Trắc Nghiệm Nâng Cao Hàm Số

"Trắc Nghiệm Nâng Cao Hàm Số 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Trắc Nghiệm Nâng Cao Hàm Số Ebooks Nhóm Zalo ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG Cho hàm số y f x m = ( , ,m) là tham số, có taaph xác định D. Hàm số f đồng biến trên D f x D ⇔ ≥ ∀ ∈ ′ 0, . Hàm số f nghịch biến trên D f x D ⇔ ≤ ∀ ∈ ′ 0, . Từ đó suy ra điều kiện của m. 1. Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu. Lí thuyết nhắc lại: Cho bất phương trình: ( , ) 0, ( ) ( ), min ( ) ( ) f x m x D f x g m x D f x g m ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ x D ∈ Cho bất phương trình: ( , ) 0, ( ) ( ), min ( ) ( ) f x m x D f x g m x D f x g m ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ x D ∈ Phương pháp: Để điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của hàm số y f x m = ( , ) , ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số. - Bước 2: Tính y′. Để hàm số đồng biến y x D ′ ≥ ∀ ∈ 0, , (để hàm số nghịch biến y x D ′ ≤ ∀ ∈ 0, ) thì ta sử dụng lý thuyết nhắc lại phần trên. - Bước 3: Kết luận giá trị của tham số. Chú ý: + Phương pháp trên chỉ sử dụng được khi ta có thể tách được thành f x và g m ( ) ( ) riêng biệt. + Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2. 2. Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện của tham số: Lý thuyết nhắc lại: 1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu 2 y ax bx c ' = + + thì: ⎡ = = ⎧ ⎡ = = ⎧ a b a b 0 0 ⎢⎨ ⎢⎨ ⎩ ≥ ⎩ ≤ c c 0 0 ⎢ ⎢ ∙ ≥ ∀ ∈ ⇔ ′ ∙ ≤ ∀ ∈ ⇔ ′ y x y x 0, 0,   ⎢ ⎢ ⎧ > ⎧ < a a 0 0 ⎢⎨ ⎢⎨ ⎢⎩Δ ≤ ⎢⎩Δ ≤ ⎣ ⎣ 0 0 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai ( )2 g x ax bx c = + + Nếu Δ < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a. Nếu Δ = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a, trừ2b = − xa Nếu Δ > 0 thì g x( ) có hai nghiệm 1 2 x x, và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm 1 2 x x, của tam thức bậc hai ( )2 g x ax bx c = + + với số 0. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎧Δ > ⎧Δ > ⎪ ⎪ 0 0 ∙ < < ⇔ > ∙ < < ⇔ > ∙ < < ⇔ < ⎨ ⎨ 0 0 0 0 0 0 x x P x x P x x P 1 2 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ < ⎩ > S S 0 0 5) Để hàm số3 2 y ax bx cx d = + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) ( ) 1 2 x x; bằng d thì ta thực hiện các bước sau: Tính y′. Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và ngịch biến: ( ) 0 1 ⎧a ≠ ⎨⎩Δ > 0 Biến đổi 1 2 x x d − = thành ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 x x x x d + − = 4 2 Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m. Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: mx 1 yx m+ =+luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. A. m ≤1 hoặc m ≥ −1. B. m < −1 hoặc m >1. C. m ≤ 2 hoặc m ≥ −1. D. m ≤ 2 hoặc m ≥1. Hướng dẫn giải: TXĐ: D m = −  \{ } . 2 yx m− m 1 ′ =+. Ta có: ( ) 2 ⎡ < − Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi 21 m y x m mm ' 0, 1 01 > ∀ ≠ − ⇔ − > ⇔ ⎢⎣ > Chọn B. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x x mx = + + sin cos đồng biến trên . A. − ≤ ≤ 2 2. m B. m ≤ − 2. C. − < < 2 2. m D. m ≥ 2. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: y x x mx = + + sin cos y x x m ' cos sin = − + Hàm số đồng biến trên  ⇔ ≥ ∀ ∈ y x ′ 0, .  ⇔ ≥ − ∀ ∈ m x x x sin cos , .  ⇔ ≥ m x max ,  ( )  với  ( x x x ) = − sin cos .  ⎛ ⎞ = − = − ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠Ta có: ( ) sin cos 2 sin 2. x x x x 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Do đó: max 2.  ( x) =  Từ đó suy ra m ≥ 2. Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y m x m x = − − + ( 3) (2 1)cos luôn nghịch biến trên  ? − ≤ ≤ m . B. m ≥ 2 . C.31 ⎧⎨⎩>≠. D. m ≤ 2 . A. 2 43 Hướng dẫn giải: Chọn A. m m Tập xác định: D =  . Ta có: y m m x ' 3 (2 1)sin = − + + Hàm số nghịch biến trên  ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ + ≤ − ∀ ∈ y x m x m x ' 0, (2 1)sin 3 ,   Trường hợp 1: 12 m = − ta có 7 ≤ ∀ ∈x  . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên  . 0 ,2 Trường hợp 2: 12 m < − ta có 3 3 − − m m sin , 1 x x ≥ ∀ ∈ ⇔ ≤ −  2 1 2 1 m m + + ⇔ − ≥ − − ⇔ ≥ − 3 2 1 4 m m m Trường hợp 3: 12 m > − ta có: 3 3 − − m m ⇔ − ≥ + ⇔ ≤ m m m . Vậy 2 x x 2 m⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∈ − 4;3 sin , 1 ≤ ∀ ∈ ⇔ ≥ 2 1 2 1 m m + + 3 2 13 x 2 Câu 4: Cho hàm số [ ] y x x = + ∈  . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2 và   A. 7 11 0; ; sin , 0; ⎛ ⎞   ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. B. 7 11 12 12  ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. ; 12 12 và ⎛ ⎞    ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. D. 7 11 11 C. 7 7 11 0; ; và    ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. 12 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. ; ; 12 12 12   ⎡= − + ⎢  x k y x = + . Giải 1 12 ' 0 sin 22 7 TXĐ: D =  . 1 = ⇔ = − ⇔ ⎢⎢ = + ⎢⎣,(k ∈) ' sin 2 2  y x   x k 12  Vì x∈[0; ] nên có 2 giá trị712 = và 1112 = thỏa mãn điều kiện. x x Bảng biến thiên: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao || 0 0 || ⎛ ⎞  Hàm số đồng biến 7  ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ và 11; ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0;12 12  2 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) ( ) y x m x m = + − + + + ln 16 1 1 2 nghịch biến trên khoảng (−∞ ∞; .) A. m∈ −∞ − ( ; 3 .] B. m∈ +∞ [3; .) C. m∈ −∞ − ( ; 3 .) D. m∈ −[ 3;3 .] Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 Ta có: ( ) ( ) y x m x m = + − + + + ln 16 1 1 2 x 32 1 ( ) 2 ′ = − + y m 16 1 x + Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi y x ′ ≤ ∀ ∈ 0,  xm x 32 1 0, ( ) 2 ⇔ − + ≤ ∀ ∈ + 16 1 x xm x 32 1 0, 2 ⇔ − + + ≤ ∀ ∈ 32 1 16 1 0, x m x x  + ( )( ) Cách 1: ( ) 2 x− + ≤ ∀ ∈ 16 1 2 ⇔ − + + − + ≤ ∀ ∈ 16 1 32 1 0, m x x m x  ( ) ( ) ⎧ > − m 1 ( ) ⎧⎪− + < ⎧ > − 16 1 0 1 m m ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 2 2 m m m Δ = − + ≤ ′ ⎩− − + ≤ ⎪⎩ 16 16 1 0 16 32 240 0 ( ) ⎪ ⇔ ⇔ ≥ ⎨⎡ ≤ − m m 5 3. ⎪⎢⎣ ≥ ⎩ m 3 32 1 0 xm x Cách 2: ( ) 2 x− + ≤ ∀ ∈ + 16 1 32 1, 32 ( )16 1 xm x ⇔ ≤ + ∀ ∈ với2 g xx x + ⇔ + ≥ m g x 1 max ( ), 2 =+ 16 1 x 2  − + ′ = 512 32 ( ) x Ta có: ( ) g x 2 16 1 2 x + File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao g x x ′ = ⇔ = ± 1 ( ) 04 1 1 lim ( ) 0; 4; 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ g x g g = = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 4 4 →±∞ Bảng biến thiên: x −∞14 −14+∞ g x ′( ) − 0 + 0 − g x( ) 4 0 0 −4 Dựa vào bảng biến thiên ta có max ( ) 4 g x =  Do đó: m m + ≥ ⇔ ≥ 1 4 3. 2 x x4 − =+đồng biến trên [1;+∞) thì giá trị của m là: Câu 6: Hàm số yx m A. { } 1;2 \ 1 ⎝ ⎦ . B. m∈ − − ( 1;2 \ 1 ] { } . C. 1 m⎛ ⎤ ∈ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . D. 1 ∈ − − ⎜ ⎥ 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x x4 − m⎛ ⎞ 1;2 2 + − 2 4 'x mx m m⎛ ⎤ ⎝ ⎦. ∈ −⎜ ⎥ 1;2 =+có tập xác định là D m = −  \{ } và( ) yx m ⎧− < ⎪ m yx m =+. 2 1 Hàm số đã cho đồng biến trên [ )[ ) +∞ ⇔ ⎨⎪⎩+ − ≥ ∀ ∈ +∞ 1;2 4 0, 1; 2 x mx m x 2 2 [ ) ( ) [ ) x mx m x + − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ − ≥ − ∀ ∈ +∞ 2 4 0, 1; 2 2 , 1; m x x x (1) Do x = 2 thỏa bất phương trình ( )2 2 2 m x x − ≥ − với mọi m nên ta chỉ cần xét x ≠ 2 . ⎧ − x 2 Khi đó ( )[ ) ⎪≤ ∀ ∈ 2 , 1;2 m x ⇔⎪ − 1 x ⎨⎪ − x 2 2 ( ) (2) ≥ ∀ ∈ +∞ ⎪⎩ − 2 , 2; m x x 2 2 Xét hàm số ( )22 f xx− x x x f xx − + ′ =− 4 =−trên [1; \ 2 +∞) { } có ( ) ( ) 2 2 f xx⎡ = ( ) 0 x ′ = ⇔ ⎢⎣ = 04 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Bảng biến thiên ⎧ > − ⎪ ⇔ ≤ ⇔ − < ≤ ⎨⎪⎩ ≥ −. m 11 YCBT m m 2 1 12 2 8 m Cách khác 2 x x4 − 2 2 4 'x mx m + − =+có tập xác định là D m = −  \{ } và( ) yx m ⎧− < ⎪ m yx m =+. 2 1 Hàm số đã cho đồng biến trên [ )[ ) +∞ ⇔ ⎨⎪⎩+ − ≥ ∀ ∈ +∞ 1;2 4 0, 1; 2 x mx m x ⎡− ≤ ≤ 4 0 m ⎢⎧ > ⎡ ⎢ m 0 2 ⎡Δ ≤ ⎡ + ≤ ⎪⎢ m mm 0 4 04 ⎢⎢⎣ < − ⎢ ⎪ 2 2 + − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ⎧Δ > ⇔ ⎧ + > ⇔ ⎢ [ ) x mx m x m mm 2 4 0, 1; 0 4 01 ⎢⎢⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎢⎨ ≥ − ⎢ ⎢⎩ < ≤ ⎣ ⎢⎣⎪⎩− + + ≤ ⎢⎪⎢⎪ ≤ x x m m m 1 4 1 1 2 1 2 m 2 ⎢⎪⎣⎩ Kết hợp với đk m > −1 ta được 1 − < ≤ m . 12 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: 1 3 2 1 y mx m x m x = − − + − + đồng biến trên [2;+∞) ( ) ( ) 1 3 2 3 3 A. 23 m ≥ B. m ≤1 C. m ≥ −1 D. m ≤ −1 Giải: 2 Ta có: ( ) ( ) y mx m x m ′ = − − + − 2 1 3 2 Hàm số đồng biến trên [2;+∞) thì 2 ( ) ( ) [ ) y mx m x m ' 0 2 1 3 2 0, 2; ≥ ⇔ − − + − ≥ ∀∈ +∞ 6 2 2 3 2 6 0 , 2; − ⇔ − + + − ≥ ⇔ ≥ ∀∈ +∞ 2 x ( ) [ ) m x x x mx x 2 Đặt ( ) [ ) 26 2 , 2; − + 2 3 − x − +ta tìm GTLN của hàm: f x x ( ), 2; ∀ ∈ +∞ [ ) = ∀ ∈ +∞ f x x x x 2 3 Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 2 2 12 6 ' , 2; x x f x x − + ( )( )[ ) = ∀ ∈ +∞ 2 x x − + 2 3 2 − + ⎡ = + 2 2 12 6 3 6 x x x ( )( ) ( ) f x ' 0 0 = ⇔ = ⇔ ⎢ 2 2 x x x loai − + ⎢ = − ⎣ 2 3 3 6 2 2 6 2 − Ta có: ( ) ( ) ( ) f f f x m m 2 , 3 6 , lim . = + = ≤ ⇔ ≤ 3 2 x 3 →+∞ Chọn A. Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: 3 2 y x x mx = − + + − 3 3 1 nghịch biến trên khoảng (0;+∞) ? A. m ≤1 B. m ≤ −1 C. m ≥ −1 D. m ≤ 0 Hướng dẫn giải: Ta có: 2 y x x m ′ = − + + 3 6 3 . Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞) thì: 2 y x x m x ( ) ' 0 3 6 3 0, 0; ≤ ⇔ − + + ≤ ∀ ∈ +∞ 2 ( ) ⇔ − ≥ ∀ ∈ +∞ x x m x 2 , 0; 2 Đặt ( ) ( ) f x x x x = − ∀ ∈ +∞ 2 , 0; Ta đi tìm GTNN của hàm f x x ( ), 0; ∀ ∈ +∞ ( ) Ta có: ( ) f x x ' 2 2 = − ( ) f x x x ' 0 2 2 0 1. = ⇔ − = ⇔ = Ta có: (0 0; 1 1, lim ( ) ) ( )x f f f x = = − = +∞ →+∞ Vậy để hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+∞) thì: ( )( ) +∞≥ ⇔ ≤ − . min f x m m 1 0; Chọn B. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số3 2 y x x mx = − + + 6 1 đồng biến trên khoảng (0;+∞) ? A. m ≤ 0 . B. m ≤12 . C. m ≥ 0 . D. m ≥12 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1:Tập xác định: D =  . Ta có 2 y x x m ′ = − + 3 12 Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên  ⇔ ≥ ∀ ∈ y x ′ 0, 3 0 ( )12 ⎧ > hnm ⇔ ⎨ ⇔ ≥ ⎩ − ≤ 36 3 0 m Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên (0;+∞) ⇔ = y′ 0 có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa 1 2 x x < ≤ 0 (*) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Trường hợp 2.1: y′ = 0 có nghiệm x = 0 suy ra m = 0. Nghiệm còn lại của y′ = 0 là x = 4 (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y′ = 0 có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa ⎧Δ >′ ⎪ x x S < < ⇔ < ⎨⎪⎩ > 0 ⎧⎪ − > ⎪ 36 3 0 m không có m .Vậy m ≥12 1 2 0 0 ⇔ < ⇒ ⎨⎪⎪ > 4 0( ) vl P 0 ⎩ m 3 0 Cách 2:Hàm số đồng biến trên (0;+∞)2 ⇔ ≥ − = ∀ ∈ +∞ m x x g x x 12 3 ( ), (0; ) . Lập bảng biến thiên của g x( ) trên (0;+∞). x 0 2 +∞ g′ + 0 – g 12 0 –∞ Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số4 2 y x m x m = − − + − 2( 1) 2 đồng biến trên khoảng (1;3) ? A. m∈ −[ 5;2). B. m∈ −∞ ( ;2]. C. m∈ +∞ (2, ) . D. m∈ −∞ − ( ; 5). Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định D =  . Ta có 3 y x m x ' 4 4( 1) = − − . Hàm số đồng biến trên (1;3) 2 ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ = + ≥ ∀ ∈ y x g x x m x ' 0, (1;3) ( ) 1 , (1;3) . Lập bảng biến thiên của g x( ) trên (1;3). x 1 3 g′ + 0 g 10 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m g x m ≤ ⇔ ≤ min ( ) 2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 2 Câu 11: Tìm tham số m để hàm số ( ) y x mx m x = + + + + 3 3 1 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 . A. 1 21 < B. 1 21 m− < hoặc 1 21 2 C. 1 21 m− 2 m+ > 2 > D. 1 21 1 21 m+ 2 − + < < m 2 2 Hướng dẫn giải: 2 2 D y x mx m x mx m = = + + + = + + + , 3 6 3 1 3 2 1 ′ Ta có ( ) ( ) 2 y x mx m ′ = ⇔ + + + = 0 2 1 0 (1) . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ ≤ y′ 0 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ (1) có hai nghiệm ( ) 1 2 1 2 x x x x ; ≠ thoả mãn 1 2 x x − > 4 ⎧Δ >′ ⎧Δ >′ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⇔ Δ > ⇔ − − > ⎨ ′ 0 04 1 4 2 4 2 4m m − > Δ >′ ⎪⎩ ⎪⎩ x x 1 2 2 1 21 1 21 5 02 2 − + ⇔ − − > ⇔ < ∨ > . m m m m Vậy hàm số (1) nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 1 21 1 21 − + ⇔ < ∨ > m m 2 2 Chọn B. Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số1 1 3 22 3 4 y x mx mx m = − + − + 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m m = − = 1; 9 . B. m = −1. C. m = 9 . D. m m = = − 1; 9 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D =  . Ta có 2 y x mx m ′ = − + 2 Ta không xét trường hợp y x ′ ≤ ∀ ∈ 0,  vì a = >1 0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 ⇔ = y′ 0 có 2 nghiệm 1 2 x x, thỏa File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 2 ⎧⎪Δ > ⇔ − > ⎧ > < ⎡ = − 0 8 0 8 0 1 m m m hay m m x xx x S P m m m − = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎢ 39 4 9 8 9 9 1 2 2 2 2 − = ⇔ − = − = ⎣ = ⎪⎩ ⎩ ( ) 1 2 Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 mx y f x mx x m = = + + − + giảm trên nửa khoảng [1; ) +∞ ? 2 ( ) 7 14 2 3 A. 14 ⎝ ⎠. B. 14 ⎝ ⎦ . C. 14 2;15 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −∞ − ⎛ ⎤ ⎜ −∞ − ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦. D. 14; ;15 Hướng dẫn giải: Chọn B. ;15 ⎡ ⎤ ⎡ ⎞ ⎣ ⎠ . ⎢− +∞⎟ 15 Tập xác định D =  , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 2 mx mx x + + ≤ ∀ ≥ 14 14 0, 1, tương đương với 214 ( )14 − +(1) g x m = ≥ x x Dễ dàng có được g x( ) là hàm tăng ∀ ∈ +∞ x [1; ) , suy ra114 min ( ) (1) g x g = = − x 15 ≥ Kết luận: (1) 14 min ( ) ⇔ ≥ ⇔ − ≥ g x m m x 15 ≥ 1 Câu 14: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2 2 (1 ) 1 x m x m + − + + yx m =−đồng biến trên khoảng (1; ) +∞ ? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 − + − − ′ = = 2 4 2 1 ( ) Tập xác định D m =  \{ } . Ta có x mx m m g x yx m x m 2 2 ( ) ( ) − − Hàm số đồng biến trên (1; ) +∞ khi và chỉ khi g x x ( ) 0, 1 ≥ ∀ > và m ≤1 (1) g′ m m nên (1)⇔ = g x( ) 0 có hai nghiệm thỏa 1 2 x x ≤ ≤1 Vì 2 2( 1) 0, Δ = + ≥ ∀ 2 ⎧ = − + ≥ ⎪⎨ ⇔ ≤ − ≈ 2 (1) 2( 6 1) 0 g m m Điều kiện tương đương là ⎪ = ≤ ⎩. S m 3 2 2 0, 2 2 m 1 Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số4 2 y x m x m = − + − + (2 3) nghịch biến ⎛ ⎤ ⎜−∞ ⎥ trên khoảng (1;2) là ;pq ⎝ ⎦ , trong đó phân sốpqtối giản và q > 0 . Hỏi tổng p q + là? A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. Tập xác định D =  . Ta có 3 y x m x ′ = − + − 4 2(2 3) . Hàm số nghịch biến trên (1; 2) 2 3 ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ + = ∀ ∈ y x m x g x x ′ . 0, (1; 2) ( ), (1; 2) 2 Lập bảng biến thiên của g x( ) trên (1; 2) . g x x x ′( ) 2 0 0 = = ⇔ = Bảng biến thiên x 1 2 g′ + 0 g 11 5 2 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: 5 m g x m ≤ ⇔ ≤ . Vậy p q + = + = 5 2 7 . min ( )2 3 2 Câu 16: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) ( ) y x m x m x = + − + − + 2 3 1 6 2 2017 nghịch biến trên khoảng (a b; ) sao cho b a − > 3 là A. m > 6. B. m = 9 . C. m < 0 . D.06 ⎡ < m ⎢⎣ >. m Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Ta có ( ) ( ) y x m x m ′ = + − + − 6 6 1 6 2 2 Hàm số nghịch biến trên ( ) ( ) ( ) ( ) a b x m x m x a b ; ⇔ + − + − ≤ ∀ ∈ 1 2 0 ; 2 Δ = − + m m6 9 2 Δ ≤ ⇒ + − + − ≥ ∀ ∈ ⇒ 0 x m x m x 1 2 0  Vô lí TH1: ( ) ( ) TH2: Δ > ⇔ ≠ ⇒ 0 3 m y′ có hai nghiệm ( ) 1 2 2 1 x x x x , > ⇒Hàm số luôn nghịch biến trên ( ) 1 2 x x; . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Yêu cầu đề bài: ( )2 2 2 1 2 1 ⇔ − > ⇔ − > ⇔ − > x x x x S P 3 9 4 9 2 26 ⎡ > ( ) ( ) m ⇔ − − − > ⇔ − > ⇔ ⎢⎣ < m m m mm 1 4 2 9 6 00 Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm sốcos 4 m x yx m− =−nghịch biến trên cos ⎛ ⎞   khoảng ;3 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡− < ≤ 2 0 m A. 1 2 ≤ < m . B. ⎢⎢ ≤ < ⎣. C. m ≥ 2. D. − < ≤ 2 0 m . 12 2 Hướng dẫn giải: 2 m ⎧ − < ⎡− < ≤ ⎪ ⇔ ⇔ ⎢ 24 0 2 0 m m ( ) m x m x cos 4 4 sin − − ⎛ ⎞   y y y x = ⇒ = < ∀ ∈⎜ ⎟ ' ; ' 0, , 2 cos cos 3 2 x m x m − − ⎝ ⎠ ( ) Chọn B. ∉ ⎢ ≤ < ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ ⎣. 1 1 ⎨ ⎛ ⎞ m m 0; 2 2 2 Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: tan 2 x − =−đồng biến trên yx m tan ⎛ ⎞  khoảng 0;4 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A. m ≤ 0 hoặc 1 2 ≤ < m . B. m ≤ 0 . C. 1 2 ≤ < m . D. m ≥ 2. Hướng dẫn giải: ⎛ ⎞  Đặt t x = tan , với 0; 0;1 ( ) ∈ ⇒ ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x t 4 Hàm số đã cho trở thành tìm tham số m để hàm sốt 2 − − + ′ =− m 2 Ta có: ( )( )2 y tt m Để hàm số đồng biến trong khoảng (0;1) thì: =−đồng biến trên khoảng (0;1) yt m ⎧⎪ > ⎧⎪− + > < ⎧⎪ ⎡ ≤ < ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⇔ ⎨ ⎢ y t m m m ' 0 2 0 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0;1 0;1 0 ⎪ ≠ ⎪ ∉ ⎪ ∉ ⎣ ≤ ⎩ ⎩ ⎩ t m m m m Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm sốcot 1 ym x− x =−đồng biến trên khoảng cot 1 ⎛ ⎞   ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. ;4 2 A. m∈ −∞ ∪ +∞ ( ;0 1; ) ( ). B. m∈ −∞ ( ;0) . C. m∈ +∞ (1; ) . D. m∈ −∞ ( ;1) . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2 2 Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) − + − + + − + − 1 cot cot 1 1 cot cot 1 1 cot 1 x m x m x x x m ′ = = ym x m x − −. 2 2 ( ) ( ) cot 1 cot 1 ⎛ ⎞   Hàm số đồng biến trên khoảng ;4 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ khi và chỉ khi:   ⎧ ⎛ ⎞ ⎪− ≠ ∀ ∈⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎧ ≤ ∨ ≥ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ≤ m x x cot 1 0, ;4 2 0 10 m mm + − ⎛ ⎞ ⎩ − > ⎪ ′ = > ∀ ∈⎜ ⎟ ⎪ − ⎝ ⎠ ⎩. 2 ( )( ) 1 cot 1 1 0 x m m   0, ; y x 2 cot 1 4 2 ( ) m x Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: 3 2 2 ( ) ( )( ) y x mx m m x m m = − − − + + − − 2 7 7 2 1 2 3 đồng biến trên khoảng (2;+∞) ? A. 5 − ≤ ≤ m B. 5 − < < m D. 1 5 12 − < ≤ m C. 5 − < ≤ m Hướng dẫn giải: 2 2 12 12 2 2 Ta có: ( ) y x mx m m ′ = − − − + 3 2 2 7 7 Hàm số đồng biến trong khoảng (2;+∞) thì ta xét 2 trường hợp sau: TH1: Hàm số luôn đồng biến trên R: 2 2 2 Δ ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ − + ≤ ' 0 3 2 7 7 0 3 3 0, m m m m m VL ( ) ( ) Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn đồng biến trên R, TH2: Hàm số đồng biến trong khoảng (2;+∞) 2 Δ > ⇔ − + > ∀ ∈ ' 0 3 3 0, m m x  . ( ) Giả sử ( ) 1 2 1 2 x x x x , , < là hai nghiệm của phương trình y ' 0 = , để Hàm số đồng biến trong khoảng (2;+∞) thì: S x x ⎧⎪ ≤ 2 < ≤ ⇔ ⎨⎪ − − ≥ ⇔ − + + ≥ ⎩ 1 2 2 2 ( )( ) ( ) x x x x x x 2 2 0 2 4 0,(1) 1 2 1 2 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Theo định lí vi-et ta có: 2 m ⎧+ = ⎪⎪⎨− + − ⎪ = x x 1 2 2 3 (2) ⎪⎩ x x 1 2 2 7 7 m m 3 Thay (2) vào (1) ta được: ⎧ ≤ m 6 ⎪⎨− + − ⎛ ⎞ − + ≥ ⇔ − + + ≥ ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ 2 m m mm m 2 7 7 2 2 4 0 2 3 5 0 2 3 3 ⎧ ≤ m 65 ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ − ≤ ≤ 5 1 m 1 2 − ≤ ≤ ⎪⎩ m 2 Vậy với 5 − ≤ ≤ m thì hàm số đồng biến trong khoảng ( ) 2;+∞ . 12 Chọn A. Câu 21: Cho hàm số f x( ) xác định trên  và có đồ thị hàm số y f x = '( ) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( ) −1;1 . B. Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( ) 1; 2 . C. Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( ) −2;1 . D. Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. • Từ đồ thị ta thấy: + Hàm số f x( ) nghịch biến trên các khoảng ( ) −∞ −; 2 và ( ) 0;2 . + Hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng ( ) −2;0 và ( ) 2; . +∞ Câu 22: Hình bên là đồ thị của hàm số y f x = ' . ( ) Hỏi đồ thị hàm số y f x = ( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( ) 2;+∞ B. ( ) 1;2 C. ( ) 0;1 D. ( ) 0;1 và ( ) 2;+∞ Hướng dẫn giải: Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Dựa vào đồ thị f x '( ) ta có f x ' 0 ( ) > khi x∈ +∞ ⇒ (2; ) hàm số f x( ) đồng biến trên (2;+∞) Câu 23: Cho hàm số ( )4 3 2 f x ax bx cx dx e = + + + + (a ≠ 0). Biết rằng hàm số f x( ) có đạo hàm là f x '( ) và hàm số y f x = '( ) có đồ thị như hình vẽ bên. y 4 x -2 -1 O 1 Khi đó nhận xét nào sau đây sai? A. Trên (−2;1) thì hàm số f x( ) luôn tăng. B. Hàm f x( ) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2 . C. Hàm f x( ) đồng biến trên khoảng (1;+∞). D. Hàm f x( ) nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2) Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị của hàm số y f x = '( ) ta thấy: ● f x ' 0 ( ) > khi 1 1 ⎡− < < x ⎣ >f x( ) đồng biến trên các khoảng (−2;1) , (1;+∞). ⎢ ⎯⎯→ x 1 Suy ra A và C đều đúng. ● f x ' 0 ( ) < khi x < − ⎯⎯→ 2 f x( ) nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2). Suy ra D đúng, B sai. Chọn B. y f x = ( ) y f x = ′( ) ( )2 y f x = Câu 24: Cho hàm số .Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao (1;2) (2;+∞) (− − 2; 1) (−1;1) A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. ′ ′ 2 2 2 2 ( ( )) ( ) ( ) ( ) Ta có: = ′ ′ = f x x x x . 2 f xf f x xf x 0 2 0 ′> ⇔ > ′ 2 2 ( ( )) ( ) Ta có: . 0 00 1 2 ⎪⎧ > ⎧ > x xx x TH1: . ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ < < ∨ > ( )2 2 2 ⎪′ > ⎩− < < ∨ > ⎩ f x x x 0 1 1 4 ⎧⎪< ⎧ < x xx 0 02 1 TH2: . ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ − < < − ( )2 2 2 ⎪′ < ⎩ < − ∨ < < ⎩ f x x x 0 1 1 4 Câu 25: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên R. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x = '( ) ( y f x = '( ) liên tục 2 trên R ). Xét hàm số ( ) ( ) g x f x = − 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g x( ) nghich ̣ biến trên (−∞ −; 2) B. Hàm số g x( ) đồng biến trên (2;+∞) C. Hàm số g x( ) nghịch biến trên (−1;0) D. Hàm số g x( ) nghịch biến trên (0;2) Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét hàm số File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao g x f x 2 ( ) ( 2) = − g x x f 2 '( ) 2 . '(x 2) = − ⎡ = ⎡ = x x 0 0 ⎡ = ⎢ ⎢ x 0 2 2 g x x f x x x '( ) 0 2 . ( 2) 0 2 1 1 = <=> − = <=> ⎢ <=> − = − <=> = ± ⎢ ⎢ 2 ⎣ − = ⎢ − = ⎢ = ± ⎣ ⎣ f xx x '( 2) 02 2 2 2 Ta lập bảng xét dấu => đáp án D Câu 26: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị của hàm y f x = '( ) như hình vẽ. Xét hàm số ( ) ( )2 g x f x = −2 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số f x( ) đạt cực đại tại x = 2 B. Hàm số f x( ) nghịch biến trên (−∞;2) C. Hàm số g x( ) đồng biến trên (2;+∞) D. Hàm số g x( ) đồng biến trên (−1;0) Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 Dễ thấy ( ) ( ) ( ) f x x x ' 1 2 = + − Do f x '( ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 2 nên f x( ) đạt cực trị tại x = 2 Hàm số f x( ) nghịch biến trên (−∞;2) do f x x ' 0 2 ( ) < ∀ < ( ) 2 2 Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) t x g x f t g x f t t x f x x = − ⇒ = =⇒ = = − − 2 ' ' . ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − − − = − ⇒ 2 1 2 2 2 3 .3 x x x x x g x đồng biến trên (0;+∞)( ) ( )( ) ( ) ( ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D D( ⊂ ) và 0 x D ∈ . x là điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a b D ; ) ⊂ và ( ) 0 1) 0 f x f x a b x ( ) < ∈ ( 0 ), ; \ ( ) { 0} Khi đó ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f. x a b ∈ ; sao cho x là điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a b D ; ) ⊂ và ( ) 0 2) 0 f x f x a b x ( ) > ∈ ( 0 ), ; \ ( ) { 0} Khi đó ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. x a b ∈ ; sao cho f x được gọi là cực trị của f thì điểm ( x f x 0 0 ; ( )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số 3) Nếu ( ) 0 f. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị x và đạt cực trị tại điểm đó thì ( ) 0 Nếu hàm số f có đạo hàm tại 0 f x ' 0 = . Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Định lí 1: giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a b; ) chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên (a b x ; \ ) { 0} 1) Nếu f x '( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 x thì f đạt cực tiểu tại0 x 2) Nếu f x '( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0 x thì f đạt cực đại tại0 x . Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a b; ) chứa điểm 0 x , ( ) 0 f x ' 0 = và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x . 1) Nếu ( ) 0 f x '' 0 < thì f đạt cực đại tại 0 x . 2) Nếu ( ) 0 f x '' 0 > thì f đạt cực tiểu tại 0 x . 4. Kiến thức cần nhớ: 2 2 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B ( ) ( ) AB x x y y = − + − B A B A 2) Khoảng cách từ điểm ( ) 0 0 M x y; đến đường thẳng Δ + + = : ax by c 0 : File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ,ax by c + + ( )0 0 d Ma b Δ =+ 2 2 3) Diện tích tam giác ABC: S AB AC A AB AC AB AC = = −  ( )2 1 1 2 2 . .sin . . 2 2  với ( ) ( ) 1 2 1 2 a a a b b b = = ; ; ; Tích vô hướng của hai vectơ 1 1 2 2 a b a b a b . = +    . Chú ý: a b a b . 0 = ⇔ ⊥  . 3 2 y x bx cx d a = + + + ≠ a 0 . (1). Điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) II - HÀM BẬC BA A – LÝ THUYẾT CHUNG 1 - Cực trị của hàm số Xét hàm số3 2 y x bx cx d = + + + a . 2 b ac − ≤ 3 0 hàm số không có điểm cực trị. ⎧ − > ⎨⎩ =hàm số có duy nhất một điểm cực trị. 23 0 b ac a 0 ⎧ − > ⎨⎩ ≠hàm số có hai điểm cực trị1 2 x x, là nghiệm của phương trình: 23 0 b ac a 0 2 c b ac 2 3 − y ax bx c ' 0 3 2 0 = ⇔ + + = , có 1 223b Với 2 Khi đó: − + = , x xa x x x x = ⇒ − = . .3 3 1 2 1 2 2 a a 2 ⎛ ⎞ b bc d y c x d 2 = − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 :3 3 9 a a 2 ⎛ ⎞ b Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị là 2 k ca = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 3 3 2 Tọa độ 2 điểm cực trị là ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ b bc A x c x d 2;3 3 9 , ⎜ ⎜ ⎟ − + − ⎟ 1 1 a a ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ b bc B x c x d 2;3 3 9 . ⎜ ⎜ ⎟ − + − ⎟ 2 2 a a ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 2 2 ⎛ ⎞ 19 3b 4 Độ dài đoạn thẳng AB là + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. c x x a 1 2 bc S d x x 1 ⎛ ⎞ Diện tích tam giác OAB là ( 1 2 ) = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 2 9 a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Trung điểm I của AB cũng chính là điểm uốn của đồ thị hàm số, tức hoành độ của I là nghiệm 3 ⎛ ⎞ b bc b I d 2 ⎜− − + ⎟ của phương trình y '' 0 = , vì vậy ; . 2 3 3 27 a a a 2. Các dạng toán hay gặp: AB k k. 1 ⊥ Δ ⇔ = − Δ AB k k / /Δ ⇒ = Δ k k ABk k −  Δ ( , ) tan1 . ⎝ ⎠ Δ = ⇔ =+ Δ A B, cách đều AB / / ⎡ Δ Δ ⇔ ⎢⎣ ∈ Δ I >> Cụ thể: AB / /Δ ( A B, nằm cùng phía Δ ); I ∈ Δ ( A B, nằm về hai phía với Δ ). ⎧ ∈ Δ I Δ ⇔ ⎨⎩ = −. A B, đối xứng . 1 k kΔ A B, nằm về hai phía trục hoành ⇔ = y 0 có ba nghiệm phân biệt   ΔABC cân tại C CI AB ⇔ = . 0   ΔABC đều 3 ⇔ = = CI AB CI AB . 0,2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 3 2 y ax bx cx d = + + + và trục hoành chia thành hai phần, phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành và chúng có diện tích bằng nhau khi và 3 b bc b ⎛ ⎞ 2 chỉ khi tâm đối xứng thuộc trục hoành, tức − = ⇔ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . y d 0 0 2 3 3 27 a a a 3. Thủ thuật casio (tham khảo) viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 ′ ′′ ⎛ ⎞ ′′ = + ⇒ = + − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y y b bc y ax b y c x d * Chú ý: có 2 . 2 6 218 3 3 9 a a a Suy ra ⎛ ⎞ ′ ′′ ⎜ ⎟ − + − = − b bc y y c x d y 2 . 3 3 9 18 a a a ⎝ ⎠ Do đó bằng máy tính ta có thể tìm nhanh được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số bằng cách MODE 2 (Vào môi trường số phức) ya′ ′′ y y Nhập biểu thức .18 − Calc với x i = , (CALC ENG) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Ta được kết quả là mi n + , khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y mx n = + . B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số3 y x x = − + 3 5 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . A. R = 5 . B. R = 5 . C. R =10. D. R = 2 5 . Hướng dẫn giải: Chọn A. y x 2 Ta có = − ' 3 3 ⎡ = ⇒ = x y 1 3 ' 01 7 = ⇔ ⎢⎣ = − ⇒ = yx y Vậy A B (1;3 , 1;7 ) (− ) OA OB AB S RS 1 . . . 1.7 3. 1 5 5 Lúc đó ( ) = − − = ⇒ = = OAB OAB 2 4 OAB Câu 2: Kí hiệu min d là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 1 3 2 1 y x mx x m = − − + + . Tìm min d . 3 d = . B. min4 13 d = . D. min2 13 A. min23 Hướng dẫn giải: Chọn D. d = . C. min43 3 d = . 3 Điều kiện 2 2 b ac m − > ⇔ + > 3 0 1 0 . Khi đó độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 2 22 − ⎛ ⎞ b ac b d c m m 2 3 4 2 2 13 . 1 1 4 1 9 ( )( ( ) ) 2 2 = + − = + + + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 2 3 9 3 3 3 a a Dấu bằng xảy ra khi m = 0. 1 3 2 2 1 1 Câu 3: Cho hàm số ( ) y x mx m x = − + − − có đồ thị (Cm ). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm 3 A a b ( ; ) sao cho A là điểm cực đại (Cm )tương ứng với m m= 1và A là điểm cực tiểu (Cm ) tương ứng với m m= 2. Tính S a b = + . A. S =1. B. S = −1. C. S = −2 . D. S = −3. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 3 ⎡ = − ⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞ x m m m m m 2 21 3 1 3 5 ' 2 1; ' 0 1; , 1; y x mx m y M m N m = − + − = ⇔ ⇒ − ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ x m ⎣ = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 3 3 là các điểm cực trị của (Cm ). 3 2 3 2 x x x x M H y N H y + − − − 3 3 3 3 Ta có ( ) ( ) ∈ = ∈ = . : , : 1 2 3 3 Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 2 A H H S 0; 1− = ∩ ⇒ = − = − 0 1 1. Câu 4: Tìm m để hàm số ( ) 2 3 2 2 2 y x mx m x = − − − + có hai điểm cực trị1 2 x x; sao cho 2 3 1 3 3 ( ) 1 2 1 2 x x x x + + = 2 1. A. 23 m = . B. m = 5 . C. − <1 m . D. m = 7 . Hướng dẫn giải: Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) y x mx m x mx m ' 2 2 2 3 1 2 3 1 = − − − = − − + , Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y ' 0 = có hai nghiệm phân biệt. ⎡⎢ > m 2 13 13 13 4 0 1 Ta có ( ) 2 Δ = − > ⇔ ⎢⎢⎢ < − ⎣ m m 2 13 13 1 2 x x; là các nghiệm của y ' 0 = nên theo định lý Vi-et ta có: ⎧ + = x x m 1 2 ⎨⎩ = − + 2 1 2 3 1 x x m Do đó: ( ) 1 2 1 2 x x x x + + = 2 1 ⎡ = m 0 ⇔ − + + = ⇔ − + = ⇔ ⎢⎢ = 2 2 3 2 1 1 3 2 0 2 m m m mm 3 ⎣ Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy chỉ có 23 m = thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 5: Biết rằng hàm số2 3 2 2 1 y x m x m m x = + + + + + + đạt cực trị tại 1 2 x x, . Tính giá trị ( 1) ( 4 3) 3 2 nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2 P x x x x = − + 2( ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao A. min 9. P = − B. min 1. P = − C. 1 P = − D. 9 min .2 P = − Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 2 Ta có ( ) y x m x m m ′ = + + + + + 2 2 1 4 3 min .2 Vì hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2 x x, theo Viet ta có 2 ⎧ + + ⎪ = m m x x 4 3 .2 1 2 ⎨⎪ + = − + ⎩ thay vào biểu thức ( ) 1 2 1 2 P x x x x = − + 2 ta được ( ) x x m 1 2 1 =( )2 m + − 24 3 2 1 m m P m 28 7 4 9 + + ( ) m m + + = + + 2 2 = 2 ⇔ + = m 4 0 hay min92 Vậy để min p ( )2 P = − . 3 2 Câu 6: Cho hàm số ( ) ( ) y x m x m x = + − + − − 2 3 1 6 2 1. Xác định m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (−2;3) . A. m∈ − ∪ ( 1;3 3;4 ) ( ) . B. m∈(1;3). C. m∈(3;4) . D. m∈ −( 1;4). Hướng dẫn giải: ⎡ = − x Ta có ( ) ( ) 21 y x m x m yx m ' 6 6 1 6 2 ; ' 0 . = + − + − = ⇔ ⎢⎣ = − 2 Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ⇔ = y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ − ≠ − ⇔ ≠ 2 1 3 m m . ● Nếu − < − ⇔ < 1 2 3 m m , yêu cầu bài toán ⎧ > − m 1 ⇔ − < − < − < ⇔ ⇔ − < < ⎨⎩ <. 2 1 2 3 1 3 m m m 3 ⎧ > m ● Nếu 2 1 3 − < − ⇔ > m m , yêu cầu bài toán3 ⇔ − < − < − < ⇔ ⇔ < < ⎨⎩ <. 2 2 1 3 3 4 m m Vậy m∈ − ∪ ( 1;3 3;4 ) ( ) . Chọn A. m 3 2 4 Câu 7: Tập hợp tất cả các giá trị tham số m sao cho hàm số ( ) ( ) y x m x m = + − + − − 2 3 1 6 2 18 có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−5;5) là A. (−∞ − ∪ +∞ ; 3 7; ) ( ) B. (− +∞ 3; \ 3 ) { } C. (−∞;7 \ 3 ) { } D. (−3;7 \ 3 ) { } File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Đáp án D 2 Ta có ( ) ( ) y x m x m x ' 6 6 1 6 2 , = + − + − ∀ ∈ 2 2 Phương trình ( ) ( ) y x m x m x x m x ' 0 = ⇔ + − + − = ⇔ − − + + = 1 2 0 2 1 0 ⎡ = − ⇔ + − + + = ⇔ + − + = ⇔ ⎢⎣ = − x ( )( ) ( ) ( )( )1 x x m x x x mx m 1 2 1 0 1 2 02 Để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−5;5)2 1 3 ⎧ − ≠ − ≠ ⎧ m m ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩− < − < > > − ⎩ 5 2 5 7 3 m m Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số1 3 2 1 y x mx mx = − + − đạt cực trị tại hai 3 điểm 1 2 x x; sao cho: 1 2 x x − ≥ 8 . ⎡ + ⎡ + ⎡ + ⎡ + ⎢ ≥ m 1 64 2 ⎢ ≥ m 1 63 2 ⎢ ≥ m 1 61 2 ⎢ ≥ m 1 65 2 A. ⎢⎢ − . B. ⎢⎢ − . C. ⎢⎢ − . D. ⎢⎢ − . ⎢ ≤ m 1 64 ⎢ ≤ m 1 63 ⎢ ≤ m 1 61 ⎢ ≤ 1 65 ⎣ 2 ⎣ 2 ⎣ 2 ⎣ m 2 Hướng dẫn giải: TXĐ: D =  2 y x mx m ' 2 = − + Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y ' 0 = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 x x; khi và chỉ khi: 21 ⎡ > m Δ > ⇔ − > ⇔ ⎢⎣ < ( ) ' 0 0 , 2 m mm 0 2 2 Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − ≥ 8 64 x x x x 4 64, 1 ⎧ + = ⎨⎩ =. x x m 2 Theo Đl vi-et Ta có: 1 2 x x m . 1 2 Thay vào (1) ta được: ⎡ + 2 2 ⎢ ≥ m 1 65 2 − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ⎢⎢ − ( ) ( ) 2 4 64 4 4 64 0 , 3 m m m m ⎢ ≤ 1 65 ⎣ m 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎡ + ⎢ ≥ m 1 65 2 Kết hợp (2) và (3) ta được: ⎢⎢ − thỏa mãn bài toán. ⎢ ≤ 1 65 ⎣ Chọn D. m 2 1 3 2 1 Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số ( ) ( ) y mx m x m x = − − + − + 1 3 2 3 3 đạt cực trị tại hai điểm 1 2 x x; sao cho: 1 2 x x + = 2 1. A. 23 m = hoặc m = 2 . B. m = 3 . C. m = −5 . D. m = 2 . Hướng dẫn giải: TXĐ: D =  2 ( ) ( ) y mx m x m ' 2 1 3 2 = − − + − Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y ' 0 = cos2 nghiệm phân biệt 1 2 x x; khi và chỉ khi: ⎧ ≠ m 0 ⎪⎧ ≠ ⎧ ≠ ⎪ m m 0 0 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ − + ⎪Δ = − − − > ⎩− + + > ⎪ < < ⎩⎩ 2 6 2 6 ' 1 3 2 0 2 4 1 0 * 2 2 ( ) ( ) ( ) m m m m m m 2 2 Theo đl viet và đề bài, ta có: ( )( ) 2 1 1 ⎧ − ⎪ + = m x xm 1 2 ⎪⎪ − ( )( ) 3 2 m x xm ⎨ = . 2 1 2 ⎪⎪ + = ⎪⎩ x x ( ) 2 1 3 1 2 3 4 2 − − m m Từ (1) và (3) ta có: 1 2 x x = = , m m Thế vào (2) ta được: ( )( ) 3 4 2 3 2 0 m m mm ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − − = ≠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ m m m 2 ⎡= ⇔ − + = ⇔ ⎢⎢⎣ =(thỏa (*). 2 m 3 8 4 0 3 m m m 2 Vậy giá trị cần tìm là: 23 m = hoặc m = 2 . Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 10: Cho hàm số1 3 2 2 y x mx x m = − − + + có đồ thị (Cm ). Tất cả các giá trị của tham số m để :3 3 (Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 x x x , , thỏa 2 2 2 1 2 3 x x x + + > 15 là A. m >1 hoặc m < −1. B. m < −1. C. m > 0. D. m >1. Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương pháp tự luận: Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và đường thẳng d : 1 3 2 2 2 ( ) ( ) x mx x m − − + + = ⇔ − + − + − − = x x m x m ⎡ ⎤ 0 1 3 1 3 2 0 3 3 ⎡ = ⎣ ⎦ x 1 ⇔ ⎢+ − + − − = ⎢⎢⎣ 2 ( ) x m x m 3 1 3 2 0 (1) g x ( ) (Cm ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⎧⎪Δ > ⎧ + + > 0 2 g m mm 9 6 9 0 0 ⎪ ≠ ⎩− ≠ ⎩. ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⇔ ≠ ( ) 1 0 6 0 g m ⎧ + = − ⎨⎩ = − −. x x m x =1 còn 2 3 x x, là nghiệm phương trình (1) nên theo Viet ta có 2 3 3 1 Gọi 1 x x m 2 3 Vậy 2 2 2 2 ( ) x x x x x x x + + > ⇔ + + − > 15 1 2 15 1 2 3 2 3 2 3 2 2 ( ) ( ) m m m m m ⇔ − + + − > ⇔ − > ⇔ > ∨ < − 3 1 2 3 2 14 0 9 9 0 1 1 Vậy chọn m m > ∨ < − 1 1. Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án + Với m = −2 , ta giải phương trình bậc ba: 1 3 2 4 3 2 x x x + − − = thu được 3 nghiệm 2 0 3 3 1 2 3 x x x = − = = − 6.37..., 1, 0.62...Ta chọn những giá trị nhỏ hơn các nghiệm này và kiểm tra điều kiện của bài toán. 2 2 2 Cụ thể ta tính ( ) ( ) − + + − = > 6.4 1 0.63 42.3569 15 ⇒ loại C, D. + Với m = 2 , ta làm tương tự thu được 3 nghiệm 1 2 3 x x x = = = − 6.27..., 1, 1.27... Tính ( )2 2 2 6.2 1 1.3 41.13 15 + + − = > ⇒loại B. Vậy chọn m m > ∨ < − 1 1. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 2 x x f x = − + + ax và ( )323 ; Câu 11: Cho hai hàm số ( ) 3 2 x g x x ax a = + + − với a là tham số thực. 1 3 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho mỗi hàm số có hai cực trị đồng thời giữa hai hoành độ cực trị của hàm số này có một hoành độ cực trị của hàm số kia. A. 15 1. − < < a B. − < < 4 15. a C. 15 0. 4 5 Hướng dẫn giải: / 2 − < < a D. − < < 4 0. a 4 / 2 f x x x a = − + và ( ) Ta có ( ) / g x x x a = + + 2 3 . / f x = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ) 1 2 1 2 x x x x ; < và ( ) Ta cần tìm a sao cho ( ) ⎡ < < < x x x x g x = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ) 3 4 3 4 x x x x ; < thỏa mãn 3 1 4 2 ⎢⎣ < < < x x x x 1 3 2 4 ⎧Δ = − > ⎧ 1 4 0 1 f aa ⎪ < ⎪ ⇔ Δ = − > ⇔ ⎨ ⎨ ' 1 3 0 4 . (*) g a ⎪ ⎪ − + − + < < ⎩ ⎩ 2 2 ( ) ( )( )( ) x x a x x a f x f x 0 ' . ' 0 3 3 4 4 3 4 2 2 Lại có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 3 3 4 4 x x a x x a g x x a g x x a − + − + = − + ⎡ ' 3 2 ' 3 2 ⎤ ⎡ − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )( ) ( )2 3 4 3 4 3 4 = + + = + + + 3 2 3 2 9 . 6 4 . x a x a x x a x x a ⎧ + = − ⎨⎩ = x x Theo định lý Viet, ta có 3 4 x x a 2. 3 4 3 2 2 2 2 Suy ra ( )( ) ( ) 3 3 4 4 x x a x x a a a a a a − + − + = + − + = + 9.3 6. 2 4 4 15 . 115 * 4 0. ⎧⎪ < Do đó ( ) aa ⇔ ⎨ ⇔ − < < 4 ⎪⎩ + < 2 4 15 0 a a Chọn C. Cách trắc nghiệm. Ta thấy đáp án A & B chứa giá trị a = 0 , đáp án C & D không chứa a = 0 . Ta thử a = 0 , khi đó f x( ) có hai điểm cực trị x x = = 0, 1 ; g x( ) có hai điểm cực trị x x = = − 0, 2 . Do đó a = 0 không thỏa mãn nên loại A & B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Bây giờ ta chọn 154 a = − thuộc đáp án D nhưng không thuộc đáp án C để thử. a = − thì f x( ) có hai điểm cực trị3 5 Với 154 g x( ) có hai điểm cực trị9 5 x x = − = . , 2 2 Do đó 154 x x = − = ; , 2 2 a = − không thỏa mãn nên loại D. Câu 12: Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số3 2 y x x mx = + + −1nằm bên phải trục tung. A. Không tồn tại m . B. 1 < < m . C. 13 m < . D. m < 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 03 Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 3 2 0 (1) x x m + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt CĐ Δ = − > ⇔ < ′ m m . 1 3 03 x , CT x là hoành độ hai điểm cực trị. Theo định lí Viet 20 (2) ⎧+ = − < ⎪⎪⎨⎪ = x x ta có CĐ x x CT m 3 , trong đó CĐ CT x x < vì hệ số của 3 x lớn hơn 0. CĐ . (3) ⎪⎩ CT 3 Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: 0 CT x > , kết hợp (2) và m (3)suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu . 0 0 ⇔ = < ⇔ < x x m . CĐ CT 3 Câu 13: Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [0;2017] để đồ thị hàm số 3 2 ( ) ( ) ( ) y x m x m x m = − + + + − + 2 1 3 2 2 có hai điểm cực trị A , B nằm về hai phía trục hoành? A. 2014 . B. 2015 . C. 2013. D. 2012 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( ) x m x m x m − + + + − + = 2 1 3 2 2 0 ⎡ = 2 x 1 ( )( )( ) ⇔ − − + + = ⇔ ⎢− + + = ⎣.x x mx mx mx m 1 2 2 02 2 0 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi (1) có 2 ⎧⎪Δ = − − > < − > ′ ⎧ m m m m hai nghiệm phân biệt khác 1 ⎧⎪ ∈ mm 2 0 1; 2 ⎪ − + + ≠ ⎩ ≠ ⎩. ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 1 2 .1 2 0 3 m m m . Mà [ ]{4;5;6;...;2017} ⎨ ⇒ ∈ ⎪⎩ ∈ m 0;2017 Câu 14: Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 3 2 y x x mx m = + + + − 3 2 nằm về hai phía so với trục hoành? A. m > 3 . B. − < < 1 2 m . C. m < 3 . D. 2 3 < < m . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 2 y x x m ′ = + + 3 6 . Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Do đó Δ = − > ⇔ < ′ 9 3 0 3 m m . Gọi 1 x , 2 x là điểm cực trị của hàm số và 1 y , 2 y là các giá trị cực trị tương ứng. Ta có: 3 2 1 1 2 2 3 2 . 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + − = + + − + − ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ nên ( ) 1 1 y k x = +1 , y x x mx m y x m x m 3 3 3 3 ( ) 2 2 y k x = +1 . Yêu cầu bài toán 2 ( )( ) m ⇔ < ⇔ + + < ⇔ + + + < ⇔ − + < ⇔ < y y k x x x x x x m . 1 2 1 2 1 2 1 2 . 0 1 1 0 1 0 2 1 0 3 3 Vậy m < 3 thỏa mãn bài toán. Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm m số3 3 2 y x x m = − + nằm khác phía với đường thẳng y x = . 2 A. m > 0. B. m < 0 . C. m ≠ 0 . D. 0 2 < ≠ m . Hướng dẫn giải: Chọn C. 0x y x mx ′ = − 3 3 ;0 Ta có 2 ⎡ = ′ = ⇔ ⎢⎣ =.yx m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Điều kiện để có hai cực trị là m ≠ 0 , khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là ( )1 3 ⎝ ⎠. Hai điểm ( )1 3 A m B m m m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 0; , ;2 A m B m m m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ nằm khác phía với đường 0; , ;2 thẳng x y − = 0 ( )1 1 3 4 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠. m m m m m m 0 0 0 0 − − + < ⇔ > ⇔ ≠ ⎜ ⎟ 2 2 Câu 16: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 3 2 2 1 ( ) y x mx m x = − + − có hai điểm cực trị A B, sao cho A B, nằm khác phía và cách đều 3 đường thẳng y x = − 5 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 0 . B. 6 . C. −6. D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta thấy với mọi m hàm số luôn có hai cực trị. 2 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) x m m y− 2 1 = − + . 3 3 Vì A B, nằm khác phía và cách đều đường thẳng y x = − 5 9 nên trung điểm AB thuộc đường thẳng y x = − 5 9 . Do đó : 2 2 ( ) ( ) x x x x m m m m m m + + − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = − + ⇔ − = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 5 9 5 9 2 3 2 3 2 3 2 3 3 ⇔ − + = m m 18 27 0 Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 0 . Câu 17: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 y x mx m = − + 3 4 có hai điểm cực trị A B, nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng x y + − = 2 1 0 . Tính tổng các phần tử S . A. 0 . B. 12 − . C. 1. D. 12. Hướng dẫn giải: Chọn B. ⎡ = x 0 2 3 Ta có ( ) ( ) ( ) ' 3 6 ; ' 0 0;4 , 2 ;0 , 0 = − = ⇔ ⇒ ≠ ⎢⎣ = y x mx y A m B m m x m 2 3 y y m − − B A 4 2 Khi dó hệ số góc của đường thẳng −. Hệ số góc của AB k m = = = − : 2 AB x x m B A 2 k = − . Theo giả thiết 2 1 1 22 2 AB d k k m m = ⇔ − = − ⇔ = ± . x y + − = 2 1 0 là 12 d File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Thử lại ( ) 1 1 m AB y x d = ⇒ = − − ≡ (loại) ; ( ) 1 1 : 1 2 2 Vậy 12 = −⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , tổng các phần tử S bằng 12 m AB y x d = − ⇒ = − + . : 1 / / 2 2 S⎧ ⎫ − . Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 y x mx m = − + 2 có hai cực trị A và B sao cho góc  120o AOB = ? A. 427 225 m = ± . B. 3 m = ± . C. 3 65 m = ± . D. 125 25 m = ± . Hướng dẫn giải: Chọn A. x 0 ⎡ = ⎢ = − = ⇔ ⎢ = Ta có 2 . y x mx y m ' 3 4 , ' 0 4 ⎣ x 3 Điều kiện để hàm số có hai cực trị là m ≠ 0 , khi đó tọa độ hai điểm cực trị là ( )3 m m A m B⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 3 4 5 0; , ; 3 27 ⎝ ⎠   − 5 m 6 2 và  OAOB m . 27 5 = = = − cos. 25 1296 4 5 AOBOAOAm m m 2 2 4 ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m 3 3 3 27 Có  24 5 1 27 120 2 o m . = ⇔ − = − ⇔ = ± AOB m 4 25 1296 2 25 m + Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 3 2 2 3 ( ) y x mx m x m m = − + − − + 3 3 1 có hai điểm cực trị A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 6 . Hỏi trong S có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. ⎡ = − ′ = ⇔ ⎢⎣ = +. Suy ra ( ( )) ⎡ − − − ⎢⎢ + − + ⎣ là các A m m x m y x mx m ′ = − + − 3 6 3 1 ;1 2 2 1; 2 1 Ta có ( ) yx m 01 ( ( )) B m m 1; 2 1 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Theo giả thiết, ta có: 2 2 1 6 2 OAB S m m = − = ⇔ = ± . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số3 2 3 y x mx m = − + 3 3 có hai điểm cực trị tạo thành 1 tam giác OAB có diện tích bằng 48 A. m = 2 . B. m = ±2 C. m = −2 D. m = ±3 Hướng dẫn giải: Ta có: ( ) 20 ⎧ = x ' 3 6 3 2 , ' 02 y x mx x x m yx m = − = − = ⇔ ⎨⎩ = Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2 0 0. 1 m m ≠ ⇔ ≠ ( ) 3 3 A m B m m 0;3 ; 2 ;− Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ( ) ( ) Ta có:  3 3 OA m OA m 0;3 ⇒ = 3 . 2 ( ) ( ) Ta thấy A Oy OA Oy d B OA d B Oy m ∈ ⇔ ≡ ⇒ = = ( , , 2 . 3 ) ( ) ( ) Từ (2) và (3) suy ra ( ) 1 4 OAB S OA d B OA m = = 2 Do đó: 4 . . , 3 48 3 48 2 OAB S = ⇔ ⇔ ⇔ = ± m m thỏa mãn (1) Vậy m = ±2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. 3 2 y x 3mx 1 = − + Câu 21: Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). A. m =1 B. m = 2 C. m = ±1 D. m = 3 Hướng dẫn giải: 2 ( ) y' 3x 6mx 3x x 2m = − = − m 0 ≠Ta có . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì . Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0;1) và 3 B m m (2 ; 4 1) − + . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm B lên trục tung, ta có BH m = 2 . Diện tích của tam giác OAB là 1 1 . . 2 S BH OA m = = 2 2 Theo đề bài S=1 nên ta có 1. 2 1 2m = suy ra m = ±1. Vậy m=±1 là giá trị cần tìm. Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 22: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 1 3 2 2 2 1 1 ( ) ( ) y x m x m m x = − − + − − có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB có 3 2 diện tích bằng 2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên. A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 2 3 2 2 3 6 2 3 5 ⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞ m m m m A m B m ; , 1; Hàm số có hai cực trị ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ . 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2 3 2 ⎛ − − ⎞ ⎛ ⎛ − − ⎞⎞ m m m m S m m 1 2 3 5 2 3 6 1 OAB Vậy = ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎜ ⎟⎟ 2 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ . 1 3 ⎡ = 2 ( )( ) m = − + + = ⇔ ⎢⎣ ≈ − m m mm 2 2 3 0 12 1,62 Câu 23: Cho C(5;9). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 3 2 2 1 ( ) y x mx m x = − + − có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác ABC cân tại C . Tính 3 tổng các phần tử S . A. 0 . B. 92. C. 152 − . D. 152. Hướng dẫn giải: Chọn A. ⎡ = − x m Ta có 2 21 = − + − = ⇔ ⎢⎣ = +. y x mx m yx m ' 2 1; ' 01 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ;3m Khi đó I m m ⎝ ⎠ là trung điểm AB và hệ số góc của đường thẳng AB là ⎛ ⎞ 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 b m k c m = − = − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 1 AB 3 3a 3 1 3 3.3 3 ⎛ ⎞ mm − − ⎜ ⎟ 93 1 3 2 15 9 0 y y k m m Theo giả thiết − ⎝ ⎠ 3 C I − −. = = = − = ⇔ − − = IC y y m k 5 2 C I AB Vậy tổng các phần tử S bằng 0 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số3 2 3 y x mx m = − + 3 có hai điểm cực trị cùng với điểm 7 C⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ tạo thành một tam giác cân tại C . 1;8 A. m =1. B. 12 m = . C. m = −1. D. 12 m = − . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có 2 y x mx ' 3 6 = − . 20 ⎡ = x = ⇔ − = ⇔ ⎢⎣ =. y x mxx m ' 0 3 6 02 Hàm số có hai điểm cực trị khi m ≠ 0 , khi đó giả sử tọa độ hai điểm cực trị là 3 3 A m B m m 0; , 2 ; 3− . ( ) ( ) Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là ( )3 I m m ;− .  . Ta có: ( ) 3 3 7 AI m m CI m m ⎛ ⎞ = − = − − − ⎜ ⎟ ; 2 , 1;8 ⎝ ⎠  . Tam giác ABC cân tại C5 2 7 ⇔ = ⇔ − + + = AI CI m m m . 0 1 2 0 4 ( ) 4 3 2 1 1 2 1 1 0 ⎛ ⎞ ⇔ − + + + + = ⎜ ⎟ m x x x x 2 4 ⎝ ⎠ ⎡= ⎢ m 1 2 ⇔ ⎢⎢ + + + + = ⎢⎣. 1 1 1 0 2 ( ) 4 3 2 x x x x 2 4 ( ) 4 3 2 2 1 15 1 2 1 0 ⇔ + + + + + = x x x x x . 2 16 16 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ + + + + ⎜ ⎟ ⎜ + + =⎟ 2 2 1 1 15 15 2 4 11 22. . 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. x x x x x ⎜ ⎟ 2 16 16 4 15 15 15 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 15 2 11 0 x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(VN). ⎜ ⎟ 4 4 15 15 Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đẻ hàm số 3 2 3 y x mx m = − + 3 4 có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB vuông cân tại O . m = ± . B. 12 A. 12 Hướng dẫn giải: Chọn B. m = ± . C. 14 m = ± . D. m = ±1 y x mx x x m ′ = − = − 3 6 3 20 ⎡ = ⇒ = ⇔ ′⎢⎣ = 2 Ta có ( ) x 02 yx m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 A m B m 0;4 , 2 ;0 . Với m ≠ 0 Tọa độ hai điểm cực trị là: ( ) ( )  tam giác OAB vuông tại O Ta có OAOB . 0 = ⇒ Để tam giác OAB cân tại O OA OB ⇔ = 3 2 1 1 4 22 2 ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± m m m m .(lưu ý m ≠ 0 thì hàm số mới có hai điểm cực trị) Câu 26: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số3 y mx x = −3 có hai điểm cực trị A , B sao cho tam giác ABC đều với C(2;1) . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 0 . B. 43. C. 13. D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 ′ = ⇔ = ± > , khi đó 1 2 A ; −⎜ ⎟ ⎝ ⎠, 1 2 B ; Ta có 2 y mx ′ = − 3 3 ; ( ) y x m 0 0 m ⎛ ⎞ m m ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. m m  . Khi đó gốc tọa độ là trung điểm AB , nên tam giác ABC đều trước tiên cần có OC AB . 0 =  (luôn đúng). Ta có 2 4 OC AB . 2. 1. 0 − = + = m m 2 2 3 3 2 4 5 . 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⇔ = + ⇔ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Mặt khác OC AB m 2 2 m m Vậy, tổng tất cả giá trị các phần tử của S bằng 3 . Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số3 2 4 3 y x mx m = − + có hai 27 điểm cực trị A B, cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp I (1;2). A. 0 12 < < m . B. m = 6. C. m = 3 . D. m =12 . Hướng dẫn giải: Chọn C. ⎡ = x 0 ⎢ ′ = − = ⇔ ′⎢ = Ta có 2 3 2 ; 0 2 y x mx y m ⎣ x 3 Điều kiện để có hai cực trị là m ≠ 0 . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là 4 2 3 m A m B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0; , ;0 27 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Thấy tam giác OAB là tam giác vuông tại O , do đó tâm đường tròn ngoại tiếp I là trung m ⎧= ⎪⎪⎨ ⇔ = 1 33 m điểm cạnh AB . Vì vậy ta có 3 . 22 m ⎪ = ⎪⎩ 27 3 2 y x m x m = − − + 3 1 (1) ( ) ( ) Câu 28: Cho hàm số . Gọi M là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với (1) một giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ứng với một giá trị khác của m. Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: 2 y x m y x m ′ = − − = − 3 3, 6 ′′ Ta có ( ) ( ) ⎡ = − ′ = ⇔ ⎢⎣ = + x m 1 Suy ra . yx m 01 x x m y m = = − − < 11, 1 0 ′′( ) 1 Vì nên hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại là x x m = = −1 2 y m m = − + 3 2 . 1 x x m = = +12 y m m = − − 3 2 Tương tự, ta có hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu là . 2 2 Ta giả sử điểm M là điểm cực đạ của đồ thị hàm số ứng với giá trị và là điểm cực tiểu m1 ứng của đồ thị hàm số ứng với với giá trị . m2 1 1 ⎧ − = + m m Từ YCBT suy ra hệ phương trình 1 2 ⎨⎩ − + = − − 2 2 3 2 3 2 m m m m 1 1 2 2 3 1 m m = = − ,2 2 Giải hệ ta tìm được nghiệm và suy ra tồn tại duy nhât một điêm 1 2 1 1 M⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ,2 4 ⎝ ⎠ Chọn A. thỏa bài toán. Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 3 2 2 2 ( ) y x x m x m = − + + − − − 3 3 1 3 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O . A. 12 m = − . B. 13 m = ± . C. 12 m = ± . D. 12 m = . Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 Ta có: ( ) ( ) y x x m x x m ' 3 6 3 1 3 2 1 = − + + − = − − − + File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y ' 0 = có 2 nghiệm phân biệt. Ta có: 2 Δ = > ⇔ ≠ ' 0 0 m m . (1) Khi đó: y ' 0 = có các nghiệm là: x m = ± ⇒ 1 tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ( )3 A m m 1 ; 2 2 − − − và ( )3 B m m 1 ; 2 2 + − + . Ta có:  2 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 OA m m OA m m 1 ; 2 2 1 4 1 ; − − − ⇒ = − + +  2 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 OB m m OB m m 1 ; 2 2 1 4 1 . + − + ⇒ = + + − A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi: 2 2 = ⇔ = OA OB OA OB 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ⇔ − + + = + + − 1 4 1 1 4 1 m m m m ⎡ = m 0 ⇔ − + = ⇔ ⎢⎢ = ± ⎣ 3 4 16 0 1 m mm 2 Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ12 m = ± thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 30: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2 3 ( ) OA y x mx m x m m = − + − − + 3 3 1 có hai điểm cực trị A B, sao cho 2 OB= . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. −6. B. 6 . C. −3. D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. ⎡ = − x m Ta có ( ) 2 21 = − + − = ⇔ ⎢⎣ = +. y x mx m yx m ' 3 6 3 1 ; ' 01 Các điểm cực trị có tọa độ là (m m m m − − − + − + 1; 2 1 ; 1; 2 1 ( )) ( ( )) ⎡ −= ⎢+ ⎡ = − ± ⎢ ⇔ ⎢ m 12 1 3 2 2 Theo yêu cầu bài toán ta có m m . ⎢ + ⎢⎣ = − ± ⎢ = m m ⎣ − m 1 3 2 2 2 1 Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 0 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số3 2 y mx mx m = − + − 3 3 3 có hai điểm cực trị A B, sao cho 2 2 2 2 ( ) 20 AB OA OB − + = ( Trong đó O là gốc tọa độ). A. m = −1. B. m =1. C. m = −1hoặc1711 m = − . D. m =1hoặc1711 m = − . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 2 y m x x ′ = − (3 6 ) Với mọi m ≠ 0 , ta có 0 3 3 ⎡ = ⇒ = − ′ = ⇔ ⎢⎣ = ⇒ = − −. Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị. x y m yx y m 02 3 Giả sử A m B m (0;3 3); (2; 3) − − − . ⎡ = m 1 ⎢ − + = ⇔ + − = ⇔ ⎢ = − ⎣( thỏa mãn) Ta có:2 2 2 2 2 ( ) 20 11 6 17 0 17 AB OA OB m mm 11 ⎡ = m 1 Vậy giá trị m cần tìm là: ⎢⎢ = − ⎣. m 17 11 Câu 32: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số3 2 y x x = − + 3 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường tròn ( )2 2 2 : 2 x 4 5 1 0 C x y m my m m + − − + − = . A. 5 < < m . B. 5 − < < m . C. 31 5< < m . D. 31 13 Hướng dẫn giải: Chọn C. 13 − < < m . 5 Dễ có A(0;2) , B(2; 2− ) và (Cm ) có tâm I m m ( ;2 ), R =1 . Cách 1: Thay tọa độ vào phương trình (Cm ) lấy tích âm. 4 8 5 1 8 4 8 5 1 0 − + − − + + − < m m m m m2 3 2 2 ( )( ) Cách 2: Ta có 2 ⇔ − + < ⇔ < < m m m . 5 8 3 0 1 5 IB m m R = + + > = 5 4 7 1. Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì 2 3 IA R m m < ⇔ − + < ⇔ < < m . 5 8 4 1 1 5 Câu 33: Cho (Cm ) là đồ thị hàm số 3 y x mx = + + 3 1 ( với m < 0 là tham số thực). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm ). Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I (−1;0) bán File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao kính R = 3 tại hai điểm phân biệt A B, . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 2 y x m ' 3 3 = + Để hàm số có hai cực trị ⇔ < m 0 . Ta có d y mx : 2 1 = + . 2 2 2 2 Do đó ( )( )(( ) ) 1 1 2 1 2 1 + − + − + m m 2 2 2 . Vậy x d I d AB R x x = = ≤ = = − = − , 2, 2 2 9 2 2 4 1 4 1 m m + + 1. 9 max 9 2 14 2 2 (( ) = = − ≤ − = = . IAB S AB x x x x x y 2 0; 2 ⎤⎦ Dấu bằng đạt tại 2 1 1 −= ⇔ = − . mm 1 1 2 Chọn A. 3 2 2 3 Câu 34: Với m∈ −[ 1;1], đồ thị của hàm số ( ) y x mx m x m m = − + − − + 3 3 1 có hai điểm cực trị A , B và tam giác OAB có bán kính đường tròn nội tiếp có giá trị lớn nhất là M0, đạt tại m m= 0. Tính P M m = +0 0 . A. 15. B. 25. C. 13. D. 23. Hướng dẫn giải: Chọn A. ⎡ = − ′ = ⇔ ⎢⎣ = +. Suy ra ( ( )) ⎡ − − − ⎢⎢ + − + ⎣là các A m m x m y x mx m ′ = − + − 3 6 3 1 ; 1 2 2 1; 2 1 Ta có ( ) yx m 01 ( ( )) B m m 1; 2 1 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. 2 4 1 1 rp m m− S m Do đó theo yêu cầu bài toán, ta có: ∀ ∈ − m [ 1;1].(AM-MG) OAB = = ≤ , 2 2 5 5 1 5 1 2 5 ( ) ( ) − + + + Dấu bằng xảy ra tại 0 m m= = 0, 01 1 M P = ⇒ = . 5 5 Câu 35: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số3 2 y x mx m = − + − − 3 3 1 có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d x y : 8 74 0 + − = . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao A. m = 4 . B. m = 3 . C. m = 2 . D. m =1. Hướng dẫn giải: TXĐ: D =  20 ⎡ = x ' 3 6 ; ' 02 y x mx yx m = − + = ⇔ ⎢⎣ = Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt, điều này tương đương với m ≠ 0 . 3 A m B m m m 0; 3 1 ; 2 ;4 3 1 − − − − Hai điểm cực trị là ( ) ( ) 3 Trung điểm I của đoạn thawngt Ab là ( ) I m m m ;2 3 1 − − ; một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = − (8; 1) Vectơ ( )3 AB m m = 2 ;4 . Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d khi và chỉ khi: 3 ( )( ) ⎧ ∈ ⎧ + − − − = ⎪ I d m m mm t m 8 2 3 1 74 02 / ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ =  . AB d AB u ⎩ ⊥ ⎪⎩ = . 0 Chọn C. Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số3 2 2 y x x m x m = − + + 3 đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 Δ = − y x . :2 2 A. m = −1. B. m = 0. C. m =1. D. 12 m = . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện có cực đại và cực tiểu: 2 2 b ac m − > ⇔ − > ⇔ − < < 3 0 9 3 0 3 3 m Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị đó là 2 2 ⎛ ⎞ b bc m 2 2 23 ( ) y c x d m x m = − + − = − + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 3 3 9 3 3 a a 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 m m 2 2 Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( ) A x m x m B x m x m ⎜ − + + ⎟ ⎜ − + + ⎟ ; 3 , ; 3 1 1 2 2 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 Trung điểm I của AB là ( ) I m m 1; 2 + − 2 1 3 . 1 ⎧− = − ⎧ ⊥ Δ ⎪⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⇔ = 2 ( ) m ABm A B, đối xứng nhau qua đường thẳng Δ 3 2 0 ⎩ ∈ ⎪ + − = − ⎪⎩ Im m 2 1 5 2 .1 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao P/S: có thể thực hiện bằng cách thử đáp án để chọn được kết quả. 3 2 Câu 37: Với mọi m >1, đồ thị của hàm số ( ) y mx mx m x m = − + + + − 3 2 1 3 luôn có hai điểm cực trị và gọi Δ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà Δ đi qua. A. 1; 3 ⎝ ⎠. B. 1 ⎝ ⎠ . C. 1;3 K⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − K⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 3;2 K⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 2 K⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠. 3;2 Ta có Δ : ( ) 2 9 3 2 1 ⎛ ⎞ − + m m m y m x m = + − + − − ⎜ ⎟ 2 1 3 3 3 9 m m ⎝ ⎠ ⇔ Δ = − + − :3 2 1 10 y m x m ( ) . Gọi ( ) o o K x y; là điểm cố định mà Δ đi qua, ta có ( ) ( ) o o o o o 3 2 1 10 , 1 2 1 2 10 3 0, 1 y m x m m m x x y m = − + − ∀ > ⇔ − + + + − = ∀ > 1 ⎧ ⎧ + = ⎪ = − ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 1 02 x x o o ⎩ + − = ⎪⎩ = 2 10 3 0 3 x yy o oo 1;3 K⎛ ⎞ ⇒ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 2 3 2 Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) y x m x mx = − + + 2 3 1 6 có hai điểm cực trị A B, sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng: y x = + 2 . ⎡ = − A. 3 . ⎡ = − ⎢⎣ =B. 2 . m ⎢⎣ =C. 0 . m ⎢⎣ =D. 0.3 ⎡ = m 2 m 3 m m 2 ⎡ = m ⎢⎣ = − m Hướng dẫn giải: Chọn C. [Phương pháp tự luận] 2 Ta có: ( ) y x m x m = − + + 6 6 1 6 ' 0x ⎡ = = ⇔ ⎢⎣ = 1 yx m Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là: m ≠1 3 2 B m m m ; 3 − + Ta có: A m (1;3 1− ) ( ) Hệ số góc đt AB là: ( )2 k m = − −1 Đt AB vuông góc với đường thẳng y x = + 2 khi và chỉ khi k = −10 ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = m 2 m [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Bấm Mode 2 (CMPLX) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 2 Bước 2: ( ) ( ( ) )( ( )) y y x y x y x y '. '' 6 6 1 6 12 6 1 3 2 2 3 1 6 y x y x yx − = − + + − − + + − + 18 36 a Bước 3: Cacl x i = , y =1000 Kết quả: 1001000 9980001. − i . Hay: y = − 1001000 9980001.x Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị AB là: ( )2 2 y m m m x = − − −1 ⇔ − = m 1 10 ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = Có đt AB vuông góc với đường thẳng y x = + 2 khi và chỉ khi ( )2 m 2 m Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số3 2 y x mx x = + + + 7 3 vuông góc với đường thẳng 91 y x = + 8 A. m = ±5 . B. m = ±6 . C. m = ±12 . D. m = ±10 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện 2 2 b ac m − > ⇔ − > 3 0 21 0 . Khi đó hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là ( )2 2 2 2 2 2 21 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − b m m = − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Theo giả thiết, ta có k ca 7 3 3 3 3 9 AB ( )2 9 2 21 9 − m . 1 . 1 5 = − ⇔ = − ⇔ = ± . k m 8 9 8 AB Câu 40: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 3 2 y x x mx = − − + 3 2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y x d = −1 ( ). ⎡ = m 0 A. m = 0. B. ⎢⎢ = − ⎣C. m = 2. D. 9.2 9 . m = − m 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. [Phương pháp trắc nghiệm] 2 y x x m ′ = − − 3 6 Hàm số có 2 cực trị m > −3 , gọi 1 2 x x , là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 , ta có: 1 2 x x + = 2 Bấm máy tính: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 2 2 1 , 1000 3 2 3 63 3 x x i m A ⎛ ⎞ = = = − − + − − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) x x mx x x m 994 2006 1000 6 2000 6 2 6 6 − + + − m m i i x − − = − − = − − 3 3 3 3 3 3 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: m m m m A x x B x x ⎛ + − ⎞ ⎛ + − ⎞ 2 6 6 2 6 6 ⎜ − − ⎟ ⎜ − − ⎟ ; ; ; 1 1 2 2 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Gọi I là trung điểm của AB I m ⇒ − (1; ) + − = − − Δ 2 6 6 m m Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: ( ) y x 3 3 2 6 9 ⎡ + ⎡ m ⎡Δ Δ ≡ − = = − ⇔ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ / / 1 Yêu cầu bài toán d or d m 3 2 ⎢ ∈ ⎢ ⎢ I dm m ⎣⎣− = − ⎣ = 1 1 0 Kết hợp với điều kiện thì m = 0. Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị y x m x m m x m m = − − + − + − + 3 1 2 3 2 có hệ số góc bằng 23 3 2 2 2 hàm số ( ) ( ) − . A. m = −1. B. m = 4 . C. m∈{0;3} . D. m∈ −{ 1;4}. Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 2 2 2 Điều kiện có hai cực trị là ( ) ( ) b ac m m m m m − > ⇔ − − − + > ⇔ − + > 3 0 9 1 3 2 3 2 0 3 1 0 Khi đó hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 ( ) 22 2 3 1 ⎛ ⎞ − + b m m k ca = − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 3 2 Theo giả thiết ta có( ) 2 3 1 2 0 m m m − + ⎡ = − = − ⇔ ⎢⎣ =(thỏa mãn). m 3 3 3   ⎡= + ⎢ x k 8 2 ⇔ ⎢⎢ = + ⎢⎣(k ∈) .  x k 4  Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số3 2 3 y x mx m = − + 3 6 tạo với trục hoành góc o 45 . A. m = ±1. B. 12 m = ± . C. m = −1. D. 12 − . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn A. ⎡ = x y x mx ′ = − 3 6 ; 0 Ta có 2 ′ = ⇔ ⇒ ≠ ⎢⎣ =; ( )3 A m 0;6 , ( )3 B m m 2 ;2 . y m 0 0 x m 2 3 3 2 6 2 m m k m − Hệ số góc của đường thẳng AB là = = − 2 −. 2 0 m 45 nên 1 Vì AB tạo với trục hoành góc o k m = ⇒ = ± .12 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao III - HÀM TRÙNG PHƯƠNG A – LÝ THUYẾT CHUNG 1 - Cực trị của hàm số Xét hàm số4 2 y ax bx c = + + Với điều kiện ab < 0 hàm số có 3 cực trị. b b Khi hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị là 0; ; − − − . 2 2 a a ( ) A c ⎧⎪⎨ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ 0; Tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm sô là: 2 2 b b b b B c C c ⎪ ⎜− − ⎟ ⎜ − ⎟ ; ; ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 4 2 4 a a a a ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 = = ;2ab Nhận xét: tam giác ABC cân tại A , có A Oy ∈ ; b ab AB ACa− 8 BC − = 2 16 Các điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc các trục tọa độ2 ⇔ = b ac 4 Điểm ( ) 0 3 32b 2 0; y là trọng tâm tam giác ABC Điểm ( ) 0 ⇔ = − . y ca 0 3 a b y cab+ 8 0; y là trực tâm tam giác ABC ⇔ − = − . 0 4 a b 3 Điểm ( ) 0 y cab− ⇔ − = . 8 0; y là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 0 4 3 5 b a BACb a + 8 − b Do đó  ( ) cos * =−và Sa Δ = 3 8 32 ABC 3 Tam giác ABC vuông tại A  3 ⇔ = ⇔ = − cos 0 8 BAC b a . Tam giác ABC đều  1 3 ⇔ = ⇔ = − BAC b a . cos 24 2 Tam giác ABC có một góc bằng 120°  1 3 ⇔ = − ⇔ = − BAC b a cos 3 8 2 Lưu ý, chỉ cần nhớ công thức (*) để suy ra 3 trường hợp đặc biệt trên. 38 b a Rab Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là − = .8 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao b 2 r Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là =⎛ ⎞ . 2 4 16 b 3 ⎜ + − ⎟ aa ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Xét hàm số4 2 y ax bx c = + + . 2 - Giao điểm với trục hoành Với 2 ab ac b ac < > − > 0; 0; 4 0 đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó: Hoành độ 4 giao điểm lập thành cấp số cộng 2 ⇔ = 9 100 b ac . Cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau 2 ⇔ = 9 100 b ac Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành có phần phía trên Ox và phần phía dưới Ox bằng nhau 2 5 36 b ac = . B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 43: Cho hàm số4 2 y x x = − + 3 6 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm cực đại của (C); B , C la hai điểm cực tiểu của (C). Gọi d là đưởng thẳng qua A ; S la tổng khoảng cách từ B , C đến d . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S . A. 4 5 45 + . B. 3 10 65 + . C. 4 4 5 + . D. 2 2 + . Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 3 k k + + − Ta có A(0;2) , B(− − 1; 1), C(1; 1− ) . Khi đó d y kx : 2 = + và 2 =+. Sk 1 Dễ có max 6 S = , 3 10 min5 S = . Câu 44: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ( )4 2 3 y m x mx = + − + chỉ 12 có cực tiểu mà không có cực đại. A. m = 0. B. − ≤ < 1 0 m . C. m = 2 . D. m = −1. Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp sau đây: TH1: m m + = ⇔ = − 1 0 1. khi đó: 2 32 y x = + ⇒ Hàm số chỉ có cực tiểu ( x = 0) mà không có cực đại ⇒ = − m 1 thỏa yêu cầu bài toán. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao TH2: m m = ≠ ⇔ ≠ − 1 0 1. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc 4 có ⎡ ⎤ 3 2 m ( ) ( )( ) y m x mx m x xm = + − = + − ⎢ ⎥ ' 4 1 2 4 12 1 + ⎣ ⎦ Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi y’=0 có đúng 1 nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm này. ( ) ⎧ + > ⎪⎨ ⇔ − < < 4 1 0 m Nghĩa là: 1 0. m m ≤ ⎪ + ⎩ ( ) 2 1 m 0 Kết hợp với những giá trị m tìm được, ta có: − ≤ < 1 0 m . Chọn B. 4 2 Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ( ) y x m x m = − + + 2 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC = ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hia điểm cực trị còn lại. A. m = 0. B. m = −2 8 . C. m = 2 . D. m = ±2 8 . Hướng dẫn giải: 3 2 Ta có: ( ) ( ( )) y x m x x x m ' 4 4 1 4 1 = − + = − + Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y’=0 có 3 nghiệm phân biệt. 2 ( ) ( ) h x x m = − + = 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ + > ⇔ > − m m 1 0 1. (*). ⎧ ( ) x A m 0 0; ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ 2 Khi đó, ta có ( ) y x m B m m m ' 0 1 1; 1 = ⇔ = − + ⇒ − + − − − ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ x m C m m m ⎩ = + ⎪ + − − − ⎩ 11; 1 2 ( ) Vì vai trò của B và C là tương tự nhau nên ta chọn 2 2 ( ) ( ) B m m m C m m m + − − − − + − − − 1; 1 , 1; 1   Ta có: OA m OA m BC m BC m = ⇒ = (0; ) ; 2 1;0 2 1 ( + ⇒ = + ) Do đó: 2 OA BC m m m m = ⇔ = + ⇔ − − = Δ = 2 1 4 4 0, ' 8 ( ) ⇔ = ± m 2 8 (thỏa mãn (*)) Vậy m = ±2 8 thỏa ycbt. Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số4 2 4 y x mx m m = − + − 2 2 có ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ. A. m =1. B. m = 2 . C. 12 m = . D. m = 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện để có ba điểm cực trị ab m m < ⇔ − < ⇔ > 0 2 0 0 . b 24 2 ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = c m m m m Câu 47: Khi đó ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ 4 a 0 2 0 1 Cho biết đồ thị hàm số4 2 y ax bx c = + + (a ≠ 0) có ba điểm cực trị A B C , , . Tìm tung độ y của điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . G b 2 b 2 b 2 b 2 A. y ca = − . B. G 6 y ca = + . C. 12 G y ca = + . D. G 6 y ca = − . 12 G Hướng dẫn giải: Chọn A. Áp dụng công thức giải nhanh, dễ dàng ta có đáp án A. Câu 48: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 4 ( ) ( ) 2 y m x m = − + + + có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc 4 tọa độ O. A. 12 3 1 2 1 m = . B. 13 m = . C. 14 m = . D. 15 m = . Hướng dẫn giải: 3 2 ( ) ( ( )) y x m x x x m ' 2 3 1 6 2 = − + = − + ⎡ = x 0 ( ( ))( ) 2 y x x mx m ' 0 6 2 06 2 * = ⇔ − + = ⇔ ⎢= + ⎣ 2 Để hàm số có 3 cực trị thì pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt nên pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ĐK tương đương 1 m m + > ⇔ > − . 6 2 03 2 Gọi 3 điểm cực trị của hàm số A m (0;2 2 + ); ( ) B m m m 6 2; 9 4 1 + − − + ; 2 C m m m − + − − + 6 2; 9 4 1 . ( ) Theo công thức trọng tâm ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎡= 1 m ⎧ + + = ⎧ = ⎢ ⎪ ( ) 3 0 0 / m 3 x x x x t A B C O ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎢ 2 ⎩+ + = ⎪⎩− − + = ⎢ = − ⎢⎣ y y y y m mm 3 18 6 4 0 2 A B C O 3 Với m=1/3 thỏa ycbt. Chọn B. Câu 49: Điều kiên đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 y x m x m = − + − 2 2 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác có trực tâm H (0;1) là? A. m =1. B. m = 0. 2 4 1 2 2 0 − + − = m m m . D. ( ) C. ( ) Hướng dẫn giải: Chọn C. Điều kiện để hàm số có ba cực trị 2 2 4 1 2 2 0 + + − = m m m . − < ⇔ ≠ m m 0 0 . 4 4 A m B m m m C m m m 0;2 1 , ;2 1 , ;2 1 − − − − − − . Tọa độ ba điểm cực trị là ( ) ( ) ( )  . Ta có AH BC ⊥ do đó để tam giác ABC nhận H là trực tâm khi và chỉ khi BH AC . 0 = Ta có  4 ( ) ⎧ = + − ⎪⎨ ⇒ − + − = ⇔ − + − = ≠ BH m m mm m m m m m m m ; 2 22 2 0 1 2 2 0 0 3 4 2 4 ( ) ( )( ) ( ) ( )  . 4 3 ⎪ = − − ⎩ AC m m m ; / / 1; Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 4 2 ( ) y x m x m = − + + + 2 1 3 2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. A. m = 0. B. 12 m = − . C. m =1. D. 12 m = . Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện để có ba điểm cực trị ab m m < ⇔ − + < ⇔ > − 0 2 1 0 1 ( ) . Theo giả thiết ta có: ( )3 3 b a m = − ⇔ − + = − ⇔ = 8 8 1 8 0 m . 4 2 2 Câu 51: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) y x m x m = − + + 2 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. A. m = 0. B. m = −2 . C. m = 2 . D. m =1. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 2 Ta có: ( ) ( ) y x m x x x m = − + = − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ' 4 4 1 4 1  t x ( ) Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y ' 0 = có 3 nghiệm phân biệt khi đó phương trình t x( ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên: m m + > ⇒ > − 1 0 1. (*) ⎧ = x 0 ⎪ Khi đó, ta có: ' 0 1 = ⇔ = − + ⎨⎪= + ⎩ y x m x m 1 Suy ra các điểm cực trị của đồ thi hàm số là 2 ( ) ( ) ( ) A m B m m m m 0; , 1; 2 1 ,C 1; 2 1 − + − − + − − Ta thấy A Oy ∈ , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại Ta có:   2 2 ( ( ) ) ( ( ) ) AB m m AC m m = − + − + = + − + 1; 1 , 1; 1   4 ( ) ( ) ⇒ = + − + AB AC m m . 1 1   Ta giác ABC vuông kh và chỉ khi AB AC . 0 = 4 3 ⇔ + − + = ⇔ + + − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m 1 1 0 1 1 1 0 ⎡ + = = − ⎡ m m 1 0 1 ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ + = = ⎣ m m 1 1 0 Kết hợp với ĐK (*) ta có m=0. Chọn A. Câu 52: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số4 2 4 y x mx m m = − + + 2 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. A. 3 m = 3 . B. m = 2 . C. 3 m = 2 . D. m = 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Điều kiện có 3 cực trị là ab < ⇔ − < ⇔ > 0 1. 2 0 0 ( m m ) Khi đó tam giác ΔABC đều ( )3 3 3 ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ = b a m 24 2 24.1 3 m . 2 2 Câu 53: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) y x x m m = + − − − 2 3 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác đều. A. 3 m = −2 3 . B. 3 3 m = − . 2 2 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao C. 3 m = 3 . D. 3 m = − 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện có ba cực trị là ( )3 ab m m < ⇔ − < ⇔ < . 0 1. 2 3 02 Khi đó ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác đều khi và chỉ khi 3 3 3 3 ( ) b a m = − ⇔ − = − ⇔ = − . 24 2 3 24.1 m 3 2 4 2 Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) y x m x m = − − + − 4 1 2 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác có một góc bằng 120o? A. 31 m = + . B. 31 m = + . C. 31 m = + . D. 31 124 Hướng dẫn giải: Chọn A. 116 148 m = + . 12 Điều kiện để hàm số có ba cực trị m >1. Tam giác ABC cân tại A với 33 8 1 1 o b a A b a m m + 3 ( ) cos cos120 3 8 3 4 1 8 1 = = = − ⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ −. 3 3 b a 8 2 24 Câu 55: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số4 2 4 y x mx m m = + + − có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120° . A. 313 m = − . B. 3 m = − 3 . C. 323 m = − . D. 343 m = − . Hướng dẫn giải: Chọn C. Điều kiện để có 3 cực trị ab m < ⇔ < 0 0 Khi đó tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị có một góc bằng 120° ứng với 3 3 2 3 8 3 83 b a m m = − ⇔ = − ⇔ = − . 3 4 2 Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) y x m x = + + − 3 1 3 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 23độ dài cạnh bên. A. 53 m = − . B. 35 − . C. 53. D. 35. Hướng dẫn giải: Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎡ = x 0 3 Ta có ( ) ⎢ ′ = ⇔ + y x m x ′ = + + 4 2 3 1 ; 2 0 3 1 y m ⎢ = − ⎣. Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị x 2 ⇔ − > ⇔ < − . Khi đó A(0; 3 − ), 2 m m m B⎛ + − − − ⎞ 3 1 1 mm + 0 2 3 2 m m m C⎛ + − − − ⎞ 3 1 9 6 13 , ⎜ − ⎟ ; ⎜ ⎟ 2 4 ⎝ ⎠ 3 1 9 6 13 ⎜ − − ⎟ ; ⎜ ⎟ 2 4 ⎝ ⎠ . Tam giác ABC luôn cân tại A nên cạnh đáy 3 1 22m BC + = − , cạnh bên 2 2 m m m AB − − − − − ⎛ ⎞ 3 1 9 6 1 = + ⎜ ⎟ . 2 4 ⎝ ⎠ Theo yêu cầu bài toán, ta có : 23 BC AB = 2 2 m m m m + − − − − − ⎛ ⎞ 3 1 2 3 1 9 6 1 22 3 2 4 ⇔ − = + ⎜ ⎟ ⇒ ⎝ ⎠ Câu 57: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số4 2 y x mx = + +1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. A. m = −1. B. m = −2 . C. m =1. D. m = 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện để có 3 cực trị ab m < ⇔ < 0 0 Theo giả thiết bài toán, ta có: 5 3 2 5 3 2 b a S m = − ⇔ = − ⇔ = − 32 32.1 .1 2 m . 0 Câu 58: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số4 2 y x mx = − 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. m <1. B. 0 1 < < m . C. 3 0 4 < < m . D. m > 0. Hướng dẫn giải: Chọn B 0x y x mx ′ = − 4 4 ; 20 Ta có 3 ⎡ = ′ = ⇔ ⎢⎣ =. Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì m > 0. yx m Khi đó A(0;0), ( )2 B m m − −; , ( )2 C m m ;− . 21 0 1 ABC S m m m = < ⇔ < < . Câu 59: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số4 2 4 y x mx m m = − + + 2 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao A. 5 m = 16 . B. 5 m = 17 . C. 5 m = 18 . D. 5 m = 19 . Hướng dẫn giải: 3 2 Ta có: ( ) y x mx x x m ' 4 4 4 = − = − ⎡ = 2 x 0 ( )( ) y x x mx m ' 0 4 0* = ⇔ − = ⇔ ⎢= ⎣ 2 Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điểu kiện tương đương m>0 Gọi 3 điểm cực trị của hàm số: 4 4 2 4 2 A m m B m m m m C m m m m 0; 2 ; ; 2 ; ; 2 + − + − − + ( ) ( ) ( ) 4 2 0; 2 m m m − + là trung điểm BC. Gọi ( ) 2 2 2 2 AH m m BC m m = − = = = , 2 2 ( ) ( ) Vì ba điểm cực trị luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh A, nên 1 1 2 5 5 2 2 ABC S AH BC m m m m Δ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . 2 4 16 16 vậy với 5 m = 16 thỏa mãn yêu cầu toán. Chọn A Câu 60: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số4 2 y x mx = − + 2 1 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. 319 m = − . B. m = −1. C. 319 m = . D. m =1. Hướng dẫn giải: 3 2 ( ) y x mx x x m ' 4 4 4 = − = − ⎡ = 2 x 0 ( )( ) y x x mx m ' 0 0* = ⇔ − = ⇔ ⎢= ⎣ 2 Để hàm số có 3 cực trị thì pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt nên pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ĐK tương đương m > 0. 2 2 Gọi 3 điểm cực trị của hàm số: ( ) ( ) ( ) A B m m C m m 0;1 , ;3 1 , ;3 1 + − +   2 2 ( ) ( ) AB m m AC m m = ;3 , ;3 = − Vì 3 điểm cực trị của hàm trùng phương trên luôn tạo thành 1 tam giác cân tại A, nên tam giác ABC vuông tại A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎡ = m 0  . So với ĐK suy ra 319 ⎢ = − + = ⇔ ⎢ = Ta có: 4 AB AC m mm . 9 0 1 m = thỏa ycbt. 3 ⎢⎣ 9 Chọn C. Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số4 2 2 y x mx m m = − + − 2 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 0 120 A. 313 m = B. 314 m = C. 315 m = D. 316 m = . Hướng dẫn giải: 3 2 ( ) y x mx x x m ' 4 4 4 = − = − 2 ⎡ = x 0 ( )( ) y x x mx m ' 0 0* = ⇔ − = ⇔ ⎢= ⎣ 2 Để hàm số có 3 cực trị thì pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt nên pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ĐK tương đương m > 0. 2 Gọi 3 điểm cực trị của hàm số: ( ) ( ) ( ) A m m B m m C m m 0; , ; , ; − − − −   2 2 ( ) ( ) AB m m AC m m = − = − − ; , ; Theo đề bài ta có:      ( )4 30 AB AC m m m cos AB AC cos − + − . 1 = = = = , 120 3 4 4 AB AC m m m m m . . 1 + + + 3 1 1 1 − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± mm m 3 3 1 3 3 m 1 2 3 + Vậy với 313 m = thỏa ycbt. Câu 62: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số4 2 4 y x mx m m = − + + + 2 2 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. A. 3 m = 3 . B. 3 m = 9 C. 3 m = 13 D. 3 m = 14 Hướng dẫn giải: TXĐ: D =  3 2 ( ) y x mx x x m ' 4 4 4 = − = − ⎡ = 2 x 0 ( )( ) = ⇔ − = ⇔ ⎢= ⎣y x x mx m ' 0 0* 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y ' 0 = có ba nghiệm phân biệt và y ' đổi dấu khi x qua các nghiệm đó ⇔ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ > m 0 . 4 ⎡ = ⇒ = + x y m m Khi đó 0 2 ' 02 = ⇔ ⎢⎢⎣ = ± ⇒ = − + yx m y m m m 4 2 4 A m m 0; 2 + và hai điểm cực tiểu là Đò thị hàm số có một điểm cực đại là ( ) 4 2 4 2 B m m m m C m m m m − − + ; 2 , ; 2 − + ( ) ( ) Các điểm A, B, C lập thành 1 tam giac đều AB AC ⎧ = ⇔ ⎨⎩ = AB BC 2 2 4 3 ⇔ = ⇔ + = ⇔ − = AB BC m m m m m 4 3 0 ( ) Vậy 3 m = 3 (m>0). Chọn A. 4 2 y ax bx c a = + + ≠ 0 có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của Câu 63: Cho biết đồ thị của hàm số ( ) đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó. A. C. 2 1 8 b = − B. Ra b 8 2 1 8 b = + D. Ra b 8 2 1 8 b = + Ra b 4 2 1 8 b = − Ra b 4 A Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi A là điểm cực trị thuộc Oy và H là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A c (0; ), 2 ⎛ − − ⎞ b ac b Ba a 4; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 4 ⎝ ⎠ , 2 ⎛ − − ⎞ b ac b Ca a 4; . ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ 2 4 ⎝ ⎠ B C H 2 48 = , 22b Ta có b ab ABa− 4 BCa− = , 2 b = . AHa 4 ΔABC có AH b CAC b ab = =−. sin8 4 4 AB b ab RC a b − 8* Theo định lí sin , ta có ( ) = = . 2sin 8 2 4 2 1 8 1 8 *8 8 b ab b Rab a b Do hàm số có ba cực trị nên ab < 0 . Do đó ( ) − ⇔ = = − . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 64: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số4 2 4 y x mx m m = − + + 2 2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. A. m =1. B. m = 2 . C. m = −1. D. m = −2 . Hướng dẫn giải: Chọn A Điều kiện có ba cực trị là ab < ⇔ − < ⇔ > 0 1. 2 0 0 ( m m ) . Khi đó ( )2 22 1 8 1 2 8 1 1 1 0 b m − R m m m = − = − = + = ⇔ = > −. 8 8 1 2 2 a b m Câu 65: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2 3 ( ) y x mx m x m m = − + − − + 3 3 1 có hai điểm cực trị cùng với điểm I (1;1)tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R = 5 . A. 3;1 ∈ −⎨ ⎬ ⎩ ⎭. B. 3 m⎧ ⎫ 5 C. 3;1 m⎧ ⎫ ∈ −⎨ ⎬ ⎩ ⎭ . 1;5 ∈⎨ ⎬ ⎩ ⎭ . D. 3 m⎧ ⎫ 5 Hướng dẫn giải: Chọn B m⎧ ⎫ ∈ − − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ . 1;5 ⎡ = − ′ = ⇔ ⎢⎣ = +. x m y x mx m ′ = − + − 3 6 3 1 ; 1 2 2 Ta có ( ) 01 yx m Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A m( − − + 1; 2m 2), B m( + − − 1; 2 m 2). Ta có 2 2 AB = + = 2 4 2 5 . Suy ra  2 5 sin 1 AB BIA IA IB = = = ⇒ ⊥ . R 2 2 5 , IB m m = − − ( ; 2 3) Tính được IA m m = − − + ( 2; 2 1) Vậy ta có phương trình . ⎡ = − m 1 ⎢ − + − + − − = ⇔ ⎢ = ( ) ( )( ) . m m m mm 2 2 1 2 3 0 3 ⎣ 5 Câu 66: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số4 2 y x mx = − 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 1− . A. m =1. B. m = − 2 2 1. C. m = 2 . D. 2 1− . Hướng dẫn giải: Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao y x mx ′ = − 4 4 ; 20 0x Ta có 3 ⎡ = ′ = ⇔ ⎢⎣ =. Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì m > 0. yx m Khi đó A(0;0), ( )2 B m m − −; , ( )2 C m m ;− . 4 2 2 4 m m m 2 ABC S m m = và + + p m m m = = + + . 2 2 3 1 1 2 1 1 0 ABCS m m m + − Lại có ( ) r m m = = = = − ⇔ = > + +. p m m m m 4 Câu 67: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 4 2 ( ) y mx m x = − + − 2 1 1 có ba điểm cực trị A B C , , với A thuộc Oy và thoả mãn OA BC = . A. 34 m = B. 43 m = − C. 34 m− = D. 43 m = Hướng dẫn giải: Chọn B ⎡ < − Hàm số có ba cực trị ( ) 1 m 2 1 00 ⇔ − + < ⇔ ⎢⎣ > m mm Khi đó 1 1 1 1 4 22 2 4 3 b m m OA BC c m − + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − . a m m 4 2 y ax bx c a = + + ≠ 0 có ba điểm cực trị A B C , , với A Câu 68: Cho biết đồ thị của hàm số ( ) thuộc Oy và thoả mãn OB AC = . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau A. 2 b ac = −2 B. 2 b ac = 4 C. 2 b ac = 2 D. b ac = −4 Hướng dẫn giải: Chọn C 2 2 2 2 Ta có ( ) ( ) − − − − b ac b ac b ab 4 4 8 4 b ab ACa− 8 2 2 = = + = , OBa a a 2 2 2 16 16 16 2 Ta có ( )2 2 2 2 ⎡ = − ⎡ ⎡ = = b ac b b ac b ac OB AC b ac bb ac b ac c 4 2 2 44 0 0 4 2 2 = ⇔ = − ⇔ ⎢ ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ 2 2 = − + ⎣ ⎣ = = ⎣ Câu 69: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 4 2 2 4 y x m x m = − + + 2 1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp. A. m = ±1. B. m =1. C. Không tồn tại m. D. m = −1. Hướng dẫn giải: Chọn A 3 2 y y x m x ′ = = − 4 4 Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 4 A m B m C m 0; 1 , ;1 , ;1 + − Khi đó 3 điểm cực trị là: ( ) ( ) ( ) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC . Do tính chất đối xứng, ta có: A O I , , thẳng hàng ⇒ AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC .   0 ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = ± m Vậy 2 4 AB OB AB OB m m ⊥ ⇔ = ⇔ − = . 0 0 m 1 Kết hợp điều kiện m = ±1 ( thỏa mãn). 1 4 2 Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( ) y x m x m = − − + + có 8 ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. A. 12 2 1 3 m > . B. m =1. C. m = 2 . D. m = 4 . Hướng dẫn giải: Chọn B 1 3 Ta có ( ) y x m x = − − . ' 2 2 1 2 ⎡ = x 0 = ⇔ ⎢= − ⎣. ' 04 2 1 yx m 2 ( ) Hàm số có ba điểm cực trị khi 1 m m − > ⇔ > . 2 1 02 Giả sử ba điểm cực trị là 2 2 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) A m B m m m C m m m 0; 3 , 2 2 1; 2 2 1 3 , 2 2 1; 2 2 1 3 + − − − + + − − − − + + .  . 2 2 ( ( ) ) ( ( ) ) AB m m AC m m = − − − = − − − − 2 2 1; 2 2 1 , 2 2 1; 2 2 1 Điều kiện để ba cực trị tạo thành một tam giác vuông là:  . 4 3 AB AC . 0 4 2 1 4 2 1 0 4 2 1 2 1 1 0 = ⇔ − − + − = ⇔ − − − = m m m m ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − = ⇔ = 2 1 1 1 m m ( do 12 ( )3 m > ). Khi đó A B C (0;4 , 2;2 , 2;2 ) ( ) (− )(thỏa mãn yêu cầu đề bài). Vậy m =1. Câu 71: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 4 2 y x mx m = − + 2 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1. A. m < −1. B. m > 2. C. m∈ −∞ − ∪ +∞ ( ; 1 2; . ) ( ) D. Không tồn tại m. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Chọn B [Phương pháp tự luận] Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0 2 2 Ba điểm cực trị là ( ) ( ) ( ) A m B m m m C m m m 0; , ; , ; − − − Gọi I là trung điểm của ( )2 BC I m m ⇒ − 0; 1 2 ABC S AI BC m m Δ = = 2 . 4 Chu vi của ΔABC là: ( ) 2 p AB BC AC m m m = + + = + + 2 2 ABC S m m Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là: Δ = =+ + rp m m m 4 2 4 Theo bài ra: ( ) m m m m m m m 2 + − + +(vì m > 0 ) > ⇔ > ⇔ > rm m m m 1 1 1 4 4 ⎡ < − 4 2 2 5 2 21 ( ) m 2 02 ⇔ + − > ⇔ + > + ⇔ − − > ⇔ ⎢⎣ > m m m m m m m m m m mm So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn. [Phương pháp trắc nghiệm] 2 2 2 b m m 4 = ⇒ = = Sử dụng công thức r r 2 3 3 3 4 16 2 4 16 16 1 1 a a ab m m + − + + + + 2 3 Theo bài ra: ( ) m m m 1 1 2 + − 3 r m m > ⇔ > ⇔ > ⇔ + − > 1 1 1 1 1 3 3 1 1 + + m m ⎡ < − 3 3 21 m 1 1 1 1 2 02 + > + ⇔⇔ + > + ⇔ − − > ⇔ ⎢⎣ > m m m m m mm So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn. 4 2 2 Câu 72: Cho hàm số ( ) y x m x m = − − + + 2 1 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất. A. 1.2 m = − B. 1.2 m = C. m = 0. D. m =1. Hướng dẫn giải: Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao [Phương pháp tự luận] 3 2 ( ) y x m x ' 4 4 1 = − − ⎡ = x 0 ⇔ ⎢⎣ = − y ' 0 = 2 2 x m 1 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi: m <1 Tọa độ điểm cực trị A m (0; 1+ ) 2 4 2 B m m m m 1 ; 2 − − + + ( ) 2 4 2 C m m m m − − − + + 1 ; 2 ( )  2 BC m = − − 2 1 ;0 ( ) Phương trình đường thẳng BC : 4 2 y m m m + − − = 2 0 ( )4 2 d A m m , BC 2 1 = − + , 2 BC m = − 2 1 1 2 4 2 . [ , ] 1 2 1 ABC ⇒ = S BC d A BC m m m Δ = − − + = ( )5 2 ( ) 2 1 1 − ≤ m Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ = m 0 . [Phương pháp trắc nghiệm]  2 4 2 AB m m m = − − + − 1 ; 2 1 ( )  2 4 2 AC m m m = − − − + − 1 ; 2 1 ( )   = ( ) Khi đó S = 1, 2AB AC 2 4 2 1 2 1 − − + m m m = ( )5 2 1 1 − ≤ m Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ = m 0 . 4 3 y x mx x m = − + + + 4 2 Câu 73: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ban đầu có 3 cực trị và trọng tâm của tam giác với 3 đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trùng với tâm đối =−x 4 yx m xứng của đồ thị hàm số . 4 m = 2 m = 1 m = 4 m = 3 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho có 3 cực trị khi phơng trình y’(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt 3 2 ⇔ − + = 4 3 4 0 x mx có 3nghiệm phân biệt File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 3 2 4 3 4 x mx − + 2 − ⇒ = ⇔ = = ′m Xét g(x) = có g’(x) = x mx g x x x 12 6 ( ) 0 0,2 lim ( ) , lim ( ) g x g x = +∞ = −∞ 3 m m 16 (0) 4 0 , ( )2 4− Do và nên g(x) = 0 = > = x x →+∞ →−∞ m g g ⎧> ⎪⎪ ⇔ ⎨ ⇔ > 0 22 2 3 có 3 nghiệm phân biệt (học sinh có thể lập bảng biến thiên 3 − ⎪ < 16 0 m m μ =x ⎪⎩ 3 4 ( ) + 1 xxR \ 0{ } của hàm trên để tìm ra kết quả trên) 2 =−x 4 m yx m( ;1) I Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là 4 4 Gọi là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thì 1 1 2 2 3 3 A x y B x y C x y ( ; ), ( ; ), ( ; ) 3 2 4 3 4 0 x mx − + = x1, x2, x3 là nghiệm phơng trình: nên theo định lý Viet ta có ⎧ + + ⎧ = x x x m m 1 2 3 33 4 49 + + = ⎪ x x x ⎪ ⎪ 1 2 3 ⎨ ⇒ ⎨ 2 m ⎪ + + = ⎪ 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 ( ) 2( )16 ⎩ + + = + + − + + = ⎪⎩ 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 2 3 5 ( ) ( )( ) ( 3 2) = − + − + + + ′x m m x m Viết hàm số ban đầu dới dạng: , vì thế y x y x x 4 16 16 4 2 2 2 2 3 5 3 5 x m m x m m x m i i i = = − + − + + + = − + + + ′ y y x y x x x ( ) ( )( ) ( 3 2) 3 2 i i i i i 4 16 16 4 16 4 ′ = = do y x i ( ) 0 ( 1,2,3) i 2 4 y y y m m m m + += − + + + + + + + = − + + 5 9 5 ( ) ( ) 2 2 Từ đó: 1 2 3 2 2 2 x x x x x x 1 2 3 1 2 3 2 3 16 4 16 4 x x x y y y + + + +≡ ( ;1) 1 2 3 1 2 3 ; I m Trọng tâm của tam giác ABC là G( ) khi và chỉ 3 3 4 y y y 43 2 khi: + += ⇔ 1 2 3 1 3 m mm m m m 9 5 2 1 ( 4)(9 36 144 64) 0 − + + = ⇔ − + + + = 2 16 4 3 m > 2 2 m = 4 Vì nên là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn C. Câu 74: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3 y x mx = − + 3 2 cắt đường tròn tâm I (1;1 ,) bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao A. 2 3 = . B. 1 3 = . C. 2 5 m± m± = . D. 2 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 2 2 m± 2 m± = . 3 A y x m ′ = − 3 3 nên 2 y x m ′ = ⇔ = 0 . Đồ thị hàm số3 y x mx = − + 3 2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0. 3 1 2 1 Ta có ( ) y x mx x x m mx x y mx = − + = − − + = − + ′ . 3 2 3 3 2 2 . 2 2 3 3 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số3 Δ HB I y x mx = − + 3 2 có phương trình Δ = − + : 2 2 y mx Ta có: 1. . .sin sin  1 1  2 2 2 IAB S IA IB AIB AIB Δ = = ≤ Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 12khi sin 1 AIB AI BI = ⇔ ⊥ . 1 2 Gọi H là trung điểm AB ta có: ( , ) IH AB d Δ = = = 2 2 I 2 1 2 m + − Mà ( , ) 2 dm I =+ Δ 4 1 2 1 2 24 2 2 4 1 m + − 2 Suy ra: ( ) ( ) d m m I = = ⇔ − = + Δ ,2 4 1 2 m + 2 2 3 8 16 2 02 m m m± ⇔ − + = ⇔ = . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao IV – CỰC TRỊ HÀM SỐ KHÁC Câu 75: Cho hàm số3 y x mx = − + 5, m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 6 y x mx = − + 5 3 5 5 3x 3x m x − Suy ra: ′ = − = và hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . y m 3 3 x x 5 50 x TH1: m = 0. Ta có: ′ = = vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . yx 3 x −∞ 0 +∞ y′ − + y Do đó hàm số có đúng một cực trị. ⎧ > x m 0 TH2: m > 0. Ta có: 3 55 3 ′ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ⎨⎩ = y x m x x 0 33 3 x mx Bảng biến thiên x −∞ 03m+∞ y′ − − 0 + y Do đó hàm số có đúng một cực trị. ⎧ < x m 0 TH3: m < 0 . Ta có: 3 55 3 ′ = ⇔ = ⇔ ⎨ ⇔ = − − y x m x x 0 33 3 ⎩ = − x mx x −∞3m − − 0 +∞ y′ − 0 + + y Do đó hàm số có đúng một cực trị. Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Chú ý: Thay vì trường hợp 2 ta xét m > 0, ta có thể chọn m là một số dương (như m = 3 ) để làm. Tương tự ở trường hợp 3 , ta chọn m = −3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn. Câu 76: Cho hàm số bậc ba y f x = ( ) có đồ thị như hình bên. y 1 O −3 x Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m = + ( ) có ba điểm cực trị là A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 . B. m ≤ −3 hoặc m ≥1. C. m = −1 hoặc m = 3 . D. 1 3 ≤ ≤ m . Hướng dẫn giải: Chọn A. Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x m = + ( ) gồm hai phần: Phần 1 là phần đồ thị hàm số y f x m = + ( ) nằm phía trên trục hoành; Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số y f x m = + ( ) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Dựa vào đồ thị của hàm số y f x = ( ) đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số y f x m = + ( ) . Khi đó hàm số y f x m = + ( ) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y f x m = + ( ) và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung ⎡ + ≤ ≤ − ⎡ 1 0 1 m m ⎣− + ≥ ≥ ⎣. ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ 3 0 3 m m Câu 77: Cho hàm số y f x = ( ) . Hàm số y f x = '( ) có đồ thị như hình vẽ: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao A. Hàm số y f x = ( ) đồng biến trên (−∞;1) B. Hàm số y f x = ( ) đạt cực đại tại x =1. C. Đồ thị hàm số y f x = ( ) có một điểm cực tiểu D. Đồ thị hàm số y f x = ( ) có hai điểm cực trị. Đáp án C Dựa vào đồ thị hàm số y f x = '( ) để nhận xét tính đơn điệu của hàm số y f x = ( ) và các điểm cực trị của hàm số. Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: f x ' 0 ( ) ≥ khi x ≥ ⇒3 hàm số y f x = ( ) đồng biến trên (3;+∞ ⇒) Đáp án A sai. Tại x =1ta thấy f x ' 0 ( ) = nhưng tại đây hàm y f x = '( ) không đổi dấu nên x =1không là điểm cực trị của hàm số y f x = ⇒ ( ) Đáp án B sai. Tại x = 3ta thấy f x ' 0 ( ) = và tại đây đây hàm y f x = '( ) có đổi dấu từ âm sang dương nên x = 3là điểm cực tiểu của hàm số y f x = ⇒ ( ) Đáp án C đúng. Như vậy hàm số y f x = ( ) có 1 điểm cực trị ⇒Đáp án D sai. Câu 78: Hàm số f x( ) có đạo hàm f x '( ) trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x '( ) trên khoảng K . y x -1 O 2 Số điểm cực trị của hàm số f x( ) trên là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x ' 0 ( ) = chỉ có một nghiệm đơn (và hai nghiệm kép) nên f x '( ) chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này. Do đó suy ra hàm số f x( ) có đúng một cực trị. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Chọn B. Nhận xét. Đây là một dạng toán suy ngược đồ thị. Dạng này sẽ xuất hiện nhiều hơn trong các đề thi lần sau. Câu 79: Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y f x m = + ( ) có 5 điểm cực trị. A. m >1. B. m < −1. C. m > −1. D. m <1. Hướng dẫn giải: Trước tiên ta có nhận xét rằng: đồ thị hàm số y f x m = + ( ) được suy từ đồ thị hàm số y f x = ( ) bằng cách nào? ● Bước 1. Tịnh tiến đồ thị y f x = ( ) sang phải (nếu m < 0 ), sang trái (nếu m > 0) m đơn vị. ● Bước 2. Giữ nguyên phần đồ thị vừa nhận được phía bên phải trục tung, xóa bỏ phần đồ thị vừa nhận được phía bên trái trục tung. ● Bước 3. Lấy đối xứng phần đồ thị giữ ở bước 2 qua trục tung ta được đồ thị hoàn chỉnh của hàm số y f x m = + ( ). Do đó bằng tư duy + hình vẽ thì yêu cầu bài toán cần tịnh tiến đồ thị sao cho điểm cực đại sang phải và nằm trong góc phần tư thứ nhất. Suy ra m < −1. Khi đó ta được đồ thị của hàm số y f x m = + ( ) như hình bên. Chọn B. Câu 80: Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên  , có đồ thị hàm số f x ′( ) như hình vẽ. Xác định điểm cực tiểu của hàm số g x f x x ( ) ( ) = + . A. Không có điểm cực tiểu. B. x = 0. C. x =1. D. x = 2. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Xét hàm số g x f x x ( ) = + ( ) trên  , ta có g x f x x ′ ′ ( ) = + ∀ ∈ ( ) 1; .  Dựa vào đồ thị hàm số f x ′( ) , ta thấy đồ thị hàm số g x ′( ) là đồ thị hàm số f x ′( ) tịnh tiến lên trên trục Oy một đơn vị (hình bên), khi đó ● g x ′( ) không đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 suy ra x = 0 không là điểm trị của hàm số. ● g x ′( ) đổi dấu từ − sang + khi đi qua điểm x =1 suy ra x =1 là điểm cực tiểu của hàm số. ● g x ′( ) đổi dấu từ + sang − khi đi qua điểm x = 2 suy ra x = 2 là điểm cực đại của hàm số. Chọn C. Câu 81: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x = ( ). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x m = − + ( 1) có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 12 B. 15 C. 18 D. 9 Hướng dẫn giải: Chọn A Nhận xét: Số giao điểm của (C y f x ): = ( ) với Ox bằng số giao điểm của (C y f x ' : 1 ) = − ( ) với Ox Vì m > 0 nên (C y f x m '' : 1 ) = − + ( ) có được bằng cách tịnh tiến (C y f x ' : 1 ) = − ( ) lên trên m đơn vị. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao TH1: 0 3. < < m Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị. Loại. TH2: m = 3. Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận. TH3: 3 6. < < m Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận. TH4: m ≥ 6. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại. Vậy 3 6. ≤ < m Do * m∈ nên m∈{3;4;5} Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 Câu 82: Cho đồ thị của hàm số y f x = ( ) như hình vẽ dưới đây: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x m = − + ( 2017) có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập S bằng A. 12 B. 15 C. 18 D. 9 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Đáp án A Nhận xét: Số giao điểm của (C y f x ): = ( ) với Ox abnwgf số gaio điểm của (C y f x ' : 2017 ) = − ( ) với Ox Vì m > 0 nên (C y f x m '' : 2017 ) = − + ( ) có được bằng cách tịnh tiến (C y f x ' : 2017 ) = − ( ) lên trên m đơn vị Câu 83: Cho hàm số y f x = ( ) có bảng biến thiên như sau. x −∞ −1 3 +∞ f x '( ) + 0 - 0 + f x( ) 2018 +∞ −∞ −2018 Đồ thị hàm số y f = − + (x 2017 2018 ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 Hướng dẫn giải: Đáp án B Ta có đồ thị hàm số y f x = − + ( 2017 2018 ) có dạng như bên: Dễ thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao TH m 1: 0 3 < < Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại) TH m 2 : 3 = Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (NHẬN) TH m 3:3 6 < < Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (NHẬN) TH m 4 : 6 > Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại) Vậy 3 6. ≤ < m Do m∈* nên m∈{3;4;5} Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 Câu 84: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x = '( ) như hình vẽ sau: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Số điểm cực trị của hàm số y f x x = − ( ) 2 là A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Đáp án C Dựa vào đồ thị hàm số suy ra ( ) 3 f x x x ' 3 2 = − + Hàm số ( ) ( ) 3 y f x x y f x x x = − ⇒ = − = − 2 ' ' 2 3 có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị Câu 85: Cho hàm số ( ) 4 2 f x ax bx c = + + với a > 0 , c > 2017 và a b c + + < 2017 . Số cực trị của hàm số y f x = − ( ) 2017 là: A. 1 B. 5 C. 3 D. 7 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ) 2 2017 . ' f x f x − 2 y f x f x y = − = − ⇒ = 2017 2017 ' 2 ( ( ) ) 2 2017 f x − Xét ( ) ( ) 4 2 f x ax bx c a = + + > 0 ta có: ( )( ) ( ) ( ) 1 20171 0 ⎧⎪ = + + < f a b cf f ⎨ ⇒ < ⎪ = > ⎩ f c 0 2017 Dựa vào 2 dạng của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương khi a > 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Suy ra hàm số y f x = ( ) có 3 điểm cực trị và PT: f x( ) − 2017 có 4 nghiệm phân biệt Như vậy PT ( ( ) ) ( ) 2 2017 . ' f x f x − y ' 0 = = ( ( ) )2 2 2017 có 7 nghiệm phân biệt do đó hàm số có 7 cực f x − trị. 21 yx− + x x Câu 86: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số =+. 2 A. y x = + 2 1. B. y x = − + 2 1. C. y x = − − 2 1. D. y x = − 2 1. Hướng dẫn giải: Chọn D 21 yx− + x x Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ′ ( ) 212 1 x x − + ′ +. = = − y x ( ) =+có dạng: 2 x 2 2 x mx n f xx+ + Câu 87: Biết hàm số ( ) =+có hai cực trị1 2 x x, . Viết phương trình đường thẳng đi qua 21 hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. A. y mx n = + . B. 2m y x n = + . C. y mx n = − + . D. 2m − = + . y x n Hướng dẫn giải: Chọn B 2 yx+ + x mx n Phương trình đường cong đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số dạng: =+có 21 2 ′ ( ) x mx n x m + + + 2 . yx = = 2 2 ′ ( ) x + 1 Gọi tọa độ của hai điểm cực trị là ( ) ( ) 1 1 2 2 x y x y , , , . Khi đó 1 2 x x, là nghiệm của pt: 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 2x x mx n x x m mx n x m + + = + + ⇔ + − − = 1 2 2 2 0 . 2 Ta tìm k thỏa ( ) 2x m k mx n x m + + + − − = ⎡ 2 2 0 ⎤ ⎣ ⎦có nghiệm x = 0 . Khi đó k =1. 2 yx+ + x mx n Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số dạng: 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) + + + − − ⎣⎡⎦⎤ + + − x m mx n x m x mx n x m y x n = = = + .2 2 2 x x =+có 21 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao 2 =+có hai cực trị1 2 x x, . Tính ( ) ( ) 1 2 f x f x x x m f xx− + − 2 Câu 88: Biết rằng hàm số ( ) 2 2 A. 2 km− =−. kx x 1 2 = . B. k =1. C. 2 = . D. 12 k− = . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 yx− + x x m 2 km Phương trình đường cong đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số =+có 2 2 dạng: ′ 2 ( ) x x m x − + − 2 2 2 . yx = = 2 2 ′ ( ) x + 2 Gọi tọa độ của hai điểm cực trị là ( ) ( ) 1 1 2 2 x y x y , , , . Khi đó 1 2 x x, là nghiệm của pt: 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x x x m x x x m x − + = + − ⇔ + − − = 2 2 2 2 4 2 4 0 . ⎣ ⎦có nghiệm x = 0 . Khi đó 12 2 Ta tìm k thỏa ( ) 2 2 2 4 2 4 0 x k x m x − + + − − = ⎡ ⎤ k− = . Câu 89: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 22 1 mx x m − + − yx =+vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. 2 1 A. m =1. B. 12 m = . C. m = −1. D. 12 m = − . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 ' Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) mx x m mx − + − − 2 1 2 2 1 = = = − y mx +có hệ số ' 2 1 2 ( ) x góc bằng m . Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có hệ số góc k =1; Hai đường thẳng vuông góc với nhau nên m m .1 1 1 = − ⇔ = − . Chọn C. m∈ −[ 5;5]4 3 2 12 y x x x m = + − + 5 Câu 90: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị? 4 5 6 7 A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 3 2 1 Xét hàm số . y x x x m = + − + 2 TXĐ: . D =  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎡⎢ = ⎢ x 0 3 2 y x x x ′ = + − 4 3 ′ = ⇔ = − ⎢⎢⎢ = Ta có , . y x 0 1 1 x ⎣ 4 Ta có bảng biến thiên 5 2 Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại điểm phân ⎡ < m 0 ⎡ < m 0 ⇔ ⎢⎢ − < < − ⎣ ⇔ ⎢⎢ < < ⎣ biệt . 27 2 0256 27 2 m m m m∈ −[ 5;5] ⇒ ∈ − − − − − m { 5; 4; 3; 2; 1;1} Vì nguyên và . 6 m Vậy có giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán. 256 m Câu 91: Cho hàm số f x( ) xác định trên R và có đồ thị f x( ) như hình vẽ. Đặt g x f x x ( ) = − ( ) . Hàm số g x( ) đặt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x =1 B. x = 2 C. x = 0 D. x = −1 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương pháp: Hàm số y g x = ( ) đạt cực đại tại điểm ( ) 0 x g x ⇔ = ' 0 bà qua điểm 0 x thì g x '( ) đổi dấu từ dương sang âm. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao ⎡ = x 1 0 ⎢ Cách giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) g x f x f x x ' ' 1 ' 1 2 = − ⇒ = ⇔ = ⎢⎢ = − ⎣ 0 0 x 1 0 g x f x x ' 0 ' 1 ; 1 2; ( ) > ⇔ > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ) ( ) g x f x x ' 0 ' 1 1;1 1;2 ( ) < ⇔ < ⇔ ∈ − ∪ ( ) ( ) ( ) Ta có BBT: x −∞ −1 1 2 +∞ g x '( ) + 0 - 0 - 0 + g x( ) x = −1 thì g x '( ) đổi dấu từ dương sang âm, qua 0 Ta thấy qua 0 dấu (luôn mang dấu âm) và qua ( ) 0 x =1 thì g x '( ) không đổi x g x = 2, ' đổi dấu từ âm sang dương. x = −1 là điểm cực đại của hàm số y g x = ( ). Vậy 0 Câu 92: Cho hàm số y f x = ( ) với đạo hàm f x '( ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) x 3 22 g x f x x x = − + − + đạt cực đại tại điểm nào? 3 A. x = −1. B. x =1. C. x = 0. D. x = 2. Hướng dẫn giải: Đáp án B Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận điểm cực trị x 3 g f x x = − + − + x x có ( )2 2 Xét hàm số ( ) g f x x x x '( ) ' 2 1; . x = − + − ∀ ∈ ( ) 2, 3 2 Ta có: ( ) ( ) ( ) g f x '( ) 0 ' 1 * x = ⇔ = −x Từ đồ thị hàm số f x '( ) ta thấy: ( ) ( )2 f ' 0 1 0 1 = = − nên x = 0 là một nghiệm của g '( ). x ( ) ( )2 f ' 1 0 1 1 1 = = − ⇒ = x là một nghiệm của g '( ). x ( ) ( )2 f ' 2 1 2 1 2 = = − ⇒ = x là một nghiệm của g '( ). x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt1 2 3 x x x = = = 0, 1, 2. Vẽ đồ thị hàm số ( )2 y x = −1 trên cùng mặt phẳng tọa độ với y f x = '( ) ta thấy: Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số y f x = '( ) nằm phía trên đồ thị hàm số ( )2 y x = −1 nên g x x ' 0, ( ) < ∀ ∈(0 1; ) Trong khoảng (1; 2) thì đồ thị hàm số y f x = '( ) nằm phía dưới đồ thị hàm số ( )2 y x = −1 nên g x x ' 0, ( ) < ∀ ∈(1 2; ). Vậy x =1 là điểm cực đại của hàm số y g x = ( ). Câu 93: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số4 3 2 y x x x m = − − + 3 4 12 có 7 điểm cực trị? A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Xét hàm số4 3 2 y x x x m = − − + 3 4 12 . TXĐ: D =  . ⎡ = x 0 ⎢ Có 3 2 y x x x ′ = − − 12 12 24 , ′ = ⇔ = − ⎢⎢⎣ = y x 0 1 x 2 Ta có bảng biến thiên x −∞ −1 0 2 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 + y +∞ +∞ m m −5 m − 32 Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì 5 0 ⎧ − < ⎨⎩ >⇔ < < 0 5 m . m m 0 Vì m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là m∈{1; 2; 3; 4} . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Vậy có 4 giá trị nguyên cần tìm của m. 2 1 Câu 94: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm ( ) = − + + ∀ ∈ , biết hàm số luôn có y ' x 12x b 3a x R 4 hai cực trị với a, b là các số thực không âm thỏa mãn 3 6 b a − ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a b = + ? A. 1 B. 9 C. 8 D. 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 2 3 y x bx a x R = − − + ∀ ∈ ' 3, 4 Hàm số luôn có hai cực trị khi và chỉ khi: Δ > ⇔ − − > 0 12 3 0 b a ⎧ ≥ Từ giả thiết ta có a ⎪⎪ ≥ b 0 0 ⎨− ≤ ⎪⎪⎩ + 0;1 2; 2 thì f x ′( ) luôn dương nên hàm số y f x = ( ) đồng biến. Còn nếu 0 1 < """