🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tạp Chí Epsilon Số 11 Ebooks Nhóm Zalo NO tháng 10 - 2016 Có thể nói là văn hóa Mỹ ngày nay dường như không khuyến khích nam giới và phụ nữ trong toán học. MICHAEL SIPSER (Nước Mỹ chọn và luyện đội tuyển thi toán quốc tế như thế nào?) Người ta thường hay nói “Mọi con đường đều dẫn đến Roma”. Nhưng nếu đó là những con đường lát gạch trang trí tuần hoàn, thì chúng sẽ đều dẫn đến Lisbon! NGUYỄN TIẾN DŨNG (Đối xứng trong nghệ thuật) Giải toán cùng bạn Hà Huy Khoái Đối xứng trong nghệ thuật Nguyễn Tiến Dũng Đường thẳng Steiner. Điểm Anti-Steiner Ngô Quang Dương Nước Mỹ chọn và luyện đội tuyển thi toán quốc tế như thế nào? Lê Tự Quốc Thắng VÀ CÁC CHUYÊN MỤC KHÁC CHỦ BIÊN: Trần Nam Dũng BIÊN TẬP VIÊN: Võ Quốc Bá Cẩn Ngô Quang Dương Trần Quang Hùng Nguyễn Văn Huyện Dương Đức Lâm Lê Phúc Lữ Nguyễn Tất Thu Đặng Nguyễn Đức Tiến No 11 tháng 10 - 2016 LỜI NGỎ Những ngày này 2 năm trước ý tưởng về Epsilon còn chưa được hình thành. Lúc đó, với sự gợi ý của GS Ngô Bảo Châu, Hội toán học Việt Nam và Viện nghiên cứu cao cấp về toán cùng với một số nhân sự tích cực đang cố gắng xin rất phép để cho ra đời tạp chí Pi, tạp chí phổ biến toán học dành cho học sinh và sinh viên. Nhưng rồi thủ tục không đơn giản như mọi người tưởng ban đầu và dự án bị chựng lại. Epsilon đã được ra đời như một cuộc tổng diễn tập trước khi vào trận đánh chính thức. Ngày ý tưởng ra đời Epsilon được công bố, TS Lê Thống Nhất, một trong những người được nhắm sẽ làm Phó tổng biên tập của Pi đã làm bài thơ chúc mừng Chỉ một cánh én nhỏ Không làm nên Mùa xuân Không bắt đầu từ nhỏ Chẳng có thứ ta cần Từ một cánh én nhỏ Sẽ sinh sôi dần dần Ra cả trời én nhỏ Rõ ràng là Mùa Xuân Epsilon số 11 lần này được xuất xưởng trong bối cảnh các thủ tục thành lập Tạp chí Pi đã có những bước tiến triển lạc quan và sẽ có giấy phép chính thức trong tháng 10 này. Có nghĩa là khả năng số báo Pi đầu tiên sẽ ra đời vào tháng 1/2017 là rất cao. Trong khi chờ đợi số báo chuyên nghiệp đầu tiên đó, Epsilon vẫn sẽ làm nhiệm vụ của mình, chắt chiu những điều nho nhỏ đem đến cho bạn đọc của mình. Epsilon nguyện làm cánh én nhỏ để báo hiệu Mùa Xuân. MỤC LỤC Hà Huy Khoái Giải toán cùng bạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Nguyễn Tiến Dũng Đối xứng trong nghệ thuật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Nguyễn Ái Việt Tô Pô học và ứng dụng trong Vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Terrence Tao (Phùng Hồ Hải dịch) Về câu hỏi trắc nghiệm trong toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Lê Tự Quốc Thắng Nước Mỹ chọn và luyện đội tuyển thi toán quốc tế (IMO) như thế nào? . . . . . . . . . . 45 Trần Thanh Hải Luận lý với thì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Henry Trần Các phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 55 Kiều Đình Minh Phương pháp giải tích trong các bài toán Olympic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Trần Quang Hùng Tổng quát hoá đường thẳng Droz Farny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Vandanjav Adiyasuren Note on Hermite - Hadamard Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Slava Gerovitch (Hoàng Mai dịch) Andrei Kolmogorov - Người mở đường ngành xác suất hiện đại . . . . . . . . . . . . . . 103 Đào Thanh Oai Mở rộng bổ đề Sawayama và định lý Sawayama-Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Ngô Quang Dương Đường thẳng Steiner. Điểm Anti-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Lê Phúc Lữ Về bài toán tam giác 80-80-20 (tiếp theo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Lê Phúc Lữ Giới thiệu về kỳ thi học bổng du học Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Nguyễn Quốc Khánh Những câu đố Mát-Xcơ-Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Ban Biên tập Epsilon Bài toán hay - Lời giải đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Ban Biên tập Epsilon Các vấn đề cổ điển - hiện đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 GIẢI TOÁN CÙNG BẠN Hà Huy Khoái (Hà Nội) LỜI TỰA Trình bày lời giải của một bài toán khi ta đã biết lời giải không phải là khó. Nhưng trình bày thế nào để người đọc hiểu được lối suy nghĩ dẫn dắt đến lời giải đó luôn là rất khó. Và đó thực sự mới là điều mà ta cần học. Vì suy cho cùng, không thể học thuộc hết tất cả các lời giải. Cái mà ta có thể học, đó là những suy luận có lý dẫn dắt ta đến với lời giải. Số 11 của Epsilon xin giới thiệu với độc giả một bài toán như thế với sự dẫn dắt của thầy Hà Huy Khoái. Cái khó nhất của mỗi người khi đứng trước bài toán là tìm phương pháp gì để giải quyết? Không ai “mách” cho bạn là với bài đó, cần dùng phương pháp gì (trừ những bài tập “minh hoạ” cuối mỗi chương sách). Những cuốn sách bài tập (với đề ra, lời giải hoàn chỉnh) nhiều khi không cho ta biết làm thế nào mà tác giả tìm ra cách giải đó. Dù đã hiểu lời giải, thậm chí đã nhớ lời giải, vẫn chưa thể nói là đã hiểu bài toán nếu chưa trả lời được câu hỏi trên. Và nếu gặp lại bài toán đó, nhưng với cách phát biểu khác, bạn có thể vẫn tưởng như gặp nó lần đầu. Những điều nói trên đây gợi cho tôi ý định viết một cuốn sách bài tập, nhưng trong đó không có sẵn những lời giải đẹp đẽ, mà bạn đọc cùng với tác giả lần mò cùng nhau để tìm cách giải quyết. Để làm ví dụ cho việc đó, mà tôi nghĩ là cần thiết khi giảng dạy, tôi chọn ra đây (chưa thể gọi là “chọn lọc”, vì không có đủ thời gian) một số bài toán thuộc những loại khác nhau, và thuộc những phần mà theo tôi chưa được giảng dạy nhiều ở THPT (chuyên). Tôi sẽ cố gắng bổ sung để đến khi có thể hoàn thành một cuốn sách bài tập theo cách đó. Ta hãy bắt đầu từ bài toán sau đây, mà theo kinh nghiệm cá nhân, “độ khó” của nó tương đương với bài ra trong kỳ thi học sinh giỏi toàn quốc môn toán (có thể không là bài khó nhất, nhưng không là bài dễ nhất). Ví dụ. Cho p là số nguyên tố lẻ. Hãy xây dựng dãy {an} ∈ N sao cho ∀n, an là số nguyên không âm nhỏ nhất khác với những số trước đó của dãy, và a0, a1, . . . , an không chứa bất kì cấp số cộng khác hằng nào có p số hạng. Bài ra chưa hề cho thấy có cách gì tiếp cận lời giải. Vậy thì cách duy nhất trong trường hợp này là thử tính những số hạng đầu tiên. 6 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Từ bài ra, rõ ràng ta có  a0 = 0 a1 = 1 ... ap−2 = p − 2 Dễ thấy ap−1 6= p − 1, và dãy được tiếp tục như sau:   ap−1 = p ap = p + 1 · · · a2p−3 = 2p − 2 Tiếp theo sẽ phải là a2p−2 = 2p. Như vậy, ta cứ “tuần tự” cộng thêm một đơn vị, nhưng chỉ được làm đều đó với từng đọan p − 1 số hạng. Thử nghĩ lại, ta từng gặp điều gì tương tự? “Sau p − 1 thì phải thay đổi?” Điều này gợi ý cho ta để giải quyết bài toán, có thể cần sử dụng cơ số p − 1. Tất nhiên, đây chỉ là một phỏng đoán về hướng đi. Cần phải kiểm nghiệm. Xét các số hạng đã cho viết trong cơ số p − 1. Từ a0 đến ap−2 thì ak = k. Tất nhiên, nếu viết trong cơ số ≥ p − 1 thì k = k, với k = 0, 1, . . . , p − 2. Nhưng khi viết p − 1 trong cơ số p − 1, ta được p − 1 = 10, trong khi ap−1 = p. Số 10 chỉ bằng p nếu xem nó là số trong cơ số p. Tiếp tục với những số đã viết trên đây, ta dự đoán quy luật: an nhận được bằng cách viết n trong cơ số p − 1 và đọc nó trong cơ số p. Xét dãy B = {bn}, n = 0, 1, . . ., mà bn nhận được bằng cách viết n trong cơ số p − 1, đọc trong cơ số p. Ta hy vọng rằng, đây chính là dãy cần tìm. Nhận xét 1. Số b ∈ B khi và chỉ khi nếu viết b trong cơ số p thì b không chứa chữ số p − 1. Điều này là rõ ràng từ định nghĩa dãy {bn}. Nhận xét 2. Trong B không có cấp só cộng nào gồm p phần tử. Thật vậy, giả sử ∃a, d ∈ N sao cho a, a + d, . . . , a + (p − 1)d ∈ B. Cần suy ra mâu thuẫn, tức là cần chứng minh rằng trong các số trên có số không thuộc B, tức là số chứa chữ số ≡ (p − 1) (mod p). Tất nhiên điều này dẫn đến việc cần chứng minh tồn tại i mà các chữ số thứ i của các số trên đây lập thành một hệ thặng dư đầy đủ modulo p − 1. Giả sử a = a1a2 · · · am và d = d1d2 · · · dm. Giả sử i là chữ số khác 0 đầu tiên của d tính từ phía bên phải d = d1d2 · · · di 00 · · · 0 | {z } ksố 7 , với di 6= 0. Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Khi đó nếu a + kd = c1c2 · · · ci· · · cn, thì ci ≡ ai + k · di (mod p). Do p là số nguyên tố, k và di nhỏ hơn p nên ai + kdi, k = 0, 1, . . . , p − 1 lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo p, tức là tồn tại k để a + kd có chữ số (thứ i từ phải sang) bằng p − 1. Để kết thúc, ta chứng minh an = bn với mọi n. Ta có a0 = b0. Giả sử ak = bk với k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Theo định nghĩa dãy an ta có an ≤ bn. Nếu an ∈ B thì an không thể nhỏ hơn bn (vì nếu ngược lại, theo giả thiết quy nạp, an phải bằng ai nào đó đứng trước nó. Như vậy, chỉ còn phải chứng minh an ∈ B. Giả sử ngược lại, an 6∈ B. Ta sẽ suy ra mâu thuẫn nếu tìm được cấp số cộng p số hạng trong dãy {an}. Thực ra, “trong tay” chúng ta mới có các phần tử của dãy B, nên phải dựa vào chúng. Cần tìm cấp số cộng này trong những số thuộc B mà ta đã biết, tức là những số nhỏ hơn an và không chứa chữ số p − 1 khi viết trong cơ số p. Để ý rằng an có một số chữ số (p − 1) khi viết trong cơ số p. Như vậy, chỉ cần trừ đi một số dương không vượt quá p − 1 tại những vị trí đó để được số thuộc B và nhỏ hơn an. Cách làm bây giờ đã quá rõ ràng. Giả sử an = α1α2 · · · αm. Xét số d mà khi viết trong cơ số p có dạng d = d1d2 · · · dm trong đó d = 1 nếu αi = p − 1 0 nếu α1 6= p − 1 Do tồn tại chữ số của an bằng p − 1 nên d ≥ 1. Xét dãy an − d, . . . , an − (p − 1)d. Các số này không có chữ số p − 1 khi viết trong cơ số p, tức là đều thuộc B. Mặt khác, các số đều hơn an nên theo giả thiết quy nạp, chúng đều thuộc dãy {an}. Như vậy, ta nhận được dãy an − (p − 1)d, an − (p − 2)d, . . . , an lập thành cấp số cộng có p số hạng. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh. 8 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 ĐỐI XỨNG TRONG NGHỆ THUẬT Nguyễn Tiến Dũng (Đại học Toulouse, Pháp) GIỚI THIỆU Toán học và nghệ thuật, có cái gì chung? Là cái đẹp? Hay là sự chặt chẽ? Trong số này, chúng tôi vinh dự giới thiệu một chương trong sách "Toán học và Nghệ thuật" của GS. Nguyễn Tiến Dũng do Sputnik xuất bản. Hình 1: Mái nhà thờ Sagrada Familia ở Barcelona (Tây Ban Nha), do nghệ sĩ kiến trúc sư Antonio Gaudí (1852 − 1926) thiết kế, nhìn từ bên trong gian giữa. Nguồn: Wikipedia. Các hình đối xứng là các hình có sự giống nhau giữa các phần, tức là chúng tuân thủ nguyên lý lặp đi lặp lại của cái đẹp. Chính bởi vậy mà trong nghệ thuật, và trong cuộc sống hàng ngày, 9 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 chúng ta gặp rất nhiều hình đối xứng đẹp mắt. Ngay các bài thơ, bản nhạc cũng có sự đối xứng. Tuy nhiên chương này sẽ chỉ bàn đến đối xứng trong các nghệ thuật thị giác (visual arts). 1. Các phép đối xứng Hình 2: Mặt nước phản chiếu tạo hình ảnh với đối xứng gương. Trong toán học có định lý sau: Mọi phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong không gian bình thường của chúng ta (tức là không gian Euclid 3 chiều hoặc trên mặt phẳng 2 chiều) đều thuộc một trong bốn loại sau: 1) Phép đối xứng gương (mirror symmetry), hay còn gọi là phép phản chiếu (reflection): Trong không gian 3 chiều là phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó, còn trên mặt phẳng là phản chiếu qua một đường thẳng. 2) Phép quay (rotation): Trong không gian 3 chiều là quay quanh một trục nào đó, còn trên mặt phẳng là quay quanh một điểm nào đó, theo một góc nào đó. 3) Phép tịnh tiến (translation): Dịch chuyển tất cả các điểm đi cùng một khoảng cách theo cùng một hướng nào đó. Như kiểu ánh xạ τ : (x, y) 7→ (x + T, y) trên mặt phẳng, dịch chuyển các điểm theo hướng của trục x một đoạn có độ dài bằng T. 4) Phép lượn (glide), là kết hợp của một phép đối xứng gương và một phép tịnh tiến theo hướng song song với trục giữa hay mặt giữa của đối xứng gương đó. Như kiểu ánh xạ g : (x, y) 7→ x +T2, −y là kết hợp của phép đối xứng gương biến y thành −y và phép tịnh tiến biến x thành x +T2. Chú ý rằng nếu chúng ta thực hiện liên tiếp một phép lượn hai lần thì lại được một phép tịnh tiến. Định lý trên không quá khó, và có thể dùng làm bài tập thú vị cho học sinh THCS (trường hợp 2 chiều) và THPT (trường hợp 3 chiều). 10 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 3: Con sao biển có cả đối xứng gương lẫn đối xứng quay một phần năm vòng tròn. Có những loại sao biển có n chân với n > 5 (thậm chí với n = 18), và khi đó nó đối xứng quay theo góc 2πn. Hình 4: Đường viền sư tử tại thành cổ Persepolis (Iran). Nếu chúng ta có một hình (hai chiều hoặc ba chiều), và có một trong các phép biến đổi như trên bảo toàn hình đó (tức là đổi chỗ các điểm của hình cho nhau nhưng biến hình vào chính nó), thì ta gọi đó là một phép đối xứng của hình. Tất nhiên, ta luôn có một phép đối xứng tầm thường, tức là phép giữ nguyên tất cả các điểm. Nhưng khi nói đến đối xứng, người ta thường hiểu là phép đối xứng không tầm thường. Nếu một hình có ít nhất một phép đối xứng không tầm thường, thì được gọi là một hình đối xứng. Hình nào mà có càng nhiều phép đối xứng, thì hình đó càng đối xứng. Phép tịnh tiến và phép lượn khác phép phản chiếu và phép quay ở chỗ nếu ta cứ lặp đi lặp lại 11 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 5: Một dải gỗ trang trí. Nguồn: invitinghome.com. cùng một phép tịnh tiến hay phép lượn lên một điểm ban đầu nào đó, thì điểm đó sẽ chạy dần ra vô cùng. Bởi vậy nếu nói một cách chặt chẽ thì không có một phép tịnh tiến hay phép lượn nào có thể bảo toàn một vật hay một hình hữu hạn. Nhưng nếu ta chấp nhận là phép tịnh tiến không cần được thực hiện trên toàn bộ hình mà chỉ trên một phần của hình, hoặc ta hình dung rằng hình có thể được trải dài nối tiếp ra đến vô cùng, thì các phép tịnh tiến và phép lượn cũng trở thành phép đối xứng, theo nghĩa mở rộng. Hình 4 khắc họa những con sư tử trên tường thành phố cổ Persepolis ở Iran là một ví dụ về phép đối xứng tịnh tiến theo nghĩa mở rộng: vector tịnh tiến ở đây là vector nối từ mũi một con sư tử đến mũi của con sư tử tiếp theo. Còn hình 5 có phép đối xứng lượn theo nghĩa mở rộng. Hình 6: Các công trình kiến trúc rất hay có đối xứng gương giữa hai bên. Trong ảnh là Mosque (nhà thờ Hồi giáo) tại Abu Dhabi. Trong toán học, tập hợp các phép đối xứng của một vật hay một hình được gọi là một nhóm 12 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 (group), bởi ta có thể làm hai phép toán trên đó, là phép nhân (tích của hai phần tử) và phép nghịch đảo. Nghịch đảo của một phép biến đổi đối xứng (bảo toàn hình) chính là phép biến đổi ngược lại, tất nhiên cũng bảo toàn hình. Còn tích của hai phép biến đổi đối xứng chính là phép “hợp thành” của chúng: đầu tiên ta thực hiện biến đổi theo phép thứ nhất, rồi biến đổi tiếp theo phép thứ hai. Tất nhiên, nếu cả hai phép biến đổi bảo toàn hình, thì hình vẫn được bảo toàn khi ta thực hiện liên tiếp hai phép biến đổi đó. Hình 7: Tháp Phước Duyên ở chùa Thiên Mụ (Huế) có đối xứng theo hình bát giác, và kiến trúc xung quanh có đối xứng gương. Các công trình kiến trúc, đồ vật, hình họa và trang trí nghệ thuật có thể được phân loại theo nhóm các đối xứng của chúng. Ví dụ, tháp Phước Duyên ở chùa Thiên Mụ (Hình 7) có tám mặt, với đáy giống một hình bát giác đều, và như vậy nhóm đối xứng của nó cũng giống như nhóm đối xứng của một hình bát giác đều (nếu ta bỏ qua các chi tiết không đối xứng trên tháp, ví dụ như không phải mặt nào cũng có cửa). Tháp Eiffel ở Paris (Hình 8) có bốn mặt giống nhau, đáy hình vuông, nên nhóm đối xứng của nó giống nhóm đối xứng của hình vuông. Ở dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu sự phân loại theo nhóm đối xứng cho các hình đa giác, rồi cho các trang trí đường viền (frieze) và cho các kiểu lát gạch tuần hoàn (tessellation). 2. Phân loại đa giác theo nhóm đối xứng Vào khoảng năm 2013, tôi có dành một buổi để tìm hiểu cùng với con gái, lúc đó đang học năm cuối THCS (ở Pháp gọi là “collège”), về các nhóm đối xứng của các đa giác. Kết quả của buổi 13 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 8: Tháp Eiffel ở Paris với 4 mặt như nhau, có nhóm đối xứng D4 giống hình vuông. tìm hiểu và thực hành cùng với giấy và kéo đó được ghi lại trên Hình 9 và được viết lại chi tiết thành một chương trong quyển sách Các bài giảng về toán cho Mirella. Đây là một hoạt động thực hành toán học đơn giản mà thú vị, các bạn học sinh rất nên làm. Đầu tiên là xét các tam giác. Chúng có thể có 1 đối xứng (trong trường hợp tam giác không cân, chỉ có phép “để yên” là bảo toàn tam giác), 2 đối xứng (nếu là tam giác cân, ngoài phép để yên còn có phép đối xứng gương), hoặc mấy đối xứng nếu là tam giác đều? Có những người sẽ trả lời là 3, và có những người sẽ trả lời là 4. Câu trả lời chính xác là 6, trong đó có 3 phép đối xứng gương, và 3 phép quay theo các góc 0◦, 120◦ và 240◦(quay theo góc 0◦có nghĩa là để yên). Đến lượt tứ giác: Nhiều đối xứng nhất là hình vuông, với 8 đối xứng (4 đối xứng gương và 4 phép quay), tiếp theo là đến hình chữ nhật và hình thoi đều có 4 đối xứng. Tiếp theo là các hình có 2 đối xứng: Hình bình hành (với đối xứng quay 180◦), hình thang cân, hình mũi tên và hình cánh diều (với đối xứng gương). Còn nếu lấy một hình tứ giác tùy ý, không có cạnh nào bằng cạnh nào, thì nhóm các đối xứng của nó sẽ là nhóm tầm thường, chỉ có mỗi một phần tử, là phép để yên. Đến lượt ngũ giác: lại chỉ có 3 trường hợp, tương tự như là với tam giác, chứ không có nhiều trường hợp như là tứ giác. Khi ngũ giác đều thì có 5 × 2 = 10 đối xứng, nếu không đều thì hoặc là nhóm đối xứng chỉ có một phần tử (phép để yên) hoặc có hai phần tử (đối xứng gương và phép để yên). Con sao biển trên Hình 3 có hình sao năm cánh đều, và nhóm đối xứng của nó bằng nhóm đối xứng của một ngũ giác đều. Đến lượt lục giác thì lại có rất nhiều trường hợp khác nhau, rồi đến thất giác thì lại chỉ có 3 trường hợp, và cứ thế. Từ các thí nghiệm này, ta rút ra được một số kết luận toán học sau: 14 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 9: Các đa giác và số các đối xứng của chúng. • Hình n-giác thì có thể có nhiều nhất là 2n đối xứng, ứng với trường hợp n-giác đều. Nhóm đối xứng trong trường hợp đó gồm n đối xứng gương và n phép quay, và gọi là nhóm nhị diện (dihedral group) Dn. Nếu n-giác không đều, thì nhóm đối xứng của nó là một nhóm con của nhóm Dn, và số các đối xứng là một ước số của 2n. • Nếu n là số nguyên tố thì chỉ có 3 khả năng xảy ra: hoặc nhóm đối xứng là Dn, hoặc nhóm đó có hai phần tử trong đó phần tử không tầm thường là đối xứng gương, hoặc là nhóm tầm thường (chỉ có mỗi phép để yên). Khi số cạnh của đa giác đều tiến tới vô cùng thì ta được hình tròn, là hình có nhiều đối xứng nhất trong các hình phẳng: vô hạn đối xứng (quay quanh tâm theo góc tùy ý, và đối xứng gương theo đường kính tùy ý). 3. Bảy kiểu trang trí đường viền Các trang trí trên các dải mép tường, mép bàn, mép váy, hay những con đường dài và hẹp được gọi chung là trang trí đường viền (“frieze” tiếng Anh, “frise” tiếng Pháp). Có thể hình dung một đường viền như là một dải băng D hẹp và dài (coi như dài vô tận cho đơn giản) nằm ngang trên mặt phẳng: D = R × [−a, a] = {(x, y) ∈ R2| − a ≤ y ≤ a}. 15 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 10: Trang trí trên một mái nhà ở Toulouse. Theo nguyên lý lặp đi lặp lại của cái đẹp, người ta thường trang trí đường viền một cách tuần hoàn, tức là hình trang trí trên dải băng D có tính chất bất biến theo một phép tịnh tiến (dịch sang phải hoặc sang trái một khúc có độ dài T nào đó): τ : (x, y) 7→ (x + T, y). Hình 11: Gạch đá hoa trang trí theo một kiểu phương Đông. Ví dụ như trên Hình 4, các con sư tử được xếp cách đều nhau trên một đường viền, và dịch một con sư tử sang bên phải một đoạn bằng khoảng cách giữa hai cái mũi của hai con sư tử liên tiếp thì được con sư tử tiếp theo. Các phép tịnh tiến bảo toàn một trang trí đường viền tuần hoàn tạo thành một nhóm tương đương với Z, tức là tập các số nguyên: với mỗi số nguyên k ∈ Z thì ta có một phép “tịnh tiến k bước” bảo toàn hình trang trí: τk: (x, y) 7→ (x + kT, y). Ngoài các phép tịnh tiến ra, thì hình trang trí đường viền còn có thể bất biến theo các phép biến đổi khác nữa. Người ta phân loại các kiểu trang trí đường viền tuần hoàn qua nhóm các nhóm đối xứng của chúng. Tổng cộng có đúng bảy kiểu khác nhau: Kiểu thứ nhất gọi là hop (nhảy lò cò). Trong kiểu này, chỉ có các phép tịnh tiến là bảo toàn hình trang trí. Hình dung như là các vết chân của một bàn chân nhảy lò cò lên phía trước. Các con sư tử trên Hình 4 là trang trí theo kiểu hop này. 16 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Kiểu thứ hai gọi là step (bước đều). Trong kiểu này, ngoài phép tịnh tiến, còn phép lượn (glide) cũng bảo toàn hình trang trí. Hình dung kiểu này như đi đều bước bằng hai chân. Hình 5 là ví dụ. Hình 12: Trang trí trên một hàng rào đá ở Ấn Độ, thế kỷ XVI-XVII. Kiểu thứ ba gọi là sidle (đi ngang). Trong kiểu này, ngoài phép tịnh tiến, còn phép đối xứng gương theo các trục dọc. Hình dung là hai chân xếp theo hướng dọc rồi đi ngang như con cua, và đối xứng gương ở đây là đối xứng giữa hai chân. Hình 10 là một ví dụ. Kiểu thứ tư gọi là spinning hop (nhảy xoay lò cò). Trong kiểu này, có những phép quay 180◦cũng bảo toàn hình trang trí. Hình 11 là một ví dụ. Hình 13: Kiểu trang trí “Ngaru” của thổ dân Maori (New Zealand). Kiểu thứ năm gọi là spinning sidle (đi xoay ngang). Trong kiểu này, ngoài phép tịnh tiến theo chiều ngang, còn có những phép đối xứng gương theo các trục dọc (đối xứng giữa hai chân) và những phép quay 180◦. Chú ý rằng tâm của các phép quay 18◦ nằm ngoài các trục đối xứng, và khi kết hợp phép quay 180◦ với phép đối xứng gương thì được phép lượn (glide). Hình 12 có thể coi là một ví dụ của kiểu đường viền thứ năm này nếu bỏ qua một vài chi tiết. 17 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Kiểu thứ sáu gọi là jump (nhảy hai chân). Trong kiểu này, ngoài phép tịnh tiến, còn có phép đối xứng gương theo trục ngang (đối xứng giữa hai chân đặt nằm ngang ở hai bên trục). Hình 13 là một ví dụ. Hình 14: Một góc balcon ở Paris. Kiểu thứ bảy gọi là spinning jump (nhảy xoay hai chân), là kiểu cuối cùng. Trong kiểu này, ngoài phép tịnh tiến, còn có những phép đối xứng gương theo cả trục ngang lẫn trục dọc, và những phép quay 180◦. Hình 14 là một ví dụ. 4. Mọi con đường đều dẫn tới Lisbon Người ta thường hay nói “Mọi con đường đều dẫn tới Roma”. Nhưng nếu đó là những con đường lát gạch trang trí tuần hoàn, thì chúng sẽ đều dẫn tới Lisbon! Thành phố Lisbon xinh đẹp nằm bên bờ biển Đại Tây Dương có nhiều khu đi bộ được lát bằng gạch đá vôi (limestone) nhỏ màu trắng và đen, theo một phương pháp truyền thống gọi là “lát gạch Portugal” (Portuguese pavements), tạo thành những hình trang trí rất nghệ thuật. Người bạn đồng nghiệp Rui Loja Fernandes của tôi, cựu chủ tịch Hội Toán học Portugal và cựu giáo sư tại Đại học Bách khoa Lisbon (Instituto Superior Técnico de Lisboa) có kể rằng, sau khi nghe nói về các nhóm đối xứng trong việc lát gạch, đích thân ông thị trưởng thành phố đã mời các nhà toán học của trường làm cố vấn để đảm bảo rằng tất cả các kiểu nhóm lát gạch khác nhau đều xuất hiện trên các khu đi bộ của Lisbon. Khi trang trí một mặt phẳng, như quảng trường Rossio (Hình 15) hay tường nhà, sàn nhà, tấm vải, tấm thảm, v.v... người ta có thể chọn cách trang trí tuần hoàn hai chiều (tức là có hai hướng tịnh tiến khác nhau bảo toàn hình). Những kiểu trang trí như vậy được gọi là lát gạch (tiếng Anh là tessellation, tiếng Pháp là pavage) tuần hoàn. Bởi ta hình dung là có thể lấy những viên gạch 18 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 15: Quảng trường Rossio ở Lisbon với nền hình sóng tuần hoàn. Hình 16: Ảnh quảng trường Restauradores ở Lisbon của Jee Wee, với nền được lát đá theo nhóm đối xứng p4. trông giống nhau (hoặc vài kiểu gạch) rồi xếp chúng lại cạnh nhau là sẽ được hình trang trí như ý muốn. Tương tự như là các đường viền, các trang trí kiểu lát gạch tuần hoàn cũng có các nhóm đối xứng, mà chúng ta sẽ gọi là nhóm lát gạch theo tiếng Pháp (groupe de pavage, còn tiếng Anh gọi là wallpaper group, tức là nhóm của giấy dán tường). Ngoài các đối xứng tịnh tiến, còn có thể có các đối xứng quay, đối xứng gương và đối xứng lượn. Ví dụ như nền quảng trường Rossio trên Hình 15 có đối xứng quay theo góc π (180◦), còn nền đá hoa trên Hình 16 và Hình 19 có đối xứng quay theo góc π2(90◦). 19 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Nếu như một kiểu lát gạch tuần hoàn có đối xứng quay, thì vì tính chất tuần hoàn nên góc quay nhỏ nhất phải là một trong các số π, 2π3,π2,π6(ứng với chuyện có thể lát kín mặt phẳng bằng các viên gạch tam giác, tứ giác hay lục giác đều, nhưng không thể lát mặt phẳng chỉ bằng ngũ giác đều chẳng hạn). Khi có cả đối xứng quay lẫn đối xứng gương, người ta có thể xét xem trục của đối xứng gương có chứa tâm của đối xứng quay hay không. Ví dụ trên Hình 15 có tâm của phép quay nằm ngoài trục đối xứng (xem Hình 17), còn ví dụ trên Hình 19 có tâm của phép quay nằm trên trục đối xứng. Hình 17: Đường đỏ là trục đối xứng gương, điểm xanh là tâm của đối xứng xoay 180◦. Nguồn: kleinproject.org Tương tự như đối với các nhóm đường viền, ta có thể phân loại các nhóm lát gạch theo chuyện nó có đối xứng quay hay không và góc quay là bao nhiêu nếu có, rồi nó có đối xứng gương hay không, có đối xứng lượn hay không, và tâm của đối xứng quay có nằm trên trục đối xứng gương hay không. Người đầu tiên đưa ra phân loại đầy đủ cho các nhóm này là nhà toán học và khoáng vật học người Nga Evgraf Fedorov (1853-1919) vào cuối thế kỷ XIX. Có tổng cộng 17 nhóm lát gạch khác nhau, ứng với 17 kiểu lát gạch tuần hoàn khác nhau. Hình 18 là sơ đồ minh họa toàn bộ 17 kiểu đó. Mỗi một hình con trên Hình 18 ứng với một kiểu lát gạch. Miền tô xanh là miền mà nếu làm viên gạch có hình như vậy, rồi dịch chuyển nó theo các phép biến đổi đối xứng trong nhóm tương tứng, thì ta lát kín vừa khít được toàn bộ mặt phẳng. Trong số các ký hiệu của 17 kiểu nhóm đối xứng trên Hình 18, có 2 ký hiệu bắt đầu bằng chữ cái c, có nghĩa là “centred” (ở giữa). Mỗi kiểu “c” đó đều có hai vector tịnh tiến có độ dài bằng nhau (tạo thành hình thoi), nhưng trục đối xứng hoặc trục glide của hình không song song với một trong hai vector đó mà lại “nằm giữa” hai vector (tức là song song với tổng của chúng). Tất cả các kiểu còn lại đều bắt đầu bằng chữ cái p, có nghĩa là “primitive” (nguyên thủy): ở các kiểu này, các trục đối xứng hay glide song song với các vector tịnh tiến “nguyên thủy” của hình. Chữ số trong ký hiệu các kiểu cho biết nó có phép quay theo góc bao nhiêu: nếu chữ số là k thì góc quay nhỏ nhất là 2πk. Ví dụ nếu có chữ số 4 thì có phép quay theo góc π2 = 2 ·π4. Chữ cái m trong ký hiệu dùng để chỉ đối xứng gương (mirror), còn chữ cái g dùng để chỉ đối xứng lượn (glide). Danh sách chi tiết 17 kiểu như sau: Kiểu thứ nhất, ký hiệu là p1, là kiểu chỉ có các đối xứng tịnh tiến, ngoài ra không còn thêm đối xứng nào khác. Hình 20 phía bên trái là một ví dụ. 20 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 18: Sơ đồ của 17 nhóm lát gạch. Nguồn: http://black.mitplw.com/. Hình 19: Quảng trường Camoes ở Lisbon lát gạch theo nhóm p4m. 21 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 20: Một trang trí giấy dán tường có nhóm đối xứng p1, và một trang trí kiểu Ai Cập có nhóm đối xứng pm. Kiểu thứ hai, ký hiệu là pg, có thêm glide, nhưng không có đối xứng quay hay đối xứng gương. Trong kiểu này có hai hướng tịnh tiến vuông góc với nhau. Tranh lát gạch Kỵ sĩ của Maurits Cornelis Escher trên Hình 21 là một ví dụ tiêu biểu (nếu ta bỏ qua màu của các con ngựa): phép glide chuyển con ngựa màu nhạt thành con ngựa màu thẫm. Hình 21: Tranh lát gạch “Kỵ sĩ” và “Đầu Escher” của Escher. Kiểu thứ ba, ký hiệu là cm, không có đối xứng quay nhưng có đối xứng gương, và có thêm glide với trục của glide khác với trục đối xứng gương. Vải hoa lys (hoa loa kèn) trên Hình 22 bên trái là một ví dụ: Các trục đối xứng gương ở đây chính là các trục đối xứng của các bông hoa lys, còn mỗi trục glide thì song song và nằm giữa hai trục đối xứng gương liên tiếp. Kiểu thứ tư, ký hiệu là pm, không có đối xứng quay nhưng có đối xứng gương, và không có glide với trục nằm ngoài trục đối xứng gương như kiểu thứ ba. Một ví dụ là trang trí kiểu Ai Cập trên Hình 20 phía bên phải. Chú ý rằng kiểu này có một vector tịnh tiến song song với các trục đối xứng và một vector tịnh tiến vuông góc với các trục đối xứng. Kiểu thứ năm, ký hiệu là p2, ngoài các đối xứng tịnh tiến còn có thêm đối xứng quay theo góc π, và ngoài ra không có thêm đối xứng nào khác. Hình lát gạch đầu ông Escher (với những đầu 22 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 22: Vải trang trí hoa lys có nhóm đối xứng kiểu cm và tấm thảm phương Đông có nhóm đối xứng kiểu pmm. chổng ngược qua phép quay 180◦) trên Hình 21 là một ví dụ. Kiểu thứ sáu, ký hiệu là pgg, không có đối xứng gương, nhưng có hai họ đối xứng glide với các trục glide vuông góc với nhau. Kiểu này cũng có đối xứng quay 180◦, vì nếu lấy tích của hai glide với các trục vuông góc với nhau thì được một phép quay như vậy. Hình lát sàn gỗ 23 là một ví dụ (nếu ta coi tất cả các viên gỗ hình chữ nhật là giống hệt nhau). Kiểu lát này còn được gọi là kiểu “xương cá trích” (herringbone). Hình 23: Sàn lát gỗ có nhóm đối xứng kiểu pgg, còn hình trang trí trên bình cổ từ Kerma (Sudan) đối xứng kiểu pmg. Kiểu thứ bảy, ký hiệu là pmg, vừa có đối xứng gương, vừa có đối xứng quay 180◦ với tâm không nằm trên đối xứng gương. Tích của hai phép đối xứng đó là phép glide, nên trong ký hiệu của kiểu này có cả m (mirror) và g (glide). Chiếc bình cổ đại trên Hình 23 có kiểu trang trí này trên thành bình. Kiểu thứ tám, ký hiệu là pmm. Thay vì có đối xứng gương theo một hướng và đối xứng glide theo hướng vuông góc với nó, kiểu pmm có hai đối xứng gương theo hai hướng vuông góc với nhau, và tích của chúng cũng là một phép quay 180◦. Tấm thảm ở bên phải Hình 22 là một ví dụ. 23 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 24: Mặt tường gạch có nhóm đối xứng kiểu cmm. Kiểu thứ chín, ký hiệu là cmm có các đối xứng giống kiểu pmm, nhưng ngoài ra còn có các phép quay 180◦ với tâm không nằm trên các trục của các đối xứng gương. Hình xây gạch thành tường như trên Hình 24 là một ví dụ về nhóm lát gạch kiểu cmm. Các điểm tô đỏ và tô xanh trên hình đều là tâm của các đối xứng quay 180◦của hình. Các trục đối xứng gương chỉ đi qua các điểm đỏ chứ không đi qua các điểm xanh. Kiểu thứ mười, ký hiệu là p3, có đối xứng quay với góc nhỏ nhất là 13vòng tròn và không có đối xứng gương. Hình 25 là một ví dụ. Kiểu thứ mười một, ký hiệu là p3m1, có đối xứng quay với góc 13vòng tròn, có đối xứng gương, và tâm của đối xứng quay nằm trên trục đối xứng gương. Kiểu thứ mười hai, ký hiệu là p31m, có đối xứng gương, có đối xứng quay với góc 14vòng tròn và tâm của nó không nằm trên trục của đối xứng quay. Kiểu thứ mười ba, ký hiệu là p4, có đối xứng quay với góc 14vòng tròn (tức là π2) và không có đối xứng gương. Hình 16 là một ví dụ. Hình 25: Một mảnh tường ở Alhambra lát gạch theo nhóm p3. 24 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 26: Một cửa sổ tại lăng Salim Chishti, Ấn Độ, có nhiều kiểu nhóm đối xứng lát gạch. Kiểu thứ mười bốn, ký hiệu là p4g, có đối xứng quay với góc 14vòng tròn, có đối xứng gương, và có đối xứng glide với trục tạo thành góc 45◦ với trục của đối xứng gương. Kiểu thứ mười lăm, ký hiệu là p4m, có đối xứng quay với góc 14vòng tròn, và có hai đối xứng gương với các trục tạo với nhau một góc 45◦. Hình 19 là một ví dụ. Kiểu thứ mười sáu, ký hiệu là p6, có đối xứng quay với góc 1/6 vòng tròn (tức là π3) và không có có đối xứng gương. Hình 27 bên phải là một ví dụ. Kiểu thứ mười bảy, ký hiệu là p6m, có góc quay 1/6 vòng tròn và có đối xứng gương. Hình 27 bên trái là một ví dụ. Ngoài Lisbon, có một nơi khác cũng được coi là có đủ 17 kiểu nhóm lát gạch là khu cung điện Alhambra (tiếng Ả Rập có nghĩa là “Đỏ”) do những người Hồi giáo xây ở Granada, Tây Ban Nha, từ thế kỷ XIII. Đây là một cung điện nguy nga, với rất nhiều trang trí tuần hoàn (và cả không tuần hoàn) đẹp trên tường. Tuy nhiên, chưa thấy ai công bố kiểm chứng là nó có đủ 17 kiểu lát gạch. Người ta nói rằng họa sĩ Escher khi đi thăm Alhambra đã có được ý tưởng và cảm hứng vẽ các tranh lát gạch nổi tiếng của ông từ các hình trang trí trên tường của cung điện này, và tranh của Escher có chứa đủ 17 kiểu nhóm lát gạch. Trong sách Các bài giảng về toán cho Mirella cũng có một chương về tạo hình trang trí bắt chước Escher bằng cách sử dụng các phép đối xứng. 25 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 27: Sàn đá hoa ở Duomo di Siena (Toscana, Italia) có nhóm đối xứng p6m, còn tranh “Con bướm” của Escher có nhóm đối xứng p6. Hình 28: Trần gian phòng Abencerrajes tại cung điện Alhambra, với nhiều trang trí kiểu lát gạch khác nhau trên tường. Vào thập kỷ 1980, nhà toán học William Thurston nghĩ ra một phương pháp hình học mới, dựa trên lý thuyết về orbifold (có thể hiểu orbifold như là tập hợp các quỹ đạo (orbit) của một nhóm hữu hạn tác động lên một đa tạp), để phân loại các nhóm lát gạch. Phương pháp của Thurston 26 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 cho ra giải thích gọn ghẽ vì sao chỉ có 17 nhóm, nhưng để mô tả tác động của các nhóm đó trên mặt phẳng thì vẫn phải làm như trên. Hình 29: Hai ví dụ lát gạch 3 chiều của Andrew Kepert. Nguồn: wikipedia. Các viên gạch là “truncated octahedra” (“bát diện cụt”) hoặc “rhombic dodecahedra” (“thập nhị diện con thoi”). Nếu như trên mặt phẳng “chỉ có” 17 cách lát gạch tuần hoàn, thì trong không gian ba chiều số nhóm “lát không gian” (gọi là nhóm tinh thể, crystallographic group) lên tới những 230. Để liệt kê chúng tất nhiên cần cả một quyển sách, và hình dung chúng còn khó hơn hiều so với hình dung các nhóm lát gạch hai chiều. 5. Đối xứng trên không gian phi Euclid Ngoài mặt phẳng ra, còn có hai loại mặt khác mà trên đó cũng có các phép tịnh tiến, phép phản chiếu và phép quay bảo toàn khoảng cách, là mặt cầu và mặt hyperbolic (hay còn gọi là mặt Lobachevsky). Chúng là những không gian phi Euclid. Các không gian phi Euclid này cũng có thể được lát gạch tương tự như là mặt phẳng, và những hình lát gạch đó cũng có thể cho ra những tác phẩm đẹp mắt. Hình 30 là những ví dụ về lát gạch trên hình cầu. Vấn đề lát gạch phủ hình cầu liên qua đến vấn đề phân loại các đa diện đều và gần đều, mà chúng ta sẽ bàn tới trong Chương ??. Có thể hình dung mặt hyperbolic dưới dạng một cái đĩa (không có biên), gọi là đĩa Poincaré. Khoảng cách trên đĩa đó không giống khoảng cách trên mặt phẳng bình thường, mà tăng lên rất nhanh khi các điểm tiến tới gần biên của đĩa. Hình 31 là ví dụ về lát mặt hyperbolic bằng hình hoa hồng đã cắt mép thành lục giác (cho hoa hồng trắng) hoặc tứ giác (cho hoa hồng đỏ) hyperbolic, sử dụng phần mềm toán học của Malin Christersson. Chú ý là, tuy các hoa hồng càng gần mép đường tròn thì trông càng bé tí xíu, 27 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 30: Một quả cầu trang trí “Thiên thần và quỷ sứ” dựa theo tranh Escher có bán trên amazon, và hai mô hình lát gạch hình cầu bằng giấy và đất sét của Makoto Nakamura. Hình 31: Lát mặt hyperbolic bằng ảnh hoa hồng, sử dụng phần mềm online từ trang mạng http://www.malinc.se/ của Malin Christersson. nhưng đối với khoảng cách hyperbolic thì tất cả các bông hoa hồng trên cùng một hình đều to bằng nhau. 6. Lát gạch không tuần hoàn Vào năm 1982, nhà vật lý Dan Shechtman phát hiện ra sự tồn tại của những vật rắn mà cấu trúc phân tử của nó không tuần hoàn. Người ta gọi những cấu trúc này là giả tinh thể (quasicrystal). Nhờ phát hiện đó mà ông đã được giải Nobel vào năm 2011. 28 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Về mặt toán học, cấu trúc giả tinh thể có thể được hiểu như là việc lát phủ kín không gian bằng một vài loại viên gạch, một cách không tuần hoàn. Các kiểu lát gạch không tuần hoàn và các cấu trúc giả tinh thể vẫn đang là một đề tài nghiên cứu khoa học quan trọng ngày nay. Hình 32: Bộ 6 kiểu viên gạch của Raphael Robinson, và hai bộ gạch của Penrose mỗi bộ 2 viên. Người ta đã xây dựng các lý thuyết về các kiểu gạch có tính chất ép cho việc lát gạch không thể tuần hoàn. Raphael Robinson có lẽ là người đầu tiên chứng minh được, vào năm 1971, về sự tồn tại của những kiểu viên gạch lát kín được mặt phẳng sao cho không thể lát chúng một cách tuần hoàn. Ông nghĩ ra một bộ 6 hình viên gạch như trên Hình 32 bên trái. Dùng các viên gạch như thế có thể lát kín mặt phẳng, như là minh họa trên Hình 33. Chỉ có điều, mỗi hình vuông màu da cam do gạch lát tạo nên đều bắt buộc nằm ở góc của một hình vuông màu da cam to hơn. Từ đó suy ra là hình lát gạch không thể tuần hoàn. Bộ viên gạch lát không thể tuần hoàn đơn giản và nổi tiếng nhất có lẽ thuộc về nhà toán học và vật lý Roger Penrose (sinh năm 1931). Một bộ gạch của Penrose chỉ gồm có 2 hình viên gạch, đều là hình thoi, như trên Hình 32 ở giữa. Các góc của các hình thoi đó lần lượt là π5,4π5,2π5và 3π 5(tương tự như là các góc của ngũ giác đều và của hình sao 5 cánh đều), và bởi vậy chúng có thể cộng với nhau thành 2π để lát khớp tại các đỉnh. Một bộ gạch 2 viên khác của Penrose, với một viên hình cánh diều và một viên hình mũi tên, như trên Hình 32 bên phải, cũng có các tính chất tương tự. Các viên gạch kiểu Penrose có được sản xuất và dùng để lát sàn nhà ở nhiều nơi trên thế giới. Penrose không phải là người đầu tiên nghĩ ra các viên gạch có góc là bội số của π5. Ông lấy ý tưởng đó từ các tác phẩm của Albrecht Durer và Johannes Kepler từ thời thế kỷ XVI-XVII. Từ ¨ trước đó nữa, các nghệ sĩ Hồi giáo (ắt hẳn đồng thời cũng là những nhà toán học) đã nghĩ ra việc dùng các “viên gạch” như trên Hình 35, gọi là girih, có các góc là bội của π5, để lát trang trí. Viên girih to nhất có hình thập giác đều. Tiếp đến là viên hình lục giác với các góc nhọn bằng 2π5và các góc tù bằng 4π5. Tiếp đó là hình cái nơ con bướm với các góc nhọn cũng bằng 2π5, rồi hình thoi với các góc nhọn cũng bằng 2π5, và sau cùng là hình ngũ giác đều. Girih theo tiếng Persia có nghĩa là “đường nút”, để chỉ các đường trang trí gấp khúc được vẽ trên viên gạch. Các viên gạch trên Hình 35 xuất hiện từ quãng cuối thế kỷ XII ở Thổ Nhĩ Kỳ, với công dụng là giúp các nghệ nhân trong việc thiết kế hình trang trí, còn bản thân kiểu trang trí girih của Hồi giáo đã có từ trước đó. Sau khi có bản thiết kế thì các nghệ nhân không cần phải làm ra các viên gạch như trên Hình 35, mà cốt làm sao xây được tường với hoa văn girih giống trong bản thiết kế. Trên các bức tường trang trí girih, nói chung sẽ không nhìn thấy biên của các “viên gạch girih” như trên, bởi vì thực ra không có các viên gạch đó. 29 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 33: Lát mặt phẳng bằng các viên gạch của Robinson. Với kiểu thiết kế girih, người Hồi giáo đã không chỉ tạo được những hình nghệ thuật lát tường tuần hoàn, mà cả những hình không tuần hoàn nhưng có đối xứng khác, ví dụ như đối xứng kiểu sao 5 cánh hay 10 cánh (đối xứng quay theo góc π5, không thể tuần hoàn nếu có đối xứng quay này), như trên Hình 36 và Hình 37. Hơn nữa, các “viên gạch” girih chỉ có tính chất trợ giúp cho thiết kế cho dễ thôi, chứ một hình trang trí girih không nhất thiết phải xếp được từ đúng các “viên gạch girih” đó, mà có những chỗ có thể lệch đi, dùng những góc khác, “gạch” khác. 7. Các trang web có thể tham khảo • https://en.wikipedia.org/ (rất nhiều thông tin được tra từ Wikipedia). • http://bridgesmathart.org (trang web của hội nghị quốc tế thường niên về toán học và nghệ thuật Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, với rất nhiều triển lãm hay). • http://www.mathaware.org/mam/03/ (trang web của AMS với nhiều tài liệu về toán và nghệ thuật). • http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.html (một cua bài giảng về toán học và nghệ thuật tại NUS, Singapore). 30 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 34: Tranh sơn dầu của họa sĩ Urs Schmid (1995) vẽ một kiểu lát gạch Penrose dùng các viên gạch hình thoi. Hình 35: Các viên girih. • http://www.malinc.se/ (làm các hyperbolic tilings). • https://plus.maths.org/content/teacher-package-maths-and-art (toán học và nghệ thuật cho giáo viên). • http://www.maths2art.co.uk/ • https://www.artofmathematics.org/ 31 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 36: Bìa một quyển kinh Quoran từ thế kỷ XIV, và thiết kế girih của nó. Nguồn: David James, Qur’ans of the Mamluks (Thames & Hudson) & aramcowworld.com. Hình 37: Khu lăng tẩm “Shah-i Zinda” (“Vua Sống”) ở Samarquand, Uzbekistan (ảnh của Fulvio Spada), và một trang trí girih bên trong. • http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=113&CategoryID=6&News= 9429 (bài báo “Ích gì, toán học?” của GS Hà Huy Khoái). 32 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 • http://www.ams.org/samplings/math-and-music (trang về nhạc của AMS). • http://im-possible.info/english/index.html (trang web với tranh không tưởng của nhiều họa sĩ). • http://thomay.vn (trang thơ máy). • https://imaginary.org (Open mathematics). • http://3d-xplormath.org/ • http://virtualmathmuseum.org/ • http://people.eecs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/ (tượng toán học của Carlo Séquin). • http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.html • http://peinture-mathematique.fr/index.html (các tranh nghệ thuật chủ đề toán học rất đẹp của Silvie Donmoyer). • http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/Art-et-maths • http://www.maths-et-tiques.fr • http://dfgm.math.msu.su/myths.php (trang web có tranh của Fomenko). • http://mathbun.com • http://thirddime.com/ • https://plus.maths.org • http://mandelwerk.deviantart.com/ • http://talesofcuriosity.com (Xem thơ limerick có minh họa của Edward Lear). • http://www.bl.uk/works/alices-adventures-in-wonderland (British Library). • https://www.fulltable.com (Xem Alice in the Wonderland). • http://blog.kleinproject.org/?p=1381 (Lisbon). • journal.eahn.org/articles/10.5334/ah.bv/ (Matthew A Cohen: Two kinds of proportions). Journal of mathematics and the arts có một tạp chí khoa học về đề tài: Toán học trong các nghệ thuật. 33 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 TÔ PÔ HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Nguyễn Ái Việt (Viện Công Nghệ Thông Tin, Đại Học Quốc gia Hà Nội) TÓM TẮT Giải thưởng Nobel Vật lý năm 2016 được trao cho ba nhà vật lý lý thuyết trong lĩnh vực vật chất đông đặc là David Thouless, Michael Kosterlitz và Duncan Haldane về các pha tô pô của vật chất và chuyển pha giữa chúng. Hiện tượng chuyển pha tô pô gắn liền với việc phát hiện ra các vật liệu mới với các tính chất kỳ lạ như siêu dẫn không có điện trở hoặc siêu lỏng không có độ nhớt hoặc các vật liệu Hall lượng tử hoặc phân số. Chính các vật liệu này sẽ là cơ sở để chế tạo ra các máy tính lượng tử vượt mọi giới hạn tính toán của thế hệ máy tính hiện nay. Ứng dụng tô pô học thế nào? Tô pô học ra đời không gắn liền với một ứng dụng thực tế nào. Các tư tưởng ban đầu của tô pô được manh nha bởi Leinitz và Euler dưới những tên gọi "giải tích vị trí" hoặc "hình học vị trí". Các bài toán ban đầu của tô pô như "tô màu bản đồ" hoặc "bảy chiếc cầu ở Konigsberg" đều ¨ mang tính giải trí nhiều hơn là mở ra một lĩnh vực có thể ứng dụng thực tiễn. Theo một khía cạnh nào đó, các đối tượng hình học được nhúng trong các không gian có tô pô khác nhau sẽ có những tính chất khác nhau. Chẳng hạn các đường cong đóng trên một mặt cầu và một mặt xuyến sẽ có các tính chất khác nhau. Tuy nhiên cho đến trước công trình nổi tiếng "Giải tích vị trí" của Henri Poincaré các tính chất tô pô còn rất mù mờ. "Giải tích vị trí" có vai trò định hướng nghiên cứu trong lĩnh vực này có ảnh hưởng cho tới ngày nay. Nói một cách dễ hiểu, các đối tượng hình học tồn tại trong các không gian có một cấu trúc tô pô xác định. Các cấu trúc này bất biến với các phép biến đổi liên tục. Như vậy một chiếc bánh vòng có tô pô giống như một chiếc cốc có quai hơn là một cái bánh rán, tuy cùng là bánh và cùng được rắc vừng. Trên bề mặt của chiếc bánh rán mọi đường cong kín đều có thể co về một điểm. Ngược lại, trên bề mặt của chiếc cốc có quai và bánh vòng có thể có hai loại đường cong kín: loại thứ nhất có thể co về một điểm và loại thứ hai đi vòng quanh cái quai cốc hoặc xung quanh lỗ của bánh vòng sẽ không thể co về một điểm. Do đó các định lý hình học và các tích phân theo các đường cong nói trên sẽ thay đổi. Tổng quát hơn, người ta có thể có các "không gian tô pô" với nhiều lỗ (hoặc nhiều quai). Số lượng lỗ của một không gian tô pô là một bất biến được nghiên cứu bởi lý thuyết đồng luân trong tô pô học. 34 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 1: Bánh vòng và tách cà phê giống nhau về tô pô Đối với các nhà toán học, ứng dụng các ý tưởng trừu tượng như thế vào thực tế là việc khá viển vông. Trong thực tế việc đưa các ý tưởng tô pô vào vật lý là một quá trình khó khăn và trắc trở. Tuy nhiên, điều khá bất ngờ hơn là một loạt vật liệu mới có nhiều tính chất kỳ lạ đặc nhờ các tính chất tô pô của các không gian vật lý. Các vật liệu có tính chất kỳ lạ Trong chương trình vật lý phổ thông, chúng ta biết rằng vật liệu có thể dẫn điện với một điện trở R nào đó. Khi R = ∞ vật liệu được gọi là chất cách điện. Người ta cũng đã phát hiện ra một loại vật liệu gọi là bán dẫn, có điện trở thay đổi trong một số điều kiện khác nhau. Vật liệu bán dẫn được sử dụng để chế tạo các máy tính ngày nay. Năm 1911, nhà vật lý người Hà Lan H.Kamerlingh Onnes (Giải thưởng Nobel 1913), đã phát hiện ra tính chất siêu dẫn của thủy ngân khi bị làm lạnh xuống dưới nhiệt độ T = 4.2K, sẽ có điện trở R = 0. Do đó, dòng điện chạy trong một vòng siêu dẫn sẽ tạo ra từ trường mà không mất năng lượng. Đó chính là nguyên tắc công nghệ để tạo ra từ trường lớn trong các máy gia tốc hiện đại. Loại vật liệu có tính chất kỳ lạ thứ hai là chất siêu lỏng. Năm 1937, nhà vật lý Xô viết Pyotr Kapitsa (Giải thưởng Nobel 1978) đã phát hiện ra rằng chất helium 4 hóa lỏng dưới nhiệt độ T = 2.17K sẽ có tính siêu chảy, với độ nhớt bằng không. Nói một cách trực giác thì tính siêu chảy như sau: Nếu chúng ta đổ chất siêu chảy vào một ống nghiệm, chất siêu chảy sẽ tự "bò" qua thành ống cho đến hết như trong Hình 2. Trong cả hai loại vật liệu trên, tính chất kỳ lạ xuất hiện ở nhiệt độ thấp. Tại một nhiệt độ thấp nào đó sẽ có hiện tượng chuyển pha vật liệu đang là chất lỏng thường biến thành siêu lỏng, đang là chất dẫn điện thường biến thành siêu dẫn. Lý thuyết chuyển pha được nhà vật lý Xô Viết Lev Landau (Giải thưởng Nobel 1962) phát triển để giải thích các hiện tượng chuyển sang pha siêu dẫn và siêu lỏng. Đặc biệt trong pha siêu dẫn và siêu lỏng, các hạt electron vốn đẩy nhau trong 35 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Hình 2: Chất siêu chảy, tự động bò qua thành ống nghiệm trạng thái tự do, do tương tác với mạng tinh thể của vật chất xung quanh, trở nên hút nhau và tạo thành các cặp Cooper, gây nên hiện tượng siêu dẫn. Ở nhiệt độ thấp hơn một mức nào đó, chuyển động nhiệt không đủ năng lượng để phá hủy các cặp Cooper, trạng thái siêu dẫn trở nên bền vững. Năm 1986, các nhà vật lý của công ty IBM là G.Bednorz và K.Muller (Giải thưởng Nobel 1987) ¨ đã phát hiện ra các vật liệu gốm từ có tính siêu dẫn ở nhiệt độ cao T = 138K, tức là nhiệt độ của nitrogen lỏng. Năm 2015, người ta đã tìm được vật liệu có tính siêu dẫn ở nhiệt độ T = 203K. Lý thuyết chuyển pha Landau, không thể giải thích được hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ cao. Mặc dù có một số mô hình có thể giải thích về mặt định lượng hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ cao. Nhưng cho đến nay vẫn chưa có một lý thuyết nào giải thích được hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ cao một cách thuyết phục.Có một điều chắc chắn trong các mô hình cho gốm từ siêu dẫn, các tính chất tô pô của không gian vật lý đóng một vai trò quan trọng. Từ những năm 1970, các nhà vật lý đã quan tâm đến các vật liệu 2 chiều như các màng mỏng, vật liệu graphene là các màng carbon có cấu trúc tổ ong. Nhờ công nghệ phát triển, các màng này có thể đạt tới độ mỏng ở quy mô nguyên tử. Khi đó các phần tử mang điện là electron chỉ có thể chuyển động trong không gian hai chiều. Các vật liệu này có những pha có tính chất kỳ lạ. Chẳng hạn, năm 1980 nhà vật lý người Đức K.Von Klizing (Giải thưởng Nobel 1985) đã tìm thấy một số vật liệu 2 chiều ở một nhiệt độ đủ thấp sẽ có hiệu ứng Hall lượng tử. Độ dẫn điện của các vật liệu này sẽ thay đổi theo bội số nguyên của một lượng không đổi nào đó khi tăng cường độ từ trường ngoài đặt vuông góc với vật liệu này. Điều kỳ lạ là các trạng thái với độ dẫn nhất định tồn tại khá ổn định trọng một phạm vi vào đó của từ trường. Tính ổn định này liên quan tới đặc trưng tô pô của không gian vật lý, phụ thuộc vào không gian này có bao nhiêu lỗ. Một số vật liệu 2 chiều khác lại có quy luật thay đổi độ dẫn điện Hall bằng phân số với mẫu số lẻ trong thí nghiệm tương tự như trên. R.Laughlin (Giải thưởng Nobel 1998) đã giải thích được hiện tượng này cho trường hợp tử số bằng 1. Trong thực tế, các trường hợp tử số khác 1 đều quan sát được. Cho đến nay vẫn chưa có giải thích thuyết phục cho các trạng thái này. Tuy vậy, với các công trình của D.Thouless, M.Kosterlitz và D.Haldane được giải thưởng Nobel năm nay, người ta tin rằng, các thuộc tính kỳ lạ của các vật liệu mới, đặc biệt là vật liệu hai chiều là hệ quả của các tính chất tô pô và có chuyển pha giữa các pha có đặc trưng tô pô khác nhau. Như vậy, không như người ta tưởng, các tính chất tô pô không chỉ là một trò chơi trí tuệ và làm nền tảng cho hình học, mà còn là các quy tắc tạo nên thế giới vật chất. 36 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 So với các ngành toán học khác, tô pô tìm thấy ứng dụng thực tế rất muộn màng sau khi ra đời và phát triển. Chúng ta hãy đi tìm lý do tại sao. Tô pô học và vật lý Năm 1834, Ngài John Scott Russel cưỡi ngựa đi dọc theo kênh đào Union (Scottland) và nhìn thấy các xoáy nước trôi. Ông đuổi theo các xoáy nước này tới vài dặm và đặt câu hỏi: xoáy nước là gì, tại sao chúng lại có hình dạng và kích thước ổn định như vậy. Sau này các xoáy nước được gọi là soliton và là lời giải ổn định của phương trình Navier-Stokes, một phương trình vi phân phi tuyến. Các lời giải ổn định là do chúng có năng lượng cực tiểu. Sau khi Albert Einstein xây dựng thành công lý thuyết tương đối rộng làm nền tảng cho vũ trụ, ông đặt kế hoạch xây dựng lý thuyết trường thống nhất. Trong lý thuyết này, mọi tương tác đều có bản chất hình học và mô tả bởi một phương trình vi phân phi tuyến. Khi đó, người ta chỉ biết có hai tương tác là hấp dẫn mô tả bởi phương trình Einstein và tương tác điện từ mô tả bởi phương trình Maxwell. Einstein hy vọng rằng các hạt vật chất (khi đó người ta chỉ biết có electron và proton) sẽ được mô tả bởi các lời giải soliton của các phương trình phi tuyến. Einstein không bao giờ thực hiện được ý tưởng đó của mình. Cho đến ngày nay, thế hệ các nhà vật lý và toán học vẫn đang tiếp tục theo ý tưởng của ông để tìm "Lý thuyết Vạn vật". Trong đó việc sử dụng các công cụ mới nhất của tô pô học hết sức quan trọng. Vào thời của Einstein, các nhà toán học vẫn chưa hiểu được mối liên quan giữa tô pô và sự ổn định của các lời giải soliton. Einstein cũng không có các công cụ của tô pô, sau này được một thế hệ các nhà toán học xuất sắc như Chern, Atyiah, Grothendieck, Pontrijagin,...phát triển vào những năm 1950-1960. Một ví dụ khác là nhà vật lý Tony Skyrme, cuối những năm 1950 đã thực hiện thành công việc đưa ý tưởng soliton vào vật lý và sử dụng một cách chính xác các bản chất tô pô, mà sau này người ta mới hiểu được. Ông đã mô tả được các lực hạt nhân một cách đẹp đẽ và chính xác, và có ảnh hưởng cho đến ngày nay. Rất tiếc là các công trình đương thời của Skyrme không có nhiểu người hiểu và được chia sẻ. Vào những năm 1960-1970, người ta mới bắt đầu hiểu mối quan hệ giữa soliton và các đặc trưng tô pô và đặc biệt là các lời giải soliton có spin bán nguyên. Công trình năm 1985 của G.Adkin, C.Nappi và E.Witten về mô hình Skyrme đã tạo nên một cơn sốt thực sự nhằm khai thác ý nghĩa toán học và khả năng ứng dụng soliton trong vật lý. Ngày nay, mô hình Skyrme đã trở nên phổ biến trong tất cả các lĩnh vực vật lý. Các ví dụ trên cho thấy việc ứng dụng tô pô hết sức chậm chạp có ba lý do. Thứ nhất, tô pô chỉ phát triển mạnh sau công trình Analysis Situs của Henri Poincaré và đặc biệt phải đợi tới những năm 1950-1970, khi các ý tưởng liên quan cần thiết trở nên chín muồi. Thứ hai, các ý tưởng ứng dụng tô pô có liên quan khá nhiều tới các lĩnh vực khác, mà toán học phải có thời gian để làm rõ. Thứ ba, các nhà toán học không có sự chuẩn bị cho việc ứng dụng tô pô vào thực tế, do đó không có sự hậu thuẫn kịp thời cho các bước đột phá như trường hợp của lý thuyết Skyrme. Dù muộn màng, nhưng ngày nay tô pô học cũng đã đi vào cuộc sống. Các vật liệu mới với các tính chất kỳ lạ có những tính chất tô pô hết sức đẹp đẽ. Có thể đó mới là sự mở đầu cho việc ứng dụng tô pô trong thực tế. 37 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Vật liệu tô pô và máy tính lượng tử Máy tính ngày nay được xây dựng chủ yếu dựa trên các tính chất của vật liệu bán dẫn và các vật liệu từ. Các vật liệu mới có nhiều tính chất kỳ lạ và phong phú hơn nhiều, có thể sẽ giúp chúng ta xây dựng các thiết bị thông minh hơn. Từ nghiên cứu cơ bản đến công nghệ là một đoạn đường dài. Tuy nhiên vào những năm 1970 khi đưa ra ý tưởng truyền thông tin trong sợi quang học, không ai có thể hình dung được ngày nay, cáp quang đã đến mọi nhà với tốc độ truyền tin hàng triệu lần hơn so với cách đây 20 năm. Thế hệ máy tính hiện nay dựa trên khái niệm bit lấy giá trị logic 0 và 1. Tất cả thông tin được xử lý trong máy tính hiện đại đều quy về các phép toán với 0 và 1. Để xử lý một số lượng tính toán khổng lồ, người ta cần phải dùng một số lượng khổng lồ các mạch logic vô cùng nhỏ. Năm 2016 số mạch logic có trong một chip điều khiển trung tâm (CPU) của Intel đã tới con số trên 7.2 tỷ. Rõ ràng, phải có giới hạn cho việc thiết kế quá nhiều mạch logic trong một chip điều khiển. Máy tính lượng tử được chờ đợi là bước phát triển có tính chất cách mạng dựa trên khái niệm qbit (bít lượng tử) có thể lấy giá trị 0 và 1 với các xác suất khác nhau tương ứng với các trạng thái lượng tử của một nguyên tử. Do đó năng lực tính toán, xử lý thông tin của máy tính lượng tử là gần như vô tận. Một trong những vấn đề quan trọng nhất của máy tính lượng tử là làm thế nào các trạng thái có thể ổn định và bền vững. Các trạng thái lượng tử nói chung là không bền vững, do hệ thức bất định của Heisenberg và các hiệu ứng lượng tử. Điều đó cũng có phần nào giống như sự ổn định của các xoáy nước trên mặt nước. Chính ổn định nhờ bất biến tô pô sẽ làm các trạng thái lượng tử trở nên bền vững. Các hệ Hall lượng tử phân số đều có những trạng thái lượng tử bền vững được ổn định nhờ bất biến tô pô. Chính đây là chìa khóa để giải quyết sự ổn định của các qbit trong máy tính lượng tử. Gần đây đã có những bước tiến đáng kể về mặt này, để người ta hy vọng có đột phá trong việc chế tạo các máy tính lượng tử. Chính vì vậy mà các công trình của Thouless, Kosterlitz và Haldane sẽ có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển tương lai của nhân loại. Lời kết Khác với mọi ngành toán học khác, các ứng dụng theo quy luật của tô pô như các vật liệu mới không được hình thành ngẫu nhiên trong tự nhiên. Vật liệu mới trên cơ sở gốm từ, hệ điện tử hai chiều, chuyển pha tô pô và máy tính lượng tử đều là sáng tạo của con người, thay Chúa điều khiển và biến đổi tự nhiên. Tô pô học đã trải qua một con đường dài và khá vòng vèo để đi vào thực tế. Để ứng dụng vào thực tế, cần quá nhiều khái niệm liên quan và các tư tưởng ứng dụng cũng rất tinh tế và khó hiểu ngay với các nhà toán học. Nhưng chính điều đó mà chúng ta tin rằng, chúng ta đang ở ngưỡng cửa của một thời kỳ toán học, vật lý và công nghệ đang có sự phối hợp để có bước phát triển thần kỳ. 38 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 VỀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRONG TOÁN HỌC Terence Tao (University of California, Los Angeles) Người dịch Phùng Hồ Hải Trong khi việc nâng cấp ứng dụng câu hỏi trắc nghiệm của tôi lên một định dạng hiện đại và tương tác hơn đang được thực hiện, tôi nghĩ rằng đây là một thời điểm tốt để thu thập ý kiến và những suy nghĩ của tôi về việc những câu hỏi trắc nghiệm hiện đang được sử dụng trong giảng dạy toán học, và về những hình thức tiềm năng của chúng có thể được sử dụng trong tương lai. Ý kiến của tôi là câu hỏi trắc nghiệm có những hạn chế đáng kể khi sử dụng trong các lớp học với mô hình truyền thống, nhưng có rất nhiều tiềm năng thú vị và chưa được khai thác khi được sử dụng như một công cụ tự đánh giá. 1. Câu hỏi trắc nghiệm trong lớp học Về nguyên tắc, có vẻ rằng bản chất rõ ràng và chính xác của các mệnh đề toán học sẽ có thiên hướng cho phương thức trắc nghiệm, trái ngược với một số lĩnh vực tri thức khác, nhiều câu hỏi trong toán học có một câu trả lời chính xác duy nhất, khách quan, với tất cả các câu trả lời khác được đồng thuận coi là không chính xác. Với một bài kiểm tra trắc nghiệm, học sinh có thể được thử nghiệm trên các câu hỏi như vậy một cách khách quan. Thực vậy, chấm điểm cho các câu đố đó thậm chí có thể được tự động được thực hiện bởi một máy tính hoặc quét máy. Miễn là câu hỏi được phát biểu một cách rõ ràng (và đáp án là chính xác), việc chấm điểm đơn giản hơn các phương tiện kiểm tra khác. Điểm mạnh cuối cùng là, hình thức thi trắc nghiệm rất quen thuộc với hầu như tất cả các sinh viên đại học (những người đã có thể phải vượt qua kỳ thi trắc nghiệm để nhập học) và như vậy các quy tắc của các bài kiểm tra đòi hỏi rất ít lời giải thích. Mặt khác, hình thức trắc nghiệm, như đang được sử dụng trong các kỳ thi toán, có một số điểm yếu nghiêm trọng, theo ý kiến của tôi, làm cho nó kém hơn so với các hình thức kiểm tra khác trong các khóa học toán ở mức cao hơn, mặc dù có nhiều cách để loại bỏ các khiếm khuyết rõ ràng nhất của hình thức thi này. Có lẽ vấn đề rõ ràng nhất là cách tiếp cận không khoan nhượng với những sai lầm, có thể bóp méo các mối quan hệ giữa khả năng và đánh giá: một học sinh đã có cách tiếp cận đúng cho một câu hỏi, nhưng thực hiện một lỗi nhỏ một hoặc hơi hiểu lầm câu hỏi, có thể mất toàn bộ điểm câu hỏi đó, trong khi một học sinh không hề biết phải làm gì, và chỉ đơn giản là đoán ngẫu nhiên, có thể kiếm được điểm cho một câu hỏi trắc nghiệm thuần túy nhờ may mắn, trong các hình thức kiểm tra khác điều này khó xảy ra hơn nhiều. (Tất nhiên, ta có thể giảm thiểu vấn đề này bằng cách xây dựng các câu hỏi đơn giản và rõ ràng, và đảm bảo rằng các câu trả lời không chính xác sinh ra bởi những lỗi nhỏ không được đưa ra như là một 39 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 trong những lựa chọn.) Một vấn đề nữa của câu hỏi trắc nghiệm là dễ bị một số loại gian lận và tiêu cực hơn các hình thức kiểm tra khác, vì đáp án dễ dàng được sao chép và sử dụng, thậm chí bởi những học sinh không thực sự hiểu các tài liệu. (Vấn đề cụ thể này có thể phần nào được bảo vệ bằng cách xáo trộn các câu hỏi riêng cho từng học sinh, mặc dù điều này tất nhiên làm việc chấm bài cũng như việc cung cấp đáp án khó khăn hơn.) Một vấn đề thứ ba là khi học sinh thu được câu trả lời không nằm trong số các lựa chọn được liệt kê sẽ có khuynh hướng làm bừa, nhiều khi lý luận phi logic để đi đến một trong những câu trả lời được liệt kê, đó không phải là một thói quen tốt để thấm nhuần vào một nhà toán học. Tuy nhiên, một vấn đề sâu sắc hơn, là những câu trắc nghiệm này cho một ấn tượng sai lệch về việc thế nào là giải một bài toán, và làm thế nào để thực hiện điều đó. Trong nghiên cứu toán học, các câu hỏi không thường đi kèm với một danh sách của năm phương án, một trong số đó là chính xác. Thông thường, hình dung ra những câu trả lời tiềm năng, có lý, hoặc nhiều khả năng xảy ra, hoặc thậm chí kiểu câu trả lời được mong đợi hay đặt vấn đề liệu có nên hỏi câu hỏi đó, cũng quan trọng không kém việc xác định câu trả lời đúng. Câu hỏi trắc nghiệm có xu hướng khuyến khích cho các cách tiếp cận nhanh-chóng-và-không-lành-mạnh hoặc cẩu thả để giải quyết vấn đề, trái ngược với cách tiếp cận thận trọng, cân nhắc, và tinh tế. Đặc biệt, câu hỏi như vậy có xu hướng khuyến khích việc áp dụng nguyên si quy tắc hình thức để đi đến câu trả lời, mà không dành nhiều suy nghĩ về việc liệu những quy định là thực sự áp dụng được đối với vấn đề đang xét hay không. (Thực ra, đào sâu quá mức về một đề trắc nghiệm, tìm kiếm những mẹo mực, những chỗ thiếu chặt chẽ, hoặc đặc biệt trong cách diễn đạt câu hỏi, hoặc cố gắng để chơi một số loại “luật chơi”, trong đó cố gắng thần thánh hóa mục đích của người ra đề [xem cảnh này từ vở “The Princess Bride” cho một ví dụ cực đoan này], có thể làm cho những sinh viên khá hơn, hiểu nội dung kiến thức, lại có kết quả tồi tệ hơn so với những người chỉ đơn giản là việc áp dụng các quy tắc mà họ được dạy mà không có sự hiểu nội dung kiến thức. Ngược lại, một đề bài quá mẹo, được thiết kế để bẫy những học sinh áp dụng quy tắc một cách cẩu thả, không kiểm tra xem nó có áp dụng được không, thường sẽ được cảm nhận (khá đúng) như là không công bằng với học sinh.) Trong khi việc luyện tập các quy tắc cơ bản (ví dụ như các quy tắc và thuật toán trong môn Giải tích) chắc chắn là cần thiết, đặc biệt là ở cấp trung học và giai đoạn đầu đại học môn toán, tại thời điểm chuyển lên giai đoạn cao hơn trong bậc đại học sinh viên cần bắt đầu hiểu những cơ sở lý thuyết và những giải thích cho những quy tắc đó, như là một phần của việc phát triển tư duy căn bản đối với môn học. (Ngoài ra, khi học những môn nâng cao, sẽ có nhiều ngoại lệ và điểm yếu đối với bất kỳ quy tắc nào kiến việc áp dụng nó một cách không suy nghĩ trở nên nguy hiểm. Ví dụ, tính toán một tích phân đường bằng cách tịnh tiến đường rất dễ cho một câu trả lời sai nếu không có một cảm giác tốt khi nào tích phân sẽ hội tụ tới không khi chuyển qua một giới hạn, và khi nào thi không hội tụ. Cách học thuộc một số quy tắc dễ nhớ rằng khi nào có thể tích phân an toàn và khi nào không, thì sẽ thất bại vì có rất nhiều biến thể khác nhau, đặc biệt là trong các ứng dụng thực tế, cách duy nhất đáng tin cậy để tiến hành là để thực sự hiểu cách ước lượng tích phân và tính toán giới hạn). Nhưng có lẽ hơn tất cả, câu hỏi trắc nghiệm thúc đẩy ý tưởng rằng câu trả lời cho một câu hỏi toán học là quan trọng hơn so với quá trình đi đến câu trả lời đó (và những hiểu biết thu được trong quá trình đó, và nghệ thuật trao đổi việc đó một cách hiệu quả với người khác ). Sự thật, quá trình này quan trọng hơn nhiều so với câu trả lời, đặc biệt đối với một câu hỏi nhân tạo, chẳng hạn như là một câu hỏi thiết kế cho mục đích kiểm tra. Biết được quá trình suy luận được thực hiện bởi sinh viên để đi đến một câu trả lời - thậm chí là một trả lời sai - sẽ cung cấp cho ta một bức tranh chi tiết về khả năng của học sinh khi xử lý những câu hỏi tương tự (hoặc phức tạp hơn) trong tương lai, trong khi việc học sinh lựa chọn một câu trả lời đúng trong số năm giải 40 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 pháp cho ta ít hơn nhiều thông tin về vấn đề này. Việc xác định điểm mạnh và điểm yếu cụ thể trong lý luận của học sinh cho nhiều phản hồi có giá trị hơn trong quá trình chấm điểm so với chỉ đơn giản là biết xem một câu hỏi được đưa ra đã được trả lời một cách chính xác hoặc không chính xác. 2. Trắc nghiệm như hình thức tự kiểm tra Tôi đã thảo luận những hạn chế của việc sử dụng câu hỏi trắc nghiệm trong kỳ thi trên lớp học, đặc biệt là trong các khóa học toán học tại những năm cuối đại học. Mặt khác, tôi cảm thấy rằng các câu hỏi như vậy có thể đóng một vai trò hỗ trợ rất hữu ích trong việc tự kiểm tra cho các khóa học này, đặc biệt là liên quan đến các nội dung kiến thức cơ bản (ví dụ định nghĩa hoặc các quy tắc cơ bản của tính toán). Tôi sẽ chứng minh điều này với một khóa học giả định về đại số ở trung học phổ thông, mặc dù điểm này là chắc chắn áp dụng cho nhiều khóa học toán học ở câp cao hơn. Giả sử khóa đại số này nhằm dạy cho học sinh cách giải các phương trình đại số. Tất nhiên có nhiều cạm bẫy thông thường mà học sinh gặp phải khi thực sự cố gắng để giải quyết các phương trình đó, một trong những ví dụ phổ biến là, từ phương trình như x2 D y kết luận sai rằng x Dpy, khi thay vì nói là x Dpy hoặc x D py. Bây giờ, ta có thể cảnh báo lỗi này trong các lớp học, và học sinh thậm chí có thể viết ra cảnh báo này khi ghi chú, nhưng nó vẫn lặp lại quá thường xuyên trong khi giải quyết bài toán đại số phức tạp hơn trong một bài thi (hoặc tệ hơn, trong một ứng dụng thực tế của đại số). Khi đó, các sinh viên cũng có thể nhận ra nguyên nhân của lỗi - nhưng phản hồi này có thể đến sau nhiều ngày hoặc nhiều tuần từ lần đầu tiên, nếu không được nhắc đi nhắc lại, các lỗi tương tự thì có thể tái phát sau này trong khóa học, hoặc trong các khóa học tiếp theo. Lặp đi lặp lại tiếp xúc với đại số cuối cùng sẽ loại bỏ các lỗi, nhưng nó có thể là một quá trình không hiệu quả. Đây là nơi mà một sự lựa chọn nhiều bài trắc nghiệm tự làm (đặc biệt, một bài kiểm tra trực tuyến) có thể giúp đỡ, với những câu hỏi như: Câu hỏi 1. Nếu x và y là các số thực thỏa x2 D y, điều đúng nhất chúng ta có thể nói về x là a) x Dpy: b) x D y2: c) x D y2: d) x Dpy hoặc x D py: e) x D y2 hoặc x D y2: hoặc pha trộn với nhau với các biến thể như Câu hỏi 2. Cho x và y là các số thực. Khẳng định nào sau đây là không đủ để ngụ ý rằng x2 D y? a) x Dpy: 41 b) x D py: c) x D Cpy hoặc x D py. d) x D y2: e) y D x2: và Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Câu hỏi 3. Nếu x và y là các số thực sao cho x3 D y; khi đó tốt nhất có thể nói về x là a) x Dpy: b) x D y13 : c) x D Cy13 hoặc x D y13 : d) x D y3: e) x D y3 hoặc x D y3: Những câu hỏi như vậy có cho biết khá trực tiếp (và có thông tin phản hồi ngay lập tức) rằng học sinh có mắc sai lầm ở vấn đề cụ thể này không, mà không cần sự can thiệp trực tiếp của một giảng viên hoặc giảng dạy trợ. (Một cách lý tưởng, một bài kiểm tra tự động không chỉ để cho biết ngay lập tức câu trả lời được lựa chọn là đúng hay sai, mà còn để giải thích những gì lỗi là trong trường hợp này). Lưu ý một số khác biệt giữa những loại câu hỏi trắc nghiệm và những câu hỏi trong một cuộc kiểm tra trên lớp. Trong khung cảnh kỳ thi, người ta thường muốn có những câu hỏi phức tạp hơn mà kiểm tra một số khía cạnh của kiến thức cùng một lúc (ví dụ phân tích nhân tử, rút gọn, thế, ...) thay vì tập trung một cách hẹp và đơn giản lên một khía cạnh. (Đặc biệt, khi sinh viên thực sự nắm được kiến thức có thể trả lời mỗi câu hỏi ở đây dễ dàng, mà không cần phải tính toán đáng kể.) Ngoài ra, trong khi các bài kiểm tra trên lớp học cố gắng làm cho câu trả lời chính xác khá khác biệt so với các lựa chọn thay thế không chính xác (để phân biệt những người về cơ bản hiểu các kiến thức với những người đang thực sự không biết gì), việc tự kiểm tra cho phép sự khác biệt khá tinh tế giữa các câu trả lời đúng và những câu trả lời khác, để khuyến khích học sinh suy nghĩ cẩn thận và để giải quyết bất kỳ quan niệm sai lầm đầu vào, các loại “câu hỏi lừa” sẽ là không công bằng trong môi trường căng thẳng của một kỳ thi đánh giá trên lớp, nhưng có thể được thực hiện một cách an toàn trong một đề tự kiểm tra. Câu hỏi trắc nghiệm dường như có hiệu quả nhất khi dùng để giải thích các định nghĩa chính xác của một khái niệm quan trọng (“với mỗi " tồn tại một ı” hay “cho mỗi ı tồn tại một "?”), việc xây dựng chính xác một số quy tắc (đạo hàm của fgbằng fg0gf 0 g2 hay f0ggf 0 g2 hay f0ggf 0 f 2; ...?), hoặc kiểm tra trực tiếp một lỗi cụ thể và thường được thực hiện (nếu x < y, thì x < y, hay x > y?) Xem thêm danh sách các lỗi phổ biến trong giáo trình toán đại học). Nhưng với một chút trí tưởng tượng, người ta có thể đưa ra một số câu trắc nghiệm hữu ích cho việc tự kiểm tra với các mục đích khác, thậm chí cho các chủ đề toán học khá cao cao. Ví dụ, hãy xem xét các câu hỏi sau đây để kiểm tra của một người nắm bắt được các tính chất của biến đổi Fourier: 42 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Câu hỏi 4. Cho f W R ! C là một hàm số. Trong số tất cả các giả thiết dưới đây, đâu là giả thiết yếu nhất mà vẫn cho phép các biến đổi Fourier fOW R ! C tồn tại và là liên tục? a) f trơn và giảm nhanh chóng. b) f là hoàn toàn khả tích. c) f là bình phương khả tích. d) f là liên tục. e) f là liên tục và có giá compact. f) f là một phân phối tăng chậm. Các loại kiến thức trong giải tích Fourier mà câu hỏi này kiểm tra như rất khó kiểm tra bởi các kiểu câu hỏi khác (trừ thi vấn đáp). Một khả năng thú vị khác là sử dụng trắc nghiệm để khám phá chiến lược giải quyết bài toán, một vấn đề chỉ gián tiếp được giải quyết bởi hầu hết các phương pháp kiểm tra. Ví dụ, trong một khóa học giải tích một biến, người ta có thể tập trung vào chiến thuật tích hợp, sử dụng câu hỏi như thế này: Câu hỏi 5. Kỹ thuật nào sau đây bạn cảm thấy là một bước đầu tiên để tìm nguyên hàm Rx2log.1 C x/dx của hàm x2log.1 C x/? a) Tích phân từng phần, đạo hàm x2và tích phân log.1 C x/. b) Tích phân từng phàn, đạo hàm log.1 C x/ và tích phân x2. c) Thế y D x2: d) Thế y D 1 C x: e) Thế y D log.1 C x/: f) Thử đạo hàm hàm số x3log.1 C x/: g) Phác thảo một đồ thị của x2log.1 C x/: h) Khai triển Taylor log.1 C x/: i) Khởi động Maple, Mathematica, hoặc SAGE. Lưu ý rằng câu hỏi này là có tính chất chủ quan hơn là câu hỏi trước, với câu trả lời khác nhau có điểm mạnh và điểm yếu khác nhau, không có trả lời thuần túy “đúng” hoặc thậm chí “tốt nhất” ở đây. Như vậy, đây sẽ là một câu hỏi khủng khiếp để đặt trong một kỳ thi đánh giá, nhưng tôi nghĩ rằng nó sẽ là một câu hỏi kích thích tư duy tốt để cung cấp cho một bài tự kiểm tra. (Điều này sẽ là một ví dụ về một câu hỏi mà các quá trình đến với câu trả lời của một người được lựa chọn chắc chắn là có giá trị hơn bản thân câu trả. Ngoài ra, có một nơi để thảo luận về các câu trả lời khác nhau cho một câu hỏi như thế này - chẳng nếu câu hỏi đã được lưu trữ trên một trang web thảo luận (wiki) - cũng sẽ thêm một chiều kích tới bài tập này). Lưu ý sự khác biệt giữa các 43 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 câu hỏi trên và câu truyền thống hơn “Tính nguyên hàm của x2log.1 C x/.” Sự nhấn mạnh tại đây là về chiến thuật hơn là tính toán. Tóm lại, tôi tin rằng có một số cách thú vị - nhiều trong số đó chưa được khai thác hiện nay - trong đó các câu tự trắc nghiệm được thiết kế tốt và trực tuyến có hiệu quả để đánh giá những điểm mạnh và điểm yếu của một người trong một môn toán. Tất nhiên, có một tương tác một một với giảng viên hoặc trợ giảng sẽ là một cách rất thích hợp để đạt được điều này loại thông tin phản hồi ngay lập tức, nhưng điều này là không thực tế cho các lớp học lớn hơn. Ngoài ra cũng đúng là một mức độ trưởng thành và kỷ luật nhất định là cần thiết đối với học sinh để thực sự được hưởng lợi từ phương thức tự đánh giá này, đặc biệt là khi chúng không có ảnh hưởng trực tiếp tới điểm số trên lớp của học sinh, nhưng triết lý của tôi ở đây là để cho sinh viên hưởng lợi từ sự nghi, tôi cảm thấy rằng khả năng thực hiện hơn mức tối thiểu để thi đỗ là một phần của những gì một khóa học ở các năm cuối đại học cần hướng tới. Terence Tao 14=12=2008: 44 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 NƯỚC MỸ CHỌN VÀ LUYỆN ĐỘI TUYỂN THI TOÁN QUỐC TẾ (IMO) THẾ NÀO? Lê Tự Quốc Thắng (Học viện Công Nghệ Georgia, Mỹ) GIỚI THIỆU Bài viết này giới thiệu cách Mỹ chọn và luyện đội tuyển IMO. Để viết bài này, tôi đã tham khảo các tài liệu trên Internet, phỏng vấn các huấn luyện viên đội tuyển Mỹ, và các thành viên các đội tuyển IMO của nhiều nước trên thế giới. Mỹ là nước không có các hệ thống trường chuyên lớp chọn như Nga, Trung Quốc, hay Việt Nam, nhưng Mỹ luôn chiếm vị trí khá cao trong các kỳ thi vô địch toán quốc tế (IMO), như hai năm 2015; 2016 đã đứng nhất đồng đội. Trước hết xin nhất mạnh một điểm: Độc giả đừng nhầm lẫn giữa việc tuyển chọn và huấn luyện cho các kỳ thi (Toán, Lý, Tin học, ...) với việc đào tạo học sinh có năng khiếu ở Mỹ, vì ở Mỹ hai vấn đề này, dù có liên quan với nhau, vẫn khác nhau rất xa, không như ở Việt Nam. Mục đích đào tạo học sinh giỏi ở Mỹ là để phát triển hết khả năng cho các học sinh có năng khiếu chứ không nhằm vào việc thi các kỳ thi Olympiad. Tôi sẽ viết về việc đào tạo học sinh năng khiếu ở Mỹ ở một bài khác. Bài viết này tập trung vào các nội dung như đã nêu ở tiêu đề. Ở Mỹ không phải học sinh giỏi toán nào cũng biết/muốn thi toán quốc tế. Văn hóa Mỹ không đánh giá quá cao các tài năng toán học. Các nghiên cứu chỉ ra rằng rất nhiều các học sinh của đội tuyển Mỹ trong các kỳ thi này là những học sinh nhập cư hoặc con của những người nhập cư từ các nước mà ở đó giáo dục toán học được coi trọng và các tài năng toán học được nuôi dưỡng thông qua một quy trình khó khăn và kiên trì. “Có thể nói là văn hóa Mỹ ngày nay dường như không khuyến khích nam giới và phụ nữ trong toán học” - Michael Sipser, trưởng khoa Toán Học viện công nghệ MIT nói. Đúng là ở Mỹ không có các trường chuyên với mục đích là luyện thi học sinh giỏi cho các kỳ thi Olympiad. Nhưng ở Mỹ cũng có một số trường chuyên, và các câu lạc bộ toán để đào tạo học sinh năng khiếu/giỏi. Các chương trình đào tạo học sinh giỏi thường được các trường đại học hỗ trợ, cho nên các học sinh IMO đến từ khắp các miền của nước Mỹ. Có học sinh học ở nhà (home schooling) do cha mẹ dạy, không đến trường. Thí dụ Reid Barton, cho đến nay là người duy nhất thi 4 lần thì được huy chương vàng cả 4, là home schooling. Có một số ngộ nhận rằng Mỹ không cần luyện thi mà kết quả thi vẫn cao (thí dụ bài viết của ông Lê Quang Tiến về việc thi toán quốc tế). Trên thực tế việc tuyển chọn và luyện đội tuyển 45 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 của Mỹ được tổ chức khá kỹ, có chiến lược, và ngày càng phức tạp và kỹ hơn. Tôi có hỏi trưởng đoàn và thành viên đội tuyển một số nước có thành tích cao trong thi toán quốc tế, tất cả đều cho rằng để có thành tích cao, rất cần có một chương trình huấn luyện kỹ, nhất là thời kỳ 3 4 tuần trước khi thi IMO. Và Mỹ ngay từ đầu đã huấn luyện khá kỹ đội tuyển của mình. Một số nước không có chương trình chọn lựa kỹ (qua các vòng thi tuyển) và không có luyện tập, thường không có kết quả cao. Điển hình là đội Italia, năm 1984; cả 6 thành viên của đội tuyển Italia được tổng cộng ... 0 điểm. Ngoại lệ có lẽ là nước Anh. Trong 10 15 năm đầu tiên, nước Anh không huấn luyện đội tuyển trước khi đi thi, nhưng đội tuyển Anh vẫn khá thành công. N. Boston, thành viên đội tuyển Anh năm 1979 và hiện giờ là giáo sư toán đại học Wisconsin, nói với tôi rằng, đó là do ở Anh có truyền thống coi trọng việc giải toán nhanh trong trường phổ thông, và có nhiều câu lạc bộ toán ở các trường. Việc chọn và luyện đội IMO của Mỹ được thực hiện bởi MAA, một tổ chức phi chính phủ. Nhà nước Mỹ hay Bộ giáo dục Mỹ hầu như không nhúng tay vào việc này, mặc dù lúc phát giải thưởng kỳ thi USAMO (vô địch toán Mỹ) thì trợ lý tổng thống Mỹ về khoa học và công nghệ thường có mặt và đọc phát biểu. Chi phí cho đội tuyển, tập trung luyện, đi thi, chủ yếu từ MAA và các nhà tài trợ. NSF (quỹ nghiên cứu khoa học Mỹ) cũng có đóng góp một ít. IMO được khởi xướng bởi các nước Đông Âu (khối XHCN cũ) từ năm 1959: Nước tư bản đầu tiên tham gia là Phần Lan, năm 1965; và xếp chót bảng. (Phần Lan nghỉ luôn 8 năm, đến năm 1973 mới tham gia lại). Pháp tham gia lần đầu vào năm 1967; Hà Lan lần đầu năm 1969; và đều xếp chót bảng. M. Klamkin, huấn luyện đội tuyển IMO Mỹ những năm 1977 1984 nói rằng nhiều người Mỹ “không muốn Mỹ tham gia IMO, sợ rằng đội Mỹ sẽ bị các nước cộng sản đè bẹp.” Năm 1971 N. Turner viết bài báo ở tạp chí “Amer. Math. Monthly” nói rằng Mỹ đã có một số kỳ thi toán ở cấp tiểu bang, và nên gửi đội tuyển tham gia IMO, rằng có thể lúc đầu sẽ bị “nhục” vì thứ hạng thấp, nhưng tình hình sẽ cải thiện. Năm 1972 Mỹ lần đầu tổ chức thi vô địch toán nước Mỹ (USAMO) và năm 1974 MAA đồng ý gửi đội tuyển Mỹ tham gia IMO. Trong các nước tư bản thì Mỹ là nước thành công nhất trong thi IMO, có thứ hạng trung bình 1995 2008 là 3 (Việt Nam thứ hạng trung bình là 6). Đặc biệt năm 1994 cả 6 thành viên đội tuyển Mỹ đều được điểm tuyệt đối, một kỷ lục mà chưa nước nào làm được. (Điều này tương phản với thành tích trung bình trong các đánh giá về trình độ toán của học sinh Mỹ nói chung). Để có được những thành công như vậy là nhờ việc chọn lựa và chuẩn bị cho đội tuyển IMO của Mỹ khá kỹ. Hiện nay rất nhiều nước tham gia IMO (104 nước năm 2015). Trong các kỳ thi quốc tế cho học sinh phổ thông, IMO vẫn được xem trọng nhất. Cũng cần nói thêm, để thành công ở IMO, bạn cần phải nhanh và có khiếu trong việc giải toán. Việc giải toán kiểu IMO khác với việc nghiên cứu toán của các nhà toán học. Nghiên cứu toán thì phải trường kỳ, hiểu biết rộng và sâu ngành của mình, có nhiều tính sáng tạo, tìm lời giải cho một bài toán mà có thể nó không có lời giải. Trong khi giải toán Olympiad thì phải nhanh vì thời gian có hạn, và bạn biết rằng bài toán chắc chắn có lời giải, bạn chỉ phải tìm nó thôi. Nhưng cũng có một số điểm chung, trước hết là bạn phải có năng khiếu về tư duy toán. Không phải ngẫu nhiên mà sau năm 2000; hơn một nửa số người được giải thưởng Fields đã từng đoạt huy chương vàng tại IMO. Nếu tính số người tham gia IMO thì còn nhiều nữa. Năm 1994 Pháp có 2 giải thưởng Fields là Lions và Yoccoz, cả 2 đều là thành viên đội tuyển IMO của Pháp năm 1973: 46 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Khoảng 14số thành viên đội tuyển IMO của Mỹ sau này trở thành nhà toán học. Khoảng 12số thành viên đội tuyển IMO của Mỹ là dân nhập cư hoặc con của dân mới nhập cư vào Mỹ từ những nước có thành tích cao ở IMO (theo hội toán học Mỹ, trong đó có người gốc Việt). Để huấn luyện cho đội tuyển, MAA đã lập MOP (Mathemetical Olympiad Program, sau này là MOSP), một khóa huấn luyện không những cho những thành viên đội tuyển IMO của Mỹ mà còn tạo nguồn cho đội tuyển tương lai. Thường MOP kéo dài 2 4 tuần, ngay trước khi đi thi, và đội tuyển sẽ đi đến địa điểm thi (ở nước nào đó) trực tiếp từ MOP. Quy trình chọn đội tuyển IMO của Mỹ đã thay đổi nhiều lần. Vào thời điểm hiện tại phức tạp hơn các bạn nghĩ. Tuy nhiên việc “luyện” của đội tuyển Mỹ không nhiều như một số nước như Trung Quốc, Nga hay Việt Nam. Những trường chuyên của các nước này cho học sinh làm các loại toán Olympiad quanh năm. Làm nhiều quá có lẽ cũng có hại cho sự sáng tạo của (một số) học sinh sau này. Ở Mỹ có 3 kỳ thi toán chính. Kỳ đầu tiên là AMC 12, bất cứ học sinh trung học nào muốn tham gia cũng được, nhưng phải đóng một khoản lệ phí. Những học sinh đạt điểm cao được mời tham dự vòng tiếp theo là AIME. Rồi khoảng gần 300 học sinh được điểm cao nhất AIME C AMC 12 được tham gia kỳ thi vô địch toán nước Mỹ (USAMO). Cả 2 vòng sau đều miễn phí. Trước đậy, 68 người được điểm cao nhất của USAMO sẽ là thành viên đội tuyển IMO của Mỹ. Sau USAMO, thành viên đội tuyển Mỹ, và khoảng 25 35 học sinh được điểm cao USAMO nhưng không phải đang học lớp 12, được mời đến MOP (hoặc sau này là MOSP). Mục đích là ngoài huấn luyện đội tuyển còn đào tạo thế hệ tương lai chuẩn bị cho IMO năm sau. Rất nhiều thành viên đội tuyển đã được tham dự MOSP của những năm trước, thậm chí không chỉ một lần. MOP đầu tiên được tổ chức năm 1974; năm Mỹ bắt đầu tham gia IMO. Ngay lần đầu này MOP đã “đào tạo” cho một số thành viên đội tuyển năm sau. Về sau, đội tuyển IMO không được chọn dựa vào kết quả USAMO nữa. Sau khi khoảng 40 người điểm cao của USAMO được tập trung tại MOSP, sẽ có 2 3 bài thi chọn đội tuyển nữa. Kết quả các bài thi chọn đội tuyển và điểm của USAMO sẽ được dùng để chọn đội tuyển. Việc tuyển chọn như vậy sẽ chính xác hơn nhưng đội tuyển chỉ được chọn ra khoảng 3 tuần trước IMO, gây một số phiền phức cho đội tuyển và các công việc hành chính như làm giấy tờ, visa. Đến năm 2011; công thức chọn đội tuyển IMO lại thay đổi. Lần này việc chọn đội tuyển bắt đầu từ hơn một năm trước khi thi IMO, và gồm các bước sau đây. Để được vào đội tuyển năm sau, bạn phải được chọn vào MOSP của năm trước đó. 1. Đầu tiên là 2 3 bài sơ tuyển diễn ra trong suốt Chương trình Toán học mùa hè (MOSP) tháng 6 năm trước. Khoảng 40 người qua được vòng này sẽ tham gia thi tuyển ở mục 2 và mục 3 dưới đây. 2. Hai bài thi chọn đội tuyển vào mùa đông (tháng 12, tháng 1). 3. Tiếp theo là bài thi của ngày đầu tiên của Romannian Master of Mathematics (bài thi các năm trước ở đây: http://rmms.lbi.ro/rmm2016), thường tổ chức vào tháng 3: 4. Cuối cùng là kỳ thi USAMO của năm nay, vào khoảng cuối tháng 4: 47 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Kỳ thi 1 quyết định ai sẽ tham gia kỳ 2 và 3: AMC 12C AIME sẽ quyết định ai sẽ tham gia USAMO, và sau đó 2 C 3C USAMO sẽ quyết định đội tuyển. Vì thế, đội tuyển được quyết định ngay sau khi USAMO diễn ra khoảng cuối tháng 4: Đến tháng 6 các thành viên đội tuyển và khoảng 50 ứng cử viên cho đội tuyển các năm sau sẽ được tập trung luyện chuẩn bị thi toán quốc tế (MOSP). Ban tổ chức của MOSP là MAA (Hiệp hội Toán học Mỹ). Các thành viên tham gia MOSP được tài trợ hoàn toàn chi phí đi lại và ăn ở trong 3 4 tuần. Phần lớn chi phí được chi trả bởi MAA và các nhà tài trợ. Thí dụ AKAMAI là một nhà tài trợ lớn – công ty đã giúp giúp MOSP tăng gấp đôi số học sinh. Số tiền nhận được từ chính phủ Mỹ là khá khiêm tốn. Được nhận vào MOSP là rất khó, và là một vi dự đối với học sinh phổ thông Mỹ. Một chương trình khác cũng có uy tín cao là Research Science Institute (RSI), được tổ chức 6 tuần hàng năm ở MIT. RSI thiên về nghiên cứu, không thi tuyển chọn mà chỉ xét hồ sơ rồi tuyển chọn. Khoảng 80 học sinh cấp 3 đến từ khắp nơi trên thế giới (50 từ Mỹ và 30 học sinh nước ngoài) được chọn tham gia RSI (miễn phí hoàn toàn). Rất nhiều công trình nghiên cứu của các thành viên RSI được các giải thưởng cao ở cuộc thi Intel Sience Talent Search. MOSP và RSI thỉnh thoảng cũng có cạnh tranh với nhau, tranh giành học sinh giỏi nhất Mỹ về toán. Các giảng viên tại MOSP. Có 2 loại chức danh: Giảng viên (hay còn gọi là huấn luyện viên) và trợ giảng. Hầu hết các giảng viên đều đã từng là trợ giảng, trừ một số ngoại lệ như Titu Andreescu, Zuming Feng và Razvan Gelca. Những người này được Huấn luyện viên trưởng (hiện tại là giáo sư Po-Shen Loh tới từ ĐH Carnegie-Mellon) mời đến làm việc. Họ thường là cựu thành viên của các đội tuyển IMO của Mỹ và các quốc gia khác, hoặc từng là thí sinh tham gia MOSP, và hầu hết rất trẻ. Các giảng viên phần lớn là các giáo sư đại học, các nghiên cứu viên hậu tiến sĩ hoặc nghiên cứu sinh. Trợ giảng thường là sinh viên đại học. Họ đến từ các trường như MIT, Carnegie Mellon, Harvard, Berkeley. Có một số giảng viên từ các công ty tư nhân (như Jane Street Capital, Microsoft). Rất ít giáo viên phổ thông. Tổng cộng có khoảng 15 giảng viên và 7 trợ giảng. Nhưng không phải ai cũng ở đó đủ 3 4 tuần của MOSP. Cuối cùng, để có thể có một góc nhìn đầy đủ hơn về “bếp núc” của MOSP, chương trình huấn luyện chính của đội tuyển Mỹ, tôi xin giới thiệu phần trả lời của Razvan Gelca, huấn luyện viên kỳ cựu của MOSP cho các câu hỏi mà tôi đặt ra cho anh ấy. Một vài câu trong các câu hỏi này được đề xuất bởi Trần Nam Dũng, giảng viên trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh, một cái tên quen thuộc trong giới Olympiad toán ở Việt Nam. Trong các câu trả lời dưới đây, đại từ “tôi” nghĩa là Razvan Gelca. 1: Một ngày bình thường ở MOSP như thế nào? Có 3 kiểu ngày ở MOSP: 1. Có 2 bài giảng vào buổi sáng, mỗi bài 90 phút và một bài giảng 90 phút nữa vào buổi chiều. Sau đó, học sinh hoạt động tự do, hoặc là nghỉ ngơi, hoặc là làm toán hoặc có các hoạt động chung. Cũng có một bài báo cáo khoa học vào buổi tối dành cho các giảng viên và trợ giảng. Học sinh có thể tham gia hoặc không tùy ý. 2. Có 2 bài giảng vào buổi sáng và 1 bài kiểm tra vào buổi chiều. 48 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 3. Các ngày thứ Bảy có một số bài kiểm tra vào buổi sáng, thi sơ tuyển hoặc thi thử IMO, buổi chiều thứ bảy và Chủ nhật nghỉ ngơi. Kiểu ngày số 1 và số 2 xen kẽ nhau trong tuần, vì thế có rất nhiều bài kiểm tra. 2: Hình thức các bài giảng? Tôi sẽ nói với bạn về cách mà tôi điều hành giờ học của tôi. Tôi tập trung rất nhiều vào các bài toán, và tập trung ít vào lý thuyết. Tôi bắt đầu bằng việc đưa cho các em danh sách các bài toán, tôi cho họ làm việc trong khoảng 45 phút, sau đó chúng tôi viết các thảo luận lên bảng. Những giảng viên khác có thể tập trung nhiều hơn vào lý thuyết. 3: Các cấp độ giảng dạy? Học sinh được chia thành các nhóm tùy theo khả năng của mình: A: Nhóm dai đen: Đây là đội tuyển chính thức của Mỹ, có thể thêm những người giỏi nhất trong số các cô gái tham dự EGMO (Olympiad Toán học dành cho nữ sinh châu Âu), và thành viên của đội tuyển Canada có 2 quốc tịch. Đây là nơi mà tất cả mọi người đều phải tập trung vào các bài toán, không nhiều lý thuyết. Trình độ và khả năng rất cao. Chỉ cần đưa cho họ các bài toán, họ lên bảng và cho ra những lời giải tuyệt vời. B: Nhóm đai xanh: Nhóm này khá gần với nhóm đai đen, cũng tập trung chủ yếu vào các bài toán. Nhưng cũng có dạy cho họ một số lý thuyết mới. Với một số bài toán dành cho nhóm đai đen, ở nhóm này cần gợi ý cách giải. C: Nhóm đai đỏ: Đây là những tân binh. Ở nhóm này, lý thuyết sẽ được dạy trước, sau đó mới là các bài toán. Dù tôi thường chọn những bài toán mà học sinh có thể giải được, nhưng luôn có một nhóm nhỏ không theo kịp. 4: Có dạng toán cao cấp nào được dạy ở MOSP không? Có một số bài giảng toán cao cấp vào cuối ngày. Tôi luôn dạy về lý thuyết Chern - Simons: Topo học, hàm theta, cơ học lượng tử, và tôi cố gắng sử dụng những từ đơn giản để truyền tải ý của mình. Nhưng chúng tôi hiếm khi làm những thứ quá cao cấp trong lớp học. Bài giảng là tài sản riêng của các giảng viên. Các giảng viên làm việc độc lập với nhau. Tôi không biết những người khác đang làm gì, ngoại trừ thỉnh thoảng tôi có ghé thăm lớp của họ, chỉ cho vui thôi. Trình độ các học sinh ngày càng cao, do đó tôi luôn phải tìm những bài toán mới, khó hơn. 5: Thành viên trong đội tuyển IMO của Mỹ có nhận được bất kỳ giải thưởng nào từ Chính phủ hay các tổ chức không? Các thí sinh sau đó thường theo học những trường nào? Chính phủ Mỹ không tham gia vào việc này, mặc dù Nhà Trắng có cử đại diện là ông J.P. Holdrenla trợ lý tổng thống về khoa học và kỹ thuật tham dự lễ trao giải của USAMO. Hầu hết thí sinh nhận được học bổng của các trường đại học. MIT không trao học bổng cho những người đạt giải, nhưng Harvard thì có, vì thế có nhiều người học Harvard hơn MIT. Carnegie - Mellon hiện tại đang rất tích cực thu hút những sinh viên này bằng học bổng. Và đây cũng là lý do giải 49 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 thích tại sao Carnegie - Mellon hiện đang là một đối thủ lớn ở kỳ thi Putnam. Ngay cả UCLA cũng trao học bổng để thu hút sinh viên, nhưng họ mới chỉ thu hút được một số sinh viên nước ngoài. Trước đây, Duke cũng trao học bổng, nhưng bây giờ họ không còn thu hút được những học sinh của chúng tôi nữa. Princeton đứng sau Harvard, MIT, CMU trong việc thu hút người của Olympiad. Tôi muốn nói rằng có rất nhiều người đã trở thành nhà toán học, nhưng không phải là tất cả. Đáng tiếc là nhiều người cuối cùng lại làm việc cho các quỹ đầu cơ (tiền nhiều nhưng tương lai mù mịt). Tôi không rõ con số cụ thể. 6: Có trường nào chuyên biệt ở Mỹ giống như các trường ở Nga dạy toán ở mức độ cao không? Hay có chương trình đào tạo nào tập trung vào các vấn đề toán học phục vụ riêng Olympiad không? Có trường nào ở Mỹ (hay địa phương nào) có truyền thống lâu đời về việc giành giải cao ở USAMO không? Có các trường như Phillips Exeter, Thomas Jefferson và một số trường khác chuyên cung cấp khá nhiều học sinh giỏi, nhưng ở Mỹ thì hơi khác các nước như Nga. Có nhiều cơ sở giáo dục, chương trình đào tạo tư nhân hoặc phi lợi nhuận thậm chí còn đóng góp nhiều hơn. Tôi ủng hộ và tham gia vào một số chương trình này. Và tôi tin rằng chúng đang định hình lại bộ mặt giáo dục ở đất nước này. Đây là một số chương trình: Nghệ thuật giải quyết vấn đề (chương trình đào tạo trực tuyến), Toán học tuyệt vời (trường hè), Toán học lý tưởng (trường hè). Có nhiều câu lạc bộ toán học, nổi bật nhất là câu lạc bộ toán học ở Bay Area và chương trình dành cho những học sinh tài năng ở Johns Hopkins. Và còn có rất nhiều chương trình khác ở New England, East Coast (New York, New Jersey, North Carolina), Bay Area, San Diego, Dallas. Tuy nhiên cũng có những học sinh trên khắp nước Mỹ tự học và vào được MOP. 7: IMO đầu tiên mà Mỹ tham gia là vào năm 1974; cũng là năm mà đội tuyển Mỹ rất thành công. Vậy việc ôn luyện cho MOSP thời điểm đó có nặng nề không? Bạn có thể so sánh MOSP và việc tuyển chọn giữa bây giờ và lúc đó? Cứ 10 năm IMO lại tăng lên một cấp độ cao hơn. Đội tuyển Mỹ có thể đối mặt rất tốt với những thay đổi, hầu hết là vì những người trẻ đã đổi mới chương trình đào tạo. Mỗi năm, các bài toán mỗi lúc một khó hơn, và học sinh của chúng tôi cũng ngày càng giỏi hơn. Bây giờ chúng tôi đã có nhiều học sinh hơn, chúng tôi có những cơ sở vật chất tốt hơn, chúng tôi có quá trình tuyển chọn cạnh tranh hơn và cũng có nhiều nguồn tài liệu hơn: Sách, Internet, các chương trình đào tạo tại địa phương. 50 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 LUẬN LÝ VỚI THÌ Trần Thanh Hải (Vienna) TÓM TẮT Luận lý với thì (temporal logics hoặc đôi khi còn được gọi là tense logics) được phát triển bởi các nhà triết học để nghiên cứu yếu tố thời gian trong những lập luận. Hiện tại, nhiều loại luận lý với thì đã được phát triển và chúng thường được phân biệt dựa trên việc mô tả cấu trúc của yếu tố thời gian: nhánh hoặc tuyến tính. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu LTL - một loại loại luận lý với thì thuộc nhóm tuyến tính. LTL thường được dùng để mô tả và kiểm chứng chương trình máy tính. Giá trị của các công thức trong LTL được xác định dựa trên cấu trúc Kripke. 1. Cấu trúc Kripke Ở đây, chúng tôi giả sử rằng người đọc đã quen thuộc với luận lý bậc nhất (gồm các phép toán ∧, ∨, . . ., hai vị từ với mọi ∀ và tồn tại ∃). Gọi AP là tập hợp các mệnh đề cơ bản trong luận lý bậc nhất. Cấu trúc Kripke cũng được xem là một đồ thị chuyển trạng thái có gán nhẵn và được mô tả như một bộ K = (S, S0, R, L) [2], với • S là một tập hợp các nốt hay trạng thái, • S0 ⊆ S là một tập hợp các trạng thái bắt đầu, • R là một quan hệ toàn phần bên trái trên S × S, (nói cách khác, với mọi trạng thái s ∈ S, tồn tại một trạng thái s0 ∈ S sao cho R (s, s0)), • L là một hàm gán nhãn L : S → 2AP gắn mỗi trạng thái s ∈ S một tập L(s) các mệnh đề cơ bản trong AP và các mệnh đề này được xem là luôn luôn đúng trong s1. Vì R là một quan hệ toàn phần bên trái, chúng ta luôn luôn có thể xây dựng một đường đi vô hạn π dựa trên một cấu trúc Kripke được cho sẵn. Một đường đi trong K là một chuỗi có thứ tự các trạng thái π = s0, s1, . . . sao cho với mọi i ≥ 0, R (si, si+1) luôn tồn tại. Chúng ta dùng ký hiệu π (i) để mô tả trạng thái thứ i trên đường đi π và πi để chỉ một đường đi mới bắt đầu từ trạng thái thứ i, nói cách khác πi = (si, si+1, . . .). 2. Biểu diễn chương trình với luận lý Gọi V = {v1, . . . , vn} là tập hợp các biến của hệ thống. Chúng ta giả sử rằng mọi biến trong V có thể được gán một giá trị trong từ tập hữu hạn D 2. Một phép lượng giá trên V là một hàm gán các giá trị trong D cho những biến trong V . Một trạng thái của hệ thống có thể được mô tả bằng các giá trị được gán cho những biến trong V , nói cách khác, một trạng thái có thể hiểu làm một hàm s : V → D. Giả sử hệ thống của chúng ta có hai chiếc đồng hồ hr1 và hr2, hay V = {hr1, hr2}, và một phép lượng giá như sau hhr1 = 5, hr2 = 10i, chúng ta có thể biểu diện trạng thái tương ứng bằng công thức (hr1 = 5) ∧ (hr2 = 10). Ngoài ra, nếu chúng ta hình dung một công thức luận lý bậc nhất f như tập hợp các phép lượng giá cho f có giá trị đúng, chúng ta có thể biểu diễn một tập các trạng thái bằng một công thức của luận lý bậc nhất. 1Trong một số trường hợp AP có thể là tập hợp các mệnh đề cơ bản của các loại luận lý khác 2Yêu cầu tập D có hữu hạn phần tử chủ yếu xuất phát mục đích kiểm thử lỗi phần mềm tự động. Chúng ta sẽ bàn về một số phương pháp này kiểm lỗi ở dịp khác. Với cách biểu diễn phần mềm ở đây, D có thể vô hạn 51 Algorithm 1 Hai đồng hồ 1: procedure HOẠT ĐỘNG 2: hr1 ∈ Int 3: hr2 ∈ Int 4: khởi tạo: 5: hr1 ← 1 6: hr2 ← 6 7: lặp: 8: while true do 9: hr1 = (hr1 + 1) mod 12 10: hr2 = (hr2 + 1) mod 12 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Trong ví dụ “Hai đồng hồ”, chúng ta thấy rằng ban đầu hai đồng hồ hr1, hr2 lần lượt có giá trị 1 và 6. Sau đó, chúng lần lượt có các giá trị h2, 7i,h3, 8i. . .. Với cách biểu diễn mô tả ở trên, trạng thái khởi tạo của hệ thống sẽ được biểu diễn bằng công thức (hr1 = 1) ∧ (hr2 = 6). Và để biểu diễn bước các bước chuyển trạng thái, ví dụ như từ h1, 6i sang h2, 7i, chúng ta cần thêm một số khái niệm khác. Chúng ta tạo ra một tập mới các biến, ký hiệu là V0. Chúng ta có thể hiệu V là tập các biến của trạng thái hiện tại và V0là tập hợp các biến của trạng thái kế tiếp. Mỗi biến v trong V sẽ có một biến tương ứng v0 ở trong V0. Một phép lương giá (có thứ tự) trên V và V0 được xem như một cặp (có thứ tự) hai trạng thái hay còn gọi là một bước chuyển trạng thái. Trọng ví đụ dụ “Hai đồng hồ”, chúng ta biểu diễn bước chuyển trạng thái đầu tiên bằng công thức (hr1 = 1) ∧ (hr2 = 6) ∧ (hr01 = 2) ∧ (hr02 = 7). Tập hợp các cặp trạng thái được gọi là một quan hệ trạng thái. Nếu R là một quan hệ trạng thái, chúng ta đùng ký hiệu R (V, V 0) để chỉ công thức luận lý bậc nhất tương ứng. Trong ví dụ trên, ta có R (V, V 0) = (hr01 = (hr1 + 1) mod 12) ∧ (hr02 = (hr2 + 1) mod 12). Để mô tả tính chất của hệ thống, chúng ta cần định nghĩa tập hợp các mệnh đề cơ bản AP. Ở đây, một mệnh đề cơ bản sẽ có dạng v = d với v là một biến trong V và d là một giá trị trong D. 3. Định nghĩa LTL Chúng ta thấy rằng cách biểu diễn chương trình máy tính như trên chỉ dùng luận lý bậc nhất. Tuy nhiên sẽ rất bất tiện nếu chúng ta dùng luận lý bậc nhất để mô tả một số tính chất gắn với yếu tố thời gian của hệ thống [2, 4]. Ví dụ hr1 không bao giờ nhận giá trị 13 hoặc đèn giao thông không thể từ màu xanh chuyển sang màu đỏ ngay lập tức. Để việc mô tả một số tính chất của hệ thống thuận tiện, LTL đã được phát triển. Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa của LTL [4]. 3.1. Ngữ pháp Các biểu thức trong LTL được xây dựng dựa trên các luật sau: ϕ ::= > | p | ϕ ∨ ϕ | ¬ϕ | Xϕ | ϕUϕ với • p là một mệnh đề cơ bản trong AP và • X and U là những liên kết với thì và lần lượt được gọi tiếp theo và tới khi. Các liên kết khác được định nghĩa tương tự như trong luận lý cổ điển. Ngoài ra, chúng ta có thể định nghĩa thêm hai liên kết sau một lúc F và luôn luôn G như sau Fϕ = >Uϕ Gϕ = ¬F¬ϕ 52 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 3.2. Ngữ nghĩa Theo ngữ nghĩa tự nhiên, các liên kết X, U, F và G có thể hiểu như sau: • Xϕ: ϕ sẽ đúng tại trạng thái kế tiếp, • ϕ1Uϕ2: nếu ϕ2 đúng tại một thời điểm nào đó thì ϕ1 sẽ đúng từ trạng thái hiện tại cho tới trạng thái ở thời điểm đó, • Fϕ: ϕ sẽ đúng trong một thời điểm nào đó ở tương lai, và • Gϕ: ϕ luôn luông đúng. Chính xác hơn, giá trị của mệnh đề ϕ trong LTL sẽ được xác định dựa trên một cấu trúc Kripke và một đường đi K, π (π là một đường đi trên K như sau: • K, π > luôn luôn đúng, • K, π ⊥ luôn luôn sai, • K, π p khi và chỉ khi p ∈ L(π0), nói cách khác, một mệnh đề cơ bản p chỉ đúng trên K, π khi và chỉ khi hàm gán nhãn L gắn p với phần tử đầu tiên π (0) của đường đi π, • K, π ¬ϕ khi và chỉ khi if M, π 2 ϕ. • K, π ϕ ∨ ψ khi và chỉ khi K, π ϕ ∨ K, π ψ • K, π Xϕ khi và chỉ khi K, π (1) Xϕ • K, π ϕUψ khi và chỉ khi ∃i.(K, π (i) ψ) ∧ (∀j < i.(K, π (j) ϕ)) • K, π Fϕ khi và chỉ khi ∃i.K, π (i) ϕ • K, π Gϕ khi và chỉ khi ∀i.K, π (i) ϕ 4. Ứng dụng của LTL 4.1. Mô tả tính chất của chương trình máy tính Dễ thấy rằng LTL không thể mô tả mọi tính chất của hệ thống. Tuy nhiên, rất may mắn rằng LTL đủ hữu dụng để mô tả hai lớp tính chất quan trọng của chương trình máy tính [2, 4]: • Tính an toàn: những điều xấu không bao giờ xảy ra trong suốt quá trình chạy của chương trình, • Tính sống sót: những điều tốt sau một lúc sẽ xảy ra. Những trạng thái vi phạm một tính chất mong đợi nào đó được gọi là những trạng thái xấu. Ví dụ 4.1, 4.3 và 4.2 mô tả cách dùng LTL để biểu diễn một số tính chất của chương trình. Hai ví dụ đầu tiên là tính an toàn và ví dụ thứ ba là tính sống sót. Ví dụ 4.1 Hai chương trình A and B không thể cùng ở trong trạng thái quan trọng (critical) cùng lúc. G (¬inCSA ∨ ¬inCSB) Ví dụ 4.2 Đèn giao thông không thể từ màu xanh chuyển sang màu đỏ ngay lập tức. G (green ⇒ ¬Xred) Ví dụ 4.3 Đèn giao thông sẽ chuyển sang màu xanh vô hạn lần. GFxanh 53 4.2. Kiểm lỗi hệ thống Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Dựa trên phương pháp biểu diễn hệ thống bằng các công thức luận lý với thì, các nhà khoa học máy tính đã phát triển phương pháp tự động kiểm lỗi của hệ thống dựa trên mô hình (model checking). Hiện tại, những nền tảng hỗ trợ viết đặc tả và kiểm lỗi tự động như TLA+, Spin, nuSMV. . . đều cho phép người dùng sử dụng LTL [3, 4, 1]. Chúng ta sẽ bàn tới phương pháp và nền tảng này ở phần sau. Tài liệu [1] Alessandro Cimatti, Edmund Clarke, Enrico Giunchiglia, Fausto Giunchiglia, Marco Pistore, Marco Roveri, Roberto Sebastiani, and Armando Tacchella. Nusmv 2: An opensource tool for symbolic model checking. In International Conference on Computer Aided Verification, pages 359–364. Springer, 2002. [2] Edmund M Clarke, Orna Grumberg, and Doron Peled. Model checking. MIT press, 1999. [3] Gerard J Holzmann. The model checker spin. IEEE Transactions on software engineering, 23(5):279, 1997. [4] Leslie Lamport. Specifying systems: the TLA+ language and tools for hardware and software engineers. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2002. 54 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Henry Tran Wayne State University, Michigan, USA LỜI BAN BIÊN TẬP Bài viết của tác giả Henry Tran có nguyên bản là tiếng Anh, có ba phần chính gồm: • Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Parabolic. • Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Hyperbolic. • Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Elliptic. Chúng tôi đã tiến hành dịch, biên tập và sẽ trích đăng lần lượt trong các số báo của Epsilon, mở đầu là Parabolic. 1. Giới thiệu Chúng ta sử dụng phương trình đạo hàm riêng (Partial Differential Equations, ký hiệu là PDEs) để biểu diễn cho nhiều hiện tượng vật lý trong thực tế, trong toán học và trong vật lý lý thuyết. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào phương trình đạo hàm riêng trên phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Poisson, phương trình Helmholtz, v.v. Thông thường, với mỗi dạng phương trình đạo hàm riêng, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng với các điều kiện biên cho trước, và các sai số, độ hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được và nghiệm chính xác. Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng hai phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) là: phương pháp tường minh (Explicit method) và một phương pháp khác cao cấp hơn là phương pháp Crank-Nicolson (viết tắt là CNM). Chúng ta sẽ dùng một dạng đơn giản nhất của bài toán PDFs dạng Parabol, đó là phương trình truyền nhiệt. Chúng ta sẽ dùng phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình sóng trong bài toán PDEs dạng Hyperbolic. Cuối cùng là phương trình Helmholtz trong bài toán PDEs dạng Elliptic để xem xét tính ổn định và hội tụ của nghiệm. 55 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Thông qua việc biểu diễn đồ họa của các phương trình đã nêu và tính toán bằng phần mềm lập trình cho toán ứng dụng MATLAB trong không gian hai chiều và ba chiều, chúng ta sẽ so sánh được các phương pháp ở các khía cạnh nhất định. Hơn nữa, dựa vào các giá trị khác nhau của các bước không gian h và các bước thời gian k, cũng như các điều kiện biên, chúng ta có thể xác định được tính ổn định, tính hội tụ của các nghiệm qua các dạng của bài toán PDEs. Chúng ta sẽ lập trình với phần mềm MATLAB để hỗ trợ trong việc tính toán và biểu diễn các nghiệm trong bài toán PDEs bằng các đồ thị. MATLAB phiên bản 14 là một công cụ mạnh cho toán ứng dụng, nó còn chứa các công thức, bảng công cụ dành cho phương trình đạo hàm riêng. Trong tính toán chúng ta sẽ lập trình cho các bài toán PDEs bằng các câu lệnh trong MATLAB qua việc sử dụng các hàm tính toán. Cuối cùng, thông qua các sự so sánh, chúng ta cũng biểu diễn được tính ứng dụng của các phương pháp sai phân hữu hạn trong mỗi vấn đề, nêu được các kết quả tuỳ thuộc vào tính ổn định và tính hội tụ. 2. Các bài toán dạng Parabolic 2.1. Phương trình đạo hàm riêng dạng Parabolic Một phương trình đạo hàm riêng bậc hai có dạng a∂2u ∂x2+ 2b∂2u ∂xy + c∂2u ∂y2+ d∂u ∂x + e∂u ∂y + f = 0 được gọi là bài toán Parabolic nếu như ma trận M = thỏa mãn điều kiện det (M) = ac − b2 = 0. a b b c Từ phương trình trên, ta có thể viết ra dạng đơn giản nhất của PDEs trong bài toán Parabolic của không gian 1 chiều, còn gọi là phương trình truyền nhiệt: ∂t = a∂2u ∂u ∂x2 trong đó 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T, x = i∆x, t = j∆t, i = 1, n, j = 1, m. Với 56 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 • L: Độ dài cho trước. • T: Thời gian cho trước. • ∆x: Bước độ dài. • ∆t: Bước thời gian. Chúng ta có hai điều kiện biên là u (0, t) = b và u (L, t) = c. 2.2. Phương pháp tường minh (Explicit method) 2.2.1. Phương pháp tường minh sử dụng công thức Xét phương trình ∂t = a∂2u ∂u ∂x2 Chúng ta sẽ bắt đầu với định lý Taylor theo biến h trong công thức tổng quát f (x + h, y) = Xn k!hk +f(n+1) (ξ, y) f(k)(x, y) k=0 (n + 1)! hn+1 với ξ ∈ (x, x + h). Do đó, hàm số f có dạng f (x + h, y) = f (x, y) + hfx (x, y) + 12h2f00 (ξ, y) có thể đưa về dạng fx (x, y) = 1h[f (x + h, y) − f (x, y)] −12hf00 (ξ, y) 57 hoặc xấp xỉ thành Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 fx (x, y) ≈1h[f (x + h, y) − f (x, y)] . Tương tự, ta cũng có các kết quả sau f (x − h, y) = f (x, y) − hfx (x, y) + 12h2fxx (x, y) −13!h3f000 (ξ) và f (x + h, y) = f (x, y) + hfx (x, y) + 12h2fxx (x, y) + 13!h3f000 (ξ). Cộng từng vế các đẳng thức, ta có biểu thức của fxx (x, y) là fxx (x, y) = 1h2[f (x + h · y) − 2f (x, y) + f (x − h, y)] . Tiếp theo, ta có phương trình đạo hàm riêng với số bước độ dài h trong không gian và giá trị k theo thời gian là uxx (x, t) = ∂2u (x, t) ∂x2=1h2[u (x + h, t) − 2u (x, t) + u (x − h, t)] và Suy ra1 ut =∂u (x, t) ∂t =1k[u (x, t + k) − u (x, t)] . h2[u (x + h, t) − 2u (x, t) + u (x − h, t)] = 1k[u (x, t + k) − u (x, t)] (1) với các điều kiện • a = 1. • h là độ dài của mỗi bước không gian (space steps). • k là giá trị của mỗi bước thời gian (time steps). Hình minh họa bên dưới biểu diễn bốn điểm của phương trình (1) ở trên 58 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Phương trình (1) còn có thể viết thành dạng u (x, t + k) = σ u (x + h, t) + (1 − 2σ) u (x, t) + σ u (x − h, t) (2) trong đó σ =kh2. Chúng ta có điều kiện ổn định cho bài toán dạng Parabolic là: σ =kh2 ≤12. 2.2.2. Công thức tường minh theo dạng ma trận Chúng ta sử dụng phương trình (1) với bốn điểm như sau: u (x, t + k) = σ u (x + h, t) + (1 − 2σ) u (x, t) + σ u (x − h, t). Bằng cách viết uj = [u0j, u1j, u2j, . . . , unj ]Tthì phương trình (2) có thể đưa về dạng với các giá trị i, j cho hàm u như sau: ui,j+1 = σ ui+1,j + (1 − 2σ) ui,j + σ ui−1,j . trong đó u (xi, tj ) = uij = u (idx, jdt) và i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m. Bây giờ chúng ta sẽ viết phương trình (2) thành dạng ma trận là: uj+1 = Auj trong đó A =   1 − 2σ σ 0 · · · · · · 0   σ 1 − 2σ σ 0 σ 1 − 2σ...... ... σ......... ......... σ... ... 1 − 2σ σ 0 ... σ 1 − 2σ σ 0 · · · · · · 0 σ 1 − 2σ 59 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 2.2.3. Phương trình truyền nhiệt: bài toán mẫu và lập trình tính toán Xét hệ sau  ∂2 ∂x2 u (x, t) = ∂∂tu (x, t) u (0, t) = u (1, t) = 0 u (x, 0) = sin πx trong đó 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1. Chúng ta được phương trình vi phân với các tham số h, k là h2[u (x + h, t) − 2u (x, t) + u (x + h, t)] = 1k[u (x, t + k) − u (x, t)] 1 ⇔ u (x, t + k) = σ u (x + h, t) + (1 − 2σ) u (x, t) + σ u (x − h, t) Điều kiện ổn định ở đây là σ =kh2 ≤12. 2.2.4. Ví dụ và lập trình tính toán Xét ví dụ sau  ∂2 ∂x2 u (x, t) = ∂∂tu (x, t) u (0, t) = u (1, t) = 0 u (x, 0) = sin πx Chọn L = 1, T = 0.25, h = dx =Lnx=124; k = dt =Tnt=0.25 210 trong đó • ntlà số bước thời gian. • nx là số bước độ dài. • dt là giá trị của bước mỗi thời gian. • dx là độ dài của mỗi bước không gian. 60 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Chúng ta sẽ áp dụng công thức tường minh để giải phương trình truyền nhiệt bởi σ =kh2=dt dx2. Nghiệm gần đúng được tính bởi công thức u (x, t + k) = σ u (x + h, t) + (1 − 2σ) u (x, t) + σ u (x − h, t). Trong khi đó, nghiệm chính xác là uexact (x, t) = e−π2tsin πx. Tiếp theo là lập trình tính toán (xem thêm phần Phụ lục bên dưới). Chúng ta có kết quả của nghiệm gần đúng bởi phương pháp tường minh và nghiệm chính xác tại T = 0.25 trong đồ thị sau. Theo cách hình học, chúng ta sẽ vẽ đồ thị của các nghiệm với các giá trị cố định của k =1nt=1210 và các giá trị khác nhau của h =1nxvới nx = 4, 8, 16, 32 rồi sau đó biểu diễn chúng trên cùng một mặt phẳng hai chiều, ta có 61 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 62 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Đồ thị của nghiệm gần đúng bởi phương pháp tường minh và nghiệm chính xác với h =1nxvới nx = 4, 8, 16, 32 và T = 0.25 63 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Minh họa của nghiệm gần đúng bởi phương pháp tường minh trong không gian 3 chiều Minh họa của nghiệm chính xác trong không gian 3 chiều 2.3. Phương pháp Crank-Nicolson Dựa vào phương trình 1, ta biến đổi lại như sau 1 h2[u (x + h, t) − 2u (x, t) + u (x − h, t)] = 1k[u (x, t) − u (x, t − k)] , trong đó r = 2 + s, s =h2k. Tiếp theo, ta viết nó dưới dạng −u (x − h, t) + ru (x, t) − u (x + h, t) = su (x, t − k). Do đó, ta ký hiệu thành sui,j−1 = −ui−1,j + rui,j − ui+1,j . Bốn điểm biểu diễn của công thức như hình bên dưới 64 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Đặt bi = su (x, t − k), từ phương trình (2), chúng ta viết lại dạng ma trận thành  r −1 0 . . 0  −1 r −1 0 0 . 0 −1 r... 0 . . 0...... −1 0 . 0 0 −1 r −1 0 . . 0 −1 r    u1 u2 u3... un−2 un−1  =  b1 b2 b3... bn−2 bn−1   Phương trình có thể viết thành dạng đơn giản như dưới đây bj = Muj trong đó M =  r−1−1r−1−1r. . 0.. ... .  . 2.3.1. Ví dụ Xét ví dụ sau đây . . 0 . ∂2 ... . ... −1 −1 r −1 −1 r ∂x2 u (x, t) = ∂∂tu (x, t) u (0, t) = u (1, t) = 0  u (x, 0) = sin πx Chọn các tham số 65 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 L = 1, T = 0.25; h = dx =Lnx=124; k = dt =TnT=1210 ; nx = 24 nt = 210 trong đó • ntlà số bước thời gian. • nx là số bước không gian. • dt là giá trị của mỗi bước thời gian. • dx là độ dài của mỗi bước không gian. Ta áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải phương trình truyền nhiệt r = 2 + s, s =h2k, bi = su (x, t − k), −u (x − h, t) + ru (x, t) − u (x + h, t) = su (x, t − k). 2.3.2. Lập trình tính toán. Chúng ta có kết quả của nghiệm gần đúng bởi phương pháp Crank-Nicolson và nghiệm chính xác với T = 0.25 trong đồ thị minh họa. Nghiệm chính xác là uexact (x, t) = e−π2tsin πx. Theo cách hình học, chúng ta sẽ vẽ đồ thị của nghiệm với các giá trị cố định k =1nt=1210 và các giá trị khác nhau của h =1nxvới nx = 4, 8, 16, 32 và mô tả trong các hình minh họa sau 66 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 67 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Minh họa cho nghiệm gần đúng bởi phương pháp Crank-Nicolson từ các giá trị khác nhau của h và nghiệm chính xác. 68 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Minh họa của nghiệm gần đúng bởi phương pháp Crank-Nicolson trong không gian 3 chiều. Minh họa của nghiệm chính xác trong không gian 3 chiều. 69 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 3. Quá trình hội tụ của các nghiệm Ta sẽ so sánh giữa nghiệm chính xác, nghiệm cho bởi phương pháp tường minh và phương pháp. Crank-Nicolson 3.1. Ví dụ Xét ví dụ sau  Nghiệm chính xác là ∂2 ∂x2 u (x, t) = ∂∂tu (x, t) u (0, t) = u (1, t) = 0 u (x, 0) = sin πx uexact (x, t) = e−π2tsin πx, tại T = 0.25. Các điều kiện biên ban đầu là: u (x, 0) = sin πx u (0, t) = 0 u (1, t) = 0 Chúng ta sẽ dùng chuẩn vô hạn (infinity norm) để tìm các sai số của nghiệm: kuexact − uhk∞ ≤ C · hα kuexact − uhk∞ = max 0≤j≤n|(u − uh) (xj )| trong đó • uexact : là nghiệm chính xác. • uh : là các nghiệm gần đúng. • α : là độ hội tụ của nghiệm. Sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác của phương pháp sai phân hữu hạn e = kuexact − uhk∞ = max 0≤j≤n|(u − uh) (xj )| . 70 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 3.2. Độ hội tụ Từ việc tìm ra các sai sốt của nghiệm, ta có thể tìm ra độ hội tụ của nghiệm (α2i ) bởi công thức. Tổng quát, ta có e2i e2(i+1)= h2i h2(i+1) e2i α2i= 12i1 2i+1 α2i = 2α2i α2i = log2 Với i = 2, ta có công thức như sau: e2(i+1) . , trong đó e4 e8= h4 h8 α4 = 1/4 1/8 α4 = 2α4 ⇒ α4 = log2 e4 e8 • e2i , i = 1, n: là sai số giữa các nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác. • α2i : là độ hội tụ của các nghiệm. 3.3. Lập trình tính toán (xem thêm phần Phụ lục bên dưới) Chúng ta có bảng các giá trị hội tụ của các nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác từ hai phương pháp trên là: trong đó: • The errors of the explicit method and the exact solution: các sai số của các nghiệm theo phương pháp tường minh và nghiệm chính xác. 71 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 • The order of the explicit and exact solution: Độ hội tụ của các nghiệm theo phương pháp tường minh và nghiệm chính xác. • The errors of the CN method and the exact solution: các sai số của của các nghiệm theo phương pháp Crank-Nicolson và nghiệm chính xác. • The order of the CN method and the exact solution: Độ hội tụ của các nghiệm theo phương pháp Crank-Nicolson và nghiệm chính xác. 4. Kết luận Trong phần này, chúng ta đã trình bày phương pháp sai phân hữu hạn cho PDEs trong Parabolic với dạng đơn giản nhất, đó là phương trình truyền nhiệt. Bằng cách tính toán và biểu diễn bằng đồ thị theo các giá trị của h và k, chúng ta đã thấy được các giá trị khác nhau cũng như các đồ thị khác nhau của hàm u. Điều này chứng tỏ độ ổn định và độ hội tụ của nghiệm. Hơn nữa, chúng ta cũng có thể áp dụng một dạng khác của phương pháp sai phân hữu hạn, đó là phương pháp Crank- Nicolson để biểu diễn tính ổn định và tính hội tụ của nghiệm (do tính ổn định của phương pháp), và do đó chúng ta có thể sử dụng các giá trị lớn của k. Phần này còn biểu diễn các sai số của nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác trong hai phương pháp (tường minh và Crank-Nicolson) bằng các giá trị khác nhau của h và với giá trị cố định của k. Điều này cũng thể hiện được tính xấp xỉ của nghiệm gần đúng. Xét về mặt giải tích, chúng ta không thể biết được nghiệm chính xác của hai phương pháp sai phân hữu hạn ở trên, quá trình hội tụ trong bảng trên cho biết sai số và độ hội tụ của các nghiệm trong hai phương pháp, mặc dù hai phương pháp này cho các kết quả khác nhau nhưng chúng luôn hội tụ về nghiệm chính xác. Xét về mặt hình học, chúng ta biểu diễn kết quả của ba nghiệm bao gồm nghiệm gần đúng của phương pháp tường minh, phương pháp Crank-Nicolson và nghiệm chính xác trên cùng một đồ thị với các giá trị khác của h. trong không gian 2 chiều. Trong không gian ba chiều, chúng ta đã biểu diễn được hai đồ thị trong mỗi phương pháp và chúng cho ta thấy rõ dáng điệu của hình ảnh các đồ thị của các nghiệm. Phương trình truyền nhiệt được sử dụng trong việc mô phỏng các hiện tượng vật lý và nó cũng thường dùng trong toán tài chính để mô hình hóa các sự lựa chọn. Một ứng dụng nổi tiếng của nó là phương trình vi phân của mô hình định giá Black–Scholes. Hơn thế nữa, phương trình PDE Parabolic có nhiều ứng dụng trong phương trình Diffusion, chuyển động Brownian, phương trình Schrodinger, v.v. ¨ 72 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 5. Phụ lục 5.1. Chương trình MATLAB 1: Phương pháp tường minh và nghiệm chính xác function fdm_para(L,T,nT,nx) % Matlab Program 1 : The explicit method and the exact solution %L = 1.; % Length of space %T = 0.25; % Length of time %Parameters needed to solve the equation within the explicit method %Choose nT= 2^10. Number of time steps dt = T/nT; %dt = 2^(-10); %nx = 2^4; %Choose nx= 2^4. Number of space steps dx = L/nx; %Change with dx = h = 1/4,1/8, . . . s = (dx^2)/dt; r = 2 + s; sigma = dt/(dx^2) %Stability parameter (sigma = <1/2) %Initial temperature of the wire: %initilalize u u = zeros(nx+1,nT+1); u2 = zeros(nx+1,nT+1); x = zeros(nx+1,1); b = zeros(nx+1,1); time = zeros(nT+1,1); for i = 1:nx+1 x(i) = (i-1)*dx; u(i,1) = u0(x(i)); end % Temperature at the boundary (t=0) for k = 1:nT+1 u(1,k) = 0; u(nx+1,k) = 0.; time(k) = (k-1)*dt; end % Implementation of Finite Difference method by matrix form A = zeros(nx-1,nx-1); A(1,1) = 1-2*sigma; A(1,2) = sigma; A(nx-1,nx-2) = sigma; A(nx-1,nx-1) = 1-2*sigma; for i = 2:nx-2 % Matrix form A(i,i) = 1-2*sigma; A(i,i+1) = sigma; A(i,i-1) = sigma; end 73 for k = 1:nT %Time Loop u(2:nx,k+1) = A*u(2:nx,k); end %Implementation of the exact equation for i = 1:nx+1 for k=1:nT+1 u2(i,k) = exact_u(x(i),time(k)); end end Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 %Graphical representation of the temperature at different selected times % Plot explicit method in 2D plot(x,u(:,nT),’-k’,’MarkerFaceColor’,’k’); hold on %Plot the exact solution in 2D plot(x,u2(:,nT),’-b’,’MarkerFaceColor’,’b’); hold on xlabel(’x’) ylabel(’temperature’) legend({’Explicit method’ ’Exact solution’ },’location’,’NE’); title(’The explicitmethod & the exact solution for h=1/32, at T=0.25’) hold off % Plot explicit method in 3D figure mesh(x,time,u’) title(’Temperature within the explicit method for h=1/32,at T=0.25’) xlabel(’x’) ylabel(’time’) zlabel(’Temperature’) %Plot the exact solution in 3D figure mesh(x,time,u2’) title(’Temperature within the exact solutions for h=1/32,at T=0.25’) xlabel(’x’) ylabel(’time’) zlabel(’Temperature’) Nghiệm chính xác function u2 = exact_u(x,t) u2 = exp(-(pi^2)*t)*sin(pi*x); end 74 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Trong đó, chúng ta sử dụng chương trình con để tính : function u = u0(x) % Initial condition u = sin(pi*x); 5.2. Chương trình MATLAB 2: Phương pháp Crank-Nicolson và nghiệm chính xác function cn_para(L,T,nT,nx) %Matlab Program 2 : The Crank-Nicolson method and the exact solutions %L = 1.; % Length of the wire %T = 0.25; % Final time % Parameters needed to solve the equation %Choose nT= 2^10. Number of time steps dt = T/nT; %dt = 2^(-10); nT is fixed 2^10 %nx = 2^4; %Choose nx= 2^4. Number of space steps dx = L/nx; %Change with dx =h = 1/4,1/8, . . . s = (dx^2)/dt; r = 2 + s; % Initial temperature of the wire % Initilalize u u = zeros(nx+1,nT+1); u2 = zeros(nx+1,nT+1); x = zeros(nx+1,1); b = zeros(nx+1,1); time = zeros(nT+1,1); for i = 1:nx+1 x(i) = (i-1)*dx; u(i,1) = u0(x(i)); end %Temperature at the boundary (t=0) for k = 1:nT+1 u(1,k) = 0; u(nx+1,k) = 0.; time(k) = (k-1)*dt; end %Implementation of the exact equation for i = 1:nx+1 for k = 1:nT+1 u2(i,k) = exact_u(x(i),time(k)); end 75 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 end %Implementation of the Crank - Nicolson method by matrix M = zeros(nx-1,nx-1); M(1,1) = r; M(1,2) = -1; M(nx-1,nx-2) = -1; M(nx-1,nx-1) = r; for i = 2:nx-2 M(i,i) = r; M(i,i+1) = -1; M(i,i-1) = -1; end for k = 2:nT+1 %Time Loop u(2:nx,k) = M\(s*u(2:nx,k-1)); error2 = max(abs(u2(2:nx,k) - u(2:nx,k))); end disp(error2); %Graphical representation of the temperature at different selected times figure %Plot the exact solution in 2D plot(x,u2(:,nT),’-k’,’MarkerFaceColor’,’k’); hold on %Plot Crank -Nicolson method in 2D plot(x,u(:,nT),’-r’,’MarkerFaceColor’,’r’); hold off %Plot Crank -Nicolson method in 3D figure mesh(x,time,u’) title(’Temperature within the Crank-Nicolson method for h=1/32,at T=0.25’) xlabel(’x’) ylabel(’time’) zlabel(’Temperature’) %Plot the exact solution in 3D figure mesh(x,time,u2’) title(’Temperature within the exact solutions for h=1/32,at T=0.25’) xlabel(’x’) ylabel(’time’) zlabel(’Temperature’) Nghiệm chính xác function u2 = exact_u(x,t) 76 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 u2 = exp(-(pi^2)*t)*sin(pi*x); end Trong đó, chúng ta sử dụng chương trình con để tính function u = u0(x) % Initial condition u = sin(pi*x); Tài liệu [1] W. Cheney., D. Kincaid. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition. Belmont. CA: Thomson, 582-624. [2] E.K.P. Chong, S.H. Zak., 2001. An Introduction to Optimization, Second edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. [3] R. J. Lopez. 2001. Advanced Engineering Mathematics. Addison Wesley. [4] G.E. Forsythe., W.R.Wasow.1960. Finite Difference Methods for Partial Differential Equa tions. New York: John Wiley & Sons, Inc. [5] G.F.D. Duff., D. Naylor. 1966. Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. [6] G.F.D. Duff., D. Naylor. 1966. Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. [7] R. J. LeVeque.2007. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equa tions. Philadelphia: SIAM. [8] E.D. Rainville., P.E. Bedient., R.E. Bedient. 1997. Elementary Differential Equations, Eight edition. New Jersey: Prentice Hall. Inc. [9] S.C. Chapra., 2012. Applied Numerical Methods with Matlab for Engineers and Scientists, Third edition. New York: McGraw-Hill. [10] P.D.Lax., Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theoryof Shock Waves. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1973. ,Octo ber 8. [11] B.L.Keyfitz., Self-similar solutions of two-dimensional conservation laws. Journal of Hy perbolic Differential Equations, 2004. 77 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 [12] W. Boyce and R.D. Prima., Elementary Differential Equations and Boundary Value Prob lems. John Wiley & Sons Ltd., Hoboken, N.J., Eight edition, 2005. [13] L.C. Evans. , Partial Differential Equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathemat ics. American Mathematical Society, Providence, RI, Second edition, 2010. [14] R. Haberman., Applied Partial Differential Equations. Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, N.J., Fourth edition, 2004. [15] T. Myint-U, L. Debnath., Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engi neers. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, Fourth edition, 2007. [16] F. John., Partial Differential Equations, volume 1 of Applied Mathematica Sciences. Springer-Verlag, New York, Fourth edition, 1982. [17] M. A. Pinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Applica tions. Waveland Press Inc., Prospect Heights, Illinois, Third edition, 2003. [18] I. P. Stavroulakis, S. A. Tersian. Partial Differential Equations. World Scientific Publishing Co. Inc., River Edge, NJ, second edition, 2004. An introduction with Mathematica and MAPLE. [19] W. A. Strauss. Partial Differential Equations. John Wiley & Sons Ltd., Chichester, Second edition, 2008. [20] S.Attaway., MATLAB: A Practical Introduction to Programming and Problem Solving, Elsevier Science, Burlington, MA, 2009. [21] D. Hanselma , B. Littlefield., Mastering MATLAB 7, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2005. [22] C. B. Moler., Numerical Computing with MATLAB, SIAM, Philadelphia, 2004. [23] W. J. Palm, A Concise Introduction to MATLAB, McGraw-Hill, New York, 2007. 78 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TOÁN OLYMPIC Kiều Đình Minh (Trường THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ) GIỚI THIỆU Giải tích là một ngành toán học rộng lớn và có nhiều ứng dụng mạnh mẽ. Trong chương trình trung học phổ thông chúng ta mới chỉ làm quen với phần mở đầu của giải tích thực. Tuy nhiên việc vận dụng một số kiến thức ít ỏi đó vào giải các bài toán thi Olympic cũng thật thú vị và hiệu quả. Trong bài viết này chúng tôi chủ yếu tập trung khai thác định nghĩa của giới hạn dãy, giới hạn hàm trong việc giải quyết các bài toán về dãy số và số học. Các bài toán ứng dụng đạo hàm đã quá quen thuộc, các bài toán về phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức cũng đã được nêu nhiều trong các tài liệu mà vì thế không được nhắc lại ở đây. 1. Các bài toán đại số Ví dụ 1. Cho dãy số .an/;.bn/ xác định bởi an D ln 2n2 C 1 ln n2 C n C 1 ; n D 1; 2; : : : bn D ln 2n2 C 1 C ln n2 C n C 1 ; n D 1; 2; : : : a) Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số n sao cho fang <12: b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số n sao cho fbng <1 2016 : Lời giải. a) Dễ thấy 1 62n2C1 n2CnC1 < 2;8n D 1; 2; : : : Từ đó suy ra 0 6 an < ln 2 < 1 và Œan D 0: Với kết quả này, ta có fang D an và lim fang D lim an D lim ln2n2 C 1 n2 C n C 1D ln 2: Do đó tồn tại n0 2 N để fang > ln 21 1992 ;8n > n0: Bây giờ nếu có vô hạn số n để fang <12; ta chọn n1 > n0 là một trong các số đó. Khi đó, theo các lý luận ở trên, ta có 2> fan1g > ln 2 1 1 1992)1 1992> ln 2 12: 79 Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016 Mâu thuẫn này cho ta kết quả cần chứng minh. b) Dễ thấy .bn/ tăng và lim bn D C1: Ngoài ra ta cũng có 2n2 C 1 n2 C n C 1 lim .bn bn1/ D lim ln .2n2 4n C 3/ .n2 n C 1/D 0: Trở lại bài toán, giả sử tồn tại hữu hạn n để fbng <1 fbng >1 2016 ; với mọi n > n0: 2016 : Khi đó, ta thấy tồn tại n0 2 N để Do lim .bn bn1/ D 0 nên tồn tại n1 2 N đủ lớn để bn bn1 <1 2016 ; với mọi n > n1: Vì .bn/ tăng và dần về vô hạn nên ta thấy tồn tại vô số các số n > max fn0; n1g để ŒbnŒbn1 D 1: Xét các số n như thế, từ bất đẳng thức ở trên, ta suy ra Œbn Œbn1 C fbng fbn1g <1 2016; 2016 : Do fbng >1 hay fbn1g > fbng C 2015 phải chứng minh. 2016 ;nên fbn1g > 1: Mâu thuẫn nhận được cho ta điều Nhận xét. Bài toán trên thể hiện sự vận dụng sâu sắc định nghĩa của giới hạn dãy. Mấu chốt của n!C1.˛bn bn1/; giới hạn này còn gặp nhiều trong các ý b) là phát hiện ra giới hạn dạng lim bài toán khác. Ví dụ 2. Giả sử 0 < ˛ 6 2 và a1; a2; : : : ; là dãy các số thực dương thỏa mãn a˛n > an1 C an2 C C a1;8n > 2: Chứng minh rằng có một số thực c sao cho an > nc;8n > 1: Lời giải. Ta có an > a1=˛ 1;8n > 2: Do đó a˛n > .n 2/ a1=˛ Do đó, tồn tại n0 sao cho an > 1;8n > n0: 1 C a1;8n > 2: Vậy an ! C1: n Lấy c D min 4; a1;a22; : : : ;an0 1 n0 o : Xét bất đẳng thức an > cn; 8n > 1: (1) Rõ ràng (1) đúng với mọi n 6 n0. Xét n > n0: Giả sử (1) đúng với mọi k 6 n: Ta chứng minh (1) cũng đúng cho k D n C 1: Thật vậy do n 2.nC1/ >14 > c; cho nên a2nC1 > a˛nC1 > an C C a1 >n .n C 1/ 2c > .n C 1/2c2: Suy ra anC1 > .n C 1/ c: Ví dụ 3. Cho a0 < a1 < a2 < là một dãy vô hạn số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất n > 1 sao cho an