: .( )1 n xn x vôùi x neáu n leû = ⎜ ⎟ 0 − n n ′ ′ ⎝ ≠ ⎠ ( ) u n un u = n n −1 III. LÔGARIT 1. Định nghĩa ∙ Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log  ab a b = ⇔ =  Chú ý: logab có nghĩa khi a 0,a 1 ⎧ > ≠ ⎨⎩ > b 0 ∙ Logarit thập phân: 10 lg log log b b b = = n b b (với 1 ∙ Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln log = e 2. Tính chất lim 1 2,718281 ⎛ ⎞ = + ≈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ en) log a b = ;log = > ( 0) ab log a 1 = ;b ∙ log 1 0 a = ;a a ∙ Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó: a b b + Nếu a > 1 thì log log a > ⇔ > a b c b c + Nếu 0 < a < 1 thì log log a > ⇔ < a b c b c 3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao bb c bc b c ∙ log log log ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ a a a c∙ log log  ∙ log ( ) log log a = + a a 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có: a =  a b b ∙log loglog =a c b ∙ a cb hay a b a log b.log c log c = a 1 = ∙ a a1 log blog a b IV. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1) Hàm số mũ x y a = (a > 0, a ≠ 1). ∙ Tập xác định: D = R. log c log c ( 0) α = α ≠ α ∙ Tập giá trị: T = (0; +∞). ∙ Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. ∙ Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. ∙ Đồ thị: y 1 a>1 2) Hàm số logarit = loga y=ax x y=axy 1 0 0, a ≠ 1) ∙ Tập xác định: D = (0; +∞). ∙ Tập giá trị: T = R. ∙ Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. ∙ Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. ∙ Đồ thị: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao y y=logax x 1 O a>1 3) Giới hạn đặc biệt y O y=logax 1x 0 0); ( )u ln ′ ln uu′ ′= File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM log 12 = x , 12 log 24 = y và 541 log 168 + axy bxy cx, trong đó a b c , , là các số nguyên. Câu 1: Cho 7 Tính giá trị biểu thức S a b c = + + 2 3 . =+ A. S = 4 . B. S =19. C. S =10. D. S =15. Câu 2: Nếu 2 log log 5 a b + = và2 8 4 A. 9 log log 7 a b + = thì giá trị của ab bằng 4 8 2 . B. 18 2 . C. 8. D. 2. 1 1 1 log 1 log − − Câu 3: Với a a > ≠ 0, 1, cho biết: A. 1 u t = = a a t a v a . Chọn khẳng định đúng: ; u av. B. 1 − u at. C. 1 u av. D. 1 =− a 1 log =+ a 1 log =+ a 1 log u av. =− a 1 log Câu 4: Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số =x y a , =x y b , = logc y x . y a = x y 3 2 1 y b = x y x =logc x −1 O 1 2 3 . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. c a b < < . B. a c b < < . C. b c a < < . D. a b c < = . x Câu 5: Cho bốn hàm số = ( 3 1 ) ( ) x 12 ⎛ ⎞ x x 1 4 ⎛ ⎞ y , ( ) y , ( ) y , = 4 3( ) = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 y có đồ thị là 4 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là (C C C C 1 2 3 4 ), , , ( ) ( ) ( ) như hình vẽ bên. Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là A. (1 , 2 , 3 , 4 ) − − − − (C C C C 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 1 ). B. (1 , 2 , 3 , 4 . ) − − − − (C C C C 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) C. (1 , 2 , 3 , 4 ) − − − − (C C C C 4 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 ). D. (1 , 2 , 3 , 4 . ) − − − − (C C C C 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) y ( ) C1 ( ) C3 ( ) C4 O x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Câu 6: Cho hàm số2 y x x a = + + − 2 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. A. a = 3 B. a = 2 C. a =1 D. Một giá trị khác 2 40 = + − 20 20 1283 x Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y x x e trên tập hợp các số tự nhiên là A. −1283 . B. 280 −163.e . C. 320 157.e . D. 300 −8.e . 1 Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 23 3 ym x x mxác định trên =− + + log 4log 3 khoảng (0;+∞). A. m∈ −∞ − ∪ +∞ ( ; 4 1; ) ( ) . B. m∈ +∞ [1; ) . C. m∈ −( 4;1) . D. m∈ +∞ (1; ) . 3x x ( ) Câu 9: Cho hàm số 4 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y 2017 e m-1 e +1  . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) . A. 3 4 3 1 3 1 e m e + ≤ < + . B. 4 m e ≥ + 3 1. C. 2 3 3 1 3 1 e m e + ≤ ≤ + . D. 2 m e < + 3 1. x e m − − 2 ye mđồng biến trên =− Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 x khoảng 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln ;0 4 A. 1 1; [1;2) ⎡ ⎤ ∈ − ∪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m B. m∈ −[ 1;2] 2 2 C. m∈(1;2) D. 1 1;2 2 ⎡ ⎤ ∈ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m − x Câu 11: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số3 3 − ymnghịch biến trên khoảng (−1;1 .) =− − x 3 A. 1.3 m < B. 1.3 m ≤ C. 13. 3< < m D. m < 3. Câu 12: Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn 2 3 6− x y z . Giá trị của biểu thức M xy yz xz = + + là: = = A. 0. B. 1. C. 6. D. 3. 2 log log log Câu 13: Cho = = = ≠ = log 0; a b c b y p q r ac. Tính ytheo p q r , ,. x x =p r y q pr = − . B.2+ A. 2 yq. C. y q p r = − − 2 . D. y q pr = − 2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao log log log 9p q p q = = + 12 16 ( ) Câu 14: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: . Tìm giá trị của p q 4 8 11 3 11 5 2+ ( ) 5( ) A. B. C. D. 3 2+ a b c log 3 log 2 log 5 5 + + = , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây, Câu 15: Cho 6 6 6 khẳng định nào đúng? A. a b = . B. a b > . C. b a > . D. c a b > > . Câu 16: Cho n >1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức 1 1 1 n n n bằng + + + ... log ! log ! log ! 2 3 n A. 0. B. n. C. n!. D. 1. P = + ° + ° + + ° ln tan1° ln tan 2 ln tan3 ... ln tan89 ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 17: Tính giá trị của biểu thức . P =1. 1.2 P = P = 0. P = 2. A. B. C. D. Câu 18: Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho 2 2 2 2 2 log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 2017 log 2019 a + a+ a+ + n na= × a 3 A. 2017 . B. 2019 . C. 2016 . D. 2018 . b a Câu 19: Cho hai số a b, dương thỏa mãn điều kiện: .2 .2 a b a b . Tính = − 2017 2017 . a b P − − =+ a b 2 2 A. 0. B. 2016. C. 2017. D. −1. Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A B, và C lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số = = log , log a a y x với a là số thực lớn hơn 1. Tìm a . y x y x và 3 = log a A. a = 3 . B. 3 a = 6 . C. a = 6 D. 6 a = 3 . y x và log = b Câu 21: Cho các hàm số log = a y x có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt trục y x và log = b hoành, đồ thị hàm số log = a y x lần lượt tại A B, và C . Biết rằng CB AB = 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 a b = . B. 3 a b = . C. 3 a b = D. a b = 5 . 1 1 1 2 ⎛ + ⎞ 13log 2 2log 8 1 1 f x x . Giá trị của f f ( ) ( ) 2017 bằng: Câu 22: Kí hiệu ( ) 2 x = + + − ⎜ ⎟ 4 x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A. 2016. B. 1009. C. 2017. D. 1008. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao x Câu 23: Cho hàm số ( )4 f x . Tính giá trị biểu thức 1 2 100 =+ x 4 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A f f f ? ... 100 100 100 A. 50 . B. 49 . C. 1493. D. 3016. x Câu 24: Cho hàm số4 f x . Tính tổng ( )4 2 =+ x 1 2 3 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f ... . 2018 2018 2018 2018 A. 2017. S = B. S = 2018. C. 2019. 2 x S = D. S = 2017. 2 Câu 25: Cho hàm số16 ( )16 4 f x . Tính tổng =+ x 1 2 3 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 A. 5044. S = B. 10084. S = C. S =1008. D. 10089. 5 5 x S = 5 Câu 26: Cho hàm số9 2 ( ) . − f x Tính giá trị của biểu thức =+ x 9 3 1 2 2016 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 A. 336 . B. 1008. C. 4039 12. D. 8071 12. x Câu 27: Cho hàm số9 f x . ( )9 3 =+ x Tính tổng 1 2 3 ... (1)? ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f 2007 2007 2007 A. S = 2016 . B. S =1008 . C. 4015 S = . D. 4035 4 x Câu 28: Cho hàm số9 S = . 4 ( )9 3 f x . Tính tổng =+ x 1 2 3 2016 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( ) = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f ... 1 . 2017 2017 2017 2017 A. 4035. S = B. 8067. S = C. S =1008. D. 8071. 4 4 x S = 4 Câu 29: Cho hàm số9 2 ( ) . − f x Tính giá trị của biểu thức =+ x 9 3 1 2 2016 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao A. 336 . B. 1008. C. 4039 12. D. 8071 12. x Câu 30: Cho hàm số25 ( )25 5 f x . =+ x Tính tổng 1 2 3 4 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 2017 A. 6053. S = B. 12101. S = C. S =1008. D. 12107. 6 6 x Câu 31: Cho ( ) 2016 S = 6 f x . Tính giá trị biểu thức =+ x 2016 2016 1 2 2016 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + +…+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f 2017 2017 2017 A. S = 2016 B. S = 2017 C. S = 1008 D. S = 2016 1 2 log = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −x Câu 32: Cho hàm số ( ) 2 ⎛ ⎞ f xx. Tính tổng 2 1 1 2 3 2015 2016 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 2017 A. S = 2016. B. S =1008. C. S = 2017. D. S = 4032. Câu 33: Cho 0 1 2 < ≠ + a và các hàm ( )2− x x a a f x , ( ) . x x a a + − − g x Trong các khẳng định = = 2 sau, có bao nhiêu khẳng định đúng? 2 2 I. ( ) ( ) f x g x − = 1. II. g x g x f x (2 2 . ) = ( ) ( ) III. f g g f ( (0 0 . )) = ( ( )) IV. g x g x f x g x f x ′ ′ (2 ) = ( ) ( ) − ( ) ′( ). A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. 1 1 1 + + f x e Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 . 3 ... 2017 =mn Câu 34: Cho ( ) ( ) 2 2 =x x + 1. f f f f e với m n, là các số tự nhiên và mn tối giản. Tính 2 m n − . m n − = 2018. B. 2 m n − = −2018 . C. 2 A. 2 t 9 m n − =1. D. 2 m n − = −1. Câu 35: Xét hàm số ( ) 2 f tm với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m =+ 9 t +≤ + x y sao cho f x f y ( ) + = ( ) 1 với mọi x y, thỏa mãn ( ) e e x y . Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Câu 36: Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2 2 4 + = x y . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức 2 2 P x y y x xy = + + + 2 2 9 . ( )( ) A. max272 P = . B. max P =18 . C. max P = 27 . D. max P =12 . 8 Câu 37: Cho 1 64 < >1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức a 2 2 log 3log ⎛ ⎞ ( ) P ab. = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b b A. min P =19 . B. min P =13. C. min P =14 . D. min P =15. Câu 39: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn 31 −= + + − xyxy x y log 3 2 4 x y. Tìm giá trị nhỏ nhất + 2 Pmin của P x y = + . A. min9 11 19 P = . B. min9 11 19 − 9 + P = . 9 C. min18 11 29 P = . D. min2 11 3 − 9 − P = . 3 log 2 3 −= + + − Câu 40: các số thực dương a , b thỏa mãn 21 ab ab a b a b. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin + của P a b = + 2 . A. min2 10 3 P = . B. min3 10 7 P = . C. min2 10 1 − P = . D. min2 10 5 − 2 2 − 2 − P = . 2 3 m ab = loga, với a b > > 1, 1 và 2 Câu 41: Cho ( ) nhỏ nhất. A. m =1. B. 12 = + log 16 log P b a a b. Tìm m sao cho P đạt giá trị m = . C. m = 4 . D. m = 2 . 2 2 2 ⎛ ⎞ b Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của ( ) P bavới a , b là các số thực thay đổi thỏa = + ⎜ ⎟ log 6 log ⎝ ⎠ a ba mãn b a > >1 là A. 30 . B. 40 . C. 18 . D. 60 . b 33 Câu 43: Cho hai số thực a b, thỏa mãn 3 2 1 log 4 2log 3 ⎛ ⎞ 2 1≤ < b a . Biểu thức ( ) = + + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a a P b a có giá trị lớn nhất bằng A. 67 . B. 31455 512. C. 27 . D. 4558. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Câu 44: Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy y ≤ − 4 1. Giá trị nhỏ nhất của 6 2( ) 2 x y x y Px ylà a b + ln . Giá trị của tích ab là + + = + ln A. 45 . B. 81. C. 108. D. 115. Câu 45: Xét các số thực a b, thỏa mãn a b > >1. Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức − ⎛ ⎞ 1 7 b = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a Pa a. 2 log log 4 b A. = 2 PMax . B. =1 PMax . C. = 0 PMax . D. = 3 PMax . Câu 46: Cho 0 1 < < < a b , ab >1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 P abb ab. = +− log1 log .log a ( ) a a b A. P = 2 . B. P = 4 . C. P = 3 . D. P = −4 . Câu 47: Xét các số thực a b, thỏa mãn ⎧ ≥ a b 2 a b. Tìm giá trị nhỏ nhất của = + log log a b ⎨⎩ > 1 A. min1.3 P ab. b P = B. min P =1. C. min P = 3. D. min P = 9. a Câu 48: Xét các số thực a b, thỏa mãn b > 1 và a b a ≤ < . Biểu thức log 2log ⎛ ⎞ P abđạt = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b b giá trị khỏ nhất khi: A. 2 a b = . B. 2 3 a b = . C. 3 2 a b = . D. 2 a b = . Câu 49: Xét các số thực a b, thỏa mãn 11 4< < < b a . Biểu thức 1 ⎛ ⎞ P b b đạt giá = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a ab log log 4 trị nhỏ nhất khi: A. 2 ab = B. 1 log .3 ab = C. 3 log .3 log .2 ab = D. log 3. ab = Câu 50: Xét các số thực a b, thỏa mãn a b > > > 1 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 P a b a = + log log . 2 a b A. Pmax = +1 2 3. B. Pmax = −2 3. C. max P = −2. D. Pmax = −1 2 3. 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Câu 51: Xét các số thực a b, thỏa 2 1< ≤ a b . Biểu thức giá trị nhỏ nhất khi: A. 2 a P a bbđạt = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a a a 2 2 log log 27 log b b a b = . B. a b = 2 . C. a b = +1 D. 2 1. a b = + sin sin x m x Câu 52: Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 4 6 + + f x không =+ sin 1 sin x x + 9 4 nhỏ hơn 13. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao A. 62 m ≥ B. 613 log . log .3 m ≥ C. 6 m ≤ log 3. D. 62 18 m ≤ log .3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GẢI log 12 = x , 12 log 24 = y và 541 log 168 + axy bxy cx, trong đó a b c , , là các số nguyên. Câu 1: Cho 7 Tính giá trị biểu thức S a b c = + + 2 3 . =+ A. S = 4 . B. S =19. C. S =10. D. S =15. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: ( ) 7 log 24.7 log 24 1 log 12log 24 1 =7 + + log 168log 54 =7 12 54 7 log 54 7 = log 54 7 log 12log 24 1 =xy = 7 12 + + 1 log 12log 54 7 12 x .log 54 12 3.2.12.24 24 3log log Tính log 54 log 27.2 12 = 12 ( ) 12 12 = + 3log 3 log 2 12 12 = + . 2.12.24 12 3 12 24 3log log = + = − + − 3 3 2 log 24 log 24 1 ( 12 ) ( 12 ) 12 = −8 5log 24 = −8 5y . 12 2 12 24 12 log 1688 5+ xy 1 xy + 1 =− Do đó: ( ) =− + xy x. a ⎧ = 54 1 x y 5 8 Vậy ⎪⎨ = − b ⎪⎩ = ⇒ = + + = S a b c 2 3 15 5 c 8 Câu 2: Nếu 2 log log 5 a b + = và2 8 4 A. 9 log log 7 a b + = thì giá trị của ab bằng 4 8 2 . B. 18 2 . C. 8. D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn A. Đặt 2 2 = ⇒ = = ⇒ = log 2 ; log 2 x y x a a y b b . 15 ⎧+ = ⎪⎧ + = ⎪⎪ ⎧ + = = ⎧ x y a b x y x 2 log log 5 3 3 15 6 Ta có 8 4 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 a b x y y ⎪⎩+ = ⎪ ⎩ + = = ⎩ + = ⎪⎩ log log 7 1 3 21 3 7 . Suy ra 9 x y ab . 2 2 + = = 4 8 BÌNH LUẬN x y 3 Nguyên tắc trong bài này là đưa về logarit cơ số 2. 1 1 1 log 1 log − − Câu 3: Với a a > ≠ 0, 1, cho biết: A. 1 u t = = a a t a v a. Chọn khẳng định đúng: ; u av. B. 1 − u at. C. 1 u av. D. 1 =− a 1 log Giải: =+ a 1 log =+ a 1 log u av. =− a 1 log File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Từ giả thiết suy ra: 1 1 log .log t a = = a a 1 log 1 log − − u u a a 1 1 1 1 log log .log − u a = = = = v a a a 1 log 1 log 1 log 11 log − − − t t u −− a a a a u ( ) ⇔ − = − ⇔ − = log log 1 log log 1 log 1 v u u u v a a a a a 1 1 1 log log1 log− v a ⇔ = ⇔ = u u a a v Chọn D. − a Câu 4: Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số =x y a , =x y b , = logc y x . y a = x y 3 2 1 y b = x y x =logc x −1 O 1 2 3 . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. c a b < < . B. a c b < < . C. b c a < < . D. a b c < = . Hướng dẫn giải: Chọn B. Từ đồ thị Ta thấy hàm số =x y a nghịch biến ⇒ < < 0 1 a . y b y x đồng biến ⇒ > > b c 1, 1 Hàm số = = , log xc ⇒ < < a b a c , nên loại A, C Nếu b c = thì đồ thị hàm số =x y b và = logc y x phải đối xứng nhau qua đường phân giác y x cắt đường y x = nên góc phần tư thứ nhất y x = . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số = logc loại D. x x 12 ⎛ ⎞ y x ( ) C3 Câu 5: Cho bốn hàm số = ( 3 1 ) ( ) y , ( ) y , = 4 3( ) x 1 4 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 y , ( ) C1 ( ) C4 ⎛ ⎞ ( ) y có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay O x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao thứ tự từ trái qua phải là (C C C C 1 2 3 4 ), , , ( ) ( ) ( ) như hình vẽ bên. Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là A. (1 , 2 , 3 , 4 ) − − − − (C C C C 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 1 ). B. (1 , 2 , 3 , 4 . ) − − − − (C C C C 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) C. (1 , 2 , 3 , 4 ) − − − − (C C C C 4 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 ). D. (1 , 2 , 3 , 4 . ) − − − − (C C C C 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có = ( 3)x y và = 4x y có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là (C3 ) hoặc (C4 ). Lấy x = 2 ta có ( )22 y là (C3 ) và đồ thị = ( 3)x y là (C4 ). 3 4 < nên đồ thị = 4x x x y và 14 y đối xứng nhau qua Oy nên đồ thị14 Ta có đồ thị hàm số = 4x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ y là (C2 ). = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x Còn lại (C1 ) là đồ thị của 13 ⎛ ⎞ y . = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Vậy (1 , 2 , 3 , 4 ) − − − − (C C C C 4 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 ) Câu 6: Cho hàm số2 y x x a = + + − 2 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. A. a = 3 B. a = 2 C. a =1 D. Một giá trị khác Hướng dẫn giải: y x x a x a = + + − = + + − 2 4 1 5 . Đặt ( )2 2 2 Ta có ( ) u x = +1 khi đó ∀ ∈ − x [ 2;1] thì u ∈[0; 4] Ta được hàm số f u u a ( ) = + − 5 . Khi đó [ ] [ ]( ) { ( ) ( )} { } 2;1 0;40 , 4 5 ; 1 Max y Max f u Max f f Max a a = = = − − x u ∈ − ∈ Trường hợp 1: [ ]( ) a a a Max f u a a − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = − ≥ ⇔ = 5 1 3 5 2 3 u ∈ 0;4 Trường hợp 2: [ ]( ) a a a Max f u a a − ≤ − ⇔ ≥ ⇒ = − ≥ ⇔ = 5 1 3 1 2 3 u ∈ 0;4 Vậy giá trị nhỏ nhất của [ 2;1]2 3 Max y a x Chọn A. ∈ − = ⇔ = 2 40 = + − 20 20 1283 x Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y x x e trên tập hợp các số tự nhiên là A. −1283 . B. 280 −163.e . C. 320 157.e . D. 300 −8.e . Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Chọn B. ′ = + + + − 40 20 20 20 1283 40 800 840 51300 = + − x x x 40 2 40 2 40 ( ) ( ) ( ) y x e x x e x x e 342 300 0 ; y x x ′ = ⇒ = − = . 40 40 Bảng xét dấu đạo hàm x −∞ 342 −300 7,5 40 40=+∞ y′ + 0 − 0 + 280 320 ( ) ( ) y e y e 7 163. ; 8 157. = − = . Vậy 280 min 163. . y e = − 1 Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 23 3 ym x x mxác định trên =− + + log 4log 3 khoảng (0;+∞). A. m∈ −∞ − ∪ +∞ ( ; 4 1; ) ( ) . B. m∈ +∞ [1; ) . C. m∈ −( 4;1) . D. m∈ +∞ (1; ) . Hướng dẫn giải: Chọn A. t x = log , khi đó x ∈ +∞ ⇔ ∈ (0; ) t  . Đặt 3 ym x x mtrở thành 214 3 1 =− + + 23 3 log 4log 3 1 ymt t m. =− + + ym x x mxác định trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi hàm số Hàm số 23 3 =− + + log 4log 3 1 ymt t mxác định trên  =− + + 2 4 3 2 ⇔ − + + = mt t m 4 3 0 vô nghiệm 2 ⇔ Δ = − − < ⇔ < − ∨ > ′ 4 3 0 4 1 m m m m . 3x x ( ) Câu 9: Cho hàm số 4 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y 2017 e m-1 e +1  . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) . A. 3 4 3 1 3 1 e m e + ≤ < + . B. 4 m e ≥ + 3 1. C. 2 3 3 1 3 1 e m e + ≤ ≤ + . D. 2 m e < + 3 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao x x ( ) − − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ 31 1 4 4 3 e m e x x ( ( ) ) ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∙ y e m e = .ln . 1 1 2017 2017 x x ( ) − − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 31 1 4 4 3 e m e x x ( ( ) ) y e m e .ln . 3 1 2017 2017 ∙Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) ⇔ x x ( ) − − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ≥ ∀ ∈ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e m e 31 1 4 4 3 ( ( ) ) ( ) x x y e m e x (*), mà .ln . 3 1 0, 1;2 2017 2017 x x ( ) 31 1 40, − − + ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ > ∀ ∈ ⎪⎝ ⎠ ⎨⎪ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ < e m e 2017 4 ln 0 ⎪⎩ ⎝ ⎠ 2017 3 1 , 1; 2 + ≤ ∀ ∈ x x  3 1 0, 1; 2 − − ≤ ∀ ∈ x x 3 . Nên (*) ⇔ ( ) ( ) e m e x ⇔ 2 e m x ( ) = + ∀ ∈ 3 1, 1;2 x 2 = > ∀ ∈ 3 .2 0, 1;2 x 2 g x e x , ( ) ( ) ∙Đặt ( ) ( ) g x e x x ( ) 1 2 . Vậy (*) xảy ra khi m g ≥ (2)⇔ 4 ′ + m e ≥ + 3 1. g x ( ) g x | | | |  BÌNH LUẬN u u Sử dụng ( )' ' ln = a u a a và phương pháp hàm số như các bài trên. x e m − − 2 ye mđồng biến trên =− Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 x khoảng 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ln ;0 4 A. 1 1; [1;2) ⎡ ⎤ ∈ − ∪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m B. m∈ −[ 1;2] 2 2 C. m∈(1;2) D. 1 1;2 2 ⎡ ⎤ ∈ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: { }2 D m =  \ ln 2 x ( 2) ' 0 2 0 1 2 − + + m m e 2 Ta có ( ) thì hàm số đồng biến trên y m m m = > ⇔ − + + > ⇔ − < < x e m − 2 2 các khoảng ( )2 2 −∞;ln m và ( ) ln ; m +∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ thì 221 1 1 ln4 2 2 ⎡ ⎡ m m Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng 1 ln ;0 4 ≤ − ≤ ≤ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ≥ ⎣ ≤ − ∨ ≥ ⎣ ln 0 1 1 m m m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Kết hợp với điều kiện − < < 1 2 m suy ra 1 1; [1;2) ⎡ ⎤ ∈ − ∪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m . 2 2 − x Câu 11: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số3 3 − ym nghịch biến trên khoảng (−1;1 .) =− − x 3 A. 1.3 m < B. 1.3 m ≤ C. 13. 3< < m D. m < 3. Hướng dẫn gải: t , với ( ) 1 Đặt 3− =x ⎛ ⎞ ∈ − ⎯⎯→ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x t . 1;1 ;3 3 − − + t m 3 3 Hàm số trở thành ( ) ( )( )2 t m t m. y t y t = ⎯⎯→ = ' − − t x , do đó 3− = − < ∀ ∈ − x − Ta có ' 3 .ln 3 0, 1;1 ( ) =x t nghịch biến trên (−1;1 .) Do đó YCBT ←⎯→ y t( ) đồng biến trên khoảng 1;3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 1 ⎛ ⎞ ←⎯→ > ∀ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y t t 3 ⎧ < m ' 0, ;3 3 3 ⎧− + > ⎛ ⎞ ⎧ < ⎛ ⎞ ⎪ ⇔ ⎨ ∀ ∈ ⇔ ∀ ∈ ⇔ ⎜ ⎟ ⎨ ⎜ ⎟ ⎨ ⎛ ⎞ ⇔ ≤ 3 0 1 3 1 1 m m , ;3 , ;3 1 . t t m ⎩ − ≠ ⎝ ⎠ ⎩ ≠ ⎝ ⎠ ⎪∉⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ t m m t m 0 3 3 ;3 3 3 Chọn B. Câu 12: Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn 2 3 6− x y z . Giá trị của biểu thức M xy yz xz = + + là: = = A. 0. B. 1. C. 6. D. 3. Giải: Khi một trong ba số x y z , , bằng 0 thì các số còn lại bằng 0. Khí đó M=0. x y z k suy ra 1 1 1 Khi x y z , , 0 ≠ ta đặt 2 3 6− = = = 1 1 11 1 1 . hay −− − = = = x y z k k k 2 ,3 ,6 Do 2.3=6 nên = + = x y z k k kx y z. Từ đó suy ra M=0 Chọn A. 2 log log log Câu 13: Cho = = = ≠ = log 0; a b c b y p q r ac. Tính ytheo p q r , ,. x x =p r y q pr = − . B. 2+ A. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. yq. C. y q p r = − − 2 . D. y q pr = − 2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao 2 2 b y b y = ⇔ = log log x x ac ac ⇒ = − − = − − y x b a c q x p x r x log 2log log log 2 log log log ( ) = − − log 2 x q p r ⇒ = − − y q p r 2 (do log 0 x ≠ ). BÌNH LUẬN b m Sử dụng log log log c,log log log ,log log = + = − = bc b b c b m b a a a a a a a a c log log log 9p q p q = = + 12 16 ( ) Câu 14: Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: . Tìm giá trị của p q 4 8 11 3 11 5 2+ ( ) 5( ) A. B. C. D. 3 Hướng dẫn giải t p q p q = = = + log log log 9 12 16 ( ) 9t p = 12t 2+ q = 16 9 12 t t t = + = + p q Đặt: thì: , , (1) 2 t t tq 4 4 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠40 ⎛ ⎞ 9t Chia hai vế của (1) cho ta được: , đặt đưa về phương = = > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ trình: 2 11 5 3 3 q xp 3 11 5 x x − − =1 0 ( ) x = + x > 0 ( ) p= + ⇔ do , suy ra . 2 Chọn D. 2 a b c log 3 log 2 log 5 5 + + = , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây, Câu 15: Cho 6 6 6 khẳng định nào đúng? A. a b = . B. a b > . C. b a > . D. c a b > > . Giải: a b c log 3 log 2 log 5 5 + + = Ta có: 6 6 6 3 ⇔ = ⇔ = = log 3 2 5 5 3 2 5 6 3 .2 .5 a b c a b c 5 5 5 0 Do a,b,c là các số hữu tỉ nên a=b=5 và c=0. Chọn C. Câu 16: Cho n >1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức 1 1 1 n n nbằng + + + ... log ! log ! log ! 2 3 n A. 0. B. n. C. n!. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao 1 1 1 1 1, ... log 2 log 3 log 4 ... log > ∈ ⇒ + + + + = + + + + n n n  n n n n log ! log ! log ! log ! n n n n ! ! ! ! n 2 3 4 ( ) = = = log 2.3.4... log ! 1 n n n n ! ! BÌNH LUẬN 1 ba, log log log a = + a a Sử dụng công thức loglog a =b bc b c , log 1 aa = P = + ° + ° + + ° ln tan1° ln tan 2 ln tan3 ... ln tan89 ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 17: Tính giá trị của biểu thức . P =1. 1.2 P = P = 0. P = 2. A. B. C. D. Hướng dẫn giải: ( ) ( ) ( ) ( ) = + ° + ° + + ° ln tan1° ln tan 2 ln tan3 ... ln tan89 P ( ) = ° ° ° ° ln tan1 .tan 2 .tan3 ...tan89 ( ) = ° ° ° ° ° ° ° ln tan1 .tan 2 .tan3 ...tan 45 .cot 44 .cot 43 ...cot1 = ° = = ln tan45 ln1 0. ( ) tan .cot 1 α α = (vì ) Chọn C. Câu 18: Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho 2 2 2 2 2 log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 201 a + a+ a+ + n na= × 7 log 2019 a 3 A. 2017 . B. 2019 . C. 2016 . D. 2018 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 2 2 2 2 log 2019 2 log 2019 3 log 2019 ... log 2019 1008 201 a + a+ a+ + n na= × 7 log 2019 a(*) 3 Ta có 2 2 3 n log 2019 . .log 2019 log 2019 na= n n a = n a. Suy ra 2 3 3 3( 1) 1 2 ... .log 2019 .log 2019 n n VT (*) ( ) ⎡ ⎤ + = + + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ a a n 2 VP (*) 2 2 = × 1008 2017 log 2019 a. Khi đó (*) được: 2 2 2 2 2 2 2 n n( 1) 2 .1008 .2017 2016 .2017 2016 + = = ⇒ = n . b a Câu 19: Cho hai số a b, dương thỏa mãn điều kiện: .2 .2 a b a b . Tính = − 2017 2017 . a b P − − =+ a b 2 2 A. 0. B. 2016. C. 2017. D. −1. Hướng dẫn gải: b a a b a b a b a b . .2 .2 2 2 .2 .2 − a b b a Từ giả thiết, ta có ( )( ) − = ←⎯→ − + = − a b 2 2 + File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao ←⎯→ + − − = − ⇔ = .2 .2 .2 .2 .2 .2 .2 .2 . a b a b b a a b a a b b a b a b (*) Xét hàm số ( ) = .2x x x x f x x với x > 0 , có ′( ) = + = + > ∀ > 2 .2 .ln 2 2 1 .ln 2 0; 0 ( ) f x x x x . Suy ra hàm số f x( ) là đồng biến trên khoảng (0;+ ∞). Nhận thấy (* ⇔ = ⇒ = ) f a f b a b ( ) ( ) . a b a a. Khi a b = thì 2017 2017 2017 2017 0 − = − = Chọn A. Câu 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A B, và C lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số = = log , log a a y x y x và 3 = log a y x với a là số thực lớn hơn 1. Tìm a . A. a = 3 . B. 3 a = 6 . C. a = 6 D. 6 a = 3 . Hướng dẫn gải: Do AB Ox  ⎯⎯→ A B, nằm trên đường thẳng y m m = ≠ 0 . ( ) Lại có A B, lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số = = log , log a a y x y x . m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m A a m ,2; Từ đó suy ra ( ; ) B a m . m Vì ABCD là hình vuông nên suy ra 2 = = C B x x a . Lại có C nằm trên đồ thị hàm số m m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y x , suy ra 23; . 3 = log a C a 2 m ⎧⎪ − = ⎧ = ⎪ AB 2 6 6 m a a Theo đề bài = ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎨ ⎨ SBC mm ABCD 366 36 ⎩ = ⎪− = ⎪⎩ 2 ⎧ = − ⎪ ←⎯→⎨⎪ = < ⎩ma loaïihoặc 612.3 ⎧ = ⎪⎨⎪⎩ = m a 6 Chọn D. 12 11 3 ( ) y x và = logb Câu 21: Cho các hàm số = loga y x có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt trục y x và = logb hoành, đồ thị hàm số = loga y x lần lượt tại A B, và C . Biết rằng CB AB = 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2 a b = . B. 3 a b = . C. 3 a b = D. a b = 5 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Hướng dẫn gải: Theo giải thiết, ta có A B C (5;0 , 5;log 5 , 5;log 5 ) ( a ) ( b ) .   Do = ⎯⎯→ = ↔ − = − 2 2 log 5 log 5 2. log 5 ( ) CB AB CB BA a b a 1 3 ←⎯→ = ←⎯→ = ←⎯→ = ⎯⎯→ = a b a b a ba b 3log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 . 3 3 Chọn C. 1 1 1 2 ⎛ + ⎞ 13log 2 2log 8 1 1 Câu 22: Kí hiệu ( )2 x = + + − ⎜ ⎟ 4 x f x x . Giá trị của f f ( (2017)) bằng: ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A. 2016. B. 1009. C. 2017. D. 1008. Hướng dẫn gải: 1 1 ⎧⎪ = = = = 1 1 + ++ 2log log 1 log 2 log 2 x x x ( ) 4 2 x x x x x x x Ta có ⎨⎪⎩ = = = = 1 1 1 2. 3. 2 3log 2 3.log 2 log 2 log 2 2 2 22 x x x x 8 2 2 2 x 1 12 2 2 2 2 1 1 1 1 . = + + − = + − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ f x x x x x Khi đó ( ) ( ) ( ) Suy ra f (2017 2017 ) = ⎯⎯→ f f f ( (2017 2017 2017. )) = = ( ) Chọn C. x Câu 23: Cho hàm số ( )4 f x . Tính giá trị biểu thức 1 2 100 =+ x 4 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A f f f ? ... 100 100 100 A. 50 . B. 49 . C. 1493. D. 3016. Hướng dẫn giải: Chọn D. X ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= 100 100 ∑ Cách 1. Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức 4 301 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + X X 4 2 = 1 100 6 x Cách 2.Sử dụng tính chất f x f x ( ) + − = (1 1 ) của hàm số ( )4 f x . Ta có=+ x 4 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 99 2 98 49 51 50 100 A f f f f f f f f = + + + + + + + + ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... 100 100 100 100 100 100 100 100 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 4 4 301 494 2 6 4 2 = + + = 1 2 + + x PS: Chứng minh tính chất của hàm số ( ) 4 f x . =+ x 4 2 x x x x Ta có ( ) ( )1 − 4 4 4 4 4 2 1 1 f x f x . + − = + = + = + = x x x x x x 1 − 4 2 4 2 4 2 4 2.4 4 2 2 4 + + + + + + x Câu 24: Cho hàm số4 f x . Tính tổng ( )4 2 =+ x 1 2 3 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f ... . 2018 2018 2018 2018 A. 2017. S = B. S = 2018. C. 2019. 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: ( )1 − x S = D. S = 2017. 2 4 4 2 14 2 4 2.4 2 4 f x ⇒ + − = f f x (1 1 1 ) ( ) − = = = 1 − x x x + + + Do đó: 1 2017 2 2016 1008 1010 1, 1,..., 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = + = + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f f f f f f 2018 2018 2018 2018 2018 2018 1009 2017 10082018 2 ⇒ = + = S . x Câu 25: Cho hàm số16 ( )16 4 f x . Tính tổng =+ x 1 2 3 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 A. 5044. S = B. 10084. S = C. S =1008. D. 10089. 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. Nhận xét: Cho x y + =1 5 x y x y S = 5 Ta có ( ) ( ) 16 16 16 4.16 16 4.16 1 f x f y + + + + = + = = x y x y 16 4 16 4 16 4.16 4.16 16 + + + + + 1 2016 2 2015 1008 1009 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f f f ... 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 16 4 5044 1 1 ... 1 1008 = + + + + = + =  + so hang. 1008 16 4 5 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao x Câu 26: Cho hàm số9 2 ( ) . − f x Tính giá trị của biểu thức =+ x 9 3 1 2 2016 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 A. 336 . B. 1008. C. 4039 12. D. 8071 12. Hướng dẫn giải: Chọn C. x x − Xét: ( ) ( )11 9 2 9 2 1 19 3 9 3 3 − − + − = + = f x f x . − x x + + Vậy ta có: 1008 1 2 2016 2017 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ∑k k P f f f f f f f = + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + ⎢ ⎥ ... 1 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1 . 1008 1 7 4039 1 336 ⇔ = + = + = P f ∑ . ( ) 3 12 12 1 x Câu 27: Cho hàm số9 f x . ( )9 3 =+ x Tính tổng 1 2 3 ... (1)? ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f 2007 2007 2007 A. S = 2016 . B. S =1008 . C. 4015 S = . D. 4035 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 4 9 9 S = . 4 − xx x f x 9 9 9 9 (1 ) . − = = = = x x x 1 − 9 3 9 9 3.9 9 3.9 3 + + + + x x 9 9 x x x x x x x + + 1 2 1 9 9 9 .(9 3.9 ) 9.(9 3) 9 3.9 9 27 ( ) (1 ) 1. + + + + + + ⇒ + − = + = = = f x f x x x x x x x x + + 1 2 1 9 3 9 3.9 (9 3)(9 3.9 ) 9 3.9 9 27 + + + + + + + 1 2006 2 2005 1003 1004 1; 1;....; 1. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f f f f f f 2007 2007 2007 2007 2007 2007 Vậy 1 2 3 9 3 4015 ... (1) 1 1 ... 1 1003 . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ S f f f f = + + + + = + + + + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + 2007 2007 2007 9 3 4 4 x Câu 28: Cho hàm số9 f x . Tính tổng ( )9 3 =+ x ( ) 1 2 3 2016 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f ... 1 . 2017 2017 2017 2017 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao A. 4035. S = B. 8067. S = C. S =1008. D. 8071. 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 S = 4 x x Xét ( ) ( )1 x x − x f x f x 9 9 9 3 9 3 1 9 9 19 3 9 3 + − = + x x = + = + + = = x. 1 − x x x x + + 9 3 9 3.9 + + 9 3 9 3 + + 9 3 + Khi đó 1 2016 2 2015... ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎤ = + + + + ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ S f f f f 2017 2017 2017 2017 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ = ++3 9 ( ) 1008 1009 1 = +4035 ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ f f f ( ) 10089 3 10084 = . + + + ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 2017 2017 = + + + + 1 1 ... 1 1  f 4 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ x 1008 soá Câu 29: Cho hàm số9 2 ( ) . − f x Tính giá trị của biểu thức =+ x 9 3 1 2 2016 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ P f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 A. 336 . B. 1008. C. 4039 12. D. 8071 12. Hướng dẫn giải: Chọn C. x x − Xét: ( ) ( )11 9 2 9 2 1 19 3 9 3 3 − − f x f x . + − = + = x x − + + Vậy ta có: 1008 1 2 2016 2017 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ∑k k P f f f f f f f = + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + ⎢ ⎥ ... 1 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1 . 1008 1 7 4039 1 336 ⇔ = + = + = P f ∑ . ( ) 3 12 12 1 x Câu 30: Cho hàm số25 ( )25 5 f x . =+ x Tính tổng 1 2 3 4 2017 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 2017 A. 6053. S = B. 12101. S = C. S =1008. D. 12107. 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. 6 S = 6 Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính được kết quả: S =1008. x Câu 31: Cho ( ) 2016 f x . Tính giá trị biểu thức =+ x 2016 2016 1 2 2016 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + +…+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f2017 2017 2017 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao A. S = 2016 B. S = 2017 C. S = 1008 D. S = 2016 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 2016 (1 ) ( ) (1 ) 1 f x f x f x − = → + − = x 2016 2016 + Suy ra 1 2 2016 1 2016 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + +…+ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f f 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2015 1008 1009 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f f f . ... 1008 2017 2017 2017 1 2 log = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −x Câu 32: Cho hàm số ( ) 2 ⎛ ⎞ f xx. Tính tổng 2 1 1 2 3 2015 2016 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S f f f f f ... . 2017 2017 2017 2017 2017 A. S = 2016. B. S =1008. C. S = 2017. D. S = 4032. Hướng dẫn gải: Xét ( ) ( )( ) ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ − 1 2 1 2 1 x x + − = ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ − − − ⎣ ⎦ f x f xx x 1 log log 2 2 ( ) 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ x x x x = + ⎢ ⎥ ⎢ = ⎥ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ log log log . log 4 1 x x x x. 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 Áp dụng tính chất trên, ta được ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 2016 2 2015 1008 1009 S f f f f f f = + + + + + + ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + + + = 1 1 ... 1 1008. Chọn B. x x a a f x , ( ) . − x x a a + − − Câu 33: Cho 0 1 2 < ≠ + a và các hàm ( )2 g x Trong các khẳng định = = 2 sau, có bao nhiêu khẳng định đúng? 2 2 I. ( ) ( ) f x g x − = 1. II. g x g x f x (2 2 . ) = ( ) ( ) III. f g g f ( (0 0 . )) = ( ( )) IV. g x g x f x g x f x ′ ′ (2 ) = ( ) ( ) − ( ) ′( ). A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Hướng dẫn gải: Ta có File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao 2 2 x x x x − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − a a a a f x g x đúng. ( ) ( ) 2 21 I ∙ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = ⎯⎯→ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x x x x a a a a x x x x − − − − + − − ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 a a a a a a − − + ∙ = = = = ⎯⎯→ 2 2. . 2 . II g x g x f x 2 2 2 2 đúng. ( ( )) ( ) ⎧ = = ⎪⎪ f g f 0 0 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 III ∙ ⎨ − ⎯⎯→ ≠ ⎯⎯→ f g g f aa a 2 sai. ⎪ − 1 ( ) ( ) ( ) = = = ⎪⎩ g f ga 0 12 2 ∙ Do g x g x f x (2 2 ) = ( ) ( ) nên g x g x f x g x f x ′ ′ (2 2 ) = ⎡⎣( ) ( ) − ( ) ′( )⎤⎦ ⎯⎯→IV sai. Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn D. Cách giải trắc nghiệm: Chọn a =1. 1 1 1 + + f x e Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 . 3 ... 2017 =mn Câu 34: Cho ( ) ( ) 2 2 =x x + 1. f f f f e với m n, là các số tự nhiên và mn tối giản. Tính 2 m n − . A. 2 m n − = 2018. B. 2 m n − = −2018 . C. 2 m n − =1. D. 2 m n − = −1. Hướng dẫn giải: Xét các số thực x > 0 2 Ta có: ( )( ) 2 2 x x x x + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x. + + = = = + = + − ( ) ( ) 2 2 22 2 + + + + + 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2018 1 1 1 1 1 2018 1 2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018 1 . 2 . 3 ... 2017⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + − + + − + + − + + + − ⎟ − + Vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ …⎠ f f f f e = = = e e , 2 hay m n = 2018 1 − 2018 2 Ta chứng minh 2018 1 − là phân số tối giản. 2018 Giả sử d là ước chung của 2 2018 1− và 2018 Khi đó ta có 2 2018 1− d , 2 2018 2018   d d ⇒ suy ra 1 1 d d ⇔ = ± 2 2018 1 Suy ra − là phân số tối giản, nên 2 m n = − = 2018 1, 2018 . 2018 Vậy 2 m n − = −1. Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao 9 t Câu 35: Xét hàm số ( ) 2 f tmvới m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m =+ 9 t +≤ + x y sao cho f x f y ( ) + = ( ) 1 với mọi x y, thỏa mãn ( ) e e x y . Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn D. x ⎧⎪ ≥ e e xe e x y x y .1 x y + Ta có nhận xét: ( ) e e y. ⎨ ⇒ ≤ + ⇔ + = y ⎪⎩ ≥ . ( Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x y + =1). Do đó ta có: f x f y f x f x ( ) ( ) 1 ( ) (1 ) 1 + = ⇔ + − = x x x x 1 2 2 1 − − m m 9 9 9 .9 9 .9 1 1 + + + ⇔ + = ⇔ = x x x x 2 1 2 2 2 1 4 − − 9 9 9 .9 .9 + + + + + m m m m m 2 2 1 2 2 1 4 9 .9 9 .9 9 .9 .9 ⇔ + + + = + + + x −x x −x m m m m m 4 ⇔ = ⇔ = ± m m 9 3 . Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. Câu 36: Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2 2 4 + = x y . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức 2 2 P x y y x xy = + + + 2 2 9 . ( )( ) A. max272 P = . B. max P =18 . C. max P = 27 . D. max P =12 . Hướng dẫn giải: Chọn B. = + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≤ x y x y x y x y . + + Ta có 4 2 2 2 2 4 2 2 Suy ra x y ⎛ ⎞ + 2 xy . ≤ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 2 2 3 3 2 2 P x y y x xy x y x y xy = + + + = + + + 2 2 9 2 4 10 . Khi đó ( )( ) ( ) 2 2 = + + − + + 2 ⎡ 3 2 10 ⎤ ( ) ( ) ( ) P x y x y xy xy xy ⎣ ⎦ 2 2 2 2 ≤ − + + = + + − ≤ 4 4 3 4 10 16 2 2 1 18 xy x y xy x y xy xy ( ) ( ) Vậy max P =18 khi x y = =1. 8 Câu 37: Cho 1 64 < >1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức a 2 2 log 3log ⎛ ⎞ ( ) P ab. = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b b A. min P =19 . B. min P =13. C. min P =14 . D. min P =15. Hướng dẫn giải: Chọn D. Với điều kiện đề bài, ta có 2 2 log 3log 2log 3log 4 log . 3log ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ 2 2 ( ) a a a a P a a b = + = + = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ a a a b b b b b b b b b b 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ a = + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ a b 4 1 log 3log . bb b 2 3 3 2 P t t = + = + = 4 1 4 4 + + + 8t t b (vì a b > >1), ta có ( ) ( ) Đặt = > log 0 a b 2 t f t t. Ta có( )( ) 88 − + + 3 8 3 2 1 4 3 tt t t ( ) 86 + − t 3 2 ′ = + − = = f t tt t t 2 2 2 Vậy ( )1 f t t ′ = ⇔ = . Khảo sát hàm số, ta có min115 02 Câu 39: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn 31 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ P = f . 2 xyxy x y −= + + − log 3 2 4 x y. Tìm giá trị nhỏ nhất + 2 Pmin của P x y = + . A. min9 11 19 P = . B. min9 11 19 − 9 + P = . 9 C. min18 11 29 P = . D. min2 11 3 − 9 − P = .3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn D. −= + + − 1 xyxy x y log 3 2 4 3 x y + 2 ⇔ − − + = − + + − log 1 log 2 3 1 2 1 3 ( xy x y xy x y ) 3 ( ) ( ) ( ) ⇔ − − + = − + + log 3 1 log 2 3 1 2 3 ( xy x y xy x y ) 3 ( ) ( ) ( ) ⇔ − + − = + + + log 3 1 3 1 log 2 2 3 ( xy xy x y x y ) ( ) 3 ( ) ( ) Xét ( ) 3 f t t t = + log , (t > 0) ( )11 0, 0 f t ′ = + > ∀ >t t ln 3 Suy ra: f xy f x y (3 1( − = + )) ( 2 ) ⇔ − = + 3 3 2 xy x y3 2 − ⇔ =+y xy 1 3 1 5 2 2 0 0 xy yy − − > ⇔ > ⇔ > Điều kiện 2 x y y 2 6 3 5 + + 3 2 = + = ++y − P x y yy 1 3 ⎡ − − ⎢ = y 1 11 − 11 3 ′ = + = ⇔ ⎢ Pyy 1 0 ( )2 + ⎢ − + ⎢ = 1 3 1 11 ⎣ 3 Bảng biến thiên: x − − 1 −251 11 −∞1 11 − ++∞ 3 3 3 y′ + 0 − 0 + y 2−∞ −∞ +∞ 2 11 3 − 3 Vậy min2 11 3. P = − 3 Câu 40: các số thực dương a , b thỏa mãn 21 log 2 3 −= + + − ab ab a b a b. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin + của P a b = + 2 . A. min2 10 3 P = . B. min3 10 7 P = . C. min2 10 1 − P = . D. min2 10 5 − 2 2 − 2 − P = .2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện: ab < 1. Ta có 21 log 2 3 −= + + − ab ab a b a b⇔ − + − = + + + log 2 1 2 1 log 2⎡ ⎤ ( ) ( ) 2 ( ) ( )(*) ⎣ ⎦ ab ab a b a b . + y f t t t = = + log trên khoảng (0;+∞). Xét hàm số ( ) 2 Ta có ( ) 11 0, 0 f t ′ = + > ∀ >t t. Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên khoảng (0;+∞). .ln 2 Do đó, (* 2 1 ) ⇔ − = + ⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ f ab f a b ⇔ − = + 2 1( ab a b ) ⇔ + = − a b b (2 1 2 ) − + b ⇔ =+ 2 ab. 2 1 − + Ta có ( ) 2 b P a b b g b = + = + = 2 2 b. 2 1 + g bb( )2 5 ⇔ + = b10 2 − 52 0 ⇔ + = b10 2 12 − ⇔ = b (vì b > 0 ). ( )( )2 ′ = + = 2 1 + 2 12 4 ⎛ ⎞ − − Lập bảng biến thiên ta được min10 2 2 10 3 P g . = ⎜ ⎟ = 4 2 ⎝ ⎠ 3 m ab = loga, với a b > > 1, 1 và 2 Câu 41: Cho ( ) nhỏ nhất. A. m =1. B. 12 = + log 16 log P b a a b. Tìm m sao cho P đạt giá trị m = . C. m = 4 . D. m = 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì a b > > 1, 1, ta có: ( ) 11 log ⎧⎪ = + ⎨⎪ > ⎩a m b 3 log 0 a b = + tt2 8 8 P bb2 16 t b, (t > 0) ( )2 16 loglog 38 8 ≥ 3. . . tt t=12 . = + + tt t2 Đặt = loga ⇒ = + a a Dấu “ = ” xảy ra khi 2 8 t =t3 ⇔ = t 8 ⇔ =t 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =12 khi log 2 ab = . Suy ra ( ) 11 2 m = + = 1. 3 2 2 Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của ( ) 2 ⎛ ⎞ b P ba với a , b là các số thực thay đổi thỏa = + ⎜ ⎟ log 6 log ⎝ ⎠ a ba mãn b a > >1 là A. 30 . B. 40 . C. 18 . D. 60 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2 2 b 2 b 2 ( ) ba( ) a( ) log 6 log + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a ba = + ⎜ ⎟ 4 log 6 log . b a a b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a = + + ⎜ ⎟ 4 log 6 1 log b a a b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 1 ( ) = + + ⎜ ⎟ 4 log 6 1 bb 2 ⎛ ⎞ 2 1 ( ) = + + ⎜ ⎟ 4 log 6 1log 2 a a ⎜ ⎟ log ⎜ ⎟ bb ⎝ − ⎠ a a a t b ⎝ ⎠ 2 2 1 ⎛ ⎞ ⇒ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 2 = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −t 2 1 ⎛ ⎞ − 2 ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −t 2 1 ⎛ ⎞ − Đặt = loga P tt 4 6 12 4 62 tt ttTheo BĐT Cosy 2 4 .62 2 ⎛ ⎞ − ⇒ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −t 2 1 P ttDấu bằng xảy ra khi: min 2 4 .62 ⎡ − ⎛ ⎞ ⎢= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⇔ ⎢⎢ ⎛ ⎞ − t 1 2 2 1 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −t ⎛ ⎞ − 4 62 tt 2 62 tt t 1 ⎢ = − ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ − 2 62 tt ⎡ + − ⎢ = 4 6 22 t 4 ⎢⎢ + + ⎢ = ⎡ − = − ⇔ ⎢⎢⎣ − = − − 2 ( 2) 6( 1) t t t t 2 ⎡ − + + = 2 (4 6) 6 0 t t 4 6 22 4 2 ( 2) 6( 1) t t t ⇔ ⎢⎢⎣ − − − = 2 2 (4 6) 6 0 t t ⇔ ⎢⎢ − − ⎢ = 4 6 22 t 4 ⎢⎢ + + ⎢ = ⎣ 4 6 22 t 4 b 33 Câu 43: Cho hai số thực a b, thỏa mãn 3 2 1 log 4 2log 3 ⎛ ⎞ 2 1≤ < b a . Biểu thức ( ) = + + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a a P b a có giá trị lớn nhất bằng A. 67 . B. 31455 512. C. 27 . D. 4558. Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 1 log 1 log 1 0 log 1 ≤ < ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ a a a b a b b 3 3 b 2 3 1 2 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( ) = + + − + = + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a a a a 2 1 log 4 2log 3 2log 4 log 3 P b b b a. 2 x b . Đặt = loga File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao 3 3 1 2 ⎛ ⎞ Xét = + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P x x với0 1 ≤ ≤x 2 4 3 2 2 2 1 2 ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P x x x ' 6 3 42 ⎡ = 1 2 x 0 ⎛ ⎞ ⎢ 2 2 2 6 3 4 0 1 x x xx x VN − − = ⇔ ⎜ ⎟ ⎢ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ − − = ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠ 2 2 3 4 0 2 Lập bảng biến thiên ta có P(0 67 ) = ( ) Câu 44: Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy y ≤ − 4 1. Giá trị nhỏ nhất của 6 2( ) 2 x y x y Px ylà a b + ln . Giá trị của tích ab là + + = + ln A. 45 . B. 81. C. 108. D. 115. Hướng dẫn giải:: Chọn B. x y x , 0 1 4 1 1 2.2. 4 4 ⎧ > ⎛ ⎞ chia 2 ve ⎨ ⎯⎯⎯⎯→ < − + = − − + + ⎜ ⎟ 2 cho y 2 2 xy y y y y y y ⎩ ≤ − ⎝ ⎠ - Ta có: 4 1 ⎛ ⎞ 2 x 12 4 4 4. = − − + ≤ ⇒ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y y x - Đặt = ⇒ < ≤ ⎯⎯→ = 0 4 0;4 ( ] t t D y - Biến đổi biểu thức P về dạng: ⎛ ⎞ − − ⎡ = − ∉ 2 1 6 1 6 12 3 21 ( ) ( ) t t x D 6 2 ln 2 ' 0 P t P t = + + + ⇒ = − + = = ⇔ ⎜ ⎟ ⎢ 2 2 ⎝ ⎠ + + ⎢⎣ = + ∉ t t t t t x D 2 ( 2) 3 21 Lập bảng biến thiên, từ đó ta thấy rằng, trong khoảng (0; 4] thì hàm P(t) nghịch biến ⎧⎪ = a 27 27 min 4 ln 6 2 . 81 nên ( ) ( ) P t P a b = = + ⇒ ⇒ = ⎨⎪⎩ = 26 b Chọn B. Câu 45: Xét các số thực a b, thỏa mãn a b > >1. Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức − ⎛ ⎞ 1 7 b = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a Pa a. 2 log log 4 b A. = 2 PMax . B. =1 PMax . C. = 0 PMax . D. = 3 PMax . Hướng dẫn giải: Chọn B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao 2 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + = − + + = − − + ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a a a a b 1 7 3 1 2 P b b b log log log log 1 1 2 a a log 4 4 2 b ⇒ =1 PMax . Câu 46: Cho 0 1 < < < a b , ab >1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 P abb ab. = +− log1 log .log a ( ) a a b A. P = 2 . B. P = 4 . C. P = 3 . D. P = −4 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Do 0 1 < < < a b , ab >1 nên suy ra log 0 ab < . Mặt khác ta có log 0 bab > ⇔ + > log 1 0 ba1 log 0 + b ⇔ > a log a Ta có ( )4 b⇒ + < log 1 0 ab . 4 P abb ab ( )( 1 1 ) = +− log1 log .log = + +− + 1 log1 log log log − − a a a a b 4 = + + ⎛ ⎞ 1 log1 log 1 log1 log 1 log bb a bb a b a ab ab 4 bb. = + ++ 1 log1 log ( ) a a a − + ⎜ ⎟ bb b a ⎝ − − ⎠ a a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( ) 4 P bb. − = − − + ≥ 1 log 4 Suy ra P ≤ −4 . a a − − 1 log Đẳng thức xẩy ra ⇔ + = − 1 log 2 ab ⇔ = − log 3 ab3 ⇔ = a b 1. Câu 47: Xét các số thực a b, thỏa mãn ⎧ ≥ a b 2 a P ab. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của = + log log a b ⎨⎩ > 1 b A. min1.3 P = B. min P =1. C. min P = 3. D. min P = 9. Hướng dẫn gải: Từ điều kiện, suy ra 11 ⎧ > a b. ⎨⎩ > Ta có 1 1 log − a b Pb b. = + 1 log log − a a t b . Do 2 2 1 a b a b t b ≥ ⎯⎯→ ≥ = ⎯⎯→ = ≤ b b a Đặt = > log 0 a Khi đó ( ) 1 1 log log 2 log .2 − t P f t = + = 1 − t t. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Khảo sát hàm f t( ) trên 1 ⎝ ⎦ , ta được ( )13 ⎛ ⎤ ⎜ ⎥ 0;2 Chọn C. ⎛ ⎞ = ≥ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P f t f . 2 a Câu 48: Xét các số thực a b, thỏa mãn b > 1 và a b a ≤ < . Biểu thức log 2log ⎛ ⎞ P abđạt = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b b giá trị khỏ nhất khi: a b = . B. 2 3 a b = . C. 3 2 a b = . D. 2 A. 2 Hướng dẫn gải: Từ điều kiện, suy ra 11 ⎧ > a b. ⎨⎩ > 1 1 4 4 log 1 4 Ta có ( ) b b b. = + − = + − P a b 1 log 1 log log − − a a a t b . Do 1 a b a a b a t a b = . Đặt = > log 0 a 1 4 4 ≤ < ⎯⎯→ ≤ < ⎯⎯→ ≤ < a a a log log log 1. 2 Khi đó ( ) P f t = + − = 1 t t. − ⎣ ⎠, ta được f t( ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi 23 Khảo sát f t( ) trên 1;1 ⎡ ⎞ ⎢ ⎟ 2 Với 2 2 2 3 log . t b a b = ⎯⎯→ = ↔ = a 3 3 Chọn B. Câu 49: Xét các số thực a b, thỏa mãn 11 4< < < b a . Biểu thức 1 t = . trị nhỏ nhất khi: A. 2 ab = B. 1 ⎛ ⎞ P b b đạt giá = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a ab log log 4 log .3 ab = C. 3 log .2 ab = D. log 3. ab = Hướng dẫn gải: 2 log .3 Ta có 1 2 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ≥ ←⎯→ − + ≥ ←⎯→ − ≤ ⎝ ⎠ b b b b b . 0 0 2 4 4 Mà 1 2 ⎛ ⎞ < ⎯⎯→ − ≥ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a a a a b b b . 1 log log 2log 4 Ta có 1 1 1 1 log 1 log log .log log . 2log . . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b b a a P b b b b = − − = − − ≥ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − a a a a 4 2 4 2 1 log 2 1 log b b b a a t b. Do < < ⎯⎯→ = > 1 log 1 a Đặt = loga b a t b . t Khi đó 2 ( ) P t f t ≥ + = t. 2 2 − File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao Khảo sát f t( ) trên khoảng (1;+∞), ta được ( )3 9. ⎛ ⎞ ≥ ≥ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P f t f 2 2 Chọn C. Câu 50: Xét các số thực a b, thỏa mãn a b > > > 1 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 P a b a = + log log . 2 a b A. Pmax = +1 2 3. B. Pmax = −2 3. C. max P = −2. D. Pmax = −1 2 3. Hướng dẫn gải: 2 3 log log log 2 6 a b a b P a b aa b b 2 3 + = + = + = + a a a Ta có 2 log log . 2 a ba a a log log 2 log t b. Do > > > ⎯⎯→ < = ⎯⎯→ < 1 0 log log 1 0 0. Đặt = loga a b b t a a Khi đó Cauchy 2 6 6 6 t t t + ⎛ ⎞ = + = + + = − − − ≤ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 2 3. Pt t t 2 2 2 Chọn D. 2 Câu 51: Xét các số thực a b, thỏa 2 1< ≤ a b . Biểu thức giá trị nhỏ nhất khi: A. 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a P a bbđạt 2 2 log log 27 log = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a a a b b a b = . B. a b = 2 . C. a b = +1 D. 2 1. a b = + Hướng dẫn gải: b Ta có log log . log 1 ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a a a b a a a. b b b 2 2 ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ 27 27 2 2log log 1 2 log 1 P a a a = − − + = + + ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎝ ⎠ a a a Do đó a a. log log b b a b a b b t a . Do 2 Đặt = loga b 1< ≤ ⎯⎯→ ≤ a b a b , suy ra 1 1 1 1 log 1 log 1 log 1 2 ab a t = = = − ≤ − = − = ⎯⎯→ ≥ a a a t a b. log 2 2 a b 2 27 P t = + + = 2 1 f t Khi đó ( ) ( ) t. Khảo sát f t( ) trên [2;+∞) , ta được f t( ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 632khi t = 2 . Với 2 t a a b = ⎯⎯→ = ↔ = 2 log 2 . a b Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ – Lôgarit Nâng Cao sin sin x m x Câu 52: Tìm tất cả giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 4 6 + + f x không =+ + sin 1 sin x x 9 4 nhỏ hơn 13. A. 62 m ≥ B. 613 log . log .3 m ≥ C. 6 m ≤ log 3. D. 62 m ≤ 18 Hướng dẫn gải: log .3 Hàm số viết lại ( ) 2sin sin x x 2 2 6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + m 3 3. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f x = 2 ⎛ ⎞ 1 4.3 + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2sin x 2 3 sin 2 xt nt ⎛ ⎞ + 2 Đặt ( ) t f ttvới ⎧⎪ ≤ ≤ ⎨⎪⎩ = > m t 3 2 . = ⎯⎯→ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2 3 1 4 n 6 0 Bài toán trở thành ''Tìm n > 0 để bất phương trình ( )13 f t ≥ có nghiệm trên đoạn 2 3;3 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ''. ⎡ ⎤ 2 2 3; t nt t 1 1 1 ∈⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + t Ta có ( ) 2 3 2 f t t nt n ≥ ←⎯→ ≥ ←⎯→ + ≤ ←⎯⎯⎯→ ≥ + 1 3 . 2 3 1 4 3 3 3 t t + Xét hàm ( )1 t 2 g tttrên đoạn 2 3;3 2 ⎡ ⎤ = + 3 3 Để bất phương trình ( )13 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , ta có ( ) ( ) min 1 ⎡ ⎤ 3 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦g t g = = . 2 3;3 2 f t ≥ có nghiệm trên đoạn 2 3;3 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ thì bất phương trình g t n ( ) ≤ 2 3 2 ⎡ ⎤←⎯→ ≥ ⎯⎯→ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ n g t n phải có nghiệm trên đoạn ( ) ; min 3 2 ⎡ ⎤ 3 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 3;3 2 2 2 ⎯⎯→ ≥ ⎯⎯→ ≥ m m 6 log . 6 3 3 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A – LÝ THUYẾT CHUNG I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a ≠ 1: 0log ⎧ > x b a bx b = ⇔⎨⎩ = a 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ≠ 1: ( ) ( ) = ⇔ = ( ) ( ) f x g x a a f x g x Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: = ⇔ − − = ( 1)( ) 0 M N a a a M N f (x) g(x) b) Logarit hoá: ( ) a b f (x) log b .g(x) = ⇔ = a c) Đặt ẩn phụ: ⎧ = > ⎨⎩ =f x t a t f x P a ⇔( ), 0 ∙ Dạng 1:( ) ( ) 0 = P t, trong đó P(t) là đa thức theo t. ( ) 0 f x f x f x a ab b ∙ Dạng 2:2 ( ) ( ) 2 ( )    + + = ( ) 0 ( ) ⎛ ⎞ Chia 2 vế cho 2 ( ) f x b , rồi đặt ẩn phụ a tb = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f x ∙ Dạng 3: ( ) ( ) + = f x f x a b m , với ab =1. Đặt ( ) ( ) 1 = ⇒ = f x f x t a bt d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) ∙ Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). ∙ Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: f x g x ( ) ñoàng bieán vaø ( ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). ⎡⎢⎣ = f x g x c ( ) ñôn ñieäu vaø ( ) haèng soá ∙ Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u f v u v ( ) ( ) = ⇔ = e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt B∙ Phương trình 2 2 A 0 ∙ Phương trình tích A. B = 0 ⇔00 ⎡ = A ⎧ = A B 0B 0 + = ⇔ ⎨⎩ = ⎢⎣ = f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Nếu ta chứng minh được: ( ) g x Mthì (1) ( ) f x M ⎧ = ⇔ ⎨⎩ = ( ) g x M II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ f x M ⎧ ≥ ⎨⎩ ≤ ( ) ∙ Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ. ⎡ > ⎧⎢⎨⎩ > a 1 f x g x ( ) ( ) ⎢ > ⇔ ⎢⎧ < < ⎢⎨⎢⎩ < ⎣ f x g x ( ) ( ) a aa 0 1 f x g x ( ) ( ) ∙ Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: > ⇔ − − > ( 1)( ) 0 M N a a a M N File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 1: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 1 1 x + + xx x là 4 4 2 2 4 + = A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 2: Phương trình2 3 5 6 2 3 − − + x x x có hai nghiệm 1 2 x x, trong đó x x 1 2 < , hãy chọn phát biểu đúng? = A. 1 2 3 3 2 log 8 x x − = . B. 1 2 3 2 3 log 8 x x − = . C. 1 2 3 2 3 log 54. x x + = D. 1 2 3 3 2 log 54. x x + = Câu 3: Phương trình 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 3 10 + − + − + + + = x x x x có tổng các nghiệm là? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. 3 2 3 1 4.3 5 0 + + − − = x x x 2 Câu 4: Phương trình ( ) x có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Câu 5: Tìm số nghiệm của phương trình 2 3 4 ... 2016 2017 2016 + + + + + = − x x x x xx . A. 1. B. 2016 . C. 2017 . D. 0 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 + + + + x x Câu 6: Gọi 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình ( ) ( ) x x. Khi đó, tổng 4 3 = + − + hai nghiệm bằng? A. 0. B. 2. C. −2. D. 1. Câu 7: Giả sử ( x y 0 0 ; ) là một nghiệm của phương trình 4 2 .sin 2 1 2 2 2.sin 2 1 − − − + + − + = + + − x x x x x 1 1 1 ( ) ( ) y y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 4 7. < < x B. 0 A. 0 x > 7. C. 0 − < < 2 4. x D. 0 − < < − 5 2. x x x m m m có hai Câu 8: Với giá trị của tham số m thì phương trình ( + − − + + = 1 16 2 2 3 4 6 5 0 ) ( ) nghiệm trái dấu? A. − < < − 4 1. m B. Không tồn tại m . C. 3 − < < m . D. 5 12 Câu 9: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 1 4 .2 2 0 + − < < − m . 16 − + = x x m m có hai nghiệm 1 2 x x , thoả mãn 1 2 x x + = 3 ? A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 . Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 1 = + x mx có hai nghiệm phân biệt? A. m > 0. B.0ln 3 ⎧ > m m. C. m ≥ 2. D. Không tồn tại m ⎨⎩ ≠ File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 11: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x x m có nghiệm 5 5 0 + −− = thực. A. (4 4 ⎡5 5;+∞ ⎣. C. (0;+∞). D. 4 ⎡ ⎤ 0;5 5 ⎣ ⎦ . 0;5 5⎤⎦. B. ) xx m e e có nghiệm Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 24 + = +1 thực: A. 2 0 < m ≤e. B. 1≤ m <1 e. C. 0 1 < < m . D. − < < 1 0 m . Câu 13: Tìm m để bất phương trình .9 (2 1).6 .4 0 − + + ≤ x x x m m m nghiệm đúng với mọi x ∈(0;1). A. 0 6 ≤ ≤ m B. m ≤ 6 . C. m ≥ 6 . D. m ≤ 0 . 2 − = Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình biệt. x m x có hai nghiệm phân 3 ( ) log 1 + A. − <1 m ≠ 0 . B. m > −1. C. Không tồn tại m . D. − < < 1 0 m . Câu 15: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 3 2 4 6 3 .3 3 3 − + − − + = + x x x x m m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x x m m có Câu 16: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 3 2 0 + − − = ( ) nghiệm thuộc khoảng (0;1) . A. [3; 4]. B. [2;4]. C. (2;4). D. (3;4). Câu 17: Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 2 2 2 1 2 2 4 .2 3 2 0 − + − + − + − = x x x x m m có bốn nghiệm phân biệt. A. (−∞;1). B. (−∞ ∪ +∞ ;1 2; ) ( ) . C. [2;+∞) . D. (2;+∞) . Câu 18: Tìm các giá trị của m để phương trình: 3 3 5 3 + + − = x x m có 2 nghiệm phân biệt: A. 3 5 4 + < < m . B. 2 2 4 < < m . C. 2 2 3 < < m . D. m > 2 2 . Câu 19: Tìm m để phương trình: 2− + − = 3 0 x x e me m , có nghiệm: A. m ≥ 2. B. m > 2 . C. m < 3 . D. m > 0. Câu 20: Phương trình (2 3 2 3 1 + + − = ) ( ) ( ) x xm có nghiệm khi: A. m∈ −∞ ( ;5). B. m∈ −∞ ( ;5] . C. m∈ +∞ (2; ) . D. m∈ +∞ [2; ). Câu 21: Cho phương trình 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 0 + + + + x mx x mx x mx . Tìm m để phương trình vô nghiệm? − − − = A. m > 0. B. m <1. C. Không có m. D. 10 ⎡ > m ⎢⎣ < m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 2 2 + = + x x x x m m . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm 5 6 1 6 5 2 2 2.2 1 − + − − Câu 22: Cho phương trình: ( ) phân biệt. A. ( )1 1 0;2 \ ;8 256 ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . B. ( )1 1 0;2 \ ;7 256 ⎧ ⎫ C. ( )1 1 0;2 \ ;6 256 ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . D. ( )1 1 0;2 \ ;5 256 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . 2 221 x xx m có đúng hai 7 3 5 7 3 5 2 − Câu 23: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( ) ( ) − + + = nghiệm phân biệt. 10 ⎡− < ≤ ⎢⎢⎢ = A. 116 m ≤ < m . C. 1 1 m < . B. 1 016 Câu 24: Cho phương trình 2 2 − < ≤ m . D. 2 16 ⎢⎣ m 2 1 16 . 1 1 1 1 9 ( 2).3 2 1 0 + − + − − + + + = x x m m . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có nghiệm. A. 64 47 ≤ ≤ m B. 4 8 ≤ ≤ m C. 64 37 ≤ ≤ m D. 647 m ≥ Câu 25: Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 3 3 . 9 1 + = + x x m (1)có đúng 1 nghiệm. A. (1,3] B. (3; 10 ) C. { 10} D. (1;3 10 )∪{ } II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 26: Bất phương trình 2 2 2.5 5.2 133. 10 + + + ≤ x x xcó tập nghiệm là S a b = [ ; ] thì b a − 2 bằng A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 3 3 3 3 + − − − + ≤ + x x x x. 1 1 1 A. 2 ≤ x . B. 1 2 ≤ ≤x . C. 2 7 ≤ ≤x . D. 2 4 ≤ ≤x . Câu 28: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 2 1 81.9 3 .3 0 + − ≥ x x x xlà: − + + 3 A. S = +∞ ∪ [1; 0 ) { } . B. S = +∞ [1; ) . C. S = +∞ [0; ) . D. S = +∞ ∪ [2; 0 ) { } . Câu 29: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3 1)12 (2 )6 3 0 + + − + < x x x m m có nghiệm đúng ∀ >x 0 là: A. (− +∞ 2; ). B. ( ; 2] −∞ − . C. 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −∞ − ⎝ ⎠ . D. 1 ;3 Câu 30: Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ . 2;3 cos sin sin 3 2 .3 + ≥ x x x m có nghiệm là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là x x x m m . 1 (−∞;0]: ( )( ) ( ) 2 2 1 1 5 3 5 0 ++ + − + + < A. 12 m ≤ − . B. 12 m ≤ . C. 12 m < . D. 12 m < − . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 1: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 1 1 x + + xx x là 4 4 2 2 4 + = A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Chọn D. Điều kiện x ≠ 0 - Nếu1 x, dấu bằng xẩy ra khi 12 x = và 11 x x > ⇒ + ≥ 0 1 4 dấu bằng xẩy ra khi x = 2 suy ra 4+ ≥ xx, 1 1 x + + xx x x 4 4 2 2 4, 0 + > ∀ > 1 1 1 1 x x, dấu bằng xẩy ra khi 12 + xx x x x 4 < ⇒ − − ≥ ⇒ + ≤ − ⇒ ≤ - Nếu 0 1 1 2 4 4 2 x = − x 1 x x 1 1 1 4 + x − − ≥ ⇒ + ≤ − ⇒ ≤ 1 1 2 và x x, dấu bằng xẩy ra khi x = 2 4 4 2 1 1 x + + xx x x Suy ra 4 4 2 2 1, 0 + < ∀ < Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bình luận: Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a b ab + ≥ 2 , dấu “=” xảy ra khi a b = . Câu 2: Phương trình2 3 5 6 2 3 − − + x x x có hai nghiệm 1 2 x x, trong đó x x 1 2 < , hãy chọn phát biểu đúng? = A. 1 2 3 3 2 log 8 x x − = . B. 1 2 3 2 3 log 8 x x − = . C. 1 2 3 2 3 log 54. x x + = D. 1 2 3 3 2 log 54. x x + = Hướng dẫn giải: Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: ( )2 3 log 2 log 3 ⇔ = x− x x − + 3 5 6 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 ⇔ − = − + ⇔ − − − − = x 3 log 2 5 6 log 3 3 2 3 log 3 0 x x x x x ⎡ = x 3 ⎡ − = ⎡ = 3 0 3 x x ⇔ − − − = ⇔ ⇔ ⇔ ⎢ ( ) ( )( ) ( ) x xx x x 3 . 1 2 log 3 0 1 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ − − − = ⎢ − = ⎣ ⎣⎢⎣ 1 2 log 3 2 log 3 1 2log 3 22 2 2 ⎡ = ⎡ = ⎡ = ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ x x x 3 3 3 ⎣ = + = + ⎣ ⎣ = log 2 2 log 2 log 9 log 18 x x x 3 3 3 3 Câu 3: Phương trình 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 3 10 + − + − + + + = x x x x có tổng các nghiệm là? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 3 10 + − + − + + + = x x x x (7) 27 81 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ + + + = ⇔ + + + = ′ ( ) ( ) 3 3 3 3 x x x x 7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 x x x x 3 3 3 3 Côsi Đặt 1 1 3 2 3 . 2 = + ≥ = x x t x x 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3.3 . 3.3 . 3 3 ⎛ ⎞ ⇒ = + = + + + ⇔ + = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 2 3 3 x x x x x t t t x x x x x 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 10 10 7' 27 3 81 10 2 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = > t t t t t N 27 3 Với ( ) 10 1 10 3 7 x = ⇒ + = ′′ t x 3 3 3 ( ) y N =⎡ 3 1 10 7 3 10 3 0 1 ⎢ y . Khi đó: ( ) Đặt = > 3 0 x 2 ′′ ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⎢ = y y y ( ) Với = ⇒ = ⇔3 3 3x y Với 1 1 3 3 3 y y N 33 ⎢⎣ = 1 x y = ⇒ = ⇔x = − x 1 3 2 3 1 4.3 5 0 + + − − = x x x 2 Câu 4: Phương trình ( ) x có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Hướng dẫn giải: 3 2 3 1 4.3 5 0 + + − − = x x x 2 ( ) 2 ⇔ − + + − + = 3 1 2 3 1 4.3 4 0 x x x x ( ) ( ) ( ) x x x x x x x ⇔ + − + = (3 2 5 3 1 0 )( ) ⇔ − + + − + = (3 1 3 1 2 4 3 1 0 )( ) ( )( ) Xét hàm số ( ) = + − 3 2 5 x f x x , ta có : f (1 0 ) = . x x ⇔ + − = 3 2 5 0 xx f x x . Do đó hàm số f x( ) đồng biến trên  . ' 3 ln 3 2 0; ( ) = + > ∀ ∈ Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x =1 BÌNH LUẬN Có thể đặt = > 3 0 x t sau đó tính delta theo x Câu 5: Tìm số nghiệm của phương trình 2 3 4 ... 2016 2017 2016 + + + + + = − x x x x xx . A. 1. B. 2016 . C. 2017 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Xét phương trình 2 3 4 ... 2016 2017 2016 + + + + + = − x x x x xx (*) có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Vế trái (*): 2 3 4 ... 2016 2017 ( ) + + + + + = x x x x xf x là hàm số đồng biến trên R . Vế phải (*): 2016 ( ) − =x g x là hàm số nghịch biến trên R . Khi đó phương trình (*) có không quá 1 nghiệm. Mà f (0) 2016 (0) = = g nên suy ra (*) có 1 nghiệm duy nhất là x = 0 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 + + + + x x Câu 6: Gọi 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình ( ) ( ) x x. Khi đó, tổng 4 3 = + − + hai nghiệm bằng? A. 0. B. 2. C. −2. D. 1. Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 8.2 2 4.2 4.2 1 + + + + + + + + x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 4 3 1 1 = + − + ⇔ = + − + = ≥ x 2 2 + 21 Đặt ( ) t t , phương trình trên tương đương với 2 2 2 8 4 4 1 6 1 0 3 10 t t t t t t t = + − + ⇔ − − = ⇔ = + (vì t ≥ 2 ). Từ đó suy ra ⎡ + ⎢ = x 3 10 log2 21 2 x + 1 ⎢ 2 3 10 = + ⇔ ⎢+ ⎢ = − ⎢⎣ x 3 10 log2 2 2 Vậy tổng hai nghiệm bằng 0 . Câu 7: Giả sử ( x y 0 0 ; ) là một nghiệm của phương trình 4 2 .sin 2 1 2 2 2.sin 2 1 − − − + + − + = + + − x x x x x 1 1 1 ( ) ( ) y y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 4 7. < < x B. 0 A. 0 Hướng dẫn gải: x x > 7. C. 0 − < < 2 4. x D. 0 − < < − 5 2. x 4 1 1 x x x x ↔ + + − + = + + − − − Phương trình ( ) ( ) 2 .sin 2 1 2 2 2.sin 2 1 4 21 y y x x x − ( ) ( ) ( ) ↔ − + − + − + = 2 2 4 2 2 sin 2 1 4 0 y 2 x x x − − 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ↔ − + + − + − + − = ⎡ ⎤ 2 2 2sin 2 1 4 4sin 2 1 0 y y ⎣ ⎦ 2 x x x − − 1 2 1 ↔ − + + − + + − = ⎡ ⎤ ( ) ( ) ( ) 2 2 2sin 2 1 4cos 2 1 0 y y ⎣ ⎦ − x x 1 ↔ ⎧ − + + ⎪⎨− = ( ) ( ) ( ) 2 2 2sin 2 1 0 1 y co 2. 2 1 x − ( ) ( ) ⎪ + − = ⎩ s 1 0 2 y File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 1 1 Phương trình ( )( )( )( ) − x x ⎡ + − = ⎯⎯→ = sin 2 1 1 2 0 . y loaïi Chọn C. ↔ ⎢⎢ + − = − ⎯⎯→ = ↔ = ⎣ 2sin 2 1 1 2 4 2. 1 1 ( )( ) − x x y x x x m m m có hai Câu 8: Với giá trị của tham số m thì phương trình ( + − − + + = 1 16 2 2 3 4 6 5 0 ) ( ) nghiệm trái dấu? A. − < < − 4 1. m B. Không tồn tại m . C. 3 − < < m . D. 5 Hướng dẫn giải: 12 2 − < < − m . 16 Đặt 4 0 = > xt . Phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) m t m t m (*) + − − + + = 1 2 2 3 6 5 0.  f t ( ) Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm 1 2 t t , thỏa mãn 1 2 0 1 < < < t t ⎧ + ≠ ⎧ + ≠ ⎪ ⎪ 1 0 1 0 m m ( ) ( ) ( )( ) m f m m m ⇔ + < ⇔ + + < ⇔ − < < − ⎨ ⎨ 1 1 0 1 3 12 0 4 1. ⎪ ⎪ ( )( ) ( )( ) + + > + + > ⎩ ⎩ m m m m 1 6 5 0 1 6 5 0 Bình luận: x ⎧ = ⇔ = ⎨⎩ < < ⇒ < 4 log t x t Tìm mối quan hệ nghiệm giữa biến cũ và mới, do 4 t tnên 1 2 0 1 < < < t t thì 0 1 log 0 4 phương trình có hai nghiệm trái dấu. Câu 9: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 1 4 .2 2 0 + − + = x x m m có hai nghiệm 1 2 x x , thoả mãn 1 2 x x + = 3 ? A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 . Hướng dẫn giải: 1 2 4 .2 2 0 2 2 .2 2 0 * + − + = ⇔ − + = x x x x m m m m Ta có: ( ) ( ) Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2xcó: ( )2 2 Δ = − − = − ' 2 2 m m m m . 22 ⎡ ≥ m Phương trình (*) có nghiệm ( ) ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⎢⎣ ≤ m m m mm 2 0 2 00 Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 1 2 1 2 2 .2 2 2 2 + = ⇔ = x x x x m m Do đó 3 1 2 x x + = ⇔ = ⇔ = 3 2 2 4 m m . Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn. Chọn A. Bình luận: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Do phương trình ( ) * là phương trình bậc hai ẩn 2 0 > xcó thể có nghiệm 2 0 < x (vô lí) nên khi giải ra tham số m = 4 thì phải thử lại. Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 1 = + x mx có hai nghiệm phân biệt? A. m > 0. B. 0ln 3 ⎧ > m m. C. m ≥ 2. D. Không tồn tại m ⎨⎩ ≠ Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Số nghiệm của phương trình 3 1 = + x mx phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số 3 =x y và đường thẳng y mx = +1. Ta thấy y mx = +1 luôn đi qua điểm cố định ( ) 0; 1 nên +Nếu m = 0: phương trình có nghiệm duy nhất + Nếu m < 0 : y mx = +1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số 3 =x y tại một điểm duy nhất. + Nếu m > 0:Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳng y mx = +1 phải khác tiếp tuyến của đồ thị y tại điểm ( ) 0; 1 , tức là m ≠ ln 3. hàm số 3 =x Vậy 0ln 3 ⎧ > m ⎨⎩ ≠ m Câu 11: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x x m có nghiệm 5 5 0 + −− = thực. A. (4 4 ⎡5 5;+∞ ⎣. C. ( ) 0;+∞ . D. 4 ⎡ ⎤ 0;5 5 ⎣ ⎦ . 0;5 5⎤⎦. B. ) Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện m > 0. ( ) ( ) 25 5 5 0 2 1 log 1 2 + − − = ⇒ + − = + ≥ − x x m x x m x . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y x x x = + − ≥ − 2 2 ( ) với đường y m = +1 log . thẳng 5 Xét hàm số y x x x = + − ≥ − 2 2 ( ). Ta có 1 7 ′ = − = ⇒ = − ′ y y x 1; 0 . 2 2 4 x + Bảng biến thiên || 9 Để phương trình ban đầu có nghiệm thực thì 4 1 log 0 5 5. + ≤ ⇒ < ≤ m m 5 4 xx m e e có nghiệm Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 24 + = +1 thực: A. 2 0 < m ≤e. B. 1≤ m <1 e. C. 0 1 < < m . D. − < < 1 0 m . Hướng dẫn giải: Chọn C Biến đổi phương trình về dạng ( )2 x x m e e . Đặt = > ;( 0) x t e t ta xét hàm số 24 y t t = + −1 trên (0;+∞). 4 = + −1 3 3 3 ( ) ( ) ( ) t 3 2 2 2 4 4 4 t t t t − + − + 1 10 1 ( 0) ∀ >t yt '2 = − = = < 3 3 ( )3 ( ) ( ) 2 4 2. 1 2 2 4 4 2. . 1 2. . 1 t t t t + + t + Bảng biến thiên File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Vậy điều kiện cần tìm là 0 1 < < m Câu 13: Tìm m để bất phương trình .9 (2 1).6 .4 0 − + + ≤ x x x m m m nghiệm đúng với mọi x ∈(0;1). A. 0 6 ≤ ≤ m B. m ≤ 6 . C. m ≥ 6 . D. m ≤ 0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. x x 9 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ − + + ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x m m m ( ) Ta có .9 2 1 .6 .4 0 − + + ≤ ( ) x m m m . . 2 1 0 4 2 t . Vì x ∈(0;1) nên 3 Đặt 32 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ < −1. C. Không tồn tại m . D. − < < 1 0 m . Hướng dẫn giải: Chọn B. x x Điều kiện: 1 0 1 ⎧ ⎧ + > > − ⎨ ⎨ ⇔ x x ⎩ ⎩ + ≠ ≠ 1 1 0 Xét hàm số 2 2 = − ′ = + > ∀ ∈ − ∪ +∞ ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) 2 f x x f x x ; 1 0, 1;0 0 : log 1 1 .ln 3.log 1 x x x + + + 3 3 Bảng biến thiên File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 0 + + 2 − = Từ bảng biến thiên suy ra phương trình chỉ khi m > −1 x m xcó hai nghiệm phân biệt khi và 3 ( ) log 1 + Câu 15: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 3 2 4 6 3 .3 3 3 − + − − + = + x x x x m m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 x x 3 2 − + ⎧⎪ = 3. 3 Đặt. uu v ⎨ ⇒ = 6 3 − x . Khi đó phương trình trở thành 4 − x 2 ⎪⎩ = 3 v ( ) ( ) ( )( ) 1 1 0 1 0 mu v uv m m u v u u m v + = + ⇔ − − − = ⇔ − − = ⎡ = ⎡ x x 23 2 − + 2 x 1 ⎡ = = ⎡ − + = ⎢ ⇔ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⇔ = ⎢ ⎢ 1 3 1 3 2 02 u x xx 2 2 23 2 v m m m x mx m ⎣ = ⎢ = > ⎢⎣ − = ⎣ ⎢⎣ = − − x 3 0 4 log4 log ( ) 3 x m = −4 log có một nghiệm khác 1;2 . Tức Để phương trình có ba nghiệm thì 23 4 log 0 81 − = ⇔ = m m . 3 Chọn A. x x m m có Câu 16: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 3 2 0 + − − = ( ) nghiệm thuộc khoảng (0;1) . A. [3; 4]. B. [2;4]. C. (2;4). D. (3;4). Chọn C. x x x x m m (1) ⇔6 3.2 Ta có: 6 3 2 0 + − − = ( ) x x Xét hàm số ( )6 3.2 + += x m 2 1 + f x xác định trên  , có =+ x 2 1 x x x + + ′ = > ∀ ∈ 12 .ln 3 6 .ln 6 3.2 .ln 2 0, ( )( )2 f x x nên hàm số f x( ) đồng biến trên  x 2 1 +  Suy ra 0 1 0 < < ⇔ < < ⇔ < < x f f x f f x ( ) ( ) (1 2 4 ) ( ) vì f f (0 2, 1 4. ) = = ( ) Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng (0;1) khi m∈(2; 4). File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 17: Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 2 2 2 1 2 2 4 .2 3 2 0 − + − + − + − = x x x x m m có bốn nghiệm phân biệt. A. (−∞;1). B. (−∞ ∪ +∞ ;1 2; ) ( ) . C. [2;+∞) . D. (2;+∞) . Hướng dẫn giải: 2 = ≥ x ( 1) 2 1 − Đặt ( ) t t 2 Phương trình có dạng: ( ) t mt m − + − = 2 3 2 0 * Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 2 ⎧ − + > ⎪⎧ − + > ⎪⎧ − + > ⎪ 3 2 0 3 2 0 3 2 01 0 2 2 2 m m m m m mm m ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ − ≥ ⎨ ⇔ > 2 2 ⎪⎩= ± − + > ⎪⎩ − + < − ⎪⎩ − + < − + x m m m m m mm m m m 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1,2 2 2 Chọn D. Bình luận: Trong bài này do đề bài yêu cầu phương trình có 4 nghiệm phân biệt nên ta cần chú ý mỗi t ≥1 thì ta nhận được bao nhiêu giá trị x Từ phương trình (*) chúng ta có thể cô lập m và ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình thỏa đề bài. Câu 18: Tìm các giá trị của m để phương trình: 3 3 5 3 + + − = x x m có 2 nghiệm phân biệt: A. 3 5 4 + < < m . B. 2 2 4 < < m . C. 2 2 3 < < m . D. m > 2 2 . Hướng dẫn giải: x ≤ log 5 ĐK: 3 Đặt: ( ) = + + − 3 3 5 3 x x x ≤ log 5 . f x với 3 x x x ( )( ) 3 ln 3 5 3 3 3 3 ln 3 3 ln 3 '2 3 3 2 5 3 2 3 3 5 3 f x x x = − = − − + ( ) x x x x ( )( ) + − + − x x ' 0 5 3 3 3 0 = ⇔ − = + ⇔ = f x x ( ) lim 3 5 x →∞ f x = + BBT x −∞ 0 +∞ f x '( ) + 0 − File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao f x( ) 4 2 2 3 5 + Chọn A. Câu 19: Tìm m để phương trình: 2− + − = 3 0 x x e me m , có nghiệm: A. m ≥ 2. B. m > 2 . C. m < 3 . D. m > 0. Hướng dẫn giải: 23 tm Đặt = > , 0. x += t e t Biến đổi phương trình về dạng: t + 1 Khảo sát hàm ( )23, 0 t + t ta có f t( ) ≥ 2 suy ra m ≥ 2 f t t = > + 1 Chọn A. Câu 20: Phương trình (2 3 2 3 1 + + − = ) ( ) ( ) x xm có nghiệm khi: A. m∈ −∞ ( ;5). B. m∈ −∞ ( ;5] . C. m∈ +∞ (2; ) . D. m∈ +∞ [2; ). Hướng dẫn giải: Đặt = + > (2 3 , 0 )x 2 t t . Phương trình đã cho trở thành: ( ) t mt − + =1 0 2 (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm dương. Do tích 2 nghiệm = 1 nên suy ra (2) có 2 nghiệm dương. ⎧ − ≥ 24 02 mm m. ⇔ ⎨ ⇔ ≥ Chọn D. ⎩ > 0 Câu 21: Cho phương trình 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 0 + + + + x mx x mx x mx . Tìm m để phương trình vô nghiệm? − − − = A. m > 0. B. m <1. C. Không có m. D. 10 ⎡ > m ⎢⎣ < m Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 5 2 4 2 + + + + + + + = + + + x mx x mx Phương trình tương đương ( ) ( ) x mx x mx Do hàm ( ) = + 5t f t t . Đồng biến trên R nên ta có: 2 2 x mx x mx + + = + + 2 2 2 4 2 Từ đó ĐK để phương trình vô nghiệm Chọn C. Câu 22: Cho phương trình: ( ) 2 2 + = + x x x x m m . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm 5 6 1 6 5 2 2 2.2 1 − + − − phân biệt. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao A. ( )1 1 0;2 \ ;8 256 ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . B. ( )1 1 0;2 \ ;7 256 ⎧ ⎫ C. ( )1 1 0;2 \ ;6 256 ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . D. ( )1 1 0;2 \ ;5 256 ⎧ ⎫ Hướng dẫn giải: Viết phương trình lại dưới dạng: 2 2 x x x x − + − − 5 6 1 6 5 2 2 2.2 + = + m m 2 2 2 2 x x x x x x − + − − + + − 5 6 1 5 6 1 ⇔ + = + 2 2 2 m m 2 2 2 2 x x x x x x − + − − + − 5 6 1 5 6 1 ⇔ + = + 2 2 2 .2 m m ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m . 2 − + 5 6 ⎧⎪ = x x 2; , 0 Đặt uu v ⎨ > . Khi đó phương trình tương đương: ⎪⎩ = v 2 1 − x 2 2 x x − + 5 6 ⎡ = x 3 mu v uv m u v m + = + ⇔ − − = ⇔ ( 1 0 )( ) ⎡ = ⎡ = ⎢ 1 2 02 ux ⎢ ⇔ ⎢ ⇔ = ⎢ 2 v m mm ⎣ ⎢ =⎣ = ⎢⎢ = ⎣ 1 − x 22 * 1 − x 2 ( ) Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân bieeth khác 2 và 3. ⎧ > ⎧ > m m 0 0 ( ) 2 2 *1 log 1 log ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ − = ⎩ = − x m x m 2 2 Khi đó ĐK là: m ⎧ > ⎧ > ⎪< 0 0 2 m m ⎪ ⎪ 1 log 0 1 1 1 0;2 \ ; ⎪ − > ⎪ ⎧ ⎫ ⎨ ⇒ ⇔ ∈ ⎨ ≠ ⎨ ⎬ mm m 2 ( ) ⎪− ≠ ⎪ ⎩ ⎭ 1 log 0 8 8 256 2 m ⎪ − ≠ ⎪ 1 log 9 1 mm ⎩⎪ ≠ 2 ⎩ Chọn A. 256 2 221 x xx m có đúng hai 7 3 5 7 3 5 2 − Câu 23: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( ) ( ) − + + = nghiệm phân biệt. 10 ⎡− < ≤ ⎢⎢⎢ = A. 116 m ≤ < m . C. 1 1 m < . B. 1 016 Hướng dẫn giải: Chọn D. − < ≤ m . D. 2 16 ⎢⎣ m 2 1 16 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao PT 2 2 x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + 7 3 5 7 3 5 1 ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = m . 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − x 2 7 3 5 0;1 Đặt ( ] 2 2 ⇒ − + = ⇔ = − = 2 2 0 2 2 t t m m t t g t (1). t . Khi đó PT ( ) = ⎜ ⎟ ∈ 2 ⎝ ⎠ Ta có ( )1 g t t t ′ = − = ⇔ = . 1 4 04 Suy ra bảng biến thiên: PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có đúng 1 nghiệm t ∈(0;1) 1 ⎡ 1 ⎡ = = ⎢ m . Bình luận: 2 16 81 m ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢⎢ ⎣− < ≤ − < ≤ ⎢⎣ 1 2 0 0 m m 2 Trong bài này các em cần lưu ý tìm điều kiện đúng cho t và mối quan hệ số nghiệm giữa biến cũ và biến mới, tức là mỗi t ∈(0;1) cho ta hai giá trị x . Câu 24: Cho phương trình 2 2 1 1 1 1 9 ( 2).3 2 1 0 + − + − − + + + = x x m m . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có nghiệm. A. 64 47 ≤ ≤ m B. 4 8 ≤ ≤ m C. 64 37 ≤ ≤ m D. 647 m ≥ Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 1 1 3 3;9 + − = → ∈ x Đặt [ ] t t 2 2 2 1 ( 2) 2 1 02 t t − + t m t m mt(do t ∈[3;9]). Phương trình có dạng − + + + = ↔ =− Xét hàm số 22 1 ( )2 t t f tttrên t ∈[3;9] − + =− File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 2 t t f t t − + ′ = > ∀ ∈ 4 3 ( ) 0, 3;9 t, nên hàm số đồng biến trên [3;9] . Vậy để phương Ta có: ( )[ ] − 2 2 trình có nghiệm thì 64 min ( ) max ( ) (3) (9) 47 f t m f t f m f m ≤ ≤ ↔ ≤ ≤ ↔ ≤ ≤ . [3;9] [3;9] Câu 25: Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 3 3 . 9 1 + = + x x m (1)có đúng 1 nghiệm. A. (1,3] B. (3; 10 ) C. { 10} D. (1;3 10 )∪{ } Hướng dẫn giải: x Phương trình (1) tương đương: 3 3 += xm đặt = 3x 9 1 + tm Phương trình (1) trở thành:231 t (t > 0 ) t += + Lập bảng biến thiên của hàm số231 t + ytvới(t > 0 ) =+ 1 3 1 − t = = ↔ = y t Ta có: 2 2 ' 0 ( 1) 1 3 t t + + Dựa vào đồ thì ta có:m∈(1,3] 0 3 1 1 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu 26: Bất phương trình 2 2 2.5 5.2 133. 10 + + + ≤ x x xcó tập nghiệm là S a b = [ ; ] thì b a − 2 bằng A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 Hướng dẫn giải: Ta có: 2 2 2.5 5.2 133. 10 50.5 20.2 133 10 + + + ≤ ⇔ + ≤ x x x x x xchia hai vế bất phương trình ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ≤ ⇔ + ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠x x x x cho 5xta được:20.2 133 10 2 2 50 50 20. 133. x x(1) 5 5 5 5 ⎛ ⎞ x t t phương trình (1) trở thành: 2 2 25 20 133 50 05 4 Đặt 2,( 0) = ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 t t − + ≤ ⇔ ≤ ≤t Khi đó ta có: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠xxx nên a b = − = 4, 2 2 4 − 2 2 25 2 2 2 4 2 5 5 4 5 5 5 Vậy b a − = 2 10 Bình luận    ma n ab pb + + > : chia 2 vế của bất 2 20 Phương pháp giải bất phương trình dạng ( ) phương trình cho 2 ahoặc 2 b . Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 3 3 3 3 + − − − + ≤ + x x x x. 1 1 1 A. 2 ≤ x . B. 1 2 ≤ ≤x . C. 2 7 ≤ ≤x . D. 2 4 ≤ ≤x . Hướng dẫn giải: ĐK: x ≥1 Ta có: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 9 3.3 3.3 1 0 + − − − + − + ≤ + ⇔ + − − − ≤ x x x x x x xx 1 1 1 1 3 3 3 3 0 ⇔ − − ≤ x x− 21 ( )( ) +với x =1, thỏa mãn; +Với 1 > ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ x 1: 3 3 1 1 1 2 − x x x Chọn B. Câu 28: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 2 1 81.9 3 .3 0 + − ≥ x x x xlà: − + + 3 A. S = +∞ ∪ [1; 0 ) { } . B. S = +∞ [1; ) . C. S = +∞ [0; ) . D. S = +∞ ∪ [2; 0 ) { } . Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x ≥ 0 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao x BPT 9 2 2 x x x. ⇔ + − ≥ 81. 3 .3 .3.3 0 81 3 2 2 x x x x x x x x ( )( ) ⇔ + − ≥ ⇔ − + ≥ 3 3 .3 2.3 0 3 3 3 2.3 0 x x x x do x ( ) ⇔ − ≥ + > ∀ ≥ 3 3 0 3 2.3 0, 0 ⎡ ≥ ≥ ⎡ ⇒ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ 1 1 x xx x 3 30 0 x xx x ≤ ⎣ = ⎢⎣ Vậy tập nghiệm cảu BPT là S = +∞ ∪ [1; 0 ) { } . Chọn A. Câu 29: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3 1)12 (2 )6 3 0 + + − + < x x x m m có nghiệm đúng ∀ >x 0 là: A. (− +∞ 2; ). B. ( ; 2] −∞ − . C. 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −∞ − ⎝ ⎠ . D. 1 ;3 Hướng dẫn giải: Chọn B. xt . Do x t > ⇒ > 0 1. Đặt 2 = Khi đó ta có:2 (3m 1) t (2 m) t 1 0, t 1 + + − + < ∀ > 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ . 2;3 2 1 (3t t) m t 2 1 t 1 t 1 − − − ⇔ − < − − − ∀ > ⇔ < ∀ > 2 2 t t t mt t 2 3 2 − 2 2 1 ( ) ê 1; t t f t tr n − − − Xét hàm số ( ) = +∞ 2 t t + − ⇒ = > ∀ ∈ +∞ t t f t 7 6 1 '(t) 0 (1; ) 2 2 BBT 3 − (3t t) − Do đó t 1 +∞ f'(t) + f(t) 1 − 3 −2 m f thỏa mãn yêu cầu bài toán ≤ = − lim (t) 2 t Bình luận → + 1 Sử dụng ( ) ( ) + ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ m f x x D m x x D maxf ( ) ( ) + ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ m f x x D m x x D minf Câu 30: Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình 2 2 2 cos sin sin 3 2 .3 + ≥ x x x m có nghiệm là A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn A. Đặt2 sin x t = (0 1 ≤ ≤t ) 2 2 2 3 2 .3 3 2 3 − ⎛ ⎞ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠t 3 3 2 2 .3 + ≥ ⇔ + ≥ x x x t t t m( )2 cos sin sin 1 ( ) ⎛ ⎞ = + ≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠t t t m m tt 3 3 3 3 2 0 1 Đặt: ( ) y t t 9 3 t t 1 1 2 2 3. .ln .ln 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + < ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y ⇒Hàm số luôn nghịch biến 9 9 3 3 t f'(t) f(t) 0 4 _ 1 1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m ≤1 thì phương trình có nghiệm Suy ra các giá trị nguyên dương cần tìmm =1. Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là x x x m m . 1 (−∞;0]: ( )( ) ( ) 2 2 1 1 5 3 5 0 ++ + − + + < A. 12 m ≤ − . B. 12 m ≤ . C. 12 m < . D. 12 m < − . Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + ⎛ ⎞ + x 1 5 3 5 2 2 1 0 1 m m . Đặt 1 5 0 ( ) ( ) + + + < ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 = > ⎜ ⎟ t , ta được: 2 ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 f 2 2 1 0 2 m m t t t mt m + + + < ⇔ = + + + < t BPT (1) nghiệm đúng ∀ ≤x 0 nên BPT (2) có nghiệm 0 1 < ≤t , suy ra Phương trình f t( ) = 0 có 2 nghiệm 1 2 t t, thỏa 1 2 t t ≤ < < 0 1 ( ) 0 0 2 1 0 0,5 ⎧⎪ ≤ ⎧ + ≤ ≤ − ⎧ f m m f m mvaayj 12− ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩< ⎩ + < < − ⎩ 1 0 4 2 0 0,5 ( ) Chọn D. m < thỏa Ycbt. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A – LÝ THUYẾT CHUNG I. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1: log = ⇔ = b ax b x a 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit a) Đưa về cùng cơ số Với a > 0, a ≠ 1: ( ) ( ) f x g x ⎧ = log ( ) log ( )( ) 0 (hay ( ) 0) f x g xf x g x = ⇔ ⎨⎩ > > a a b) Mũ hoá Với a > 0, a ≠ 1: log ( ) log ( ) = ⇔ = af x b af x b a a c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Đưa về phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập Chú ý:  Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.  Với a, b, c > 0 và a, b, c  1: log log c a b b a c = II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ∙ Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit. ⎡ > ⎧⎢⎨⎩ > > ⎢ > ⇔ ⎢⎧ < < ⎢⎨⎢⎩ < < ⎣ a 1 f x g x ( ) ( ) 0 f x g xa log ( ) log ( )0 1 a a 0 ( ) ( ) f x g x ∙ Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log 0 ( 1)( 1) 0 a B a B > ⇔ − − > ;log 0 ( 1)( 1) 0 log> ⇔ − − > aaAA B B III. HỆ MŨ-LÔGARIT Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao ∙ Phương pháp thế. ∙ Phương pháp cộng đại số. ∙ Phương pháp đặt ẩn phụ. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I - PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT + ⎛ ⎞ 2 1 1 x x log 2log2 2 = − ⎜ ⎟ x xcó nghiệm duy nhất x a b = + 2 trong Câu 1: Biết phương trình 5 3 đó a b, là các số nguyên. Tính a b + ? ⎝ ⎠ A. 5 B. −1 C. 1 D. 2 2 3 Câu 2: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: ( ) ( ) log 1 2 log 4 log 4 x + + = − + + x x 4 8 2 A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm 2 Câu 3: Phương trình ( ) ( ) log 1 2 log x x x x x + + = − + có bao nhiêu nghiệm 3 3 A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Câu 4: Cho phương trình 2log cotx log cos 3 ( ) = 2 ( x) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên ⎛ ⎞  9 khoảng ;6 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1 log 3log log 1 + − = − x x x có bao nhiêu nghiệm nguyên? Câu 5: Phương trình 9 9 3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 2 Câu 6: Tìm số nghiệm của phương trình: ( ) ( ) ( ) log 2 1 log 2 1 4 1 x− + − + − = x+ x x x . 2 1 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 2 Câu 7: Số nghiệm của phương trình ( ) log 2 log 2 2 x x x x − = − + là 3 5 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. 2 4. 2 ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ − = − log 4 2 3 x Câu 8: Biết rằng phương trình ( )( )( ) 2 x , x x x 2 1 2 ( < ). Tính x xcó hai nghiệm 1 1 2 2x x − . A. 1. B. 3. C. −5 . D. −1. Câu 9: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình ( ) 23 3 log 2 .log 3 1 0 x m x m − + + − = có hai nghiệm xsao cho 1 2 x x. 27 =. x, 2 1 A. m =1. B. 43 m = . C. m = 25. D. 283 m = . Câu 10: Tập hợp các giá trị của m để phương trình ⋅ − − = ln 1 2 ( )x m x m có nghiệm thuộc (−∞;0) là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao A. (ln 2;+∞) . B. (0;+∞). C. (1;e). D. (−∞;0). Câu 11: Tìm m để phương trình 2 2 log log 3 x x m − + = có nghiệm x ∈[1;8 .] 2 2 A. 3 6. ≤ ≤ m . B. 6 9. ≤ ≤ m . C. 2 6. ≤ ≤ m . D. 2 3. ≤ ≤ m . Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 log log 2 0 3 3 x x m − + − = có nghiệm x∈[1;9]. A. 0 1 ≤ ≤ m . B. 1 2 ≤ ≤ m . C. m ≤1. D. m ≥ 2. Câu 13: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình 22 2 log ( 1)log 4 0 x m x m − − + − = có hai nghiệm phân biệt thuộc [1; 4] là A. 3 4 < ≤ m . B. 10 33 ≤ ≤ m . C. 10 4 3< ≤ m . D. 10 33 < ≤ m . Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 22 2 log 2log 0 x x m + − = có nghiệm x > 2. A. m < −1. B. m ≥ 3. C. m < 3. D. m > 3. Câu 15: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2 . 2 3 4 . 2 2 − − − + = − + x x m log x x log x m có đúng ba nghiệm phân biệt là: 1 2 ( )( ) ( ) 2 2 A. 1 3 ; 1; . ⎩ ⎭ B. 1 3 ;1; . ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ −⎩ ⎭ C. 1 3 ;1; . ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − ⎩ ⎭ D. 1 3 ;1; . 2 2 2 2 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − 2 2 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 2 Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 log (1 ) log ( 4) 0 − + + − = x x m . 3 1 3 A. 10 −< < m . B. 21 5 . ≤ ≤ m C. 21 5 . < < m D. 12 4 4 4 −≤ ≤ m . 4 2 2 2 Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) log log 3 log 3 x x m x + − = − 2 1 2 2 có nghiệm thuộc [32;+∞) ? m D. ∈ −( 3;1⎤⎦ A. ∈(1; 3⎤⎦ m C. 1; 3) ∈ −⎡⎣ m . B. 1; 3) ∈ ⎡⎣ 3 2 Câu 18: Phương trình ( ) ( ) m . log 6 2log 14 29 2 0 mx x − + − + − = x x có 3 nghiệm thực phân biệt khi: 2 1 2 A. m <19 B. m > 39 C. 39 192 < < m D. 19 39 < < m 1 2 21 1 Câu 19: Tìm m để phương trình: ( ) ( ) ( ) m x m m − − + − + − = 1 log 2 4 5 log 4 4 0 xcó nghiệm trên − 2 2 2 5, 4 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 A. 7 − ≤ ≤ m . B. m∈ . C. m∈∅ . D. 7 33 − < ≤ m .33 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 20: Cho phương trình 2 1 2 4log log log 0 x m x x m + + + − = ( m là tham số ). Tìm m để 9 1 1 6 9 3 3 x thỏa mãn 1 2 x x. 3 = . Mệnh đề nào sau đây đúng? x , 2 phương trình có hai nghiệm 1 A. 1 2 < < m . B. 3 4 < < m . C. 3 < < m . D. 2 3 < < m . 02 Câu 21: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2 a x b x ln ln 5 0 + + = có hai nghiệm x và phương trình 2 x ,2 phân biệt 1 5log log 0 x b x a + + = có hai nghiệm phân biệt 3 x ,4 x thỏa mãn x x x x 1 2 3 4 > . Tính giá trị nhỏ nhất min S của S a b = + 2 3 .466666 A. min S = 30 . B. min S = 25. C. min S = 33 . D. min S =17 . Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 ( ) log log 3 log 3 x x m x + − = − có nghiệm thuộc [32;+∞) ? 2 1 4 2 m . D. ∈ −( 3;1⎤⎦ A. ∈(1; 3⎤⎦ m . C. 1; 3) ∈ −⎡⎣ m . B. 1; 3) ∈ ⎡⎣ Câu 23: Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 m . log log 1 2 5 0 x x m + + − − = có nghiệm trên 2 2 đoạn 3 ⎡ ⎤ 1;2 . ⎣ ⎦ A. m∈ −∞ − ∪ +∞ ( ; 2 0; ] [ ). B. [− +∞ 2; ). C. m∈ −∞ ( ;0) . D. m∈ −[ 2;0]. Câu 24: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình x x m có nghiệm x ≥1. log 5 1 .log 2.5 2 2 ( − ) 4 ( − =) A. 1;2⎡ ⎞ ⎣ ⎠. B. 1;4 ⎡ ⎞ ⎢+ ∞⎟ ⎣ ⎠. C. [1;+ ∞) . D. [3;+ ∞). ⎢− + ∞⎟ Câu 25: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình xcó nghiệm thực trong đoạn 5;4 1 2 21 1 ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤ m x m m − − + − + − = 1 log 2 4 5 log 4 4 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ : 2 2 − 2 4 A. m < −3 . B. 7 − ≤ ≤ m . 33 C. 73 m > . D. 7 − < < m . 33 Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 2 2log log 3 x x m + + = có ba nghiệm thực phân biệt. A. m∈(0;2). B. m∈{0; 2} . C. m∈ −∞ ( ;2) . D. m∈{2} . Câu 27: Cho m và n là các số nguyên dương khác 1. Gọi P là tích các nghiệm của phương trình 8 log log 7 log 6 log 2017 0 ( m )( n ) − − − = m n x x x x . Khi P là một số nguyên, tìm tổng m n + để P nhận giá trị nhỏ nhất? A. m n + = 20. B. m n + = 48. C. m n + =12 . D. m n + = 24. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3 2 ( ) log 2 log 1 x x m − − + = có ba nghiệm 2 3 phân biệt. A. m > 3 . B. m < 2. C. m > 0. D. m = 2 . II - BẤT PT LÔGARIT 3 Câu 29: Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn ( ) 3log 1+ + > a a a 2 log . Tìm phần 3 2 nguyên của log 2017 2 ( a) . A. 14 B. 22 C. 16 D. 19 Câu 30: Biết 152 2 x = là một nghiệm của bất phương trình ( ) ( ) x x x (*). 2log 23 23 log 2 15 a − > + + a Tập nghiệm T của bất phương trình (*) là: A. 19 = −∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T . B. 17 1;2 ⎛ ⎞ ;2 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T . C. T = (2;8) . D. T = (2;19). log (5 1).log (2.5 2) − − ≥ x x m Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 2 có nghiệm với mọi x ≥1? A. m ≥ 6 . B. m > 6. C. m ≤ 6 . D. m < 6 . log 2 2 xm Câu 32: Tập các giá trị của m để bất phương trình xnghiệm đúng với mọi x>0 là: log 1≥ 2 2 − A. (−∞;1] . B. [1;+∞) . C. (−5;2) . D. [0;3) . Câu 33: Số giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình: 2 2 ( ) ( ) log5 log 1 log 4 + + ≥ + + x mx x m nghiệm đúng với mọi x thuộc  . A. 0. B. ∀ ∈m  và m ≤ 3 . C. 1. D. 2. 1 log 1 log 4 + + ≥ + + x mx x m thoã mãn với mọi x∈ . Câu 34: Tìm m để bất phương trình ( ) ( ) 2 2 5 5 A. − < ≤ 1 0 m . B. − < < 1 0 m . C. 2 3 < ≤ m . D. 2 3 < < m . Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 2 ( ) ( ) log 7 7 log 4 , . x + ≥ + + ∀ ∈ mx x m x  2 2 A. m∈(2;5]. B. m∈ −( 2;5]. C. m∈[2;5). D. m∈ −[ 2;5) . Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2;3) thuộc tập nghiệm của bất 2 2 phương trình ( ) ( ) log 1 log 4 1 (1) x + > + + − x x m . 5 5 A. m∈ −[ 12;13]. B. m∈[12;13]. C. m∈ −[ 13;12]. D. m∈ − − [ 13; 12]. Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 5 4 12 .log 3 x x x m + + ≤ x − − có nghiệm. A. m > 2 3 . B. m ≥ 2 3 . C. 3 m ≥12log 5 . D. 3 2 12log 5 ≤ ≤ m . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 2 ⎧ − + + ≤ ⎪⎨ − x m x m ln ln 4 0 Câu 38: Hệ bất phương trình x 30 có nghiệm khi ⎪ > ⎩ x 2 A. m < −3 hoặc m ≥ 6 . B. m ≤ −3 . C. m < −3 . D. m ≥ 6 . Câu 39: Trong các nghiệm ( ; ) x y thỏa mãn bất phương trình 2 2 2 log (2 ) 1 x yx y . Giá trị lớn nhất ++ ≥ của biểu thức T x y = + 2 bằng: A. 94. B. 92. C. 98. D. 9. Câu 40: Trong tất cả các cặp ( x y; ) thỏa mãn 2 2 ( ) 2 + ++ − ≥ x yx y . Tìm m để tồn tại duy nhất log 4 4 4 1 cặp ( x y; ) sao cho 2 2 x y x y m + + − + − = 2 2 2 0 . A. ( )2 10 2 − . B. 10 2 − và 10 2 + . C. ( )2 10 2 − và ( )2 10 2 + . D. 10 2 − . 2 Câu 41: Cho x y, là số thực dương thỏa mãn ( ) ln x + ln y ≥ + ln x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y = + A. P = 6 . B. P = + 2 2 3 . C. P = +2 3 2 . D. P = + 17 3 . Câu 42: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log 1 log 1 6 2 (a b + + + ≥ ) 2 ( ) . Giá trị nhỏ nhất của S a b = + là A. min 12 S = . B. min 14 S = . C. min 8 S = . D. min 16 S = . Câu 43: Cho x , y là các số thực thỏa mãn log log 1 4 ( x y x y + + − ≥ ) 4 ( ) . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P x y = − 2 . A. min P = 4 . B. min P = −4. C. min P = 2 3 . D. min10 3 P = . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI I - PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT + ⎛ ⎞ 2 1 1 x x = − ⎜ ⎟ log 2log2 2 Câu 1: Biết phương trình 5 3 x xcó nghiệm duy nhất x a b = + 2 trong ⎝ ⎠ đó a b, là các số nguyên. Tính a b + ? A. 5 B. −1 C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải:. + ⎛ ⎞ + − 2 1 1 2 1 1 log 2log log 2log x x x x = − ⇔ ⎜ ⎟ = 5 3 5 3 x x x x 2 2 2 ⎝ ⎠ Đk: 01 ⎧ > xx ⎨ ⇔ > ⎩ − > x 1 0 ( ) 2 ⇔ + − = − − x x x x Pt log 2 1 log log ( 1) log 4 5 5 3 3 ( ) 2 ⇔ + + = + − log 2 1 log 4 log log ( 1) (1) x x x x 5 3 5 3 Đặt ( )2 t x x t = + ⇒ = − 2 1 4 1 (1) có dạng 2 2 log log ( 1) log log ( 1) (2) t t x x + − = + − 5 3 5 3 Xét 2 f y y y ( ) log log ( 1) = + − , do x t y > ⇒ > ⇒ > 1 3 1. 5 3 1 1 '( ) .2( 1) 0 f y y = + − > Xét y >1: 2 y y ln 5 ( 1) ln 3 − ⇒ f y( ) là hàm đồng biến trên miền (1;+∞) (2) có dạng f t f x t x x x x x ( ) ( ) = ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − = 2 1 2 1 0 ⎡ = + 1 23 2 2 ( ) xx tm ⇔ ⎢ ⇔ = + x. ⎢⎣ = − 1 2 (vn) Vậy x = +3 2 2 . Chọn A. Câu 2: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: ( ) ( ) 2 3 log 1 2 log 4 log 4 x + + = − + + x x 4 8 2 A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Hướng dẫn giải: ⎧ + ≠ ⎪ ⎧− < < ⎨ ⎨ − > ⇔⎩ ≠ − ⎪⎩ + > 1 04 4 ( ) ( ) 2 3 log 1 2 log 4 log 4 x + + = − + + x x (2) Điều kiện: 4 2 8 xx 4 01 xx 4 0 x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 2 ( ) ( ) ( ) (2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16 ⇔ + + = − + + ⇔ + + = − x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ⇔ + = − ⇔ + = − log 4 1 log 16 4 1 16 x x x x 2 2 ⇔ ⎢= − ⎣xx + Với − < < 1 4 x ta có phương trình 2 ⎡ = 2 x x + − = 4 12 0 (3);( ) (3)6 lo¹i ⎡ = − 2 24 + Với − < < − 4 1 x ta có phương trình 2 ⇔ ⎢⎢ = + ⎣xx x x − − = 4 20 0 (4); ( )( ) 42 24 lo¹i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = − 2 1 6 ( ) , chọn B 2 Câu 3: Phương trình ( ) ( ) log 1 2 log x x x x x + + = − + có bao nhiêu nghiệm 3 3 A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm Chọn A. Hướng dẫn giải: điều kiện x > 0 2 ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ = − x xx x Phương trình tương đương với 1 2 log 2 3 Ta có ( )2 2 2 1 1 1 x x x − = − − ≤ x ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + = − + ≥ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x xx x 1 1 1 log log 1 log 3 log 3 1 Và 3 3 3 3 x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )2 ⎧ − = ⎛ ⎞ + + ⎪ 2 x 1 0 x xx x x Do đó 1 2 ⎜ ⎟ = − ⇔ ⎨ ⇔ = log 2 1 10 3 x xx ⎝ ⎠ ⎪ − = ⎩ Câu 4: Cho phương trình 2log cotx log cos 3 ( ) = 2 ( x) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên ⎛ ⎞  9 khoảng ;6 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Điều kiện sin 0,cos 0 x x > > . Đặt u x = log cos 2 ( ) khi đó 2 ⎧⎪ = cot 3 x u ⎨⎪⎩ = u cos 2 x 2 u u xxsuy ra ( )( )( ) 2 2 =−x cos 2 4 ⎛ ⎞ Vì cot1 cos 2 2 u u = ⇔ = + − = ⎜ ⎟ 3 4 1 0 f u 3 1 2 u − ⎝ ⎠ File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao u ( )4 4 ' ln 4 ln 4 0, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u f u u . Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + > ∀ ∈ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  3 3 phương trình f u( ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy f (− = 1 0 ) suy ra 1  ( ) x x k k = ⇔ = ± + ∈   . cos 2 2 3  x k = +  . Khi đó phương trình nằm Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là 2 3 ⎛ ⎞     ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ là 7 trong khoảng 9;6 2 ⎛ ⎞   9;6 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. Chọn C. x x = = . Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng ,3 3 1 log 3log log 1 + − = − x x x có bao nhiêu nghiệm nguyên? Câu 5: Phương trình 9 9 3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: 1 log 3log log 1 + − = − x x x . Điều kiện xác định: x ≥ 1 Giải phương trình: 9 9 3 1 log 3log log 1 + − = − x x x ⇔ 9 9 9 9 9 3 1 log 3log 2log 1 + − = − x x x ⇔ 1 2log 2log 1 1 log 3 log − = − + + 9x x ( 9 )( 9x x 9 )⇔ (2log 1 1 log 3 log 1 0 9x − + + + = )( 9x x 9 ) 2log 1 x = vì: 9 9 ⇔ 9 1 log 3log 1 0 + + + > x x ⇔ x = 3. Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3. Chọn B. 2 2 Câu 6: Tìm số nghiệm của phương trình: ( ) ( ) ( ) log 2 1 log 2 1 4 1 x− + − + − = x+ x x x . 2 1 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải: ĐK: ⎧⎪ > x ⎨⎪⎩ ≠ x 1 2 1 . Phương trình: 2 ( ) log 2 12log 2 1 4 x xx x + + + 1 ( )( ) ⇔ + − = log 2 1 x + 1 x + 1 x − ( ) ( ) log 2 1 log 12log 2 1 4 − + + x xx 1 1 x x + + ( )( ) ⇔ + − = log 2 1 x + 1 1 x + 1 x − ( )( ) ( ) ⇔ + + − = 1 2log 2 1 4 3 log 2 1 x + 1 x x + 1 x − File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Đặt t x = − log 2 1 x+1 ( ), khi đó (3) viết thành: ⎡ = 1 t 1 ⎢ + − = ⇔ − + = ⇔ ⎢ = 2 t t t 2 3 0 2 3 1 0 1 t t ⎣ 2 ( ) ⎡ − = ⎡ = log 2 1 1 2 x x x x ⎡ = = − ⎢ ⇔ ⇔ ⎢ x + 1 2 1 1 1 5 ⎢ ⎢ − = + = − ⎢ = ⎣ ( ) x x x x log 2 1 1 2 1 x + 1 ⎢⎣ ⎣ 2 4 Chọn C. 2 2 Câu 7: Số nghiệm của phương trình ( ) log 2 log 2 2 x x x x − = − + là 3 5 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Chọn B. ĐK: x x ≠ ≠ 0; 2 . Đặt 2 t x x = − 22 ⇒ − + = + x x t 2 2 2 ⇒ = + log log 2 3t t 5 ( ). Đặt log log 2 3t t u = + = 5 ( ) u ⎧ = ⎪⎨ ⇒ log 3 t u ⎧⎪ = t 3 ( ) ⎪ + = ⎩ log 2 ⎨⎪⎩ + = u 5 t u t 2 5 ⇒ − = 5 2 3 u u u u ⎡ − = ⎢⎣ − = − ⇒5 2 3 u u 5 2 3 u u ⎡ + = 5 3 2 ⇒ ⎢⎣ + = u u 3 2 5 u u ⎡ + = ⎢ ⇒ ⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 3 2 (1) u u . 3 1 2 1 (2) + = ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 5 Xét (1 : 5 3 2 ) + = u u Ta thấy u = 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = 0 là duy nhất. Với 2 u t x x = ⇒ = − ⇒ − + = 0 1 2 1 0, phương trình này vô nghiệm. u u Xét ( ) 3 1 2 : 2 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 5 Ta thấy u =1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u =1 là duy nhất. Với 2 u t x x = ⇒ = ⇒ − − = 0 3 2 3 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x x ≠ ≠ 0; 2 . BÌNH LUẬN: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Cho f x g x ( ) = ( )(1) nếu f x g x ( ), ( ) đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g x const ( ) = và f x( ) tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất. 2 4. 2 ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ − = − log 4 2 3 x Câu 8: Biết rằng phương trình ( )( )( ) 2 x , x x x 2 1 2 ( < ). Tính x xcó hai nghiệm 1 1 2 2x x − . A. 1. B. 3. C. −5 . D. −1. Hướng dẫn giải: Chọn D. Điều kiện x > 2 . 2 4. 2 + − 2 2 log 4 log 2 3 x Phương trình thành ( )( )( ) − = − x x 2 . 2 4. 2 − ⇔ − − = − 2 log 2 3 x ( ) ( )( )( ) log 2 2 4. 2 − x x x x hay ( )( )( ) 2 2 x x . − = − Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được log 2 .log 2 log 4 2 2 ( − − = − ) 2 ( ) 2⎡ ⎤ ( ) ⎣ ⎦ x x x 5 ⎡ ( ) ( )( ) ⎡ − = − = ⇔ − = + − ⇔ ⇔ ⎢ log 2 1 2 2 x x log 2 2 log 2 2 x xxx. 2 2 ⎢− = ⎢ ( ) log 2 2 6 ⎢⎣⎣ = 2 Suy ra 152 x = 6. Vậy 1 25 2 2. 6 1 x = và 2 x x − = − = − . 2 Câu 9: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình ( ) 23 3 log 2 .log 3 1 0 x m x m − + + − = có hai nghiệm xsao cho 1 2 x x. 27 =. x, 2 1 A. m =1. B. 43 m = . C. m = 25. D. 283 m = . Hướng dẫn giải: Chọn A. ( ) 23 3 log 2 .log 3 1 0 x m x m − + + − = (1). Điều kiện xác định: x > 0 . t x = log . Ta có phương trình: 2 Đặt 3 t m t m − + + − = ( 2) 3 1 0 (2). Để phương trình (1) có 2 nghiệm 1 2 x x, sao cho 1 2 x x. 27 = . Thì phương trình (2) có 2 nghiệm 1 2 t t; thỏa mãn 1 2 t t + = 3. ⎧Δ > 0 ⎧ − + > 28 8 0 m m ⇔ ⎨⎩m + = m⇒ = m 1. 2 3 ⇔ ⎨⎩ = 1 Câu 10: Tập hợp các giá trị của m để phương trình ⋅ − − = ln 1 2 ( )x m x m có nghiệm thuộc (−∞;0) là A. (ln 2;+∞) . B. (0;+∞). C. (1;e). D. (−∞;0). Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: 1 2 0 − >x ⇔ 0. Câu 11: Tìm m để phương trình 2 2 log log 3 x x m − + = có nghiệm x ∈[1;8 .] 2 2 A. 3 6. ≤ ≤ m . B. 6 9. ≤ ≤ m . C. 2 6. ≤ ≤ m . D. 2 3. ≤ ≤ m . Hướng dẫn giải: Chọn C. Điều kiện x > 0 2 2 2 log log 3 log 2log 3 x x m x x m − + = ⇔ − + = 2 2 2 2 t x = log Đặt 2 2 Phương trình trở thành ( ) t t m − + = 2 3 1 Phương trình đã cho có nghiệm x ∈ ⇔ [1;8] phương trình (1) có nghiệm x ∈[0;3 .] Đặt ( )2 g t t t = − + 2 3 g t t ′( ) = − 2 2. g t t t ′( ) = ⇔ − = ⇔ = 0 2 2 0 1 BBT File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Từ BBT ta suy ra để phương trình đã có nghiệm x ∈[ ] 1;8 thì 2 6 ≤ ≤ m . Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 nghiệm x∈[ ] 1;9 . log log 2 0 3 3 x x m − + − = có A. 0 1 ≤ ≤ m . B. 1 2 ≤ ≤ m . C. m ≤1. D. m ≥ 2. Hướng dẫn giải: Chọn B. t x = log . Vì x∈[ ] 1;9 nên t ∈[ ] 0;2 Đặt: 3 2 2 pt t t m t t m ⇔ − + − = ⇔ − + = 2 2 0 2 2 h t t t = − + 2 2 với t ∈[ ] 0;2 Đặt ( ) 2 h t t ' 2 2 ( ) = − , h t t ' 0 1 ( ) = ⇔ = h h h ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0 2 2 = = = ( ) ( ) ⇒ = max 2 , min 1 h t h t = [0,2] [0,2] Pt có nghiệm ⇔ ≤ ≤ 1 2. m Câu 13: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình 22 2 log ( 1)log 4 0 x m x m − − + − = có hai nghiệm phân biệt thuộc [ ] 1; 4 là A. 3 4 < ≤ m . B. 10 33 ≤ ≤ m . C. 10 4 3< ≤ m . D. 10 33 < ≤ m . Hướng dẫn giải: Chọn D. t x = log . Vì x ∈[ ] 1; 4 nên t ∈[ ] 0;2 . Đặt 2 Phương trình trở thành ( )2 t t + + 2 4 t m t m mt − − + − = ⇔ =+ 1 4 0 . 1 Xét hàm số ( )24 t t f tttrên đoạn [ ] 0;2 . + + =+ 2 1 t t t + − ⎡ = 2 3 1 Ta có ( )( ) 2 ′ = = ⇔ + − = ⇔ ⎢ f t t tt t 0 2 3 0 . 2 + ⎣ = − 1 3 Bảng biến thiên File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1; 4] thì 10 3 .3 < ≤ m Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 22 2 log 2log 0 x x m + − = có nghiệm x > 2. A. m < −1. B. m ≥ 3. C. m < 3. D. m > 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. 22 2 log 2log 0 x x m + − = (1). t x = log , phương trình (1) trở thành: 2 2 Đặt 2 t t m t t m + − = ⇔ + = 2 0 2 (2). Phương trình (1) có nghiệm x > ⇔2 phương trình (2) có nghiệm t do t x > = > = 1 log log 2 1 ( 2 2 ). Xét hàm số2 y t t y t y t = + ⇒ = + = ⇔ = − 2 ' 2 2, ' 0 1 ( loại). Bảng biến thiên x y′ y 1 3 +∞ + +∞ Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t m > ⇔ > 1 3. Câu 15: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2 . 2 3 4 . 2 2 − − − + = − + x x m log x x log x m có đúng ba nghiệm phân biệt là: 1 2 ( )( ) ( ) 2 2 A. 1 3 ; 1; . ⎩ ⎭ B. 1 3 ;1; . ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ −⎩ ⎭ C. 1 3 ;1; . ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − ⎩ ⎭ D. 1 3 ;1; . 2 2 2 2 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − 2 2 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn D 2 2 . 2 3 4 . 2 2 − − − + = − + x x m log x x log x m (1) 1 2 Ta có ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 . 1 2 2 . 2 2 − − ⇔ ⎡ ⎤ − + = − + ⎣ ⎦ x x m log x log x m (2) ( )( ) ( ) 2 2 t Xét hàm số ( ) = + ≥ 2 . 2 , 0. 2 ( ) f t log t t Vì f t t ′( ) > ∀ ≥ ⇒ 0, 0 hàm số đồng biến trên (0;+∞) 2 2 2 1 2 ⇔ − = − ⇔ − = − ⎡ ⎤ 1 2 ⎣ ⎦ f x f x m x x m Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ⎡ − + + = ⇔ ⎢⎢ = − ⎣x x m ( ) 4 1 2 0 3 2 ( ) x m 2 1 4 Phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau: +) PT (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT(4) 3 ⇒ = m , thay vào PT (4) thỏa mãn 2 +) PT (4) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT(3) 1 ⇒ = m , thay vào PT (3) thỏa mãn 2 +) PT (4) có hai nghiệm phân biệt và PT (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau (4 2 1 ) ⇔ = ± − x m ,với1 3. < < m Thay vào PT (3) tìm được m =1. 2 2 KL: 1 3 ;1; . ⎧ ⎫ ∈⎨ ⎬ ⎩ ⎭ m 2 2 BÌNH LUẬN: B1: Đưa phương trình về dạng f u f v ( ) = ( ) với u v, là hai hàm theo x . B2: Xét hàm số f t t D ( ), . ∈ B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số f t t D ( ), ∈ tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D. B4: f u f v u v ( ) = ⇔ = ( ) Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 log (1 ) log ( 4) 0 − + + − = x x m . 3 1 3 A. 10 −< < m . B. 21 5 . ≤ ≤ m C. 21 5 . < < m D. 12 4 4 4 −≤ ≤ m .4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Chọn C. Hướng dẫn giải: 2 ( ) ⎧⎪ − > ⎪⎧ ∈ − 1 0 1;1 x x 2 log (1 ) log ( 4) 0log (1 ) log ( 4) 1 4 − + + − = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ x x mx x m x x m 3 1 2 2 ⎪⎩ − = + − ⎪⎩ − = + − 3 3 3 Yêu cầu bài toán ( )2 ⇔ = + + − = f x x x m 5 0 có 2 nghiệm phân biệt ∈ −( 1;1) Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai. Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình f x( ) = 0 có hai nghiệm thỏa: 1 2 − < < < 1 1 x x a f ( ) ⎧ − > . 1 0 ⎪> ⎧ − > ⎪⎪ ⎪ ⇔ ⎨Δ > ⇔ − > ⇔ < < ⎨ . 1 0 5 021 3 0 5 04 a f m ( ) . m m ⎪ ⎪⎩ − > ⎪− < < ⎪⎩ 21 4 0 m S 1 1 2 Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình f x( ) = 0 rồi so sánh trực tiếp các nghiệm với 1 và −1. Cách 3: Dùng đồ thị Đường thẳng y m = − cắt đồ thị hàm số2 y x x = + − 5 tại hai điểm phân biệt trong khoảng (−1;1) khi và chỉ khi đường thẳng y m = − cắt đồ thị hàm số2 y x x = + − 5 tại hai điểm phân biệt có hoành độ ∈ −( 1;1). Cách 4: Dùng đạo hàm 2 1 Xét hàm số ( ) ( ) f x x x f x x x = + − ⇒ = + = ⇒ = − ′ 5 2 1 02 1 21; 1 3; 1 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = − = − − = − ⎝ ⎠ f f f Có ( ) ( ) 2 4 Ta có bảng biến thiên – Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (−1;1) khi 21 21 5 5 − < − < − ⇒ > > m m . 4 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Cách 5: Dùng MTCT Sau khi đưa về phương trình 2 x x m + + − =5 0 , ta nhập phương trình vào máy tính. * Giải khi m = −0,2: không thỏa⇒loại A, D. * Giải khi m = 5 : không thỏa ⇒loại B. 2 2 2 Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) log log 3 log 3 x x m x + − = − 2 1 2 2 có nghiệm thuộc [32;+∞) ? m D. ∈ −( 3;1⎤⎦ A. ∈(1; 3⎤⎦ m C. 1; 3) ∈ −⎡⎣ m . B. 1; 3) ∈ ⎡⎣ Hướng dẫn giải: ĐK: x > 0 . Khi đó phương trình tương đương: ( ) 22 2 2 log 2log 3 log 3 x x m x − − = − t x = log , với 2 2 m . Đặt: 2 x ≥ ⇒ ≥ = ≥ 32 log log 32 5 hay 5. x t 2 Phương trình trở thành: ( ) ( ) t t m t − − = − 2 3 3 * . Khi đó bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiêm t ≥ 5 . Với t ≥ 5 thì: (* 3 . 1 3 3 1 3 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − + = − ⇔ − + − − = t t m t t t m t t + 1 ⇔ + − − = ⇔ =− t m t mt 1 3 03 Ta có: 1 4 1 t t. Với 4 4 5 1 1 1 3 t += + − − 3 3 ≥ ⇒ < + ≤ + = tthay: − − 3 5 3 t t + + 1 1 1 3 1 3 < ≤ ⇒ < ≤ t t − − 3 3 Suy ra 1 3 < ≤ m . Vậy phương trình có nghiệm thỏa ycbt với 1 3 < ≤ m . Chọn A. 3 2 Câu 18: Phương trình ( ) ( ) log 6 2log 14 29 2 0 mx x − + − + − = x x có 3 nghiệm thực phân biệt khi: 2 1 2 A. m <19 B. m > 39 C. 39 192 < < m D. 19 39 < < m Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao 3 2 ( ) ( ) log 6 2log 14 29 2 0 mx x x x − + − + − = 2 1 2 3 2 ( ) ( ) ⇔ − − − + − = log 6 log 14 29 2 0 mx x x x 2 2 3 2 ⇔ − = − + − mx x x x 6 14 29 2 3 2 6 14 29 2 x x x ⇔ = − + − mx 3 2 x x x f x f x x 6 14 29 2 2 − + − ( ) ( ) = ⇔ = − + ′ 12 14 2 x x ⎡⎢ = ⇒ = ⎢⎢ ⎛ ⎞ ′ = ⇔ = ⇒ = ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢⎢ ⎛ ⎞ ⎢ = − ⇒ − = ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ x f ( ) ( ) 1 1 19 1 1 39 02 2 2 f x x f 1 1 121 x f 3 3 3 Lập bảng biến thiên suy ra đáp án C. 1 2 21 1 Câu 19: Tìm m để phương trình: ( ) ( ) ( ) m x m m − − + − + − = 1 log 2 4 5 log 4 4 0 xcó nghiệm trên − 2 2 2 5, 4 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 A. 7 − ≤ ≤ m . B. m∈ . C. m∈∅ . D. 7 33 Hướng dẫn giải: Chọn A. 5;4 1;1 ⎡ ⎤ − < ≤ m . 33 t x = − log 2 . Do [ ] Đặt 1 ( ) 2 ( )2 ∈ ⇒ ∈ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x t 2 4 1 4( 5) 4 4 0 m t m t m − + − + − = 2 ⇔ − + − + − = m t m t m 1 5 1 0 ( ) ( ) 2 2 ⇔ + + = + + m t t t t 1 5 1 ( ) 2 t t + + 5 1 ⇔ =+ + mt t 2 1 ⇔ = g m f t ( ) ( ) 2 t t f tt tvới t ∈ −[ 1;1] + + Xét ( ) 5 1 =+ + 2 2 1 4 4 0 − t ∀ ∈ − t [ 1;1] ⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [−1;1] ( )( ) ′ = ≥ f t 2 t t + + 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị g m f t ( ); ( ) cắt nhau ∀ ∈ − t [ 1;1] ( ) ( )7 ⇒ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ f g m f m ( 1) 1 33 BÌNH LUẬN: Đây là dạng toán ứng dụng hàm số để giải bài toán chứa tham số. Đối với bài toán biện luận nghiệm mà chứa tham số thì phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ sau đó cô lập m rồi tìm max, min hàm số. Câu 20: Cho phương trình 2 1 2 4log log log 0 x m x x m + + + − = ( m là tham số ). Tìm m để 9 1 1 6 9 3 3 x thỏa mãn 1 2 x x. 3 = . Mệnh đề nào sau đây đúng? x , 2 phương trình có hai nghiệm 1 A. 1 2 < < m . B. 3 4 < < m . C. 3 < < m . D. 2 3 < < m . 02 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 2 1 2 x m x x m + + + − = Đk: x > 0 4log log log 0 9 1 1 6 9 3 3 1 2 2 ( 2 ) 1 1 ⇔ + + + − = x m x x m − − 4 log log log 0 3 33 6 9 2 2 1 1 2 ⎛ ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ − − + − = ⎝ ⎠ x m x x m 4 log log log 0 3 3 3 2 3 9 1 2 ⎛ ⎞ ⇔ − + + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x m x m 23 3 ( ) log log 0 1 3 9 2 1 2 0 2 ⎛ ⎞ ⇔ − + + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t m t m t x = log . Khi đó phương trình (1) ( ) Đặt 3 3 9 Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa mãn 1 2 x x. 3 = 3 1 2 ⇔ = log . 1 x x 3 1 3 2 1 2 ⇔ + = ⇔ + = log log 1 1 x x t t (Với 1 3 1 t x = log và 2 3 2 t x = log ) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (2) b Ta có 1 21 2 − ⎛ ⎞ t t m m + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 a Vậy 3 < < m là mệnh đề đúng. 02 3 3 Câu 21: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2 a x b x ln ln 5 0 + + = có hai nghiệm x và phương trình 2 x ,2 phân biệt 1 5log log 0 x b x a + + = có hai nghiệm phân biệt 3 x ,4 x thỏa mãn x x x x 1 2 3 4 > . Tính giá trị nhỏ nhất min S của S a b = + 2 3 .466666 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mũ - Lôgarit Nâng Cao A. min S = 30 . B. min S = 25. C. min S = 33 . D. min S =17 . Hướng dẫn giải: Chọn A Điều kiện x > 0 , điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2 b a > 20 . Đặt t x = ln , u x = log khi đó ta được 2 at bt + + = 5 0(1) , 2 5u bu a + + = 0(2) . Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x . b 1 2 . .− b 3 4 . 10 10− b b t t t t a x x e e e e , 1 2 5 − − + Ta có 1 2 1 2 u u + x x , lại có 5 a x x x x e = = = b ba a 5 = = > ⇔ > 1 2 3 4 10 a( do a b, nguyên dương), suy ra 2 ⇒ − > − ⇔ > ⇔ ≥ ln10 3 5 ln10 Vậy S a b = + ≥ + = 2 3 2.3 3.8 30 , suy ra min S = 30 đạt được a b = = 3, 8 . b b > ⇒ ≥ 60 8. Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 ( ) log log 3 log 3 x x m x + − = − có nghiệm thuộc [32;+∞) ? 2 1 4 2 m . D. ∈ −( 3;1⎤⎦ A. ∈(1; 3⎤⎦ m . C. 1; 3) ∈ −⎡⎣ m . B. 1; 3) ∈ ⎡⎣ Hướng dẫn giải: m . Điều kiện: x > 0. Khi đó phương trình tương đương: ( ) 22 2 2 log 2log 3 log 3 x x m x − − = − . t x = log với 2 2 Đặt 2 x ≥ ⇒ ≥ = 32 log log 32 5 x hay t ≥ 5. 2 Phương trình có dạng ( ) ( ) t t m t − − = − 2 3 3 * . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ 5 ” Với t ≥ 5 thì (*) 3 . 1 3 3. 1 3 0 ⇔ − + = − ⇔ − + − − = (t t m t t t m t ) ( ) ( ) ( ) ⇔ + − − = ⇔ =−t + 1 t m t mt 1 3 03 Ta có 1 4 1 . t tVới 4 4 5 1 1 1 3 t += + − − 3 3 ≥ ⇒ < + ≤ + = tthay − − 3 5 3 t t + + 1 1 1 3 1 3 < ≤ ⇒ < ≤ t t − − 3 3 suy ra 1 3. < ≤ m Vậy phương trình có nghiệm với 1 3. < ≤ m BÌNH LUẬN: Chúng ta có thể dùng hàm số để tìm max, min của hàm số1, 5 t + y t = ≥ t − 3 Câu 23: Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 log log 1 2 5 0 x x m + + − − = có nghiệm trên 2 2 đoạn 3 ⎡ ⎤ 1;2 . ⎣ ⎦ A. m∈ −∞ − ∪ +∞ ( ; 2 0; ] [ ). B. [− +∞ 2; ). C. m∈ −∞ ( ;0) . D. m∈ −[ 2;0]. Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 2 2 log log 1 2 5 0 log log 1 2 5 x x m + + − − = ⇔ + + = + x x m .2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay """