🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tạp Chí Epsilon Số 5 Ebooks Nhóm Zalo Chuẩn Euclid Ngô Bảo Châu Cân bằng Nash Vladimir Gurvich Luật Benford và những ứng dụng thú vị Trần Nam Dũng & Đặng Nguyễn Đức Tiến Ứng dụng dãy số trong các bài toán phương trình hàm Đỗ Minh Khoa & Võ Quốc Bá Cẩn VÀ CÁC CHUYÊN MỤC KHÁC magazine 5 LỜI NGỎ CHO EPSILON SỐ 5 Ban Biên tập Epsilon Ý tưởng về tạp chí Epsilon được khởi nguồn vào khoảng cuối năm 2014, đến nay đã đi được hành trình gần một năm. Nhìn lại suốt chặng đường đó, chúng tôi luôn nhận ra rằng sức sống của Epsilon gắn liền với sự ủng hộ và đóng góp của các độc giả cùng các tác giả. Để đáp lại thịnh tình của đông đảo độc giả, Epsilon số 5 sẽ có nội dung khá hấp dẫn với nhiều bài viết ở các thể loại và chuyên mục khác nhau. Ngoài các chuyên mục định kỳ như lịch sử toán học, các vấn đề cổ điển và hiện đại sẽ có các bài viết thú vị khác. Phần mở đầu của Epsilon số 5 sẽ là bài viết về Chuẩn Euclid của Ngô Bảo Châu – tóm lược phần đầu của bài giảng ở trường hè Lý thuyết số từ cổ điển đến hiện đại. Tiếp theo đó: Về xấp xỉ Diophantine: nếu như ở phần trước, chúng ta đã có được câu trả lời cho câu hỏi "Các số hữu tỉ có thể xấp xỉ các số vô tỉ tốt đến thế nào?" thì ở số 5 này, một lần nữa Lý Ngọc Tuệ sẽ giới thiệu với những vấn đề còn thú vị hơn về khả năng xấp xỉ các véc tơ trên Rn bằng các véc tơ hữu tỉ Qn. Về nhịp cầu kết nối giữa toán cao cấp và toán sơ cấp sẽ có các bài: Từ Euclid đến Lobachevsky của Nguyễn Ngọc Giang và Cân bằng Nash của Vladirmir Gurvich. Phần 2 bài viết Chứng minh và sự tiến bộ của William P. Thurston qua lời dịch của Nguyễn Dzuy Khánh sẽ đề cập đến một câu hỏi rất thú vị và quan trọng "Điều gì khích lệ con người nghiên cứu toán học?". Về trung gian giữa lý thuyết và ứng dụng sẽ là bài viết về luật Benford và những ứng dụng thú vị của Trần Nam Dũng & Đặng Nguyễn Đức Tiến. Ngoài ra trong mảng toán sơ cấp, phong phú nhất vẫn là chủ đề hình học với bài viết "Điều kiện ngoại tiếp của một tứ giác không lồi và ứng dụng" của Đỗ Thanh Sơn, bài viết về công thức tính khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius của Trịnh Xuân Minh và bài "Tổng quát hóa một bài hình vô địch Nga 2005" của Trần Quang Hùng và Phan Anh Quân. Phần giải tích và đại số sẽ có bài "Áp dụng dãy số vào giải các phương trình và bất phương trình hàm" của Đỗ Minh Khoa và Võ Quốc Bá Cẩn và bài "Giải tích và các bài toán cực trị" của Trần Nam Dũng. Phần số học và tổ hợp sẽ có bài "Thặng dư bậc hai modulo M" của Nguyễn Hồng Lữ và bài "Phân hoạch tập các số tự nhiên thành hai tập hợp có tổng bằng nhau" của Nguyễn Văn Lợi, Nguyễn Hải Đăng và Nguyễn Thành Khang, và “Tối ưu tổ hộp” của Gil Kalai. Chuyên mục Bài toán hay lời giải đẹp sẽ giới thiệu bài bất đẳng thức của IMO 1983 qua phần bình luận của Phùng Hồ Hải. Phần lịch sử toán học sẽ giới thiệu với độc giả đôi điều về hình học phi Euclid. 3 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Đặc biệt trong số này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số đề thi (cùng lời giải và bình luận) chọn đội tuyển của một số trường và một số tỉnh cho VMO 2016. Cuối cùng phần kết của Epsilon số 5 sẽ là bài Ma trận ngẫu nhiên của Vũ Hà Văn – nơi thông báo hàng loạt các giả thuyết đã được chinh phục bởi Vũ và các đồng nghiệp của anh. Hy vọng rằng, Epsilon sẽ vẫn nhận được sự ủng hộ của độc giả, và những đóng góp của các bạn sẽ luôn là động lực để những người thực hiện tiếp tục con đường dài phía trước. Tháng 10, 2015, Ban Biên tập Epsilon. 4 MỤC LỤC Ban Biên tập Epsilon Lời ngỏ cho Epsilon số 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ngô Bảo Châu Chuẩn Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Lý Ngọc Tuệ Xấp xỉ Diophantine trên Rn- Phần 2: Quy tắc Dirichlet và hình học của các số . . . . . . 15 Vladimir Gurvich Cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Nguyễn Ngọc Giang Mở rộng các bài toán hình học Euclid thành các bài toán hình học cầu và hình học Lobachevsky - Một phương phức sáng tạo các bài toán mới . . . . . . . . . . . . . . . . 33 William P. Thurston Về chứng minh và tiến bộ trong toán học (tiếp theo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Trần Nam Dũng, Đặng Nguyễn Đức Tiến Luật Benford và những ứng dụng thú vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Đỗ Thanh Sơn Điều kiện ngoại tiếp của một tứ giác không lồi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Trịnh Xuân Minh Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius . . . . . . . . . . 75 Trần Quang Hùng, Phan Anh Quân Tổng quát một bài toán thi vô địch Nga năm 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Đỗ Minh Khoa, Võ Quốc Bá Cẩn Áp dụng dãy số vào giải các phương trình và bất phương trình hàm . . . . . . . . . . . . 85 5 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Trần Nam Dũng Giải tích và các bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Nguyễn Hồng Lữ Thặng dư bậc hai modulo M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Nguyễn Văn Lợi, Nguyễn Hải Đăng, Nguyễn Thành Khang Về một phân hoạch tập các số tự nhiên thành hai tập hợp có tổng các phần tử bằng nhau . 151 Gil Kalai Tối ưu tổ hợp I: Các bài toán tối ưu về hệ các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ban Biêp tập Epsilon Bài toán hay - Lời giải đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Trần Nam Dũng Đôi điều về hình học phi Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Ban Biên tập Epsilon Giới thiệu một số đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2015 - 2016 . . . . . . . . . . . . 181 Trần Nam Dũng Các vấn đề cổ điển và hiện đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Vũ Hà Văn Ma trận ngẫu nhiên (tiếp theo và hết) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6 CHUẨN EUCLID Ngô Bảo Châu (Viện nghiên cứu cao cấp về toán - VIASM) Bài viết này trích từ bài giảng "Lý thuyết số từ cổ điển đến hiện đại" ở Viện nghiên cứu cao cấp về toán, hè 2015. Nội dung của bài viết tập trung vào khái niệm chuẩn Euclid trong vành số nguyên, vành số nguyên Gauss và các hệ quả số học của nó. 1. Nguyên lý trật tự của tập các số tự nhiên Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết số về cơ bản là tập các số tự nhiên N D f0; 1; 2; : : :g. Vì các số tự nhiên dường như quá quen thuộc, chúng ta ít có ý thức rằng bản thân các số tự nhiên cũng cần được định nghĩa, được xây dựng, một cách chặt chẽ. Xây dựng các số tự nhiên một cách chặt chẽ là một vấn đề trung tâm hóc búa của cơ sở toán học. Ở đây ta sẽ không đề cập đến vấn đề này một cách có hệ thống mà chỉ điểm lại một số tính chất của tập các số tự nhiên mà ta sẽ công nhận như những tiên đề. Tập số tự nhiên N chứa ít nhất hai phần tử 0 và 1. Tập này được trang bị phép cộng .x; y/ 7! xCy. Quan hệ thứ tự x < y, cho bởi x < y khi và chỉ khi tồn tại z 2 N với z ¤ 0 sao cho x C z D y, là một quan hệ thứ tự tuyến tính theo nghĩa với mọi x ¤ y, hoặc x < y hoặc y < x. Tập N, với quan hệ thứ tự tuyến tính, thoả mãn nguyên lý trật tự (well-ordering principle): mọi tập con không rỗng S N đều chứa một phần tử cực tiểu i.e. tồn tại a 2 S sao cho a x với mọi x 2 S. Nguyên lý trật tự thực chất là một phiên bản của nguyên lý quy nạp quen thuộc. 2. Ước chung lớn nhất Phép chia có dư của Euclid là một phép toán cơ bản của số học. Sự tồn tại của phép toán này dựa vào khẳng định: cho a; b là hai số nguyên với b ¤ 0, khi đó tồn tại duy nhất q; r 2 Z với a D bq C rI (2.1) sao cho r thoả mãn 0 r < jbj. Để chứng minh khẳng định này, ta xét tập S tất các số tự nhiên x 2 N sao cho x a mod b (ta theo quy ước 0 là số tự nhiên). Tập S chứa a cho nên nó là tập không rỗng. Theo nguyên lý trật tự, S chứa một phần tử cực tiểu mà ta sẽ ký hiệu là r. Ta sẽ chứng minh r < jbj bằng phản chứng. Thật vậy, nếu r jbj thì r jbj sẽ là một phần tử của S, nhỏ hơn hẳn r và do đó mâu thuẫn với giả thiết r là phần tử cực tiểu của S. Vì r a mod b, tồn tại duy nhất q 2 Z sao cho phương tình (2.1) thoả mãn. Với mọi cặp số nguyên a; b 2 Z, ước chung lớn nhất gcd.a; b/ là số nguyên dương d lớn nhất sao cho cả a và b đều là bội của d. 7 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Thực hiện nhiều lần phép chia có dư của Euclid là một phương pháp hiệu quả để tính ước chung lớn nhất. Nếu a D bq C r như trong phương trình (2.1), ta dễ dàng kiểm tra gcd.a; b/ D gcd.b; r/. Thay vì tính ước chúng lớn nhất của a D a0 và b D b0, ta chỉ cần tính ước chung lớn nhất của b D a1 và r D b1 với 0 < r < jbj. Tiếp tục như vậy, ta sẽ có các cặp số nguyên .a0; b0/, .a1; b1/, ... sao cho gcd.a0; b0/ D gcd.a1; b1/ D với jb0j > b1 > b2 > > 0. Dãy số này bắt buộc phải dừng ở một thời điểm nào đó, giả sử nó dừng ở .an; bn/. Ta chỉ không thực hiện được phép chia Euclid nữa khi số chia bằng không, có nghĩa là bn D 0. Hiển nhiên nếu bn D 0 thì ta có gcd.an; bn/ D an, cho nên gcd.a; b/ D D gcd.an; bn/ D an: Giải thuật trình bày ở trên gọi là thuật toán Euclid. Nhìn từ góc độ thực hành, thuật toán Euclid là một giải thuật hiệu quả để tính ước chung lớn nhất của hai số nguyên lớn. Nhìn từ góc độ lý thuyết, thuật toán Euclid kéo theo định lý sau, thường gọi là định lý Bezout: Định lý 2.1. Với mọi số nguyên a; b 2 Z, ước chung lớn nhất d D gcd.a; b/ biểu diễn được dưới dạng d D xa C yb với x; y 2 Z. Thật vậy, theo quy nạp, tất cả các số a0; b0; a1; b1; : : : ; an; bn D 0 xuất hiện trong thuật toán Euclid trình bày ở trên đều biểu diễn được dưới dạng xa C yb và đăc biệt d D an có dạng này. Có một chứng minh hơi khác trong đó sử dụng nguyên lý trật tự thay cho thuật toán Euclid. Xét tập S các số nguyên dương n có dạng n D xa C yb với x; y 2 Z. Tập này có một phần tử cực tiểu ký hiệu là e 2 S. Ta cần chứng minh rằng d D e. Vì dja và djb cho nên djn với mọi n 2 S. Vì vậy dje. Để chứng minh d D e, ta chỉ cần chứng minh rằng bản thân e cũng là một ước chung của a và b. Giả sử không phải như thế, chẳng hạn như e không là ước của a. Khi đó thực hiện phép chia có dư Euclid của a chia cho e ta sẽ có a D qe C r với 0 < r < e. Hiển nhiên r 2 S vì cũng có dạng xa C yb cho nên điểu này sẽ mâu thuẫn với tính cực tiểu của e. Vì vậy e phải là ước chung của a và b. Định lý 2.2. Nếu djab và gcd.d; a/ D 1 thì djb. Nếu gcd.d; a/ D 1 thì sẽ tồn tại x; y 2 Z sao cho xd C ya D 1. Khi đó b D .xd C ya/b hiển nhiên là bội của d. Định lý 2.3 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên n > 1 có thể phân tích một cách duy nhất thành tích các số nguyên tố. Phần tồn tại có thể suy ra từ nguyên lý trật tư. Phần duy nhất có thể suy ra từ khẳng đinh: nếu p là một số nguyên tố ước của ab thì hoặc pja hoặc pjb. Bản thân khẳng định này là một trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2. 8 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 3. Vành có chuẩn Euclid Vì định lý cơ bản của số học thực sự là công cụ cơ bản nhất để giải các bài toán số học, ta muốn tìm cách mở rộng nó ra một số vành giao hoán khác. Để mở rộng lập luận trình bày ở phần trước ra một vành R, ta cần trang bị cho R một chuẩn Euclid. Giả sử R là một miền nguyên (integral domain), K là trường các thương (fraction field) của R, chuẩn Euclid của R là một đồng cấu nhóm j j W K ! RC (3.1) từ nhóm các phần tử khả nghịch trong K vào nhóm nhân các số dương thực sao cho với mọi a 2 R ta có jaj 2 N, với mọi x 2 K , tồn tại a 2 R sao cho jx aj < 1. Với các giả thiết này, phép chia có dư Euclid trong vành R luôn tồn tại, dầu rằng có thể không duy nhất: với mọi a; b 2 R với B ¤ 0, tồn tại q; r 2 R với jrj < jbj sao cho phương trình (2.1) được thoả mãn. Thật vậy, ta chọn q 2 R sao cho jab qj < 1, khi đó r D a bq sẽ thoả mãn jrj < jbj. Định lý 3.1. Trong một vành Euclid R, mọi ideal đều là ideal chính. Ta cần chứng minh rằng mọi ideal I R đều chứa một phần tử sinh a 2 I . Theo nguyên lý trật tự tồn tại a 2 I sao cho với mọi x 2 I ta có jaj jxj. Để chứng minh rằng a là một phần tử sinh, ta chứng minh rằng mọi phần tử x 2 I đều là bội của a. Nếu không như thế, tồn tại q; r 2 R sao cho x D qa C r với jrj < jaj và điều đó mâu thuẫn với tính cực tiểu của jaj. Trong một miền nguyên R mà mọi ideal đều là ideal chính, ta có thể định nghĩa gcd.a; b/ của hai phần tử a; b 2 R bất kỳ. Xét ideal I D fxa C ybjx; y 2 Zg sinh bởi a; b 2 R. Ideal này chứa ít nhất một phần tử sinh d và ta đặt d D gcd.a; b/. Vì hai phần tử sinh của d; d0 2 I sai khác nhau một đơn vị c 2 R , có nghĩa là d D cd0, cho nên gcd.a; b/ là một phần tử của R được xác định với sai khác là một phần tử c 2 R . Tương tự như trong trường hợp vành các số nguyên, có thể chứng minh rằng các phần tử n 2 R có thể phân tích thành tích các phần tử nguyên tố; phân tích này là duy nhất với sai khác là các phần tử khả nghịch của R (một phần tử a 2 R được coi là nguyên tố nếu trong mọi phân tích a D bc a thành tích hai phần tử b; c 2 R, hoặc b hoặc c phải là phần tử khả nghịch). Ngoài Z, ví dụ cơ bản của vành Euclid là vành các đa thức kŒt một biến t trên một trường k. Vành các số nguyên Gauss là một ví dụ thú vị khác: R D fx C iyjx; y 2 Zg: (3.2) với i thoả mãn phương trình i2 D 1. Trường các thương của R là K D fx C iyjx; y 2 Qg: (3.3) Ta chọn chuẩn cho bởi jx C iyj D x2 C y2. Dễ thấy với mọi a 2 R ta có jaj 2 N và với mọi x 2 K , hoặc tổng quát hơn, với mọi x 2 C, luôn tồn tại a 2 K, sao cho jx aj < 1. Thật vậy với mọi điểm x trong mặt phẳng phức, ta luôn tìm được một mắt trong lưới nguyên R với khoảng 9 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 cách tới x không quá 1=p2. Vì vậy ta có thể chứng minh khẳng định mạnh hơn: với mọi x 2 C, luôn tồn tại a 2 K, sao cho jx aj 1=2. Như vậy vành các số nguyên Gauss R là vành Euclid, mọi ideal của nó là ideal chính. Các phần tử của R có thể phân tích một cách duy nhất thành tích các phần tử nguyên tố với sai khác R D f˙1; ˙ig. Lập luận tương tự, ta có thể chứng minh được các vành R2 D fx C yp2 j x; y 2 Zg (3.4) và R3 D fx C y1 Cp3 2j x; y 2 Zg (3.5) cũng có chuẩn Euclid. Thật vậy, nếu xem các phần tử R2 (hoặc R3) như mắt của một lưới trên mặt phẳng phức, thì lưới này đủ dầy đề sao cho mọi số phức z 2 C, tồn tại ít nhất một mắt của lưới a 2 R2 (hoặc a 2 R3) sao cho jz aj < 1. Lập luận này không còn đúng nữa với R5 D fx C yp5 j x; y 2 Zg (3.6) vì lưới R5 quá thưa trong mặt phẳng phức: ta không thể đảm bảo được với mọi z 2 C, tồn tại a 2 R5 sao cho jz aj < 1. Không những chuẩn thông thường jx C yp5j D x2 C 5y2của R5 không phải là chuẩn Euclid, mà R5 không thể có chuẩn Euclid vì tính chất phân tích duy nhất ra thừa số nguyên tố không được thoả mãn trong R5. Thật vậy ta có đẳng thức 6 D 2:3 D .1 Cp5/.1 p5/ (3.7) trong đó 2; 3; 1 Cp5; 1 p5 là các phần tử nguyên tố của R5. Như vậy 6 có hai cách phân tích khác nhau thành tích các phần tử nguyên tố. Nói chung các vành giao hoán rất hiếm khi có chuẩn Euclid, nhưng khi có, chúng sẽ đem đến cho ta một số kết quả số học đơn giản và thú vị. 4. Tổng hai bình phương Diophantus trong sách Arithmetica nhận xét rằng một số nguyên có dạng 4n C 3 với n 2 Z không thể viết được thành tổng của hai bình phương. Nói cách khác, với mọi n 2 Z, phương trình x2 C y2 D 4n C 3 (4.1) không có nghiệm x; y 2 Z. Phương trình trên thực ra không có nghiệm ở trong vành Z=4Z các lớp đồng dư modulo 4. Thật vậy nếu x là một số chẵn, ta có x 0 mod 4, còn nếu nó là một số lẻ, ta có x 1 mod 4. Vì vậy trong mọi trường hợp x2 C y2chỉ có thể đồng dư với 0; 1 hoặc 2 modulo 4. Như vậy, phương trình (4.1) không có nghiệm x; y 2 Z=4Z và càng không thể có nghiệm trong Z. Fermat tìm ra điều kiện cần và đủ để một số nguyên có thể viết được dưới dạng tổng của hai bình phương. 10 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Định lý 4.1. Một số tự nhiên n viết được thành tổng của hai bình phương n D x2 C y2với x; y 2 Z khi và chỉ khi trong phân tích n thành tích các thừa số nguyên tố n D 2epe1 1: : : per r(4.2) với p1; : : : ; pr là các số nguyên tố lẻ đôi một khác nhau, mọi thừa số nguyên tố pi đồng dư với 3 modulo 4, đều có số mũ ei chẵn. Trước hết ta nhận xét rằng nếu hai số nguyên biểu diễn được dưới dạng tổng hai bình phương thì tích của chúng cũng như thế. Nếu n1 D x21 C y21và n2 D x22 C y22thì ta có n1n2 D .x1x2 y1y2/2 C .x1y2 C x2y1/2: (4.3) Trong trường hợp x1; x2; y1; y2 là các số nguyên, nếu z1 D x1 C iy1 và z2 D x2 C iy2 là các số nguyên Gauss tương ứng, thì ta có n1 D jz1j, n2 D jz2j và n1n2 D jz1z2j với z1z2 D .x1x2 y1y2/ C i.x1y2 C x2y1/. Nhờ vào nhận xét này, định lý Fermat về tổng hai bình phương có thể quy về hai khẳng định liên quan đến số nguyên tố lẻ. Định lý 4.2. Nếu p là một số nguyên tố lẻ với p 3 mod 4 và x; y 2 Z sao cho x2 C y2 0 mod p thì cả x và y đều là bội của p. Định lý 4.3. Nếu p là một số nguyên tố lẻ với p 1 mod 4 thì tồn tại x; y 2 Z sao cho x2 C y2 D p. Sử dụng Định lý 4.2, ta chứng minh được rằng nếu n là tổng hai bình phương mà phân tích thành tích các thừa số nguyên tố như trong công thức (4.2), thì mọi thừa số nguyên tố pi đồng dư với 3 modulo 4 trong số các thừa số nguyên tố p1; : : : ; pr đều có số mũ ei chẵn. Ngược lại nếu mọi thừa số nguyên tố pi đồng dư với 3 modulo 4 đều có số mũ ei chẵn thì ta có thể sử dụng Định lý 4.3 để chứng minh rằng n có thể biểu diễn thành tổng hai bình phương. Định lý 4.2 là một bài toán đồng dư. Ta thực chất làm việc trong trường Fp các lớp đồng dư moduo p. Giả sử y không là bội của của p, khi đó lớp đồng dư của y là một phần tử khác không, cho nên khả nghịch, của Fp. Khi đó phương trình x2 C y2 0 mod p kéo theo sự tồn tại của z mod p sao cho z2 1 mod p (4.4) Theo Định lý Fermat nhỏ, ta có đồng dư zp1 1 mod p. Đồng dư (4.4) kéo theo .1/p1 2 1 mod p: (4.5) Vì đồng dư này không đúng với các số nguyên tố p 3 mod 4, cho nên trong trường hợp đó quan hệ đồng dư x2 C y2 0 mod p sẽ kéo theo pjx và pjy. Bước đầu tiên trong chứng minh Định lý 4.3 là nhật xét trong trường hợp p 1 mod 4 phương trình đồng dư (4.4) có nghiệm. Có ít nhất hai phương cách để chứng minh khẳng định này. Phương cách thứ nhất là sử dụng định lý Wilson: .p 1/Š 1 mod p: (4.6) Phương cách thứ hai là sử dụng nhận xét nhóm F pcác phần tử khả nghịch là nhóm xích, tức là nhóm Abel chứa ít nhất một phần tử sinh. Phương cách thứ nhất sơ cấp hơn, còn phương cách thứ hai thì phần nào thực chất hơn. 11 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Để suy từ việc tồn tại nghiệm của phương trình đồng dư (4.4) ra việc phương trình p D x2 C y2 có nghiệm nguyên, ta cần dùng đến chuẩn Euclid của vành các số nguyên Gauss R D ZŒp1. Cho z là một số nguyên sao cho z2 C 1 0 mod p. Nếu cần thiết thay z bằng z C p ta có thể giả thiết z2 C 1 6 0 mod p2: (4.7) Xét ước chung lớn nhất của z C i và p trong R. Vì R là vành Euclid, ước chung lớn nhất tồn tại và duy nhất với sai khác là phần tử của R D f˙1; ˙ig, vì vậy ta có gcd.z C i; p/ D x C iy (4.8) Khi đó ta có x2 C y2 D jx C iyj D gcd.jz C ij; p/ D gcd.z2 C 1; p2/ D p: (4.9) Như vậy phương trình x2 C y2 D p có nghiệm nguyên với mọi số nguyên tố p với p 1 mod 4. 5. Về phương trình có dạng n D x2 C dy2 Phương trình n D x2 C 2y2có thể được giải bằng phương pháp hoàn toàn tương tự như với phương trình n D x2 C y2. Các số phức có dạng x C yp2 với x; y 2 Z tạo nên một miền nguyên ký hiệu là R D ZŒp2. Trường các thương của R là trường K các số phức có dạng x C yp2 với x; y 2 Q. Ta có ánh xạ chuẩn K ! Q cho bởi z D x C yp2 7! jx C yp2j D x2 C 2y2: (5.1) Vì chuẩn là một đồng cấu nhóm: với mọi z1; z2 2 K ta có jz1z2j D jz1jjz2j cho nên, về cơ bản, giải phương trình n D x2 C 2y2 quy về trường hợp n là số nguyên tố. Định lý 5.1. 1. Nếu p là một số nguyên tố đồng dư với 5 hoặc 7 modulo 8, phương trình đồng dư x C 2y2 0 mod p kéo theo pjx và pjy. 2. Nếu p là một số nguyên tố đồng dư với 1 hoặc 3 modulo 8, phương trình x2 C 2y2 D p có nghiệm nguyên. 3. Số tự nhiên n với phân tích thành tích các thừa số nguyên tố ở dạng (4.2) có thể biểu diễn ở dạng n D x2 C py2khi và chỉ khi mọi thừa số nguyên tố pi, đồng dư với 5 hoặc 7 modulo 8, đều có số mũ eilà số chẵn. Khẳng định thứ ba có thể dễ dàng suy ra từ hai khẳng định đầu. Khẳng định thứ nhất quy về bài toán đòng dư: khi nào phương trình đồng dư z2 2 mod p có nghiệm. Lời giải của bài toán đồng dư này thực ra là một bộ phận của luật thuận nghịch cấp hai (quadratic reciprocity law) của Gauss. Cũng chính vì vậy mà bài toán đồng dư x2 C dy2 0 mod p có thể giải được cho mọi d 2 N dựa vào luật thuận nghịch. 12 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Khẳng định thứ hai có thể được chứng minh hoàn toàn tương tự như với bài toán p D x2 C y2, dựa vào sự tồn tại của chuẩn Euclid trên QŒp2 và sự tồn tại của ước chung lớn nhất trong vành này. Vì chuẩn thông thường trên QŒp3 vãn là chuẩn Euclid cho nên bài toán n D x2 C 3y2có thể giải được bằng phương pháp hoàn toàn tương tự như trên. Tuy vậy đối với một số tự nhiên d tổng quát, đặc biệt với d D 5, chuẩn thông thường trên QŒpd không còn là chuẩn Euclid nữa. Tệ hơn nữa, vành các phần tử nguyên của QŒpd không là vành chính, nó có những ideal không thể sinh bởi chỉ một phần tử. Vì vậy lập luận cơ bản như trong khẳng định thứ hai sử dụng khái niệm ước chung lớn nhất không còn đúng trong các trường hợp này. Để khắc phục khó khăn này, trước hết cần nhận thấy ta vẫn có thể định nghĩa được "ước chung lớn nhất" như một ideal thay vì như một số: ước chung lớn nhất của a và b chỉ đơn giản là ideal sinh bởi a và b. Nhận xét này có thể xem như điểm khởi thuỷ của lý thuyết các miền Dedekind. Trong các miền Dedekind, mà điển hình là miền các phần tử nguyên trong một mở rộng hữu hạn K của Q, định lý phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố không còn đúng nữa. Tuy thế, định lý tương tự với các số được thay bằng các ideal, các số nguyên tố bằng các ideal nguyên tố, thì vẫn đúng. Nhờ vào lý thuyết các ideal trong miền Dedekind, ta có thể định vị cái "khó" của ta như một phần tử của nhóm các lớp Cl.K/ các ideal modulo các ideal chính. Nhóm các lớp Cl.K/, mà khởi thuỷ là chỗ chứa cái khó, cái "khổ" của lý thuyết số sơ cấp, sẽ trở thành đối tượng nghiên cứu chính, cái "sướng", của lý thuyết số đại số. Chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề này trong một bài viết khác. Trong lúc chờ đợi, bạn đọc có thể tìm đọc quyển sách rất thú vị của D. Cox có nhan đề "On primes of the form x2 C ny2. 13 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 14 XẤP XỈ DIOPHANTINE TRÊN Rn- PHẦN 2: QUY TẮC DIRICHLET VÀ HÌNH HỌC CỦA CÁC SỐ Lý Ngọc Tuệ - Đại học Brandeis, Massachusetts, Mỹ 1. Định lý Dirichlet Trong phần trước [11], với công cụ chính là liên phân số, chúng ta đã có được câu trả lời cho câu hỏi: "Các số hữu tỉ có thể xấp xỉ các số vô tỉ tốt đến thế nào?" qua định lý sau của Euler: Định lý 1.1 (Euler 1748 [4]). Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q, tồn tại vô số số hữu tỉ pq2 Q với q > 0 sao cho:ˇˇˇˇx pqˇˇˇˇ<1q2: (1.1) Tuy nhiên, cho đến tận bây giờ vẫn chưa có được một cách xây dựng liên phân số trong không gian nhiều chiều Rncó đầy đủ các tính chất để có thể trả lời câu hỏi về khả năng xấp xỉ các véc tơ trên Rnbằng các véc tơ hữu tỉ Qn. Phải đến gần 100 năm sau, Định lý 1.1 mới được mở rộng lên Rnbởi nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Kết quả này được xem như là xuất phát điểm cho lý thuyết xấp xỉ Diophantine phát triển. Vì thế nên Định lý 1.1 vẫn thường được gọi là Định lý Dirichlet (trên R). Trên không gian véc tơ Rn, giá trị tuyệt đối trên R trong bất đẳng thức (1.1) sẽ được thay thế bởi sup norm: xE WD maxfjx1j; :::; jxnjg với xE D .x1; :::; xn/ 2 Rn: Lưu ý rằng sup norm tương đương với Euclidean norm: xE2WD p xE Ex D q x21 C x22 C ::: C x2n vẫn thường dùng để định nghĩa khoảng cách trên Rnnhư sau: xE2 xE pn xE2: Định lý Dirichlet cho Rncó thể được phát biểu như sau: Định lý 1.2 (Dirichlet 1842 [3]). Với mọi véc tơ xE 2 Rn X Qn, tồn tại vô số véc tơ hữu tỉ pE qD p1 q;p2 q; :::;pn q 2 Qnvới pE 2 Znvà q 2 Z, q ¤ 0, sao cho: xE pEq<1 jqj1C 1n: (1.2) 15 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Dirichlet chứng minh Định lý 1.2 thông qua Định lý sau: Định lý 1.3 (Dirichlet 1842 [3]). Với mọi Q 1 và với mọi xE 2 Rn, tồn tại pE 2 Znvà q 2 Z, 0 < jqj Qnsao cho: qxE Ep <1Q: (1.3) Chứng minh Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3. Với mỗi Q 1 cố định, áp dụng Định lý 1.3, ta có thể tìm được pE 2 Znvà q 2 Z, 0 < jqj Qnsao cho: xE pEq D1jqjqxE Ep <1 Qjqj 1 jqj1C 1n: Vì xE … Qn, xE pEq¤ 0, nên với Q0 > 0 sao cho 1 Q0< xE pEq; pE0và q0tìm được theo Định lý 1.3 tương ứng với Q0thỏa mãn điều kiện: <1 Q0jq0j 1Q0 l, thì sẽ có một chuồng có ít nhất 2 con thỏ. Lưu ý 1.5. Nguyên tắc trên đã được biết đến bởi các nhà toán học trước Dirichlet (ss. [8]), nhưng bài báo của Dirichlet là lần đầu tiên nguyên tắc này được áp dụng vào chứng minh một kết quả quan trọng trong toán, nên nó đã được gắn với tên của ông. Để minh họa ý tưởng chính, chúng ta sẽ chứng minh Định lý 1.3 cho trường hợp n D 1 như sau: Chứng minh Định lý 1.3 với n D 1. Với mỗi số thực x 2 R, chúng ta sử dụng ký hiệu phần nguyên và phần thập phân của x như sau: bxc WD maxfa 2 Z W a xg và fxg WD x bxc: 16 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử như Q là một số nguyên dương (thay Q bởi bQc nếu cần), và chia đoạn Œ0; 1/ ra thành Q đoạn: ; mỗi đoạn có độ dài 1Q. 0;1Q ; 1Q;2Q ; :::; Q 1 Q; 1 Xét Q C 1 số thực 0; fxg; f2xg; :::; fQxg. Vì Q C 1 > Q, theo Nguyên lý Dirichlet, tồn tại một đoạn a Q;a C 1 Q , 0 a < Q và 0 q1; q2 Q, q1 ¤ q2 sao cho: fq1xg; fq2xg 2 a Q;a C 1 Q : Vậy nếu đặt p1 D bq1xc, p2 D bq2xc, ta sẽ có được: j.q1x p1/ .q2x p2/j D jfq1xg fq2xgj <1Q: Và (1.3) sẽ thỏa mãn với q D q1 q2 và p D p1 p2. Chứng minh trên có thể dễ dàng mở rộng ra cho n 1 bất kỳ như sau: Chứng minh Định lý 1.3 với n 1. Tương tự như trên, ta có thể giả sử rằng Q > 0 là một số nguyên dương. Chia hình hộp vuông Œ0; 1/nra thành Qnhình hộp vuông nhỏ hơn có độ dài mỗi cạnh bằng 1Q: a1 Q;a1 C 1 Q Và xét Qn C 1 véc tơ dạng: ::: an Q;an C 1 Q với 0 a1; :::; an < Q: (1.4) 0;.fx1g; :::; fxng/;.f2x1g; :::; f2xng/; :::;.fQnx1g; :::; fQnxng/: Theo Nguyên lý Dirichlet, ta sẽ tìm được 2 véc tơ cùng nằm trong một trong một hộp vuông nhỏ (1.4). Và lập luận tương tự như ở trên, ta có thể tìm được pE 2 Znvà q 2 Z với 0 < jqj Qn sao cho: qxE C Ep <1Q: Bài tập 1.6. Gọi Mm;n.R/ là tập các ma trận m dòng n cột với hệ số thực. Định lý 1.2 có thể được mở rộng ra Mm;n.R/ thành dạng mệnh đề như sau: Nếu như ma trận A 2 Mm;n.R/ thỏa mãn AqE … Zm với mọi qE 2 Zn X f0g, thì tồn tại vô số .p; E q/E 2 Zm Znvới qE ¤ 0 và AqE Ep <1 Tìm cho Định lý Dirichlet trên Mm;n.R/. 17 qE : Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 2. Hình học số của Minkowski Cũng như trên R, tính tối ưu của hàm jqj.1C 1n /trong Định lý 1.2 có thể được chứng minh bởi sự tồn tại của các véc tơ xE xấp xỉ kém được định nghĩa bởi tính chất sau: tồn tại c > 0 sao cho với mọi véc tơ hữu tỉ pEq2 Qn, xE pEq>c jqj1C 1n: (2.1) Tuy nhiên không giống như trong trường hợp R, khi n > 1, chúng ta không có được công cụ liên phân số để mô tả và qua đó chứng minh sự tồn tại của các véc tơ xấp xỉ kém. Tập các véc tơ xấp xỉ kém trên Rnlà một đối tượng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết xấp xỉ Diophantine. Chúng tôi sẽ có một bài viết riêng về tập này trong một số báo sau. Cũng bởi không có công cụ liên phân số hoàn thiện trong không gian nhiều chiều, chúng ta sẽ phải sử dụng công cụ khác để cải thiện hằng số 1 trong Định lý 1.2. Công cụ mà chúng tôi sẽ giới thiệu trong phần còn lại của bài là Hình học các số (Geometry of Numbers) của Minkowski. Hình học số (Geometry of Numbers) được phát triển vào cuối thế kỷ 19, đầu thế kỷ 20 bởi nhà toán học Hermann Minkowski [7] nhằm đưa đại số tuyến tính và hình học vào giải một số vấn đề trong lý thuyết số đại số . Hình học số của Minkowski nhanh chóng tìm được ứng dụng trong xấp xỉ Diophantine, và trở thành một trong những công cụ cơ bản vô cùng quan trọng. Một số tài liệu tham khảo cho Hình học số: Cassels [2], Siegel [10], Gruber & Lekkerkerker [5]. 2.1. Vật lồi (Convex Body) Một trong những đối tượng nghiên cứu chính của Hình học các số là các tập lồi trong Rnđược định nghĩa như sau: Tập hợp E Rnđược gọi là tập lồi nếu như với 2 điểm bất kỳ x; E yE 2 E bất kỳ, đoạn thẳng nối xE và yE cũng nằm trong E: x; E yE 2 E ) txE C .1 t /yE 2 E với mọi 0 t 1: E được gọi là đối xứng tâm nếu như: xE 2 E ) Ex 2 E: Bài tập 2.1. Phân loại tất cả các tập lồi trên R. Ví dụ 2.2. (i) Tập ˚.x; y/ 2 R2W x2 C y2 1 là một tập lồi trên R2. (ii) Tập ˚.x; y/ 2 R2W x2 C y2 D 1 không phải là một tập lồi trên R2. ( (iii) Tập xE 2 RnWXn iD1 jxij 1 ) là một tập lồi trên Rn. ( (iv) Tập xE 2 RnWYn iD1 jxij < 1 ) không phải là một tập lồi trên Rnvới n 2. 18 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 2.3. Chứng minh ví dụ 2.2. Với mỗi tập E Rn, ký hiệu E là hàm đặc trưng của E: ( E .x/ E WD 1 ; xE 2 E 0 ; xE … E và vol.E/ là thể tích trên Rncủa E (độ đo Lebesgue của E): Z vol.E/ D Rn E .x/d. E x/: E Định lý sau của Minkowski, một trong những kết quả căn bản trong Hình học các số, cho ta biết được điều kiện đủ để một tập lồi có chứa điểm có tọa độ nguyên: Định lý 2.4 (Định lý hình lồi của Minkowski ). Gọi E Rnlà một tập lồi, đối xứng tâm và bị chặn trên Rn. Nếu như: (i) vol.E/ > 2n, hoặc (ii) vol.E/ D 2nvà E compact, thì E có chứa ít nhất một điểm tọa độ nguyên khác 0: E \ Zn X f0g ¤ ;: Để chứng minh Định lý 2.4, ta sẽ cần đến Quy tắc Blichfeldt trong Hình học số (Định lý 2.6) và Bổ đề sau: Bổ đề 2.5. Giả sử như f .x/ E là một hàm khả tích không âm trên Rnvới: Z Rn Tồn tại yE 2 Rnsao cho:X f .x/d. E x/ < E 1: Z pE2Zn f .yE C Ep/ Rn f .x/d. E x/: E Chứng minh. Nếu như chuỗi ở vế bên trái không bị chặn đều theo yE thì kết luận của Bổ đề là hiển nhiên. Giả sử như chuỗi ở vế bên trái bị chặn đều theo yE, theo Định lý hội tụ mạnh của Lebesgue, ta có được: Z Rn f .x/d. E x/ E DX pE2Zn Z Z Œ0;1/n X f .xE C Ep/d.x/ E D Œ0;1/n pE2Zn f .xE C Ep/d.x/ E X vol.Œ0; 1/n/ sup xE2Œ0;1/n f .xE C Ep/ pE2Zn D sup xE2Œ0;1/n X pE2Zn 19 f .xE C Ep/: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nếu như:Z X Rn f .x/d. E x/ < E sup xE2Œ0;1/n f .xE C Ep/ pE2Zn thì ta có thể tìm được yE 2 Œ0; 1/nsao cho: Z Rn f .x/d. E x/ E X pE2Zn f .yE C Ep/ < sup xE2Œ0;1/n X pE2Zn f .xE C Ep/: Còn nếu như:Z Rn f .x/d. E x/ E D sup xE2Œ0;1/n X pE2Zn f .xE C Ep/ thì vol 0 @ 8< :yE 2 Œ0; 1/nW Z Rn f .x/d. E x/ E DX pE2Zn f .yE C Ep/ 9= ; 1 A D 1; nghĩa là hầu hết yE 2 Œ0; 1/nthỏa mãn Bổ đề. Định lý 2.6 (Blichfeldt 1914 [1]). Nếu như E là một tập đo được trên Rnvới vol.E/ > 1 thì tồn tại 2 véc tơ khác nhau xE1; xE2 2 S sao cho xE2 Ex1 2 Zn. Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.5 với f D E , ta có thể tìm được yE 2 Rnsao cho: X pE2Zn E .yE C Ep/ Z Rn E .x/d. E x/ E D vol.E/ > 1: Vì vậy, tồn tại pE1; pE2 2 Znkhác nhau sao cho yE C Ep1; yE C Ep2 2 S. Đặt xE1 D Ey C Ep1, xE2 D Ey C Ep2, ta có được 2 véc tơ thỏa mãn Định lý. Chứng minh Định lý Vật lồi của Minkowski 2.4. Đầu tiên ta sẽ chứng minh cho trường hợp vol.E/ > 2n. Đặt S D˚xE W 2xE 2 E , thể tích của S là: vol.S / D12nvol.E/ > 1: Vì thế theo Định lý 2.6, ta có thể tìm được xE1; xE2 2 S khác nhau sao cho xE1 Ex2 2 Zn. Vì S cũng đối xứng tâm, Ex2 2 S, và vì S cũng là một tập lồi: txE1 C .1 t /Ex2 2 S với mọi 0 t 1: Với t D12,1 2xE1 12xE2 2 S: Theo định nghĩa của tập S: 1 2xE1 12xE2 D Ex1 Ex2 2 E: 2 Vậy, véc tơ pE D Ex1 Ex2 là một véc tơ tọa độ nguyên trong E. 20 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Với trường hợp vol.E/ D 2nvà E compact, xét dãy Ek D 1 C1k E D xE Wk 1 C kxE 2 E . vol.Ek/ > 2nvới mọi k, nên ta có thể áp dụng trường hợp đầu tiên cho Ek để có được 1 dãy pEk 2 Zn \ Ek. Vì các tập Ek bị chặn đều, dãy pEk là một dãy bị chặn, nên theo Định lý Bolzano-Weierstrass, tồn tại một dãy con hội tụ. Vì Znlà một tập rời rạc và E D\1 Ek, mỗi dãy con hội tụ của pk sẽ cho ta 1 véc tơ tọa độ nguyên trong E. kD1 Lưu ý 2.7. Điều kiện về thể tích trong Định lý 2.4 là tối ưu qua ví dụ sau: tập E D˚xE 2 RnWxE < 1 là một tập lồi, đối xứng tâm và có thể tích bằng 2n, nhưng E \ Zn D f0g. 2.2. Dạng tuyến tính (Linear Forms) Xét hệ bất phương trình tuyến tính n ẩn n bất phương trình như sau: ja1;1x1 C ::: C a1;nxnj < c1 :::::::::::: jan1;1x1 C ::: C an1;nxnj < cn1 jan;1x1 C ::: C an;nxnj cn (2.2) Áp dụng kết quả về tập lồi cho phép ta tìm được nghiệm nguyên không hiển nhiên cho hệ bất phương trình tuyến tính trên: Định lý 2.8 (Định lý Dạng tuyến tính của Minkowski ). Giả sử như ma trận A Dai;j 1 i;j n có jdet.A/j D 1, c1; c2; :::; cn > 0 và Yn iD1 nhất 1 bộ nghiệm nguyên khác 0. ci 1. Thì hệ bất phương trình tuyến tính (2.2) có ít Chứng minh. Với mỗi 1 i n, gọi Ai D .ai;1; ai;2; :::; ai;n/ véc tơ dòng thứ i của ma trận A. Và với k D 1; 2; :::, xét các hình bình hành nhiều chiều sau: Ek WD xE 2 RnWˇˇAi Exˇˇ < ci với 1 i n 1;ˇˇAn Exˇˇ < cn C1k : Bài tập 2.9. Chứng minh rằng các tập Ek là tập lồi, đối xứng tâm, và có thể tích: vol.Ek/ D 2nc1c2:::cn1 cn C1k > 2n: Theo Định lý 2.4, ta có thể tìm được một dãy các véc tơ tọa độ nguyên zEk 2 Ek khác 0. Lập luận như trong chứng minh của Định lý 2.4 ta có được véc tơ tọa độ nguyên cần tìm. Chúng ta có thể áp dụng Định lý Dạng tuyến tính để có một chứng minh khác cho Định lý Dirichlet: Chứng minh khác cho Định lý 1.3. Với mỗi véc tơ xE 2 Rn, xét ma trận A 2 MnC1;nC1.R/ như sau: A D 0 BBBBB@1 0 : : : 0 x1 0 1 : : : 0 x2 ::::::::::::::: 0 0 : : : 1 xn 0 0 : : : 0 1 21 1 CCCCCAD 0 BBBBB@A1 A2::: An AnC1 1 CCCCCA: (2.3) Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Với mỗi Q 1, áp dụng Định lý 2.8, ta có thể tìm được một véc tơ tọa độ nguyên: 1 CCCA2 ZnC1 X 0 sao cho zE D 0 BBB@p1:::pn q jqxi pj DˇˇAi Ezˇˇ <1Qvới 1 i n và jqj DˇˇAnC1 Ezˇˇ Qn: Ta chỉ cần phải chứng minh rằng q ¤ 0. Giả sử như q D 0, vì zE ¤ 0, nên tồn tại pi ¤ 0. Điều đó dẫn đến: 1 jpij DˇˇAi Ezˇˇ <1Q 1 (Vô lý). Vậy ta có được véc tơ pE D .p1; :::; pn/ 2 Znvà q 2 Z, q ¤ 0 cần tìm. 2.3. Cải thiện hằng số trong Định lý Dirichlet trên Rn Định lý 2.10 (Minkowski 1910). Với mọi véc tơ xE 2 Rn X Qn, tồn tại vô số véc tơ hữu tỉ pE qD p1 q;p2 q; :::;pn q 2 Qnvới pE 2 Znvà q 2 Z, q ¤ 0, sao cho: xE pEq 0 và C > 0, xét tập hợp EQ;C được định nghĩa bởi: EQ;C D˚.y; z/ E D .y1; :::; yn; z/ 2 RnC1W Qnjzj C QyE C : Bổ đề 2.12. Với mỗi Q > 0 và C > 0, EQ;C là một tập compact, lồi, đối xứng tâm, và có thể tích: vol.EQ;C / D.2C/nC1 n C 1: Chứng minh. Xét hàm f W EQ;C ! E1;C , .y; z/ E 7!Q1y; QEnz . 22 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 2.13. Chứng minh rằng f là một hàm tuyến tính, với định thức bằng 1, và là song ánh giữa EQ;C và E1;C . Vậy nên f và f1sẽ bảo tồn các tính chất compact, lồi và đối xứng tâm, và ta chỉ cần chứng minh trường hợp Q D 1. Tính compact và đối xứng tâm của tập E1;C là hiển nhiên. Gọi .y; z/ E và .yE0; z0/ là 2 điểm trong E1;C , với 0 t 1, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có được: ˇˇtz C .1 t /z0ˇˇ CtyE C .1 t /yE0 jtzj Cˇˇ.1 t /z0ˇˇ CtyE C.1 t /yE0 D tjzj CyE C .1 t /ˇˇz0ˇˇ CyE0 C Vậy t .y; z/ E C .1 t /.yE0; z0/ 2 E1;C . Cuối cùng ta có thể tính thể tích của E1 (cũng là của mọi EQ): vol.E1/ D Z C C Z Cjzj jzjC : : : Z Cjzj jzjC dy1 : : : dyndz D 2nC1 Z C 0 .C z/ndz D.2C/nC1 n C 1: Chứng minh Định lý 2.10. Đặt C D .n C 1/ 1 nC1 và ma trận A được định nghĩa như trong (2.3). Theo Bổ đề 2.12, tập AEQ;C là tập compact, lồi, đối xứng tâm, và có thể tích vol.AEQ;C / D 2nC1. Áp dụng Định lý 2.4, ta có thể tìm được một véc tơ tọa độ nguyên .pEQ; qQ/ khác 0 nằm trong AEQ;C , nghĩa là .pEQ; qQ/ thỏa mãn: QnˇˇqQˇˇ C QqQxE EpQ C: Lưu ý rằng với mỗi véc tơ tọa độ nguyên .p; q/ E , chỉ tồn tại hữu hạn Q > 0 thỏa mãn: Qnjqj C QqxE Ep D C: Vậy nên ngoại trừ một số đếm được các Q > 0, bộ ba Q; pEQ; qQ thỏa mãn bất đẳng thức: QnˇˇqQˇˇ C QqQxE EpQ < C: (2.5) Với những bộ Q; pEQ; qQ thỏa mãn (2.5), áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho ta: ˇˇqQˇˇ qQxE EpQn D nn QnˇˇqQˇˇ QnqQxE EpQ n nn QnˇˇqQˇˇ C QqQxE EpQ n C 1 !nC1 < nn C n C 1 23 nC1 n D Cnn; tương đương với (2.4). Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 D n n C 1 Nếu như ta chọn Q C thì qQ ¤ 0, vì nếu như qQ D 0, pEQ ¤ 0 và bất đẳng thức (2.5) dẫn đến: qQxE EpQ DpQ < CQ1 1 (vô lý): Lưu ý thêm rằng với mỗi .p; q/ E , tập: ˚Q > 0 W .p; q/ E 2 AEQ;C D˚Q > 0 W Qnjqj C QqxE Ep C bị chặn. Vì vậy khi Q ! 1, ta có thể tìm được vô số .p; q/ E thỏa mãn (2.4). Và với lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3, ta có thể tìm được vô số véc tơ hữu tỉ pEqthỏa mãn (2.4). Tài liệu tham khảo [1] Blichfeldt, H., A new principle in the geometry of numbers with some applications, Trans. Amer. Math. Soc. 15 (1914), pp. 227-235. [2] Cassels, J. W. S., An introduction to the Geometry of Numbers, Springer (1959). [3] Dirichlet, L. G. P., Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbruchen ¨ nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen, S. B. Preuss. Akad. Wiss. (1842), pp. 93–95. [4] Euler, L., Introductio in analysin infinitorum I, (1748). [5] Gruber, P., Lekkerkerker, C., Geometry of Numbers, North-Holland Mathematical Library (1987). [6] Hardy, G., Wright, E. M., An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Clarendon Press (1979). [7] Minkowski, H., Geometrie der Zahlen, Teubner: Leipzig U. Berlin (1896 & 1910). [8] Rittaud, B., Heeffer, A., The Pigeonhole Principle - Two centuries before Dirichlet, The Mathematical Intelligencer 36, Springer (2014), pp. 27–29. [9] Schmidt, W. M., Diophantine approximation, Lectures Notes in Mathematics 785, Springer (1980). [10] Siegel, C. L., Lectures on the Geometry of Numbers, Springer-Verlag (1989). [11] Lý Ngọc Tuệ, Xấp xỉ Diophantine trên R và Liên phân số, Epsilon 4, (2015). 24 CÂN BẰNG NASH Vladimir Gurvich Đề đề xuất cho Hội nghị mùa hè, Cuộc thi giữa các thành phố từ ngày 3 đến 11=8=2012: 1. Mở đầu Điều gì là chung giữa cờ vây, cờ vua, cờ nhảy và cờ ca rô? Tất cả chúng đều là những trò chơi hữu hạn vị trí với thông tin hoàn hảo và không có vị trí của cơ hội. Ý cuối có nghĩa là “tất cả các người chơi đều biết tất cả mọi thứ” và do đó họ biết những điều giống nhau. Điều này không giống như chơi bài hay chơi domino, nơi mà một người chơi không biết quân bài của đối thủ. Trong cờ cá ngựa, có vị trí của cơ hội, khi ta tung con xúc sắc. Từ “vị trí” có nghĩa có những bước đi từ vị trí này đến vị trí khác. Từ “hữu hạn” có nghĩa là có hữu hạn các vị trí. Bất kỳ cấu hình nào của những viên sỏi là một vị trí trong cờ vây. Có rất nhiều (nhưng hữu hạn) các vị trí như vậy. Một ván cờ bắt đầu từ một vị trí ban đầu nào đó và kết thúc ở vị trí chung cuộc (mà ta gọi là vị trí kết thúc). Ví dụ, một nước chiếu bí là một vị trí kết thúc trong cờ vua. Điều quan trọng là phải nhận thấy rằng vị trí có thể được lặp đi lặp lại và một ván đấu có thể có vòng lặp. Tất cả các trò chơi nói trên đều là những trò chơi hai người có tổng bằng không (zero-sum). Từ “zero-sum” có nghĩa là chiến thắng của một người là thất bại của người còn lại. Và nếu một người được một số điểm số thì người kia mất cùng một điểm số đó. Một cặp chiến lược là tối ưu nếu chúng tạo thành một trạng thái cân bằng, nghĩa là các kết quả tương ứng không thể được cải thiện bởi bất cứ một trong hai đối thủ. Tuy nhiên, mọi thứ trở nên phức tạp hơn nhiều khi có nhiều hơn hai người chơi (hoặc hai người chơi nhưng trò chơi không phải là zero-sum). Có thể xảy ra rằng mỗi người chơi chỉ có thể đảm bảo một kết quả rất kém, vì anh ta sẽ rất khó khăn để chiến đấu chống lại liên minh của tất cả các đấu thủ khác. Bài tập 1.1. Có 10 que diêm và 3 người chơi lần lượt xoay vòng bốc các que diêm, mỗi lần có thể bốc 1; 2; 3; 4; hoặc 5 que. Người nào bốc que diêm cuối cùng sẽ phải đi rửa bát. Chứng minh rằng hai người bất kỳ, nếu thỏa thuận với nhau, có thể buộc đấu thủ thứ ba đi rửa bát. Giả sử rửa bát được tính là 2; trong khi những người còn lại C1: Tổng trong mỗi ván đều bằng 0: Ta cũng muốn xác định một trạng thái cân bằng trong trường hợp này, nghĩa là, đề xuất 3 chiến lược sao cho nếu một người chơi thay đổi chiến lược của mình, người đó sẽ không được lợi gì nếu hai đối thủ giữ chiến lược cũ của họ. Khái niệm này đã được giới thiệu bởi John Nash vào năm 1950 và nó được gọi là cân bằng Nash. Bài tập 1.2. Đề xuất ba chiến thuật cho trò chơi nói trên. Họ các chiến thuật mà người duy nhất không chơi theo chiến thuật được gọi là cân bằng Nash (định nghĩa này cũng vẫn dùng được cho cả các trò chơi không đối kháng). Vấn đề chính của chúng ta là làm sao hiểu trò chơi nào là Nash - giải được (có nghĩa là, luôn luôn có điểm cân bằng Nash) và trò chơi nào không có. Cân bằng 25 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nash có thể mô tả là những quy luật mà việc tuân thủ nó có thể được thỏa thuận mà không cần cơ chế áp buộc từ bên ngoài. Bài tập 1.3. “Gặp gỡ trong siêu thị:” Hai (hoặc ba) người bị lạc nhau trong một siêu thị mà không có sóng điện thoại di động. Họ có thể gặp nhau ở một trong 3 cửa ra vào, mỗi một người sẽ lựa chọn đi ra cửa nào để đi một cách độc lập và không biết lựa chọn của những người còn lại. Nếu tất cả gặp nhau, mỗi người nhận được C1; nếu không mỗi người 1: Cân bằng Nash trong trò chơi này là gì? Lưu ý 1. Trò chơi này được cho trong hình thức bình thường (tất cả người chơi đưa ra lựa chọn cùng một lúc mà không biết lựa chọn của nhau. Sau khi những người chơi lựa chọn xong thì xác định thắng hay thua). Lưu ý 2. Một số siêu thị treo các tấm bảng “Nếu lạc nhau hãy gặp nhau ở quầy tính tiền số 1”. Bài tập 1.4. Có hay không cân bằng Nash trong trò chơi ca-rô trên một bàn cờ kích thước 3 3: Hãy mô tả chúng. Đầu tiên, chúng ta hãy chứng tỏ rằng rằng bất kỳ trường hợp không lặp (trong đó không có vị trì nào được lặp lại ) là Nash - giải được. Chúng ta hãy gán cho một trò chơi một đồ thị có hướng, mà đỉnh là các vị trí và các cạnh có hướng (cung) là các nước đi. Các vị trí mà từ đó không di chuyển được nữa gọi là vị trí kết thúc. Ta gán cho mỗi một vị trí kết thúc số điểm mà người chơi nhận được khi đi vào vị trí này. Các vị trí còn lại được chia giữa những người chơi, mỗi vị trí ta đều biết người chơi nào sẽ đi ra từ vị trí đó. Giả sử từ vị trí P mọi nước đi đều dẫn đến vị trí kết thúc, và người chơi chọn nước đi thuận lợi nhất cho anh ta về vị trí T: Điểm của T có thể chuyển về P: Và bây giờ P cũng trở nên xác định như là vị trí kết thúc. Cách phân tích từ cuối như vậy sẽ làm cho mọi vị trí đều xác định, trong đó có cả vị trí đầu tiên. Chiến lược tối ưu sẽ là nước đi của người chơi đến vị trí mà điểm số của anh ta lớn nhất. Bài tập 1.5. Chứng minh rằng với bất kỳ trò chơi không lặp những chiến lược tối ưu nói trên tạo thành một trạng thái cân bằng Nash. Bây giờ chúng ta xây dựng một đồ thị của trò chơi cờ vua. Chúng ta đã hiểu rằng vị trí không chỉ là một cách sắp các quân cờ, mà còn là thứ tự nước đi (đến lượt bên nào đi). Ngoài ra ta cũng cần biết có quyền nhập thành, ăn tốt qua đường hay không, hay vị trí này đã được lặp lại trước đó chưa. Một trong những giải pháp để cung cấp cho vị trí các thông tin cần thiết là ta nhớ nó cùng với lịch sử trước đó. Khi đó các vị trí lặp lại sẽ không có, đồ thị không lặp và trong đó cả hai người chơi đều có chiến thuật tối ưu. Nhưng cách hiểu như vậy là không thú vị đối với chúng ta. Luật lặp lại ba lần của một vị trí hiểu vị trí một cách khác. Cụ thể, sự sắp xếp của các quân cờ, thứ tự nước đi, có hay không quyền nhập thành, bắt tốt qua đường. Khi đó trong đồ thị có những chu trình có hướng, và phân tích từ cuối không thể thực hiện. Ta làm rõ khái niệm chiến thuật. Ta gọi quy tắc chọn một nước đi xác định trong mỗi vị trí đến lượt đi của người chơi là chiến thuật ổn định. Ví dụ trong trò chơi với những que diêm chiến thuật tham lam chỉ đạo mỗi lần bốc nhiều số que diêm nhất có thể. Ta chú ý rằng chiến thuật ổn định không phụ thuộc vào lịch sử trước đó, vì thế, nếu mỗi người chơi chơi theo chiến thuận ổn định, thì khi một vị trí lặp lại ván đấu sẽ lặp lại. Ta biết rằng trong cờ vua thì sự lặp lại nghĩa là hòa. Tuy nhiên ta có thể thỏa thuận là vòng lặp cũng có giá của nó (ví dụ khi xảy ra lặp thì tất cả cùng thua). Trong các trò chơi có vòng lặp ta biết rất ít về cân bằng Nash. 26 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 1.6. Có hay không cân bằng Nash trong cờ vua? Và nếu như bỏ đi luật hòa nếu một vị trí lặp lại 3 lần hay 50 nước không ăn quân hoặc tấn tốt? Từ đầu đến nay ta mới chỉ xét các trò chơi có kết thúc, khi mà kết quả của trò chơi (chi trả) được xác định chỉ bởi vị trí kết thúc hoặc vòng lặp. Trong một số trò chơi, ngoài điều này, người chơi còn được nhận hoặc phải trả qua từng nước đi, và kết quả cuối cùng được xác định cho người chơi là tổng tất cả các thu chi. Bài tập 1.7. Trên bàn có 5 que diêm. Ba người lần lượt bốc 1 hoặc 2 que diêm. Người bốc que diêm cuối cùng sẽ được thưởng 3 que diêm. Số điểm sẽ bằng số que diêm bốc được. Hãy xây dựng đồ thị trò chơi và tìm chiến thuật tối ưu cho tất cả các người chơi. Nếu trò chơi kết thúc bởi vòng lặp thì ta sẽ giả sử rằng vòng lặp sẽ diễn ra vô hạn lần. Khi đó kết quả của người chơi sẽ hữu hạn khi và chỉ khi tổng thu chi của anh ta bằng 0: Trái lại tổng sẽ bằng C1 hoặc 1: Bài tập 1.8. Có 100 tên cướp khát máu cướp nhà băng được 1 triệu đô-la và ngồi chia tiền. Đầu tiên, người thứ nhất đề xuất phương án: Tôi được chừng này, người thứ hai được chừng này, người thứ ba được chừng này ... sau đó cả 100 người biểu quyết. Nếu có ít nhất 1 nửa đồng ý thì đề xuất được chấp thuận và họ sẽ chia tiền theo phương án đó và giải tán. Nếu có trên một nửa chống, bọn cướp sẽ thủ tiêu người thứ nhất và người thứ hai lại đề xuất phương án chia mới, cứ như thế ... Mỗi một tên cướp được chỉ đạo bởi mong muốn trước tiên là được sống, sau đó (nếu mạng sống không bị de dọa) là được nhiều tiền và cuối cùng (nếu như mạng sống và số tiền không bị ảnh hưởng) – thủ tiêu được càng nhiều càng tốt (dân xã hội đen mà). Hỏi tiền sẽ được chia thế nào nếu tất cả các tên cướp đều hành động và suy luận hoàn toàn logic (tức là hay tìm cân bằng Nash). 2. Dẫn nhập “không có những định nghĩa chặt chẽ” Ta xét câu hỏi sau: Những trò chơi vị trí với đầy đủ thông tin nào có cân bằng Nash trong các chiến thuật thuần túy ổn định? Trong một số trường hợp câu trả lời đã được biết. Ta điểm qua các trường hợp như vậy, bỏ qua các định nghĩa chính xác. Cân bằng Nash tồn tại cho các lớp sau: .1/ Các trò chơi không lặp : Trong các trò chơi này, các vị trí không thể lặp lại. Trong trường hợp này luôn tồn tại cân bằng. Thế nhưng trong Cờ vua và ngay cả Cờ vây thì có sự lặp lại của các vị trí. .2/ Các trò chơi đối kháng hai người chơi : Lớp này có cả Cờ vua và Cờ vây. Nhưng nếu lợi ích của hai bên không đối kháng thì sao? Hay số người chơi lớn hơn 2 thì sao? .3/ Nếu như nước đi của người chơi phụ thuộc vào lịch sử trước đó : Tuy nhiên chúng ta giới hạn người chơi chỉ dùng các chiến thuật ổn định. Nói cách khác, một nước đi chỉ phụ thuộc vào vị trí hiện tại và được chọn hoàn toàn xác định, không có một sự ngẫu nhiên nào. Ví dụ các trò chơi có dùng quân xúc sắc bị loại bỏ. Chú ý rằng trong các trường hợp .1/; .2/ và .3/ cân bằng tồn tại ngay cả khi có những nước đi ngẫu nhiên. Tuy nhiên ta biết rằng cân bằng có thể không tồn tại trong các trò chơi không có 27 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 thông tin đầy đủ (ví dụ các trò chơi bài hoặc domino). Nhưng ta sẽ không xét những trò chơi như vậy, thậm chí còn không định nghĩa chúng. Tóm tắt lại: Ta giới hạn việc xem xét các trò chơi với thông tin đầy đủ, không có các nước đi ngẫu nhiên và với chiến thuật thuần túy ổn định. Trong đó số người chơi có thể lớn hơn 2 và trong trường hợp 2 người thì lợi ích của họ không nhất thiết phải đối kháng. Rất đáng ngạc nhiên là ngay cả trong trường hợp này ta cũng chưa có nhiều tiến triển. Có một số cách tiếp cận, trong đó đơn giản nhất chính là cân bằng Nash (ta sẽ định nghĩa dưới đây). Mặc dù các công trình về cân bằng Nash đã được đến 5 giải thưởng Nobel về kinh tế nhưng có cảm nhận rằng những câu hỏi toán học “đơn giản” và tự nhiên nhất cho đến nay vẫn là những câu hỏi mở. Ở đây tôi sẽ đề xuất hai câu hỏi - giả thuyết như vậy. Các giả thuyết này đã được kiểm chứng, với sự trợ giúp của máy tính với những ví dụ đủ lớn (nhưng không quá lớn). Tôi hy vọng sẽ có những câu trả lời khẳng định, nhưng cũng không ngạc nhiên nếu có những phản ví dụ. Trong những giả thuyết này có những trường hợp riêng tương đối đơn giản mà ta có thể luyện tập. Tuy nhiên, các trường hợp riêng khác khá phức tạp và có một số trường hợp ta chưa biết kết quả giống như ở trường hợp tổng quát. 3. Các định nghĩa cơ bản Tôi có cảm nhận rằng các định nghĩa dưới đây đều hiển nhiên một cách trực giác. Tuy nhiên, cách phát biểu hình thức có thể làm ai đó “sợ”. Nếu quả là như vậy, hãy bỏ qua việc đọc phần này trong lần đọc đầu tiên và hãy sử dụng nó như từ điển hoặc sổ tay tra cứu. 3.1. Đồ thị trò chơi, vị trí và nước đi Cho một đồ thị có hướng hữu hạn G D .V I E/: Mỗi một đỉnh v 2 V là một vị trí của trò chơi và cạnh có hướng e D .v; v0/ là một nước đi có thể ở vị trí v: Các vị trí VT V; mà ở đó không có nước đi, được gọi là các vị trí kết thúc. Ta cũng chọn vị trí khởi đầu v0 2 V VT : Mỗi một vị trí không kết thúc v 2 V n VT ta cho tương ứng với người chơi i I 2 I D f1; 2; : : : ; ng; người sẽ chọn nước đi ở vị trí v: Ta sẽ nói i kiểm soát v và viết i D .v/: Nói cách khác, ánh xạ W V n VT ! I phân phối các vị trí không kết thúc cho các người chơi. Bộ ba fG; ; v0g được gọi là cấu trúc vị trí. 3.2. Chiến thuật và tình huống. Chiến thuật xi của người chơi i 2 I là kế hoạch cho phép chọn nước đi e D .v; v0/ trong mọi vị trí v 2 1.i /; điểm kiểm soát bởi i; nói cách khác ánh xạ xi cho tương ứng mỗi vị trí v 2 1.i / một nước đi e D .v; v0/ từ v: Đây chính là chiến thuật thuần túy ổn định. Như đã nói trước đây, các chiến thuật khác ta sẽ không xét đến và cũng không định nghĩa. Các ván đấu : Ta giả sử người chơi thứ i sẽ chọn chiến thuật xi; và bộ các chiến thuật x D .x1; x2; : : : ; xn/ được gọi là gói chiến thuật hay tình huống. Mỗi một tình huống một xác định một cách duy nhất ván đấu p.x/; vì mọi người chơi i 2 I trong mọi vị trí v 2 1.i / biết anh ta phải đi nước nào (người tương ứng với chiến thuật xi/: Ván đấu p.x/ bắt đầu ở v0 và hoặc sẽ kết 28 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 thúc ở một vị trí kết thúc v 2 VT hoặc bị lặp, tức là xuất hiện chu trình có hướng C mà sau đó sẽ lặp lại vô hạn (ván đấu p.x/ không thể thoát khỏi C; vì tất cả các chiến thuật là ổn định). Như vậy chúng ta thu được ánh xạ g W X ! P mà mỗi một tình huống x 2 X được cho tương ứng với một ván đấu p 2 P: Các ánh xạ như vậy được gọi là thể thức chơi. 3.3. Hàm lượng giá Mỗi một người chơi i 2 I sau mỗi nước đi e 2 E trả một khoảng phí c.i; e/ 2 R: Số thực này gọi là giá địa phương (nếu như c.I; e/ < 0; thì i không trả mà ngược lại được nhậnˇˇc.I; e/ˇˇ/: Cấu trúc vị trí và thanh toán địa phương xác định trò chơi trong hình thức vị trí. Giá hiệu quả của ván đấu p D p.x/ được định nghĩa cho từng người chơi i 2 I như sau. Nếu p kết thúc ở vị trí v 2 VT thì giá của nó c.i; p/ DX e2p c.i; e/ là cộng tính, tức là bằng tổng giá của tất cả các nước đi của p: Nếu p bị lặp, thì ta cần tính giá c.i; C / DX e2C c.i; e/ của xích C tương ứng đối với i: Nếu như c.i; C / > 0; thì c.i; p/ D 1 và c.i; p/ D 1; nếu như c.i; C / < 0: Định nghĩa này là tự nhiên, vì chu trình sẽ lặp lại vô hạn lần, còn các giá địa phương sẽ được cộng lại. Tuy nhiên, nếu như ván đấu bị lặp ở “chu trình 0”, c.i; C / D 0; ta vẫn đặt c.i; p/ D 1: Đây chỉ là một quy ước cho tiện lợi. Thể thức chơi g và giá hiệu quả c xác định trò chơi .g; c/ ở dạng chuẩn. Tất nhiên, mội một người chơi i đều cố gắng tối thiếu hoái giá hiệu quả c.i; p/ của mình. Trò chơi kết thúc: Nước đi e D .v; v0/ được gọi là nước kết thúc nếu v02 VT : Chú ý rằng nước kết thúc không thể thuộc vào một chu trình nào. Hàm lượng giá (và cả trò chơi) được gọi là kết thúc nếu c.i; e/ 0 với mọi người chơi i và với mọi nước đi không kết thúc e: Trong trường hợp này, giá của trò chơi sẽ chỉ phụ thuộc vào vị trí kết thúc. Nếu ván đấu p bị lặp thì giá sẽ bằng 1 hoặc 1: Trò chơi với tổng 0: Hàm lượng giá (và chính trò chơi) có tổng 0 nếu X i2I c.i; e/ D 0 với mọi nước e 2 E: Trò chơi cho 2 người, n D 2 với tổng 0 đóng một vai trò rất quan trọng cả về mặt lịch sử lẫn theo bản chất. Mọi trò chơi với n người có thể chuyển dễ dàng thành trò chơi n C 1 người với tổng 0: Chỉ cần đưa vào người chơi thứ n C 1 – “ông tám” (người không kiểm soát một vị trí nào) và xác định giá địa phương của anh ta theo công thức c.n C 1; e/ D Xn iD1 Trò chơi ở dạng chuẩn: Định nghĩa chung. c.i; e/: Ta giả sử I D f1; 2; : : : ; ng là tập hợp các người chơi, Xi – tập hữu hạn các chiến thuật của người chơi thứ i 2 I và X D X1 X2 Xn là tích Đề-các của chúng, tức là tập hợp các tình huống. Tiếp theo, giả sử P là một tập hợp bất kỳ các kết quả của trò chơi (trong trường hợp của chúng ta là ván đấu). Mọi ánh xạ g W X ! P được gọi là thể thức chơi. Cuối cùng, giả sử có hàm lượng giá c W I P ! R: Các giá trị thực c.i; p/ của nó sẽ cho ta biết người chơi i 2 I sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ván đấu p 2 P: Cặp .g; c/ xác định trò chơi ở dạng chuẩn. 29 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Cân bằng Nask và điểm yên ngựa: Tình huống x D .x1; x2; : : : ; xn/ X1 Xn D X được gọi là cân bằng Nash nếu như sự thay đổi chiến thuật bởi mọi người chơi i 2 I (nhưng chỉ một người) đều không đem lại lợi ích cho anh ta, tức là không làm giảm giá đối với anh ta. Một hình hình thức có thể viết thế này: c.I; g.x// c.I; g.x0// với mọi người chơi i 2 I và mọi tình huống x02 X mà mọi tọa độ (chiến thuật) của nó vẫn giống như của x ngoại trừ có thể là tại tọa độ I; nói cách khác, chỉ có x0icó thể khác xi: Khái niệm này được đưa ra nởi John Nash năm 1950: Trong trường hợp các trò chơi 2 người với tổng 0 cân bằng Nash có tên là điểm yên ngựa. Khái niệm này đã ra đời từ 200 năm trước đó. Khác với điểm yên ngựa, khái niệm cân bằng Nash khá nhạy cảm đối với các chỉ trích. Thông thường thì hai người chơi có thể thay đổi chiến thuật cùng một lúc và cả hai đều đoán. Hơn thế, thỉnh thoảng điều này có thể xảy ra với cả n người chơi. Tình huống cân bằng (trong các chiến thuật thuần túy) có thể không tồn tại nói chung. Và nếu tồn tại thì chín có thể có nhiều. Hơn nữ, không chỉ là các cân bằng mà các thanh toán cân bằng cũng có thể có nhiều. Điểm yên ngựa không có đa số những điểm yếu này. Tuy nhiên, đả phá Nash không phải là mục tiêu của chúng ta (chúng ta cũng nhờ về 5 giải Nobel). Cân bằng Nash thuần nhất: Tình huống x 2 X được gọi là cân bằng Nash thuần nhất nếu như nó cân bằng không nhưng chỉ với vị trí khởi đầu đã cho v0 2 V; mà với mọi vị trí kết thúc v00 2 V khác. 4. Các bài toán và giả thiết Chúng ta sẽ quan tâm đến các định lý tồn tại cân bằng Nash (tức là giải được theo Nash) của các trò chơi vị trí đã được định nghĩa ở trên (độ phức tạp của bài toán tôi đánh giá bằng số điểm tôi viết ở trong ngoặc). Giả thuyết 1 .500/: Có phải chăng mọi trò chơi vị trí cho 2 người đều giải được theo Nash? Bài toán 1 .10/: Hãy chứng tỏ rằng, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng không có các “chu trình 0”, nói chặt chẽ hơn là các chu trình có hướng với tổng giá địa phương bằng 0: Nói các khác, có thể không mất tỗng quát giả sử rằng X c.i; e/ ¤ 0 với mọi chu trình có hướng C và với mọi người chơi i 2 I D f1; 2g: e2C Nhắc lại là giá hiệu quả của mọi ván đấu có lặp bằng C1 hoặc 1: Đây là một giả thuyết hoàn toàn mới. Vladimir Udalov đã viết chương trình khẳng định giả thuyết đúng cho nhiều đồ thị có hướng với 10 18 đỉnh. Bài toán 2 .25/: Giả thuyết 1 không tổng quát được lên cho trường hợp 3 người chơi. Hãy xây dựng ví dụ. Đối với các trò chơi cho 2 người với tổng bằng 0 giả thuyết là đúng nhưng chứng minh rất phức tạp. Hơn thế, trong trường hợp này có thể đưa vào giá hiệu quả hữu hạn của mỗi ván đấu p; kết thúc bằng “chu trình 0” C; sao cho điểm yên ngựa luôn tồn tại (nhắc lại rằng theo định nghĩa c.i; p/ D C1 trong trường hợp này). Tuy nhiên một tái định nghĩa như vậy không đơn giản. Bài toán 3 .70/: Hãy thử tìm định nghĩa đó và chứng minh tính giải được. Chứng tỏ rằng các “cố gắng đơn giản” không qua được cửa này. Ví dụ nếu đặt c.i; p/ D 0 hay c.i; p/ DX e2p thì có thể không có điểm yên ngựa. Hãy xây dựng ví dụ. 30 c.i; e/ Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Giả thuyết 2 .500/: Có phải chăng mọi trò chơi vị trí với n người chơi, trong đó mọi giá địa phương đều không âm đều giải được theo Nash? Bài toán 3a .5/: Chứng minh rằng ta chỉ cần xét trường hợp giá địa phương lớn hơn 0: Giả thuyết này chưa được chứng minh ngay cả trong các trường hợp “rất riêng”. Giả thuyết 2a .300/: Thanh toán kết thúc. Trong đó giá hiệu quả của mọi ván đấu lặp đối với mỗi người chơi bằng C1: Giả thuyết 2b .400/: Thanh toán kết thúc. Trong đó vẫn như cũng mọi chu trình đều tạo ra cùng một kết quả, NHƯNG không nhất thiết là kết quả tệ nhất cho mọi người chơi. Thay vì điều này, bây giờ ta sẽ giả sử rằng mỗi một người chơi đề sắp xếp tất cả các vị trí kết thúc và kết quả chu trình một cách tùy ý. Giả thuyết 2c .300/: Trường hợp hai người chơi n D 2: Trong trường hợp này ta gom hai Mệnh đề của giả thuyết 1 và 2 lại. Bài toán 4 .100/: Chứng minh rằng trong trường hợp hai người chơi và hàm giá kết thúc Giả thuyết 2 vẫn đúng. Kết quả này có thể được suy ra từ một định lý cũ của tôi, năm 1975: Theo định nghĩa, thể thức trò chơi cho n người g W X1 X2 Xn ! P giải được theo Nash nếu trò chơi tương ứng .g; c/ có ít nhất một cân bằng Nash với mọi hàm lượng giá c W I P ! R: Ở đây c.i; p/ – giá của kết quả p 2 P cho người chơi i 2 I: Trong trường hợp 2 người chơi I D f1; 2g bên cạnh với định nghĩa tổng quát về tính giải được ta cũng xét các tính chất yếu hơn: Thể thức chơi hai người g được gọi là giải được đới kháng nếu nó giải được trong lớp các trò chơi với tổng 0: Cuối cùng g được gọi là ˙1 giải được nếu nó giải được trong lớp các trò chơi 2 người với tổng 0; trong đó hàm lượng giá chỉ nhận 2 giá trị: C1 hay 1: Bài toán 5 .100/: Chứng minh rằng tất cả ba tính chất (giải được, giải được đối kháng và giải được ˙1/ là tương đương. Sự tương đương của hai tính chất cuối cùng tôi đã chứng minh nhiều năm trước đây, vào năm 1973; nhưng còn trước đó hơn nữa, Edmonds, J.; Fulkerson đã chứng minh được. Ed monds, J.; Fulkerson, D. R. .1970/; “Bottleneck extrema”, Journal of Combinatorial Theory 8 W 3 .1970/ 299 306: Rất đáng tiếc, kết luận của bài toán 5 không tổng quát hóa được lên cho trường hợp trò chơi 3 người. Ta phát biểu điều này chặt chẽ hơn. Mọi thể thức chơi n người, I D f1; ; 2; : : : ; ng có thể cho tương ứng với n thể thức chơi cho 2 người, trong đó người chơi i chơi với I n fig với i 2 I: Bài toán 5a .50/: Hãy nêu ví dụ một thể thức chơi với 3 người chơi, không giải được theo Nash, sao cho 3 thể thức chơi 2 người tương ứng với nó giải được. Bài toán 5b .20/ Hãy nêu một ví dụ ngược lại, một trò chơi 3 người giải được theo Nash nhưng các thể thức chơi 2 người tương ứng với nó không giải được. Bài toán 6 .20/: Hãy chứng tỏ rằng bài toán 4 có thể đưa về bài toán 5: Bài toán 7 .15/: Chứng minh rằng cân bằng Nash tồn tại nếu như đồ thị G không lặp (không có chu trình có hướng). Hướng dẫn: Hãy sử dụng quy hoạch động. Trong lý thuyết trò chơi vị trí cái này gọi là “quy nạp ngược”. 31 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Kết quả này thu được bở Harold Kun .1952/ và David Geil .1953/ ngay sau khi Nash đưa ra khái niệm cân bằng. Bài toán 7a .20/: Chứng minh rằng với các trò chơi không lặp cân bằng Nash tồn tại ngay cả trong trường hợp cho phép có những vị trí may mắn (trong đó được cho phân phối xác suất). Tất nhiên, để giải được cả hai bài này ta chỉ được 20 điểm tối đa, chứ không phải 35: Bài toán 8 .40/: Chứng minh rằng cân bằng Nash (điểm yên ngựa) tồn tại cho các trò chơi vị trí hai người với tổng 0: Nói riêng kết quả này áp dụng cho cờ vua và cờ vây. Kết quả này Ernst Zermelo đã báo cáo trên Đại hội toán học thế giới lần thứ 5 vào năm 1912: Báo cáo của ông có tên “Về ứng dụng của lý thuyết tập hợp vào cờ vua”. Tôi lưu ý rằng là ngay trong trường hợp này, kết quả có thể mở rộng, cho phép các vị trí may mắn. Tuy nhiên điều này sẽ đưa chúng ta đi xa về phía các trò chơi ngẫu nhiên. Vì vậy sau này ta để hướng này qua một bên, dành cho lần khác. Bài toán 9 .10/: Ta quy ước kết thúc trò chơi ngay từ lần đầu tiên vị trí được lặp lại. Và kết quả của trò chơi chính là chu trình thu được. Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này đồ thị hữu hạn có thể được thay thế bởi cây hữu hạn (trong đó sẽ không chỉ không có các chu trình có hướng, mà nói chung là không có chu trình). Tại sao Giả thuyết 1 và 2 không thể suy ra từ bài toán 7‹ Bài toán 10 .15/ Hãy nêu ví dụ trò chơi kết thúc của hai người chơi trong đó chỉ có 1 chu trình và không có cân bằng thuần nhất (chu trình không nhất thiết phải là kết quả tệ nhất cho cả hai đối thủ. Mỗi một người trong họ sắp xếp các vị trí kết thúc và chu trình một cách tùy ý). Bài toán 11 .100/ Hãy nêu ví dụ một tro chơi kết thúc hai người chơi trong đó không có cân bằng thuần nhất và chỉ có đúng một chu trình, là kết quả tệ nhất cho cả hai đối thủ. Bài toán 12 .25/ Hãy nêu ví dụ tương tự một trò chơi kết thúc 3 người chơi: Trong đó không có cần bằng thuần nhất và chỉ có một chu trình là kết quả tê nhất cho cả 3 người chơi. Các ví dụ như vậy được xây dựng cách đây không lâu: Bài toán 11 vào năm 2003; còn bài toán 12 năm 2008: Tất nhiên, trong tất cả 3 trường hợp (Bài toán 10; 11; 12/ đối với mọi vị trí khởi đầu cố định, cân bằng tồn tại. Nếu không thì Giả thuyết 2 đã bị bác bỏ rồi. 32 MỞ RỘNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC EUCLID THÀNH CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC CẦU VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY - MỘT PHƯƠNG THỨC SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI Nguyễn Ngọc Giang – TP Hồ Chí Minh TÓM TẮT Sáng tạo các bài toán mới luôn là niềm đam mê và đích tới của các nhà toán học. Tuy nhiên một câu hỏi luôn đặt ra là, làm thế nào để phát hiện được các bài toán mới? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần đến phương pháp phát triển và mở rộng các bài toán. Ở bậc đại học, chúng ta đã được học một trong các phương pháp như thế, đó là phương pháp afin-xạ ảnh. Tuy nhiên, phương pháp afin-xạ ảnh không phải là phương pháp duy nhất. Có một phương pháp còn hay hơn và hấp dẫn hơn phương pháp afin-xạ ảnh, đó là phương pháp mở rộng các bài toán hình học Euclid1thành các bài toán hình học cầu và hình học Lobachevsky. Nội dung của phương pháp là đi tìm và chứng minh bài toán tổng quát của hình học Euclid trong hình học cầu và hình học Lobachevsky. Trong bài báo này chúng ta sẽ tìm hiểu các bài toán, các khái niệm, tính chất và so sánh chúng bằng cả ba thứ hình học. Đặc biệt, các bài toán, các khái niệm, tính chất đều được nhìn bằng ”con mắt” Euclid nên dễ hiểu, dễ tiếp nhận. 1. So sánh hình học Euclid, hình học cầu và hình học Lobachevsky Trong hình học cầu, bán kính cầu R cho ta biết một điều, bán kính R càng lớn thì hình học trong phạm vi đó càng gần hình học Euclid. Vì vậy bán kính mặt cầu R còn được gọi là bán kính cong. Người ta đã chứng minh được rằng 1R2là độ cong toàn phần không đổi của mặt cầu và 1R2là độ cong toàn phần của mặt phẳng Lobachevsky. Ta thêm dấu trừ để chỉ sự khác biệt với hình học Euclid. Hình học Lobachevsky diễn ra theo hướng ngược với hình học cầu so với hình học Euclid. Hình học Euclid (hai chiều) là hình học trên một mặt phẳng có độ cong toàn phần bằng không. Như vậy, hình học Euclid là trường hợp giới hạn của hình học trên một mặt cầu (khi R ! 1/ và cũng là giới hạn của hình học trên một mặt cong có độ cong toàn phần âm không đổi 1R2(khi R ! 1/. Ta quy ước các khái niệm thông thường như đường thẳng, tam giác, tiếp tuyến, đường tròn, cung 1Ghi chú: Thuật ngữ hình học Euclid trong tiếng Anh là Euclidean Geometry. Đôi chỗ vẫn có tài liệu ghi là Euclide thay vì Euclid. Ở đây, để thống nhất với hai bài viết trong cùng số Epsilon này, cũng như phù hợp với tên tiếng Anh của nhà toán học lừng danh người Hy Lạp, chúng tôi chọn tên Euclid và hình học Euclid cho toàn bộ bài viết. Chú thích của Ban Biên tập. 33 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 tròn . . . mà không nói gì thêm có nghĩa là các khái niệm này ở trong hình học Euclid. Ta quy ước các khái niệm đường thẳng, đường tròn . . . trong hình học Lobachevsky sẽ có thêm kí hiệu L đi kèm. Ví dụ đường thẳng L A, L AB có nghĩa là đường thẳng đi qua A, đường thẳng AB trong hình học Lobachevsky, đường tròn L .OI OA/ là đường tròn tâm O bán kính OA trong hình học Lobachevsky. Đường thẳng, đường tròn, . . . trong hình học cầu sẽ có thêm kí hiệu S đi kèm. Ví dụ đường thẳng S AB có nghĩa là đường thẳng AB trong hình học cầu. Ta cũng quy ước sinABR, tanABRlần lượt là sin S ABR ! ; tan S ABR ! ; sinhABR; tanhABRlần lượt là sinh L ABR ! ; tanh L ABR ! . Ta quy ước các mục 1.1, 2.1, 3.1, . . . , n.1, . . . là các khái niệm, định lí trong hình học Euclid; các mục 1.2, 2.2, 3.2, . . . , n.2, . . . là các khái niệm trong hình học cầu; các mục 1.3, 2.3, 3.3, . . . , n.3, . . . là các mục trong hình học Lobachevsky. Sau đây là các mục so sánh các khái niệm, tính chất, hệ thức, định lí cũng như cách dựng các đối tượng của ba thứ hình học Euclid, cầu và Lobachevsky [4]: 1.1. Điểm. 1.2. Điểm nằm trên mặt cầu. 1.3. Điểm nằm phía trên trục-x cho trước. 2.1. Điểm ở vô tận (trong mặt phẳng Euclid mở rộng). 2.2. Không có gì tương ứng. 2.3. Điểm thuộc trục-x. 3.1. Không có gì tương ứng. 3.2. Không có gì tương ứng. 3.3. Điểm nằm phía dưới trục-x. 4.1. Đường thẳng AB. 4.2. Đường tròn lớn đi qua A; B là giao của mặt phẳng .OAB/ với mặt cầu chính là đường thẳng S AB: 4.3. Nửa đường tròn có tâm trên trục-x đi qua A; B là đường thẳng L AB. Cách dựng như sau: - Dựng đường trung trực của đoạn AB cắt trục-x tại O: Nửa đường tròn .OI OA/ đi qua A; B là nửa đường tròn cần dựng. - Nửa đường tròn này là đường thẳng L AB 34 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 5.1. Đoạn thẳng AB. 5.2. Cung ABd (cung nhỏ) là đoạn thẳng S AB: 5.3. Cung ABd của nửa đường tròn có tâm trên trục-x đi qua A; B là đoạn thẳng L AB. 6.1. Độ dài đoạn thẳng AB. 6.2. Độ dài cung ABd là độ dài đoạn thẳng S AB: 6.3. - Dựng cung ABd của nửa đường tròn có tâm trên trục-x đi qua A; B cắt trục-x tại hai điểm ở vô tận P; Q: - Đo độ dài các đoạn thẳng AP ; AQ; BP ; BQ: - Gọi tỉ số kép của .AB; PQ/ là .AB; PQ/ DAP =AQ BP =BQ: - Đặt d D j ln.AB; PQ/j thì d là độ dài đoạn thẳng L AB: 7.1. Định lí: Có một và chỉ một đường thẳng qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước. 7.2. Không có đường thẳng song song trong hình học cầu. Hai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau. 7.3. - Có hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước. - Hai đường thẳng bất kì hoặc là cắt nhau, hoặc là song song hoặc là phân kì. - Có vô số đường thẳng đi qua một điểm và không có điểm chung với đường thẳng cho trước. 8.1. Độ lớn góc ACB [ 8.2. - Cho hai cung tròn CA; d CBd thuộc các đường tròn lớn của mặt cầu. - Độ lớn của góc tạo bởi hai tiếp tuyến CA0; CB0với hai cung CA; d CBd tại C là độ lớn của S ACB [ (hình vẽ). 35 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 8.3. - Dựng hai cung tròn CA; d CBd là hai đoạn thẳng L CA; L CB: (Xem 5.3). - Dựng hai tiếp tuyến CA0; CB0với hai cung tròn tại C .BB0?CB0; AA0?CA0/. - Độ lớn góc A\0CB0 chính là độ lớn L ACB [. 9.1. Đường phân giác CC0của góc ACB [. 9.2. - Dựng góc S ACB [ là A\0CB0. - Dựng phân giác CC0của góc A\0CB0. - Dựng đường tròn lớn .OCD/ qua C tiếp xúc với CC0tại C thì CD là phân giác của góc S ACB: [ 9.3. - Dựng góc L ACB [ bằng góc A\0CB0 với CA0; CB0được dựng như 8.3. - Dựng phân giác CC0của góc A\0CB0. 36 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Dựng đường thẳng d?CC0: - d cắt trục-x tại O0: - Nửa trên của đường tròn .O0I O0C / chính là đường phân giác CC0của L ACB [. 10.1. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước tại điểm nằm trên đường thẳng. 10.2. - Đường tròn lớn đi qua hai điểm B; C là đường thẳng S BC: - Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng S BC: - Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn lớn qua hai điểm B; C: - Mặt phẳng .A; d / cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn qua A: Đường tròn này chính là đường thẳng L A đi qua A và vuông góc với BC: 10.3. - Dựng đường thẳng L AB: 37 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Gọi O là tâm đường tròn nằm trên trục-x đi qua hai điểm A; B: - Nối OA: - Gọi O0là điểm trên trục-x sao cho O0A?OA: - Dựng đường tròn .O0I O0A/ thì nửa đường tròn trên trục-x đi qua A là đường thẳng L A cần dựng. 11.1. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước tại một điểm không nằm trên đường thẳng. 11.2. - Đường tròn lớn đi qua hai điểm B; C là đường thẳng S BC: - Gọi A là điểm nằm ngoài đường thẳng S BC: - Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn lớn qua hai điểm B; C: - Mặt phẳng .A; d / cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn qua A: Đường tròn này chính là đường thẳng S A đi qua A và vuông góc với S BC: 11.3. - Dựng đường tròn .O/ đi qua hai điểm A; B có tâm O trên trục-x. Nửa đường tròn phía trên trục-x này là đường thẳng L AB: - Dựng đường tròn .OI OC /: 38 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Dựng qua O đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn phía trên .OI OC / tại F: - OC; OF lần lượt cắt đường thẳng L AB tại D; E: - Dựng qua E đường thẳng song song với DF cắt OC tại G: - Gọi O0là giao của đường trung trực đoạn CG với trục-x: - Nửa đường tròn .O0I O0C / phía trên trục-x chính là đường thẳng L C đi qua C và vuông góc với L AB cần dựng. 12.1. Trung điểm M của đoạn thẳng CD. 12.2. - Cho đoạn thẳng S CD. - Gọi M0là trung điểm của đoạn thẳng CD: - Tia OM0cắt đoạn thẳng S CD tại M thì M chính là trung điểm của đoạn thẳng S CD: 12.3. - Gọi đường tròn đi qua hai điểm C; D có tâm nằm trên trục-x là .O/: Nửa đường tròn phía trên chứa C; D chính là đường thẳng L CD: - Đường thẳng CD cắt trục-x tại O0: - Gọi H là trung điểm của OO0: - Đường tròn .HI HO/ cắt đường thẳng L CD tại M thì M là trung điểm cần dựng. 13.1. Trung trực của đoạn thẳng CD. 13.2. - Dựng trung điểm M của đoạn thẳng S CD như cách dựng 12.2. - Dựng đường thẳng qua M vuông góc với S CD tại M như cách dựng 10.2. 13.3. - Dựng trung điểm M của đoạn thẳng L CD như cách dựng 12.3. - Dựng đường thẳng L M đi qua M và vuông góc với L CD tại M như cách dựng 10.3. 39 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 14.1. Ảnh đối xứng A0của điểm A qua đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM cho trước. 14.2. - Dựng đường thẳng S AM; S m vuông góc với S AM tại M: - Dựng đường thẳng qua A vuông góc với OM cắt đường thẳng S AM tại A0. Thế thì A0là điểm sao cho các đoạn thẳng S AM; S A0M bằng nhau, nghĩa là S AM Š S A0M: 14.3. - Dựng đường thẳng L AM: - Dựng đường thẳng L m qua M vuông góc với đường thẳng L AM như cách dựng 10.3. Đường thẳng L m là nửa trên đường tròn có tâm trên trục-x là O: - Dựng đường thẳng OA cắt đường thẳng L AM tại điểm A0: Thế thì A0là điểm cần dựng. 15.1. Đường tròn tâm O bán kính OP. 15.2. - Dựng mặt phẳng qua P vuông góc với đường nối tâm mặt cầu và điểm O. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn trên mặt cầu thì đường tròn này chính là đường tròn S .OI OP /: 40 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 15.3. Cho điểm O và điểm P: Dựng đường tròn L .OI OP /: - Dựng đường thẳng l đi qua O và vuông góc với trục-x. - Dựng P0là ảnh của P qua đường thẳng L O vuông góc với đường thẳng L OP tại O như cách dựng 14.3. Thế thì L OP Š L OP0: - Dựng đường trung trực đoạn PP0cắt l tại O0: - Đường tròn .O0I O0P / là đường tròn cần dựng. 16.1. Đường tròn tâm O có bán kính R bằng đoạn thẳng AB cho trước. 16.2. Cho điểm O và đoạn thẳng S AB: - Dựng đường trung trực S d của đoạn S OA như cách dựng 13.2. - Lấy điểm P đối xứng với điểm B qua mặt phẳng chứa đường trung trực S OA. - Đường tròn S .OI OP / chính là đường tròn cần dựng. 41 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 16.3. Cho điểm O, dựng đường tròn L .OI OP / với OP bằng độ dài đoạn thẳng AB cho trước L OP Š L AB. - Dựng đoạn thẳng L OA: Dựng L l là đường trung trực của đoạn thẳng L OA như cách dựng 13.3 ở trên. - Dựng đường thẳng L m qua B và vuông góc với đường thẳng L l tại điểm M: - Gọi P là ảnh của B nằm trên đường thẳng L m đi qua M: - Đường tròn L .OI OP / là đường tròn cần dựng như cách dựng 15.3. 17.1. Định lí hàm số côsin: a2 D b2 C c2 2bc cos A. 17.2. Định lí côsin-S: cosaRD cosbRcoscRC sinbRsincRcos A. (Chứng minh: [2]) 17.3. Định lí côsin-L: coshaRD coshbRcoshcR sinhbRsinhcRcos A (Chứng minh: [1]) 18.1. Định lí hàm số sin: a si nADb sin BDc sin ADsin bR sinC. 18.2. Định lí sin-S:sin aR 18.3. Định lí sin-L:sinh aR sin BDsin cR sinC. sin ADsinh bR sin BDsinh cR sinC. 42 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 19.1. Định lí Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Nếu từ điểm P ta kẻ hai cát tuyến PMM0; PNN0tới đường tròn cắt đường tròn tại các cặp điểm M; M0I N; N0thì ta có hệ thức PM:PM0 D PN:PN0: 19.2. Nếu từ điểm P ta kẻ hai cát tuyến S PMM0; S PNN0tới đường tròn cắt đường tròn tại các cặp điểm M; M0I N; N0thì ta có hệ thức: 2R: tanPM0 2R: tanPN0 tanPM 2RD tanPN 2R: 19.3. - Nếu từ điểm P ta kẻ hai cát tuyến L PMM0; L PNN0tới đường tròn cắt đường tròn tại các cặp điểm M; M0I N; N0thì ta có hệ thức 2R: tanhPM0 2R: tanhPN0 2R: 20.1. Định lí Ménélaus. tanhPM 2RD tanhPN 20.2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A0; B0; C0theo thứ tự nằm trên ba cạnh S BC; S CA; S AB của tam giác S ABC thẳng hàng là sin A0B R sin A0C R :sin B0C R sin B0A R :sin C0A R sin C0B R D 1: 20.3. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A0; B0; C0theo thứ tự nằm trên ba cạnh L BC; L CA; L AB của tam giác L ABC thẳng hàng là D 1: 21.1. Định lí Céva. sinh A0B R sinh A0C R :sinh B0C R sinh B0A R :sinh C0A R sinh C0B R 21.2. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng S AA0; S BB0; S CC0theo thứ tự nối các đỉnh A; B; C với các điểm A0; B0; C0nằm trên ba cạnh S BC; S CA; S AB của tam giác S ABC đồng quy là sin A0B R sin A0C R :sin B0C R sin B0A R :sin C0A R sin C0B R D 1: 21.3. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng L AA0; L BB0; L CC0theo thứ tự nối các đỉnh A; B; C với các điểm A0; B0; C0nằm trên ba cạnh L BC; L CA; L AB của tam giác L ABC đồng quy là D 1: 22.1. Định lí ba đường cao. sinh A0B R sinh A0C R :sinh B0C R sinh B0A R :sinh C0A R sinh C0B R 22.2. Ba đường cao trong hình học-S đồng quy. 22.3. Ba đường cao của một tam giác trong hình học-L đồng quy nghĩa là ba đường cao cùng thuộc một chùm. Điểm đồng quy có thể là một điểm thông thường, điểm lý tưởng hay điểm ở vô tận. Cụ thể là: 43 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Nếu hai đường cao nào đó cắt nhau ở một điểm O thì đường cao thứ ba cũng đi qua O: - Nếu hai đường cao nào đó phân kì thì đường cao thứ ba cũng phân kì với chúng. Cả ba nhận chung một đường vuông góc. - Nếu hai đường cao nào đó song song với nhau về một phía nào đó thì đường cao thứ ba cũng song song với chúng về phía đó. 23.1. Định lí ba đường trung tuyến. 23.2. Ba đường trung tuyến-S của tam giác-S đồng quy. 23.3. Ba đường trung tuyến-L của tam giác-L đồng quy. 24.1. Định lí ba đường phân giác trong. 24.2. Ba đường phân giác trong-S của tam giác-S đồng quy. 24.3. Ba đường phân giác trong-L của tam giác-L đồng quy. 25.1. Định lí hai đường phân giác ngoài và một đường phân giác trong. 25.2. Trong một tam giác-S; hai đường phân giác ngoài-S và đường phân giác trong-S thứ ba đồng quy. 25.3. Trong một tam giác-L, hai đường phân giác ngoài-L và đường phân giác trong-L thứ ba đồng quy. 26.1. Định lí ba đường trung trực. 26.2. Trong một tam giác-S, ba đường trung trực-S đồng quy. 26.3. Trong một tam giác-L, ba đường trung trực-L đồng quy. 2. Dùng hình học cầu chứng minh hình học Lobachevsky 2.1. Phương pháp Để chứng minh một định lí trong hình học Lobachevsky, ta có thể chứng minh định lí trong hình học cầu nhờ các hàm lượng giác của các tỉ số aR;bR;cR; v; v; ::: với a; b; c là độ dài các đoạn thẳng cầu. Bây giờ, trong chứng minh đó ta thay mọi R bằng R i thì ta lại được một chứng minh khác cho phép ta khẳng định, định lí trong hình học Lobachevsky cũng đúng. 2.2. Ví dụ minh họa Bài toán 1. (Định lý Céva-L). Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng L AA0; L BB0; L CC0theo thứ tự nối các đỉnh A; B; C với các điểm A0; B0; C0nằm trên ba cạnh L BC; L CA; L AB của tam giác L ABC đồng quy là sinh A0B R sinh A0C R :sinh B0C R sinh B0A R :sinh C0A R sinh C0B R D 1: Lời giải. Để chứng minh định lí Céva-L ta sẽ đi chứng minh cho định lí Céva-S. Trong chứng minh định lí Céva-S, ta chỉ sử dụng các hàm lượng giác. Sau đó thay R bởi R i ta được chứng minh cho định lí Céva-L. Bài toán 2. (Định lí Céva-S). 44 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng S AA0; S BB0; S CC0theo thứ tự nối các đỉnh A; B; C với các điểm A0; B0; C0nằm trên ba cạnh S BC; S CA; S AB của tam giác S ABC đồng quy là sin A0B R sin A0C R :sin B0C R sin B0A R :sin C0A R sin C0B R D 1: Điều kiện cần: Các trường hợp được biểu diễn như hình vẽ sin BOA \0Dsin OB Từ các hình vẽ đang xét, bỏ qua việc xét dấu, ta có: sin A0B sin OA\0Bvàsin A0C R R sin OC R sinCOA \0D sin OA\0B( bởi vì các góc S OA\0B và S OA\0C là bằng nhau hoặc là bù nhau). R Tương tự, ta có: R:sin BOA \0 RDsin OB R:sinCOA \0 RDsin OC sinA0B sin OA\0Bvà sinA0C sin OA\0B: Tiếp theo: sin A0B R sin A0C R Dsin OB R sin OC R :sin BOA \0 sinCOA \0.1/ 45 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Các tam giác S OCB0và S OAB0cho: sin B0C R sin B0A R Dsin OC R sin OA R :sinCOB \0 sin AOB \0.2/ Các tam giác S AOC0và S BOC0:sin C0A R sin C0B R Nhân vế theo vế các hệ thức (1), (2) và (3), ta có: Dsin OA R sin OB R :sin AOC \0 sin BOC \0.3/ sin A0B R:sin B0C R:sin C0A Dsin OB R:sin OC R:sin BOA \0 sinCOB \0:sin AOC \0 R R:sin B0A R:sin OA R:sinCOA \0 sin AOB \0:sin BOC \0: sin A0C R:sin C0B R:sin OA Nói cách khác:sin A0B R sin A0C R R :sin B0C R sin B0A R sin OC :sin C0A R sin C0B R R:sin OB D 1.4/ (bởi vì các góc S BOA0; S AOB0I S COB0; S BOC0I S AOC0; S COA0hoặc đôi một bằng nhau hoặc đôi một bù nhau). Hệ thức này ta đã chứng minh đúng trong trường hợp giá trị tuyệt đối. Bây giờ ta cần xét dấu của nó. Trong trường hợp hình vẽ đầu tiên bên trái, các tỉ số ở vế trái của (4) đều âm, nên tích chúng lại là âm. Trong trường hợp hai hình vẽ còn lại, hai tỉ số trong ba tỉ số ở vế trái của (4) dương còn tỉ số còn lại là âm nên tích chúng lại là âm. Cuối cùng ta có thể viết: sin A0B R sin A0C R Điều kiện đủ: :sin B0C R sin B0A R :sin C0A R sin C0B R D 1: Giả sử ta đã có được hệ thức:sin A0B R sin A0C R :sin B0C R sin B0A R :sin C0A R sin C0B R D 1.5/ Gọi O là giao điểm của các đường thẳng S AA0và S BB0. Gọi giao điểm của S CO với đường thẳng S AB là C00. Áp dụng điều kiện cần ta có: sin A0B R sin A0C :sin B0C R sin B0A :sin C00A R sin C00B D 1.6/ Từ (5) và (6) ta có:sin C00A R sin C00B R R Dsin C0A R sin C0B R R .7/ R Từ hệ thức (7) ta có các điểm C0; C00 trùng nhau. Thay R bởi R i ta được chứng minh cho định lí Céva-L. Vậy ta đã chứng minh được định lí Céva-L bằng cách sử dụng chứng minh định lí Céva-S. 3. Dùng hình học Euclid chứng minh hình học Lobachevsky 3.1. Phương pháp Để chứng minh bài toán trong hình học Lobachevsky, ta có thể sử dụng mô hình Poincaré để đưa bài toán trong hình học Lobachevsky về hình học Euclid. Sau đó ta chứng minh bài toán hình học Euclid. Như thế ta đã chứng minh được bài toán trong hình học Lobachevsky. 46 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 3.2. Ví dụ minh họa Bài toán 3. (Định lí Pascal Lobachevsky). Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F nằm trên đường tròn L .O/: Giả sử L AB \ L DE D XI L BC \ L EF D Y; L CD \ L FA D Z: Chứng minh rằng X; Y; Z thẳng hàng. Lời giải. Để chứng minh định lí Pascal-L, ta sử dụng mô hình Poincaré để đưa về bài toán Euclid. Bây giờ, ta chứng minh bài toán sau Bài toán 4. Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F nằm trên đường tròn .O/: l là đường thẳng bất kì không đi qua tâm O:.OAB /; .ODE /; .OBC /; .OEF /; .OCD/; .OFA/ là các đường tròn có tâm thuộc l và đi qua A; BI D; EI B; CI E; F IC; DI F; A: Giả sử .OAB / \ .ODE / D X; X0I .OBC /\.OEF / D Y; Y 0I .OCD/\.OFA/ D Z; Z0: Chứng minh rằng X; X0I Y; Y 0I Z; Z0 cùng thuộc một đường tròn có tâm thuộc l: Chứng minh của Ngô Quang Dương. Gọi U; V; W là giao điểm của AB và DE; BC và EF; CD và FA: Dễ thấy XX0là trục đẳng phương của .OAB / và .ODE /. Phương tích của U tới .OAB / và .ODE / lần lượt là UA:UB và UD:UE: Do A; B; D; E đồng viên nên UA:UB D UD:UE suy ra X; U; X0thẳng hàng và UX:UX0 D UA:UB D UD:UE: Điều này dẫn tới phương tích của U tới .XX0Y Y 0/ và .O/ bằng nhau. Tương tự, phương tích của V tới .XX0Y Y 0/; .O/ bằng nhau nên U V là trục đẳng phương của .O/ và .XX0Y Y 0/: Hoàn toàn tương tự U V W là trục đẳng phương của .Y Y 0ZZ0/, .ZZ0XX0/ với .O/: Suy ra .XX0Y Y 0/; .Y Y 0ZZ0/; .ZZ0XX0/ đồng trục, hay 6 điểm X; X0; Y; Y 0; Z; Z0đồng viên. Với nhận xét đơn giản là X; Y; Z và X0; Y 0; Z0đối xứng nhau qua l; thì tâm đường tròn đi qua 6 điểm này thuộc l: 47 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nhận xét. 1. Để cho thuận tiện, từ giờ trở về sau ta gọi đường tròn .XX0Y Y 0ZZ0/ là ”đường tròn Pascal” của 6 điểm có thứ tự A; B; C; D; E; F: 2. Khi đường tròn .O/ nằm trên l và ta chỉ lấy các nửa trên của các đường tròn .OAB /; .ODE /; .OBC /, .OEF /; .OCD/; .OFA/; .OXX0Y Y 0ZZ0/ và tương giao của chúng (hình vẽ) thế thì bài toán 4 trở thành bài toán 3. Vậy ta đã chứng minh được bài toán Pascal trong hình học Lobachevsky. Bài toán 5. (Định lí Steiner-L). Cho 6 điểm A; B; C; D; E; F thuộc đường tròn L .O/: Chứng minh rằng các đường thẳng Pascal-L ABCDEF; EDAFBC; CEFBAD đồng quy. Để chứng minh định lí Steiner-L, ta sử dụng mô hình Poincaré để đưa về bài toán Euclid. Bây giờ, ta chứng minh bài toán sau trong hình học Euclid Bài toán 6. Trong mặt phẳng cho 6 điểm A; B; C; D; E; F thuộc đường tròn .O/ và l là đường thẳng không đi qua tâm. Chứng minh rằng ”đường tròn Pascal” của các bộ 6 điểm có thứ tự ABCDEF; EDAFBC; CEFBAD đồng trục. Chứng minh của Ngô Quang Dương. 48 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Theo chứng minh của bài toán 4, đường thẳng Pascal của ABCDEF là trục đẳng phương của (O/ với đường tròn Pascal của ABCDEF . Đường thẳng Pascal của EDAFBC là trục đẳng phương của (O/ với đường tròn Pascal của EDAFBC. Đường thẳng Pascal của CEFBAD là trục đẳng phương của (O/ với đường tròn Pascal của CEFBAD. Theo định lý Steiner, đường thẳng Pascal của ABCDEF; EDAFBC; CEFBAD đồng quy. Ta gọi điểm đồng quy là S. Vậy nên S có cùng phương tích với 3 ”đường tròn Pascal”. 3 ”đường tròn Pascal” có tâm thuộc l nên nếu lấy m là đường thẳng qua S vuông góc với l thì m là trục đẳng phương của 3 ”đường tròn Pascal”. Điều này có nghĩa là 3 ”đường tròn Pascal” đồng trục. Nhận xét. Khi đường tròn .O/ nằm phía trên đường thẳng l và ta chỉ lấy các nửa trên của tất cả các đường tròn (trừ đường tròn .O// như.OAB /; .ODE /; .OBC /; .OEF /; .OCD/; .OFA/; ::: và tương giao của các nửa đường tròn thì bài toán 6 trở thành bài toán 5. Vậy ta đã chứng minh được bài toán Steiner trong hình học Lobachevsky. 4. Mở rộng bài toán từ hình học Euclid thành hình học cầu và hình học Lobachevsky 4.1. Phương pháp Xuất phát từ bài toán trong hình học Euclid, mở rộng bài toán thành bài toán trong hình học cầu và hình học Lobachevsky. Chú ý sử dụng phương pháp chứng minh Euclid áp dụng cho chứng minh hình học cầu và hình học Lobachevsky (nếu được). 49 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 4.2. Ví dụ minh họa Bài toán 7. (Bài T4/285 – Tạp chí toán học và tuổi trẻ). Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia AM; BM; CM cắt các cạnh BC; CA; AB tương ứng tại D; E; F: Gọi K là giao điểm của DE và CM, gọi H là giao điểm của DF và BM. Chứng minh rằng các đường thẳng AD; BK; CH đồng quy. Ta chứng minh bài toán như sau Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác AMC (với bộ ba điểm thẳng hàng E; K; D/ và tam giác AMB (với bộ ba điểm thẳng hàng F; H; D/ ta có KM KC:EC EA:DA DMD 1;HB HM:DM DA:FA FBD 1: Suy ra:KM KCDEA EC:DM DA;HB HMDFB FA:DA DM.1/ Áp dụng định lí Céva cho tam giác ABC với bộ ba đường thẳng đồng quy AD; BE; CF : DC DB:FB FA:EA ECD 1: Từ đó:DC DBD FA FB:EC Từ (1) và (2) ta có KM KC:HB HM:DC DBD 1: EA.2/ Vậy theo phần đảo của định lí Céva, BK; CH; MD đồng quy. Hay AD; BK; CH đồng quy. Bài toán 8. (Mở rộng bài toán 7 trong hình học cầu). Cho tam giác S ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia S AM; S BM; S CM cắt các cạnh S BC; S CA; S AB tương ứng tại D; E; F: Gọi K là giao điểm của S DE và S CM, gọi H là giao điểm của S DF và S BM. Chứng minh rằng các đường thẳng S AD; S BK; S CH đồng quy. 50 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác S AMC (với bộ ba điểm thẳng hàng E; K; D/ và tam giác S AMB (với bộ ba điểm thẳng hàng F; H; D/ ta có sin KM R sin KC R :sin EC R sin EA R :sin DA R sin DM R D 1;sin HB R sin HM R :sin DM R sin DA R :sin FA R sin FB R D 1: Suy ra:sin KM R sin KC R Dsin EA R sin EC R :sin DM R sin DA R ;sin HB R sin HM R Dsin FB R sin FA R :sin DA R sin DM R .1/ Áp dụng định lí Céva cho tam giác S ABC với bộ ba đường thẳng đồng quy S AD; S BE; S CF :sin DC R sin DB R :sin FB R sin FA R :sin EA R sin EC R D 1: Từ đó:sin DC R sin DB R D sin FA R sin FB R :sin EC R sin EA R .2/ Từ (1) và (2) ta có:sin KM R sin KC R :sin HB R sin HM R :sin DC R sin DB R D 1: Vậy theo phần đảo của định lí Céva, S BK; S CH; S MD đồng quy. Hay S AD; S BK; S CH đồng quy. Bài toán 9. (Mở rộng bài toán 7 trong hình học Lobachevsky) Cho tam giác L ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia L AM; L BM; L CM cắt các cạnh LBC; LCA; LAB tương ứng tại D; E; F: Gọi K là giao điểm của LDE và L CM, gọi H là giao điểm của L DF và L BM. Chứng minh rằng các đường thẳng L AD; L BK; L CH đồng quy. 51 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác L AMC (với bộ ba điểm thẳng hàng E; K; D/ và tam giác L AMB (với bộ ba điểm thẳng hàng F; H; D/ ta có D 1: Suy ra: sinh KM R sinh KC R :sinh EC R sinh EA R :sinh DA R sinh DM R D 1;sinh HB R sinh HM R :sinh DM R sinh DA R :sinh FA R sinh FB R sinh KM R sinh KC R Dsinh EA R sinh EC R :sinh DM R sinh DA R ;sinh HB R sinh HM R Dsinh FB R sinh FA R :sinh DA R sinh DM R .1/ Áp dụng định lí Céva cho tam giác L ABC với bộ ba đường thẳng đồng quy L AD; L BE; L CF : D 1: Từ đó: sinh DC R sinh DB R :sinh FB R sinh FA R :sinh EA R sinh EC R .2/ Từ (1) và (2) ta có:sinh KM sinh DC R sinh DB R :sinh HB D sinh FA R sinh FB R :sinh DC :sinh EC R sinh EA R R sinh KC R R sinh HM R R sinh DB R D 1: Vậy theo phần đảo của định lí Céva, L BK; L CH; L MD đồng quy. Hay L AD; L BK; L CH đồng quy. 5. Kết luận Chúng ta vừa có một số khám phá mở rộng thú vị từ hình học Euclid sang hình học cầu và hình học Lobachevsky. Phương pháp mở rộng này là một phương pháp phát hiện các bài toán mới. Chính vì thế, phương pháp rất quan trọng đối với phát triển tư duy. Bài viết này cần trao đổi gì thêm? Mong được sự chia sẻ của các bạn. Tài liệu tham khảo [1] N.V.Efimov (1980), Higher geometry, Mir Publishers Moscow. [2] P. Constan (1941), Cours de Trigonométrie Sphérique, Paris Société D’Éditions. [3] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ [4] Steve Szydlik, Hyperbolic constructions in Geometer’s Sketchpad, http://www.maa.org. 52 VỀ CHỨNG MINH VÀ TIẾN BỘ TRONG TOÁN HỌC (tiếp theo) William P. Thurston - Nguyễn Dzuy Khánh dịch 5. Điều gì khích lệ con người nghiên cứu toán học? Có một niềm vui thực sự khi làm toán, trong việc học những cách tư duy diễn giải, tổ chức và đơn giản hóa. Bạn có thể cảm thấy niềm vui khám phá toán học mới, tái khám phá toán học cổ xưa, học một cách tư duy từ ai đó hay từ tài liệu, tìm ra một cách giải thích mới, thú vị để nhìn nhận một cấu trúc toán học cũ. Động lực nội tại có thể hướng chúng ta nghĩ rằng chúng ta làm toán hoàn toàn vì lợi ích của chính nó. Điều này không chính xác: môi trường xã hội là cực kỳ quan trọng. Chúng ta được truyền cảm hứng bởi những người khác, được đánh giá cao bởi những người khác và chúng ta thích giúp đỡ những người khác giải quyết các vấn đề toán học của họ. Những điều chúng ta ưa thích thay đổi tương ứng với những người khác. Tương tác xã hội xảy ra qua những buổi gặp mặt trực tiếp. Nó cũng xảy ra qua những thư và thư điện tử điện tử, các tiền ấn phẩm và các bài báo trên các tạp chí. Một hiệu ứng của hệ thống toán học mang tính xã hội cao này là khuynh hướng các nhà toán học đi theo những vấn đề hợp mốt. Vì mục đích tạo ra các định lý toán học mới có lẽ là không mấy hiệu quả: sẽ tốt hợn nếu chúng ta có những nhà toán học phủ các lĩnh vực tri thức đồng đều hơn. Nhưng hầu hết các nhà toán học không thích đơn độc, và họ gặp vấn đề với việc mãi phấn khích với một chủ đề, ngay cả khi họ đã đạt được những tiến triển cá nhân, trừ phi họ có những đồng nghiệp để chia sẻ sự phấn khích của họ. Ngoài động lực nội tại và động lực mang tính xã hội không chính thức cho việc làm toán, chúng ta cũng được dẫn dắt bởi những lý do kinh tế và địa vị. Các nhà toán học, cũng giống như nhiều nhà khoa học khác, thực hiện rất nhiều đánh giá và bị đánh giá rất nhiều. Bắt đầu với những mức điểm, và tiếp tục qua những thư tiến cử, quyết định tuyển, quyết định đề bạt, báo cáo thẩm định, lời mời báo cáo, giải thưởng, ... chúng ta tham gia vào rất nhiều đánh giá, trong một hệ thống cạnh tranh khốc liệt. Jaffe và Quinn phân tích động lực để làm toán qua một hệ thống tiền tệ chung mà rất nhiều nhà toán học tin tưởng: sự trả công cho các định lý. Tôi nghĩ rằng sự nhấn mạnh chung của chúng ta vào sự trả công cho các định lý có một ảnh hưởng xấu lên tiến bộ của toán học. Nếu điều chúng ta đang thực hiện đẩy mạnh hiểu biết của con người về toán học, thì chúng ta sẽ được nhận biết và được đánh giá tốt hơn trong một hoạt động có phạm vi rộng hơn rất nhiều. Những người nhìn thấy cách chứng minh các định lý đang thực hiện nó trong phạm vi một cộng đồng toán học; họ không tự làm nó. Họ phụ thuộc vào hiểu biết toán học mà họ thu lượm được từ những nhà toán học khác. Một khi một định lý được chứng minh, cộng đồng toán học phụ thuộc vào mạng lưới xã hội để phân phối những ý tưởng tới những người mà có thể sử dụng chúng nhiều hơn – phương tiện in ấn là quá mờ mịt và cồng kềnh. 53 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Thậm chí nếu ai đó có một quan điểm hẹp hòi rằng cái mà chúng ta đang tạo ra là các định lý, thì tập thể vẫn là quan trọng. Bóng đá có thể coi là một ẩn dụ. Có thể có một hoặc hai bàn thắng thôi trong suốt cả trận đấu, được ghi bởi một hoặc hai cầu thủ. Nhưng điều đó không có nghĩa rằng những nỗ lực của tất cả các thủ khác là vô giá trị. Chúng ta không đánh giá các cầu thủ trong một đội bóng chỉ bởi việc họ có tự ghi bàn hay không; chúng ta đánh giá một đội bóng qua cách nó vận hành như một đội bóng. Trong toán học, thường xảy ra chuyện rằng một nhóm các nhà toán học đạt được sự tiến bộ với một tập hợp các ý tưởng nhất định. Có những định lý trên đường tiến bộ đó mà hầu như chắc chắn được chứng minh bởi một người này, hay người khác. Đôi khi nhóm các nhà toán học thậm chí có thể tiên đoán rằng những định lý này tựa như thế nào. Việc này khó hơn rất nhiều so với việc dự đoán xem ai sẽ thực sự chứng minh được định lý, mặc dù thường có một số ít "người nổi bật" mà có khả năng cao sẽ ghi điểm. Tuy nhiên, họ đang ở một vị trí mà có thể chứng minh những định lý kia nhờ tập hợp những nỗ lực của toàn đội. Toàn đội có một chức năng nữa, trong việc tiếp thu và sử dụng các định lý một khi chúng được chứng minh. Thậm chí nếu một người nào đó có thể chứng minh tất cả các định lý trên đường đi mà không cần trợ giúp, thì chúng sẽ bị bỏ phí nếu không còn ai khác học chúng. Có một hiện tượng thú vị liên quan tới những người "nổi bật". Thường xảy ra rằng ai đó ở mức trung bình chứng minh một định lý mà được chấp nhận rộng rãi như một kết quả giá trị. Vị thế của họ trong cộng đồng - thứ bậc của họ - ngay lập tức tăng đột ngột. Khi điều này xảy ra, họ nhanh chóng đạt hiệu suất cao hơn rất nhiều như một trung tâm của các ý tưởng và một nguồn cho các định lý. Tại sao? Trước tiên, có một sự tăng tiến lớn trong niềm tự tôn của bản thân, và sự tăng tiến hệ quả trong hiệu suất công việc. Thứ hai, khi vị thế của họ lớn mạnh hơn, mọi người đang ở gần trung tâm mạng lưới các ý tưởng-những người khác sẽ nhìn nhận họ nghiêm túc hơn. Điểm cuối cùng và có lẽ là quan trọng nhất, một đột phá toán học thường thể hiện một cách tư duy mới, và những phương cách hiệu quả của tư duy thường có thể áp dụng vào nhiều hơn một tình huống. Hiện tượng này thuyết phục tôi rằng cả cộng đồng toán học sẽ trở nên dần đạt hiệu suất cao hơn rất nhiều nếu chúng ta mở rộng tâm hồn vào những giá trị thực của công việc mà chúng ta đang thực hiện. Jaffe và Quinn đề xuất một hệ thống nhận biết các vai trò chia nhỏ thành "ức đoán" và "chứng minh". Một phép phân chia như vậy có thể duy trì niềm tin hoang đường rằng tiến bộ của chúng ta được đo bởi những đơn vị cho những định lý chuẩn được tìm ra. Nghe hơi có vẻ giống như sự ngụy biện của một người mà đã in ra một bảng 10000 số nguyên tố. Thứ mà chúng ta làm ra được là hiểu biết của con người. Chúng ta có rất nhiều cách khác nhau để hiểu và rất nhiều quá trình khác nhau mà góp phần xây dựng nên hiểu biết của chúng ta. Ta sẽ thỏa mãn hơn, có hiệu suất cao hơn, và hạnh phúc hơn nếu chúng ta ghi nhận và tập trung vào việc này. 6. Một số kinh nghiệm cá nhân Bởi vì bài viết này nảy sinh từ sự phản chiếu giữa sự không tương thích trong kinh nghiệm của tôi với những mô tả của Jaffe và Quinn, tôi sẽ bàn về hai kinh nghiệm cá nhân, bao gồm cả kinh nghiệm mà họ đã ám chỉ tới. Tôi cảm thấy có gì đó ngu ngốc trong việc này, bởi vì tôi thực sự hối hận về những khía cạnh trong nghề nghiệp của mình: nếu tôi có thể làm mọi thứ một lần nữa với lợi ích từ những hiểu 54 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 biết hiện tại về bản thân tôi và về tiến trình của toán học, thì có rất nhiều điều mà tôi hi vọng mình sẽ làm khác đi. Tôi hi vọng rằng qua việc kể về những kinh nghiệm này một cách thẳng thắn như tôi còn nhớ và hiểu về nó, tôi có thể giúp những người khác hiểu tốt hơn về tiến trình của toán học và học trước từ đó. Đầu tiên tôi sẽ bàn luận ngắn gọn về lý thuyết phân lá, chính là chủ đề đầu tiên mà tôi bắt đầu khi còn là học viên sau đại học (ở đây không quan trọng bạn có biết lý thuyết phân lá là gì hay không) Ở thời điểm đó, lý thuyết phân lá đã trở thành trung tâm của sự chú ý của các nhà tôpô hình học, những người nghiên cứu hệ động lực và các nhà hình học vi phân. Khá nhanh chóng, tôi đã chứng minh được một số định lý theo một cách rất ấn tượng. Tôi đã chứng minh một định lý phân loại cho sự phân lá, đưa ra điều kiện cần và đủ cho một đa tạp có một sự phân lá. Tôi đã chứng minh một số định lý đáng chú ý khác. Tôi viết một số bài báo đáng được kính nể và công bố những định lý quan trọng nhất. Thật khó để có đủ thời gian để viết để duy trì những gì tôi có thể chứng minh, và tôi đã xây dựng phần lưu trữ. Một hiện tượng thú vị đã xảy ra. Trong vòng vài năm một cuộc tháo lui đột ngột trong ngành đã bắt đầu diễn ra. Tôi đã nghe được từ khá nhiều các nhà toán học là họ đã đưa ra hay nhận được lời khuyên rằng đừng đi vào lý thuyết phân lá– họ đã nói rằng Thurston đã giải quyết sạch sẽ lý thuyết này rồi. Người ta nói với tôi rằng (không phải phàn nàn, mà là một lời khen) tôi đã giết chết lĩnh vực này. Những học viên sau đại học ngừng nghiên cứu lý thuyết phân lá, và khá nhanh chóng, tôi cũng hướng sự ưa thích của mình sang lĩnh vực khác. Tôi không tin rằng sự tháo lui xảy ra bởi vì lĩnh vực này đã cạn kiệt tiềm năng tri thức. Đã có (và vẫn còn) nhiều những câu hỏi thú vị và có lẽ là có thể tiếp cận được. Kể từ những năm tháng ấy, đã có những phát triển thú vị được một số ít các nhà toán học khác đưa ra, những người vẫn còn làm việc trong ngành hay mới tham gia, và vẫn có những tiến triển quan trọng trong những địa hạt lân cận mà tôi nghĩ rằng chúng sẽ tăng tốc cực nhanh nếu các nhà toán học vẫn tiếp tục theo đuổi lý thuyết phân lá một cách mạnh mẽ. Ngày nay, tôi nghĩ rằng có ít các nhà toán học, những người hiểu về bất kỳ thứ gì tiếp cận được trạng thái của nghệ thuật của sự phân lá như là nó đã tồn tại ở thời điểm đó, mặc dù có một vài phần trong lý thuyết phân lá, bao gồm cả những phát triển kể từ thời ấy, vẫn đang phát triển mạnh. Tôi tin rằng hai hiệu ứng mang tính sinh thái học là quan trọng hơn rất nhiều trong việc làm ngã lòng mọi người trong chủ đề này so với việc cạn kiệt nguồn tri thức đã xảy ra. Trước tiên, những kết quả mà tôi đã chứng minh (cũng như một số kết quả quan trọng của những người khác) đã được ghi lại theo một phong cách kinh khủng, thường thấy của các nhà toán học. Nó phụ thuộc nặng nề vào những người đọc mà chia sẻ được kiến thức căn bản và một số nhận thức nhất định. Lý thuyết phân lá còn non trẻ, là một ngành hẹp có nhiều cơ hội, và nền tảng của nó vẫn chưa được chuẩn hóa. Tôi không do dự trong việc vẽ ra bất kỳ thứ toán học nào mà tôi đã học được từ người khác. Những bài báo tôi viết đã không (và không thể) dành nhiều thời gian để giải thích nền tảng văn hóa. Chúng được ghi chép lại ở mức tư duy và kết luận đỉnh cao nhất mà tôi thường đạt được sau nhiều ngẫm nghĩ và nỗ lực. Tôi cũng bỏ đi những thông tin ngắn có giá trị hàm ẩn trong suy luận, chẳng hạn như “bất biến Godbillon-Vey đo mức nghiêng xoắn ốc của một sự phân lá”, mà vẫn còn bí ẩn với hầu hết những nhà toán học đã đọc nó. Việc này tạo ra một chướng ngại lớn: tôi nghĩ rằng hầu hết các học viên sau đại học và các nhà toán học đều bị nản lòng rằng quá khó để học và hiểu được các chứng minh của những định lý cốt yếu. 55 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Thứ hai là vấn đề rằng có gì trong ngành dành cho những người khác. Khi tôi bắt đầu làm việc với lý thuyết phân lá, tôi đã nghĩ rằng điều mà họ theo đuổi là một tập hợp các định lý mạnh đã được chứng minh mà có thể áp dụng để trả lời những vấn đề toán học lớn hơn. Nhưng đó chỉ là một phần của câu chuyện mà thôi. Hơn cả tri thức, mọi người muốn có được sự thấu hiểu mang tính cá nhân. Và trong hệ đánh giá đã đưa ra của chúng ta, họ cũng muốn và cần sự ghi nhận qua các định lý. Tôi sẽ bỏ qua vài năm để đến với chủ đề mà Jaffe và Quinn đã ám chỉ tới, khi tôi bắt đầu nghiên cứu các đa tạp ba chiều và quan hệ của chúng với hình học hyperbolic. (Một lần nữa, không có vấn đề gì lắm nếu bạn không biết đây là gì.) Tôi dần dần xây dựng được trong vài năm một trực quan nhất định với 3-đa tạp hyperbolic, với một tập hợp những cách xây dựng, các ví dụ và phép chứng minh (quá trình này thực ra bắt đầu khi tôi còn là sinh viên, và đã được ủng hộ rất mạnh bởi các áp dụng vào lý thuyết phân lá). Sau một thời gian, tôi đã đặt giả thuyết hay ước đoán rằng tất cả các 3-đa tạp đều có một cấu trúc hình học nhất định, giả thuyết này cuối cùng được biết đến dưới tên gọi giả thuyết hình học hóa. Khoảng hai hay ba năm sau đó, tôi đã chứng minh giả thuyết hình học hóa cho các đa tạp Haken. Nó là một định lý khó, và tôi đã dành một nỗ lực khổng lồ để nghĩ về nó. Khi tôi hoàn thiện phép chứng minh, tôi cũng đã dành nhiều công sức hơn nữa để kiểm tra phép chứng minh, tìm kiếm những điểm khó khăn và kiểm chứng nó một lần nữa trước những thông tin độc lập. Tôi muốn viết chi tiết hơn nữa về ý tưởng của mình khi tôi nói tôi đã chứng minh định lý này. Nó có nghĩa rằng tôi đã có một dòng các ý tưởng sáng sủa và hoàn thiện, bao gồm cả các chi tiết mà đã đứng vững trước rất nhiều lần kiểm tra của cả tôi và những người khác. Các nhà toán học có những phong cách tư duy khác nhau. Phong cách của tôi không phải là đưa ra các tổng quát hóa rộng nhưng bất cẩn mang tính định hướng và tạo cảm hứng: tôi thiết lập những mô hình tư duy cụ thể, và tôi tư duy về mọi điều qua đó. Vì thế chứng minh của tôi là khá đáng tin cậy. Tôi chưa gặp vấn đề với việc sao lưu lại những mệnh đề hay đưa ra những chi tiết về những thứ mà tôi đã chứng minh. Tôi làm khá tốt việc phát hiện lỗi sai trong suy luận của chính mình cũng như của những người khác. Tuy nhiên, đôi khi cũng có một yếu tố bị phát triển quá mạnh qua việc phiên dịch từ những mã hóa trong tư duy của riêng tôi tới những gì mà có thể truyền tải sang ai đó khác. Nền tảng giáo dục toán học của tôi là hơi độc lập và theo phong cách riêng, mà trong nhiều năm ròng tôi đã tự học rất nhiều thứ, tự phát triển các hình mẫu tư duyriêng cho việc nên nghĩ về toán học như thế nào. Việc này thường là một lợi thế rất lớn cho tôi trong việc tư duy về toán học, bởi vì sau này sẽ dễ dàng tiếp nhận những hình mẫu tư duy chuẩn được chia sẻ bởi những nhóm các nhà toán học khác. Điều này có nghĩa rằng một số khái niệm mà tôi sử dụng một cách tự do và tự nhiên trong tư duy của tôi lại là xa lạ với hầu hết các nhà toán học khác mà tôi nói chuyện cùng. Những hình mẫu và cấu trúc tư duycủa cá nhân tôi là tương tự về mặt đặc tính với những kiểu mẫu hình mà các nhóm các nhà toán học khác chia sẻ - nhưng chúng thường là những hình mẫu khác nhau. Ở thời điểm mà tôi hệ thống hóa giả thuyết hình học hóa, hiểu biết của tôi về hình học hyperbolic là một ví dụ tốt. Một ví dụ ngẫu nhiên tiếp theo là hiểu biết về các không gian tô pô hữu hạn, một chủ đề kỳ quặc mà có thể cho mượn ý tưởng tốt vào một mớ các câu hỏi nhưng nó không hoàn toàn đáng để phát triển trong bất kỳ trường hợp nào bởi vì có những lối diễn đạt loanh quanh luẩn quẩn ngăn trở nó. Không phải giả thuyết hình học hóa và cũng không phải chứng minh của nó cho các đa tạp Haken nằm trên đường đi của bất kỳ nhóm các nhà toán học nào vào thời điểm đó – nó đi ngược lại với 56 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 các xu hướng trong tôpô 30 năm trước đó, và nó đã làm mọi người ngạc nhiên. Với hầu hết các nhà tôpô vào thời điểm đó, hình học hyperbolic là một ngành cần phải biết của toán học, mặc dù có những nhóm các nhà toán học khác như các nhà hình học vi phân, họ không hề hiểu nó dưới một số góc độ nhất định. Các nhà tôpô cần tốn một chút thời gian để hiểu giả thuyết hình học hóa là gì, nó có gì tốt, và tại sao nó lại xác đáng. Cùng thời điểm đó, tôi bắt đầu viết những ghi chép về hình học và tôpô của 3-đa tạp, cũng dùng cho khóa học sau đại học mà tôi đang dạy. Tôi phát nó cho một số ít người, rất lâu trước khi những người khác trên thế giới bắt đầu chép lại những bản sao. Danh sách thư điện tử lớn lên tới khoảng 1200 người, những người mà tôi đã gửi các ghi chép vài tháng một lần. Tôi cố gắng trao đổi các ý tưởng thực sự của tôi trong những ghi chép ấy. Mọi người thực hiện nhiều seminar dựa trên các ghi chép của tôi và tôi nhận được rất nhiều phản hồi. Tràn ngập trong các phản hồi là những câu đại loại như “Những ghi chép của ông thật đầy cảm hứng và đẹp đẽ, nhưng tôi phải nói với ông rằng chúng tôi đã phải dành tới ba tuần trong seminar của mình để hiểu những chi tiết trong n.n. Chắc chắn là cần thêm những giải thích.” Tôi cũng dành nhiều lời giới thiệu tới những nhóm các nhà toán học về ý tưởng nghiên cứu các 3-đa tạp từ quan điểm hình học và về chứng minh của giả thuyết hình học hóa cho các đa tạp Haken. Ban đầu, chủ đề này là xa lạ với hầu hết mọi người. Thật khó để trao đổi những cơ sở nằm trong đầu tôi, không phải trong cộng đồng toán học. Có một vài lý thuyết toán học mà có ảnh hưởng lên đám những ý tưởng này: tôpô ba-đa tạp, những nhóm Klein, các hệ động lực, tôpô hình học, các nhóm con rời rạc của những nhóm Lie rời rạc, lý thuyết phân lá, các không gian Teichmuller, đồng phôi giả Anosov, lý thuyết nhóm hình học, cũng như là hình học hyperbolic. ¨ Chúng tôi tổ chức một workshop của Hiệp hội Toán học Mỹ ở Bowdoin vào năm 1980, nơi nhiều nhà toán học trong những ngành hẹp như tôpô số chiều thấp, hệ động lực và nhóm Klein tham dự. Đó là một kinh nghiệm thú vị trong việc trao đổi văn hóa. Câu chuyện đột ngột trở nên rõ ràng rằng các phép chứng minh phụ thuộc thế nào vào các thính giả. Chúng ta chứng minh vài thứ gì đó trong một bối cảnh xã hội và nhắm tới một số thính giả nhất định. Một vài phần của phép chứng minh này tôi có thể trao đổi trong vòng hai phút với các nhà tôpô nhưng các nhà giải tích sẽ cần tới một bài giảng dài một giờ để họ có thể bắt đầu hiểu được. Tương tự như vậy, cũng có một vài thứ mà có thể nói trong vòng hai phút cho các nhà giải tích mà sẽ tốn mất một giờ trước khi các nhà tôpô bắt đầu nhận thức được. Và cũng có rất nhiều phần khác trong phép chứng minh cần hai phút để diễn đạt trong phần tóm tắt, nhưng không ai trong số các thính giả ở thời điểm đó có đủ cơ sở trí tuệ để có thể hiểu trong ít hơn một giờ. Ở thời điểm đó, thực tế không hề có cơ sở và ngữ cảnh nào cho định lý này, do vậy sự phát triển từ việc làm thế nào mà một ý tưởng khởi nguồn từ tâm trí của tôi tới những gì tôi phải nói để khiến nó trở nên có thể hiểu được, không đề cập tới chuyện thính giả phải hi sinh để hiểu nó, là rất ấn tượng. Dựa trên kinh nghiệm của tôi về lý thuyết phân lá và để đáp trả những áp lực xã hội, tôi tập trung hầu hết sự chú ý của mình vào việc phát triển và giới thiệu cơ sở của những gì tôi viết và những gì tôi nói với mọi người. Tôi đã giải thích chi tiết cho vài người đã “sẵn sàng” với nó. Tôi viết một số bài báo, đưa ra những phần tồn tại độc lập trong chứng minh của giả thuyết hình học hóa cho các đa tạp Haken – với những bài báo này, tôi gần như không nhận được phản hồi nào cả. 57 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Tương tự như vậy, mãi tới sau này, một vài người mới thực sự vượt qua những phần khó nhất và sâu sắc nhất trong những ghi chép của tôi. Kết quả là bây giờ khá nhiều các nhà toán học đã có những hiểu biết mà họ đã rất thiếu khi mới bắt đầu: một hiểu biết có hiệu lực về những khái niệm và cơ sở mà là tự nhiên với ngành này. Đã từng có và sẽ còn tiếp tục có nhiều hoạt động toán học lớn mạnh. Bằng cách tập trung vào xây dựng cơ sở, giải thích và công bố các định nghĩa và cách thức tư duy nhưng chậm rãi trong việc phát biểu và công bố các phép chứng minh của tất cả các “định lý” mà tôi đã biết làm thế nào để chứng minh, tôi dành cơ hội cho mọi người để nhận lấy danh tiếng. Vẫn còn cơ hội cho mọi người để khám phá và công bố các chứng minh khác của định lý hình học hóa. Những chứng minh này giúp phát triển các khái niệm toán học mà tự thân là khá thú vị và thúc đẩy toán học đi xa hơn. Điều mà các nhà toán học muốn và cần nhất từ tôi đó là học cách tư duy chứ thực tế không phải là học cách chứng minh giả thuyết hình học hóa cho các đa tạp Haken. Không mấy chắc chắn rằng chứng minh của giả thuyết hình học hóa tổng quát sẽ bao hàm cả việc đẩy chính nó đi xa hơn. Một vấn đề nữa là đôi khi người ta cần hay muốn một kết quả được chấp nhận và chính xác không chỉ bởi vì để học nó, mà còn là từ đó họ có thể trích dẫn lại nó hay dựa trên nó. Các nhà toán học thực ra đã rất nhanh chóng chấp nhận phép chứng minh của tôi, và để bắt đầu trích dẫn hay sử dụng nó dựa trên bất cứ tài liệu nào sẵn có, trên kinh nghiệm của họ cùng niềm tin ở tôi và trên sự chấp thuận và ý kiến riêng của các chuyên gia, những người mà tôi đã sử dụng rất nhiều thời gian để thảo luận về phép chứng minh. Định lý này giờ đã được ghi lại, qua những nguồn được công bố, với tôi và một số người khác là tác giả, nên hầu hết mọi người đều cảm thấy an toàn khi trích dẫn lại nó; những người trong ngành chắc chắn sẽ không đòi hỏi tôi về tính chính xác của nó, hay biểu lộ cho tôi thấy sự cần thiết về các chi tiết mà không có sẵn. Không phải tất cả các phép chứng minh đều có cùng một vai trò trong giàn ý logic mà chúng ta đang xây dựng cho toán học. Phép chứng minh đặc thù này có lẽ chỉ có một giá trị logic tạm thời, mặc dù nó có một giá trị động lực lớn lao trong việc giúp đỡ ủng hộ một cái nhìn nhất định vào cấu trúc của 3-đa tạp. Giả thuyết hình học hóa tổng quát vẫn là một giả thuyết. Nó đã được chứng minh trong rất nhiều trường hợp, và nó cũng được ủng hộ bởi nhiều bằng chứng bằng máy tính, nhưng nó vẫn chưa được chứng minh trong trường hợp tổng quát. Tôi bị thuyết phục rằng phép chứng minh tổng quát sẽ được khám phá ra; tôi hi vọng thế đã từ rất rất nhiều năm trước đây rồi. Ở điểm này, phép chứng minh của các trường hợp đặc biệt thì gần như sẽ trở nên lỗi thời. Trong khi đó, những người muốn hiểu các kỹ thuật hình học thì tốt hơn là nên bắt đầu với giả định: “Cho M3 là một đa tạp mà có nhận một phân rã hình học” bởi vì nó tổng quát hơn “Cho M3 là một đa tạp Haken”. Những người không muốn sử dụng kỹ thuật hay những ai đang nghi ngờ nó có thể lờ nó đi. Thậm chí là cả khi một định lý về các đa tạp Haken có thể được chứng minh bằng các kỹ thuật hình học, việc tìm kiếm những kỹ thuật tôpô để chứng minh nó vẫn có giá trị cao. Trong tình huống này (mà vẫn còn tiếp tục) tôi nghĩ rằng tôi phải cố gắng để loại bỏ hai kết quả xấu nhất cho mình: hoặc không hé lộ những gì tôi đã khám phá, giữ nó cho riêng mình (có lẽ cả với niềm hi vọng chứng minh giả thuyết Poincare) hay là để giới thiệu một lý thuyết kín kẽ và rất khó học mà có người nào để giữ nó tồn tại và phát triển. Tôi có thể dễ dàng nói rõ về những tiếc nuối trong sự nghiệp của mình. Tôi đã không công bố nhiều đến mức nên làm. Có một số dự án toán học ngoài giả thuyết hình học hóa cho các đa tạp 58 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Haken mà tôi đã không phát biểu thật tốt trước cộng đồng toán học. Khi tập trung hơn vào phát triển cơ sở thay vì những định lý ở cấp cao nhất trong lý thuyết hình học của 3-đa tạp, tôi trở nên hơi xa rời trong khi chủ đề này vẫn tiếp tục phát triển và tôi đã không thúc đẩy một cách tích cực cũng như hiệu quả của ngành này, hay các sự nghiệp của những người tham gia nghiên cứu nó. (Nhưng có vẻ với tôi, một vài mức độ xa rời gần như là một sản phẩm phụ không thể tránh được trong việc hướng dẫn các học viên sau đại học và số khác: để thực sự chuyển các hướng nghiên cứu đích thực sang những lĩnh vực khác, cần phải gạt bỏ và chặn lại những nghĩ nặng nề về những chuyện ấy). Mặt khác, tôi đã trở nên bận bịu và có hiệu suất cao hơn, trong nhiều hoạt động khác. Hệ thống của chúng ta không tạo được thêm thời gian cho những người như tôi sử dụng để viết và nghiên cứu; thay vào đó nó làm tràn ngập chúng tôi bởi rất nhiều cơ hội cho việc làm thêm và phản ứng chính của tôi là nói “có” với tất cả những yêu cầu và cơ hội đó. Tôi đã dành nhiều nỗ lực vào các hoạt động không tạo ra danh tiếng mà tôi coi trọng như là tôi coi trọng việc chứng minh các định lý: nền chính trị toán học, chỉnh sửa các ghi chép của tôi thành một quyển sách với một tiêu chuẩn cao của sự trao đổi, khám phá về tính toán trong toán học, giáo dục toán học, phát triển những hình thức trao đổi toán học mới qua Trung tâm Hình học (giống như thí nghiệm đầu tiên của chúng tôi, video “Not Knot”, chỉ đạo MSRI, v.v... Tôi nghĩ rằng những gì tôi đã làm không thể cực đại hóa “danh tiếng” của tôi được. Tôi đã ở trong một vị trí mà không có một nhu cầu lớn phải cạnh tranh để giành nhiều hơn sự công nhận. Thực ra tôi bắt đầu thấy cảm thấy bị thách thức mạnh mẽ từ những thứ khác, bên cạnh việc chứng minh những định lý mới. Tôi thực sự tin rằng những hoạt động của tôi đã làm tốt việc khuyến khích toán học. 59 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 60 LUẬT BENFORD VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG THÚ VỊ Trần Nam Dũng - Đặng Nguyễn Đức Tiến (Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-TP.HCM - Đại học Trento, Italia) LỜI GIỚI THIỆU Luật Benford (Benford Law) hay còn gọi luật chữ số thứ nhất (First Ditgit Law) là một luật khá nổi tiếng trong toán học và đã được giới thiệu trong nhiều bài viết trên các diễn đàn cũng như ở một số giáo trình toán học ở bậc đại học. Trong bài viết này của Epsilon, chúng tôi muốn giới thiệu với độc giả một cách tiếp cận với định luật kỳ lạ này thông qua một bài giảng toán học của nhà toán học nổi tiếng Vladimir Arnold mà người viết may mắn có dịp được nghe trực tiếp. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng nhân bài viết này giới thiệu với độc giả một số ứng dụng rất thú vị của định luật tưởng chừng như "vô bổ" này! 1. Câu chuyện của nhà toán học Vladimir Arnold Câu chuyện dưới đây tôi, Trần Nam Dũng, được nghe trực tiếp từ Vladimir Arnold, nhà toán học nổi tiếng người Nga khi ông nói chuyện với học sinh chuyên toán ở Mát-xcơ-va (Moscow, thủ đô nước Nga hiện nay). Câu chuyện này khá sâu sắc và đòi hỏi những kiến thức toán học nhất định. Vladimir Arnold bắt đầu buổi nói chuyện bằng câu hỏi: “Em nào cho tôi biết, 2100 bắt đầu bằng chữ số nào?” Ái chà, câu này lạ đây. Nếu tìm chữ số tận cùng của 2100 thì dễ, cái này học sinh lớp 7 cũng biết. Chữ số tận cùng của 2nkhi n D 1; 2; 3; 4; 5; 6 : : : sẽ lần lượt là 2; 4; 8; 6; 2; 4; 8; 6; 2 : : : có nghĩa là chúng tuần hoàn với chu kỳ 4 và ta có ngay 2100 tận cùng bằng 6. Ta thử tìm xem chữ số đầu tiên của 2n.n D 0; 1; 2; : : : / có quy luật tuần hoàn gì không: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 . . . Dường như là cũng có quy luật, cụ thể là dãy số 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5 (độ dài 10) được lặp lại. Như vậy đáp số là 1! Một học sinh giơ tay: “Dạ thưa giáo sư, đáp số là 1 ạ!”. “Đúng! Giỏi lắm! Em có thể giải thích tại sao?” “Dạ thưa, em quan sát thấy dãy các chữ số đầu tiên của 2nlà tuần hoàn với chu kỳ 10, từ đó em tính được 2100 có chữ số đầu tiên giống 20, 210, 220 và bằng 1 ạ.” “Một nhận xét không tồi! Nhưng em có thể chứng minh được nhận xét đó không?” 61 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 “Dạ em chưa chứng minh được, nhưng em nghĩ là nó đúng, em đã thử đến tận n D 40 rồi ạ!” “Đúng là có quá nhiều nguyên nhân để em tin dự đoán của mình là đúng. Em đã thử đến 40 và thấy quy luật lặp đi lặp lại. Hơn nữa tôi lại báo cho em biết là em đã nói đáp số đúng. Tuy nhiên, trong toán học, nếu một dự đoán chưa được chứng minh thì nó vẫn chỉ là dự đoán, cho dù nó được thử cho đến 1 triệu hay 1 tỉ. Có những mệnh đề chỉ sai ở bước thứ một triệu lẻ một!” “Nhưng thưa giáo sư, trong trường hợp của chúng ta thì phát biểu của bạn Kolia đúng hay sai ạ?” Một học sinh nôn nóng hỏi. “Các em thử tính tiếp xem sao!” “Ôi, sai rồi ạ! Ở hàng chục thứ 5, từ 240 đến 249, các chữ số đầu tiên là 1, 2, 4, 8, 1, 3, 7, 1, 2, 5.” Xuất hiện chữ số 7 ngoại lai nằm ngoài quy luật. Tiếp tục tính các chục tiếp theo, ta lần lượt được: 50-59: 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 2, 5 60-69: 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 2, 5 70-79: 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6 80-89: 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6 90-100: 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6, (1) Như vậy các số trệch theo quy luật dự đoán ban đầu ngày càng nhiều. Tuy nhiên, dường như các chữ số 1 thì không bị lệch quy luật. “Thưa giáo sư, dường như các chữ số đầu tiên ở các lũy thừa 2nvới n 0; 4; 7 mod 10 luôn bằng 1”. “Dự đoán vẫn chỉ là dự đoán! Các em hãy kiên nhẫn tính thêm 10 số nữa!” Và 10 con số tiếp theo là: 100-109: 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6 Như vậy dường như quy luật bị lệch pha và các khẳng định của chúng ta không đúng. Chú ý rằng, khác với trường hợp chữ số tận cùng, ở đây trong quá trình tính toán, ta không thể “cắt đuôi” hay bỏ đầu mà phải giữ lại tất cả. Vì thế phải làm việc với các số rất lớn lên đến hàng chục chữ số. “Thưa giáo sư, vậy chúng ta phải làm thế nào? Bởi tính toán ngày càng phức tạp và các máy tính của chúng em bó tay rồi. Chẳng hạn nếu cần tìm chữ số đầu tiên của 21990 thì làm sao?” (Lưu ý câu chuyện xảy ra vào năm 1990) “Liệu có phải là 1?” Bạn học sinh hỏi thêm. “Nếu tìm chữ số đầu tiên của 210 ithì nó luôn bằng 1 cho đến i D 30 thì sai. 2300 bắt đầu bằng chữ số 2”. “Thế còn 21990?” “21990 lại bắt đầu bằng 1.” 62 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 “Nhưng làm sao có thể tìm được ạ?” “Được rồi. Rõ ràng ta không thể tiếp tục câu chuyện mà chỉ dùng tính toán thuần túy. Ta tính tay như thế là đủ rồi. Bây giờ là lúc phải suy nghĩ. Theo các em, điều kiện để một số N có chữ số đầu tiên là a là gì?” “Dạ, nếu N có k chữ số thì điều kiện đó là: a10k1 N < .a C 1/10k1ạ!” “Đúng rồi, rất tốt! Bây giờ lấy lg hai vế, ta được k 1 C lga lgN < k 1 C lg.a C 1/” “Điều này có nghĩa là gì? Có nghĩa là N sẽ có chữ số đầu là a nếu ta có bất đẳng thức trên.” “Dạ thưa giáo sư, nhưng ta không biết k bằng bao nhiêu ạ!” “Các em thử nghĩ xem, số chữ số của 1 số N được tính như thế nào?” “Dạ, k D 1 C ŒlgN  ạ!” “Đúng rồi. Như thế có phải là N sẽ có chữ số đầu tiên là a khi và chỉ khi lga flgNg < lg.aC1/ đúng không?” “Ồ, vì lg.21990/ D 1990lg.2/ D 559:049 nên flg.21990/g D 0:049 và ta suy ra chữ số đầu tiên của 21990 là 1!” Một học sinh hồ hởi nói. “Và như vậy, chỉ cần biết lg.2/; lg.3/; : : : ; lg.10/ là ta tìm được chữ số đầu tiên của 2nvới n bất kỳ. Vậy là xong rồi!” “Nhưng câu chuyện bây giờ chỉ mới bắt đầu!” Vladimir Arnold hóm hỉnh nói. “Bây giờ chúng ta thử làm thống kê xem trong 100 lũy thừa của 2 đầu tiên, có bao nhiêu lũy thừa bắt đầu bằng chữ số 1, bao nhiêu lũy thừa bắt đầu bằng chữ số 2, . . . , bao nhiêu lũy thừa bắt đầu bằng chữ số 9.” Học sinh tiến hành thống kê thì được bảng sau: Chữ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 # 30 17 13 10 8 7 5 5 5 Như vậy chữ số 1 xuất hiện nhiều hơn hẳn, sau đó đến chữ số 2 và cứ như thế. “Điều này giải thích nhờ vào điều kiện: 2ncó chữ số đầu tiên là a khi và chỉ khi fnlg.2/g 2 Œlg.a/; lg.a C 1//” “Và theo định lý Weil về phân bố đều, xác suất để điều này xảy ra sẽ bằng chính độ dài của khoảng Œlg.a/; lg.a C 1//, tức là bằng lga C 1 a.” “Định lý Weil về phân bố đều là định lý thế nào ạ?” “Định lý này khẳng định rằng nếu ˛ là số vô tỷ thì dãy fn˛g sẽ phân bố đều trên đoạn Œ0; 1, điều này có nghĩa là với mọi khoảng .a; b/ thuộc Œ0; 1, xác suất để fn˛g thuộc .a; b/ sẽ bằng b a.” 63 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 “Như thế, do lg21> lg32> > lg109nên việc chữ số 1 xuất hiện nhiều hơn là hợp lý!” Học sinh có vẻ đã hiểu và rất phấn khích với những điều giáo sư nói. “Câu chuyện toán học đến đây có thể đã kết thúc. Nhưng chúng ta hãy áp dụng các quan sát này vào lịch sử và địa lý một chút. Các em về nhà hãy lấy 1 cuốn atlas ra, tìm số liệu về diện tích và dân số các nước, sau đó thống kê xem trong các con số về diện tích và dân số đó, có bao nhiêu số bắt đầu bằng chữ số 1, bao nhiêu số bắt đầu bằng chữ số 2, . . . , bao nhiêu số bắt đầu bằng chữ số 9. Hãy đưa ra nhận xét và cố gắng giải thích nhận xét của mình trên góc độ toán học và lịch sử! Xin cảm ơn các em đã tham gia buổi nói chuyện hôm nay một cách rất nhiệt tình”. 2. Đôi dòng lịch sử về luật Benford Vladimir Arnold đã giới thiệu với học sinh của ông một bài giảng tuyệt đẹp về bản chất của luật Benford, nhưng luật này vì sao lại có tên gọi như vậy, và ra đời khi nào? Trong phần này, chúng tôi giới thiệu đôi dòng lịch sử của định luật đáng kinh ngạc này. Nhà toán học – thiên văn học người Mỹ - Canada Simon Newcomb (1835 – 1909) được ghi nhận như người đầu tiên để ý sự kiện này. Chuyện kể rằng, Simon rất ngạc nhiên khi thấy ở các quyển tra cứu logarithm thì các trang đầu chứa các số bắt đầu bằng 1 nhiều hơn, còn các trang sau thì các số lại có chữ số đầu lớn hơn. Simon đặt giả thiết là phải chăng người ta gặp các số có chữ số đầu là chữ số nhỏ nhiều hơn là các chữ số lớn? Từ giả thiết đó, ông đã đề cập đến hiện tượng này trong bài báo "Ghi chép về tần suất sử dụng các chữ số khác nhau trong các số tự nhiên" và tính được xác suất gặp các chữ số đầu là 1, 2, 3, . . . 9 giảm dần. Đến năm 1938, Frank Benford (1883 - 1948), một kỹ sư điện tử và vật lý học người Mỹ, nghiên cứu lại hiện tượng này và sau đó đặt tên luật này theo tên ông. Frank Benford thu thập số liệu thực tế từ diện tích bề mặt của 335 con sông, 104 hằng số vật lý, 1800 trọng lượng phân tử, 5000 mục từ một cuốn sổ tay toán học,. . . và nhiều nguồn khác. Tổng cộng ông thu thập được 20.229 con số và tiến hành thống kê số lần xuất hiện của chữ số đầu tiên. Trong phân tích của mình, ông tìm ra có khoảng 30% con số bắt đầu với 1, 18% với 2, và cứ thế. Định luật này cũng có thể lặp lại với các tập hợp dữ liệu khác, ví dụ như kết quả trận bóng chày, tỉ lệ tử vong, giá cổ phiếu, địa chỉ nhà, và hóa đơn tiền điện, nhưng ngay cả Benford cũng không thể giải thích tại sao nó lại như thế. Tháng sáu năm 1961, nhà toán học người Mỹ Roger Pinkham lần đầu tiên đưa ra giải thích và chứng minh cho định luật này qua bài báo "On the Distribution of First Significant Digits" và từ đó khá nhiều lý giải khác nhau đã được khai thác. Một cách tiếp cận dễ hiểu cho trường hợp 2n cũng đã được chúng tôi giới thiệu ở phần đầu của bài viết này thông qua bài giảng của Vladimir Arnold. Kể từ khi luật Benford ra đời đến nay, đã có hơn 18.000 công trình1hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp liên quan đến định luật thú vị này. Và kết thúc phần lịch sử này, chúng tôi tóm tắt lại luật Benford bằng công thức đơn giản như sau: 1dựa trên kết quả tìm kiếm ở scholar.google.com, tìm kiếm vào tháng 7 năm 2015 64 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Xác suất xuất hiện chữ số đầu tiên d (d 2 f1; 2; : : : ; 9g) là: P .d / D lg.1 C1d/ Giá trị của P(d) được tính xấp xỉ là: d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P(d) 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6% 3. Những ứng dụng thú vị Như vậy với định luật Benford, ta biết được rằng về cơ bản một tập hợp danh sách các số liệu được lấy ra từ các nguồn thực tế sẽ tuân theo một dạng nhất định về xác suất của các chữ số đầu tiên. Nhưng liệu điều này phải chăng chỉ là một bất ngờ thú vị hay có thể có ứng dụng vào cuộc sống? Câu trả lời hẳn độc giả đã dễ dàng đoán ra, luật Benford có khá nhiều ứng dụng quan trọng, và trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu hai ứng dụng của luật Benford: ứng dụng vào kiểm tra số liệu kinh tế và ứng dụng vào giám định ảnh số! Nếu như ứng dụng đầu tiên là ứng dụng kinh điển, được rất nhiều người biết đến thì ứng dụng thứ hai khá lạ, trong tầm hiểu biết của những người viết bài này thì đây là lần đầu tiên được giới thiệu với độc giả Việt Nam. Hãy lấy chiều cao của những tòa nhà cao nhất thế giới hay của quốc gia nào đó, và thống kê các chữ số đầu tiên, hãy lấy độ dài các con sông trên thế giới, và thống kê các chữ số đầu tiên, dù là tính theo mét hay theo dặm, theo inch hay theo foot, tất cả đều sẽ kết quả gần với xác suất đã nêu ở luật Benford. Và các con số ở báo cáo tài chính, báo cáo thuế cũng vậy! Vì vậy, bằng vào việc thống kê và so sánh độ khác biệt so với luật Benford, người ta có thể phát hiện ra những bản số liệu liệu có bị chỉnh sửa hay không! Vì luật Benford trái với cảm nhận thông thường của nhiều người (cho rằng các chữ số có xác suất xuất hiện như nhau) nên một người khi làm giả số liệu sẽ có xu hướng đưa ra những con số có chữ số đầu tiên tuân theo phân bố đều, do đó sự giả mạo này có thể được phát hiện khi so sánh với phân bố của luật Benford. Một kết quả nghiên cứu của Jialan Wang (đương thời là giáo sư của đại học Washington, Mỹ), thông qua luật Benford cho thấy xu hướng làm giả số liệu tài chính tăng liên tục trong suốt 50 qua. Nhiều nghiên cứu khác cũng cho thấy luật Benford là một công cụ rất hữu hiệu cho phép phát hiện ra giả mạo trong tài chính. Vào năm 1998, người ta cũng đã thử lấy số liệu báo cáo thuế của tổng thống Mỹ bấy giờ là Bill Clinton để thử với luật Benford, và rất thú vị là số liệu của ông tuân theo luật này. Đến đây, bạn đọc có thể thử lấy một bảng số liệu tài chính nào đó và thử kiểm chứng xem sao. Để đi đến ứng dụng thứ hai, chúng tôi mạn phép giới thiệu với độc giả một số kiến thức khá "lạc tông": ảnh số! Hiện nay, gần như toàn bộ mọi hình ảnh và video mà chúng ta xem được trên các thiết bị điện tử đều là ảnh/video số. Vậy ảnh số là gì và được tạo ra như thế nào? Ảnh số được tạo nên từ hàng triệu ô vuông rất nhỏ - được coi là những thành tố của bức ảnh và thường được biết dưới tên gọi là điểm ảnh (pixel, có được từ thuật ngữ picture element). 65 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bạn có biết? Vào năm 2000, Kodak thống kê kỷ lục mới trên thế giới: số lượng ảnh trên thế giới đã đạt đến con số 80 triệu ảnh. Chỉ 14 năm sau, mỗi ngày có khoảng 1.8 tỷ ảnh được đưa lên internet! Con số này còn nhiều hơn toàn bộ ảnh trong lịch sử loài người cộng lại tính đến 2004, năm ra đời của Flickr. Dự kiến vào cuối năm 2015, số lượng ảnh sẽ đạt ngưỡng 1 trillion, tức là 1000 tỉ ảnh! Gấp 12.500 lần so với 15 năm trước đó! Nếu như mỗi ảnh được in ra với kích thước 4x6 (inches) và dán lại với nhau thì chiều dài tổng cộng sẽ là 200 triệu dặm, dài hơn con đường từ trái đất đến mặt trời và trở về! Trong số hàng ngàn tỉ ảnh này, 87% ảnh được chụp từ các thiết bị di động và chỉ có 13% là từ các máy ảnh chuyên dụng. Điều này có nghĩa là có hàng trăm tỉ tấm ảnh được lưu trữ ở dạng JPEG, chuẩn nén phổ biến nhất hiện nay! Theo thống kê của Business Insider và Thời báo New York. Thông thường, mỗi một điểm ảnh là tổng hợp của 3 màu cơ bản: đỏ, xanh dương, và xanh lá cây và các thiết bị điện tử sẽ tổng hợp 3 màu này lại để có được màu mà chúng ta vẫn nhìn thấy. Ứng với mỗi màu và mỗi điểm ảnh, máy tính sử dụng các giá trị nguyên dương từ 0 đến 255 (là một byte) để thể hiện độ mức độ của màu đó. Để lưu trữ như vậy, cơ bản mỗi bức ảnh có kích thước cỡ trung bình, ví dụ như 3:456 2:304 điểm ảnh, sẽ tốn tối thiểu 3:456 2:304 3 D 23:887:872 byte, tức là xấp xỉ 22.8 MB. Bạn đọc hãy thử xem lại các ảnh số của mình với độ phân giải tương tự, sẽ thấy rằng con số này quá lớn so với con số thực tế được lưu trên máy tính hay điện thoại nếu bạn lưu ảnh có phần mở rộng là .jpg. Để có được kích thước nhỏ như vậy, các thiết bị điện tử đã áp dụng các kỹ thuật nén ảnh, mà phổ biến nhất là kỹ thuật nén với chuẩn JPEG! Độc giả có thể tìm hiểu chi tiết về chuẩn nén này thông qua các nguồn khác, ở đây chúng tôi chỉ nhấn mạnh lại ưu điểm của JPEG: nền tảng chính của nén JPEG là dựa trên biến đổi cosine rời rạc (DCT – discrete cosine transform), đây là một phép biến đổi trực giao nên ma trận nghịch đảo cũng chính là ma trận chuyển vị, điều này cho phép các tính toán thực hiện rất nhanh, phù hợp với các thiết bị di động! Hơn nữa, biến đổi DCT cho phép dễ dàng giữ lại các thành tố quan trọng và lược bỏ các thành tố không quan trọng, đặc biệt là với thị giác của con người, nhờ vậy mà ảnh có thể được nén với tỉ lệ rất cao! Việc nén nhiều hay ít, phụ thuộc quan trọng nhất ở giai đoạn “lượng hóa” các giá trị sau biến đổi DCT, tức là giữ lại bao nhiêu thành phần quan trọng nhất và loại bỏ những thành phần nào. Và điều thú vị xảy ra ở đây: sự phân bố của các chữ số đầu tiên sau biến đổi DCT trên ảnh nén sẽ không hoàn toàn tuân theo luật Benford như ở ảnh không nén! Hơn nữa, các mức nén khác nhau sẽ có những khác biệt khác nhau. Căn cứ vào điều này, người ta có thể phỏng đoán được một ảnh được nén một lần hay nhiều hơn một lần, và nén với mức độ nào! Hay nói một cách đơn giản hơn, với một bức ảnh số bất kỳ, hãy thống kê tần suất xuất hiện của các chữ số đầu tiên sau khi biến đổi DCT, bạn có thể phỏng đoán được ảnh này đã nén hay chưa, nén ít hay nhiều, nén bao nhiêu lần, nén bằng phần mềm nào ... mà không cần phải xem những thông tin khác! Lưu ý rằng ở đây chúng tôi dùng chữ "phỏng đoán" chứ không phải là "xác định" vì để xác định đòi hỏi rất nhiều thông tin khác, cũng như những yêu cầu khác, nằm ngoài khuôn khổ 66 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Original Image Compressed Image (high quality) Compressed Image (low quality) Hình 7.1: Ví dụ về nén ảnh JPEG. Ảnh bên trái: ảnh gốc, không nén. Ảnh ở giữa, nén với tỉ lệ thấp (cho ra ảnh chất lượng cao hơn) và ảnh bên phải: nén tỉ lệ cao. 0.35 Original Image 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Benford Law Compressed Image (high quality) Compressed Image (low quality) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Hình 7.2: Tần suất xuất hiện của các chữ số đầu tiên sau biến đổi DCT từ 3 ảnh ở Hình 7.1. một bài viết của Epsilon. Việc biết được các thông tin này có nghĩa gì? Bạn đọc hãy thử hình dung nếu như ta biết được một bức ảnh đang có đã được nén từ một phần mềm chỉnh sửa ảnh, ví dụ như Photoshop hay Picasa mà không phải từ máy chụp ảnh thì ảnh này đã có thể bị thay đổi và không đáng tin cậy nữa! Hoặc nếu một ảnh được nén nhiều hơn một lần thì có nghĩa là ảnh không phải chép trực tiếp từ máy ảnh nữa mà đã qua một công đoạn trung gian nào đó ở giữa. Và như vậy, luật Benford đã "vén màn" những bí mật đằng sau một tấm ảnh số! Chúng tôi kết thúc bài viết bằng một ví dụ về luật Benford trên ảnh nén. Hình 7.1 thể hiện 3 phiên bản của cùng một bức ảnh: không nén, nén ít và nén nhiều. Ở Hình 7.2 là thống kê tần suất của các chữ số đầu tiên sau biến đổi DCT trên từng block của 3 ảnh. Đường màu đỏ là phân bố của luật Benford, các cột màu xanh dương là của ảnh không nén và 2 đường màu xanh lá cây là của 2 ảnh nén. Chúng ta có thể quan sát và thấy rằng phân bố của các cột màu xanh dương rất gần với đường màu đỏ (là phân bố theo luật Benford) trong khi 2 đường màu xanh lá cây có khác biệt lớn hơn và "rối loạn" hơn. Căn cứ vào đó, người ta đã xây dựng lên các cơ sở để phát hiện ra ảnh đã bị nén như thế nào! 67 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Ghi chú Mặc dù đúng trong nhiều tập hợp các số liệu tự nhiên, luật này cũng có những hạn chế của nó. Các con số không được là ngẫu nhiên, ví dụ như kết quả xổ số và không thể quá hạn chế khi tập hợp các xác suất là quá hạn hẹp. Bài viết có tham khảo các nguồn tài liệu tiếng Việt của tác giả Trần Quý Phi ở statistic.vn và diễn đàn toán học diendantoanhoc.net qua bài viết của một người có tên trên diễn đàn là Crystal. 68 ĐIỀU KIỆN NGOẠI TIẾP CỦA MỘT TỨ GIÁC KHÔNG LỒI VÀ ỨNG DỤNG Đỗ Thanh Sơn – THPT chuyên KHTN TÓM TẮT Bài báo đưa ra khái niệm tứ giác không lồi ngoại tiếp cùng với một số ứng dụng. 1. Mở đầu Chúng ta đã biết điều kiện ngoại tiếp của một tứ giác lồi. Điều kiện đó đựơc phát biểu như sau Điều kiện cần và đủ. Một tứ giác lồi ngoại tiếp được một đường tròn khi và chỉ khi tổng độ dài các cặp cạnh đối bằng nhau. Tuy nhiên trong việc giải toán, nhiều khi ta gặp phải những bài toán khảo sát tính chất tiếp xúc của các cạnh hoặc đường thẳng chứa các cạnh của một tứ giác không lồi với một đường tròn nào đó. Trong những trường hợp như vậy ta không thể sử dụng được điều kiện ngoại tiếp của một tứ giác lồi để khảo sát bài toán. Nội dung của bài báo này đề cập đến điều kiện "ngoại tiếp" của một tứ giác không lồi có hình dạng được định nghĩa sau đây và ứng dụng nó để giải toán. 2. Các định nghĩa Định nghĩa 1. Cho một tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, N là giao điểm của các đường thẳng AD và BC (có thể coi B nằm giữa A và M; D nằm giữa A và N). Hình được tạo bởi các đoạn thẳng liên tiếp nhau AM; MC; CN; NA là hình tứ giác lõm. Chúng ta sẽ chỉ khảo sát các vấn đề liên quan đến hình tứ giác này. M B C N A D 69 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nếu cấu hình trên được xem như một tập hợp gồm tứ giác lồi ABCD, tam giác BCM và tam giác CDN, thì ta còn gọi nó là tứ giác toàn phần. Để cho tiện, từ bây giờ ta sẽ gọi tứ giác có hình dạng đã được định nghĩa trên đây là tứ giác toàn phần và được ký hiệu là ABCDMN. Trong ký hiệu này các chữ A; B; C; D là đỉnh của một tứ giác lồi, còn các điểm M; N là các đỉnh được sinh ra từ các cặp đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ giác ABCD cắt nhau. Cũng vì thế, đôi khi ta còn nói tứ giác toàn phần ABCDMN được sinh bởi tứ giác lồi ABCD. Các điểm A; B; C; D; M; N là đỉnh tứ giác các đoạn AB; BC; CD; DA; AM; MC; CN; ND; AN là cạnh tứ giác. Các đoạn thẳng AC; BD; MN là đường chéo tứ giác. Nếu không có chú thích gì, thì khi nói tới tứ giác toàn phần ABCDMN ta hiểu rằng tứ giác đó có cấu hình như đã định nghĩa ở trên. Định nghĩa 2. Ta nói tứ giác toàn phần ABCDMN ngoại tiếp đường tròn .O/, nếu .O/ là đường tròn nội tiếp trong tứ giác ABCD. Để cho gọn, khi ta nói tứ giác toàn phần ABCDMN ngoại tiếp, ta hiều rằng tứ giác đó ngoại tiếp một đường tròn. M B I A 3. Điều kiện ngoại tiếp C D N Định lý 1. Tứ giác toàn phần ABCDMN ngoại tiếp khi và chỉ khi AM C CN D AN C CM. M B K A F N 70 L D C=C' E Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Chứng minh. Giả sử ABCDMN ngoại tiếp. Theo định nghĩa, tồn tại một đường tròn .O/ nội tiếp trong tứ giác lồi ABCD. Ta ký hiệu các điểm K; L; E; F lần lượt là tiếp điểm của .O/ và các cạnh tương ứng AB; BC; CD; DA. Khi đó ta có AM D AK C KM, CN D NL CL, AN D AF C FN, CM D ME CE. Vậy AM C CN D AN C CN suy ra AK C KM C NLCL D AF CFN CME CE (1). Vì AK D AF; MK D ME; NF D NL; CE D CL, nên (1) đúng. Giả sử AM C CN D AN C CM. Ta cần chứng minh rằng ABCD là tứ giác ngoại tiếp. Gọi .O/ là đường tròn nội tiếp trong 4MAD. Ta chứng minh rằng (O) cũng là đường tròn nội tiếp trong 4NAB. Ta ký hiệu K; E; F là tiếp điểm của .O/ với các cạnh tương ứng AM; MD; DA của 4MAD. Từ N kẻ tới .O/ tiếp tuyến NL khác NA (L là tiếp điểm). Đường thẳng NL cắt MD tại C0và ta coi C nằm giữa C0và M. Theo điều kiện cần ta có AM C NC0 D AN CMC0 suy ra AM AN D MC0 NC0(2). Từ giả thiết ta suy ra AM AN D CM CN (3). Từ (2) và (3) ta có CM CN D MC0 NC0suy ra CM CN D CM C CC0 NC0hay NC0 D C0C C CN. Đẳng thức này chứng tỏ rằng C và C0trùng nhau. Tức là cạnh BC tiếp xúc với .O/: Định lý 2. Tứ giác toàn phần ABCDMN ngoại tiếp khi và chỉ khi BM C BN D DM C DN: M B=B' K A F L D C E N Chứng minh. Ta vẫn sử dụng các ký hiệu như trong chứng minh định lý 1 để chứng minh định lý 2.Gỉa sử ABCDMN ngoại tiếp, khi đó ta có BM D MK BK, BN D BL C LN; DM D DE C ME, DN D NF DF . Rõ ràng BM C BN D DM C DN suy ra MK BK C BL C LN D DE C ME C NF DF (*). Vì MK D ME; NL D NF; BK D BL; DE D DF , nên (*) đúng. Ngược lại nếu BM C BN D DM C DN ta cần chứng minh ABCD ngoại tiếp. Gọi .O/ là đường tròn nội tiếp 4MAD. Ta kẻ tiếp tuyến NL tới .O/ và khác NA. Đường thẳng NL cắt AM tại B0và coi B nằm giữa M và B0. Theo điều kiện cần ta có B0M C B0N D DM C DN suy ra B0B C BM C B0N D DM C DN. Theo giả thiết ta có BM C BN D DM C DN. Từ đó ta suy ra B0B C BM C B0N D BM C BN hay B0B C B0N D BN. Đẳng thức này chứng tỏ B0trùng với B. Tức là ABCD ngoại tiếp. 71 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 4. Ứng dụng Bây giờ ta sẽ chỉ ra ứng dụng của hai định lý trên vào giải toán. Bài toán 1. Đường tròn tâm I nội tiếp trong 4ABC tiếp xúc với các cạnh BC; CA; AB lần lượt tại M; N; E. a) Chứng minh rằng các tứ giác IMBE và IMCN ngoại tiếp. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn nội tiếp trong các tứ giác trên và khác đường thẳng IM đi qua A. A N E I O1O2 K B C M Lời giải. a) Rõ ràng ta có IM D IE và BM D BE, nên tứ giác lồi IMBE thõa mãn điều kiện IM C BE D IE C BM. Từ đó suy ra tứ giác IMBE ngoại tiếp. Ta ký hiệu .O1/ là đường tròn nội tiếp trong tứ giác đó. Tương tự, ta cũng suy ra tứ giác IMCN ngoại tiếp và .O2/ là đường tròn nội tiếp tứ giác đó. b) Ta thấy rằng IM là một tiếp tuyến chung trong của .O1/ và .O2/. Kẻ qua A đường thẳng tiếp xúc với .O2/ và khác AC. Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với IM. Ta thấy rằng tứ giác không lồi ACMK ngoại tiếp .O2/ nên ta có AC C MK D AK C MC. Để chứng minh AK cũng tiếp xúc với .O1/ ta cần nghiệm lại điều kiện AK C MB D MK C AB hay AK MK D AB MB. Thật vậy, điều kiện AC C MK D AK C MC tương đương với AK MK D AC MC D .AN C NC / MC D AN C .NC MC / D AN D AE D AB BE D AB BM. Đây là điều cần chứng minh. Ta cũng thấy rằng .O1/ và .O2/ khác phía đối với tiếp tuyến chung AK, nên AK là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. Bài toán 2. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn. Trên cạnh AB ta lấy điểm M. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N (ta coi A nằm giữa D và N). Gọi I; J; K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp trong các tam giác NCD; BMC và AMN. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK đi qua A. 72 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 A K N P M D I T J B C Lời giải. Ta thấy rằng đường thẳng IK chứa các đường phân giác của các tam giác BMC và AMN được kẻ từ M. Đường thẳng KI chứa phân giác của ANM \. Ta gọi 2˛ D ANM ; 2ˇ \ D AMN, khi đó ta có IKJ [ D ˛ C ˇ (góc ngoài của 4KMN /. Mặt khác ta có BAD [ D 2˛ C 2ˇ \ (góc ngoài của 4AMN /. Từ A ta kẻ tiếp tuyến AT tới đường tròn .J / (khác AB). Gọi P là giao điểm của AT và CM. Vì .J / nội tiếp trong tứ không lồi BAP C, nên ta có AB C CP D BC C AP tương đương AB BC D AP CP. Vì ABCD ngoại tiếp, nên AB BC D AD CD. Từ các kết quả trên suy ra AP CP D AD CD hay AP C CD D AD C CP. Đẳng thức này chứng tỏ tứ giác lồi ADCP ngoại tiếp đường tròn. Tức là AT tiếp xúc với .I /. Do đó tia AI là phân giác của DAP [. Xét IAJ d , ta có IAJ d D IAP [C PAI [ D ˛ C ˇ: Do đó IKJ [ D IAJ d . Hơn nữa các điểm K và A cùng phía đối với IJ , nên A; J; I; K đồng viên. Đó là điều phải chứng minh. Bài toán 3. Cho tam giác ABC. Giả sử đường elip .E/ với các tiêu điểm B; C cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại M; N. Dựng các tiếp tuyến với .E/ tại các điểm M và N. Gọi I là giao điểm các tiếp tuyến đó. Chứng minh rằng tia AI là phân giác của BAC [. A N I M P B C 73 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Lời giải. Gọi P là giao điểm của các đoạn thẳng BN và CM. Trong tứ giác toàn phần AMPNBC ta có MB C MC D NB C NC. Do đó tứ giác này ngoại tiếp. Theo định nghĩa tồn tại một đường tròn nội tiếp trong tứ giác AMPN. Cần lưu ý rằng MI và NI là các tia phân giác của các góc tại đỉnh M và N của tứ giác AMPN. Vậy thì I là tâm đường tròn nội tiếp trong tứ giác AMPN. Tức là AI là tia phân giác của BAC [. Bài toán 4. Cho hai đường tròn .O1/ và .O2/ có bán kính khác nhau và nằm ngoài nhau. T1T2 và T3T4 là các tiếp chung trong của hai đường tròn (T1 và T3 là tiếp điểm thuộc .O1/, T2 và T4 thuộc .O2//. Gọi O là giao điểm cuat các đường thẳng T1T2 và T2T4. Trên đoạn OT1 ta lấy điểm M và OT4 lấy điểm N. Gọi MM1 là tiếp tuyến với .O1/ khác T1T2, MM2 là tiếp tuyến với .O2/ khác T1T2, NN1 là tiếp tuyến với .O1/ khác T3T4, NN2 là tiếp tuyến với .O2/ khác T3T4. Gọi A là giao điểm của MM1 và NN1, B là giao điểm của NN2 và MM2, C là giao điểm của MM2 và NN1, D là giao điểm của MM1 và NN2. Chứng minh rằng đường thẳng AB và các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đồng quy. T1 N 1 D M T4 A B M2 O1O2 C N T2O T3 M1 N 2 Lời giải của ví dụ này được dành cho bạn đọc. Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXBGD 2001. [2] Đỗ Thanh Sơn, Toán nâng cao hình học 11, NXBGD 2013. 74 KHOẢNG CÁCH GIỮA TÂM ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS Trịnh Xuân Minh – Macau TÓM TẮT Như tiêu đề đã nêu, phần này giới thiệu với bạn đọc về hệ thức liên hệ giữa tâm hai đường tròn tiếp xúc trong và ngoài với ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác. Cách chứng minh của tác giả đã lâu (2009) và tương đối cồng kềnh nên hy vọng sau bài viết này có thể có một lời giải hình học đơn giản hơn dành cho nó. Để cho ngắn gọn và đỡ phức tạp, những điều đã biết hoặc cơ bản xin không chứng minh ở đây, thay vào đó người viết sẽ chú thích nguồn để bạn đọc tiện tham khảo. Cho 4ABC và những ký hiệu tương ứng sau: S là diện tích 4ABC p là nửa chu vi 4ABC R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC M.˛M ; ˇM ; M / nếu ˛M! MA C ˇM! MB C M! MC D 0E Trước tiên chúng ta nhắc lại một số định lý và hệ thức cơ bản sau: Định lý Euler. Trong một tam giác, chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler. Hình 1. Đường tròn Euler 75 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Đường tròn Euler có bán kính làR2và trong hệ thống các tâm Kimberling, tâm của nó là X5 với ˛X5 D a cos.B C/: Định lý Feuerbach. Trong một tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp. Hình 2. Định lý Feuerbach Định lý trên được công bố năm 1822 bởi nhà hình học người Đức, Karl Wihelm Feuerbach (1800-1834). Đường tròn Apollonius. Đường tròn tiếp xúc trong với cả ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác gọi là đường tròn Apollonius của tam giác đó 76 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình 3. Đường tròn Apollonius Đường tròn Apollonius có bán kính làp2 C r2 R.p2 r2/a cos A a2S: Một số hệ thức cơ bản 4:1/ S Dabc 4RD pr D .p a/ra 4:2/ a2 C b2 C c2 D 2p2 2r2 8Rr 4:3/ a cos A C b cos B C c cosC D2SR 4rvà có tâm Kimberling X970 với ˛.X970/ D 4:4/ cos2 A C cos2 B C cos2 C D 3 a2 C b2 C c2 4R2D 3 p2 r2 4Rr 4:5/ ab cosC C bc cos A C ca cos B D.a2 C b2 C c2/ 2R2 2D p2 r2 4Rr 4:6/ a cos B cosC C b cosC cos A C c cos A cos B DSR 4:7/ MA2 D.ˇM c/2 C .M b/2 C 2bcˇM M cos A .˛M C ˇM C M /2 4:8/ .˛M C ˇM C M /MS2 D ˛M AS2 C ˇM BS2 C M CS2 ˛M ˇM c2 C ˇM M a2 C M ˛M b2 ˛M C ˇM C M Đường tròn Euler và đường tròn Apollonius gây sự chú ý đặc biệt với bản thân tôi bởi tính chất tiếp xúc của chúng với ba đường tròn bàng tiếp trong một tam giác. Cũng vì đó mà tôi từng nghĩ đến sự tồn tại của một hệ thức đẹp liên hệ giữa chúng, và quả đúng như vậy Định lý. Gọi .E; RE / và .E0; RE0/ lần lượt là đường tròn Euler và đường tròn Apollonius của 4ABC. Khi đó EE02 D .RE C RE0/2 1 rRE Chứng minh. Ta có ˛E0 D Rp2 r2 a cos A a2S. Áp dụng 4.2 và 4.3 X cycl ic ˛E0 D Rp2 r2 X cycl ic a cos A S X cycl ic a2 D Rp2 r2 2SR S 2p2 2r2 8Rr D 8RrS .1/ 77 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng hệ thức 4.7 với M E và ˛E D a cos.B C/ thu được 4AE2 D R2 C 2bc cos A. Kết quả trên cũng có được một cách gián tiếp thông qua việc xét quan hệ vị trí giữa E với các điểm đặc biệt khác trên đường thẳng Euler (trọng tâm, trực tâm, tâm đường đường tròn ngoại tiếp...). Như vậy, 4˛E0 AE2 DR2 C 2bc cos A Rp2 r2 a cos A a2S D R3p2 r2 8RS2 a cos A C 8R2Sp2 r2 cos2 A R2S a2 Áp dụng 4.2, 4.3 và 4.4 ta có 4X cycl ic ˛E0 AE2 D R3p2 r2 8RS2 X cycl ic a cos A C8R2Sp2 r2 X cycl ic cos2 A R2S X cycl ic a2 D R3p2 r2 8RS2 2SRC 8R2Sp2 r2 3 p2 r2 4Rr R2S2p2 2r2 8Rr 2R2 D 26R2Sp2 r2 16S3 2Sp2 r2 4Rr 2p2 r2 C R2 D 26R2Sp2 r2 16S3 4Sp2 r2 2 2Sp2 r2 R2 8Rr C 8R3rS D 4Sp2 r2 2C 8RS.3R C 2r/p2 r2 16S3 C 8R3rS Suy ra, X cycl ic ˛E0 AE2 D Sp2 r2 2C 2RS.3R C 2r/p2 r2 4S3 C 2R3rS .2/ Lại có ˛E0ˇE0c2 D c2 Rp2 r2 a cos A a2S Rp2 r2 b cos B b2S D 4R3Sp2 r2 2c cos A cos B 4R2S2p2 r2 .bc cos A C ca cos B/ C 16R2S4 Áp dụng 4.5 và 4.6 X cycl ic X cycl ic ˛0E ˇ0E c2 D 4R3S.p2 r2/2 X cycl ic ab cosC C 48R2S4 c cos A cos B 8R2S2.p2 r2/ D 4R3S.p2 r2/2 SR 8R2S2.p2 r2/.p2 r2 4Rr/ C 48R2S4 D 4R2S2p2 r2 2C 32R3rS2p2 r2 C 48R2S4.3/ Sau cùng ta áp dụng (1), (2) và (3) vào 4.8 với M E0và S E ta thu được 8RrS EE02 D Sp2 r2 2C 2RS.3R C 2r/p2 r2 4S3 C 2R3rSC 4R2S2p2 r2 2 32R3rS2p2 r2 48R2S4 8RrS D Sp2 r2 2C 2RS.3R C 2r/p2 r2 4S3 C 2R3rSC pR h p2 r2 2 8Rrp2 r2 12S2i 2 Suy ra, 78 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 16RrSC4SrR3 3p2R 2p2r 16Rr2C4RS.R C 2r/p2 r2 EE02 D.R 2r/p2 r2 2 D.R 2r/p2 r2 2C 4Rr.R C 2r/p2 r2 16RrS 16Rr2CR3 3p2R 2p2r DR2 2CRr4Cp2R 4p2 8Cp2 8r2 16Cr2 16Cp4 4R p4 p2r r3 4 Rr 4r 8 16r2 8Rr 4R DR2 4 1 2rR C Rp2 C r2 4r p2 C r2 2C p2 C r2 4r 2 p2 C r2 2 8Rr 8R D " R 2C p2 C r2 4r #2 1 2rR D .RE C RE0/2 1 rRE điều phải chứng minh : Tài liệu tham khảo [1] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 79 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 80