🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tính Toán Mềm & Ứng Dụng Ebooks Nhóm Zalo Nguyễn Như Phong TÍNH TOÁN MỀM & ỨNG DỤNG 2020 NỘI DUNG Mục lục Lời nói đầu Chương 1: Tính toán mềm Chương 2: Lý thuyết tập mờ Chương 3: Quan hệ mờ Chương 4: Số học mờ Chương 5: Lý thuyết khả năng Chương 6: Logic mờ Chương 7: Mạng thần kinh Chương 8 Giải thuật di truyền Chương 9: Điều khiển tự động Chương 10: Ra quyết định Chương 11: Dự báo nhu cầu Chương 12: Phân tích kinh tế Chương 13: Điều độ dự án Chương 14: Kiểm soát chất lượng Chương 15: Hoạch định tồn kho Tài liệu tham khảo MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Tính toán mềm 1.1 Lý thuyết bất định 1.2 Tính toán mềm Chương 2: Lý thuyết tập mờ 2.1 Lý thuyết tập hợp 2.2 Tập mờ 2.3 Toán tử tập mờ 2.4 Xây dựng tập mờ 2.5 Giải mờ Chương 3: Quan hệ mờ 3.1 Quan hệ 3.2 Quan hệ mờ 3.3 Liên kết mờ 3.4 Hợp thành mờ 3.5 Nguyên lý mở rộng 3.6 Chuyển đổi mờ Chương 4: Số học mờ 4.1 Số mờ 4.2 Biến ngôn ngữ 4.3 Toán tử số học mờ 4.4 Cực trị mờ 4.5 So sánh mờ 4.6 Xếp hạng mờ Chương 5: Lý thuyết khả năng 5.1 Sự kiện 5.2 Lý thuyết độ đo mờ 5.3 Lý thuyết bằng chứng 5.4 Lý thuyết xác suất 5.5 Lý thuyết khả năng 5.6 Lý thuyết khả năng và lý thuyết tập mờ 5.7 Lý thuyết khả năng và lý thuyết xác suất Chương 6: Logic mờ 6.1 Logic học 6.2 Mệnh đề mờ 6.3 Hàm kéo theo mờ 6.4 Mệnh đề điều kiện mờ 6.5 Suy diễn mờ 6.6 Lập luận xấp xỉ đa điều kiện Chương 7: Mạng thần kinh 7.1 Mạng thần kinh thiên tạo 7.2 Mạng thần kinh nhân tạo 7.3 Huấn luyện mạng thần kinh 7.4 Xây dựng hàm thành viên dùng mạng thần kinh 7.5 Công nghệ Neurofuzzy 7.6 Mạng thần kinh mờ Chương 8: Giải thuật di truyền 8.1 Giải thuật di truyền 8.2 Các bước của giải thuật di truyền 8.3 Tạo hàm thành viên bằng giải thuật di truyền 8.4 Giải thuật di truyền mờ Chương 9: Điều khiển tự động 9.1 Hệ thống điều khiển tự động 9.2 Bộ điều khiển kinh điển 9.3 Bộ điều khiển mờ 9.4 Hệ thống điều khiển mờ con lắc ngược 9.5 Hệ thống điều khiển mờ nhiệt độ 9.6 Hệ thống điều khiển mờ động cơ Chương 10: Ra quyết định 10.1 Xếp hạng mềm 10.2 Đánh giá tổng hợp mềm 10.3 Ra quyết định mềm đơn 10.4 Ra quyết định mềm nhóm 10.5 Ra quyết định mềm đa tiêu chuẩn 10.6 Ra quyết định mềm theo mục tiêu 10.7 Ra quyết định mềm Bayes Chương 11: Dự báo nhu cầu 11.1 Dự báo 11.2 Dự báo nhu cầu 11.3 Sai số dự báo 11.4 Phân tích chuỗi thời gian 11.5 Mô hình tương quan 11.6 Dự báo định tính 11.7 Dự báo mềm Chương 12: Phân tích kinh tế 12.1 Dòng tiền tệ mềm 12.2 Phân tích tương đương dòng tiền tệ mềm 12.3 Phân tích khả thi dự án 12.4 So sánh dự án 12.5 Phân tích lãi suất nội tại mờ Chương 13: Điều độ dự án 13.1 Quản lý dự án 13.2 Điều độ dự án 13.3 Điều độ dự án mềm 13.4 Bài toán thời gian hoàn thành dự án 13.5 Mô hình mạng 13.6 Mô hình CPM 13.7 Mô hình pCPM 13.8 Ra quyết định khả năng hoàn thành dự án Chương 14: Kiểm soát chất lượng 14.1 Kiểm soát chất lượng 14.2 Kiểm soát chất lượng mềm 14.3 Kiểm đồ biến ngôn ngữ 14.4 Kiểm đồ Raz - Wang 14.5 Kiểm đồ Kanagawa - Tamaki - Ohta 14.6 Mô hình pLCC Chương 15: Hoạch định tồn kho 15.1 Hoạch định vật tư tồn kho 15.2 Hoạch định vật tư tồn kho mềm 15.3 Ước lượng tham số mô hình 15.4 Hoạch định tồn kho nhu cầu độc lập 15.5 Hoạch định tồn kho nhu cầu phụ thuộc Tài liệu tham khảo LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết mờ bao gồm các lý thuyết liên quan đến các mô hình thu thập, xử lý thông tin bất định như Lý thuyết tập mờ, Lý thuyết khả năng, Logic mờ. Lý thuyết mờ ra đời kể từ năm 1965 khi Lotfi Zadeh, một giáo sư về lý thuyết hệ thống trường Đại học California, Berkeley, công bố bài báo đầu tiên về Logic mờ ở Mỹ. Tính toán mềm là kết hợp giữa Lý thuyết mờ, Giải thuật di truyền, và Mạng thần kinh. Các nghiên cứu gần đây về Tính toán mềm là bước phát triển của công nghệ tính toán và mở ra nhiều ứng dụng. Tính toán mềm khác với tính toán cứng truyền thống ở chỗ không như tính toán cứng, tính toán mềm cho phép sự không chính xác, tính bất định, gần đúng, xấp xỉ. Các mô hình Tính toán mềm thường dựa vào kinh nghiệm con người, sử dụng dung sai cho phép của sự không chính xác, tính bất định, gần đúng, xấp xỉ để tìm lời giải hiệu quả ở chỗ đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hiện, chi phí thấp. Các ý tưởng cơ bản của Tính toán mềm đầu tiên xuất hiện theo các bài báo của Zadeh về lý thuyết tập mờ vào 1965, sau đó là bài báo năm 1973 về phân tích hệ thống phức tạp và quá trình ra quyết định, tiếp theo là bài báo năm 1981 về lý thuyết khả năng và phân tích dữ kiện mềm. Về sau, Mạng thần kinh và Giải thuật di truyền đã góp phần nâng cao hiệu quả của Tính toán mềm. Các ứng dụng thành công của Tính toán mềm cho thấy Tính toán mềm ngày càng phát triển mạnh và đóng vai trò đặc biệt trong các lĩnh vực khác nhau của Khoa học và Kỹ thuật. Tính toán mềm biễu thị một sự chuyển dịch, biến hóa quan trọng trong các hướng tính tóan. Sự chuyển dịch này phản ảnh sự kiện trí tuệ con người, không như máy tính, có khả năng đáng kể trong việc lưu trữ và xử lý thông tin không chính xác và bất định, và đây mới là những thông tin thực tế và thường gặp. TÍNH TOÁN MỀM & ỨNG DỤNG gồm 2 phần lý thuyết và ứng dụng. Phần lý thuyết bao gồm Lý thuyết tập mờ, Lý thuyết khả năng, Logic mờ, Giải thuật di truyền, và Mạng thần kinh. Phần ứng dụng bao gồm các ứng dụng trong các bài toán Điều khiển tự động, Ra quyết định, Dự báo nhu cầu, Phân tích kinh tế, Điều độ dự án, Kiểm soát chất lượng, Hoạch định tồn kho. Dù bỏ ra nhiều thời gian và công sức nhưng nói về một vấn đề mới và khá phức tạp nên chắc chắn không tránh khỏi nhiều sai sót, rất mong nhận được nhiều ý khiến đóng góp của các đồng nghiệp và quý độc giả để sách được ngày một hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin gởi về: Nguyễn Như Phong. Trường Đại Học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia TPHCM. Tel: 0918334207. Email: [email protected], [email protected] Xin thành thật biết ơn. Chương 1 TÍNH TOÁN MỀM Lý thuyết bất định Tính toán mềm 1.1 Lý thuyết bất định 1.1.1 Thông tin bất định Nghiên cứu vận trù dựa vào thông tin, thông tin trong vận trù có nhiều lọai. Khi ta nói “Nhiệt độ lò là 1200C” ta có một mẫu thông tin xác định, thông tin này là rõ ràng, chính xác, hay ngắn gọn là xác định. Thực tế thường gặp mẫu thông tin không xác định hay bất định như “Nhiệt độ lò là khoảng 1200C” hay “Nhiệt độ lò có thể là 1200C”. Với mẫu thông tin bất định “Nhiệt độ lò là khoảng 1200C”, thông tin là không chính xác. Để mô hình loại thông tin không chính xác này ta sẽ sử dụng một loại tập hợp có đường biên giới không rõ ràng mà ta gọi là tập mờ. Dạng bất định này là bất định không chính xác. Với mẫu thông tin bất định “Nhiệt độ lò có thể là 1200C”, ta không chắc chắn nhiệt độ là 1200C vì ta thiếu thông tin để khẳng định chắc chắn. Dạng bất định này là bất định do thiếu thông tin hay bất định thiếu thông tin. Bất định không chính xác dẫn đến việc sử dụng tập mờ, sự kiện tương ứng mang tính bất định trong ngay định nghĩa của sự kiện. Bất định thiếu thông tin là loại bất định về sự xuất hiện của một sự kiện xác định. Ở loại bất định này, theo ngôn ngữ tập hợp, tập hợp tương ứng là tập rõ, không phải tập mờ nhưng mức độ thành viên của phần tử quan tâm là bất định. Vậy bất định không chính xác liên quan đến tính bất định trong định nghĩa sự kiện còn bất định thiếu thông tin liên quan đến tính bất định về sự xuất hiện của một sự kiện xác định. Theo Dubois & Prade, một thông tin bất định có thể mô hình bởi bộ tứ: Một thuộc tính của một đối tương có giá trị ở một mức tự tin nào đó. Ví dụ: Nhiệt độ lò có lẻ khoảng 1200C Thuộc tính - Nhiệt độ Đối tượng - Lò Giá trị - khoảng 1200C Mức tự tin - có lẻ Với mô hình này, bất định không chính xác liên quan đến thành phần giá trị, còn bất định thiếu thông tin liên quan đến thành phần mức tự tin trong mô hình thông tin bất định nêu trên. Bất định không chính xác liên quan đến sự không chính xác của ngôn ngữ con người trong việc đánh giá và suy diễn. Vì liên quan đến sự không chính xác của ngôn ngữ nên còn được gọi là bất định ngôn ngữ. Mẫu thông tin không chính xác thường có các từ như vào khoảng, mơ hồ, lờ mờ, không rõ ràng, chung chung. Trong khi đó, bất định thiếu thông tin là loại bất định liên quan sự thật, sự hợp lý, tin cậy của thông tin, mẫu thông tin thường có các từ có thể, có lẻ, có khả năng, với xác suất… 1.1.2 Lý thuyết bất định Với mỗi loại bất định sẽ có một lý thuyết tương ứng. Lý thuyết bất định bao gồm: Lý thuyết tập mờ. Lý thuyết độ đo mờ a. Lý thuyết tập mờ Lý thuyết tập mờ được sử dụng trong trường hợp bất định không chính xác, dẫn đến việc sử dụng tập mờ là loại tập hợp có đường biên giới không rõ ràng. Lý thuyết tập mờ ra đời kể từ năm 1965 khi Lotfi Zadeh, một giáo sư về lý thuyết hệ thống trường Đại học California, Berkeley, công bố bài báo đầu tiên về Logic mờ ở Mỹ. Từ đó lịch sử phát triển của lý thuyết mờ theo trình tự phát minh ở Mỹ, xây dựng đến hoàn chỉnh ở châu Âu, và ứng dụng vào thị trường ở Nhật. Lý thuyết tập mờ sẽ được trình bày ở phần sau. Lotfi Zadeh b. Lý thuyết độ đo mờ Bất định thiếu thông tin liên quan đến tính bất định về sự xuất hiện của một sự kiện xác định. Với loại bất định này ta sẽ dùng lý thuyết độ đo mờ. 1- Thử nghiệm Một thử nghiệm là một hoạt động với kết quả quan sát được. Một số thử nghiệm hay dùng trong lý thuyết xác suất như tung đồng tiền, tung hột xúc sắc, rút một lá bài và quan sát kết quả. Tập tất cả các kết quả ra của một thử nghiệm là không gian mẫu hay tập tổng X của các kết quả ra của thử nghiệm. 2- Sự kiện Một sự kiện E liên quan đến một thử nghiệm được mô tả theo tập tổng X của thử nghiệm. Theo ngôn ngữ tập hợp, một sự kiện E là một tập con của tập tổng X của thử nghiệm. Ta nói sự kiện E xảy ra khi kết quả thử nghiệm là một phần tử của tập E. Vậy khi nói sự kiện E xảy ra, điều này, theo ngôn ngữ tập hợp, tương đương với một phần tử mà ta quan tâm thuộc về tập E. Hai sự kiện đặc biệt là sự kiện không thể và sự kiện chắc chắn. Sự kiện không thể là sự kiện không thể xảy ra, sự kiện này tương ứng với tập rỗng. Sự kiện chắc chắn là sự kiện chắc chắn xảy ra, sự kiện này tương ứng với tập tổng. Ưu điểm của việc xác định sự kiện theo ngôn ngữ tập hợp giúp ta xác định các sự kiện mới dựa trên các sự kiện hiện có và các toán tử tập hợp. Hơn thế nữa, việc xác định sự kiện theo ngôn ngữ tập hợp giúp tìm hiểu và phân định các lý thuyết mà ta sẽ khảo sát ở sau. 3- Lý thuyết độ đo mờ Lý thuyết độ đo mờ xây dựng hàm độ đo mờ g nhằm dựa vào bằng chứng, gán độ đo về sự xuất hiện của một sự kiện hay gán độ đo về mức độ thành viên của phần tử quan tâm cho một tập rõ xác định. Độ đo mờ biễu thị mức độ bằng chứng của sự xuất hiện một sự kiện xác định. Độ đo mờ là một hàm tập, gán một giá trị cho mỗi tập rõ của tập tổng biễu thị mức bằng chứng hay mức tin để phần tử quan tâm thuộc tập hợp này. Xem một tập tổng X, xem là một họ các tập con của X, một độ đo mờ g trên là một hàm g: [0, 1] thỏa các sau yêu cầu sau: i. Điều kiện biên: g( ) = 0, g(X) = 1 ii. Điều kiện đơn điệu: A,B , A B g(A) g(B) iii. Điều kiện liên tục: Liên tục từ dưới: Với chuỗi tăng trong : A1 A2 … Liên tục từ trên: Với chuỗi giảm trong : A1 A2 … Yêu cầu biên mang ý nghĩa là bất chấp bằng chứng, phần tử quan tâm luôn thuộc tập tổng và không thuộc tập rỗng. Điều kiện đơn điệu nghĩa là bằng chứng thành viên của một phần tử lên một tập luôn nhiều hơn hay bằng bằng chứng thành viên của phần tử ấy lên tập con của tập ấy. Các yêu cầu liên tục 3. và 4. chỉ áp dụng khi tập tổng vô hạn, không áp dụng khi tập tổng hữu hạn. Các hàm thỏa các yêu cầu 1. và 2. và hoặc 3. hoặc 4. là các hàm bán liên tục, trong lý thuyết độ đo mờ, các hàm bán liên tục cũng quan trọng như các hàm liên tục. Giá trị g(A) gán cho tập A bởi hàm g biễu thị tất cả các bằng chứng hiện hữu của việc một phần tử quan tâm thuộc tập A. Hay nói cách khác, g(A) biễu thị tất cả các bằng chứng hiện hữu về sự xuất hiện sự kiện A, là mức tin về sự xuất hiện sự kiện A. Nếu A là sự kiện chắc chắn thì g(A) = 1, còn nếu A là sự kiện không thể thì g(A) = 0. Ví dụ: Bé Su bị bịnh ở hệ hô hấp có thể là một trong các bịnh viêm đường hô hấp trên (H), Viêm phế quản (Q), viêm tiểu phế quản (T), viêm phổi (P), hen suyển (S) X = H, Q, T, P, S Sau khi khám bịnh, ta thấy có nhiều bằng chứng thu được là viêm đường hô hấp trên, sau đó là viêm phế quản, ít bằng chứng là viêm tiểu phế quản hay viêm phổi, không có bằng cứ là hen suyển, độ đo mờ có thể như sau: g(H) = 0,9; g(Q) = 0,7; g(T) = g(P) = 0,4; g(S) = 0 Từ điều kiện đơn điệu ta có thể suy ra các bất đẳng thức cơ bản của độ đo mờ như sau: g(A B) min [g(A), g(B)] g(A B) max [g(A), g(B)] c. Lý thuyết bằng chứng Lý thuyết bằng chứng là một lý thuyết độ đo mờ dùng đồng thời 2 độ đo mờ đối ngẫu là hai độ đo bằng chứng bao gồm: Mức tin Mức khả tín 1- Mức tin: Mức tin Bl (Believe measure) là mức độ tin tưởng một phần tử của tập X thuộc về một tập hợp hay mức độ tin tưởng về sự xuất hiện của một sự kiện. Xem một tập tổng X, mức tin Bl là một hàm hay ánh xạ từ tập (X) lên tập [0,1]: Bl: (X) [0, 1] Mức tin thỏa các sau yêu cầu sau: i. Điều kiện biên: Bl ( ) = 0 Bl (X) = 1 ii. Điều kiện quá cộng tính: iii. Điều kiện liên tục từ trên khi tập X là vô hạn. Với A (X), Bl(A) biễu thị mức tin rằng một phần tử đã cho của X thuộc tập A, Bl(A) không chỉ dựa vào các bằng cứ phần tử thuộc A mà còn dựa vào tất cả các bằng cứ phần tử thuộc các tập con của tập A. Khi các tập từng cặp không giao nhau: Ai Aj = , i j Biễu thức quá cộng tính trở thành: (*) Ta thấy với độ đo xác suất Pro trong lý thuyết xác suất khi các tập từng cặp không giao nhau: Ai Aj = , i j thì: Vậy độ đo xác suất Pro trong lý thuyết xác suất là một trường hợp đặc biệt của mức tin, ứng với khi dấu bằng xảy ra ở biễu thức (*) trên. Với n=2 tính quá cộng viết thành: A, B P(X) Bl(A B) Bl(A) + Bl(B) – Bl(A B) Từ tính quá cộng của hàm mức tin ta cũng suy được tính đơn điệu của hàm mức tin như tính chất của một độ đo mờ: A, B P(X), A B Bl(A) Bl(B) Tính chất này có thể chứng minh như sau. Xem A B, gọi C = B–A thì có: B = A C và A C = . Bl(B) = Bl(A C) Bl(A) + Bl(C) – Bl(A C) Bl(B) Bl(A) + Bl(C) – Bl( ) Bl(B) Bl(A) + Bl(C) Bl(B) Bl(A) Từ tính quá cộng có thể suy ra một tính chất cơ bản của mức tin là: A P(X) Bl(A) + Bl( A) 1 Tính chất này có thể chứng minh như sau: A A = X 1= Bl(X) = Bl(A A) Bl(A) + Bl( A) – Bl(A A) 1 Bl(A) + Bl( A) – Bl( ) Bl(A) + Bl( A) 1 Từ tính đơn điệu ta suy ra bất đẳng thức cơ bản của một độ đo mờ: Bl(A B) Min [Bl(A), Bl(B)] Bl(A B) Max [Bl(A), Bl(B)] Tính chất này có thể chứng minh như sau: A B A A B Bl(A B) Bl(A) Bl(A B) A B B A B Bl(A B) Bl(B) Bl(A B) Suy ra: Bl(A B) Min [Bl(A), Bl(B)] Bl(A B) Max [Bl(A), Bl(B)] 2- Mức khả tín Mức khả tín Pl của một tập A P(X), Pl(A) không chỉ dựa vào các bằng chứng phần tử thuộc tập A hay các tập con của tập A như ở mức tin, mà còn dựa vào tất cả các bằng chứng phần tử thuộc các tập có giao với tập A. Xem một tập tổng X, mức khả tín Pl là một hàm hay ánh xạ từ tập P(X) lên [0,1]: Pl: P(X) [0, 1] Hàm khả tín thỏa các sau yêu cầu sau: i. Điều kiện biên: Pl ( ) = 0, Pl (X) = 1 ii. Điều kiện thấp cộng tính: iii. Điều kiện liên tục từ dưới khi tập X là vô hạn. Mức khả tín và mức tin là hai hàm đối ngẫu, liên kết với mỗi mức tin Bl là một mức khả tín và ngược lại: Pl(A) = 1 – Bl( A), A P(X) Bl(A) = 1 – Pl( A), A P(X), Với n = 2 tính thấp cộng viết thành: A,B P(X) Pl(A B) Pl(A) + Pl(B) – Pl(A B) Từ tính thấp cộng của mức khả tín ta cũng suy được tính đơn điệu của một độ đo mờ. A, B P(X), A B Bl(A) Bl(B) A B B A Bl( B) Bl( A) Pl(A) = 1– Bl( A) 1– Bl( B) = Pl(B) Từ tính thấp cộng có thể suy ra một tính chất của mức khả tín là: A P(X) Pl(A) + Pl( A) 1 Tính chất này được chứng minh như sau: A P(X) A A = , A A = X Pl(A A) Pl(A) + Pl( A) – Pl(A A) Pl( ) Pl(A) + Pl( A) – Pl(X) 0 Pl(A) + Pl( A) – 1 Pl(A) + Pl( A) 1 Hay chứng minh theo tính chất của hàm mức tin: A P(X) Bl(A) + Bl( A) 1 [1–Pl( A)] + [1–Pl(A)] 1 Pl(A) + Pl( A) 1 Từ tính chất trên ta có thể suy ra quan hệ giữ giữa mức tin và mức khả tín: Pl(A) Bl(A) Tính chất này được chứng minh như sau: Pl(A) + Pl( A) 1 Pl(A) 1– Pl( A) = Bl(A) Hay dựa vào tính chất hàm Bl là: Bl(A) + Bl( A) 1 Pl(A) = 1– Bl( A) Bl(A) Từ tính đơn điệu ta có thể suy ra bất đẳng thức cơ bản: Pl(A B) Min [Pl(A), Pl(B)] Pl(A B) Max [Pl(A), Pl(B)] 3- Tính chất các độ đo bằng chứng Các độ đo bằng chứng có các tính chất sau như ở bảng sau. 4- Mức bằng chứng Mức bằng chứng là một hàm gán cơ bản dùng để tính các độ đo mức tin và mức khả tín một cách thuận tiện. Mức bằng chứng m là hàm hay ánh xạ từ tập P(X) lên tập [0,1]: m: P(X) [0,1] Hàm gán bằng chứng thỏa các điều kiện: m( ) =0 Với mỗi tập A P(X), giá trị m(A) biễu thị mọi bằng chứng một phần tử của X thuộc chỉ tập A, không tính các bằng chứng mà phần tử thuộc các tập con của tập A. Lưu ý rằng hàm bằng chứng cơ bản không phải là một độ đo mờ và có các đặc tính sau: Không cần m(X) = 1 Không cần m(A) m(B) khi A B Không cần quan hệ giữa m(A) và m( A) Với hàm bằng chứng cơ bản m, các độ đo mờ mức tin và mức khả tín có thể được xác định qua các biễu thức sau: Quan hệ của mức tin và mức khả tín một lần nữa được chứng minh: Mọi tập A P(X) với m(A) > 0 được gọi là phần tử tập trung bằng chứng hay tập bằng chứng của hàm tập m. Tập bằng chứng là các tập con của tập tổng X ở đó tập trung các bằng chứng. Khi tập tổng X hữu hạn, hàm m hoàn toàn đặc trưng bởi tập các tập bằng chứng và các giá trị mức bằng chứng tương ứng. Tập các tập bằng chứng F cùng với các giá trị mức bằng chứng tương ứng tạo thành khung bằng chứng được ký hiệu là . Ví dụ: Bé Su bị bịnh nhẹ ở hệ hô hấp có thể là một trong các bịnh viêm đường hô hấp trên (H), Viêm phế quản (P), viêm tiểu phế quản (T). Sau khi khám bịnh, với các bằng chứng có được bác sĩ xây dựng được khung bằng chứng với các tập bằng chứng ES, và mức bằng chứng m tương ứng như bảng sau. Từ khung bằng chứng trên, các mức tin có thể tính được: Dựa vào đặc tính khung bằng chứng có thể chia lý thuyết bằng chứng theo các nhánh sau: Lý thuyết xác suất Lý thuyết khả năng Các lý thuyết này trình bày ở phần sau. d. Lý thuyết xác suất Lý thuyết xác suất là một nhánh của lý thuyết bằng chứng khi khung bằng chứng bao gồm các tập bằng chứng là các tập con đơn phân biệt hay là tập con đơn biệt của tập tổng hay gọi là tập bằng chứng đơn. Xem lại các độ đo mờ Bl và Pl của lý thuyết bằng chứng: Khi hàm bằng chứng m chỉ tập trung trên các tập đơn thì vế phải của hai biễu thức trên bằng nhau nên: Bl(A) = Pl(A) = x A m( x ) Vậy hai độ đo mờ Bl và Pl trùng nhau và mang tính chất cộng tính. Vì hai độ đo mờ Bl và Pl trùng nhau ta gọi chung là độ đo mờ Pro.: Pro(A) = Bl(A) = Pl(A) = x A m( x ) Độ đo mờ Pro chính là độ đo xác suất trong lý thuyết xác suất. Pro(A) là xác suất xuất hiện sự kiện A. Mặt khác, ta xây dựng hàm p: p: X [0,1] Sao cho: p(x) = m( x ) Thì có Pro(A) = x A p(x) Hàm p chính là hàm phân bố xác suất trong lý thuyết xác suất. Là một độ đo mờ nên mức xác suất là hàm tập: Pro: P(X) [0, 1] Thoả điều kiện biên: Pro ( ) = 0 và Pro (X) = 1 (*) Và với tính chất cộng tính: Pro(A) = x A p(x). Ta có thể chứng minh được: A, B P(X), A B = Pro (A B) = Pro (A) + Pro (B) (**) Thấy rằng (*) và (**) là hai tiền đề của lý thuyết xác suất Tóm lại, khi hàm chứng cứ m chỉ tập trung trên các tập đơn biệt, các độ đo mờ mức tin Bl và mức khả tín Pl của lý thuyết bằng chứng sẽ bằng nhau và được gọi là mức xác suất Pro của lý thuyết xác suất. Lý thuyết xác suất đã phát triển ổn định, ta xét một nhánh khác của lý thuyết bằng chứng là lý thuyết khả năng. e. Lý thuyết khả năng Một nhánh khác của lý thuyết bằng chứng là lý thuyết khả năng, khi các bằng chứng mang tính lồng vào nhau. Lý thuyết khả năng xây dựng hai loại độ đo mờ: Hàm nhất thiết - Nec Hàm khả năng - Pos. Hàm nhất thiết Nec và hàm khả năng Pos lần lượt chính là hàm lòng tin Bl và hàm khả tín Pl trong lý thuyết bằng chứng. Lý thuyết khả năng sẽ được trình bày ở phần sau. Tóm lại, các lý thuyết bất định bao gồm lý thuyết tập mờ và lý thuyết độ đo mờ. Một lý thuyết độ đo mờ là lý thuyết bằng chứng, hai nhánh của lý thuyết bằng chứng là lý thuyết xác suất và lý thuyết khả năng. 1.2 Tính toán mềm 1.2.1 Lý thuyết mờ Lý thuyết mờ bao gồm các lý thuyết tập mờ, lý thuyết khả năng. Cũng như lý thuyết xác suất, Lý thuyết mờ được ứng dụng trong hầu hết các chuyên ngành kỹ thuật. Mọi chuyên ngành kỹ thuật, không ít thì nhiều, đều ứng dụng các phương pháp mới dựa trên tập mờ, độ đo mờ. Kỹ thuật điện là lãnh vực kỹ thuật đầu tiên ứng dụng lý thuyết mờ trong các lãnh vực như điều khiển mờ, xử lý ảnh mơ, mạch điện tử dùng logic mờ, người máy… Kể từ những năm đầu thập niên 70, lý thuyết mờ đã được ứng dụng vào kỹ thuật xây dựng, các kỹ sư xây dựng đã dùng lý thuyết tập mờ để giải quyết nhiều vấn đề trong xây dựng. Giữa thập niên 80, số lượng bài báo trong các chuyên ngành của kỹ thuật cơ khí đã ngày một tăng dần. Cũng vào khoảng giữa thập niên 80, kỹ thuật công nghiệp đã ứng dụng lý thuyết mờ vào hầu hết các lĩnh vực kỹ thuật công nghiệp như hệ chuyên gia mờ, dự báo mờ, ra quyết định mờ, quy hoạch tuyến tính mờ, kinh tế kỹ thuật mờ, quản lý vật tư tồn kho mờ, kiểm soát chất lượng mờ, điều độ dự án mờ, nhân tố học mờ… Kỹ thuật máy tính cũng sử dụng lý thuyết mờ trong thiết kế phần cứng sử dụng logic mờ. Kỹ thuật tri thức cũng đã sử dụng lý thuyết mờ trong thu thập và biễu diễn tri thức, trong tương tác người máy. Ngoài ra các chuyên ngành kỹ thuật khác như kỹ thuật hóa học, kỹ thuật hạt nhân, kỹ thuật nông nghiệp… cũng ứng dụng lý thuyết này. Các ứng dụng của Lý thuyết mờ trong công nghiệp đầu tiên ở châu Âu. Năm 1970, ở Anh, Ebrahim Mamdani sử dụng logic mờ điều khiển máy phát chạy bằng hơi nước, mà trước đây không thể điều khiển bằng phương pháp kinh điển được. Ở Đức, Hans Zimmerman bắt đầu sử dụng lý thuyết mờ trong các Hệ thống hỗ trợ ra quyết định. Năm 1980, lý thuyết mờ được ứng dụng nhiều trong phân tích dữ liệu và hỗ trợ ra quýêt định ở châu Âu. Dù châu Âu có những ứng dụng lý thuyết mờ đầu tiên, nhưng người Nhật lại dẫn đầu về thương mại hóa các ứng dụng lý thuyết mờ, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật điều khiển kể từ năm 1980. Năm 1983, công ty Fuji Electric ứng dụng lý thuyết mờ trong nhà máy xử lý nước. Năm 1987, công ty Hitachi ứng dụng lý thuyết mờ trong hệ thống xe điện ngầm. Lý thuyết mờ phát triển mạnh ở Nhật vì lý thuyết này hỗ trợ việc tạo ra các mô hình nguyên mẫu nhanh, dễ dàng tối ưu hóa, hệ thống mờ đơn giản, dễ hiểu. Chính phủ Nhật cũng hỗ trợ các công ty lớn thiết lập các chương trình chuyển giao công nghệ. Một số tổ chức hỗ trợ nghiên cứu ứng dụng lý thuyết mờ lần lượt ra đời. Năm 1985 tổ chức IFSA (International Fuzzy System Association) được thành lập, nối tiếp theo là các tổ chức SOFT (Society for fuzzy theory & systems), BMFSA (Biomedical Fuzzy Systems Association), LIFE (Lab for International Fuzzy Engineering Research), FLSI (Fuzzy Logic Systems Institute). Với các kết quả nghiên cứu ứng dụng, lý thuyết mờ được sử dụng trong mọi lĩnh vực về xử lý số liệu, điều khiển thông minh. Công ty Mitsubishi công bố chiếc xe đầu tiên trên thế giới sử dụng hệ thống điều khiển mờ trong mọi hệ thống điều khiển trong xe. Trong tự động hoá sản xuất, công ty Omron đã công bố bản quyền của nhiều phát minh với ứng dụng logic mờ. Điều khiển mờ cũng đã được sử dụng để tối ưu hoá nhiều quá trình hoá, sinh. Khi nhìn thấy các công ty Nhật tiên phong trong việc sử dụng lý thuyết mờ trong công nghiệp, các công ty ở châu Âu bắt đầu đẩy mạnh việc ứng dụng lý thuyết mờ, cho đến nay có hơn nhiều sản phẩm ứng dụng kỹ thuật này ở châu Âu và một số lượng ứng dụng không đếm được trong kiểm soát quá trình và tự động hóa trong công nghiệp. Gần đây lý thuyết mờ đã được quan tâm ở Mỹ, đặc biệt là các công ty cạnh tranh mạnh với các công ty ở châu Á và châu Âu. Một số lĩnh vực ứng dụng mở ra cho các công ty Mỹ như hệ thống hỗ trợ ra quyết định, bộ điều khiển ổ đĩa cứng máy tính. Lý thuyết mờ khi ra đời trong quá trình phát triển, ngay khi đã có nhiều ứng dụng, cũng có nhiều phê bình chỉ trích. Lotfi Zadeh trả lời các chỉ trích này bằng một nguyên lý mà ông gọi là nguyên lý cái búa “Nếu bạn có một cái búa trong tay, và đó là công cụ duy nhất của bạn, thì mọi thứ đều trông như những cái đinh”. Nguyên lý này được hiểu như sau: Trong thực tế, ta phải giải quyết nhiều vấn đề, mỗi vấn đề có một công cụ phù hợp, cách làm việc khoa học là chọn công cụ phù hợp để giải quyết vấn đề một cách tốt nhất. Nếu sử dụng công cụ có sẳn để giải quyết một vấn đề không phù hợp là không hiệu quả và phản khoa học. 1.2.2 Tính toán mềm Tính toán mềm là kết hợp giữa Lý thuyết mờ, giải thuật di truyền, và mạng thần kinh. Các nghiên cứu gần đây về tính toán mềm là bước phát triển của công nghệ tính toán và mở ra nhiều ứng dụng. Tính toán mềm khác với tính toán cứng truyền thống ở chỗ không như tính toán cứng, tính toán mềm cho phép sự không chính xác, tính bất định, gần đúng, xấp xỉ. Các mô hình tính toán mềm thường dựa vào kinh nghiệm con người, sử dụng dung sai cho phép của sự không chính xác, tính bất định, gần đúng, xấp xỉ để tìm lời giải hiệu quả ở chỗ đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hiện, chi phí thấp. Các ý tưởng cơ bản của tính toán mềm đầu tiên xuất hiện theo các bài báo của Zadeh về lý thuyết tập mờ vào 1965, sau đó là bài báo năm 1973 về phân tích hệ thống phức tạp và quá trình ra quyết định, tiếp theo là bài báo năm 1981 về lý thuyết khả năng và phân tích dữ kiện mềm. Về sau, mạng thần kinh và giải thuật di truyền đã góp phần nâng cao hiệu quả của tính toán mềm. Các ứng dụng thành công của tính toán mềm cho thấy tính toán mềm ngày càng phát triển mạnh và đóng vai trò đặc biệt trong các lĩnh vực khác nhau của Khoa học và Kỹ thuật. Tính toán mềm biễu thị một sự chuyển dịch, biến hóa quan trọng trong các hướng tính tóan. Sự chuyển dịch này phản ảnh sự kiện trí tuệ con người, không như máy tính, có khả năng đáng kể trong việc lưu trữ và xử lý thông tin không chính xác và bất định, và đây mới là những thông tin thực tế và thường gặp. Chương 2 LÝ THUYẾT TẬP MỜ Lý thuyết tập hợp Tập mờ Toán tử tập mờ Xây dựng hàm thành viên Giải mờ Chương này tìm hiểu về lý thuyết tập mờ, tuy nhiên trước khi tìm hiểu về lý thuyết tập mờ, ta xem lại các kiến thức cơ bản về tập hợp nhằm làm cơ sở cho các phần sau. 2.1 Lý thuyết tập hợp 2.1.1 Tập hợp Tập hợp là sự tụ họp của nhiều vật thể, các vật thể này như các học viên của một lớp học, các thành phố của một quốc gia, các con số trong một tập số liệu… được gọi là phần tử của tập hợp. Có ba cách xác định tập hợp là: Liệt kê Luật Hàm thuộc tính. Theo phương pháp liệt kê, một tập hợp A với các phần tử a1, …, an được liệt kê như sau: A = a1,…,an Theo phương pháp định nghĩa theo luật, một tập A với các phần tử x có thuộc tính P được xác định như sau: A = x P(x) Với phương pháp hàm thuộc tính, tập A được xác định theo hàm thuộc tính A là ánh xạ từ tập toàn bộ các phần tử hay là tập tổng X vào tập 0,1 như sau: A: X 0,1 2.1.2 Các khái niệm cơ bản của tập hợp Tập hợp bao gồm các khái niệm cơ bản: Tập tổng Tập rỗng Tập con Tập tập con Cỡ tập hợp Tích Đề các Tập lồi Giới hạn sup A & inf A. Tập tổng X là tập hợp tất cả các phần tử quan tâm ở một ngữ cảnh hay ứng dụng cụ thể từ đó các tập hợp được xây dựng. Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào. Tập A là tập con của tập B khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B: Tập tập con của tập A, ký hiệu (A) là tập tất cả các tập con của A. Cỡ của tập A - ký hiệu A là số phần tử của tập A. Tập tích của hai tập A và B là một tập hợp được ký hiệu và xác định như sau: Tập tích của n tập A được ký hiệu là An có định nghĩa tương tự như trên. Một tập tích thường gặp là tập tích của n tập số thực Rn. Một tập được xem là tập lồi khi một điểm nằm trong đoạn thẳng nối giữa hai điểm nằm trong tập này sẽ thuộc tập này. Xem A là một tập con của tập tích Rn. Xem hai phần tử r và s của A: Một phần tử t nằm trong đoạn thẳng nối giữa hai phần tử r và s có dạng thức: Tập A là tập lồi nếu và chỉ nếu t thuộc tập A. Trong tập số thực R, mọi khoảng đơn các số thực là những tập lồi, tập hợp định bởi các khoảng số thực rời rạc là tập không lồi. Xem A là tập các số thực, giới hạn trên nhỏ nhất của A được ký hiệu là sup A (supremum), là số nhỏ nhất lớn hơn mọi phần tử của A. Giới hạn dưới lớn nhất của A được ký hiệu là inf A (infimum), là số lớn nhất nhỏ hơn mọi phần tử của A. 2.1.3 Toán tử tập hợp Các toán tử tập hợp bao gồm: Toán tử bù Toán tử hội Toán tử giao. Toán tử bù lại chia làm hai loại là toán tử bù tương đối và toán tử bù tuyệt đối. Bù của tập A tương đối theo tập B là tập B-A gồm các phần tử thuộc B và không thuộc A: Khi tập B là tập tổng X thì ta có toán tử bù tuyệt đối, thường được gọi gọn là toán tử bù. Bù của tập A gồm các phần tử không thuộc A, được ký hiệu và xác định như sau: Hội của hai tập A và B là một tập hợp, ký hiệu là A B, bao gồm các phần tử thuộc tập A hay thuộc tập B: A B = x x A hay x B Giao của hai tập A và B là một tập hợp, ký hiệu là A B, bao gồm các phần tử thuộc tập A và tập B được xác định như sau: A B = x x A và x B Các toán tử tập hợp có các tính chất sau: Cuộn xoắn: Giao hoán: A B = B A, A B = B A Kết hợp: A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C Phân bố: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) Đẳng trị: A A = A, A A = A Hấp thụ: A = , A X= X Đồng nhất: A X=A, A = A Mâu thuẫn: A A = Tính bù: A A = X Luật De Morgan: 2.2 Tập mờ 2.2.1 Hàm thành viên tập mờ Hàm đặc tính của tập rõ là hàm lưỡng trị, gán trị 0 hay 1 cho một phần tử trong 1 tập tổng để phân biệt phần tử ấy là thành viên hay không phải thành viên của một tập hợp. Hàm đặc tính có thể được tổng quát hóa sao cho giá trị gán cho mỗi phần tử của tập tổng nằm trong một khoảng định trước, thường chọn là khoảng [0,1], giá trị này chỉ mức độ thành viên của phần tử lên tập hợp. Giá trị càng lớn chỉ mức độ thành viên càng cao. Khi giá trị gán đi từ 0 đến 1, phần tử chuyển từ không phải thành viên đến là thành viên của tập hợp. Hàm đặc tính như trên được gọi là hàm thành viên và tập trên được gọi là tập mờ. Hàm thành viên của một tập mờ A trên tập tổng X được ký hiệu là A là ánh xạ từ X lên tập khoảng đơn vị: A: X [0,1] Với A(x) là mức độ thành viên của phần tử x của tập X lên tập mờ A. Như vậy một tập tổng X có chứa các tập rõ và các tập mờ. Các tập rõ là các tập có đường biên rõ, trong khi các tập mờ có đường biên mờ như hình sau. Các tập rõ của tập tổng X là các tập con của tập tập rõ của X, là (X). Các tập mờ của tập tổng X là các tập con của tập tập mờ của X mà ta gọi là tập (X). Ví dụ: Xem X là tập số thực R. Xem tập mờ F là tập các số thực gần bằng r R: F = x x r, x R Hàm thành viên F(x) có thể xây dựng theo các yêu cầu sau: F(r) = 1, F(x) < 1, x r Fđối xứng qua trục x = r: F(2 + x) = F(2 - x), x R Fđơn điệu giảm khi khoảng 2-xtăng. Có nhiều hàm thỏa các điều kiện trên, trong đó có hàm tuyến tính F(x): Trong đó p là tham số, p càng tăng thì bề rộng đồ thị hàm càng hẹp. Ví dụ: Xem một tập trình độ X với các phần tử sau: 0- thất học, 1- tốt nghiệp tiểu học, 2- tốt nghiệp trung học, 3- tốt nghiệp cao đẳng, 4- tốt nghiệp đại học, 5- tốt nghiệp thạc sĩ, 6- tốt nghiệp tiến sĩ. X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tập tổng X ở đây là tập hữu hạn. Xem một biến ngôn ngữ học vấn với các giá trị là các tập mờ học vấn cao (A), học vấn trung bình (B), học vấn thấp (C) trên tập trình độ X. Mức độ thành viên của các trình độ lên các tập mờ học vấn có thể được xây dựng như ở bảng sau: Việc chọn lựa hàm thành viên tùy thuộc ngữ cảnh, đây là vấn đề phức tạp và sẽ được phân tích ở phần sau. 2.2.2 Các khái niệm và thuật ngữ cơ bản của tập mờ Các khái niệm và thuật ngữ cơ bản của tập mờ bao gồm tập cắt, tập mức, biên giới tập mờ, lõi tập mờ, độ cao tập mờ, tập mờ lồi, cỡ tập mờ, mức tập con, khoảng cách Hamding, độ mờ. a. Tập cắt Xem một tập mờ F trên tập tổng X, với [0, 1], tập cắt của tập mờ F là tập rõ F gồm các phần tử của X có mức thành viên lên F lớn hơn hay bằng : F = x F(x) Tập cắt F sẽ được gọi là tập cắt mạnh của tập mờ F là tập rõ, ký hiệu F + khi thay dấu bởi dấu > trong định nghĩa tập cắt: F + = x F(x) > b. Cận của tập cắt Tập cắt F của tập mờ F là một tập rõ với hai cận là cận dưới LF và cận trên UF : F = [LF , UF ] = x F(x) LF = inf F = Min x F(x) UF = sup F = Max x F(x) c. Tập mức Tập mức (F) của tập mờ F là tập mọi mức [0, 1] biểu diễn các nhát cắt của tập F: (F) = F(x) = , x X d. Biên giới tập mờ Biên giới tập mờ F, supp(F), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức thành viên lên F lớn hơn 0, đây cũng chính là tập cắt F0+: supp(F) = F0+ = x F(x) >0 e. Lõi tập mờ Lõi tập mờ F, core(F), là tập rõ gồm các phần tử của X có mức thành viên lên F bằng 1, đây cũng chính là tập cắt F1: Core(F) = F1 = x F(x) =1 f. Độ cao tập mờ Độ cao tập mờ F, ký hiệu h(F) là mức thành viên cao nhất của các phần tử của tập F: h(F) = sup{ F(x), x X} Tập mờ với độ cao bằng 1 là tập mờ chuẩn: h(F) =1 g. Cỡ tập mờ Cỡ tập mờ F, ký hiệu F , định bởi: Cỡ tập mờ đếm số phần tử trong tập với trọng số là mức độ thành viên của phần tử. h. Tập mờ lồi Khi X là tập số thực R, tập F trên X được gọi là tập mờ lồi nếu và chỉ nếu hàm thành viên F(x) thỏa điều kiện sau: F( x1 + (1 - ) x2 ) min [ F(x1), F(x2) ], x1, x2 R, [0,1] Biểu thức trên có nghĩa là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường cong thành viên luôn nằm dưới đoạn cong của đường cong thành viên nối giữa hai điểm này. Mặt khác, tập mờ F được gọi là tập mờ lồi khi mọi tập cắt của F là những tập rõ lồi. i. Mức tập con Xem hai tập mờ A và B, mức tập con của tập A trong tập B, ký hiệu S(A,B) định bởi công thức sau: S(A,B) = A B / A j. Khoảng cách Hamding Khoảng cách Hamding giữa hai tập mờ A và B trên tập tổng X, ký hiệu d(A,B), nếu tập tổng X rời rạc, khoảng các Hamding xác định bởi: Nếu tập tổng X liên tục, khoảng cách Hamding xác định bởi: k. Độ mờ Độ mờ của một tập mờ F, ký hiệu là dof(F) được xác định theo Kaufmann (1975) là khoảng cách Hamding giữa tập mờ F và tập rõ Fc gần với tập mờ F nhất: dof(F) = d(F, Fc) Hàm thành viên của Fc định bởi: 2.2.3 Biểu diễn tập mờ Tập mờ F trên X là tập các phần tử x X với mức thành viên lên F tương ứng. Có ba phương pháp biểu diễn tập mờ bao gồm: Phương pháp ký hiệu Phương pháp đồ thị Phương pháp tổng hợp. a. Phương pháp ký hiệu Phương pháp ký hiệu liệt kê các phần tử và mức thành viên tương ứng theo ký hiệu. Với tập X hữu hạn ta thường dùng ký hiệu sau: Ví dụ: Xem một tập trình độ X với các trình độ thất học (0), tốt nghiệp tiểu học (1), tốt nghiệp trung học (2), tốt nghiệp cao đẳng (3), tốt nghiệp đại học (4), tốt nghiệp thạc sĩ (5), tốt nghiệp tiến sĩ (6): X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tập mờ học vấn cao (A) có thể biểu diễn: A = 0/0 + 0/1 + 0/2 + 0,1/3 + 0,5/4 + 0,8/5 + 1/6 Tập mờ học vấn trung bình (B) có thể biểu diễn: B = 0/0 + 0/1 + 0,2/2 + 0,6/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 Tập mờ học vấn thấp (C) có thể biểu diễn: C = 1/0 + 0,8/1 + 0,5/2 + 0/3 + 0/4 + 0/5 + 0/6 Với tập X vô hạn ta thường dùng ký hiệu sau: b. Phương pháp đồ thị Phương pháp đồ thị vẽ hàm thành viên F(x) là quan hệ giữa mức thành viên và giá trị phần tử. Một đồ thị hàm thành viên như ở hình sau: c. Phương pháp tổng hợp Xem các tập cắt F (x) của tập mờ F trên X, phương pháp tổng hợp tổng hợp các tập cắt F (x) thành tập mờ F với hàm thành viên theo công thức sau: 2.3 Toán tử tập mờ Các loại toán tử tập mờ thường dùng bao gồm: Toán tử bù Toán tử giao Toán tử hợp Toán tử tích hợp. Các toán tử trên được xây dựng qua các hàm tương ứng. Để ý rằng, không chỉ hàm thành viên của tập mờ mà các toán tử tập mờ cũng phụ thuộc vào ngữ cảnh. 2.3.1 Toán tử bù mờ Xem một tập mờ A trên tập X, tập mờ bù của A là tập mờ A. Khi biết mức độ thành viên của một phần tử x lên A, làm sao suy được mức độ không là thành viên của phần tử x lên A hay mức độ thành viên của phần tử x lên A hay làm sao suy được hàm thành viên của A từ hàm thành viên của A. Theo phép bù chuẩn, ta suy ra như sau: A(x) = 1 – A(x), x X Một cách tổng quát để tìm hàm thành viên của A ta dùng hàm bù c: c: [0,1] [0,1] Từ phép bù kinh điển, hàm bù thỏa các tiền đề: 1- Điều kiện biên: c(0) = 1, c(1) = 0 2- Đơn điệu: a b c(a) c(b), a,b [0,1] 3- Hàm liên tục 4- Cuộn xoắn: c(c(a)) = a, a [0,1] Khi đã xây dựng hàm bù c: A(x) = c( A(x)) Hàm bù thường dùng là hàm bù chuẩn: cs(a) = 1 – a Một số hàm bù khác như sau: Hàm ngưỡng: Hàm bù Cosin: C(a) = (1 + cos a)/2 Hàm bù Sugeno: 2.3.2 Toán tử giao mờ Xem các tập mờ A và B trên tập tổng X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu A B. Khi biết mức độ thành viên của một phần tử x lên A cũng như B, làm sao suy được mức độ thành viên của phần tử x lên tập giao C=A B. Nói cách khác, làm sao suy được hàm thành viên C(x) từ các hàm thành viên A(x) và B(x). Theo phép giao chuẩn ta suy C(x) từ các hàm thành viên A(x) và B(x) như sau: C(x) = min [ A(x), B (x) ], x X Một cách tổng quát để tìm C(x) từ A(x) và B(x), ta dùng hàm giao i là hàm hai ngôi trên tập cơ sở là khoảng đơn vị: i: [0,1] [0,1] [0,1] Hàm thành viên của tập giao C(x) có thể suy từ các hàm thành viên A(x) và B(x) từ hàm giao i: C(x) = i ( A(x), B(x)) Hàm giao i thỏa các tiền đề của một hàm giao kinh điển. Với a,b,c [0,1] các tiền đề như sau: 1- Điều kiện biên: i(a,1) = a 2- Đơn điệu: b c i(a,b) i(a,c) 3- Giao hoán: i(a,b) = i(b,a) 4- Kết hợp:i(a,i(b,c)) = i(i(a,b),c) 5- Liên tục: Hàm i liên tục 6- Thấp đẳng trị: i(a,a) < a 7- Đơn điệu chặt: a < b, c < d i(a,c) < i(b,d) Hàm giao thường dùng là hàm giao chuẩn: is(a,b) = min(a,b) Một số hàm giao khác: Hàm giao tích đại số: i(a,b) = ab Hàm Bounded difference: i(a,b) = max(0,a+b-1) Hàm Drastic intersection: 2.3.3 Toán tử hội mờ Xem các tập mờ A và B trên tập tổng X, hội của A và B cũng là một tập mờ gọi là tập mờ hội ký hiệu là A B. Khi biết mức độ thành viên của một phần tử x lên A cũng như B, làm sao suy được mức độ thành viên của phần tử x lên tập mờ hội C = A B. Nói cách khác làm sao suy được hàm thành viên C(x) từ các hàm thành viên A(x) và B(x). Theo phép hội chuẩn ta suy C(x) từ các hàm thành viên A(x) và B(x) như sau: C(x) = max [ A(x), B (x) ], x X Một cách tổng quát để tìm C(x) từ A(x) và B(x), ta dùng hàm hội u là hàm hai ngôi trên tập cơ sở là khoảng đơn vị: u: [0,1] [0,1] [0,1] Hàm thành viên C(x) có thể suy từ các hàm A(x) và B(x) từ hàm hội u như sau: C(x) = u( A(x), B(x) ) Hàm hội u thỏa các tiền đề của một hàm hội kinh điển. Với a,b,c [0,1] các tiền đề như sau: 1- Biên: u(a,0) = a 2- Đơn điệu: b c u(a,b) u(a,c) 3- Giao hoán: u(a,b) = u(b,a) 4- Kết hợp: u(a,u(b,c)) = u(u(a,b),c) 5- Liên tục: Hàm i liên tục 6- Quá đẳng trị: u(a,a) > a 7- Đơn điệu chặt: a < b, c < d u(a,c) < u(b,d) Hàm hội thường dùng là hàm hội chuẩn: us(a,b) = max(a,b) Một số hàm hội khác: Hàm hội tổng: u(a,b) = min(1, a+b) Hàm hội đại số: u(a,b) = a+b-ab 2.3.4 Bộ ba đối ngẫu Xem một bộ ba hàm tập mờ i, u, c, bộ ba này được gọi là bộ ba đối ngẫu, ký hiệu là khi và chỉ khi thỏa các luật De Morgan sau: c(i(a, b)) = u(c(a), c(b)) c(u(a, b)) = i(c(a), c(b)) Một vài ví dụ của bộ 3 đối ngẫu như sau: 2.3.5 Tính chất toán tử tập mờ Như các toán tử trên tập rõ, các toán tử trên tập mờ cũng có một số tính chất. Xem các tập mờ A, B, C trên tập tổng X. Các toán tử tập mờ thỏa các tính chất sau: Giao hoán: A B = B A, A B = B A Kết hợp: A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C Phân bố: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) Đẳng trị: A A = A, A A = A Đồng nhất: A X=A, A = A Hấp thụ: A = , A X= X Bắc cầu: A B, B C A C Cuộn xoắn: Để ý rằng một số tính chất của các toán tử tập rõ sẽ không là tính chất của các toán tử tập mờ. 2.3.6 Toán tử tích hợp Toán tử tích hợp nhằm tích hợp nhiều tập mờ thành một tập mờ duy nhất. Một ví dụ là việc đánh giá kết quả một học sinh ở một học kỳ, mỗi học kỳ một học sinh học nhiều môn, mỗi môn được đánh giá bởi một điểm số, điểm số này có thể được mờ hóa bởi các tập mờ như giỏi, khá, trung bình, yếu, kém. Một toán tử tích hợp sẽ tích hợp các tập mờ của mỗi môn để có được tập mờ đơn cho đánh giá trung bình cả học kỳ của sinh viên này. Toán tử tích hợp cho n tập mờ định bởi hàm h sau: h: [0,1]n [0,1] Khi tích hợp n tập mờ A1, A2, …, Antrên tập tổng X bởi hàm tích hợp h, ta được tập mờ tích hợp A trên X với hàm thành viên định bởi: A(x) = h( A1(x), A2(x), …, An(x) ), x X Hàm tích hợp h thỏa các tiền đề sau: 1- Biên: h(0,0, …,0) = 0, h(1,1, …,1) = 1 2- Tăng đơn điệu: 0 ai bi 1, i Nn h(a1, a2,…,an) h(b1, b2,…,bn) 3- Liên tục: h là hàm liên tục 4- Đối xứng: h là hàm đối xứng với mọi biến số 5- Đẳng trị: h(a,a, …,a) = a, 0 a 1 Có thể chứng minh các hàm tích hợp h thỏa các tiền đề 2 và 5 cũng sẽ thỏa bất đẳng thức quan trọng sau: Min (a1, a2, …, an) h (a1, a2, …, an) Max (a1, a2, …, an), 0 a1, a2, …, an 1 Lớp hàm tích hợp thỏa bất đẳng thức trên là lớp hàm duy nhất thỏa tiền đề 5 và thường được gọi là hàm trung bình. Hàm trung bình tổng quát có dạng thức sau, với R, 0: Khi tiến đến 0, ta có hàm trung bình hình học: Khi tiến đến âm vô cùng, ta có hàm chận dưới: Khi tiến đến dương vô cùng, ta có hàm chận trên: Khi = -1, ta có hàm trung bình điều hòa: Khi = 1, ta có hàm trung bình số học: Một lớp hàm tích hợp khác cũng có giới hạn từ hàm chận dưới và hàm chận trên là hàm trung bình trọng số hw: 2.4 Xây dựng hàm thành viên Các khái niệm ngôn ngữ không chỉ mơ hồ mà còn phụ thuộc ngữ cảnh. Không chỉ biến ngôn ngữ hay tập mờ mà liên kết ngôn ngữ hay toán tử tập mờ cũng phụ thuộc ngữ cảnh. Khi nói nhiệt độ cao ở ngữ cảnh đo thân nhiệt, sẽ khác trong trường hợp điều khiển nhiệt độ trong một quá trình sản xuất lại càng khác trong trường hợp điều khiển nhiệt độ lò phản ứng hạt nhân. Cả tập mờ và toán tử tập mờ đều đặc trưng bởi các hàm từ tập tổng X lên khoảng đơn vị [0,1]. Cả tập mờ và toán tử tập mờ đều dùng để xấp xỉ ngữ nghĩa của các khái niệm ngôn ngữ trong một ngữ cảnh xác định. Việc xây dựng hàm thành viên tập mờ và việc xây dựng hàm toán tử tập mờ là phụ thuộc vào ngữ cảnh và tương tự như nhau. Phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ cũng có thể dùng để xây dựng hàm toán tử tập mờ. Có nhiều phương pháp xây dựng hàm thành viên tập mờ: Phương pháp trực quan Phương pháp suy diễn Phương pháp chuyên gia Phương pháp mạng Neuron Phương pháp giải thuật di truyền. Các phương pháp dùng mạng neuron, giải thuật di truyền sẽ được trình bày ở một tài liệu khác. Chương này xét các phương pháp trực quan, suy diễn, chuyên gia. 2.4.1 Phương pháp trực quan Phương pháp trực quan dựa vào kiến thức và trực quan với ngữ cảnh đã cho để xây dựng hàm thành viên. Ví dụ như xem nhiệt độ của 1 đối tượng là từ 00C đến 800C, dựa vào trực quan và kiến thức, ta có thể xây dựng bốn tập mờ lạnh L, mát M, ấm A, nóng N như ở hình sau: 2.4.2 Phương pháp suy diễn Phương pháp suy diễn dựa vào kiến thức để suy diễn hàm cho tập mờ ở một ngữ cảnh xác định. Ví dụ sau minh họa phương pháp. Ví dụ: Một tam giác T có thể xác định bởi ba góc A, B, C thỏa các điều kiện A + B + C = 1800, A B C 0 Gọi I là tập các tam giác gần cân, hàm thành viên của I có thể được suy diễn như sau: I(T) = 1-[min(A-B, B-C)]/600 Với các tam giác cân có A = B hay B = C thì mức thành viên bằng 1. Với các tam giác có A = 1800, B = 600, C = 00thì mức thành viên bằng 0. Gọi R là tập các tam giác gần vuông, hàm thành viên của R có thể được suy diễn như sau: R(T) = 1 – A-900/ 900 Với các tam giác vuông có A = 900thì mức thành viên bằng 1. Tam giác có góc lớn nhất A càng khác 900thì mức thành viên bằng càng giảm. Gọi IR là tập các tam giác gần vuông cân, hàm thành viên của IR có thể được suy diễn như sau: IR = I R IR(T) = min [ I(T), R(T)] Gọi E là tập các tam giác gần đều, hàm thành viên của E có thể được suy diễn như sau: E(T) = 1 – (A-C)/1800 Với các tam giác đều A = C = 600thì mức thành viên bằng 1. Tam giác càng lệch khỏi tam giác đều thì A-C càng lớn và mức thành viên càng giảm. Gọi O là tập các tam giác khác với các loại tam giác gần cân, gần vuông, gần đều, hàm thành viên của O có thể được suy diễn như sau: O = I R E O(T) = min [1- I(T), 1- R(T), 1- E(T)] Xem tam giác T(A = 850, B = 500, C = 450), T có các mức thành viên tính được như sau: I(T) = 1 - [min(A-B, B-C)]/600 = 0.91 R(T) = 1 - A-900/ 900 = 0.94 IR(T) = min [ I(T), R(T)] = 0.91 E(T) = 1 - (A-C) / 1800 = 0.70 O(T) = min [1- I(T), 1-R(T), 1- E(T)] = 0.05 Vậy T là tam giác gần vuông nhất, T cũng hơi cân, khó có thể xem T là tam giác đều, càng không thể xem T khác ba loại cân, vuông, đều. 2.4.3 Phương pháp chuyên gia Hàm thành viên tập mờ được xây dựng dựa vào chuyên gia am tường ngữ cảnh của vấn đề quan tâm. Phương pháp chuyên gia gồm hai bước: 1- Thu thập kiến thức từ chuyên gia qua các mệnh đề ngôn ngữ 2- Xây dựng hàm từ việc xử lý các mệnh đề ngôn ngữ. Phương pháp chuyên gia còn chia hai loại trực tiếp và gián tiếp. Trong loại trực tiếp, các chuyên gia trả lời các câu hỏi trực tiếp xây dựng hàm. Trong loại gián tiếp, các chuyên gia trả lời các câu hỏi đơn giản hơn, kết quả được xử lý thêm để xây dựng hàm. a. Phương pháp trực tiếp với một chuyên gia Trong phương pháp này, một chuyên gia sẽ được hỏi để xây dựng hàm. Xem A là tập mờ trên tập X cần được xây dựng hàm thành viên. Chuyên gia sẽ được giao gán mức độ thành viên A(x) cho từng phần tử x trên tập tổng X. Một số câu hỏi thường dùng như: Mức độ thành viên của x lên tập A là bao nhiêu? Mức độ tương thích của x lên tập A ở ngữ cảnh đã cho là bao nhiêu? Phần tử x nào có mức độ thành viên A(x) lên tập A ? Sau khi có được tập các phần tử x cùng các giá trị thành viên tương ứng, ta xây dựng đường cong hàm thành viên bằng các phương pháp thích hợp. b. Phương pháp trực tiếp với nhiều chuyên gia Phương pháp này có n chuyên gia được hỏi để gán hàm. Gọi ai(x), i = 1 n là ý kiến của chuyên gia i về mức thành viên của x lên tập A. Mức thành viên tổng hợp của n chuyên gia có thể dùng công thức sau: Hay là trung bình có trọng số các ý kiến, với ci là trọng lượng của chuyên gia i: c. Phương pháp chuyên gia gián tiếp Phương pháp trực tiếp mang tính chủ quan, tùy tiện, nhất là khi gán hàm với các khái niệm phức tạp như đẹp, thông minh, sáng tạo... Để giảm nhược điểm này, phương pháp gián tiếp được dùng. Trong phương pháp gián tiếp, chuyên gia sẽ được hỏi dễ hơn qua việc so sánh mức độ thành viên của từng cặp phần tử trên tập X. Giả sử tập X có n phần tử, gọi mức độ thành viên của xi, i=1 n là i. Khi chuyên gia so sánh mức độ thành viên của từng cặp phần tử trên tập X, ta được kết quả là ma trận so sánh P: P = pij , i,j = 1 n trong đó pij là kết quả so sánh mức độ thành viên của xi và xj lên tập A: pij = i/ j. Từ đó ta thấy ma trận so sánh P có tính nhất quán khi thỏa các tính chất sau: pik = pij* pjk, pii = 1, pij = 1/ pji. Khi đã có ma trận so sánh, các giá trị thành viên tính được như sau: 2.5 Giải mờ Kết quả của một quá trình phân tích mờ thường là một tập mờ, trong một số trường hợp ta cần tìm một giá trị rõ đại diện cho tập mờ này. Giải mờ là chuyển đổi một đại lượng mờ thành một đại lượng rõ. 2.5.1 Phương pháp giải mờ Có nhiều phương pháp giải mờ: Phương pháp nguyên lý hàm thành viên cực đại Phương pháp cận dưới hay cận trên hàm thành viên cực đại Phương pháp trung bình hàm thành viên cực đại Phương pháp trọng tâm Phương pháp trung bình trọng số Phương pháp trung bình trọng số theo tâm Phương pháp trọng tâm vùng lớn nhất. a. Phương pháp hàm thành viên cực đại Gọi F là tập mờ trên tập tổng X cần được giải mờ với hàm thành viên F(x). Gọi x* là giá trị rõ tương ứng sau khi giải mờ. Phương pháp hàm thành viên cực đại chọn x* là giá trị x có giá trị thành viên cực đại. x*: F(x*) F(x), x X Hay là: x*: F(x*) = h(F) b. Phương pháp cận dưới hay cận trên hàm thành viên cực đại Đôi khi F(x) cực đại trên một khoảng, mà ta gọi là khoảng M: M = x X F(x) = h(F) Phương pháp này chọn x* là cận dưới hay cận trên của khoảng có giá trị thành viên cực đại này. x* = inf M hay, x* = sup M c. Trung bình hàm thành viên cực đại Thay vì chọn cận dưới hay cận trên của khoảng có giá trị thành viên cực đại, phương pháp này chọn điểm giữa khoảng có giá trị thành viên cực đại. M = x X F(x) = h(F) x* = (inf M + sup M) / 2 d. Phương pháp trọng tâm Phương pháp trọng tâm chọn giá trị đại diện x* là hoành độ điểm trọng tâm của vùng bao bởi F(x), định bởi công thức sau: e. Phương pháp trung bình trọng số Tập F thường hợp thành bởi n tập thành phần, Fk, k=1 n. Hàm F hợp thành bởi n hàm thành viên thành phần, Fk, k=1 n, khi các hàm Fk (x) có dạng đối xứng. Gọi xk là giá trị trung bình hàm thành viên cực đại của Fk: Mk = x X Fk(x) = h(Fk) xk = (inf Mk + sup Mk) / 2 Giá trị giải mờ x* là trung bình có trọng số của các giá trị xk, trọng lượng của xk là giá trị thành viên của xk lên tập Fk, Fk(xk): f. Phương pháp trung bình trọng số theo tâm Phương pháp này tương tự phương pháp trung bình trọng số, điểm khác biệt là trọng lượng của xk là diện tích của vùng định bởi Fk(x): g. Phương pháp trọng tâm vùng lớn nhất Phương pháp này dùng khi F(x) có dạng gồm nhiều tập lồi riêng biệt, gọi Fm(x) là hàm tương ứng vùng lồi lớn nhất, kết quả giải mờ là trọng tâm vùng này: 2.5.2 Tiêu chuẩn chọn lựa phương pháp giải mờ Có nhiều phương pháp giải mờ, chọn phương pháp nào phụ thuộc ngữ cảnh hay vấn đề đang khảo sát. Hellen Doorn & Thomas (1993) đã đưa ra năm tiêu chuẩn chọn lựac phương pháp giải mờ bao gồm: Liên tục Duy nhất Đại diện Đơn giản Trọng lượng thành phần. Tiêu chuẩn liên tục yêu cầu một thay đổi nhỏ ở đầu vào không gây biến thiên lớn ở đầu ra. Tiêu chuẩn duy nhất yêu cầu kết quả giải mờ là đơn nhất. Tiêu chuẩn đại diện yêu cầu giá trị giải mờ ở giữa vùng có giá trị thành viên cao nhất. Tiêu chuẩn đơn giản yêu cầu tính toán đơn giản, ít tốn thời gian. Tiêu chuẩn trọng lượng thành phần yêu cầu mỗi tập mờ thành viên sẽ được tính đến với một trọng lượng tương ứng. Chương 3 QUAN HỆ MỜ Quan hệ Quan hệ mờ Liên kết mờ Hợp thành mờ Nguyên lý mở rộng Chuyển đổi mờ 3.1 Quan hệ 3.1.1 Quan hệ a. Quan hệ Quan hệ biểu thị sự có hay không liên kết hay tương tác giữa các phần tử của hai hay nhiều tập hợp. Xem hai tập tổng X và Y, quan hệ R trên hai tập này là ánh xạ từ tập tích Đề các X Y lên tập nhị phân 0,1 : R: X Y 0,1 Mỗi cặp là một phần tử của X Y có một giá trị quan hệ, giá trị quan hệ là 1 khi có quan hệ, là 0 khi không có quan hệ. Quan hệ R là một tập hợp, khi một phần tử x của X có quan hệ với phần tử y của tập Y, ta nói phần tử của tập X Y thuộc quan hệ R. Khi một phần tử x của X không có quan hệ với phần tử y của tập Y, ta nói phần tử của tập X Y không thuộc quan hệ R. Ví dụ: Xem X là tập ba loại tiền bảng - P, franc - F, mác - M X = P, F, M Xem Y là tập 3 quốc gia Pháp – FR, Đức – GR, Anh – BR X = P, F, M Quan hệ quốc gia - tiền tệ có thể được thiết lập như ở bảng liệt kê sau. b. Biểu diễn quan hệ Để biểu diễn quan hệ, ngoài cách dùng bảng liệt kê ở trên còn có những công cụ sau: Hàm đặc tính Ma trận quan hệ Biểu đồ Sagittal Hàm quan hệ. Hàm đặc tính Rcủa quan hệ R là giá trị quan hệ, hàm gán trị 1 cho các phần tử thuộc quan hệ R và gán trị 0 cho các phần tử không thuộc quan hệ R. Ma trận quan hệ là ma trận R = [rxy] với số hàng bằng số phần tử X, số cột bằng số phần tử Y, cỡ ma trận quan hệ: R = X Y Một phần tử ở hàng x cột y của ma trận rxy có giá trị là giá trị quan hệ của : rxy = R(x,y) Ví dụ: Xem tập X = 1,2,3 và tập Y = a,b,c . Một ma trận quan hệ giữa các phần tử tập X và các phần tử tập Y như sau: Từ ma trận quan hệ ta thấy các phần tử sau thuộc tập quan hệ R: <1,a>, <1,c>, <2,b>, <3,c> Các phần tử sau không thuộc tập quan hệ R: <1,b>, <2,a>, <2,c>, <3,a>, <3,b> Biểu đồ Sagittal biểu thị quan hệ giữa các phần tử bởi đồ hình trong đó gạch nối giữa các phần tử có quan hệ. Một biểu đồ Sagittal cho quan hệ ở ví dụ trên như ở hình sau. Hàm quan hệ biểu diễn quan hệ dưới dạng hàm. Một ví dụ như hàm quan hệ sau: R = y 2x, x X, y Y Quan hệ trên có thể biểu diễn theo hàm đặc tính như sau: c. Toán tử quan hệ Quan hệ là tập hợp nên các toán tử quan hệ cũng là các toán tử tập hợp như hội, giao, bù. Xem R và S là hai quan hệ trên tập X và Y: R: X Y 0,1 S: X Y 0,1 Hội của hai quan hệ R và S là quan hệ R S có hàm đặc tính Giao của hai quan hệ R và S là quan hệ R S có hàm đặc tính: Bù của quan hệ R là quan hệ R có hàm đặc tính: Khi R thuộc S thì: Như toán tử tập hợp, toán tử quan hệ có các tính chất giao hoán, kết hợp, phân bố, cuộn xoắn, đẳng trị, và theo luật De Morgan. 3.1.2 Liên kết Liên kết xét quan hệ giữa nhiều tập hợp qua liên kết các quan hệ thành phần. Cho ba tập X, Y, Z. Xem quan hệ P trên tập X Y, quan hệ Q trên tập Y Z: J: X Y Z 0,1 J = P*Q = P Q Liên kết J của P và Q, ký hiệu P*Q là quan hệ trên tập tích X Y Z định bởi các quan hệ thành phần P và Q: J: X Y Z 0,1 J = P*Q = P Q Hàm thuộc tính của liên kết J = P*Q định bởi các hàm thuộc tính của các quan hệ P và Q qua luật liên kết cực tiểu: J(x,y,z) = Min [ P(x,y) , Q(y,z) ] Hay qua luật liên kết tích: J(x,y,z) = P(x,y) Q(y,z) Để ý rằng hàm đặc tính là hàm lưỡng trị, luật liên kết tích cho cùng kết quả với luật liên kết cực tiểu. Ví dụ: Xem tập ngôn ngữ X với các ngôn ngữ tiếng Anh (TA), tiếng Pháp (TP): X = TA, TP Xem tập quốc gia Y với các quốc gia Anh (A), Pháp (P): Y = A, P Xem tập tiền tệ Z với các đồng tiền Bảng Anh (BA), Mác Đức (MĐ): X = BA, MĐ Quan hệ ngôn ngữ - quốc gia P trên tập X Y. Quan hệ quốc gia - tiền tê Q trên tập Y Z: Từ đó xác định liên kết ngôn ngữ – quốc gia – tiền tệ Q trên tập X Y Z qua luật liên kết cực tiểu MIN và luật liên kết tích PROD: Ta thấy hai luật cho cùng kết quả. Liên kết J = P*Q có thể xem là 1 tập hợp với chỉ 1 phần tử: S = Các phần tử còn lại của tập X Y Z như , … , không thuộc tập S. Ví dụ: Xem X = 1, 2, 3, 4 , Y = a,b,c , Z = , . Xem các quan hệ P, Q: P: X Y 0,1 Q: Y Z 0,1 Biểu đồ Sagittal của các quan hệ này như ở hình sau: Liên kết J = P*Q trên tập X Y Z tính được như sau: J = <1,a, >,<1,a, >,<1,b, >,<2,a, >,<2,a, >,<3,b, >,<3,c, >,<4,b, >, <4,c, > 3.1.3 Hợp thành Hợp thành tìm quan hệ giữa hai tập hợp khi biết quan hệ giữa hai tập này và một tập thứ ba, gọi là tập trung gian, qua việc hợp thành các quan hệ thành phần là các quan hệ giữa các tập quan tâm và tập trung gian. Hợp thành dựa vào liên kết giữa ba tập. Xem P là quan hệ trên tập X và Y. P: X Y 0,1 Xem Q là quan hệ trên tập Y và Z. Q: Y Z 0,1 Hợp thành hai quan hệ P và Q là quan hệ R với ký hiệu R = P Q, R là quan hệ trên tập X và Z. R: X Z 0,1 Xét một phần tử (x,z) của tập X Z, mỗi phần tử y của Y có thể có quan hệ với x qua quan hệ P, và y có thể có quan hệ với z qua quan hệ Q. Nếu có ít nhất một phần tử y thuộc Y có đồng thời quan hệ với các x và z thì ta nói có quan hệ giữa x và z hay (x,z) thuộc quan hệ R. Dựa vào liên kết J = P*Q đã xây dựng ở trên, ta xây dựng quan hệ hợp thành R như sau: R(x,z) = Max J(x,y,z) y Y Với luật liên kết cực tiểu ta có luật hợp thành cực đại- cực tiểu: R(x,z) = Max J(x,y,z) y Y = Max Min [ P(x,y) , Q(y,z) ] y Y Với luật liên kết tích ta có luật hợp thành cực đại- tích: R(x,z) = Max J(x,y,z) y Y = Max P(x,y) Q(y,z) y Y Vậy quan hệ hợp thành R có thể xác định từ các quan hệ thành phần P và Q theo các luật hợp thành khác nhau như luật hợp thành cực đại-cực tiểu hay luật cực đại-tích, tuy nhiên với hàm đặc tính nhị phân lưỡng trị kết quả hợp thành là như nhau. Ví dụ: Xem X = 1, 2, 3, 4 , Y = a,b,c , Z = , . Xem các quan hệ P, Q: P: X Y 0,1 Q: Y Z 0,1 Biểu đồ Sagittal của các quan hệ P và Q như ở hình sau: Quan hệ hợp thành R = P Q trên X Y tính được như sau: R(x,z) = <1, >,<1, >,<2, >,<2, >,<3, >,<4, > 3.2 Quan hệ mờ 3.2.1 Quan hệ mờ Cũng như hàm đặc tính của tập rõ, có thể tổng quát hóa thành hàm thành viên của tập mờ, hàm đặc tính của quan hệ rõ nêu ở phần trước có thể tổng quát hóa thành hàm thành viên của quan hệ mờ. Hàm thành viên của quan hệ mờ nói lên mức độ thành viên của các cặp phần tử lên quan hệ hay mức độ quan hệ giữa các phần tử của các tập hợp. Quan hệ mờ R trên các tập X và Y là một tập mờ xác định trên tập tích của các tập tổng X Y. Các phần tử (x,y) của tập tích X Y có các mức độ thành viên lên quan hệ khác nhau. Quan hệ mờ R trên tập tích X Y là ánh xạ từ tập tích X Y lên tập khoảng đơn vị [0,1]: R: X Y [0,1] Mức độ thành viên R(x,y) chỉ mức quan hệ giữa các phần tử x và y của các tập tổng X và Y lên quan hệ R hay mức độ quan hệ của các phần tử x và y theo ý nghĩa quan hệ đã định. Quan hệ mờ có thể được biểu diễn dưới các dạng sau: Hàm thành viên Ma trận quan hệ Biểu đồ Sagittal. Ví dụ: Xem tập X gồm các thành phố Newyork–N, Paris–P: X = N, P Xem tập Y gồm các thành phố Newyork–N, Beijing–B, London –L: Y = N, B, L Gọi R là quan hệ mờ “rất xa” giữa các thành phố của tập X và các thành phố của tập Y. R là quan hệ mờ trên tập tích X Y, là ánh xạ từ tập tích X Y lên tập khoảng đơn vị [0,1]: R: X Y [0,1] Theo cách biểu diễn hàm thành viên: Quan hệ có thể liệt kê như sau: R(X,Y) = 1/ + 0/ + 0,6/ + 0,9/ + 0,7/ + 0,3/ Biểu diễn theo ma trận quan hệ: R = [rxy]: Theo biểu đồ Sagittal như hình sau: 3.2.2 Toán tử quan hệ mờ Quan hệ là tập hợp nên các toán tử quan hệ cũng là các toán tử tập hợp như hội, giao, bù. Xem R và S là hai quan hệ mờ trên tập X và Y: R: X Y [0,1] S: X Y [0,1] Hội của hai quan hệ R và S là quan hệ R S có hàm thành viên: R S(x,y) = Max [ R(x,y) , S(x,y)] Giao của hai quan hệ R và S là quan hệ R S có hàm thành viên: R S(x,y) = Min [ R(x,y) , S(x,y)] Bù của quan hệ R là quan hệ R có hàm thành viên: Khi R thuộc S thì: R(x,y) < S(x,y) Như toán tử tập hợp, toán tử quan hệ có các tính chất giao hoán, kết hợp, phân bố, cuộn xoắn, đẳng trị, và theo luật De Morgan. 3.2.3 Quan hệ trên một tập đơn Xem một tập tổng X, xem R là quan hệ giữa các phần tử trên tập tổng này. R là ánh xạ từ tập tích X2 lên khoảng đơn vị [0,1]: R: X2 [0,1] Ví dụ: Xem tập X gồm bốn phần tử: X = 1,2,3,4 . Một quan hệ R trên X2 được cho như bảng sau: Hay biểu diễn ở dạng ma trận quan hệ: Hay biểu diễn ở dạng biểu đồ Sagittal sau: Biểu diễn ở dạng biểu đồ đơn sau: 3.3 Liên kết mờ Xem ba tập X, Y, Z. Xem quan hệ mờ P trên tập X Y và quan hệ mờ Q trên tập Y Z: P: X Y [0,1] Q: Y Z [0,1] Liên kết mờ J của P và Q, ký hiệu P*Q là quan hệ mờ trên tập tích X Y Z định bởi các quan hệ thành phần P và Q: J: X Y Z [0,1] J = P*Q = P Q Tương tự liên kết rõ nêu trên, hàm thành viên của liên kết mờ định bởi các hàm thành viên của các quan hệ thành phần P và P qua các luật liên kết. Với luật liên kết cực tiểu: J(x,y,z) = Min [ P(x,y) , Q(y,z) ] Với luật liên kết tích: J(x,y,z) = [ P(x,y) Q(y,z) ] Để ý rằng, khác với liên kết rõ khi dùng các luật liên kết khác nhau, kết quả sẽ khác nhau. Ví dụ: Xem X = 1, 2, 3, 4 , Y = a,b,c , Z = , . Xem các quan hệ P, Q cho ở dạng bảng như sau: P: X Y [0,1] Q: Y Z [0,1] Biểu đồ Sagittal của các quan hệ này như ở hình sau: Liên kết mờ J = P*Q trên tập X Y Z theo luật liên kết cực tiểu và luật tích tính được như 2 bảng sau: Để ý rằng kết quả là khác nhau theo các luật liên kết. 3.4 Hợp thành mờ 3.4.1 Hợp thành mờ Xem ba tập X, Y, Z. Xem quan hệ P trên tập X Y. Xem quan hệ mờ Q trên tập Y Z: P: X Y [0,1] Q: Y Z [0,1] Quan hệ mờ R trên tập X Z được hợp thành từ các quan hệ P và Q, ký hiệu: R = P Q Tương tự hợp thành các quan hệ rõ nêu ở phần trên, dựa vào liên kết mờ J = P*Q đã xây dựng ở trên, ta xây dựng quan hệ hợp thành mờ R như sau: R(x,z) = Max J(x,y,z) y Y Với luật liên kết cực tiểu ta có luật hợp thành cực đại- cực tiểu: R(x,z) = Max J(x,y,z) y Y = Max Min [ P(x,y), Q(y,z)] y Y Với luật liên kết tích ta có luật hợp thành cực đại- tích: R(x,z) = Max J(x,y,z) y Y = Max P(x,y) Q(y,z) y Y Vậy quan hệ hợp thành R có thể xác định từ các quan hệ thành phần P và Q theo các luật hợp thành khác nhau như luật hợp thành cực đại-cực tiểu hay luật hợp thành cực đại-tích. Ví dụ: Xem X = 1, 2, 3, 4 , Y = a,b,c , Z = , . Xem các quan hệ P, Q cho ở dạng bảng như sau: P: X Y [0,1] Q: Y Z [0,1]. Quan hệ hợp thành R = P Q giữa hai phần tử 1 và của các tập X và Z tính theo hàm liên kết cực tiểu: R(1, ) = Max J(1,y, ) ] y a,b,c = Max J(1,a, ) , J(1,b, ) , J(1,c, ) = Max 0,6 , 0 , 0 = 0,6 Mặt khác, theo các quan hệ thành phần, quan hệ hợp thành giữa hai phần tử 1 và của các tập X và Z, theo luật hợp thành cực đại - cực tiểu tính như sau: R(1, ) = Maxy Y Min[ P(1,y) , Q(y, ) ] = Max Min[ P(1,y) , Q(y, ) ] y a,b,c = Max Min[ P(1,a), Q(a, )],Min[ P(1,b), Q(b, )],Min[ P(1,c), Q(c, ) ] = Max Min[0,7,0,6], Min[0,5,0], Min[0,0] = Max 0,6, 0, 0 = 0,6 Thấy rằng các kết quả tính là như nhau. Theo luật liên kết tích, quan hệ hợp thành R = P Q giữa hai phần tử 1 và của các tập X và Z, theo luật hợp thành cực đại - tích tính được như sau: R(1, ) = Max P(1,y) Q(y,) y a,b,c = Max P(1,a) Q(a, ), P(1,b) Q(b, ), P(1,c) Q(c, ) = Max 0,7 0,6, 0,5 0, 0 0 = Max 0,42, 0, 0 = 0,42 3.4.2 Toán tử hợp thành Ta xây dựng toán tử hợp thành “ ” nhằm hợp thành các quan hệ mờ theo các ma trận quan hệ. Xem ma trận quan hệ mờ R trên tập tích X Y: R = [rxy] Xem ma trận quan hệ mờ S trên tập tích Y Z: S = [syz] Ma trận quan hệ hợp thành T của R và S có thể tìm được từ các ma trận R và S qua một phép nhân ma trận đặc biệt: T = R S = [tyz] [tyz] = [rxy] [syz] Phép nhân ma trận đặc biệt tương tự phép nhân ma trận bình thường với các khác biệt sau. Phép nhân ma trận bình thường bao gồm một phép nhân và một phép cộng. Khi hợp thành ma trận, phép cộng trong nhân ma trận bình thường được thay bởi phép toán cực đại, còn phép nhân trong nhân ma trận bình thường vẫn giữ với hợp thành cực đại - tích, và được thay bởi phép toán cực tiểu với hợp thành cực đại - cực tiểu. Hay nói cách khác, với hợp thành cực đại - cực tiểu thay phép nhân trong nhân ma trận bình thường thay bởi phép toán cực tiểu và phép cộng trong nhân ma trận bình thường được thay bởi phép toán cực đại. Với hợp thành cực đại - tích, phép nhân trong nhân ma trận bình thường vẫn giữ chỉ thay phép cộng trong nhân ma trận bình thường bởi phép toán cực đại. Ví dụ: Xem X = 1, 2, 3, 4 , Y = a,b,c , Z = , . Xem các quan hệ P, Q cho ở dạng bảng như sau: P: X Y 0,1 Q: Y Z 0,1 Hay ở dạng ma trận như sau: Với hợp thành cực đại - cực tiểu, quan hệ R định bởi phép nhân ma trận như sau: Với hợp thành cực đại - tích, quan hệ R định bởi phép nhân ma trận như sau: Khi dùng toán tử hợp thành kết quả là không đổi so với cách tính ở trên. 3.5 Nguyên lý mở rộng 3.5.1 Hàm số và quan hệ Xem một hàm số f là ánh xạ từ tập vào X lên tập ra Y: f: X Y Một phần tử y của tập Y là ảnh của một phần tử x của tập X: y = f(x) , x X , y Y Qua ánh xạ ngược ta xác định được phần tử x của tập X từ một phần tử y của tập Y: x = f-1(y) Một hàm số f từ tập X lên tập Y có thể xem là một quan hệ R trên tập tích X Y với hàm đặc tính định bởi: R = (x,y) y=f(x) Xem một tập A trên tập tổng X, gọi ảnh của tập A qua ánh xạ f là tập B. Tập B là tập con trên tập tổng Y định bởi: B = f(A) = y x A, y=f(x) Hàm đặc tính của tập B: B(y) = f(A) (y) = Max A(x) y=f(x) Ví dụ: Xem tập X = -2, -1, 0, 1, 2 . Xem hàm f định bởi: y = f(x) = 4x +2 Tập ảnh Y của X qua ánh xạ f là Y = 10, 6, 2 . Trên tập X, xem tập A gồm hai phần tử 0 và 1: A = 0/-2 + 0/-1 + 1/0 + 1/1 + 0/2 Gọi B là ảnh của A qua ánh xạ f. B là một tập trên Y với hàm đặc tính được tính lần lượt như sau: B(2)= Max A(x) 2 = 4x +2 = Max A(x) x = 0 = Max A(0) = 1 B(6)= Max A(x) 6 = 4x +2 = Max A(x) x = 1, x=-1 = Max A(1) , A(-1) = Max 1 , 0 = 1 B(10) = Max A(x) 10 = 4x +2 = Max A(x) x = 2, x= -2 = Max A(2) , A(-2) = Max 2 , 0 = 0 Vậy tập B là: B = 1/2 + 1/6 + 0/10 Vậy B có hai phần tử là 2 và 6, điều này có thể dễ dàng kiểm nghiệm. 3.5.2 Nguyên lý mở rộng Nguyên lý mở rộng mở rộng việc xác định ảnh của một tập mờ qua một ánh xạ f. Xem f là ánh xạ từ tập X lên tập Y. f: X Y Xem A là một tập mờ trên tập X. Gọi B là ảnh của tập mờ A qua ánh xạ f. Tương tự như trường hợp tập rõ nêu trên, B là một tập mờ trên Y với hàm thành viên định bởi hàm thành viên của A: B(y) = Sup A(x) y=f(x) Ngược lại, gọi f -1 là ánh xạ ngược từ Y lên X: f -1: Y X Một tập mờ B trên Y sẽ có ảnh qua f -1 là A có hàm thành viên định bởi: A(x) = B(y) = B(f(x)) Với hàm nhiều biến như xem f là hàm hai biến: z = f(x,y) , x X, y Y, z Z Hàm f là ánh xạ từ tập tích X Y lên tập Z: f: X Y Z Xem một tập mờ A trên X, một tập mờ B trên Y. Gọi ảnh của tập tích A B là C, C là tập mờ trên Z với hàm thành viên định bởi: C(z) = Sup Min [ A(x), B(y) z=f(x,y) Một cách tổng quát với hàm n biến. Xem f là ánh xạ từ tập tích X1 X2 … Xn lên tập Y: f: X1 X1 … Xn Y Xem một tập mờ A1trên X1, 1 tập mờ A2trên X2, …, 1 tập mờ Antrên Xn. Gọi ảnh của tập tích A1 A2 … Anlà B, B là tập mờ trên Y với hàm thành viên định bởi: B(y) = Sup Min [ A1(x1),…, An(xn) y=f(x1,…,x n) 3.6 Chuyển đổi mờ Nguyên lý mở rộng việc tìm ảnh của một tập rõ qua một ánh xạ thành việc tìm ảnh của một tập mờ qua một ánh xạ. Ánh xạ dùng trong nguyên lý mở rộng là ánh xạ rõ. Với ánh xạ rõ, ảnh của một phần tử x của tập nguồn đầu vào X sẽ là một phần tử y của tập đích đầu ra Y. Trong trường hợp ánh xạ mờ ảnh của một phần tử tập đầu vào X sẽ là một tập mờ của tập đầu ra Y. Chuyển đổi mờ là phép chuyển đổi giúp tìm ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ mờ, tập đầu vào có thể là một tập mờ. Trong trường hợp các tập X và Y hữu hạn, ánh xạ mờ có thê biểu diễn bởi quan hệ mờ R trên tập tích X Y: R: X Y [0,1] Xem một tập mờ A trên X, gọi B là tập mờ ảnh của A qua quan hệ mờ R. Tập mờ B là tập mờ trên Y và có thể xác định bởi tập mờ A và quan hệ R qua toán tử hợp thành: B = A R Với luật hợp thành cực đại - cực tiểu hàm thành viên của B xác định như sau: B(y) = Max Min [ A(x), R(x,y) x X Ví dụ: Xem một thí nghiệm đưa các vật thể vào không gian. Trọng lượng vật thể cho bởi tập X: X = 40, 50, 60, 70, 80 (Kg) Chiều dài vật thể cho bởi tập Y: Y = 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8 (m) Quan hệ trọng lượng - chiều dài vật thể cho bởi quan hệ mờ R = [rxy] là ma trận cỡ [5 5] sau: Một vật thể được đưa vào không gian với trọng lượng mờ định bởi tập mờ sau: A = 0,8/40 + 1/50 + 0,6/60 + 0,2/70 + 0/80 Ma trận tương ứng là ma trận cột [5 1] sau: Qua quan hệ R, chiều dài vật thể này có thể được xác định bởi tập mờ B: B = A R Với luật hợp thành cực đại - cực tiểu, tập mờ B tính được là: Vậy tập mờ B như sau: B = 0,8/1,4 + 1/1,5 + 0,8/1,6 + 0,6/1,7 + 0,2/1,8 (m) Chương 4 SỐ HỌC MỜ Số mờ Biến ngôn ngữ Toán tử số học mờ Cực trị mờ So sánh mờ Xếp hạng mờ 4.1 Số mờ 4.1.1 Số mờ Số mờ hay khoảng mờ dùng diễn tả khái niệm một số hay một khoảng xấp xỉ hay gần bằng một số thực hay một khoảng số thực cho trước. Số mờ hay khoảng mờ là tập mờ xác định trên tập số thực. Gọi A là một số mờ, A là một tập mờ trên tập tổng là tập số thực R: A (R) Hàm thành viên của tập mờ A có dạng: A: R [0,1] Số mờ A dùng để xấp xỉ một số thực r nên hàm thành viên của r phải là một nên tập mờ A phải là tập mờ chuẩn tắc. Mặt khác, nhằm xác định các toán tử số học mờ dựa vào các toán tử khoảng trong phân tích khoảng cổ điển, số mờ A thường có các yêu cầu là biên giới A0+ của tập mờ A phải bị chặn và các tập cắt A phải là các khoảng đóng. Với tính chất mọi tập cắt A đều là các khoảng đóng, nên số mờ A là tập mờ lồi. Tóm lại, hàm thànnh viên của một số mờ A thường được yêu cầu phải có tính chuẩn và lồi hay phải thỏa các tính chất sau: Tập mờ chuẩn tắc Tập cắt A phải là một khoảng đóng với mọi (0,1] Biên giới của tập mờ A - A0+ bị chặn. Hàm thành viên một số mờ A thường có dạng là hình tam giác, hình thang hay dạng hình chuông như ở hình sau. Hàm thành viên số mờ có thể không đối xứng. Mặt khác nhằm diễn tả các khái niệm số lớn hay số nhỏ, hàm thành viên có dạng vai trái hay vai phải như ở hình sau. 4.1.2 Dạng số mờ thường dùng Các số mờ thường dùng là số mờ tam giác, số mờ hình thang. Số mờ tam giác là một trường hợp riêng của số mờ hình thang, số mờ hình thang là một trường hợp riêng của số mờ phẳng do Didier Dubois và Henry Prade xây dựng. Tuy nhiên trước tiên ta khảo sát dạng số mờ tổng quát. a. Số mờ tổng quát Một tập mờ A trên tập số thực được xem là một số mờ khi và chỉ khi có một khoảng [a,b] sao cho hàm thành viên của A có dạng: trong đó hàm trái l là hàm từ tập (- , a) đến tập [0,1] với các tính chất: Tăng đơn điệu Liên tục từ phải Tồn tại 1(- , a) sao cho l(x) = 0 với x (- , 1). Hàm phải r là hàm từ tập (b, ) đến tập [0,1] với các tính chất Giảm đơn điệu Liên tục từ trái Tồn tại 2(b, ) sao cho r(x) = 0 với x ( 2, ). b. Số mờ phẳng Từ hàm thành viên số mờ tổng quát nêu trên, Didier Dubois và Henry Prade xây dựng số mờ phẳng với 4 tham số. Một số mờ phẳng A với 4 tham số a, b, c, d được ký hiệu A(a, b, c, d) với hàm thành viên như sau: trong đó hàm tham chiếu F là hàm không tăng ở nửa phải trục thực với các tính chất F(-x) = F(x) và F(0) = 1. Hàm trái l(x) = F((a-x)/c), 1= a-c Hàm phải r(x) = F((x-b)/d), 2= b+d Một số rõ a sẽ có dạng là (a,a,0,0), một khoảng rõ [a,b] có dạng là (a,b,0,0). Giá trị trung bình của số mờ phẳng (a,a,c,d) là a, giá trị trung bình của số mờ phẳng (a,b,c,d) là nằm trong khoảng [a,b] thường chọn là (a+b)/2. c. Số mờ hình thang Từ số mờ phẳng nêu trên, P.J. Macvicar - Whelan xây dựng một loại số mờ phẳng gọi là số mờ hình thang. Trong một nghiên cứu, Macvicar - Whelan thấy rằng để xây dựng hàm thành viên, không cần dùng hàm cong chữ S mà có thể dùng các hàm tuyến tính từng đoạn, từ đó ông xây dựng hàm tham chiếu F dạng tuyến tính như sau: F(x) = max(0,1- x ) Từ đó hàm thành viên số mờ hình thang A(a, b, c, d) có dạng sau: Hàm thành viên của số mờ hình thang như hình sau: Có thể xem [a,b] là khoảng giá trị tin cậy của số mờ, c và d lần lượt là các độ phân tán dưới và trên của số mờ. Với số mờ hình thang A(a,b,c,d), tập cắt A của số mờ được xác định bởi các cận trên và dưới như sau: LA = c + a-c UA = b+d - d d. Số mờ tam giác Trong số mờ hình thang (a,b,c,d), khi a = b thì số mờ hình thang thành số mờ tam giác. Số mờ tam giác có hàm thành viên dạng hình tam giác như sau. Một số mờ tam giác A với các tham số a, b, c thường được ký hiệu A(a, b , c) với hàm thành viên có dạng sau: Để ý rằng số mờ tam giác là một trường hợp riêng của số mờ hình thang. Số mờ tam giác A(a,b,c) có thể viết lại là số mờ hình thang A(a,a,b,c). Có thể xem a là giá trị tin cậy của số mờ, b và c lần lượt là các độ phân tán dưới và trên của số mờ. Với số mờ tam giác A(a,b,c), tập cắt A của số mờ được xác định bởi các cận trên và dưới như sau: LA = b + a-b UA = a+c - c 4.1.3 Độ mờ của số mờ Nhắc lại độ mờ của một tập mờ F, ký hiệu là dof(F) được xác định theo Kaufmann (1975): dof(F) = d(F, Fc) Xem tập mờ hình thang F = (a,b,c,d), có thể xác định tập Fc của tập F là tập mờ hình thang Fc(a-c/2,b+d/2,0,0) như hình sau. Từ đó tính được độ mờ của F như sau: dof(F) = 2*(c/2 * 1/2 * 1/2 + d/2 * 1/2 * 1/2) = (c+d)/4 Vậy độ mờ của tập mờ hình thang phụ thuộc vào mức độ phân tán trên d và mức độ phân tán dưới của tập mờ: dof(a,b,c,d) = (c + d)/4 Tương tự với tập mờ tam giác là một trường hợp của tập mờ hình thang, ta có độ mờ của tập mờ F = (a,b,c) được xác định bởi các độ phân tán b và c: dof(a,b,c) = (b+c)/4 4.2 Biến ngôn ngữ Số mờ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng biến mờ định lượng là biến có trạng thái định bởi các số mờ. Khi các số mờ biểu diễn các khái niệm ngôn ngữ như rất nhỏ, nhỏ, trung bình, lớn, rất lớn trong một ngữ cảnh cụ thể, biến mờ được gọi là biến ngôn ngữ. Biến ngôn ngữ được xác định theo một biến cơ sở trên một tập cơ sở là số thực trên một khoảng cụ thể. Biến cơ sở có thể là một biến vật lý như nhiệt độ, áp suất, tốc độ, điện áp… hay tổng quát hơn là một biến dạng số như tuổi, lãi suất, lương, độ tin cậy… Trong một biến ngôn ngữ, các trị ngôn ngữ biểu diễn các giá trị xấp xỉ của biến cơ sở, các trị ngôn ngữ này là các số mờ. Biến ngôn ngữ đặc trưng bởi bộ ngũ trong đó V là tên biến, T là tập các trị ngôn ngữ, X là tập cơ sở, g biểu thị các luật cú pháp hay văn phạm nhằm tạo ra các trị ngôn ngữ ở tập T, m biểu thị các luật ngữ nghĩa nhằm gán mỗi trị ngôn ngữ t T một ngữ nghĩa m(t) là số mờ trên tập cơ sở X: m: T (X) Ví dụ: Xem một biến ngôn ngữ là nhiệt độ của một lò. Biến cơ sở V là nhiệt độ. Nhiệt độ lò từ 10oC đến 100oC hay tập cơ sở X = [10,100] oC. Dải nhiệt độ từ 10oC đến 100oC được chia thành các dải nhiệt độ rất thấp (RT), thấp (T), trung bình (TB), cao (C), rất cao (RC), tập trị ngôn ngữ T = RT,T,TB,C,RC . Các tập mờ cho các trị ngôn ngữ như ở hình sau: Tập các số mờ biểu thị các trị ngôn ngữ T được chọn theo số lượng, hình dạng, vị trí và độ mờ. Số lượng số mờ thường chọn là 5 hay 7, hình dạng số mờ thường chọn là hình thang hay tam giác, vị trí số mờ tuần tự theo trị ngôn ngữ, độ mờ thường chọn với độ phân tán của các số mờ lân cận sẽ chen phủ nhau trong suốt tập cơ sở. Ở ví dụ trên ta tính được độ mờ như sau: dof(RT) = dof(RC) = 10/4 = 2,5 0C dof(T) = dof(TB) = dof(C) = (10+10)/4 = 5 0C Ảnh hưởng của việc chọn lựa số lượng, hình dạng, vị trí và độ mờ, đặc biệt là số lượng và độ mờ lên kết quả có thể được xác định qua phân tích độ nhạy của mô hình sử dụng. 4.3 Toán tử số học mờ Các toán tử số học mờ là các toán tử số học được thực hiện trên các số mờ. Như các toán tử số học, các toán tử số học mờ bao gồm cộng (+), trừ (-), nhân ( ) và chia (/). Để thực hiện các toán tử số học mờ ta thường dùng hai phương pháp sau: Nguyên lý mở rộng Số học khoảng. 4.3.1 Phương pháp nguyên lý mở rộng Số học mờ dựa trên nguyên lý mở rộng là sự mở rộng các toán tử số học trên các số thực thành các toán tử số học trên các số mờ. Gọi chung các toán tử số học là *: * +, -, , / Gọi A và B là hai số mờ, nguyên lý mở rộng xây dựng tập mờ A*B là tập mờ có hàm thành viên như sau: A*B(z) = supz=x*y min [ A(x) , B(y)] , z R Một cách cụ thể cho từng toán tử số học mờ: A+B(z) = supz=x+y min [ A(x) , B(y)] , z R A-B(z) = supz=x-y min [ A(x) , B(y)] , z R A B(z) = supz=x y min [ A(x) , B(y)] , z R A/B(z) = supz=x/y min [ A(x) , B(y)] , z R Có thể chứng minh được rằng nếu A và B là các số mờ liên tục thì tập mờ C = A*B xác định theo nguyên lý mở rộng nêu trên cũng là một số mờ liên tục. Nếu A và B là hai số mờ tam giác và c là một số thực dương: A = (a1, a2 , a3 ) B = (b1, b2 , b3 ) c R+ thì A+B cũng là một số mờ tam giác định bởi: A+B = ( a1+b1, a2+b2, a3+b3 ) Và cA cũng là một số mờ tam giác định bởi: cA = (ca1, ca2, ca3) Nếu A và B là hai số mờ hình thang và c là một hằng số thực: A = (a1, a2 , a3,a4) B = (b1, b2 , b3 , b4) c R thì A+B cũng là một số mờ hình thang định bởi: A+B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3, a4+b4) thì A-B cũng là một số mờ hình thang định bởi: A-B = (a1-b1, a2-b2, a3+b3, a4+b4) Và cA cũng là một số mờ tam giác định bởi: cA = (ca1, ca2, ca3, ca4), nếu c R+ cA = (ca1, ca2, -ca3, -ca4), nếu c R 4.3.2 Phương pháp phân tích khoảng Số mờ cũng như mọi tập mờ, hoàn toàn xác định bởi các tập cắt là những khoảng đóng, phân tích khoảng mờ xây dựng các toán tử số học mờ dựa vào các tập cắt là những khoảng rõ và các toán tử số học khoảng rõ. Trước khi khảo sát phân tích khoảng mờ, ta xem lại phân tích khoảng cổ điển. a. Phân tích khoảng Một khoảng I bao gồm hai tham số cận dưới a và cận trên b được ký hiệu: I = [a,b] , a b Các toán tử số học khoảng là các toán tử số học cộng (+), trừ (-), nhân ( ) và chia (/) được thực hiện trên các khoảng. Gọi A và B là 2 khoảng: A = [a1, a2] B = [b1, b2] Cộng hai khoảng A và B cũng là một khoảng được ký hiệu là A+B với định nghĩa như sau: A+B = [a1, a2] + [b1, b2] = [a1+b1, a2+b2] Trừ hai khoảng A và B cũng là một khoảng được ký hiệu là A-B với định nghĩa như sau: A-B = [a1, a2] - [b1, b2] = [a1-b2 , a2 -b1] Nhân hai khoảng A và B cũng là một khoảng được ký hiệu là A B với định nghĩa như sau: A B = [a1,a2] [b1,b2] = [min(a1b1,a1b2, a2b1,a2b2), max(a1b1, a1b2, a2b1,a2b2)] Nếu a1,a2,b1,b2 0 thì [a1,a2] [b1,b2] = [a1b1,a2b2] Chia hai khoảng A và B, khi khoảng B không chứa 0, cũng là một khoảng được ký hiệu là A/B được xác định qua phép nhân khoảng như sau: A/B = [a1,a2] / [b1,b2] = [a1,a2] [1/b2,1/b1] Nếu a1,a2,b1,b2> 0 thì [a1,a2]/ [b1,b2] = [a1/b2, a2/b1] Ví dụ: [0,1] + [-6,5] = [-6,6] [0,1] - [-6,5] = [-5,7] [-1,1] [-2,-0,5]=[-2,2] [-1,1]/[-2,-0,5]=[-2,2] Với 0 là khoảng [0,0] và 1 là khoảng [1,1], các toán tử số học trên các khoảng kín thỏa các tính chất sau: Giao hoán: A+B=B+A, A B=B A Kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C), (A B) C = A (B C) Đồng nhất: A = 0 + A , A = 1 A Thấp phân bố: A (B+C) A B + A C Đơn điệu: A E, B F A*B E*F, Với * +,-, ,/ Phân bố: bc 0, b B, c C A (B+C) = A B + A C bc 0, b B, cC, A=[a,a] a (B+C) = a B+aC 0 A-A, 1A/A Ngoài các toán tử số học nêu trên, các toán tử cực trị cũng hay thường dùng. Cực tiểu hai khoảng A và B cũng là một khoảng được được xác định như sau: min(A,B) = min ([a1,a2], [b1,b2]) = [min (a1,b1), min(a2,b2)] Cực đại hai khoảng A và B cũng là một khoảng được được xác định như sau: max(A,B) = max ([a1,a2], [b1,b2]) = [max(a1,b1), max(a2,b2)] So sánh hai khoảng A và B được định nghĩa như sau: A B [a1,a2] [b1,b2] a1 b1 và a2 b2 b. Toán tử số học mờ theo phân tích khoảng Xem hai số mờ A và B. Gọi * là một toán tử số học (+,-, , /). Tập mờ trên tập số thực R, A*B, được xác định bởi các tập cắt (A*B) định bởi: (A*B) = A * B Vậy tập cắt (A*B) có thể xác định được từ các tập cắt A và B theo các phép phân tích khoảng nêu ở phần trên. Khi đã có được các tập cắt (A*B) , tập mờ A*B có thể xác định theo phép phân tích đã khảo sát ở phần trên như sau: A*B = [0,1] (A*B) Hay hàm thành viên của tập mờ A*B có thể xác định được như sau: A*B(x) = Max [0,1] (A*B) (x) Ví dụ: Xem hai tập mờ tam giác A(1,2,2) và B(3,2,2) với hàm thành viên như sau: Các tập cắt với [0,1]: A = [2 -1, 3-2 ] B = [2 +1, 5-2 ] Tổng hai số mờ A và B: (A+B) = [2 -1, 3-2 ] + [2 +1, 5-2 ] = [4 , 8-4 ] Tổng A+B cũng là số mờ hình thang với hàm thành viên: Hiệu hai số mờ A và B: (A-B) = [2 -1, 3-2 ] - [2 +1, 5-2 ] = [4 -6, 2-4 ] Hiệu A-B cũng là số mờ hình thang với hàm thành viên: Tích hai số mờ A và B: Tích AB cũng là số mờ nhưng không hình thang với hàm thành viên: Thương hai số mờ A và B: Thương A/B cũng là số mờ nhưng không hình thang với hàm thành viên: 4.4 Cực trị mờ