" Trắc Nghiệm Nâng Cao Hình Học Toạ Độ OXYZ 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Trắc Nghiệm Nâng Cao Hình Học Toạ Độ OXYZ Ebooks Nhóm Zalo ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Véc tơ trong không gian * Định nghĩa Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng. 2. Vecto đồng phẳng    khác 0 gọi là đồng * Định nghĩa: Ba vecto a b c , , phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Chú ý: n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Các giá của các vecto đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau. * Điều kiện để 3 vecto khác 0đồng phẳng Định lý 1:       a b c , ,đồng phẳng ⇔ ∃ ∈ m n, : a mb nc = + * Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng Δ3 P c Δ1 b D3 D2 a D1 Δ2    không đồng phẳng. Bất kì một vecto a nào trong không gian cũng Định lý 2: Cho 3 vecto 1 2 3 e e e , , có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực ( ) 1 2 3 x x x , , duy nhất     1 1 2 2 3 3 a x e x e x e = + +    khác 0: Chú ý: Cho vecto a b c , ,    đồng phẳng nếu có ba số thực m n p , , không đồng thời bằng 0 sao cho: ma nb pc + + = 0 1. a b c , ,    không đồng phẳng nếu từ ma nb pc m n p + + = ⇒ = = = 0 0    2. a b c , , 3. Tọa độ của vecto    Trong không gian xét hệ trục Ox , yz có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục Ox, , Oy Oz lần lượt là    i j k = = = (1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 . ) ( ) ( )      a) ( 1 2 3 ) 1 2 3 a a a a a a i a j a k = ⇔ = + + ; ;     b) M x y z OM x i y j z k ( M M M , , ) ⇔ = + + M M M File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz c) Cho ( , , , , , ) ( ) A x y z B x y z A A A B B B ta có: và ( ) ( ) ( ) AB x x y y z z = − − − ( B A B A B A ; ; ) 2 2 2. AB x x y y z z = − + − + − B A B A B A B A B A B A x x y y z z M⎛ + + + ⎞ d) M là trung điểm AB thì ; ; ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ và b b b b = ( 1 2 3 ; ; ) e) Cho a a a a = ( 1 2 3 ; ; ) a b ⎧ = ta có:   ⎪ 1 1 a b a b = ⇔ = ⎨⎪⎩ = 2 2 a b   3 3 a b a b a b a b ± = ± ± ± ( 1 1 2 2 3 3 ; ; )  k a ka ka ka . ; ; = ( 1 2 3 )       ( ) 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b a b a b . . cos ; = = + +  2 2 2 1 2 3 a a a a = + +   a b a b a b a ba a a b b b + + ( )1 1 2 2 3 3    )  (với a b ≠ ≠ 0, 0 cos cos ;. = =+ + + + 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3   avà bvuông góc:1 1 2 2 3 3 ⇔ = ⇔ + + = a b a b a b a b . 0 0 a kb ⎧ = avà bcùng phương: 1 1   ⎪ ⇔ ∃ ∈ = ⇔ = ⎨⎪⎩ = k R a kb a kb : 4. Tích có hướng và ứng dụng 2 2 a kb 3 3 và b b b b = ( 1 2 3 ; ; ) Tích có hướng của a a a a = ( 1 2 3 ; ; ) là:   a a a a a a ⎛ ⎞ 2 3 3 1 1 2 ⎡ ⎤ = ⎜ ⎟ = − − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ( ) a b a b a b a b a b a b a b , ; ; ; ; b b b b b b 2 3 3 1 1 2 a. Tính chất:       ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a b a a b b , , , ⊥ ⊥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦       a b a b a b , . sin , ( ) ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1    avà bcùng phương: ⎡ ⎤ a b, 0 = ⎣ ⎦   đồng phẳng ⇔ = ⎡ ⎤ a b c , . 0 ⎣ ⎦ a b c , ,    b. Các ứng dụng tích có hướng   Diện tích tam giác: 1, ABC S AB AC = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 2    Thể tích tứ diện 1, . V AB AC AD ABCD = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz    Thể tích khối hộp:. ' ' ' ' , .AA' VABCD A B C D = ⎡ ⎤ AB AD ⎣ ⎦ 5. Một số kiến thức khác a)   Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB ( = )thì ta có: x kx y ky z kz − − − A B A B A B − − −với k ≠1 x y z = = = ; ; M M M 1 1 1 k k k x x x y y y z z z ABC x y z + + + + + + A B C A B C A B C G là trọng tâm tam giác ; ; ⇔ = = = G G G 3 3 3      G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD ⇔ + + + = 0 b) B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho 4 điểm S A B C (1, 2,3 ; 2, 2,3 ; 1,3,3 ; 1,2,4 . ) ( ) ( ) ( ) SABC là: A. Tứ diện. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Hình thang vuông Hướng dẫn giải:    AB BC AC = − = − = − ( 1;1;0 ; 0; 1;1 ; 1;0;1 ) ( ) ( ) ⇒ = = = ⇒ AB BC CA ABC 2 là tam giác đều    SA SB SC = = = ⇒ = = = (1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ) ( ) ( ) SA SB SC 1 1 0 0 ( ) D SA SB SC = = ≠ , , 0 1 0 1 0 0 0 1     Hay ta có thể tính ⎡ ⎤ SA SB SC ; 0 ≠ ⎣ ⎦   không đồng phẳng. ⇒ SA SB SC , , ⇒ SABC là hình chóp đều, đỉnh S. Chọn B. Câu 2: Cho bốn điểm S A B C (1, 2,3 ; 2, 2,3 ; 1,3,3 ; 1,2,4 . ) ( ) ( ) ( ) Gọi M N P , , lần lượt là trung điểm của BC CA , và AB. Khi đó SMNP là: A. Hình chóp. B. Hình chóp đều. C. Tứ diện đều. D. Tam diện vuông Hướng dẫn giải: Tam giác: ABC có AB BC CA = = = 222 ⇒ = = = MN NP PM File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz    (1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ) ( ) ( ) SA SB SC = = =   ⇒ = ⇒ ⊥ SA SB SA SB . 0 Tương tự SA SC SB SC ⊥ ⊥ , Các tam giác vuông SAB SBC SCA , , vuông tại S, có các trung tuyến: AB SP SM SN = = = = = = = MN NP PM 2 2 2 Ta có: SP SAB SM SBC SN SCA ⊂ ⊂ ⊂ ( ); ( ); ( )   không đồng phẳng ⇒ SP SM SN , , ⇒ SMNP là tứ diện đều. Chọn C. A B S N P C M Câu 3: Cho bốn điểm S A B C (1, 2,3 ; 2, 2,3 ; 1,3,3 ; 1,2,4 . ) ( ) ( ) ( ) Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC. A. (5,9,13) . B. 5 13 ,3, ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. C. 7 9 1, ,4 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. D. 5 9 13 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Hướng dẫn giải: 3 3 , , 4 4 4          Ta có GS GA GB GC OG OA OB OC OS + + + ⇔ = + + + 4 1 5 ⎧= + + + = ⎪⎪⎪ ⇒ = + + + = ⎨⎪⎪= + + + = ⎪⎩ ( ) x G y z Chọn D. 2 1 1 1 4 4 1 9 ( ) 2 3 2 2 4 4 1 13 3 3 4 3 ( ) 4 4   Xác định vec tơ dthỏa mãn Câu 4: Cho 3 vectơ a b c = − = − = − − (1,1, 2 ; 2, 1,2 ; 2,3, 2 . ) ( ) ( )       a d b d c d . 4; . 5; . 7. = = = A. (3,6,5) . B. (− − 3,6, 5) . C. 3 5 ,6, ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. D. 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. Hướng dẫn giải:   ⎧ = ⎧ + − = ⎪⎪ ⎪ a d x y z 2 2 ( ) 3,6,2 . 4 2 4 1   ( ) . 5 2 2 5 2 ⎨ ⎨ = ⇔ − + = b d x y z   ⎪ ⎪ = − + − = ⎪ ⎩ ⎩ c d x y z ( ) . 7 2 3 2 7 3 (1 2 :3 9 3 ) + = ⇔ = ( ) x x và (2 3 : 2 12 6 ) + = ⇔ = ( ) y y  1 1 5 5 z x y d⎛ ⎞ ( ) ( ) ( ) 1 : 4 3 6 4 3;6; = + + = + − = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm A B C (2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2;2;0 − − − − ) ( ) ( ). Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D(0; 3; 1 − − ) B. D(0;2; 1− ) C. D(0;1; 1− ) D. D(0;3; 1− ) Hướng dẫn giải: Do D Oyz D b c ∈ ⎯⎯→ ( ) (0; ; ) với c < 0 Theo giả thiết: ( )( )( ) c loai ⎡ = 1 d D Oxy c D b ⎡ ⎤ = ⇔ = ⇔ ⎢ ⎯⎯→ − ⎣ ⎦ ⎣ = − , 1 1 0; ; 1 c 1    Ta có = − − = − = − (1; 1; 2 , 4;2;2 , 2; ;1 ) ( ) ( ) AB AC AD b      Suy ra , 2;6; 2 , . 6 6 ( ) ⎡ ⎤ = − ⎯⎯→⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ AB AC AB AC AD b    Cũng theo giả thiết, ta có: 1 3 ⎡ = b = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − = ⇔ ⎢⎣ = − V AB AC AD bb ABCD Chọn D. , . 1 2 6 1 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;2;0) , B(3;4;1), D(−1;3;2). Tìm tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 . ° A. C(5;9;5). B. C(1;5;3) . C. C(−3;1;1). D. C(3;7;4) . Hướng dẫn giải: Chọn D. . Cách 1. AB = (2;2;1) ⎧ = − + ⎪⎨ = + x t 1 2 Đường thẳng CD có phương trình là CD y t : 3 2 . ⎪⎩ = + z t 2 CD t t t = − − − ( 2 ; 2 ; ) Suy ra C t t t (− + + + 1 2 ;3 2 ;2 );CB t t t = − − − − (4 2 ;1 2 ; 1 ), . t t t t t t BCDt t t t t t (4 2 )( 2 ) (1 2 )( 2 ) ( 1 )( ) − − + − − + − − − Ta có  2 2 2 2 2 2 cos(4 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) =− + − + − − − + − + − (4 2 )( 2 ) (1 2 )( 2 ) ( 1 )( ) 2 − − + − − + − − −= t t t t t t Hay 2 2 2 2 2 2 − + − + − − − + − + −(1).(4 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2 t t t t t t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Lần lượt thay t bằng 3;1; 1;2 − (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C ở các phương án A, B, C, D), ta thấy t = 2 thoả (1). Cách 2.  . Suy ra Ta có AB AD = = − (2;2;1), ( 2;1;2)  và AB AD = . Theo giả thiết, suy AB CD ⊥  . Kí hiệu C a b c ( ; ; ) , ta có ra DC AB = 2 , 2 (4;4;2) AB = A B DC a b c = + − − ( 1; 3; 2) đó C(3;7; 4). . Từ D C Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B m( ;0;0), D m (0; ;0) , A n ′(0;0; ) với m n, 0 > và m n + = 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC′ . Khi đó thể tích tứ diện BDA M′ đạt giá trị lớn nhất bằng A. 245 108. B. 94. C. 6427. D. 7532. z Hướng dẫn giải: Tọa độ điểm ( ; ;0), ( ; ;; ), ; ;2n C m m C m m n M m m ⎛ ⎞ ′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D'    ( ;0; , ; ;0 , 0; ; ) ( )2n A' B' C' n m BA m n BD m m BM m ⎛ ⎞ ′ = − = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x m AO B   ( )2 DC ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ BA BD mn mn m ′, = − − − ; ; y    2 m n V BA BD BM ′ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ′ = BDA M 1, . 6 4 3 ⎛ ⎞ + + m m n Ta có 2 512 256 2 m m n m n . .(2 )3 27 27 ≤ ⎜ ⎟ = ⇒ ≤ ⎝ ⎠ ⇒ ≤ VBDA M′ Chọn C. 64 27 Câu 8: Cho ba điểm A B C (3;1;0 , 0; 1;0 , 0;0; 6 ) ( − − ) ( ) . Nếu tam giác A B C ′ ′ ′ thỏa mãn hệ thức    thì có tọa độ trọng tâm là: A A B B C C ′ ′ ′ + + = 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz A. (1;0; 2 . − ) B. (2; 3;0 . − ) C. (3; 2;0 . − ) D. (3; 2;1 . − ) Hướng dẫn giải: Chọn A * Cách diễn đạt thứ nhất: Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có:            ( ) 1 : ' ' ' 0 A A B B C C TA TA TB TB TC TC + + = ⇔ − + − + − = ( ' ' ) ( ) ( ' 0 )       ⇔ + + = + + TA TB TC TA TB TC ' ' ' 2( )     thì ta cũng có TA TB TC ' ' ' 0 + + = Hệ thức (2) chứng tỏ. Nếu T G≡ tức là TA TB TC + + = 0     hay T G≡ ' hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm. Ta có tọa độ của G là: ( ) 3 0 0 1 1 0 0 0 6 G⎛ + + − + + − ⎞ = = − ⎜ ⎟ ; ; 1;0; 2 3 3 3 ⎝ ⎠ Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của ΔA B C ' ' ' * Cách diễn đạt thứ hai:     (1) Ta có: AA BB CC ' ' ' 0 + + =           ⇔ + + + + + + + + = ( A G G G GA B G G G GB C G G G GC ' ' ' ) ( ' ' ' ) ( ' ' ' 0 )         (2) ⇔ + + + + + + = (GA GB GC A G B G C G G G ) ( ' ' ' ' ' ' 3 ' 0 ) Nếu G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa là         thì (2 ' 0 ' ) ⇔ = ⇔ ≡ G G G G GA GB GC A G B G C G + + = + + ' ' ' ' ' ' Tóm lại (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm. G⎛ + + − + + − ⎞ Ta có tọa độ của G là: ( ) 3 0 0 1 1 0 0 0 6 = = − ⎜ ⎟ ; ; 1;0; 2 ⎝ ⎠. Đó cũng là tọa độ trọng 3 3 3 tâm G’ của ΔA B C ' ' ' Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M N m n P p (3;0;0 , , ,0 , 0;0; ) ( ) ( ). Biết  0 MN MON = = 13, 60 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức 2 2 A m n p = + + 2 bằng A. 29. B. 27. C. 28. D. 30. Hướng dẫn giải:     OM ON m n OM ON m = (3;0;0 , ; ;0 . 3 ) = ⇒ = ( ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz        . 1 1 OM ON m 0 OM ON OM ONOM ON m n . . cos 60. 2 2 = ⇒ = ⇒ = 2 2 + ( )2 2 MN m n = − + = 3 13 Suy ra m n = = ± 2; 2 3    1 ⎡ ⎤ OM ON OP p V p p = ⇒ = = ⇒ = ± ⎣ ⎦ , . 6 3 6 3 3 3 6 Vậy A = + + = 2 2.12 3 29. Câu 10: Cho hình chóp S ABCD . biết A B C D (− − − 2;2;6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1;2;3 ) ( ) ( ) ( ) . Gọi H là trung điểm của CD, SH ABCD ⊥ ( ). Để khối chóp S ABCD . có thể tích bằng 272(đvtt) thì có hai điểm 1 2 S S, thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của 1 2 S S A. I (0; 1; 3 − − ). B. I (1;0;3) C. I (0;1;3) . D. I (− − 1;0; 3 .) Hướng dẫn giải:     Ta có ( ) ( )1 3 3 1; 1;2 , 1; 2;1 , AB AC ABC = − − = − ⇒ = S AB AC ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 2 2    ⇒ ABCD là hình thang và DC = − − = − − ⇒ = ( 2; 2;4 , 1; 1;2 2. ) AB ( ) DC AB 9 3 32 ABCD ABC S S = = Vì .1. 3 3 V SH S SH S ABCD = ⇒ = ABCD 3 Lại có H là trung điểm của CD H ⇒ (0;1;5)     Gọi S a b c SH a b c SH k AB AC k k k k ( ; ; ) ( ;1 ;5 ) , 3;3;3 3 ;3 ;3 ( ) ( ) ⇒ = − − − ⇒ = ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ Suy ra 2 2 2 3 3 9 9 9 1 = + + ⇒ = ± k k k k  +) Với k SH = ⇒ = ⇒ − − 1 3;3;3 3; 2;2 ( ) S ( )  +) Với k SH = − ⇒ = − − − ⇒ 1 3; 3; 3 3;4;8 ( ) S ( ) Suy ra I (0;1;3) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8), D( 5; 4;0) − − . Biết  bằng: đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB + A. 5 10. B. 6 10. C. 10 6. D. 10 5. Hướng dẫn giải: Ta có trung điểm BD là I( 1; 2;4) − − , BD =12và điểm Athuộc mặt phẳng ( ) Oxy nên A a b ( ; ;0) . 2 2 ⎧ = AB AD ⎪⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠2 2 2 2 2 ⎧⎪ − + + = + + + ( 3) 8 ( 5) ( 4) ABCD là hình vuông ⇒ 2 2 1 AI BD 2 a b a b ⇔ ⎨⎪⎩ + + + + = 2 2 2 ( 1) ( 2) 4 36 a b ⎧= a 17 ⎧ = − b a 4 2 ⇔ ⎨⎩ + + − =12 ⎧ = ⇔ ⎨⎩ =hoặc a 2 2 ⎪⎪⎨− ⎪ = 5 14 ⇒ A(1; 2; 0) hoặc 17 14 ; ;0 A⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b ( 1) (6 2 ) 20 a a b ⎪⎩ 5 5 5 (loại). Với A(1; 2;0) ⇒C( 3; 6;8) − − . Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độOxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) −,B(1; 4; 1) −, C(2; 4;3) D(2; 2; 1) −. Biết M x y z ( ; ; ), để2 2 2 2 MA MB MC MD + + + đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z + + bằng A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: 7 14 ; ;0 G⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 3 3 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MA MB MC MD MG GA GB GC GD + + + = + + + + 4 ≥2 2 2 2 GA GB GC GD + + + . Dấu bằng xảy ra khi M ≡7 14 ; ;0 7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ + + = ⎝ ⎠ . G x y z 3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax By Cz D + + + = 0 với 2 2 2 A B C + + > 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng (P Ax By Cz D ): + + + = 0 với 2 2 2 A B C + + > 0 có vec tơ pháp tuyến là  n A B C = ( ; ; .)    làm vecto pháp tuyến Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 M x y z ; ; và nhận vecto n A B C n = ( ; ; , 0 ) ≠ dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 P A x x B y y C z z : − + − + − = 0.  không cùng phương, có giá song song hoặc Nếu (P) có cặp vecto a a a a b b b b = ( 1 2 3 ; ; ; ; ; ) = ( 1 2 3 )   . nằm trên (P). Thì vecto pháp tuyến của (P) được xác định n a b = ⎡ ⎤ , ⎣ ⎦ 2. Các trường hợp riêng của mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mp ( ):Ax By Cz D + + + = 0, với 2 2 2 A B C + + > 0. Khi đó: D = 0 khi và chỉ khi ( ) đi qua gốc tọa độ. A B C D = ≠ ≠ ≠ 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi ( ) song song trục Ox. A B C D = = ≠ ≠ 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi ( ) song song mặt phẳng (Ox . y) D D D a b c x y c = − = − = −Khi đó: ( ): 1 A B C D , , , 0. ≠ Đặt , , . A B C 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng  + + = a b z Trong không gian Oxyz cho ( ): Ax By Cz D + + + = 0 và ( ' : ' ' ' ' 0 ) A x B y C z D + + + = ( ) cắt ( ')' ' AB A B ⎧ ≠ ⎪ ⇔ ≠ ⎨⎪⎩ ≠ BC B C ' ' CB C B ' ' File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz ( )// ( ')' ' AB A B ⎧ = ⎪ ⇔ = ⎨ ≠ BC B C va AD A D ' ' ' ' ⎪⎩ = CB C B ' ' AB A B ' ' ⎧ = ⎪⎪ = ⇔ ⎨= ⎪⎪⎩ = BC B C ( )≡( ') ' ' CB C B ' ' AD A D ' '   Đặt biệt: ( ) ( ) 1 2   ⊥ ⇔ = ⇔ + + = ' . 0 . ' . ' . ' 0 n n A A B B C C 4. Góc giữa hai mặt phẳng 0 0 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) 0 90 ≤ ≤  (P Ax By Cz D ): + + + = 0 và (Q A x B y C z D ): ' ' ' ' 0 + + + =   n n A A B B C C .. ' . ' . '    + + P Q ( ) 2 2 2 2 2 2 cos = cos ,. . ' ' ' n nn n A B C A B C P Q = =+ + + + P Q B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ0 ⎡ = y x y zOxyz cho điểm M (1;0;0) và ⎢⎣ − − − = 2 2 2 0 N(0;0; 1− ), mặt phẳng (P) qua điểm M N, và tạo với mặt phẳng (Q x y ): 4 0 − − = một góc bằng O 45 . Phương trình mặt phẳng (P)là A. 0 y x y z. B. 0 ⎡ = ⎢⎣ − − − = 2 2 2 0 x y z C. 2 2 2 0 ⎡ − − + = y ⎡ = x y z. ⎢⎣ − − + = 2 2 2 0 x z x y z. D. 2 2 2 0. ⎢⎣ − − − = 2 2 2 0 Hướng dẫn giải: ⎡ − + = ⎢⎣ − − = x z 2 2 2 0  2 2 2 a b c + + ≠ 0 , Q n a b c ( ) Gọi vectơ pháp tuyến của mp (P) và (Q) lần lượt là ( ; ; ) n P (P M P a x by cz ) qua 1;0;0 : 1 0 ( ) ⇒ − + + = ( ) ( ) (P) qua N(0;0; 1− ) ⇒ + = a c 0   45 ( )O2 21 0 − ⎡ = ⇒ = ⇔ = ⇔ ⎢ (P) hợp với (Q) góc O a b a cos n n cosa b a b, 452 2 2 2 P Q + ⎣ = − File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Với a c = ⇒ = 0 0 chọn b = 1 phương trình (P y ): 0 = Với a b = −2 chọn b a = − ⇒ = 1 2 phương trình mặt phẳng (P x y z ): 2 2 2 0 − − − = . Chọn A. Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho (P x y z ): 4 2 6 0 + − − = ,(Q x y z ): 2 4 6 0 − + − = . Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa giao tuyến của (P Q ),( ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C , , sao cho hình chóp O ABC . là hình chóp đều. A. x y z + + + = 6 0 . B. x y z + + − = 6 0 . C. x y z + − − = 6 0 . D. x y z + + − = 3 0 . Hướng dẫn giải: Chọn M N (6;0;0 , 2;2;2 ) ( ) thuộc giao tuyến của (P Q ),( ) Gọi A a B b C c ( ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( ) ( ) lần lượt là giao điểm của ( ) với các trục Ox Oy Oz , , x y z a b c ⇒ ( ): 1 , , 0 ( )  + + = ≠ a b c 61 ⎧= ⎪⎪ ⇒ ⎨⎪ + + = ⎪⎩ ( ) chứa M N, a 2 2 2 1 a b c Hình chóp O ABC . là hình chóp đều⇒ = = ⇒ = = OA OB OC a b c Vây phương trình x y z + + − = 6 0 . Chọn B. Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x t ⎧ = x y z − + − Δ = =−2: 21 2 2 1 1 :1 2 3 1 ⎪ Δ = − ⎨⎪⎩ = +2 2 2 ( ) : S x y z x y z + + − + − − = 2 2 6 5 0 , và mặt cầu y t z t ( )  1 2 Δ Δ, Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng và cắt mặt cầu (S)  2 365 theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng . 5 A. B. C. D. x y z x y z − − − = − − + = 5 3 4 0; 5 3 10 0 x y z − − + = 5 3 10 0 x y z − − + + = − − + − = 5 3 3 511 0; 5 3 3 511 0 x y z x y z − − − = 5 3 4 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn B. Hướng dẫn giải:  u = − (1;2; 3) + qua và có vectơ chỉ phương . Δ1 1 M (2; 1;1) − 1  u = − (1; 1;2) qua và có vectơ chỉ phương . Δ2 2 M (0;2;1) 2   1 2 Δ Δ,1 2 ⎡ ⎤ u u, (1; 5; 3) = − − ⎣ ⎦ + Mặt phẳng (α) song song với nên có vectơ pháp tuyến: ⇒ x y z D − − + = 5 3 0 Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: + Mặt cầu (S) có tâm và bán kính . I(1; 1;3) − R = 4  2 365 365 25 5  = ⇒ = Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: r r − ⎡ = − ⇒ = ⇔ ⎢⎣ = d I R r  = − =3 35 4 Khi đó: ( )2 2 35 ,( )5 D D 35 5 10 D ( ) : 5 3 4 0 (1) hay 5 3 10 0 (2)  x y z − − − = x y z − − + = + Phương trình mặt phẳng . 1 2 Δ Δ / /( ), / /( )   ( )  ⇒ Vì nên M1 và M2 không thuộc loại (1). x y z − − + = 5 3 10 0 Vậy phương trình mặt phẳng (α) cần tìm là: . Chọn B. Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A B C D (0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1 . − ) ( ) ( − ) ( ) Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A B, và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3. A. 15 4 5 1 0 x y z − − − = . B. 15 4 5 1 0 x y z + − − = . C. 15 4 5 1 0 x y z + − + = . D. 15 4 5 1 0 x y z − + + = Hướng dẫn giải: A (P) cắt cạnh CD tại E E, chia đoạn CD theoo tỷ số −3 3 1 3.0 1 x x ⎧ + + C D = = = ⎪⎪⎪ + − + − x 4 4 4 3 1 3.0 1 F N y y E y C D ⇒ = = = ⎨⎪⎪ + + 4 4 4 z z 3 0 3.1 3 C D = = = ⎪⎩ z 4 4 4 B D E   1 5 7 1 1;0;3 ; ; ; 1; 5;7 AB AE ⎛ ⎞ ( ) ( ) = = − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 4 4 4 C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Vecto pháp tuyến của    = = − − ⇒ − + − − + + − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ): , 15; 4; 5 : 0 15 1 4 1 5 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) P n AB AE P x y z ⇔ − − − = 15 4 5 1 0 x y z Chọn A. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ0 ⎡ = y ⎢⎣ − − − =Oxyz cho điểm M (1;0;0) và 2 2 2 0 x y z N (0;0; 1− ), mặt phẳng (P) qua điểm M N, và tạo với mặt phẳng (Q x y ): 4 0 − − = một góc bằng O 45 . Phương trình mặt phẳng (P)là A. 0 ⎢⎣ − − − =. B. 0 ⎡ = y 2 2 2 0 x y z C. 2 2 2 0 ⎡ − − + = ⎡ = y ⎢⎣ − − + =. 2 2 2 0 x y z ⎢⎣ − − − =. D. 2 2 2 0. x y z 2 2 2 0 x y z Hướng dẫn giải: ⎡ − + = x z ⎢⎣ − − = 2 2 2 0 x z  ( ) n Gọi vectơ pháp tuyến của mp (P) và (Q) lần lượt là n a b c P ( ; ; ) (P M P a x by cz ) qua 1;0;0 : 1 0 ( ) ⇒ − + + = ( ) ( ) (P) qua N (0;0; 1− ) ⇒ + = a c 0   2 2 2 a b c + + ≠ 0 , Q − ⎡ = ⇒ = ⇔ = ⇔ ⎢ 45 ( )O2 21 0 (P) hợp với (Q) góc O a b a , 452 2 2 2 cos n n cosa b a b P Q Với a c = ⇒ = 0 0 chọn b = 1 phương trình (P y ): 0 = + ⎣ = − Với a b = −2 chọn b a = − ⇒ = 1 2 phương trình mặt phẳng (P x y z ): 2 2 2 0 − − − = . Chọn A. Câu 6: Cho tứ giác ABCD có A B C D (0;1; 1 ; 1;1;2 ; 1; 1;0 ; 0;0;1 . − ) ( ) ( − ) ( ) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng 1. 27 A. 3 3 4 0 x z − − = . B. y z − − =1 0 . C. y z + − = 4 0 . D. 4 3 4 0 x z + + = Hướng dẫn giải: AM 31 Tỷ số thể tích hai khối AMNF và MNFBCD : AM M 1 ⇒ = ⇒ chia cạnh AB theo tỉ số −2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = AB ⎝ ⎠ 27 AB 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz 1 2.0 1 ⎧ + = = ⎪⎪⎪ + x 3 3   1 2.1 1 ; 2 0;1;1 ; 1;1;1 ( ) ( ) ⇒ = = = − ⎨ = − E y BC BD 3 ⎪⎪ + − ⎪ = = ⎩ ( ) x 2 2 10 3  Vecto pháp tuyến của (Q n ): 0;1; 1 = − ( ) 1 ⎛ ⎞ ⇒ ∈ ⇒ − + − + − − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( )( ) : 0 1 1 0 1 0 M Q Q x y z 3 ( ) ⇒ − − = P y z : 1 0 Chọn B. Câu 7: Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P OH p ),( = ); gọi    , , lần lượt là các góc tạo bởi vec tơ pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, , . Oy Oz Phương trình của (P) là: A. x y z p cos cos cos 0    + + − = . B. x y z p sin sin sin 0    + + − = . C. x y z p cos cos cos 0    + + + = . D. x y z p sin sin sin 0    + + + = Hướng dẫn giải:  H p p c OH p p c ( cos , cos , cos    ) ⇒ = ( cos , cos , cos    )  Gọi: M x y z P HM x p y p z c ( , , )∈ ⇒ = − − − ( ) ( cos , cos , cos    )   OH HM ⊥ ( ) ( ) ( )       ⇔ − + − + − x p p y p p z c p cos cos cos cos cos cos ( )    ⇔ + + − = P x y z p : cos cos cos 0 Chọn A. Câu 8: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cắt hai trục y Oy ' và z Oz ' tại A B (0, 1,0 , 0,0,1 − ) ( ) và tạo với mặt phẳng ( yOz) một góc 0 45 . A. 2 1 0 x y z − + − = . B. 2 1 0 x y z + − + = . C. 2 1 0; 2 1 0 x y z x y z + − + = − + + = . D. 2 1 0; 2 1 0 x y z x y z + − + = − + − = Hướng dẫn giải: Gọi C a( ,0,0) là giao điểm của (P) và trục x 'Ox   ⇒ = − − = − BA (0, 1, 1 ; ,0, 1 ) BC a( )    Vec tơ pháp tuyến của (P) là n BA BC a a , 1, , ( ) = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦  Vec tơ pháp tuyến của ( yOz) là: e1 = (1,0,0) 1 2 1 Gọi  là góc tạo bởi (P) và ( )0 2 yOz c a a ⇒ = = ⇔ = ⇔ = ± os45 4 2 2 1 2 2 2 + a Vậy có hai mặt phẳng (P x y z x y z x y z ): 2 1 2 1 0; 2 1 0 ± − + = ⇒ + − + = − + − = File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn D. Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 x y z x y z + + − + − − = 2 6 4 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của v = (1;6;2) ( ) : 4 11 0  x y z + + − = véc tơ , vuông góc với mặt phẳng và tiếp xúc với (S). A. 2 2 3 0 ⎡ − + − = x y z. B. 2 2 3 0 x y z ⎢⎣ − + + = 2 2 21 0 C. 2 3 0 ⎡ − + + = ⎡ − + + = x y z x y z. ⎢⎣ − + − = 2 2 21 0 x y z. D. 2 13 0 x y z ⎢⎣ − + − = 2 1 0 Hướng dẫn giải: ⎡ − + + = x y z ⎢⎣ − + − = 2 1 0 x y z 2 2 3 0 x y z − + + = 2 2 21 0 x y z − + − = Vậy: (P): hoặc (P): ( )  n = (1;4;1)  (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của là .    2 2 0 x y z m − + + = [ , (2; 1;2) ] P n n v = = − ⇒ VTPT của (P) là: ⇒ PT của (P) có dạng: . ⎡ = − ⇔ ⎢⎣ = d I P ( ,( )) 4 =21 m Vì (P) tiếp xúc với (S) nên . m 3 2 2 3 0 x y z − + + = 2 2 21 0 x y z − + − = Vậy: (P): hoặc (P): . Chọn B. Câu 10: Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu ( ) Scó phương trình 2 2 2 ( ) : ( 5) ( 3) ( 7) 72 S x y z − + + + − = và điểm B(9; 7;23) −. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua Atiếp xúc với ( ) Ssao cho khoảng  cách từ B đến ( ) P là lớn nhất. Giả sửn m n = (1; ; ) là một vectơ pháp tuyến của ( ) P . Lúc đó A. m n. 2. = B. m n. 2. = − C. m n. 4. = D. m n. 4. = − Hướng dẫn giải: Chọn D. Mặt phẳng ( ) P qua Acó dạng a x b y c z ax by cz b c ( 0) ( 8) ( 2) 0 − + − + − = ⇔ + + − − = 8 2 0 . Điều kiện tiếp xúc: 5 3 7 8 2 5 11 5 a b c b c a b c − + − − − + + + + +. (*) d I Pa b c a b c ( ;( )) 6 2 6 2 6 2 = ⇔ = ⇔ = 2 2 2 2 2 2 ( ;( ))a b c b c a b c 9 7 23 8 2 9 15 21 − + − − − + Mà 2 2 2 2 2 2 d B Pa b c a b c = = + + + + 5 11 5 4( 4 ) a b c a b c − + + − + = ≤ 2 2 2 a b c + + 2 2 2 2 2 2 5 11 5 4 1 ( 1) 4 . 4 6 2 4 18 2 a b c a b c a b c − + − + + − + + + ≤ + ≤ + = + + + + + +. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz a b c Dấu bằng xảy ra khi 1 1 4 −. Chọn a b c = = − = 1; 1; 4 thỏa mãn (*). = = Khi đó ( ) : 4 0 P x y z − + = . Suy ra m n = − = 1; 4 . Suy ra: m n. 4. = − Câu 11: Cho mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A B (3,0, 4 , 3,0, 4 ) (− ) và hợp với mặt phẳng ( xOy) một góc 0 30 và cắt y Oy ' tại C. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P). A. y z + + = 3 4 3 0 . B. y z + − = 3 4 3 0 . C. y z ± ± = 3 4 3 0 . D. x y z − − − = 3 4 3 0 Hướng dẫn giải:   C c AC c AB (0, ,0 ; 3, , 4 ; 6,0,0 ) = − − = − ( ) ( )    Vec tơ pháp tuyến của (P n AC AB c ): , 6 0, 4, ( ) = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦  Vec tơ pháp tuyến của ( xOz e ): 0,0,1 3 = ( )  cc c n 3 0 2 ( ) cos30 48 4 3 6 0,4, 4 3 = = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ± 16 2 + c 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⇒ − + − + − ± = ⇔ ± ± = P x y z y z : 3 .0 0 4 4 4 3 0 3 4 3 0 Chọn C. x t ⎧ = ⎧ = x 1 1 ⎪⎨ = Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d y 1: 0 ⎪ = ⎩ ⎪⎨ = d y t : , 2 2 ⎪⎩ = , ⎧ = x 1 z 0 z 0 ⎪⎨ = d y . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H (3;2;1) và cắt ba đường thẳng 1 d , 3 : 0 ⎪⎩ = z t 3 d lần lượt tại A, B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . d , 3 2 A. 2 2 11 0 x y z + + − = . B. x y z + + − = 6 0 . C. 2 2 9 0 x y z + − − = . D. 3 2 14 0 x y z + + − = . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi A a;0;0  , B b (1; ;0), C c (1;0; ).    . AB a b BC b c CH c AH a = − (1 ; ;0 , 0; ; , 2;2;1 , 3 ;2;1 ) = − = − = − ( ) ( ) ( ) Yêu cầu bài toán    ⎧⎡ ⎤ = AB BC CH bc c a c b a b , . 0 2 2 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎦ ⎧ + − + − − = ⎪ ⎡ =   ⎪ ⎪ ⎢ 2 3 ⎨ = ⇔ = + ⎨ ⇒ − = ⇔ ⎢ = ⎪ ⎪ AB CH a b b bb . 0 1 9 2 0 9   BC AH c b . 0 2 2 = = ⎣ ⎪ ⎩ ⎩ Nếu b = 0suy ra A B ≡ (loại). File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz b = , tọa độ11;0;0 Nếu 92 A⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, 9 B⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, C(1;0;9) . Suy ra phương trình mặt phẳng 2 ( ABC) là 2 2 11 0 x y z + + − = . 1; ;0 2 ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 3 ⎧ = x t ' Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d: và d’: y t 2 ⎪⎩ = z t 2 ⎪⎨ = + 5 ' y t ⎪⎩ = − − 2 ' 3 2 5 z t Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất. A. . B. . 3 2 7 0 x y z + + + = 3 2 7 0 x y z − − − = − + − + = 3 2 7 0 x y z 3 2 7 0 x y z + − − = C. . D. . Hướng dẫn giải: →n A B C = Ax By Cz D + + + = 02 2 2 A B C + + > 0 ( ; ; ) Giả sử (β): (đk: ), (β) có vtpt là  3 2 0 ( ) ⎧ ∈ ⎪⎨⎪⎩ = A ⎧⎪ − + = A B D ⎧⎪ = − + ⎨⎪⎩ = + D A C d ⊂ (β) ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 → → ⎨⎪⎩ − + = n a . 0 A B C 2 0 B A C 2 cos(( ),( )) cos( , )  → → A  Oyz n i =2 2 2 + + + ( 2) = A A C C ( ),( )  Oyz TH 1: A = 0 (không thoả đb hoặc không nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có: cos(( ),( ))  Oyz 1 1 = = = C C 2 2 1 (1 2) ( ) + + + 6 12 ( 3) 2. 2 ( ) C C A A2 2 + + + 1 6 12 ( 3 ) A A 3 9 C A 2 + + 3 9 ( ),( )  Oyz cos(( ),( ))  Oyz6 2 C ( 3 ) + nhỏ nhất ⇔ lớn nhất ⇔ nhỏ nhất ⇔ A 3 C 6 3 0 + = A 3 ⎪⎨⎪ = − ⎩AC1373 ⎧ = 1 (choïn) ⎧= ⎪⎪⎨⎪ = − ⎪⎩BD3 2 7 0 x y z + − − = ⇔ nên . Vậy: (β): 2 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn D. Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 x y z d− − = =−. Viết phương :1 2 1 trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d. A. (P x y z ): 2 5 4 0. + + − = B. (P x y z ): 2 5 5 0. + + − = C. (P x y z ): 2 4 0. + − − = D. (P x y ): 2 3 0. − − = Hướng dẫn giải: Cách 1 (Tự luận)  Đường thẳng d qua M(2;1;0) và có VTCP ud = − (1;2; 1)    Ta có: AB⊥d và AB⊥ Oz nên AB có VTCP là: u u k AB d , 2; 1;0 ( ) = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦    (P) chứa d và AB nên (P) đi qua M(2;1; 0), có VTPT là: n u u d AB , 1;2;5 ( ) = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⇒ (P x y z ): 2 5 4 0 + + − = ⇒ Chọn A Cách 2: Dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Đường thẳng d qua 2 điểm M(2;1;0) và N(3;3;-1) Giả sử mp(P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ⇒ ( ): 1 x y z Pa b c + + =  (1) AB⊥d . 0 2 ⇒ = ⇒ = AB u a b d (P) chứa d nên d cũng đi qua M, N ⇒2 1 1 + = (2), 3 3 1 1 − a b + + = (3) a b c Từ (1), (2), (3) ⇒ a = 4, b = 2, c = 45⇒ (P x y z ): 2 5 4 0 + + − = ⇒ Chọn A        x t Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng và mp d y t : 1 2    z t 2 P x y z : 2 2 2 0     R P . Viết phương trình mặt phẳng qua d và tạo với một góc nhỏ nhất. x y z    3 0 x y z    3 0 A. B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z    3 0 x y z    3 0 C. D. Hướng dẫn giải:     x y 1      1 2 2 1 0 x y Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: .         2 2 0 x z x z     R R 1 1 Do vậy mặt phẳng qua d thì thuộc chùm mặt phẳng: 2 1 x y m x z        2 0  . R 2      m x y mz m  1 2 0 R Hay mp : (*). Mp có   n m m n 1       2;1; ; 2; 1; 2  P   . Vậy:        n n m m . 2 2 1 2 5 5 1 5 1 P      cos3 2 4 5 3 3 3 2 1 4 1 4 2 1 3  2 2 2 2 n n m m m m m          1     P  cos m 1 Do nhỏ nhất cho nên lớn nhất khi . R x y z : 3 0     Vậy thay vào (*) ta có mp . Chọn B. ⎧ = + ⎪⎨ = − x t ⎧ = − ′ x t 2 d y t : 1 ⎪⎨ = d y 2 2 Câu 16: Cho hai đường thẳng 1 d và 2 ⎪⎩ = z t 2 và 2 : 3 ⎪ = ′ ⎩ z t . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng 1 d có phương trình là A. x y z + + + = 5 2 12 0. B. x y z + − + = 5 2 12 0. C. x y z − + − = 5 2 12 0. D. x y z + + − = 5 2 12 0. A Hướng dẫn giải: M Chọn D. u = − 1; 1;2 ; B d qua A(2;1;0) và có VTCP là ( ) 1 P 1 u = −2;0;1 . d qua B(2;3;0) và có VTCP là ( ) 2 2 , suy ra [u u AB 1 2 , . 10 ] = −  ; AB = (0;2;0) Có [ ] ( ) 1 2 u u, 1; 5; 2 = − − −    , nên 1 2 d d; là chéo nhau. Vậy mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng 1 2 d d, là đường thẳng song song với1 2 d d, và đi qua trung điểm I (2;2;0) của đoạn thẳng AB . Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần lập là: x y z + + − = 5 2 12 0 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 1 2 d d, lần lượt có phương trình x y z d− − − 2 2 3 = = , 21 2 1 x y z d− − − −. Phương trình mặt phẳng ( ) cách đều :2 1 3 1 = = :2 1 4 hai đường thẳng 1 2 d d, là: A. 7 2 4 0 x y z − − = . B. 7 2 4 3 0 x y z − − + = . C. 2 3 3 0 x y z + + + = . D. 14 4 8 3 0 x y z − − + = . Hướng dẫn giải: , 2  d đi qua A(2;2;3) và có ( ) 12;1;3 d d đi qua B(1;2;1) và có ( ) 22; 1;4 d Ta có 1 u = u = −   ; ( ) ( ) 1;1; 2 ; ; 7; 2; 4 AB d d = − − ⎡ ⎤ u u = − − ⎣ ⎦ 1 2    nên 1 2 d d, chéo nhau. ; 1 0 d d ⇒ ⎡ ⎤ u u AB = − ≠ ⎣ ⎦ 1 2    Do ( ) cách đều 1 2 d d, nên ( ) song song với 1 2 d d, ( ) ; 7; 2; 4 d d ⇒ = = − − n u u ⎡ ⎤ ⎣ ⎦  ⇒ ( ) có dạng 7 2 4 0 x y z d − − + = 1 2 Theo giả thiết thì d A d B ( , , (  )) = ( ( ))2 1 3 − − ⇔ = ⇔ = d dd 69 69 2 ⇒ − − + = ( ):14 4 8 3 0 x y z (P) Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng song song và cách x z y d−= = 2 đều hai đường thẳng và d− − x z y 1 2 = = :1 1 1 1 −2 : . 2 1 1 − − ( ) : 2 2 1 0 xP z − + = ( ) : 2 2 1 0 yP z − + = A. . B. . ( ) : 2 2 1 0 xP y − + = ( ) : 2 2 1 0 yP z − − = C. . D. . Hướng dẫn giải:  d A(2;0; 0) u1= −( 1;1;1) Ta có: đi qua điểm và có VTCP . 1 (P) d B(0;1; 2) u2= − − (2; 1; 1 .) và đi qua điểm và có VTCP Vì song songvới hai đường 2    d (P) n u u = ⎡ ⎤ = − 1 2 , 0;1; 1 ( ) ⎣ ⎦ d 2 thẳng và nên VTPT của là 1 (P) y z D − + = 0 ⇒ Khi đó có dạng loại đáp án A và C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz (P) 1 M⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠AB d (P)1 Lại có cách đều và nên đi qua trung điểm của . Do đó (P): 2 2 1 0 y − + = z Chọn B. d 2 0; ;1 2 Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P x z ):5 4 0 − − = và hai đường thẳng 1 2 d d; lần lượt có phương trình 1 1 1 2 1 x y z x y z − + − − + −Viết phương trình của mặt = = = = ; . 1 1 2 2 1 1 phẳng (Q P ) / / , ( ) theo thứ tự cắt 1 2 d d, tại A B, sao cho 4 5. AB = 3 25 331 25 331 : 5 0; : 5 0 Q x z Q x z − + − − A. ( 1 ) ( 2 ) − + = − + = . 7 7 B. ( ) ( ) 1 2 Q x z Q x z :5 2 0; :55 11 14 0 − − = + + = . C. ( ) ( ) 1 2 Q x z Q x z : 5 2 0; : 55 11 14 0 − − − = − − + = . D. ( ) ( ) 1 2 Q x z Q x z :5 4 0; :55 11 7 0 − − = − + = Hướng dẫn giải: ⎧ = + = + ⎧ x t x t 1 1 2 ' ⎪ ⎪ ( ) d y t d y t Q x z d d : , : 2 ' ; :5 0, 4 ⎨ = − ⎨ = + − + = ≠ − 1 2 ⎪ ⎪ = − + = − + ⎩ ⎩ z t z t 1 2 1 ' d d d d d d Q d A Q d B ⎛ − − + − − ⎞ ⎛ − − − + ⎞ ∩ = ⎜ ⎟ ∩ = ⎜ ⎟ 3 6 15 2 3 2 12 30 5 ( ) ( ) ; ; , ; ; 1 2 3 3 3 9 9 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  d d d AB d d d ⎛ + − − + ⎞ 6 6 4 30 5 1 Suy ra ( ) = = + − − + ⎜ ⎟ ; ; 6 ; 6 4 ;30 5 9 9 9 9 ⎝ ⎠ 4 5 1 2 2 2 Do (( ) ( ) ( ) ) AB = ⇒ + + − − + + d d d 3 8 6 6 4 30 5 ⎡ − + ⎢ = d 25 331 80 7 2 = ⇔ + + = ⇔ ⎢⎢ − − ⎢ = 42 300 252 0 d d 9 25 331 ⎣ d 7 Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn: Q x z Q x z − + − − 25 331 25 331 : 5 0; : 5 0 ( 1 ) ( 2 ) − + = − + = 7 7 Chọn A. Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d : x y z + + 3 1 = =− 2 1 1 . Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P)là lớn nhất. Khi đó (P) có một véctơ pháp tuyến là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz n = − ( ; ; ) 4 5 13 n = − ( ; ; ) 4 5 13 n = −( ; ; ) 4 5 13  n = ( ; ; ) 4 5 13 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Gọi H,K lần lươt là hình chiếu vuông góc của A lên d và (P) Khi đó: d(A,(P)) = AK AH hay d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi ≤ H K≡  4   AH a t . = ⇔ = H t t t a ( ; ; ); ( ; ; ) − + − + − = − 3 2 1 2 1 1 Ta có: và 03  4 5 13 Suy ra: AH = − − − ( ; ; ) 3 3 3  Hay một véctơ pháp tuyến của (P) là Chọn A. n = ( ; ; ) 4 5 13 Oxyz 11 2 x y z d− + Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và = =− :1 2 1 x y z d+ − 2 1 −( ) P 1 d = = :2 1 2 2 . Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho góc giữa mặt ( ) P 2 d phẳng và đường thẳng là lớn nhất. A. x y z + + + = 6 0 . B. 7 5 9 0 x y z − + − = . C. x y z + − − = 6 0 . D. x y z + + − = 3 0 . Hướng dẫn giải:  d M(1; 2;0) − VTCPu = − (1;2; 1) Ta có: đi qua và có . 1 ( ) P2 2 2 A x B y Cz A B C ( 1) ( 2) 0,( − + + + = + + ≠ 0) Phương trình mặt phẳng có dạng: .   Ta có: d P u n C A B ⊂ ⇔ = ⇔ = + ( ) . 0 2 4 3 1 (4 3 ) (( ), ) sin . A B A B P d Gọi  + + 2 = ⇒ = = Với 2 2 2 2 2 3 2 4 5 3 2 4 5 A AB B A AB B + + + + B = 02 2 sin3 ⇒ =  2 1 (4 3) sin .3 2 4 5 + B ≠ 0A Với . Đặt , ta được tB = 2 (4 3) ( )2 4 5 t =+ + 2 t t 2 t + t t f tt t 16 124 84 '( )(2 4 5) f tt t =+ + Xét hàm số . Ta có: 2 + + =+ +2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz f t ⎡= − ⎢ = ⇔ ⎢⎢⎣ = − t 3 '( ) 0 4 t 7 25 max ( )3 A Dựa vào BBT ta có: khi f t = t = −7 7 ⇔ = − B 5 3 sin ( 7)9 Khi đó:  = − = f 5 3 sin9 A  = 7 B= − ⇒ ( ) : 7 5 9 0 P x y z − + − = Vậy khi Phương trình mặt phẳng Chọn B. Oxyz, M(1; 2; 1 . − ) Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Viết phương trình mặt phẳng ( ) O(0;0; 0) M đi qua gốc tọa độ và cách một khoảng lớn nhất. x z y A. B. C. D. x y z + − = 2 0. 1. −x y z − − = 0. x y z + + − = 2 0. + + = 1 2 1 Hướng dẫn giải: H M ( ) P ⇒ ΔMHO H ⇒ ≤ MH MO Gọi là hình chiếu của trên vuông tại  ⇒ MHmax = MO ( ) P M MO ⇒ − MO(1;2; 1) . Khi đó đi qua và vuông góc với là vecto pháp tuyến của phương trình của mặt phẳng là ( ) P ⇒ ( ) P 1( 0) 2( 0) 1( 0) 0 x y z − + − − − = hay x y z + − = 2 0. Chọn A. Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 11 2 x y z d− + = =−và :1 2 1 x y z d+ − 2 1 −. Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 = = :2 1 2 2 d sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và d là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: đường thẳng 2 . A. (P) có vectơ pháp tuyến là n = − (1; 1;2) B. (P) qua điểm A(0;2;0) . C. (P) song song với mặt phẳng (Q x y z ): 7 5 3 0 − + − = . d tại điểm B(2; 1;4 − ) . D. (P) cắt 2 Hướng dẫn giải: . Vì ( ) 1 d qua M (1; 2;0 − ) và có VTCP u = − (1;2; 1) 1 d P ⊂ nên M P ∈( ) . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 2 2 A x B y Cz A B C − + + + = + + ≠ 1 2 0 0 . Pt mặt phẳng (P) có dạng: ( ) ( ) ( )  . Ta có: d P u n C A B 1 ⊂ ⇒ = ⇒ = + ( ) . 0 2 Gọi (() )( )2 A B A B 4 3 1 4 3 + +   . = ⇒ = = P dA AB B A AB B , sin3 2 4 5 3 2 4 5 2 2 2 2 2 + + + + TH1: Với B = 0 thì 2 2 sin3  = . = , ta được: ( )2 1 4 3 t + TH2: Với B ≠ 0 . Đặt A tB Xét hàm số ( )( )2 4 3  . sin3 2 4 5 =+ + 2 t t t + =+ +. Dựa vào bảng biến thiên ta có: ( )25 f tt t 2 2 4 5 A khi 7 B= − . f x = khi t = −7 max7 Khi đó ( )5 3 sin 79  = − = f . So sánh TH1 và TH2 ⇒  lớn nhất với 5 3 sin9 A  = khi 7 B= − . Vậy phương trình mặt phẳng (P x y z ): 7 5 9 0 − + − = . Chọn B. Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A B (1;1;1 , 2;0;2 ) ( ), C D (− − 1; 1;0 , 0;3;4 ) ( ) . Trên các cạnh AB AC AD , , lần lượt lấy các điểm B C D ', ', ' thỏa: AB AC AD + + = . Viết phương trình mặt phẳng (B C D ' ' ') biết tứ diện AB C D ' ' ' có AB AC AD ' ' ' thể tích nhỏ nhất? 4 A. 16 40 44 39 0 x y z + − + = . B. 16 40 44 39 0 x y z + + − = . C. 16 40 44 39 0 x y z − − + = . D. 16 40 44 39 0 x y z − − − = . Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức AM GM − ta có: 3. . 4 3 AB AC AD AB AC AD = + + ≥ AB AC AD AB AC AD ' ' ' '. '. ' ⇒ ≥ ⇒ ' ' ' '. '. ' 27 AB AC AD V AB AC AD '. '. ' 27 AB C D = ≥ ' ' '2764 AB AC AD . . 64 V AB AC AD . . 64 ABCD ⇒ ≥ V V AB C D ABCD File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz   = = =3 7 1 7 ' ' ; ; Để VAB C D ' ' ' nhỏ nhất khi và chỉ khi ' ' ' 34 AB AC AD AB AC AD AB AB B ⎛ ⎞ ⇒ = ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 4 4 4 Lúc đó mặt phẳng (B C D ' ' ') song song với mặt phẳng (BCD) và đi qua 7 1 7 ' ; ; B⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 4 4 ⇒ (B C D x y z ' ' ' :16 40 44 39 0 ) + − + = . Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B ,C ( khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng ( ) có phương trình là: x y z A. x y z + + − = 2 3 14 0 . B. 1 0 + + − = . 1 2 3 C. 3 2 10 0 x y z + + − = . D. x y z + + + = 2 3 14 0 . Hướng dẫn giải: Cách 1:Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , K là hình chiếu vuông góc B trên AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M BK CH = ∩ AB CHAB COH AB OM ⊥ ⎫⎬ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: ( ) (1) AB CO ⊥ ⎭ (1) Chứng minh tương tự, ta có: AC OM ⊥ (2). Từ (1) và (2), ta có: OM ABC ⊥ ( ) . Ta có: OM (1;2;3) y C B z O M K H A x nên có phương trình Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1;2;3) và có một VTPT là OM (1;2;3) là: ( x y z x y z − + − + − = ⇔ + + − = 1 2 2 3 3 0 2 3 14 0 ) ( ) ( ) . Cách 2: +) Do A B C , , lần lượt thuộc các trục Ox Oy Oz , , nên A a B b C c ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( a b c , , 0 ≠ ). x y z Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ( ) ABC là: 1 + + = . a b c File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz +) Do M là trực tâm tam giác ABC nên   ⎧ = AM BC . 0  . Giải hệ điều kiện trên ta được a b c , , ⎪⎪⎨ = . 0 BM AC ⎪ ∈ ⎪⎩ M ABC ( ) Vậy phương trình mặt phẳng: x y z + + − = 2 3 14 0 . x y z + − + = 2 5 0 Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường thẳng x y z d1 1 3 + + − = = :2 1 1 . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là (P y z ): 4 0 − + = (P z ): x 4 0 − + = A. B. (P y z ): x 4 0 + − + = (P y z ): 4 0 − − = C. D. Hướng dẫn giải: ax by cz d a b c 2 2 2 + + + = + + ≠ 0 ( 0) a = (( ),( )) P Q PT mặt phẳng (P) có dạng: . Gọi . ⎧ ⎧ ∈ = − − ⎨ ⎨ ⇒ M N d ( 1; 1;3), (1; 0;4) − − ∈M P c a b Chọn hai điểm . Ta có: ( ) ⎩ ⎩ ∈ = + N P d a b ( ) 7 4 ax by a b z a b + + − − + + = ( 2 ) 7 4 0 a b + 3 cos .6 5 4 2 = ⇒ (P): ⇒ 3 3 b a ab b 2 2 + +  = =0 cos .6 2 a = 30 TH1: Nếu a = 0 thì ⇒ .  2 1 3 b2 + b a b = f x 2 cos .6 = xa ( ) cos =  TH2: Nếu a ≠ 0 thì . Đặt và 2 ⎛ ⎞ b b + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 4 2 a a 2 x x f xx x 9 2 1 ( ) .6 5 4 2 + + =+ + Xét hàm số . 2 Dựa vào BBT, ta thấy f x 0 0 min ( ) 0 cos 0 90 30 = ⇔ = ⇔ = >  a b c d = = = 1, 1, 4 Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn . y z − + = 4 0 Vậy: (P): . Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(3;0;2), B(3;0;2) và mặt cầu 2 2 2 x y z + + + − = ( 2) ( 1) 25 . Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A, B và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là: A. 4 5 17 0 x y z − − + = . B. 3 2 7 0 x y z − + − = . C. 4 5 13 0 x y z − + − = . D. 3 2 –11 0 x y z + + = . Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S ) có tâm I (0; 2;1 − ) , bán kính R = 5 . Do IA = < 17 R nên AB luôn cắt (S) . Do đó ( )  luôn cắt (S ) theo đường tròn (C) có bán kính ( ( ( )))2 2 r R d I = − ,  . Đề bán kính r nhỏ nhất ⇔ d I P ( ,( )) lớn nhất. Mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp ( ABC). , AC ( 2; 3; 2) = − − − Ta có AB (1; 1; 1) = − −    suy ra ( ABC) có véctơ pháp tuyến n AB AC = = − − ⎡ ⎤ , ( 1;4; 5) ⎣ ⎦    (α) có véctơ pháp tuyến n n AB = = − − − = − ⎡ ⎤ , ( 9 6; 3) 3(3;2;1) ⎣ ⎦  Phương trình ( ): 3 – 2 2 –1 1 – 3 0 3 2 –11 0 ( x y z ) + + = ⇔ + + = ( ) ( ) x y z . Câu 28: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho (P x y z ): 4 2 6 0 + − − = ,(Q x y z ): 2 4 6 0 − + − = . Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa giao tuyến của (P Q ),( ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C , , sao cho hình chóp O ABC . là hình chóp đều. A. x y z + + + = 6 0 . B. x y z + + − = 6 0 . C. x y z + − − = 6 0 . D. x y z + + − =3 0 . Hướng dẫn giải: Chọn M N (6;0;0 , 2;2;2 ) ( ) thuộc giao tuyến của (P Q ),( ) Gọi A a B b C c ( ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( ) ( ) lần lượt là giao điểm của ( ) với các trục Ox Oy Oz , , x y z a b c ⇒ ( ): 1 , , 0 ( )  + + = ≠ a b c 61 ⎧= ⎪⎪ ⇒ ⎨⎪ + + = ⎪⎩ ( ) chứa M N, a 2 2 2 1 a b c File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Hình chóp O ABC . là hình chóp đều⇒ = = ⇒ = = OA OB OC a b c Vây phương trình x y z + + − = 6 0 . Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N (1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục Ox Oy Oz , , lần lượt tại A B C , , (không trùng với gốc tọa độO) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A. (P x y z ): 3 0 + + − = . B. (P x y z ): 1 0 + − + = . C. (P x y z ): 1 0 − − + = . D. (P x y z ): 2 4 0 + + − = . Hướng dẫn giải: Gọi A a B b C c ( ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( ) ( ) lần lượt là giao điểm của (P) với các trục Ox Oy Oz , , ⇒ ( ): 1 , , 0 ( ) x y z P a b c + + = ≠ a b c ( )1 1 1 1 ⎧+ + = ∈⎧ ⎪ N P a b c Ta có: ⎪ ⎪ ⎨ = ⇔ − = − ⇔ = = = ⇒ + + − = ⎨ NA NB a b a b c x y z 1 1 3 3 0 ⎪ ⎪ = − = − ⎩ ⎪⎩ NA NC a c 1 1 Câu 30: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M (1;2;3) và cắt ba tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất? A. 6 3 2 18 0 x y z + + + = . B. 6 3 3 21 0 x y z + + − = . C. 6 3 3 21 0 x y z + + + = . D. 6 3 2 18 0 x y z + + − = . Hướng dẫn giải: Giả sử A a B b C c a b c ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( , , 0) > x y z (ABC): 1 + + = (1) a b c M(1;2;3) thuộc (ABC): 1 2 3 1 + + = . a b c Thể tích tứ diện OABC: 16 V abc = 1 2 3 6 27.6 1 1 3 1 27 27 = + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Áp dụng BDT Côsi ta có: 3 a b c abc abc 6abc V ⎧ = a 3 Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 3 1 27 6 ⎪ ⇔ = ⇔ = = = ⇔ = ⎨⎪⎩ = V b a b cc 39 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Vậy (ABC): 6 3 2 18 0 x y z + + − = . Chọn (D) Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độOxyz cho điểm E(8;1;1) .Viết phương trình mặt phẳng ( )  qua E và cắt nửa trục dương Ox Oy Oz , , lần lượt tại A B C , , sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC . A. x y z + + − = 2 11 0 . B. 8 66=0 x y z + + − . C. 2 18 0 x y z + + − = . D. x y z + + − = 2 2 12 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1 : Với đáp án A: 11 11 11 11 121 2 A ⇒ G ⇒ = (11;0;0);B(0;11;0);C(0;0; ) ( ; ; ) OG 2 3 3 6 4 Với đáp án B: 33 11 2 15609 ( ;0;0);B(0;66;0);C(0;0;66) ( ;22;22) OG A ⇒ G ⇒ = 4 4 16 Với đáp án C: 18 18 2 A ⇒ G ⇒ = (9;0;0);B(0;18;0);C(0;0;18) (3; ; ) OG 81 3 3 Với đáp án D: 2 A( 12;0;0);B(0;6;0);C(0;0;6) ( 4;2;2) OG 24 − ⇒ − ⇒ = G Cách 2 : Gọi A a B b C c ( ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( ) ( ) với a b c , , 0 > . Theo đề bài ta có :8 1 1 1 + + = . Cần tìm a b c giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 a b c + + . 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) a b c + + + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + + 4 1 1 .2 .1 .1 6. a b c a b c a b c 2 Mặt khác 2 2 2 ( )( ) ( ) a b c a b c + + + + ≥ + + 4 1 1 .2 .1 .1 8 1 1 2 ⎛ ⎞ ≥ + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) a b ca b c 2 ( ) ≥ + + = 4 1 1 36 Suy ra 2 2 2 3 a b c + + ≥ 6 . Dấu '' '' = xảy ra khi 22 2 2 2 . a= = ⇒ = = b c a b c 4 Vậy 2 2 2 a b c + + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a b c = = = 12, 6 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z Vậy phương trình mặt phẳng là : 1 + + = hay x y z + + − = 2 2 12 0 . 12 6 6 Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A B ( ) ( ) 2;1;6 , 1; 2; 4 và I(1;3;2 .) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A B, sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất. A. 3 7 6 35 0 x y z + + − = . B. 7 5 9 0 x y z − + − = . C. x y z + − − = 6 0 . D. x y z + + − = 3 0 . Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 2 IA = + + = 3 2 4 29 và 2 2 2 IB = + + = 0 5 2 29 . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, vì IA=IB nên IM⊥ AB, ta có 1 1; ;5 ; ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M942 2 2 IM = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P): Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH > . Gọi M là trung điểm của cạnh CC′ . Giá trị của tỉ sốabđể hai mặt phẳng ( ) A BD ′và (MBD) vuông góc với nhau là: A. 13. B. 12. C. −1. D. 1. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz   Ta có ( ; ;0 ' ; ; ; ; ) ( )2b AB DC C a a C a a b M a a ⎛ ⎞ = ⇒ ⇒ ⇒ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Cách 1. ; BD a a = −( ; ;0) và A B a b ' ;0; = − ( ) Ta có 0; ;2b MB a ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠    và ( ) ab ab u MB BD a ⎛ ⎞ Ta có 2 = = − ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ; ; ; 2 2 là VTPT của ( A BD ' ) Chọn v = (1;1;1)   2 2 2 ⎡ ⎤ BD A; 'B = −a ; ; a a ⎣ ⎦ − −   ab ab a ( ) ( )2 A BD MBD u v a a bb ' . 0 0 1 ⊥ ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ = 2 2 Cách 2. A B A D A X BD ' ' ' ⎧ = ⎧ ⊥ ⎩ = ⎩ ⊥với X là trung điểm BD AB AD BC CD aMB MD MX BD = = = = ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ (A BD MBD A X MX ' ;) ( ) (' ; ) ⇒ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ a a X⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ là trung điểm BD ; ;0 2 2 , ; ; a a A X b ⎛ ⎞ ' ; ; = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2  a a b MX ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ ( A BD MBD A X MX ' ) ⊥ ⇒ ⊥ ( ) '  2 2 20 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a a b a ⇒ − − + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⇒ = A X MX ' . 0 2 2 2 ⇒ = b Oxyz, A B C (1;0;1 ; 3; 2;0 ; 1;2; 2 ) ( − − ) ( ) Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm . (P) A B C (P) Gọi là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến lớn nhất (P) BC (P) biết rằng không cắt đoạn . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ? 2; 0; 3 . G(− ) F (3; 0; 2 . − ) 1;3;1 . E( ) 0;3;1 H ( )A. B. C. D. . Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz I BC Gọi là trung điểm đoạn ; các điểm lần lượt là hình chiếu của B C I ′ ′ , , ′ B C I , , (P) trên . BCC B′ ′ II′ Ta có tứ giác là hình thang và là đường trung bình. ⇒ + = + = d B P d C P BB CC II ( , , ( )) ( ( )) ′ ′ 2 .′ II IA ′ ≤ IA Mà (với không đổi) d B P d C P ( , , ( )) + ( ( )) Do vậy, lớn nhất khi I A ′ ≡ B P B' A I C I' C' ⇒ (P) A IAI (2;0; 1 . − ) đi qua và vuông góc với ⇒ − + − = ⇒ ∈ (P x z E P ): 2 1 0 1;3;1 . ( ) ( ) Oxyz, A B b C c (1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( ) ( ) Câu 53: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho các điểm b c, (P y z ): 1 0 − + = mp ABC ( ) trong đó dương và mặt phẳng . Biết rằng vuông góc với mp P( ) ( ( ))1 và , mệnh đề nào sau đây đúng? d O ABC = ,3 A. B. C. D. b c + =1. 2 1. b c + = b c − = 3 1. 3 3. b c + = Hướng dẫn giải: x y z ABC) 1 Ta có phương trình mp( là 1 + + = b c ( ) ( )1 1 ABC P 0 (1) b c ⊥ ⇒ − = ⇒ = b c 1 1 1 1 1 Ta có ( ( )) 2 2 d O ABCb c = ⇔ = ⇔ + = , 8(2) 3 1 1 3 1 + + 2 2 b c 11 ⇒ = = ⇒ + = b c b c Từ (1) và (2) . 2 Câu 54: Cho hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB D BC D ′ ′ ′ ) và ( ). A. 3. 3B. 3. C. 3. 2D. 2.3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D 0;0;0 2;0;0 2;2;0 0;2;0 A B C D ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;2 2;0;2 2;2;2 0;2;2   ( ) ( ) ′ = ′ = AB AD 2;0;2 , 0;2;2 ,   ( ) ( ) = − ′ = 2;2;0 , 0;2;2 BD BC A' D' C' B' A * Mặt phẳng ( AB D′ ′) qua A(0;0;0) và nhận véctơ D   làm véctơ pháp tuyến. 1, 1; 1;1 B n AB AD = ⎡ ⎤ ′ ′ = − − ⎣ ⎦ 4 ( ) C Phương trình ( AB D′ ′) là: x y z + − = 0.   làm véctơ 1, 1;1; 1 m BD BC = ⎡ ⎤′ = − ⎣ ⎦ * Mặt phẳng (BC D′ ) qua B(2;0;0) và nhận véctơ ( ) 4 pháp tuyến. Phương trình (BC D′ ) là: x y z + − − = 2 0. Suy ra hai mặt phẳng ( AB D′ ′) và (BC D′ ) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BC D′ ) : ( ( ))2 2 3 d A BC D′ = = , . 3 3 Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm (( ) ( ))1 1 2 3 d AB D BC D AC ′ ′ ′ ′ = = = , .2 3 . 3 3 3 Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A B C (5;5;0 , 1;2;3 , 3;5; 1 ) ( ) ( − ) và mặt phẳng (P y z ): x 5 0 + + + =.Tính thể tích V của khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng (P) và SA SB SC = = . A. 1456 V = . B. V =145. C. 456 V = . D. 1273 V = . Hướng dẫn giải: Gọi S a b c P a b c ( ; ; )∈ => + + + = ( ) 5 0 1( ) . 2 2 2 Ta có: ( ) ( ) AS a b c = − + − + 5 5 , 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BS a b c CS a b c = − + − + − = − + − + + 1 2 3 , 3 5 1 ⎧− + − + − = − + − + + ⎪ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c SA SB SC 1 2 3 3 5 1 = = ⇔ ⎨⎪ − + − + = − + − + + ⎩ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c 5 5 3 5 1 Do 4 6 8 21 0 a b c ⎧ + − − = ⇔ ⎨⎩ + − = a c 4 2 15 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz ⎧⎪ = a 6 ⎧ + − − = ⎪ a b c Ta có hệ: 4 6 8 21 023 13 9 4 2 15 0 6; ; ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎨ + − = ⇔ = − ⇒ = − − ⎨ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ a c b S . Lại có: + + + = ⎩ ⎪= − ⎪⎩ 2 2 2 a b c 5 0 9 c 2   AB AC (− − − − 4; 3;3 , 2;0; 1 ) ( )       23 9 145 3; 10; 6 ; 1; ; 145 ⎛ ⎞ ( ) ( ) . => ∧ = − − = − − => ∧ = => = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ AB AC AS AB AC AS VS ABC 2 2 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) và có vec tơ chỉ phương ⎧ = + x x a t   :0 1 a a a a a = ( 1 2 3 ; ; , 0 ) ≠ ⎪⎨ = + y y a t 0 2 ⎪ = + ⎩ z z a t 0 3 Nếu 1 2 3 a a a ; ; đều khác không. Phương trình đường thẳng Δ viết dưới dạng chính tắc như sau: x x y y z z − − − 0 0 0 = = a a a 1 2 3 ⎧ + + + = ⎨⎩ + + + = A x B y C z D 0 Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1 A x B y C z D 0 2 2 2 2 với 1 1 1 2 2 2 ∀A B C A B C , , , , , thỏa 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 1 1 1 + + > + + > 0, 2 2 2 0. 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao 1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ⎧ = + ⎧ = + x x a t x x a t ' ' ' 0 1 0 1 ⎪ ⎪ ⎨ = + ⎨ = + d y y a t d y y a t : ; ': ' ' ' 0 2 0 2 ⎪ ⎪ = + = + ⎩ ⎩ z z a t z z a t ' ' ' 0 3 0 3 Vtcp uđi qua M0và d ' có vtcp u'đi qua 0 M '   u u, ' cùng phương:     ⎧⎪ = ⎧⎪ = ⇔ ⎨ ≡ ⇔ ⎨ u ku u ku d d d d ' ' / / ' ; ' M d M d ⎪⎩ ∉ ⎪⎩ ∈ ' ' 0 0   u u, ' không cùng phương: ⎧ + = + x a t x a t ' ' ' 0 1 0 1 ⎪⎨ + = + ( ) y a t y a t I ' ' ' 0 2 0 2 ⎪ + = + ⎩ z a t y a t ' ' ' 0 3 0 3 d chéo d’ ⇔ hệ phương trình (1) vô nghiệm d cắt d’ ⇔ hệ phương trình (1) có 1 nghiệm 1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ⎧ = + ⎧ = + x x a t x x a t ' ' ' 0 1 0 1 ⎪ ⎪ ⎨ = + ⎨ = + d y y a t d y y a t : ; ': ' ' ' 0 2 0 2 ⎪ ⎪ = + = + ⎩ ⎩ z z a t z z a t ' ' ' 0 3 0 3 Vtcp uđi qua M0và d ' có vtcp u'đi qua 0 M '    ⎧⎪⎡ ⎤ = ⇔ ⎣ ⎦ ⎨⎪⎩ ∉ u u , ' 0 ( ) ( ) d d / / ' M d ' 0    ⎧⎪⎡ ⎤ = u u , ' 0 ⎣ ⎦ ≡ ⇔ ⎨⎪⎩ ∈ ( ) ( ) d d ' M d ' 0    ⎧⎡ ⎤ ≠ u u , ' 0 ⎪⎣ ⎦ ⇔ ⎨⎪⎡ ⎤ = ( ) ( ) d c d at '    u u MM , ' . 0 ⎩⎣ ⎦ 0    ( ) ( ) 0 d cheo d u u MM ' , ' . 0 ⇔ ⎡ ⎤ ≠ ⎣ ⎦ 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp 1 Phương pháp 2 Trong không gian Oxyz cho: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d và qua M x y z ( 0 0 0 ; ; ) có vtcp: a a a a = ( 1 2 3 ; ; ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz  ⎧ = + x x a t 0 1 ⎪⎨ = + ( ):Ax+By+Cz+D=0 và d y y a t : 0 2 ⎪ = + ⎩ z z a t 0 3 Pt: A x a t B y a t C z a t D ( 0 1 + + + + + + = ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) 0 1( ) Phương trình (1)vô nghiệm thì d / /( ) Phương trình (1)có 1 nghiệm thì d cắt ( ) Phương trình (1)có vô số nghiệm thì d ∈( ) Đặc biệt: d a n ⊥ ⇔ ( ) , cùng phương ( ):Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n A B C = ( ; ; )   (d )cắt ( ) ⇔ ≠ a n. 0   ⎧⎪ = ⇔ ⎨⎪⎩ ∉ / /a n . 0 ( ) ( )( )  dM    ⎧⎪ = ⇔ ⎨⎪⎩ ∈ a n. 0 (d )nằm trên mp ( )( ) M  4. Khoảng cách Khoảng cách từ M x y z ( 0 0 0 ; ; ) đến mặt phẳng ( ):Ax+By+Cz+D=0 cho bởi công thức ,By Cz D + + + Ax ( )0 0 0 d MA B C =+ + 02 2 2 Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d ) Phương pháp 1: Lập ptmp ( ) đi qua M và vuông góc với d. Tìm tọa độ giao điểm H của mp ( ) và d d M d MH ( , ) = Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1:  d đi qua M x y z ( 0 0 0 ; ; ); có vtpt a a a a = ( 1 2 3 ; ; ) d ' đi qua M x y z ' '; '; ' ( 0 0 0 ); vtpt  a a a a ' '; '; ' = ( 1 2 3 ) Lập phương trình mp ( ) chứa d và song song với d’: d d d d M ( , ' ', ) = ( ( )) Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d ) Phương pháp 2: ( d đi qua M0có vtcp u) ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Δ =  M M u ( )0, d Mu ,  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2:  d đi qua M x y z ( 0 0 0 ; ; ); có vtpt a a a a = ( 1 2 3 ; ; )  d ' đi qua M x y z ' '; '; ' ( 0 0 0 ); vtpt a a a a ' '; '; ' = ( 1 2 3 )    ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Δ Δ = = ( ), ' . ' a a MM V , ', 'hop da a S   ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ day 5. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng  (Δ) đi qua M x y z ( 0 0 0 ; ; ) có VTCP a a a a = ( 1 2 3 ; ; )  (Δ') đi qua M x y z ' '; '; ' ( 0 0 0 ) có VTCP a a a a ' '; '; ' = ( 1 2 3 )   a a a a a a a a . ' . ' . ' . '    + + ( )1 1 2 2 3 3 = = =+ + + + cos cos , '. ' . ' ' ' a aa a a a a a a a 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Δ) đi qua M0có VTCP a, mặt phẳng ( ) có VTPT  n A B C = ( ; ; .) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz    + + :sin cos ,.Ba Ca Aa Gọi  là góc hợp bởi (Δ) và mặt phẳng ( ) ( )1 2 3 = =+ + + + a nA B C a a a 2 2 2 2 2 2 1 2 3 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đường thẳng Δ song song với 4 5 2 x y z d+ − + = = :3 4 1 −và cắt cả hai đường thẳng x y z d và 22 3 − + − 1 1 2 = = :3 1 2 1 x y z d . Phương trình nào không phải đường + − = = :2 4 1 thẳng Δ x 7 2 y z − − A. 4 1 1 + + + Δ = = x y z B. :3 4 1 − C. 9 7 2 + + + Δ = = 3 3 3 :3 4 1 − Δ = = − x y z D. 4 1 1 − − − Δ = = :3 4 1 − Hướng dẫn giải: Giải: Gọi M, N là giao điểm của Δ và 1 2 d d, . x y z :3 4 1 − Khi đó M, N thuộc 1 2 d d, nên ⎧ = + ⎧ = − + x t x t 1 3 2 2 ' M N ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ = − + = + . y t y t 1 , 3 4 ' M N ⎪ ⎪ ⎩ = + = ⎩ z t z t 2 2 ' M N  Vector chỉ phương của Δ là = − + − + − − + − ( 3 2 ' 3 ;4 4 ' ; 2 ' 2 ) MN t t t t t t Δ song song với 4 5 2 x y z d nên 3 2 ' 3 4 4 ' 2 ' 2 + − + = = :3 4 1 − − + − + − − + − t t t t t t = = 3 4 1 − t t = − = − . Vậy ( )7 2 4; 1; 1 , 3; ;3 3 Giải hệ ta được 4 ' 1;3 Vậy 4 1 1 + + + Δ = = x y z :3 4 1 − Chọn A. ⎧ = − ⎪⎨ = − x t 1 ⎛ ⎞ − − − − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ N M Câu 2: Cho đường thẳng ( ) : 1 d y t ⎪⎩ = z t 2 và mp (P) : x y + − = 2 0 . Tìm phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d). ⎧ = − ⎪⎨ = + x t A. 1 2 y t 1 2 ⎪⎩ = B. ⎧ = − ⎪⎨ = + x t 1 3 y t 1 3 ⎪⎩ = C. ⎧ = − ⎪⎨ = − x t 1 2 y t 1 2 ⎪⎩ = D. ⎧ = − ⎪⎨ = + x t 1 y t 1 ⎪⎩ = z 0 z 5 z 0 z 5 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi I là giao điểm của (d) và (P): I t t t I P t I (1 ;1 ;2 ), ( ) 0 (1;1;0) − − ∈ ⇒ = ⇒ , (P) có vectơ pháp tuyến n = (1;1;0) (d) có vectơ chỉ phương u = − − ( 1; 1;2)    =(-2 ;2 ;0) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u u v Δ = ⎡ ⎤ , ⎣ ⎦ ⎧ = − ⎪⎨ = + x t 1 2 Phương trình mặt phẳng cần tìm là y t 1 2 ⎪⎩ = z 0 Chọn A. Oxyz,1 2 x y z − − Δ = =− Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng :1 1 1 Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt và (P x y z ): 2 2 4 0. + + − = d (P) d vuông góc với đường thẳng là Δ ⎧ = − + ⎪⎨ = − ∈ x t x t 3 ⎧ = 3 ⎪⎨ = + ∈ A. . B. . ( ) d y t t : 1 2  ( ) d y t t ⎪⎩ = − z t 1 ⎧ = − − ⎪⎨ = − + ∈ x t 2 4 : 2 ⎪⎩ = + z t 2 2 ⎧ = − − ⎪⎨ = − ∈ x t 1  C. . D. .  ( ) ( ) d y t t : 1 3 ⎪⎩ = − z t 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. d y t t : 3 3 ⎪⎩ = − z t 3 2   . Vectơ chỉ phương của , vectơ pháp tuyến của (P) là ( )(1;2;2) P Δ − : 1;1; 1 u Δ ( )     ⎧⎪ ⎪ ⊥ Δ ⎧ ⊥ d u uu u n Δ dd P ⇒ ⇒ = = − ⎡ ⎤ ⎨ ⎨ Vì . ( ) ( ); 4; 3;1 ( ) ( ) n =   Δ ⊂ ⎣ ⎦ ⎪⎩ ⎪⎩ ⊥ d P u n d P Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ H P = Δ ∩( ) x t ⎧ = ⎪⎪ = + ⎨ ⇒ = − ⇒ − − y tt H 12 2; 1; 4 = − ⎪⎪⎩ + + − = z t 2 x y z 2 2 4 0 ( ) . (d P d ;Δ ∩ = ) ( ) H P = Δ ∩( ) H d ∈ Lại có , mà . Suy ra .  d H (− − 2; 1;4) ud = − (4; 3;1) Vậy đường thẳng đi qua và có VTCP nên có phương trình ⎧ = − − ⎪⎨ = − + ∈ x t 2 4 . ( ) d y t t : 1 3 ⎪⎩ = − z t 4  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 2 x y z d− + = = và mặt phẳng :2 1 1 (P x y z ): 2 3 0. + − − = Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong (P) sao cho Δ vuông góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và d bằng 2. ⎡ − − Δ = = ⎢ − − ⎢− ⎢Δ = = ⎢⎣ − −. B. 7 4 x y z A. C. 7 4 :1 1 1 x y z 3 :1 1 1 ⎡ − − Δ = = ⎢ − x y z 7 4 :2 1 1 ⎢− ⎢Δ = = ⎢⎣. D. x y z 3 :1 4 1 ⎡ + − Δ = = ⎢ − x y z :1 1 1 ⎢+ ⎢Δ = = ⎢⎣ −. x y z 3 :1 1 1 ⎡ − − − Δ = = ⎢ − − ⎢− − − ⎢Δ = = ⎢⎣ − − x y z 7 4 :1 1 1 x y z 3 1 :1 1 1 Hướng dẫn giải:  Mặt phẳng (P) có VTPT np = − (1;2; 1 ,) Đường thẳng d có VTCP ud = (2;1;1 .)   n u p d , 3; 3; 3 ( ) ⎡ ⎤ = − − ⎣ ⎦    Vì ( ) ( ) 1 P d VTPT u u u Δ Δ d Δ ⊂ Δ ⊥ ⇒ = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , ; 0; 1;1 3 Khi đó, phương trình mặt phẳng (Q y z m ): 0 − + = Chọn A d (1; 2;0 , − ∈) ta có: ( ) ( ) ( ) 2 4 − + ⎡ = m m d A Q d dm ; ; 2 2 = Δ = ⇔ = ⇔ ⎢⎣ = 2 0 Với m Q y z = ⇒ − + = 4 : 4 0 ( ) Vì Δ = ∩ ⇒ Δ (P Q ) ( ) đi qua ( ) 7 4 7;0; 4 :1 1 1 x y z B− − ⇒ Δ = = − − Với m Q y z = ⇒ − = 0 : 0 ( ) x y z C− ⇒ Δ = = Vì Δ = ∩ ⇒ Δ (P Q ) ( ) đi qua ( ) 3 3;0;0 :1 1 1 − − Chọn A. ta có Câu 5: Cho hai điểm A B (3;3;1 , 0;2;1 ) ( ) và mặt phẳng ( ): 7 0 x y z + + − = . Đường thẳng d nằm trên ( ) sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A B, có phương trình là x t ⎧ = x t ⎧ = ⎧ = − ⎪⎨ = − x t x t ⎪⎨ = − ⎪⎨ = + ⎧ = 2 A. 7 3 . y t ⎪⎩ = z t 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. B. 7 3 . y t ⎪⎩ = z t 2 C. 7 3 . y t ⎪⎩ = z t 2 D. ⎪⎨ = − y t 7 3 . ⎪⎩ = z t Mọi điểm trên d cách đều hai điểm A B, nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz và trung điểm AB là 3 5; ;1 Có AB = − − ( 3; 1;0) 3 5 3 0 3 7 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − = ⇔ + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . x y x y 2 2 I⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ nên mặt phẳng trung trực của AB là: 2 2 Mặt khác d ⊂ ( ) nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng: 3 7 0 7 3 ⎧ + − = = − ⎧ x y y x ⎩ + + − = = ⎩. ⎨ ⇔ ⎨ x y z z x 7 0 2 x t ⎧ = ⎪⎨ = − ∈ Vậy phương trình : 7 3 ( ) d y t t ⎪⎩ = z t 2  . Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 1 x y z d− + − −và mặt phẳng = = :1 2 1 (P x y z ): 3 0. + + − = Gọi I là giao điểm của d P , . ( ) Tìm M P ∈( ) sao cho MI vuông góc với d và MI = 4 14. A. ( ) ⎢⎢ − − ⎣. B. ( ) 5;9; 11 ⎡ − M ( ) 3; 7;13 5;7; 11 ⎡ − M ⎢⎢ − − ⎣. ( ) M C. ( ) M 3; 7;13 ⎢⎢ − ⎣. D. ( ) ⎡ − − M 5;9; 11 ( ) 3; 7;13 5; 7;11 ⎡ − M ⎢⎢ − ⎣. ( ) M Hướng dẫn giải: Vì I d ∈ nên I t t t (2 ; 1 2 ; . + − − − ) M 3;7; 13 Hơn nữa I P t t t I ∈ ⇒ + − − − = ⇔ = − ⇒ ( ) 2 1 2 3 0 1 1;1;1 ( ) Gọi M a b c ( ; ; .) Do: ( ) 3 ⎧ ∈ ⇒ + + = ⎪⎨⎪⎩ ⊥ ⇒ = ⇔ − − + = M P a b c   MI d IM u a b c   . 0 2 2 0 d (IM a b c u = − − − = − − ( 1; 1; 1 , 1; 2; 1 ) d ( )) 2 2 2 MI = ⇒ − + − + − = 4 14 1 1 1 224. a b c Do ( ) ( ) ( ) Khi đó ta có hệ phương trình: ⎧ ⎧ + + = = − = = − ⎧ ⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ − − + = ⇔ = − ⇔ = ∪ = − ⎨ ⎨ ⎨ a b c b a a a 3 2 1 5 3 a b c c a b b 2 2 0 4 3 9 7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ = − = ⎩⎪ − + − + − = − = ⎪⎩ 2 2 2 2 c c a b c a 11 13 1 1 1 224 1 16 ( ) ( ) ( ) ( ) Với (a b c ; ; 5;9; 11 5;9; 11 ) = − ⇒ − ( ) M ( ) Với (a b c ; ; 3; 7;13 3; 7;13 ) = − − ⇒ − − ( ) M ( ) Chọn A. Câu 7: Trong không gian Ox , yz cho hai mặt phẳng (P x y z Q x y z ): 2 2 0, : 2 2 1 0. − + = + + − = ( ) Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A(0;0;1 ,) nằm trong mặt phẳng (Q) và tạo với mặt phẳng (P) một góc bằng 0 45 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz x t x t ⎧ = ⎧ = ⎪ ⎪ A. 1 2 d y t d y t : ; : ⎨ = ⎨ = − ⎪ ⎪ ⎩ = − = ⎩ z t z 1 4 1 x t x t x t x t ⎧ = ⎧ = ⎪ ⎪ . B. 1 2 . d y t d y t : 2 1; : 1 ⎨ = − = − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = − = ⎩ z t z 1 4 1 ⎧ = + = ⎧ x t x t ⎧ = ⎧ = 3 ⎪ ⎪ C. 1 2 1 4 ⎪ ⎪ . D. 1 2 d y t d y t : 1 ; : ⎨ = − = − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = − = + ⎩ z t z t 1 4 1 4 Hướng dẫn giải: d y t d y t ⎨ = − = − ⎨ : 1 ; : ⎪ ⎪ ⎩ = − = ⎩ z t z 1 4 1 là vecto pháp tuyến của (Q b ), 1; 2;2 = − ( ) Ta có n = (2;2;1) là vec tơ pháp tuyến của (P). là một vecto chỉ phương của d. Gọi ( )2 2 2 a a b c a b c = + + > ; ; , 0 Vì đường thẳng d đi qua A(0;0;1) mà A A Q (0;0;1 ,) ∈( )     Do đó d Q a n a n a b c c a b ⊂ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ + + = ⇔ = − − ( ) . 0 2 2 0 2 2 Góc hợp bởi d và (P) bằng 0 45 :   a b a b c . 2 2 2 0    ( ) − + sin 45 cos ;. 2 3 ⇔ = = ⇔ =+ + a ba b a b c 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 18( ) 4 2 2 ⇔ + + = − + ⇔ = ± a b c a b c a b ( ) a b b a c = = ⇒ = = − 1 1; 4 ( ) a b b a c = − = − ⇒ = = 1 1; 0 x t x t ⎧ = ⎧ = ⎪ ⎪ Vậy 1 2 d y t d y t : ; : ⎨ = ⎨ = − ⎪ ⎪ ⎩ = − = ⎩ z t z 1 4 1 Chọn A. là các đường thẳng cần tìm. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD , thỏa mãn CD AB = 2 và diện tích bằng 27; đỉnh A(− − 1; 1;0 ;) phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2 1 3. x y z − + − = = Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn 2 2 1 hoành độ điểm A. A. D(− − 2; 5;1). B. D(− − 3; 5;1) . C. D(2; 5;1 − ) . D. D(3; 5;1 − ) Hướng dẫn giải:  Đường thẳng CD qua M (2; 1;3 − ) có vec tơ chỉ phương u = (2;2;1) Gọi H t t t (2 2 ; 1 2 ;3 + − + + ) là hình chiếu của A lên CD, ta có:   AH u t t t t H d A CD AH . 2 3 2 ;2.2 (3 1 0; 3;2 , , = + + + ⇒ = − ⇒ − ( ) ( ) ( ) = = 3 Từ giả thiết ta có: 3 18 6; 3; 9 ABCD S 2 AB CD AB AB DH HC + = = = ⇒ = = = AH File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz     Đặt (2 ;2 ; 0 ) ( ) 2 4;4;2 3;3;2 ( ) ( ) B AAB AB tu t t t t x x t AB B = = ⇒ > > ⇒ = = ⇒ ⇒  u   96;6;3 6;3;5 ( ) ( ) HC AB C = = ⇒ 6   32; 2; 1 2; 5;1 ( ) ( ) HD AB D = − = − − − ⇒ − − 6 Chọn A. Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hai đường thẳng 11 2 x y z d+ + = = : ; 1 2 1 x y z d− − − 2 1 1 = = và mặt phẳng (P x y z ): 2 5 0. + − + = Lập phương trình đường :2 1 1 2 thẳng d song song với mặt phẳng (P) và cắt 1 2 d d, lần lượt tại A B, sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất. A. 1 2 2 x y z d− − − = = . B. 1 2 2 x y z d− + − −. :1 1 1 C. 1 2 2 x y z d+ − + = = :1 1 1 = = . D. 2 2 2 x y z d− − − :1 1 1 Hướng dẫn giải: = = :1 1 1 Vì A d B d A a a a B b b b ∈ ∈ ⇒ − + − + + + + 1 2 ; ( 1 ; 2 2 ; , 2 2 ;1 ;1 ) ( )  Ta có AB a b a b a b = − + + − + + − + + ( 2 3; 2 3; 1)    ⎧⎪ ⊥ 1;1; 2 , / /AB n (P) có vec tơ pháp tuyến ( ) ( )( ) n AB PA P = − ⇔ ⎨⎪⎩ ∉      AB n AB n a b a b a b b a AB a a ⊥ ⇔ = ⇔ − + + − + + + − − = ⇔ = − ⇒ = − − − − . 0 2 3 2 3 2 2 2 0 4 ( 5; 1; 3) 2 2 2 2 Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) AB a a = − + − − + − = − + ≥ 5 1 3 2 2 27 3 3 a ⇒ = min 3 3 AB khi a A = ⇒2 1;2;2 ( )  AB = − − − ( 3; 3; 3 , 1;2;2 ) A P ( )∉( ) Vậy phương trình đường thẳng 1 2 2 x y z d− − − = = : . 1 1 1 Chọn A. Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho đường thẳng 3 2 1 x y z d− + + = =−và mặt :2 1 1 phẳng (P x y z ): 2 0. + + + = Gọi M là giao điểm giữa d và (P). Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến Δ bằng 42. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz A. C. ⎡ − + + Δ = = ⎢ − x y z 5 2 5 :2 3 1 ⎢⎢ + + − Δ = = ⎢⎣ −. B. x y z 3 4 5 :2 3 1 ⎡ − − − Δ = = ⎢ − x y z 5 2 5 :2 3 1 ⎢⎢ + + − Δ = = ⎢⎣ −. D. x y z 3 4 5 :2 3 1 ⎡ − + + Δ = = ⎢ − − ⎢⎢ + + − Δ = = ⎢⎣ − −. x y z 5 2 5 :2 3 1 x y z 3 4 5 :2 3 1 ⎡ − + + Δ = = ⎢⎢⎢ + + − Δ = = ⎢⎣ x y z 5 2 5 :2 3 1 x y z 3 4 5 :2 3 1 Hướng dẫn giải: Phương trình tham số của ⎧ = + ⎪⎨ = − + x t 3 2 d y t : 2 ⎪⎩ = − − z t 1 d có VTCP ud = − (2;1; 1) Mặt phẳng (P) có VTPT nP = (1;1;1 ,) Vì M d P M = ∩ ⇒ − ( ) (1; 3;0)     Vì Δ nằm trong (P) và vuông góc với d nên: VTCP u u n Δ d P ; 2; 3;1 ( ) = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦  Gọi N x y z ( ; ; ) là hình chiếu vuông góc của M trên Δ , khi đó: MN x y z = − + ( 1; 3; )   ⎧ ⊥ ⎧ + + + = ⎪ ⎪⎪⎡ − − MN u x y zN Δ Ta có: ( ) 2 0 5; 2; 5 ( ) ⎨ ∈ ⇔ − + − = ⇒ ⎨ ⎢⎢ − − ⎪ ⎪ ⎣ N P x y zN 2 3 11 03; 4;5 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) = ⎪ − + + + = ⎩ ⎩ MN x y z 42 1 3 42 Với ( )5 2 5 5; 2; 5 :2 3 1 x y z N− + + − − ⇒ Δ = = − Với ( )3 4 5 3; 4;5 :2 3 1 x y z N+ + − − − ⇒ Δ = = − Chọn A. x y z d+ Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3 ,) đường thẳng 1 = = :2 1 2 − và mặt phẳng (P x y z ): 2 1 0. + − + = Gọi d ' là đường thẳng đối xứng với d qua (P). Tìm tọa độ điểm B trên d ' sao cho AB = 9. ⎡ ⎛ + − + + ⎞ 62 16 151 26 2 151 31 8 151 B ; ; A. ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎢ ⎝ ⎠ . ⎢⎛ − − − − ⎞ 62 16 151 26 2 151 31 8 151 ⎢⎜ ⎟ B ; ; ⎢ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎣ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ + − + + ⎞ 62 151 26 151 31 151 B ; ; B. ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎢ ⎝ ⎠ . ⎢⎛ − − − − ⎞ 62 151 26 151 31 151 ⎢⎜ ⎟ B ; ; ⎢ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎣ ⎝ ⎠ File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz ⎡ ⎛ ⎞ 16 151 2 151 8 151 B ; ; C. ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎢ ⎝ ⎠ . ⎢⎛ − − − ⎞ 16 151 2 151 8 151 ⎢⎜ ⎟ B ; ; ⎢ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎣ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ + − + + ⎞ 62 4 151 26 2 151 31 8 151 B ; ; D. ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎢ ⎝ ⎠ ⎢⎛ − − − − ⎞ 62 4 151 26 2 151 31 8 151 ⎢⎜ ⎟ B ; ; ⎢ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎣ ⎝ ⎠ Hướng dẫn giải: Có d cắt (P) tại I (2; 1;1 . − ) Chọn M d (0;0; 1− ∈) và M ' là điểm đối xứng của M qua (P). Khi đó M d ' ' . ∈( ) Ta tìm M '. Gọi Δ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)   1;2 1 :1 2 1 Px y z VTCP u VTPT n Δ+ ⇒ = = − ⇒ Δ = =− ( )1 Gọi H là trung điểm MM ' thì tọa độ H định: x y z ⎧ + 11 2 2 1 2 2 ⎪ = = ⎛ ⎞ ⎨ − ⇔ = − = − = − ⇒ − − − ⎜ ⎟ 1 2 1 ; ; ; ; . x y z H 3 3 3 3 3 3 2 1 0 ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ + − + = x y z Từ đó: ( )2 4 1 ' 2 ;2 ; 2 ; ; M x x y y z z H M H M H M⎛ ⎞ − − − = − − − ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎝ ⎠ Suy ra d’ là đường thẳng đi qua I (2; 1;1 − ) nhận VTCP:  x y z M I d 8 1 4 2 1 1 ' ; ; ': ⎛ ⎞ − + − = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 3 8 1 4 B d B t t t ∈ ⇒ + − + + ' 2 8 ; 1 ;1 4 ( ) Theo đề bài ta phải có: 2 2 2 2 1 2 151 9 1 8 3 4 2 81 81 6 67 027 AB t t t t t t± ( ) ( ) ( ) = ⇔ + + − + − = ⇔ − − = ⇔ = ⎡ ⎛ + − + + ⎞ 62 16 151 26 2 151 31 8 151 B ; ; ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎢ ⎝ ⎠ ⇒ ⎢⎛ − − − − ⎞ 62 16 151 26 2 151 31 8 151 ⎢⎜ ⎟ B ; ; ⎢ ⎜ ⎟ 27 27 27 ⎣ ⎝ ⎠ Chọn A. M A (1;2;3 , 2;4;4 ) ( ) (P x y z ): 2 1 0, + − + = Câu 12: Cho hai điểm và hai mặt phẳng (Q x y z ): 2 4 0 − − + = Δ M (P), (Q) . Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại B C, ABC A AM sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz x y z − − − Δ = = 1 2 3 :1 1 1 A. B. − − x y z − − − Δ = = 1 2 3 :2 1 1 − x y z − − − Δ = = 1 2 3 1 2 3 :1 1 1 C. D. Hướng dẫn giải: x y z − − − Δ = = :1 1 1 − B a b c ( ; ; ) M BC C a b c (2 ;4 ;6 − − − ) Gọi , từ giả thiết suy ra là trung điểm của , suy ra . B P C Q ∈ ∈ ( ), ( ) a b c + − + = − + + − = 2 1 0 1 2 8 0 2 . ; ( ) a b c ( ) nên có hai pt:   AM (− − − − − − 1; 2; 1 , 2 2 ;4 2 ;6 2 . ) BC a b c ( )   ABC A AM BC a b c . 0 2 8 0 3 . = ⇔ + + − = ( ) Tam giác cân tại nên: 2 1 0 0 ⎧ + − + = = ⎧ a b c a ⎪ ⎪ (1 , 2 ) ( ) (3) ( ) ( ) Từ và có hệ: 2 8 0 3 0;3;2 , 2;1; 4 . ⎨− + + − = ⇔ = ⇒ ⎨ a b c b B C ⎪ ⎪ ⎩ + + − = = ⎩ a b c c 2 8 0 2 Δ B C1 2 3 x y z − − − Δ = = :1 1 1 Đường thẳng qua và có pt . − Chọn D. Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(− − 1;0; 1), cắt 1 2 2 x y z − − + = =−, sao cho cos ; (d Δ2 ) là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng 2 1 1 x y z − − + Δ = = 3 2 3 :1 2 2 −. Phương trình đường thẳng d là? 2 A. 1 1 x y z + + = =−B. 1 1 x y z + + 2 2 1 C. 1 1 x y z + + = =− 4 5 2 − −D. 1 1 = = 4 5 2 Hướng dẫn giải: Gọi M d M t t t = ∩ Δ ⇒ + + − − 1 (1 2 ;2 ; 2 ). x y z + + = = 2 2 1  . d có vectơ chỉ phương là u AM t t t d = = + + − − (2 2; 2; 1 ) . Δ2có vectơ chỉ phương u2 = −( 1;2;2) ( ) 2 t 2 cos ;3 6 14 9 Δ =+ +. dt t 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz t 2 Xét hàm số ( ) =+ +, ta suy ra được min 0 0 f t f ( ) = = ( ) . f tt t 2 6 14 9 . Do đó min cos ; 0 ⎡ ⎤ (d Δ = 2 ) ⎣ ⎦ khi t = 0 . Nên AM = − (2;2; 1) Vậy phương trình đường thẳng d là: 1 1 x y z + + = =−. 2 2 1 Chọn A. Oxyz, A(1; 0; 2) d Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng có phương x z − + y 1 1 = = Δ A d trình: . Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt . 1 1 2 x z − − y x z − − y Δ = = 1 2 1 2 A. . B. . :1 1 1 x z − − y Δ = =− :1 1 1 x z − − y Δ = = 1 2 1 2 C. . D. . :2 1 1 Hướng dẫn giải: Δ = = :1 3 1 − ⎧ ∈Δ Δ dB Do cắt nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi . B dB d = Δ ∩ ⇔ ⎨⎩ ∈ ⎧ = + ⎪⎨ = ∈ x t 1  B d ∈ B t t t ( + − 1; ; 1) Phương trình tham số của : . Do , suy ra y t t d  ⇒ = − AB t t t ( ; ; 2 3) ⎪ = − ⎩ z t , 1 Δ Do nên là vectơ chỉ phương của . A B, ∈ Δ AB u = (1; 1; 2) d Theo đề bài, vuông góc nên ( là vector chỉ phương của ). Suy ra Δ d AB u ⊥ t 1 = ⇒ = − AB (1;1; 1)  1 2 AB u. 0 = Chọn B. . Giải được . Vậy x z − − y Δ = =− : . 1 1 1 Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình: x y z − + 1 1 = =−. Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương 2 1 1 trình đường thẳng Δ ? ⎧ = + ⎪⎨ = − A. x t 2 y t 1 4 ⎪⎩ = − z t 2 B. ⎧ = + ⎪⎨ = − x t 2 y t 1 4 ⎪⎩ = − z t 3 2 C. ⎧ = + ⎪⎨ = − x t 1 y t 1 4 ⎪⎩ = − z t 2 D. ⎧ = − ⎪⎨ = − x t 2 y t 1 4 ⎪⎩ = − z t 2 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz PTTS của d là ⎧ = + ⎪⎨ = − + x t 1 2 . y t 1 ⎪⎩ = − z t Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng Δ cần tìm là đường thẳng MH. . Vì H thuộc d nên H t t t (1 2 ; 1 ; + − + − ) suy ra MH t t t = − − + − (2 1; 2 ; ) nên MH u. 0 = Vì MH d ⊥ và d có 1 VTCP là u = − (2;1; 1)  MH ⎛ ⎞ − − 1 4 2 ; ; = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 3 ⎧ = + ⎪⎨ = − x t 2  ⇔23 t = . Do đó Vậy PTTS của Δ là: Chọn A. . y t 1 4 ⎪⎩ = − z t 2 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ MN N t t t ⇒ − − − + ( ; 5 2 ;1 ) gọi d đi qua A(− − 1;0; 1), cắt x y z − − + Δ = =−, sao cho góc giữa d và 23 2 3 1 2 2 :2 1 1 1 x y z − − + Δ = = :1 2 2 −là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là A. 1 1. x y z + + = =−B. 1 1. x y z + + = =−C. 1 1. x y z + + − −D. 1 1. 2 2 1 Hướng dẫn giải: 4 5 2 = = 4 5 2 x y z + + = = 2 2 1 Gọi M d M t t t = ∩ Δ ⇒ + + − − 1 (1 2 ;2 ; 2 )   d có vectơ chỉ phương a AM t t t d = = + + − − (2 2; 2; 1 )  Δ2có vectơ chỉ phương a2 = −( 1;2;2) ( ) 2 t 2 cos ;3 6 14 9 Δ =+ + dt t 2 2 t 2 Xét hàm số ( ) =+ +, ta suy ra được min 0 0 0 f t f t ( ) = = ⇔ = ( ) f tt t 2 6 14 9 Do đó min cos , 0 0 2;2 1 ⎡ ⎤ (Δ = ⇔ = ⇒ = − d t AM ) ( ) ⎣ ⎦ Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 x y z + + = =− 2 2 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ x y z d− + − 1 2 2 ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 2 y t 3 2 ⎪⎩ = − + z t 1 2 cho hai đường thẳng 11 2 x y z d− + = =−và :2 1 1 = =−. Gọi Δ là đường thẳng song song với (P x y z ): 7 0 + + − = và cắt :1 3 2 2 1 2 d d, lần lượt tại hai điểm A B, sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ là. ⎧ = − ⎪⎨ = x t ⎧⎪ = − ⎪⎪⎨ = x t 6 ⎧⎪ = x 6 ⎧⎪ = − ⎪⎪⎨ = + x t 6 2 A. y 12 5 . B. y 5. 2 C. ⎪⎪⎨ = − 5. y t D. 5. y t ⎪⎩ = − + z t 9 Hướng dẫn giải: ⎪⎪= − + ⎪⎩ 9 z t 2 2 ⎪⎪= − + ⎪⎩ 9 z t 2 2 ⎪⎪= − + ⎪⎩ 9 z t 2 ( ) A d A a a a ∈ ⇒ + − − 1 2 ; ; 2 1 ( ) B d B b b b 1 ; 2 3 ;2 2 ∈ ⇒ + − + − 2  Δ có vectơ chỉ phương AB b a b a b a = − − − − + + ( 2 ;3 2; 2 4)  (P) có vectơ pháp tuyến nP = (1;1;1)    .Khi đó AB a a a = − − − − ( 1;2 5;6 ) Vì Δ / /(P) nên . 0 1 AB n AB n b a ⊥ ⇔ = ⇔ = − P P 2 2 2 ( ) ( ) ( ) AB a a a = − − + − + − 1 2 5 6 2 6 30 62 a a = − + 2 5 49 7 2 6 ; ⎛ ⎞ = − + ≥ ∀ ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠  a a 2 2 2  Dấu " " = xảy ra khi 5 5 9 7 7 6; ; , ;0;  a A AB ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⇒ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2  Đường thẳng Δ đi qua điểm 5 9 6; ;2 2 A⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ và vec tơ chỉ phương ud = −( 1;0;1) ⎧⎪ = − ⎪⎪⎨ = x t 6 5 Vậy phương trình của Δ là y 2 ⎪⎪= − + ⎪⎩ 9 z t 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 11 2 x y z d− + = = :2 1 1 −và ⎧ = − + ⎪⎨ = + x t 1 2 d y t . Phương trình đường thẳng vuông góc với (P x y z ): 7 4 0 + − = và cắt hai 2 : 1 ⎪⎩ = z 3 đường thẳng 1 2 d d, là: A. 7 4. x y z − + = = B. 2 1. x y z − + 2 1 1 C. 2 1. x y z + − = =− 7 1 4 − −D. 2 1. = = 7 1 4 Hướng dẫn giải: Gọi d là đường thẳng cần tìm Gọi 1 2 A d d B d d = ∩ = ∩ , ( ) A d A a a a ∈ ⇒ − − + x y z − + = = 7 1 4 2 ;1 ; 2 1 ( ) B d B b b ∈ ⇒ − + +  2 1 2 ;1 ;3 ( ) AB a b a b a = − + − + − + 2 2 1; ; 5 d P AB n ⊥ ⇔ cùng phương ( ) ,p (P) có vectơ pháp tuyến nP = − (7;1; 4 ,)   ⇔ có một số k thỏa AB kn = p ⎧− + − = − + − = = ⎧ ⎧ 2 2 1 7 2 2 7 1 1 a b k a b k a ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = − ⎨ ⎨ ⎨ a b k a b k b 0 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩− + = − − + = − = − ⎩ ⎩ a k a k k 5 4 4 5 1   d đi qua điểm A(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương a n d P = = − (7;1 4) Vậy phương trình của d là 2 1 x y z − + = =− 7 1 4 Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 11 2 1 x y z + − − Δ = = và :3 1 2 x y z − + Δ = = . Phương trình đường thẳng song song với 3 ⎧ = 1 1 :1 2 3 2 x ⎪⎨ = − + d y t : 1 ⎪⎩ = + z t 4 và cắt hai đường thẳng 1 2 Δ Δ; là: ⎧ = ⎧ = − ⎪⎨ = − − ⎧ = − ⎪⎨ = − + x 2 x 2 x 2 ⎧ = ⎪⎨ = − x 2 A. y t 3 . ⎪⎩ = − z t 3 B. y t 3 . ⎪⎩ = − − z t 3 C. y t 3 . ⎪⎩ = − + z t 3 D. ⎪⎨ = − + y t 3 . ⎪⎩ = + z t 3 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi Δ là đường thẳng cần tìm Gọi 1 2 A B = Δ ∩ Δ = Δ ∩ Δ , ( ) A A a a a ∈ Δ ⇒ − + + + 1 3 ;2 ;1 2 1 ( ) B B b b b ∈ Δ ⇒ + − +  1 ;2 ; 1 3 2 ( ) = − + + − + − − + − 3 2; 2 2; 2 3 2 AB a b a b a b  d có vectơ chỉ phương ad = (0;1;1)  cùng phương / / , d Δ ⇔d AB a   ⇔ có một số k thỏa AB ka = d ⎧− + + = − + = − = ⎧ ⎧ 3 2 0 3 2 1 a b a b a ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ = ⎨ ⎨ ⎨ a b k a b k b 2 2 2 2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩− + − = − + − = = − ⎩ ⎩ 2 3 2 2 3 2 1 a b k a b k k Ta có A B (2;3;3 ; 2;2;2 ) ( )  Δ đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB = − − (0; 1; 1) ⎧ = x 2 Vậy phương trình của Δ là ⎪⎨ = − y t 3 ⎪⎩ = − z t 3 Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(− − 3;3; 3)thuộc mặt phẳng ( ): 2 – 2 0 x y z + + = 15 và mặt cầu ( )2 2 2 S : (x 2) (y 3) (z 5) 100 − + − + − = . Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng ( )cắt ( ) S tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng Δ là: A. 3 3 3 x y z + − + = = . B. 3 3 3 x y z + − + 1 4 6 ⎧ = − + ⎪⎨ = x t = =−. 16 11 10 C. y 3 5 3 . D. 3 3 3 x y z + − + = = . ⎪⎩ = − + z t 3 8 Hướng dẫn giải: 1 1 3 Mặt cầu (S ) có tâm I (2;3;5) , bán kính R = 10 . Do d(I,( )) R  < nên Δ luôn cắt (S) tại A , B . 2 2 AB R d = − Δ (I, ) . Do đó, AB lớn nhất thì d I( ,(Δ)) nhỏ nhất nên Δ qua H , Khi đó ( ) ⎧ = + ⎪⎨ = − x 2 2t y 3 BH t với H là hình chiếu vuông góc của I lên ( ). Phương trình : 2 ⎪ = + ⎩ z t 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz H ∈ ⇒ + − + + + = ( ) 2 2 2 2 3 – 2 5 15 0  ( t t t ) ( ) ⇔ = − ⇒ t 2 H (−2; 7; 3) . là véc tơ chỉ phương của Δ . Phương trình của 3 3 3 Do vậyAH (1;4;6) = x y z + − + = = 1 4 6 Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ⎧ = + ⎪⎨ = − + ∈ x t 1 2 y t t R 2 3 , d: trên mặt phẳng (Oxy): ⎪⎩ = + z t 3 ⎧ = + ⎪⎨ = + ∈ x t 3 2 ' y t t R 1 3 ' , ' ⎧ = + ⎪⎨ = − + ∈ x t 1 4 ' y t t R 2 6 ', ' ⎧ = + ⎪⎨ = + ∈ x t 1 2 ' y t t R 2 3 ', ' A. B. C. D. ⎪⎩ = z 0 ⎪⎩ = z 0 ⎪⎩ = z 0 ⎧ = − ⎪⎨ = − ∈ x t 5 2 ' y t t R 4 3 ', ' ⎪⎩ = z 0 Hướng dẫn giải: A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d. Hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (Oxy) là A/(1;-2;0), B/(3;1;0)  / / A B = 2;3;0 / A/ B ( ) Phương trình hình chiếu đi qua hoặc và nhận véc tơ cùng phương với làm véc tơ chỉ phương. Chọn C. Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 12 9 1 x y z d− − − = = và mặt : , 4 3 1 thẳng (P x y z ):3 5 2 0 + − − = . Gọi d 'là hình chiếu của d lên (P).Phương trình tham số của d ' là ⎧ = − ⎪⎨ = x t x t x t x t 62 ⎧ = 62 ⎧ = 62 ⎧ = 62 A. y t 25 . ⎪⎩ = − z t 2 61 B. ⎪⎨ = − y t 25 . ⎪⎩ = + z t 2 61 C. ⎪⎨ = − y t 25 . ⎪⎩ = − + z t 2 61 D. ⎪⎨ = − y t 25 . ⎪⎩ = + z t 2 61 Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi A d P = ∩( ) ( ) A d A a a a ∈ ⇒ + + + 12 4 ;9 3 ;1 ( ) ( ) A P a A ∈ ⇒ = − ⇒ − 3 0;0; 2 d đi qua điểm B(12;9;1) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi H là hình chiếu của B lên (P)  (P) có vectơ pháp tuyến nP = − (3;5; 1)   BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương a n BH P = = − (3;5; 1) 12 3 ⎧ = + ⎪⎨ = + x t : 9 5 BH y t ⎪⎩ = − z t 1 ( ) 12 3 ;9 5 ;1 H BH H t t t ∈ ⇒ + + − 78 186 15 113 ( ) ⎛ ⎞ ∈ ⇒ = − ⇒ − ⎜ ⎟ H P t H ; ;  AH 35 35 7 35 ⎝ ⎠ 186 15 183 ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ; ; 35 7 35 ⎝ ⎠  d ' đi qua A(0;0; 2− ) và có vectơ chỉ phương ad ' = − (62; 25;61) x t ⎧ = 62 Vậy phương trình tham số của d ' là Cách 2: ⎪⎨ = − y t 25 ⎪⎩ = − + z t 2 61 Gọi (Q) qua d và vuông góc với (P)  d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương ad = (4;3;1)  (P) có vectơ pháp tuyến nP = − (3;5; 1)    (Q) qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến n a n Q d P , 8;7;11 ( ) = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (Q x y z ):8 7 11 22 0 − − − = d ' là giao tuyến của (Q) và (P) Tìm một điểm thuộc d ', bằng cách cho y = 0 ⎧ − = = ⎧ 3 2 00;0; 2 ' x z xM d Ta có hệ ( ) ⎨ ⇒ ⇒ − ∈ ⎨ ⎩ − = = − ⎩ 8 11 22 2 x z y    d ' đi qua điểm M (0;0; 2− ) và có vectơ chỉ phương a n n d P Q ; 62; 25;61 ( ) = = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz x t ⎧ = 62 Vậy phương trình tham số của d ' là ⎪⎨ = − y t 25 ⎪⎩ = − + z t 2 61 ⎧ = + ⎪⎨ = − + x t 1 2 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng d y t : 2 4 ⎪⎩ = + z t 3 . Hình chiếu song ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 1 BH y t : 1 2 ⎪⎩ = + z t 3 2  lên mặt phẳng ( ) song của a n BH Q = = − (1; 2;2) H BH H t t t ∈ ⇒ + − − + 1 ; 1 2 ;3 2 10 1 11 7 theo ( ) H P t H ⎛ ⎞ phương 1 6 2 x y z + − − Δ = = :1 1 1 − −có phương trình là: ⎧ = + ⎪⎨ = x t ∈ ⇒ = − ⇒ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ; 9 9 9 9 3 2 ⎧ = + ⎪⎨ = x t 3 ⎧ = − − ⎪⎨ = x t 1 2 ⎧ = − ⎪⎨ = x t 3 2 A. y 0 . B. y 0 . C. y 0 . D. y 0 . ⎪⎩ = − z t 1 4 Hướng dẫn giải: ⎪⎩ = + z t 1 2 ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 1 BH y t : 1 2 ⎪⎩ = + z t 3 2 ⎪⎩ = − z t 5 4 ⎪⎩ = + z t 1 Giao điểm của d và mặt phẳng ( ) H BH H t t t 1 ; 1 2 ;3 2 ∈ ⇒ + − − + 10 1 11 7 là: 0 M (5;0;5) . ( ) H P t H ⎛ ⎞ Trên ⎧ = + ⎪⎨ = − + x t 1 2 d y t : 2 4 ⎪⎩ = + z t 3 ∈ ⇒ = − ⇒ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ; 9 9 9 9 chọn M bất kỳ không trùng với 0 M (5;0;5) ; ví dụ: M (1; 2;3) − . Gọi A ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 1 BH y t : 1 2 ⎪⎩ = + z t 3 2 là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng ( ) H BH H t t t 1 ; 1 2 ;3 2 ∈ ⇒ + − − + 10 1 11 7 theo ( ) ⎛ ⎞ ∈ ⇒ = − ⇒ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ H P t H ; ; 9 9 9 9 phương 1 6 2 x y z + − − Δ = = :1 1 1 − −. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với 1 6 2 x y z + − − Δ = = :1 1 1 − −. ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 1 BH y t : 1 2 ⎪⎩ = + z t 3 2 +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và ( ) H BH H t t t ∈ ⇒ + − − + 1 ; 1 2 ;3 2 10 1 11 7 ( ) H P t H ⎛ ⎞ +/ Ta tìm được A(3;0;1) Hình chiếu song song của ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 1 BH y t : 1 2 ⎪⎩ = + z t 3 2 ⎧ = + ⎪⎨ = − + x t 1 2 d y t : 2 4 ⎪⎩ = + z t 3 ∈ ⇒ = − ⇒ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ; 9 9 9 9 lên mặt phẳng ( ) H BH H t t t 1 ; 1 2 ;3 2 ∈ ⇒ + − − + 10 1 11 7 theo phương 1 6 2 x y z + − − Δ = = :1 1 1 − −là đường thẳng ( ) H P t H ⎛ ⎞ ∈ ⇒ = − ⇒ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ; 9 9 9 9 đi qua 0 M (5;0;5) và A(3;0;1) . ⎧ = + ⎪⎨ = x t 3 Vậy phương trình là: y 0 ⎪⎩ = + z t 1 2 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ (Q x y z ): 2 2 1 0 − + + = gọi d đi qua A(3; 1;1 − ) , nằm trong x y z − mặt phẳng (P x y z ): 5 0 − + − = , đồng thời tạo với 2 Δ = = một góc 0 45 . Phương trình đường thẳng d là ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t :1 2 2 A. 3 7 y t 1 8 . ⎪⎩ = − − z t B. ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 3 y t 1 . ⎪⎩ = 1 15 ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t z 1 C. 3 7 y t 1 8 . ⎪⎩ = − z t 1 15 D. ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 3 y t 1 ⎪⎩ = và ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 3 7 y t 1 8 . ⎪⎩ = − z t z 1 Hướng dẫn giải:  1 15 Δ có vectơ chỉ phương aΔ = (1;2;2) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz  d có vectơ chỉ phương a a b c d = ( ; ; )  (P) có vectơ pháp tuyến nP = − (1; 1;1)   ( ) ( ) d P d P a n b a c ⊂ ⇒ ⊥ ⇔ = + ; 1 0 0 ( ) ( ) , 45 cos , cos 45 Δ = ⇔ Δ = d d 2 2 2 a b c + + ⇔ = 3 2 2 2 2 a b c + + 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ⇔ + + = + + 2 2 2 9 ; 2 a b c a b c x y z − + Δ = = , ta có: 20 ⎡ = c Từ 11 2 x y z + + Δ = = và 21 1 :1 2 1 :1 2 3 14 30 015 7 0 c aca c + = ⇔ ⎢⎣ + = ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 3 Với c = 0 , chọn a b = = 1, phương trình đường thẳng d là y t 1 ⎪⎩ = z 1 Với 15 7 0 a c + = , chọn a c b = ⇒ = − = − 7 15; 8, phương trình đường thẳng d là ⎧ = + ⎪⎨ = − − x t 3 7 y t 1 8 ⎪⎩ = − z t 1 15 Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; 1;2 − ) , song song với (P x y z ): 2 3 0 − − + = , đồng thời tạo với đường thẳng 1 1 + − Δ = = x y zmột góc lớn :1 2 2 − nhất. Phương trình đường thẳng d là. A. 1 1 2. x y z B. 1 1 2. − + − = = 1 5 7 − x y z − + + = = 4 5 7 − x y z D. 1 1 2. C. 1 1 2. − + − = = 4 5 7 Hướng dẫn giải: a x y z − + − = = 1 5 7 − − Δ có vectơ chỉ phương Δ = − (1; 2;2)  d có vectơ chỉ phương = ( ; ; ) a a b c d  (P) có vectơ pháp tuyến = − − (2; 1; 1) n P     Vì d P ⊂ ( ) nên ⊥ ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = − . 0 2 0 2 d P d P a n a n a b c c a b ( )( )2 5 4 1 5 4 a b a b − − cos ,3 5 4 2 3 5 4 2 Δ = = da ab b a ab b 2 2 2 2 − + − + File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz tb, ta có: ( )( )2 1 5 4 Đặt =a t − cos ,3 5 4 2 Δ =− + dt t 2 Xét hàm số ( )( )2 5 4 t − f tt t, ta suy ra được: ( )1 5 3 ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f t f =− + 2 5 4 2 max5 3 Do đó: ( )5 3 1 1 ⎡ ⎤ Δ = ⇔ = − ⇒ = − ⎣ ⎦a max cos ,27 5 5 d tb Chọn a b c = ⇒ = − = 1 5, 7 Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 2 x y z − + − = = 1 5 7 − Chọn A. Câu 26: Trong không gian cho đường thẳng 3 1 x y z − + Δ = = và đường thẳng :1 2 3 x y z d+ − + 3 1 2 = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua Δ và tạo với đường thẳng :3 1 2 d một góc lớn nhất. A. 19 17 2 77 x y z − − − = 0 0. B. 19 17 2 34 x y z − − + = 0 0. C. 31 8 5 91 x y z − − + = 0. D. 31 8 5 98 x y z − − − = 0. Hướng dẫn giải: Chọn D. . Đường thẳng d có VTCP là u1 = (3;1;2) . Đường thẳng Δ đi qua điểm M (3;0; 1− ) và có VTCP là u = (1;2;3) . 2 2 2 n A B C A B C = ; ; , + + ≠ 0 Do Δ ⊂ (P) nên M P ∈( ) . Giả sử VTPT của (P) là ( ) ( ) Phương trình (P) có dạng A x By C z ( − + + + = 3) ( 1 0 ) .  . Do Δ ⊂ (P) nên u n A B C A B C . 0 2 3 0 2 3 = ⇔ + + = ⇔ = − − Gọi  là góc giữa d và (P). Ta có   u n A B C B C B C . 3 2 3 2 3 2 ( ) 1    + + − − + + = = = sinu n A B C B C B C 2 2 2 2 2 2 . 14. 14. 2 3 + + − − + + ( ) 1 ( )2 5 7 1 5 7 B C B C + + + + +. = = 2 2 2 2 14. 5 12 10 14 5 12 10 B BC C B BC C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz TH1: Với C = 0 thì 5 70 sin = = . 14 14 = ta có ( )2 1 5 7 t + TH2: Với C ≠ 0 đặt B tC Xét hàm số ( )( )2 5 7  . sint t =+ + 2 14 5 12 10 t + f tt t =+ +trên  . 2 5 12 10 2 t t f t − + + ′ = 50 10 112 Ta có ( )( ) . 2 t t + + 5 12 10 2 8 8 75 ⎡ ⎛ ⎞ ⎢= ⇒ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ′ = ⇔ − + + = ⇔ ⎢⎢ ⎛ ⎞ ⎢ = − ⇒ − = ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠. t f ( )2 f t t t 5 5 14 0 50 10 112 07 7 0 t f 5 5 Và ( )( )2 5 7 t + lim lim 5 f t = = + +. 2 x x 5 12 10 →±∞ →±∞ t t Bảng biến thiên 0 0 = ⇒ = . Khi đó 1 8 75 Maxf t = khi 8 8 Từ đó ta có ( )7514 B tC 5 5 sin f ⎛ ⎞ ⎝ ⎠  . = ⎜ ⎟ = . 14 5 14 So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là 75 sin = khi 85 B C= . 14 Chọn B C A = − ⇒ = − ⇒ = 8 5 31. Phương trình (P) là 31 3 8 5 1 0 31 8 5 98 0 ( x y z − − − + = ⇔ − − − = ) ( ) x y z . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P x y z ): 2 0 + − + = và hai đường thẳng ⎧ = + ⎪⎨ = x t 1 d y t : ⎪⎩ = + z t 2 2 ; ⎧ = − ′ x t 3 ⎪⎨ = + ′ d y t ': 1 . ⎪ = − ′ ⎩ z t 1 2 Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với (P); cắt d d, ′ và tạo với d góc O 30 . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. A. 1.5B. 1.2C. 2.3D. 1.2 Hướng dẫn giải:: n là VTPT của mặt phẳng (P). Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, P M t t t ′ ′ ′ ′ (3 ;1 ;1 2 − + − ) Δ Gọi M t t t (1 ; ;2 2 + + ) là giao điểm của Δ và d ; là giao điểm của và d '  Ta có: MM t t t t t t ' 2 ;1 ; 1 2 2 ( − − + − − − − ′ ′ ′ ) MM ′ // ( )( )2 4 ; 1 ;3 2 ( ) ⎧⎪ ∉ M P  ⇔ ⇔ = − ⇒ − − − − ⎨ ′ ′ P t MM t t t   ⎪⎩′⊥ MM n P O   ( ) 3 6 9 4 − + ⎡ = t t Ta có = ′ ⇔ = ⇔⎢ cos30 cos ,2 36 108 156 1 MM ut d − + ⎣ = − 2 t t ⎧ = ⎧ = ′ x x t 5 ⎪ ⎪ Δ = + Δ = − ⎨ ⎨ : 4 ; : 1 y t y Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là . 1 2 ⎪ ⎪ = + = ′ ⎩ ⎩ z t z t 10 ( 1 2 )1 cos , .2 Khi đó, Δ Δ = A(−2; 3;1) B(5; 6; 2 ) Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Đường AB (Oxz) MAM thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số . BM AM 1 AM BM=13 AM AM A. . B. . C. . D. . BM= 2 2 Hướng dẫn giải: BM= 3 BM= AM x z = + − − ( 2 3 1 ; ; ) M Oxz M x z ∈ ⇒ ( ) ;0; ( ) AB = ⇒ = (7 3 1 59 ; ; ) AB  Ta có: ; ; và  2 7 9 ⎧ + = ⎧ = − ⎪ ⎪ ⇔ − = ⇔ − = ⎨ ⎨ x k x A B M , , ⇒ = ∈ AM k AB k . ( ) Ta có: thẳng hàng ⇒ − M( 9 0 . ;0; ) 3 3 1 k k ⎪ ⎪ − = = ⎩ ⎩ z k z 1 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz và  BM = − − − ⇒ = = ( 14 6 2 ; ; ) BM AB 118 2 . Chọn A. Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 2; 2; 1), − − B(1; 2; 3 − ) và đường = =−. Tìm vectơ chỉ phương ucủa đường thẳng Δ qua A, vuông góc thẳng 1 5 x y z d+ − :2 2 1 với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất. B. u = − (2;2; 1) C. u = − − (25; 29; 6) D. u = (1;0;2) A. u = (2;1;6) Hướng dẫn giải: Cách 1 (Tự luận)  Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, B’ là hình chiếu của B lên (P)   Khi đó đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB’ và u = B'A Ta có ( )( 2; 2;1) ⎧ − − ⎪⎨ ⇒ + − + = Qua A   P x y z : (P) : 2 2 9 0 VTPT n u (2;2; 1) P d ⎪⎩ = = − ⎧ = + ⎪ ⇒ = + ⎨⎪⎩ = − − x t 1 2 Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’ d y t ' 2 2 z t 3  ⇒ Chọn D B’ là giao điểm của d’ và (P) ⇒ − − − ⇒ = = B'( 3; 2; 1) ' (1;0;2) u B A Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. ⎧ = + ⎪ ⇒ = + ⎨⎪⎩ = − − x t 1 2 Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’  B’∈ d’⇒ = − − − − + B A t t t ' 2 3; 2 4; 4 ( ) d y t ' 2 2 z t 3    ⇒ Chọn D AB’ ⊥ d . ' 0 2 ' (1;0;2) d ⇒ = ⇒ = − ⇒ = = u B A t u B A Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A B (1;2; 1 , 7; 2;3 − − ) ( ) và đường thẳng ⎧ = + ⎪⎨ = − ∈ x t 2 3 d có phương trình y t 2 (t R) ⎪⎩ = + z t 4 2 . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A. M = (2;0;4 .) B. M = (2;0;1 .) C. M = (1;0;4 .) D. M = (1;0;2 .) Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). Từ đó ta có:  2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ = + − − + ⇒ = + + + + + 3 1; 2 2 ;2 5 3 1 2 2 2 5 AM t t t AM t t t  2 2 2 Tương tự: ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ = − − + ⇒ = − + − + + 3 5;2 2 ;2 1 3 5 2 2 2 1 BM t t t BM t t t 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 5 t + + + + + t t = ( ) ( ) ( ) Từ (*): MA=MB = ( ) ( ) ( ) 3 5 2 2 2 1 t − + − + + t t Hay: 2 2 ⇔ + + = − + ⇔ + = − ⇔ = → = 17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0 t t t t t t t t Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ). Chọn A. Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA(2;3;0), B(0; 2;0), − 6; 2;2 M⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 x t ⎧ = ⎪⎨ = và đường thẳng : 0 . d y ⎪⎩ = − z t 2 dàiCM bằng Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhấ thì độ A. 2 3. B. 4. C. 2. D. 2 6. 5 Hướng dẫn giải: Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB + nhỏ nhất. 2 2 Vì ( ) ( ) ( ) C d C t t AC t ∈ ⇒ − ⇒ = − + = − + ;0;2 2 2 2 9, 2 2 4 BC t 2 2 ( ) ( ) ⇒ + = − + + − + AC CB t 2 2 2 9 2 2 4. t      ápdụngbấtđẳngthức u v u v + ≥ + Đặtu t v t = − = − + ( 2 2 2;3 , 2 2;2 ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ⇒ − + + − + ≥ − + 2 2 2 9 2 2 4 2 2 2 25. t t Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2 2 2 2 2 3 7 7 3 6 7 3 tt C CM − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⇔ = ⇒ ⇒ = − + + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ;0; 2 2 2. khi 2 2 2 5 5 5 5 5 5 − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm. và. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A B C , , đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A. M (− − 1; 2;1). B. N (5;7;3) . C. P(3;4;3) . D. Q(7;13;5). Hướng dẫn giải: x y z ABC + + = ⇔ + + − = x y z . Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là: ( ): 1 2 3 6 0 3 2 6 Dễ thấy D ABC ∈( ).Gọi. lần lượt là hình chiếu vuông góc của A B C , , trên d . Suy ra d A d d B d d C d AA BB CC AD BD CD ( , , , ' ' ' ) + + = + + ≤ + + ( ) ( ) .Dấu bằng xảy ra khi A B C D ' ' ' ≡ ≡ ≡ . Hay tổng khoảng cách từ các điểm A B C , , đến d lớn nhất khi d là ⎧ = + ⎪ x t 1 2 đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC d y t N d => = + ∈ ⎨⎪⎩ = + : 1 3 ; z t 1 chọn B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R. Kí hiệu S O R ( ; .) Trong không gian với hệ trục Ox : yz 2 2 2 2 - Mặt cầu (S ) tâm I a b c ( , , ) bán kính R có phương trình là: ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = . - Phương trình: 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0, với 2 2 2 a b c d + + − > 0 là phương trình mặt cầu tâm I a b c ( ; ; ,) bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − . 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) d I P R ( ,( )) > khi và chỉ khi (P) không cắt mặt cầu (S ). d I P R ( ,( )) = khi và chỉ khi (P)tiếp xúc mặt cầu (S ). d I P R ( ,( )) < khi và chỉ khi (P) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm H và có bán kính 2 2 r R d = − . 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng a) Cho mặt cầu S O R ( ; ) và đường thẳng Δ . Gọi H là hình chiếu của O lên Δ và d OH = là khoảng cách từ O đến Δ I H P R O O O A H H B H Nếu d R < thì Δ cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1) Nếu d R = thì Δ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2) Nếu d R > thì Δ không cắt mặt cầu (H.3.3) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Oxyz A B (0;2;0 , 1;1;4 ) (− ) C(3; 2;1 − ) Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm và (S ) A B C , , OI = 5 . Mặt cầu tâm I đi qua và độ dài (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là (S ) gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu là R =1 R = 3 R = 4 R = 5 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu (S) có dạng: 4 O A B C , , , 2 2 2 x y z ax by cz d + + + + + + = 2 2 2 0 Vì điểm thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ: ⎧ ⎧ ∈ + + = ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ∈ ⇒ − + + + + = A S b d ( ) 4 4 0 B S a b c d ( ) 2 2 8 18 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ∈ − + + + = C S a b c d ( ) 6 4 2 14 0 2 2 2 2 OI OI a b c = ⇔ = ⇔ + + = 5 5 5 Suy ra a b c d R = − = = − = − ⇒ = 1; 0; 2; 4 3 Chọn B. Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho A B C (1;0;0 , 2; 1;2 , 1;1; 3 . ) ( − − − ) ( ) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng ( ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. A. C. 2 2 1 5 2 ⎛ ⎞ + − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . B. x y z 2 4 2 2 1 9 2 ⎛ ⎞ + − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . D. x y z 2 4 2 2 1 5 2 ⎛ ⎞ + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . x y z 2 4 2 2 3 5 2 ⎛ ⎞ x y z + − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( ABC) có phương trình: x y z − − − =1 0 Gọi (S ) là mặt cầu có tâm I Oy ∈ và cắt ( ABC) theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất. Vì I Oy ∈ nên I t (0; ;0 ,) gọi H là hình chiếu của I lên ( ABC) khi đó là có bán kính đường tròn giao của ( ABC) và (S ) là 2 2 r AH IA IH = = − . Ta có ( ( ))2 2 t t t t t IA t IH d I ABC r t 1 2 1 2 2 2 1, , 1 . + + + − + 2 2 2 = + = = ⇒ = + − = 3 3 3 Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi 1.2 t = Khi đó 1 5 2 I IA ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0; ;0 , 2 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: Chọn A. 2 2 1 5 2 ⎛ ⎞ x y z + − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 4 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz viết phương trình mặt cầu có tâm I (1;2;3) và tiếp x y z + xúc với đường thẳng 2. = = 1 2 2 − 2 2 2 233 1 2 ( 3)9 A. ( ) ( ) 2 2 2 243 1 2 ( 3)9 x y z − + − + − = . B. ( ) ( ) x y z − + − + − = . 2 2 2 2223 1 2 ( 3)9 2 2 2 333 1 2 ( 3)9 x y z − + − + − = . D. ( ) ( ) C. ( ) ( ) Hướng dẫn giải: x y z − + − + − = Tính được + Đường thẳng d đi qua M (0; 2;0 − ) có vec tơ chỉ phương u = − (1; 2;2 .)  MI = (1;4;3 .)   ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ MI u + Khẳng định và tính được ( ), 233 d I du = = ,3  + Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng d I d ( , ) và viết phương trình: 2 2 2 233 1 2 ( 3)9 ( ) ( ) x y z − + − + − = Chọn A. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho mặt cầu có phương trình 2 2 2 x y z x y z + + − + + − = 4 2 6 12 0 và đường thẳng d x t y z t : 5 2 ; 4; 7 . = + = = + Viết phương trình đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu (S ) tại điểm M (5;0;1) biết đường thẳng Δ tạo với đường thẳng d một góc  thỏa mãn 1  = cos .7 ⎧ = + = + ⎧ x t x t A. C. 5 3 5 13 ⎪ ⎪ Δ = − ∨ Δ = ⎨ ⎨ : 5 : 5 y t y t ⎪ ⎪ ⎩ = − = − ⎩ z t z t 1 1 11 ⎧ = + = + ⎧ x t x t 5 3 5 13 ⎪ ⎪ Δ = ∨ Δ = ⎨ ⎨ : 5 : 5 y t y t ⎪ ⎪ ⎩ = − = − ⎩ z t z t 1 1 11 . B. . D. ⎧ = + = + ⎧ x t x t 5 3 5 13 ⎪ ⎪ . Δ = − ∨ Δ = ⎨ ⎨ : 5 : 5 y t y t ⎪ ⎪ ⎩ = − = + ⎩ z t z t 1 1 11 ⎧ = + = + ⎧ x t x t 5 3 5 13 ⎪ ⎪ Δ = − ∨ Δ = ⎨ ⎨ : 5 : 5 y t y t ⎪ ⎪ ⎩ = − = − ⎩ z t z t 1 1 21 Hướng dẫn giải: 2 2 2 S x y z : 2 2 3 26 − + − + + = ⇒ S có tâm I (2; 1; 3 − − ) và bán kính R = 26. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  là 1 VTVP của (d ) IM u = = (3;1;4 , 2;0;1 ) 1 ( ) là 1 VTCP của đường thẳng ( ) Giả sử u a b c 2 = ( ; ; ) 2 2 2 Δ + + ≠ a b c 0   Do tiếp xúc mặt cầu (S ) tại M IM u a b c b a c ⇒ ⊥ ⇔ + + = ⇔ = − − 23 4 0 3 4 1( ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Mà góc giữa đường thẳng Δ và đường thẳng d bằng .   u u a c . 1 2 1    + 1 2 ( ) ( ) ⇒ = ⇔ = ⇔ = cos , os 2 u u cu u a b c 1 2 2 2 2 . 7 . 5 7 1 2 Thay (1) vào (2) ta được: + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 5. 3 4 7 4 4 5 9 24 16 a c a a c c a ac c a a ac c c + = + + + ⇔ + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ⎡ = − a c 3 ⇔ + + = ⇔ ⎢⎢ = − ⎣ 2 2 22 92 78 0 13 a ac ca c 11 Với a c = −3 do 2 2 2 a b c + + ≠ 0 nên chọn c a b = − ⇒ = = − 1 3; 5 ⎧ = + ⎪ x t 5 3 ⇒ phương trình đường thẳng là: Với 1311 Δ = − ⎨⎪⎩ = − : 5 y t z t 1 a c = − do 2 2 2 a b c + + ≠ 0 nên chọn c a b = − ⇒ = = 11 13; 5 ⎧ = + ⎪ x t 5 13 ⇒ phương trình đường thẳng là: Chọn A. Δ = ⎨⎪⎩ = − : 5 y t z t 1 11 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho đường thẳng 1 2 x y z d− + = =−Tìm tọa độ : . 1 2 2 điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu (S ) tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính bằng 2. A. ( )6 8 2 2;0; 2 ; ; − ∨ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . B. ( )6 8 2 2;0; 2 ; ; M M ⎛ ⎞ 5 5 5 C. ( )7 8 4 2;0; 2 ; ; M M ⎛ ⎞ ∨ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 5 5 5 − ∨ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. D. ( )6 8 2 4;0; 2 ; ; M M ⎛ ⎞ 5 5 5 Hướng dẫn giải: M M ⎛ ⎞ − ∨ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 5 5  Vì M d M t t t ∈ ⇒ + − + − (1 ; 2 2 ; 2 .) Trục Oz đi qua điểm O 0;0;0 ( ) và có vtcp k = (0;0;1 ;)    = + − + − ⇒ = − + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) ( ) OM t t t OM k t t 1 ; 2 2 ; 2 ; 2 2 ; 1 ;0   2 ⇒ = − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ OM k t t ; 5 6 5 Gọi R là bán kính mặt cầu (S ), ta có: ( )2 R d M Oz t t = = − + ; 5 6 5 ( ) 1 2; 2;0 ⎡ = ⎡ − t M ⎢ ⎢ = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇔ ⇒ ⎢ ⎛ ⎞ ⎢ = ⎜ ⎟ − 2 2 2 5 6 5 2 5 6 5 0 1 6 8 2 R t t t tt M ; ; ⎢ ⎣ ⎣ ⎝ ⎠ 5 5 5 5 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho hai đường thẳng 1 2 Δ Δ, có phương trình: x y z x y z − − − + − + Δ = = Δ = =−. Viết phương trình mặt cầu có bán kính 2 1 1 2 3 1 : ; : 1 2 1 4 2 1 1 1 nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 Δ Δ, ? 2 2 2 A. ( ) 2 2 2 x y z + − + = 2 6 . B. ( ) x y z + − − = 2 6 . 2 2 2 C. ( ) 2 2 2 x y z − − + = 2 6 . D. ( ) x y z + + + = 2 6 Hướng dẫn giải: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 Δ Δ, là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1 2 Δ Δ, làm đường kính. Giả sử mặt cầu cần lập là (S ) và A B, lần lượt là tiếp điểm của (S ) với 1 2 Δ Δ, . Viết phương trình 1 2 Δ Δ, dưới dang tham số thì ta có: A m m m B n n n (2 ;1 4 ;1 2 , 2 ;3 ; 1 + + + − + + − − ) ( ) Do AB là đoạn vuông góc chung của 1 2 Δ Δ, nên:   ⎧⎪= ⎧ − = ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ = = ⇒ − − . 0 3 21 00 2;1;1 , 2;3; 1 ABU n mm n A B Δ 1 ( ) ( )   = ⎩ − = ⎪⎩ ABU n m . 0 3 0 Δ 2 Trung điểm I của AB có tọa độ là I (0;2;0) nên phương trình mặt cầu cần lập là: 2 2 2 ( ) x y z + − + = 2 6 Chọn A. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Ox , yz cho mặt cầu ( )2 2 2 S x y z x y z : + + − + + − = 2 4 2 3 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. A. (P y z ): 2 0 − = . B. (P x z ): 2 0 − = . C. (P y z ): 2 0 + = . D. (P x z ): 2 0 + = Hướng dẫn giải: (S ) có tâm I (1; 2; 1 − − ) và bán kính R = 3. (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên (P) chứa Ox và đi qua tâm I của mặt cầu.   và (P) qua O. có vec tơ pháp tuyến n i OI , 0; 1; 2 ( ) = = − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Ta có: OI P (1; 2; 1 , − − ) ( ) Vậy (P y z ): 2 0. − = Chọn A. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 x y z d− − = =−và cắt mặt :2 1 1 phẳng (P x y z ): 2 6 0 + + − = tại điểm M. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A, biết diện tích tam giác IAM bằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình Học Tọa Độ Oxyz A. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 1+ + + − = 1 6 . B. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 1+ + + − = 1 36 . C. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 1+ − − − = 1 6 . D. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 1+ + + − = 1 6 Hướng dẫn giải:  Một vec tơ pháp tuyến của đường Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là u (2;1; 1 . − )  Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng thẳng và mặt phẳng (P) là n = (1;2;1 .) (P).   2 2 1 1 + − Ta có ( )  0  u n  IMA sin cos , 30 = = = ⇒ = = 6. 6 2 Gọi R bán kính mặt cầu (S IA R ) ⇒ = . Tam giác IAM vuông tại A có 0 1 ∧= ⇒ = = ⇔ = ⇒ = IMA IMA AM R S IA AM R 30 3. 3 3 . 3 3 6 2 Giả sử: ( )1 I t t t t + + − < 1 2 ;1 ; ,2 Từ giả thuyết ta có khoảng cách: ( ) ( ) 3 3 t − d I P R t t , 1 3 = ⇔ ⇔ = − ∪ = (loại) 6 ⇒ − I ( 1;0;1) Phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 1 + + + − = 1 6. Chọn A. Câu 9: Trong không gian tọa độ Ox , yz viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A B (1; 1;2 , 2;1; 1 − − ) ( ) C(− − 1;2; 3) biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Oxz. A. ( )2 2 S x y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . B. ( )2 2 12 2 4 1326 :11 11 121 C. ( )2 2 12 2 4 1327 S x y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . :11 11 121 S x y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + + − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . D. ( )2 2 12 2 4 1328 :11 11 121 Hướng dẫn giải: 12 2 4 1329 S x y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ :11 11 121 2 2 2 2 I ∈(Oxz) nên I x z IA IB IC ( ;0; ,) = = nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎧⎪ − + + − = − + + + x z x z 1 1 2 2 1 1 ⎨⎪ − + + − = + + + + ⎩ 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x z x z 1 1 2 1 4 3 Giải hệ ta được 12 4 12 4 x z I ⎛ ⎞ = − = − ⇒ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ;0; 11 11 11 11 Bán kính 1326 R = 121 2 2 12 2 4 1326 S x y z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Phương trình mặt cầu ( ) Chọn A. :11 11 121 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay """