"Toàn Cảnh Đề Toán Tuyển Sinh Lớp 10 Trường Chuyên Trên Toàn Quốc Năm 2019-2020 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Toàn Cảnh Đề Toán Tuyển Sinh Lớp 10 Trường Chuyên Trên Toàn Quốc Năm 2019-2020 Ebooks Nhóm Zalo VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 TOÀN CẢNH ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2019-2020 Mục lục Chuyên đề 1:Căn bậc hai và bài toán liên quan ..........................................................................................2 Chuyên đề 2:Bất đẳng thức-min-Max........................................................................................................29 Chuyên đề 3:Phương trình.........................................................................................................................62 Chuyên đề 4:Hệ phương trình .................................................................................................................104 Chuyên đề 5:Hàm số . ................................................................................................................................131 Chuyên đề 6:Giải bài toán bằng cách lập phương trình,hệ phương trình,bài toán thực tế.................150 Chuyên đề 7:Hình học. ..............................................................................................................................158 Chuyên đề 8:Số học. ..................................................................................................................................262 Chuyên đề 9:Biểu thức. .............................................................................................................................304 🟔 Trang 1 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Chuyên đề 1 Căn bậc hai và bài toán liên quan Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho biểu thức x x x Px x x với x ≥ 0, x ≠ 25. + − = − − + − − 1 5 9 5 5 25 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các giá trị của x để P < 1. Lời giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x Px x x x x − − + + + − + − = − − = + − − + − 5 1 5 5 9 1 5 9 ( ) ( ) 5 5 25 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) − − + + + − − + − − = = = + − + − + − 5 6 5 5 9 2 5 2 10 x x x x x x x x x 5 = −x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x 5 5 5 5 5 5 b) 2 2 2 ( 5) 5 1 1 1 0 0 0 x x x x x Px x x x − − + < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ < − − − − 5 5 5 5 ⇔ x − 5 < 0 ⇔ x < 5 ⇔ 0 ≤ x < 25 Vậy 0 ≤ x < 25 Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:         2 3 5 2 3 5 . A 2 2 3 5 2 2 3 5     Lời giải ● 2 2  3 5 2 2  3 5   82 62 5 2 6 2 5  95     2 2  82 5 1 2 5 1 2  62 5 22 5 2 10. ● 2 3 52 2  3 5   43 53 5 62 5  43 53 5 5 1 12 4 5 2 5 2 102 5. ● 2 3 52 2  3 5   43 53 5 62 5  43 53 5 5 1 124 5 2 5 2 102 5. 🟔 Trang 2 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Do đó:                     2 3 5 2 2 3 5 2 3 5 2 2 3 5 10 2 5 10 2 5 20 2. A 10 10 2 2 3 5 2 2 3 5        Vậy A  2. Cách khác: Ta có:●   2 3 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 4 2           2 2 2 3 5 4 6 2 5 5 5 5 5 4 5 1         ●   2 3 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 4 2           2 2 2 3 5 4 6 2 5 5 5 5 5 4 5 1         A               Do đó: 4 4 20 4 5 20 4 5 40 4 4 4 2.      5 5 5 5 25 5 20 Vậy A  2. Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: B = (13 − 4 3) (7 + 4 3) − 8 20 + 2 43 + 24 3 . Lời giải B = (13 − 4 3) (7 + 4 3) − 8 20 + 2 43 + 24 3 = ( )2 91+ 52 3 − 28 3 − 48 − 8 13 − 4 3 + 7 + 4 3 = ( ) 43 + 24 3 − 8 13 − 4 3 + 7 + 4 3 43 24 3 8 2 3 1 2 3 ⎛ ⎞ = ( ) ( ) 2 2 + − ⎜ − + + ⎟ ⎝ ⎠ = 43 + 24 3 − 8(2 3 −1+ 2 + 3) = 35 Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x, y là các số thực dương và 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 P = x + x + x y + y + y + y x + x + y +1. Chứng minh rằng 3 3 2 3 x + y +1= P . Lời giải Đặt ( ) 3 3 a = x; b = y a,b > 0 , ta có 🟔 Trang 3 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 3 2 2 3 2 2 1 P a a a b b b ab a b = + + + + + + + + . ( ) = + + + + a b a b 1 1 3 2 3 3 P a b x y = + + = + + 1 1. . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị của biểu thức 4 3 2 x x x x A      2 3 38 5 khi x = +2 3 . 2 x x   4 5 Lời giải Ta có           2 2 x x x x 2 3 2 3 4 1 0. 2 2 x x x x        4 5 4 1 4 2 .. 4 3 2 x x x x     2 3 38 5       4 3 2 3 2 2             x x x x x x x x 4 2 8 2 10 40 10 5 552 A    . . Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị của biểu thức: − + − + − = 1 5 1 5 1 5 1 5 . 5 A Lời giải Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Cho biểu thức 1 2 2 : 1 x x Px x x x x x − + − − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠với x x ≥ ≠ 0, 1. = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất các giá trị của x để P ≥1. Lời giải a). Biến đổi được 1 2 1 2 x x x x x x x x x x − = − − + − − − − + ( )( ) 1 1 1 1 1 Biến đổi được 1 2 1 2 + − − = − − + − + x x x ( )( ) ( )( ) x x x x x 1 1 1 1 1 2 1 2 11 1 + − − = + + x x x x x Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 4 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 1 Px = − b). 1 x Px x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − − 1 2 1 1 0 1 1 ⎧⎪ − ≥ ⎧⎪ ≤ ⎧ ≤ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ < ≤ − > > ⎩ > ⎪⎩ ⎪⎩ TH1: 2 0 2 41 4 x x xx x x x 1 0 1 1 ⎧⎪ − ≤ ⎧⎪ ≥ ⎧ ≥ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ − < < ⎩ < ⎪⎩ ⎪⎩ (không xảy ra). TH2: 2 0 2 4 x x x x x x 1 0 1 1 Vậy các giá trị x cần tìm là 1 < x ≤ 4 . Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức ( ) ( ) − − + + − ⎛ ⎞ = ⎜ − ⎟ − − ⎝ − ⎠ trong đó x >1, x ≠ 2 . x x x x 4 1 4 1 1 . 1 Ax x x 4 1 1 ( ) 2 a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức A là số nguyên. Lời giải a) ( ) ( ) − − + + − ⎛ ⎞ = ⎜ − ⎟ − − ⎝ − ⎠ x x x x 4 1 4 1 1 . 1 Ax x x 4 1 1 ( ) 2 x x x x x Ax x x − − + + − ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ − + ⎝ − ⎠ 2 1 2 1 2 . 4 4 1 2 x x x Ax x − − + + − ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠ 1 1 1 1 2 . 2 1 Nếu 1< x < 2 thì 2 Ax = − 1 Nếu x > 2 thì 21 Ax = − b) - Nếu 1< x < 2thì không có giá trị nguyên. - Nếu x > 2 thì 21 Ax = − + x −1 = 1⇔ x = 2 (l) + x −1 = 2 ⇔ x = 5 (n) Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ = ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − − + ⎠ ⎝ ⎠ a a Pa a a a a a2 1 3 5 ( 1) . 1 1 1 4 . 🟔 Trang 5 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . Lời giải ( )2 ⎛ ⎞ − + 1 1 3 5 . 1 1 1 4a a Pa a a a = + ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ ( )( ) Điều kiện: a a > ≠ 0, 1. ( ) ( )2 + − = − − 4 1 1 . 1 1 4 a a ( )( ) a a a 1 a = . Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức x x x x P + − + − = − − 3 16 7 1 3 (x x ≥ ≠ 0, 1). x x x x + − + − 2 3 3 1 Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức 4 4 4 a a a Pa a − − + = + −, với a a ≥ ≠ 0, 4. :2 2 4 Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức 2 4 2 3 6 2 55 3 A = + + − ++ . Lời giải 2 2 2 ( 3 1) ( 5 1) 5 3 A = + + − ++ 2 3 1 5 15 3 = + + − ++ 2( 5 3) 3 52− = + + = 2 5 Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức ⎛ ⎞ − − = − + ⎜ ⎟ 3 3 1 ( 1 ( ) ) :2 2 2 x x x x y Mx xy y x x y y x y x xy y + + − − + + ⎝ ⎠ a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm các số nguyên x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên. Lời giải a).Điều kiện: x y x y x ≥ ≥ ≠ ≠ 0; 0; ; 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 6 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 ( ) ( ) − − + + + + + = − − − ; 3 3 2 x x y x x xy y x xy y Mx x y y x x y . 1 ( )( ) ( ) 2 2 . 1x xy y x xy y Mx y x xy y x x y − + + + = − + + − − ( ) ( ) 2 ( )( ) Mx = − 1 b).Để M có giá trị nguyên khi x-1 là ước của 2. Các ước nguyên của 2 là ±1;± 2. ⎡ − = ⎡ = x x 1 1 2 ⎢ ⎢ − = − = ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ − = ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣ − = − ⎣ = − x x Do đó ta có 1 1 0 x x 1 2 3 x x 1 2 1 Vì x≥ 0; x ≠ 1 nên có x = 0; x = 2; x = 3 thỏa mãn bài ra. Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức:                        x x x x A 24 3 2 2 , (với x  0, x  4,x  9 ). : x x x x x x 2 2 3 5 6 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải 1. Rút gọn biểu thức A. ⎡ ⎤ + − − + − + + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x Ax x x x 3 3 2 2 2 24:2 2 3 ( ) ( ) ⎡ ⎤ ( ) ( ) + − − − + + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x x x x 24 9 4 2 A : ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 1 2 2 3 ⎡ ⎤ x x A + ⎢ − ⎥ = ⎢ ⎥ + − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 24 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 1 2 2 3 x Ax241 + = + 2) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. x x M x x + − + = = = − + = + + − + + + + 24 1 25 25 25 1 1 2 x x x x 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có 25 1 10 xx + + ≥ + 1 Do đó M ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi ( )2 x +1 = 25 ⇔ x +1 = 5 ⇔ x =16 . 🟔 Trang 7 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 8, đạt được khi x=16. Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Rút gọn các biểu thức sau: 1. A    4 3 2 27 12 .      2. 1 2 1 a a B             , (với a a   0, 1). : a a a a 1 1 Lời giải 1. A    4 3 2 27 12    4 3 6 3 2 3  0          2. 1 2 1 a a B :         với a a   0, 1 a a a a 1 1      a aa   1 2 . 1              a a a 1 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1). 1      a a aa ( 1)( 1) a a     3 1 a   Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) 1)Tìm điều kiện xác định: 1 2 Ax x = − − − 1 2 2)Rút gọn: B = − 5 12 27 3) Rút gọn: 1 1 a Ca− = − − 1 Lời giải 1..ĐK: 12 ⎧ > ⎨⎩ ≠ x x 2.. B = − = 10 3 3 3 7 3 3..ĐK: 01 ⎧ ≥ ⎨⎩ ≠; C a a = + − = 1 1 a a Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho biểu thức: a a a Aa a a a 3 9 3 2 1 1 + − − = − + − + − − + 2 1 2 1)Rút gọn biểu thức A. 2)Tìm giá trị của a để A = 2 . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 8 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Lời giải 1).Điều kiện a 0  và a 1  a a a Aa a a a 3( 1) 2 1 1 + − − = − + − ( 2 )( 1) 1 2 + − − + ( ) + − − − + + − − + − = + − 3( 1) 2 ( 2) 1 ( 2)( 1) a a a a a a a Aa a ( 2)( 1) a Aa + = − 1 1 a Aa+ = − để 1 2 2 2). 11 a Aa+ = ⇔ = − 1 ⎡ = a 3 Học sinh giải phương trình và tìm ra giá trị của ⎢⎢ = ⎣ a 1 9 Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn: A = − + + ( 5 3)( 5 3) 6 Lời giải a) Tìm được giao của ( ) d với Ox Oy , lần lượt tại A( 1; 0) và B(0;-2) . Vẽ được đường thẳng ( ) d b) ( ) d  ( ) d′ 1 2 ⎧ − = ⇔ ⎨⎩ ≠ −⇒ = m 3 m 2 2 m Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) 2 ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ − + a 1 3 3 a a a Pa a a 1 1 2 a) Cho a là số thực khác 1 và −1. Rút gọn biểu thức . = ÷ − 2 3 ⎛ ⎞ − − − 1 1 1 ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + 3 a 1 b) Cho các số thực x y a , , thoản mãn 2 4 2 2 4 2 3 3 x x y y y x a + + + = .Chứng minh rằng 3 3 2 2 2 3 x y a + = . Lời giải 2 2 2 ( ) ( ) + + − ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ + − + − + − + ⎝ ⎠ = ÷ − = ÷ − a a a 1 3 1 1 31 2 2 1 1 1 1 2 2 3 ( )( ) a a a a a a a a Pa a a a a a a a a a) Ta có ( ) 2 2 2 3 2 ( )( ) ⎛ ⎞ − − − − − + + − + + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + + 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 ( ) ( ) 2 a a 1 1 ( ) 2 2 2 ( ) ( )( ) − + − + + + = − + + + − + − −1 2 1 1 4 1 1 1 1 2 . . 4 1 1 1 1 1 a a a a a a a ( ) 2 2 2 + − = − = = − − − − . a a a ( ) ( )( ) a a a a a a a a a a ( ) Vậy P = −1 . 1 1 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 9 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 b) Đặt 3 2 s x = và 3 2 t y = thì đẳng thức đề bài có thể viết lại thành 3 2 3 2 s s t t t s a + + + = . Do s t , 0 ≥ nên 3 2 3 2 s s t s s t t t s t s t + = + + = + , . Từ đó ta có (s t s t a + + = ) hay ( )3 2 s t a + = . Suy ra 3 2 s t a + = . Đây là kết quả cần chứng minh. Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) ⎛ ⎞ + − − + − Cho 2 1 2 1 . x x x x x x x x Px x x x ⎝ ⎠ − − − với 1 0, 1, 4 = + − ⎜ ⎟ x x x ≥ ≠ ≠ . 1 1 2 1 a) Rút gọn P. b)Tìm các giá trị của x sao cho 45 P = . Lời giải ⎛ ⎞ + − − + − x x x x x x x Px x x x x x ( 1)(2 1) (2 1)( 1) ( 1) 1 . = + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + − + + − (1 )(1 ) (1 )( 1) 2 1 ⎛ ⎞ + x x P xx x ( 1) 11 = + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + x x x x x Px x − + + + + = + + (1 )( 1) ( 1) 1 − + − + + + = = + + + + (1 ) 1 1 x x x x x x x x x x x 1 1 x Px x 4 1 4 + = ⇒ = 5 5 1 + + ⎡ = − ⇒ − + = ⇔ ⎢⎢⎣ = +(tháa m·n) x x xx 7 4 3 4 1 07 4 3 Vậy để 45 P = thì x = ± 7 4 3 (tháa m·n) Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức           x x x Px x x x x x x(với x  0). 3 1 3 :             1 1 1 1 Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để 1.5 P  Lời giải x Px x x x      . 1 3 :1 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 10 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 1 x 3   .. 1 1 1 2  x 4 .. P x      5 5 3 x Vậy 0 4  x thỏa mãn bài toán.. Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A x x     2 15 8 2 1. a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b) Tìm x để A  3. Lời giải Ta có A x x x x          2 15 8 2 1 2 1 2.4. 2 1 16       2 ( 2 1 4) 2 1 4 . x x Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi     1 2 1 0 .2 x x                         2 1 4 3 2 1 7 x x A xx x 3 2 1 4 32 1 4 3 2 1 1      25. 1 x x Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho    3 3 x 1 2 4. Tính giá trị đúng của biểu thức       5 4 3 2 A x x x x x 4 2 2019. Lời giải Ta có          3 3 3 3 3 3 x x 1 2 4 ( 2 1) ( 2 1)(1 2 4)            3 3 3 2 ( 2 1) 1 2 1 3 3 1 0. x x x x x x Khi đó        5 4 3 2 A x x x x x 4 2 1 2020         2 3 2 ( 1)( 3 3 1) 2020 2020. x x x x x Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) a) Tìm điều kiện của x để biểu thức 13 x   có nghĩa. x              a a a aa      a a   0, 1 . b) Chứng minh đẳng thức 1 1 1 a a 1 1 Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 11 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Điều kiện của x để biểu thức 13 x   có nghĩa là x 3 0 . x  x 3 .              a a a aa      a a   0, 1 . . b).Chứng minh đẳng thức 1 1 1 a a 1 1             Ta có  1 1    1 1 1 1 a a a a a a a a                  .          a a a a 1 1 1 1       1 1 a a  .  1 a . Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) 3 5 . 3 5     1) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức P   10 2 2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2 3 2 x x Qx     tại x   2020 2 2019 2 Lời giải 1) 3 5 . 3 5     Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức P 3 5 . 3 5 . 2 5 1          10 2 P  8       2 6 2 5 . 3 5 5 3 5 5 1 . 2 5 2         8 8  5 1 .2. 5 1       8 2. 5 1   1    8 2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2 3 2 x x Qx     tại x   2020 2 2019 2 Ta có  2 x        2020 2 2019 2019 2 2019 1 2019 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 12 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020    x 2019 1 2 3 2 2 1 2   x x x x Qx x         2 2 Q x   2 1       Q 2 2019 1 1 2 2019 1   Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Tính giá trị các biểu thức sau: a) 4 3 + 2 b) 5 (6 5) + − Lời giải a). 4 3 2 3 5 + = + = b). 2 5 (6 5) 5 6 5 + − = + − = + − = 5 6 5 6 Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức 2 x x Hx x x(với x x ≥ ≠ 0; 1) 2 2 1 1 + = + − − + − 2 1 1 1 a)Rút gọn biểu thức H . b)Tìm tất cả các giá trị của x để x H− < 0 Lời giải 2 x x x x x Hx x x x x x x x x 2 2 1 1 2 ( 1) 1 1 2 1 1 + + a). = + − = + − = + − 2 − − + − + − + − + − 1 (x 1)(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 − = − 2 2 x + − − + = − 2 1 ( 1) x x x x − = = x − 2(x 1) 2 1 1 x 1 b).Ta có x H x x x − < ⇔ − < ⇔ < ⇔ < 0 2 0 2 4 Mà x x ≥ ≠ 0; 1, suy ra: 0 4; 1 ≤ < ≠ x x Vậy: Với 0 4; 1 ≤ < ≠ x x thì x H+ < 0 Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức T = + − − + (2 3 1 3 2 1 13 4 3 19 6 2 )( ) . Lời giải Tính được 13 4 3 2 3 1 − = − Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 13 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 và 19 6 2 3 2 1 + = − Đưa được về dạng ( ) ( ) 2 2 2 2 T 2 3 1 3 2 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Tính đúng kết quả T = 187 Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2019 3 . 3 9 Px x = − − − Lời giải ⎧ ≥ x 0 ⎪⎨ − ≠ Biểu thức xác định khi ⎧ ≥ x ⎪ ≠ ⎩ x 3 0 9 . x 0 ⇔ ⎨⎩ ≠ . x 9. Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) 2 1 1 4 : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + a a a a a P a = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho biểu thức ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + +với a a > ≠ 0, 1. a a a 1 1 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên. Lời giải 2 a a aa a 1).Với a a > ≠ 0, 1 ta có + = + . a . 1 2 2 Và ( ) ( ) ( )( ) a a a a a a aa + − − + − + + − 1 1 4 1 1 1 1 4 − + − + . − + = ( )( ) a a a a 1 1 1 1 4 . 1 a a a = − . Do đó 4 1 4 . . 1 1 a a Pa a a a = = − − . ⎡ − = − a 1 4 ⎢ − = − ⎢⎢ − = − ⎢ − = ⎢⎢ − = ⎢⎣ − =. a a 2).Với a nguyên thì P nhận giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a a a 1 2 1 1 1 1 1 2 1 4 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 14 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 ⎡ = − a 3 ⎢ = − ⎢⎢ = ⇔ ⎢ = ⎢⎢ = ⎢⎣ =Đối chiếu với điều kiện ta có a a a = = = 2, 3, 5 (thỏa mãn).. a a a a a 1 0 2 3 5 Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho x = + + + − + 3 5 2 3 3 5 2 3 . Tính giá trị của biểu thức P x x = − (2 ) . Lời giải 2 2 2 x 3 5 2 3 3 5 2 3 6 2 3 5 2 3 6 2 4 2 3 ⎛ ⎞ = + + + − + = + − + = + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + Có ( ) ( ) ( )2 = + − = + = + 6 2 3 1 4 2 3 3 1 . + Do x > 0 nên x = + 3 1. + Suy ra ( )2 x − = 1 3 hay 2 x x − = 2 2, do đó P = −2 . Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2019 3 . 3 9 Px x = − − − Lời giải Biểu thức xác định khi 3 0 ⎧ − > ⎨⎩ ≠ . x ⎧ > x 3 x 9 ⇔ ⎨⎩ ≠ . x 9. Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho biểu thức ⎛ ⎞ + − a a P a 1 1 1 4 . = − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − +với a a > ≠ 0, 1. a a a a 1 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của P khi a = +9 4 2. Lời giải 2 2 1).Với a a > ≠ 0, 1 ta có ( ) ( ) ( )( ) a a a a a a aa + − − + − + + − 1 1 4 1 1 1 1 4 − + − + . − + = ( )( ) a a a a 1 1 1 1 2 1 2 1 4 1 ( ) + + − + − + − = − . a a a a a a a 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 15 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 4 a a a = − . 1 Do đó 4 1 4 . . 1 1 a a Pa a a a = = − − . 2).Ta có ( )2 a = + = + = + 9 4 2 2 2 1 2 2 1. . Do đó P = 2. . Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Với x 0 > , xét hai biểu thức 2 x Ax + = và x 3 2 x 9 Bx x 3 x − + = ++ . Tìm tất cả các giá trị của x để A 5. B 3 > Lời giải ( )( ) ( ) x 3 x 3 2 x 9 x 9 2 x 9 Bx x 3 x x 3 − + + + − + + = = + + . ( ) ( ) x 2 x x 2 x x 2 ( ) + + + = = = + + + .. ( ) x x 3 x ( x 3) x 3 Với x 0 > ta có: A 5 2 x 2 x 5 + + > ⇔ > : B 3 3 x x 3 + x 3 5 + ⇔ > . x 3 ⇔ + > 3 x 9 5 x (vì 3 x 0 > ∀ > x 0 ) 81 2 x 9 0 x .4 ⇔ < ⇔ < < Vậy với 81 0 x4 < < thì A 5 > . . B 3 Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức 5 6 7 33 128 1 C3 2 − + − = − . Lời giải 2 5 6 7 33 128 1 5 6 7 (4 2 1) 1 C3 2 3 2 Ta có: − + − − + − = = − − . 2 5 6 6 4 2 1 5 6 (2 2) 1 − − − − = = − − . 3 2 3 2 − = −2 5 (3 2) 5 11 6 2 3 2 − = − .3 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 16 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 − = = − . 5(3 2) 5. 3 2 Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức ⎛ ⎞ + + + − ⎛ ⎞ = + + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − − + − − ⎝ ⎠. x x x x Ax x x x x x 3 2 2 2 : 1 2 3 5 6 2 a)Rút gọn biểu thức A. b)Tìm x để 1 P A2x = − đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) Rút gọn biểu thức A. Điều kiện: x x x > ≠ ≠ ⋅ 0, 4, 9 Ta có: x x x x x x + + + + + + 3 2 2 3 2 2 + + = + + ( )( ) x x x x x x x x − − − + − − − − 2 3 5 6 2 3 2 3 ( )( ) ( )( ) ( ) + − − + − + + = − − x x x x x 3 3 2 2 2 ( )( ) x x 2 3 ( ) ( ) − − − + + = = ⋅ − − − x x x 9 4 2 1 ( )( ) x x x 2 3 2 ( ) − − − − − − = = = ⋅ − − − − − − + − x x x x x x 2 2 2 1 ( )( ) x x x x x x x x 2 2 2 1 2 x x Ax x x x+ = = ⋅ − + − 1 1 :2 1 2 Do đó ( )( ) b) Tìm x để 1 P A2x = − đạt giá trị lớn nhất. Ta có 2 2 1 2 1 2 x Px x x x + = − = + − 2 1 1 3 3. ⎛ ⎞ = − − + ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x Dấu “=” xảy ra khi 1 1 1. x x= ⇔ = Vậy max 3 1. P x = ⇔ = Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 17 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Câu 37. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Tìm a , biết: 2 2 ( ) ( ) ( )( ) a a a a a a + − − + + + + − + − = − + 1 1 2 1 1 2 1 11 a a a a . ( ) ( ) 4 1 1 Lời giải Điều kiện: a > 0 và a ≠ 1. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a a a a a a a + − − = + + − + − = 1 1 1 2 1 2 4 và ( 2 1 1 2 1 1 2 1 1 a a a a a a a + + + + − + = + − + = )( ) ( ) ( ) . Do đó, phương trình đã cho có thể được viết lại thành 1 1 1 − = a a − + . 1 1 Phương trình này tương đương với ( ) ( ) a a + − − = + − 1 11 a ahay 2 1 ( )( ) 1 1 Như thế, ta có a − =1 2 hay a = 3 (thỏa mãn). Vậy có duy nhất một giá trị a thỏa mãn yêu cầu đề bài là a = 3. 1= a − . Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức 2 2 2 8 1 ⎛ ⎞ + + − + − = − ⋅ ⎜ ⎟ x x x x x x Ax x x x xvới x ≥ 0 . ⎝ ⎠ − + + + 1 1 3 Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = 6 . Lời giải Với x ≥ 0 , ta có: 2 2 2 8 1 ⎛ ⎞ + + − + − = − ⋅ ⎜ ⎟ x x x x x x Ax x x x x ⎝ ⎠ − + + + 1 1 3 ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 1 1 1 1 3 + + − − − + − = ⋅ + − + + x x x x x x x ( )( ) x x x x ( )( ) 1 1 3 2 2 8 1 3 + − + + − − = ⋅ + + x x x x x x x x x 1 3 2 63 − = + − − ⋅+ ( ) x x x xx 1 2 33 − = − + ⋅+ ( )( ) x x xx ( )( ) 2 1 = − − x x 3 2 = − + x x Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 18 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 A x x x x = ⇔ − + = ⇔ − − = 6 3 2 6 3 4 0 ( )( ) ⇔ + − − = ⇔ − + = x x x x x 4 4 0 4 1 0 ( ) ⇔ − = + > ∀ ≥ x x x 4 0 vì 1 0 0 ⇔ = x 16 (TMĐK) Vậy với x = 16 thì A = 6 . Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức 2 2 3 1với x x > ≠ 0 1 , . x x x x x Px x x x x x + − + = + − − + Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Lời giải 2 2 3 1với x x > ≠ 0 1 , . Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Cho biểu thức x x x x x Px x x x x x + − + = + − − + thức P ( )( ) ( ) x x x x x x x x x x x x Px x x x x x x x x x x 2 1 1 1 2 3 1 2 3 − + + + + − + + = + − = + − ( ) ( ) − + − + 1 1 ( ) ( )( ) 1 1 1 2 3 1 2 3 1 x x x x x x x x x x x + + − + + + + + + + = + − = + − ( ) ( ) x x x x x x x x + + 1 1 ( ) ( )( ) 1 1 1 2 3 1 2 3 1 x x x x x x x x x x x + + − + + + + + + + = + − = + − ( ) ( ) x x x x x x x x + + 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 x x x x x x xx + + + − + + + = + − = = + + x x x x x + ≥ ⇒ ≥ + 3 2 2 6 2 2 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có x P x Dấu bằng xảy ra khi x tmdk = ( ) 32 Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức x x x x Ax x x x − − + − − 4 9 3 1 2 1 + + + +(với x ≥ 0 ). = + − 3 2 1 2 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Lời giải a). ( )( )( )( ) ( )( ) x x x x x x Ax x x x x x − + − + − − + 1 2 2 1 1 4 9 3 = + − ( )( ) ( )( ) + + + + + + 1 2 1 2 1 2 ( )( ) − + − = = + + + . 1 5 2 1 5 x x x ( )( ) x x x 1 2 1 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 19 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 b). 1 5 6 5 x Ax x − = = − + + + . Với mọi x ≥ 0 ta có: x + ≥1 1 nên 6 6 1 1 Do đó 6 5 1 x 1≤ + Ax +. Giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x = 0 . = − + ≤ 1 Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) a)Rút gọn biểu thức: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ − + x :3 2 2 x x x ⎝ ⎠ − − − +(với x x x ≥ ≠ ≠ 0; 4; 9 ) A = 11 ⎝ ⎠ + x x x x x 2 3 5 6 3 ( 3 1) 10 6 3 x− + = hãy tính 2 2019 B x x = + − ( 4 2) b)Cho 21 4 5 3 + + Lời giải ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + a) 3 2 2 1 : x x x x Ax x x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − − − +Với x x x ≥ ≠ ≠ 0; 4; 9. = − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 3 5 6 ( )( ) ( )( ) + − − + − + + = + − − 3 3 2 2 2 1:1 2 3 x x x x x Ax x x ( )( ) 1:1 x x x − − + + + 9 4 2 − = + − − 1 3 Ax = + ( )( ) x :1 2 3 − − ( )( ) x x 2 3 x Ax x x− = = + − + . 1 1 2 :1 2 1 b) Ta có 3 3 3 10 6 3 (1 3) 1 3 + = + = + 2 21 4 5 (2 5 1) 2 5 1 + = + = + x x x Nên ( 3 1)( 3 1) 2 5 2 x− + = = = − + + 2 5 4 2 5 4 Vậy 2 2019 2019 B x x = + − = − = − ( 4 2) ( 1) 1 Câu 42. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức: ⎛ ⎞ 2 1 1 ( + −) = + + ⋅ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠xy x y xy Pxy x x y y x y(với x y > > 0; 0). 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Biết xy =16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 20 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 1. ⎛ ⎞ + − ( ) xy x y xy Pxy x x y y x y 2 1 1 = + + ⋅ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ( ) + − + + = ⋅ + + − 2 xy x y xy xy y x xy x y x y xy ( )( ) ( )2 + = ⋅ + x y xy xy x y + = x y xy Vậy + = x y Pxyvới x y > > 0; 0. 2.Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2 2 16 4 x y xy + ≥ = = 4 1 ⇒ ≥ = P 16 Dấu “=” xảy ra ⇔ = = x y 4 Vậy min 1 P = tại x y = = 4 . Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho 3 3 x = + + − 70 4901 70 4901. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng minh x là số nguyên tố. Lời giải Ta có: 3 3 x = + + − 70 4901 70 4901 ( )( )( ) 3 3 3 3 ⇒ = + + − + + − x 140 3 70 4901 70 4901 70 4901 70 4901 3 ⇔ = − x x 140 3 3 ⇔ + − = x x 3 140 0 2 ( )( ) ⇔ − + + = x x x 5 5 28 0 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ = + + = + + > ∀ ∈ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 87 5 do 5 28 0 2 x x x x x  2 4 Vì vậy x là số nguyên tố.. Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)Rút gọn biểu thức: A = + + + − + 4 10 2 5 4 10 2 5 . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 21 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Lời giải Ta có ( )( ) 2 A A > ⇒ = + + + − + 0 8 2 4 10 2 5 4 10 2 5 . ( ) ( )2 2 A = + − + = + − = + − 8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1 . ( ) ( )2 2 A = + − = + = + 8 2 5 1 6 2 5 5 1 . ⇒ = + A 5 1.. Câu 45. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho 3 3 x = + + − − 2 2 3 2 2 3 1. Tính giá trị biểu thức ( )3 3 2 P x x x = + + 3 9 Lời giải 3 3 x = + + − − 2 2 3 2 2 3 1 3 3 ⇔ + = + + − x 1 2 2 3 2 2 3 ( ) ( ) 3 3 2 ⇒ + = − + ⇒ + + = − x x x x x 1 4 6 1 3 9 3 ( ) ( ) 3 3 3 2 3 2 P x x x x x x = + + = + + 3 9 3 9 P = −27 Câu 46. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Tính tổng 1 1 1 1 ... 3 1 5 3 7 5 2019 2019 2 S = + + + + 2 2 + + + + − Lời giải 1 1 1 1 ... 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 Ta có: 2 2 S = + + + + + + + − + 2 2 − − − − − ⇒ = + + + + − − − − − S 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 ... 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 ... 2019 2 2019 − + − + − + + − − ⇒ = − S 2 2 1 2019 1 2019 1009 − − ⇒ = = = − − S 2 2 Vậy S = 1009 Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức ( 2 2 2 1 )( ) a a − − = − − với a a > ≠ 0, 4 . Ta a 2 Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 22 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Rút gọn biểu thức ( 2 2 2 1 )( ) a a − − = − − với a a > ≠ 0, 4 . Ta a 2 ( 2 2 2 1 2 2 1 a a a a − − = − − )( ) ( )( ) = − − + 2 2 1 1 ( a a a )( )( ) a a a a − − = + − 2 1 2 ( )( ) Vậy T a = − 2 1 ( ) . Câu 48. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) x Px x x x. Tìm điều kiện xác định của P và giá trị của x để ⎛ ⎞ + 1 1 1 a) Cho biểu thức: = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − − : ( )2 1 1 1 P = . 2 b) Rút gọn biểu thức 3 A = − + − 46 5 61 69 28 5. Lời giải a) Điều kiện: x > 0 ; x ≠1. ( )2 ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ + = + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − − + − − ⎝ ⎠x x Px x x x x x x x . 1 1 1 1 1 1 : . 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( )2 − + − = = − + 1 1 1 .1 1 x x x x x x x . ( ) x P x x x x − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ( ) 1 1 1 2. 1 2 4 x(thỏa điều kiện). 2 2 Vậy giá trị cần tìm là x = 4 . b) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 3 3 46 5 61 2 5 3. 2 5 .1 3.2 5.1 1 2 5 1 2 5 1. − = − + − = − = − ( ) ( ) 2 2 69 28 5 49 2.7.2 5 2 5 7 2 5 7 2 5. − = − + = − = − 3 A = − + − = − + − = 46 5 61 69 28 5 2 5 1 7 2 5 6. Câu 49. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn 2 2 A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − = − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 2 1 3 2 . 2 2 1 3 1 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 23 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 2 2 A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − = − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 2 1 3 2 2 2 1 3 1 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. ( ) ( ) 1 3 4 1 3 4 ( ) ( ) 2 1 3 2 1 3 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 3 2 3 ( ) ( ) + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 3 2 1 3 3 3 3 3 = − = − + − + − ( ) ( ) 2 2 4 2 3 4 2 3 1 3 1 3 − − − = = − = − − 12 6 3 12 6 3 12 3 3 3 16 12 4 Vậy 3 3 A = − . ( ) 2 ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ − = = = 1 3 4 1 3 2 2 3 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 ( ) ( ) ⎝ ⎠ + + + + ( ) 2 ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ − = = = − 1 3 4 1 3 2 2 3 3 ⎝ ⎠ − − − − . 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 ( ) ( ) 2 2 A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 3 3  2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − + − 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( ) − − − = − = = − + − − 3 3 12 6 3 12 6 3 12 3 4 2 3 4 2 3 16 12 4 Vậy 3 3 A = − . Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020)Rút gọn biểu thức A = − − + (3 5 27 20 5 3 15 ) . Lời giải A = − − + (3 5 27 20 5 3 15 ) . = − − + (3 5 3 3 2 5 5 3 15 ) . = − + ( 5 3 3 5 3 15 ) . = − + = 5 3 15 3 15 5 . Câu 51. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 24 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 = √√√√+ √√ a)Rút gọn biểu thức . b)Tính giá trị của biểu thức khi = 4 2√3. Lời giải a)Rút gọn biểu thức . Điều kiện: ≥ 0 ≠ 9 Ta có = √ 3 2 + 12√ 18 4√ 3 (√ + 1)(√ 3) = (√ 3)( + 8) (√ 3)(√ + 1) = + 8 √ + 1 b)Tính giá trị của biểu thức khi = 4 2√3. Ta có : = 4 2√3 = (√3 1) ⇒ √ = √3 1 = √ √ = 4√3 2 √ = √ Câu 52. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) − − + − + ⎛ ⎞ Cho biểu thức ( ) 2 3 8 1 1 1 x x x x x x P x + + + − ⎝ ⎠với x x ≥ ≠ 0, 1. = + − − − ⎜ ⎟ x x x x 1 2 1 1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm tất cả số nguyên tố x để P ≤ 1. Lời giải a) x xx − − = − + 2 3 3 x 1 x xx x += − + x + 8 2 4 2 x x x − + − − = + − − 1 1 4 x x x 1 1 1 P x x = − + 5 1 b) Tìm tất cả số nguyên tố x để P ≤ 1 P x ≤ ⇔ ≤ ≤ 1 0 5 x x x x x x x x x = = = = = = = = = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 25 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Câu 53. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) ⎛ ⎞ + − − 2 2 2 2 1 x x x x x Px x x x x x = + − ⋅ ⎜ ⎟ Cho biểu thức với x > 0. ⎝ ⎠ − + + − + 1 1 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh: P ≤ 3. Lời giải 2 x xx x += + a). ( ) x x − + 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x x xx x − − − = − − − + x x 1 2 2 2 2 1 x x x x xx x + − − + − = + + x x x x − + + 1 1 x x Px x + + = − + 1 1 b). P x x x x ≤ ⇔ + + ≤ − + 3 1 3 1 ( ) ( )2 ⇔ − ≥ 2 1 0 x Câu 54. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức ( ) 2 2 1 2 2 x x x x x Ax x x x − + − = + − + − + −với x x ≥ ≠ 0, 1. 1 1 1 Tìm tất cả các giá trị của x để A ≤ 0. Lời giải A x x x x = − + + − 2( 1) 2 = + − = − + x x x x 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 0 1 0 0 1. x x x x − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Đối chiếu điều kiện giá trị cần tìm 0 1. ≤ 0 . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + + x A xx x x x 1 1 1 . 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − − + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( )( ) ( ) x x x x x x 1 1 1 1 . 1 1 ( )( ) x x x x ⎝ ⎠ − + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x x x 1 2 . 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + x x x − = x 2 x 2. Ta có 2 2 1 x Ax x − = = − Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x là ước nguyên của 2. Hay x ∈ − − { 1;1; 2;2}. Ta có: x = −1 (Vô nghiệm). x x = ⇔ = 1 1 (thỏa mãn). x x = ⇔ = 2 4 (thỏa mãn) x = −2 (Vô nghiệm). Vậy để A nguyên thì x∈{1;4}. Câu 57. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các số thực x y a , , thoản mãn 2 4 2 2 4 2 3 3 x x y y y x a + + + = . Chứng minh rằng 3 3 2 2 2 3 x y a + = . Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 27 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020 Đặt 3 2 s x = và 3 2 t y = thì đẳng thức đề bài có thể viết lại thành 3 2 3 2 s s t t t s a + + + = . Do s t , 0 ≥ nên 3 2 3 2 s s t s s t t t s t s t + = + + = + , . Từ đó ta có (s t s t a + + = ) hay ( )3 2 s t a + = . Suy ra 3 2 s t a + = . Đây là kết quả cần chứng minh. Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 28 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Chuyên đề 2 Bất đẳng thức-Min-Max Câu 1. ( Trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giả sử ba số thực a b c , , thỏa mãn điều kiện a > 0 , 2 b a = 3 , a b c abc + + = . Chứng minh rằng: 1 2 3 a+ ≥ . 3 Lời giải Ta thấy 2 3 3 3 33abc a bc a abc a = ⇒ = ⇒ = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 2 2 3 b c a a a bc ⎛ ⎞ + − ⎛ ⎞ = ≤ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 32 2 ( )2 3 a − ⇒ ≤ 2 3 a a 34 ( )2 2 3 ⇒ ≤ − 12 3 a a a ( )2 2 2 2 ⇒ − ≥ a a a 3 1 12 ( ) ( ) 2 2 2 ⇒ − − ≥ 3 1 2 3 0 a ( )( ) 2 2 ⇒ − + − − ≥ 3 1 2 3 3 1 2 3 0 a a ⎡⎧⎪ − − ≥ ⎢⎨⎢⎪⎩ − + ≥ 2 3 1 2 3 0 a 2 3 1 2 3 0 a ⇒ ⎢⎢⎧⎪ − − ≤ 2 3 1 2 3 0 a ⎢⎨⎢⎪⎩ − + ≤ ⎣ 2 3 1 2 3 0 a ⎡⎧ − ⎢⎪ ≥ ⎪⎢⎨⎢⎪ + ⎢ ≥ ⎪⎢⎩ ⇒ ⎢⎧ − ⎢⎪ ≤ ⎢⎪⎨⎢⎪ + ⎢ ≤ ⎢⎪⎣⎩ a a a a 2 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 a+ 2 1 2 3 ⇒ ≥ 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 29 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 a+ 1 2 3 ⇒ ≥ ( Do a > 0 ). 3 Câu 2. ( Trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số dương x y, ,z thỏa 12 xyz = . yz zx xy xy yz zx Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + ≥ + + . + + + x y z y z x z x y Dấu “=” xảy ra khi nào ? Lời giải Ta sẽ chứng minh ( ) ( ) ( ) 2 2 21 . 2+ + yz zx xy xy yz zx + + ≥ x y z y z x z x y xyz + + + Đặt 1 1 1 a b c = = = , , x y zthì bất đẳng thức trở thành 2 2 2 1 . 2 a b c a b c ( ) + + ≥ + + b c c a a b + + + 2 2 2 a b c b c a c a b a b c + + + + ≥ + ≥ + ≥ Ta có: ; ; . 4 4 4 b c c a a b + + + Cộng vế theo vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 312 x y z = = = . Câu 3. ( Trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số dương x y, ,z thỏa 1 2 xyz = . yz zx xy xy yz zx Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 + + ≥ + + x y z y z x z x y + + + Dấu “=” xảy ra khi nào ? Lời giải Ta sẽ chứng minh ( ) ( ) ( ) . 2 2 212 yz zx xy xy yz zx + + + + ≥ x y z y z x z x y xyz + + + Đặt , , 1 1 1 a b c x y z = = = thì bất đẳng thức trở thành 2 2 2 1 a b c a b c ( ). + + ≥ + + b c c a a b + + + 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c + + + + ≥ + ≥ + ≥ Ta có: ; ; . b c c a a b + + + 4 4 4 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 30 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Cộng vế theo vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 312 x y z = = = . Câu 4. ( Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực x y z , , thỏa mãn 0 1; 0 1; 0 1. ≤ ≤ < ≤ < ≤ x y z Chứng minh rằng ( ) 3 3 2 3 1 x y z xyz + + x y z yzyz + + ≤ + + ⋅ Lời giải ( )( )( ) 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 0 1 1 1 1 . ≤ − − − = − − − + + + − x y z x y z xy y z xz xy z . Suy ra ( ) 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 x y z xy y z xz xy z xy y z xz xy yz zx + + ≤ + + + − ≤ + + + ≤ + + + 1 1 1 1 . . 3 3 ( ) y z y z yz + ≥ + 3 3 ( ) ( ) x y z xyz x y z yz + + + 2 2 1 1 1 . ⇒ + + ≥ + + + = + + + + yz yz x xy yz zx x yz yz ≥ + + + ( ) 1 2 . xy yz zx Từ (1) và (2) ta có ( ) 3 3 2 3 1 x y z xyz + + x y z yzyz + + ≤ + + ⋅ Đẳng thức xảy ra khi ( x y z ; ; 0;1;1 . ) = ( ) . Câu 5. ( Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) 3 1 7 5 2 xx + ≥ + 1)Cho số thực dương x , chứng minh + . x 2 18 18 2)Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn 2 2 2 a b c + + = 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 a b b c c a + + + + + ≥ 2 + + + . a b b c c a 2 2 2 Lời giải Câu 6. ( Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực dương a b c , , . a b c a b c       4. Chứng minh b c a a b c 2 2 2 3.   Lời giải ( )2 2 2 2 a b c a b c a b c + + + + = + + ≥+ +(bất đẳng thức B.C.S) b c a ab bc ac ab bc ac Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 31 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ( ) 2 a b c a b c a b c a b c Sb c a ab bc ca 3. a b c 3. a b c + + + + + + = + + + ≥ + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 3 (a b c) a b c 3(a b c) 3 ⎛ ⎞ − + + ⎜ ⎟ + + + + ⎝ ⎠ = + + ( ) 2 ab bc ca a b c a b c + + + + + + 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 a b c 3(a b c) 2(a b c) + + + + + + = + − ab bc ca a b c 3. a b c + + + + + + 2 2 2 2 2 2 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 2 2 2 ( ) ( ) ab bc ca a b c + + + + 3 6 2 2 2 ( ) ( ) ⎡ ⎤ + + + + + + + 2 ab bc ca a b c a b c ≤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3 27 2 ( ) ( ) a b c 3 a b c + + + + ⇒ + ab bc ca a b c + + + + 2 2 2 ( ) 3 a b c 2. 3. 2. 3. 27 6 + + 4 4 4 ≥ ≥ = ( ) 2 2 2 ab bc ca a b c + + + + a b c a b c 3 a b c 1 + + + + ≤ + + ⇒ ≤ ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 3. a b c + + ⇒ ≥ − = S 6 2 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c. = = Câu 7. ( Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn 1 1 1 1      . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c 1 1 1 3 3 3 a b c Pa ab b b bc c c ca a          . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn 1 1 1 1   . Tìm giá trị nhỏ nhất của    a b c 1 1 1 3 3 3 a b c Pa ab b b bc c c ca a          . 2 2 2 2 2 2 Từ giả thiết: 1 1 1 1 1 2 a b c b c 1 1 1 ( 1)( 1)         (Côsi 2 số) Tương tự: 1 1 1 1 1 2 b a c a c 1 1 1 ( 1)( 1)         ; Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 32 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 1 1 1 1 1 2 c a b a b 1 1 1 ( 1)( 1)          Nhân vế với vế các bất phương trình ta được: a b c 1 . . 8  2 2 2 a b c a b c       1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) abc abc 8 8 a b c a b c     ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)       Với a b c , , 0  ta có: 2 ( )( ) 0 a b a b    3 3 2 2      a b a b ab 0 3 2 2      3 (2 )( ) a a b a ab b3    a a b 2 3 b b c   2 2 a ab b   3 3 Tương tự: 2  ; c c a   2 2 2 b bc c 3 2 2 c ca a   3 Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 3 3 3 a b c a b c      2 2 2 2 2 2 3 a ab b b bc c c ca a       Theo bất đẳng thức Côsi 3 a b c abc     3 6 nên P  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c    2. Câu 8. ( Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn a b ab + = 4 . Chứng minh rằng: 2 21 a b + ≥ 4 1 4 1 2 b a + + Lời giải Từ a b ab + = 4 Áp dụng BDDT (AM- GM ) ta có 14 ab ≥ 2 2 2 a b a b a b + + = + ≥ ( ) 2 2 2 2 4 1 4 1 4 4 4 ( ) ( ) b a a b a a b b a b a b a b Ta có + + + + + + + + = = = − ≥ a b a b 4 1 1 1 4 1 4 1 4 1 2 a b a b a b + + + Dấu đẳng thức sảy ra khi a= b= 12 . Câu 9. ( Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Chứng minh 1 1 1 ... 38     . 2 3 400 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 33 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Lời giải Chứng minh 1 1 1 ... 38     . 2 3 400              1 1 1 1 1 1 ... 2 ...          . 2 3 400 2 2 3 3 400 400           1 1 1 2 ...          . 2 1 3 2 400 399     Ta có : 1 1 1 2 ...               2 1 3 2 400 399         2 1 3 2 ... 400 399.     2 1 400 38   Vậy 1 1 1 ... 38     . 2 3 400 Câu 10. ( Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho số thực x thỏa mãn    1 1 x . Chứng minh rằng 2 1 1 2      x x x . Lời giải Cho số thực x thỏa mãn    1 1 x . Chứng minh rằng 2 1 1 2      x x x . Với    1 1 x ta có 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 1         x x x x     2 2 2 2               1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x Lại có : 2 2 2 2 2 0 1 1, 1;1 1 1 1 1 2                x x x x x x     Vậy 2 2 1 1 1 2 , 1;1           x x x x x     .      2 xx Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 00     2 2 1 1 x x Câu 11. ( Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz + + = 2019 . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 2019 1 1 2019 1 1 2019 1 2019.2020 . x x z z y yxyz + + + + + + + + + + + ≤ x y z Lời giải Từ giả thiết ta có 1 1 1 2019. + + = xy yz zx Bất đẳng thức đã cho tương đương với Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 34 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 1 1 1 1 1 1 2019 2019 2019 2020( ) x y z x y z + + + + + + + + + + + ≤ + + 2 2 2 x x y y z z 1 1 1 1 1 1 2019 2019 2019 2019( ) (1) ⇔ + + + + + + + + ≤ + + 2 2 2 x x y y z z Theo bất đẳng thức Cô si ta có 1 1 1 1 1 1 (1) 2019 2019 2019 VTx x y y z z = + + + + + + + + 2 2 2 x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 x xy yz zx x y xy yz zx y z xy yz zx z . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + + + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y x z y y x y z z z x z y ⎛ ⎞ ≤ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 3 . x y z Ta cần chứng minh ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ≤ + + 1 1 1 3 2019( ) x y z ⎝ ⎠ x y z 2 ( ) ( ) ⇔ + + ≤ 3 2019 xy yz zx xyz 2 ( ) ( ) ⇔ + + ≤ + + 3 xy yz zx x y z 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ⇔ ≤ − + − + − 0 . x y y z z x Điều phải chứng minh.. Câu 12. ( Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực a b c , , thỏa mãn ( )( )( ) 4 4 4 4 4 4 a b b c c a + + + = 8. Chứng minh rằng ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a − + − + − + ≥1. Lời giải + Ta chứng minh kết quả ( )2 2 2 4 4 2 a ab b a b − + ≥ + (1). Thật vậy, ( ) ( ( )) 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 2 2 ⇔ + + + − + ≥ + a b a b a b ab a b a b ( )2 2 2 ⇔ + − ≥ a b ab 2 0 ( )4 ⇔ − ≥ a b 0, bất đẳng thức đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b = . + Tương tự có (2): ( )2 2 2 4 4 2 b bc c b c − + ≥ + , (3): ( )2 2 2 4 4 2 c ca a c a − + ≥ + . + Thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm, nhân theo vế các bất đẳng thức này ta được ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8 a ab b b bc c c ca a a b b c c a − + − + − + ≥ + + + = hay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a − + − + − + ≥1(*). Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 35 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Do 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a − + − + − + ≥ , , 0 nên từ (*) suy ra ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ca a − + − + − + ≥1, có Đpcm. Câu 13. ( Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho x y z , , là các số thực không âm thỏa mãn 3 .2 x y z + + = Chứng minh rằng x xy xyz + + ≤ 2 4 2. Lời giải 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + = + + ≤ + = + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . y z 1 2 2 4 4 4 2 . 2 Theo bất đẳng thức Cô si ta có ( ) x xy xyz x xy z x x x x x 2 4 Với x y z , , không âm và 32 x y z + + =3 02 ⇒ ≤ ≤x . Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x x x x x x x x + − ≤ ⇔ − + − ≤ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ 2 2 2 2 0 1 2 0 1 0 (luôn đúng). Câu 14. ( Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số thực dương x, y, z. ⎛ ⎞ + + ≥ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + +. Đẳng thức xảy ra khi nào? Chứng minh 1 1 1 1 1 1 3 x y z x 2y y 2z z 2x Lời giải 2 Cho n số thực dương 1 2 n x , x ,..., x .Ta có Đẳng thức xảy ra khi 1 2 n x x ... x = = = . 1 1 1 n ... x x x x x ... x + + + ≥+ + + . 1 2 n 1 2 n (Học sinh không phải chứng minh, theo Công văn 1234). 2 1 1 1 3 9 + + ≥ = Áp dụng, ta có Tương tự ta có: + + +. Đẳng thức xảy ra khi x y = .. x y y x y y x 2y * 1 1 1 9 + + ≥+. Đẳng thức xảy ra khi y z = . y z z y 2z * 1 1 1 9 + + ≥+. Đẳng thức xảy ra khi z x = .. z x x z 2x Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta được ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ + + 3 1 1 1 1 1 1 9 ⎛ ⎞ + + ≥ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + +⇔1 1 1 1 1 1 3 x y z x 2y y 2z z 2x Đẳng thức xảy ra khi x y z = = .. x y z x 2y y 2z z 2x Câu 15. ( Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho a b c , , là các số thực dương thỏa Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 36 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 mãn ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b b c c a + + + + + ≥ 1 1 1 2 . Dấu “ ”= xảy ra khi nào? Lời giải 2 Bất đẳng thức đã cho tương đương ( ) ( ) 2 2 2 a b b c c a + + + + + ≥ 1 1 1 4 6 . Đặt ( )2 2 2 2 S a b b c c a = + + + + + 1 1 1 . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) S a b b c c a ab b c = + + + + + + + + 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) + + + + + + 2 1 1 2 1 1 . ac b a bc c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b c b c b c bc + + = + + + ≥ + 1 1 1 1 6.1 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b a b a a b ab + + = + + + ≥ + 1 1 1 1 6.2 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a c a c a c ac + + = + + + ≥ + 1 1 1 1 6.3 . Kết hợp (6.1), (6.2) và (6.3) ta được 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S a b b c c a ab bc ac ab bc ac ≥ + + + + + + + + + + + 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) = + + + + + + + + ab bc ca a b c ab bc ca 2 . Mặt khác, ta lại có 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + . Suy ra ( ) ( ) 2 S ab bc ca ab ac ca ≥ + + + + + = 3 4 Vậy bất đẳng thức (6) đúng. Đẳng thức xảy ra 1 .3 ⇔ = = = a b c Câu 16. ( Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Cho a và b là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 4 4 a a b b − = − 4 4 . a) Chứng minh rằng 0 2 < + < a b . b) Biết rằng 4 4 a a b b k − = − = > 4 4 0 . Chứng minh rằng − < < k ab 0 . Lời giải a) Ta có ( ) 4 4 a b a b − = − 4 , mà ( )( )( ) 4 4 2 2 a b a b a b a b − = − + + nên đẳng thức được viết lại thành ( )( )( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b − + + = − 4 . Mà a b ≠ nên ( )( ) 2 2 a b a b + + = 4 . Vì 2 2 a b + > 0 (do a b, không thể đồng thời bằng 0 ) nên ta có a b + > 0 . Ngoài ra, ta cũng có đánh giá ( )2 a b+ 2 2 a b + > (đẳng thức không xảy ra vì a b ≠ )2 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 37 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 3 Nên ( ) ( ) a ba b a b + 3 > ⇔ + < ⇔ + < . 4 8 2 2 Vậy ta được 0 2 < + < a b . b) Rõ ràng ab ≠ 0 , ta sẽ chứng minh a b, trái dấu. Ta xét hai trường hợp: Nếu a b > > 0, 0 thì ( ) 4 3 a a a a − = − > 4 4 0 nên 3 a > > 4 1 . Tương tự thì b >1. Khi đó a b + > 2 , mâu thuẫn với a). Nếu a b < < 0, 0 thì a b + < 0 , cũng mâu thuẫn với a). Do đó a b, trái dấu và ab < 0 . Không mất tính tổng quát, giả sử a b < < 0 thì đặt c a = − > 0 , ta viết lại 4 4 c c b b k + = − = > 4 4 0 . Từ đây dễ thấy ( )( ) 2 2 b c b c − + = 4 và b c ≠ . Ta cần chứng minh − < ⇔ − < − ⇔ < k ab k bc bc k . Câu 17. ( Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a ≤1, b ≤1, c ≤1 và a b c + + = 0 . Chứng minh: 2018 2019 2020 a b c + + ≤ 2 . Lời giải Từ giả thiết ta có: (a b c + + + ≥ 1 1 1 0 )( )( ) và (1 1 1 0 − − − ≥ a b c )( )( ) suy ra (a b c a b c + + + + − − − ≥ 1 1 1 1 1 1 0 )( )( ) ( )( )( ) Rút gọn ta được: − + + ≤ 2 2 (ab bc ba) . Mặt khác: ( )2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca + + = + + + + + = 2( ) 0 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + = − + + ⇒ + + ≤ a b c ab bc ca a b c 2( ) 2. Vì 2017 2 a a a ≤ ⇒ ≤ 1 , 2018 2 b b b ≤ ⇒ ≤ 1 , 2019 2 c c c ≤ ⇒ ≤ 1 Nên: 2018 2019 2020 2 2 2 a b c a b c + + ≤ + + ≤ 2 . Dấu “=” xảy ra khi chẳng hạn a b c = = = − 0, 1, 1. Câu 18. ( Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn: a b c + + ≤ 3. Chứng minh rằng: 1 362 121 + ≥ 2 2 2 a b c ab bc ca + + + + Lời giải Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn: a b c + + ≤ 3. Chứng minh rằng: 1 362 121. 2 2 2 + ≥ a b c ab bc ca + + + + Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( ) 1 1 1 9 * + + ≥+ + a b c a b c Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 38 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 (học sinh chứng minh (*) bằng cách nhân chéo và áp dụng BĐT cauchy) 1 362 Aa b c ab bc ca = + 2 2 2 + + + + 1 1 1 360 = + + + 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca + + + + + + + + 1 1 1 9 + + ≥ Ta có: 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca 2 2 2 + + + + + + + + + + + 9 9 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 = ≥ = + + ≤ a b c + + 9a b c Dấu bằng (1) xảy ra khi và chỉ khi a b c = = =1. 2 ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ + + ≤ + + + +vì ( ) ( ) 360 3.360 120 ≥ ≥ ( )2 ab bc ca a b c a b c ab bc ca 2 3 ⎝ ⎠ Dấu bằng (2) xảy ra khi và chỉ khi a b c = = =1. Từ (1) và (2) suy ra 1 362 A 120 1 121. = + ≥ + = 2 2 2 a b c ab bc ca + + + + 1 362 121. Vậy 2 2 2 + ≥ (đpcm) a b c ab bc ca + + + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c = = =1. Câu 19. ( Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho 2 A a a = − + − 4 5. Chứng minh A a < ∀ ∈ 0 .  Lời giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 4 5 2 1 2 1 0 . = − + − = − − + = − − − < ∀ ∈ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ A a a a a a  Câu 20. ( Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh ( ) ( )( ) 3 x y z xyz x y z xy yz zx + + + ≥ + + + + 9 4 với x y z , , là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải Chứng minh ( ) ( )( ) ( ) 3 x y z xyz x y z xy yz zx + + + ≥ + + + + 9 4 * với x y z , , là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào? ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 * 3 0 ⇔ + + + − − − − − − ≥ x y z xyz x y x z y x y z z x z y . ⇔ − − + − − + − − ≥ x x y x z y y x y z z z x z y ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ** ( ). Không mất tính tổng quát, giả sử x y z ≥ ≥ ≥ 0 . Khi đó (** 0 ) z z x z y x y x x z y y z ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − − + − − − − ≥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( hiển nhiên đúng) Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 39 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z = = hoặc hai trong 3 số bằng nhau, số còn lại là 0 . Câu 21. ( Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Cho các số thực dương x y, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 x y xy Py x x y = + + ++ . Lời giải Áp dụng BĐT cô si ta có: 2 2 2 2 ( ) x y x y xy xy xy x y Py x x y xy x y xy x y ⎛ ⎞ + + = + + = + = + + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + 4 6 ( ) 2 . x y xy xy x y + + 4( ) 2 .4 6 6 ≥ + − = + − xy x y x y xy + + ( ) 15( ) ( ) 5 15.2 6 2 . 6 x y x y x y xy xy xy + + + = + + − ≥ + − = 4 4 4 4 2 xy xy xy xy x y x y + + Đẳng thức xảy ra khi x y = . Vậy min 5 .2 P = . Câu 22. ( Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực a b, sao cho a b ≥ ≥ 4; 6 . Chứng minh: 11 7 2 4 3 9 24. a b a b ab + − + − + ≤ + 2 Lời giải ( ) ( ) 2 2 3 3 2 4 2 2 ; 3 9 3 3 2 2 a b a a b b − + − + − = − ≤ − = − ≤ a b a b + − + − ≤ 2 4 3 92 (a b a b ab − − ≥ ⇔ + ≤ + 4 6 0 6 4 24 )( ) Suy ra điều phải chứng minh. Câu 23. ( Trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Cho a b c , , là các số thực dương, chứng minh rằng 4 . a b a + ≥+ b c a c Lời giải a b a4 + ≥+ ( )( ) 2 ⇔ + + ≥ ac b a c abc 4 b c a c Theo côsi Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 40 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 2 2 ac b ab c + ≥ > 2 0 a c ac + ≥ > 2 0 2 ( )( ) ⇒ + + ≥ ac b a c abc 4 . Câu 24. ( Trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Chứng minh rằng tồn tại vô số số 2019 1 n< nguyên dương n sao cho 2 2020 n Lời giải Ta chứng minh n =1000000000 thỏa mãn Thật vậy ( ) ( ) 2019 9.2019 9 4 9.2019 4.9.2019 10 2 10 2 1 1 . 2 2 2 2 2 2020 = < = = < 1000000000 1000000000 1000 000000 1000000000 999927316 Tiếp theo ta chứng minh nhận xét: Nếu n a = >1000000000 thỏa mãn, thì n a = 2 cũng thỏa mãn Thật vậy ( )2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 n a a a a 2 2 2 1 . . . 2 2 2 2 2 2 2 2020 n a a a a a = = < < < 2 1000 000000 Từ nhận xét trên kết hợp với quy nạp, ta thấy 9 2 .10 k n = thỏa mãn bài toán với mọi k ∈. Vậy tồn tại vô số số nguyên dương n Câu 25. ( Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho x y z , , là các số dương thỏa mãn x y z + + = 2 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2019 2 2019 2019 2 2019 2019 2 2019 2 2020. x xy y y yz z z zx x + + + + + + + + ≥ Lời giải Đặt 2 2 2 2 2 2 S x xy y y yz z z zx x = + + + + + + + + 2019 2 2019 2019 2 2019 2019 2 2019 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2019 2 2019 1009 1010 1010 x xy y x y x y x y + + = − + + ≥ + Suy ra ( ) 2 2 2019 2 2019 1010 x xy y x y + + ≥ + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y = . Tương tự ( ) 2 2 2019 2 2019 1010 y yz z y z + + ≥ + . ( ) 2 2 2019 2 2019 1010 z zx x z x + + ≥ + . Do đó S x y z ≥ + + = 2 1010 2 2020. ( ) Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 41 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 . 3 x y z = = = Câu 26. ( Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020)Cho a b c , , là các số dương thỏa mãn a b c abc + + + = 2 . Chứng minh 1 1 1 3 . ab bc ca 2 + + ≤ Lời giải 1 1 1 2 1. a b c abca b c + + + = ⇔ + + = + + + 1 1 1 Đặt 1 1 1 , , . 1 1 1 x y z a b c = = = + + + Ta có x y z + + =1 và 1 1 , , . y z z x x y a b c + + + = − = = = x x y z 2 2 2 2 2 2 xy yz xz + + = + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca x z y z y x z x x y z y + + + + + + 3. x y y z x z ≤ + + + + + = x z y z y x z x x y z y + + + + + + Câu 27. ( Trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng ; a b c + + = 1 ab a bc b ca c + + + + + + 1 1 1 Lời giải Ta có a b c a ab abc + + = + + 2 1 1 1 1 ab a bc b ca c ab a abc ab a a bc abc ab + + + + + + + + + + + + a ab Do abc 1 1 ( 1) 1 1 1 = + + = = ab a ab a ab a + + + + + + Câu 28. ( Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz 2. = Chứng minh x 2y 4z 1 . 2x y 5 6y z 6 3z 4x 16 2 + + ≤ 2 2 2 2 2 2 + + + + + + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có 2 2 2 2 2 2x y 5 (x y ) (x 1) 4 2xy 2x 4 2(xy x 2), + + = + + + + ≥ + + = + + 2 2 2 2 2 6y z 6 (4y z ) 2(y 1) 4 4yz 4y 4 4(yz y 1), + + = + + + + ≥ + + = + + 2 2 2 2 2 3z 4x 16 (z 4x ) 2(z 4) 8 4zx 8z 8 4(zx 2z 2). + + = + + + + ≥ + + = + + Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 42 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 x x , 2x y 5 2(xy x 2) Suy ra 2 2 ≤ + + + + 2y y , 6x z 6 2(yz y 1) 2 2 ≤ + + + + 4z z . 3z 4x 16 zx 2z 2) 2 2 ≤ + + + + Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được x y z P2(xy x 2) 2(yz y 1) zx 2z 2 ≤ + + + + + + + + ⎛ ⎞ 1 x y 2z = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + + + + 2 xy x 2 yz y 1 zx 2z 2 ⎛ ⎞ 1 x xy 2z = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + + + + 2 xy x 2 xyz xy x zx 2z xyz ⎛ ⎞ 1 x xy 2 = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + + + + 2 xy x 2 xy x 2 x xy 2 = 1 .2 Câu 29. ( Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số nguyên dương a b c , , thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a b c 3    2 b ac c ab a bc    Lời giải Câu 30. ( Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Cho 3 số thực dương a b c , , thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a b c + + ≥ + + + + + + . ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 4 b c c a a b Lời giải 3 1 1 3 1 1 a a b c ( )( ) ( ) ( ) b c+ + + + ≥ ⎧ = ⎨⎩ = + b c + +dấu bằng xẩy ra khi 2 1 1 1 8 8 4 3 1 1 3 1 1 b b ( )( ) ( ) ( ) c a+ + + + ≥ c a a b ⎧ = ⎨⎩ = + a c + +dấu bằng xẩy ra khi 2 1 1 1 8 8 4 3 1 1 3 1 1 c c a b ( )( ) ( ) ( ) a b+ + + + ≥ b c ⎧ = ⎨⎩ = + a b + +dấu bằng xẩy ra khi 2 1 1 1 8 8 4 Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được c b Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 43 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 3 3 3 3 1 3 a b c a b c a b c ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) + + + + + + ≥ + + 1 1 1 1 1 1 4 4 4 + + + + + + b c c a a b 3 3 3 3 1 3 3 3 3 a b c abc a b c ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⇔ + + ≥ + + − ≥ − = + + + + + +Dấu bằng xẩy ra khi 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 4 b c c a a b a b c = = =1. Câu 31. ( Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Cho x y z , , là các số thực dương và thỏa mãn xy yz zx xyz     0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 2 . x y z Py z z x x y       Lời giải Để giải quyết bài toán trên ta cần chứng minh và sử dụng hai bổ đề sau:   Bổ đề 1. Với a b c , , là các số thực dương, khi đó   1 1 1 a b c 9              . a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   . Bổ đề 2. Với a b c , , là các số thực dương m n p , , là số thực, khi đó  2 2 2. m n p m n p       a b c a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . m n p a b c   (Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel). ● Ta có:   1 1 1 1,        theo bổ đề 1 suy ra:   1 1 1            x y z x y z 9 9.   x y z     x y z 2 2 2 2 9 . 2 2 2 ● Theo bổ đề 2, ta có đánh giá sau:   x y z x y z x y z Py z z x x y x y z                         x y z y z z x x y        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3. x y z x y z      1 1 1 1 x y z Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 92khi x y z    3. Câu 32. ( Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực không âm x y z , , thỏa mãn x y z    3 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 M x x y y z z          6 25 6 25 6 25 . Lời giải Từ giả thiết suy ra 0 ; ; 3   x y z . Ta có           2 2 2 2 2 9 6 25 30 225 8 24 15 8 3 15 x x x x x x x x x x              với    x x ,0 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 44 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 (do 0 3 8 3 0 ≤ ≤ ⇒ − ≤ x x x( ) , dấu bằng xảy ra khi x = 0 hoặc x = 3 ). Do đó   2 9 6 25 15 x x x     hay 2 15 6 253x x x     với    x x ,0 3 . Tương tự 2 2 15 15 6 25 ; 6 25 3 3 y z y y z z         với    y z y z , : 0 , 3 . Do đó, 15 15 15 45 3 14 x y z M          . 3 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z ; ; 3;0;0     hoặc x y z ; ; 0;3;0     hoặc x y z ; ; 0;0;3    .. Ta có       2 2 2 5 6 25 22 121 4 8 4 x x x x x x               2 2 2       11 4 1 11 x x x với    x x ,0 3 (do ( )2 4 1 0 x − ≥ , dấu bằng xảy ra khi x = 1 ). Do đó   2 5 6 25 11 x x x     hay 2 11 6 255x x x     với    x x ,0 3 . Tương tự 2 2 11 11 6 25 ; 6 25 y z y y z z         với    y z y z , : 0 , 3 . 5 5 Do đó, 11 11 11 33 3 6 5 x y z M          . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z    1 . Vậy GTLN của M là 14 đạt được khi x y z ; ; 3;0;0     hoặc x y z ; ; 0;3;0     hoặc x y z ; ; 0;0;3     và GTNN của M là 6 5 đạt được khi x y z    1 .. Câu 33. ( Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho a b c , , là các số dương thỏa a b c Rb c a mãn điều kiện a b c + + = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 = + + + + + . Lời giải Cho a b c , , là các số dương thỏa mãn điều kiện a b c + + = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c Rb c a = + + + + + . 2 2 2 1 1 1 2 2 a ab ab ab = − ≥ − = − Ta có a a a 2 2 1 1 2 2 + + b b b b bc c ca b c Tương tự 2 2 ; 1 2 1 2 ≥ − ≥ − + + c a Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 45 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Suy ra ( ) ( ) 1 1 3 R a b c ab bc ca ab bc ca ≥ + + − + + = − + + 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 2 = + + = + + + + + a b c a b c ab bc ca 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca ab bc ca + − + − + − 2 2 2 3 3 3 = + + + + + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = + + + + + a b b c c a ab bc ca Mặt khác 3 2 2 2 ( ) ≥ + + ⇒ + + ≤ ab bc ca Suy ra 1 3 3 .3 R ≥ − = . 2 2 3 3 ab bc ca Dấu bằng xảy ra khi a b c = = =1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức R là 32. Câu 34. ( Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các số thực x y , thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) 2 2 P xy x y x y x y = − + + + − + + 2 6 13 4 26 24 46 . Lời giải Biểu thức P có thể được viết lại dưới dạng P x x y y x x y y = − + + − + + + ( 2 6 13 2 4 6 46 ) ( ) ( ) ( ) . Đặt a x x = − ( 2) ( )2 = − − x 1 1 và ( ) ( )2 b y y y = − + = + − 6 3 9 thì ta có P ab a b a b = + + + = + + − 13 4 46 4 13 6 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 = − + + + − ≥ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x y 1 3 3 4 6 3.4 6 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 và y = −3 . Vậy min 6 P = . Câu 35. ( Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) a)Cho a b c , , là các số thực bất kì và x y z , , là các số dương. Chứng minh: ( )2 2 2 2 a b c a b c + + + + ≥+ + x y z x y z b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 a b c 8 8 8 Pa b c b a c c a b + + + + + +với a b c , , là số dương thỏa mãn abc =1 . = + + 3 3 3 ( ) ( ) ( ) Lời giải a) Ta có ( )2 2 2 a b a b + + ≥+Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a b x y x y x y = Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 46 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ( )2 2 2 2 a b c a b c + + ⇒ + + ≥+ +Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a b c x y z x y z b) Ta có 3 3 3 3 = = x y z 2 ( ) a b c ab bc ca + + + + + + + + + ≥ 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b a c c a b a b c 2 2 ( ) ab bc ca P bc ca ad 3 27 3 + + ( ) ( ) ≥ + + + ≥ 2 2 a b c + + Vậy GTNN là 272khi a b c = = =1 Câu 36. ( Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai số thực a b, thỏa mãn 1 2, 1 2 ≤ ≤ ≤ ≤ a b . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. b a Lời giải Biến đổi 4 4 P ab ab 4 2 4 8 = + + ≥ + = ab ab Dấu “=” xảy ra khi 2 ⎧ = ⎨⎩ ≤ ≤ . ab 1 , 2 a b Mặt khác 1 2, 1 2 ≤ ≤ ≤ ≤ a b suy ra ( )( ) ( )2 1 4 1 4 0 5 4 ≤ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ − ab ab ab ab ab . Khi đó ( )24 4 5 4 4 4 9 ab ab ab ab Pab ab + + − + + = ≤ = . ⎧ = ⎡⎪ ⎡ = = ⎨⎢⎣ = ⇔ ⎢⎣ = = ⎪⎩ ≤ ≤. aba b Dấu “=” xảy ra khi 12 aba b 41 1 , 2 a b Vậy min P = 8 khi ab = 2 và 1 , 2 ≤ ≤ a b và 9 PMax = khi a b = = 1 hoặc a b = = 2 . Câu 37. ( Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số dương x y z , , thoả mãn điều kiện xy yz zx + + = 5. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 3 x y z + + . Lời giải Với hai số dương x, y ta có 2 ( ) 0 x y − ≥ . 2 2 Suy ra x y + ≥ xy , đẳng thức xảy ra khi x y = . 2 2 2 2 2 z z + ≥ x zx , các đẳng thức xảy ra khi 2z Tương tự ta có y zy + ≥ ; 4 2 4 x y = = 2 2 2 3 3 x y z + + ≥ + + xy yz zx , đẳng thức xảy ra khi 2z Suy ra 2 2 2 x y = = Hay 2 2 2 3 3 10 x y z + + ≥ , đẳng thức xảy ra khi x y z = = = 1, 2 . Vậy GTNN cần tìm là 10, đạt được khi x y z = = = 1, 2 . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 47 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Câu 38. ( Trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho x y z , , là các số thực thuộc đoạn ⎡ ⎤ 0; 2 ⎣ ⎦ thỏa mãn điều kiện x y z + + = 3. a)Chứng minh rằng 2 2 2 x y z + + < 6 . b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 P x y z xyz = + + − 3 . Lời giải a)Do x y z , , 0, 2 ∈[ ] nên ta có 2 2 2 x x y y z z ≤ ≤ ≤ 2 ; 2 ; 2 , suy ra ( ) 2 2 2 x y z x y z + + ≤ + + = 2 6 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , , 0, 2 { }3 ⎧⎪ ∈ ⎨⎪⎩ + + =, tuy nhiên điều này lại không thể xảy ra, do đó ta được x y z x y z 2 2 2 x y z + + < 6  b)Đặtt xy yz zx = + + . Áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 x y z xyz x y z x y z xy yz zx + + − = + + + + − + + 3 3 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Suy ra P t = − 9 3( ) (1) Mặt khác, do x y z , , 0, 2 ∈[ ] nên ta có ( x y z − − − ≤ 2 2 2 0 )( )( ) ⇒ + + + − + + − ≤ xyz x y z xy yz zx 4 2 8 0 ( ) ( ) ⇒ + ≤ xyz t 4 2 ( do x y z + + = 3) ⇒ ≥t 2 (do xyz ≥ 0 ) (2) Từ (1) và (2) suy ra P ≤ 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( x y z , , ) là hoán vị của (0,1, 2). Vậy giá trị lớn nhất của P là 9  Câu 39. ( Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x y > và x.y = 1. 2 2 x y Mx y + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải 2 2 2 2 2 x y x xy y xy x y xy 2 2 ( ) 2 Mx y x y x y + − + + − + = = = − − − 2 ( ) 2 2.1 x y xy M x y Do x y > và x.y = 1 nên − = + = − + − − −x y x y x y Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 48 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ⎧ − > ⎪ > ⇒ ⎨ > ⎪⎩ −do đó 2.1 2 M x y x y 2 ( ) 2 2 x y 0 ⎛ ⎞ = − + ≥ − = ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ Vì x y 2 0 x y x y x y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 x y x y 2 − = ⇔ − = − x y ⎧⎪ − = ⎨⎪⎩ = ta được 6 2 6 2 Giải hpt 2 x y x y . 1 − + = = ; 2 2 x y Vậy M có giá trị nhỏ nhất là 2 2 khi 6 2 6 2 − + = = . ; 2 2 x y Câu 40. ( Trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho các số thực dương a b c , , thay đổi và thoả mãn ab bc ca abc + + + = 4. 1) Chứng minh 1 1 1 1. + + = a b c 2 2 2 + + + 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 . P = + + ( ) ( ) ( ) + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b b c c a Lời giải 1. Có: 1 1 1 1 + + = a b c 2 2 2 + + + ⇔ + + + + + + + + = + + + (a b b c c a a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) VT 4 12 = + + + + + + ab bc ca a b c ( ) VP 8 4 2 = + + + + + + + (a b c ab bc ca abc ) ( ) Từ đó: (1) 4. ⇔ + + + = ab bc ca abc Suy ra đpcm. 2..Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 . P = + + ( ) ( ) ( ) + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b b c c a Có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b + ≥ + ⇒ + ≥ + 1 1 Do đó 4 2 4 a b a b≤+ + + +( ) 2 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 49 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Chứng minh tương tự suy ra 1 1 1 . 4 4 4 Pa b b c c a ≤ + + + + + + + + ⎛ ⎞ ≤ + ⎜ ⎟ + + + + ⎝ ⎠ Mặt khác: 1 1 1 1 , a b a b 4 4 2 2 ⎛ ⎞ ≤ + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + Chứng minh tương tự suy ra 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 Pa b c Đẳng thức xảy ra khi a b c = = = 1. Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 12khi a b c = = = 1. Câu 41. ( Trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức K ab ac bc = + − 4 4 , với a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn a b c + + = 2 1. 1) Chứng minh 1 .2 K ≥ − 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K. Lời giải 1..Chứng minh 12 K ≥ − K bc ≥ −4 (vì ab ac ≥ ≥ 0, 0 ) ⇒ ( ) ( ) 2 2 K b c+ − b c a 2 1 ≥ − ≥ − = − 2 .2 2.4 2 Chứng minh được 0 1 ≤ ≤ a ⇒ ( )2 1 1 − ≤ a ⇒ ( )2 K − ≥ − ≥ − 1 1 . 2 2 a 2..Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K. K ab ac ≤ + 2 4 (vì ab ab bc ≤ − ≤ 2 ; 4 0 ) ( ) ( )2 K a b c+ + 2 1 2 2 2. . a b c ≤ + ≤ = 4 2 1 1 0; 2 2 K c a b = ⇔ = = = GTLN của 12 K = , khi 1 , 0 a b c = = = 2 Câu 42. ( Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 50 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ( ) ( )( )( ) 2 3 3 3 2 2 2 P a b c a b c a 1 b 1 c 1 . = + + + + + − + + + 3 Lời giải Ta có: ( )( ) 2 2 2 a a (b c) (a b c)(a b c) 6 2b 6 2c 0 ≥ − − = − + + − = − − > (do a,b,c là ba cạnh của một tam giác). Tương tự có: ( )( ) ( )( ) 2 2 b 6 2c 6 2a 0; c 6 2a 6 2b 0. ≥ − − > ≥ − − > Do đó ta có abc a b c abc ≥ − − − = − + + + + + − (6 2 6 2 6 2 216 72 a b c 24 ab bc ca 8 )( )( ) ( ) ( ) ( ) 8 24 ab bc ca . ⇔ ≥ − + + + abc 3 2 P a b c a b c a 1 b 1 c 1 3 3 3 2 2 2 ( ) ( )( )( ) = + + + + + − + + + 3 2 2 2 ( ) ≥ + + + − + + + + + + + 2abc a b c abc ab bc ca a b c 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = + + + − + + − = + + + − + + − abc a b c ab bc ca 7 abc a b c 3 ab bc ca 7. ( ) ( ) ( ) 8 1 24 ab bc ca 36 3 7 5 ab bc ca . P ab bc ca ≥ − + + + + − + + − = − + + 3 3 Mặt khác ( ) ( )2 36 3 ab bc ca ab bc ca 12. + + ≤ + + ⇒ + + ≤ = a b c 3 P ≥ − = Dấu bằng xảy ra khi 6a b c 2. ⎧ + + = ⎨ ⇔ = = = Suy ra 12 5 1. 3 a b c ⎩ = = a b c Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi a b c 2 = = = . Câu 43. ( Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Cho các số thực dương x y; thỏa mãn x y + ≤1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ⎛ ⎞ 1 1 2 2 P x y 1 = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x y Lời giải Từ gt suy ra 1 1 24 ≥ + ≥ ⇒ ≤ x y xy xy ⎛ ⎞ = + + ≥ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta có: 1 1 2 1 2 2 2 2 P x y x y xy 1 1 2 x y xy xy 1 15 15 1 15 2 2 2 .4 2 17 xy xyxy xy xy = + + ≥ + = + = 16 16 16 6 2 4 Đẳng thức xảy ra 12 ⇔ = = x y Vậy min 17 P = khi 12 x y = = Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 51 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Câu 44. ( Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho các số dương x y z , , thỏa mãn: xy xz yz + + = 4 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2 P x y z = + + 16 16 Lời giải 2 2 Ta có x x x x + ≥ = + ≥ = y y xy z z xz ; 2 2 8( ) 16 z y xy + ≥ 2 2 8 2. .2 2 4 ; 8 2. .2 2 4 2 2 2 2 Vậy 2 2 2 x y z xy xz yz + + ≥ + + = = 16 16 4( 4 ) 4.32 128 xy ⎧ = ⎪⎪⎪⎨ = 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi xz 2 ⎪⎪ = ⎪⎩ y z 2 2 Câu 45. ( Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực x y , thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) 2 2 P xy x y x y x y = − + + + − + + 2 6 13 4 26 24 46 . Lời giải Biểu thức P có thể được viết lại dưới dạng P x x y y x x y y = − + + − + + + ( 2 6 13 2 4 6 46 ) ( ) ( ) ( ) . Đặt a x x = − ( 2) ( )2 = − − x 1 1 và ( ) ( )2 b y y y = − + = + − 6 3 9 thì ta có P ab a b a b = + + + = + + − 13 4 46 4 13 6 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 = − + + + − ≥ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x y 1 3 3 4 6 3.4 6 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 và y = −3 . Vậy min 6 P = . Câu 46. ( Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho a b, , c là các số thực không âmthỏa mãn điều kiện a b c + + = 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 P a b b c c a = + + + + + 1 1 1 . Lời giải Vì a b, , c là các số thực không âmnên ta có 2 2 b b b ab a b a b b b a a + + − + + = + − + ≤ = + 3 2 1 1 1 ( 1)( 1) . 2 2 Tương tự: 2 bc b c b 3 3 + ≤ + 12 ca 2 c a c + ≤ + 12 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 52 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Do đó: 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca P a b c + + + + ≤ + + + = + 3 2 2 Vì vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử 2 a b c b a b c b ac ab bc ≤ ≤ ⇒ − − ≤ ⇔ + ≤ + ( )( ) 0 2 2 2 ⇒ + ≤ + ab a c a b abc 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + ≤ + + = + + ab a c bc a b abc bc b a ac c ( ) Vì ac 0  nên 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + ≤ + + ≤ + + = + ab a c bc b a ac c b a ac c b a c ( ) ( 2 ) ( ) a c a c b a c a c a b c b a c b+ + + + + + + + + = ≤ = = 2 3 3 2 2 ( ) 4. . . 4.( ) 4.( ) 4 2 2 3 3 Suy ra      2 2 2 ab a c bc 4 P 5 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5 khi a=0, b=1, c=2 và các hoán vị. Câu 47. ( Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho x y z ; ; là ba số thực dương thỏa mãn x x z y y z ( ) ( ) 0.     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 x y x y 4 Px z y z x y         . 2 2 2 2 Lời giải 3 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi 3 y z y x xz xz z   .       x x x 2 2 2 2 2 2 x z x z xz 2 2 x y 4 P x y zx y       .. Tương tự y z   . Suy ra 2 2 2 2 2 Theo gt z x y   4 P x y 4      x y Vậy min P x y z      4 1. .  .. x y Câu 48. ( Trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) a) Chứng minh rằng với mọi số thực a,b luôn có: ( )2 2 2 1 a b a b + ≥ + và ( ) 1 2 ab a b ≤ + 2 4 b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 5 x y z 9x y z 18yz 0 + + − + − = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2x y z Qy z − − = + Lời giải a)Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương Xét: ( )2 2 2 1 a b a b + ≥ + 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 53 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 2 2 2 2 ⇔ + ≥ + + 2a 2b a 2ab b 2 2 ⇔ − + ≥ a 2ab b 0 ( ) 2 ⇔ − ≥ a b 0 (luon dung) Vậy: ( )2 2 2 1 a b a b + ≥ + . Dấu “=” xảy ra khi a b = 2 Xét: ( ) 1 2 ab a b ≤ + 4 2 2 ⇔ ≤ + + 4ab a 2ab b 2 2 ⇔ − + ≥ a 2ab b 0 ( ) 2 ⇔ − ≥ a b 0 (luon dung) Vậy: ( ) 1 2 ≤ + . Dấu “=” xảy ra khi a b = ab a b 4 b) Có: ( ) ( ) 2 2 2 5 x y z 9x y z 18yz 0 + + − + − = ( ) ( ) 2 2 2 ⇔ + + − + − = 5x 5 y z 9x y z 18yz 0 ( ) ( ) 2 2 2 ⇔ − + = − + + 5x 9x y z 5 y z 18yz Mà theo câu a. Có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 5 y z y z 5 y z y z 2 2− + ≥ + ⇔ − + ≤ + và ( ) 1 2 ≤ + ( ) 9 2 yz y z 4 ⇔ ≤ + 18yz y z 2 Nên: ( ) ( ) 2 2 2 − + + ≤ + 5 y z 18yz 2 y z ( ) ( )2 2 ⇔ − + ≤ + 5x 9x. y z 2 y z ( ) ( )2 2 ⇔ − + − + ≤ 5x 9x. y z 2 y z 0 ( ) ( ) ( )2 2 ⇔ − + + + − + ≤ 5x 10x. y z x. y z 2 y z 0 ⇔ − + + + ≤ (x 2. y z . 5x y z 0 ( )) ( ( )) ⇔ − + ≤ x 2. y z 0 ( ) (do 5x y z 0 + + > ) Hay x 2. y z ≤ + ( ) Có: 2x y z 2x 2.2. y z ( ) Q 1 1 3 − − + = = − ≤ − = y z y z y z + + + ⎧⎪ = ⎨ ⇔ = = ⎪ = + ⎩ y z x 4y 4z x 2. y z ⇒ = Q 3 max . Dấu “=” xảy ra khi: ( ) Vậy Q 3 max = khi x 4y 4z = = Câu 49. ( Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c =10. Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 M a b c = + + . Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 54 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Biến đổi được biểu thức M về dạng: 2 M a b c ab bc ca = + + − + + ( ) 2( ) Chứng tỏ được: 2 2 2 ab bc ca a b c + + ≤ + + Suy ra được 2 M M ≥ − 10 2 Tính được min1003 M = đạt được khi 103 a b c = = = Câu 50. ( Trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số thực dương a b c , , 1 1 1 P . = + + thỏa mãn abc a b c = + + + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b b c c a + + + Lời giải Từ đẳng thức 1 1 1 2 abc a b c 2 1 = + + + ⇔ + + + = ab bc ca abc Đặt 1 1 1 ; ; ( , , 0) x y z x y z a y z b z x c x y = = = > + + + 1 1 1 1 1 1 P = + + ≤ + + Ta có: 2 2 2 2 2 2 a b b c c a ab bc ca + + + 2 2 2 ⎛ ⎞ = ≤ + ⎜ ⎟ + + + + ⎝ ⎠ 1 1 1 1 . . 2 2 2 2 xy x y Mặt khác: ( )( ) ab x z y z x z y z Tương tự thì ta cũng có: ⎛ ⎞ ≤ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + 1 1 1 . 2 2 2 y z bc y x z x ⎛ ⎞ ≤ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + 1 1 1 . 2 2 2 z x ca y z y x Cộng vế theo vế ta có: 3 P ≤ Dấu bằng xảy ra khi x y z = = = 1. Hay là a b c = = = 2 2 2 Câu 51. ( Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn abc =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 5 1 5 1 5 + + + + + + + + + a b b c c a Pab a bc b ca c = + + ⋅ + + + + + + 4 4 4 Lời giải Dễ chứng minh các bất đẳng thức: 2 2 1 1 4 + ≥ + ≥ 2 ; + x y xyx y x yvới x y, 0 > Dấu “=” xảy ra ⇔ = x y Áp dụng các bất đẳng thức trên, ta có: Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 55 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ( )2 2 2 2 1 5 2 6 2 2 6 2( 4) 2 + + + + + + + + + + − = ≥ = a b a b a ab a ab a ab a ab a ab a ab a + + + + + + + + 4 4 4 4 2 1 4 1 1 1 2 2 2 ⎛ ⎞ = − = − ⋅ ≥ − + ⎜ ⎟ + + + + + + + ⎝ ⎠ ab a ab a ab a 4 2 ( 1) 3 2 1 3 11 1 1 = − ⋅ + + 6 2 1 ab a Tương tự: ( ) 2 2 1 5 11 1 1 + + +≥ − ⋅ b c bc b bc b + + + + 4 6 2 1 ( ) 2 2 1 5 11 1 1 + + +≥ − ⋅ c a ca c ca c + + + + 4 6 2 1 11 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⇒ ≥ − + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + + + + Pab a bc b ca c 2 2 1 1 1 Vì abc =1 nên: 1 a a = = + + + + + + bc b abc ab a ab a 1 1 1 ab ab = = + + + + + + 2 ca c a bc abc ab ab a 1 1 1 1 1 1 a ab ⇒ + + = + + ab a bc b ca c ab a ab a ab a + + + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 = 11 1 5 ⇒ ≥ − = P 2 2 Dấu “=” xảy ra ⎧ = = ⎪ ⇔ + + = + + = + + = ⇔ = = = ⎨⎪⎩ = a b c ab a bc b ca c a b c 1 1 1 3 1 abc 1 Vậy min 5 1 P a b c = ⇔ = = = Câu 52. ( Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Xét các số thực a b c a ; ; ( 0) ≠ sao cho phương trình bậc hai 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm m n; thỏa mãn: 0 1;0 1 ≤ ≤ ≤ ≤ m n . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 a ac ab bc Q a ab ac 2 2 − − + = − + 2 Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 56 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Vì phương trình bậc hai 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm m n; nên áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: ⎧ + = − ⎪⎪⎨⎪ = ⎪⎩b m na c mna Vì a ≠ 0 nên: b c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − + − − + + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = − + − + + + + − + 2 1 2 a ac ab bc a b a c m n mn a a Q a ab ac a ab ac b c m n mn 2 2 ( )(2 ) (1 )(2 ) 2 2 Vì 0 1;0 1 ≤ ≤ ≤ ≤ m n ⇒ ≤ ≤ ≤ + + > mn m mn n mn m n ; ; 1 ; 1 0 1 2 1 ; (1 ) 3 ⇒ − ≥ ≤ + + mn mn m n + + ⇒ ≥ = = m n Q 1 1 3 1 1 4 1 (1 ) 1 3 3 + + + + + + m n m n ⇔ = = ⇔ = = −b Dấu “=” xảy ra 12 m n a c Vậy 3 min4 2 = ⇔ = = −b Q a c 1 1 a a Câu 53. ( Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) 1 0 , , 2 ⎧⎪ < < ⎨⎪⎩ + + =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a b c Cho các số thực , , thỏa mãn 2 3 4 3 a b c 2 9 8 Pa b c b a c c a b = + + (3 4 2) (4 8 3) (2 3 1) + − + − + − Lời giải Ta có: 2 3 4 Pa a b b c c = + + − − − (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 2 3 4 a b c = + + − − − 2 2 2 a a b b c c (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) Áp dụng bất đẳng thức AG – GM, ta có: 3 a a⎡ ⎤ + + − − ≤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 1 2 1 (1 2 ) 3 27 a a a Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 57 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Tương tự : 2 2 1 1 (1 2 ) ; (1 2 ) 27 27 b b c c − ≤ − ≤ Suy ra: P a b c ≥ + + = 27(2 3 4 ) 81 . Dấu “=” xảy ra khi = = = 13 a b c . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 81 Câu 54. ( Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai số dương x, y thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 x x y xy x y x y xy + + + − = + + 6 2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ⎛ ⎞ x y Ty x 1 1 = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 Lời giải Đặt S x y P x = + = > > , .y,S 0,P 0 2 2 1 1 2 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + + = + ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + x y S P S T P 2 2 2 1 y x P T 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 4 x y xy x y x y xy + + + − = + + 3 2 ( ) ⇔ − = + 2 12 4 S P S P 2 2 ⎛ ⎞ S S S S 3 2 2 12 4 ⇔ − = + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 2 1 2 1 T T ( ) 2 ⇔ − + + + = S T S T 2 2 1 8 16 0(1) ( 1) có nghiệm 2 5 ' 0 4 4 15 02 ⇔ Δ ≥ ⇔ − − ≥ ⇒ ≥ T T T ⎧ = = + ⎧⎪ = ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎩ = ⎪⎩ = − hoặc 3 3 Vậy 5 6 3 3 S x min2 6 3 3 ⎧⎪ = − ⎨⎪⎩ = + x TP y y 3 3 Câu 55. ( Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c + + = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a a b b c c Pa b b c c a . = + + + + + 3 3 3 Lời giải 2 2 2 a b c Pa ab b bc c ca Ta có: = + + + + + 3 3 3 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki (dạng phân thức). Ta có: 2 2 2 2 ( ) a b c a b c + + Pa ab b bc c ca a b c ab bc ca = + + ≥ ( ) + + + + + + + + 3 3 3 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 58 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 2 2 2 16 a b c Pa ab b bc c ca ab bc ca = + + ≥ ( ) + + + + + + 3 3 3 4 3 (do a b c + + = 4 ) Theo bất đẳng thức Cô-si. Ta có: a b ab + ≥ 2 ; b c bc + ≥ 2 ; c a ca + ≥ 2 ⇒ + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca 16 4 1 ⇒ + + ≤ + + = ⇒ ≥ = ab bc ca a b c P 4 3.4 + Dấu " " = xảy ra ⎧ > ⎪ ⇔ + + = ⇔ = = = ⎨⎪⎩ = = a b c ; ; 04 43 a b c a b c a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi 43 a b c = = = Câu 56. ( Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Cho x y z , , là các số thực dương a) Chứng minh rằng ( )2 2 2 2 1 . 3 x y z x y z + + ≥ + + b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z = + + . Biết x x y y z z ( + + + + + 1 1 1 18 ) ( ) ( ) ≤ . Lời giải a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 0 3 x y z x y z x y y z z x + + ≥ + + ⇔ − + − + − ≥ luôn đúng. Dấu “ ”= xảy ra ⇔ = = x y z. b) Từ giả thiết ta có được: ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y z + + + + + ≤18. Mặt khác ( )2 2 2 2 1 . 3 x y z x y z + + ≥ + + Từ đó ta được: ( ) ( ) 1 218 0 6. 3 x y z x y z x y z + + + + + ≤ ⇔ < + + ≤ Vậy Max 6 2. P x y z = ⇔ = = = Câu 57. ( Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) a)Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤ 1. Chứng minh rằng: + ≤ √ . b)Cho , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( + ) + 4 ≤ 12. Tìm giá trị lớn nhất của = + + 2018. Lời giải a)Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤ 1. Chứng minh rằng: + ≤ √ . Ta có + ≤ √⇔√+ √≤ 0 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 59 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ⇔ (1 + )(1 + )+ (1 + )(1 + )≤ 0 ⇔ √ 1 + . √ 1 + 1 + ≤ 0 ⇔ √ 1 (1 + )(1 + )1 + ≤ 0 Bất đẳng thức này luôn đúng với , > 0: ≤ 1. Do đó bất đẳng thức ban đầu luôn đúng. b)Cho , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( + ) + 4 ≤ 12. Tìm giá trị lớn nhất của = + + 2018. Ta có 12 ≥ ( + ) + 4 ≥ 2+ 4 (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm , ). Đặt = , > 0, khi đó ta có 12 ≥ 8 + 4 ⇔ 2 + 3 ≤ 0 ⇔ ( 1)(2 + 3 + 3) ≤ 0. Vì 2 + 3 + 3 > 0 với mọi nên 1 ≤ 0 ⇔ ≤ 1 hay 0 < ≤ 1 Áp dụng ý a) ta có ≤2 1 + + 2018 Đặt = , 0 < ≤ 1 ta được ≤ + 2018 Ta chứng minh GTLN của = 2019, thật vậy ta chứng minh BĐT sau luôn đúng 2 1 + + 2018 2019 ≤ 0 ⇔ ( 1)(2018 + 4036 + 2017) ≤ 0 Bất đẳng thức sau luôn đúng với 0 < ≤ 1. Dấu " = " xảy ra khi = 1 = ⇔ = = 1. Vậy GTLN của = 2019 đạt được khi = = 1. Câu 58. ( Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Tìm giá trị nhỏ nhất của x Px+ = + 16 3 Lời giải Tìm giá trị nhỏ nhất của 163 x Px+ = + Điều kiện : x ≥ 0 x P x + 16 25 3 6 = = + + − x x + + 3 3 ( ) 25 25 3 2 3 . 10 x x + + ≥ + = x x + + 3 3 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 60 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Suy ra P ≥ 4 Kết luận giá trị nhỏ nhất của P là 4 ( P x = ⇔ = 4 4 ) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12a , gọi E là trung điểm của CD , gọi F là điểm thuộc cạnh CB sao cho CF a = 4 . Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD sao cho GH song song EF . Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất. Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 61 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Chuyên đề 3 Phương trình Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: ( )( ( ) ) 2 2 3 3 x x x x + + − + − + = 1 3 2 3 2 1 9 Lời giải Ta có: ( )( ( ) ) 2 2 3 3 x x x x + + − + − + = 1 3 2 3 2 1 9 ( ) ( )2 2 3 3 x x x x 2 3 2 3 2 1 9 ⇒ + + − + − + = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 x x x x x x 2 3 2 1 3 2 3 2 1 9 3 2 1 ⇒ + + − − − + − + = − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 x x x x 2 3 2 1 9 3 2 1 ⇒ + + − − = − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( )( ) ( ) 2 3 ⇒ + + − = − − x x x x 2 3 3 9 3 2 1 ( )( ) ( ) 2 3 ⇒ + + − − − − = x x x x 2 1 3 3 2 1 0 3 3 ⇒ − − − + = x x 1 3 3 2 3 0 ( ) 3 3 ⇒ − − + = x x 3 3 2 2 0 * Đặt 3 3 3 2 3 2 x t t x − = ⇒ = − . 3 ⎧ − + = 3 2 0 *3 2 ( ) x t ⇒ ⎨⎩ = − 3 t x 3 ⎧⎪ − + = x t ( ) 3 2 0 1 ⇒ ⎨⎪ − + = ⎩ 3 t x ( ) 3 2 0 2 Lấy (1 2 ) − ( ), ta được: 3 3 x t t x − − + = 3 3 0 ( )( ) ( ) 2 2 ⇒ − + + + − = x t x xt t x t 3 0 ( )( ) 2 2 ⇒ − + + + = x t x xt t 3 0 ( ) ( ) 2 2 ⇒ − + + + = x t x t x t ⎡ ⎤ . 3 0 ⎣ ⎦ +) 3 x t x x = ⇒ = − 3 2 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 62 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 3 ⇒ = − x x3 2 3 ⇒ − + = x x3 2 0 3 ⇒ − − + = x x x2 2 0 ( ) ( ) 2 ⇒ − − − = x x x 1 2 1 0 ⇒ − + − − = x x x x ( 1 1 2 1 0 )( ) ( ) ⇒ − + − = ( x x x 1 1 2 0 )⎡ ⎤ ( ) ⎣ ⎦ ( )( ) 2 ⇒ − + − = x x x 1 2 0 ⎡ = 1 ( ) x kép ⇒ ⎢⎣ = − x 2 ( ) 2 2 x t x t + + + = . 3 0 ( ) 2 2 2 Δ = − + = − − < t t t 4.1. 3 3 12 0 Vậy ( ) 2 2 x t x t + + + = . 3 0 vô nghiệm. Vậy S = −{ 2; 1}. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Giải phương trình 224 8 x x + − + = 4 9 x x . Lời giải Với điều kiện x ≠ 0 , ta viết lại phương trình thành: 2 4 2 2 2 4 9 4 5 0 (*) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − = ⇔ − − − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x x 2 2 x x x x t x = − x, phương trình (*) trở thành: 2 1 ⎡ = − − − = ⇔ ⎢⎣ = Đặt 2 t t tt 4 5 05 Với t = −1, ta có 2 2 1 ⎡ = − = − ⇔ + − = ⇔ ⎢⎣ = − x x x x 1 2 02 x x Với t = 5 , ta có 2 5 33 2 5 5 2 02 ± x x x x − = ⇔ − − = ⇔ = x Vậy phương trình có các nghiệm 5 33 2;1; 2 ± − . Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Giải phương trình: ( ) 2 3 2 2 5 1 x x + = + . Lời giải ĐK: 3 x + ≥1 0 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 63 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ( ) 2 3 2 2 5 1 x x + = + ⇔ ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 5 1 1 x x x x x x − + + + = + − + 1 1 2. 5 2 0 x x + + − + = ⇔ 2 2 x x x x − + − + 1 1 ⎡ + ⎢ = − + ⎢⎢ + ⎢ = ⎣ − + x 2 1 2 ⇔ x x 1 x 2 1 1 x x 1 2 * Trường hợp 1: 21 2 x + = − +⇔ 2 4 5 3 0 x x − + = ( vô nghiệm) x x 1 * Trường hợp 2: 21 1 x + = − +⇔ 2 ⎡ − ⎢ = x x 1 2 x x − − = 5 3 0 x 5 37 ⇔ ⎢⎢ + ⎢ = ⎣ 2 x 5 37 2 Vậy phương trình có nghiệm : 5 37 x − = ;5 37 2 x+ = 2 Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 2 4 2 x x x x − + + + + = 5 1 7 1 0. Lời giải Nhận xét x > 0 . Chia cả hai vế cho x > 0 ta được 2 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + + + = ⇔ + − + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 2 x x x x 5 7 0 5 5 0. 2 x x x x Đặt ( ) 1 = + ≥ ta được phương trình 2 t t − + + = 5 5 0 . t x t 2 x 22 25 ⎧ ≤ ⎪ + = − ⇔ ⇔ = ⎨⎪ + = − ⎩. t t t t 5 5 2. ( ) t t 5 5 Giải 1 x 2 + = được nghiệm x =1. Kết luận.. x Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 64 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 xx Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 1 1. x= + − + 10 Lời giải Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 2 2 2 3 2 4 6 21 11 x x x x + + + + + = Lời giải Đặt 2 t x x t = + + > 2 3 2, 0 Phương trình trở thành 2 t t + + = 2 17 11 ⎧ ≤ tt 114 ⇔ ⇔ = ⎨⎩ + − = 2 t t 22 104 0 Với t = 4 ta có 2 7 2 3 2 4 2, 2 x x x x − + + = ⇔ = = Tập nghiệm 7 ;2 2 S ⎧ ⎫ − = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ Câu 7. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 4 2 2 x m x m m − − + − − = 1 1 0 có đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải Câu 8. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 x x x x x + − = − + − + − + 2 7 2 1 8 7 1. Lời giải Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình ( ) ( )( ) 2 x x x − − − = 2 1 3 12 . Lời giải PT biến đổi thành ( )( ) 2 2 x x x x − + − + = 4 4 4 3 12 . Đặt ( )2 2 t x x x = − + = − ≥ 4 4 2 0 , phương trình trở thành 2 4 ( ) ⎡ = − − = ⇔ ⎢⎢ = − ⎣. t n t tt l 12 03 ( ) Với t = 4 , ta được 2 2 0 x x x xx⎡ = − + = ⇔ − = ⇔ ⎢⎣ = . x 4 4 4 4 04 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x x = = 0, 4. Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình x x x x − + − − = − − 1 5 2 2 ( 1)(5 ) . Lời giải ĐK: x x − ≥ − ≥ 1 0;5 0. Đặt t x x = − + − 1 5 ,t ≥ 0 . Khi đó 2 t x x = + − − 4 2 ( 1)(5 ) . Phương trình trở thành 2 t t − = − 2 4 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 65 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Giải phương trình, kết hợp t ≥ 0 ta nhận nghiệm t = 2 Do đó x x − + − = 1 5 215 ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = x x Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm cần tìm là x x = = 1; 5. Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Giải phương trình 2 x x − = + 1 1. Lời giải ĐKXĐ: x ≥ −1. ( ) ⎡ ⎤ − = + ⇔ + − + − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 x x x x x 1 1 1 1 1 1 0 TH1 : 1 0 1 x x + = ⇔ = − (TM ĐKXĐ) ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ≥ ≥ ⎧ ≥ x x x 1 1 1 TH2 :2 1 1 1 1 0 0 ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ ( )( ) ( ) 2 2 3 2 − + + = − − = − − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪⎩ x x x x x x x x x ⎧⎪ ≥ + xx 1 1 5 ⇔ ⇔ = ⎨ − − = ⎪⎩(TM ĐKXĐ) 2 x x 1 0 2 S⎧ ⎫ ⎪ ⎪ + = −⎨ ⎬ Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1; . 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 x 1 x 3 8 x 1 x 3 2m 0 − + − + − − − = (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt. Lời giải Đặt a x 2 = − ⇒ − = + − = − x 1 a 1; x 3 a 1. Phương trình trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 a 1 a 1 8 a 1 a 1 2m 0 + + − + + − − = ( ) ( ) ( )2 4 3 2 4 3 2 2 ⇔ + + + + + − + − + + − − = a 4a 6a 4a 1 a 4a 6a 4a 1 8 a 1 2m 0 4 2 ⇔ − + − = 10a 4a 10 2m 0 4 2 ⇔ − + − = 5a 2a 5 m 0 (1). Đặt 2 a t 0 = ≥ khi đó (1) trở thành 2 5t 2t 5 m 0 − + − = (2). Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1t , 2t không âm Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 66 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ⎧⎪Δ = − + > ⎪ ⎧ − > ⎪ ⎪ ⇔ = − = > ⇔ ⇔ < ≤ ⎨ ⎨ − ≥ ⎪ ⎪⎩ ⎪ − = = ≥ ⎪⎩ ' 1 25 5m 05m 24 0 b 2 24 S 0 m 5. 5 m a 5 5 0 5 c 5 m P 0 a 5 Vậy phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm khi 24 m 5. 5< ≤ Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 8 12 1 8 5 x x x − − = + . Lời giải Giải phương trình 2 8 12 1 8 5 x x x − − = + (1) Điều kiện: 58 x ≥ − Ta có 2 2 8 12 1 8 5 16 24 2 2 8 5 x x x x x x − − = + ⇔ − − = + 2 ⇔ − + = + + + + 16 16 4 8 5 2 8 5 1 x x x x 2 2 ⇔ − = + + (4 2) ( 8 5 1) x x ⎡ − = + + 4 2 8 5 1 x x ⇔ ⎢⎢⎣ − = − + − 4 2 8 5 1 x x + − = + + ⇔ + = − ) 4 2 8 5 1 8 5 4 3 x x x x 3 ⎧ ≥ ⎪⎪ + x 4 2 3 ⇔ ⇔ = ⎨⎪ ± = ⎪⎩ x x 2 3 2 2 1 ⎧⎪ ≤ x + − = − + − ⇔ + = − ⇔ ⎨⎪⎩ − − = ) 4 2 8 5 1 8 5 1 4 4 x x x x 2 16 16 4 0 x x 1 ⎧ ≤ ⎪⎪ − ⇔ ⇔ = ⎨⎪ ± = ⎪⎩ x x 4 1 2 x 1 2 2 2 + − = = 2 3 1 2 x x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ; 2 2 Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 4 3 2 2 x x x x x x        2 2 2( 1 1). Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 67 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Lời giải Viết lại phương trình đã cho thành:        4 3 2 2 x x x x x x 2 2 2 2 1 (*) (*)            2 2 2 2 x x x x x x x ( 2 1) 1 2 1 1 0 2 2 2 2        ( ) ( 1 1) 0 x x x x (**) Đặt     2 t x x 1 0. Ta suy ra    2 2 x x t 1. Khi đó, (**) trở thành 2 2 2 ( 1) ( 1) 0 t t              2 1 01 tt t (nhận) 1 0           2 2 t x x x x x 1 1 1 0 0 hoặc x  1. Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 2 2x 3x 10 x 2x 4 3 − + − + = + + x 2 x 2 Lời giải 2 2 2x 3x 10 x 2x 4 3 − + − + = + +ĐK: x 2 0 + ≠ và 2 x 2x 4 0 − +≥ x 2 x 2 Phương trình tương đương: 24 12 2x 7 3. x 4 − + = − + x 2 x 2 + + 24 12 2x 8 1 3. x 4 ⇔ − + + = − + x 2 x 2 + + Đặt 12 t x 4x 2 = − ++ . (**) ⇒ + = 2t 1 3. t ⎧ − ≥ ⎪ ⎧ − ⎪ ≥ ⎪ 1 t +(*) x 2 ⎧ + ≥ 2t 1 0 1 2 t2 t 1 ⇔ =t 1 hoặc 1 ⇔ ⎨⎩ = + + 2 t4 = . 2 9t 4t 4t 1 ⇔ ⇔ ⎨ ⎨⎡ = ⎪ ⎪⎢ ⎩ − + = ⎪⎢ = ⎩⎣ 4t 5t 1 0 1 t4 Khi t 1 = thì 12 x 4 1 − + = x 2 + ⇒ − + − + + = (x 4 x 2 x 2 12 0 )( ) ( ) 2 ⇔ − + = x 3x 2 0 x 2 (n) ⎡ = ⇔ ⎢ = ⎣(do ĐK (*) ) x 1 (n) Khi 1 t4 = thì 12 1 x 4x 2 4 − + = + Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 68 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ⇒ − + − + + = 4 x 4 x 2 x 2 48 0 ( )( ) ( ) 2 ⇔ − + = 4x 9x 14 0 (Vô nghiệm) Vậy S 1;2 = { } Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình ( )3 3 x x x + + = + 1 9 8 . Lời giải + Điều kiện xác định: x ≥ −1. + Phương trình cho tương đương với ( ) 221 ⎡ = − + − − + + = ⇔ ⎡ ⎤ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ − − + + = . x x x x xx x x 1 8 1 08 1 0 + Ta có ( ) 2 1 8 1 0 3 2 0 ⎡ ⎤ − − + + = ⇔ − + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + +(1) x x x x xx Do 1 2 0, 1 1 2 + +nên (1 3 ) ⇔ =x . x x + + > ∀ ≥ − x + Tập nghiệm của phương trình là {−1;3} . 1 2 Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình ( ) 2 2 x x x x − − = + 4 4 3 . Lời giải ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x x − − = + ⇔ − − − − = 4 4 3 4 4 12 0 (1) Đặt ( ) 2 x x y y − = ≥ 4 0 . Phương trình (1) trở thành: 2 y y − − = 12 0 (2) Giải phương trình (2) được: 1 y = 4 (TMĐK) ; 2 y = −3 (loại) Với y = 4 thì: 2 2 2 x x x x x x − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± 4 4 4 16 ( 2) 20 2 2 5 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±2 2 5 . Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình x x x x + − − = + 2 2 2 2 19 4 74 Lời giải Điều kiện x x − − ≥ 2 2 19 0 ( x x x x − − + − − − = ) 2 2 2 2 2 19 2 19 36 0 Đặt t x x t = − − ≥ , 2 2 19 0 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 69 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 ⎡ = ⎢ + − = ⇔ ⎢ = − ⎢⎣ ( ) t n 4 2 Phương trình tương đương với 2 36 0 9 t tt l 2 ( ) t x x x x x xx⎡ = = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ ⎢⎣ = − 2 2 2 7 x 4 2 19 4 2 19 16 2 35 05 Thay vào điều kiện ta thấy hai nghiệm thỏa mãn Vậy S = −{ 5 7; } Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: x x x x + + − − + − = 1 4 1 4 1 ( )( ) . Lời giải x x x x + + − − + − = 1 4 1 4 1 ( )( ) (1) Điều kiện − ≤ ≤ 1 4 x 2 5 1 42 x x − ⇒ + − = . t Đặt x x t + + − = ≥ 1 4 0 ( )( ) Pt (1) trở thành: 2 5 1 t − − = . Tính được 1t = −1 (loại), 2t = 3 (TM). t 2 2 3 5 2 1 4 2 3 0 x x x x − + − = = ⇔ − + = 2t = 3 biến đổi pt được ( )( ) 2 Tính được 1 x = 0; 2 x = 3 (tmđk). Vậy tập nghiệm của pt là S = {0;3} . Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 2 x x x x − + + = + 3 5 3 7 Lời giải Giải phương trình : 2 2 x x x x − + + = + 3 5 3 7. x x − + ≥ 3 5 0. Đặt ( ) 2 t x x t = − + ≥ 3 5 0 ĐK: 2 2 3 ⎡ = + − = ⇔ ⎢ = − ⎣ 12 04t t tt KTM Phương trình trở thành: ( ) Với t = 3 ta có 2 2 1 ⎡ = − − + = ⇔ − − = ⇔ ⎢⎣ = (TMĐK) x x x x xx 3 5 3 3 4 04 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −1 và x = 4 . Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: x x x x x + − − = − ⋅ + − 2 2 1 3 3 ( 2)( 1) Lời giải Điều kiện: ≥ 1 x x x x x + − − = − ⋅ + − 2 2 1 3 3 ( 2)( 1) ⇔ + − − = + + − − ⋅ + − x x x x x x 2 2 1 ( 2) 2( 1) 3 ( 2)( 1) Dät 2; 1( ; 0) a x b x a b = + = − ≥ Ta được phương trình: Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 70 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 2 2 2 2 3 a b a b ab − = + − ⇔ − − − = ( 2 )( 1) 0 a b a b ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = + a b 2 a b 1 Với a b x x x = ⇒ + = − ⇔ = 2 2 2 1 2 Với = + 1 ⇒ + = − + ⇔ + = + − ⇔ = x x x x x x 2 1 1 2 2 1 2 Vậy phương trình có nghiệm = 2. Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 3 3 x x + = − 2 3 3 2. Lời giải Đặt 3 3 2 . x t − = Ta có hệ phương trình: 3 ⎧⎪ + = ⎨ ⇒ + = + ⇔ − + + + = x tx x t t x t x tx t 2 33 3 3 0 ( )( ) 3 3 2 2 3 ⎪⎩ + = t x 2 3 2 2 3 3 0 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⇔ − + + + = ⇔ = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ t t ( ) x t x x t 2 4 2 2 3 v× 3 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + + > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t t x 2 4 Với x t = ta có: ( )2 3 1 ⎡ = − + = ⇔ − + = ⇔ ⎢⎣ = − x x x x xx 3 2 0 1 ( 2) 0 . 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x =1 và x = −2. Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020)Giải phương trình: ( ) 2 2 x x x x 10 10 12 − + − = . Lời giải Đặt 2 y x y = − ≥ 10 , 0 . Ta có hệ ( ) ⎧ + = ⎪⎨⎪⎩ + = .. xy x y 2 2 x y 12 10 Đặt S x y P xy = + = , Hệ trở thành ( )( ) 212 1 ⎧ = ⎪⎨⎪ − = ⎩ SP S P 2 10 2 S = 0 không thỏa hệ nên ( ) 12 1 PS ⇔ = . Thay vào (2) , ta có 2 24 S 10 S − = .. Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 71 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 3 ⇔ − − = ⇔ = ⇒ = S S S P 10 24 0 4 3 . x y, là nghiệm phương trình 2 X X − + = 4 3 0 , suy ra ( x y; 1;3 ) = ( ) hoặc ( x y; 3;1 ) = ( ) . Vậy tập nghiệm là S = {1;3} .. Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 2 2 1 5 2 2 2 11 5 x x x x x − + − = − + − + − ; Lời giải Giải phương trình: 2 2 1 5 2 2 2 11 5 x x x x x − + − = − + − + − (2) Phương trình xác định 2 1 05 ⎧ − ≥ 1 xx ⇔ ⇔ ≤ ≤ ⎨⎩ − ≤ 5 0 2 x Khi đó phương trình (2)⇔ − + − = − + − − 2 1 5 2 2 2 1 5 x x x x x ( )( ) ⎧⎪ − = ⎨⎪⎩ − = Đặt 2 1 x a x b( ; 0) a b ≥ 2 2 2 2 ⇒ + = + ⇒ − = + − x a b x a b 4 2 6 5 Ta có phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 a b a b ab a b a b + = + − + ⇔ + − + − = 6 2 6 0 ⇔ + − + + = ⇔ + − = (a b a b a b 3 2 0 3 0 )( ) (do a b a b + + > ∀ ≥ 2 0, ; 0 ) ( )( ) 2 2 ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + + − − = a b a b ab x x x 3 2 9 4 2 2 1 5 9 ⇔ − − − − = ⇔ − − − − = 2 2 1 5 5 0 5 2 2 1 5 0 ( x x x x x x )( ) ( ) ( ) ⎡ − = ⇔ = ⇔ ⎢⎢ − = − ⇔ = ⇔ = ⎣x x 5 0 5 (thoûa maõn) ( ) 4 2 1 5 9 9 1 (thoûa maõn) x x x x Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1;5} Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 4 2 x x + − = 20 0 Lời giải Giải phương trình 4 2 x x + − = 20 0 Đặt 2 t x t = ≥ , 0 , phương trình đã cho trở thành ( ) 2 t t + − = 20 0 1 2 Δ = − = b ac 4 81 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t = 4 (nhận); t = −5 (loại) Với t = 4 tìm được x = ±2 . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = ±2 Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 21 4 2 9 2 x xx x . + + = 2 4 2 1 + + Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 72 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 21 4 2 9 2 x xx x(*) + + = 2 4 2 1 + + tt2 ⇔ − + = t t 8 12 062 ⎡ = ⇔ ⎢⎣ = t Đặt 2 t x x = + 4 2 , t ≠ −1. Ta có ( ) 21 * 9 ⇔ + = t ⎡ = x 1 + 1 ⎢ = ⇔ + − = ⇔ ⎢ = − ⎣ 2 t x xx 6 4 2 6 0 3 2 ⎡ = − x 1 ⎢ = ⇔ + − = ⇔ ⎢ = ⎣ 2 t x xx 2 4 2 2 0 1 2 Vậy tập nghiệm 3 1 ; 1; ;1 S ⎧ ⎫ = − − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ . 2 2 Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải phương trình 2 4 3 0 x 2 xx x + − = + + . 2 1 Lời giải 2 4 3 0 2 x xx x + − = + + . 2 1 ( ) 2 2 2 2 ⇔ + + − − = ⇔ + + − = 4 2 1 3 0 2 2 1 3 0 x x x x x x x . ⎡ + + = 2 2 2 ( ) x x 1 2 ⇔ + + = ⇔ ⎢⎢⎣ + + = −. x x x x 1 4 2 1 2 ⎡ ≤ ⎧⎢⎪ ⎡⎧ ≤ ⎨ ⎢⎨ ⎢ = + = − + ⎪ ⎢⎩ ⎩⎢ x 2 x 2 3 2 2 x x x xx 1 4 4 4 3 ⇔ ⇔ ⇔ = ⎢ ⎢ ⎧ ⎧ ≤ − ≤ − ⎢ ⎢ ⎨ ⎪ ⎢ + = + + ⎢⎨ − ⎣⎩ ⎢ = ⎪⎣⎩. 2 2 4 x x 2 2 1 4 4 3 x x xx 4 Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình + √4 = 2 + 3√4 . Lời giải Điều kiện: 2 ≤ ≤ 2 (*). Đặt = + √4 ⇒ √4 = . Phương trình (1) trở thành = 2 3 2 8 = 0 ⇔ = 43 Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 73 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Với = 2 ta có + √4 = 2 ⇔ ≤ 2 2 4 = 0 ⇔ = 0 = 2 (thỏa mãn đk (*)). Với = ta có + √4 = ⇔ ≤ 2 + = 0⇔ = √ (thỏa mãn đk (*)). Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 23 2 x x + = − − + − . x x x x 2 2 Lời giải x = 0 không phải là nghiệm của phương trình x x 3 1 3 2 2 + = ⇔ + = 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x xx x − − + − − − + − x x Đặt 2 t x t t ( 1, 1) = − ≠ ≠ − , tìm được t t = = 0; 2 x Tìm được nghiệm của phương trình đã cho: x x x x = = − = − = + 2; 2; 1 3; 1 3 Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình   2 x x x x      4 2 1 1 . Lời giải Điều kiện x 1.     2 x x x x x x x x             4 2 1 1 ( 1) 2 1 1 4 0 (1) Đặt y x y    1, 0. Phương trình (1) trở thành 2 2 2 4 3 2 ( 1) 2 . 4 0 2 4 0 y y y y y y y          3 2         ( 1)( 3 4 4) 0 1 y y y y y vì y 0. Suy ra x x     1 1 2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2. Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải hệ phương trình             . 2 2 5 3 6 7 4 0 x y y x y y x x ( 2) 3 3 Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 74 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020             2 2 5 3 6 7 4 0 (1) x y y x y y x x ( 2) 3 3 (2) Điều kiện: 2 y x    7 4 0.             y 3 (2) ( 3)( 1) 0 1 y y xy x Với y  3, từ (1) ta có 2 x x     18 6 13 7 0 (vô nghiệm) Với y x  1, từ (1) ta có   2 2 x x x x        5 5 6 5 5 7 0                 2 2 x x x x x 5 5 7 5 12 0 (VN) 1          . x x x x x 5 5 1 5 4 0 4 2 2 Với x y    1 2 (TMĐK), với x y    4 5 (TMĐK). Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (1;2) và (4;5). Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình ( )3 6 3 5 2 x x x x + − = − − 3 3 9 1. Lời giải ( )3 6 3 5 2 x x x x + − = − − 3 3 9 1 ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 ⇔ + − + = − x x x x 3 1 3 3 Đặt: 2 3 x a x b = − = , 3 Ta có phương trình: ( ) ( ) 3 3 3 a b ab a b ab a b ab + + = ⇔ + + − + − = 1 3 1 3 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ⇔ + + + − + + − + + = a b a b a b ab a b 1 1 3 1 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )( ) 2 2 ⇔ + + + − − − + = a b a b ab a b 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 + + − − − + = ⇔ − + − + − = ⇔ = = ) 1 0 1 1 0 1 a b ab a b a b a b a b 2 3 ⇒ = − = x x 1 1 (VN) +) ( )( ) 2 3 2 a b x x x x x x + + = ⇒ + − + = ⇔ − + + = ⇔ = 1 0 3 1 0 1 2 2 0 1. Vậy phương trình có nghiệm x =1. Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình       2 2 x x x x 2 2 2 2 1 0 Lời giải Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 1 3 10         2 2 2 2 1 2 3 2 7 x x x x x x Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 75 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Lời giải Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình 2 21 ⎧ − + = x y xy ⎨⎩ + = x y 2 Lời giải Giải hệ phương trình 2 21 ⎧ − + = x y xy ⎨⎩ + = x y 2 Đặt x y S ⎧ − = ⎨⎩ = hệ phương trình đã cho trở thành xy P ⎧ ⎧ + = = − ⎧⎪ = − S P P S P S 1 1 1 ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ ( ) 2 2 2 + = − = ⎪ + − = ⎩ ⎩ ⎩ S P S S S S 2 2 2 0 2 1 2 ⎡⎧ = ⎧ = − ⎢⎨ ⎪ ⎩ = ⇔ ⇔ ⎢ ⎨⎡ = ⎢ ⎢ ⎧ = ⎪ = ⎢ ⎩⎣ ⎨⎢⎩ = − ⎣ S P SP 0 11 SS SP 02 21 ⎧ = ⎧ − = ⎧ = ⎪ ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ ⎡ = ⎩ = ⎩ = ⎪⎢⎣ = − ⎩ x y x y x yx Với 01 01 ⎧ = ⎨⎩ = ta có 2 S xy xx P 1 11 Suy ra ( x y; 1;1 , 1; 1 ) = − − ( ) ( ) ⎧ ⎧ = − = ⎧⎪ = − ⎧ = − ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⇔ ⇔ ⇔ S x y y x y x 2 2 2 2 Với ( ) 2 ⎩ ⎩ = − = − ⎪⎩ − = − ⎩ − + = P xy x x x x 1 1 2 1 2 1 0 ⎧ ⎧ = − = − ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ = = Suy ra ( x y; 1; 1 ) = − ( ) y x y 2 1 x x 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x y; 1;1 , 1; 1 ) = − − ( ) ( ),(1; 1− ) Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho các đa thức ( ) 2 P x m x n x k = + + 1 1 1 , ( ) 2 Q x m x n x k = + + 2 2 2 , ( ) 2 R x m x n x k = + + 3 3 3 với , , m n k i i i là các số thực và 0, 1,2,3 m i i > = . Giả sử phương trình P x( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 a a, ; phương trình Q x( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 b b, ; phương trình R x( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 c c, thỏa mãn P c Q c P c Q c ( 1 1 2 2 ) + = + ( ) ( ) ( ), P b R b P b R b ( 1 1 2 2 ) + = + ( ) ( ) ( ), Q a R a Q a R a ( 1 1 2 2 ) + = + ( ) ( ) ( ) . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 76 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 a a b b c c + = + = + . n S a am Sử dụng định lý Vieta, ta có 1 Lời giải n S b bm n S c cm = + = − , 2 = + = − , 3 1 1 2 2 1 2 = + = − . 1 2 3 1 2 3 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 P c P c m c c n c c 1 2 1 1 2 1 1 2 − = − + − = − ⎡ + + ⎤ (c c m c c n 1 2 1 1 2 1 ⎣ ⎦ ( ) ) = − − m c c S S 1 1 2 3 1 ( )( ). Tương tự, ta cũng có ( ) ( ) ( )( ) 2 Q c Q c m c c S S 1 2 1 2 3 2 − = − − . Do P c P c Q c Q c ( 1 2 1 2 ) − + − = ( ) ( ) ( ) 0 và 1 2 c c ≠ nên từ hai biến đổi trên, ta suy ra m S S m S S 1 3 1 2 3 2 ( − + − = ) ( ) 0 . (1) Chứng minh tương tự ta cũng có m S S m S S 2 1 2 3 1 3 ( − + − = ) ( ) 0 . (2) m S S m S S 3 2 3 1 2 1 ( − + − = ) ( ) 0 . (3) Từ (1) , (2) và (3) , có thể thấy vai trò của 1 2 3 S S S , , là như nhau. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử S S S S 1 1 2 3 = max , , { } . Khi đó, ta có 1 2 S S − ≥ 0 và 1 3 S S − ≥ 0 . Lại có 2 3 m m, 0 > nên (2) VT ≥ 0 . Để xảy ra dấu đẳng thức như (2) thì dấu bằng trong các đánh giá phải xảy ra, tứ ta phải có 1 2 3 S S S = = . Đây chính là kết quả cần chứng minh. Câu 37. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 x mx m m − + − + = 2 1 0 có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa 2 2 2 1 1 x x mx − + = 2 6 19 . Lời giải Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ ⇔ ≥ ' 0 1 m (1). Áp dụng định lý Viet ta có: x x m + = 1 2 2 2 x x m m 1 2 = − + 1 Đồng thời x1 là nghiệm nên 2 2 1 1 x mx m m − = − + − 2 1. Khi đó 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 x x mx x x x mx − + = ⇔ + − + − = 2 6 19 3 6 19 0 ( )2 2 ⇔ + − − − − = x x x x x mx 2 3( 2 ) 19 0 1 2 1 2 1 1 ⎡ = m 2 ⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⎢⎢ = − ⎣ 2 5 18 0 2 9 m m m m 5 Vậy m = 2. Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) 2 2018 2019 2020 0 x m x − − − = ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa mãn: 2 2 1 1 1 2 x x x x + − = + + 2019 2019 . Lời giải Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 77 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Do a,c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Ta có: 2 2 1 2 2 2019 2019 i x x x x + − = + + . ⇔ 2 2 1 2 2 1 x x x x + − + = + 2019 2019 2 2 x xx x − = + ⇔ 1 2 2 1 2 2 x x 1 2 2019 2019 + − + ⎡ + = x x 0 ⇔1 2 ⎢⎢ + − + = − ⎣ 2 2 x x x x 2019 2019 1 2 1 2 * Trường hợp 1: 1 2 x x + = 0 ⇔ m – 2019 = 0 ⇔ m = 2019 * Trường hợp 2: Không xảy ra do: 21 1 x x + > 2019 ; 2 2 2 x x + > 2019 Vậy m = 2019. Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020)Cho phương trình ( ) ( ) 2 2 x 2 1 2 3 0 1 , − − + − − = m x m m với m là tham số. a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho biểu thức 2 2 1 2 1 2 x x x x + + 5 đạt giá trị nhỏ nhất thì tham số m là một phân số tối giản pq( p q, là các số nguyên, q ≠ 0 ). Hãy tính 2 2 p q Tp q + = + . Lời giải Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x m x m − + + = ( 2) 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x , thỏa mãn điều kiện ( ) 21 2 1 2 x m x x x + + − = 2 5 6 . Lời giải Cho phương trình 2 x m x m − + + = ( 2) 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x , thỏa mãn điều kiện ( ) 21 2 1 2 x m x x x + + − = 2 5 6 (3) vì ( )2 2 Δ = + − = + > ∀ m m m m 2 4 4 0, nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x , . Khi đó 2 2 1 1 1 1 x m x m x m x m − + + = ⇔ = + − ( 2) 0 ( 2) Thay vào (3) ta được (m x m m x x x + − + + − = 2 2 5 6 ) 1 2 1 2 ( ) ⇔ + + − − = (m x x x x m 2 5 6 )( 1 2 1 2 ) (4) Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 78 🟔 VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020 Theo định lí Vi-et ta có 1 2 1 2 x x m x x m     2, Thay vào (4) ta được (m m m m + + − − = 2 2 5 6 )( ) ⎡ = − ⇔ − − = ⇔ ⎢⎢⎣ = +(tm) 2 1 3 2 2 0 m m m m 1 3 Vậy m = −1 3 và m = +1 3 là các giá trị cần tìm Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các đa thức ( ) 2 P x x ax b = + + , ( ) 2 Q x x cx d = + + với a b c d , , , là các số thực.. a) Tìm tất cả các giá trị của a b, để 1 và a là nghiệm của phương trình P x( ) = 0 . b) Giả sử phương trình P x( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x , và phương trình Q x( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt 3 4 x x , sao cho P x P x Q x Q x ( 3 4 1 2 ) + = + ( ) ( ) ( ) . Chứng minh rằng 1 2 3 4 x x x x − = − . Lời giải a) Để 1 và a là nghiệm thì ta phải có P a b (1 1 0 ) = + + = , ( ) 2 2 P a a a b = + + = 0 . Rút b a = − −1 từ phương trình đầu, thay vào phương trình sau, ta được 2 2 1 0 a a − − = . Từ đó a = 1 hoặc 12 a = − , tương ứng b = −2 hoặc 12 b = − . Vậy có hai cặp (a b, ) thỏa mãn điều kiện đề bài là (1; 2− ) và 1 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ . ;2 2 b) Do 1 2 x x , là hai nghiệm phân biệt của phương trình P x( ) = 0 nên P x x x x x ( ) = − − ( 1 2 )( ) . Tương tự, ta cũng có Q x x x x x ( ) = − − ( 3 4 )( ). Điều kiện đề bài có thể viết lại thành ( x x x x x x x x x x x x 3 1 3 2 1 4 4 1 2 3 4 2 − − + − + − + − − = )( ) ( )( ) 0 . Hay ( x x x x x x x x 3 2 1 4 3 1 2 4 − + − − + − = )( ) 0 . Một cách tương đương, ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 3 4 x x x x − = − hay 1 2 3 4 x x x x − = − . Đây chính là kết quả cần chứng minh. Bình luận. Định lý về khai triển đa thức theo các nghiệm mà ta đã dùng P x x x x x ( ) = − − ( 1 2 )( ) là một tính chất quan trọng của đa thức. Nếu không biết định lý này, ta vẫn giải được bài toán bằng các phép biến đổi, nhưng sẽ vất vả hơn. Ở câu a), đề bài không nói a khác 1 nên nếu thí sinh dùng định lý Vieta sẽ bị thiếu nghiệm. Câu 42. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Tìm m để phương trình ( ) 2 x m x m − + + = 2 1 4 0 ( x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa mãn 3 2 3 2 1 1 2 2 x x x x − = − . Lời giải Phương trình có hai nghiệm 1 2 x x, khi ( ) ( ) 2 2 Δ = + − = − ≥ ′ m m m 1 4 1 0 ⇔ ∈ m  . Địa chỉ truy cập click vào đây  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/ 🟔 Trang 79 🟔 """