🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tài Liệu Tự Học Toán 8
Ebooks
Nhóm Zalo
NGUYỄN CHÍN EM
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 8
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 MỤC LỤC
PHẦN I Đại số 1
CHƯƠNG 1 Phép nhân và phép chia đa thức 3
1 Nhân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 A Lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 A Lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 A Tóm tắt lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 B Phân loại các dạng toán và phương pháp giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 C Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Chia đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 A Tóm tắt lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 B Phân loại các dạng toán và phương pháp giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 C Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
CHƯƠNG 2 Phân thức đại số 47
1 Tính chất cơ bản của phân thức, rút gọn phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A Tóm tắt lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 B Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Các phép tính về phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 C Bài tập tự luện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 B Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 C Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 D Phương pháp xét giá trị riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 E Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Tính chia hết của số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A Chứng minh quan hệ chia hết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 B Tìm số dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 C Tìm điều kiện để chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 D Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang i/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
5 Tính chia hết đối với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B Sơ đồ Hoóc-ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 C Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 D Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
CHƯƠNG 3 Phương trình bậc nhất một ẩn 121
1 Khái niệm về phương trình. Phương trình bậc nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 B Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
CHƯƠNG 4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 155
1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 Bất phương trình tích. Bất phương trình thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 A Các tính chất của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 B Các hằng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 C Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 D Bất đẳng thức với số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 E Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 D Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 A Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 B Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến. . . . . . . . . . . . . . 210
C Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 D Các chú ý khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức . . . . . . . . . . 214 E Bài toán cực trị với số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang ii/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 PHẦN II Hình học 235
CHƯƠNG 1 Tứ giác 237
1 Tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2 Hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3 Dựng hình bằng thước và compa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 A Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4 Đối xứng trục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 C Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 5 Hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 C Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 6 Đối xứng tâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 A Lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7 Hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 A Lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8 Hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 9 Hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
CHƯƠNG 2 Đa giác. Diện tích đa giác 295
1 Đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
2 Diện tích của đa giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang iii/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
CHƯƠNG 3 Chuyên đề 321
1 Tìm tập hợp điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 A Hai tập hợp bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 B Các tập hợp điểm đã học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 C Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 D Thứ tự nghiên cứu và trình bày lời giải bài toán tìm tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . 324 E Phân chia các trường hợp trong bài toán tìm tập hợp điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 F Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
2 Sử dụng công thức diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng . . . . . . . . . . 338 A Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
CHƯƠNG 4 Tam giác đồng dạng 347
1 Định lý Ta-lét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 A Lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
2 Định lý Ta-lét đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 B Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
3 Tính chất đường phân giác của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 B Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Dạng 1. Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 Dạng 2. Trường hợp cạnh - góc - cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Dạng 3. Trường hợp góc - góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Dạng 4. Phối hợp các trường hợp cạnh - góc - cạnh và góc - góc . . . . . . . . . . . . . . . 396 Dạng 5. Dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 A Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Dạng 1. Hai tam giác vuông đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 B Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . 409 C Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
CHƯƠNG 5 Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều 419
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang iv/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 Hình hộp chữ nhật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Dạng 1. Hình hộp chữ nhật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 Dạng 2. Diện tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Dạng 3. Thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 Dạng 4. Các dạng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
CHƯƠNG 6 Đường thẳng và mặt phẳng trongkhông gian. Quan hệ song song 431
1 Hình lăng trụ đứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
2 Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 B Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 C Tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
3 Toán cực trị hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 A Bài toán cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 B Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 C Các chú ý khi giải toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang v/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
PHẦN
I
ĐẠI SỐ
Sưu tầm & biên soạn
Trang 1/477 GeoGebraPro
Th.s Nguyễn Chín Em
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 Sưu tầm & biên soạn
Trang 2/477 GeoGebraPro
Th.s Nguyễn Chín Em
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
CHƯƠNG
1 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC BÀI 1 NHÂN ĐA THỨC
A LÝ THUYẾT
VÍ DỤ 1. Tính giá trị của biểu thức A = x4 − 17x3 + 17x2 − 17x + 20 tại x = 16.
✍ LỜI GIẢI.
Cách 1 Chú ý rằng x = 16 nên x − 16 = 0, do đó ta biến đổi để biểu thức chứa nhiều biểu thức dạng x − 16.
A = x4 − 16x3 − x3 + 16x2 + x2 − 16x − x + 16 + 4
= x3(x − 16) − x2(x − 16) + x(x − 16) − (x − 16) + 4
= 4.
Cách 2 Trong biểu thức A, ta thay các số 17 bởi x + 1, còn 20 bởi x + 4.
A = x4 − x3(x + 1) + x2(x + 1) − x(x + 1) + x + 4
= x4 − x4 − x3 + x3 + x2 − x2 − x + x + 4
= 4.
VÍ DỤ 2. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy, ta được 242.
✍ LỜI GIẢI.
Coi x − 1, x, x + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có
x(x − 1) + x(x + 1) + (x − 1)(x + 1) = 242 ⇔ 3x2 − 1 = 242 ⇔ x2 = 81.
Do x là số tự nhiên nên x = 9. Ba số tự nhiên cần tìm là 8; 9; 10.
B BÀI TẬP
1. Nhân đơn thức với đa thức
BÀI 1. Thực hiện phép tính
1 3xn· (6xn−3 + 1) − 2xn· (9xn−3 − 1).
2 5n+1 − 4.5n.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 3/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
3 62· 64 − 43· (36 − 1).
✍ LỜI GIẢI.
1 3xn(6xn−3 + 1) − 2xn(9xn−3 − 1) = 18x2n−3 + 3xn − 18x2n−3 + 2xn = 5xn. 2 5n+1 − 4.5n = 5.5n − 4.5n = 5n.
3 62· 64 − 43(36 − 1) = (3.2)6 − (22)3(36 − 1) = 36· 26 − 26· 36 + 26 = 26.
BÀI 2. Tìm x, biết
1 4(18 − 5x) − 12(3x − 7) = 15(2x − 16) − 6(x + 14).
2 5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 1.
3 2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 11.
4 5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 182.
✍ LỜI GIẢI.
1
4(18 − 5x) − 12(3x − 7) = 15(2x − 16) − 6(x + 14)
72 − 20x − 36x + 84 = 30x − 240 − 6x − 84
156 − 56x = 24x − 324
156 + 324 = 24x + 56x
80x = 480
x = 6.
2
5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 1
15x + 25 − 8x + 12 = 5x + 6x + 36 + 1
7x + 37 = 11x + 37
4x = 0
x = 0.
3
2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 11
10x − 16 − 12x + 15 = 12x − 16 + 11
−2x − 1 = 12x − 5
5 − 1 = 12x + 2x
14x = 4
x =27.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 4/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
4
5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 182
5x − 3[4x − 2(4x − 15x + 6)] = 182
5x − 3[4x − 2(−11x + 6)] = 182
5x − 3[4x + 22x − 12] = 182
5x − 78x + 36 = 182
−73x = 182 − 36
x = −2.
BÀI 3. Tính giá trị của các biểu thức
1 A = x3 − 30x2 − 31x + 1 tại x = 31.
2 B = x5 − 15x4 + 16x3 − 29x2 + 13x tại x = 14.
3 C = x14 − 10x13 + 10x12 − 10x11 + · · · + 10x2 − 10x + 10 tại x = 9.
✍ LỜI GIẢI.
1 Vì x = 31 nên x − 31 = 0 do đó ta biến đổi
A = x3 − 30x2 − 31x + 1
= x3 + x2 − 31x2 − 31x + 1
= x2(x − 31) + x(x − 31) + 1 = 1.
2 Vì x = 14 nên x − 14 = 0 do đó ta biến đổi
B = x5 − 15x4 + 16x3 − 29x2 + 13x
= x5 − 14x4 − x4 + 14x3 + 2x3 − 28x2 − x2 + 14x − x
= x4(x − 14) − x3(14 − x) + 2x2(x − 14) + x(14 − x) − x
= −x = −14.
3 Trong biểu thức C, ta thay các số 10 bởi x + 1.
C = x14 − (x + 1)x13 + (x + 1)x12 − (x + 1)x11 + · · · + (x + 1)x2 − (x + 1)x + (x + 1) = x14 − x14 − x13 + x13 + x12 − x12 − x11 + · · · − x2 − x + x + 1
= 1.
BÀI 4. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thay số bởi chữ một cách hợp lý A = 21315·1651−1105· 3650
651−4
315 · 651+4105
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 5/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 A = 21315·1651−1105· 3650
651−4
=2.315 + 1
315 · 651+4105
Å
=
315·1651−3315·3.651 + 650
651−4
315 · 651+4.3
315
2 +1315ã·1615− 31315 Å4 −1651ã− 4 ·1315·1651+ 12 ·1315
Đặt
a =1315 b =1651.
Khi đó biểu thức có dạng
A = (2 + a) b − 3a (4 − b) − 4ab + 12a
= 2b + ab − 12a + 3ab − 4ab + 12a
= 2b =2651.
2. Nhân đa thức với đa thức
BÀI 5. Thực hiện phép tính
1 A = (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).
2 B = (x + 1)(x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1).
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
A = (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
= (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x) − (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
= x6 − 1.
2 Ta có
B = (x + 1)(x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1)
= (x7 − x6 + x5 − x4 + x3 − x2 + x) + (x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1)
= x7 + 1.
BÀI 6. Tìm x, biết
1 (x + 2)(x + 3) − (x − 2)(x + 5) = 6.
2 (3x + 2)(2x + 9) − (x + 2)(6x + 1) = (x + 1) − (x − 6).
3 3(2x − 1)(3x − 1) − (2x − 3)(9x − 1) = 0
✍ LỜI GIẢI.
1
(x + 2)(x + 3) − (x − 2)(x + 5) = 6
(x2 + 5x + 6) − (x2 + 3x − 10) = 6
2x + 16 = 6
2x = −10
x = −5.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 6/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 2
(3x + 2)(2x + 9) − (x + 2)(6x + 1) = (x + 1) − (x − 6)
(6x2 + 31x + 18) − (6x2 + 13x + 2) = 7
18x + 16 = 7
18x = −9
x = −12.
3
3(2x − 1)(3x − 1) − (2x − 3)(9x − 1) = 0
3(6x2 − 5x + 1) − (18x2 − 29x − 3) = 0
(18x2 − 15x + 3) − (18x2 − 29x − 3) = 0
14x = 0
x = 0.
BÀI 7. Cho a+b+c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c + a)(c + b).
✍ LỜI GIẢI.
Vì a + b + c = 0 ⇒ Do đó
a + c = −b b + c = −a a + b = −c.
M = a(a + b)(a + c) = a(−c)(−b) = abc (1).
N = b(b + c)(b + a) = b(−a)(−c) = abc (2).
P = c(c + a)(c + b) = c(−b)(−a) = abc (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra M = N = P.
BÀI 8. Chứng minh rằng các hằng đằng thức
1 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
2 (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.
✍ LỜI GIẢI.
Thực hiện phép toán nhân đa thức biến đổi VT thành VP. BÀI 9. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh hứng hằng đẳng thức
2bc + b2 + c2 − a2 = 4p(p − a).
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 7/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Ta có 4p(p − a) = 2p · (2p − 2a)
= (a + b + c)(a + b + c − 2a)
= (a + b + c)(b + c − a)
= (b + c)2 − a2
= 2bc + b2 + c2 − a2.
BÀI 10. Xét các ví dụ 53 · 57 = 32021, 72 · 78 = 5616.
Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số có hai chữ số, trong đó các chữ số hàng chục bằng nhau, còn chữ số hàng đơn vị có tổng bằng 10.
✍ LỜI GIẢI.
Ta xét hai số ab và ac thỏa mãn b + c = 10. Khi đó
(10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc
= 100a2 + 10a(b + c) + bc
= 100a2 + 100a + bc
= 100a(a + 1) + bc.
Quy tắc: Nhân chữ số hàng chục với chữ số hàng chục thêm 1 rồi viết vào sau tích đó tích của hai chữ số đơn vị (tích này viết bằng hai chữ số ).
BÀI 11. Cho biểu thức M = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) + x2. Tính M theo a, b, c biết rằng x =12a +12b +12c.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có M = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) + x2
= (x2 − ax − bx + ab) + (x2 − bx − cx + bc) + (x2 − ax − cx + ac) + x2
= 4x2 − 2x(a + b + c) + (ab + bc + ac) (1).
Theo giả thiết x =12a +12b +12c ⇔ 2x = a + b + c.
Do đó thay vào (1) ta được M = 4x2 − 4x2 + ab + bc + ac = ab + bc + ac. BÀI 12. cho dãy số 1, 3, 6, 10, 15, · · · ,n(n + 1)
dãy bao giờ cũng là số chính phương. ✍ LỜI GIẢI.
2, · · · . Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của
Xét dãy số có số hạng tổng quát un =n(n + 1) 2
Theo giả thiết un−1 + un =(n − 1)n
2=n2 − n + n2 + n
2+n(n + 1)
2= n2.
Vậy tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.
BÀI 13. cho a gồm 31 số 1, số b gồm 38 số 1. Chứng minh rằng ab − 2 chia hết cho 3. ✍ LỜI GIẢI.
Vì a gồm 31 số 1 nên số a chia cho 3 dư 1.
vì b gồm 38 số 1 nên số b chia cho 3 dư 2.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 8/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
(a = 3n + 1
Đặt
b = 3m + 2với m, n ∈ Z. Khi đó
ab − 2 = (3n + 1)(3m + 2) − 2
= 9mn + 6n + 3m + 2 − 2
= 3(mn + 2n + m)...3
BÀI 14. Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không?
✍ LỜI GIẢI.
Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn và có số tận cùng là 0, 2, 6. Do đó phần dư của tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 là 0 hoặc 2. (1) Mặt khác 350 + 1 chia cho 3 dư 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra số 350 + 1 không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
BÀI 15.
1 Thực hiện phép tính A = (29 + 27 + 1)(223 − 221 + 219 − 217 + 214 − 210 + 29 − 27 + 1). 2 Số 232 + 1 có là số nguyên tố không?
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
A = (29 + 27 + 1)(223 − 221 + 219 − 217 + 214 − 210 + 29 − 27 + 1)
= 232 +223 + 223 − 224 +218 − 217 − 217 +29 + 29 − 210 + 1
= 232 + 2.223 − 224 +218 − 2.217 +2.29 − 210 + 1
= 232 + 1.
2 Vì
232 + 1 ...(29 + 27 + 1)
232 + 1 ...(223 − 221 + 219 − 217 + 214 − 210 + 29 − 27 + 1).
nên (232 + 1) không là số nguyên tố.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 9/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A LÝ THUYẾT
Thực hiện phép nhân đa thức, ta được các hằng đẳng thức đáng nhớ sau
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.
3. (a + b)(a − b) = a2 − b2.
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).
5. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 + b63 − 3ab(a − b).
6. (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 − b3.
7. (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3.
Ta cũng có
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
Tổng quát của các công thức 3 và 7, ta có hằng đẳng thức
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 − · · · − abn−2 + bn−1) với mọi số lẻ n.
Tổng quát của các hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có công thức newton. (xem chuyên đề Tính chia hết đối với số nguyên).
VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có 3599 = 3600 − 1 = 602 − 12 = (60 + 1)(60 − 1) = 61.59
VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2 = x2 + 2(x2 + 2x + 1) + 3(x2 + 4x + 4) + 4(x2 + 6x + 9) = x2 + 2x2 + 4x + 2 + 3x2 + 12x + 12 + 4x2 + 24x + 36
= 10x2 + 40x + 50
= (x2 + 10x + 25)(9x2 + 30x + 25)
= (x + 5)2 + (3x + 5)2.
VÍ DỤ 3. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Chứng minh rằng x = y = z. ✍ LỜI GIẢI.
Ta có (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ⇔ 0 = x2 + y2 + z2 ⇒ x = y = z(= 0).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 10/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
VÍ DỤ 4.
1 Tính A = −12 + 22 − 32 + 42 − · · · − 992 + 1002.
2 Tính A = −12 + 22 − 32 + 42 − · · · + (−1)n.n2.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
A = −12 + 22 − 32 + 42 − · · · − 992 + 1002
= (22 − 12) + (42 − 32) + · · · + (1002 − 992)
= 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 99 + 100
=100 · · · 101
2= 5050.
2 Xét hai trường hợp
• Nếu n là chẵn thì A = (22 − 12) + (42 − 32) + · · · + (1002 − 992)
= 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + (n − 1) + n
=n(n + 1)
2.
• Nếu n là lẻ thì A = (22 − 12) + (42 − 32) + · · · + (1002 − 992)
= 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + (n − 1) −2 n
=n(n − 1)
2− n2
= −n(n + 1)
2
4! Hai kết quả trên có thể viết chung trong một công thức (−1)n·n(n + 1) 2.
VÍ DỤ 5. Cho x + y = a + b (1) x2 + y2 = a2 + b2(2) Chứng minh rằng x3 + y3 = a3 + b3.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) (3) Từ (1) suy ra (x + y)2 = (a + b)2.
Tức là x2 + 2xy + y2 = a2 + 2ab + b2.
Do x2 + y2 = a2 + b2 nên 2xy = 2ab, suy ra xy = ab. (4) Thay các kết quả (1),(2),(4) vào (3), ta được
x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 − xy) = (a + b)(a2 + b2 − ab) = a3 + b3. VÍ DỤ 6. Cho a + b = m, a − b = n. Tính ab và a3 − b3theo m và n.
✍ LỜI GIẢI.
Cách 1. Từ a + b = m, a − b = n, ta tính được b =m − n
2, a =m + n
2=m2 − n2
2·m − n
2.
Do đó ab =m + n
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
4;
Trang 11/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
a3 − b3 =
m + n 2
3− m − n 2
3=(m + n)3 − (m − n)3 8
Rút gọn biểu thức trên, ta được 3m2n + n3
Cách 2. Ta có Ta có
4.
4ab = (a + b)2 − (a − b)2 = m2 − n2nên ab =m2 − n2 4.
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b) (a + b)2 − ab
Å
=n(3m2 + n2)
4=3m2n + n3
= n
4.
1. Bài tập
m2 −m2 − n2 4
ã
BÀI 16. Tính giá trị của các biểu thức.
a) ;4372 − 3632
632 − 472
2152 − 1052
✍ LỜI GIẢI.
1632 − 472
2152 − 1052=(63 − 47)(63 + 47)
b) . 5372 − 4632
(215 − 105)(215 + 105) =16 · 110
110 · 320=120;
24372 − 3632
5372 − 4632=(437 − 363)(437 + 363)
(537 − 463)(537 + 463) =74 · 800
74 · 1000=45.
BÀI 17. So sánh A = 262 − 242 và B = 272 − 252.
✍ LỜI GIẢI.
A = (26 − 24)(26 + 24) và B = (27 − 25)(27 + 25) = (26 − 24)(26 + 24 + 2) > A.
BÀI 18. Tìm x, biết
4(x + 1)2 + (2x − 1)2 − 8(x − 1)(x + 1) = 11.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có 4(x2 + 2x + 1) + (4x2 − 4x + 1) − 8(x2 − 1) − 11 = 0.
Rút gọn ta được 4x + 2 = 0 ⇔ x = −12. BÀI 19. Rút gọn biểu thức:
1 2x(2x − 1)2 − 3x(x + 3)(x − 3) − 4x(x + 1)2;
2 (a − b + c)2 − (b − c)2 + 2ab − 2ac;
3 (3x + 1)2 − 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2;
4 (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1);
5 (a + b − c)2 + (a − b + c)2 − 2(b − c)2;
6 (a + b + c)2 + (a − b − c)2 + (b − c − a)2 + (c − a − b)2;
7 (a + b + c + d)2 + (a + b − c − d)2 + (a + c − b − d)2 + (a + d − b − c)2.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 12/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
1 2x(2x − 1)2 − 3x(x + 3)(x − 3) − 4x(x + 1)2
= 2x(4x2 − 4x + 1) − 3x(x2 − 9) − 4x(x2 + 2x + 1)
= x3 − 16x2 + 25x;
2 (a−b+c)2−(b−c)2+2ab−2ac = (a2+b2+c2+2ac−2ab−2bc)−(b2+c2−2bc)+2ab−2ac = a2; 3 Đặt a = 3x + 5, b = 3x + 1.
Biểu thức đã cho trở thành b2 − 2ba + a2 = (a − b)2 = 42 = 16.
4 Nhân biểu thức đã cho với 3 − 1, ta được 364 − 1.
Giá trị của biểu thức là 12(364 − 1).
5 (a + b − c)2 + (a − b + c)2 − 2(b − c)2
= (a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc) + (a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc) − 2(b2 + c2 − 2bc) = 2a2;
6 (a + b + c)2 + (a − b − c)2 + (b − c − a)2 + (c − a − b)2
= (a2 +b2 +c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc)+ (a2 +b2 +c2 −2ab−2ac+ 2bc)+ (a2 +b2 +c2 −2ab+ 2ac−2bc) = 4(a2 + b2 + c2);
7 (a + b + c + d)2 + (a + b − c − d)2 + (a + c − b − d)2 + (a + d − b − c)2
= [(a + b) + (c + d)]2 + [(a + b) − (c + d)]2 + [(a + c) − (b + d)]2 + [(a + d) − (b + c)]2 = 2(a + b)2 + 2(c + d)2 + (a + c)2 + (b + d)2 + (a + d)2 + (b + c)2 − 2(ad + bc + ac + bd) = 4(a2 + b2 + c2 + d2).
BÀI 20. Cho x + y = 3. Tính giá trị của biểu thức
A = x2 + 2xy + y2 − 4x − 4y + 1.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có A = (x + y)2 − 4(x + y) + 1 = 32 − 4 · 3 + 1 = −2. BÀI 21. Cho a2 + b2 + c2 = m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m.
A = (2a + 2b − c)2 + (2b + 2c − a)2 + (2c + 2a − b)2.
✍ LỜI GIẢI.
Đặt x = a + b + c thì
A = (2x − 3c)2 + (2x − 3b)2 + (2x − 3a)2
= (4x2 − 12xc + 9c2) + (4x2 − 12xb + 9b2) + (4x2 − 12xa + 9a2)
= 12x2 − 12(a + b + c) + 9(a2 + b2 + c2)
= 12x2 − 12x2 + 9m
= 9m.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 13/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 22. Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1. a) 899; b) 9991.
✍ LỜI GIẢI.
1 899 = 900 − 1 = 302 − 12 = (30 − 1)(30 + 1) = 29 · 31;
2 9991 = 10 000 − 9 = 1002 − 32 = (100 − 3)(100 + 3) = 97 · 103.
BÀI 23. Chứng minh rằng hiệu sau đây là một số gồm toàn các chữ số như nhau. 77782 − 22232
✍ LỜI GIẢI.
Ta có 7 7782 − 2 2232 = (7 778 − 2 223)(7 778 + 2 223) = 5 555 · 10 001 = 55 555 555.
BÀI 24. Chứng minh các hằng đẳng thức:
1 (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2;
2 x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca) + (a2 + b2 + c2). (a2 + 2ab + b2) + (b2 + 2bc + c2) + (c2 + 2ca + a2) = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2; 2 Ta có x4 + y4 + (x + y)4 = x4 + y4 + (x2 + y2 + 2xy)2
= 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + x2y2 + 2xy3) = 2(x4 + y4 + 2x2y2 + 2x3y + 2xy3) = 2(x2 + xy + y2)2.
BÀI 25. Cho a2 − b2 = 4c2. Chứng minh hằng đẳng thức
(5a − 3b + 8c)(5a − 3b − 8c) = (3a − 5b)2.
✍ LỜI GIẢI.
(3a − 5b)2 = 9a2 + 25b2 − 30ab = 25a2 + 9b2 − 30ab − 16(a2 − b2)
= (5a)2 + (3b)2 − 2 · (5a)(3b) − 16 · 4c2
= (5a − 3b)2 − (8c)2 = (5a − 3b − 8c)(5a − 3b + 8c).
BÀI 26. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x, y khác 0 thì ax=by. ✍ LỜI GIẢI.
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 ⇔ a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 = a2x2 + b2y2 + 2abxy ⇔ a2y2 − 2abxy + b2x2 = 0
⇔ (ay − bx)2 = 0 ⇔ ay − bx = 0
⇔ax=byvới x, y 6= 0.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 14/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 27. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác 0 thì a
x=by=cz.
✍ LỜI GIẢI.
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
⇔ (a2y2 − 2abxy + b2x2) + (a2z2 − 2acxz + c2x2) + (b2z2 − 2bcyz + c2y2) = 0 ⇔ (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2 = 0
⇔ ay − bx = 0, az − cx = 0, bz − cy = 0
⇒ax=by=czvới x, y, z 6= 0.
BÀI 28. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
(a + b)2 = 2(a2 + b2)
⇔ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2
⇔ 0 = a2 − 2ab + b2
⇔ 0 = (a − b)2
⇔ 0 = a − b
⇔ a = b
BÀI 29. Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau:
1 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca;
2 (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2);
3 (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca).
✍ LỜI GIẢI.
1 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
⇔ (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0
⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
⇔ a − b = 0, b − c = 0, c − a = 0
Suy ra a = b = c.
2 (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2)
⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a2 + 3b2 + 3c2
⇔ ab + bc + ca = a2 + b2 + c2theo câu a) suy ra a = b = c.
3 theo câu b) (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) = 3(ab + bc + ca).
Suy ra a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, theo câu a) a = b = c.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 15/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 30. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương:
1 (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2;
2 2(a − b)(c − b) + 2(b − a)(c − a) + 2(b − c)(a − c).
✍ LỜI GIẢI.
1 (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca) + (a2 + b2 + c2)
= (a2 + 2ab + b2) + (a2 + 2ab + b2) + (b2 + 2bc + c2)
= (a + b)2 + (a + b)2 + (b + c)2;
2 Đặt x = a − b, y = b − c, x = c − a thì biểu thức trở thành
−2xy − 2xz − 2yz = x2 + y2 + z2 − (x + y + z)2 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2.
BÀI 31. Tính giá trị của biểu thức a4 + b4 + c4, biết rằng a + b + c = 0 và:
a2 + b2 + c a) 2 = 2; a2 + b2 + c b) 2 = 1.
✍ LỜI GIẢI.
Theo công thức a4 + b4 + c4 =(a2 + b2 + c2)2
2, ta có
a) = 2; a4 + b4 + c4 =122=12
a4 + b4 + c4 =222
b) .
BÀI 32. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a4 + b4 + c4 bằng mỗi biểu thức:
1 2(a2b2 + b2c2 + c2a2);
2 2(ab + bc + ca)2;
3(a2 + b2 + c2)2
2.
✍ LỜI GIẢI.
1 Bình phương hai vế của a + b + c = 0, được
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 = −2(ab + bc + ca) (1) Bình phương hai vế của (1), được
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
= 4 [a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)]
= 4(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Suy ra a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
2 Bình phương hai vế của (1), được
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(ab + bc + ca)2(2) Từ (2) suy ra 2(ab + bc + ca)2 =a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
2(3)
Từ (3) và câu a) suy ra a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2.
3 Bình phương hai vế của (1), chia cho 2, được
(a2 + b2 + c2)2
2= 2(ab + bc + ca)2 = a4 + b4 + c4. BÀI 33. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến:
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 16/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
9x a) 2 − 6x + 2; x b) 2 + x + 1; 2x c) 2 + 2x + 1.
✍ LỜI GIẢI.
1 9x2 − 6x + 2 = (3x)2 − 2 · 3x + 1 + 1 = (3x − 1)2 + 1 > 0;
2 x2 + x + 1 = x2 + 2 ·12x +14+34=Åx +12ã2+34> 0;
3 2x2 + 2x + 1 = x2 + (x2 + 2x + 1) = x2 + (x + 1)2 > 0.
BÀI 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
A = x a) 2 − 3x + 5; B = (2x − 1)2 + (x + 2)2 b) .
✍ LỜI GIẢI.
1 A = x2 − 3x + 5 = x2 − 2 ·32x +94+114=Åx −32ã2+114>114.
Giá trị nhỏ nhất của là A =114khi x =32.
2 B = (2x − 1)2 + (x + 2)2 = 5x2 + 5 > 5.
Giá trị nhỏ nhất của là B = 5 khi x = 0.
BÀI 35. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
A = 4 − x a) 2 + 2x; B = 4x − x2 b) .
✍ LỜI GIẢI.
1 A = 4 − x2 + 2x = 5 − (x2 − 2x + 1) = 5 − (x − 1)2 6 5.
Giá trị lớn nhất của biểu thức là A = 5 khi x = 1.
2 B = 4x − x2 = 4 − (x2 − 2 · 2x + 2) = 4 − (x − 2)2 6 4.
Giá trị lớn nhất của biểu thức là B = 4 khi x = 2.
BÀI 36. Chứng minh rằng:
1 Nếu p và p2 + 8 là các số nguyên tố thì p2 + 2 cũng là số nguyên tố.
2 Nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố.
✍ LỜI GIẢI.
1 Xét p = 3k + 1, (k nguyên) thì p2 + 8... 3, là hợp số.
Xét p = 3k + 2 thì p2 + 8... 3, là hợp số.
Vậy p = 3k, mà p là số nguyên tố nên p = 3.
Khi đó p2 + 2 = 11, là số nguyên tố.
2 Xét p = 3k + 1, (k nguyên) thì 8p2 + 1... 3, là hợp số.
Xét p = 3k + 2 thì 8p2 + 1... 3, là hợp số.
Vậy p = 3k, mà p là số nguyên tố nên p = 3.
Khi đó 2p + 1 = 7, là số nguyên tố.
BÀI 37. Chứng minh các số sau là hợp số
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 17/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
a) 999991. b) 1000027.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có 999991 = 1000000 − 9 = 10002 − 32 = 1003 · 997 nên là hợp số.
2 Ta có 1000027 = 1003 + 33... 100 + 3 nên là hợp số.
BÀI 38. Thực hiện phép tính:
1 (x − 2)3 − x(x + 1)(x − 1) + 6x(x − 3).
2 (x − 2)(x2 − 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4).
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
A = (x − 2)3 − x(x + 1)(x − 1) + 6x(x − 3)
= x3 − 6x2 + 12x − 8 − x3 + x + 6x2 − 18x = −5x − 8.
2 Ta có
B = (x − 2)(x2 − 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x + 2)(x2 − 2x + 4) · (x − 2)(x2 + 2x + 4) = (x3 + 8)(x3 − 8) = x6 − 64.
BÀI 39. Tìm x biết:
1 (x − 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 − x) = 1.
2 (x + 1)3 − (x − 1)3 − 6(x − 1)2 = −10.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
(x − 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 − x) = 1
⇔ x3 − 33 + x(4 − x2) = 1
⇔ x = 7.
2 Ta có
(x + 1)3 − (x − 1)3 − 6(x − 1)2 = −10
⇔ 6x2 + 2 − 6(x2 − 2x + 1) = −10
⇔ x = −12.
BÀI 40. Rút gọn các biểu thức:
1 (a + b + c)3 − (b + c − a)3 − (a + c − b)3 − (a + b − c)3.
2 (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 − 3(a + b)(b + c)(c + a).
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 18/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 Ta có
(a + b + c)3 − (b + c − a)3 − (a + c − b)3 − (a + b − c)3
= [a + (b + c)]3 − [(b + c) − a]3 − [a − (b − c)]3 − [a − (b − c)]3
= 6(b + c)2a + 2a3 − 2a3 − 6a(b − c)2
= 24abc.
2 Ta có
(a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 − 3(a + b)(b + c)(c + a)
= 2a3 + 2b3 + 2c3 + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c + bc2) − 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c + bc2 + 2ab= 2(a3 + b3 + c3 − 3abc).
BÀI 41. Chứng minh các hằng đẳng thức:
1 (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
2 a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
(a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = [(a + b + c)3 − a3] − [b3 + c3]
= (b + c)[(a + b + c)2 + a(a + b + c) + a2] − (b + c)(b2 − bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(a + b)(b + c)(c + a).
2 Ta có
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 − c(a + b) + c2 − 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
BÀI 42. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc.
✍ LỜI GIẢI.
Từ giả thiết a + b + c = 0 ⇒ c = −(a + b), thay vào đẳng thức cần chứng minh ta được
a3 + b3 − (a + b)3 = −3ab(a + b)
⇔ −3ab2 − 3a2b = −3ab2 − 3a2b
Vậy ta có điều phải chứng minh. BÀI 43. Cho x + y = a và xy = b. tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b. x2 + y2 a) . x3 + y3 b) . x4 + y4
c) . x5 + y5 d) .
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 19/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 Ta có x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = a2 − 2b.
2 Ta có x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = a3 − 3ab.
3 Ta có x4 + y4 = (x2 + y2)2 − 2x2y2 = (a2 − 2b)2 − 2b2 = a4 − 4a2b + 2b2.
4 Ta có
x5 + y5 = (x3 + y3)(x2 + y2) − x2y2(x + y)
= (a3 − 3ab)(a2 − 2b) − b2a = a5 − 2a3b − 3a3b + 6ab2 − ab2
= a5 − 5a3b + 5ab2
BÀI 44. 1 Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy.
2 Cho x − y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 − y3 − 3xy.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có x3 + y3 + 3xy = (x + y)3 − 3xy(x + y) + 3xy = 1 − 3xy + 3xy = 1. 2 Ta có x3 − y3 − 3xy = (x − y)3 + 3xy(x − y) − 3xy = 1 + 3xy − 3xy = 1.
BÀI 45. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b). ✍ LỜI GIẢI.
Ta có
M = (a + b)3 − 3ab(a + b) + 3ab[(a + b)2 − 2ab] + 6a2b2(a + b)
= 1 − 3ab + 3ab − 6a2b2 + 6a2b2 = 1.
BÀI 46.
1 Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
2 Cho x + y = a và x2 + y2 = b. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3theo a, b. ✍ LỜI GIẢI.
1 Từ giả thiết ta có x + y = 2và (x + y)2 − 2xy = 10 suy ra xy = −3 nên x3 + y3 = (x + y)3 −
3xy(x + y) = 26.
2 Từ giả thiết ta có x + y = avà (x + y)2 − 2xy = b suy ra xy =a2 − b
3xy(x + y) = 3ab − a3
2nên x3 + y3 = (x + y)3 −
2.
BÀI 47.
1 Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương. 2 Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương. 3 Nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2cũng là tổng của hai số chính phương. 4 Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương.
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 20/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 Giả sử n = a2 + b2(a, b ∈ N). Khi đó
2n = 2a2 + 2b2 = (a + b)2 + (a − b)2.
2 Giả sử 2n = a2 + b2(a, b ∈ N). Khi đó
n =a2 + b2 2=
Åa + b 2
ã2
+
Åa − b 2
ã2
.
Vì a2 + b2là số chẵn nên a và b cùng tính chẵn, lẻ. Do đó, a + b 2vàa − b
3 Giả sử n = a2 + b2(a, b ∈ N). Khi đó
n2 = (a2 + b2)2 = (a2 − b2)2 + (2ab)2.
4 Giả sử m = a2 + b2, n = c2 + d2. Khi đó,
2đều là số nguyên.
mn = (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
= (ac + bd)2 + (ac − bd)2.
BÀI 48. Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?
a) 25. B = 99 . . . 9
A = 99 . . . 9
00 . . . 0
b) 1. 8 00 . . . 0
| {z } n
| {z } n
| {z } n
| {z } n
c) 9. D = 11 . . . 1
C = 44 . . . 4
88 . . . 8
d) 5.
| {z }
n
✍ LỜI GIẢI.
| {z } n−1
| {z } n
22 . . . 2
| {z } n+1
1 Đặt a = 99 . . . 9
| {z }
n
2 Đặt a = 99 . . . 9
| {z }
n
ta có 10n = a + 1. Do đó,
A = (a · 10n) · 100 + 25 = a(a + 1) · 100 + 25 = 100a2 + 100a + 25 = (10a + 5)2 = (99 . . . 9
| {z }
n−1
ta có 10n = a + 1. Do đó,
5)2.
B = 99 . . . 9
| {z }
n
·10n+2 + 8 00 . . . 0
| {z }
n
1 = a(a + 1) · 100 + 80(a + 1) + 1
)2.
3 Đặt a = 11 . . . 1
| {z }
n
= 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = (99 . . . 9
| {z }
n+1
ta có 10n = 9a + 1. Do đó,
C = 4a · 10n + 8a + 1 = 4a(9a + 1) + 8a + 1
= 36a2 + 12a + 1 = (6a + 1)2 = (66 . . . 6
| {z }
n−1
7)2.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 21/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
4 Đặt a = 11 . . . 1
| {z }
n
ta có 10n = 9a + 1. Do đó,
D = a · 10n+2 + 20(10a + 1) + 5 = a(900a + 100) + 200a + 25
= 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = (33 . . . 3
| {z }
n
BÀI 49. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương: A = 11 . . . 1
a) . B = 11 . . . 1
5)2.
− 22 . . . 2
b) +1.
| {z }
2n
✍ LỜI GIẢI.
| {z } n
| {z } 2n
+ 44 . . . 4
| {z } n
Đặt a = 11 . . . 1
| {z }
n
ta có 10n = 9a + 1.
= a(9a + 1) + a − 2a = (3a)2.
1 A = 11 . . . 1
| {z }
2n
− 22 . . . 2
| {z } n
= 11 . . . 1
| {z } n
00 . . . 0
| {z } n
−2 · 11 . . . 1
| {z }
n
2 B = 11 . . . 1
| {z }
2n
+ 44 . . . 4
| {z } n
+1 = a(9a + 1) + a + 4a + 1 = (3a + 1)2.
BÀI 50. 1 Cho a = 11 . . . 1
| {z }
n
, b = 1 00 . . . 0
| {z }
n−1
5. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương.
2 Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:
16, 1156, 111556, . . .
Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có 9a + 1 = 10n, b = 10n + 5 = 9a + 6. Do đó
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2.
2 Ta cần chứng minh mọi số có dạng A = 11 . . . 1
| {z }
n
55 . . . 5
| {z } n−1
6 đều là số chính phương. Thật vậy, đặt
11 . . . 1
| {z } n
= a thì 10n = 9a + 1nên
A = 11 . . . 1
| {z }
n
·10n + 55 . . . 5
| {z }
n−1
6 = a(9a + 1) + 5a + 1 = (3a + 1)2.
BÀI 51. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 11 . . . 1
| {z }
n
✍ LỜI GIẢI.
2, b = 1 11 . . . 1
| {z }
n
4.
Ta nhận thấy b = a + 2 nên ab + 1 = a(a + 2) + 1 = (a + 1)2.
BÀI 52. Chứng minh với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương. ✍ LỜI GIẢI.
Với mọi số tự nhiên a, ta chọn b = a + 4 khi đó ab + 4 = a(a + 4) + 4 = (a + 2)2.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 22/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 53. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh a + b + c + 8 là số chính phương.
✍ LỜI GIẢI.
Đặt k = 11 . . . 1
| {z }
n
. Khi đó,
a = 11 . . . 1
| {z }
2n
= 11 . . . 1
| {z } n
00 . . . 0
| {z } n
+ 11 . . . 1
| {z } n
= k(9k + 1) + k = 9k2 + 2k
b = 11 . . . 1
| {z }
n+1
c = 66 . . . 6
| {z }
n
= 10k + 1; = 6k.
Suy ra a + b + c + 8 = 9k2 + 2k + 10k + 1 + 6k = (3k + 2)2. BÀI 54. Chứng minh rằng biểu thức sau không là lập phương của một số tự nhiên 10150 + 5 · 1050 + 1.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
1050 3< 10150 + 5 · 1050 + 1 < 10150 + 3 ·1050 2+ 3 · 1050 + 1 = (1050 + 1)3.
Vây 10150 + 5 · 1050 + 1 không là lập phương của một số tự nhiên.
BÀI 55. Chứng minh rằng tích ba số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên.
✍ LỜI GIẢI.
Giả sử ba số nguyên liên tiếp là n − 1, n, n + 1. Ta có
(n − 1)3 < (n − 1)n(n + 1) = n(n2 − 1) = n3 − n < n3
Từ đó ta thấy (n − 1)n(n + 1) không là lập phương của một số tự nhiên.
BÀI 56. Chứng minh rằng số A =13 ✍ LỜI GIẢI.
11 . . . 1
| {z } n
− 33 . . . 3
| {z } n
00 . . . 0
| {z } n
!
là lập phương của một số tự nhiên.
ĐỀ BÀI CÓ VẤN ĐỀ
BÀI 57. Chia 27 quả cân có khối lượng 10, 20, 30, . . . , 270 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.
✍ LỜI GIẢI.
Trước hết ta thấy
n + (n + 5) + (n + 7) = 3n + 12 = A;
(n + 1) + (n + 3) + (n + 8) = 3n + 12 = A;
(n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = n + 12 = A.
Áp dụng nhận xét trên vào chia chín quả cân 10, 20, 30, . . . , 90 thành ba nhóm như trên, khối lượng các nhóm đều bằng nhau. Làm tương tự cho hai nhóm 100, 110, 120, . . . , 1800 và 190, 200, 210, . . . , 270.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 23/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 58. Chia 18 quả cân có khối lượng 12, 22, 32, . . . , 182 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.
✍ LỜI GIẢI.
Trước hết ta thấy
n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = A + 12;
(n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = A + 4;
(n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = A.
Áp dụng các đẳng thức trên: Lần thứ nhất, chia sáu quả cân 12, 22, . . . , 62thành ba phần: A + 12, A + 4, A.
Lần thứ hai, chia sáu quả cân 72, 82, . . . , 122thành ba phần: B, B + 12, B + 4. Lần thứ ba, chia chín quả cân 132, 142, . . . , 182thành ba phần: C + 4, C, C + 12. Nhóm thứ nhất gồm các phần: A + 12, B, C + 4. Nhóm thứ hai gồm các phần: A + 4, B + 12, C. Nhóm thứ ba gồm các phần: A, B + 4, C + 12. Khối lượng mỗi nhóm đều bằng A + B + C + 16.
BÀI 59. Chia 27 quả cân có khối lượng 12, 22, 32, . . . , 272 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.
✍ LỜI GIẢI.
Trước hết ta thấy
n2 + (n + 5)2 + (n + 7)2 = 3n2 + 24n + 74 = A + 18;
(n + 1)2 + (n + 3)2 + (n + 8)2 = 3n2 + 24n + 74 = A + 18;
(n + 2)2 + (n + 4)2 + (n + 6)2 = 3n2 + 24n + 56 = A.
Áp dụng các đẳng thức trên ta chia các quả cân thành ba nhóm như sau
Nhóm thứ nhất gồm các phần: A, B + 18, C + 18. Nhóm thứ hai gồm các phần: A + 18, B, C + 18. Nhóm thứ ba gồm các phần: A + 18, B + 18, C. Khối lượng mỗi nhóm đều bằng A + B + C + 36.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 24/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Phương pháp
Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp
Đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C).
Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Nhóm hạng tử: việc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới.
Tách hạng tử.
Thêm bớt hạng tử.
Đặt ẩn phụ.
Phối hợp nhiều phương pháp.
Trong phạm vi bài viết này sẽ trình bày ba phương pháp đầu. Bốn phương pháp còn lại sẽ trình bày ở nội dung sau.
B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VÍ DỤ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 + x3 + 2x2 + x + 1.
✍ LỜI GIẢI.
Cách 1:
x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = x4 + x3 + x2 + x2 + x + 1
= x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 + 1).
Cách 2:
x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = (x4 + 2x2 + 1) + (x3 + x)
= (x2 + 1)2 + x(x2 + 1)
= (x2 + 1)(x2 + x + 1).
VÍ DỤ 2. Cho a + b + c = 0. Rút gọn biểu thức
M = a3 + b3 + c(a2 + b2) − abc.
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 25/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
M = a3 + b3 + c(a2 + b2) − abc
= a3 + b3 + a2c + b2c − abc
= (a3 + a2c) + (b3 + b2c) − abc
= a2(a + c) + b2(b + c) − abc
= a2(−b) + b2(−a) − abc
= −ab(a + b + c)
= 0.
Vậy M = 0.
VÍ DỤ 3. 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a3 + b3 + c3 − 3abc.
2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a)
(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3.
✍ LỜI GIẢI.
1
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 + c3 − 3abc
= (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) (a + b)2 − c(a + b) + c2 − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)a2 + 2ab + b2 − ac − bc + c2 − 3ab
= (a + b + c)a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc .
2 Đặt a = x − y, b = y − z, c = z − x thì a + b + c = 0. Do đó theo kết quả của câu a) ta có
a3 + b3 + c3 − 3abc = 0
⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
⇒ (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x).
4! Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán để được kết quả nhanh nhất.
VÍ DỤ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1 (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3;
2 8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3.
✍ LỜI GIẢI.
1 Áp dụng nhiều lần công thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có
(a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = [(a + b) + c]3 − a3 − b3 − c3
= (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c(a + b + c) − a3 − b3 − c3
= a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3(a + b)c(a + b + c) − a3 − b3 − c3
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 26/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
= 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
2 Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(x + y + z). Đa thức đã cho có dạng (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3.
Áp dụng kết quả của câu a), ta được
8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(x + y + 2z)(2x + y + z). 4! Cần nhớ kết quả của câu a) để vận dụng vào giải toán để được kết quả nhanh nhất.
VÍ DỤ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y).
✍ LỜI GIẢI.
Khai triển hai hạng tử cuối rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung y − z.
P = x2(y − z) + zy2 − xy2 + xz2 − yz2
= x2(y − z) + yz(y − z) − x(y2 − z2)
= x2(y − z) + yz(y − z) − x(y − z)(y + z)
= (y − z)(x2 + yz − xy − xz)
= (y − z)[x(x − y) − z(x − y)]
= (y − z)(x − y)(x − z).
VÍ DỤ 6. Xét hằng đẳng thức (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, . . ., n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức
S = 12 + 22 + 32 + · · · + n2.
✍ LỜI GIẢI.
Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có
23 = (1 + 1)3 = 13 + 3 · 12 + 3 · 1 + 1
33 = (2 + 1)3 = 23 + 3 · 22 + 3 · 2 + 1
43 = (3 + 1)3 = 33 + 3 · 32 + 3 · 3 + 1
. . .
(n + 1)3 = n3 + 3 · n2 + 3 · n + 1
Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được
(n + 1)3 = 13 + 3(12 + 22 + 32 + · · · + n2) + 3(1 + 2 + 3 + · · · + n) + n.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 27/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Do đó
3(12 + 22 + 32 + · · · + n2) = (n + 1)3 −3n(n + 1)
2− (n + 1)
3S = (n + 1)[(n + 1)2 −3n2− 1]
3S = (n + 1)(n2 +n2)
3S =12n(n + 1)(2n + 1).
Vậy S =16n(n + 1)(2n + 1).
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Phân tích thành nhân tử
(ab − 1)2 + (a + b)2 a) ; x3 + 2x b) 2 + 2x + 1;
x3 − 4x c) 2 + 12x − 27; x4 − 2x d) 3 + 2x − 1;
x4 + 2x3 + 2x e) 2 + 2x + 1.
✍ LỜI GIẢI.
1
(ab − 1)2 + (a + b)2 = a2b2 − 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2
= (a2b2 + a2) + (b2 + 1)
= a2(b2 + 1) + (b2 + 1)
= (b2 + 1)(a2 + 1).
2 x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x3 + 1) + (2x2 + 2x) = (x + 1)(x2 − x + 1) + 2x(x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 1). 3
x3 − 4x2 + 12x − 27 = (x3 − 27) − (4x2 − 12x)
= (x − 3)(x2 + 3x + 9) − 4x(x − 3)
= (x − 3)(x2 + 3x + 9 − 4x).
= (x − 3)(x2 − x + 9).
4
x4 − 2x3 + 2x − 1 = (x4 − 1) − (2x3 − 2x)
= (x2 − 1)(x2 + 1) − 2x(x2 − 1)
= (x2 − 1)(x2 + 1 − 2x)
= (x − 1)(x + 1)(x − 1)2
= (x + 1)(x − 1)3.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 28/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
5
x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x4 + 2x3 + x2) + (x2 + 2x + 1)
= x2(x2 + 2x + 1) + (x + 1)2
= x2(x + 1)2 + (x + 1)2
= (x + 1)2(x2 + 1).
BÀI 2. Phân tích thành nhân tử
x2 − 2x − 4y a) 2 − 4y; x4 + 2x b) 3 − 4x − 4;
x2(1 − x2) − 4 − 4x2
c) ; d) (1 + 2x)(1 − 2x) − x(x + 2)(x − 2); x2 + y2 − x2y e) 2 + xy − x − y.
✍ LỜI GIẢI.
1 x2 −2x−4y2 −4y = (x2 −4y2)−(2x+ 4y) = (x+ 2y)(x−2y)−2(x+ 2y) = (x+ 2y)(x−2y −2). 2 x4 + 2x3 −4x−4 = (x4 −4) + (2x3 −4x) = (x2 −2)(x2 + 2) + 2x(x2 −2) = (x2 −2)(x2 + 2x + 2). 3 x2(1 − x2) − 4 − 4x2 = x2 − x4 − 4 − 4x2 = x2 − (x2 + 2)2 = (x − x2 − 2)(x + x2 + 2). 4
(1 + 2x)(1 − 2x) − x(x + 2)(x − 2) = 1 − 4x2 − x(x2 − 4)
= 1 − 4x2 − x3 + 4x
= (1 − x3) − (4x2 − 4x)
= (1 − x)(1 + x + x2) + 4x(1 − x)
= (1 − x)(x2 + 5x + 1).
5
x2 + y2 − x2y2 + xy − x − y = (x2 − x) + (y2 − x2y2) + (xy − y)
= x(x − 1) + y2(1 − x2) + y(x − 1)
= x(x − 1) − y2(x − 1)(x + 1) + y(x − 1)
= (x − 1)[x − y2(x + 1) + y]
= (x − 1)[(x − y2x) − (y2 − y)]
= (x − 1)[x(1 − y2) − y(y − 1)]
= (x − 1)[x(1 − y)(1 + y) + y(1 − y)]
= (x − 1)(1 − y)(x + xy + y).
BÀI 3. Chứng minh rằng 1993 − 199 chia hết cho 200.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có 1993 − 199 = 199 · (1992 − 1) = 199 · (199 + 1) · (199 − 1) = 198 · 199 · 200... 200. Vậy 1993 − 199 chia hết cho 200.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 29/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 4. Tính giá trị của biểu thức sau, biết x3 − x = 6
A = x6 − 2x4 + x3 + x2 − x.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có A = x6 −2x4 +x3 +x2 −x = (x6 −2x4 +x2) + (x3 −x) = (x3 −x)2 + (x3 −x) = 62 + 6 = 42.
BÀI 5. Phân tích thành nhân tử
1 a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ac) + c(a2 + b2 + ab);
2 (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc;
c*) a(a + 2b)3 − b(2a + b)3.
✍ LỜI GIẢI.
1
a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ac) + c(a2 + b2 + ab)
= ab2 + ac2 + abc + bc2 + ba2 + abc + ca2 + cb2 + abc
= (ab2 + abc + ba2) + (ac2 + abc + ca2) + (bc2 + abc + cb2)
= ab(b + c + a) + ac(c + b + a) + bc(c + a + b)
= (a + b + c)(ab + bc + ca).
2
(a + b + c)(ab + bc + ca) − abc = (a + b)(ab + bc + ca) + c(ab + bc + ca) − abc = (a + b)(ab + bc + ca) + abc + c(bc + ca) − abc
= (a + b)(ab + bc + ca) + c2(a + b)
= (a + b)(ab + bc + ca + c2)
= (a + b)[(ab + ac) + (bc + c2)]
= (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= (a + b)(b + c)(c + a).
c*)
a(a + 2b)3 − b(2a + b)3 = a[(a + b) + b]3 − b[a + (a + b)]3
= a[(a + b)3 + 3b(a + b)2 + 3b2(a + b) + b3] − b[a3 + 3a2(a + b) + 3a(a + b)2 + (a + b)3] = a(a + b)3 + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 − ba3 − 3ba2(a + b) − 3ab(a + b)2 − b(a + b)3 = (a − b)(a + b)3 + 3ab(a + b)(b − a) + ab(b − a)(b + a)
= (a − b)(a + b)[(a + b)2 − 3ab − ab]
= (a − b)(a + b)(a2 − 2ab + b2)
= (a − b)(a + b)(a − b)2
= (a + b)(a − b)3.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 30/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 6. Phân tích thành nhân tử
1 ab(a + b) − bc(b + c) + ac(a − c);
2 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc;
3 (a + b)(a2 − b2) + (b + c)(b2 − c2) + (c + a)(c2 − a2);
4 a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b).
✍ LỜI GIẢI.
1
ab(a + b) − bc(b + c) + ac(a − c) = ab(a + b) − b2c − bc2 + a2c − ac2
= ab(a + b) + (a2c − b2c) − (ac2 + bc2)
= ab(a + b) + c(a2 − b2) − c2(a + b)
= ab(a + b) + c(a − b)(a + b) − c2(a + b)
= (a + b)(ab + ac − bc − c2)
= (a + b)[(ab − bc) + (ac − c2)]
= (a + b)[b(a − c) + c(a − c)]
= (a + b)(b + c)(a − c).
2
a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + c(a2 + b2 + 2ab) = (ab2 + a2b) + (ac2 + bc2) + c(a + b)2
= ab(a + b) + c2(a + b) + c(a + b)2
= (a + b)(ab + c2 + ac + bc)
= (a + b)[(ab + ac) + (bc + c2)]
= (a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= (a + b)(b + c)(c + a).
3 Nhận thấy b2 − c2 = −[(a2 − b2) + (c2 − a2)] nên
(a + b)(a2 − b2) + (b + c)(b2 − c2) + (c + a)(c2 − a2)
= (a + b)(a2 − b2) − (b + c)[(a2 − b2) + (c2 − a2)] + (c + a)(c2 − a2)
= (a + b)(a2 − b2) − (b + c)(a2 − b2) − (b + c)(c2 − a2) + (c + a)(c2 − a2)
= (a − c)(a2 − b2) + (a − b)(c2 − a2)
= (a − c)(a − b)(a + b) + (a − b)(c − a)(c + a)
= (a − b)[(a − c)(a + b) − (a − c)(c + a)]
= (a − b)(a − c)(b − c).
4 Nhận thấy c − a = −[(b − c) + (a − b)] nên
a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b)
= a3(b − c) − b3[(b − c) + (a − b)] + c3(a − b)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 31/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
= a3(b − c) − b3(b − c) − b3(a − b) + c3(a − b)
= (b − c)(a3 − b3) − (a − b)(b3 − c3)
= (b − c)(a − b)(a2 + ab + b2) − (a − b)(b − c)(b2 + bc + c2)
= (b − c)(a − b)(a2 + ab + b2 − b2 − bc − c2)
= (b − c)(a − b)[(a2 − c2) + (ab − bc)]
= (b − c)(a − b)[(a − c)(a + c) + b(a − c)]
= (b − c)(a − b)(a − c)(a + b + c).
BÀI 7. Phân tích thành nhân tử
1 (a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3;
2 abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) − 1.
✍ LỜI GIẢI.
1 Đặt a + b − c = x, b + c − a = y, c + a − b = z. Khi đó
x + y + z = a + b − c + b + c − a + c + a − b = a + b + c.
Áp dụng hằng đẳng thức (x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x). Ta có
(a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3
= 3(a + b − c + b + c − a)(b + c − a + c + a − b)(c + a − b + a + b − c)
= 3 · 2b · 2c · 2a
= 24abc.
2
abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) − 1 = abc − ab − bc − ca + a + b + c − 1 = abc − bc − ab + b − ca + c + a − 1
= bc(a − 1) − b(a − 1) − c(a − 1) + (a − 1)
= (a − 1)(bc − b − c + 1)
= (a − 1)[c(b − 1) − (b − 1)]
= (a − 1)(b − 1)(c − 1).
BÀI 8. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau, nếu
a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b) = 0.
✍ LỜI GIẢI.
a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b) = a2b − a2c + b2c − b2a + c2(a − b)
= (a2b − ab2) − (a2c − b2c) + c2(a − b)
= ab(a − b) − c(a − b)(a + b) + c2(a − b)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 32/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 = (a − b) ab − ac − bc + c2
= (a − b) [b(a − c) − c(a − c)]
= (a − b)(a − c)(b − c).
Theo giả thiết a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b) = 0 nên
(a − b)(a − c)(b − c) = 0 ⇔
a − b = 0
a − c = 0 b − c = 0
⇔
a = b
a = c b = c.
Vậy trong ba số a, b và c tồn tại hai số bằng nhau. BÀI 9. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 = 2ab thì a = b.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có a2 + b2 = 2ab ⇔ a2 − 2ab + b2 = 0 ⇔ (a − b)2 = 0 ⇔ a − b = 0 ⇔ a = b. Vậy nếu a2 + b2 = 2ab thì a = b.
BÀI 10. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì
(am + bc)(bm + ca)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có am + bc = a(a + b + c) + bc = a(a + b) + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c). Tương tự bm + ca = (b + c)(b + a) và cm + ab = (c + a)(c + b). Khi đó
(am + bc)(bm + ca)(cm + ab) = (a + b)(a + c)(b + c)(b + a)(c + a)(c + b) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.
BÀI 11. Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0. ✍ LỜI GIẢI.
Do a2 + b2 = 1 và c2 + d2 = 1 nên
ab + cd = ab · 1 + cd · 1
= ab(c2 + d2) + cd(a2 + b2)
= abc2 + abd2 + cda2 + cdb2
= (abc2 + cdb2) + (abd2 + cda2)
= bc(ac + bd) + ad(bd + ac)
= (ac + bd)(bc + ad)
= 0 (do ac + bd = 0).
BÀI 12. Xét hằng đẳng thức (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Lần lượt cho x = 1,n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức
S = 1 + 2 + 3 + · · · + n.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 33/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có
22 = (1 + 1)2 = 12 + 2 · 1 + 1
32 = (2 + 1)2 = 22 + 2 · 2 + 1
42 = (3 + 1)2 = 32 + 2 · 3 + 1
. . .
(n + 1)2 = n2 + 2 · n + 1.
Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được
(n + 1)2 = 12 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + n) + n.
Do đó
2(1 + 2 + 3 + · · · + n) = (n + 1)2 − (n + 1)
2S = (n + 1)[(n + 1) − 1]
2S = (n + 1)n
S =n(n + 1)
2.
Vậy S =n(n + 1)
2. BÀI 13. (*) Phân tích thành nhân tử
1 a(b + c)2(b − c) + b(c + a)2(c − a) + c(a + b)2(a − b);
2 a(b − c)3 + b(c − a)3 + c(a − b)3;
3 a2b2(a − b) + b2c2(b − c) + c2a2(c − a);
4 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) − 2abc − a3 − b3 − c3;
5 a4(b − c) + b4(c − a) + c4(a − b).
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có c − a = − [(b − c) + (a − b)]. Khi đó
a(b + c)2(b − c) + b(c + a)2(c − a) + c(a + b)2(a − b)
= a(b + c)2(b − c) − b(c + a)2[(b − c) + (a − b)] + c(a + b)2(a − b)
= a(b + c)2(b − c) − b(c + a)2(b − c) − b(c + a)2(a − b) + c(a + b)2(a − b)
= (b − c) a(b + c)2 − b(c + a)2 − (a − b) b(c + a)2 − c(a + b)2
= (b − c) a(b2 + 2bc + c2) − b(c2 + 2ac + a2) − (a − b) b(c2 + 2ac + a2) − c(a2 + 2ab + b2)
= (b − c)(ab2 + ac2 − bc2 − ba2) − (a − b)(bc2 + ba2 − ca2 − cb2)
= (b − c) c2(a − b) − ab(a − b) − (a − b) a2(b − c) − bc(b − c)
= (b − c)(a − b)(c2 − ab) − (a − b)(b − c)(a2 − bc)
= (b − c)(a − b)(c2 − ab − a2 + bc)
= (b − c)(a − b) [(c − a)(c + a) + b(c − a)]
= (a − b)(b − c)(c − a)(c + b + c).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 34/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
2 Ta có c − a = − [(b − c) + (a − b)]. Áp dụng công thức (x + y)3 = x3 + 3xy(x + y) + y3. Ta được
a(b − c)3 + b(c − a)3 + c(a − b)3
= a(b − c)3 − b [(b − c) + (a − b)]3 + c(a − b)3
= a(b − c)3 − b (b − c)3 + 3(b − c)(a − b)(a − c) + (a − b)3 + c(a − b)3
= (a − b)(b − c)3 − 3b(b − c)(a − b)(a − c) − (b − c)(a − b)3
= (a − b)(b − c) (b − c)2 − 3b(a − c) − (a − b)2
= (a − b)(b − c) b2 − 2bc + c2 − 3ab + 3bc − a2 + 2ab − b2
= (a − b)(b − c) −2bc + c2 − 3ab + 3bc − a2 + 2ab
= (a − b)(b − c) (c2 − a2) − (2bc − 2ab) + (3bc − 3ab)
= (a − b)(b − c) [(c − a)(c + a) − 2b(c − a) + 3b(c − a)]
= (a − b)(b − c)(c − a)(c + a − 2b + 3b)
= (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c).
3 Ta có b − c = − [(a − b) + (c − a)]. Khi đó
a2b2(a − b) + b2c2(b − c) + c2a2(c − a)
= a2b2(a − b) − b2c2[(a − b) + (c − a)] + c2a2(c − a)
= a2b2(a − b) − b2c2(a − b) − b2c2(c − a) + c2a2(c − a)
= (a − b)b2(a2 − c2) − (c − a)c2(b2 − a2)
= (a − b)b2(a − c)(a + c) − (a − c)c2(a − b)(a + b)
= (a − b)(a − c) b2a + b2c − c2a − c2b
= (a − b)(a − c) [a(b − c)(b + c) + bc(b − c)]
= (a − b)(a − c)(b − c)(ab + ac + bc).
4
a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) − 2abc − a3 − b3 − c3
= a(b2 + c2 − 2bc − a2) + b(c2 + a2 + 2ac − b2) + c(a2 + b2 − 2ab − c2)
= a (b − c)2 − a2 + b (c + a)2 − b2 + c (a − b)2 − c2
= a(b − c − a)(b − c + a) + b(c + a − b)(c + a + b) + c(a − b − c)(a − b + c) = (a − b + c) [−a(b − c + a) + b(a + b + c) + c(a − b − c)]
= (a − b + c)(−ab + ac − a2 + ab + b2 + bc + ac − bc − c2)
= (a − b + c) (ac + bc − c2) − (a2 + ab − ac) + (ab + b2 − bc)
= (a − b + c) [c(a + b − c) − a(a + b − c) + b(a + b − c)]
= (a − b + c)(a + b − c)(b + c − a).
5 Ta có c − a = − [(b − c) + (a − b)]. Khi đó
a4(b − c) + b4(c − a) + c4(a − b)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 35/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
= a4(b − c) − b4[(b − c) + (a − b)] + c4(a − b)
= a4(b − c) − b4(b − c) − b4(a − b) + c4(a − b)
= (b − c)(a4 − b4) − (a − b)(b4 − c4)
= (b − c)(a2 − b2)(a2 + b2) − (a − b)(b2 − c2)(b2 + c2)
= (b − c)(a − b)(a + b)(a2 + b2) − (a − b)(b − c)(b + c)(b2 + c2)
= (a − b)(b − c) (a + b)(a2 + b2) − (b + c)(b2 + c2)
= (a − b)(b − c) a3 + ab2 + ba2 − bc2 − cb2 − c3
= (a − b)(b − c) (a3 − c3) + b2(a − c) + b(a2 − c2)
= (a − b)(b − c) (a − c)(a2 + ac + c2) + b2(a − c) + b(a − c)(a + c)
= (a − b)(b − c)(a − c)(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc).
BÀI 14. (*) Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c. ✍ LỜI GIẢI.
Theo ví dụ 3 ở nội dung này. Ta có
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc).
Do đó nếu a3+b3+c3 = 3abc thì (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc) = 0 hay a2+b2+c2−ab−ac−bc = 0 (do a, b, c là các số dương nên a + b + c > 0).
a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc = 0
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2ac − 2bc = 0
⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
⇔
a − b = 0 b − c = 0 c − a = 0
⇔
a = b b = c c = a
⇔ a = b = c.
Vậy nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c. BÀI 15. (*) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d.
✍ LỜI GIẢI.
a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
⇔ a4 + b4 + c4 + d4 − 4abcd = 0
⇔ a4 − 2a2b2 + b4 + c4 − 2c2d2 + d4 + 2a2b2 − 4abcd + 2c2d2 = 0
⇔ (a2 − b2)2 + (c2 − d2)2 + 2(ab − cd)2 = 0
⇔
a2 − b2 = 0 c2 − d2 = 0 ab − cd = 0
⇔
a = ±b c = ±d ab = cd
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 36/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
⇔ a = b = c = d (do a, b, c và d là các số dương).
Vậy nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d. BÀI 16. (*) Bằng phương pháp tương tự ở ví dụ 6 và bài tập trên. Hãy tính giá trị của biểu thức S3 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3.
✍ LỜI GIẢI.
Từ hằng đẳng thức (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1, ta có
24 = (1 + 1)4 = 14 + 4 · 13 + 6 · 12 + 4 · 1 + 1
34 = (2 + 1)4 = 24 + 4 · 23 + 6 · 22 + 4 · 2 + 1
44 = (3 + 1)4 = 34 + 4 · 33 + 6 · 32 + 4 · 3 + 1
. . .
(n + 1)4 = n4 + 4 · n3 + 6 · n2 + 4 · n + 1.
Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được
(n + 1)4 = 14 + 4 · (13 + 23 + · · · + n3) + 6 · (12 + 22 + · · · + n2) + 4(1 + 2 + · · · + n) + n = 1 + 4S3 + 6S2 + 4S1 + n.
Ta đã biết S1 =n(n + 1)
2, S2 =16n(n + 1)(2n + 1). Do đó
4S3 = (n + 1)4 − 1 − n − n(n + 1)(2n + 1) − 2n(n + 1)
4S3 = (n + 1)[(n + 1)3 − 1 − n(2n + 1) − 2n]
4S3 = (n + 1)[(n + 1)3 − (2n + 1)(n + 1)]
4S3 = (n + 1)2(n2 + 2n + 1 − 2n − 1)
S3 =n2(n + 1)2
4.
Vậy S3 =n2(n + 1)2
4.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 37/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 4 CHIA ĐA THỨC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Với A(x), B(x), Q(x) và R(x) là các đa thức. Ta có
Đa thức A(x) được gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác đa thức 0 nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho
A(x) = B(x) · Q(x).
Người ta chứng minh được rằng: Với mọi cặp đa thức A(x) và B(x), trong đó B(x) 6= 0, tồn tại duy nhất cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho
A(x) = B(x) · Q(x) + R(x).
Trong đó R(x) = 0 hoặc bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x).
- Nếu R(x) = 0 thì A(x) chia hết cho B(x).
- Nếu R(x) 6= 0 thì A(x) không chia hết cho B(x). Khi đó Q(x) là thường và R(x) là dư của phép chia A(x) cho B(x).
B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VÍ DỤ 1. Cho hai đa thức A = 3xn−1y6 − 5xn+1y4 và đơn thức B = 2x3yn.
1 Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B.
2 Tìm thương A : B trong trường hợp đó.
✍ LỜI GIẢI.
1 Điều kiện để đa thức A chia hết cho đơn thức
B là
n − 1 ≥ 3 n + 1 ≥ 3 6 ≥ n
4 ≥ n
⇔
n ≥ 4 n ≥ 2 4 ≥ n
⇔
(n ≥ 4
n ≤ 4⇔ n = 4.
Vậy với n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B.
2 Với n = 4 thì A = 3x3y6 − 5x5y4 và B = 2x3y4. Khi đó
A : B = (3x3y6 − 5x5y4) : (2x3y4) = 32y2 −52x2.
VÍ DỤ 2. Xác định các số hữu tỉ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x − 2.
✍ LỜI GIẢI.
Cách 1: Đặt tính chia
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 38/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
x3 + ax + b x2 + x − 2
3 − x2 + 2x
− x x − 1
− x2 + (2 + 1a) x + b
x2 + x − 2
(3 + 1a) x + (−2 + 1b)
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của x nên
(a + 3 = 0 b − 2 = 0⇔
(a = −3 b = 2.
Vậy với a = −3, b = 2 thì đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x − 2, thương là x − 1. Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định)
Đa thức bị chia có bậc ba và đa thức chia có bậc hai nên thương là một đa thức bậc nhất, hạng tử bậc nhất là x3: x2 = x.
Gọi thương của phép chia là x + c, ta có
x3 + ax + b = (x2 + x − 2)(x + c)
x3 + ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c − 2)x − 2c.
Do hai đa thức trên bằng nhau nên
c + 1 = 0 c − 2 = a − 2c = b
⇔
c = −1 a = −3 b = 2.
Vậy với a = −3, b = 2 thì đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x − 2, thương là x − 1. Cách 3:(Phương pháp xét giá trị riêng)
Gọi thương khi chia đa thức x3 + ax + b cho đa thức x2 + x − 2 là Q(x), ta có x3 + ax + b = (x2 + x − 2)Q(x) = (x − 1)(x + 2)Q(x).
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho x = 1, x = −2, ta được
(1 + a + b = 0
− 8 − 2a + b = 0⇔
(a + b = −1
− 2a + b = 8⇔
(a = −3 b = 2.
Vậy với a = −3, b = 2 thì đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x − 2, thương là x − 1.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Chia đơn thức cho đơn thức
BÀI 1. Thực hiện phép tính
812 : 46 a) ; 276: 92 b) ;915· 253· 43
c) .
310 · 506
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 39/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 812 : 46 = (23)12 : (22)6 = 236 : 212 = 224.
2 276: 92 = (33)6: (32)2 = 318 : 34 = 314.
3915· 253· 43
310 · 506=(32)15· (52)3· (22)3
310 · (2 · 52)6=330· 56· 26
1 · 1 · 56=320
310 · 26· 512 =320· 1 · 1
56.
BÀI 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến
A = (−15x3y6) : (−5xy2).
✍ LỜI GIẢI.
Ta có A = (−15x3y6) : (−5xy2) = 3x2y4.
Vì x2 ≥ 0 với mọi số thực x và y4 ≥ 0 với mọi số thực y nên 3x2y3 ≥ 0 với mọi x, y. Vậy biểu thức A = (−15x3y6) : (−5xy2) không âm với mọi giá trị của biến.
BÀI 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x 6= 0; y 6= 0)
B =23x2y3:Å−13xyã+ 2x(y − 1)(y + 1).
✍ LỜI GIẢI.
Với x 6= 0; y 6= 0, ta có
B =23x2y3:Å−13xyã+ 2x(y − 1)(y + 1)
= −2xy2 + 2x(y2 − 1)
= −2xy2 + 2xy2 − 2x
= −2x.
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến y.
BÀI 4. Tìm số tự nhiên n để đơn thức A = 4xn+1y2chia hết cho đơn thức B = 3x3yn−1. ✍ LỜI GIẢI.
Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B thì
(n + 1 ≥ 3
2 ≥ n − 1⇔
Mà n ∈ N nên n = 2 hoặc n = 3.
(n ≥ 2
n ≤ 3⇔ 2 ≤ n ≤ 3.
Vậy với n = 2 hoặc n = 3 thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B.
Chia đa thức cho đơn thức
BÀI 5. Thực hiện phép tính
Å1
2a2x4 +43ax3 −23ax2ã:Å−23ax2ã; 1
2 4
Å3
4x − 1
ã
+ (12x2 − 3x) : (−3x) − (2x + 1).
✍ LỜI GIẢI.
2a2x4 +43ax3 −23ax2ã:Å−23ax2ã=−34ax2 − 2x + 1.
1
Å1
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 40/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
2 4
Å3
4x − 1
ã
+ (12x2 − 3x) : (−3x) − (2x + 1) = 3x − 4 − 4x + 1 − 2x − 1 = −3x − 4.
BÀI 6. Thực hiện phép tính rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (9xy2 − 6x2y) : (−3xy) + (6x2y + 2x4) : (2x2).
✍ LỜI GIẢI.
A = (9xy2 − 6x2y) : (−3xy) + (6x2y + 2x4) : (2x2)
= −3y + 2x + 3y + x2
= x2 + 2x
= x2 + 2 · x · 1 + 12 − 12
= (x + 1)2 − 1.
Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x nên (x + 1)2 − 1 ≥ −1 hay A ≥ −1 với mọi x. Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng −1 khi x = −1. BÀI 7. Tìm số tự nhiên n để đa thức A = 7xn−1y5 − 5x3y4chia hết cho đơn thức B = 5x2yn. ✍ LỜI GIẢI.
Xét thương A : B =75xn−1−2y5−n − xy4−n =75xn−3y5−n − xy4−n.
Để đa thức A chia hết cho đơn thức B thì
Do n ∈ N nên n = 3 hoặc n = 4.
n − 3 ≥ 0 5 − n ≥ 0 4 − n ≥ 0
⇔
n ≥ 3 n ≤ 5 n ≤ 4
⇔ 3 ≤ n ≤ 4.
Vậy với n = 3 hoặc n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B. Chia đa thức cho đa thức
BÀI 8. Rút gọn biểu thức
[(x3 + y3) − 2(x2 − y2) + 3(x + y)2] : (x + y).
✍ LỜI GIẢI.
[(x3 + y3) − 2(x2 − y2) + 3(x + y)2] : (x + y)
= [(x + y)(x2 − xy + y2) − 2(x + y)(x − y) + 3(x + y)2] : (x + y)
= x2 − xy + y2 − 2(x − y) + 3(x + y)
= x2 − xy + y2 − 2x + 2y + 3x + 3y
= x2 − xy + y2 + x + 5y.
BÀI 9. Chia các đa thức
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 41/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 (3x4 − 2x3 − 2x2 + 4x − 8) : (x2 − 2);
2 (2x3 − 26x − 24) : (x2 + 4x + 3);
3 (x3 − 7x + 6) : (x + 3).
✍ LỜI GIẢI.
1 3x4 − 2x3 − 2x2 + 4x − 8 x2 − 2
3x − 3x2 − 2x + 4 4 + 6x2
− 2x3 + 4x2 + 4x
2x3 − 4x
4x2 − 8
− 4x2 + 8
0
Vậy (3x4 − 2x3 − 2x2 + 4x − 8) : (x2 − 2) = 3x2 − 2x + 4.
2 2x3 − 26x − 24 x2 + 4x + 3
3 − 8x2 − 6x
− 2x 2x − 8
− 8x2 − 32x − 24
8x2 + 32x + 24
0
Vậy (2x3 − 26x − 24) : (x2 + 4x + 3) = 2x − 8.
3 x3 − 7x + 6 x + 3
x − x2 − 3x + 2 3 − 3x2
− 3x2 − 7x
3x2 + 9x
2x + 6
− 2x − 6
0
Vậy (x3 − 7x + 6) : (x + 3) = x2 − 3x + 2.
BÀI 10. Xác định hằng số a sao cho
1 4x2 − 6x + a chia hết cho x − 3;
2 2x2 + x + a chia hết cho x + 3;
3 x3 + ax2 − 4 chia hết cho x2 + 4x + 4.
✍ LỜI GIẢI.
1 Xét phép chia
4x2 − 6x + a x − 3
− 4x 4x + 6 2 + 12x
6x + a
− 6x + 18
(18 + 1a)
Để 4x2 − 6x + a chia hết cho x − 3 thì a + 18 = 0 ⇔ a = −18.
Vậy với a = −18 thì 4x2 − 6x + a chia hết cho x − 3.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 42/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
2 Xét phép chia
2x2 + x + a x + 3
2 − 6x
− 2x 2x − 5
− 5x + a
5x + 15
(15 + 1a)
Để 2x2 + x + a chia hết cho x + 3 thì a + 15 = 0 ⇔ a = −15.
Vậy với a = −15 thì 2x2 + x + a chia hết cho x + 3.
3 Giải tương tự câu a), câu b) ta được a = 3. .
BÀI 11. Xác định hằng số a sao cho
1 10x2 − 7x + a chia hết cho 2x − 3;
2 2x2 + ax + 1 chia cho x − 3 dư 4;
3 ax5 + 5x4 − 9 chia hết cho x − 1.
✍ LỜI GIẢI.
1 Xét phép chia
10x2 − 7x + a 2x − 3
− 10x 5x + 4 2 + 15x
8x + a
− 8x + 12
(12 + 1a)
Để 10x2 − 7x + a chia hết cho 2x − 3 thì a + 12 = 0 ⇔ a = −12.
Vậy với a = −12 thì 10x2 − 7x + a chia hết cho 2x − 3.
2 Giải tương tự câu a) ta được a = −5.
3 Giải tương tự câu a) ta được a = 4.
BÀI 12. Xác định các hằng số a, b sao cho
1 x4 + ax + b chia hết cho x2 − 4;
2 x4 + ax3 + bx − 1 chia hết cho x2 − 1;
3 x3 + ax + b chia hết cho x2 + 2x − 2.
✍ LỜI GIẢI.
1 Xét phép chia
x4 + ax + b x2 − 4
x − x2 + 4 4 + 4x2
4x2 + ax + b
− 4x2 + 16
ax + (16 + 1b)
Để x4 + ax + b chia hết cho x2 − 4 thì đa thức dư ax + b + 16 phải đồng nhất 0. Do đó a = 0, b = −16.
Vậy với a = 0, b = −16 thì x4 + ax + b chia hết cho x2 − 4.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 43/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
2 Giải tương tự câu a) ta được a + b = 0 (tức là a tùy ý, b = −a).
3 Giải tương tự câu a) ta được a = −6, b = 4.
BÀI 13. Xác định các hằng số a, b sao cho
1 x4 + ax2 + b chia hết cho x2 − x + 1;
2 ax3 + bx2 + 5x − 50 chia hết cho x2 + 3x − 10;
3 ax4 + bx3 + 1 chia hết cho x2 + ax + b;
4 x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b.
✍ LỜI GIẢI.
1 Xét phép chia
x4 + ax2 + b x2 − x + 1
x − x2 + x + a
4 + x3 − x2
x3 + (−1 + 1a) x2
− x3 + x2 − x
ax2 − x + b
− ax2 + ax − a
(−1 + 1a) x + (−1a + 1b)
Để x4 + ax2 + b chia hết cho x2 − x + 1 thì đa thức dư (a − 1)x + b − a đồng nhất đa thức 0 nên a = 1 và b = a = 1.
Vậy với a = b = 1 thì x4 + ax2 + b chia hết cho x2 − x + 1.
2 Giải tương tự câu a) ta được a = 1, b = 8.
3 Giải tương tự câu a) ta được a = 3, b = −4.
4 Ta có
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2). Do đó để x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b thì a = ±2 và b = 2.
BÀI 14. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x − 3 thì dư −5.
✍ LỜI GIẢI.
Vì x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7 nên x3 + ax + b = (x + 1) · P(x) + 7. Với x = −1 thì −1 − a + b = 7 hay a = b − 8. (1) Tương tự x3 + ax + b chia cho x − 3 thì dư −5, tức là x3 + ax + b = (x − 3) · Q(x) − 5. Khi đó, với x = 3 thì 27 + 3a + b = −5 hay 3a + b = −32. (2) Từ (1) và (2) suy ra a = −10, b = −2. BÀI 15. Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax3 +bx2 +c chia hết cho x+ 2, chia cho x2 −1 thì dư x+ 5. ✍ LỜI GIẢI.
Ta có ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2 nên ax3 + bx2 + c = (x + 2) · A(x).
Khi đó, với x = −2 thì −8a + 4b + c = 0. (3) Tương tự, ax3 + bx2 + c chia cho x2 − 1 thì dư x + 5, tức là
ax3 + bx2 + c = (x + 1)(x − 1) · B(x) + x + 5.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 44/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Lần lượt cho x = 1, x = −14 ta được a + b + c = 6 và −a + b + c = 4. (4) Từ (3) và (4) suy ra a = 1, b = 1 và c = 4.
Sưu tầm & biên soạn
Trang 45/477 GeoGebraPro
Th.s Nguyễn Chín Em
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 Sưu tầm & biên soạn
Trang 46/477 GeoGebraPro
Th.s Nguyễn Chín Em
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
CHƯƠNG
2 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC, RÚT GỌN PHÂN THỨC.
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng AB, trong đó A và B là các đa thức, B 6= 0. Phân thức đại số có các tính chất cơ bản sau:
- Nếu nhân cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
- Nếu chia cả tử thức và mẫu thức của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta có thể:
- Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
- Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
B VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho phân thức
M =(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 + (ab + bc + ca)2
(a + b + c)2 − (ab + bc + ca).
1 Tìm các giá trị a, b, c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0). 2 Rút gọn phân thức M.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
(a + b + c)2 − (ab + bc + ca) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 0
⇔ (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
⇔ a + b = b + c = c + a = 0
⇔ a = b = c = 0.
Với điều kiện để phân thức M được xác định là a, b, c không đồng thời bằng 0.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 47/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
2 Chú ý rằng (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac). Do đó, ta đặt a2 + b2 + c2 = x, ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y. Ta có
M =x(x + 2) + y2
x + 2y − y=x2 + 2xy + y2
x + y=(x + y)2
x + y= x + y
= a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca.
VÍ DỤ 2. Rút gọn biểu thức
A =(b − c)3 + (c − a)3 + (a − b)3
a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b).
✍ LỜI GIẢI.
Phân tích mẫu thức thành nhân tử:
a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b) = a2(b − c) + b2c − ab2 + ac2 − bc2
= a2(b − c) + bc(b − c) − a(b2 − c2)
= (b − c)(a2 + bc − ab − ac)
= (b − c) [a(a − b) − c(a − b)]
= (b − c)(a − b)(a − c).
Do đó A =(b − c)3 + (c − a)3 + (a − b)3
−(a − b)(b − c)(c − a).
Ta có nhận xét: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz. Đặt b − c = x, c − a = y, a − b = z thì x + y + z = 0. Theo nhận xét trên
A =x3 + y3 + z3
−xyz=3xyz
−xyz= −3.
VÍ DỤ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3 + 2n
n4 + 3n2 + 1là phân số tối giản.
✍ LỜI GIẢI.
Để chứng minh phân số đã cho là tối giản, ta sẽ chứng tỏ rằng tử và mẫu chỉ có ước chung là ±1. Gọi d là ước của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1. Ta có:
n3 + 2n... d ⇒ n (n3 + 2n)... d ⇒ n4 + 2n2... d, (1) n4 + 3n2 + 1 − (n4 + 2n2) = n2 + 1... d ⇒ (n2 + 1)2 = n4 + 2n2 + 1... d, (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy n3 + 2n
n4 + 2n2 + 1 −n4 + 2n2 ... d ⇒ 1... d ⇒ d = ±1.
n4 + 3n2 + 1là phân số tối giản.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 48/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng:
1 + x + x2 + x3 + ... + x31 = (1 + x)1 + x2 1 + x4 1 + x8 1 + x16 . (1)
✍ LỜI GIẢI.
Gọi vế trái của đẳng thức (1) là A, vế phải là B.
Ta có (1 − x) · A = 1 − x32 theo hằng đẳng thức 8.
(1 − x) · B = (1 − x)(1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) (1 + x16) = 1 − x32.
Nếu x 6= 1 thì A và B đều bằng phân thức 1 − x32
1 − x. Do đó A = B.
Nếu x = 1 thì hai vế của (1) đều bằng 32. Do đó A = B.
Trong cả hai trường hợp, đằng thức (1) đều đúng. BÀI 1. Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:
a) ;x4 − 5x2 + 4
x4 + x3 + x + 1
x4 − x3 + 2x2 − x + 1
✍ LỜI GIẢI.
1 Phân thức x4 + x3 + x + 1
b) . x4 − 10x2 + 9
x4 − x3 + 2x2 − x + 1bằng 0 khi tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0.
Ta có
x4 + x3 + x + 1 = 0
x3(x + 1) + (x + 1) = 0
(x + 1) (x3 + 1) = 0
x = −1.
Thay x = −1 vào mẫu thức ta được (−1)4 − (−1)3 + 2(−1)2 − (−1) + 1 6= 0.
Vậy x = −1 thỏa yêu cầu bài.
2 Phân thức x4 − 5x2 + 4
x4 − 10x2 + 9bằng 0 khi tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0. Ta có
x4 − 5x2 + 4 = 0
(x2 − 1) (x2 − 4) = 0.
Với x2 = 1 thay vào mẫu thức, ta được 1 − 10 + 9 = 0 nên loại.
Với x2 = 4 thay vào mẫu thức, ta được (4)2 − 10 · 4 + 9 6= 0 nên x = ±2 thỏa yêu cầu bài.
BÀI 2. Rút gọn các phân thức:
a) ; B =4002
A =1235 · 2469 − 1234 1234 · 2469
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
b) .
1000 · 1002 − 999 · 1001
Trang 49/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1 Đặt x = 1234. Ta có
A =(x + 1)(2x + 1) − x
x(2x + 1) + x + 1
=2x2 + 2x + 1
2x2 + 2x + 1
= 1.
2 Đặt x = 1000. Ta có
B =4x + 2
x(x + 2) − (x − 1)(x + 1)
=2(2x + 1)
x2 + 2x − (x2 − 1)
=2(2x + 1)
2x + 1
= 2.
BÀI 3. Rút gọn các phân thức:
a) ;(x − y)3 − 3xy(x + y) + y3
3x3 − 7x2 + 5x − 1
2x3 − x2 − 4x + 3
x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz
c) . x2 − 2xy + y2 − z2
✍ LỜI GIẢI.
2x3 − x2 − 4x + 3=(3x − 1)(x − 1)2
b) ; x − 6y
13x3 − 7x2 + 5x − 1 2
(2x + 3)(x − 1)2=3x − 1 2x + 3;
(x − y)3 − 3xy(x + y) + y3
x − 6y=x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 − 3x2y − 3xy2 + y3
x − 6y
=x2(x − 6y)
x − 6y
= x2;
3x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz
x2 − 2xy + y2 − z2=(x − y + z)2
(x − y + z)(x − y − z)=x − y + z
x − y + z.
BÀI 4. Rút gọn các phân thức với n là số tự nhiên:
(n + 1)!
n!(n + 2) a) ;n!
b) ;(n + 1)! − (n + 2)!
(n + 1)! + (n + 2)! c) .
✍ LỜI GIẢI.
1(n + 1)!
n!(n + 2) =n!(n + 1)
n!(n + 2) =n + 1
n + 2;
2n!
(n + 1)! − n!=n!
(n + 1)! − n!
n!(n + 1 − 1) =1n;
(n + 1)! + (n + 2)! =(n + 1)! − (n + 1)!(n + 2)
(n + 1)! + (n + 1)!(n + 2) =(n + 1)!(−n − 1)
3(n + 1)! − (n + 2)!
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
(n + 1)!(n + 3) =−n − 1
n + 3.
Trang 50/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 5. Rút gọn các phân thức:
a) ;2x3 − 7x2 − 12x + 45
a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b) ab2 − ac2 − b3 + bc2
b) ; 3x3 − 19x2 + 33x − 9
c) ;x3 + y3 + z3 − 3xyz
x3 − y3 + z3 + 3xyz
(x + y)2 + (y + z)2 + (z − x)2
✍ LỜI GIẢI.
1a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b)
d) . (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2
ab2 − ac2 − b3 + bc2=(a − b)(b − c)(a − c)
(a − b)(b − c)(b + c)=a − c
b + c;
22x3 − 7x2 − 12x + 45
3x3 − 19x2 + 33x − 9=(x − 3)2(2x + 5)
(x − 3)2(3x − 1) =2x + 5
3x − 1;
3x3 − y3 + z3 + 3xyz
(x + y)2 + (y + z)2 + (z − x)2=12(x − y + z);
4x3 + y3 + z3 − 3xyz
(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2=12(x + y + z).
BÀI 6. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
b) ;n3 + 2n
a) ;12n + 1
3n + 1
c) ;2n + 1
5n + 2
✍ LỜI GIẢI.
30n + 2
n4 + 3n2 + 1
d) . 2n2 − 1
1 Giả sử (3n + 1, 5n + 2) = d.
Ta có 3(5n + 2) − 5(3n + 1)... d ⇒ 1... d ⇒ d = ±1.
Vậy phân số 3n + 1
5n + 2là phân số tối giản.
2 Giả sử (12n + 1, 30n + 2) = d.
Ta có 5(12n + 1) − 3(30n + 2)... d ⇒ −1... d ⇒ d = ±1.
Vậy phân số 12n + 1
30n + 2là phân số tối giản.
3 Giả sử (n4 + 3n2 + 1, n4 + 3n2 + 1) = d.
Ta có (n4 + 3n2 + 1) − n (n3 + 2n) = n2 + 1... d.
Do đó (n4 + 3n2 + 1) − (n2 + 1)2 = n2... d.
Suy ra 1... d ⇒ d = ±1.
4 Giả sử d ∈ (C) (2n + 1, 2n2 − 1) ⇒ n(2n + 1) − (2n2 − 1) = n + 1... d ⇒ 2n + 2... d ⇒ (2n + 2) − (2n + 1) = 1 ... d ⇒ d = ±1.
BÀI 7. Chứng minh rằng phân số n7 + n2 + 1
n8 + n + 1không tối giản với mọi số nguyên dương n.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có n7+n2+1 = (n2 + n + 1) (n5 − n4 + n2 − n + 1), n8+n+1 = (n6 − n5 + n3 − n2 + 1) (n2 + n + 1). Tử và mẫu cùng chứa thừ số n2 + n + 1 lớn hơn 1 n phân số n7 + n2 + 1
n8 + n + 1không tối giản với mọi số
nguyên dương n. BÀI 8. Viết gọn biểu thức dưới dạng một phân thức:
x2 − x + 1 x4 − x2 + 1 x8 − x4 + 1 x16 − x8 + 1 x32 − x16 + 1 .
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 51/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
Đặt A = (x2 − x + 1) (x4 − x2 + 1) (x8 − x4 + 1) (x16 − x8 + 1) (x32 − x16 + 1). Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, ta được
x2 + x + 1 · A =x64 + x32 + 1 .
Do x2 + x + 1 6= 0 nên A =x64 + x32 + 1
x2 + x + 1.
BÀI 9. Cho biết x, y, z khác 0 và(ax + by + cz)2
x2 + y2 + z2= a2 + b2 + c2. Chứng minh ax=by=cz.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
(ax + by + cz)2
x2 + y2 + z2= a2 + b2 + c2
(ax)2 + (by)2 + (cz)2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz =a2 + b2 + c2 ·x2 + y2 + z2 (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2 = 0
Do đó ta được:
ay − bx = 0 .
az − cx = 0 bz − cy = 0
Suy ra ax=by=cz. BÀI 10. Cho biết ax + by + cz = 0. Rút gọn A =bc(y − z)2 + ca(x − z)2 + ab(x − y)2
ax2 + by2 + cz2.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
B = bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + (bz − cy)2 = 0
= bcy2 + bcz2 + cax2 + abx2 + aby2 − 2(bcyz + acxz + abxy). (1)
Từ giả thiết ta suy ra a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2(bcyz + acxz + abxy) = 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra
B = ax2(b + c) + by2(a + c) + cz2(a + b) + a2x2 + b2y2 + c2z2
= ax2(a + b + c) + by2(a + b + c) + cz2(a + b + c)
= (a + b + c)ax2 + by2 + cz2 .
Do đó A =B
ax2 + by2 + cz2= a + b + c. BÀI 11. Rút gọn biểu thức A =x2 + y2 + z2
(y − z)2 + (z − x)2 + (x − y)2, biết rằng x + y + z = 0.
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 52/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Ta có
x + y + z = 0
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0
x2 + y2 + z2 = −(2xy + 2xz + 2yz).
Do đó
A =x2 + y2 + z2
(y − z)2 + (z − x)2 + (x − y)2
=x2 + y2 + z2
2x2 + 2y2 + 2z2 − (2xy − 2xz − 2yz)
=x2 + y2 + z2
3 (x2 + y2 + z2)
=13.
BÀI 12. Tính giá trị của biểu thức A =x − y
x + y, biết x2 − 2y2 = xy (y 6= 0; x + y 6= 0).
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
x2 − xy − 2y2 = 0 ⇔ x2 + xy − 2xy − 2y2 = 0
⇔ x(x + y) − 2y(x + y) = 0
⇔ (x + y)(x − 2y) = 0.
Do x + y 6= 0 nên x = 2y. Vậy A =2y − y
2y + y=y3y=13.
BÀI 13. Tính giá trị của phân thức A =3x − 2y
3x + 2y, biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy và 2y < 3x < 0.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có A2 =9x2 + 4y2 − 12xy
9x2 + 4y2 + 12xy=20xy − 12xy
20xy + 12xy=8xy
32xy=14.
Do 2y < 3x < 0 ⇒ 3x − 2y > 0, 3x + 2y < 0 ⇒ A < 0. Vậy A = −12. BÀI 14. Cho 3x − y = 3z và 2x + y = 7z. Tính giá trị của biểu thức M =x2 − 2xy
x2 + y2(x 6= 0, y 6= 0).
✍ LỜI GIẢI.
Ta có hệ
(3x − y = 3z 2x + y = 7z⇔
(x = 2z
y = 3z. Thay vào biểu thức M ta được: 4z2 + 9z2=−8z2
M =4z2 − 2 · 2z · 3z
13z2= −813.
BÀI 15. Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 53/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
3
a) ;5
b) ;7
2x − 1 x2 − 59
x2 + 1
c) ; x2 − x + 1
d) ;x + 2 e) .
x + 8
✍ LỜI GIẢI. 1 Để 3
x2 + 4
2x − 1có giá trị là số nguyên thì 2x − 1 ∈ {−3; −1; 1; 3}. Do đó x ∈ {−1; 0; 1; 2}. 2 Để 5
x2 + 1có giá trị là số nguyên thì x2 + 1 ∈ {1; 5}. Do đó x ∈ {−2; 0; 2}.
3 Để 7
x2 − x + 1có giá trị là số nguyên thì x2 − x + 1 ∈ {−7; −1; 1; 7}. Do đó x ∈ {−2; 0; 1; 3}. 4 Để x2 − 59
x + 8có giá trị là số nguyên thì x2 − 59... x + 8 ⇔ x2 − 64 + ... x + 8 ⇔ 5... x + 8. Do đó x ∈ {−13; −9; −7; −3}.
5 Để x + 2
x+4có giá trị là số nguyên thì
x + 2... x2 + 4 ⇒ (x + 2)(x − 2)... x2 + 4 ⇒ x2 + 4 − 8... x2 + 4 ⇒ 8... x2 + 4.
• Xét x2 + 4 = 4 ⇔ x = 0 (không thỏa).
• Xét x2 + 4 = 8 ⇔ x = ±2; thử lại ta thấy x = −2 thỏa yêu cầu bài toán.
BÀI 16. Tìm số hữu tỉ x để phân thức 10
x2 + 1có giá trị là số nguyên.
✍ LỜI GIẢI.
Đặt 10
x2 + 1= k ∈ Z, ta có kx2 + k = 10 nên x2 =10 − k
Ta phải có 10 − k
k.
k≤ 0 nên có 0 < k <≤ 10. Ta có bảng sau:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x2 =10 − k
k
9
4
7
3
3
2
1
2
3
3
7
1
4
1
9
0
x ∈ Q
±3
±2
±1
±12
±13
0
Vậy x = ±3, ±2, ±1, ±12, ±13, 0. BÀI 17. Chứng minh rằng nên các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện ab : cbc = a : c thì abbb : bbbc = a : c.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có abbb : ·c = (1000a + 111b)c = 1000ac + 111bc = ac + 111c(9a + b). a · bbbc = a(1110b + c) = ac + 1110ab.
Ta cần chứng minh 111c(9a + b) = 111ab, tức là c(9z + b) = 10ab.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 54/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Theo giả thiết ta có
ab · c = bc · a ⇒ (10a + b)c = (10b + c)a
⇒ 10ac + bc = 10ab + ac
⇒ 9ac + bc = 10ab
⇒ c(9a + b) = 10ab.
BÀI 18. Điểm trung bình môn Toán của các học sinh nam và nữ hai lớp 8A và 8B được thống kê ở bảng sau
Lớp 8A
Lớp 8B
Cả hai lớp 8A và 8B
Nam
7, 1
8, 1
7, 9
Nữ
7, 6
9, 0
Cả lớp
7, 4
8, 4
Tính điểm trung bình môn Toán của các học sinh cả hai lớp 8A và 8B.
✍ LỜI GIẢI.
Gọi số học sinh nam và nữ của hai lớp 8A theo thứ tự là a và b, số học sinh nam và nữ của lớp 8B theo thứ tự là c và d. Ta cần tìm 7, 6b + 9d
7, 1a + 7, 6b
b + d. Ta có:
a + b= 7, 4 (1) 8, 1c + 9d
c + d= 8, 4 (2) 7, 1a + 8, 1c
a + c= 7, 9 (3) Từ (1) suy ra b = 1, 5a. Từ (3) suy ra c = 4a. Từ (2) suy ra d = 0, 5c, do đó d = 2a. Ta được:
b + d=7, 6 · 1, 5a + 9 · a
7, 6b + 9d
1, 5a + 2a= 8, 4.
Vậy điểm trung bình phải tìm là 8, 4.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 55/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Muốn cộng các phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức chung, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.
Muốn trừ đi một phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối của phân thức trừ. Muốn nhân các phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.
Muốn chia cho một phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức chia.
B CÁC DẠNG TOÁN
VÍ DỤ 1. Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức
A =ab
a2 + b2 − c2+bc
b2 + c2 − a2+ca
c2 + a2 − b2.
✍ LỜI GIẢI.
Từ a + b + c = 0 suy ra a + b = −c.
Bình phương hai vế, ta được a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 − c2 = −2ab.
Tương tự, b2 + c2 − a2 = −2bc và c2 + a2 − b2 = −2ca.
Do đó, A =ab
−2ab +bc
−2bc +ca
−2ca= −12−12−12= −32.
VÍ DỤ 2. Rút gọn biểu thức
A =1
1 − x+1
1 + x2+4
1 + x4+8
1 + x8.
✍ LỜI GIẢI.
1 + x+2
Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân thức.
1 − x2+2
1 + x2+4
A =2
=4
1 − x4+4
1 + x4+8 1 + x8
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
1 + x4+8
1 + x8=8
1 − x8+8
1 + x8=16
1 − x16 .
Trang 56/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
VÍ DỤ 3. Rút gọn biểu thức
(1 · 2)2+5
(2 · 3)2+ · · · +2n + 1
[n(n + 1)]2.
✍ LỜI GIẢI.
B =3
Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có
k2(k + 1)2=(k + 1)2 − k2
k2(k + 1)2=1k2−1
(k + 1)2.
Do đó
2k + 1
B =112−122+122−132+ · · · +1n2−1 (n + 1)2
(n + 1)2=n(n + 2)
= 1 −1
VÍ DỤ 4. Xác định các số a, b, c sao cho
(n + 1)2.
(x2 + 1)(x − 1) =ax + b
1
x2 + 1+c
x − 1. (1)
✍ LỜI GIẢI.
Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1) ta được
(ax + b)(x − 1) + c(x2 + 1)
(x2 + 1)(x − 1) =ax2 − ax + bx − b + cx2 + c
(x2 + 1)(x − 1)
=(a + c)x2 + (b − a)x + (c − b)
(x2 + 1)(x − 1) .
Đồng nhất phân thức trên với phân thức 1
(x2 + 1)(x − 1), ta được
a + c = 0 b − a = 0 c − b = 1
⇒
(c + b = 0
c − b = 1⇒ c =12, b = −12.
Do đó a = −12. Như vậy 1 (x2 + 1)(x − 1) =
−12x −12 x2 + 1+
1
2
x − 1.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 57/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 Å1
VÍ DỤ 5. Cho A =1 (x + y)3
B =2
(x + y)4
C =2
(x + y)5
x4−1y4ã, Å1
x3−1y3ã, Å1
x2−1y2ã.
Thực hiện phép tính A + B + C.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
A =y4 − x4
x4y4(x + y)3=(y2 + x2)(y2 − x2)
x4y4(x + y)3=(y2 + x2)(y − x)
x4y4(x + y)2.
B + C =2
Å1
x + y·y2 − x2
ã
(x + y)4
=2
(x + y)4
x3−1y3+1 Å1
x3−1y3+y − x x2y2
x2y2
ã
(x + y)4·y3 − x3 + xy(y − x)
=2
x3y3
(x + y)4·(y − x)(y2 + 2yx + x2)
x3y3=2(y − x)
(x + y)2x3y3.
Do đó,
=2
A + B + C =(y2 + x2)(y − x)
x4y4(x + y)2+2(y − x)
(x + y)2x3y3
=(y2 + x2)(y − x) + 2xy(y − x)
x4y4(x + y)2
=(y − x)(y2 + x2 + 2xy)
x4y4(x + y)2
=y − x
x4y4.
C BÀI TẬP TỰ LUỆN
BÀI 1. Thực hiện các phép tính
1x + 3
x + 1−2x − 1
x − 1−x − 3
21
x(x + y)+1
x2 − 1;
y(x + y)+1
x(x − y)+1
y(y − x).
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 58/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
1x + 3
x + 1−2x − 1
x − 1−x − 3
x2 − 1=(x + 3)(x − 1) − (2x − 1)(x + 1) − (x − 3)
x2 − 1
=−x2 + 1
x2 − 1= −1.
21
x(x + y)+1
y(x + y)+1
x(x − y)+1
y(y − x)=x + y
xy(x + y)+y − x
xy(x − y)
=1xy−1xy= 0.
BÀI 2. Thực hiện phép tính
1 A =1
(a − b)(a − c)+1
(b − a)(b − c)+1
2 B =1
a(a − b)(a − c)+1
(c − a)(c − b);
b(b − a)(b − c)+1
c(c − a)(c − b);
3 C =bc
(a − b)(a − c)+ac
(b − a)(b − c)+ab
(c − a)(c − b);
4 D =a2
(a − b)(a − c)+b2
(b − a)(b − c)+c2
(c − a)(c − b).
✍ LỜI GIẢI.
1 A =1
(a − b)(a − c)+1
(b − a)(b − c)+1
(c − a)(c − b)=c − b + a − c + b − a
(a − b)(b − c)(c − a)= 0.
2 Ta có
B =1
a(a − b)(a − c)+1
b(b − a)(b − c)+1
c(c − a)(c − b)
=bc(b − c) − ac(a − c) + ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=c(b2 − bc − a2 + ac) + ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=c [(b − a)(b + a) − c(b − a)] + ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(−cb − ca + c2) + ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(−cb − ac + c2 + ab)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(b − c)(a − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)=1abc.
3 Ta có
C =bc
(a − b)(a − c)+ac
(b − a)(b − c)+ab
(c − a)(c − b)
=bc(b − c) − ac(a − c) + ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=c(b2 − bc − a2 + ac) + ab(a − b)
(a − b)(b − c)(a − c)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 59/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
=c [(b − a)(b + a) − c(b − a)] + ab(a − b)
(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(−cb − ca + c2) + ab(a − b)
(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(−cb − ac + c2 + ab)
(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(b − c)(a − c)
(a − b)(b − c)(a − c)= 1.
4 Ta có
D =a2
(a − b)(a − c)+b2
(b − a)(b − c)+c2
(c − a)(c − b)
=a2(b − c) − b2(a − c) + c2(a − b)
(a − b)(b − c)(a − c)
=a2(b − c) − b2a + b2c + c2a − c2b
(a − b)(b − c)(a − c)
=a2(b − c) − a(b2 − c2) + bc(b − c)
(a − b)(b − c)(a − c)
=(b − c)(a2 − ab − ac + cb)
(a − b)(b − c)(a − c)
=(b − c) [a(a − b) − c(a − b)]
(a − b)(b − c)(a − c)
=(b − c)(a − b)(a − c)
(a − b)(b − c)(a − c)= 1.
BÀI 3. Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là
một số nguyên:
✍ LỜI GIẢI. Ta có
P =a3
(a − b)(a − c)+b3
(b − a)(b − c)+c3
(c − a)(c − b).
(a − b)(a − c)+b3
P =a3
(b − a)(b − c)+c3 (c − a)(c − b)
=a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b)
(a − b)(b − c)(a − c).
Phân tích tử thành nhân tử
a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) = a3b − a3c + b3c − b3a + c3(a − b)
= (a3b − b3a) − (a3c − b3c) + c3(a − b)
= ab(a − b)(a + b) − c(a − b)(a2 + ab + b2) + c3(a − b)
= (a − b)(a2b + ab2 − ca2 − cb2 − abc + c3)
= (a − b) (c3 − cb2) − (abc − ab2) + (a2b − ca2)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 60/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
= (a − b)(b − c)(−cb − c2 + ab + a2)
= (a − b)(b − c) (ab − cb) + (a2 − c2)
= (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c).
Vậy P = a + b + c. BÀI 4. Cho 3y − x = 6. Tính giá trị biểu thức A =x
y − 2+2x − 3y
x − 6.
✍ LỜI GIẢI.
A =x
y − 2+2x − 3y
x − 6=3y − 6
y − 2+2x − x − 6
x − 6= 3 + 1 = 4.
BÀI 5. Tìm x, y, z biết rằng x22+y23+z24=x2 + y2 + z2
5.
✍ LỜI GIẢI.
Từ x22+y23+z24=x2 + y2 + z2
Åx2
2−x25ã+Åy23−y25ã+Åz24−z25ã= 0.
10+2y2
5suy ra
Cho nên 3x2
15+z2
20= 0. Do đó, x = y = z = 0.
BÀI 6. Tìm x, y biết rằng x2 + y2 +1x2+1y2= 4.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
x2 + y2 +1x2+1y2= 4 ⇒Åx2 − 2 +1x2ã+Åy2 − 2 +1y2ã= 0
Å
⇒
x −1xã2+Åy −1yã2= 0
(x2 = 1
⇒
y2 = 1.
Có bốn đáp án như bảng sau
x −1x= 0 y −1y= 0⇒
x
1
1
−1
−1
y
1
−1
1
−1
BÀI 7. Cho biết 1a+1b+1c= 2, (1)
1
a2+1b2+1c2= 2. (2)
Chứng minh rằng a + b + c = abc.
✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 61/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 Từ (1) suy ra1a2+1b2+1c2+ 2 Å1ab +1bc +1caã= 4.
Do (2) nên1ab +1bc +1ca= 1 suy raa + b + c
abc = 1.
Do đó a + b + c = abc. BÀI 8. Cho xa+yb+zc= 0, (1)
vàax+by+cz= 2. (2)
Tính giá trị biểu thức a2
x2+b2
y2+c2
z2.
✍ LỜI GIẢI.
Từ (1) suy ra bcx + acy + abz = 0.
Åab
Từ (2) suy raa2
x2+b2
y2+c2
xy+bcyz+cazxã= 4.
Do đó a2
x2+b2
y2+c2
z2+
z2= 4 − 2abz + acy + bcx
xyz= 4.
BÀI 9. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng
a3+1b3+1c3=3abc.
1
✍ LỜI GIẢI.
Từ giả thiết suy ra ab + bc + ca = 0 ⇒ b + c = −bca.
abc = 0, tức là 1a+1b+1c= 0. Suy ra
Do đó ab + bc + ca
b+1cã⇒1a3= −Å1b+1cã3= −1b3−1c3− 3Å1b2c+1bc2ã
1
a= −
Å1
⇒1a3+1b3+1c3= −3(b + c)
b2c2=3bc
ab2c2=3abc.
BÀI 10. Cho ab+bc+ca=ba+ac+cb. Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau. ✍ LỜI GIẢI.
Từ giả thiết suy ra
a2c + b2a + c2b = b2c + a2b + c2a ⇒ a2(c − b) − a(c2 − b2) + bc(c − b) = 0
⇒ (c − b)(a2 − ac − ab + bc) = 0
⇒ (c − b)(a − c)(a − b) = 0.
Tồn tại một trong các thừa số c − b, a − c, a − b bằng 0. Do đó, trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
BÀI 11. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: 1 A =2x3 − 6x2 + x − 8
x − 3;
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 62/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
2 B =x4 − 2x3 − 3x2 + 8x − 1
x2 − 2x + 1;
3 C =x4 + 3x3 + 2x2 + 6x − 2
x2 + 2.
✍ LỜI GIẢI.
1 A =2x3 − 6x2 + x − 8
x − 3= 2x2 + 1 −5
x − 3.
A nguyên khi x nguyên, x − 3 nguyên và nó là ước của 5.
Suy ra x − 3 = 1 hoặc x − 3 = −1 hoặc x − 3 = 5 hoặc x − 3 = −5.
Hay x = 4 hoặc x = 2 hoặc x = 8 hoặc x = −2.
2 B =x4 − 2x3 − 3x2 + 8x − 1
x2 − 2x + 1= x2 − 4 +3
(x − 1)2.
B nguyên khi x nguyên, (x − 1)2 nguyên và nó là ước của 3.
Suy ra (x − 1)2 = 1 hoặc (x − 1)2 = 3.
Hay x − 1 = −1 hoặc x − 1 = 1 hay x = 0 hoặc x = 2.
3 C =x4 + 3x3 + 2x2 + 6x − 2
x2 + 2= x2 + 3x −2
x2 + 2.
C nguyên khi x nguyên, x2 + 2 nguyên và nó là ước của 2.
Suy ra x2 + 2 = 2 hay x = 0.
BÀI 12. Rút gọn biểu thức sau với x =a
3a + 2
A =x + 3a
2 − x+x − 3a
2 + x−2a
4 − x2+ a.
✍ LỜI GIẢI.
A =x + 3a
2 − x+x − 3a
2 + x−2a
4 − x2+ a =6ax + 4x − 2a
4 − x2+ a =2x(3a + 2) − 2a
4 − x2+ a = a.
BÀI 13. Rút gọn biểu thức
A =2
a − b+2
c − a+(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
(a − b)(b − c)(c − a).
✍ LỜI GIẢI.
b − c+2
Đặt a − b = x, b − c = y, c − a = z thì x + y + z = 0.
Ta có A =2x+2y+2z+x2 + y2 + z2
xyz=(x + y + z)2
xyz= 0.
ab −b + c − a
BÀI 14. Cho biết a + b − c
bc −c + a − b
trái, có ít nhất một phân thức bằng 0. ✍ LỜI GIẢI.
Ta có
a + b − c
ab −b + c − a
bc −c + a − b
ca= 0. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
ca= 0 ⇔ c(a + b − c) − a(b + c − a) − b(c + a − b) = 0 ⇔ a2 + b2 − 2ab − c2 = 0
⇔ (a − b)2 − c2 = 0
Trang 63/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
⇔ (a − b + c)(a − b − c) = 0.
Vậy a − b + c = 0 hoặc a − b − c = 0.
BÀI 15. Xác định các số a, b, c sao cho:
x(x2 + 1) =ax+bx + c
11
21
x2 − 4=a
x2 + 1;
31
x − 2+b x + 2;
(x + 1)2(x + 2) =a
x + 1+b
(x + 1)2+c
x + 2.
✍ LỜI GIẢI.
x2 + 1=a(x2 + 1) + (bx + c)x
1 Ta có ax+bx + c
x(x2 + 1) =(a + b)x2 + cx + a
x(x2 + 1) .
Đồng nhất với phân thức 1
x(x2 + 1) ta được
2 Ta xó a
x − 2+b
x + 2=a(x + 2) + b(x − 2)
a + b = 0 c = 0
a = 1
⇒
a = 1 b = −1 c = 0.
x2 − 4=(a + b)x + 2(a − b) x2 − 4.
Đồng nhất với phân thức 1
x2 − 4ta được
a + b = 0
a − b =12⇒
a =14
b = −14.
3 Ta có a
x + 1+b
x + 2=a(x + 1)(x + 2) + b(x + 2) + c(x + 1)2
(x + 1)2+c
(x + 1)2(x + 2)
=(a + c)x2 + (3a + b + 2c)x + a + 2b + c (x + 1)2(x + 2) .
Đồng nhất với phân thức 1
(x + 1)2(x + 2) ta được
a + c = 0
3a + b + 2c = 0 a + 2b + c = 1
⇒
a = −1
b = 1
c = 1.
BÀI 16. Rút gọn biểu thức
B = (ab + bc + ca)
✍ LỜI GIẢI.
Å1
Å1
a+1b+1cã− abc Å1a2+1b2+1c2ã.
B = (ab + bc + ca)
a+1b+1cã− abc Å1a2+1b2+1c2ã abc − abcb2c2 + c2a2 + a2b2
= (ab + bc + ca)bc + ca + ab =(bc + ca + ab)2
abc −b2c2 + c2a2 + a2b2 abc
=2abc(a + b + c)
abc = 2(a + b + c).
a2b2c2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 64/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 17. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1a+1b+1c= 0. Rút gọn các biểu thức: 1 M =1
a2 + 2bc +1
b2 + 2ac+1
2 N =bc
a2 + 2bc +ac
c2 + 2ab;
3 P =a2
b2 + 2ac+ab c2 + 2ab;
a2 + 2bc +b2
b2 + 2ac+c2
c2 + 2ab.
✍ LỜI GIẢI.
Từ giả thiết suy ra ab + bc + ac = 0 nên
a2 + 2bc = a2 + bc + (−ab − ac) = a(a − b) − c(a − b) = (a − b)(a − c). Tương tự, b2 + 2ac = (b − a)(b − c) và c2 + 2ab = (c − a)(c − b).
1 M =1
a2 + 2bc +1
b2 + 2ac+1
c2 + 2ab
(a − b)(a − c)+1
=1
(b − a)(b − c)+1 (c − a)(c − b)
=b − c + c − a + a − b
(a − b)(b − c)(a − c)= 0.
2 N =bc
a2 + 2bc +ac
b2 + 2ac+ab
c2 + 2ab
=bc
(a − b)(a − c)+ac
(b − a)(b − c)+ab
(c − a)(c − b)
(a − b)(b − c)(a − c)=−c(a2 − b2) + c2(a − b) + ab(a − b)
=bc(b − c) + ac(c − a) + ab(a − b) =(a − b)(−ac − cb + c2 + ab)
(a − b)(b − c)(a − c)
(a − b)(b − c)(a − c)=(a − b) [−c(a − c + b(a − c)]
(a − b)(b − c)(a − c)
=(a − b)(b − c(a − c))
(a − b)(b − c)(a − c)= 1.
3 P =a2
a2 + 2bc +b2
b2 + 2ac+c2
c2 + 2ab
=a2
(a − b)(a − c)+b2
(b − a)(b − c)+c2
(c − a)(c − b)
(a − b)(b − c)(a − c)=ab(a − b) − c(a2 − b2) + c2(a − b)
=a2(b − c) + b2(c − a) + c2(a − b) =(a − b)(ab − ac − bc + c2)
(a − b)(b − c)(a − c)
(a − b)(b − c)(a − c)=(a − b)(b − c)(a − c)
(a − b)(b − c)(a − c)= 1.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 65/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 18. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và a + b
c=b + c
a=c + a
1 +ab Å1 +bcã 1 +ca .
✍ LỜI GIẢI.
c=b + c
a=c + a
b. Tính giá trị biểu thức
M =
Ta có a + b
b=a + b + b + c + c + a
a + b + c=2(a + b + c)
a + b + c.
Nếu a + b + c 6= 0 thì tỉ số trên bằng 2. Suy ra a + b = 2c, b + c = 2a.
Do đó a − c = 2(c − a) nên c = a, trái với đề bài.
Vậy a + b + c = 0. Ta có M =a + b
b·b + c
c·c + a
a=−cb·−ac·−ba= −1.
BÀI 19. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c 6= 0. Tính giá trị của biểu thức N =a2 + b2 + c2
(a + b + c)2.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
Do a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c 6= 0 nên đẳng thức trên trở thành a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0. Lại có
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2.
Như vậy từ a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 suy ra a = b = c.
Do đó, N =3a2
(3a)2=3a2
9a2=13.
Å
BÀI 20. Rút gọn biểu thức A = ✍ LỜI GIẢI.
1 −122ã Å1 −132ã Å1 −142ã· · · Å1 −1n2ã.
Ta có
A =
Å
1 −122ã Å1 −132ã Å1 −142ã· · · Å1 −1n2ã=1 · 3
22·2 · 4
32·3 · 5
42· · ·(n − 1)(n + 1)
n2
=1 · 2 · 3 · · ·(n − 1)
2 · 3 · 4 · · · n·3 · 4 · 5 · · ·(n + 1)
2 · 3 · 4 · · · n=1n·n + 1
2=n + 1
2n.
BÀI 21. Rút gọn biểu thức B =12
22 − 1·32
42 − 1·52
62 − 1· · ·(2n + 1)2
(2n + 2)2 − 1.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
B =12
22 − 1·32
42 − 1·52
62 − 1· · ·(2n + 1)2
(2n + 2)2 − 1=12
1 · 3·32
3 · 5·52
5 · 7· · ·(2n + 1)2
(2n + 1)(2n + 3)
=12· 32· 52· · ·(2n + 1)2
1 · 32· 52· · ·(2n + 1)2· (2n + 3) =1
(2n + 3).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 66/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 22. Rút gọn biểu thức 11 · 2+12 · 3+13 · 4+ · · · +1
(n − 1)n.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
1 · 2+12 · 3+13 · 4+ · · · +1
1
(n − 1)n=11−12+12−13+13−14+ · · · +1
n − 1−1n
= 1 −1n=n − 1
n.
BÀI 23. Rút gọn biểu thức 12 · 5+15 · 8+1
8 · 11+ · · · +1
(3n + 2)(3n + 5).
✍ LỜI GIẢI.
(3n + 2)(3n + 5) =13Å1
ã
Ta có 1 Do đó
3n + 2−1
.
3n + 5
2 · 5+15 · 8+1
8 · 11+ · · · +1
1
(3n + 2)(3n + 5)
=13Å12−15+15−18+18−111+ · · · +1
ã
3n + 2−1
=13Å12−1
ã
=13·3n + 5 − 2
2(3n + 5) =n + 1
3n + 5
3n + 5
1 · 2 · 3+1
2 · 3 · 4+1
2(3n + 5).
BÀI 24. Rút gọn biểu thức 1 ✍ LỜI GIẢI.
(n − 1)n(n + 1) =12ï1
3 · 4 · 5+ · · · +1
(n − 1)n(n + 1).
ò
Ta có 1
Do đó
1
(n − 1)n−1
.
n(n + 1)
1 · 2 · 3+1
2 · 3 · 4+1
3 · 4 · 5+ · · · +1
(n − 1)n(n + 1)
=12ï11 · 2−12 · 3+12 · 3−13 · 4+13 · 4−14 · 5+ · · · +1
ò
(n − 1)n−1
=12ï12−1 n(n + 1)
ò
=12·n(n + 1) − 2
2n(n + 1) =(n − 1)(n + 2)
4n(n + 1) .
n(n + 1)
BÀI 25. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta luôn có 22+142+162+ · · · +1
1
(2n)2<12.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
(2n)2=14Å112+122+132+ · · · +1n2ã.
A =122+142+162+ · · · +1
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 67/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Suy ra A < 14Å1 +11 · 2+12 · 3+ · · · +1
ã
.
(n − 1)n
Lại có 1 +11 · 2+12 · 3+ · · · +1
(n − 1)n= 1 +11−1n= 2 −1n.
Do đó A < 14Å2 −1nã, suy ra A < 12. BÀI 26. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta luôn có
32+152+172+ · · · +1
1
(2n + 1)2<14.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
B =132+152+172+ · · · +1
(2n + 1)2<1
32 − 1+1
52 − 1+1
72 − 1+ · · · +1
(2n + 1)2 − 1.
Lại có
32 − 1+1
1
52 − 1+1
72 − 1+ · · · +1
(2n + 1)2 − 1
=12 · 4+14 · 6+16 · 8+ · · · +1
2n(2n + 2)
=12Å12−14+14−16+16−18+ · · · +12n−1 ã
=12Å12−1 2n + 2
ã
.
2n + 2
Do đó B < 12Å12−1 2n + 2
ã
, suy ra B < 14.
BÀI 27. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có A =122+132+142+ · · · +1n2<23.
✍ LỜI GIẢI.
Nhận xét, với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta luôn có 1n2<4
4n2 − 1= 2
Khi đó
Å1
3−15+15−17+17−19+ · · · +1
Å1
2n − 1−1 2n + 1
ã
ã
.
A < 2
Lại có 13−15+15−17+17−19+ · · · +1 2n − 1−1
2n − 1−1
.
2n + 1
Do đó A < 2
Å1
3−1
2n + 1
2n + 1=13−1
2n + 1.
ã
, suy ra A < 23.
BÀI 28. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta luôn có B =133+143+153+ · · · +1n3<112.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 68/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 ✍ LỜI GIẢI.
Với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta luôn có 1
n3<1
n3 − n=1
(n − 1)n(n + 1) =12ï1
ò
(n − 1)n(n + 1) =12·(n + 1) − (n − 1)
(n − 1)n−1
.
n(n + 1)
Khi đó
B < 12ï12 · 3−13 · 4+13 · 4−14 · 5+14 · 5−15 · 6+ · · · +1
ò
(n − 1)n−1
.
n(n + 1)
Lại có 12 · 3−13 · 4+13 · 4−14 · 5+14 · 5−15 · 6+ · · · +1
(n − 1)n−1
n(n + 1) =16−1
Do đó B < 12ï16−1
ò
n(n + 1)
n(n + 1).
, suy ra B < 112.
BÀI 29. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta luôn có
Å
A =
1 +11 · 3ã Å1 +12 · 4ã Å1 +13 · 5ã· · · Å1 +1 n(n + 2)
ã
< 2.
✍ LỜI GIẢI.
Với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1 +1
n(n + 2) =n2 + 2n + 1
n(n + 2) =(n + 1)2
n(n + 2).
Khi đó
A =22
1 · 3·32
2 · 4·42
n(n + 2) =n(n + 2) + 1
3 · 5· · ·(n + 1)2
n(n + 2) =2 · 3 · 4 · · ·(n + 1)
1 · 2 · 3 · · · n·2 · 3 · 4 · · ·(n + 1)
3 · 4 · 5 · · ·(n + 2)
Å
ã
=n + 1
1·2
n + 2= 2 ·n + 2 − 1 n + 2= 2
1 −1
.
n + 2
Do đó A < 2. BÀI 30. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có
Å
B =
1 −26ã Å1 −212ã Å1 −220ã· · · Å1 −2
ã
n(n + 1)
>13.
✍ LỜI GIẢI.
n(n + 1) =n2 + n − 2
n(n + 1) =n(n + 1) − 2
Với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 1 −2
n(n + 1) =(n − 1)(n + 2) n(n + 1) .
Khi đó B =
Å
1 −26ã Å1 −212ã Å1 −220ã· · · Å1 −2 n(n + 1)
ã
=1 · 4
2 · 3·2 · 5
3 · 4·3 · 6
4 · 5· · ·(n − 1)(n + 2)
n(n + 1)
=1 · 2 · 3 · · ·(n − 1)
2 · 3 · 4 · n·4 · 5 · 6 · · ·(n + 2)
3=13Å1 +2nã.
3 · 4 · 5 · · ·(n + 1) =1n·n + 2
Do đó B > 13. 52 − 1·72 − 1
92 − 1·112 − 1
BÀI 31. Rút gọn biểu thức A =32 − 1 ✍ LỜI GIẢI.
Ta có
A =32 − 1
52 − 1·72 − 1
92 − 1·112 − 1
132 − 1· · ·432 − 1
132 − 1· · ·432 − 1 452 − 1.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
452 − 1=2 · 4
4 · 6·6 · 8
8 · 10·10 · 12
12 · 14· · ·42 · 44
44 · 46=246=123.
Trang 69/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020 BÀI 32. Chứng minh rằng A =23 + 1
23 − 1·33 + 1
33 − 1·43 + 1
43 − 1· · ·93 + 1
93 − 1<32.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có n3 + 1
n3 − 1=(n + 1)(n2 − n + 1)
(n − 1)(n2 + n + 1) =(n + 1) [(n − 0,5)2 + 0,75]
(n − 1) [(n + 0,5)2 + 0,75].
Khi đó
A =3(1,52 + 0,75)
1(2,52 + 0,75) ·4(2,52 + 0, 75)
2(3,52 + 0,75) ·5(3,52 + 0,75)
3(4,52 + 0,75) · · ·10(8,52 + 0,75)
8(9,52 + 0,75)
1 · 2 · 3 · · · 8·1,52 + 0,75
9,52 + 0,75=9 · 10
=3 · 4 · 5 · · · 10
1 · 2·391=32·9091.
Do đó A < 32. BÀI 33. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, luôn có
B =23 − 1
23 + 1·33 − 1
33 + 1·43 − 1
43 + 1· · ·n3 − 1
n3 + 1>23.
✍ LỜI GIẢI.
Với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta cón3 − 1
n3 + 1=(n − 1)(n2 + n + 1)
(n + 1)(n2 − n + 1) =(n − 1) [(n + 0,5)2 + 0,75]
(n + 1) [(n − 0,5)2 + 0,75].
Khi đó
B =1(2,52 + 0,75)
3(1,52 + 0,75) ·2(3,52 + 0,75)
4(2,52 + 0, 75) ·3(4,52 + 0,75)
5(3,52 + 0,75) · · ·(n − 1) [(n + 0,5)2 + 0,75]
(n + 1) [(n − 0,5)2 + 0,75]
3 · 4 · 5 · · ·(n + 1) ·(n + 0,5)2 + 0,75
n · (n + 1) ·n2 + n + 1
=1 · 2 · 3 · · ·(n − 1)
1,52 + 0,75=1 · 2
3=23·n2 + n + 1 n2 + n.
Do đó B > 23. BÀI 34. Rút gọn biểu thức P =(14 + 4) (54 + 4) (94 + 4)· · ·(214 + 4)
(34 + 4) (74 + 4) (114 + 4)· · ·(234 + 4).
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
n4 + 4 = (n2 + 2)2 − 4n2 = (n2 − 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = (n − 1)2 + 1 (n + 1)2 + 1 .
Khi đó
(22 + 1)(42 + 1) ·(42 + 1)(62 + 1)
(62 + 1)(82 + 1) ·(82 + 1)(102 + 1)
P =(02 + 1)(22 + 1)
=02 + 1
242 + 1=1577.
BÀI 35. Rút gọn biểu thức
M =1
a2 − 5a + 6+1
(102 + 1)(122 + 1) · · ·(202 + 1)(222 + 1) (222 + 1)(242 + 1)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
a2 − 7a + 12+1
a2 − 9a + 20+1
a2 − 11a + 30.
Trang 70/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
M =1
(a − 2)(a − 3) +1
(a − 3)(a − 4) +1
(a − 4)(a − 5) +1
(a − 5)(a − 6)
=1
a − 3−1
a − 2+1
a − 4−1
a − 3+1
a − 5−1
a − 4+1
a − 6−1
a − 5
=1
a − 6−1
a − 2=4
(a − 2)(a − 6).
BÀI 36. Rút gọn biểu thức
Ån − 1
ã
1+n − 2
2+n − 3
3+ · · · +2
n − 2+1
:
n − 1
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
1+n − 2
2+n − 3
Å1
2+13+14+ · · · +1nã.
n − 1
1+n − 2
3+ · · · +2
n − 2+1
n − 1
=n − 1
2+n − 3
3+ · · · +n − (n − 2)
n − 2+n − (n − 1)
=n1+n2+n3+ · · · +n n − 2+n
n − 1
= n +n2+n3+ · · · +n
n − 1− 1 − 1 − 1 − · · · − 1 − 1
n − 1− (n − 1)
=n2+n3+n4+ · · · +n
Å1
n − 1+nn
n − 1+1nã.
= n
Do đóÅn − 1
2+13+14+ · · · +1
ã
Å1
1+n − 2
2+n − 3
3+ · · · +2
n − 2+1
:
n − 1
BÀI 37. Rút gọn biểu thức
1 · (2n − 1) +1
3 · (2n − 3) +1
2+13+14+ · · · +1nã= n.
1
A
B=
5 · (2n − 5) + · · · +1
(2n − 3) · 3+1
(2n − 1) · 1
.
1 +13+15+ · · · +1
2n − 1
✍ LỜI GIẢI.
k(2n − k)=12nÅ1k+1
ã
Ta có nhận xét 1
2n − k
.
Khi đó
A =12nïÅ11+1 2n − 1
ã
+
Å1
3+1
2n − 3
ã
+ · · · +
Å1
2n − 3+13ã+Å1
2n − 1+11ãò
=12n· 2Å1 +13+15+ · · · +1
ã
2n − 1
=1nÅ1 +13+15+ · · · +1
ã
2n − 1
=Bn.
Do đó AB=1n.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 71/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
BÀI 38. Cho abc = 1 và a + b + c =1a+1b+1c. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
✍ LỜI GIẢI.
Từ đẳng thức a + b + c =1a+1b+1csuy ra a + b + c =ab + bc + ca
Mà abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca.
abc .
Để chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1, ta cần chứng minh (a − 1)(b − 1)(c − 1) = 0.
Ta có
(a − 1)(b − 1)(c − 1) = (ab − a − b + 1)(c − 1) = abc − ab − ac + a − bc + b + c − 1 = (abc − 1) + (a + b + c) − (ab + bc + ca).
Vì abc = 1 và a + b + c = ab + bc + ca nên biểu thức trên bằng 0.
Do đó, tồn tại một trong ba thừa số a − 1, b − 1, c − 1 bằng 0.
Vậy tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1. BÀI 39. Chứng minh rằng nếu x + y + z = a và1x+1y+1z=1athì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a.
✍ LỜI GIẢI.
Từ giả thiết suy ra a 6= 0. Khi đó
x+1y+1z=1
1
x + y + zhay xy + yz + zx
xyz=1
x + y + z.
Suy ra (xy + yz + zx)(x + y + z) − xyz = 0. (1) Ta có
(xy + yz + zx)(x + y + z) − xyz = x2y + xy2 + xyz + xyz + y2z + yz2 + x2z + xyz + xz2 − xyz = x2y + xy2 + xyz + y2z + xyz + yz2 + x2z + xz2
= xy(x + y) + yz(x + y) + yz(x + z) + xz(x + z)
= y(x + y)(x + z) + z(x + z)(x + y)
= (x + y)(y + z)(z + x).
Từ (1) suy ra (x + y)(y + z)(z + x) = 0. Do đó x = −y hoặc y = −z hoặc z = −x. Với x = −y thì từ 1x+1y+1z=1asuy ra z = a.
Với y = −z thì từ 1x+1y+1z=1asuy ra x = a.
Với z = −x thì từ 1x+1y+1z=1asuy ra y = a.
Vậy tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a. BÀI 40. Các biểu thức x + y + z và1x+1y+1zcó thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không? ✍ LỜI GIẢI.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em
Trang 72/477 GeoGebraPro
Tự học Toán 8 Năm học 2019-2020
Giả sử x + y + z = 0 và1x+1y+1z= 0.
Ta có 1x+1y+1z=xy + yz + zx
xyz. Mà 1x+1y+1z= 0 nên xy + yz + zx = 0.
Từ x + y + z = 0 suy ra (x + y + z)2 = 0 hay x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0. Vì xy + yz + zx = 0 nên x2 + y2 + z2 = 0, suy ra x = y = z = 0. Điều này vô lí vì khi đó 1x,1y,1z không xác định.
Vậy x + y + z và1x+1y+1zkhông thể cùng có giá trị bằng 0. BÀI 41. Tính giá trị của biểu thức M =1
x + 2+1
y + 2+1
z + 2, biết rằng
2a = by + cz; 2b = ax + cz; 2c = ax + by và a + b + c 6= 0.
✍ LỜI GIẢI.
Cộng theo từng vế ba đẳng thức 2a = by + cz; 2b = ax + cz; 2c = ax + by ta được
a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a(x + 2).
Suy ra 1
x + 2=a
Tương tự, 1
a + b + c.
y + 2=b
a + b + c,1
z + 2=c
Do đó M =a + b + c
a + b + c.
a + b + c= 1. ab + a + 2+b
BÀI 42. Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức M =a ✍ LỜI GIẢI.
Với abc = 2, ta có
ab + a + 2+b
bc + b + 1+2c
ac + 2c + 2=a
bc + b + 1+2c ac + 2c + 2.
M =a
a + ab + 2+ab
a + ab + 2+2
ab + a + 2+ab
abc + ab + a+2c
ac + 2c + abc
=a
a + ab + 2=a + ab + 2
a + ab + 2= 1.
BÀI 43. Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức N =a
ab + a + 1+b
bc + b + 1+c
ac + c + 1.
✍ LỜI GIẢI.
Với abc = 1, ta có
N =a
ab + a + 1+b
bc + b + 1+c
ac + c + 1=a
a + ab + 1+ab
abc + ab + a+c
ac + c + abc
=a
a + ab + 1+ab
a + ab + 1+1
a + ab + 1=a + ab + 1
a + ab + 1= 1.
BÀI 44. Cho ac=a − b
b − c, a 6= 0, c 6= 0, a − b 6= 0, b − c 6= 0. Chứng minh rằng
a+1
1
Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em
a − b=1
b − c−1c.
Trang 73/477 GeoGebraPro